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Einf¨hrung u Berechnung Literatur

Pad´-Approxmation e

Michael Rennecke

Institut f¨r Numerische Mathematik u Martin-Luther-Universi¨t Halle-Wittenberg a

16. Januar 2007

Michael Rennecke

Pad´-Approxmation e

Einf¨hrung u Berechnung Literatur

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Einf¨hrung u Allgemein Definition Fakten Berechnung Hankel-Matrix Berechung Literatur

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Pad´-Approxmation e

Einf¨hrung u Berechnung Literatur

Allgemein Definition Fakten

Allgemein

Die Pad´-Approxmation ist eine gebrochen-rationale Funktion, e wobei der Nenner und der Z¨hler abgebrochene Potenzreihen sind. a Die Pad´-Approxmation ist der Taylorapproxmation uberlegen, da e ¨ diese Funktionen auch Polstellen enthalten k¨nnen. o

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Pad´-Approxmation e

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Allgemein Definition Fakten

Definition der Pad´-Approxmation e

Gegeben: f : R R sei durch eine Potenzreihe gegeben:

f (x) =

i=0

ai x i

Als Pad´-Approximation bezeichnet man: e

L P

bn x n cv x v

fML (x) =

n=0 M P v =0

deren Taylor-Entwicklung um x = 0 mit der Potenzreihe von f (x) bis einschließlich der (M + L)-ten Potenz ubereinstimmen. ¨

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Allgemein Definition Fakten

Fakten

man kann kein allgemeing¨ltiges Restglied f¨r M und L u u angeben (wie Taylor) O.B.d.A. kann man c0 = 1 annehmen, andernfalls dividiert man Z¨hler und Nenner durch c0 a Je nach Wahl von M und L kann man verschiedene Pad´-Approximationen konstruieren, die die Funktion bis zur e (M + L)-ten Potenz approximieren.

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Hankel-Matrix Berechung

Hankel-Matrix

Hk

(n)

=

cn cn+1 . . .

cn+1 cn+2 . . .

··· ··· ···

Cn+k-1 Cn+k . . . Cn+2k-2

cn+k-1 cn+k

mit (cn ) C einer belebigen Zahlenfolge.

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Hankel-Matrix Berechung

Berechnung

L-M+1 Pad´-Appr. ex. und ist eind. bestimmt det(HM e )=0

Koeffizienten b0 , b1 , . . . bL und c0 , c1 , . . . cM ergeben die L¨sung der e-Gleichungen o Pad´ aL+1 cM aL+2 c L-M+1 M-1 HM . = - . und . . . . aL+M c1 b0 = a0 b1 = a1 + c1 a0 b2 = a2 + c1 a1 + c2 a0 . . .

min(L,M)

bL = aL +

i

ci aL-i

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Einf¨hrung u Berechnung Literatur

Literatur

wolfram.com Uni Kassel www.fullerton.edu Wikipedia (englisch)

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Information

Padé-Approxmation

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