Read GRAEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU text version

GRAEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU ODSEK ZA PLANIRANJE I GRAENJE NASELJA VII semestar URBANA HIDROLOGIJA I METEOROLOGIJA

UVOD U HIDROLOGIJU

Skripta

mr Jasna Petrovi, dipl. inz.

Beograd, 2001.

PREDGOVOR

Ova skripta predstavljaju najvei deo predavanja odrzanih u okvuru predmeta Urbana hidrologija i meteorologija tokom zimskog semestra skolske 2000/2001 godine. Nastala su imajui u vidu slabu pokrivenost ovog predmeta udzbenickom literaturom. Kao takva, predstavljaju obavezni deo programa za ovaj predmet koji studenti treba da savladaju kako bi uspesno polozili ispit. S obzirom na kratak vremenski period u kome su ova skripta nastala, upueniji citaoci sigurno e nai zamerke na obim izlozene materije. Iz istog razloga, autor se izvinjava citaocima ukoliko u tekstu naiu na greske i nekonsistentnosti, i bie zahvalan ako mu se ukaze na sve propuste. U Beogradu, januara 2001. mr Jasna Petrovi

SADRZAJ

PRVI DEO: UVOD U HIDROLOGIJU I URBANU HIDROLOGIJU 1. UVOD ........................................................................................................................... 1 1.1 Predmet hidrologije ........................................................................................... 1.2 Zadatak hidrologije ............................................................................................ 1.3 Hidroloski ciklus ............................................................................................... 1.4 Globalni bilans voda .......................................................................................... 1.5 Uticaj ljudskih aktivnosti na hidroloski ciklus .................................................. 1.6 Specificnosti hidroloskog ciklusa u urbanim sredinama ................................... 1.7 Predmet urbane hidrologije ............................................................................... 1 1 2 3 4 5 6

DRUGI DEO: HIDROLOSKI PROCESI 2. ATMOSFERSKI PROCESI .......................................................................................... 8 2.1 Atmosfera .......................................................................................................... 8 2.2 Suncevo zracenje ............................................................................................... 9 2.3 Vodena para ..................................................................................................... 13 2.4 Temperatura vazduha ...................................................................................... 15 2.5 Atmosferski pritisak ....................................................................................... 15 2.6 Vetar ................................................................................................................ 16 2.7 Isparavanje ....................................................................................................... 18 2.8 Padavine .......................................................................................................... 22 2.8.1 Formiranje padavina ............................................................................. 22 2.8.2 Varijacije padavina ................................................................................ 23 2.8.3 Merenje padavina .................................................................................. 24 2.8.4 Obrada podataka o padavinama ........................................................... 25 3. POTPOVRSINSKI PROCESI .................................................................................... 28 3.1 Zemljisna vlaga ............................................................................................... 3.1.1 Osnovni pojmovi .................................................................................... 3.1.2 Kretanje vode u nezasienoj sredini ...................................................... 3.1.3 Merenje sadrzaja zemljisne vlage i potencijala vode u zemljistu .......... 3.2 Infiltracija ........................................................................................................ 3.3 Podzemne vode ................................................................................................ 28 29 29 30 31 32

4. POVRSINSKI PROCESI ............................................................................................ 34 4.1 Povrsinski oticaj .............................................................................................. 34 4.2 Hidrogrami proticaja u vodotocima ................................................................. 36 4.3 Efektivna kisa i direktni oticaj ......................................................................... 37

4.4 Merenje povrsinskih voda ............................................................................... 4.4.1 Merenje vodostaja .................................................................................. 4.4.2 Merenje brzina ....................................................................................... 4.4.3 Proracun proticaja na osnovu izmerenih brzina ................................... 4.4.4 Kriva proticaja .......................................................................................

38 38 39 40 41

TREI DEO: STATISTICKA ANALIZA U HIDROLOGIJI 5. STATISTICKA ANALIZA U HIDROLOGIJI .......................................................... 43 5.1 Slucajne promenljive i njihove raspodele verovatnoe ................................... 5.1.1 Osnovni pojmovi .................................................................................... 5.1.2 Ucestalost i funkcija raspodele .............................................................. 5.1.3 Statisticki parametri ............................................................................... 5.2 Teorijske raspodele verovatnoe za hidroloske velicine ................................. 5.2.1 Normalna raspodela .............................................................................. 5.2.2 Log-normalna raspodela ....................................................................... 5.2.3 Gama raspodela ..................................................................................... 5.2.4 Pirsonova raspodela III tipa .................................................................. 5.2.5 Log-Pirson III raspodela ....................................................................... 5.2.6 Raspodele ekstremnih vrednosti ............................................................ 5.2.6 Eksponencijalna raspodela .................................................................... 5.2.7 Prilagoavanje teorijske funkcije raspodele .......................................... 5.3 Statisticka analiza hidroloskih nizova ............................................................. 5.3.1 Hidroloski nizovi .................................................................................... 5.3.2 Empirijska raspodela niza ..................................................................... 5.3.3 Povratni period ...................................................................................... 5.3.4 Proracun teorijskih funkcija raspodele .................................................. 5.3.5 Dijagrami verovatnoe .......................................................................... 5.3.6 Testiranje slaganja teorijske i empirijske funkcije raspodele ................ 43 43 45 47 50 50 50 51 52 52 53 53 55 55 56 57 59 59 61 63

CETVRTI DEO: HIDROLOSKE ANALIZE 6. RACUNSKE KISE ..................................................................................................... 65 6.1 Racunske visine kisa i racunski intenziteti kisa ............................................... 65 6.2 Zavisnosti visina (intenzitet) kise ­ trajanje kise ­ povratni period ................ 67 6.3 Racunski hijetogrami ....................................................................................... 69 7. RACUNSKI PROTICAJI ........................................................................................... 71 7.1 Metode za odreivanje merodavnih velikih voda ............................................ 7.2 Odreivanje racunskih proticaja na osnovu racunskih kisa ............................. 7.3 Odreivanje efektivne kise .............................................................................. 7.3.1 Konstantni gubici ................................................................................... 71 73 73 73

7.3.2 Proporcionalni gubici ............................................................................ 7.3.3 Hortonova jednacina ............................................................................. 7.3.4 SCS metoda za efektivnu kisu ................................................................. 7.4 Transformacija efektivne kise u oticaj ............................................................. 7.4.1 Racionalna metoda ................................................................................ 7.4.2 Sinteticki jedinicni hidrogrami .............................................................. 7.4.3 Vreme koncentracije .............................................................................. PRILOG A PRILOG B Statisticke tablice Obracun gubitaka po SCS metodi

74 74 75 77 77 78 81

PRVI DEO UVOD U HIDROLOGIJU I URBANU HIDROLOGIJU

1. UVOD 1.1 Predmet hidrologije Hidrologija se definise kao geofizicka nauka koja proucava vode na Zemlji. Ona se bavi njihovim osobinama, prostornom i vremenskom raspodelom i kretanjem u prirodi. Voda, kao najzastupljenija materija na Zemlji, neprestano kruzi u prirodi izmeu Zemlje i atmosfere. To beskonacno kruzenje vode naziva se hidroloski ciklus. On obuhvata mnogobrojne puteve kojima voda koja pada na povrsinu Zemlje dospeva do okeana, odakle se isparavanjem ponovo vraa u atmosferu i snabdeva je vlagom potrebnom za obnavljanje celog procesa. U tom smislu hidrologija se ponekad definise i kao nauka koja proucava hidroloski ciklus. Meutim, mnoge fizicke, hemijske, bioloske, ali i primenjene naucne discipline se bave pojedinim delovima hidroloskog ciklusa (astronomija, fizika oblaka, meteorologija, klimatologija, ekologija, geografija, hidrologija povrsinskih voda, okeaonografija, geologija i druge). Za hidrotehnicke inzenjere najvazniji deo hidroloskog ciklusa predstavlja njegova zemljisna faza, odnosno vode na kopnu i u tlu, pa se taj deo ciklusa najvise izucava u okviru kurseva hidrologije. Najvee dodirne tacke hidrologija ima sa hidrometeorologijom, koja prevashodno izucava padavine i isparavanje kao dva najznacajnija procesa za vodne resurse na Zemlji. 1.2 Zadatak hidrologije Potrebe coveka za vodom radi odrzanja zivota i proizvodnje hrane postoje jos od nastanka prvih civilizacija. Sa porastom stanovnistva i razvojem drustva potrebe za vodom se stalno poveavaju, a siri se i spektar vidova korisenja vode, u koje spadaju snabdevanje stanovnistva i industrije vodom, navodnjavanje, proizvodnja hidroenergije, rekreacija i drugi. Pored korisenja vode i problema njene raspolozivosti, ljudska civilizacija odavno ima i problem zastite od voda. Poplave su oduvek izazivale velike stete i predstavljale elementarne nepogode. U novije vreme dolazi do izrazaja i trei aspekt odnosa voda i ljudi, a to je pitanje zastite voda, odnosno zastite njenog kvaliteta. Dakle, pored problema raspolozivosti voda, javlja se i problem njihove upotrebljivosti. U svim ovim aspektima ljudi su oduvek zeleli ­ a danas je to neophodno ­ da imaju kontrolu nad vodama: da imaju dovoljno vode za svoje potrebe i da ona pri tome bude zadovoljavajueg kvaliteta, a s druge strane, da se zastite od stetnih dejstava vode. Iz ovih potreba za kontrolom voda nastale su mnoge hidrotehnicke discipline ciji je zadatak da se izgrade objekti koji e omoguiti upravljanje vodama. Zadatak hidrologije je da doprinese analizi problema kolicina, kvaliteta i raspodele voda kako bismo njima upravljali sto uspesnije. Hidrologija je dakle nauka koja nalazi primenu u korisenju i kontroli vodnih resursa na povrsini Zemlje tj. kopnu. Prakticna primena hidrologije moze se nai u inzenjerskim zadacima planiranja, projektovanja i upravljanja radom hidrotehnickih objekata, vodovodnih sistema, precisavanju i ispustanju otpadnih voda, navodnjavanju i odvodnjavanju, korisenju vodnih snaga, zastiti od poplava,

1

plovidbi, eroziji i kontroli nanosa, zastiti od zagaivanja, rekreativnog korisenja voda i zastiti riba i zivog sveta. Uloga primenjene (inzenjerske) hidrologije jeste da dâ konkretne odgovore na pitanja o kolicinama i kvalitetu vode u okviru ovih inzenjerskih zadataka i da obezbedi osnovu za planiranje vodoprivrednih sistema i njihovo upravljanje. 1.3 Hidroloski ciklus Voda na Zemlji nalazi se u prostoru koji se naziva hidrosfera i koji se prostire oko 15 km navise u atmosferu i oko 1 km nanize u litosferu, odnosno Zemljinu koru. Voda u hidrosferi kruzi kroz lavirint puteva koji cine hidroloski ciklus (slika 1). Ovaj ciklus predstavlja jedan zatvoren sistem koji nema pocetak ni kraj i u kome se razni procesi neprekidno odvijaju. Pokretacka snaga kruzenja vode u prirodi je energija suncevog zracenja. Najvei deo vode na Zemlji nalazi se u okeanima (tabela 1), pa je logicno da razmatranje hidroloskog ciklusa pocnemo od njih. Povrsine okeana i mora se zagrevaju pod uticajem toplotne energije suncevog zracenja tako da dolazi do procesa isparavanja vode. Voda koja isparava postaje deo atmosfere u vidu vodene pare (cest naziv je i atmosferska vlaga). Zajedno sa kretanjem vazdusnih masa u okviru atmosferskih cirkulacija, kree se i vodena para pri cemu se formiraju oblaci. Pod povoljnim atmosferskim uslovima, u oblacima dolazi do kondenzacije i stvaraju se padavine. Padavine se vraaju u okeane ili direktno ili zaobilaznim putem preko kopna. Sneg se moze akumulisati u polarnim predelima ili na visokim planinama i pretvoriti u led, a u tom stanju moze ostati veoma dugo. U toplijim krajevima, kisa se moze zadrzati na vegetaciji (proces intercepcije), odakle se deo zadrzane vode moze odmah vratiti u atmosferu ispravanjem. Kisa koja dospe do povrsine zemlje moze formirati povrsinski oticaj ili se moze infiltrirati u zemljiste. Voda koja se

atmosferska vlaga

padavine na kopno

padavine na okeane

isparavanje sa kopna povr{inski oticaj infiltracija nepropusno tlo zemlji{na vlaga isparavanje i transpiracija isparavanje sa okeana

podpovr{inski tok podzemne vode

povr{inski tokovi podzemni tok

Slika 1. Hidroloski ciklus.

2

infiltrarala doprinosi poveanju sadrzaja zemljisne vlage i ima vise mogunosti za dalje putovanje. Tu vodu mogu trositi biljke koje e je kasnije vratiti u atmosferu kroz proces transpiracije. Infiltrarirana voda moze tei kroz nezasiene slojeve tla kao potpovrsinski oticaj i dospeti do reka nesto sporije nego povrsinskim oticanjem. Iz nezasienih slojeva tla voda se moze procediti u dublje slojeve (proces perkolacije). Na taj nacin voda dospeva do nivoa podzemnih voda, tj. do zasienog tla, a zatim se ponovo moze pojaviti na povrsini u obliku izvora ili moze tei kao podzemni oticaj i prihranjivati povrsinske vode. Povrsinski, potpovrsinski i podzemni oticaj se spajaju u povrsinskim tokovima ­ rekama i potocima ­ koji se mogu privremeno zadrzavati u jezerima, ali konacno opet dospevaju do okeana kako bi se hidroloski ciklus nastavio. 1.4 Globalni bilans voda Procena ukupne kolicine vode na Zemlji u razlicitim oblicima tema je mnogih naucnih istrazivanja jos od druge polovine 19. veka. Meutim, kvantitativni podaci se tesko dobijaju, narocito iznad okeana, tako da su precizne ocene kolicina vode u razlicitim fazama hidroloskog ciklusa jos uvek nepoznate. Prema nekim izvorima (Chow, 1988), ukupna kolicina voda na Zemlji se procenjuje na oko 1386 miliona km3. Oko 96.5% ukupne vode na Zemlji nalazi se u okeanima (tabela 1). Kada bi Zemlja bila pravilna lopta, ova kolicina vode bi bila dovoljna da je pokrije do dubine od 2.6 km. Od preostale vode, 1.7% nalazi se zarobljeno u ledu u polarnim predelima, 1.7% u podzemnim vodama i svega 0.1% se nalazi u povrsinskim vodama i atmosferskoj vodi. Od ukupnih kolicina vode, svega 2.5% su slatke vode, dok su ostale slane. Dve treine slatke vode se nalazi u polarnom ledu, a veina preostale treine u podzemnim vodama na dubinima od 200 do 600 m. Ispod ove dubine veina podzemnih voda je slana. U povrsinskim vodama se nalazi 0.3% slatkih voda, od cega je u rekama svega 0.03%, a ostalo u jezerima. Iako je sadrzaj vode na kopnu i u atmosferi u jednom trenutku relativno mali, ogromne kolicine vode prolaze kroz njih tokom jedne godine. Globalni godisnji bilans voda je prikazan u tabeli 2, gde se moze videti da 57% padavina na kopno ispari, dok preostalih 43% formira oticaj ka okeanima, veinom u obliku povrsinskih voda. U ukupnom isparavanju koje formira atmosfersku vlagu, 90% je isparavanje sa okeana, a svega 10% sa kopna. Tabela 1. Procena kolicina vode na Zemlji.

Mesto Okeani Polarni led Ostali led i sneg Podzemne vode slatke slane Jezera slatka slana Mocvare Zemljisna vlaga Reke Bioloska voda Atmosferska voda Ukupno vode Ukupno slatke vode Povrsina (miliona km2) 361.3 16.0 0.3 134.8 134.8 1.2 0.8 2.7 82.0 148.8 510.0 510.0 510.0 148.8 Zapremina (km3) 1,338,000,000 24,023,500 340,600 10,530,000 12,870,000 91,000 85,400 11,470 16,500 2,120 1,120 12,900 1,385,984,610 35,029,210 Procenat ukupne vode 96.5 1.7 0.025 0.76 0.93 0.007 0.006 0.0008 0.0012 0.0002 0.0001 0.001 100 2.5 Procenat ukupne slatke vode 68.6 1.0 30.1

0.26 0.03 0.05 0.006 0.003 0.04 100

3

Tabela 2. Globalni godisnji bilans voda.

Okeani Povrsina Padavine Isparavanje Oticaj (miliona km ) (km /god) (mm/god) (km3/god) (mm/god) (km3/god) (mm/god)

3 2

Kopno 149 107000 720 61000 410 46000 310

Ukupno 510 512000 1000 512000 1000

361 405000 1120 451000 1250

Analiza vode u globalnom vodnom bilansu daje uvid u dinamiku hidroloskog ciklusa. Tako se, na primer, moze izracunati vreme koje voda provede u vidu atmosferske vlage. Iz tabele 1 moze se videti da ukupna zapremina atmosferske vlage iznosi 12900 km3. S druge strane, iz tabele 2 se vidi da se ukupno 512000 km3 atmosferske vlage godisnje pretvori u padavine, odnosno da fluks atmosferske vlage iznosi 512000 km3 /god. Prosecno vreme zadrzavanja vode u atmosferi moze se izracunati kao odnos zapremine i fluksa atmosferske vlage, dakle kao 12900 / 512000, sto iznosi 0.025 godina ili oko 9 dana. Ovako kratko zadrzavanje vode u atmosferi je jedan od razloga zasto se tacne vremenske prognoze ne mogu praviti za vise dana unapred. Na slican nacin mogu se izracunati i vremena zadrzavanja vode u drugim fazama hidroloskog ciklusa. 1.5 Uticaj ljudskih aktivnosti na hidroloski ciklus U globalnom hidroloskom ciklusu ukupna kolicina vode uglavnom ostaje konstantna. Meutim, globalni hidroloski ciklus nije samo jedan veliki ciklus, ve je sastavljen od vise meusobno povezanih ciklusa kontinentalne, regionalne ili lokalne razmere. Zbog toga se raspodela vode na kontinentima i unutar slivnih povrsina stalno menja, sto se ispoljava i kroz prostorne i kroz vremenske varijacije. Pored prirodnih varijacija u raspodeli voda, i ljudske aktivnosti uticu na vodni rezim. Ljudi obrauju zemlju, navodnjavaju biljke, ubre zemljiste, krce sume, crpe podzemne vode, grade brane, bacaju otpatke u reke i jezera, i rade mnoge druge konstruktivne ili destruktivne stvari koje menjaju dinamicku ravnotezu hidroloskog ciklusa i iniciraju nove procese. Tu spada i proces urbanizacije, jer su izgraeni gradovi i naselja na mestima gde su nekad bile ruralne povrsine. Urbane sredine su postale mesta gde hidroloski ciklus ima odreene specificnosti. Iako se uticaj ljudskih aktivnosti i promena namene zemljisnih povrsina sve vise razmatra u okviru hidrologije u poslednje vreme, jedino je urbanizacija dovela do priznavanja nove grane ­ urbane hidrologije. Izgradnjom hidrotehnickih objekata hidroloski ciklus se menja utoliko sto se voda ne kree svojim prirodnim putevima, ve onim koji su joj nametnuti. To je ilustrovano primerom na slici 2, gde je prikazan vodotok iz koga se voda zahvata za razlicite namene. Zahvatanje vode se moze vrsiti direktno iz vodotoka ili iz akumulacija. Na sisteme za navodnjavanje poljoprivrednih povrsina voda se dovodi da bi se dalje upijala u zemljiste i da bi je biljke koristile za transpiraciju. Voda se moze zahvatati i za potrebe industrije, odakle se posle prerade ponovo ispusta u vodotok; osnovni problem kod ispustanja industrijskih otpadnih voda je njihov poslovicno visok sadrzaj zagaujuih materija. Voda namenjana snabdevanju naselja moze se zahvatati iz vodotoka i akumulacija, ali se moze i crpeti iz podzemnih voda pomou bunara. Upotrebljene vode iz naselja, kao i kisne vode prikupljene sa ulica, odvode se iz naselja kanalizacionim sistemom i ispustaju u vodotoke. Voda u akumulacijama se koristi i za proizvodnju elektricne energije u hidroelektranama.

4

Akumulacije drasticno menjaju vremensku raspodelu voda na slivu. Njihov rezim rada zavisi od njihove namene (postoje jednonamenske i visenamenske akumulacije), ali im je uvek cilj da izravnaju neravnomernosti u prirodnom rezimu voda. Skoro svaka akumulacija se koristi za zastitu od poplava kao "objekat" za ublazavanje poplavnih talasa: zadrzavanjem poplavnog talasa u akumulaciji smanjuju se maksimalni proticaji i produzava se vreme ispustanja vode ka nizvodnim oblastima. S druge strane, akumulacije obezbeuju neophodne minimume vode za nizvodne korisnike u periodima suse.

Snabdevanje naselja vodom Navodnjavanje akumulacija Snabdevanje industrije vodom

Proizvodnja elektri~ne energije rezervoar Snabdevanje naselja vodom

Odvo| enje otpadnih voda

Navodnjavanje

vodotok Odvo| enje otpadnih voda

Slika 2. Primeri za izmenu rezima voda pod uticajem ljudskih aktivnosti.

1.6 Specificnosti hidroloskog ciklusa u urbanim sredinama Ako se detaljnije razmatra jedna urbana sredina, mogu se uociti jos neki aspekti promene prirodnog rezima voda. Osnovna karakteristika urbanih sredina jeste znacajno uveano ucese nepropusnih povrsina (ulica, krovova i velikih poplocanih ili asfaltiranih povrsina). Prirodni putevi dreniranja voda se menjaju i dopunjuju kanalizacionim sistemima, dok se efekti plavljenja ublazavaju retenzionim prostorima i drugim merama odbrane od poplava. U pocetnim fazama urbanog razvoja upotrebljene vode iz domainstava odvode se u septicke jame, a sa daljim razvojem grade se sistemi kolektora za prikupljanje otpadnih voda. Sto je urbana sredina razvijenija, to je vei procenat stanovnistva koji je prikljucen na kanalizacioni sistem. Kanalisanje upotrebljenih voda i kanalisanje kisnih voda moze se sprovoditi kroz zajednicke kolektore (opsti sistem kanalisanja) ili kroz odvojene kolektore (separacioni sistem kanalisanja). Istorijski gledano, najpre su graeni opsti sistemi, a zatim separacioni. S obzirom da upotrebljene vode iz domainstava i industrije, ali i kisnica, sadrze znatne kolicine zagaujuih materija, u najveem broju slucajeva je neophodno da se otpadne vode odvode na postrojenja za precisavanje gde se do odreenog stepena oslobaaju zagaujuih materija, a da se zatim ispustaju u lokalne vodotoke ili cak u mora i okeane. Na pocetku urbanog razvoja vodovodni sistemi se snabdevaju iz lokalnih izvora povrsinskih i podzemnih voda, ali se sa porastom stanovnistva i potreba za vodom dalje snabdevanje cesto mora obezbeivati i sa udaljenih lokacija. Zato se i vodosnabdevanje i kanalisanje otpadnih voda cesto prostiru i izvan neposrednih granica urbane sredine.

5

1.7 Predmet urbane hidrologije Dva aspekta urbanizacije koji imaju najocigledniji uticaj na hidroloske procese jesu poveanje broja stanovnika i poveanje gustine naseljenosti odnosno izgraenosti. Posledice takvih promena shematski su prikazane na slici 3. Poveanje broja stanovnika dovodi do poveanja potreba za vodom. Sa porastom zivotnog standarda ove potrebe se jos vise uveavaju. Problem obezbeivanja adekvatnih (po kolicinama i kvalietetu) vodnih resursa je prvi glavni hidroloski problem u urbanim sredinama. Sa poveanjem broja stanovnika poveava se kolicina otpadnih voda, narocito kada su kanalizacioni sistemi ve izgraeni. Sto je vei procenat stanovnistva prikljucenog na kanalizacioni sistem, vee su kolicine otpadnih voda. Ispustanjem otpadnih voda u vodotoke pogorsava se kvalitet voda u vodotocima. S druge strane, poveana izgraenost uzrokuje vei procenat nepropusnih povrsina, izmenu prirodnog sistema dreniranja i promenu mikroklime. Zbog poveane nepropusnosti vei deo pale vode se pretvara u oticaj u poreenju sa uslovima pre urbanizacije, dok se manja kolicina vode infiltrira. Zbog izgradnje kisnih kolektora, regulisanja prirodnih vodotoka ili cak zacevljenja manjih potoka, vode sa gradskih slivova se znatno brze odvode. Vee su brzine tecenja, a skrauje se vreme oticanja. Posto se vee zapremine vode odvode za krae vreme, maksimalni proticaji su neumitno vei. Poveani proticaji i zapremine vode ka problemu plavljenja urbanih sredina, sto je drugi glavni hidroloski problem u urbanim sredinama.

URBANIZACIJA

povean broj stanovnika

poveana izgraenost

poveane potrebe za vodom

poveane otpadne vode

poveane nepropusne povrsine

izmena prirodnog sistema odvodnjavanja

promena mikroklime

obezbeenje potreba za vodom

smanjena infiltracija i prihranjivanje podzemnih voda

povean oticaj

poveana brzina tecenja

smanjeni bazni protoci u rekama

poveana erozija

smanjenje vremena oticanja

pogorsan kvalitet vode u vodotocima

poveani maksimalni proticaji

ZASTITA OD ZAGAENJA

ZASTITA OD PLAVLJENJA

Slika 3. Uticaj urbanizacije na hidroloske procese.

6

Poveeane brzine i povean oticaj stvaraju i problem poveane erozije. Materijal koji se spira sa ulica i drugih gradskih povrsina zavrsava u kanalizacionom sistemu i utice na probleme kvaliteta voda u vodama-prijemnicima. Promene mikroklime u urbanim sredinama mogu na prvi pogled izgledati nevazno u poreenju sa promenama u hidroloskom ciklusu koje donosi urbanizacija. Ipak, odreenu paznju bi trebalo posvetiti posledicama promena klime kada su pitanju parametri od znacaja za projektovanje infrastrukture. Na primer, ako je uocen trend poveanja intenziteta padavina, to e za posledicu imati potrebu da se utvri vei stepen zastite od oticaja kisnih voda. Pored ve pomenutih efekata urbanizacije na kvalitet voda, postoji i efekat smanjene infiltracije, a time i smanjeno prihranjivanje podzemnih voda. S obzirom da se tokom susnih perioda bazni proticaji u prirodnim vodotocima formiraju iz podzemnih rezervoara vode, moze se ocekivati smanjenje baznih proticaja i malih voda. Nazalost, ovo smanjenje kolicina vode u kombinaciji sa istim ili cak i poveanim kolicinama otpadnih voda daje kao rezultat poveane koncentracije zagaujuih materija u vodotocima. Na zalost, ovakva situacija se ne ublazava mnogo u kisnim periodima. Zajedno sa oteklom kisnom vodom u vodotoke dospeva i sav materijal koji je spran sa ulica, krovova i drugih povrsina, pa cak i deponija cvrstog otpada. Odlaganje cvrstog otpada na deponije ima negativan uticaj i na kvalitet podzemnih voda. Problem degradacije kvaliteta i povrsinskih i podzemnih voda u urbanim sredinama je trei glavni hidroloski problem. Dakle, osnovni hidroloski problemi urbanih sredina, nastali kao posledica urbanizacije, jesu: - vodosnabdevanje, odnosno obezbeivanje dovoljnih kolicina vode odgovarajueg kvaliteta; - zastita od plavljenja kisnim vodama; - zastita voda od zagaenja. Od ova tri problema, prvi ­ vodosnabdevanje ­ predstavlja siri vodoprivredni problem i izlazi iz okvira inzenjerske hidrologije. Preostala dva problema, zastita od plavljenja i zagaenja, imaju svoje specificnosti u urbanoj sredini i predstavljaju glavni predmet izucavanja u urbanoj hidrologiji.

7

DRUGI DEO HIDROLOSKI PROCESI

2. ATMOSFERSKI PROCESI 2.1 Atmosfera Atmosfera predstavlja vazdusni omotac oko Zemlje. Ona nema izrazenu gornju granicu jer gustina vazduha postepeno opada sa udaljavanjem od Zemlje i na 600 km postaje beznacajna. Na visini od 300 km ima dovoljno vazduha koji se suprotstavlja meteorima i tera ih da se uzare. Meutim, 90% mase vazduha nalazi se ispod visine od 20 km, a dve treine ispod najvise tacke na svetu ­ Mont Everesta ­ na visini od 9 km.

Visina (km) Pritisak (mb) 10-4 100 10-9 90 10-3 Termosfera Gustina (kg/dm3)

80

10-2

Mezopauza

70 10 60

-1

10-7 Mezosfera

50

1

10-6 Stratopauza

40 10 30 10-4

Cirus Mont Everest 8882 m

Stratosfera

20

10

2

10 103 10-3

Tropopauza Troposfera

Kumulonimbus

0

Ozonosfera

10-5

-100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10

0

10

20

30

oC

Slika 4. Promena temperature vazduha u atmosferi sa udaljavanjem od Zemlje.

8

Gustina i pritisak vazduha u atmosferi konstantno opadaju sa poveanjem visine; to opadanje je veoma brzo na prvih 20-30 km visine (i gustina i pritisak opadnu za dva reda velicine), a zatim je sporije. S druge strane, temperatura se menja na nepravilan nacin (slika 4). Prema ovom temperaturnom profilu atmosfera se deli na vise slojeva. Najnizi deo atmosfere je troposfera u kojoj temperatura opada sa visinom. Granica troposfere se naziva tropopauza, gde dolazi do promene gradijenta temperature. Temperatura vazduha u troposferi opada sa gradijentom koji zavisi od sadrzaja vlage u atmosferi. U proseku, taj gradijent iznosi 6.5oC po kilometru visine. Visina tropopauze se kree od 16 km na ekvatoru do 8 km na polovima, a prisutne su i sezonske varijacije usled promene pritiska i temperature. U nacelu, tropopauza e biti na veoj visini ako su temperatura na povrsini i pritisak na nivou mora visoki. Temperatura na tropopauzi varira od ­80 oC iznad ekvatora gde je tropopauza najvisa, do ­40oC iznad delova kopna koji se protezu ka arktickim predelima (kao sto su Sibir i Kanada) gde je tropopauza najniza. Troposfera je najvazniji sloj za hidrologe, jer on sadrzi prakticno svu atmosfersku vlagu. Sloj iznad tropopauze naziva se stratosfera, a u njemu su temperature i kretanje vazduha ravnomerniji. Na visinama od 20 do 50 km temperature rastu usled toga sto sloj ozona apsorbuje deo suncevog zracenja i oslobaa deo energije u vidu toplote. Sastav atmosfere. U atmosferi ima najvise azota i kiseonika, a nesto manje argona i drugih gasova (tabela 3). To su nepromenljivi sastojci atmosfere. Meu sastojcima cija je zastupljenost promenljiva najvaznija je voda, koja se moze javiti u sva tri agregatna stanja. Ozon i ugljen-dioksid su vazni gasoviti sastojci, a njihove kolicine se mogu menjati u sirokim granicama. Ozon je vazan jer filtrira suncevu radijaciju, odnosno sprecava ultraljubicasto zracenje da dospe do povrsine Zemlje, dok ugljen-dioksid i vodena para apsorbuju zracenje sa Zemlje (ovom apsorpcijom se poveava temperatura atmosfere). Kolicina ugljen-dioksida zavisi od njegove potrosnje na vegetaciji, od apsorpcije na okenima, od produkcije u zivotinjskom svetu i tokom sagorevanja fosilnih goriva. Promene kolicina ozona i ugljen-dioksida i njihov uticaj na kolicine i raspodele voda na Zemlji tema su mnogih istrazivanja izmena u globalnoj klimi. Na primer, postoje teorije da se kolicina ugljendioksida u atmosferi poveava zbog sagorevanja fosilnih goriva, sto moze dovesti do zagrevanja Zemlje, promene u rezimu padavina i isparavanja i uopste do dramaticne promene klime na Zemlji. Cvrste cestice u atmosferi su cestice prasine, dima, soli i mikroorganizmi. Na njima se suncevo zracenje rasipa i reflektuje u razlicitim delovima svetlosnog spektra sto daje razlicite boje nebu. Ove cestice imaju ulogu i u kondenzaciji vodene pare, formiranju oblaka i nastanku padavina. Tabela 3. Glavni sastojci vazduha.

Sastojak Azot Kiseonik Argon Inertni i drugi gasovi Procentualna zastupljenost u masi 75.51 23.15 1.28 0.06

2.2 Suncevo zracenje Suncevo zracenje je glavni izvor energije na povrsini Zemlje. Ono je pokretacka snaga hidroloskog ciklusa. Sunce emituje energiju u svemir u obliku kratkih elektromagnetnih talasa. U atmosferi ovo zracenje najveim delom pripada talasnim duzinama od 0.17 do 4 mikrona, sa maksimumom na 0.475 mikrona

9

(slika 5). Jacina Suncevog zracenja zavisi od talasne duzine zracenja: najjace zracenje pripada delu spektra vidljive svetlosti (od 0.4 do 0.7 mikrona). Polovina ukupne energije koju Sunce emituje pripada upravo ovom delu spektra, a ostatak ultraljubicastom i infracrvenom delu.

Ja~ina Sun~evog zra~enja (kW/m2) 10 000 ultraljubi~asto

0

0.5

1.0 1.5 2.0 Talasna du`ina (mikrona)

infracrveno

5 000

vidljivo

2.5

Slika 5. Spektar Suncevog zracenja. Suncevo zracenje na granici atmosfere u jedinici vremena na jedinicnu povrsinu upravnu na pravac Suncevih zraka i na prosecnoj udaljenosti od Zemlje iznosi 1.39 kW/m2 (1.39 kJ/s/m2). Ova velicina se naziva solarna konstanta. Naravno, jacina Suncevog zracenja zavisi od pozicije Zemlje u odnosu na Sunce. Zbog kruzenja Zemlje oko Sunca i okretanja oko sopstvene ose, menja se odstojanje Zemlje od Sunca i visina Sunca iznad razmatrane tacke na Zemlji, cime se uslovljavaju varijacije Suncevog zracenja po godisnjim dobima i po geografskim sirinama. Kolicina energije koja dospeva do neke tacke na Zemlji zavisi i od duzine dana, koja takoe zavisi od godisnjeg doba i geografske sirine. Samo jedan deo energije koju Sunce emituje dospeva do Zemlje kao direktno zracenje; preostali deo se reflektuje, apsorbuje ili rasipa u atmosferi ili na povrsini Zemlje. Smatra se da u prosecnim uslovima 43% Suncevog zracenja dospe do povrsine Zemlje, 42% se reflektuje ili rasipa nazad u svemir, a 15% se apsorbuje u atmosferi (slika 6). Kolicine reflektovanog, rasutog i apsorbovanog zracenja zavisie od sastava atmosfere i vrste povrsine na Zemlji do koje zracenje stize.

SVEMIR Dolaze}e sun~evo zra~enje 100 Rasipanje u vazduhu Refleksija od oblaka Odlaze}e zra~enje Kratkotalasno 42 Dugotalasno 58

A TMOSFERA Apsorpcija na 15 vodenoj pari, pra{ini, ozonu Apsorpcija na oblacima Apsorpcija

Neto emisija od vodene pare i ugljen-dioksida Emisija Apsorpcija na od oblaka vodenoj pari i ugljen-dioksidu Latentna toplota Vidljiva (osetna) Neto emisija toplota dugotalasnog zra~enja

Refleksija od povr{ine zemlje

OKEANI I KOPNO 43 43

Slika 6. Bilans zracenja (toplotne energije) u atmosferi. Procenat reflektovanog zracenja u odnosu na ukupno zracenje naziva se albedo (r), cije se vrednosti kreu izmeu 0 i 1. Beli oblaci i beo sneg reflektuju veliki procenat dolazeeg zracenja, pa je njihova vrednost albeda cak i 0.9. S druge strane, tamne povrsine dubokih mora apsorbuju veinu zracenja i imaju albedo skoro jednak nuli. U tabeli 4 date su vrednosti albeda za neke vrste povrsina.

10

Tabela 4. Vrednosti albeda za neke vrste povrsina. Vrsta povrsine Albedo Gusta i tamna suma 0.05 Trava 0.23 Golo zemljiste 0.10 ­ 0.20 Sneg 0.46 ­ 0.81 Vodena povrsina 0.04 ­ 0.39 Kolicina apsorpcije zracenja zavisi od sastava atmosfere. U apsorpciji narocitu ulogu imaju vodena para i ugljen-dioksid. Od njihovih kolicina u atmosferi, koje mogu biti veoma razlicite, zavisi i kolicina apsorbovanog zracenja. Zbog toga u danima sa malom vlaznosu vazduha Sunce "jace pece", a u vlaznim danima slabije. U proseku, vodena para apsorbuje 11% direktnog zracenja, a ostali gasovi oko 4%. Kratkotalasno dolazee Suncevo zracenje se teze apsorbuje od dugotalasnog odlazeeg zracenja Zemlje, sto je jedan od uzroka tzv. efekta staklene baste. Rasipanje zracenja u atmosferi je posledica prisustva cestica manjih od talasne duzine zracenja. U proseku, oko 9% dolazeeg zracenja se rasipa nazad u svemir, dok dodatnih 16% rasutog zracenja dospeva do Zemlje kao difuzno zracenje. Najlakse se rasipa plava svetlost, zbog cega nebo dobija plavu boju. Tokom izlaska i zalaska Sunca opticka putanja je najduza, pa se plava svetlost rasipa od zemlje, a crvenkasta svetlost se direktno prima. Deo zracenja koji dospeva do povrsine Zemlje pripada delu spektra sa kratkim talasnim duzinama. Njegovom apsorpcijom na povrsini Zemlje dolazi do zagrevanja kopna i mora. Temperatura Zemlje u proseku iznosi 294 K, tako da i ona zraci. Njeno zracenje je dugotalasno i slabije (zbog manjih temperatura nego na Suncu). Opseg talasnih duzina Zemljinog zracenja je od 4 do 80 mikrona, sa maksimumom na 10 mikrona. Vodena para u atmosferi narocito apsorbuje zracenja talasnih duzina od 5.5 do 7 mikrona i preko 27 mikrona, ali propusta talase izmeu 8 i 13 mikrona. Merenje radijacije. Suncevo zracenje se moze meriti radiometrima, aktinometrima ili piroheliometrima. Radiometri mere suncevo zracenje ako se zaklone sa donje strane; ako se zaklone sa gornje strane, onda mere Zemljino zracenje. Bez zaklona, radiometri e meriti neto radijaciju, odnosno razliku izmeu Sunceve i Zemljine radijacije. Proracun neto zracenja na povrsini Zemlje. Neto radijacija koju prima povrsina Zemlje moze se formulisati bilansnom jednacinom:

Rn = Rns - Rnl

To je razlika neto kratkotalasnog suncevog (dolazeeg) zracenja Rns i neto dugotalasnog zemljinog (odlazeeg) zracenja Rnl. Kratkotalasna sunceva radijacija koja stize na povrsinu zemlje Rs zavisi od zracenja na granici atmosfere Ra i relativne insolacije (osuncanosti) n/N:

n R s = a + b Ra N

gde su a i b empirijski koeficijenti (obicno a = 0.25 i b = 0.5). Zracenje na granici atmosfere Ra zavisi od geografske sirine i godisnjeg doba (slika 7), a racuna se na osnovu astronomskih proracuna pozicije Sunca u odnosu na Zemlju. Relativna insolacija je odnos stvarnog trajanja suncevog zracenja n (koje se dobija merenjima) i prosecne duzine dana odnosno prosecno maksimalno mogue trajanje suncevog zracenja N koje takoe zavisi od geografske sirine i godisnjeg doba (slika 8).

11

600 40oS 500 20oS ekvator

400

Ra (W/m2)

300

20oN

200 40oN 100

0 Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Avg Sep Okt Nov Dec

Slika 7. Suncevo zracenje na granici atmosfere.

16 15 14 13 12 11 10 9 8 Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Avg Sep Okt Nov Dec 40oN 20oS

40oS

N (sati na dan)

ekvator

20oN

Slika 8. Duzina dana ili potencijalno dnevno trajanje suncevog zracenja. Deo dolazeeg zracenja koji se reflektuje od povrsine Zemlje odreuje se pomou koeficijenta refleksije odnoso albeda r, koji zavisi od vrste povrsine. Neto kratkotalasno suncevo zracenje tada je jednako:

Rns = (1 - r ) Rs

U bilans dugotalasnog zracenja ulazi dugotalasno zracenje koje emituje Zemlja Rle i dugotalasno zracenje atmosfere Rla koje je posledica njenog zagrevanja kratkotalasnim suncevim zracenjem i koje dospeva do povrsine zemlje:

Rnl = Rle - Rla

12

Za ova dugotalasna zracenja moze se primeniti Stefan-Bolcmanov zakon po kome je Rl = Ta4 , gde je

Ta apsolutna temperatura povrsine koja emituje zracenje u kelvinima, Stefan-Bolcmanova konstanta (koja iznosi 5.67 10-8 Wm-2K-4 ili 4.903 10-3 Jm-2K-4 dan-1), a koeficijent emisivnosti kojim se uzima u obzir uticaj prisustva oblaka i apsorpcije na vodenoj pari i ugljen-dioksidu. Empirijska relacija kojom se racuna neto dugotalasno zracenje glasi:

n Rnl = Ta4 (0.34 - 0.044 ea ) 0.1 + 0.9 N

gde je ea vlaznost vazduha odnosno stvarni pritisak vodene pare u mb i n/N relativna insolacija.

2.3 Vodena para Voda u atmosferi uglavnom se nalazi u gasovitom stanju u vidu vodene pare. Voda u tecnom stanju moze se pojaviti kao kisa ili kao kapljice vode u oblacima, a u cvrstom stanju kao sneg, grad ili kristali leda u oblacima. Sadrzaj vodene pare u vazduhu ili vlaznost vazduha moze se okarakterisati na vise nacina. Apsolutna vlaznost vazduha je u stvari gustina vodene pare v, odnosno masa vodene pare u jedinici zapremine vazduha na datoj temperaturi. Gustina vlaznog vazduha a je zbir gustina suvog vazduha sv i vodene pare v:

a = sv + v

(1)

Odnos gustine vodene pare v i gustine vazduha a predstavlja masu vodene pare u jedinici mase vlaznog vazduha i naziva se specificna vlaznost (q):

q=

v a

Pritisak vodene pare je takoe mera sadrzaja vodene pare u vazduhu. Prema zakonu idealnog gasa parcijalni pritisak vodene pare e dovodi se u vezu sa gustinom vodene pare v i temperaturom T:

e = v Rv T

(2)

gde je Rv je gasna konstanta vodene pare, a T apsolutna temperatura (u K). Slicne jednacine mogu se napisati i za vlazan vazduh i za suv vazduh. Ako je pritisak vlaznog vazduha p, onda je pritisak suvog vazduha p ­ e, pa se moze napisati:

p = a Ra T p - e = sv R sv T

(3) (4)

gde su Ra i Rsv gasne konstante vlaznog i suvog vazduha. Gasna konstanta suvog vazduha iznosi 287 Jkg-1K-1, a njen odnos sa gasnom konstantom vodene pare je:

Rv =

Rsv 0.622

gde je 0.622 odnos molekulske tezine vodene pare i prosecne molekulske tezine suvog vazduha. Vazduh je zasien (saturisan) kada sadrzi maksimalnu moguu kolicinu vodene pare pri odreenoj temperaturi. Odgovarajui pritisak es naziva se pritiskom vodene pare pri zasienju (cesto se moze cuti i naziv "pritisak zasiene vodene pare"). Odnos izmeu pritiska vodene pare pri zasienju i temperature vazduha prikazan je na slici 9; na visim temperaturama dolazi do zasienja pri veem sadrzaju vlage i obrnuto. Dakle, na nekoj temperaturi T do zasienja dolazi pri pritisku vodene pare es; ako se pritisak

13

povea iznad es, doi e do kondenzacije (odnosno do sublimacije pri temperaturama ispod 0oC). Zavisnost pritiska vodene pare pri zasienju od temperature moze se izraziti i analiticki:

17.27T es = 611exp 237.3 + T

gde se temperatura unosi u oC, a es dobija u Pa. Gradijent krive pritiska vodene pare pri zasienju je onda:

=

des 4098es = dT (237.3 + T ) 2

80 pritisak vodene pare (mb) 70 60 50 40 30 20 10 0 -20 -10 0 10

o

es e Td 20

(e , T ) T 30 40

temperatura ( C)

Slika 9. Zavisnost pritiska vodene pare pri zasuenju od temperature na povrsini vode.

Relativna vlaznost vazduha je najcese korisena mera sadrzaja vlage u atmosferi i definise se kao odnos stvarnog pritiska vodene pare i pritiska pri zasienju:

R=

e es

Drugim recima, to je odnos stvarne kolicine vlage u vazduhu i kolicine vlage potrebne za zasienje vazduha na istoj temperaturi. Ovaj odnos se izrazava u procentima. Ljudski organizam tesko podnosi visoku relativnu vlaznost, narocito ako je udruzena sa visokim temperaturama. Temperatura na kojoj e doi do zasienja mase nezasienog vazduha ukoliko se ona hladi pri konstantnom pritisku vodene pare, naziva se tacka rose (Td). Drugim recima, ako pri nekom pritisku vodene pare e temperatura opadne sa T na Td, taj pritisak predstavlja pritisak vodene pare u vazduhu pri zasienju. Pri daljem hlaenju vazduha dolazi do kondenzacije vodene pare. Deficit saturacije je razlika izmeu pritiska vodene pare pri zasienju es na temperaturi T i stvarnog pritiska vodene pare e. Deficit saturacije es ­ e je prakticno kolicina vodene pare koju vazduh moze da primi pri temperaturi T pre nego sto postane zasien. Kolicina vodene pare u atmosferi direktno je povezana sa temperaturom vazduha. Na manjim tempraturama, tj. na veim visinama, sadrzaj vodene pare je manji. Raspodela vodene pare na Zemljinoj povrsini takoe varira sa temperaturom; najmanja je na polovima, a najvea u ekvatorijalnim predelima. Merenje vlaznosti vazduha. Vlaznost vazduha se najcese meri pomou suvog i vlaznog termometra. Kombinacija ova dva termometra cesto se naziva psihrometar. Suvi termometar je obican zivin termometar koji registruje trenutnu temperaturu vazduha. Vlazni termometar je takoe zivin termometar, ali obavijen pamucnom krpicom ciji se jedan kraj nalazi potopljen u posudi sa destilovanom vodom. Na osnovu empirijskih relacija izmeu razlike temperatura na ova dva termometra i pritiska

14

vodene pare dobijaju se rezultati merenja. Vlaznost vazduha se meri i pomou higrometra, koji radi na principu promene duzine vlasi kose pri razlicitoj vlaznosti vazduha.

2.4 Temperatura vazduha Sa hidroloske tacke gledista, temperatura vazduha je interesantna zato sto utice na vrstu padavina, na kolicinu isparavanja i transpiracije, kao i na topljenje snega. Temperature vazduha imaju svoje dnevne i sezonske varijacije. Tokom dana, pod uslovom da nema znacajne oblacnosti, minimalne temperature se javljaju ubrzo po izlasku sunca, a maksimalne u ranom popodnevu. Prisustvo oblaka smanjuje kolicinu dolazeeg (Suncevog) zracenja i sprecava odlazak zemljinog zracenja, pa se temperature tokom oblacnog dana kreu u manjem opsegu. U prostornom smislu, temperature variraju u zavisnosti od geografskog polozaja i od nadmorske visine. Prosecno opadanje temperature sa visinom je 0.65oC na 100 m. Temperature se mere u meteoroloskim zaklonima na visini od 2 m od zemlje. Zaklon je neophodan kao zastita od direktnog suncevog zracenja, padavina i vetra. Kao instrumenti se koriste zivini i alkoholni termometri. Temperature se mogu meriti kontinualno (termografima) ili u odreenim vremenskim trenucima tokom dana, a beleze se i maksimalna i minimalna dnevna temperatura (pomou tzv. maksimalnog i minimalnog termometra). Srednje dnevne temperature se racunaju kao prosek svih dnevnih ocitavanja. U nasoj zemlji temperature se mere u 7, 14 i 21 cas, a srednja dnevna temperatura se odreuje kao:

t sr,dn =

t 7 + t14 + 2t 21 4

U nedostatku vise ocitavanja, srednja dnevna temperatura se moze odrediti kao prosek maksimalne i minimalne dnevne temperature:

t sr,dn =

tmax + t min 2

Srednje mesecne temperature, kao i mesecni ekstremi, koriste se za opisivanje temperaturnog rezima neke lokacije. U tabeli 5 su prikazani visegodisnji proseci srednjih mesecnih temperatura u Beogradu. Tabela 5. Prosecne temperature u Beogradu (meteoroloska opservatorija Vracar). Feb. Mart April Maj Jun Jul Avg. Sep. Okt. Nov. Dec. 1.6 6.7 11.9 16.8 20.0 22.0 21.5 17.7 12.4 6.6 2.1

Jan. -0.1

God. 11.6

2.5 Atmosferski pritisak Atmosferski pritisak se definise kao tezina stuba vazduha koji se proteze od nivoa merenja do vrha atmosfere na jedinicu povrsine. On opada sa visinom, s obzirom da iznad nivoa merenja ima manje vazduha. To se moze opisati poznatom jednacinom:

dp = - a g dz

gde je a gustina vazduha, a g gravitaciono ubrzanje. Prosecni vazdusni pritisak na nivou mora iznosi 1 bar (ili 105 Pa ili 105 N/m2). Merenja pritiska se obicno izrazavaju u milibarima (mb) kao celobrojni brojevi. U proseku, pritisak opada za 1 mb na 8 m

15

visine. U Beogradu, na lokaciji meteoroloske opservatorije na Vracaru koja se nalazi na nadmorskoj visini od 132 m, pritisci variraju od 990 do 1010 mb. Uobicajena je meteoroloska praksa da se visine u atmosferi izrazavaju preko njihovih prosecnih pritisaka u milibarima; na primer, vrh stratosfere ili stratopauza se nalazi na visini od 1 mb. Atmosferski pritisak se obicno meri pomou zivinog barometra, dok se promene pritiska mogu meriti aneroidnim barometrom. Podaci o pritisku cine osnovu za meteoroloske sinopticke karte na kojima se crtaju izobare (linije jednakog pritiska) koje definisu oblasti visokog i niskog pritiska (anticiklone odnosno depresije). Interpretacijom tih karata nacrtanim na osnovu osmatranja u odreenim vremenskim intervalima omoguava se identifikacija promena u vremenskim sistemima i formiranje vremenske prognoze. Pored merenja na nivou mora, podaci iz visih slojeva vazduha se crtaju i analiziraju na razlicitim nivoima u atmosferi.

2.6 Vetar Vetar predstavlja strujanje vazduha do kojeg dolazi usled neravnomernog zagrevanja i hlaenja povrsine Zemlje. Vetar prenosi toplotu i vodenu paru kroz atmosferu kako bi se izravnale razlike u temperaturi i sadrzaju vlage. Vetar ima znacajnu ulogu u procesu isparavanja i u formiranju padavina. Sa inzenjerske tacke gledista vetar je vazan kao vid optereenja na konstrukcije, kao uzrok vibracija objekata pod uticajem udara i vrtloga, i kao uzrok formiranja talasa na vodenim povrsinama. Preciznija definicija vetra jeste da je to horizontalna komponenta strujanja vazduha paralelna sa povrsinom Zemlje. U tom smislu vetar je vektorska velicina koja se definise pravcem i jacinom. Pravac vetra je pravac iz kojeg vetar duva (npr. severozapadni vetar je onaj koji duva ka jugoistoku). Meri se pomou vetrokaza u stepenima od pravca severa, a obicno se izrazava kao jedan od 8 ili 16 standardnih pravaca na kompasu. Brzina vetra se meri anemometrima, a izrazava se u razlicitim jedinicama: metrima u sekundi, kilometrima na cas, ili cvorovima. Jedan cvor predstavlja brzinu od jedne nauticke milje (1852 m) na cas. Pored ovih jedinica, cesto se koristi i Boforova opisna skala sa gradacijom od 0 do 12 (tabela 6), pa se jacina vetra izrazava u boforima. Tabela 6. Boforova skala vetrova. Brzina vetra Boforov broj m/s 0 0 1 0.9 2 2.4 3 4.4 4 6.7 5 9.3 6 12.3 7 15.5 8 18.9 9 22.6 10 26.4 11 30.5 12 34.8

Naziv vetra tisina lahor povetarac slab vetar umereni vetar jak vetar zestok vetar olujni vetar oluja jaka oluja zestoka oluja vihor orkan

km/h 0 3 9 16 24 34 44 55 68 82 96 110 125

Strujanje vetra uz povrsinu Zemlje ili prilikom opstrujavanja objekata podleze zakonima mehanike fluida. Pod uticajem oblika i hrapavosti povrsine formira se granicni sloj struje vazduha. U ovom sloju

16

brzina struje se menja sa visinom, odnosno rastojanjem od povrsine. Raspored brzina u granicnom sloju obicno se opisuje logaritamskom funkcijom (u = a log z + b) ili stepenom funkcijom (u = azb). Brzina vetra se standardno meri na visini od 10 m; da bi se odredila brzina vetra na nekoj drugoj visini, koriste se gore pomenuti analiticki oblici. Obicno se koristi stepeni oblik, prema kome se brzina vetra na drugim visinama moze odrediti iz odnosa:

u( z) z = u (10) 10

b

Vrednost eksponenta b se kree od 1/7 do 1/5. Optereenje objekata od vetra. Pritisak u nekoj tacki na konturi objekta odreuje se kao proizvod zaustavnog pritiska ( u 2 / 2 ) i koeficijenta pritiska (Cp):

p = Cp u 2 2

gde je gustina vazduha i u brzina vetra (neporemeene struje). Koeficijent pritiska zavisi od oblika opstrujavane povrsine i polozaja posmatrane tacke na njoj; on takoe zavisi od kinematskih karakteristika vazdusne struje, tj. od Rejnoldsovog broja. Tako, na primer, koeficijent pritiska na prednjoj strani kruznog stuba opstrujavanog vazduhom moze biti 1 ili vise, dok se sa zadnje strane javlja podpritisak pa je koeficijent pritiska negativan. Kod aerodinamicki oblikovanih objekata, koeficijenti pritiska imaju male vrednosti po celom opstrujavanom profilu. Kada su odreeni pritisci po konturi opstrujavanog tela, njihovom integracijom moze se izracunati sila dejstva vetra na objekat. Uticaj terena na vetar. Reljef znacajno utice na strujnu sliku vetra. Brzina vetra iznad planina je znatno vea od brzine na istoj visini u ravicarskim predelima. Na zavetrinskim stranama planina vetar se smanjuje, mada se na tim mestima mogu registrovati velike fluktuacije usled vrtlozenja. U uskim dolinama izmeu planina dolazi do pojacanja brzine vetra zbog njegovog horizontalnog usmeravanja. Visina do koje reljef remeti normalnu vazdusnu struju zavisi od mnogo faktora, a grubo se procenjuje na 2.5 visine prepreke toj struji. Za smanjenje uticaja vetra koristi se efekat trenja o objekte. Uspesno ublazavanje vetra moze se postii saenjem sumskih pojaseva u pravcu upravnom na dominantni pravac vetra u regionu. Smatra se da se na zavetrinskoj strani sume moze zastiti zona u duzini od 20 visina sume, a na privetrinskoj od 4 visine sume.

17

2.7 Isparavanje Isparavanje je jedan od najvaznijih procesa u hidroloskom ciklusu. Ono podrazumeva prelazak vode iz tecnog ili cvrstog stanja u gasovito i njenu difuziju u atmosferu. Na taj nacin se vrsi preraspodela toplotne energije izmeu povrsine zemlje i atmosfere. Voda isparava sa razlicitih povrsina, pa se cesto odvojeno posmatra isparavanje sa slobodnih vodenih povrsina, sa vlaznog zemljista ili sa biljaka. Izmeu isparavanja sa ovih povrsina ne postoje razlike u fizici procesa, ve samo u prirodi tih povrsina. Da bi do isparavanja doslo, neophodno je da postoje: - izvor vlage, - izvor toplotne energije (direktno suncevo zracenje, toplota iz vazduha, toplota iz zemljista ili toplota u samoj vodi), i - razlika vlaznosti (pritisaka vodene pare) izmeu povrsine sa koje voda isparava i atmosfere. Za isparavanje sa slobodne vodene povrsine potrebno je najpre da postoji dovoljno toplotne energije za pretvaranje vode iz tecnog u gasovito stanje. Energija koja je potrebna molekulima vode da bi presli u gasovito stanje zove se latentna toplota isparavanja. Kada voda isparava, vazduh iznad vodene povrsine se zasiuje vodenom parom. Ako vazduh postane potpuno zasien (na datoj temperaturi), isparavanje prestaje. Dakle, da bi se isparavanje odvijalo, potrebno je da postoji deficit vlaznosti izmeu vodene povrsine i vazduha, a on zavisi od temperatura vazduha i vode. Ukoliko bi se zasien vazduh iznad vodene povrsine mesao sa suvim vazduhom, isparavanje bi moglo da se nastavi. Zbog toga isparavanje sa vodene povrsine zavisi i od mogunosti za transportovanje vodene pare od vodene povrsine, a to znaci od vetra koji bi odvodio zasien vazduh od vodene povrsine. Isparavanje sa kopna podrazumeva isparavanje direktno sa tla i vegetacije. Pored toga, odreena kolicina vlage dospeva u atmosferu i procesom transpiracije biljaka, u kome biljke uzimaju vodu iz tla, koriste je i vraaju u atmosferu. Proces isparavanja sa povrsine tla zajedno sa procesom transpiracije niziva se evapotranspiracija. Ona zavisi od istih faktora kao i isparavanje sa slobodne vodene povrsine (od izvora energije i transporta vodene pare), ali zavisi i od izvora vlage na povrsini zemljista. Kolicina evapotranspiracije do koje bi doslo kada bi neka povrsina tla sa vegetacijom imala neogranicen izvor vlage naziva se potencijalna evapotranspiracija. Ona se moze odrediti slicno kao i isparavanje sa slobodne vodene povrsine. Meutim, stvarna evapotranspiracija je manja od potencijalne ukoliko zemljiste nema dovoljno vlage. Merenje isparavanja i evapotranspiracije. Direktno merenje isparavanja sa slobodne vodene povrsine ili sa tla u prirodi je ideal koji jos nije dostignut. Najcesi instrumenti za indirektno merenje isparavanja su razlicite vrste sudova. Isparitelj klase A je metalni sud precnika 120 cm i dubine 25 cm koji se puni vodom. Promena nivoa vode se meri mikrometrom. Kolicina isparene vode tokom jednog dana moze se odrediti na osnovu promene zapremine vode u ispritelju i visine kise za taj dan. Ovako izmereno isparavanje je vee nego sto bi bilo isparavanje sa iste povrsine unutar velikih vodenih povrsina kao sto su jezera ili akumulacije. Zbog toga je neophodno primeniti faktor korekcije za tako velike povrsine, koji se kree od 0.7 do 0.8. Jedan od instrumenata koji direktno mere isparavanje je Pisov (Piche) isparitelj. On se sastoji od staklene cevcice sa jednim zatvorenim krajem, dok se na drugom kraju nalazi upijajui papir. U cevcici se nalazi voda koja vlazi papir odakle voda isparava. Kolicina isparene vode tokom dana se dobija direktnim ocitavanjem sa podele na cevcici. Instrument za merenje evapotranspiracije naziva se lizimetar. To je vodonepropusan sud sa zemljom zasejanom odreenom reprezentativnom kulturom. Ispod suda se nalazi ureaj za merenje tezine celog suda, a od dna suda polazi drenazna cev iz koje se voda skuplja u posudu. Pored toga, mere se

18

padavine na povrsinu lizimetra. Promena tezine lizimetra predstavlja promenu zemljisne vlage, a kolicina drenirane vode predstavlja perkolaciju. Bilansiranjem ovih kolicina vode dobija se evapotranspiracija: ET = kisa ­ perkolacija ± promena zemljisne vlage Proracun isparavanja metodom bilansa energije (radijacioni metod). Ako se posmatra jedinicna vodena povrsina sa koje voda isparava (slika 10), u bilans zracenja ulaze neto radijacija Rn, vidljiva toplota H (ona koja se prenosi izmeu vodene povrsine i vazduha zbog razlike u temperaturama), toplota koja se prenosi izmeu vode i zemljista G i toplota koja se trosi na isparavanje L. Ova poslednja komponenta jednaka je L = E, gde je latentna toplota isparavanja (energija po jedinici mase), gustina vode, a E zapremina (sloj) isparene vode. Dakle:

Rn - H - G = L

razmena toplote sa vazduhom H sun~evo zra~enje sun~evo zra~enje Rnl Rs rRs L latentna toplota isparavanja bilans zra~enja: Rn - H - G = L neto dugotalasno zra~enje odbijeno

Rn = (1 - r)Rs - Rnl G razmena toplote sa zemlji{tem

Slika 10. Bilans energije pri isparavanju sa slobodne vodene povrsine. Da bi se ovaj metod proracuna primenio, potrebno je meriti puno velicina ­ narocito temperature i neto zracenja ­ sto cesto nije mogue. Obicno se smatra da se komponenta G moze zanemariti za krae vremenske periode, a da je vidljiva toplota H proporcionalna toploti isparavanja L. Odnos ove dve toplote je poznat kao Bovenov odnos = H / L . Zanemarujui komponentu razmene toplote sa zemljom G i ukljucujui Bovenov odnos u jednacinu bilansa, toplota isparavanja postaje:

L = E =

Rn 1+

odakle sledi izraz za proracun sloja isparene vode:

E=

Rn (1 + )

(1)

Latentna toplota isparavanja se malo menja sa temperaturom prema izrazu:

= 2.501 10 6 - 2370T

gde se temperatura unosi u Celzijusovim stepenima, a latentna toplota isparavanja dobija u J/kg. Bovenov odnos se racuna prema jednacini:

=

T p - Ta e p - ea

(2)

gde su Tp i ep temperatura i pritisak vodene pare na povrsini, Ta i ea temperatura i pritisak vodene pare u vazduhu, a je psihrometrijska konstanta za koju se moze usvojiti vrednost od 0.65 mb/oC.

19

Proracun isparavanja metodom transfera mase (aerodinamicki metod). U ovoj metodi uzima se u obzir da intenzitet isparavanja zavisi od razlike vlaznosti vazduha izmeu vodene povrsine i vazduha i brzine vetra. U literaturi se moze nai niz izraza za proracun ispravanja koji su po svojoj strukturi slicni. Oblik te veze je:

E = f (u ) (e p - ea )

gde su ep i ea pritisci vodene pare na vodenoj povrsini i u vazduhu, a f(u) je neka funkcija brzine vetra. Da bi se ovakvi izrazi primenili, neophodno je raspolagati podatkom o pritisku vodene pare na povrsini ep, sto se obicno ne meri. Zbog toga se on cesto zamenjuje pritiskom zasiene vodene pare u vazduhu eas koji se moze odrediti na osnovu temperature (videti sliku 11). Isparavanje dobijeno ovakvom aproksimacijom je onda:

E a = f (u ) (e as - ea )

razmena toplote sa vazduhom Ta temperatura vazduha

transport vodene pare ea stvarni pritisak vodene pare u vazduhu eas pritisak vodene pare zasi}enog vazduha stvarni pritisak vodene pare ep na povr{ini

temperatura Tp na povr{ini

Slika 11. Objasnjenje oznaka za areodinamicki metod. Funkcija brzine vetra u gornjem izrazu obicno je linearna, u obliku a(b + u) ili Nu. Jedan od najpoznatijih je izraz Penmana:

E = 0.263(0.5 + 0.537 u 2 )(e as - e a )

gde se naponi vodene pare unose u mb, a u2 predstavlja brzinu vetra merenu u m/s na visini od 2 m. Isparavanje se dobija u mm/dan. Proracun isparavanja kombinovanom metodom. Ovaj metod podrazumeva kombinaciju metode bilansa energije i aerodinamicke metode. Do kombinovanja je doslo jer se aerodinamicki model moze primeniti kada izvor energije nije ogranicen, a metoda bilansa energije kada transport vodene pare noje ogranicen. S obzirom da su oba procesa ogranicena, neophodna je kombinacija. Kao sto je ve receno, prema aerodinamickom metodu isparavanje se obicno racuna priblizno kao

E a = f (u ) (e as - ea )

dok bi "tacno" isparavanje bilo

E = f (u ) (e p - ea )

Odnos ovako odreenih isparavanja je

e p - eas Ea eas - ea eas - e p + e p - ea = 1- = = E e p - ea e p - ea e p - ea

20

Pritisak vodene pare na povrsini vode ep je u stvari pritisak zasiene vodene pare na temperaturi Tp (temperatura na povrsini), dok se pritisak vodene pare zasienog vazduha eas vezuje za temperaturu Ta. Ako se nagib krive zavisnosti pritiska zasiene vodene pare i temperature aproksimira sa

=

e p - eas T p - Ta

onda gornji izraz postaje:

T p - Ta Ea = 1- E e p - ea

S obzirom na definiciju Bovenovog odnosa (2), dobija se:

Ea = 1- E

Prema radijacionom metodu, isparavanje je jednako:

E=

Rn (1 + )

Eliminisui Bovenov odnos iz ove dve jednacine, dobija se:

E a + + Rn E a + E r +

E=

=

Gornja jednacina moze se shvatiti i kao ponderisana vrednost isparavanja dobijena na osnovu isparavanja usled uticaja vetra Ea i isparavanja usled uticaja zracenja Er. Evapotranspiracija. Na evapotranspiraciju uticu isti faktori koji uticu na isparavanje ­ izvor toplotne energije i transport vodene pare. Ovde dolazi do izrazaja i trei faktor, a to je izvor vlage na povrsini sa koje voda isparava. Ako se tlo susi, evapotranspiracija bie manja nego sto bi bila da je tlo dobro natopljeno. Proracun evapotranspiracije se obavlja na slican nacina kao za isparavanje, uz neophodne izmene kojima se uzima u obzir stanje vegetacije i tla. Najpre se racuna tzv. referentna evapotranspiracija ET0, koja se definise kao evapotranspiracija sa neogranicene povrsine ravnomerno pokrivene travom jednake visine (12 cm) koja je u potpunosti prekriva tlo i koja uvek ima dovoljno vode. To je prakticno potencijalna evapotranspiracija (PET) za travu kao referentnu kulturu. Da bi se dobila potencijalna evapotranspiracija za neku drugu kulturu, ET0 se mnozi koeficijentom kulture kc, koji zavisi od vrste kulture i faze njenog rasta. Stvarna evapotranspiracija dobija se mnozenjem potencijalne koeficijentom zemljista ks, cije se vrednosti kreu od 0 do 1. Jedna od metoda proracuna koja se sve vise koristi je metoda Penman-Monteja (PenmanMontieth):

ET =

Rn + C p (eas - ea ) / ra [ + (1 + rs / ra )]

gde je Cp specificna toplota vazduha pri konstantnom pritisku (1013 J kg-1 oC-1), rs je otpor tla i kulture, a ra aerodinamicki otpor. Ostale velicine su definisane u prethodnim pasusima. Aerodinamicki otpor se racuna iz empirijskih veza sa brzinom vetra, a otpor tla i kulture predstavlja vei problem. Iako je on predmet mnogih istrazivanja, za sada se koristi konstantna vrednost za referentnu kulturu, tako da ovako dobijenu evapotranspiraciju treba pomnoziti sa koeficijentom kulture.

21

2.8 Padavine Pod padavinama se podrazumeva talozenje vode iz atmosfere na povrsinu zemlje. One obuhvataju kisu, sneg i druge oblike u kojima voda dospeva do povrsine zemlje, kao sto su grad ili ledena kisa. Pojave kao sto su rosa, magla ili inje takoe predstavljaju padavine, ali do njih dolazi kondenzacijom zasienog vazduha u dodiru sa hladnijim povrsinama na zemlji.

2.8.1 Formiranje padavina Da bi doslo do formiranja padavina, moraju biti ispunjeni sledei uslovi: - mora postojati dovoljan izvor vlage, odnosno vodene pare, - vazduh sa vodenom parom se mora ohladiti do tacke kondenzacije, - vodena para se mora kondenzovati u kapljice vode ili cestice leda, i - kapljice vode ili cestice leda moraju narasti do dovoljne velicine da mogu padati na zemlju. Hlaenje vazdusnih masa. Za hlaenje vazdusnih masa neophodno je njihovo podizanje. Tri osnovna mehanizma podizanja vazdusnih masa su: - frontalno podizanje (kada se topao vazduh podize preko hladnijeg vazduha preko frontova), - orografsko podizanje (kada se vazdusna masa podize da bi savladala prepreke od planinskih vrhova) i - konvektivno podizanje (usled zagrevanja vazduha u kontaktu s tlom vazduh se povlaci nagore). Kondenzacija vodene pare i formiranje oblaka. Zasienje vazduha vodenom parom nije dovoljno da doe do kondenzacije vodene pare tj. njenog prelaska u tecno stanje, ve bi se hlaenjem vazduh morao dovesti u stanje prezasienosti (supersaturacije). Do hlaenja vodene pare e doi pri podizanju vazdusnih masa u atmosferi. Proces kondenzacije vodene pare potpomazu cestice u vazduhu za koje se molekuli vode vezuju. Takve cestice se predstavljaju jezgra kondenzacije i nazivaju se aerosoli. Kao jezgra mogu posluziti cestice prasine ili joni soli iz okena koji elektrostaticki privlace molekule vode. Precnik tih cestica je vrlo mali, od 10-3 do 10 mikrona (tabela 7). Kondenzacijom vodene pare formiraju se kapljice vode koje cine oblake. Velicina tih kapljica je od 1 do 100 mikrona. Pored kapljica vode, u oblacima se nalaze i kristali leda. Oni se formiraju od kapljica vode kada se temperatura priblizava tacki mrznjenja (cistoj vodi je potrebna veoma niska temperatura, cak i ­40oC, pre nego sto se smrzne, dok se kapljice u oblacima u normalnim uslovima mrznu na temperaturama od ­10 do ­20oC). Kapljice vode se mogu smrznuti samo u prisustvu cestica koje se nazivaju ledena jezgra. Smrznute kapljice zadrzavaju sferni oblik i postaju kristali leda. Vodena para se onda moze skupljati direktno na povrsini kristala leda sublimacijom.

Tabela 7. Cestice u procesu kondenzacije i formiranja padavina. Precnik Broj Terminalna Cestica 3 (mikrona) na dm brzina (cm/s) 6 Tipicno jezgro kondenzacije 0.1 10 0.0001 Tipicna kapljica u oblaku 10 106 1 3 Velika kapljica u oblaku 50 10 27 Uobicajena granica izmeu 100 70 kapljice u oblaku i kisne kapi Tipicna kisna kap 1000 1 650

22

Oblaci se klasifikuju prema njihovoj visini (tabela 8). Visoki oblaci se sastoje od kristala leda, srednje visoki od kapljica vode i kristala leda, dok se niski oblaci sastoje prevashodno od kapljica vode od kojih je veina prehlaena. Oblaci koji se veoma intenzivno razvijaju u vertikalnom smislu (kao sto su kumulonimbusi) sastoje se od kapljica u nizim slojevima i kristala leda u visim slojevima. Tabela 8. Klasifikacija oblaka. Kategorija Naziv Visoki oblaci cirus cirokumulus cirostratus Srednji oblaci altokumulus altostratus Niski oblaci stratus nimbostratus stratokumulus Oblaci sa visinskim kumulus kumulonimbus razvojem

Visina 6­12 km 3­6 km 0­3 km 0­2 km 0­6 km

Formiranje padavina iz oblaka. Kapljice vode i kristali leda u oblacima se uveavaju kroz proces kondenzacije i meusobno se sudaraju i spajaju pod uticajem turbulencije u vazduhu, sve dok ne porastu dovoljno da sila gravitacije nadvlada silu uzgona vazdusne struje, tako da one pocinju da padaju. Proces rasta kapljica i kristala leda do velicine kisne kapi (oko 1 mm) predstavlja fazu koja u nauci nije razjasnjena do kraja, ve postoje razlicite teorije. Moze se zakljuciti da intenzitet padavina koje dolaze iz oblaka zavisi od sledeih faktora: - od intenziteta zamene vlage koju odnose ve formirane padavine novom vodenom parom; - od intenziteta kojim se vlaga pretvara iz vodene pare u kapljice vode ili kristale leda dovoljne velicine da pocnu da padaju, sto posredno ukljucuje brzinu hlaenja vazduha, brzinu podizanja vazdusnih masa, intenzitet kondenzacije i rasta kapljica, koji opet zavise od kolicine jezgara kondenzacije, turbulencije i vertikalnih brzina vazdusne struje. Iz ovih razloga nije mogue doi do pouzdane kvantitativne prognoze padavina.

2.8.2 Varijacije padavina Padavine variraju u vremenu i u prostoru u skladu sa shemom globalne atmosferske cirkulacije (prema kojoj se vazdusne mase kreu) i u skladu sa lokalnim faktorima. Na padavine ne uticu samo globalni faktori kao sto su geografska sirina ili doba godine, ve i niz drugih faktora. Unutargodisnja raspodela prosecnih mesecnih padavina za duzi niz godina naziva se rezimom padavina. Za podrucje koje ima vise padavina u periodu jesen-zima kaze se da ima morski rezim padavina, a za ona koja imaju vise padavina u periodu prolee-leto kaze se da imaju kontinentalni rezim padavina. Na slici 12 prikazan je rezim padavina u Beogradu.

23

90 80 70 Visina padavina (mm) 60 50 40 30 20 10 0 Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Avg Sep Okt Nov Dec Prosecna godisnja visina padavina: 668 mm

Slika 12. Unutargodisnji rezim padavina u Beogradu (meteoroloska opservatorija Vracar) prikazan preko srednjih mesecnih visina padavina.

2.8.3 Merenje padavina Opsti naziv za ureaje kojima se meri visina padavina je kisomer. Razlikujemo dve osnovne vrste kisomera: - neregistrujui kisomer, kojim se meri ukupna visina pale kise u nekom vremenskom periodu (koriste se nazivi totalizator ili samo kisomer), i - registrujui kisomer, kojim se registruju promene intenziteta kise tokom vremena (obicno se naziva pluviograf ili ombrograf). Neregistrujui kisomeri se koriste za merenje dnevnih visina padavina ili ukupnih visina padavina za neki duzi vremenski period (nedelja ili mesec dana). Po konstrukciji su slicni, ali su oni koji mere padavine u duzem periodu vei kako bi primili vee kolicine vode. Sastoje se od metalnog cilindra otvorenog s gornje strane u kome se nalazi levak iz koga se voda prihvata u staklenu posudu sa podelom. Posto je povrsina otvora poznata, zapremina vode u sudu se deli sa povrsinom otvora da bi se dobila visina (sloj) pale kise. Podela moze biti napravljena tako da se ocitavanjem odmah dobija visina kise. Registrujui kisomeri (pluviografi) mogu biti razlicitih konstrukcija. Najraspostranjeniji tip je pluviograf sa plovkom, koji je kod nas najzastupljeniji u varijanti koja se zove Helmanov pluviograf. On je smesten u metalni cilindar sa levkom, odakle voda odlazi u posudu sa plovkom. Plovak je povezan sa perom koje je naslonjeno na cilindar sa papirnatom trakom. Cilindar je povezan sa satnim mehanizmom i okree se tako da napravi ceo krug za 24 sata. Kada kisa pada, posuda sa plovkom se puni, plovak se podize i povlaci pero koje ostavlja trag na papirnatoj traci. Kada se posuda napuni, kolicina vode u njoj odgovara visini od 10 mm kise, a pero stize do gornjeg kraja trake. Tada se posuda prazni uz pomo sifona, a pero se spusta na donji kraj trake. Na ovaj nacin se visina kise meri kontinualno (tj. sumarna visina kise), tako da se mogu pratiti promene intenziteta kise kroz vreme. Pluviograf sa vagom je drugi tip pluviografa koji kontinualno meri padavine. On radi na principu merenja tezine vode koja se iz levka dovodi u posudu. Vaga je povezana sa perom naslonjenim na cilindar sa papirnatom trakom.

24

Pluviograf sa klackalicom ili impulsni kisomer sastoji se od levka iz kojeg voda dospeva do klackalice, tj. male posude sa dve komore poznate zapremine koja se moze okretati oko svoje osovine. Kada kisa pada, najpre se puni gornja komora, a kada se napuni, klackalica se okree, puna komora se prazni, a kisa nastavlja da pada u drugu komoru. Pri okretanju klackalice proizvodi se elektricni impuls koji se moze beleziti na papirnatoj traci ili digitalnim putem. Jedan tip ovih kisomera belezi vreme svakog impulsa, a drugi tip belezi broj impulsa u jednakim vremenskim intervalima. Visina kise u nekom trenutku od pocetka kise dobija se sabiranjem broja impulsa do tog trenutka i mnozenjem sa visinom kise koja odgovara zapremini jedne komore na klackalici (obicno oko 0.2 mm). Smatra se da ova vrsta kisomera nije narocito pouzdana za veoma jake kise, tj. velike intenzitete. Padavine se mere pomou kisomera na lokacijama koje se nazivaju padavinske stanice (cesto u sklopu meteoroloskih i klimatoloskih stanica). S obzirom da se pomou kisomera prakticno meri kolicina padavina u jednoj tacki, jasno je da je pozeljno da mreza padavinskih stanica bude sto gusa kako bi bolje upoznali prostorne varijacije padavina. Svetska meteoroloska organizacija preporucuje da se mreza stanica projektuje tako da postoji jedna stanica na svakih 25 km2. Mreza padavinskih stanica kod nas je relativno gusta (1 stanica na 65 km2), dok je broj pluviografa veoma mali. Trenutnu u Srbiji radi oko 30 pluviografa, sto predstavlja gustinu od jedne stanice na 2000 km2. Poreenja radi, gustina pluviografske mreze u Velikoj Britaniji iznosi oko 250 km2 po stanici. Padavine kao izrazito prostorno neravnomeran proces mogu se osmatrati u prostoru pomou meteoroloskih radara i satelita. Meutim, tacnost ovakvog merenja padavina nije velika jer ni radar ni satelit ne mere padavine direktno. Radar emituje elektromagnetno zracenje i meri deo koji se vraa nazad nakon refleksije na oblacima i na padavinama. Kolicina padavina se dobija iz empirijskih veza izmeu refleksivnosti (povratnog zracenja) i dimenzija kapljica vode u atmosferi, a onda i sa intenzitetom padavina. Takve empirijske veze se uspostavljaju na osnovu kalibracije sa kisomerima na zemlji. Iako greske u merenju kolicine padavina radarom mogu biti veoma velike, radar je veoma koristan za praenje olujnih sistema, a time i za prognozu padavina i oticaja od kisnih voda. Meteoroloski sateliti takoe ne mere padavine direktno. Detektori koji se nalaze na ovim satelitima mere jacinu reflektovanog suncevog zracenja od zemlje i atmosfere u razlicitim delovima spektra. Problem nastaje u cinjenici sto ovi detektori ne reaguju na zracenje odbijeno na padavinama, pa se one ne mogu na taj nacin osmatrati. Meutim, vidljivo i infracrveno zracenje koje se reflektuje od oblaka daje odlicnu sliku oblacnosti. Na taj nacin se mogu dobiti podaci o visini oblaka, temperaturama na njihovim gornjim krajevima i slicno. Prepoznavanje oblaka na satlitskim snimcima nije veliki problem za meteorologe, ali se pokazalo da nije lako razlikovati oblake koji e dati kisu i one koji nee. Kvantitativni podaci o padavinama dobijeni pomou satelitskih snimaka su proizvod empirijskih relacija sa intenzitetom kise izmerenim na povrsini zemlje; greske u ovakvom pristupu mogu biti enormne. Ipak, podaci sa satelita su korisni za sagledavanje oblacnih sistema i padavina na ogromnim prostranstvima kao sto su okeani i pustinje gde se padavine inace ne mere.

2.8.4 Obrada podataka o padavinama Vremenska analiza kisa. Podaci sa kisomera koji mere dnevne visine padavina objavljuju se u meteoroloskim godisnjacima u vidu godisnjih pregleda. Na osnovu tih podataka dobijaju se mesecne i godisnje sume padavina. Rezultat merenja kise pluviografima su pluviografske trake na kojima su ucrtane sumarne linije kisa za svaki dan. Posto one predstavljaju kontinualan zapis, neophodno je izvrsiti diskretizaciju. To se moze uraditi na vise nacina, a to su: - ocitavanje vrednosti sumarne linije kise u konstantnim vremenskim intervalima, - ocitavanje vremenskih trenutaka do dostizanja konstantnog prirastaja kise, i

25

- ocitavanje prelomnih tacaka sumarne linije, odnosno vremena i odgovarajuih visina kisa izmeu kojih se intenzitet kise nije bitno menjao. Sumarna linija kise je neopadajua linija sa ordinatama koje predstavljaju visinu kise P u nekom trenutku vremena t od pocetka kise (slika 13a). Njen nagib odgovara intenzitetu kise i:

i=

dP dt

Dijagram promene intenziteta kise kroz vreme naziva se hijetogram. S obzirom da se podaci o sumarnoj liniji sa pluviografskih traka diskretizuju, intenziteti kise postaju odnos prirastaja visine kise i prirastaja vremena:

i=

P t

Drugim recima, racuna se prosecni intenzitet kise u intervalu vremena t, dok hijetogram dobija oblik histograma (slika 13b).

(a) intenzitet ki{e i P t intenzitet ki{e i = P t

(b)

visina ki{e P

hijetogram

sumarna linija ki{e

vreme t

vreme t

Slika 13. Sumarna linija kise (kumulativna visina kise u vremenu) i hijetogram (promena intenziteta kise kroz vreme).

Da bi se kisne epizode registrovane na nekoj lokaciji meusobno uporedile, uobicajena praksa je da se sa pluviografskih traka odreuju maksimalni prirastaji kise u odreenim intervalima vremena (drugim recima, maksimalni prosecni intenziteti u tim intervalima vremena). Na primer, pronalazi se maksimalni prirastaj kise tokom 30 minuta, 60 minuta, 120 minuta i slicno. Za potrebe ovbakve analize, podaci se cesto diskretizuju na konstantan vremenski interval od 5 minuta. Zatim se vremenski interval za koji se trazi maksimalni prirastaj (i koji je umnozak od 5 minuta) pomera duz vremenske ose za po 5 minuta dok se ne pronae maksimalni prirastaj. Ovakva vrsta analize je osnova za statisticku analizu kisa i za projektovanje raznih hidrotehnickih objekata. Prostorna analiza kisa. Jedna od vaznijih informacija potrebnih u hidroloskim analizama jeste zapremina pale vode na neki sliv. Ako se zapremina pale vode podeli sa povrsinom sliva, dobija se prosecna visina kise za taj sliv:

P=

Vp A

26

Na osnovu merenja padavina na vise tacaka unutar sliva ili u njegovoj neposrednoj blizini, zapremina pale vode se moze odrediti na vise nacina. Najtacniji nacin jeste konstrukcija izohijeta. Izohijete su linije istih visina padavina. Ukoliko mreza stanica na osnovu kojih se crtaju izohijete nije dovoljno gusta, konstrukcija izohijeta zahteva iskustvo i poznavanje terena i rezima padavina. Kada se izohijete nacrtaju, zapremina pale vode se odreuje tako sto se odrede povrsine sliva izmeu izohijeta i pomnoze prosecnom visinom kise za tu povrsinu. Najprostiji nacin, ali i najmanje tacan, jeste da se izracuna aritmeticka sredina visine padavina na razmatranim stanicama. On je tacniji za stanice koje se meusobno ne razlikuju mnogo po visinama kise i relativno ravnomerno su rasporeene po slivu. Metod Tisenovih poligona se najcese primenjuje u inzenjerskoj praksi jer kombinuje jednostavnost i relativnu tacnost. Osnovna ideja ovog metoda je da svakoj tacki unutar sliva treba dodeliti visinu kise sa najblizeg kisomera. Zato se visina kise sa nekog kisomera primenjuje do polovine rastojanja izmeu njega i nekog drugog kisomera u bilo kom pravcu. Konstrukcija poligona kojim se razgranicavaju pripadajue povrsine za svaku kisomernu stanicu pocinje crtanjem mreze trouglova kojima se spajaju tacke stanica, a zatim se crtaju simetrale stranica tih trouglova. Ove simetrale e formirati poligone oko pojedinih stanica i odrediti pripadajue povrsine. Zapremina pale vode tada se odreuje kao zbir zapremina pale vode na svaku pripadajuu povrsinu, a koje se dobijaju mnozenjem visine pale kise na toj stanici sa povrsinom zatvorenog poligona oko te stanice.

27

3. POTPOVRSINSKI PROCESI Pod potpovrsinskim procesima u hidroloskom ciklusu smatraju se oni koji se odvijaju ispod povrsine zemlje. Zemljiste ili stenska masa kroz koje voda moze da tece naziva se porozna sredina. Ukoliko su sve supljine u poroznoj sredini ispunjene vodom, onda se radi o zasienoj sredini, a u suprotnom o nezasienoj. Tecenje vode u poroznoj sredini cesto se naziva i filtracija. Tri najvaznija potpovrsinska procesa sa stanovista hidrologa su (slika 14): - infiltracija, koja predstavlja upijanje vode sa povrsine terena i kojom se formira zemljisna vlaga u povrsinskom sloju tla; - potpovrsinski oticaj, ili tecenje u nezasienoj sredini; - podzemni oticaj, ili tecenje u zasienoj sredini.

Infiltracija Podpovr{inski oticaj Nivo podzemnih voda Pozemni oticaj Povr{inske vode

Slika 14. Procesi u potpovrsinskoj fazi hidroloskog ciklusa. Procesom infiltracije voda dospeva u zemljiste, cime se poveava njegova vlaga. Kada zemljiste ne moze da primi vise vode, dolazi do formiranja nadsloja vode na povrsini zemljista, a zatim do povrsinskog oticanja. Pod infiltracijom se podrazumeva ulazak vode u zemljiste, dok se dalje proceivanje vode u vertikalnom pravcu nadole naziva perkolacijom. Usled postojanja slojeva tla manje vodopropustljivosti i nagiba terena, dolazi do lateralnog kretanja vode kroz nezasiene slojeve, sto se naziva potpovrsinski oticaj. Na slican nacin, tecenje vode u zasienim slojevima cini podzemni oticaj. Potpovrsinski i podzemni oticaj moze izbiti na povrsinu terena kao izvor, ili moze dospevati do povrsinskih tokova i prihranjivati ih. Nivo podzemnih voda se definise kao onaj nivo u zasienoj sredini na kome se voda nalazi pod atmosferskim pritiskom. Ispod nivoa podzemnih voda sredina je zasiena i voda se nalazi pod pritiskom veim od atmosferskog. Iznad nivoa podzmenih voda porozna sredina moze biti zasiena na jednom kraem delu usled kapilarnog penjanja vode. Taj deo zemljista se naziva kapilarna zona. Iznad kapilarne zone zemljiste je nezasieno, osim neposredno nakon padavina kada usled infiltracije moze doi do privremenog zasienja.

3.1 Zemljisna vlaga Voda u nezasiene slojeve zemljista dospeva infiltracijom usled padavina, a gubi se isparavanjem i kroz proces transpiracije. Bilans voda u ovom sloju je narocito znacajan u okviru navodnjavanja i odvodnjavanja, dve hidrotehnicke discipline kojima se obezbeuje da zemljiste ne postane previse suvo s jedne strane, a s druge da ne bude ni previse vlazno.

28

Pri vlazenju suvog zemljista, voda se najpre privlaci ka povrsini cestica pod dejstvom elektrostatickih sila, cime se oko cestica stvara higroskopni sloj vode, a sredina supljina ostaje ispunjena vazduhom. Ove sile privlacenja su dosta jake, tako da se higroskopna voda tesko pomera pod uticajem drugih sila, pa je cesto nedostupna i za korene sisteme biljaka. Voda koja infiltracijom dospeva u nezasieni sloj zemljista kree se pod uticajem dvaju sila: gravitacije i povrsinskog napona (ili kapilarnih sila). Efekat povrsinskih napona najbolje se uocava ako se posmatra stub suvog zemljista ciji je donji kraj potopljen u vodu. Voda e se penjati kroz suvo zemljiste iznad povrsine vode do visine na kojoj se izjednacavaju sile gravitacije i povrsinskih napona. U krupnom pesku ta visina kapilarnog penjanja iznosie nekoliko milimetara, a u glini cak i nekoliko metara.

3.1.1 Osnovni pojmovi Zemljiste se sastoji od cvrstih cestica zemljista i supljina (pora). Procenat zapremine supljina u ukupnoj zapremini zemljista naziva se poroznost:

n=

V{upljina Vukupno

U zavisnosti od vrste zemljista, poroznost se kree u granicama od 0.25 do 0.75 (tabela 9). Deo supljina u nezasienoj sredini ispunjen je vodom, a preostali deo vazduhom. Zapremina dela koji je ispunjen vodom u odnosu na ukupnu zapreminu naziva se sadrzajem zemljisne vlage:

=

Vvode Vukupno

Iz prethodnih definicija jasno je da sarzaj zemljisne vlage moze biti samo manji od ili jednak poroznosti, a ne i vei:

0n

Sadrzaj zemljisne vlage koji se uspostavlja kada se zemljiste ocedi posle zasienja do tacke ravnoteze izmeu gravitacije i sila povrsinskog napona, naziva se poljski kapacitet. Uobicajeno vreme dostizanja poljskog kapaciteta posle zasienja iznosi oko dva dana. Sadrzaj zemljisne vlage u zemljistu koje se susi ispod koga e biljke uvenuti bez obzira da li im se dodaje vlaga, zove se tacka svenjavanja. Tabela 9. Karakteristike osnovnih tipova zemljista. Velicina cestica Poroznost (%) Koeficijent filtracije K (cm/s) > 2 mm 50 m ­ 2 mm 2 m ­ 50 m < 2 m 25 ­ 40 25 ­ 50 35 ­ 50 40 ­ 70 10­1 ­ 102 10­5 ­ 1 10­7 ­ 10­3 10­9 ­ 10­5

Materijal Sljunak Pesak Prasina Glina

3.1.2 Kretanje vode u nezasienoj sredini Ako se posmatra jednodimenzionalno tecenje, tj. ono koje se odvija samo u vertikalnom pravcu (z) pri cemu se smatra da nema komponenti brzina u horizontalnom pravcu, jednacina kontinuiteta glasi:

v + =0 t z

29

Ona pokazuje da je promena sadrzaja vlage posledica promene fluksa vode kroz elementarnu zapreminu. U ovoj jednacini v predstavlja Darsijevu brzinu tecenja, koja se definise kao proticaj vode kroz jedinicni poprecni presek zemljista (dakle ceo presek, a ne samo presek supljina):

v=

Q A Q nA

Stvarna brzina vode bi se dobila ako se poprecni presek koriguje na povrsinu supljina:

vs =

Prema Darsijevom zakonu, Darsijeva brzina je proporcionalna gubitku energije po jedinici visine porozne sredine, a koeficijent proporcionalnosti je koeficijent hidraulicke provodljivosti ili koeficijent filtracije K:

v = KI e

Gubitak energije prakticno je jednak promeni pijezometarskog nivoa po visini, s obzirom da se kineticka energija v2/2g moze se zanemariti jer su brzine veoma male:

v = -K

z

(1)

gde negativni predznak ukazuje da se pijezometarski nivo smanjuje u pravcu tecenja. Ukupna potencijalna energija vode sastoji se od gravitacionog i kapilarnog potencijala:

= z+

(2)

gde je visina kapilarnog dizanja (slika 15). Pored vrste materijala u zemljistu, visina kapilarnog dizanja zavisie i od sadrzaja vlage u poroznoj sredini. Na slici 414 data je zavisnost visine kapilarnog dizanja od sadrzaja vlage za jednu vrstu gline. Na istoj slici se vidi i da koeficijent filtracije K zavisi od sadrzaja vlage.

z=0

z1 1 1 z2

2

2

Slika 15. Ukupni potencijal vode u nezasienoj sredini sastoji se od gravitacionog potencijala z i kapilarnog potencijala .

3.1.3 Merenje sadrzaja zemljisne vlage i potencijala vode u zemljistu Gravimetrijsko odreivanje sadrzaja zemljisne vlage je klasican i pouzdan metod. Uzima se uzorak zemlje poznate zapremine V, meri se masa uzorka m, a zatim se uzorak susi u peima za uzorke na odreenoj temperaturi (100­110oC) sve dok njegova masa ne postane konstantna u iznosu ms. Masa vode

30

u vlaznom uzorku jednaka je razlici ovako izmerenih masa (mw = m ­ ms), a time su odreeni zapremina vode (Vw = mw/w) i sadrzaj zemljisne vlage ( = Vw/V). Drugi nacin merenja je pomou neutronskih sondi. U rupu u zemlji stavlja se izvor radioaktivnosti, a emitovani brzi neutroni se usporavaju u sudaru sa jezgrima vodonika u vodi i rasipaju. Broj usporenih neutrona se registruje detektorima. On e zavisiti od broja jezgara vodonika, tako da predstavlja meru kolicine vode u zemljistu. Instrumenti kojima se meri kapilarni potencijal ili visina kapilarnog dizanja nazivaju se tenziometri. Oni se sastoje od porozne keramicke casice napunjene vodom koja se postavlja u zemljiste, dok je s druge strane povezana sa nekim instrumentom za merenje pritiska (npr. manometrom) Ako se voda nalazi pod atmosferskim pritiskom, a pritisak vode u zemljistu je negativan, voda iz keramicke casice e se usisavati u zemljiste sve dok se ne postigne ravnoteza pritisaka. Smanjenje vodenog stuba pokazuje onda visinu kapilarnog dizanja. Instrumenti koji se zasnivaju na elektricnom otporu koriste se od 40-tih godina naovamo. Sastoje se od poroznih gipsanih blokova sa parom elektroda koji se postave u zemljiste. Voda iz zemljista se upija u gips sve dok se ne postigne ravnoteza izmeu pritiska u porama zemlje i gipsa. Tada se meri elektricni otpor izmeu elektroda, koji je pokazatelj sadrzaja vlage u gipsu. Potencijal zemljisne vlage je u direktnoj vezi sa sadrzajem vlage u gipsu.

3.2 Infiltracija Kolicina vode koja e se infiltrirati u zemljiste, kao i intenzitet kojim e se infiltrirati, zavisi od velikog broja faktora. To je pre svega stanje na povrsini zemlje i vegetacija, zatim vrsta tla i njegove karakteristike kao sto su poroznost i koeficijent filtracije, i konacno trenutni sadrzaj vlage u zemljistu. Raspored zemljisne vlage po dubini zemljista tokom infiltracije (slika 16) moze se podeliti na cetiri zone: zasiena zona se nalazi pri povrsini, prelazna zona nezasienog zemljista sa relativno ujednacenim sadrzajem vlage, zona vlazenja u kojoj se sadrzaj vlage smanjuje sa dubinom i vlazni front koji predstavlja donju granicu zone vlazenja.

Sadr`aj zemlji{ne vlage Zasi}ena zona

Prelazna zona

Dubina

Zona vla`enja Vla`ni front

Slika 16. Raspored zemljisne vlage tokom infiltracije. Intenzitet infiltracije je brzina kojom se voda infiltrira, i obicno se izrazava u mm/min ili mm/h. Ukoliko bi se na povrsini zemlje nalazio nadsloj vode, infiltracija bi se odigravala sa maksimalnim moguim intenzitetom u zavisnosti od sadrzaja vlage u zemljistu. To je potencijalna infiltracija ili infiltracioni kapacitet zemljista. Meutim, ukoliko na povrsinu zemlje stize manje vode nego sto se moze

31

potencijalno infiltrirati, stvarna infiltracija bie manja od potencijalne. Ako se intenzitet infiltracije oznaci sa f, a intenzitet kise sa i, odnos potencijalne i stvarne infiltracije moze se formulisati na sledei nacin:

f, f stvarno = i,

i< f i> f

Ako je poznata promena intenziteta infiltracije kroz vreme f(t), onda se moze odrediti i kumulativna infiltracija (tj. sumarna linija infiltrirane vode) F(t):

F (t ) = f (t ) dt

0

t

Obrnuto, intenzitet infiltracije je izvod kumulativne infiltracije po vremenu:

f (t ) =

dF dt

Hortonova jednacina infiltracije. Jednu od prvih jednacina za proracun infiltracije dao je Horton, koji je pretpostavio da intenzitet infiltracije opada eksponencijalno sa vremenom od pocetne infiltracije fo do neke konstantne vrednosti fc:

f (t ) = f c + ( f o - f c ) e - kt

gde je k koeficijent koji pokazuje brzinu opadanja intenziteta infiltracije. Oblik ove jednacine prikazan je na slici 17. Kumulativna infiltracija je onda:

F (t ) = f c t +

1 ( f o - f c ) (1 - e - kt ) k

fo Intenzitet infiltracije f

k1

k1 < k2 k2

fc Vreme

Slika 17. Hortonova jednacina infiltracije. Merenje infiltracije. Instrument kojim se meri intenzitet infiltracije naziva se infiltrometar. On se sastoji od metalnog cilindra otvorenog s donje i gornje strane koji se vertikalno utiskuje u tlo. U jednoj varijanti u njega se naliva voda tako da se odrzava konstantan nadsloj, a meri se kolicina vode koja se doliva kroz vreme. Na taj nacin se dobijaju ordinate kumulastivne infiltracije F(t). U drugoj varijanti voda se nalije i meri se opadanje nivoa iznad povrsine zemlje kroz vreme.

3.3 Podzemne vode Proceivanje infiltrirane vode ka dubljim slojevima rezultuje u prihranjivanju podzemnih voda. To prihranjivanje zavisie od geoloske strukture i sastava stenske mase. S obzirom da se tlo obicno sastoji od

32

vise slojeva razlicitih karakteristika, razlicite su i mogunosti tih slojeva za zadrzavanje podzemnih voda. U principu, sto su stenske mase starije, to su vise konsolidovane (materijal je zbijeniji) i manja je verovatnoa da mogu da sadrze vodu. Slojevi koji sadrze podzemnu vodu nazivaju se akviferi. Poluporozni slojevi koji dozvoljavaju manje proceivanje vode u dublje slojeve nazivaju se akvitardima, jer usporavaju perkolaciju. Veoma porozni slojevi su slabo vododrzivi, jer se kroz njih voda brzo procedi dublje. Slojevi gline su uglavnom nepropusni, a porozni slojevi izmeu njih se nazivaju ogranicenim akviferima ili izdanima pod pritiskom (stariji naziv je i arteske izdani). Povrsinski pescani slojevi se nazivaju neogranicenim akviferima ili izdanima sa slobodnom povrsinom. Podzemne vode su najvei rezervoar slatkih voda, pa nije cudo sto se veoma cesto koriste za vodosnabdevanje. Sporo, ali prostorno promenljivo, kretanje podzemne vode kroz heterogeno tlo kao mesavine pescano-sljuncanih i konsolidovanih slojeva obezbeuje stalan i sporo promenljiv bazni proticaj u veini reka. Merenja podzemnih voda. Merenje podzemnog i potpovrsinskog proticaja nije mogue osim ako se podzemne vode ne pojave na povrsini kao izvori. Tada se prticaj moze meriti prostom volumetrijskom metodom. Ono sto se moze meriti jeste nivo podzemnih voda sa slobodnom povrsinom, odnosno pijezometarske kote za podzemne vode pod pritiskom. Ovi nivoi se osmatraju u bunarima sa plovcima na povrsini vode koji su povezani sa sistemom za belezenje na povrsini terena, ili se nivo moze meriti pomou sondi koje se spustaju u bunare i koje signaliziraju pri nailasku na vodu. Brzine kretanja podzemnih voda mogu se odrediti uz pomo trasera. Cest traser je obicna so. Odreena kolicina trasera se upusta u uzvodni bunar, a meri se vreme za koje e stii do nizvodnog bunara. Na ovaj nacin se dobija stvarna brzina podzemnih voda, a ne prividna ili Darsijeva. Na ovaj nacin moze se odrediti i disperzija zagaujuih materija u transportu podzemnim vodama.

33

4. POVRSINSKI PROCESI U povrsinske procese hidroloskog ciklusa spadaju svi oni kojima se padavine koje dospevaju na povrsinu zemlje preraspodeljuju i kreu do trenutka kada ta voda ponovo dospeva do okeana. Deo padavina koji otice po povrsini ili podzemnim putem do vodotoka naziva se oticaj. Pored ovog termina, koristi se i termin efektivne padavine. Preostali deo padavina koji ne dospeva do vodotoka naziva se gubicima. Radi se o gubicima sa gledista oticaja, jer se voda zapravo ne moze izgubiti u hidroloskom ciklusu. U gubitke spadaju voda koja se zadrzava na vegetaciji (proces intercepcije), voda koja je isparila ili su je iskoristile biljke (evapotranspiracija) i voda koja se infiltrirala u zemljiste. Pored ovoga, voda se moze krae ili duze vreme zadrzavati u povrsinskim depresijama. Oticaj koji stize do povrsinskih voda (tekuih ili stajaih, tj. reka ili jezera) moze biti povrsinski, potpovrsinski ili podzemni. Poslednja dva su rezultat kretanja vode kroz nezasiene odnosno zasiene slojeve zemljista, i odvijaju se sporije od oticaja po povrsini. U tom smislu oni vrse znacajnu vremensku preraspodelu voda. Dok povrsinski oticaj potpuno zavisi od padavina (on se formira neposredno po pocetku padavina i rezultuje u poveanju proticaja u rekama tokom kraeg perioda vremena), potpovrsinske i podzemne vode predstavljaju veliki rezervoar u kome se infiltrirane padavine zadrzavaju, sporo oticu i dospevaju do vodotoka u manjim kolicinama ali znatno ravnomernije u vremenu.

4.1 Povrsinski oticaj Povrsinski oticaj na padinama sliva predstavlja prostorno vrlo neravnomeran proces. Za njega je karakteristicno formiranje privilegovanih puteva vode, odnosno koncentracije oticaja. Tecenje vode po povrsini u tankom sloju je mogue samo na glatkim povrsinama, dok u prirodi teren uslovljava koncentrisanje oticaja. S obzirom da e do tecenja vode na povrsini doi po zasienju zemljista, moze se napraviti razlika izmeu zasienja "odozgo" putem infiltracije i zasienja "odozdo" usled koncentracije potpovrsinskog tecenja. Prva vrsta povrsinskog oticanja obicno se naziva Hortonovski povrsinski oticaj, a druga zasieni povrsinski oticaj. Zasieni povrsinski oticaj javlja se pri dnu padina, blize vodotocima, gde se potpovrsinski tokovi priblizavaju povrsini terena. Mesta zasienja predstavljaju delove sliva koji zapravo doprinose povrsinskom oticaju. Formiranjem privilegovanih puteva vode stvara se prakticno mreza dreniranja sliva, od koje nastaje i recna mreza. Za povrsinsko tecenje u principu vaze osnovni hidrodinamicki zakoni (Sen-Venanove jednacine), ali je njihova primena veoma otezana s obzirom na slozenost geometrije slivnih povrsina i karakteristika njihovog pokrivaca. Zbog toga se cesto pribegava raznim uprosenjima koji rezultuju u mnostvu hidroloskih modela oticaja, o kojima e biti kasnije reci.

4.2 Hidrogrami proticaja u vodotocima Kada povrsinski, potpovrsinski i podzemni oticaj stignu do vodotoka, oni formiraju proticaje u njima. Graficka prezentacija promene proticaja u nekom profilu reke tokom vremena je dijagram koji se naziva hidrogram. Hidrogram koji se osmatra na izlaznom profilu nekog sliva odslikava vezu izmeu padavina i oticaja na tom slivu. Ako se posmatra godisnji hidrogram, odnosno promena proticaja unutar godine na nekom slivu, moze se uociti priroda unutargodisnjeg rezima proticaja. Na slici 18 dati su primeri godisnjih hidrograma na nekim nasim rekama. U nasem podneblju godisnje hidrograme karakterise malovodni period tokom leta i rane jeseni i pojava velikih voda u prolee.

34

9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Jan 4000 3500 Sava/Sremska Mitrovica 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 Jan 1200 1000 800 600 400 200 0 Jan 25 Feb Mar Apr Maj Jun Jul Avg Sep Okt Nov Dec Feb Mar Apr Maj Jun Jul Avg Sep Okt Nov Dec Feb Mar Apr Maj Jun Jul Avg Sep Okt Nov Dec Dunav/Pan~evo

Morava/Ljubi~evski Most

20

Biljanovac/Jo{ anica

15

10

5

0 Jan Feb Mar Apr Maj Jun Jul Avg Sep Okt Nov Dec

Slika 18. Primeri godisnjih hidrograma tokom 1997. godine za neke reke u Srbiji.

35

Talasi velikih voda su posledica padavina, i to znacajnijih kisnih epizoda. Deo hidrograma proticaja koji je direktna posledica oticaja usled kisa naziva se direktni oticaj, dok blagopromenljivi proticaj u susnom periodu predstavlja bazni oticaj, koji potice od sporopristuzueg potpovrsinskog i podzemnog oticaja. Talasi proticaja koji su posledlica kisnih epizoda ili topljenja snega (ili kombinacije ovih pojava) obicno se izdvajaju iz godisnjeg hidrograma da bi se na njima proucavala veza izmeu padavina i oticaja. Na hidrogramu oticaja usled jedne kisne epizode (slika 19) mogu se uociti neke karakteristicne tacke: direktan oticaj pocinje u tacki B, dostize maksimum u tacki C, a zavrsava se u tacki D. Delovi hidrograma izmeu ovih karakteristicnih tacaka nazivaju se: - rastua grana hidrograma (segment BC), - opadajua grana hidrograma (segment CD), - recesiona grana hidrograma (segmenti AB i DE). Recesiona grana hidrograma predstavlja bazni proticaj koji se javlja u vodotoku kada nema padavina.

C

proticaj

Qmax A B Tp TB Tr D E

vreme

Slika 19. Elementi hidrograma usled jedne kisne epizode.

Karakteristicni elementi hidrograma su sledee velicine: - maksimalni proticaj Qmax, - baza hidrograma TB (predstavlja trajanje direktnog oticaja), - vreme podizanja hidrograma Tp (vreme od pocetka direktnog oticaja do dostizanja maksimalnog proticaja), - vreme opadanja hidrograma Tr (vreme od pojave maksimalnog proticaja do zavrsetka direktnog proticaja).

B

Odvajanje baznog i direktnog proticaja. Smatra se da bazni proticaji tj. proticaji u susnom periodu opadaju eksponencijalno s vremenom i da se recesiona grana hidrograma moze aproksimirati jednacinom:

Q (t ) = Qo e - (t -to ) / k

36

gde je Qo proticaj u trenutku to, a k recesioni koeficijent koji ima dimenziju vremena. Gornja jednacina ukazuje da su logaritmi proticaja linearno zavisni od vremena:

ln Q (t ) = ln Qo - (t - t o ) / k

Drugim recima, recesiona grana hidrograma bie prava linija ako se hidrogram nacrta u semilogaritamskoj razmeri (sa proticajima i logaritamskoj, a vremenom u aritmetickoj razmeri). Ova cinjenica se koristi da se na hidrogramu odrede tacke pocetka i prestanka direktnog oticaja. Odvajanje baznog od direktnog proticaja (slika 20) pocinje identifikacijom tacke B, kao pocetka direktnog oticaja. Segment AB se produzava do vremena pojave maksimalnog proticaja (tacka C'). Zatim se identifikuje tacka D, vreme prestanka direktnog oticaja i ona se spaja sa tackom C'.

C

proticaj

direktan oticaj

A B C'

Qd

D E bazni oticaj vreme

Qb

Slika 20. Odvajanje baznog i direktnog oticaja.

4.3 Efektivna kisa i direktni oticaj Efektivna kisa je deo ukupne kise pale na sliv koji se pretvorio u direktni oticaj. To je dakle onaj deo kise koji se nije infiltrirao zemljiste ili koji se nije zadrzao na povrsini zemljista. Razlika izmeu pale kise i efektivne kise naziva se gubicima. Povrsina ispod hidrograma direktnog oticaja predstavlja zapreminu direktnog oticaja Vd za jednu kisnu epizodu:

Vd = Q(t ) dt

0

TB

Ukupna visina efektivne kise jednaka je sloju direktnog oticaja, odnosno zapremini direktnog oticaja po jedinici povrsine sliva:

Pe =

Vd A

Ukupni gubici su razlika pale (bruto) kise i efektivne (neto) kise:

Pg = P - Pe

37

Odnos ukupnih visina efektivne i pale kise naziva se koeficijent oticaja:

=

Pe P

On je takoe i odnos zapremina otekle vode (zapremine direktnog oticaja) i zapremine pale kise:

=

Pe A Vd = P A Vp

4.4 Merenje povrsinskih voda Iako je proticaj najvaznija velicina kada su u pitanju vodotoci, njegovo direktno merenje nije mogue u veini slucajeva. Na izvorima i na veoma malim vodotocima proticaj se moze meriti volumetrijski, a na iole veim potocima i rekama to je nemogue, tako da se obavljaju merenja dubina ili nivoa vode (vodostaja), a zatim se na osnovu njih odreuje proticaj. Na manjim vodotocima mogue je konstruisati objekte kao sto su suzenja ili prelivi na kojima postoji jednoznacna veza izmeu dubina i proticaja definisana poznatim jednacinama. Za ove objekte mora postojati period tariranja tj. paralelnog merenja dubina i proticaja na alternativan nacin da bi se utvrdili koeficijenti koji figurisu u odgovarajuim jednacinama (koeficijenti prelivanja i slicno). Na rekama se kontinualno mere vodostaji, a povremeno se mere brzine toka po poprecnom preseku i proticaj dobija racunskim putem. Tako dobijeni proticaji i odgovarajui vodostaji se dovode u vezu koja se naziva kriva proticaja, kako bi se pomou nje odreivali proticaji na osnovu vodostaja koji se kontinualno mere.

4.4.1 Merenje vodostaja Vodostaj se definise kao razlika izmeu nivoa vode Z i neke referentne kote Zo (slika 21a). Referentna kota naziva se kota nule. Kota nule je fiksirana kota sa poznatom nadmorskom visinom. Vodostaj se meri u odnosu na kotu nule i izrazava u cm. Ako se nivo vode nalazi na koti nule, vodostaj je 0. Kota nule se obicno postavlja ispod najnizeg opazenog nivoa vode kako bi vodostaji imali pozitivne vrednosti (slika 21a). Ukoliko doe do produbljivanja korita, moze se desiti da se javljaju i nivoi vode ispod kote nule, pa vodostaji mogu biti i negativni (slika 21b). Najjednostavniji instrument za merenje vodostaja je vodomerna letva. Ona se postavlja tako da njena kota nule bude ispod najnizeg opazenog vodostaja. Ako se korito produbi, ispod postojee letve postavlja se tzv. negativna letva. Letva je obicno graduisana podeocima od 2 cm, tako da je tacnost ocitavanja 1 cm. U okviru redovnih osmatranja na vodomernim stanicama sa letvama vodostaji se ocitavaju jednom dnevno (u 6 sati), a po potrebi (u periodima nailaska talasa velikih voda) i vise puta dnevno. Od ureaja za kontinualno merenje vode najcese se koristi limnigraf sa plovkom. Obicno se pored reke iskopa plitak bunar sa poprecnom vezom ka reci, tako da je nivo vode u bunaru jednak nivou vode u reci. U bunaru je smesten ureaj koji se sastoji od plovka, uzeta na cijoj jednoj strani se nalazi plovak, kotura preko koga prelazi uze i kontratega na durgoj strani uzeta. Pomeranje plovka se prenosi na papirnu traku, tako da se dobija kontinualni zapis promene vodostaja.

38

nivo vode Z

(a) kota nule Zo

vodostaj H

nivo vode Z

kota nule Zo (b)

vodostaj H

Zo

H>0 H<0

Slika 21. Definicija vodostaja i kote nule: (a) vodostaji se mere od kote nule do nivoa vode; (b) ako se jave nivoi vode ispod kote nule, vodostaji su negativni.

4.4.2 Merenje brzina Merenja brzina tecenja vode u profilima hidroloskih stanica najcese se nazivaju hidrometrijska merenja. Za merenje brzina u prirodnim vodotocima najcese se koristi hidrometrijsko krilo. Njegov glavni deo je elisa na osovini koja je pricvrsena na metalnu sipku odnosno drzac (slika 22). Kada se krilo spusti u vodu tako da se vodena struja kree ka elisi, elisa e se okretati brzinom koja zavisi od brzine vodene struje. Broj obrtaja elise je u funkcionalnoj vezi sa brzinom, a ta veza je najcese visestruka linearna (za razlicite opsege broja obrtaja vaze razlicite jednacine). Osovina elise je povezana sa elektricnim brojacem obrtaja, tako da se prakticno registruje broj obrtaja u odreenom vremenskom intervalu, a brzina se racuna prema odgovarajuoj jednacini. Velicina elise moze biti razlicita; manje elise se koriste za manje brzine i vodotoke, a vee za vee brzine i vodotoke. U zavisnosti od velicine vodotoka, krilo se moze spustati u vodu na razlicite nacine. U potocima u koje se moze zagaziti, covek spusta drzac krila u pojedine tacke poprecnog preseka toka. Po sirini profila se razapne uze kako bi se fiksirala mesta (vertikale) u kojima se mere brzine, dok se dubina moze odrediti pomou graduacije na drzacu krila. Drzac krila se moze spustati u tok i sa mosta. Kod veih vodotoka merenja se moraju vrsiti iz camca voenog celicnim uzetom razapetim po sirini toka ili pomou zicare. Na veoma velikim vodotocima mesta merenja brzina moraju se odrediti geodetskim

39

metodama, a umesto krila sa elisom koriste se torpeda (duzine oko 2 m), koja pomou celicnih uzadi vuce brod.

Slika 22. Hidrometrijsko krilo. Broj tacaka u kojima treba izmeriti brzine zavisie od velicine vodotoka. Prema preporukama Svetske meteoroloske organizacije, rastojanje izmeu dve vertikale ne treba da bude vee od 1/20 sirine vodotoka. Za dubine vee od 1 m, na vertikali se obicno uzima pet tacaka u kojima se mere brzine (pri povrsini, na 0.2h, 0.6h, 0.8h i pri dnu, gde je h dubina vodotoka na vertikali), dok se za manje dubine uzima manje tacaka.

4.4.3 Proracun proticaja na osnovu izmerenih brzina Merenja brzina, ili hidrometrijska merenja, sprovode se sa glavnim ciljem da se odredi proticaj u profilu stanice pri nekom vodostaju. Proticaj se odreuje integrisanjem polja brzina u poprecnom preseku vodotoka:

Q = v( x, y ) dA = v( x, y ) dx dy

A x =0 y =0

B h( x)

gde je A povrsina poprecnog preseka vodotoka, x rastojanje od leve obale, B sirina vodnog ogledala, y dubina merena od povrsine, a h(x) ukupna dubina na rastojanju x od leve obale. U prakticnim proracunima proticaja na osnovu izmerenog polja brzina, najpre se vrsi integracija po dubini za svaku vertikalu (slika 23). Tako dobijena velicina naziva se elementarni proticaj (q):

q( x) = v dy

y =0

h( x)

Elementarni protcaj predstavlja proticaj po jedinici sirine korita i ima dimenziju L2T-1. Na osnovu njega moze se odrediti i srednja brzina na vertikali:

v v ( x) =

q ( x) h( x )

40

U drugom koraku integrisu se elementarni proticaji po sirini korita kako bi se dobio ukupni proticaj:

Q = q( x) dx

x =0

B

q

q(x) Q = q(x) dx

0 B

x

B

h(x) y

v

q(x) = v(x,y) dx

0

h(x)

vertikala

Slika 23. Proracun proticaja integracijom polja brzina.

4.4.4 Kriva proticaja Uspostavljanje pouzdane veze izmeu osmotrenih vodostaja i odgovarajuih proticaja je od sustinskog znacaja za hidroloske analize. Zavisnost izmeu vodostaja i proticaja za neku hidrolosku stanicu naziva se kriva proticaja. Ona se formira na osnovu rezultata merenja brzina i proracuna proticaja u poprecnom profilu stanice pri trenutnom vodostaju. Kako bi se pokrio ceo dijapazon moguih proticaja i vodostaja, hidrometrijska merenja treba sprovoditi pri razlicitim vodostajima. Uobicajena je praksa da se ova merenja obavljaju 10­12 puta godisnje. Kada se parovi vrednosti osmotrenih vodostaja i sracunatih proticaja nanesu na dijagram Q­H (slika 24), oni e se grupisati oko neke krive linije, ali e se neizbezno pojaviti rasipanje tacaka usled gresaka u merenjima i nepreciznosti u proracunu proticaja. Provlacenje krive linije kroz tacke moze se obaviti matematicki uz pomo regresione analize, mada se u praksi cesto radi i rucno jer ovaj postupak zahteva iskustvo. Kriva koja se provuce kroz tacke moze se onda definisati na sledee nacine: (a) graficki, na dijagramu Q­H, (b) tabelarno, sa parovima odgovarajuih vrednosti vodostaja i proticaja ("pisana kriva proticaja"), i (c) analiticki, u obliku Q = Q(H). Najcesi analiticki oblici krive proticaja su stepene funkcije oblika Q = aH b ili Q = a ( H - H 0 ) b . Korita prirodnih vodotoka su najcese nestabilna jer pod dejstvom vodene struje dolazi do produbljivanja ili nasipanja korita, cime se menja i hrapavost dna vodotoka. Zbog toga vezu Q(H) treba cesto proveravati. Jedna kriva proticaja moze vaziti za neki profil duze ili krae vreme, u zavisnosti od nestabilnosti korita. Za svaki profil najcese postoji citava familija krivih proticaja. Pored nestabilnosti, promena pada linije nivoa tokom neustaljenog tecenja takoe se odrazava na zavisnost Q(H). U ustaljenom tecenju pad dna i pad linije nivoa su jednaki, pa je veza izmeu proticaja i dubina (ili vodostaja) jednoznacna i data Maningovom jednacinom. U neustaljenom tecenju, kao sto je prolazak poplavnog talasa, ova veza nije jednoznacna jer se pad linije nivoa menja. U trenutku nailaska poplavnog talasa proticaji i nivoi vode rastu, pa je pad linije nivoa vei od pada dna; pri povlacenju poplavnog talasa je obrnuto. Rezultat je pojava petlje u vezi Q(H), kao u primeru na slici 25. Za isti vodostaj, pri nailasku poplavnog talasa proticaji su vei nego pri povlacenju talasa.

41

0 150

2

4

6

8

10

12

14

H (cm)

140

Q (m3 /s)

130

120

110

100

90 Legenda: 1975 1976 1977 1978 1979

80

70

60

Q (m3 /s)

50 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

Slika 24. Kriva proticaja za vodomernu stanicu Borac na Borackoj reci.

120 100 80 Vodostaj (cm) Vodostaj (cm) 60 40 20 0 -20 -40 21 22 23 24 25 26.11. datum

120 23.11. 100 80 60 40 20 0 -20 -40 0 21.11. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 24.11. 25.11. 26.11. 22.11.

Proticaj (m3/s)

Slika 25. Pojava petlje na krivoj proticaja tokom prolaska poplavnog talasa (vodostaji i proticaji osmotreni na reci Kolubari kod Slovca tokom novembra 1996. godine).

42

TREI DEO STATISTICKA ANALIZA U HIDROLOGIJI

5. STATISTICKA ANALIZA U HIDROLOGIJI Hidroloski procesi odvijaju se u prostoru i vremenu na delimicno predvidljiv ili deterministicki nacin, a delimicno na slucajan nacin. Varijacije hidroloskih procesa koje su slucajnog karaktera ponekad dominiraju nad varijacijama koje su deterministickog karaktera, pa je tada posmatranje procesa kao cisto slucajnog opravdano. U cisto slucajnom procesu jedan podatak osmatranja procesa ne zavisi od podataka prethodnih ili narednih osmatranja, pa su statisticke osobine svih osmatranja iste. Ovakav nacin tretiranja hidroloskih procesa je pogodan za ekstremne hidroloske pojave kao sto su poplave ili suse. Statisticka analiza hidroloskih nizova zasniva se na teoriji verovatnoe i statistike kao matematickoj disciplini. Ona sluzi da se opise slucajan karakter podataka osmatranja nekog hidroloskog procesa. Pri tome se paznja usredsreuje na podatke osmatranja, a ne na fizicke procese koji su ih proizveli. Zbog toga statistika sluzi kao sredstvo za opisivanje procesa, a ne za analizu uzrocno-posledicnih veza.

5.1 Slucajne promenljive i njihove raspodele verovatnoe 5.1.1 Osnovni pojmovi Slucajna promenljiva X je promenljiva koja se ponasa po nekom zakonu verovatnoe. To znaci da e ta promenljiva uzimati neke vrednosti sa odreenom verovatnoom. Vrednosti koje slucajna promenljiva uzima predstavljaju rezultate osmatranja (ili opita) i nazivaju se ishodi ili realizacije slucajne promenljive. Oblast definisanosti slucajne promenljive je skup svih moguih ishoda te slucajne promenljive koji se oznacava sa . Slucajna promenljiva je diskretna (ili prekidna) ako uzima celobrojne vrednosti, odnosno ako je njen skup svih moguih ishoda pripada skupu celih brojeva. Slucajna promenljiva je kontinualna (ili neprekidna) ako je njen skup svih moguih ishoda pripada skupu realnih brojeva. Visine kise, proticaji i vodostaji su primeri kontinualnih slucajnih promenljivih u hidrologiji. Primeri za diskretne slucajne promenljive su broj dana sa kisom, broj dana sa snegom, broj kisnih epizoda sa visinom kise iznad neke vrednosti itd. Podskupovi skupa svih moguih ishoda nazivaju se slucajni dogaaji (slika 26). Na primer, skup svih moguih ishoda za godisnju visinu padavina kao slucajnu promenljivu teorijski obuhvata realne brojeve od nule do beskonacnosti (iako je visina kise u stvarnosti vea od neke donje granice i manja od neke gornje granice), dok dogaaj moze biti pojava godisnje visine kise manje od neke vrednosti, kao sto je 700 mm. Ishodi ili osmatranja slucajne promenljive mogu uzeti vrednosti iz skupa svih moguih ishoda sa odreenom verovatnoom. Nacin na koji se odreene verovatnoe pripisuju ishodima x slucajne promenljive X zove se raspodela verovatnoe. Na primer, ako je X godisnja visina padavina, raspodelom verovatnoe je odreena verovatnoa da se visina kise u posmatranoj godini nae u nekom intervalu vrednosti, kao sto je manje od 600 mm, od 600 do 700 mm itd.

43

Skup svih mogu}ih ishoda

A

B

A B

Slika 26. Dogaaji A i B su podskupovi skupa svih moguih ishoda . Niz osmatranja (ishoda, realizacija) x1, x2, ..., xN slucajne promenljive X naziva se uzorak. Pretpostavlja se da je uzorak deo populacije koja ima nepromenljive statisticke osobine, dok se osobine jednog uzorka mogu razlikovati od osobina drugih uzoraka. Verovatnoa pojave slucajnog dogaaja A je verovatnoa da se on realizuje prilikom osmatranja slucajne promenljive. Ta verovatnoa se moze proceniti ako se posmatra uzorak od N osmatranja i u njemu uoi NA vrednosti koje ulaze u raspon vrednosti dogaaja A. Relativna frekvencija dogaaja A tada je NA/N. Sto je vei uzorak (sto je vee N), to relativna frekvencija postaje bolja ocena verovatnoe dogaaja A. Drugim recima:

P{ A} = lim

N

NA N

Verovatnoe dogaaja koje se procenjuju na osnovu podataka iz uzorka su priblizne verovatnoe, jer zavise od konkretnih osmotrenih vrednosti u uzorku ogranicene duzine. Drugi nacin da se odrede verovatnoe dogaaja jeste da se podacima iz uzorka prilagodi odreena funkcija raspodele verovatnoe i da se trazene verovatnoe odrede iz te funkcije raspodele. Neke od vaznih osobina verovatnoe dogaaja su sledee: - Potpuna verovatnoa: ako se prostor verovatnoe podeli na M disjunktnih skupova odnosno dogaaja A1, A2, ..., AM koji se meusobno iskljucuju, tada je:

P{ A1 } + P{ A2 } + K + P{ AM } = P{} = 1

Drugim recima, skup je potpun skup dogaaja, pa se naziva sigurnim ili izvesnim dogaajem. - Komplementarnost: ako je skup A komplement skupa A, to jest A = - A , onda:

P{ A} = 1 - P{ A}

Komplementarni dogaaj A naziva se i suprotni dogaaj, a P{A} suprotna verovatnoa. Ovaj princip sledi iz prethodnog. Takoe sledi da je verovatnoa praznog skupa dogaaja jednaka nuli:

P{O} = 1 - P{} = 0 /

- Uslovna verovatnoa: posmatrajmo dva dogaaja A i B kao sto je prikazano na slici 26 (dogaaj A moze biti da visina kise u jednoj godini bude manja od 700 mm, a dogaaj B da visina kise sledee godine bude manja od 700 mm). Njihov presek je A B, koji znaci da e se realizovati oba dogaaja (u primeru sa godisnjim visinama kisa, A B predstavlja dogaaj da e visina kise u dve uzastopne godine biti manja od 700 mm). Verovatnoa da e se realizovati oba dogaaja P{A B} naziva se zajednicka verovatnoa. Verovatnoa da e se realizovati dogaaj

44

B pod uslovom da se dogaaj A ve realizovao naziva se uslovna verovatnoa i obelezava kao P{BA}. Ona je jednaka:

P{B | A} =

P{ A B} P{ A}

- Nezavisnost dogaaja: ukoliko realizacija dogaaja B ne zavisi od realizacije dogaaja A, za ove dogaaje se kaze da su nezavisni, pa je P{BA} = P{B}. Za nezavisne dogaaje onda vazi:

P{ A B} = P{ A} P{B}

Ako se u prethodnom primeru mogu smatrati nezavisnim dogaaji da visina kise u jednoj i u drugoj godini budu manje od 700 mm, tada je verovanoa da visina kise u dve uzastopne godine bude manja od 700 mm jednaka kvadratu verovatnoe da kisa u jednoj godini bude manja od 700 mm.

5.1.2 Ucestalost i funkcija raspodele Analiza ucestalosti (ili frekvencija) obavlja se tako sto se mogui opseg vrednosti slucajne promenljive podeli na intervale odnosno klase, a zatim se prebroje podaci iz uzorka koji padaju u svaki od intervala. Broj podataka u svakoj klasi naziva se apsolutna frekvencija. Graficka predstava apsolutnih frekvencija ima oblik histograma (slika 27) na kome svaki stubi predstavlja broj podataka u jednoj klasi. Ako se apsolutna frekvencija fi u klasi i podeli sa ukupnim brojem podataka N, dobija se relativna frekvencija:

f i* =

1000 900 800 700

fi N

1000 900 800 700

Visina ki{e (mm)

600 500 400 300 200 1880 1900 1920 1940 Godina (a) Godi{nje visine ki{a 1960 1980 2000

600 500 400 300 200 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Broj podataka (apsolutna frekvencija)

(b) Histogram frekvencija

Slika 27. Godisnje visine kisa u Beogradu (meteoroloska opservatorija Vracar) u periodu 1988­1991.

45

Relativna frekvencija je priblizno jednaka verovatnoi da se slucajna promenljiva X nae u klasi i:

f i* P{x i -1 < X x i }

gde su xi­1 i xi donja i gornja granica klase i. Zbir relativnih frekvencija do odreene klase i naziva se kumulativna relativna frekvencija:

Fi* = f k*

k =1

i

Kumulativna relativna frekvencija je priblizno jednaka verovatnoi da je slucajna promenljiva manja od gornje granice klase i,

Fi* P{ X x i }

Relativna frekvencija i kumulativna relativna frekvencija racunaju se na osnovu podataka iz uzorka. Odgovarajue verovatnoe za celu populaciju predstavljaju granicne vrednosti frekvencija za veliku duzinu uzorka (N ) i za veoma malu sirinu klase (x 0). Tako relativna frekvencija postaje funkcija gustine raspodele:

f ( x) = lim f* x

N x 0

= lim

P{x < X x + x} x 0 x

Kumulativna relativna frekvencija postaje funkcija raspodele:

F ( x) = lim F *

N x 0

Odnos relativnih i kumulativnih relativnih frekevencija prema funkciji gustine raspodele i funkciji raspodele prikazan je na slici 28.

Uzorak

(a) Relativne frekvencije

1 f*(xi )

Populacija

(c) Funkcija gustine raspodele

f (x )

0 x

x xi

x

(b) Kumulativne relativne frekvencije

(d) Funkcija raspodele

1 F*(xi ) F*(xi-1 ) 0

F*(xi )

1 F (xi )

F (x )

f*(xi )

xi-1 xi

x

0

xi

x

Slika 28. Relativne frekevencije za uzorak i funkcija raspodele za populaciju.

46

Izvod funkcije raspodele je funkcija gustine raspodele:

f ( x) =

dF ( x) dx

Funkcija raspodele se definise kao verovatnoa da slucajna promenljiva X bude manja ili jednaka nekoj vrednosti x i moze se izraziti kao integral funkcije gustine raspodele u tom domenu:

F ( x) = P{ X x} = f (u ) du

-

x

gde je u pomona promenljiva u integraciji. Verovatnoa prevazilazenja je suprotna verovatnoa funkciji raspodele:

P{ X > x} = 1 - F ( x) = f (u ) du

x

Verovatnoa da se slucajna promenljiva nae u nekom intervalu (xi­1, xi) moze se odrediti na sledei nacin:

P{xi -1 < X xi } = f (u ) du = f (u ) du - f (u ) du = F ( xi ) - F ( xi -1 )

xi -1 - -

xi

xi

xi -1

5.1.3 Statisticki parametri Populacija neke slucajne promenljive moze se opisati odreenim parametrima kao sto su srednja vrednosti ili standardna devijacija. Ti parametri su fiksirani, ali su nam obicno nepoznati. Ukoliko se ti parametri odrede na osnovu uzorka, nazivamo ih statistikama. Statistike e se razlikovati od parametara populacije zbog toga sto se nasi proracuni zasnivaju na ogranicenom broju podataka iz uzorka. Parametri populacije se definisu kao ocekivana vrednost ili matematicko ocekivanje neke funkcije slucajne promenljive. Matematicko ocekivanje predstavlja operator E, cija je matematicka definicija:

E[ g ( X )] = g ( x) f ( x) dx

-

Prvi od glavnih parametara populacije je srednja vrednost , kao matematicko ocekivanje same slucajne promenljive:

= E[ X ] = x f ( x) dx

-

Srednja vrednost predstavlja prvi momenat funkcije gustine raspodele oko koordinatnog pocetka i predstavlja meru centralne tendencije raspodele. Ocena srednje vrednosti na osnovu uzorka je prosecna vrednost podataka iz uzorka:

x=

1 N xi N i =1

Jos jedna mera centralne tendencije je medijana, koja se definise kao vrednost slucajne promenljive za vrednost funkcije raspodele od 0.5 (slika 29):

F ( Me) = f (u ) du = f (u ) du = 0.5

- Me

Me

Drugim recima, to je vrednost koja deli povrsinu ispod funkcije gustine raspodele na dva jednaka dela.

47

Me

f (x )

-

f (u ) du = 0.5

Me

f (u ) du = 0.5

Me

x

Slika 29. Definicija medijane. Mera odstupanja vrednosti slucajne promenljive od srednje vrednosti naziva se disperzija ili varijansa 2, koja predstavlja drugi momenat funkcije gustine raspodele oko srednje vrednosti:

2 = E[( X - ) 2 ] = ( x - ) 2 f ( x) dx

-

Disperzija se moze tumaciti i kao srednje kvadratno odstupanje od srednje vrednosti. Ocena disperzije na osnovu podataka iz uzorka dobija se kao:

S2 =

1 N 2 ( xi - x ) N - 1 i =1

U gornjem izrazu u imeniocu stoji N ­ 1 umesto N kako bi se dobila tzv. nepristrasna ocena disperzije (to je takva ocena koja u proseku nema tendenciju da bude vea ili manja od stvarne vrednosti). Disperzija ima dimenzije kvadrata slucajne promenljive. Koren disperzije se naziva standardna devijacija i ona predstavlja meru odstupanja od srednje vrednosti u dimenziji slucajne promenljive. Na slici 30 prikazan je uticaj velicine standardne devijacije: sto je ona vea, to je vee rasturanje podataka. Bezdimenzionalni pokazatelj odstupanja naziva se koeficijent varijacije:

Cv =

koji se na osnovu uzorka ocenjuje kao S / x . Asimetrija gustine raspodele oko srednje vrednosti se meri treim momentom oko srednje vrednosti:

f (x ) malo

f( x ) pozitivna asimetrija Cs > 0 negativna asimetrija Cs < 0

veliko

(a) Standardna devijacija

x

(b) Koeficijent asimetrije

x

Slika 30. Uticaj standardne devijacije i koeficijenta asimetrije na oblik gustine raspodele.

48

E[( X - ) 3 ] = ( x - ) 3 f ( x) dx

-

Bezdimenzionalni pokazatelj asimetrije naziva se koeficijent asimetrije:

Cs =

E[( X - ) 3 ] 3

N N ( xi - x ) 3 3 ( N - 1)( N - 2) S i =1

Nepristrasna ocena koeficijenta asimetrije na osnovu uzorka je:

Cs =

Za funkciju gustine raspodele se kaze da ima pozitivnu asimetriju (Cs > 0) ako je "izduzena" na desnu stranu, odnosno njen mali deo pripada velikim vrednostima slucajne promenljive (slika 30), dok je negativno asimetricna gustina raspodele je izduzena na levu stranu. Da li je asimetrija pozitivna ili negativna moze se oceniti i na osnovu toga da li je maksimalna vrednost funkcije gustine raspodele (koja se naziva mod) manja ili vea od srednje vrednosti. U tabeli 10 dat je pregled formula za parametre populacije i odgovarajue statistike uzorka.

Tabela 10. Parametri populacije i statistike uzorka. Parametar Statistika 1. Centralna tendencija Aritmeticka sredina

= E[ X ] = x f ( x ) dx

-

x=

1 N xi N i =1

Medijana x takvo da je F(x) = 0.5 Geometrijska sredina

e

E [ln X ]

Percentil od 50%

1/ N

N xi i =1

2. Odstupanja Varijansa (disperzija)

2 = E [( X - ) 2 ]

S2 =

1 N 2 ( xi - x ) N - 1 i =1

Standardna devijacija

= E[( X - ) 2 ]

S=

1 N 2 ( xi - x ) N - 1 i =1

S x

Koeficijent varijacije Cv = 3. Asimetrija Koeficijent asimetrije E[( X - ) 3 ] Cs = 3

Cv =

Cs =

N N 3 ( xi - x ) 3 ( N - 1)( N - 2) S i =1

49

5.2 Teorijske raspodele verovatnoe za hidroloske velicine U ovom odeljku bie prikazane neke od najcese korisenih teorijskih raspodela u hidrologiji. U tabeli 11 dat je pregled osnovnih karakteristika svake od ovih raspodela ­ funkcije gustine raspodele, domen definisanosti slucajne promenljive i izrazi za parametre raspodela prema metodi momenata.

5.2.1 Normalna raspodela Normalna raspodela je jedna od najpoznatijih i najcese korisenih raspodela cija funkcija gustine raspodele glasi:

f ( x) =

( x - ) 2 exp- 2 2 2 1

gde su i parametri raspodele. Uvoenjem smene

z=

x-

normalna raspodela postaje standardna normalna raspodela sa funkcijom gustine raspodele

f ( z) =

1 2

e -z

2

/2

-< z<

koja zavisi samo od vrednosti z (slika 31). Slucajna promenljiva Z = (X ­ )/ naziva se standardna normalna promenljiva. Ona se moze shvatiti kao normalna slucajna promenljiva sa srednjom vrednosu 0 i standardnom devijacijom 1. Funkcija standardne normalne raspodele

F ( z) =

z

1 2

e -u

2

/2

du

-

gde je u pomona promenljiva za integraciju, nema analiticki oblik. Njene vrednosti su date u prilogu A, a graficki je prikazana na slici 32. Vazna osobina normalne raspodele je njena simetricnost u odnosu na srednju vrednost (Cs = 0). Zbog toga vazi:

f (- z ) = f ( z ) F (- z ) = 1 - F ( z )

Normalna raspodela ima ogranicenu primenu u hidrologiji s obzirom da je simetricna u odnosu na srednju vrednost, dok veina hidroloskih promenljivih pokazuje asimetriju. Pored toga, normalno rasporeena slucajna promenljiva kree se u opsegu [­, ], dok je veina hidroloskih velicina nenegativna.

5.2.2 Log-normalna raspodela Ako slucajna velicina Y = ln X (ili Y = log X) prati normalnu raspodelu, tada se za slucajnu promenljivu X kaze da prati log-normalnu raspodelu. Log-normalna raspodela ima veu primenu u hidrologiji od normalne raspodele. Logaritmovanjem podataka se smanjuje pozitivna asimetrija koja se cesto uocava kod hidroloskih velicina (zbog toga sto se logaritmovanjem veliki brojevi smanjuju relativno vise nego mali brojevi). Ukoliko podaci nakon logaritmovanja i dalje pokazuju znacajnu asimetriju, log-normalna raspodela nije pogodna za primenu. Pored toga, domen slucajne promenljive koja prati log-normalnu raspodelu je X > 0, sto vise odgovara prirodi hidroloskih velicina.

50

0.5

0.4

f ( z) =

1 2

e- z

2

/2

0.3 f (z ) 0.2 0.1 0 -3.0

-2.0

-1.0

0.0 z

1.0

2.0

3.0

Slika 31. Funkcija gustine raspodele standardne normalne raspodele ( = 0, = 1).

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 F (z ) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 z 1.0 2.0 3.0

F ( z) =

-

z

1 2

e-u

2

/2

du

Slika 32. Funkcija gustine raspodele standardne normalne raspodele ( = 0, = 1).

5.2.3 Gama raspodela Pod gama raspodelama podrazumeva se citav spektar razlicitih raspodela koje u sebi sadrze gama funkcije. Osnovni oblik gama raspodele ima dva parametra koji daju veoma razlicite oblike funkcije gustine raspodele (slika 33). Funkcija gustine dvoparametarske gama raspodele glasi:

f ( x) =

1 x ( )

-1

e -x /

(1)

Ova raspodela je korisna za primenu kod asimetricnih hidroloskih podataka (pa nestaje potreba za logaritmovanjem kao kod log-normalne raspodele). Ova raspodela je ogranicena sa donje strane u tacki x = 0 i definisana je za pozitivne vrednosti slucajne promenljive (x 0).

51

1 0.9 0.8 0.7 0.6 f (x ) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 x 5 6 7 8 =2 =4 =1 f (x ) =1

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 x 5 6 7 8 =2 =4 =1 =2

Slika 33. Funkcije gustine dvoparametarske gama raspodele za razlicite vrednosti parametara i . To su ujedno i oblici Pirson III raspodele za vrednost parametra lokacije c jednakom nuli.

5.2.4 Pirsonova raspodela III tipa Cuveni statisticar Karl Pirson razvio je citav sistem raspodela koji obuhvata sedam tipova. Tip III cesto se naziva i troparametarska gama raspodela, jer se njena funkcija gustine raspodele moze dobiti na osnovu dvoparametarske gama raspodele uvoenjem treeg parametra c kao parametra lokacije:

f ( x) =

1 x-c ( )

-1

e -( x -c ) /

(2)

To prakticno znai da je ova funkcija raspodele ogranicena sa donje strane u taki x = c. S obzirom da ima tri parametra koji mogu dati veoma razlicite oblike gustine raspodele, ova raspodela je veoma fleksibilna. Pri odreivanju parametara metodom momenata potrebno je upotrebiti prva tri momenta (srednju vrednost, standardnu devijaciju i koeficijent asimetrije). Mnoge raspodele su specijalni slucajevi Pirsonovih tipova raspodela. Tako je normalna raspodela specijalan slucaj Pirson III raspodele kada je koeficijent asimetrije jednak nuli (odnosno parametar tezi beskonacnosti). Pirson III raspodela se cesto koristi kao raspodela za maksimalne godisnje proticaje. S obzirom da funkcija gustine Pirsonove raspodele III tipa (jednacina 2) nije integrabilna, za proracun funkcije raspodele moraju se koristiti tablice. Kako ova raspodela ima tri parametra, njeno tabulisanje u zavisnosti od vrednosti ovih parametara nije prakticno. Zbog toga se za ovu raspodelu tabulisu vrednosti faktora frekvencije:

kP =

x-

cime se eliminisu dva parametra. Uticaj treeg parametra unosi se kroz koeficijent asimetrije (s obzirom da se srednja vrednost, standardna devijacija i koeficijent asimetrije koriste za odreivanje tri parametra ove raspodele). Na taj nacin tabulisu se vrednosti faktora frekvencije kP u zavisnosti od vrednosti funkcije raspodele i koeficijenta asimetrije. Tabele Pirsonove raspodele date su u prilogu A. 5.2.5 Log-Pirson III raspodela Ako promenljiva Y = ln X (ili Y = log X) prati Pirson III raspodelu, tada promenljiva X prati log-Pirson III raspodelu. Ova raspodela je najcese korisena raspodela za maksimalne godisnje proticaje (u SAD cak

52

predstavlja standard za proracun velikih voda), kao i za minimalne godisnje proticaje. Specijalan slucaj log-Pirson III raspodele za Csy = 0 jeste log-normalna raspodela.

5.2.6 Raspodele ekstremnih vrednosti Ekstremne vrednosti su izabrane maksimalne ili minmalne vrednosti iz skupa podataka. Na primer, maksimalni godisnji proticaj na nekoj hidroloskoj stanici je najvea osmotrena vrednost proticaja tokom godine, a maksimalni godisnji proticaji za avaku godinu cine niz ekstremnih vrednosti koje se mogu statisticki analizirati. Smatra se da raspodele ekstremnih vrednosti izvucenih iz skupa podataka koji prate bilo koju raspodelu teze ka jednoj od tri oblika raspodele ekstremnih vrednosti (tip I, tip II i tip III), pod uslovom da je broj izabranih vrednosti veliki. Raspodela ekstremnih vrednosti tipa I cesto se naziva Gumbelova raspodela, prema statisticaru koji je razmatrao ovu raspodelu, a tip II se naziva i Freseova raspodela. Ako se promenljiva x u tipu III zameni sa ­x, onda se radi o Vejbulovoj raspodeli. Ova tri oblika raspodele mogu se podvesti pod jedan opsti oblik, nazvan opsta raspodela ekstremnih vrednosti:

1/ k x-u F ( x) = exp - 1 - k

gde su u, i k parametri koje treba odrediti. Gumbelova raspodela (EV I), koja se dosta koristi u hidrologiji, dobija se iz opste raspodele za k = 0 i glasi:

x - u F ( x) = exp- exp -

Domen definisanosti slucajne promenljive ovog tipa raspodele je ­ x < . Raspodela EV II se dobija iz opsteg oblika za k < 0 sa domenom definisanosti (u + /k) x < , a EV III za k > 0 sa domenom definisanosti < x (u + /k). U sva tri slucaja je > 0. Vejbulova raspodela, koja takoe nalazi primenu u hidrologiji u analizi malih voda i kao raspodela prekoracenja iznad nekog praga, ima funkciju raspodele koja glasi:

x - c a F ( x) = 1 - exp - b

(3)

gde je a = 1 / k , b = / k i c = - (u + / k ) .

5.2.6 Eksponencijalna raspodela Eksponencijalna raspodela moze se posmatrati kao specijalni slucaj dvoparametarske gama raspodele (jednacina 1) za = 1 (pri cemu je () = 1):

f ( x) =

1 -x / e

Ona je takoe i specijalni slucaj Vejbulove raspodele, kada se u jednacini (3) stavi a = 1 i c = 0. Ponekad se koristi i dvoparametarska eksponencijalna raspodela:

f ( x) =

1 -( x -c ) / e

53

koja je specijalni slucaj raspodele Pirson III (jednacina 2) za = 1 i Vejbulove raspodele za a = 1.

Tabela 11. Raspodele verovatnoe u hidrologiji.

Raspodela Normalna Funkcija gustine raspodele Domen

- < x <

Jednacine za parametre na osnovu momenata uzorka

f ( x) =

( x - ) 2 exp - 2 2 2 1

1 x y ( y - y )2 exp - 2 2 2 y

=x = Sx

y = y y = Sy

Log-normalna

f ( x) =

x>0

gde je y = ln x Eksponencijalna

f ( x) =

1 -x / e

-1

x0

=x

Gama (dvoparametarska)

1 x f ( x) = ( )

e-x /

x0

=

S2 1 x2 = 2 , = x 2 x S x Cv 4

2 Cs

Pirson III (troparametarska gama)

1 x-c f ( x) = ( )

-1

e

-( x - c ) /

xc

=

, =

S xCs 2

c = x -

-1

Log-Pirson III

1 y -c x() gde je y = ln x f ( x) =

f ( x) =

e -( y - c ) /

y = ln x c

=

4

2 C sy

, =

S y C sy 2

c = y -

- < x <

Gumbelova (EV I)

x-u 1 x - u exp - - exp

Sx 6 0.78S x u = x - 0.5772 x - 0.45S x =

Neki nizovi hidroloskih procesa, kao sto je pojava kisnih epizoda, mogu se posmatrati kao Poasonov slucajni proces u kome se dogaaji javljaju trenutno i nezavisno jedni od drugih u vremenu. Vreme izmezu takvih dogaaja cesto se opisuje eksponencijalnom raspodelom ciji parametar predstavlja srednje vreme pojave takvih dogaaja, a reciprocna vrednost parametra predstavlja prosecni intenzitet javljanja. Eksponencijalna raspodela, kao i Vejbulova, koristi se kao raspodela vrednosti prekoracenja razmatrane velicine iznad nekog praga.

5.2.7 Prilagoavanje teorijske funkcije raspodele Funkcijom raspodele definise se zakon verovatnoe po kome slucajna promenljiva X uzima vrednosti iz skupa svih moguih ishoda. Ako se moze pronai teorijska funkcija raspodele koja odgovara podacima iz uzorka, ona se onda moze koristiti za odreivanje verovatnoe dogaaja koji inace nisu zastupljeni u uzorku. Statisticka nauka obiluje razlicitim oblicima teorijskih raspodela, koje u sebi sadrze razlicit broj parametara. Postupak odreivanja vrednosti tih parametara na osnovu podataka iz uzorka tako da se teorijska funkcija sto bolje slaze sa empirijskim podacima, naziva se prilagoavanje teorijske raspodele empirijskoj raspodeli. Ocena vrednosti parametara teorijskih raspodela na osnovu uzorka moze se zasnivati na razlicitim principima. U statistickoj teoriji razvijene su razlicite metode za ocenu parametara. Najzastupljenija meu njima je metoda momenata, dok ostale metode obuhvataju metodu maksimalne verodostojnosti, metodu tezinskih momenata, metodu najmanjih kvadrata i mnoge druge. Metodu momenata prvi je predlozio veliki statisticar Karl Pirson 1902. godine. U njoj se smatra da je ocena parametara raspodele dobra ako su momenti gustine te raspodele jednaki odgovarajuim momentima podataka u uzorku. Iz tog uslova se parametri i odreuju. U obzir treba uzeti onoliko momenata koliko teorijska raspodela ima parametara. Tako je za jednoparametarske raspodele dovoljno odrediti prvi momenat teorijske gustine raspodele oko koordinatnog pocetka i izjednaciti ga sa srednjom vrednosu uzorka. Za raspodele sa vise parametara koristi se disperzija 2 i koeficijent asimetrije Cs kako bi se odredili drugi i trei parametar raspodele. U poslednjoj koloni tabele 11 dati su izrazi za odreivanje parametara raspodela prema metodi momenata.

5.3 Statisticka analiza hidroloskih nizova U izucavanju hidroloskih procesa najinteresantnije dogaaje predstavljaju ekstremni dogaaji, kao sto su izuzetno jake kise, poplave ili suse. Hidroloske velicine u ekstremnim dogaajima imaju vrednosti koje se javljaju sa relativno malim verovatnoama, jer se javljaju relativno retko u poreenju sa prosecnim vrednostima. Cilj statisticke analize hidroloskih nizova je da se odrede verovatnoe pojave ekstremnih dogaaja. Da bi se ovaj cilj ispunio, postupak statisticke analize treba da obuhvati sledee korake: 1. Formiranje nizova podataka tako da se zadovolji pretpostavka o njihovoj meusobnoj nezavisnosti (slucajnosti) i pretpostavka da svi podaci prate istu raspodelu verovatnoe (homogenost niza); u praksi se to obicno postize formiranjem nizova godisnjih ekstrema (maksimuma ili minimuma). 2. Proracun empirijske raspodele niza. 3. Proracun teorijskih raspodela za razmatrani niz tako sto se parametri raspodela odrede na osnovu statistika uzorka.

55

4. Izbor teorijske raspodele koja se najbolje slaze sa empirijskom raspodelom niza; ovaj izbor se obicno pravi na osnovu testova saglasnosti empirijske i teorijske raspodele, kao i vizuelnim poreenjem ovih raspodela na dijagramima verovatnoe. 5. Proracun verovatnoa pojave zadatih vrednosti razmatrane hidroloske velicine, ili proracun vrednosti za zadatu verovatnou pojave. Vrednosti hidroloskih velicina odreene verovatnoe pojave cesto predstavljaju ulazni podatak za projektovanje hidrotehnickih objekata (brana, mostova, propusta, kolektora kisne kanalizacije itd.). Takve vrednosti se cesto nazivaju merodavnim velicinama za projektovanje. Verovatnoa pojave merodavne velicine ili je definisana propisima, ili se o njoj donosi odluka na osnovu razmatranja dopustivog rizika da se merodavna velicina prevazie. Dopustivi rizik zavisie od mnogih tehnickih, finansijskih i drustvenih faktora vezanih za konkretan hidrotehnicki objekat. Za znacajnije objekte, kao sto su brane, dopustivi rizik bie sigurno manji s obzirom da su takvi objekti skupi i da sa prevazilazenjem merodavnih velicina dolazi do velikih materijalnih steta ili cak gubitaka ljudskih zivota. Manje znacajni objekti, kao sto su propusti, imae vei dopustivi rizik s obzirom da prevazilazenje merodavne velicine nee usloviti velike materijalne stete.

5.3.1 Hidroloski nizovi Statisticka interpretacija hidroloskih nizova zasniva se na pretpostavci da su podaci osmatranja predstavljaju nezavisne dogaaje. Drugim recima, zahteva se nezavisnost ili slucajnost nizova. Ako su podaci nezavisni, oni se mogu analizirati bez razmatranja redosleda njihove pojave. Ukoliko su uzastopna osmatranja korelisana (meusobno zavisna), statisticki aparat za njihovu analizu postaje slozeniji jer u analizu ulaze i uslovne verovatnoe. Druga pretpostavka za primenu statisticke analize jeste homogenost niza, koja podrazumeva da svi podaci iz uzorka poticu iz iste populacije, a time i da imaju istu raspodelu verovatnoe (obicno se kaze da su podaci jednako rasporeeni). Do nehomogenosti hidroloskih podataka moze doi usled prirodnih ili vestackih promena kao sto su lagane promene klimatskih faktora, radovi u slivovima, krcenje suma, izgradnja akumulacija itd. Ove promene mogu biti postepene i ogledati se kroz trend u podacima (slika 34a), a mogu biti i nagle kada se ogledaju kao skokovi na hronoloskim dijagramima razmatrane velicine (slika 34b). Utvrivanje slucajnosti i homogenosti hidroloskih nizova sprovodi se odgovarajuim statistickim testovima. Pretpostavka o nezavisnim i homogenim nizovima u praksi se obicno ostvaruje formiranjem nizova godisnjih ekstrema (maksimuma ili minimuma). U nizove godisnjih ekstrema ulazi samo jedan dogaaj iz svake godine osmatranja. Mana ovakvog nacina formiranja niza je u tome sto druga ili trea najvea vrednost u toku godine mogu biti vee od maksimalnog dogaaja iz neke druge godine, a ipak ne ulaze u niz. Ovaj nedostatak se moze prevazii formiranjem nizova prekoracenja ili pikova, u koje ulaze sve vrednosti iznad neke bazne vrednosti (odnosno ispod bazne vrednosti za nizove minimuma). Bazna vrednost se obicno bira tako da u niz ue bar jedan podatak iz svake godine. Vrednosti koje cine niz pikova moraju biti nezavisne; to znaci da se ne mogu uzeti proticaji iz dva uzastopna dana, jer pripadaju istom meteoroloskom dogaaju. Niz pikova se sastoji od razlicitog broja podataka za svaku godinu, zbog cega raspodela niza pikova nije direktno uporediva sa raspodelom odgovarajueg niza godisnjih ekstrema. Statisticki aparat za odreivanje funkcije raspodele godisnjih ekstrema na osnovu niza pikova naziva se metoda pikova. Metoda pikova obuhvata tri koraka: (1) odreivanje raspodele broja pikova u godini dana, (2) odreivanje raspodele samih pikova, i (3) kombinacija prethodne dve raspodele u raspodelu godisnjih ekstrema.

56

Poseban slucaj niza pikova predstavlja niz godisnjih prekoracenja, a to je niz sa onoliko pikova koliko ima godina osmatranja (drugim recima, niz koji se dobija kada se iz uzorka od N godina izdvoji N najveih dogaaja).

9.0 8.5 8.0 7.5 Temperatura ( oC) 7.0 6.5 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000 hronolo{ki niz trend

Slika 34a. Godisnji proseci minimalnih dnevnih temperatura u Beogradu (meteoroloska opservatorija Vracar) u periodu 1988-1990 koji pokazuju trend poveanja.

60

50

hronolo{ki niz prosek

40 Protok (m /s)

3

30

20

10

0 1950

1955

1960

1965

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

Slika 34b. Srednji godisnji proticaji reke Nisave u Nisu u periodu 1951-1997; tokom 1987-88 izvrsena je regulacija korita Nisave kroz Nis sto je dovelo do skokovite promene rezima.

5.3.2 Empirijska raspodela niza Pod empirijskom raspodelom niza podrazumevaju se verovatnoe koje se dodeljuju svakom podatku u nizu. Ove verovatnoe treba da posluze za poreenje sa verovatnoama teorijskih raspodela kako bi se utvrdilo da li se teorijska raspodela dobro prilagoava podacima.

57

Verovatnoe podataka u uzorku mogu se najjednostavnije oceniti preko kumulativne relativne frekvencije. Ako je ukupan broj podataka N, a k redni broj podatka u nizu ureenom po rastuem redosledu, tada je kumulativna relativna frekvecija k/N ocena verovatnoe da je slucajna promenljiva X manja ili jednaka vrednosti k-tog podatka:

P{ X x k } = p k =

k N

Meutim, ovakav nacin tretiranja verovatnoa daje verovatnou 1 da e slucajna promenljiva biti manja od najveeg clana niza xN. Drugim recima, tvrdi se da su vrednosti slucajne promenljive uvek manje od najveeg clana niza, sto nije realno. Ukoliko se umesto gornjeg izraza upotrebi izraz

P{ X x k } = p k =

k -1 N

nestaje problem ogranicenosti slucajne promenljive sa gornje strane, ali se dolazi do problema ogranicenosti s donje strane jer je po ovom izrazu verovatnoa da slucajna promenljiva bude manja od najmanjeg clana (k = 1) niza jednaka nuli. Prethodne dve formule predstavljaju granicne vrednosti izmeu kojih bi trebalo da se nau verovatnoe pojedinih clanova niza (slika 35). U literaturi su predlozene razne formule kojima se pravi "kompromis" izmeu ove dve granicne vrednosti, pa se zbog toga nazivaju formule kompromisne verovatnoe. Meu njima je formula Hejzena, kao prva predlozena formula kompromisne verovatnoe jos 1930. godine:

pk =

k - 0.5 N

k N +1

Jedna od cese korisenih formula kompromisne verovatnoe je Vejbulova formula:

pk =

koja je nastala na osnovu razmisljanja da ako N tacaka treba da se ravnomerno rasporedi izmeu verovatnoa 0 i 1, onda treba da postoji N ­ 1 interval izmeu tacaka i dva intervala na krajevima, sto je ukupno N + 1 interval.

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

F(x )

pk = k /N

pk = (k - 1) /N

x1 x2

x3 x4

x5 x6

x7

x8

x9

x10

x

Slika 35. Kumulativne relativne frekvencije za niz od 10 clanova i dve granicne vrednosti verovatnoe koje se mogu pripisati k-tom clanu niza.

58

5.3.3 Povratni period Ako se posmatra niz godisnjih maksimuma neke hidroloske velicine (npr. proticaja), od prevashodnog je interesa razmatranje verovatnoe pojave ekstremnih vrednosti (npr. velikih voda koje bi mogle izazvati velike poplave i stete). Drugim recima, interesuje nas verovatnoa da se prevazie neka vrednost xT slucajne promenljive X. Verovatnoa prevazilazenja predstavlja suprotnu verovatnou funkcije raspodele:

P{ X > xT } = 1 - F ( xT )

Vreme izmeu pojava dogaaja X > xT takoe predstavlja slucajnu promenljivu . Prosecno vreme izmeu pojava dogaaja X > xT je T = E[] i naziva se povratni period. Dakle, povratni period je prosecno vreme izmeu dva prevazilazenja vrednosti xT. On se izrazava u godinama, s obzirom da razmatramo niz godisnjih maksimuma. Moze se pokazati da je verovatnoa prevazilazenja vrednosti xT jednaka reciprocnoj vrednosti povratnog perioda:

P{ X > xT } =

1 T

Kako verovatnoa prevazilazenja predstavlja suprotnu verovatnou funkcije raspodele, iz prethodnog izraza sledi:

T=

1 1 - F ( x)

Iz ove definicije moze se zakljuciti da je povratni period jednoznacno povezan sa funkcijom raspodele. Tako, na primer, vrednosti funkcije raspodele od 0.9 odgovara verovatnoa prevazilazenja od 0.1 i povratni period od 10 godina; drugim recima, vrednost vea od xT javie se u proseku jednom u 10 godina. Ako se posmatra niz godisnjih minimuma, pojava ekstremnih vrednosti se ne karakterise verovatnoom prevazilazenja, ve verovatnoom da se javi vrednost manja od neke vrednosti xT, a to je vrednost funkcije raspodele:

P{ X < xT } = F ( xT )

Povratni period se tada definise kao prosecno vreme izmeu dogaaja X < xT, tako da je:

P{ X < xT } =

odnosno

1 T

T=

1 F ( x)

5.3.4 Proracun teorijskih funkcija raspodele Funkcija raspodele neke hidroloske slucajne promenljive predstavlja vezu izmeu vrednosti te promenljive i verovatnoe sa kojom se te vrednosti javljaju. Kada se usvoji teorijska raspodela koja najvise odgovara empirijskoj raspodeli uzorka, statisticke proracune u okviru hidroloskih analiza mozemo obavljati u dva pravca: 1) proracun verovatnoe pojave zadate vrednosti slucajne promenljive, ili 2) proracun vrednosti slucajne promenljive zadate verovatnoe pojave.

59

U prvom slucaju proracuni se svode na odreivanje funkcije raspodele F(x) za zadate vrednosti slucajne promenljive x, odakle se mogu odrediti sve zeljene verovatnoe ili povratni period:

P{ X < x} = F ( x ) P{ X > x} = P ( x ) = 1 - F ( x )

P{x1 < X < x 2 } = F ( x 2 ) - F ( x1 )

T ( x) =

1 1 = P( x) 1 - F ( x)

U drugom slucaju, kada treba odrediti vrednosti slucajne promenljive x za zadatu verovatnou ili povratni period, koristi se inverzni postupak, tj. inverzna funkcija raspodele x(F) ili F­1(x):

x ( F ) = x (1 - P ) = x (1 - 1 / T )

x ( P ) = x (1 - F ) = x (1 / T ) x (T ) = x (1 / P ) = x[1 /(1 - F )]

U tabeli 12 prikazan je postupak proracuna u oba pravca za raspodele koje se najcese koriste u hidroloskim analizama.

Tabela 12. Postupak statistickih proracuna u hidrologiji.

Raspodela Smer Postupak

1)

Normalna

x z=

F ( x)

x-x Sx

z

TAB Fz ( z ) = F ( x)

x = z Sx + x

2) 1)

Log-normalna

TAB

x

F ( x)

y = ln x z =

TAB z

y-y Sy

TAB Fz ( z ) = F ( x)

x = ey

2) 1)

Pirson III

y = z Sy + y

x kP =

F ( x)

x-x Sx

TAB za F ( x) Csx

x = kP Sx + x

sy F ( x)

2) 1)

Log-Pirson III

TAB k P za C sx

x

F ( x)

y = ln x k P =

sy k P

y-y Sy

TAB za C

2) 1)

Gumbelova

TAB za C

y = kP S y + y

-y

x = ey

x

y=

x-u

F ( x) = G ( y ) = e -e

2)

F ( x)

y = - ln( - ln F )

x = y + u

60

5.3.5 Dijagrami verovatnoe Graficka predstava funkcija teorijskih raspodela na dijagramima sa linearnom (aritmetickom) podelom za vrednosti slucajne promenljive i vrednosti funkcije raspodele cesto nije pogodna za prakticnu primenu jer se verovatnoe ekstremnih vrednosti na takvim dijagramima tesko ocitavaju u oblastima gde funkcija raspodele tezi nuli ili jedinici. Na slici 36 dat je primer funkcije normalne raspodele za jednu slucajnu promenljivu na dijagramu sa linearnom podelom na obe ose. Ovaj problem se moze prevazii konstrukcijom dijagrama verovatnoe (ili papira verovatnoe) neke raspodele na kome se ta raspodela prikazuje kao prava linija. To se moze postii za dvoparametarske raspodele u kojima je mogue uvesti smenu slucajne promenljive X u obliku standardizovane slucajne promenljive cija funkcija raspodele nema parametre. Takve raspodele su normalna i Gumbelova raspodela, pa se dijagrami verovatnoe ovih raspodela najcese koriste.

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 F (x ) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 100 200 300 400 500 x 600 700 800 900 1000

oblasti te{kog oblasti teskog o~itavanja ocitavanja verovatno}e verovatnoe

Slika 36. Dijagram funkcije raspodele sa linearnom podelom na obe ose.

Mogunost "ispravljanja" funkcije raspodele u pravu liniju krije se u linearnoj vezi izmeu slucajne promenljive i odgovarajue standardizovane promenljive. Tako ova veza za normalnu raspodelu glasi:

X = + Z

gde je Z standardizovana normalna promenljiva, a i parametri normalne raspodele promenljive X. Na dijagramu X-Z ova zavisnost je prava linija. S obzirom da funkcija raspodele standardizovane normalne promenljive Z nema parametre, odnosno postoji jednoznacna veza izmeu z i Fz(z) = Fx(x), umesto standardizovane promenljive Z mogu se nanositi vrednosti funkcije raspodele. Treba primetiti da se linearna podela za promenljivu Z pretvara u nelinearnu podelu za funkciju raspodele. Ovako konstruisan dijagram naziva se dijagramom normalne verovatnoe. Primer dijagrama normalne verovatnoe dat je na slici 37. Na dijagramima verovatnoe je uobicajeno da se na ordinatu nanose vrednosti slucajne promenljive X u nekoj razmeri, dok se na apscisi nalaze vrednosti funkcije raspodele F(x), odnosno verovatnoe P{X x}. Umesto funkcije raspodele, na apscisu se mogu nanositi i verovatnoe P{X > x} ili vrednosti povratnog perioda T, s obzirom da su sve ove velicine meusobno povezane jednoznacnim vezama.

61

Povratni period T (godina)

2

10

100

1000

V erovatno}a prevazila`enja P {X > x} = 1 - F (x) = 1/T 900 800 Slu~ajna promenljiva x 700 600 500 400 300 200 100 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 Standardizovana normalna promenljiva z 0.001 0.01 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 0.99 0.999 0.999 0.99 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001

Funkcija raspodele F (x )

Slika 37. Dijagram normalne verovatnoe.

Na slican nacin se konstruise i dijagram Gumbelove raspodele. Za Gumbelovu raspodelu vazi veza:

X = u + Y

gde je Y standardizovana Gumbelova promenljiva, a u i parametri Gumbelove raspodele za promenljivu X. Primer dijagrama Gumbelove raspodele prikazan je na slici xx. Moze se uociti da se on razlikuje od dijagrama normalne raspodele po tome sto nije simetrican oko vrednosti F(x) = 0.5, ve su vrednosti F(x) > 0.5 razvucene. Zbog toga je dijagram Gumbelove raspodele pogodan za prikaz raspodela maksimuma. Od dijagrama normalne raspodele moze se konstruisati i dijagram log-normalne raspodele ukoliko se vrednosti slucajne promenljive X nanesu u logaritamskoj razmeri. Na takvom dijagramu log-normalna raspodela se prikazuje kao prava linija. Za raspodelu Pirson III ne moze se konstruisati dijagram verovatnoe, s obzirom da ova raspodela ima tri parametra i ne postoji standardizovana promenljiva koja je u linearnoj vezi sa originalnom slucajnom promenljivom. Ova raspodela se najcese prikazuje na dijagramu normalne raspodele. Posto je poznato da se Pirson III raspodela svodi na normalnu ukoliko je koeficijent asimetrije Cs jednak nuli, odstupanje Pirson III raspodele od prave linije na papiru normalne verovatnoe ukazae na stepen asimetricnosti ove raspodele. Na dijagramima verovatnoe normalne ili Gumbelove raspodele mogu se crtati i druge teorijske funkcije raspodele, ali se one tada nee prikazati kao prave linije. Pored teorijskih raspodela, na dijagrame verovatnoe nanosi se i empirijska raspodela razmatranog niza (uz pomo parova vrednosti slucajne promenljive i odgovarajuih kompromisnih verovatnoa). Ukoliko se tacke empirijske raspodele na dijagramu verovatnoe rasporede oko neke prave linije, to je znak da se razmatrani niz moze prilagoditi raspodelom ciji je to dijagram verovatnoe. Na slici 38 prikazan je primer niza koji se dobro prilagoava

62

log-normalnoj raspodeli, jer empirijska raspodela priblizno prati pravu liniju na papiru log-normalne raspodele.

10000 osmotreni niz LN raspodela

1000 Protok (m /s) 100

3

Funkcija raspodele F (x ) 0.005 0.01 -3 -2 0.1 -1 0.3 0.5 0 0.7 1 0.9 2 0.99 0.999 3 4

10

Standardna normalna promenljiva z

Slika 38. Primer niza koji se dobro prilagoava log-normalnoj raspodeli.

5.3.6 Testiranje slaganja teorijske i empirijske funkcije raspodele Nanosenjem empirijske raspodele osmotrenog niza na dijagram verovatnoe moze se stei utisak o tome da li se neka teorijska raspodela dobro slaze sa empirijskom. Priblizno rasporeivanje tacaka oko prave linije na dijagramu neke od teorijskih raspodela ukazuje na slaganje sa tom raspodelom; ostale teorijske raspodele na tom papiru verovatnoe se ne prikazuju kao prave linije, tako da je ocena slaganja otezana. Pored toga, cesto se desava da se sve isprobane teorijske raspodele vizuelno dobro slazu sa empirijskom na dijagramu verovatnoe, pa je potreban objektivni kriterijum pomou kojeg se moze utvrditi koja se teorijska raspodela najbolje slaze sa empirijskom. Taj kriterijum obicno predstavlja meru odstupanja teorijske od empirijske raspodele, a ispituje se kroz odgovarajue statisticke testove saglasnosti empirijske i teorijske raspodele. U nastavku se prikazuju dva testa saglasnosti koja se najcese koriste u hidroloskoj praksi. 2­test. Ovaj test je pogodan za diskretne slucajne promenljive i za kontinualne slucajne promenljive koje se opisuju preko frekvencija (umesto preko verovatnoa). U ovom testu porede se empirijske i teorijske frekvencije za odreeni broj klasa u uzorku. Posmatra se statistika:

2 =

i =1

K

( f i - f ti ) 2 f ti

gde je fi empirijska frekvencija u klasi i, fti teorijska frekvencija, a K ukupan broj klasa. Pri proracunu frekvencija u ovom testu treba voditi racuna da se uzorak podeli na najmanje pet klasa sa po najmanje pet elemenata. Ako razlike izmeu teorijskih i empirijskih frekvencija nisu velike, vrednost statistike 2 e biti mala i obrnuto. Osnovna (nulta) hipoteza ovog testa jeste da su empirijska i teorijska raspodela saglasne i ona e biti ispunjena ako je 2 "dovoljno" malo. Ukoliko je 2 preveliko da bi se moglo pripisati slucaju, odbacuje se osnovna hipoteza o slaganju raspodela. Da li je 2 dovoljno malo, odreuje

63

se definisanjem regiona prihvatanja i odbacivanja osnovne hipoteze, odnosno neke kriticne vrednosti za 2 kao granice izmeu ova dva regiona (slika 39). Kriticna vrednost statistike 2 odreuje se na osnovu praga znacajnosti koji predstavlja verovatnou da odbacimo osnovnu hipotezu ukoliko je ona ipak tacna:

P{ 2 > 2 } = kr Kriticna vrednost odreuje se iz funkcije raspodele statistike 2; ova statistika prati 2­raspodelu, prema kojoj je i dobila ime. Ova raspodela ima jedan parametar, broj stepeni slobode , koji se odreuje na sledei nacin:

= K - -1

gde je K broj klasa, a broj parametara teorijske raspodele koja se poredi sa empirijskom. Tabela kriticnih vrednosti statistike 2 u zavisnosti od praga znacajnosti i broja stepeni slobode data je u prilogu A. Kriterijum za prihvatanje osnovne hipoteze tada je: Ho : 2 < 2 kr

region prihvatanja Ho

region odbacivanja Ho

1-

2 kr

2

Slika 39. Regioni prihvatanja i odbacivanja osnovne hipoteze o saglasnosti empirijske i teorijske raspodele po 2 ­testu.

Test Kolmogorov-Smirnova. Kao mera odstupanja empirijske i teorijske raspodele, u ovom testu se koristi statistika

Dmax = max Fe ( x) - Ft ( x)

x

gde su Fe(x) i Ft(x) empirijska i teorijska funkcija raspodele. Ova statistika predstavlja maksimalno apsolutno odstupanje empirijske i teorijske raspodele od svih clanova uzorka. Kao i u prethodnom testu, ova statistika se poredi sa nekom kriticnom vrednosu Dkr kako bi se ustanovilo da li je odstupanje dovoljno malo. Kriticna vrednost Dkr e zavisiti od praga znacajnosti i od obima uzorka N, s obzirom da empirijska raspodela zavisi od obima uzorka. Tabela kriticnih vrednosti po testu Kolmogorov-Smirnova u zavisnosti od praga znacajnosti i obima uzorka data je u prilogu A.

64

CETVRTI DEO HIDROLOSKE ANALIZE

6. RACUNSKE KISE Racunska kisa predstavlja kisnu epizodu koja se koristi u projektovanju hidrotehnickih objekata. Ona obicno sluzi kao ulazni podatak za proracun proticaja ili drugih velicina od interesa u razmatranom objektu odnosno sistemu. Racunska kisa se moze definisati kao visina kise na nekoj lokaciji ili kao racunski hijetogram kojim se definise promena intenziteta kise kroz vreme tokom kisne epizode. Racunske kise mogu se odrediti za neku lokaciju na osnovu podataka osmatranja padavina sa obliznje kisomerne stanice, ili na osnovu podataka o padavinama u regionu. Njihova primena je raznovrsna, od korisenja racunskih intenziteta kise za odreivanje maksimalnih proticaja u kisnim kolektorima prema racionalnoj metodi do korisenja racunskih hijetograma kao ulaznih podataka za modele transformacije padavina u oticaj pri projektovanju retenzija u urbanim sredinama ili dimenzionisanja preliva na velikim akumulacijama.

6.1 Racunske visine kisa i racunski intenziteti kisa Racunske visine kisa odreuju se statistickom analizom osmotrenih kisnih epizoda. Primarnom obradom pluviografskih traka dolazi se do maksimalnih prirastaja kise (odnosno maksimalnih intenziteta kise) zabelezenih u zadatim vremenskim intervalima tokom kisnih epizoda. Ovi maksimalni prirastaji odreuju se tako sto se posmatraju prirastaji kise u zadatim vremenskim intervalima pocevsi od razlicitih vremena tokom kisne epizode, a zatim se meu njima bira maksimalni. U tabeli 13 i na slici 40 prikazan je primer jedne kisne epizode radi ilustracije postupka odreivanja maksimalnog prirastaja kise za vremenske intervale od 30 minuta, 60 minuta i 120 minuta. Na ovom primeru moze se uociti da se prosecan intenzitet kise smanjuje sa poveanjem intervala vremena koji se razmatra. Na osnovu ovako odreenih maksimalnih prirastaja kise za odreene intervale vremena (ili trajanja kise), formiraju se nizovi za statisticku analizu. Uobicajeno je da se formiraju nizovi visina kisa za sledea trajanja: 5, 10, 15, 20, 30, 45, 60, 90, 120, 150, 180, 240, 360, 540, 1080 i 1440 minuta, a po potrebi i trajanja duza od jednog dana. Uzimanjem maksimalnog prirastaja u pojedinim godinama za svako trajanje kise dobijaju se nizovi godisnjih maksimuma. Sprovodei postupak statisticke analize, usvajaju se teorijske raspodele koje se najbolje prilagoavaju empirijskim raspodelama uzoraka maksimalnih visina kisa odreenog trajanja. Kao rezultat, za svako trajanje kise dobijaju se visine kisa odreenog povratnog perioda ili racunske visine kisa. Na slici 41 prikazane su raspodele visina kisa razlicitih trajanja za pluviografsku stanicu Zeleno Brdo u Beogradu. Ukoliko se ovako dobijene racunske visine kisa podele sa odgovarajuim trajanjem, dolazi se do racunskih intenziteta kise. Treba imati na umu da racunski intenziteti kise predstavljaju prosecne intenzitete tokom razmatranog trajanja.

65

Tabela 13. Primer proracuna maksimalnih prirastaja kise trajanja 30, 60 i 120 minuta.

Vreme Sumarna linija (min) kise (mm) 0 0 5 0.1 10 0.3 15 0.9 20 1.0 25 1.2 30 1.4 35 1.9 40 2.3 45 3.4 50 9.3 55 12.3 60 15.0 65 18.7 70 20.2 75 20.8 80 21.4 85 21.7 90 22.0 95 22.2 100 22.4 105 22.8 110 23.2 115 23.4 120 23.6 125 23.7 130 24.1 135 24.2 140 24.5 145 24.6 150 24.7 Maksimalni prirastaj (mm) 30 min Prirastaji na 60 min 120 min

1.4 1.8 1.9 2.5 8.4 11.1 13.6 16.8 17.9 17.5 12.0 9.4 7.0 3.5 2.2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.7 1.5 1.3 1.2 1.1 17.9

15.0 18.5 19.8 20.0 20.4 20.5 20.6 20.3 20.1 19.4 13.8 11.1 8.6 5.0 3.9 3.4 3.1 2.9 2.8 20.6

23.6 23.5 23.7 23.4 23.5 23.4 23.3 23.7

30 25 20 15 10 5 30 min 0 0 30 60 Vreme (min) 90 120 150 60 min 120 min 17.9 mm 20.6 mm 23.7 mm

Visina ki{e (mm)

Slika 40. Primer proracuna maksimalnih prirastaja trajanja 30, 60 i 120 minuta.

66

100 90 80 70 60 P (mm) 50 40 30 20 10 0

1440 min 540 min 360 min 240 min 120 min 60 min 30 min 20 min 15 min 10 min 5 min

2

5

10

20

50

100

200

povratni period (godina)

Slika 41. Funkcije raspodele visina kisa za pluviografsku stanicu Zeleno Brdo u Beogradu.

6.2 Zavisnosti visina (intenzitet) kise ­ trajanje kise ­ povratni period Racunske visine kisa ili racunski intenziteti kisa obicno se ne prikazuju u formi kao na slici 41, ve u formi dijagrama na kome se na apscisi nalazi trajanje kise, na ordinati visina ili intenzitet kise, a povratni period se pojavljuje kao parametar. Drugim recima, za svaki povratni period konstruise se zavisnost visine ili intenziteta kise od trajanja kise. Na slikama 42 i 43 prikazane su ove zavisnosti za stanicu Zeleno Brdo u Beogradu, formirane na osnovu slike 41. Zavisnosti intenzitet kise ­ trajanje kise ­ povratni period (tzv. ITP krive) cese se sreu u praksi, sto potice od siroke primene racionalne metode u kojoj se maksimalni proticaji u kisnim kolektorima racunaju na osnovu intenziteta kise. Intenzitet kise na ITP krivama moze se naneti u mm/min ili u mm/h; cesto se, meutim, sreu i vrednosti izrazene u ls-1ha-1, s obzirom da se proticaj po racionalnoj metodi tada moze dobiti direktnim mnozenjem sa povrsinom sliva izrazenom u hektarima (uz mnozenje sa koeficijentom oticaja). Ne treba, meutim, zaboraviti da intenziteti kise na ITP krivama predstavljaju prosecne intenzitete kisa tokom njihovog trajanja, tako da u primeni slozenijih metoda za proracun oticaja uzimanje prosecnog intenziteta kise moze dovesti do znacajnijih gresaka. Zbog toga se preporucuje da se najpre odrede racunske visine kisa sa zavisnosti visina kise ­ trajanje kise ­ povratni period (tzv. HTP krive), a da se vremenska neravnomernost kisa dodatno uzme u obzir. Za zavisnosti ITP cesto se traze analiticki oblici radi njihove lakse primene. U literaturi se preporucuju razni oblici, a najcese se koriste sledea dva:

i=

A (t k + C ) B

i=

AT D (t k + C ) B

gde je i intenzitet kise, tk trajanje kise, T povratni period, a A, B, C i D koeficijenti koji se odreuju regresionom analizom.

67

100 90 80 70 visina ki{e (mm) 60 50 40 30 20 10 0 1 10 100 trajanje ki{e (min) 1000 10000

200 god 100 god 50 god 20 god 10 god 5 god 2 god

Slika 42. Zavisnosti visina kise ­ trajanje kise ­ povratni period (HTP krive) za stanicu Zeleno Brdo u Beogradu.

10

intenzitet ki{e (mm/min)

1

0.1

200 god 100 god 50 god 20 god 10 god 5 god 2 god

0.01 1 10 100 trajanje ki{e (min) 1000 10000

Slika 43. Zavisnosti intenzitet kise ­ trajanje kise ­ povratni period (ITP krive) za stanicu Zeleno Brdo u Beogradu.

68

6.3 Racunski hijetogrami Kao sto je napomenuto u prethodnom odeljku, zbog uticaja vremenske neravnomernosti kisa na velicinu oticaja, ne preporucuje se direktno korisenje ITP krivih odnosno prosecnih intenziteta kise tokom njihovog trajanja. Umesto toga, preporucuje se odreivanje racunskih visina kise sa HTP krivih, a potom primena racunskih hijetograma odnosno racunskih oblika kisa. Racunski oblici kisa sluze da se uvede neravnomernost intenziteta racunske kise u vremenu koji bi bio sto priblizniji realnim kisnim epizodama. Razlikujemo dve vrste racunskih oblika kisa: 1) sinteticki oblici, i 2) statisticki oblici. Sinteticki oblici racunskih kisa nastali su kao rezultat lokalnih istrazivanja pojedinih autora ili nekih konceptualnih pristupa. Dva takva oblika prikazana su na slici 44.

intenzitet ki{e

vreme

intenzitet ki{e

vreme

Slika 44. Neki sinteticki oblici racunskih kisa: po Sifaldi (levo) i po metodi "Cikago" (desno).

Statisticki oblici racunskih kisa dobijaju se statistickom obradom osmotrenih hijetograma veeg broja kisnih epozoda. Kisne epizode se razvrstaju po trajanju, a zatim se prikazuju u bezdimenzionalnom obliku, tj. sa bezdimenzionalnim vremenom = t / tk i bezdimenzionalnom visinom kise = P(t) / P(tk). Potom se za niz vrednosti statisticki obrauju bezdimenzionalme ordinate sumarnih linija osmotrenih kisnih epizoda kako bi se dobile vrednosti razlicitih verovatnoa pojave. Na taj nacin se formiraju bezdimenzionalne sumarne linije racunskih kisa razlicite verovatnoe pojave za zadato trajanje (popularno nazvane ­ krive), cime se definisu racunski oblici kisa. Primer ­ krivih dat je na slici 45. Oblici kise kod kojih se najvei intenziteti javljaju na pocetku kise nazivaju se "napredne" kise, a oblici kod kojih se najvei intenziteti javljaju pri kraju trajanja kise nazivaju se "zakasnele" kise. Oblik kise verovatnoe pojave npr. 80% znaci da e se javiti 80% kisa koje su naprednije od naznacene, tj. imaju u razmatranom trenutku veu visinu kise od kise oznacene sa 80%.

69

1 0.9 0.8 0.7 = P(t) / P(t k) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 = t / tk 0.6 0.7 0.8 0.9 1 80% 90% 10% 20% 50%

Slika 45. Statisticki oblici racunskih kisa razlicitih verovatnoa pojave (pluviografska stanica Kraljevo, trajanje kise 60 minuta).

70

7. RACUNSKI PROTICAJI U sklopu projektovanja hidrotehnickih objekata, hidroloske analize imaju za cilj odreivanje merodavnih velicina za dimenzionisanje objekata. Merodavne (racunske, projektne) velicine su najcese proticaji, nivoi vode i zapremine, u zavisnosti od vrste objekta. Jedan od najvaznijih vodoprivrednih i hidrotehnickih zadataka je ublazavanje negativnih uticaja velikih voda ili poplava. Velicina poplava se opisuje maksimalnim proticajem poplavnog talasa, zapreminom poplavnog talasa ili nivoom vode pri kome dolazi do plavljenja. Svaka od ovih velicina je vazna za razlicite vrste objekata za zastitu od poplava, a to su pre svega retenzioni prostori (akumulacije, retenzioni bazeni i sl.), nasipi pored reka i objekti kojima se odvode velike vode (kisna kanalizacija, drenazni kanali, prelivi i sl.). Svrha retenzionih prostora je da ublaze poplavne talase tako sto e smanjiti maksimalne proticaje, a time i spustiti nivoe vode nizvodno od retenzionog prostora. Objekti kojima se odvode velike vode treba da bezbedno odvedu "visak" vode ka nizvodnim deonicama gde je uticaj poplavnog talasa manji i gde se moze lakse kontrolisati. Merodavne velicine za projektovanje ovih objekata odreuju se na osnovu zeljenog stepena zastite od poplava ili dopustivog rizika. Osnovu za procenu rizika od poplava predstavlja analiza verovatnoe pojave velikih voda. Projektovanje objekata za korisenje voda podrazumeva obezbeivanje potreba ljudi za vodom. To su pre svega objekti u sistemima za vodosnabdevanje i navodnjavanje. Kako potrebe za vodom stalno rastu sa porastom stanovnistva i razvojem drustva, one se moraju stalno usklaivati sa ogranicenim raspolozivim kolicinama i kvalitetom vode. Za razliku od projektovanja objekata za zastitu od voda gde je osnovni cilj ublazavanje efekata velikih voda, u projektovanju objekata za korisenje voda prevashodno nas interesuju prosecni proticaji i ublazavanje efekata malih voda kada snabdevanje vodom postaje problematicno.

7.1 Metode za odreivanje merodavnih velikih voda Proracuni velikih voda mogu se zasnivati na razlicitim pristupima i metodama. Izbor metode zavisi od vise faktora, od kojih je prvi (ne)postojanje osmotrenih proticaja na razmatranom profilu. Praenje proticaja na rekama, s obzirom da se zasniva na kontinualnom osmatranju vodostaja i merenjima polja brzina u profilima reka, predstavlja naporan i skup proces. Iz tog razloga, hidroloske stanice su znatno zastupljenije na profilima veih slivova, dok manji slivovi ostaju neosmotreni. U hidroloskoj terminologiji slivovi na kojima postoje osmatranja proticaja nazivaju se izucenim, slivovi na kojima ne postoje osmatranja se nazivaju neizucenim, dok se slivovi na kojima postoje kratkorocna osmatranja nazivaju nedovoljno izucenim. Posebnu klasu neizucenih slivova predstavljaju gradski slivovi. Na njima su manji prirodni vodotoci obicno zecevljeni i njihove vode se odvode u kanalizacioni sistem. Merenja u sistemima opste ili kisne kanalizacije kod nas se ne sprovode sistematski, osim u retkim slucajevima eksperimentalnih slivova. Izbor metode za proracun velikih voda zavisi i od znacaja objekta, odnosno od potencijalne stete koja moze nastati usled prevazilazenja kapaciteta objekta. Merodavne velike vode za objekte kod kojih stete od plavljenja nisu velike (kao sto su propusti ili sporedni putevi) mogu se odreivati jednostavnijim empirijskim metodama, jer poznavanje njihovog tacnog povratnog perioda nije od velike vaznosti. S druge strane, za objekte kod kojih su potencijalne stete velike ili postoji opasnost od gubitaka ljudskih zivota, velike vode bi trebalo racunati pouzdanijim metodama koje e omoguiti da se izbor merodavne velicine odredi uz pomo optimizacionih metoda. U zavisnosti od raspolozivih podataka, razlikujemo tri osnovna pristupa (koncepta) u proracunu velikih voda (slika 46):

71

1) koncept osmotrenih proticaja, 2) koncept osmotrenih kisa, i 3) koncept racunskih kisa. Koncept osmotrenih proticaja podrazumeva statisticku analizu osmotrenih proticaja i sprovodi se na izucenim slivovima. Kao rezultat analize dobija se odreena teorijska funkcija raspodele verovatnoe proticaja. Kod nedovoljno izucenih slivova na kojima postoje makar i kratkorocna osmatranja proticaja, nekad je mogue uspostaviti regresione zavisnosti sa proticajima na okolnim stanicama i tako produziti niz sa kojim e se obaviti statisticka analiza. Koncept osmotrenih kisa podrazumeva da su na raspolaganju opazeni hijetogrami veeg broja kisnih epizoda na slivu. Osmotrene kisne epizode se koriste u sprezi sa modelom padavine-oticaj kako bi se dobio niz simuliranih proticaja koji se zatim podvrgavaju statistickoj analizi. Ovaj pristup je pogodan za nedovoljno izucene slivove, s obzirom da se postojei podaci mogu iskoristiti za kalibraciju modela. Koncept racunskih kisa podrazumeva transformaciju racunskih kisa u racunske proticaje pomou modela padavine-oticaj. Za neizucene slivove ovo je prakticno jedini mogui nacin za odreivanje merodavnih proticaja, mada se u praksi koristi i za nedovoljno izucene slivove. Kljucni aspekt ovog pristupa je cinjenica da se sracunatim merodavnim proticajima pripisuje povratni period merodavne kise. S obzirom na izrazitu nelinearnost veze izmeu padavina i oticaja, ovakva pretpostavka u opstem slucaju nije realna.

koncept osmotrenih proticaja osmotreni proticaji koncept osmotrenih ki{a koncept ra~unskih ki{a

osmotrene ki{e

statisti~ka analiza

model oticaja

statisti~ka analiza

simulirani oticaj

ra~unska ki{a

statisti~ka analiza

model oticaja

ra~unski (merodavni) proticaji

Slika 46. Pristupi za odreivanje merodavnih proticaja.

Postupak proracuna racunskih proticaja prema konceptu osmotrenih proticaja svodi se na postupak primene statisticke analize opisane u poglavlju 5, pa ovde nee biti razmatran. Koncepti osmotrenih kisa i racunskih kisa imaju zajednicki element, a to je simuliranje oticaja pomou modela padavine-oticaj, o cemu e se govoriti u nastavku.

72

7.2 Odreivanje racunskih proticaja na osnovu racunskih kisa Transformacija kise u oticaj zavisi u velikoj meri od velicine sliva. Za male homogene povrsine veza padavina i oticaja relativno je jednostavna, pa je primena jednostavnih metoda (kao sto je racionalna teorija) sasvim opravdana. Na velikim slivovima na kojima se promene odvijaju sporije i izrazavaju u danima ili mesecima, uticaj pojedinacnih faktora na oticaj se uprosecuje tako da se veza izmeu padavina i oticaja relativno jednostavno uspostavlja. Iz tog razloga nije iznenaujue kada se za vrlo velike slivove dobije i linearna veza izmeu padavina i oticaja. Slivovi koji bi se uslovno mogli nazvati slivovima srednje velicine (do 200­300 km2) predstavljaju najvei problem za uspostavljanje veze padavina i oticaja. Ovakvi slivovi su, s jedne strane, dovoljno veliki tako da raznovrsnost njihove topografije ili namene njihovih povrsina i prostorna neravnomernost kisa imaju znacajan uticaj na formiranje oticaja, a s druge strane su dovoljno mali tako da se promene odvijaju brzo i treba ih izrazavati u satima (ili cak minutima za slivove od nekoliko kvadratnih kilometara). Na ovakvim slivovima znacajnu ulogu imaju i isparavanje, infiltracija, rezim podzemnih voda, sto dodatno komplikuje njihovo razmatranje. Postupak odreivanja racunskih proticaja na osnovu racunskih kisa sastoji se od tri koraka: - odreivanje racunskih kisa, - transformacija bruto kise u neto kisu (odreivanje efektivne kise), i - transformacija efektivne kise u hidrogram oticaja.

7.3 Odreivanje efektivne kise Transformacija bruto kise u neto kisu podrazumeva primenu neke od metoda za proracun gubitaka. Gubici zavise od karakteristika sliva (namene povrsina, vegetacije, pedoloskih i geoloskih karakteristika, reljefa), ali zavise i od konkretne situacije za razmatranu kisnu epizodu, tj. od ukupne visine i intenziteta kise, trajanja kise, stanja prethodne vlaznosti na slivu, infiltracionog kapaciteta zemljista i nivoa podzemnih voda. Zbog toga ne cudi raznovrsnost metoda odreivanja gubitaka zasnovanih na raznim pojednostavljenjima. Metode za proracun gubitaka koje e ovde biti obraene su: konstantni gubici, proporcionalni gubici, Hortonova jednacina infiltracije i SCS metoda za gubitke.

7.3.1 Konstantni gubici Funkcija konstantnih gubitaka naziva se -indeks i podrazumeva konstantan intenzitet gubitaka tokom kise (slika 47):

i g (t ) =

U primeni ove funkcije gubitaka treba voditi racuna da intenzitet gubitaka ne moze biti vei od intenziteta pale kise:

, i > i g (t ) = i, i <

Intenzitet efektivne kise je tada:

i - , i > ie (t ) = i (t ) - i g (t ) = i< 0,

73

intenzitet ki{e

efektivna ki{a Fi-indeks ie

ig

ig

vreme

Slika 47. Funkcija konstantnih gubitaka ili -indeks.

7.3.2 Proporcionalni gubici Funkcija proporcionalnih gubitaka pretpostavlja da je intenzitet efektivne kise u svakom intervalu vremena proporcionalan intenzitetu pale kise (slika 48), a koeficijent proporcionalnosti je koeficijent oticaja:

i e ( t ) = i (t )

Intenzitet gubitaka je onda:

i g (t ) = (1 - ) i (t )

intenzitet ki{e

pala ki{a efektivna ki{a

ig

ie

vreme

Slika 48. Funkcija proporcionalnih gubitaka (koeficijent oticaja).

7.3.3 Hortonova jednacina O Hortonovoj jednacini bilo je reci u poglavlju 3. Ona glasi:

f (t ) = f c + ( f o - f c ) e - kt

gde je fo pocetna infiltracija, fc infiltracija u zasieno zemljiste i k koeficijent koji pokazuje brzinu opadanja intenziteta infiltracije. Ako se Hortonova jednacina primenjuje kao funkcija gubitaka (slika 49), onda opet treba voditi racuna da li je u nekom intervalu vremena intenzitet kise manji od infiltracije po ovoj jednacini, jer se tada moze infiltrirati onoliko vode koliko pada:

74

f, i > f i g (t ) = i, i < f

Drugim recima, intenzitet efektivne kise je:

i - f , i > f ie (t ) = i (t ) - i g (t ) = i< f 0,

Parametre Hortonove jednacine trebalo bi odrediti iz terenskih merenja, koja su retko na raspolaganju. Da bi se usvojile realne vrednosti ovih parametara, najbolje je da se Hortonova jednacina kalibrise zajedno sa modelom oticaja prema slaganju osmotrenih i sracunatih hidrograma.

intenzitet ki{e

efektivna ki{a Hortonova j-na ie

ig ig

vreme

Slika 49. Hortonova jednacina kao funkcija gubitaka.

7.3.4 SCS metoda za efektivnu kisu Americka agencija Soil Conservation Service (SCS) razvila je metod prema kome se efektivna kisa Pe odreuje prema izrazu:

Pe =

( P - 0.2d ) 2 ( P + 0.8d )

(1)

gde je P ukupna visina kise, a d maksimalni kapacitet zemljista u pogledu upijanja. Smatra se da deo brojioca 0.2d predstavlja pocetne gubitke. Umesto kapaciteta zemljista d, uvodi se tzv. broj krive CN kao parametar u gornjoj jednacini. Broj CN je bez dimenzije i vrednosti mu se kreu izmeu 0 i 100, a njegova veza sa d je data sa:

1000 d = 25.4 - 10 CN

gde se d dobija u milimetrima. Za nepropusne i vodene povrsine CN je 100, dok je za prirodne povrsine CN < 100. Veza izmeu P, Pe i CN predstavlja dobro poznati SCS dijagram, prikazan na slici 50. Brojevi CN se odreuju prema tipu zemljista i nameni povrsina, prema klasifikaciji koju je dao SCS. Zemljista su podeljena u cetiri grupe: pesak (grupa A), les i peskovita ilovaca (grupa B), ilovaca (grupa C) i glina (grupa D). Tabela CN brojeva data je u prilogu B. Odreivanje hijetograma efektivne kise ovde se obavlja posredno, preko sumarne linije kise. Za svaki vremenski interval, ordinata sumarne linije efektivne kise Pe(t) dobija se prema jednacini (1) na osnovu ordinate sumarne linije pale kise P(t). Pri tome treba voditi racuna da ukupna visina kise mora biti vea od pocetnih gubitaka (koji iznose 0.2d), jer se ne moze izgubiti vise kise nego sto je palo. Dakle:

75

( P (t ) - 0.2d ) 2 , P > 0.2d P (t ) + 0.8d Pe (t ) = P < 0.2d 0, Sa ovako odreenom sumarnom linijom efektivne kise, moze se konstruisati i hijetogram efektivne kise (slika 51).

80 70 60 Pe (mm) 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 P (mm) 80 90 100 110 120 CN = 100 95 90 85 80

75

70

65

60 55

50

Slika 50. Dijagram odnosa ukupne i efektivne kise po SCS metodi.

visina ki{e

pala ki{a efektivna ki{a

vreme

intenzitet ki{e

pala ki{a efektivna ki{a

ig ie vreme

Slika 51. Proracun efektivne kise po SCS metodi: sumarna linija efektivne kise dobija se na osnovu sumarne linije pale kise (gore), a zatim se konstruisu dogovarajui hijetogrami (dole).

76

7.4 Transformacija efektivne kise u oticaj

Transformacija efektivne kise u hidrogram oticaja podrazumeva primenu nekog hidroloskog modela ciji su ulaz efektivne padavine, a izlaz hidrogram oticaja. Ovi modeli mogu biti veoma razliciti po svojim osnovnim postavkama, pojednostavljenjima i zahtevima za podacima. U slucaju kada na posmatranom slivu postoje osmatranja makar kratkog obima, postoji mogunost da se model padavineoticaj kalibrise za dati sliv, odnosno da se odrede parametri modela sa kojima se rezultati modela najbolje slazu sa osmotrenim hidrogramima oticaja. Tada bi bilo mogue primeniti koncept osmotrenih kisa za odreivanje merodavnih proticaja, koji se smatra pouzdanijim od koncepta racunskih kisa. U slucaju slivova na kojima ne postoje osmatranja, pribegava se izradi sintetickih hidrograma. Pod sintetickim hidrogramima se podrazumevaju razlicite vrste hidrograma jednostavne forme, najcese trougaone, ciji se elementi (relevantna vremena i maksimalna ordinata) odreuju se na osnovu fizickih karakteristika sliva (vremena koncentracije, povrsine sliva, duzine toka, nagiba sliva i slicno) i karakteristika kise (najcese trajanja kise). Sinteticki hidrogrami mogu biti hidrogrami direktnog oticaja ili jedinicni hidrogrami (hidrogrami direktnog oticaja za jedinicnu visinu efektivne kise).

7.4.1 Racionalna metoda

Racionalna metoda za odreivanje maksimalnih proticaja na osnovu osmotrenih kisa je jedan od najstarijih modela za vezu izmeu padavina i oticaja i potice od irskog inzenjera Malvanija (Mulvaney, 1850). Ako je intenzitet kise konstantan u vremenu koje je potrebno da se slivna povrsina u potpunosti ocedi, maksimalni proticaj je proporcionalan intenzitetu kise:

Q = iA

(2)

gde je koeficijent oticaja, i intenzitet kise trajanja tc, a A povrsina sliva. Trajanje tc je vreme koncentracije, odnosno vreme potrebno da kisa sa najudaljenije tacke sliva dospe do izlaznog profila sliva. Dakle, smatra se da posle vremena tc od pocetka kise ceo sliv ucestvuje u formiranju oticaja, tako da se tada dostize maksimalni oticaj Q. Za intenzitet kise i se smatra da i da je ravnomeran po povrsini sliva. Koeficijent oticaja zavisi od karakteristika sliva, ali i od karakteristika kise. On prakticno ukljucuje sve faktore koji uticu na velicinu oticaja, tako da je njegovo precizno odreivanje mogue samo uz detaljno poznavanje karakteristika sliva. Zbog eventualne pogresne procene koeficijenta oticaja greska u proceni maksimalnog proticaja Q moze imati siroke granice. Proticaj odreen jednacinom (2) predstavlja maksimalnu ordinatu trougaonog hidrograma oticaja prikazanog na slici 52a. Ovaj oblik hidrograma vazi za slucaj kada je trajanje kise jednako vremenu koncentracije. Ako kisa traje duze od vremena koncetracije, maksimalni proticaj se ostvaruje sve dok ne prestane kisa (slika 52b). Ukoliko je trajanje kise krae od vremena koncentracije, nema dovoljno vremena da se oformi oticaj sa celog sliva i da se dostigne maksimalni proticaj prema jednacini (2). U tom slucaju, maksimalni proticaj e biti manji od onog prema jednacini (2) proporcionalno odnosu izmeu trajanja kise i vremena koncentracije:

Q = iA

tk tc

Hidrogram oticaja od kise trajanja manjeg od vremena koncentracije po racionalnoj metodi prikazan je na slici 52c.

77

intenzitet ki{e

tk = tc

a) tk = tc

proticaj

Qmax= iA

tc

tc

intenzitet ki{e

tk

b) tk > tc

intenzitet ki{e

tk

c) tk < tc

proticaj

Qmax= iA

tc tk

tc

proticaj

t Qmax= iA tk c

tk tc

tk

Slika 52. Hidrogrami oticaja po racionalnoj metodi: a) trajanje kise jednako vremenu koncentracije, b) trajanje kise duze od vremena koncentracije.

Zbog pretpostavki o ravnomernom intenzitetu kise u vremenu i po povrsini sliva, primena racionalne teorije ima opravdanja za odreivanje merodavnih proticaja na veoma malim slivnim povrsinama (kratkog vremena koncentracije) kao sto su deonice puteva, propusti ili i za dimenzionisanje kisnih kolektora u gradovima.

7.4.2 Sinteticki jedinicni hidrogrami

Jedinicni hidrogram se definise kao hidrogram direktnog oticaja usled jedinicne efektivne kise (obicno 1 mm) koja je ravnomerno rasporeena po povrsini sliva i konstantnog intenziteta tokom efektivnog trajanja. Za jedno trajanje kise, jedinicni hidrogram ima istu bazu, isto vreme podizanja i opadanja i iste ordinate. Ordinate jedinicnog hidrograma u(t) imaju dimenziju proticaja po jedinici visine efektivne kise (npr. m3s-1mm-1). Ordinate hidrograma direktnog oticaja Qd(t) usled efektivne kise nekog trajanja dobija mnozenjem ordinata jedinicnog hidrograma u(t) za to trajanje sa visinom efektivne kise Pe (princip proporcionalnosti):

Q d (t ) = u (t ) Pe

78

Jedinicni hidrogram za neki sliv moze se odrediti na osnovu osmotrenih kisnih epizoda i odgovarajuih hidrograma oticaja, pri cemu kisne epizode treba izabrati vodei racuna o pretpostavkama o ravnomernosti kise po slivu i u vremenu. Na osmotrenim hidrogramima treba odvojiti bazni i direktni oticaj (jer se za konstrukciju jedinicnog hidrograma koristi samo hidrogram direktnog oticaja), a osmotrenu kisu treba razdvojiti na efektivnu kisu i gubitke. Jedinicni hidrogram se tada dobija deljenjem ordinata hidrograma direktnog oticaja sa visinom efektivne kise. Konacni jedinicni hidrogram se dobija osrednjavanjem rezultata iz pojedinih epizoda. Ovaj postupak je veoma slozen, ali ako se podaci pazljivo odaberu, jedinicni hidrogram kao model moze dati veoma prihvatljive rezultate. U primeni jedinicnog hidrograma vazi i princip superpozicije, a to znaci da se moze primenjivati na kise duzeg trajanja nego sto je trajanje kise za koje je jedinicni hidrogram konstruisan. Ako je jedinicni hidrogram konstruisan za trajanje kise T, on se obicno se primenjuje za kise cije je trajanje jednako umnosku od T, npr. nT. Tada se kisa podeli na n blokova i za svaki blok trajanja T odredi se hidrogram direktnog oticaja. Ukupni hidrogram od cele kise dobija se superpozicijom n elementarnih hidrograma od svakog bloka kise. Na osnovu gore iznetog, jasno je da se jedinicni hidrogram moze konstruisati samo za slivove na kojima postoje osmatranja kise i proticaja, odnosno izucene slivove. Na neizucenim slivovima se koriste sinteticki jedinicni hidrogrami cija se konstrukcija zasnivaja na transpoziciji podataka sa drugih slivova kroz regionalne veze izmeu karakteristika sliva i karakteristika hidrograma. Kako literatura obiluje razlicitim regionalnim vezama i bezdimenzionalnim jedinicnim hidrogramima, u praksi treba biti veoma obazriv u primeni takvih "gotovih" jedinicnih hidrograma. Ove regionalne zavisnosti mogu biti razvijene za neko podrucje koje je po reljefu i klimi potpuno razlicito od razmatranog sliva, a s druge strane se postavlja pitanje u kom stepenu se ove veze prilagoavaju opazenim podacima (autori ovih veza retko crtaju eksperimentalne tacke na dijagramima, a jos ree govore o koeficijentu korelacije sa kojim su odredili neku od ovih zavisnosti). Sinteticki jedinicni hidrogram po SCS metodi. Americka agencija SCS je razvila bezdimenzionalni jedinicni hidrogram (slika 53) kod koga se vreme izrazava u odnosu na vreme podizanja hidrograma Tp, a ordinate u odnosu na maksimalnu ordinatu jedinicnog hidrograma um. Da bi se ovakav hidrogram primenio, potrebno je poznavati vreme podizanja Tp, dok se maksimalna ordinata um odreuje iz uslova da povrsina ispod budueg jedinicnog hidrograma bude jednaka zapremini oticaja od 1 mm (ili 1 cm) kise.

1.0 0.8 a 0.6 u/u m b 0.4 um direktan oticaj tk 2 tp neto ki{a b

0.2 0

tk 0 1 2 3 4 5

Tp

1.67 Tp Tb

t/Tp

Slika 53. Sinteticki jedinicni hidrogram po SCS: a) krivolinijski jedinicni hidrogram i b) aproksimacija trouglom.

79

Krivolinijski dijagram sa slike 53a najcese se zamenjuje trougaonim hidrogramom na slici 53b. Analizom podataka sa velikog broja slivova, SCS predlaze da vreme opadajue grane trougaonog hidrograma iznosi:

Tr = 1.67T p

B

(3)

tako da je ukupna baza hidrograma TB = 2.67 Tp. S obzirom da povrsina ispod trougla treba da bude jednaka zapremini oticaja od 1 mm kise, maksimalna ordinata jedinicnog hidrograma iznosi:

um =

odnosno:

2A A = 0.75 2.67T p Tp

um =

208.33 A Tp

gde je um u ls-1mm-1, A u km2 i Tp u casovima. Vreme podizanja Tp moze se izraziti pomou vremena kasnjenja sliva tp

Tp = t p +

tk 2

(4)

gde je tk trajanje kise. Vreme kasnjenja tp, prema SCS, moze se odrediti na dva nacina. Prvi nacin vezuje tp i fizicke karakteristike sliva, dok drugi nacin podrazumeva procenu vremena koncentracije sliva tc kao ukupnog vremena putovanja vode po padinama i u vodotoku. Na osnovu analize podataka sa eksperimentalnih slivova, SCS predlaze aproksimaciju t p 0.6 t c .

Sinteticki jedinicni hidrogram u obliku trougla. Brajkovi i Jovanovi (Jovanovi, 1989) su predlozili modifikaciju sintetickog hidrograma u obliku trougla prema SCS. Modifikacija se sastoji iz nekoliko elemenata. Prvo, vreme opadajue grane hidrograma, kao i baza hidrograma, nisu fiksirani kao u izrazu (3), ve iznose

Tr = r T p i Tb = (1 + r )T p

gde je r konstanta za dati sliv koja zavisi od velicine sliva i namene povrsina na slivu. Preporuke za verdnost ovog parametra date su u tabeli 14. Drugo, vreme kasnjenja sliva tp, a koje odreuje vreme podizanja hidrograma kroz jednacinu (4), odreuje se iz regionalne zavisnosti

t p = at k + t o

(5)

gde su sva vremena izrazena u casovima. Smatra se da parametar a zavisi od povrsine sliva (slika 54), a parametar to od fizickih karakteristika sliva:

t o = 0.4 L

0.67

LL c I u

0.086

gde je L duzina glavnog toka u km, Lc rastojanje od tezista do izlaznog profila sliva u km i Iu uravnati nagib sliva u procentima. Gornji izraz je samo jedan od predlozenih izraza za to (Jovanovi i sar., 1979).

80

Tabela 14. Preporuke za vrednosti koeficjenta r (odnosa vremena opadanja i podizanja hidrograma). Vrsta povrsine / metod Koeficijent r racionalna teorija 1 urbano, veliki nagib 1.25 SCS 1.67 urbano/ruralno 2.25 ruralno, brdovito 3.33 ruralno, blagi nagib 5.5 ruralno, ravno 12.0

240

200

povr{ina sliva (km2)

16 0 120

80

40

0 0.2

0.3

0.4

a

0 .5 0 .6 0.7

1 .0

Slika 54. Zavisnost parametra a (jednacina 5) od povrsine sliva.

7.4.3 Vreme koncentracije

Vreme koncetracije je najcese korisen vremenski parametar kada su u pitanju konceptualni modeli oticaja kao sto je racionalna metoda i sinteticki jedinicni hidrogrami. Ono se najcese definise kao vreme koje je potrebno deliu vode da dospe od najudaljenije tacke sliva do izlaznog profila sliva, mada ima i drugacijih definicija. Zbog nemogunosti direktnog merenja vremena koncetracije, ono se obicno odreuje na osnovu razlicitih formula predlozenih u lietraturi. Te formule mogu dati veoma razlicite rezultate, pa se pri njihovoj primeni preporucuje opreznost. Najpoznatije formule za vreme koncentracije date su u tabeli 15. SCS metod brzine koji se predlaze u novijem izdanju SCS procedure (poslednji red tabele 15) posmatra odvojeno vremena putovanja za povrsinsko tecenje i tecenje u vodotoku, kao odnos duzine tecenja i brzine putovanja. Vreme koncentracije je tada zbir vremena putovanja svih delova puta tecenja vode. Orijentacione brzine tecenja po pojedinim povrsinama date su u tabeli 16.

81

Tabela 15. Pregled nekih formula za odreivanje vremena koncentracije.

Metod / autor Kirpich (1940) Formula za tc (min)

t c = 0.0195 L

0.77

S

-0.385

L = duzina toka od izvora do izlaza (m) S = prosecan nagib sliva (m/m)

FAA (1970)

t c = 0.7(1.1 - c ) L0.5 S -0.333

c = koeficijent oticaja u racionalnoj metodi L = duzina povrsinskog tecenja (m) S = nagib povrsine (m/m)

Napomena za ruralne slivove sa jasno izrazenim recnim tokovima i strimim nagibima; za asfaltirane povrsine ili betonske kanale preporucuje se da se tc pomnozi sa 0.4 formula razvijena za odvodnjavanje aerodroma, a moze se koristiti za urbane slivove

Kinematski talas

t c = 1.36

L0.6 n 0.6 i 0.4 S 0.3

L = duzina povrsinskog tecenja (m) n = Maningov koeficijent hrapavosti i = intenzitet ef. kise (mm/min) S = prosecan nagib povrsine (m/m)

za povrsinsko tecenje na razvijenim povrsinama; formula se resava iterativno posto sadrzi intenzitet efektivne kise koji zavisi od vremena koncetracije (uz korisenje zavisnosti intenzitet kise ­ trajanje ­ povratni period) za male ruralne slivove; smatra se dobrom za potpuno pokrivene povrsine, dok za mesovite povrsine daje precenjeno tc; nastala od pretpostavke da je tc = 1.67 tp podrazumeva odreivanje brzina povrsinskog tecenja (videti tabelu 16)

SCS metoda kasnjenja

t c = 0.0136

L0.8 S 0.5

(1000 / CN - 9) 0.7

L = najduzi put tecenja na slivu (m) CN = SCS broj krive S = prosecan nagib sliva (m/m)

SCS metoda brzina

tc =

L 1 vi 60 i

Li = duzina putanje tecenja (m) vi = prosecna brzina tecenja (m/s)

Tabela 16. Priblizne prosecne brzine (m/s) povrsinskog tecenja za proracun vremena koncentracije po SCS metodi brzina. Vrsta povrsine Nagib sliva (%) 0-3 4-7 8 - 11 12 - sume 0 - 0.46 0.46 - 0.76 0.76 - 0.99 0.99 - pasnjaci 0 - 0.76 0.76 - 1.07 1.07 - 1.30 1.30 - obraene 0 - 0.91 0.91 - 1.37 1.37 - 1.68 1.68 - asfaltirane 0 - 2.59 2.59 - 4.11 4.11 - 5.18 5.18 -

82

PRILOG A STATISTICKE TABLICE

Tabela 1. Funkcija standardne normalne raspodele.

z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 .00 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 .01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9649 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.9987 0.9991 0.9993 0.9995 0.9997

f( z )

.02 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.9987 0.9991 0.9994 0.9995 0.9997

.03 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.9988 0.9991 0.9994 0.9996 0.9997

.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9875 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.9988 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9994 0.9996 0.9997

.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.9989 0.9992 0.9995 0.9996 0.9997

.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9429 0.9535 0.9625 0.9699 0.9761 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9996 0.9997

.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998

F(z ) 1 - F(z )

0

z

z

Za z < 0, koristiti F(z) = 1 ­ F(|z|).

Tabela 2. Funkcija standardne normalne raspodele (vrednosti standardne promenljive z).

F(z) 0.001 0.002 0.005 0.01 0.02 0.025 0.05 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 z -3.0902 -2.8782 -2.5758 -2.3263 -2.0537 -1.9600 -1.6449 -1.2816 -0.8416 -0.6745 -0.5244 -0.2533 0.0000 F(z) 0.6 0.7 0.75 0.8 0.9 0.95 0.975 0.98 0.99 0.995 0.998 0.999 z 0.2533 0.5244 0.6745 0.8416 1.2816 1.6449 1.9600 2.0537 2.3263 2.5758 2.8782 3.0902

Tabela 3a. Faktori frekvencije za Pirson III raspodelu za pozitivan koeficijent asimetrije.

F(x) T Cs 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 -3.090 -2.948 -2.808 -2.669 -2.533 -2.399 -2.268 -2.141 -2.017 -1.899 -1.786 -1.678 -1.577 -1.482 -1.394 -1.313 -1.238 -1.170 -1.107 -1.051 -0.999 -0.952 -0.909 -0.869 -0.833 -0.800 -0.769 -0.741 -0.714 -0.690 -0.667 -2.878 -2.757 -2.637 -2.517 -2.399 -2.283 -2.169 -2.057 -1.948 -1.842 -1.741 -1.643 -1.550 -1.462 -1.380 -1.303 -1.231 -1.165 -1.105 -1.049 -0.998 -0.951 -0.909 -0.869 -0.833 -0.800 -0.769 -0.741 -0.714 -0.690 -0.667 -2.576 -2.482 -2.388 -2.294 -2.201 -2.108 -2.016 -1.926 -1.837 -1.749 -1.664 -1.581 -1.501 -1.424 -1.351 -1.282 -1.216 -1.155 -1.097 -1.044 -0.995 -0.949 -0.907 -0.869 -0.833 -0.800 -0.769 -0.741 -0.714 -0.690 -0.667 -2.326 -2.253 -2.178 -2.104 -2.029 -1.955 -1.880 -1.806 -1.733 -1.660 -1.588 -1.518 -1.449 -1.383 -1.318 -1.256 -1.197 -1.140 -1.087 -1.037 -0.990 -0.946 -0.905 -0.867 -0.832 -0.799 -0.769 -0.740 -0.714 -0.690 -0.667 -2.054 -2.000 -1.945 -1.890 -1.834 -1.777 -1.720 -1.663 -1.606 -1.549 -1.492 -1.435 -1.379 -1.324 -1.270 -1.217 -1.166 -1.116 -1.069 -1.023 -0.980 -0.939 -0.900 -0.864 -0.830 -0.798 -0.768 -0.740 -0.714 -0.689 -0.666 -1.645 -1.616 -1.586 -1.555 -1.524 -1.491 -1.458 -1.423 -1.389 -1.353 -1.317 -1.280 -1.243 -1.206 -1.168 -1.131 -1.093 -1.056 -1.020 -0.984 -0.949 -0.915 -0.882 -0.850 -0.819 -0.790 -0.762 -0.736 -0.711 -0.688 -0.665 -1.282 -1.270 -1.258 -1.245 -1.231 -1.216 -1.200 -1.183 -1.166 -1.147 -1.128 -1.107 -1.086 -1.064 -1.041 -1.018 -0.994 -0.970 -0.945 -0.920 -0.895 -0.869 -0.844 -0.819 -0.795 -0.771 -0.747 -0.724 -0.702 -0.681 -0.660 -0.842 -0.846 -0.850 -0.853 -0.855 -0.857 -0.857 -0.857 -0.856 -0.854 -0.852 -0.848 -0.844 -0.838 -0.832 -0.825 -0.817 -0.808 -0.799 -0.788 -0.777 -0.765 -0.752 -0.739 -0.725 -0.711 -0.696 -0.681 -0.666 -0.651 -0.636 -0.524 -0.536 -0.548 -0.558 -0.569 -0.578 -0.588 -0.596 -0.604 -0.611 -0.618 -0.624 -0.629 -0.634 -0.638 -0.641 -0.643 -0.644 -0.645 -0.645 -0.643 -0.641 -0.638 -0.635 -0.630 -0.625 -0.619 -0.612 -0.604 -0.596 -0.588 -0.253 -0.269 -0.284 -0.299 -0.314 -0.328 -0.342 -0.356 -0.369 -0.382 -0.394 -0.406 -0.418 -0.429 -0.439 -0.449 -0.459 -0.467 -0.475 -0.483 -0.489 -0.495 -0.500 -0.504 -0.507 -0.510 -0.512 -0.513 -0.513 -0.512 -0.511 0.000 0.017 -0.033 -0.050 -0.067 -0.083 -0.099 -0.116 -0.132 -0.148 -0.164 -0.180 -0.195 -0.210 -0.225 -0.240 -0.254 -0.268 -0.281 -0.294 -0.307 -0.319 -0.330 -0.341 -0.351 -0.360 -0.369 -0.376 -0.384 -0.390 -0.396 0.253 0.238 0.222 0.206 0.189 0.173 0.156 0.139 0.122 0.105 0.088 0.070 0.053 0.036 0.018 0.001 -0.016 -0.033 -0.050 -0.067 -0.084 -0.100 -0.116 -0.131 -0.147 -0.161 -0.176 -0.189 -0.203 -0.215 -0.227 0.524 0.512 0.499 0.486 0.472 0.458 0.444 0.429 0.413 0.397 0.381 0.365 0.348 0.331 0.313 0.295 0.277 0.259 0.241 0.222 0.204 0.185 0.167 0.148 0.130 0.111 0.093 0.075 0.057 0.040 0.023 0.842 0.836 0.830 0.824 0.816 0.808 0.800 0.790 0.780 0.769 0.758 0.745 0.733 0.719 0.705 0.691 0.675 0.660 0.643 0.627 0.609 0.592 0.574 0.555 0.537 0.518 0.499 0.479 0.460 0.440 0.420 1.282 1.292 1.301 1.309 1.317 1.323 1.329 1.333 1.336 1.339 1.340 1.341 1.340 1.339 1.337 1.333 1.329 1.324 1.318 1.311 1.303 1.294 1.284 1.274 1.262 1.250 1.238 1.224 1.210 1.195 1.180 1.645 1.673 1.700 1.726 1.750 1.774 1.797 1.819 1.839 1.859 1.877 1.894 1.910 1.925 1.938 1.951 1.962 1.972 1.981 1.989 1.996 2.001 2.006 2.009 2.011 2.012 2.013 2.012 2.010 2.007 2.003 1.751 1.785 1.818 1.849 1.880 1.910 1.939 1.967 1.993 2.018 2.043 2.066 2.088 2.108 2.128 2.146 2.163 2.179 2.193 2.207 2.219 2.230 2.240 2.248 2.256 2.262 2.267 2.272 2.275 2.277 2.278 2.054 2.107 2.159 2.211 2.261 2.311 2.359 2.407 2.453 2.498 2.542 2.585 2.626 2.667 2.706 2.743 2.780 2.815 2.848 2.881 2.912 2.942 2.970 2.997 3.023 3.048 3.071 3.093 3.114 3.134 3.152 2.326 2.400 2.472 2.544 2.615 2.686 2.755 2.824 2.891 2.957 3.023 3.087 3.149 3.211 3.271 3.330 3.388 3.444 3.499 3.553 3.605 3.656 3.705 3.753 3.800 3.845 3.889 3.932 3.973 4.013 4.051 2.576 2.670 2.763 2.856 2.949 3.041 3.132 3.223 3.312 3.401 3.489 3.575 3.661 3.745 3.828 3.910 3.990 4.069 4.147 4.223 4.298 4.372 4.444 4.515 4.584 4.652 4.718 4.783 4.847 4.909 4.970 3.090 3.233 3.377 3.521 3.666 3.811 3.956 4.100 4.244 4.388 4.531 4.673 4.815 4.956 5.095 5.233 5.371 5.507 5.642 5.775 5.908 6.039 6.168 6.296 6.423 6.548 6.672 6.794 6.915 7.035 7.152 0.001 1.001 0.002 1.002 0.005 1.005 0.01 1.010 0.02 1.020 0.05 1.053 0.1 1.111 0.2 1.25 0.3 1.429 0.4 1.667 0.5 2 0.6 2.5 0.7 3.333 0.8 5 0.9 10 0.95 20 0.96 25 0.98 50 0.99 100 0.995 200 0.999 1000

Tabela 3b. Faktori frekvencije za Pirson III raspodelu za negativan koeficijent asimetrije.

F(x) T Cs -3.0 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.0 -1.9 -1.8 -1.7 -1.6 -1.5 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 -7.152 -7.035 -6.915 -6.794 -6.672 -6.548 -6.423 -6.296 -6.168 -6.039 -5.908 -5.775 -5.642 -5.507 -5.371 -5.233 -5.095 -4.956 -4.815 -4.673 -4.531 -4.388 -4.244 -4.100 -3.956 -3.811 -3.666 -3.521 -3.377 -3.233 -3.090 -6.205 -6.113 -6.018 -5.923 -5.826 -5.728 -5.628 -5.527 -5.424 -5.320 -5.215 -5.108 -4.999 -4.890 -4.779 -4.666 -4.553 -4.438 -4.323 -4.206 -4.088 -3.969 -3.850 -3.730 -3.609 -3.487 -3.366 -3.244 -3.122 -3.000 -2.878 -4.970 -4.909 -4.847 -4.783 -4.718 -4.652 -4.584 -4.515 -4.444 -4.372 -4.298 -4.223 -4.147 -4.069 -3.990 -3.910 -3.828 -3.745 -3.661 -3.575 -3.489 -3.401 -3.312 -3.223 -3.132 -3.041 -2.949 -2.856 -2.763 -2.670 -2.576 -4.051 -4.013 -3.973 -3.932 -3.889 -3.845 -3.800 -3.753 -3.705 -3.656 -3.605 -3.553 -3.499 -3.444 -3.388 -3.330 -3.271 -3.211 -3.149 -3.087 -3.023 -2.957 -2.891 -2.824 -2.755 -2.686 -2.615 -2.544 -2.472 -2.400 -2.326 -3.152 -3.134 -3.114 -3.093 -3.071 -3.048 -3.023 -2.997 -2.970 -2.942 -2.912 -2.881 -2.848 -2.815 -2.780 -2.743 -2.706 -2.667 -2.626 -2.585 -2.542 -2.498 -2.453 -2.407 -2.359 -2.311 -2.261 -2.211 -2.159 -2.107 -2.054 -2.003 -2.007 -2.010 -2.012 -2.013 -2.012 -2.011 -2.009 -2.006 -2.001 -1.996 -1.989 -1.981 -1.972 -1.962 -1.951 -1.938 -1.925 -1.910 -1.894 -1.877 -1.859 -1.839 -1.819 -1.797 -1.774 -1.750 -1.726 -1.700 -1.673 -1.645 -1.180 -1.195 -1.210 -1.224 -1.238 -1.250 -1.262 -1.274 -1.284 -1.294 -1.303 -1.311 -1.318 -1.324 -1.329 -1.333 -1.337 -1.339 -1.340 -1.341 -1.340 -1.339 -1.336 -1.333 -1.329 -1.323 -1.317 -1.309 -1.301 -1.292 -1.282 -0.420 -0.440 -0.460 -0.479 -0.499 -0.518 -0.537 -0.555 -0.574 -0.592 -0.609 -0.627 -0.643 -0.660 -0.675 -0.691 -0.705 -0.719 -0.733 -0.745 -0.758 -0.769 -0.780 -0.790 -0.800 -0.808 -0.816 -0.824 -0.830 -0.836 -0.842 -0.023 -0.040 -0.057 -0.075 -0.093 -0.111 -0.130 -0.148 -0.167 -0.185 -0.204 -0.222 -0.241 -0.259 -0.277 -0.295 -0.313 -0.331 -0.348 -0.365 -0.381 -0.397 -0.413 -0.429 -0.444 -0.458 -0.472 -0.486 -0.499 -0.512 -0.524 0.227 0.215 0.203 0.189 0.176 0.161 0.147 0.131 0.116 0.100 0.084 0.067 0.050 0.033 0.016 -0.001 -0.018 -0.036 -0.053 -0.070 -0.088 -0.105 -0.122 -0.139 -0.156 -0.173 -0.189 -0.206 -0.222 -0.238 -0.253 0.396 0.390 0.384 0.376 0.369 0.360 0.351 0.341 0.330 0.319 0.307 0.294 0.281 0.268 0.254 0.240 0.225 0.210 0.195 0.180 0.164 0.148 0.132 0.116 0.099 0.083 0.067 0.050 0.033 0.017 0.000 0.511 0.512 0.513 0.513 0.512 0.510 0.507 0.504 0.500 0.495 0.489 0.483 0.475 0.467 0.459 0.449 0.439 0.429 0.418 0.406 0.394 0.382 0.369 0.356 0.342 0.328 0.314 0.299 0.284 0.269 0.253 0.588 0.596 0.604 0.612 0.619 0.625 0.630 0.635 0.638 0.641 0.643 0.645 0.645 0.644 0.643 0.641 0.638 0.634 0.629 0.624 0.618 0.611 0.604 0.596 0.588 0.578 0.569 0.558 0.548 0.536 0.524 0.636 0.651 0.666 0.681 0.696 0.711 0.725 0.739 0.752 0.765 0.777 0.788 0.799 0.808 0.817 0.825 0.832 0.838 0.844 0.848 0.852 0.854 0.856 0.857 0.857 0.857 0.855 0.853 0.850 0.846 0.842 0.660 0.681 0.702 0.724 0.747 0.771 0.795 0.819 0.844 0.869 0.895 0.920 0.945 0.970 0.994 1.018 1.041 1.064 1.086 1.107 1.128 1.147 1.166 1.183 1.200 1.216 1.231 1.245 1.258 1.270 1.282 0.665 0.688 0.711 0.736 0.762 0.790 0.819 0.850 0.882 0.915 0.949 0.984 1.020 1.056 1.093 1.131 1.168 1.206 1.243 1.280 1.317 1.353 1.389 1.423 1.458 1.491 1.524 1.555 1.586 1.616 1.645 0.666 0.688 0.712 0.738 0.765 0.793 0.823 0.855 0.888 0.923 0.959 0.997 1.035 1.075 1.116 1.157 1.198 1.240 1.282 1.324 1.366 1.407 1.448 1.489 1.528 1.567 1.606 1.643 1.680 1.716 1.751 0.666 0.689 0.714 0.740 0.768 0.798 0.830 0.864 0.900 0.939 0.980 1.023 1.069 1.116 1.166 1.217 1.270 1.324 1.379 1.435 1.492 1.549 1.606 1.663 1.720 1.777 1.834 1.890 1.945 2.000 2.054 0.667 0.690 0.714 0.740 0.769 0.799 0.832 0.867 0.905 0.946 0.990 1.037 1.087 1.140 1.197 1.256 1.318 1.383 1.449 1.518 1.588 1.660 1.733 1.806 1.880 1.955 2.029 2.104 2.178 2.253 2.326 0.667 0.690 0.714 0.741 0.769 0.800 0.833 0.869 0.907 0.949 0.995 1.044 1.097 1.155 1.216 1.282 1.351 1.424 1.501 1.581 1.664 1.749 1.837 1.926 2.016 2.108 2.201 2.294 2.388 2.482 2.576 0.667 0.690 0.714 0.741 0.769 0.800 0.833 0.869 0.909 0.952 0.999 1.051 1.107 1.170 1.238 1.313 1.394 1.482 1.577 1.678 1.786 1.899 2.017 2.141 2.268 2.399 2.533 2.669 2.808 2.948 3.090 0.001 1.001 0.002 1.002 0.005 1.005 0.01 1.010 0.02 1.020 0.05 1.053 0.1 1.111 0.2 1.25 0.3 1.429 0.4 1.667 0.5 2 0.6 2.5 0.7 3.333 0.8 5 0.9 10 0.95 20 0.96 25 0.98 50 0.99 100 0.995 200 0.999 1000

Tabela 4. Vrednosti 2 za zadatu vrednost funkcije raspodele F, odnosno za zadatu vrednost praga znacajnosti 0.5 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 40 50 0.5 0.455 1.39 2.37 3.36 4.35 5.35 6.35 7.34 8.34 9.34 10.3 11.3 12.3 13.3 14.3 15.3 16.3 17.3 18.3 19.3 20.3 21.3 22.3 23.3 24.3 25.3 26.3 27.3 28.3 29.3 30.3 31.3 32.3 33.3 34.3 39.3 49.3 0.75 0.25 1.32 2.77 4.11 5.39 6.63 7.84 9.04 10.2 11.4 12.5 13.7 14.8 16.0 17.1 18.2 19.4 20.5 21.6 22.7 23.8 24.9 26.0 27.1 28.2 29.3 30.4 31.5 32.6 33.7 34.8 35.9 37.0 38.1 39.1 40.2 45.6 56.3 0.9 0.1 2.71 4.61 6.25 7.78 9.24 10.6 12.0 13.4 14.7 16.0 17.3 18.5 19.8 21.1 22.3 23.5 24.8 26.0 27.2 28.4 29.6 30.8 32.0 33.2 34.4 35.6 36.7 37.9 39.1 40.3 41.4 42.6 43.7 44.9 46.1 51.8 63.2 F 0.95 0.05 3.84 5.99 7.81 9.49 11.1 12.6 14.1 15.5 16.9 18.3 19.7 21.0 22.4 23.7 25.0 26.3 27.6 28.9 30.1 31.4 32.7 33.9 35.2 36.4 37.7 38.9 40.1 41.3 42.6 43.8 45.0 46.2 47.4 48.6 49.8 55.8 67.5 0.975 0.025 5.02 7.38 9.35 11.1 12.8 14.4 16.0 17.5 19.0 20.5 21.9 23.3 24.7 26.1 27.5 28.8 30.2 31.5 32.9 34.2 35.5 36.8 38.1 39.4 40.6 41.9 43.2 44.5 45.7 47.0 48.2 49.5 50.7 52.0 53.2 59.3 71.4 0.99 0.01 6.63 9.21 11.3 13.3 15.1 16.8 18.5 20.1 21.7 23.2 24.7 26.2 27.7 29.1 30.6 32.0 33.4 34.8 36.2 37.6 38.9 40.3 41.6 43.0 44.3 45.6 47.0 48.3 49.6 50.9 52.2 53.5 54.8 56.1 57.3 63.7 76.2 0.995 0.005 7.88 10.6 12.8 14.9 16.7 18.5 20.3 22.0 23.6 25.2 26.8 28.3 29.8 31.3 32.8 34.3 35.7 37.2 38.6 40.0 41.4 42.8 44.2 45.6 46.9 48.3 49.6 51.0 52.3 53.7 55.0 56.3 57.6 59.0 60.3 66.8 79.5

Tabela 5. Test Kolmogorova-Smirnova: vrednosti statistike Dmax za zadatu vrednost praga znacajnosti N 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > 40 0.1 0.369 0.352 0.338 0.325 0.314 0.304 0.295 0.286 0.279 0.271 0.265 0.259 0.253 0.247 0.242 0.238 0.233 0.229 0.225 0.221 0.218 0.214 0.211 0.208 0.205 0.202 0.199 0.196 0.194 0.191 0.189 1.22/N 0.05 0.409 0.391 0.375 0.361 0.349 0.338 0.327 0.318 0.309 0.301 0.294 0.287 0.281 0.275 0.269 0.264 0.259 0.254 0.250 0.246 0.242 0.238 0.234 0.231 0.227 0.224 0.221 0.218 0.215 0.213 0.210 1.36/N 0.02 0.457 0.437 0.419 0.404 0.390 0.377 0.366 0.355 0.346 0.337 0.329 0.321 0.314 0.307 0.301 0.295 0.290 0.284 0.279 0.275 0.270 0.266 0.262 0.258 0.254 0.251 0.247 0.244 0.241 0.238 0.235 1.52/N 0.01 0.489 0.468 0.449 0.432 0.418 0.404 0.392 0.981 0.371 0.361 0.352 0.344 0.337 0.330 0.323 0.317 0.311 0.305 0.300 0.295 0.290 0.285 0.281 0.277 0.273 0.269 0.265 0.262 0.258 0.255 0.252 1.63/N

PRILOG B OBRACUN GUBITAKA PO SCS METODI

· Hidroloske grupe tla

Tla se klasifikuju na osnovu upijanja vode na kraju dugotrajne kise opazene nakon odreene prethodne vlaznosti tla i mogunosti bubrenja zemljista bez uticaja na vegetaciju. Glavne hidroloske grupe tla su: A: (najmanja mogunost oticanja) Sadrzi: 1) duboke peskove sa vrlo malo ilovace i gline, i 2) duboki oko porozni les. B: Pretezno peskovita tla manje dubine od grupe A i les manje dubine i slabijeg sastava nego u grupi A, ali grupa kao celina ima nadprosecnu propusnost posle potpune vlaznosti. C: Sadrzi plitka tla i tla koja sadrze dosta gline i koloida, ali manje od onih iz grupe D. Grupa ima propusnu mo posle saturacije ispod proseka. D: (velika mogunost oticanja) Grupa sadrzi pretezno gline visokog procenta bubrenja ali su sadrzana neka plitka tla sa skoro nepropusnom podinom blizu povrsine.

· Primer proracuna kompleksnog hidroloskog broja s upotrebom tezinskih koeficijenata

Sastav tla (hidroloska grupa B)

(1) Oranica, obrada u smeru pada, dobar plodored Mahunjace, obrada po 69 37.5 izohipsama, dobar plodored Livada, stalna 58 6.3 Ukupno: 100.0 Tezinski broj = 7337 / 100 = 73.37, usvojeno 73

· Dijagram za odreivanje neto kise (prema SCS)

Hidroloski broj CN (2) 78

Procenat povrsina (3) 56.2

Kompleksni broj (4) = (2) (3) 4384 2588 365 7337

80 70 60 Pe (mm) 50 40 30 20 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 P (mm) 80 90 100 110 120 CN = 100 95 90 85 80

75

70

65

60 55

50

· Kompleksni hidroloski brojevi u zavisnosti od zemljista i vegetacije

Korisenje zemljista ili vegetacija Neobraeno (ugar) Okopavine

Sitnozrnaste zitarice

Gusto sejane mahunjace ili livade u plodoredu

Pasnjak ili livada (prirodna)

Obrada Hidroloske tla prilike za upijanje SR SR slabo SR dobro C slabo C dobro C/T slabo C/T dobro SR slabo SR dobro C slabo C dobro C/T slabo C/T dobro SR slabo SR dobro C slabo C dobro C/T slabo C/T dobro slabo srednje dobro C slabo C srednje C dobro slabo srede dobro

Hidroloska grupa tla A 77 72 67 70 65 66 62 65 63 63 61 61 69 66 58 64 55 63 51 68 49 39 47 25 6 30 45 36 25 59 72 74 B 86 81 78 79 75 74 71 76 75 74 73 72 70 77 72 75 69 73 67 79 69 61 67 59 35 58 66 60 55 74 82 84 C 91 88 85 84 82 80 78 84 83 82 81 79 78 85 81 83 78 80 76 86 79 74 81 75 70 71 77 73 70 83 87 90 D 94 91 89 88 86 82 81 88 87 85 84 82 81 89 85 85 83 83 80 89 84 80 80 83 79 78 83 79 77 86 87 92

Livada stalna (kultivirana) Suma (sumske povrsine)

Poljoprivredne zgrade (salasi, majuri) Putevi (tvrdi i meki)

Legenda:

SR C T C/T

pravolinijska obrada (u smeru pada terena) po izohipsama u terasama po izohipsama i terasama

Information

GRAEVINSKI FAKULTET U BEOGRADU

96 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

899275