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Vers de nouveaux matériaux et dispositifs

Des matériaux composites pour de nouveaux isolants phoniques

A l'image des cristaux photoniques qui ont la propriété d'empêcher la lumière de se propager dans certaines gammes de fréquences, on peut concevoir des matériaux composites qui réfléchissent totalement les ondes ultrasonores ou le son. Ces matériaux permettent d'élaborer des isolants phoniques bien plus efficaces que les isolants usuels et d'améliorer les caractéristiques acoustiques de certains types de transducteurs utilisés en imagerie médicale. Les simulations numériques menées au sein du laboratoire ont mis en évidence les applications possibles de ces nouveaux matériaux dans le domaine du guidage et du filtrage des ondes acoustiques.

D

ans un solide cristallin constitué d'atomes placés aux noeuds d'un réseau périodique, les électrons n'ont accès qu'à certains niveaux d'énergie, séparés entre eux par des bandes interdites. Ce concept de bandes interdites développé initialement dans le cadre de la théorie électronique des solides peut être étendu à d'autres types d'ondes se propageant dans des matériaux hétérogènes. Ces bandes interdites proviennent de la diffraction des ondes par la structure périodique et des phénomènes d'interférences destructives qui en résultent. Ainsi, un matériau composite dont la densité et les constantes élastiques (encadré) sont des fonctions périodiques de la position peut présenter sous certaines conditions des bandes interdites pour les ondes acoustiques. Ces matériaux à bandes interdites phononiques, encore appelés cristaux phononiques, sont des réseaux périodiques à une, deux ou trois dimensions, constitués en général d'inclusions insérées dans une matrice. Dans le domaine de fréquence d'une bande interdite, un cristal phononique se comporte comme un miroir acoustique parfaitement réfléchissant. Un excellent isolant phonique est alors obtenu si la bande interdite apparaît pour les

plus basses des fréquences audibles (de 2Hz à 20 kHz). D'autre part, les recherches menées sur les matériaux à bandes interdites ultrasonores (fréquences supérieures à 20 kHz) peuvent être appliquées afin d'optimiser les performances électromécaniques des transducteurs utilisés en imagerie médicale. Il est aussi possible de réaliser des filtres fréquentiels sélectifs ou des guides d'onde en créant des défauts dans la structure d'un cristal phononique. Notons que les « cristaux phononiques » sont les analogues élastiques des matériaux à bandes interdites photoniques encore appelés « cristaux photoniques ». Les cristaux photoniques sont des matériaux hétérogènes dont l'indice de réfraction varie périodiquement dans les différentes directions de l'espace. Ces composites peuvent présenter des bandes interdites pour les ondes électromagnétiques et constituent à l'heure actuelle une nouvelle classe de matériaux pour l'optoélectronique et l'optique en général (Images de la Physique 1998). Les cristaux phononiques sont des réseaux périodiques à une, deux ou trois dimensions. Un cristal phononique unidimensionnel est un composite stratifié obtenu en empilant en alternance des couches de matériaux de caractéristiques physiques différentes. Dans ces structures unidimensionnelles, les domaines de fréquence où les bandes interdites

apparaissent dépendent de la direction de propagation de l'onde incidente. Dans une structure tridimensionnelle en revanche, il est possible d'obtenir des bandes interdites absolues ou omnidirectionnelles, c'est-àdire qu'une onde de fréquence appartenant à une telle bande interdite ne peut pas se propager, quelque soit son angle d'incidence. On peut ainsi montrer qu'un réseau cubique à faces centrées (c.f.c.) de bulles d'air dans de l'eau ou de billes de plomb insérées dans une matrice en silice présente une ou plusieurs bandes interdites absolues, à la condition que les sphères occupent au moins 10 % du volume total du composite. De même, en plaçant dans l'air des cubes d'acier de taille adéquate aux différents noeuds d'un réseau c.f.c., on peut aussi obtenir une bande interdite dans les trois dimensions. Nous nous limiterons ici à des systèmes à deux dimensions dont la structure est représentée sur la figure 1. Il s'agit d'un réseau périodique de cylindres parallèles à la direction OZ du repère cartésien (O, X, Y, Z ), de section quelconque (circulaire, carrée, elliptique...) insérés dans une matrice. Bien que ces structures n'interdisent la propagation des ondes acoustiques que dans le plan du réseau (c'est-à-dire le plan (X OY ) de la figure 1) et non dans l'espace, elles se prêtent plus facilement à la réalisation de guides d'onde et de filtres acoustiques et

­ LDSMM, UMR 8024 CNRS, UFR de physique, université de Lille I, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex.

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Vers de nouveaux matériaux et dispositifs

Encadré

MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE PROPAGATION DES ONDES ÉLASTIQUES DANS UN CRISTAL PHONONIQUE

La propagation d'une onde élastique dans un solide homogène et isotrope provoque en un point du solide un déplacement de la matière. Le champ de déplacement u dépend du temps t et de la position du point r . Il peut se décomposer sous la forme u = u + u t où u est sa composante longitudinale c'est-à-dire parallèle à la direction de propagation de l'onde et u t, sa composante transversale perpendiculaire à cette direction. On associe à la composante u , une vitesse de propagation C et à la composante u t une vitesse Ct . En élasticité, un solide isotrope peut alors être caractérisé par sa densité et les deux vitesses C et Ct ou par les deux constantes élastiques C11 et C44 définies par les relations C11 = C 2 et C44 = Ct 2 . Ces deux constantes ont la dimension d'une pression. Dans un fluide homogène et isotrope en revanche, la propagation d'une onde acoustique n'induit de déplacement de la matière que dans la direction de propagation de l'onde. Le champ de déplacement y est purement longitudinal et une onde acoustique s'y propage à la vitesse C . La capacité d'un fluide à se déformer facilement lorqu'il est soumis à des forces extérieures est caractérisée par le module de compressibilité , défini par la relation = 1/C 2 . Considérons maintenant un milieu inhomogène, infini, dont les constituants sont des matériaux solides supposés élastiquement isotropes. En tout point r , ce milieu inhomogène est caractérisé par la densité (r) et les deux constantes élastiques C11 (r) et C44 (r). Le vecteur déplacement u(r, t) associé à la propagation d'une onde élastique satisfait à l'équation (r) 2u u - - - = . C44 (r) u + . C44 (r) t 2 + - C11 (r) - 2C44 (r) .u - . 1 - 2 p(r, t) p(r, t) = (r). (r) t 2

(2)

et le champ de déplacement u satisfait à la relation - .u = - p . L'équation (2) est souvent connue sous le nom d'équation de propagation du son (ou des ondes acoustiques). Les équations de propagation peuvent être résolues en utilisant la méthode de développement en ondes planes. Cette méthode s'applique à un cristal phononique de symétrie donnée, infini dans les trois directions de l'espace. On suppose que les solutions des équations de propagation (1) et (2) sont des ondes planes qui peuvent s'écrire sous la forme (r, t) = (r) exp i(t - kr) où (r) est une fonction périodique des coordonnées spatiales, la pulsation de l'onde plane et k son vecteur de propagation. La périodicité de (r), mais aussi de la densité et des constantes élastiques permet d'écrire un développement de ces fonctions en séries de Fourier sous la forme (r) = G (G) exp(i Gr) où les vecteurs G sont les vecteurs d'un réseau appelé réseau réciproque. En utilisant ces développements, les équations (1) et (2) deviennent des équations aux valeurs propres. A chaque vecteur d'onde k correspond un ensemble de valeurs propres (k). Notons que les valeurs du vecteur d'onde k peuvent être limitées à l'intérieur d'un domaine restreint du réseau réciproque, appelé zone de Brillouin irréductible. Une solution de l'équation de propagation reste en effet inchangée en ajoutant à k un vecteur quelconque G du réseau réciproque. La méthode de développement en ondes planes permet de déterminer la structure de bandes d'un cristal phononique (c'est-à-dire le graphe représentant les valeurs de en fonction de k ) mais non pas de déterminer les coefficients de transmission d'ondes acoustiques dans des matériaux composites de taille finie. Elle ne se prête donc pas à la comparaison directe entre prévisions théoriques et résultats expérimentaux. Afin de calculer les coefficients de transmission, on peut utiliser une méthode de discrétisation des équations de propagation dans le domaine temporel et dans l'espace. Cette méthode dite FDTD (Finite Difference Time Domain) permet aussi de prendre en compte les défauts de périodicité que peut présenter le cristal phononique étudié.

(1)

où u ( X, Y, Z ) est la composante de u selon l'axe O du repère cartésien orthonormé (O, X, Y, Z ). La densité et les constantes élastiques dépendant de la position, le champ de déplacement ne peut pas être décomposé en une composante longitudinale et une composante transversale ; la résolution de l'équation (1) n'est pas en général un problème trivial. Dans le cas particulier où tous les composants du matériau composite sont des fluides, l'équation de propagation peut s'écrire en fonction du champ de pression p sous la forme

91

Z

O

- sions (u// O Z ). Dans les composites mixtes dont l'un des constituants est un fluide, le champ de déplacement reste perpendiculaire au plan des cylindres, car un fluide ne peut supporter que des ondes longitudinales. Dans les composites fluide/fluide, seul le champ de pression p est à déterminer et on aboutit à un problème scalaire (équation 2 de l'encadré).

Y X

a

Figure 1 - Schéma d'un cristal phononique à deux dimensions.

La structure de bandes d'un cristal phononique binaire constitué d'un réseau carré de cylindres (de section circulaire) de carbone insérés dans une matrice en résine époxyde est présentée sur la figure 2. En raison de ses propriétés mécaniques, ce composite est très utilisé dans les industries automobile et

présentent l'avantage d'être plus faciles à fabriquer que les structures 3D. Sur un plan technique, la plupart des transducteurs utilisés en imagerie médicale présentent une structure à deux dimensions.

DES BANDES INTERDITES A DEUX DIMENSIONS

aéronautique. La zone de Brillouin irréductible (encadré) de ce réseau est un triangle rectangle de sommets , X et M. En chaque point de ce triangle, les composantes du vecteur d'onde k ont des valeurs données et les côtés du triangle correspondent à certaines directions de propagation de l'onde incidente. Entre les points et X, le vecteur d'onde k n'a de composante que selon la direction - OY alors que les deux composantes de k sont identiques entre les points et M. La figure 2 a été obtenue en juxtaposant les structures de bandes calculées à l'aide de la méthode de développement en ondes planes (encadré) pour chacune des directions X, X M et M. Sur la figure 2, la fréquence réduite = a/2C0

0.6

On distingue plusieurs classes de cristaux phononiques selon la nature physique des constituants. On peut citer les composites solide/solide (respectivement fluide/fluide) dont tous les constituants sont des solides (respectivement fluides) et les composites mixtes formés à la fois de solides et de fluides. Dans les cristaux phononiques 2D solide/solide, si la propagation des ondes élastiques est limitée au plan (X OY ) perpendiculaire aux cylindres, alors le vecteur déplacement élastique u ne dépend que de X et de Y. En faisant cette hypothèse, les vibrations se découplent en des modes de polarisation mixte (ou modes XY) et des modes purement transverses (modes Z). Le vecteur déplacement élastique u pour les modes X Y est perpendiculaire à l'axe des cylindres - (u O Z ) alors que les modes Z sont tels que u est parallèle aux inclu92

FRÉQUENCE RÉDUITE (=a/2C0)

0.5

0.4

0.2

0.1

M

X

X

TE

0.3

0.0 M

Z

Y

X

M

VECTEUR D'ONDE RÉDUIT (ka/2)

Figure 2 - Structure de bandes pour un réseau carré (paramètre de maille a) de cylindres de carbone de section circulaire insérés dans une matrice en résine époxyde avec un coefficient de remplissage f = 0,55. Les lignes continues (respectivement discontinues) représentent les modes de polarisation mixte (respectivement transverse). Les zones hachurées correspondent à des bandes interdites absolues où aucun de ces modes ne peut se propager. La géométrie du réseau et la zone de Brillouin irréductible sont représentées en inserts.

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où C0 est une vitesse de propagation moyenne des ondes transverses dans le composite a été reportée en fonction du vecteur d'onde réduit ka/2. Les zones hachurées correspondent à des bandes interdites absolues où aucun des modes de vibration Z ou X Y ne peut se propager et cela, quelle que soit la direction de propagation dans le plan perpendiculaire aux cylindres. Il faut noter que les domaines de fréquence où apparaissent ces bandes interdites varient comme le rapport entre une vitesse de propagation moyenne et la périodicité du réseau. Dans cet exemple, les inclusions occupent 55 % du volume total du matériau composite. La largeur des trois bandes interdites observées sur la figure 2 dépend fortement de la fraction volumique d'inclusions (ou coefficient de remplissage), comme le montre la figure 3. Des bandes interdites commencent à apparaître dans la structure de bandes pour des coefficients de remplissage compris entre 0,2 et 0,6. La valeur f = /4 correspond à une limite maximale pour laquelle les cylindres sont en contact. Pour ce système carbone/ époxyde, d'autres paramètres que la

fraction volumique d'inclusion influent sur la largeur des bandes interdites. La section des inclusions est l'un de ces paramètres. Pour un même coefficient de remplissage, les structures de bandes sont assez différentes lorsque l'on considère des inclusions de section carrée plutôt que circulaire. Dans ce cas, la largeur des bandes interdites peut être modulée en faisant tourner les barres de carbone autour de leur axe directeur. D'autres composants que le carbone et l'époxyde peuvent être choisis afin d'obtenir des bandes interdites larges. De façon générale dans les cristaux phononiques 2D, on observe les bandes interdites les plus larges lorsque les constituants ont des caractéristiques physiques très différentes. Dans le cas particulier des systèmes solide/solide, il est plus favorable que les inclusions soient faites d'un matériau de haute densité avec des constantes élastiques les plus élevées. La figure 4 présente des spectres de transmission mesurés et calculés pour un réseau triangulaire de cylindres d'acier dans de la résine époxyde. Afin d'étudier l'influence de la direction de propagation sur la largeur des bandes interdites, nous avons fabriqué deux échantillons de

LARGEUR DU GAP ()

0.10

p rem ier g ap

0.08 0.06 0.04 0.02 (b) 0.00 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

d eu x ième g ap

/4

tro isièm e g ap

ce composite. Dans l'un, les cylindres sont disposés selon la direction J de la zone de Brillouin irréductible du réseau triangulaire alors que dans l'autre, les inclusions sont placées selon la direction X. Les dimensions de ces deux échantillons parallélépipédiques sont identiques ­ à savoir 85 mm × 85 mm × 29 mm. Le paramètre du réseau triangulaire et le rayon des cylindres sont respectivement égaux à 6 mm et 2 mm, ce qui conduit à un coefficient de remplissage égal à 0,4. Le paramètre de maille de ce réseau étant de l'ordre du millimètre, les bandes interdites prévues par la théorie apparaissent dans le domaine des ondes ultrasonores. La mesure a donc été réalisée à l'aide de deux transducteurs large bande placés de part et d'autre des surfaces verticales des échantillons (comme nous le verrons par la suite, un transducteur est un dispositif permettant de générer mais aussi de détecter une onde acoustique de polarisation donnée). L'un des transducteurs étant relié à un oscilloscope numérique, l'autre est connecté à un générateur de signal et donne naissance à une onde de polarisation longitudinale. Les spectres de transmission ont été calculés à l'aide de la méthode FDTD (encadré). On constate un assez bon accord général entre les spectres mesurés et calculés et cela, plus particulièrement dans la direction J. Les bandes interdites observées dans les directions J et X se recouvrent et on peut donc les qualifier de bandes interdites absolues. Dans la direction X, les spectres présentent quelques différences, notamment autour de 300 kHz. Ces différences peuvent être attribuées à un possible mode de défaut détecté par l'expérience dans cette direction de propagation mais non pris en compte dans le calcul. Les recherches menées sur les matériaux à bandes interdites ultrasonores peuvent être appliquées afin d'optimiser les performances des transducteurs utilisés en imagerie médicale. En effet, la structure de certains de ces dispositifs peut être caractérisée par un réseau à deux

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COEFFICIENT DE REMPLISSAGE ( f )

Figure 3 - Largeur, , des trois bandes interdites (ou gaps) observées sur la figure 1 en fonction du coefficient de remplissage. Les trois gaps sont numérotés selon les fréquences réduites croissantes.

a

X

X

Z

PUISSANCE TRANSMISE (u.a.) 3e-3 2e-3 1e-3 0e+0 3e-12 2e-12 1e-12 0e+0 3e-3 2e-3 1e-3 0e+0 3e-12 2e-12 1e-12 0e+0 0 100

Y

J X J (a)

uY (u.a.)

J (b)

X (c)

uY (u.a.)

(d)

200 300 400 500 FRÉQUENCE (kHz)

600

700

Figure 4 - Spectres de transmission d'ondes élastiques mesurés (a) et (c) et calculés (b) et (d) à travers un réseau triangulaire de cylindres d'acier insérés dans de la résine époxyde pour deux des directions principales de la zone de Brillouin. La puissance transmise mesurée et la composante longitudinale du champ de déplacement calculé par la méthode FDTD sont données en unités arbitraires. La zone de Brillouin irréductible est le triangle J X .

dimensions de cylindres de section carrée insérés dans une matrice polymère. En général, les inclusions sont constituées d'une céramique piézo-électrique comme le titanatezirconate de plomb (PZT) et sont insérées dans une matrice polymère. Rappelons que la piézo-électricité est la capacité de certains matériaux

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à se polariser lorsqu'ils sont contraints mécaniquement, la charge apparaissant à leur surface étant proportionnelle à la déformation engendrée. L'effet piézo-électrique inverse est l'obtention d'une déformation par application d'un champ électrique. Les matériaux piézo-électriques permettent donc de transfor-

mer un signal électrique en une onde acoustique et inversement. Une céramique telle que le PZT possède un très fort coefficient de couplage électro-acoustique, c'est-àdire qu'elle présente une très forte aptitude pour réaliser cette conversion électrique/acoustique. Cependant, la valeur de l'impédance acoustique de cette céramique, définie comme étant le produit de la densité par la vitesse de propagation des ondes acoustiques, est très élevée. Or, en imagerie médicale, l'impédance acoustique d'un transducteur doit être la plus proche possible de celle des tissus biologiques afin que les ultrasons se transmettent bien du transducteur au corps humain. C'est pourquoi en associant le PZT avec le polymère, on réalise un composite dont l'impédance acoustique est relativement basse tout en gardant un bon coefficient de couplage. Ce type de structure avec une période submillimétrique et un fonctionnement à des fréquences de l'ordre de quelques MHz a permis d'améliorer fortement la qualité des images échographiques. Cependant, leur utilisation à plus hautes fréquences (c'est-à-dire avec une meilleure résolution) est limitée en raison d'un recouvrement entre le mode de fonctionnement du transducteur (mode qui permet de transmettre et de détecter des ondes ultrasonores) et des modes parasites dus à la diffraction des ondes élastiques par le réseau d'inclusions céramiques. Ces modes parasites sont strictement identiques aux modes de polarisation transverse (ou modes Z) définis précédemment. Les modèles théoriques que nous avons développés pour l'étude de la propagation des ondes élastiques dans les cristaux phononiques 2D doivent permettre de proposer de nouvelles structures (constituants, composition, géométrie des inclusions et symétrie du réseau) présentant une très large bande interdite pour les modes Z. Il sera ainsi possible d'élargir la bande passante du transducteur obtenu.

PUISSANCE TRANSMISE (u.a.)

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DES BANDES INTERDITES DANS LE DOMAINE DES FRÉQUENCES AUDIBLES

Les exemples que nous avons présentés jusqu'ici concernent essentiellement les ondes ultrasonores. Cependant, les formalismes utilisés sont généraux et s'appliquent quel que soit le domaine de fréquence considéré et en particulier dans le domaine des ondes sonores. Comme nous l'avons vu précédemment, les fréquences où apparaissent les bandes interdites dans les courbes de dispersion varient comme le rapport entre une vitesse de propagation moyenne des ondes élastiques dans le composite et la périodicité du réseau. Ces fréquences seront donc d'autant plus basses que le paramètre de réseau est grand ou que la vitesse moyenne est petite. De plus, les simulations numériques par FDTD montrent qu'il faut considérer une épaisseur de matériau composite de l'ordre de quatre ou cinq paramètres de maille afin que la transmission soit strictement nulle dans la bande interdite. En effet, avec un trop petit nombre de périodes, le spectre de transmission ne présenterait que des minima non nuls et non des bandes interdites proprement dites. Dans le composite carbone/époxyde dont la structure de bandes a été présentée sur la figure 2, la vitesse de propagation moyenne est d'environ 5 800 m/s. Pour que la première bande interdite observée sur la figure 2 apparaisse pour des fréquences de l'ordre du kHz, c'està-dire de l'ordre de grandeur des fréquences audibles les plus nuisibles, il faut que le paramètre de maille du réseau carré soit égal à environ 2 mètres. Une excellente isolation phonique sera donc obtenue avec ce composite, si son épaisseur est de l'ordre de 8 à 10 mètres. Il est donc clair qu'en raison de son encombrement ce matériau ne peut pas être utilisé comme isolant phonique. Les systèmes mixtes constitués d'inclusions métalliques dans un fluide de faible densité possèdent une vitesse moyenne de propagation

beaucoup plus faible que celle des systèmes solide/solide. Avec ces composites, il est possible d'abaisser le domaine de fréquence des bandes interdites. C'est pourquoi nous avons fabriqué un réseau carré (de périodicité égale à 30 mm) formé de 100 tubes de cuivre de diamètre 28 mm placés dans l'air. Les mesures effectuées en plaçant l'échantillon entre un haut-parleur et un micro-

phone ainsi que les calculs numériques (figure 5) montrent que ce système présente une bande interdite entre 4 et 9 kHz. Il est possible de déplacer le domaine de fréquence de cette bande interdite vers les fréquences de l'ordre du kHz, en augmentant le paramètre de maille, en changeant la géométrie du réseau (triangulaire...) ou en modifiant la forme des inclusions (carrée...).

(a)

X Z

1.0 TRANSMISSION (b)

Y

0.5

0.0 1.0 TRANSMISSION (c)

0.5

0.0 0 5 10 FRÉQUENC E (kHz) 15

Figure 5 - Spectres de transmission mesurés (b) et calculés (c) par la méthode FDTD à travers un réseau carré de tubes de cuivre placés dans l'air (a). La flèche indique la direction ( X) de propagation du faisceau d'onde incident.

95

Cependant, l'épaisseur de cet échantillon (de l'ordre de 30 cm dans le cas présenté ici) est encore trop importante. Il serait en fait intéressant de concevoir un cristal phononique présentant une bande interdite à très basse fréquence sans que l'épaisseur de l'échantillon excède la longueur d'onde acoustique. Cette propriété remarquable peut être observée dans une structure constituée essentiellement de fluides, et plus particulièrement d'eau et d'air. Elle résulte de la structure de bandes d'un réseau triangulaire de cylindres d'air dans l'eau. En effet, dans cette structure de bandes, la première bande passante est relativement étroite et les quelques bandes passantes suivantes se réduisent pratiquement à des modes discrets correspondant aux résonances aiguës d'un seul cylindre d'air dans l'eau. Ces bandes passantes sont séparées par des bandes interdites relativement larges. Nous avons montré que ce comportement intéressant pouvait subsister qualitativement si l'enveloppe solide qui doit séparer l'air et l'eau était très mince et constituée d'un matériau polymère mou, dont les vitesses acoustiques n'excèdent pas quelques dizaines de m/s. Dans la pratique, pour que le dispositif soit utilisable dans l'air, on peut imaginer une structure en nid d'abeille où des tubes constitués d'un polymère sont accolés, remplis d'eau et placés dans l'air (l'espace entre les tubes est ainsi rempli d'air). Cette structure, ainsi que les spectres de transmission calculés selon deux des directions de propagation principales, sont présentés sur la figure 6. On note dans ces spectres la présence de bandes interdites extrêmement larges. En particulier selon la direction X, la transmission s'annule à partir d'une fréquence de 0.8 kHz environ puis augmente de nouveau à partir de 11.5 kHz. Il faut noter que l'épaisseur du matériau composite est pour chaque direction de propagation de l'ordre de 70 mm. Il s'agit donc d'un très bon isolant phonique.

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*J TRANSMISSION

*X TRANSMISSION

FRÉQUENCE (kHz)

Figure 6 - Spectres de transmission calculés par la méthode FDTD à travers un réseau en nid d'abeille de tubes de polymère accolés, remplis d'eau et placés dans l'air. Le paramètre de réseau, les diamètres intérieur et extérieur des tubes de polymère valent respectivement 11,5 mm, 9 mm et 10,25 mm. La flèche indique la direction de propagation du faisceau d'onde incident. Les directions Jet X correspondent à deux des directions principales de la zone de Brillouin irréductible du réseau nid d'abeille (cette zone est similaire à celle du réseau triangulaire). Des bandes interdites larges apparaissent dans ces spectres pour des fréquences très basses alors que l'épaisseur des échantillons est inférieure à la longueur de l'onde incidente.

Comparé à des isolants phoniques classiques comme les doublesvitrages en verre ou la mousse qui ne font qu'atténuer le son, les cristaux phononiques stoppent complètement les ondes sonores dans la bande interdite et cela avec des épaisseurs relativement limitées. Notons qu'une équipe de l'université de Hong Kong a proposé et réalisé récemment une structure à trois dimensions faite de billes de plomb insérées dans une matrice en résine époxyde. Ces chercheurs ont montré qu'en entourant les inclusions sphériques par une gomme de silicone très molle, on peut observer une réduction importante de la transmission d'ondes sonores, pour des fréquences inférieures au kHz. Les cristaux phononiques dont les bandes interdites apparaissent à basses fréquences pourraient aussi être utilisés pour réaliser des enceintes permettant de limiter les vibrations autour de dispositifs de

haute précision. Citons par exemple, les bancs d'optique où l'alignement des composants doit être extrêmement rigoureux et où toute vibration induite par l'environnement doit être bannie.

DES GUIDES D'ONDES ET DES FILTRES SÉLECTIFS

Nous présentons ici la possibilité de réaliser des guides d'ondes et des filtres en fréquences très sélectifs en modifiant localement la structure périodique du cristal 2D. Ainsi en enlevant une ou plusieurs rangées de cylindres dans la structure 2D, on crée un guide creux (figure 7a) permettant la propagation pratiquement sans pertes d'ondes de fréquences appartenant à la bande interdite du cristal parfait. De plus, en enlevant dans la direction perpendiculaire à ce guide creux un ou plusieurs cylindres, on donne naissance à un résonateur de taille finie

Vers de nouveaux matériaux et dispositifs

(a )

mentale détaillée des modes de cavité et des effets du couplage guide-cavité est en cours au laboratoire. Une autre façon de créer un filtre sélectif consiste à changer la nature d'une rangée de cylindres dans le cristal phononique 2D. Pour illustrer ce propos, nous avons considéré un système composite mixte formé d'un réseau carré de barreaux d'acier insérés dans de l'eau. Une rangée de barreaux a été remplacée par des cylindres creux dont le volume intérieur est aussi rempli d'eau et de même diamètre extérieur. La figure 8 présente le spectre de transmission calculé avec la méthode FDTD à travers le réseau perturbé. Le signal se propageant dans le cristal phononique perturbé a été normalisé au signal se propageant dans un même volume d'eau. Il peut résulter de cette normalisation des transmissions légèrement supérieures à l'unité. Le cristal phononique parfait présente une bande interdite allant de 105 à 210 kHz et il apparaît pour une fréquence de 148 kHz un pic de transmission situé à l'intérieur de la bande interdite. Le défaut rectiligne inséré dans la struc-

(b )

ture parfaite a donné naissance au pic de transmission. Un filtre fréquentiel sélectif a été ainsi obtenu. Cette propriété peut être utilisée pour séparer à partir d'un signal incident large bande des fréquences spécifiques. Il suffit pour cela de remplacer dans la structure parfaite plusieurs rangées de cylindres par des tubes de diamètres intérieurs différents. Les cristaux phononiques 2D doivent ainsi permettre de réaliser des dispositifs démultiplexeurs en longueurs d'onde.

CONCLUSION

(c)

(d )

Figure 7 - Différentes géométries de guides d'onde et de filtres obtenues à partir d'un cristal phononique à deux dimensions : (a) guide linéaire, (b) résonateur, (c) cavité créée au voisinage du guide linéaire, (d) guide coudé. La flèche indique la direction de propagation du faisceau d'onde incident.

Le concept de bandes interdites, développé initialement dans le cadre de la théorie électronique des solides puis appliqué aux ondes électromagnétiques, peut être généralisé à la propagation d'ondes acoustiques et élastiques dans des matériaux composites à structure périodique. Les cristaux phononiques sont le lieu de phénomènes physiques similaires à ceux observés lors des études menées sur les cristaux photoniques. Cela explique que ces deux domaines de recherches soient totalement imbriqués. D'autre part, il a

(figure 7b) qui a pour effet d'empêcher la transmission de certaines de ces fréquences. Ces zéros de transmission peuvent aussi être obtenus en créant des cavités au voisinage du guide (figure 7c). Des géométries de guide plus complexes peuvent être envisagées. Par exemple, en enlevant des cylindres dans deux directions perpendiculaires, on crée un guide coudé en forme de « L » (figure 7d). On constate alors qu'une onde de fréquence bien déterminée peut se propager en suivant la forme coudée du guide. Notons que jusqu'à présent, seules quelques expériences qualitatives ont montré la possibilité d'un guidage rectiligne ou coudé des ondes acoustiques. L'étude expéri-

1.0 TRANSMISSION

0.5

0.0 0 50 100 150 200 FRÉQUENCE (kHz) 250 300

Figure 8 - Spectre de transmission calculé avec la méthode FDTD à travers un réseau carré de barreaux d'acier immergés dans de l'eau. Un défaut rectiligne a été créé en enlevant une rangée de barreaux et en la remplaçant par des tuyaux de même diamètre extérieur. Le paramètre de réseau, le rayon extérieur des barreaux et le rayon intérieur des tuyaux valent respectivement 5 mm, 2 mm et 1,2 mm. Ce défaut rectiligne a donné naissance à un pic de transmission étroit et d'amplitude importante dans la bande interdite du réseau parfait. La flèche indique la direction de propagation du faisceau d'onde incident.

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été montré que l'existence de bandes interdites photoniques absolues dépend de trois paramètres : le rapport entre les indices optiques des constituants (ce rapport doit être typiquement supérieur à 2, ce qui constitue une condition contraignante), le coefficient de remplissage et la symétrie du réseau. Dans le cas des cristaux phononiques, ces paramètres sont plus nombreux. Par exemple, pour un système constitué de deux composants solides, l'existence de bandes interdites dépend de cinq paramètres. Au coefficient de remplissage et à la symétrie du réseau s'ajoutent en effet le rapport des densités des constituants et les rapports des constantes élastiques C11 et C44 . C'est pourquoi la propagation d'ondes élastiques dans des structures périodiques constitue un phénomène d'une grande richesse du point de vue de la physique fondamentale. De plus, le choix des constituants du matériau composite étant beaucoup plus large dans le cas des cristaux phononiques que dans le cas des cristaux photoniques, les conditions d'obtention de bandes

interdites absolues sont moins contraignantes. Il est en effet plus aisé de trouver des matériaux élastiques aux caractéristiques physiques différentes que des diélectriques présentant un fort contraste d'indice optique. D'un point de vue technologique, des structures possédant des bandes interdites ultrasonores peuvent avoir des applications dans différents domaines tels que les transducteurs, les guides d'ondes ou encore les filtres fréquentiels à haute sélectivité. La fabrication de structures où la nature des matériaux constituant les inclusions pourrait être modulée et contrôlée devrait aussi permettre de réaliser des systèmes démultiplexeurs en longueurs d'onde. Par ailleurs, les matériaux à bandes interdites sonores offrent la possibilité de réaliser des isolants phoniques réellement efficaces. A une époque où les nuisances sonores constituent un fléau au quotidien, on situe bien l'intérêt technologique que peuvent présenter les cristaux phononiques.

POUR EN SAVOIR PLUS Vasseur (J.O.), Djafari-Rouhani (B.), Dobrzynski (L.), Kushwaha (M.S), Halevi (P.), J. Phys. : Cond. Matter 6, 8759, 1994. Vasseur (J.O.), Deymier (P.A.), Chenni (B.), Djafari-Rouhani (B.), Dobrzynski (L.), Prevost (D.), Phys. Rev. Lett. 86, 3012, 2001. Vasseur (J.O.), Deymier (P.A.), Khelif (A.), Lambin (Ph.), Djafari-Rouhani (B.), Akjouj (A.), Dobrzynski (L.), Fettouhi (N.), Zemmouri (J.), Phys. Rev. E 65, 056608, 2002. Zhengyou Liu, Xixiang Zhang, Yiwei Mao, Zhu (Y.Y.), Zhiyu Yang, Chan (C.T.), Ping Sheng, Science 289, 1734, 2000. Article de revue : Kushwaha (M.S.), International Journal of Modern Physics B 10, 977, 1996. Berger (V.), Lourtioz (J.-M.), « Les photons dans tous leurs états : les matériaux à bandes interdites photoniques », Images de la Physique, 1998.

Article proposé par : Jérôme Vasseur, tél. : 03 20 33 64 92, [email protected] Babram Djafari-Rouhani, tél. : 03 20 43 47 76, [email protected] Ont également participé à ce travail : A. Khelif, L.P.M.O., Besançon ; P. Deymier, D.M.S.E., University of Arizona, Tucson, AZ, États-Unis ; Ph. Lambin, FUNDP, Namur, Belgique ; B. Chenni, L.A.U.E., Le Havre et L. Dobrzynski, L.D.S.M.M., Université de Lille I.

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