Read Microsoft PowerPoint - KÜMELER ve MANTIK_B1 text version

BÖLÜM 1

Kümeler l

· harfi almanca kökenli (Zahlen)

X bir sonlu küme ise, |X|= X `deki öelerin sayisini gösterir

Tanim 1.1.1: X ve Y herhangi iki küme olsunlar. Eer XY= ise, X ve Y kümelerine ayriktirlar d k l denir. Kümelerden oluan b S k l d l bir kümesinden alinan d l herhangi iki küme aralarinda ayriksa, S kümesine ayrik k k k küme d denir.

Teorem 1.1.2: (Kümeler çin DeMorgan Kurali)

Önermeler

Tanim 1.2.1: Doru ya da yanli bir hüküm bildiren bir ifadeye bir önerme (proposition) denir.

Tanim 1.2.3: p ve q birer önerme olsunlar. p ve q önermelerinin pq ile gösterilen birlemesi (conjuction) b l "p ve q" ile verilen önermedir. l l d p ve q önermelerinin pq ile verilen ayirtlami (disjunction) d "p ya da q" ile verilen önermedir. l l d

Tanim 1.2.4: pq önermesinin doruluk deerleri

p D D Y Y q D Y D Y pq D Y Y Y

doruluk tablosu ile verilir.

Tanim 1.2.5: pq önermesinin doruluk T ö i i d l k deerleri

p D D Y Y q D Y D Y pq D D D Y

doruluk tablosu ile verilir.

p

Tanim 1.2.6: Bir p önermesinin p/ ile gösterilen olumsuzlamasi (negation) "olumsuz p" ile verilen l l l önermedir. önermesinin doruluk deerleri

p D Y p/ Y D

doruluk tablosu ile verilir.

Koullu Ö ll Önermeler l ve Mantiksal Denklik

Tanim 1.3.1: p ve q iki önerme olsun. "eer p ise, q" ifadesine bir koullu önerme denir ve bu kisaca f d b k ll d b k pq ile gösterilir. Burada p önermesine hipotez ve q d h önermesine sonuç önerme denir.

Tanim 1.3.2: pq önermesinin doruluk deerleri

p q pq D D Y Y D Y D Y D Y D D

doruluk tablosu ile verilir.

Tanim 1.3.5: p ve q iki önerme olsunlar "p gerek ve yeter koul q" koullu önermesine çift koullu önerme denir k ll f k ll d ve pq ile gösterilir.

pq önermesinin doruluk deerleri

p D D Y Y q D Y D Y pq D Y Y D

doruluk tablosu ile verilir. d l k bl l l

Tanim 1.3.6: p1,p2,...,pn ö T 6 önermelerinin l i i bilekesinden oluan herhangi iki bileke önerme P ve Q olsunlar olsunlar. p1,p2,...,pn `lerin herhangi doruluk deerleri verildiinde ya P ve Q önermelerinden her ikisi birden doru ya da P ve Q y , önermelerinden her ikisi birden yanli ise, P ve Q önermelerine mantiksal denktir denir ve PQ ile gösterilir. l l

Tanim 1.3.9: pq koullu önermesine tam mantiksal denk olan koullu önermeye devrik önerme d denir ve b bu

qp

ile verilir.

Argümanlar ve Sonuç Çikarim Kurallari

Önermelerin bir dizisinden bir sonuca varma Ö sürecine tümdengelimli sonuç çikarma (deductive reasoning) d d d denir. Verilen önermelere hipotezler denir. Bir sonuç çikarma argümani b k bir sonuç ile l hipotezlerden oluur.

Tanim 1.4.1: Bir argüman p1,p2,...,pn / q eklinde yazilan önermelerin bir dizisidir. kl d l l b d d Burada p1,p2,...,pn `lere hipotezler ve q `ya da bir sonuç d b denir. Eer p1,p2,...,pn `lerin hepsi doru olduunda q önermesi de doru ise argüman geçerlidir. d d ld Aksi halde argüman geçersizdir.

pq p q

argümani geçerli bir argümandi. Bu tür sonuç çikarma kuralina ayrilabilme kurali (low of detachment) ya da koygu kurali (modus ponens) denir

q p

Sonuç Çikarim Kurallari Hangisinden P, P Q P Q, Q / P, PQ P Q P Q P/ P Q P, Q P Q Türetilebilir Kural Adi Modus ponens mp Modus tollens mt Birleim Bi l i Basitletirme Toplama p

Niceleyiciler

Tanim 1.4.1: D bir küme ve xD deikenine bali bir ifade P(x) olsun. Eer herbir x için P(x) bir önermeyse, P'ye ( ) bir önerme fonksiyonu denir.

Tanim 1.4.2: Bir D tanim kümesiyle önerme fonksiyonu P olsun. her x için P(x) ( ) deyimine evrensel niceleyici deyim denir. Bu deyim x P(x) eklinde de yazilabilir. kl d d l bl Eer her xD için P(x) doru ise x P(x) dorudur d d

Tanim 1.4.3: D tanim kümesinden alinan en az bir x için P(x) yanli ise, buna "her x için P(x)" ( ) ifadesinin bir karit örnei (counterexample) denir. D kümesinden alinan en az bir x için P(x) ( ) doru bir önerme ise, bu durumda "D kümesinden alinan b k d l bazi x `l `ler için P(x)" ( )" ifadesi dorudur.

Tanim 1.4.4: D tanim kümesiyle bir önerme fonksiyonu P olsun. bir x için P(x) ( ) deyimine varliksal niceleyici deyim denir. Bu deyim kisaca x P(x) eklinde de yazilabilir kl d d l bl

Örnek 1.4.5: Bazi x gerçel sayilari için Ö

x x2 1 2 5

ifadesi dorudur, çünkü x=2 için

2 22 1 2 5

olmaktadir. l k d

Teorem I.4.6: P bir önerme fonksiyonu olsun. Aaida (a) ve (b) `de verilen her bir önerme çifti ayni doruluk deerlerine sahiptir. a) (xP(x))/ ; xP/( ) ) ( ( )) (x) b) (xP(x))/ ; xP/(x)

Örnek 1.4.7: Örnek "Bazi kular uçamaz" P(x): "x uçabilir" De Morgan Kuralina göre (xP'(x))'=xP''(x)=xP(x) (xP'(x))' xP''(x) xP(x) "Her ku uçabilirdir"

Örnek 1.5.8: Ö Bir P önerme fonksiyonunun tanim kümesi {1,0,1} olsun. l

Kabul edelim ki, x DP(x) doru olsun. Bu K b l d li ki d l B durumda D kümesinden alinan her x için P(x) önermesi dorudur dorudur. Özellikle, eer D kümesinde bir öe d ise, bu durumda P(d) önermesi de dorudur. Böylece gördük ki,

eer dD P(d)

argümani geçerlidir. Bu sonuç kuralina k l evrensel özelletirme d l ll denir.

çikarim

Sonuç Çikarim Kurallari Sonuç Çikarim Kurallari

Nereden ( x)P(x) Türetilebilir t bir deiken ya da sembolik sabit olmak üzere P(t) ( x)P(x) a daha önce kanit dizisinde di i i d kullanilmami olan bir sembolik sabit olmak üzere P(a) P(x) ( x)P(x) ya P(x) y da a bir ( x)P(x) sembolik sabit olmak üzere P(a) Kural Adi Evrensel özelletirme eö

Varliksal özelletirme ­ vö

Evrensel genelletirme eg Varliksal genelletirme vg g g

Örnek 1.5.10: Ö

"Her x gerçel sayisi için, eer x bir tamsayi ise bu durumda x bir rasyonel sayidir. sayisi rasyonel deildir. Bu sebeple bi l d l d ildi B b l bir tamsayi deildir." Eer P(x): "x bir tamsayidir" Q(x): "x rasyoneldir" alinirsa argüman öyle olur:

evrensel özelletirmeyle l ö ll i l atki kurali (modus tollens) ile ( ) argüman geçerlidir. P Q ve Q' ise, P' ,

Ö Örnek 1.5.11: k "Herkez ya elma ya da portakal sever. Emre elma sevmez" P(x) : "x elma sever" Q(x): "x portakal sever" lk hipotez: xP(x)Q(x) Evrensel özelletirme ile P(emre)Q(emre) kinci hipotez P/(emre) Ayrima kiyaslama sonuç çikarma kuralina göre Q(emre) Yani "emre portakal sever".

çiçe Niceleyiciler

"ki pozitif gerçel sayinin toplami pozitifdir" Bu ifadeyi sembolik olarak yazmaya çalialim. Eer x>0 ve y>0 ise x+y>0 dir. Ama burada iki pozitif gerçel sayi var olduundan iki adet niceleyici kullanmaliyiz. P(x,y): (x>0)(y>0)(x+y>0) alinirsa, ifade sembolik olarak l f d b lk l k eklinde yazilabilir. kl d l bl

Çok sayida niceleyici kullanilmasina içiçe niceleyiciler denir. Örnek 1.6.1: "Herkez birilerini sever" " " L(x,y): "x, y `yi sever"

Information

Microsoft PowerPoint - KÜMELER ve MANTIK_B1

40 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

686249