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1) 1 1)

2 12

2 21 2

2) 123 2) 6

3 123 132 213 231 312 321

3) 1234 3) 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 2 1

4

1

3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 24 4 3

4) 12345 4) 12345 12354 12435 12453 12534 12543 13245 13254 13425 13452 13524 13542 14235 14253 14325 14352 14523 14532 15234 15243 14 13 12

5

2

15324 15342 15423 15432 1 2 21345 21354 21435 21453 21534 21543 23145 23154 23415 23451 23514 23541 24135 24153 24315 24351 24513 24531 25134 25143 25314 25341 25413 25431 2 25 24 × 2 24 23 21 15 24

3

3 31245 31254 31425 31452 31524 31542 32145 32154 32415 32451 32514 32541 34125 34152 34215 34251 34512 34521 35124 35142 35214 35241 35412 35421 3 4 41235 41253 41325 41352 24 × 3

4

41524 41542 42135 42153 42315 42351 42513 42531 43125 43152 43215 43251 43512 43521 45123 45132 45213 45231 45312 45321 4 5 51234 51243 51324 51342 51423 51432 52134 52143 52314 24 × 4

5

52341 52413 52431 53124 53142 53214 53241 53412 53421 54123 54132 54213 54231 54312 54321 5 120 24 × 5

12345 1 2 4 4 24 × 5 = 120 1234 1 2 3 4 6 × 4 = 24 3 3 3 3

5 24 24

4 6 6 6 6

6

123 1 2 3 2×3=6 2 2 2

3 2 2 2

12 123 1234 12345

2 3 4 5 6

2 2×3=6 2 × 3 × 4 = 24

2 × 3 × 4 × 5 = 120

5) 123456 5)

2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720

7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 etc. 7! = 1 2 3 4 5 6 7 6) 1122 6) 1122 1212 1221 1 2112 2121 2211 7 1 2 2 2 2 12 4 ×

6 7) 11122 7) 11122 11212 11221 2 12112 12121 12211 1 21112 1 21121 21211 22111 10 8) 111222 8) 111222 112122 112212 112221 2 121122 4 121212 121221 3 122112 2 2 2 112 2 2 3 2 6 2 2 2 3 2 2 12 2 112 5

8

122121 122211 211122 4 211212 211221 212112 212121 212211 2 221112 221121 221211 222111 20 9) 1122 9) 1122 1 1 , 1 2 , 21 , 2 2 , 4 4 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 11 , 12 , 21 , 22 , 11 , 12 , 22 , 21 , 11 , 21 , 12 , 22 , 11 , 21 , 22 , 12 , 11 , 22 , 12 , 21 , 11 , 22 , 21 , 12 , 12 , 11 , 21 , 22 , 12 , 11 , 22 , 21 , 4! = 24 4 20 2 2 2 3 2 1 1 2 2 2

212

9

9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 24 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

12 , 21 , 11 , 22 , 12 , 2 1 , 22 , 1 1 , 12 , 2 2 , 11 , 2 1 , 12 , 2 2 , 21 , 1 1 , 21 , 1 1 , 12 , 2 2 , 21 , 1 1 , 22 , 1 2 , 21 , 1 2 , 11 , 2 2 , 21 , 1 2 , 22 , 1 1 , 21 , 2 2 , 11 , 1 2 , 21 , 2 2 , 12 , 1 1 , 22 , 1 1 , 12 , 2 1 , 22 , 1 1 , 21 , 1 2 , 22 , 1 2 , 11 , 2 1 , 22 , 1 2 , 21 , 1 1 , 22 , 2 1 , 11 , 1 2 , 22 , 2 1 , 12 , 1 1 ,

11 , 12 , 2 1 , 2 2 , 11 , 12 , 2 2 , 2 1 , 11 , 21 , 1 2 , 2 2 , 11 , 21 , 2 2 , 1 2 , 11 , 22 , 1 2 , 2 1 , 11 , 22 , 2 1 , 1 2 , 12 , 11 , 2 1 , 2 2 , 12 , 11 , 2 2 , 2 1 , 12 , 21 , 1 1 , 2 2 , 12 , 2 1 , 22 , 1 1 , 12 , 2 2 , 11 , 2 1 , 12 , 2 2 , 21 , 1 1 , 21 , 1 1 , 12 , 2 2 ,

1122 1122 1212 1221 1212 1221 1122 1122 1212 1221 1212 1221 2112

10

14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24)

21 , 1 1 , 22 , 1 2 , 21 , 1 2 , 11 , 2 2 , 21 , 1 2 , 22 , 1 1 , 21 , 2 2 , 11 , 1 2 , 21 , 2 2 , 12 , 1 1 , 22 , 1 1 , 12 , 2 1 , 22 , 1 1 , 21 , 1 2 , 22 , 1 2 , 11 , 2 1 , 22 , 1 2 , 21 , 1 1 , 22 , 2 1 , 11 , 1 2 , 22 , 2 1 , 12 , 1 1 ,

2121 2112 2121 2211 2211 2112 2121 2112 2121 2211 2211

1) 2) 7) 8) 3) 5) 9) 11) 4) 6) 10) 12) 13) 15) 19) 21) 14) 16)

11 , 12 , 2 1 , 2 2 , 11 , 12 , 2 2 , 2 1 , 12 , 11 , 2 1 , 2 2 , 12 , 11 , 2 2 , 2 1 , 11 , 21 , 1 2 , 2 2 , 11 , 22 , 1 2 , 2 1 , 12 , 21 , 1 1 , 2 2 , 12 , 2 2 , 11 , 2 1 , 11 , 21 , 2 2 , 1 2 , 11 , 22 , 2 1 , 1 2 , 12 , 2 1 , 22 , 1 1 , 12 , 2 2 , 21 , 1 1 , 21 , 1 1 , 12 , 2 2 , 21 , 1 2 , 11 , 2 2 , 22 , 1 1 , 12 , 2 1 , 22 , 1 2 , 11 , 2 1 , 21 , 1 1 , 22 , 1 2 , 21 , 1 2 , 22 , 1 1 ,

1122 1122 1122 1122 1212 1212 1212 1212 1221 1221 1221 1221 2112 2112 2112 2112 2121 2121

11

20) 22) 17) 18) 23) 24) 4 24 6 4 1) 2) 7) 8) 11 4=6

22 , 1 1 , 21 , 1 2 , 22 , 1 2 , 21 , 1 1 , 21 , 2 2 , 11 , 1 2 , 21 , 2 2 , 12 , 1 1 , 22 , 2 1 , 11 , 1 2 , 22 , 2 1 , 12 , 1 1 , 4

2121 2121 2211 2211 2211 2211

1122 11 , 12 , 2 1 , 2 2 , 11 , 12 , 2 2 , 2 1 , 12 , 11 , 2 1 , 2 2 , 12 , 11 , 2 2 , 2 1 , 1122 1122 1122 1122

12 22 12 2×2=4 10) 11122 10) 4 5

21 21

2 2

5! = 5 4 3 2 1 = 120 11122 1 1 , 1 2 , 13 , 2 1 , 2 2 1 1 , 1 3 , 12 , 2 1 , 2 2 1 2 , 1 1 , 13 , 2 1 , 2 2 1 2 , 1 3 , 11 , 2 1 , 2 2

12

1 3 , 1 1 , 12 , 2 1 , 2 2 1 3 , 1 2 , 11 , 2 1 , 2 2 1 1 , 1 2 , 13 , 2 2 , 2 1 1 1 , 1 3 , 12 , 2 2 , 2 1 1 2 , 1 1 , 13 , 2 2 , 2 1 1 2 , 1 3 , 11 , 2 2 , 2 1 1 3 , 1 1 , 12 , 2 2 , 2 1 1 3 , 1 2 , 11 , 2 2 , 2 1 12 1 2 6 10 10) 111222 6 3! = 3 2 1 = 6 2! = 2 1 = 2 × 2 = 12 12 = 10

120

10) 6 5 4 3 2 1 = 20 3 2 1 3 2 1 10) 11122233 8

10) 8 7 6 5 4 3 2 1 = 560 3 2 1 3 2 1 2 1 11) A, B, C, D, E 11) A A AB ABC AB, AC, AD, AE B BC, BD, BE C D CD, CE DE 1 2

13

10

A 1

B 1

C 2 A

D 2

E 2 B 1 A B

A 2

B 1

C 2 B

D 1

E 2 D 11222 5 1 B D

5 4 3 2 1 = 10 3 2 1 2 1

A 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

B 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

C 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2

D 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1

E 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE

12) A, B, C, D, E, F

6

3

14

12) 111222 6

6 5 4 3 2 1 = 20 3 2 1 3 2 1

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

B 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

C 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2

D 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1

E 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1

F 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 ABC ABD ABE ABF ACD ACE ACF ADE ADF AEF BCD BCE BCF BDE BDF BEF CDE CDF CEF DEF

15

12) 3 12)

3

1) 2) 3) 1) 1 - 1) 1 - 2) 1 - 3) 2) 2 - 1) 2 - 2) 2 - 3) 3) 3 3 2 1 CCC 10 3 | | 1 1 3 3 2 1

1 1 1 A AAA B 1 2 3 C

AAB, AAC ABB ABC ACC BBB BBC BCC 1 1 1 1

|2

ABC

16

-- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AAA AAB AAC ABB ABC ACC BBB BBC BCC CCC || | | | | | || | || | || | |

||

|

|

|

11122

5

5 4 3 2 1 = 10 3 2 1 2 1 13) 3 13) 3 | 3 6 5 4 3 2 1 = 20 3 2 1 3 2 1 20 1 D | 2 3

17

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

B 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

C 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2

D 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1

E 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1

F 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1

ABCD AAA AAB AAC AAD ABB ABC ABD ACC ACD ADD BBB BBC BBD BCC BCD BDD CCC CCD CDD DDD

14) 4 14) 4 | 3 7 6 5 4 3 2 1 = 35 4 3 2 1 3 2 1 35

4

18

15) A, B, C, 15) A 1 2 3 4 5 6 7 8 8 1 1 1 1 2 2 2 2 B 1 1 2 2 1 1 2 2 C 1 2 1 2 1 2 1 2 A A B B A A

3 3

2

A B C C C C B A

B 1 1 2 1 2 2 B

C C B A A B C C

1 2 2 1 2 1 1 2

1

x

2

y

A 1 2 3 4 5 6 7 8 x x x x y y y y

B x x y y x x y y

C x y x y x y x y A A B B A A A A B C C C C B B B x x y x y y C C C B A A B C y x y y x y x x

15 - 1) 1) 2)

15) 3 2 19 1

2 1) 2) 15 - 1 - 1) 15 - 1) 15 - 1 - 1) (3, 0) (2, 1) (3, 0) (2, 1) 15 - 1 - 2) (3, 0) (2, 1)

xxx xxy xxx 1 xxy 3

yyy yyx

2 2 yyy 1 yyx 3

15 - 1 - 2)

16) A, B, C, D 2 16) 16 16 - 1) 1) 2) 3) 3 1) 2) 3) 16 - 1 - 1) 16 - 1 - 2) 16 - 1 - 1) (4, 0) (3, 1) (2, 2) 16) 4 3 2

4 4

1 2

16 - 1)

20

(4, 0) (3, 1) (2, 2) 15 - 1 - 2) (4, 0) (3, 1) (2, 2) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x x x x x x x x y y y y y y y y B x x x x y y y y x x x x y y y y

xxxx xxxy xxyy xxxx 1 xxxy 4 xxyy 6 C x x y y x x y y x x y y x x y y D x y x y x y x y x y x y x y x y

yyyy yyyx 1

2 2

yyyy 1 yyyx 4

(3, 1) 4 3 2 1 =4 3 2 1 1 (2, 2)

1112

4

1122

4

21

4 3 2 1 =6 2 1 2 1

17) A, B, C 3 3 17) 27 17 - 1) 1) 2) 3) 3 1) 2) 3) 17 - 1 - 1) 17 - 1 - 2) 17 - 1) 17 - 1 - 1) (3, 0, 0) (2, 1, 0) (1, 1, 1) 17 - 1 - 2) (3, 0, 0) (2, 1, 0) 17)

3 3 z

3 2 1 (3, 0, 0) (2, 1, 0) (1, 1, 1) 1

xxx

yyy zzz

3 6

xxy, xxz, yyx, yyz, zzx, zzy xyz 1 xxx 1 yyy 1 zzz 1 xxy, xxz, yyx, yyz, zzx, zzy

3

22

(1, 1, 1) 27

xyz 6

3 × 1 + 6 × 3 + 1 × 6 = 27

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x x x x x x x x x

B x x x y y y z z z

C x y z x y z x y z 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A y y y y y y y y y 4

B x x x y y y z z z

C x y z x y z x y z 19 20 21 22 23 24 25 26 27

A z z z z z z z z z

B x x x y y y z z z

C x y z x y z x y z

18) A, B, C, D 3 3 18) 81 18 - 1) 1) 2) 3) 4) 4 1) 2) 18) 4 3 2 2 z

4

1 2 1

(4, 0, 0) (3, 1, 0)

23

3) 4) 18 - 1 - 1) 18 - 1 - 2) 18 - 1) 18 - 1 - 1) (4, 0, 0) (3, 1, 0) (2, 2, 0) (2, 1, 1) 18 - 1 - 2) (4, 0, 0) (3, 1, 0) (2, 2, 0) (2, 1, 1) 81

(2, 2, 0) (2, 1, 1)

xxxx yyyy zzzz 3 xxxy, xxxz, yyyx, yyyz, zzzx, zzzy xxyy, xxzz, yyzz xxyz yyxz zzxy 1 4 3 2 1 =4 3 2 1 1 4 3 2 1 =6 2 1 2 1 4 3 2 1 = 12 2 1 1 1 3 3

6

3 × 1 + 6 × 4 + 3 × 6 + 3 × 12 = 81

19) A, B, C, 6 4 5

3 3 6 u v w

19)

24

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x x x x x x x x x

B x x x x x x y y y

C x y z u v w x y z 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A x x x x x x x x x

B y y y z z z z z z

C u v w x y z u v w 19 20 21 22 23 24 25 26 27

A x x x x x x x x etc

B u u u u u u v v etc

C x y z u v w x y etc

6 × 6 × 6 = 216 216

19 - 1) 1) 2) 3) 3 1) 2) 3)

19) 3 2 1 (3, 0, 0) (2, 1, 0) (1, 1, 1) 1

19 - 1 - 1) 19 - 1 - 2) 19 - 1) 19 - 1 - 1) (3, 0, 0)

xxx yyy zzz uuu vvv www

6

(2, 1, 0) 6 × 5 = 30 xxy, xxz, xxu, xxv, xxw yyx, yyz, yyu, yyv, yyw zzx, zzy, zzu, zzv, zzw 25

uux, uuy, uuz, uuv, uuw vvx, vvy, vvz, vvu, vvw wwx, wwy, wwz, wwu, wwv (1, 1, 1) 6 5 4 3 2 1 = 20 3 2 1 3 2 1 xyz xyu xyv xyw xzu xzv xzw xuv xuw xvw yzu yzv yzw yuv yuw yvw zuv zuw zvw uvw 20 19 - 1 - 2) (3, 0, 0) (2, 1, 0) (1, 1, 1) 1 3 2 1 =3 2 1 1 3 2 1 =6 1 1 1 216 6 × 1 + 30 × 3 + 20 × 6 = 6 + 90 + 120 = 216

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