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Curriculum Vitae - kaouthar Louati - mars 2008

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Kaouthar Louati

N´e le 29 mai 1979 e Mari´e, de nationalit´ fran¸aise e e c Fonction : ATER ` temps plein, UFR SEGMI, ´quipe Modal'X a e Adresse : Universit´ Paris X -200 avenue de la R´publique 92001 Nanterre cedex e e e-mail : [email protected], [email protected] Page personnelle : http ://www.cmap.polytechnique.fr/ louati/ Tel.pro. 0140977834 Fax. 0140974759

Cursus Universitaire

2002-2006 Centre des math´matiques appliqu´es de l'´cole polytechnique e e e Th`se sous la direction de Mr Habib Ammari soutenue le 13 d´cembre 2006, e e avec la mention tr`s honorable, devant le jury : e Directeur de th`se : Habib Ammari (Laboratoire d'ondes acoustiques, ESPCI Paris) e Rapporteurs : M.Choulli (Metz), I.Ionescu (Chambery), B.Maury (Orsay). Examinateurs : V. Giovangigli (Polytechnique), J.Garnier (Paris VII). Titre : Mod`les math´matiques pour l'inspection nondestructive des pipelines e e 2001-2002 Universit´ Paris VII e DEA de math´matiques pures e Stage de DEA sous la direction de Mr.Shepelsky ` l'Universit´ Paris VII . : a e Titre : Probl`mes inverses sur les ´quations de Schrodinger e e 2000-2001 Facult´ des sciences de Tunis e Licence et Maitrise de math´matiques e Lyc´e technique, Tunis e Baccalaur´at e

1997-1998

Th`mes de recherche e

Analyse num´rique e Equations aux d´riv´es partielles e e Mod´lisation math´matique des ´quations physiques e e e Probl`mes inverses e Analyse asymptotique Analyse de Fourier Algorithmes de reconstruction

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Publications et travaux

· A MUSIC-type algorithm for detecting internal corrosion from electrostatic boundary measurements. (avec H.Ammari,E. Kim, H.Kang, M. Vogelius) publi´ dans Numerische Mathematik (2008)108, pp :501-528. e · Reconstructing Small Perturbations of Scatterers from Electric or Acoustic Far-Field Measurements. (avec M. Lim, H.Zribi) publi´ dans Math.Meth.Appl.Sci(2008), MMA973, pp :1-18. e · Vibration testing for detecting internal corrosion (avec H. Kang, E. Kim, H. Lee, H.Ammari) soumis. · Ultrasonic detection of internal corrosion (avec H. Kang, M. Lim, H.Ammari, M. Vogelius ) soumis. · Statistical testing for detecting internal corrosion en pr´paration avec M.Mougeot. e · Field Expansion Method to reconstruct inhomogeneities en pr´paration avec M.Lim. e

Communications et participations aux s´minaires e

F´vrier 2008 e F´vrier 2008 e Mars 2007 Mars 2007 F´vrier 2007 e 2007/2008 2003/2006 2002/2008 Septembre 2005 Participation aux journ´es :Minicourse on Mathematics of Emerging Biomedical Imaging e organis´es par H.Ammari ` l'IHP Paris. e a Participation aux journ´es farnco-cor´ennes d'analyse math´matique et ses applications e e e organis´es par H.Ammari et H.Kang ` l'IHP Paris. e a Invitation au s´minaire d'analyse du laboratoire Bordelais d'Analyse et G´om´trie, e e e Bordeaux1. Participation aux journ´es en Imagerie Bio-Medicale e organis´es par H. Ammari ` l'IHP Paris. e a Invitation au s´minaire de Modal'x, e Universit´ de Nanterre. e Participations aux s´minaires : M´thodes Math´matiques en Imagerie Bio-m´dicale e e e e organis´es par H.Ammari ` l'IHP Paris. e a Participations au Gpe de travail : Probl`mes inverses e organis´ par H.Ammari au CMAP. e Participations aux GDR ondes :Mod´lisation des ph´nom`nes de diffraction e e e et de propagation ´lectromagn´tique et acoustique ` l'IHP Paris. e e a Participation ` l'´cole d'´t´ : M´thodologies de l'Inversion des Ondes et Mod`les Directs a e ee e e a ` SUPELEC.

Outils informatiques

Excel, MatLab, Maple.

Langues

Arabe et fran¸ais (bilingue), anglais (courant), espagnol (notions) c

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Activit´s diverses e

Sport, danse et musique.

Activit´s administratives e

Membre du conseil du laboratoire au Centre des Math´matiques Appliqu´es de l'Ecole Polye e technique de septembre 2003 ` d´cembre 2006 a e

Enseignements (480h)

2007-2008 2006-2007 ATER (Tds d'analyse et d'alg`bre lin´aire), Universit´ de Nanterre. e e e ATER (Tds d'analyse et d'alg`bre lin´aire), Universit´ de Nanterre e e e et charg´e d'interrogations orales en pr´pa HEC, Lyc´e Michelet, Vanves. e e e Vacataire (Tds d'analyse), Universit´ de Cergy-Pontoise. e

2005-2006

Dans le cadre de mes enseignements ` Nanterre, j'effectue des travaux dirig´es d'analyse et d'ala e g`bre lin´aire pour des ´tudiants en premi`re ann´e et deuxi`me ann´e en licence science ´conomie. e e e e e e e e Au programme -Espaces vectoriels, calculs matriciels, droite des moindres carr´es et formes quadratiques. e -Fonctions ` plusieurs variables. a -Optimisation et optimisation sous contraintes. Les classes que nous g´rons pr´sentent des difficult´s disciplinaires et scientifiques. Ce qui n´cessite e e e e d'user de p´dagogie pour motiver les ´tudiants ` assister, pr´sence n'´tant pas obligatoire, et ` e e a e e a s'int´resser ` cette mati`re qui leur est un peu ´trange. J'ai r´ussi ` g´rer mes groupes, ` avoir des e a e e e a e a ´tudiants assidus et des r´sultats au del` de nos attentes. J'ai toujours ´t´ ` leur ´coute en cours e e a eea e et en dehors des heures des cours. Certains ont pris l'habitude de travailler chez eux et de venir me poser des questions dans mon bureau. Cette exp´rience est tr`s enrichissante aussi bien sur le plan e e didactique que sur le plan humain. J'ai aussi effectu´ des enseignements dans le cadre de vacations au sein de l'universit´ de Cergye e Pontoise. Le public ´tait diff´rent, scientifique, int´ress´ et assez curieux. J'ai eu ` enseigner des e e e e a ´tudiants en licence de MPI (maths-info) avec Mr Alexandre Mizrahi (calcul int´gral, fonctions de e e deux variables, s´rie enti`re et s´rie de Fourier, ´quations diff´rentielles). J'ai beaucoup appris de e e e e e son travail soign´, mutuculeux et tr`s cadr´. e e e J'ai ´t´ charg´e d'interrogations orales en pr´paratoire HEC au Lyc´e Michelet, Vanves .( suites, ee e e e s´ries, int´grales, alg`bre matriciel, alg`bre lin´aire, probabilit´, polynomes, nombres complexes). e e e e e e Les ´l`ves sont autonomes et d'un tr`s bon niveau. ee e Depuis mon jeune ^ge, enfant d'enseignants, le m´tier d'enseignant-chercheur m'a toujours pasa e sionn´ et motiv´ en grande partie mon choix de poursuivre mes ´tudes de troisi`me cycle en mae e e e th´matiques. Je pense avoir toute la formation et l'enthousiasme requis pour effectuer efficacement e les enseignements au sein de l'´quipe qui m'acceuillera. Pour tout compl´ment d'information, vous e e pouvez aussi contacter les charg´s de cours : e Nathalie Ch`ze (cheze @u-paris 10.fr) ; Laurent Mesnager ([email protected]) ; Chrise tian L´onard ([email protected]) ; Salah Mehdi ([email protected]) ; Alexandre e Mizrahi ([email protected])

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Travaux de recherche

Ces travaux vous seront communiqu´s sur papiers en cas d'audition et ils sont t´l´chargeables sur e ee ma page web : http ://www.cmap.polytechnique.fr/ louati/

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Introduction

Mes travaux de recherche s'articulent autour de quelques m´thodes permettant de retrouver les e caract´ristiques des d´fauts cach´s (corrosions, fissures...) le long des pipelines. e e e Le but ´tant d'am´liorer les techniques d'identification et de r´duire les co^ts de la production e e e u perdue et du renouvellement des infrastructures. Diff´rents mod`les de corrosion ont ´t´ abord´s dans la litt´rature, comme par exemple les e e ee e e travaux de Kaup et Santosa [17] Vogelius et Xu [28]. Cependant, la majorit´ des techniques de d´e e tection utilise des m´thodes it´ratives (non directes) : Ce qui demande un temps de calcul important e e ainsi qu'un bon choix de la configuration initiale n´cessaire pour une ´ventuelle convergence. e e Je me suis int´ress´e durant ma th`se aux trois versants de ce probl`me, la mod´lisation, l'´tude e e e e e e math´matique des mod`les introduits et la simulation num´rique. Les trois premiers chapitres sont e e e consacr´ ` l'´tude des diff´rentes m´thodes d'imagerie : ea e e e - D´tection par imp´dence ´lectrique. e e e - D´tection par vibration ou ondes guid´es. e e - D´tection par ultrasons. e Le dernier chapitre concerne un cadre de travail diff´rent des pr´c´dents et il a ´t´ consacr´ e e e ee e a ` la reconstruction de la forme d'un objet perturb´ connaissant le champ lointain ´lectrique ou e e acoustique. Ces diff´rentes parties ont fait l'objet de deux publications et de deux pr´publications e e que je d´taillerai dans la suite de ce document : e -A MUSIC-type algorithm for detecting internal corrosion from electrostatic boundary measurements (avec H.Ammari, E. Kim, H.Kang, M. Vogelius) publi´ dans Numerische e Mathematik (2008), volume108, issue 4, pages 501-528. -Reconstructing Small Perturbations of Scatterers from Electric or Acoustic FarField Measurements (avec M. Lim, H.Zribi) publi´ dans Math.Meth.Appl.Sci (2008). e - Vibration testing for detecting internal corrosion, soumis (avec H. Kang, E. Kim, H. Lee, H.Ammari). - Ultrasonic detection of internal corrosion, soumis (avec H. Kang, M. Lim, H.Ammari, M. Vogelius ).

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2.1

Pr´sentation du probl`me inverse e e

Cadre G´n´ral e e

Nous consid´rons une section de pipe infinie, ce qui nous conduit ` des probl`mes inverses e a e elliptiques pos´s sur un domaine doublement-connexe (la forme d'un anneau). e Nous nous pla¸ons dans les hypoth`ses o` les d´fauts sont situ´s sur la fronti`re interne inacc e u e e e cessible ` la mesure et qu'ils sont petits par rapport ` une configuration donn´e. a a e

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2.2

D´marche e

Nous commen¸ons par une ´tude du probl`me directe o` l'effet de la corrosion est d´crit par c e e u e des conditions de fronti`re de type Robin ` la place de la condition de Neumann homog`ne dans e a e le cas non corrod´. L'apparition de ces conditions a ´t´ justifi´ par Buttazo et Kohn [?]. D'autre e ee e part, l'´tude du processus de corrosions ´lectrochimiques consid´r´e par Vogelius et Xu [28] peut e e ee ^tre li´e ` la loi de Faraday. Cette loi montre que la perte massive consid´r´e comme une mesure de e e a ee corrosion est proportionnelle au flux du courant. En lin´arisant les conditions aux bords propos´es e e par rapport au coefficient de transfert, nous obtenons des conditions de fronti`re de type Robin. e Ensuite, nous exploitons l'existence d'un petit param`tre (le coefficient de la corrosion ou aussi e la mesure de Hausdorff de la partie corrosive) de la partie corrod´e pour extraire des informations e sur la localisation de la corrosion et estimer son ´tendue. Ce qui nous am`ne ` des formules asympe e a totiques des mesures d´pendantes de ce petit param`tre, rigoureusement ´tablies. La justification e e e de ces formules se fait ` l'aide de la m´thode des ´quations int´grales (pos´es sur les courbes Lipa e e e e schitziennes) par les techniques de potentiels simple et double couche. Cette approche rentre dans le cadre asymptotique d´velopp´ par H.Ammari au centre des math´matiques appliqu´es de l'´cole e e e e e polytechnique, permettant de surmonter les difficult´s dues aux caract`res non-lin´aires et mal poe e e s´s des probl`mes inverses. Sur ces formulations asymptotiques se portent nos efforts d'inversion. e e Nous pr´sentons des algorithmes de reconstruction non-it´ratifs stables, robustes et rapides. La e e plupart de nos algorithmes sont de type MUSIC (MUltiple SIgnal Classification). Enfin, l'efficacit´ e de nos m´thodes est justifi´e par des tests num´riques fiables. e e e

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3.1

Les m´thodes d'inspection e

D´tection par imp´dence ´lectrique e e e

L'´tude de la m´thode de d´tection par imp´dence ´lectrique pr´sente le premier chapitre de e e e e e e ma th`se et a fait l'objet d'une publication (Numer.Math.(2008)108 :501-528) "A MUSIC-type e algorithm for detecting internal corrosion from electrostatic boundary measurements." Le probl`me inverse que nous consid´rons dans ce chapitre consiste en la d´termination des d´e e e e g^ts de la corrosion sur la partie inaccessible de la structure, ` de quelques mesures ´lectriques sur a a e la partie accessible. Du point de vue math´matique, il se r´duit ` l'´quation de Laplace u = 0 e e a e dans une section du pipeline avec une condition de Dirichlet non homog`ne sur la surface externe e u = f et l'effet de la corrosion est d´crit par la condition de Robin e - u + u = 0

sur la surface inaccessible, o` est le coefficient de corrosion d´pendant des caract´ristiques du u e e milieu ´lectrique. Dans le cas d'abscence de d´fauts, en faisant tendre vers z´ro, nous retrouvons e e e le probl`me de Laplace avec une condition de Neumann homog`ne sur la fronti`re int´rieure. e e e e Nous ´tablissons une formulation asymptotique sur la d´riv´e normale de la perturbation des e e e champs ´lectriques par rapport au petit param`tre repr´sentant la taille des corrosions. e e e (u0 - u )(x) =

m s=1

G(x, zs )u0 (zs ) x

ds + O(

Is

2/p

)

Notre approche est bas´e sur des techniques de potentiel de couche ` travers des formules de e a repr´sentation int´grales, nos calculs asymptotiques d´coulent des analyses fines de ces op´rateurs e e e e int´graux singuliers. En se basant sur cette nouvelle formule, nous d´veloppons ensuite une m´thode e e e

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directe (non-it´rative) pour localiser ces parties corrosives. Notre algorithme est de type MUSIC , un e algorithme qui s'utilise fr´quement en traitement de signal afin d'estimer des fr´quences individuelles e e d'harmoniques multiples d'un signal. Il est bas´ sur la d´composition singuli`re de la matrice de e e e donn´es. La perturbation au premier ordre est un op´rateur autoadjoint, compact, et de rang fini, e e nous effectuons sa d´composition singuli`re. e e

m

- 0 (f )(x) = -

s=1

s u0 (zs )

G(x, zs ) + O( x

2/p

).

Les valeurs propres significatives de cet op´rateur correspondent exactements aux d´fauts. Nous e e ´tablissons un crit`re de localisation nous permettant d'identifier un point de la fronti`re int´rieure e e e e a ` un point de corrosion si et seulement si la d´riv´e normale de la fonction de Green en ce point e e appartient ` l'image de cet op´rateur. La r´solution d'un simple syst`me lin´aire correspondant ` a e e e e a chacune des valeurs propres, nous permet de calculer la moyenne du coefficient de corrosion sur la partie corrod´e sans la d´termination de sa taille excacte. Nous validons notre m´thode par des tests e e e num´riques qui justifient le bon comportement de l'algorithme m^me pour des donn´es bruit´es. e e e e Notons aussi que des corrosions aux faibles coeficients sont d´tect´es comme une seule corrosions. e e

3.2

D´tection par vibration e

L'´tude de la m´thode de d´tection par vibration pr´sente le deuxi`me chapitre de ma th`se et e e e e e e a fait l'objet d'un article soumis "Vibration testing for detecting internal corrosion" Nous proposons ici une autre proc´dure d'identification de parties corrosives bas´e sur l'analyse e e de vibration. Il est connu que l'imp´dance ´lectrique se limite ` d´tecter certains types de d´fauts. e e a e e Elle n'est pas, par exemple, appropri´e ` d´tecter des fissures dans la direction axiale. R´cemment, e a e e le contr^le par ondes guid´es ultrasoniques a ´t´ utilis´ pour ce type de d´fauts surgissant dans les o e ee e e pipelines. Cette technique d'imagerie consiste ` faire propager des ondes guid´es ultrasoniques dans a e les parois des canalisations et ` observer les reflexions provenant des d´fauts. a e L'avantage principal de l'utilisation des ondes guid´es est leur possibilit´ d'ausculter les struce e tures complexes sur des longues distances. Afin de r´duire la difficult´ du d´veloppement de la e e e m´thode analytique, un mod`le simple est adopt´ pour d´terminer les effets de la corrosion sur e e e e les fr´quences de r´sonance ainsi que sur les formes de modes. Nous introduisons le probl`me de e e e 2 )v = 0 avec la condition de Dirichlet homog`ne sur la surface externe et toujours e Helmholtz (+ la condition de Robin ` la place de la condition de Neumann sur la zone corrod´e consid´r´e unique a e ee et de mesure : v - + (I)v = 0. Nous ramenons notre probl`me ` un probl`me spectral (´tude de la perturbation des valeurs e a e e propres du Laplacien pour des conditions de Neumann sur la fronti`re int´rieure et de condition de e e Dirichlet sur la fronti`re ext´rieure ). En se r´f´rant ` [5], nous prouvons que l'´tude de ce probl`me e e ee a e e spectral revient ` l'´tude d'un syst`me d'´quations int´grales et la recherche de fr´quences de a e e e e e r´sonances se transforme en la recherche des valeurs caract´ristiques d'une fonction m´romorphes e e e a ` valeur d'op´rateurs int´graux. Un d´veloppement asymptotique de cette fonction, suivi d'une e e e application du th´or`me de Rouch´ g´n´ralis´, nous m`neront ` des asymptotiques des valeurs et e e e e e e e a des vecteurs propres. - 0 = 20

2 v0 + O( 2 ). I

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Dans l'esprit de m´thode adjointe, notre m´thode de reconstruction est simple et naturelle e e nous m`ne ` un algorithme en temps r´el, pr´cis et robuste pour la d´tection de corrosion par des e a e e e ondes guid´es ultrasoniques. La localisation du point de corrosion revient ` d´terminer les z´ros du e a e e minimum d'une certaine fonction positive. Nous estimons le coefficient de corrosion mais n'arrivons pas ` le s´parer de la taille de la corrosion a e Ceci reste possible dans le cas d'un d´veloppement asymptotique d'ordre plus ´lev´, ce qui ne e e e permet pas une meilleure d´tection. La m´thode est valid´e num´riquement aussi bien pour des e e e e donn´es bruit´es que pour diff´rentes valeurs du coefficient de la corrosion. e e e

3.3

D´tection par ultrasons e

L'´tude de la m´thode de d´tection par ultrasons pr´sente le troisi`me chapitre de ma th`se et e e e e e e a fait l'objet d'un article soumis "Ultrasonic Detection of Internal Corrosion." Le troisi`me chapitre porte sur la d´termination des parties corrosives ` partir de mesures acouse e a tiques sur la surface accessible. La technologie des laser-ultrasons est g´n´rique et peut ^tre utilis´e e e e e pour les m´taux, les polym`res et les composites. Comme par exemple la d´tection de la corrosion e e e des joints ` recouvrement en aluminium provenant du fuselage d'un avion. Ce probl`me est mod´lis´ a e e e par l'´quation de Helmoltz, avec une condition de Dirichlet non homog`ne sur la surface accessible e e (la fonction de Hankel de premi`re esp`ce et d'ordre z´ro) et une condition de Robin sur la surface e e e corrod´e. Tout comme dans le cas de la d´tection par imp´dence ´lectrique, nous d´veloppons une e e e e e formulation asymptotique de l'onde r´fl´chie ultrasonique dans les cas hautes et basses fr´quences e e e en utilisant des repr´sentations int´grales des solutions. Nous montrons rigoureusement les diffie e cult´s li´es aux grandes oscillations dans les mesures dues aux hautes fr´quences. Par une ´tude e e e e approfondie des diff´rentes propri´t´s des fonctions de Bessel et de leurs diff´rents comportements e ee e asymptotiques et une exploitation des nombreuses propri´t´s des fonctions de Green, nous prouvons ee que l'op´rateur de Helmoltz se comporte comme un filtre et que la fr´quence n'a pas d'impact sur e e la proc´dure d'inversion. Par ailleurs, nous analysons aussi le probl`me d'instabilit´ dues au fait e e e que la longueur d'onde peut ^tre inf´rieure au rayon du cercle int´rieur. e e e Nous d´veloppons ensuite un algorithme de reconstruction de type MUSIC. Nous insistons sur e l'importance de notre m´thode pour la d´termination du nombre des parties corrosives pr´sentes e e e sur la surface inaccessible. Ensuite nous pr´sentons la proc´dure de Kaczmarz o` nous appliquons e e u l'algorithme de retro-propagation utilis´ en tomographie par ultrasons. Une seule onde ultrasonique e est g´n´r´e par un point source fixe ; une application de cette m´thode a ´t´ d´velopp´e dans le e ee e ee e e livre de Natterer et W¨bbeling [23]. Nous terminons par d´crire une m´thode de reconstruction u e e simple bas´e sur les coefficients de Fourier. e

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La reconstruction de forme

L'´tude de la reconstruction de forme d'un objet perturb´ pr´sente le quatri`me chapitre de ma e e e e th`se et a fait l'objet d'une publication (Math.Meth.Appl.Sci.(2007)) " An Asymptotic Fore malism for Reconstructing Small Perturbations of Scatterers from Electric or Acoustic Far-Field Measurements."

Nous consid´rons le probl`me de d´termination des perturbations sur le bord d'un objet par la e e e donn´e des mesures du champ lointain acoustique ou ´l´ctrique (deux proc´dures analogues). Nous e ee e traitons le cas o` l'objet est une petite perturbation du cercle unit´. u e

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Ce probl`me de reconstruction de forme a ´t´ un domaine de recherche actif pendant plusieurs e ee d´cennies. Nous nous r´f´rons aux travaux r´cents [5] et [4]. e ee e Nous d´veloppons pour les deux cas (´lectrique et acoustique) une relation lin´aris´e entre le e e e e champ lointain r´sultant des donn´es de Dirichlet sur le bord (comme param`tre) et la forme de e e e la structure perturb´e (comme variable). Cette relation est utilis´e pour la reconstruction des coe e efficients de Fourier de la perturbation et nous aide ` formuler un d´veloppement asymptotique a e complet de l'op´rateur Dirichlet-Neumann. Nous consid´rons le cas o` les oscillations angulaires e e u dans la perturbation sont inf´rieures ` 1/n . Il suffit d'utiliser les n premiers vecteurs propres de e a l'op´rateur de Dirichlet-Neumann correspondant ` la forme non perturb´e comme donn´e de Dirie a e e chlet pour d´terminer la perturbation. Cette approche se traduit par le fait qu'` partir des premiers e a coefficients de Fourier du d´veloppement asymptotique de la perturbation du champ (´lectrique ou e e acoustique) cr´´ loin du disque (par la donn´e d'un potentiel sur le bord), nous obtenons les inforee e mations n´c´ssaire sur la perturbation de la forme. e e

5

5.1

R´sum´ des projets de Recherche e e

D´tection par ´mission acoustique e e

La d´ctection des corrosions par la m´thode des ultrasons a constitu´ la troisi`me partie de ma e e e e th`se o` nous avons illustr´ trois algorithmes d'inversion diff´rents (retro-propagation, Fourier et e u e e MUSIC). R´cement, nous avons test´ ces diff´rentes m´thodes num´riquement. Seul l'algorithme de e e e e e type MUSIC a attest´ d'un tr`s bon comportement de la m´thode. Cependant, pour des tr`s hautes e e e e fr´quences, nous notons une tr´s grande instabilit´ num´rique, emp^chant la d´tection effective des e e e e e e d´fauts. De ce fait, comme l'imagerie par ultrasons est li´e aux tr`s hautes fr´quences, nous situons e e e e notre travail dans le cadre d'une d´tection par ´mission acoustique (d´tection par ondes sonores). En e e e collaboration avec H.Ammari, ce travail a fait l'objet d'un article en cours de r´daction "Ultrasonic e Detection of Internal Corrosion."

5.2

M´thode de reconstruction : interfaces et corrosions e

La quatri`me partie de ma th`se concernait le probl`me de reconstruction de forme par la e e e donn´e de mesures de champs lointains (acoustiques ou ´lectriques). Dans ce travail, l'hypoth`se e e e essentielle est qu'une corrosion situ´e sur la fronti`re int´rieure de la section d'un pipeline peut e e e ^tre consid´r´e comme une petite perturbation d'un cercle. De ce fait, vient l'id´e d'appliquer e ee e la m´thode de reconstruction de forme ´tudi´e dans cette partie de ma th`se. Nous traitons les e e e e deux cas ´lectrique et acoustique . Les coefficients de Fourier du d´veloppement asymptotique de e e la perturbation des champs, nous fournissent les informations n´c´ssaires sur la perturbation de e e la forme et donc sur la corrosion. Nous nous int´ressons aussi ` l'utilisation de cette m´thode e a e pour la reconstruction d'interfaces des probl`mes de conductivit´ inverse. J'effectue ce travail en e e collaboration avec M.Lim.

5.3

Mod`le tridimensionnel pour la d´tection par vibration e e

Dans le cadre de la deuxi`me partie de ma th`se, j'ai trait´ le probl`me de la d´tection par e e e e e vibration ou par ondes guid´es ultrasoniques en deux dimensions. Il s'agit d'un cas particulier du e mod`le tridimensionnel dont la mise en oeuvre effective parait plus complexe. Je m'int´resse actuele e lement ` l'´tude de ce mod`le en effectuant une ´tude bibliographique (INRIA) sur la propagation a e e e des ondes de Lamb. Cependant, d'apr´s les physiciens, la complexit´ des signaux temporels associ´s e e e a ` ces ondes rend difficile leur exploitation. Je souhaite caract´riser et identifier les modes de Lamb e affect´s par la corrosion. e

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5.4

Contr^le non-destructif o

Je m'interesse aussi ` la mod´lisation math´matique des ph´nom`nes de propagation d'ondes a e e e e dans des milieux ´lastiques avec des applications en Contr^le Non Destructif et en G´ophysique. e o e Le traitement de ces probl`mes consiste ` mod´liser la propagation des ondes ´lastiques dans des e a e e milieux h´t´rog`nes anisotropes comportant des fissures de g´om´trie complexe en 2D et 3D. Le but ee e e e ´tant de d´tecter la pr´sence de ces fissures et de les caract´riser sans d´truire le mat´riel ` inspecter. e e e e e e a Je compte ´tudier les mod`les math´matiques d´crivant la propagation des ondes acoustiques dans e e e e la mer .La propagation des ondes d´pend essentiellement des caract´ristiques du milieu qui peut e e varier dans le temps. Ce mod`le me parait d'un grand int´r^t en acoustique marine, afin de retrouver e ee ou de d´tecter des objets en profondeur. e

5.5

Tests statistiques pour la d´tection des corrosions e

Actuellement, je cherche ` effectuer des tests statistiques pour la reconstruction des d´fauts dans a e les pipelines. Ce projet a d´but´ par une proposotion de Mathilde Mougeot, membre de l'´quipe e e e Modal'X ` Nanterre, qui a d´j` travaill´ sur des mod`les similaires ` ceux que j'avais trait´ pendant a ea e e a e ma th`se. Afin de concr´tiser ce projet, j'ai commen¸´ ` ´tudier des tests statistiques pour diff´rents e e ce a e e mod`les physiques propos´s par A.C.Davison dans son livre intitul´ Statistical Models. e e e En dehors de ces th`mes de recherche autour de la propagation des ondes (acoustiques ou ´lece e triques), de la physique math´matique et de la mod´lisation. J'envisage de m'int´resser pleinement e e e aux activit´s de recherche du Laboratoire qui m'acceuillera. e

R´f´rences ee

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Curriculum Vitae - kaouthar Louati - mars 2008

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