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I. EXPONENTES Y LOGARITMOS 1.1 Exponentes Toda expresión algebraica se compone de tres elementos: coeficiente, exponente y base. Ejemplo: exponente coeficiente 4x2 base El exponente es el número que se escribe arriba y a la derecha de la base e indica las veces que ésta se toma como factor. Si no aparece escrito se sobreentiende que es el exponente 1. Ejemplos: 3x5 = (3) (x) (x) (x) (x) (x) ; la base x se multiplica 5 veces por si misma. 10 a4 = (10) (a) (a) (a) (a) El coeficiente es el número que se escribe a la izquierda de la base e indica las veces que ésta se toma como sumando. Si no hay escrito algún número como coeficiente, por convención se sabe que es el 1. Ejemplo: 3x5 = x5 x5 x5 = x5 (1+1+1) = x5 (3) = 3x5 4x2 = x2 x2 x2 x2 = x2 (1+1+1+1) = x2 (4) = 4 x2 Leyes de los Exponentes Multiplicación. Xa(xc)=xa+c . Cuando se tenga la misma base los exponentes se suman. Exponentes fraccionarios. Todo exponente fraccionario representa a un radical cuyo denominador es el índice del radical y el numerador es el exponente entero de la base y viceversa (todo radical expresa un exponente fraccionario, en donde el índice es el denominador. Cuando un radical no tenga índice escrito, se trata de una raíz cuadrada). X = x1/2

División. Si el exponente del numerador es mayor que el del denominador, se resta éste de aquél. Primero se dividen los coeficientes. xa = xa-c xc

Si el exponente del denominador es mayor que el del numerador, se resta éste de aquél. Exponente negativo. Todo exponente negativo es igual a una fracción cuyo numerador estará representado por el coeficiente de la base y el denominador es la base con el exponente positivo. 1 -a x = xa Potencia de otra potencia de la misma base. Es igual a la base elevada al producto de los exponentes. (xa)c = xac La potencia de un producto. Es igual al producto de la misma potencia de los factores. (xz)a = xaza Fracción elevada a un exponente. Se elevan el numerador y el denominador a dicho exponente.

c

x z

= xc zc

1.2 Logaritmos La necesidad de facilitar y simplificar los cálculos aritméticos en el conocimiento científico como la astronomía, la física, la química, etc. , dio origen al sistema de logaritmos. Por medio de ellos se han realizado operaciones con mayor sencillez y rapidez. Los sistemas de logaritmos que se usan son dos: · · Sistema de logaritmos decimales, llamados vulgares o de Briggs; su base es 10. Se representan por la abreviatura log. Sistema de logaritmos naturales o neperianos, cuya base es el número e = 2.718181...

El logaritmo de un número es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número dado. Es su principal concepto. Ejemplos:

32 = 9 ; 2 es el logaritmo en base 3 de 9. 34 = 81 ; 4 es el logaritmo en base 3 de 81. 51 = 5 ; 1 es el logaritmo en base 5 de 5. 53 = 125; 3 es el logaritmo en base 5 de 125 100 = 1 ; 0 es el logaritmo en base 10 de 1.

Propiedades de los logaritmos

1.3 Ejercicios resueltos de exponentes y logaritmos Multiplicación: x3 (x5) = x3+5 = x8 x5 x7 x12 = x24 b5 b3 b = b5+3+1 = b9 (x+1)2 (x+1)9 (x+1)7 = (x+1)2+9+7 = (x+1)18 x4 x9 x30 = x4+9+30 = x43

Exponente fraccionario: x5/3 = 3 x5 9

(x+1)7/9 = (x+1)1/2 =

(x+1)7 (x+1)

División: 45 x6 5x4 20x9 4x12 = = 9x6-4 = 9x2 5 x12-9 = 5 x3 = 1 2x3m2

7x5m10 14x8m12

= 1 2x8-5 m2

Exponentes negativos: 3x-10 = 3 x10 5(x+1)-8 = 5 (x+1)8 1 x2

x-2 =

Potencia de otra potencia de la misma base: (34)2 = 34x2 = 38 (a3)2 = a3x2 = a6 (ya)b = yab La potencia de un producto: (3x4)2 = 32 x 42 = 9 x 16 = 144 (xy)4 = x4y4 (x3 y2)2 = (x3)2 (y2)2 = x3x2 y2x2 = x6y4 Fracción elevada a un exponente:

2

5 6

= 52 62

3

= 25 36

2 3

4

=

23 33

= 8 27

x y

= x4 y4

Logaritmos:

Log de un producto: Y = 950 * 80 log y = log 950 + log 80 = 2.9777 + 1.9031 = 4.8808 Antilogaritmo de 4.8808 = 75,997 = 76,000

(837) (15) = log (837) + log (15) = 2.922725 + 1.1760913 = 4.0988168 Antilogaritmo de 4.0988168 = 12,555 Log de un cociente 354,589 7810 = log 354.589 ­ log 7810 = 5.5497253 ­ 3.892651 = 1.6570743

Antilogaritmo de 1.6570743 = 45.40192846 Logaritmo de una potencia (3)9 = 9 log 3 = 9 (0.4771212) = 4.294091292 Antilogaritmo de 4.294091292 = 19,683 Logaritmo de una raíz

3

358,849 log 358,849 3 = 5.55491174 3 = 1.851637247

Antilogaritmo de 1.851637247 = 71.06197

1.4 Solución de diversos problemas de negocios propuestos Determinar el valor acumulado durante dos años de $100 unidades monetarias con el 10% de interés y con capitalización semestral.

mt

S=C 1

+

i m t = tiempo

i = tasa de interés sustitución: S = 100 1 + 0.10 2

m = capitalización al año

(2) (2)

= 100 ( 1 + 0.05 )4 = 121.55 UM

La solución por logaritmos sería la siguiente: Log S = log 100 + 4 log 1.05 = 2 + 4(0.0212) = 2.0848 Log S = 2.0848 S = Antilogaritmo de 2.0848 = 121.56 UM Determinar el monto (o valor acumulado) de 1000 UM, al 6% de interés durante 3 años, con capitalización trimestral. Solución con fórmula:

(4) (3)

S = 1000 1 + 0.06 4 Solución por logaritmos:

= 1000 ( 1.015)12

= 1,195.62 UM

log S = log 1000 + 12 log 1.015 = 3 + 12 ( 0.0065) log S = 3.0780 S = Antilogaritmos de 3.0780 = 1,197 UM

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