Read Nacrtna geometrija text version

Nacrtna geometrija

Uvod Nacrtna geometrija je nastala krajem 18. veka. Njen tvorac je francuski matematicar i inzenjer Gaspard Monge (Gaspar Monz) koji je ziveo od 1746. ­ 1818. god. Monz je svoju prvu Nacrtnu geometriju («Geom etrie descriptive» ) objavio 1789.g. u kojoj se nalazi postupak ortogonalnog projiciranja i opsti metod za resavanje stereometrijskih zadataka konstruktivnim postupcima. Nacrtna geometrija je nauka koja se bavi proucavanjem konstruktivno-geometrijskih postupaka za izvoenje i predstavljanje (prikazivanje) trodimenzionalnog prostora tj. prostornih trodimenzionalnih geometrijskih formi i njihovih meusobnih odnosa, na dvodimenzionalnoj ravni ­ crtezu. Cilj izucavanja nacrtne geometrije je da kod polaznika - citaoca razvije sposobnost logickog razmisljanja, vizuelnog sagledavanja trodimenzionalnog prostora i da razvija sposobnost zamisljanja (imaginacije). Dakle, Nacrtna geometrija omoguava prikazivanje ili predstavljanje trodimenzionalnog prostora na dvodimenzionalnoj ravni crtezu ­ listu hartije. Isto tako, ona omoguava da se sa crteza (lista hartije) , koji ima samo dve dimenzije , moze da stvori trodimenzionalna (prostorna) predstava o objektu koji je prikazan na crtezu. To znaci, da crtajui u dve dimenzije, crteze treba sagledavati trodimenzionalno, s obzirom da se ne moze crtati po prostoru, mada sa pojavom kompjutera postoje programi u kojima je mogue trodimenzionalno modelovanje, ali projekcije tih trodimenzionalnih modela se opet na ekranu vide kao dvodimenzionalne slike. Resavanje zadataka u Nacrtnoj geometriji se izvodi grafickim konstruisanjem ­ crtanjem, koje zbog toga mora da bude tacno i precizno. Crtez uvek treba da bude jednostavan, pregledan i jasan, da bi sa njega mogao da se ''procita'' i sagleda prikazani objekat. Iako se nacrtna geometrija najvise koristi za resavanje prakticnih problema u tehnici, inzenjerstvu, kartografiji, fotogrametriji, astronomiji, dizajnu, slikarstvu, itd. ona moze da se koristi i za izucavanje i razvoj mnogih grana primenjene matematike i fizike. Nacrtna geometrija moze da se izvodi: - na klasican nacin ­ konstruisanjem crteza na hartiji pomou olovke, trouglova, lenjira i sestara. - na kompjuteru u odgovarajuim korisnickim programima za crtanje CAD ili CAGD computer aidid design ili computer aidid geometric design. Ako se Nacrtna geometrija izvodi na klasican nacin mogue je trodimenzionalni geometrijski prostor konstruktivno obraivati i prikazivati u razlicitim projekcijama ali samo na dvodimenzionalnoj ravni crtezu. Meutim, ukoliko se Nacrtna geometrija obrauje kompjuterom u nekom grafickom kompjuterskom programu, trodimenzionalni geometrijski prostor je mogue konstruktivno obraivati i prikazivati i u dvodimenzionalnom prostoru ­ 2D (ravan crteza) i u trodimenzionalnom prostoru ­ takozvano 3D modelovanje.

1. OSNOVNI POJMOVI I OSNOVNI GEOMETRIJSKI ELEMENTI TRODIMENZIONALNOG PROSTORA Tacka (point), prava (line) i ravan (plane) su osnovni geometrijski elementi prostora. Tacka moze da se odredi ili definise: 1) kao presek dve prave 2) kao presek prave sa ravni 3) kao presek tri ravni Prava moze da se odredi: 1) kao presecnica (presek) dve ravni 2) kao spojnica dve tacke Ravan moze da se odredi (definise): 1) sa tri tacke 2) sa tackom i pravom 3) sa dve prave (koje se seku ili su paralelne).

1.1. Meusobni polozaj osnovnih geometrijskih elemenata u prostoru Tacka moze da lezi (pripada) nekoj pravi ili da bude izvan nje, i da pripada nekoj ravni ili da bude izvan nje. Dve prave mogu da se seku sl.1, mogu da budu paralelne, ili mogu da se mimoilaze. Paralelne prave se seku u beskonacnoj tacki, a mimoilazne prave se ne seku ni u konacnoj ni u beskonacnoj tacki, one ne mogu pripadati ni jednoj zajednickoj ravni. Prava moze da pripada jednoj ravni, da bude paralelna sa ravni ili da prodire ravan. Prava pripada ravni ako se u toj ravni nalaze njene dve tacke. Prava je paralelna sa ravni, ako se u toj ravni nalazi prava koja je paralelna sa posmatranom(zadatom) pravom. Prodor prave kroz ravan, sa kojom je paralelna, je u beskonacnoj tacki prave. Dve ravni mogu da budu paralelne ili da se seku u konacnosti. Dve ravni su paralelne ako se u jednoj od njih nalaze dve prave koje su paralelne sa dve prave u drugoj ravni, koje meusobno nisu paralelne. Presecnica dve paralelne ravni je u beskonacnosti. Dve mimoilazne prave su meusobno normalne(upravne), ako su paralelne sa kracima jednog pravog ugla. Prava je normalna(upravna) na neku ravan onda kada je prava normalna na dve prave koje pripadaju ravni i seku se u konacnoj tacki. U ovom slucaju prava je normalna na sve prave ravni i naziva se normala ravni, a ravan se zove normalna ravan te prave. Ravan je normalna na drugu ravan ako u sebi sadrzi pravu koja je normalna na drugu ravan.

1.2. Rastojanja i uglovi izmeu geometrijskih elemenata prostora Rastojanje dve tacke A i B u prostoru jednako je duzini koja je sa ove dve tacke ogranicena. Rastojanje neke tacke A od neke prave a je najkrae rastojanje te tacke od svih ostalih tacaka prave a. To je ustvari duzina postavljene normale iz tacke A na pravu a. Rastojanje neke tacke A od neke ravni T je najkrae rastojanje te tacke od svih tacaka ravni T. Ova duzina je normala postavljena iz tacke A na ravan T. Rastojanje dve mimoilazne prave a i b je najkraa duzina ogranicena sa tackama na pravama a i b. Ta najkraa duzina je normalna na obe prave, odnosno to je zajednicka normala ove dve mimoilazne prave. Rastojanje prave od jedne ravni sa kojom je prava paralelna, jednako je duzini normale postavljene iz bilo koje tacke prave na tu ravan. Rastojanje dve paralelne ravni jednaka je duzini zajednicke normale postavljene iz bilo koje tacke jedne ravni na drugu ravan. Ugao koji zaklapaju dva geometrijska elementa prostora, svodi se na ugao koji zaklapaju dve prave koje se seku. Ugao izmeu dve mimoilazne prave jednak je uglu koji zaklapaju dve prave u prostoru koje se seku i paralelne su sa ove dve mimoilazne prave. Nagibni ugao prave a prema nekoj ravni T je najmanji ugao koji prava a zaklapa sa ostalim pravama ravni T. Krak nagibnog ugla, koji se nalazi u ravni T, i prava a se istovremeno nalaze u ravni normalnoj na ravan T. Nagibni ugao izmeu dve ravni T i R nalazi se u ravni Q koja je normalna na presecnicu dve ravni T i R. Nagibni ugao izmeu ravni T i R je odreen presecnicom izmeu ravni Q i T i presecnicom izmeu ravni Q i R.

2. PREDSTAVLJANJE TRODIMENZIONALNOG PROSTORA I VRSTE PROJICIRANJA Ako se posmatra neki objekat (predmet), iz svake vidljive tacke tog predmeta do naseg oka dolazi po jedan tzv. vidni zrak. Ako se izmeu posmatranog objekta (predmeta) i naseg oka postavi staklena ploca, svaki takav vidni zrak prodire staklenu plocu. Spojnica prodornih tacaka, vidnih zraka kroz staklenu plocu, daje sliku ili projekciju objekta (predmeta). Dakle, da bi se trodimenzionalni objekti ili zamisli buduih objekata mogli da prikazu na dvodimenzionalnoj ravni crteza, koristimo se projektovanjem ili (projiciranjem). Projektovanje (projiciranje) je prvi osnovni postupak Nacrtne geometrije u kome se trodimenzionalni objekti projektuju pravolinijskim zracima na ravan crteza koju nazivamo projekcijska ravan ili likoravan. Da bi postupak projektovanja mogao da se sprovede potrebno je imati definisan objekat (predmet), ravan na koju se objekat projicira (likoravan), centar projiciranja (srediste) ili ocnu tacku ­ iz koje se vrsi projiciranje. Spojnice centra projiciranja i temena objekta (predmeta) su

projekcijski zraci ili (vidni zraci) ciji prodori kroz projekcijsku ravan (likoravan) odreuju projekciju ­ dvodimenzionalnu sliku ­ crtez. Projekcija (slika) neke tacke prostora na nekakvu ravan je prodor projekcijskog zraka (vidnog zraka), koji prolazi tackom, kroz ravan na koju se izvodi projiciranje. Projekcija (slika) prave prostora na ravan je presecnica projicirajue ravni, koja prolazi kroz pravu, sa ravni na koju se vrsi projiciranje. U zavisnosti gde se u prostoru nalazi centar(srediste) projiciranja ili ocna tacka, postoji nekoliko vrsta projekcija: Ukoliko je centar projiciranja tacka u konacnosti (sl.1) onda je to centralna projekcija ili perspektiva. Ako je centar projiciranja beskonacna tacka , tada su projekcijski zraci(vidni zraci) meusobno paralelni i onda je to paralelna projekcija. U okviru paralelne projekcije postoji aksonometrija, kosa projekcija(kao specijalan slucaj aksonometrije) (sl.2) i ortogonalna projekcija (sl.3) u zavisnosti da li su meusobno paralelni projekcijski (vidni) zraci prema projekcijskoj ravni - ravni crteza(likoravni) u kosom ili ortogonalnom polozaju. Ukoliko su projekcijski zraci kosi prema likoravni to je onda aksonometrija ili kosa projekcija (sl.2) a ako su projekcijski zraci normalni ili upravni (pod uglom 900) prema likoravni, onda je to ortogonalna projekcija (sl.3). 2.1. Ortogonalne projekcije osnovnih geometrijskih elemenata prostora Osnovni geometrijski elementi trodimenzionalnog prostora su tacka (point), prava (line) i ravan (plane). Tacka moze da se odredi ili definise: kao presek dve prave ili kao presek prave i ravni ili kao presek tri ravni. Prava moze da se odredi: kao spojnica dve tacke ili kao presecnica (presek) dve ravni. Ravan moze da se odredi: sa tri tacke ili sa tackom i pravom ili sa dve prave koje se seku ili sa dve prave koje su paralelne. Usvojena je jedna horizontalna ravan (horizontalnica Hº1) i van nje jedna tacka A (sl.4). Kroz tacku A je postavljen projekcijski zrak normalno ili ortogonalno na usvojenu horizontalnu ravan Hº1, koja je sada likoravan tj. ravan na koju se vrsi projiciranje. Prodor projekcijskog zraka kroz horizontalnu ravan Hº1 je ortogonalna projekcija tacke A na horizontalnicu Hº1 i to je prva ortogonalna projekcija , a obelezava se sa A' (cita se: A prvo) . Ako se ukloni usvojena tacka A i pomou prve ortogonalne projekcije A' pokusa da odredi polozaj tacke A u prostoru , uocie se da tacka A moze da zauzme bilo koji polozaj na ortogonalnom projekcijskom zraku postavljenom normalno iz A' i da se zbog toga ne moze utvrditi odstojanje tacke A od projekcijske ravni (horizontalnice Hº1) . Iz ovoga moze da se zakljuci, da ako je poznata samo jedna ortogonalna projekcija tacke, to nije dovoljno da bi se odredio i polozaj tacke u prostoru . Da bi se predstavilo odstojanje tacke od horizontalnice, u prostoru se pored horizontalne ravni (horizontalnice Hº1) uvodi jos jedna frontalna ravan (frontalnica Fº2) koja je normalna (upravna) na horizontalnicu (sl.5). Ove dve koordinatne ravni i projekcijske ravni (horizontalnica Hº1 i frontalnica Fº2) dele prostor na cetiri dela koji se nazivaju kvadranti. Dve koordinatne i projekcijske ravni horizontalnica i frontalnica se seku po jednoj pravi, koja se naziva x-osa. Radi lakseg sagledavanja polozaja osnovnih geometrijskih elemenata u odnosu na usvojene dve koordinatne ravni H i F, kvadranti se numerisu rimskim brojevima i to tako da je prvi kvadrant deo prostora iznad horizontalnice, ispred frontalnice. Drugi kvadrant je deo prostora iznad horizontalnice, iza frontalnice. Trei kvadrant je deo prostora ispod horizontalnice, iza frontalnice. Cetvrti kvadrant je deo prostora ispod horizontalnice, ispred frontalnice sl.5.

Sada se kroz tacku A, koja je uzeta iznad horizontalnice i ispred frontalnice, postavljaju dva projekcijska zraka, jedan zrak normalno na horizontalnicu Hº1, a drugi zrak normalno na frontalnicu Fº2 sl.6. Prodor projekcijskog zraka kroz horizontalnicu je prva ortogonalna projekcija tacke A, a prodor projekcijskog zraka kroz frontalnicu F je druga ortogonalna projekcija tacke A, i ona se obelezava sa A" (cita se: A drugo) . Ako se ukloni tacka A i pomou ortogonalnih projekcija A' i A" pokusa da odredi polozaj tacke A u prostoru , tako sto se kroz ortogonalne projekcije A' i A" postave ortogonalni projekcijski zraci na horizontalnicu i frontalnicu , u preseku projekcijskih zraka nalazi se trazena tacka A u prostoru . Iz ovoga se vidi da poznate ortogonalne projekcije , neke tacke iz prostora , na dve projekcijske ravni (u ovom slucaju horizontalnicu i frontalnicu), su dovoljne da bi mogao da se odredi i polozaj takve tacke u prostoru. Dva ortogonalna projekcijska zraka, postavljena jedan na horizontalnicu drugi na frontalnicu, obrazuju jednu profilnu ravan, koja je normalna na obe projekcijske ravni i na x-osu. Presecnice A' Ax i A''Ax ravni AA'AxA'' sa Hº1 i Fº2 su upravne na presecnicu koordinatnih ravni H i F tj. x-osu sl.6. Pomenuta profilna ravan posmatrane tacke A se projicira na horizontalnicu i frontalnicu kao prava normalna na x-osu. Na sl.6a projekcijske ravni Hº1 i Fº2 su postavljene odvojeno (rasklopljeno) i na njima su prikazane prva i druga ortogonalna projekcija tacke A i normalna odstojanja y i z od koordinatnih (projekcijskih) ravni F i H. Na sl.6b projekcijske ravni Hº1 i Fº2 su postavljene jedna ispod druge tako da se ose x' i x'' poklapaju. Profilna ravan AA'AxA'' koja je normalna na H i F projicira se kao prava A''AxA' normalno na x-osu, tj. ima zracnu projekciju i predstavlja vezu izmeu prve i druge ortogonalne (Monzove) projekcije. 2.1.1. Dekartov pravougli koordinatni sistem Pored dve pomenute koordinatne ravni horizontalnice Hº1 i frontalnice Fº2 za prikazivanje elemenata geometrijskog trodimenzionalnog prostora, u ortogonalnim ili Monzovim projekcijama, uvodi se i trea koordinatna ravan profilnica Pº3, koja je normalna (upravna) na pomenute dve koordinatne ravni H i F. sl.7 Dakle, osnovni geometrijski elementi trodimenzionalnog prostora mogu da se ortogonalno projiciraju na jednu, dve ili tri koordinatne (projekcijske) ravni. Za projekcijske ravni ili likoravni, ortogonalnog projiciranja, se uzimaju koordinatne ravni Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema horizontalnica Hº1, frontalnica Fº2 i profilnica Pº3 sl.7. Tri koordinatne ravni se nazivaju prema polozaju koji one zauzimaju u prostoru. Prva koordinatna ravan je horizontalnog polozaja i ona se naziva horizontalnica a obelezava se sa H ili 1. Druga koordinatna ravan je frontalnog polozaja i zbog toga se naziva frontalnica, a obelezava se sa F ili 2. Trea koordinatna ravan je profilnog polozaja u prostoru i ona se naziva profilnica, a obelezava se sa P ili 3. Kordinatne ravni H , F i P se seku po tri prave(presecnice)-koordinatne ose x , y, z. Horizontalnica i frontalnica se seku po x-osi; horizontalnica i profilnica se seku po y-osi, a frontalnica i profilnica se seku po z-osi. Sve tri koordinatne ose x, y, z se seku u jednoj tacki O koja se naziva koordinatni pocetak sl.7. Ceo prostor je ispunjen tackama , pravama i ravnima - osnovnim geometrijskim elementima. Da bi mogao da se prati , odnosno definise polozaj svakog elemenata u prostoru, potrebno je da se trodimenzionalni prostor uredi. Ureivanje prostora podrazumeva uvoenje nekakvog stalnog objekta u odnosu na koji bi se geometrijski elementi prostora posmatrali. Za stalni objekat u prostoru usvojene su tri koordinatne ravni medjusobno ortogonalne (normalne), koje obrazuju jedan koordinatni sistem, po imenu Dekartov pravougli koordinatni sistem.

Pomenute tri koordinatne ravni dele prostor na osam delova koji se nazivaju oktanti. Radi lakseg sagledavanja geometrijskih elemenata u trodimenzionalnom prostoru, oktanti se numerisu rimskim brojevima i to tako da je prvi oktant deo prostora iznad horizontalnice, ispred frontalnice i desno od profilnice. Drugi oktant je deo prostora iznad horizontalnice, iza frontalnice i desno od profilnice. Trei oktant je deo prostora ispod horizontalnice, iza frontalnice, desno od profilnice. Cetvrti oktant je deo prostora ispod horizontalnice, ispred frontalnice i desno od profilnice. Prva cetiri oktanta su delovi cetiri kvadranta. Peti oktant je deo prostora iznad horizontalnice, ispred frontalnice i levo od profilnice. Sesti oktant je deo prostora iznad horizontalnice, iza frontalnice i levo od profilnice. Sedmi oktant je deo prostora ispod horizontalnice, iza frontalnice, levo od profilnice. Osmi oktant je deo prostora ispod horizontalnice, ispred frontalnice i levo od profilnice. sl.7. Na sl.7a u prvoj ortogonalnoj projekciji prikazan je Dekartov pravougli koordinatni sistem sa sl.7, projiciran paralelnim projekcijskim zracima iz beskonacne tacke pozitivnog dela z-ose (iznad horizontalnice) normalno na horizontalnicu Hº1. Gledano iz pomenute ocne tacke horizontalnica Hº1 se vidi u pravoj velicini, frontalnica Fº2 se vidi kao prava (zracno) poklopljena sa x-osom, a profilnica se vidi kao prava(zracno) poklopljena sa y-osom. Na sl. 7b u drugoj ortogonalnoj projekciji prikazan je Dekartov pravougli koordinatni sistem sa sl.7, projiciran paralelnim projekcijskim zracima iz beskonacne tacke pozitivnog dela y-ose (ispred frontalnice) normalno na frontalnicu Fº2. Gledano iz ove ocne tacke frontalnica Fº2 se vidi u pravoj velicini, horizontalnica Hº1 se vidi kao prava (zracno) poklopljena sa x-osom, i profilnica se vidi kao prava(zracno) poklopljena sa z-osom. Na sl. 7c je u treoj ortogonalnoj projekciji prikazan Dekartov pravougli koordinatni sistem sa sl.7, projiciran paralelnim projekcijskim zracima iz beskonacne tacke pozitivnog dela x-ose (desno od profilnice) normalno na profilnicu Pº3. Iz ove ocne tacke profilnica Pº3 se vidi u pravoj velicini, horizontalnica Hº1 se vidi kao prava (zracno) poklopljena sa y-osom, a frontalnica se vidi kao prava(zracno) poklopljena sa z-osom. Na sl. 7d je prikazan sjedinjen Dekartov pravougli koordinatni sistem, u sve tri ortogonalne (Monzove) sa sve tri projekcije koordinatnog pocetka (O', O'' i O''')=O na jednom mestu. Prva, druga i trea ortogonalna projekcija, Dekartovog pravouglog sistema, koje su bile razdvojene na sl.7a, sl.7b i sl.7c. sada su pozicione poklopljene. Istovremeno je na sl. 7d prikazano obelezavanje koordinatnih ravni i koordinatnih osa u sve tri ortogonalne projekcije. Presecnica izmeu dve koordinatne ravni horizontalnice Hº1 i frontalnice Fº2 je x-osa i obelezava se sa 1''/2' (sto znaci da se horizontalnica u drugoj projekciji vidi kao prava poklopljena sa x-osom, a frontalnica u prvoj projekciji vidi kao prava poklopljena sa x-osom). Presecnica izmeu dve koordinatne ravni frontalnice Fº2 i proflnice Pº3 je z-osa i obelezava se sa 2'''/3'' (sto znaci da se frontalnica u treoj projekciji vidi kao prava, a profilnica u drugoj projekciji vidi kao prava poklopljena sa z-osom). Presecnica izmeu dve koordinatne ravni horizontalnice Hº1 i proflnice Pº3 je y-osa i obelezava se sa 1'''/3' (sto znaci da se horizontalnica u treoj projekciji vidi kao prava, a profilnica u prvoj projekciji vidi kao prava poklopljena sa y-osom). Na pozitivnom delu y-ose u treoj ortogonalnoj projekciji se stavlja oznaka 1''', a na pozitivnom delu y-ose u prvoj ortogonalnoj projekciji se stavlja oznaka 3'. Svaki zadatak koji se u Nacrtnoj geometriji resava u ortogonalnim (Monzovim) projekcijama pocinje sa tri sjedinjene ortogonalne projekcije, Dekartovog pravouglog koordinatnog sistema. 2.1.2. Tacka u opstem i specijalnom polozaju Na sl. 8 u kosoj projekciji je pokazano kako se definise polozaj tacke u prostoru u odnosu na Dekartov pravougli koordinatni sistem. Tacka se definise njenim normalnim (ortogonalnim ili upravnim) odstojanjima od koordinatnih (projekcijskih) ravni (horizontalnice H, frontalnice F i profilnice P), pa se tim redom i nanose odstojanja u pravcu koordinatnih osa x , y , z. Normalna

odstojanja tacke od koordinatnih ravni se nazivaju koordinate. Prva koordinata x je normalno odstojanje tacke od profilnice P. Druga koordinata y je normalno odstojanje tacke od frontalnice F. Trea koordinata z je normalno odstojanje tacke od horizontalnice H. Ortogonalna projekcija neke tacke prostora na neku ravan se dobija kada se kroz pomenutu ravan odredi prodor, projekcijskog zraka koji je postavljen kroz posmatranu tacku prostora, normalno na ravan na koju se vrsi projiciranje. Dakle, svaka tacka prostora ima tri normalna odstojanja od tri koordinatne ravni Dekartovog pravouglog sistema, pa prema tome i tri koordinate x, y, z. Na sl.8 u kosoj projekciji su prikazane tacke koje su zadate svoje tri koordinate (x, y, z). Vazno je da se uoci da se prva i druga ortogonalna projekcija jedne tacke nalaze uvek u istoj profilnoj ravni koja je normalna na x-osu. Isto tako, da se druga i trea ortogonalna projekcija jedne tacke, uvek nalaze u istoj horizontalnoj ravni koja je normalna na z-osu. Tako su date tacke: tacka A(1.5;1;2.5) koja se nalazi u prvom oktantu; tacka B(2; -1.5;-3) sa negativnim y i z koordinatama se nalazi u trecem oktantu; tacka C(-3;1.5;-2) sa negativnim x i z koordinatama se nalazi u osmom oktantu; tacka D(2;1;0) sa z koordinatom koja ima vrednost 0 se nalazi u horizontalnici; tacka E(-3.5;0;1) sa y koordinatom, koja ima vrednost 0 se nalazi u frontalnici; tacka F(0;2.5;4) sa x koordinatom, koja ima vrednost 0, nalazi se u profilnici; tacka G(3;-3;3) sa jednakim vrednostima koordinata i negativnom y koordinatom, nalazi se u drugom oktantu a kada se prikazuje u tri ortogonalne projekcije, sve tri projekcije se poklapaju; tacka H(3.5;0;0) sa y i z koordinatama cije su vrednosti 0, se nalazi na x-osi. Na sl. 8a su prethodno zadate tacke svojim koordinatama, prikazane u sve tri ortogonalne ili Monzove projekcije. Za dobijanje prve ortogonalne projekcije tacke koriste se x i y koordinate. Za dobijanje druge ortogonalne projekcije tacke koriste se x i z koordinate. Za dobijanje tree ortogonalne projekcije tacke koriste se y i z koordinate. Takoe treba da se uoci da kod prikazivanja jedne tacke u tri ortogonalne (Monzove) projekcije, trea projekcija svake tacke uvek se nalazi u visini druge projekcije te tacke, na y odstojanju od frontalnice. Znaci, ako je y vrednost posmatrane tacke pozitivna, njena trea projekcija je u visini druge projekcije te tacke, levo od frontalnice F u treoj projekciji. Ako je y vrednost posmatrane tacke negativna, njena trea projekcija je u visini druge projekcije te tacke, desno od frontalnice F u treoj projekciji. 2.2. Kosa projekcija ili kosa frontalna projekcija Ako se zeli jasnija predstava prostora gde se mnogo lakse uocavaju meusobni odnosi geometrijskih elemenata u prostoru i njihov polozaj u odnosu na projekcijske ravni, koristi se kosa projekcija ili tacnije kosa frontalna projekcija (specijalan slucaj aksonometrije). Kosa projekcija kao i ortogonalna projekcija pripada grupi paralelnih projekcija. Kod paralelnih projekcija centar projiciranja je beskonacna tacka, a projekcijski zraci su meusobno paralelni. Ako su paralelni projekcijski zraci pod nagibom (kosi) prema projekcijskoj ravni sl.9 onda se takvo projiciranje zove kosa projekcija. Dakle, kod kosog projiciranja, projiciranje se vrsi kosim projekcijskim zracima na vertikalnu (frontalnu) projekcijsku ravan. Za likoravan se usvaja frontalnica Fº2, a ose x i z, pravouglog koordinatnog triedra Oxyz, se postavljaju da budu paralelne sa likoravni-frontalnicom sl. 9 ili da leze u likoravni-frontalnici sl.10. Ose x i z, leze u likoravni i duzine na njima i ugao izmeu njih se zbog toga ne deformise. Trea y-osa je normalna na likoravan. Pravi uglovi izmeu osa y i x i izmeu osa y i z , koordinatnog triedra Oxyz, i duzine na y-osi se deformisu u zavisnosti od polozaja kosog zraka projiciranja prema likoravni sl.11. Dakle, y-osa se projicira u yk - osu pod razlicitim uglom prema x i z osi i sa razlicitim deformacijama jedinicnih duzi u odnosu dyk : dy, pri cemu je dy prava velicina duzine koja se vidi na y-osi u prvoj ortogonalnoj projekciji ili y-osi u treoj ortogonalnoj projekciji, a dyk je deformisana duzina na yk-osi. Za dyk < dy po osi yk postoji skraenje, za dyk = dy duzine se po yk-osi ne deformisu, i za dyk > dy po osi yk postoji izduzenje. Ugao koji yk -osa zaklapa sa osama x i z ose moze da bude razlicit. U tehnickoj praksi za predstavljenje objekata u kosoj projekciji, najcese se taj ugao zadaje ili usvaja -xyk = 300 ili

450, ree 600. Sto se tice deformacija duzi na yk ­osi, u tehnickoj praksi odnos dyk : dy se najcese uzima da je dyk manje ili jednako dy, sto znaci da se duzine nanose u skraenju ili bez skraenja. Skraenje yk -ose se najcese zadaje odnosom ili razmerom 1:2, 2:3, 3:4,...itd. Obavezno je da se kod yk -ose upise razmera skraenja pa i u slucaju kada nema skraenja, upise se razmera 1:1, sto bi znacilo da se, u ovom slucaju, duzine na yk-osu nanose u pravoj velicini. U kosoj projekciji se pozitivni pravci x, y i z osa obelezavaju strelicom. Kod yk-ose potrebno je da se naznaci skraenje. Pored posrednih kosih projekcija na horizontalnici H, frontalnici F i profilnici P, postoji i neposredna kosa projekcija same tacke. Oznake za kosu projekciju upisuju se za tacku A na sledei nacin: A (Ak, A' k, A''º A'' k, A''' k). Posredne kose projekcije su projekcije na koordinatne ravni. Prva kosa projekcija je projekcija na koordinatnu ravan xy. Druga kosa projekcija je projekcija na koordinatnu ravan xz. Trea kosa projekcija je projekcija na koordinatnu ravan yz. Kosa projekcija moze da se nacrta samo iz jedne posredne kose projekcije (prve, druge ili tree kose projekcije), mada se najcese kosa frontalna (neposredna) projekcija konstruise iz dve posredne kose projekcije. Na sl.12 je pokazano kako se konstruise kosa projekcija tacke A kojoj su koordinate (3; 2; 2,5). Tacka A je prvo nacrtana u sve tri ortogonalne projekcije A' A'' i A'''. Polozaj yk -ose je dat uglom 300 u odnosu na osu ­x' º ­x'' º y'''. Dat je i odnos skraenja duzina po yk-osi 2:3. Prema datom odnosu skraenja yk-ose, na y' je od koordinatnog pocetka naneto 3cm, a na ykosu je naneto 2cm. Spajanjem krajnjih tacaka na osama y' i yk odreen je tzv."zrak skraenja''. Zrakom koji je paralelan "zraku skraenja'', iz prve ortogonalne projekcije tacke A' u prvu kosu projekciju A'k. Iz A'k je postavljena normala a iz A'' je zrakom koji je paralelan yk-osi preneta z vrednost (visina) tacke A, na normalu iz A'. Poseban "zrak skraenja" postoji i za vezu izmeu tree ortogonalne projekcija i tree kose projekcije. Odreuje se na slican nacin kao sto je odreen "zrak skraenja" koji povezuje prvu ortogonalnu projekciju i prvu kosu projekciju. Duzina od 3cm naneta je od koordinatnog pocetka na osu y''' i duzina od 2cm je nanete od koordinatnog pocetka na osu yk. Spojnica krajnjih tacaka na osama y''' i yk je ''zrak skraenja'' za y-vrednosti izmeu tree ortogonalne i tree kose projekcije. Tacka A'''k tacke A je odreena postavljanjem prave x-pravca kroz treu ortogonalnu projekciju tacke A(A''') do preseka sa z-osom. Iz ove presecne tacke postavljena je prava paralelno sa ykosom. U preseku prave paralelne sa yk-osom i "zraka skraenja" (koji povezuje treu ortogonalnu i treu kosu projekciju) dobija se trea kosa posredna projekcija tacke A (A'''k). Kosa neposredna projekcija Ak (tacke A) se formira, kada se iz prve kose projekcije postavi prava paralelno sa zosom, potom se iz druge kose projekcije º druge ortogonalne projekcije, postavi prava paralelno sa yk-osom i na kraju iz tree kose projekcije se postavi prava paralelno sa x-osom. U preseku ove tri prave se dobija kosa neposredna projekcija tacke A (Ak). Na sl.13 je pokazano kako se odreuje kosa projekcija tacke B(1,5; -3; -2) kod koje y i z koordinate imaju negativnu vrednost. Kosa projekcija je zadata uglom koji yk-osa zaklapa sa osom ­x' º y''' 450 i skraenjem po yk-osi 1:2. Na osu y' od koordinatnog pocetka su nanete neke dve jedinice, a na yk osu takodje je od koordinatnog pocetka naneta jedna jedinica. Spojnica krajnjih tacaka na osama y' i yk je ''zrak skraenja''. Tacka B je prvo konstruisana u sve tri ortogonalne projekcije. Zatim je kroz prvu ortogonalnu projekciju tacke B (B') postavljena prava, paralelno sa y' osom, do preseka sa x-osom. Iz tacke preseka je postravljena prava paralelno sa yk-osom, ali u njenom negativnom smeru. Paralelno zraku skraenja, iz B' je postavljen zrak, koji u preseku sa y pravcem tacke B u prvoj kosoj projekciji, odreuje prvu kosu projekciju tacke B(B'k). Da bi se odredila tacka Bk iz B'k se postavlja prava paralelno sa z-osom, u negativnom smeru, i na nju prenosi z vrednost tacke B, iz B'' pravom koja je paralelna sa yk-osom. Trea kosa projekcija tacke B je odreenana dva nacina: 1) kroz prvu kosu projekciju tacke B (B'k) postavljena je prava x-pravca do preseka sa yk-osom. Iz ovog preseka se postavlja prava zpravca, u njenom negativnom smeru, na koju se direktno nanosi z-vrednost od -2cm, ili se z-

vrednost tacke B prenosi sa z-ose zrakom koji je paralelan yk-osi. 2) kroz treu ortogonalnu projekciju tacke B(B'''k) postavljena je prava x-pravca do preseka sa z osom, u njenom negativnom delu. Iz ovog preseka je postavljena prava paralelno sa yk- osom, u njenom negativnom smeru. U preseku ''zraka skraenja'' koji povezuje treu ortogonalnu i treu kosu projekciju tacke B i prave koja je paralelna sa yk-osom nalazi se B'''k. Kosa neposredna projekcija Bk (tacke B) se dobija, kada se iz prve kose projekcije tacke B, postavi prava paralelno sa z-osom, a zatim se iz druge kose º ortogonalne projekcije B'' tacke B, postavi prava paralelno sa yk-osom i na kraju iz tree kose projekcije B'''k tacke B se postavi prava paralelno sa x-osom. U preseku postavljene tri prave se nalazi kosa neposredna projekcija Bk tacke B. Na sl.14 je konstruisana kosa projekcija predmeta koji se sastoji od jedne pravilne zarubljene cetvorostrane piramide i dela prave pravilne prizme sa kvadratnom osnovom. Poznate su nam prva, druga i trea ortogonalna projekcija predmeta. Ugao izmeu ose yk i ose ­x' º y''' je 300. Skraenje yk ose je 3:4. Prvo je uraena prva kosa projekcija predmeta, tako sto su kroz tacke (prve ortogonalne projekcije predmeta) postavljene cetiri prave paralelno sa osom y' a onda iz presecnih tacaka sa osom x postavljene su nove cetiri prave paralelno sa osom yk. Paralelno ''zraku skraenja'', iz prvih ortogonalnih projekcija tacaka predmeta, postavljeni su zraci koji u preseku sa odgovarajuim y pravcima u prvoj kosoj projekciji daju prve kose projekcije tacaka predmeta. Druga kosa projekcija tacaka predmeta je poklopljena sa drugom ortogonalnom projekcijom predmeta. Izmeu tree ortogonalne i tree kose projekcije postoji veza slicna vezi izmeu prve ortogonalne i prve kose projekcije, tako da je za ove dve projekcije odreen i poseban ''zrak skraenja''. On se dobija kao spojnica krajnjih tacaka, duzine od 4cm nanete od koordinatnog pocetka na osu y''' i duzine od 3cm nanete od koordinatnog pocetka na osu yk. Za odreivanje tree kose projekcije predmeta, kroz tacke (tree ortogonalne projekcije predmeta) postavljene su prave paralelno sa osom y''' a onda iz njihovih presecnih tacaka sa zosom postavljene su prave paralelno sa osom yk. Iz treih ortogonalnih projekcija tacaka predmeta paralelno sa novim ''zrakom skraenja'' postavljeni su zraci koji u preseku sa odgovarajuim y pravcima u treoj kosoj projekciji, daju tree kose projekcije tacaka predmeta. Kada imamo konstruisanu prvu kosu posrednu, drugu kosu posrednu(to je ustvari druga ortogonalna projekcija) i treu kosu posrednu projekciju predmeta, neposredna kosa projekcija predmeta se dobija u meusobnom preseku odgovarajuih zraka (paralelnih projekcijskih zraka) z, yk i x pravca koji povezuju tacke prve kose projekcije sa neposrednom kosom projekcijom, zatim tacke druge ortogonalne projekcije sa neposrednom kosom projekcijom i tacke tree ortogonalne projekcije sa neposrednom kosom projekcijom. 2.3. Prava u opstem polozaju Prava se definise kao spojnica dve tacke ili kao presek dve ravni. Ortogonalna projekcija prave je presek projicirajue ravni, kroz posmatranu pravu, i koordinatne (projekcijske) ravni (horizontalnica, frontalnica i profilnica). Projicirajua ravan koja se postavlja kroz pravu prostora je normalna (upravna) na svaku projekcijsku (koordinatnu) ravan. Projicirajua ravan kroz pravu prostora normalna na projekcijsku (koordinatnu) ravan - to je ustvari tzv. zracna ravan. Ona se dobija kada se kroz sve tacke posmatrane prave postave projekcijski zraci normalno na projekcijsku ravan. Paralelna projekcija (ortogonalna i aksonometrijska-kosa) prave je uvek prava, osim ako je prava normalna na projekcijsku ravan, tada je njena projekcija tacka. Projekcija prave u tacku se naziva zracna projekcija prave. Ako je prava nagnuta prema projekcijskoj ravni, duzina njene ortogonalne projekcije je proporcionalna kosinusu nagibnog ugla. Npr. prva ortogonalna projekcija duzi AB je A'B'= AB x cosa. Ako je nagibni ugao a prave prema projekcijskoj ravni 00 onda je prava paralelna sa projekcijskom ravni i u toj ortogonalnoj projekciji se prava vidi u pravoj velicini. Ako je nagibni ugao a prave prema projekcijskoj ravni 900 onda je prava normalna na projekcijsku ravan i u toj projekciji se prava vidi kao tacka, i to se naziva zracna projekcija prave sl.15(sl.15a, sl.15b, sl.15c).

Na sl.16 u kosoprojekcijskoj skici prikazana je jedna prava ak, zadata sa dve tacke A i B, nagnuta prema sve tri projekcijske (koordinatne) ravni H, F i P. Projiciranje prave a na projekcijske ravni H, F i P izvrseno je postavljanjem projekcijskih zraka kroz tacke A i B, normalno na svaku projekcijsku ravan posebno. Prodor projekcijskih zraka kroz projekcijsku ravan H odreuje prvu projekciju tacaka A' B' cija spojnica definise prvu kosu projekciju prave a'k. Prodor projekcijskih zraka kroz projekcijsku ravan F odreuje drugu projekciju tacaka A'' B'' cija spojnica definise drugu kosu projekciju prave a''k. Prodor projekcijskih zraka kroz projekcijsku ravan P odreuje treu projekciju tacaka A''' B''' cija spojnica definise treu kosu projekciju prave a'''k. Na sl. 16a u sve tri ortogonalne projekcije prikazana je prava a koja je zadata sa tackama A i B (sa sl. 16). Na ovom primeru su takoe odreene i tri ortogonalne projekcije tacke C koja se nalazi na pravi a i na 2cm desno od profilnice. Postavljena je profilna ravan (koja se u prvoj ortogonalnoj projekciji vidi kao prava paralelna sa y'-osom, a u drugoj ortogonalnoj projekciji vidi isto kao prava paralelna sa z-osom), na 2cm desno od profilnice, ciji prvi trag sece prvu projekciju prave a' u tacki C', a drugi trag profilne ravni sece drugu projekciju prave a'' u tacki C''. Kroz tacku C'' postavljen je drugi i trei trag horizontalne ravni tacke C, paralelelno sa xosom. U preseku treeg traga horizontalne ravni i tree projekcije prave a''' nalazi se trea ortogonalna projekcija tacke C'''. Ako neka tacka pripada nekoj pravi, onda i projekcije tacke pripadaju odgovarajuim projekcijama prave. 2.3.1. Prava u specijalnom polozaju Sve prave koje su paralelne sa projekcijskim (koordinatnim) ravnima Hº1, Fº2 i Pº3 ili pripadaju njima i prave koje su normalne na projekcijske ravni, su prave u specijalnom polozaju. Sve prave prostora paralelne sa projekcijskim ravnima Hº1, Fº2 i Pº3 nazivaju se paralele. Sve prave koje su paralelne sa horizontalnicom Hº1 ­ nazivaju se horizontale, pa se u prvoj ortogonalnoj projekciji duzine na svim horizontalama vide u prvoj velicini, kao i prave velicine uglova koje horizontala zaklapa sa ostale dve projekcijske ravni F i P sl.17. Vazno je uociti kako izgledaju ortogonalne projekcije horizontale sl.17a. Druga ortogonalna projekcija svake horizontale prostora je paralelna sa H''º1'' ili x''-osom. Trea ortogonalna projekcija svake horizontale prostora je paralelna sa H'''º1''' ili y'''-osom. Sve prave prostora koje su paralelne sa frontalnicom Fº2 ­ se zovu frontale, pa se u drugoj ortogonalnoj projekciji duzine na svim frontalama vide u prvoj velicini, kao i prave velicine uglova koje frontala zaklapa sa ostale dve projekcijske ravni H i P sl.18. Prva projekcija svake frontale prostora je paralelna sa F'º2' ili x'-osom. Trea ortogonalna projekcija svake frontale prostora je paralelna sa F'''º2''' ili z'''-osom sl.18a. Sve prave prostora koje su paralelne sa profilnicom Pº3 ­ se zovu profile, pa se u treoj ortogonalnoj projekciji duzine na svim profilama vide u pravoj velicini, kao i prave velicine uglova koje profila zaklapa sa projekcijskim ravnima H i F sl.19. Prva projekcija svake profile prostora je paralelna sa P'º3' ili y'-osom. Druga ortogonalna projekcija svake profile prostora je paralelna sa P''º3'' ili z''-osom sl.19a. U slucaju kada prave pripadju projekcijskim ravnima, takve prave se nazivaju ''nulte'' paralele. One imaju iste osobine kao i prave paralelne sa projekcijskim ravnima - paralele. Na sl.20 u kosoj projekciji je prikazana prava data tackama A i B koja pripada (lezi) u horizontalnici Hº1. Na sl.20a je ista prava prikazana kako izgleda u tri ortogonalne projekcije. Na sl.21 je u kosoj projekciji prikazana prava AB koja pripada (lezi) u frontalnici Fº2. Na sl.21a je ista prava prikazana u tri ortogonalne projekcije. Na sl.22 u kosoj projekciji je prikazana prava AB koja se nalazi (lezi) u profilnici Pº3. Na sl.22a je pokazano kako se ova ista prava vidi u sve tri ortogonalne projekcije. Kada je prava normalna(upravna) na neku projekcijsku(koordinatnu) ravan, ona se na tu projekcijsku ravan projicira zracno u tacku, a u ostale dve projekcije, duzi na tim posmatranim

pravama se projiciraju u pravoj velicini, jer su paralelne sa druge dve projekcijske ravni. Na sl.23 je prikazana prava a ^ H u kosoj projekciji, a na sl 23a je pokazano kako izgledaju tri ortogonalne projekcije prave a ^ H. Na sl.24 je prikazana prava b ^ F u kosoj projekciji, a na sl 24a je pokazano kako izgledaju tri ortogonalne projekcije prave b ^ F. Na sl.25 je prikazana prava c ^ P u kosoj projekciji, a na sl. 25a je pokazano kako izgledaju tri ortogonalne projekcije prave c ^ P. 2.4. Prodor prave kroz projekcijske-koordinatne ravni Na sl.26 u kosoj projekciji je prikazan prodor prave a kroz projekcijske ravni (koordinatne ravni) Hº1, Fº2 i Pº3. Prava a je zadata sa dve tacke A(1,5; 4; 5,5) i B(5,5; 1,5; 1) koje su prikazane u neposrednoj kosoj projekciji (aksonometriji) i u posrednim kosim (aksonometrijskim) projekcijama: prvoj kosoj projekciji, drugoj kosoj projekciji i treoj kosoj projekciji. Spojnice odgovarajuih kosih projekcija tacaka A i B daje odreenu projekciju prave a. Prodor P1k prave a kroz horizontalnicu Hº1, u neposrednoj kosoj (aksonometrijskoj) projekciji se nalazi u preseku kose projekcije prave ak i prve kose projekcije prave a'k. Prodor P2k prave a kroz frontalnicu Fº2, u neposrednoj kosoj (aksonometrijskoj) projekciji se nalazi u preseku kose projekcije prave ak i druge kose projekcije prave a''k. Prodor P3k prave a kroz profilnicu Pº3, u neposrednoj kosoj (aksonometrijskoj) projekciji se nalazi u preseku kose projekcije prave ak i tree kose projekcije prave a'''k. Druga i trea kosa projekcija prodorne tacke P''1k i P'''1k , prave a kroz horizontalnicu Hº1, se nalaze u preseku druge kose projekcije prave ak'' i x-ose, odnosno u preseku tree kose projekcije prave ak''' i y-ose. Prva i trea kosa projekcija prodorne tacke P'2k i P'''2k , prave a kroz frontalnicu Fº2, se nalaze u preseku prve kose projekcije prave ak' i x-ose, odnosno u preseku tree kose projekcije prave ak''' i z-ose. Prva i druga kosa projekcija prodorne tacke P'3k i P''3k , prave a kroz profilnicu Pº3, se nalaze u preseku prve kose projekcije prave ak' i y-ose, odnosno u preseku druge kose projekcije prave ak'' i z-ose. U kosoj (aksonometrijskoj) projekciji uvek je vidljiv samo deo prave koji se nalazi u prvom oktantu. To je deo prave koji je iznad Hº1, ispred Fº2 i desno od Pº3. U ovom slucaju punom linijom bi bio prikazan deo prave ak u (neposrednoj kosoj projekciji) od njenog prodora kroz Hº1 (prvog prodora) do njenog prodora kroz Pº3 (treeg prodora). Isto bi vazilo i za odreivanje vidljivosti prave a u njenim kosim posrednim projekcijama. U prvoj kosoj(aksonometrijskoj) od P'3k do P'1k. U drugoj projekciji bi takoe bio vidljiv samo deo prave a'k k kosoj(aksonometrijskoj) projekciji bi bio vidljiv samo deo prave a''k od P''3 do P''1k. U treoj kosoj(aksonometrijskoj) projekciji bi bio vidljiv samo deo prave a'''k od P'''3k do P'''1k. Na sl.26a je prikazano u tri ortogonalne projekcije, kako se odreuje prodor jedne prave a kroz tri projekcijske ravni Hº1, Fº2 i Pº3. Odreivanje (prvog prodora prave a) ili prodora prave a kroz horizontalnicu Hº1 se zapocinje od druge projekcije prave a'' i horizontalnice H''º1'', ili od tree projekcije prave a''' i horizontalnice H'''º1''', koje se u drugoj projekciji, odnosno treoj projekciji, vide kao prava(zracno). Presek drugih projekcija prave a'' i horizontalnice H'' je prodor P1'' prave a kroz Hº1. Presek tree projekcije prave a''' i horizontalnice H''' je prodor P1''' prave a kroz Hº1. Prva projekcija prodora P1 se dobija kada se profilnim zrakom tacka P1 iz druge projekcije, prenese u prvu projekciju na prvu ortogonalnu projekciju prave a. Odreivanje (drugog prodora prave a) ili prodora prave a kroz frontalnicu Fº2 se zapocinje od prve projekcije prave a' i frontalnice F''º2'', ili od tree projekcije prave a''' i frontalnice F'''º2''', koje se u prvoj projekciji, odnosno treoj projekciji, vide kao prave. Presek prvih projekcija prave a' i frontalnice F' je prodor P2' prave a kroz Fº2. Presek tree projekcije prave a''' i frontalnice F''' je prodor P2''' prave a kroz Fº2. Druga projekcija prodora P2 se dobija kada se profilnim zrakom tacka P2 iz prve projekcije, prenese u drugu projekciju na drugu

ortogonalnu projekciju prave a ili kada se horizontalnim zrakom tacka P2 iz tree ortogonalne projekcije, prenese na drugu projekciju a'' prave a. Odreivanje (treeg prodora prave a) ili prodora prave a kroz profilnicu Pº3 se zapocinje od prve projekcije prave a' i profilnice P'º3', ili od druge projekcije prave a'' i profilnice P''º3'', koja se u prvoj projekciji, odnosno drugoj projekciji, vidi kao prava. Presek prvih projekcija prave a' i profilnice P' je prodor P3' prave a kroz Pº3. Presek druge projekcije prave a'' i profilnice P'' je prodor P3'' prave a kroz profilnicu Pº3. Trea projekcija prodora P3''' se dobija kada se horizontalnim zrakom tacka P3 iz druge projekcije, prenese u treu projekciju na treu ortogonalnu projekciju a''' prave a. Vidljivost prave u ortogonalnim projekcijama se odreuje istovremenim posmatranjem dve susedne ortogonalne projekcije, da bi se videlo koji je deo prave iznad Hº1, ispred Fº2 i desno od Pº3, kao vidljivi delovi prave u odnosu na neprovidne projekcijske ravni H, F i P. Deo prave koji je iznad H (to se vidi u drugoj i treoj ortogonalnoj projekciji) u prvoj projekciji je prikazan punom linijom kao vidljiv. Deo prave koji je ispred F(to se vidi u prvoj i treoj projekciji), u drugoj projekciji je prikazan kao vidljiv. Deo prave koji je desno od P (to se vidi u prvoj i drugoj projekciji), u treoj projekciji je prikazan punom linijom kao vidljiv. Nevidljivi delovi prave u sve tri projekcije su prikazani isprekidanom linijom. Za odreivanje kvadranata kroz koje prava a prolazi, posmatraju se, istovremeno dve ortogonalne projekcije najcese prva i druga projekcija, delova prave a u odnosu na prodorne tacke P1 i P2 prave a kroz H i F. Za odreivanje oktanata kroz koje prava prolazi, posmatra se istovremeno par ortogonalnih projekcija, prave a u odnosu na prodorne tacke P1, P2 i P3 kroz H, F i P. 2.5. Dve prave Ako se posmatraju dve prave u prostoru i njihov meusobni odnos, one mogu da se seku i mimoilaze. Kod prave koje se seku, presecna tacka moze biti konacna i beskonacna. U slucaju kada je presecna tacka beskonacna, tada su dve prave meusobno paralelne. Dve mimoilazne prave, nemaju zajednicku tacku. Dve prave koje se u prostoru seku u konacnoj tacki, i u svim ortogonalnim projekcijama moraju da imaju zajednicku presecnu tacku, a to znaci da prva i druga ortogonalna projekcija presecne tacke za dve posmatrane prave, mora da se nalaze u istoj profilnoj ravni (na istom ''profilnom zraku''), a druga i trea ortogonalna projekcija presecne tacke mora da lezi u istoj horizontalnoj ravni (na istom ''horizontalnom zraku''). Dve paralelne prave u prostoru, moraju i u svim ortogonalnim projekcijama da budu paralelne. Dve prave koje se mimoilaze nemaju zajednicku tacku u prostoru, pa ne mogu da imaju zajednicku tacku ni u ortogonalnim projekcijama. Na sl.27 su prikazane dve paralelne prave a i b u tri ortogonalne projekcije. Data je prava a sa dve tacke A i B i jedna tacka C izvan prave a. Kroz tacku C je potrebno da se postavi prava b paralelno sa datom pravom a. S obzirom da su dve prave a i b paralelne u prostoru, a da je paralelnost invarijanta(nepromenjiva) paralelnog projiciranja (svejedno da li je aksonometrijska, kosa ili ortogonalna projekcija), u sve tri ortogonalne projekcije, dve prave a i b, ce se videti kao paralelne. Kroz tacku C u sve tri projekcije su postavljene projekcije prave b paralelno odgovarajuim projekcijama prave a. Na sl.28 u tri ortogonalne projekcije su prikazane dve prave a i b koje se seku u prostoru. Prava a je zadata sa dve tacke A i B, a prava b je zadata sa tackama C i D. S obzirom da se dve prave a i b seku, one ustvari imaju zajednicku tacku E, cije sve tri ortogonalne projekcije moraju biti povezane: prva i druga ortogonalna projekcija zajednicke tacke E (za prave a i b)

mora da pripada istoj profilnoj ravni (da leze na istom ,,profilnom zraku"), a druga i trea ortogonalna projekcija tacke E mora da pripada istoj horizontalnoj ravni (da leze na istom ,,horizontalnom zraku"). Na sl.29 u tri ortogonalne projekcije su prikazane dve prave a i b koje se mimoilaze u prostoru. Prava a je data tackama A i B a prava b tackama B i C. Kako ove dve prave nemaju zajednicku tacku u prostoru i u tri ortogonalne projekcije e se to pokazati. U ortogonalnim projekcijama se moze pojaviti presek izmeu projekcija dve prave, ali to e uvek biti ,,prividan presek", tj. taj presek su ustvari poklopljene projekcije dve tacke koje se nalaze na dve mimoilazne prave na istom projekcijskom zraku ali na meusobnom rastojanju za neku z, y i x vrednost, u zavisnosti da li posmatramo prvu, drugu ili treu projekciju. Dakle, na ovom primeru se vidi, po ortogonalnim projekcijama da se dve prave a i b mimoilaze u prostoru. ,,Prividni presek" prvih projekcija a' i b' (prave a i b) se ne nalazi na istom profilnom zraku sa ,,prividnim presekom" drugih projekcija a'' i b'' (prave a i b). Takoe, ,,prividni preseci" drugih projekcija pravih a'' i b'' i treih projekcija pravih a''' i b''' se ne nalaze na istom horizontalnom zraku, sto je znak da se dve prave a i b mimoilaze u prostoru. Na sl.30 u dve ortogonalne projekcije su prikazane dve prave a i b koje se u prostoru seku. Prave a i b se u prostoru seku ali leze (pripadaju) ravni koja je normalna na horizontalnicu Hº1. Zbog toga se prve projekcije prave a' i b' poklapaju. Na sl.31 dve prave c i d se takoe seku u prostoru ali leze u ravni koja je normalna na frontalnicu Fº2 , pa im se zbog toga druge projekcije poklapaju. Na sl.32 u dve ortogonalne projekcije su prikazane dve prave a i b koje su u prostoru paralelne, ali u prvoj projekciji se vide poklopljeno. Razlog je sto dve paralelne prave a i b leze u ravni koja je normalna na horizontalnicu Hº1. Na sl.33 u dve ortogonalne projekcije su prikazane dve prave c i d koje su u prostoru paralelne, ali u drugoj projekciji se vide poklopljeno. Razlog je sto dve paralelne prave c i d leze u ravni koja je normalna na frontalnicu Fº2. Na sl. 34, 35 i 36 su dati specijalni polozaji dve mimoilazne prave u prostoru, prikazani u dve ortogonalne projekcije. Na sl.34 su date dve prave a i b koje se mimoilaze u prostoru. Vazno je primetiti da prve projekcije prave a' i b' su paralelne, a druge projekcije prave a'' i b'' se seku. Na sl. 35 su takoe prikazane dve prave a i b koje se mimoilaze u prostoru. Prve projekcije im se seku, dok su im druge projekcije meusobno paralelne i paralelne su sa horizontalnicom. Na sl. 36 opet su prikazane dve prave a i b koje su u prostoru meusobno mimoilazne (i to ortogonalno mimoilazne), s tim sto im se prve projekcije ''seku'' pod uglom 900 , dok se u drugoj projekciji prava a vidi kao tacka a prava b paralelno sa horizontalnicom. Na sl. 37 u kosoprojekcijskoj skici i slikama 37a, 38, 39, 40 i 41 u dve ortogonalne projekcije, su prikazane dve prave a i b koje se seku i meusobom zaklapaju u prostoru ugao 900. Kod ortogonalnog projiciranja ugao od 900 stepeni izmeu dve prave, vidi se u pravoj velicini, na onoj projekcijskoj ravni, sa kojom je paralelna jedna prava od dve date prave ili u slucaju ako su obe prave paralelne sa projekcijskom ravni. Na sl.37a prava b je paralelna sa frontalnicom, a prava a je normalna na F, tako da se ugao 900 u prvoj projekciji vidi u pravoj velicini. Na sl.38 i sl.39 obe prave a i b su paralelne sa frontalnicom, tako da se ugao 900 vidi u drugoj projekciji u pravoj velicini. Na sl.40 prava a je paralelna sa frontalnicom dok prava b zauzima proizvoljan polozaj, tako da se ugao od 900 koji zaklapaju prave a i b vidi u drugoj projekciji. Na sl.41 prava a je paralelna sa horizontalnicom dok prava b zauzima proizvoljan polozaj prema H i F, tako da se ugao od 900 koji zaklapaju prave a i b vidi u prvoj projekciji u pravoj velicini. 2.6. Ravan u opstem polozaju

Ravan u opstem polozaju sl. 42b se definise: sa tri tacke koje ne leze na istoj pravi; sa pravom i tackom izvan nje; sa dve prave koje se seku u konacnoj tacki i sa dve prave koje se seku u beskonacnoj tacki tj. dve paralelne prave. Ravan u opstem polozaju zauzima proizvoljan polozaj o odnosu na koordinatne (projekcijske) ravni, nagnuta je prema koordinatnim ravnima H, F i P, pa se i polozaj ravni u prostoru odreuje u odnosu na ove koordinatne ravni Hº1, Fº2 i Pº3. Presecnice ravni u opstem polozaju sa projekcijskim ravnima Hº1, Fº2 i Pº3 se nazivaju tragovi ravni. Kako su tragovi ravni prave koje leze u projekcijskim (koordinatnim) ravnima, oni se obelezavaju samo oznakama za tragove, t1 ­ prvi trag, t2 ­ drugi trag, t3 - trei trag ravni T, dok se susedne ortogonalne projekcije tragova ravni ne upisuju. Prodorne tacke Tx, Ty, Tz koordinatnih osa x, y, z kroz ravan T se nazivaju osnim prodorima ili osnim tragovima. Kada se ravan zadaje osnim prodorima, ona se ustvari zadaje odstojanjima osnih prodora od koordinatnog pocetka O, tj. tackama koje se nalaze na osama koordinatnog sistema O, x, y, z i kod kojih su uvek vrednosti dve koordinate (od tri koordinate) nule. Spajanjem osnih prodora se dobijaju tragovi ravni. Ravan moze biti sa konvergentnim tragovima i to je slucaj kada prvi i drugi trag zaklapa ostar ugao sa x osom i u ortogonalnim projekcijama se vidi ista strana ravni sl.42 i sl.42a. Ravan moze da bude i sa divergentnim tragovima. To je slucaj kada prvi trag ravni zaklapa ostar ugao, a drugi trag ravni tup ugao sa x osom i u ortogonalnim projekcijama se vide razlicite strane ravni sl.43 i sl.43a. Na sl. 42 u skici kose projekcije prikazana je ravan T sa konvergentnim tragovima. Na sl. 43 u skici kose projekcije je prikazana ravan R sa divergentnim tragovima. Na sl. 42a u tri ortogonalne projekcije je takoe prikazana ravan T sa konvergentnim tragovima, koji su oznaceni u svim projekcijama, zajedno sa osnim tragovima. Na sl. 43a u tri ortogonalne projekcije je prikazana ravan R sa divergentnim tragovima, koji su oznaceni u svim projekcijama, zajedno sa osnim tragovima.

Na sl.44 u dve ortogonalne projekcije su date dve prave a i b koje se u prostoru meusobno seku. S obzirom da se prave a i b seku one obrazuju jednu ravan. U ovom primeru je potrebno odrediti tragove ravni (prvi i drugi trag ravni). Da bi odredili prvi trag ravni, potrebno je prethodno odrediti prodor prave a i prave b kroz horizontalnicu Hº1. S obzirom da se horizontalnica Hº1 u drugoj projekciji vidi zracno (kao prava) odreivanje prodora prave a i b kroz horizontalnicu se zapocinje od druge ortogonalne projekcije. U preseku druge projekcije prave a'' i horizontalnice Hº1 nalazi se prodor Pa1'' prave a kroz Hº1. U preseku druge projekcije prave b'' i horizontalnice Hº1 nalazi se prodor Pb1'' prave b kroz Hº1. Prve projekcije prodornih tacaka (Pa1' i Pb1') prave a i prave b kroz Hº1 se nalaze u preseku prvih projekcija pravih a' i b' i profilnih zraka, postavljenih iz Pa1'' i Pb1''. Spojnica prvih projekcija prodornih tacaka Pa1' i Pb1' (pravih a i b) je prvi trag ravni, koju definisu date dve prave a i b. Da bi odredili drugi trag ravni, potrebno je prethodno odrediti prodor prave a i prave b kroz frontalnicu Fº2. S obzirom da se frontalnica Fº2 u prvoj projekciji vidi zracno (kao prava) odreivanje prodora prave a i b kroz frontalnicu se zapocinje od prve ortogonalne projekcije. U preseku prve projekcije prave a' i frontalnice Fº2 nalazi se prodor Pa2' prave a kroz Fº2. U preseku prve projekcije prave b' i frontalnice Fº2 nalazi se prodor Pb2' prave b kroz Fº2. Druge projekcije prodornih tacaka (Pa2'' i Pb2'') prave a i prave b kroz Fº2 se nalaze u preseku drugih projekcija pravih a'' i b'' i profilnih zraka, postavljenih iz Pa2' i Pb2'. Spojnica drugih projekcija prodornih tacaka Pa2'' i Pb2'' (pravih a i b) je drugi trag ravni, koju definisu date dve prave a i b. Prvi i drugi trag t1 i t2 ravni treba da se sece na x-osi, na kome se nalazi i osni trag tx ove ravni. Na sl.45 u dve ortogonalne projekcije su date dve prave a i b koje su u prostoru meusobno paralelne. S obzirom da su prave a i b paralelne one obrazuju jednu ravan. U ovom slucaju je potrebno odrediti tragove ravni (prvi i drugi trag ravni). Da bi odredili prvi trag ravni, potrebno je

odrediti prodor prave a i prave b kroz horizontalnicu Hº1. S obzirom da se horizontalnica Hº1 u drugoj projekciji vidi zracno (kao prava) odreivanje prodora prave a i b kroz horizontalnicu je zapoceto od druge ortogonalne projekcije. U preseku druge projekcije prave a'' i horizontalnice Hº1 nalazi se prodor Pa1'' prave a kroz Hº1. U preseku druge projekcije prave b'' i horizontalnice Hº1 nalazi se prodor Pb1'' prave b kroz Hº1. Prve projekcije prodornih tacaka (Pa1' i Pb1') prave a i prave b kroz Hº1 se nalaze u preseku prvih projekcija pravih a' i b' i profilnih zraka, postavljenih iz Pa1'' i Pb1''. Spojnica prvih projekcija prodornih tacaka Pa1' i Pb1' (pravih a i b) je prvi trag ravni. Da bi odredili drugi trag ravni, potrebno je odrediti prodor prave a i prave b kroz frontalnicu Fº2. S obzirom da se frontalnica Fº2 u prvoj projekciji vidi zracno (kao prava) odreivanje prodora prave a i b kroz frontalnicu je zapoceto od prve ortogonalne projekcije. U preseku prve projekcije prave a' i frontalnice Fº2 nalazi se prodor Pa2' prave a kroz Fº2. U preseku prve projekcije prave b' i frontalnice Fº2 nalazi se prodor Pb2' prave b kroz Fº2. Druge projekcije prodornih tacaka (Pa2'' i Pb2'') prave a i prave b kroz Fº2 se nalaze u preseku drugih projekcija pravih a'' i b'' i profilnih zraka, postavljenih iz Pa2' i Pb2'. Spojnica drugih projekcija prodornih tacaka Pa2'' i Pb2'' (pravih a i b) je drugi trag ravni. Prvi i drugi trag t1 i t2 ravni treba da se sece na x-osi, na kome se nalazi i osni trag tx ove ravni.

2.6.1. Specijalni polozaji ravni Sve ravni paralelne sa projekcijskim (koordinatnim) ravnima i sve ravni normalne(upravne) na projekcijske ravni su ravni koje zauzimaju specijalan polozaj u prostoru. Ako je ravan paralelna sa jednom od koordinatnih ravni, onda je ona normalna na preostale dve koordinatne ravni. Ako je ravan normalna na jednu koordinatnu ravan, onda je ona nagnuta prema preostale dve koordinatne ravni. Ravni paralelne sa Hº1 su horizontalne ravni, ravni paralelne sa Fº2 su frontalne ravni i ravni paralelne sa P Pº3 su profilne ravni. Na sl.46 je prikazana ravan a paralelna sa horizontalnicom Hº1. Osni tragovi horizontalne ravni su a(:;:; 2). Prvi trag ovakve ravni je u beskonacnosti. Ravan je normalna na frontalnicu i profilnicu, tako da se u drugoj i treoj projekciji cela ravan vidi kao prava. Na sl.47 je prikazana ravan b paralelna sa frontalnicom Fº2. Osni tragovi frontalne ravni su b(:; 2; :). Drugi trag ovakve ravni je u beskonacnosti. Ravan je normalna na horizontalnicu i profilnicu, tako da se u prvoj i treoj projekciji cela ravan vidi kao prava. Na sl.48 je prikazana ravan g paralelna sa profilnicom Pº3. Osni tragovi profilne ravni su g(2; :; :). Trei trag ovakve ravni je u beskonacnosti. Ravan je normalna na horizontalnicu i frontalnicu, tako da se u prvoj i drugoj projekciji cela ravan vidi kao prava. Ravni normalne na projekcijske ravni su ujedno i zracne ravni onih koordinatnih ravni na koje su normalne, pa u tim projekcijama gube jednu dimenziju i cela ravan i sve sto se nalazi u njoj se projicira u pravu-trag ravni. Ravni normalne na Hº1, se nazivaju prve zracne ravni. Ovakve ravni su paralelne sa z-osom sa kojom su paralelni njihovi drugi i trei tragovi. Na sl.49 je prikazana prva zracna ravan a(2; 1,5; :). Sve sto se nalazi u ovoj ravni projicira se u prvoj projekciji u pravu tj. prvi trag ravni. Drugi i trei trag ove ravni je normalan na Hº1. Ravni normalne na Fº2, se nazivaju druge zracne ravni. Ovakve ravni su paralelne sa y-osom sa kojom su paralelni njihovi prvi i trei tragovi. Na sl.50 je prikazana druga zracna ravan b (2; :; 1,5). Sve sto se nalazi u ovoj ravni projicira se u drugoj projekciji u pravu tj. drugi trag ravni. Prvi i trei trag ove ravni je normalan na Fº2. Ravni normalne na Pº3, nazivaju se tree zracne ravni. Ovakve ravni su paralelne sa x-osom sa kojom

su paralelni njihovi prvi i drugi tragovi. Na sl.51 je prikazana trea zracna ravan g(2; :; 1,5). Sve sto se nalazi u ovoj ravni projicira se u drugoj projekciji u pravu tj. drugi trag ravni. Prvi i drugi trag ove ravni je normalan na Pº3. 2.6.2. Specijalne prave ravni ­ paralele i nagibnice Specijalne prave ravni su paralele (sutraznice) i nagibnice. Paralele ravni nastaju kada se ravan opsteg polozaja u prostoru presece sa ravnima paralelnim projekcijskim (koordinatnim) ravnima Hº1, Fº2 i Pº3, slike 52, 53 i 54. Nagibnice ravni nastaju kada se ravan opsteg polozaja presece sa ravnima koje su ujedno upravne na projekcijske ravni i posmatranu ravan, slike 55, 56 i 57. Prave ravni opsteg polozaja nastale presekom sa horizontalnim ravnima se nazivaju horizontale (h), sl.52 i 52a. Prave ravni proizvoljnog polozaja u prostoru koje nastaju presekom ravni proizvoljnog polozaja sa frontalnim ravnima su frontale (f), sl.53 i 53a. Prave ravni opsteg polozaja nastale presekom posmatrane ravni i profilnih ravni prostora nazivaju se profile (p) sl.54 i 54a. Sve paralele (horizontale, frontale i profile) ravni su paralelne sa odgovarajuim tragovima ravni i to: sve horizontale ravni su paralelne sa prvim tragom te ravni sl.52 i 52a, sve frontale ravni su paralelne sa drugim tragom te ravni sl.53 i 53a i sve profile ravni su paralelne sa treim tragom te ravni sl.54 i 54a. Zajednicka osobina svih paralela je da se duzine na njima, projiciraju u pravim velicinama na onu projekcijsku ravan sa kojom su paralelne. Nagibnice ravni su prave ravni koje zaklapaju najvei mogui ugao prema projekcijskim ravnima, pa se sa njima definise i nagibni ugao ravni prema projekcijskim ravnima. Prva nagibnica g1, moze da se shvati da nastaje, u preseku date ravni i ravni normalne na datu ravan i na horizontalnicu Hº1. Druga nagibnica g2, moze da se shvati da nastaje, u preseku date ravni i ravni normalne na datu ravan i na frontalnicu Fº2. Trea nagibnica g3, moze da se shvati da nastaje, u preseku date ravni i ravni upravne na datu ravan i na profilnicu Pº3. Nagibnice ravni su normalne na paralele ravni kojoj pripadaju. Prva nagibnica g1 je normalna na sve horizontale i prvi trag ravni kojoj pripada sl.55 i 55a. Druga nagibnica g2 je normalna na sve frontale i drugi trag ravni kojoj pripada sl.56 i 56a. Trea nagibnica g3 je normalna na sve profile i trei trag ravni kojoj pripada sl.57 i 57a. S obzirom na pravilo, da se prav ugao (ugao 900) projicira u pravi ugao kada mu je jedan krak paralelan sa projekcijskom ravni, nagibnica ravni e se ortogonalno projicirati pod uglom 900 na projekcije paralela i na tragove ravni. Prva nagibnica g1 je normalna na horizontalu h i prvi trag t1 ravni T. Druga nagibnica g2 je normalna na frontalu f i drugi trag t2 posmatrane ravni T. Trea nagibnica g3 je normalna na profilu p date ravni i trei trag t3 ravni T. Paralele i nagibnice ravni zaklapaju prave uglove (uglove 900) i to: horizontale i prve nagibnice, frontale i druge nagibnice i profile i tree nagibnice. Na ovaj nacin paralele i nagibnice obrazuju ortogonalnu mrezu prava na ravni koja se u odgovarajuoj projekciji projiciraju kao ortogonalna mreza pravih. 3. PROSTORNI ODNOSI IZMEU PRAVIH I RAVNI 3.1. Normala na ravan Da bi normala u nekoj tacki ravni bila normalna na datu ravan ona mora da zaklapa prav ugao (ugao 900) sa svim pravama u ravni koje prolaze kroz tu tacku. Ili drugacije receno : da bi prava bila normalna na neku ravan, ta ravan treba da u sebi sadrzi najmanje dve prave koje su normalne na normalu ravni ­ ovo je uslov normalnosti sl.58. U ortogonalnim projekcijama za postavljanje normale na raven u nekoj njenoj tacki, koriste se horizontala h, frontala f i profila p ili prvi, drugi i trei trag ravni, jer su to prave koje se u ortogonalnim projekcijama vide u pravoj velicini. Prav ugao izmeu horizontale i normale ili prvog traga i normale se vidi u

prvoj ortogonalnoj projekciji u pravoj velicini (nepromenjen). Prav ugao izmeu frontale i normale ili izmeu drugog traga i normale se vidi u drugoj projekciji u pravoj velicini (nepromenjen). Sve ovo isto vazi i za treu ortogonalnu projekciju, prav ugao izmeu profile i normale ili izmeu treeg traga i normale se vidi u treoj projekciji u pravoj velicini (nepromenjen). Na sl.59 je u tacku P ravni T postavljena normala na raven T. Normala je prikazana u sve tri ortogonalne projekcije, tako da je prva projekcija normale (n') normalna na prvi trag ravni T ili bilo koju horizontalu ravni T. Druga projekcija normale (n'') normalna na drugi trag ravni T ili bilo koju frontalu ravni T. Trea projekcija normale (n''') normalna je na trei trag ravni T ili bilo koju profilu ravni T. 3.1.1. Ortogonalni nagibni triedri Na sl.60 i 60a u jednoj proizvoljno uzetoj tacki A na ravni T, u sve tri ortogonalne projekcije, je ucrtan prvi ortogonalni nagibni triedar koga obrazuju: horizontala h, prva nagibnica g1 i normala n. Tri prave h, g1, n u prostoru obrazuju tri ravni(triedar), koje meusobom zaklapaju prav ugao. Dakle u svakoj tacki ravni je mogue ucrtati prvi ortogonalni nagibni triedar, koji obrazuje jedan pravougli koordinatni sistem. Na sl. 61 i 61a u jednoj proizvoljno uzetoj tacki A na ravni T, u sve tri ortogonalne projekcije, je ucrtan drugi ortogonalni nagibni triedar koga obrazuju: frontala f, druga nagibnica g2 i normala n. Tri prave f, g2, n u prostoru obrazuju tri ravni(triedar), koje meusobom zaklapaju prav ugao. Dakle u svakoj tacki ravni je mogue ucrtati drugi ortogonalni nagibni triedar, koji obrazuje jedan pravougli koordinatni sistem. Na sl. 62 i 62a u jednoj proizvoljno uzetoj tacki A na ravni T, u sve tri ortogonalne projekcije, je ucrtan trei ortogonalni nagibni triedar koga obrazuju: profila p, trea nagibnica g3 i normala n. Tri prave p, g3 i n u prostoru obrazuju tri ravni(triedar), koje meusobom zaklapaju prav ugao. Dakle u svakoj tacki ravni je mogue ucrtati trei ortogonalni nagibni triedar, koji obrazuje jedan pravougli koordinatni sistem. 3.1.2. Vektor polozaja ravni Ravan moze da se zada i vektorom polozaja. Vektor polozaja je jedna duz koja polazi iz koordinatnog pocetka O, i koja je zapravo normala za ravan koju treba postaviti normalno kroz krajnju tacku datog vektora polozaja. U slucaju kada je ravan zadata vektorom polozaja - duz OA (koja je ustvaru normala za ravan koju treba postaviti kroz tacku A normalno na duz OA) sl.63. ili kada je potrebno postaviti ravan normalno na datu pravu, kroz tacku koja je izvan prave sl.64, onda je potrebno kroz datu tacku postaviti dve prave u specijalnom polozaju (horizontalu i frontalu) trazene ravni i odrediti njihove prodore kroz projekcijske ravni, odnosno tragove ravni, koji prolaze kroz prodore horizontale i frontale, i zaklapaju prave uglove sa projekcijama date prave. Na sl.63 kroz tacku A je postavljena jedna horizontala h normalno na vektor polozaja OA (u prvoj projekciji se ugao 900 izmeu horizontale i normale vidi u pravoj velicini) i jedna frontala f normalno na dati vektor polozaja OA (u drugoj projekciji se ugao 900 izmeu frontale i normale vidi u pravoj velicini) u obe ortogonalne projekcije. Kroz Hº1 i Fº2 su odreeni prodori horizontale h i frontale f, ravni T, tako da su kroz te prodore postavljeni tragovi ravni T, i to: prvi trag t1 ravni paralelno sa horizontalom h' (ili normalno na O'A'), a drugi trag t2 ravni paralelno sa f'' (ili normalno na O''A''). Na sl.64 kroz tacku A je postavljena jedna horizontala h normalno na vektor polozaja OA i jedna frontala f normalno na dati vektor polozaja OA ravni T. Kroz prodor frontale f kroz Hº1 je postavljen prvi trag t1, a kroz prodor horizontale h kroz Fº2 je postavljen drugi trag t2 ravni T. 3.2. Presek dve ravni koje su zadate tragovima

Na sl.65 u paru ortogonalnih projekcija je pokazano kako se odreuje presek dve ravni T i R. Presek dve ravni je prava, zajednicka za obe ravni. Prava je definisana sa dve tacke. Dakle, potrebno je pronai dve zajednicke tacke za ravni T i R. Najjednostavnije je ove dve tacke uzeti u preseku prvih tragova t1 i r1 ravni T i R, jednu tacku i u preseku drugih tragova t2 i r2 ravni T i R, drugu tacku. Spajanjem presecne tacke 4' prvih tragova t1 i r1 dve ravni T i R i presecne tacke 5' drugih tragova t2 i r2 ravni T i R, u njihovoj prvoj projekciji, dobija se presecnica (p') ravni T i R. Spajanjem presecne tacke 4'' prvih tragova dve ravni T i R i presecne tacke 5'' drugih tragova ravni T i R, u njihovoj drugoj projekciji, dobija se presecnica (p'') ravni T i R. 3.2.1. Prodor prave kroz ravan Na sl.66 je pokazano kako se odreuje prodor prave a kroz ravan T. Ravan T je u opstem polozaju u odnosu na Hº1 i Fº2 i data je svojim prvim i drugim tragom. Kroz pravu se postavlja pomona prva ili druga zracna ravan (u ovom slucaju je postavljena prva zracna ravan g, tj. ravan normalna na Hº1). Prvi trag prve zracne ravni g1 se poklapa sa prvom projekcijom prave a. Presek drugih tragova t2 i g2 ravni T i g je tacka 4. Presek prvih tragova t1 i g1 ravni T i g je tacka 5. Spojnica tacaka 4'' i 5'' je presecnica p'' za ravni T i g. Presecnica p' se u prvoj projekciji poklapa sa prvom projekcijom prave a (a') i prvim tragom pomone ravni g1. U preseku presecnice p'' i druge projekcije (a'') prave (a), dobija se druga projekcija prodorne tacke P (P'') prave a kroz ravan T. Prva projekcija prodorne tacke P (P') se dobija u preseku profilnog zraka (koji se postavlja kroz P'') i prve projekcije prave a (a'). 3.2.2. Prodor prave kroz ravan trougla Na sl.67 u prvoj i drugoj ortogonalnoj projekciji je data ravan trouglom ABC i prava a koja je izvan ravni trougla. Potrebno je odrediti prodor prave a kroz ravan trougla, ali da se ne ucrtavaju i ne koriste, tragovi ravni trougla. Kroz pravu a je postavljena druga zracna ravan g ciji se drugi trag poklapa sa drugom projekcijom prave a (a''). Presecnica (p) ravni trougla i pomone ravni g je zajednicka prava za obe ravni. Druga projekcija presecnice (p'') p se poklapa sa drugim tragom g2 i drugom projekcijom a'' prave a. Zbog toga presecnica p'' preseca dve ivice trougla A''C'' i B''C'' u tackama 3'' i 4''. Prve projekcije tacaka 3' i 4' se odreuju postavljanjem profilnih zraka kroz tacke 3'' i 4'' do preseka sa ivicama A'B' i B'C'. Spojnica 3' 4' je presecnica p'. U preseku prve projekcije p' presecnice p i prve projekcije a' prave a se dobija prva projekcija P' prodorne tacke P, prave a kroz ravan trougla ABC. Druga projekcija P'' prodorne tacke P se dobija u preseku profilnog zraka (koji se postavlja kroz P') i druge projekcije a'' prave a. Na sl. 68 je u paru ortogonalnih projekcija odreen prodor prave c kroz ravan koja je data sa dve paralelne prave a i b, bez ucrtavanja tragova ravni koju definisu dve date prave a i b. Prodorna tacka P prave c kroz ravan dve paralelne prave a i b, je dobijena na isti nacin kao na sl.68 u slucaju prodora prave kroz ravan trougla. Pomona druga zracna ravan g je postavljena kroz pravu c. Presecnica p'' pomone druge zracne ravni g i ravni dve paralelne prave a i b, sece druge projekcije a'' i b'' pravih a i b u tackama 3'' i 4''. Prve projekcije tacaka 3' i 4' se odreuju postavljanjem profilnih zraka kroz tacke 3'' i 4'' do preseka sa prvim projekcijama a' i b' pravih a i b. Spojnica 3' 4' je presecnica p'. U preseku prve projekcije p' presecnice p i prve projekcije c' prave c se dobija prva projekcija P' prodorne tacke P, prave c kroz ravan dve prave a i b. Druga projekcija P'' prodorne tacke P se dobija u preseku profilnog zraka (koji se postavlja kroz P') i druge projekcije c'' prave c. 3.2.3. Presek dva trougla

Na sl. 69 je u paru ortogonalnih projekcija prikazan presek dve ravni koje su date sa dva trougla ABC i DEF. Presek je odreen bez ucrtavanja tragova ravni trougla a zatim je odreena i njihova vidljivost u obe projekcije. Princip odreivanja preseka dva trougla (bez odreivanja njihovih tragova ravni) bazira na principu odreivanja prodora prave kroz ravan trougla, bez ucrtavanja tragova ravni trougla. S tim sto se u slucaju odreivanja preseka dva trougla, uzimaju bilo koje dve ivice, od dva data trougla, i traze njihovi prodori kroz trouglove kojima ne pripadaju posmatrane dve ivice. Kroz proizvoljno izabranu ivicu DF, trougla DEF, je postavljena pomona druga zracna ravan, cija presecnica sa ravni trougla ABC, sece ivice AC i BC u tackama 3 i 4 (3'' i 4''). Profilnim zracima koji se postavljaju kroz 3'' i 4'' se presecaju ivice AC i BC (A'C' i B'C') u tackama 3' i 4'. Spojnica tacaka 3' i 4' preseca ivicu DF u prodornoj tacki P1'. Druga projekcija prodorne tacke P1'' se dobija u preseku profilnog zraka, postavljen kroz P1', i druge projekcije ivice D''F'' trougla DEF. Na isti nacin je odreena i druga prodorna tacka P2 ivice BC trougla ABC, kroz trougao DEF. Pomona prva zracna ravan je postavljena kroz ivicu BC, trougla ABC, cija presecnica sa ravni trougla DEF, sece ivice EF i DE u tackama 5 i 6 (5' i 6'). Profilnim zracima koji se postavljaju kroz 5' i 6' se presecaju ivice EF i DE (E''F'' i D''E'') u tackama 5'' i 6''. Spojnica tacaka 5'' i 6'' preseca ivicu BC (B''C'') u prodornoj tacki P2''. Prva projekcija prodorne tacke P2' se dobija u preseku profilnog zraka, postavljen kroz P2'', i prve projekcije ivice B'C' trougla ABC. Spojnica prodornih tacaka P1 i P2 u prvoj i drugoj ortogonalnoj projekciji je trazena presecnica p (p' p'') dva trougla ABC i DEF. Prodorne tacke ivica trougla kroz trougao kome ne pripadaju mogu da budu unutar ili izvan trougla, ali sve e svakako lezati na presecnoj pravi p (spojnica tacaka P1 i P2) koja se proteze u beskonacnost. Vidljivost trouglova, pod uslovom da su oba od neprovidnog materijala, odreuje se po principu kao sto se odreuje vidljivost kod dve mimoilazne prave, jer su ivice jednog i drugog trougla ustvari mimoilazne. Posmatraju se poklopljene projekcije dve tacke na dve mimoilazne ivice dva trougla. Na primer, presecna tacka izmeu ivica BC i EF u prvoj projekciji, su ustvari poklopljene prve projekcije dve tacke koje se nalaze jedna iznad druge. Jedne tacka se nalazi na ivici EF, a druga tacka se nalazi na ivici BC. Kada se pogledaju druge projekcije dve ivice E''F'' i B''C'' vidi se da je ivica EF iznad ivice BC, tako da ce u prvoj projekciji ivica E'F' biti prikazana punom linijom kao vidljiva, a deo ivice B'C' (zaklonjen trouglom DEF do prodora) isprekidanom linijom kao nevidljiva. Na ovaj nacin se moze, za svake dve bilo koje mimoilazne ivice dva trougla odrediti njihova vidljivost u prvoj, odnosno drugoj projekciji. Zajednicka prava (presecnica P1 P2) je vidljiva. U prodornim tackama P1 i P2 ivice trougla menjaju vidljivost. Kontura dva trougla je uvek vidljiva.

Information

Nacrtna geometrija

19 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

292047


You might also be interested in

BETA
Microsoft Word - geom1.doc
Nastavni plan i program VIII
Microsoft Word - IV plan obrazovanja za predmeteII.doc
Plan i program za osmi razred
Microsoft Word - program8_FINAL.doc