Read Microsoft PowerPoint - Lekcija 6 [Compatibility Mode] text version

FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA Amortizacija zajmova

Zimski semestar 2009/2010.

Predmetni nastavnik: Dr Milivoje Cvetinovi e-mail: [email protected]

1

C j predmeta Cilj p ed eta

Cilj predmeta je da se studenti upoznaju sa osnovnim pojmovima iz finansijske i aktuarske matematike. Informacije koji bi studenti trebalo da usvoje iz finansijske matematike predstavljaju osnovu za razumevanje niza problema, kao sto su: izucavanje krajnje vrednosti kapitala ako je data njena pocetna vrednost koja je ulozena uz slozen interes i obrnuto, izracunavanje pocetne vrednosti kapitala uveane za slozeni interes, zatim amortizacija zajma, eskontovanje menica, i dr. Cilj modula aktuarske matematike je uvoenje, razvoj i primena tema iz aktuarske matematike fundamentalnih u oblasti osiguranja imovine i lica. Predmet je povezan sa finansijskom matematikom, posebno sa t b temama i verovatnoe i i c iz t izracunavanja i t j interesa. Nakon razumevanja i ovladavanja raznim obracunima budui diplomirani studenti e moi da aktivno ucestvuju u resavanju slicnih problema i zadataka u praksi: u bankama, preduzeima, osiguravajuim kompanijama i drugim institucijama. 2

Literatura te atu a

·

Literatura: ­ J. Raseta, Finansijska i aktuarska matematika, Univerzitet Singidunum, 2008, ­ J. Kocovi, Finansijska matematika, Ekonomski fakultet u Beogradu, 2009, ­ J. Kocovi, Aktuarske osnove formiranja tarifa u osiguranju lica, Beograd 2006 ­ D.Vugdelija, O.Sedlak, Finansijska i akturska matematika, Subotica 2008, 2008

3

Raspored predavanja

Datum 22.10.2009. 29.10.2009. 05.11.2009. 12.11.2009. 19.11.2009. 26.11.2009. 03.12.2009.

Lekcije Uvod u finansijsku matematiku; j Prost interesni (kamatni) racun Primena prostog interesnog racuna na finansijskom trzistu; Tekui racun,Lombardni racun, Potrosacki krediti Eskont menica; Slozen interesni (kamatni) racun Slozen interesni racun: Faktor dodajnih uloga, Faktor aktuelizacije Efektivnost investicija Amortizacija zajmova Kolokvijum I

4

Raspored predavanja

(nastavak)

Datum 10.12.2009. 17.12.2009. 24.12.2009. 07.01.2010. 14.01.2010. 2101.2010 Ispitni rok

Lekcije Uvod u aktuarsku matematiku Matematicke osnove osiguranja Obracuna tarifa za osiguranja lica Obracuna tarifa za osiguranja rente Obracuna tarifa za osiguranja kapitala; Osiguranje na dva zivota Kolokvijum II ISPIT

5

Formiranje konacne oce e o a je o ac e ocene

Broj bodova PRISUSTVO NASTAVI SEMINARSKI RAD KOLOKVIJUM I KOLOKVIJUM II ISPIT UKUPNO 10 10 25 25 30 100 bodova

Bodovi 51 ­ 60 61 ­ 70 71 ­ 80 81 ­ 90 91 ­ 100

OCENA 6 7 8 9 10

Prisustvo nastavi i vezbama je obavezno Seminarski rad nije obavezan

6

Sad aj a danas Sadrzaj za da as

1. ­ ­ ­

Amortizacija zajmova Faktor povraaja Plan otplate zajma Konverzija dugova (3 casa)

2. Vezbe

(2 casa)

7

U od Uvod

Pojam zajma Pojam anuiteta

Anuitet je periodicni iznos koji plaa korisnik zajma, a sastoji se iz dva dela: otplate i kamata

Nacini amortizacije (otplate zajma) Jednake otplate Promenljive otplate j p Anuiteti koji sadrze otplatu i interes

8

Model otplate zajma jednakim j d ki anuitetima it ti

Osnovne pretpostavke ovog modela su: a) obracun kamata je slozen i dekurzivan b) anuiteti su jednaki i dospevaju u jednakim vremenskim jedinicama krajem razdoblja c) razdoblje kapitalizacije jednako je jedinici vremenskog dospea izmeu anuiteta d) kamatna stopa je konstantna u celom razdoblju amortizacije zajma.

9

Model otplate zajma jednakim j d ki anuitetima it ti

Zbir svih anuiteta = isplaenom zajmu (K)

r -1 n K =a n = a * IV p r (r - 1)

n

K a a

a

0

1

2

n

10

Model otplate zajma jednakim j d ki anuitetima it ti

Faktor povraaja (anuitetni faktor)

r (r - 1) n a=K n = K *V p (r - 1)

n

gde je

r n (r - 1) (r n - 1)

faktor povraaja:

11

Model otplate zajma jednakim j d ki anuitetima it ti

Model otplate (plan amortizacije):

God 1 2 ... n Dug K1=K K2 ... 0 Interes I1 I2 ... In I Otplata R1 R2 ... Rn K Anuitet a a ... a n*a

Koraci: 1. Ik=Kk*p 2. Rk=a-Ik 3. Kk+1=Kk-Rk

12

Model otplate zajma jednakim j d ki anuitetima it ti

Primer: Napraviti plan amortizacije za zajam od 150.000 dinara uz p p j j dekurzivnu kapitalizaciju i jednake anuitete koji se plaaju krajem sledeih pet godina uz godisnju kamatnu stopu od 10%. Resenje: K = 150 000 din 150.000 n = 5 godina p = 10% => r = 1,1

13

Model otplate zajma jednakim j d ki anuitetima it ti

Resenje: K = 150.000 din n = 5 godina p = 10% => r = 1,1

r (r - 1) 1,1 (1,1 - 1) a=K n = 150.000 5 (r - 1) (1,1 - 1) a = 39.569,62

n 5

14

Model otplate zajma jednakim j d ki anuitetima it ti

Resenje:

God

1

Dug K

150.000,00 125.430,38 , 98.403,80 68.674,56 35.972,40 35 972 40

Interes I

15.000,00 12.543,04 , 9.840,38 6.867,46 3.597,24 3 597 24 47.848,12

Otplata R

24.569,62 27.026,58 , 29.729,24 32.702,16 35.972,38 35 972 38 149.999,98

Anuitet a

39.569,62 39.569,62 39 569 62 39.569,62 39.569,62 39.569,62 197.848,10

2 3 4 5

15

Model otplate zajma jednakim j d ki anuitetima it ti

Resenje: Koraci: 1. Ik=Kk*p 2. Rk=a-Ik 3. Kk+1=Kk-Rk

1. I1=K1*p=150.000*0,1=15.000,00 p , , 2. R1=a-I1=39.569,62-15.000,00=24.569,62 3. K2=K1-R1=150.000-24.569,62=125.430,38

16

Veza medju otp ata a e a edju otplatama

Veza izmedju dve otplate zajma sa jednakim anuitetima

Rk+1=Rk(1+i)

Svaka otplata je jednaka proizvodu prethodne otplate i faktora akumulacije za jedan obracunski period. Otplate cine geometrijsku progresiju

Rk+1=R1(1+i)k R (1 i)

17

Prva otp ata a otplata

a=R1+K*i R1=a-K*i aKi

Sada, Sada zamenom

r (r - 1) a=K n (r - 1)

n

dobija se

i R1 = K n (1 + i ) - 1

18

stopa amortizacije

Veza otp ate i anuiteta e a otplate a u teta

Veza otplate i anuiteta

Rk=a*(1+i)-n+k-1

Racunanje interesa

Ik=a-Rk=a-a*(1+i)-n+k-1 ( )

19

Ostata Ostatak duga

Ostatak duga sa m prvih plaenih anuiteta:

Om=R1+R2+ +Rm +...+R Om=R1+R1(1+i)+...+R1(1+i)m-1 ( ) ( )

zamenom R1 i sabiranjem progresije: j p g j

=>

I -1 (1 + i ) - 1 =K Om = K n (1 + i ) - 1 I -1

m m p n p

20

Ostata Ostatak duga

Ostatak duga posle m plaenih anuiteta:

Zm=K-Om

=>

ili

Zm = K

I -I

n p n p

m p

I -1

n-m p

21

Z m = a * IV

Ostata Ostatak duga

Primer: Zajam od 100.000 dinara se amortizuje 20 godina jednakim anuitetima uz 5% kamatu i godisnje kapitalisanje. Izracunati sledee: a) Anuitet b) Prvu otplatu i desetu otplatu i interes c) Otplaeni deo duga sa 10 prvih plaenih anuiteta d) Ostatak duga posle 10 plaenih anuiteta

22

Ostata Ostatak duga

Resenje: a)

a = K *V

20 5

= 100.000 * 0,08024259

a = 8.024,26

b)

R1 = a - K * i = 8.024,26 - 5.000,00 R1 = 3.024,26

23

Ostata Ostatak duga

Resenje: b)

R10 = R1 * I = 3.024,26 *1,55132822

9 5

R10 = 4.691,62 I10 = a - R10 = 8.024,26 - 4.691,62 I10 = 3.332,64

24

Ostata Ostatak duga

Resenje: c)

10 I5 -1 1,62889 - 1 O10 = 100.000 20 = 100.000 = 38.038,80 I5 -1 2,6553 - 1

d)

Z10 = 100.000 - 38.038,80 = 61.961,20

25

Amortizacija zajma jednakim t l t j d ki otplatama

Otplate (R) su jednake, a anuiteti (ak) nisu jednaki. R=K/n Anuiteti e biti:

ak=Zk*i+R

Anuiteti ak cine aritmeticku sredinu, d=-R*i Sledi:

ak=ak-1-R*i

26

Amortizacija zajma jednakim t l t j d ki otplatama

Primer: Zajam od 40.000 se amortizuje jednakim godisnjim otplatama u toku 5 godina. Interesna stopa je 6% i kapitalisanje je godisnje. Napraviti plan amortizacije.

27

Amortizacija zajma jednakim t l t j d ki otplatama

Resenje: R=K/n=40.000/5=8.000 a1=R+Ki=8.000+40.000*0,06=10.400 a2=a1-Ri=10.400-8.000*0,06=9.920 a3= a4=

28

Amortizacija zajma jednakim t l t j d ki otplatama

Resenje:

God G

1

Dug K

40.000 32.000 32 000 24.000 16.000 8.000

Interes I

2.400 1.920 1 920 1.440 960 480 7.200

Otplata O R

8.000 8.000 8 000 8.000 8.000 8.000 40.000

Anuitet a

10.400 9.920 9.440 8.960 8.480 47.200

2 3 4 5

29

Amortizacija zajma promenljivim otplatama lji i t l t

Otplate (R) nisu jednake, mogu rasti po aritmetickoj progresiji (d) ili geometrijskoj progresiji (q). Posmatraemo aritmeticku progresiju.

Rk=R1+(n-1)d R1=K/n+(n 1)d/2 =K/n+(n-1)d/2

Primer: Zajam od 200.000 dinara amortizuje se 5 godina, godisnjim dekurzivnim otplatama koje rastu konstantno za 5.000 dinara. Interesna stopa je 6%. Izraditi amortizacioni plan.

30

Amortizacija zajma promenljivim otplatama lji i t l t

Resenje:

God G

0 1

Dug K

200.000 170.000 170 000 135.000 95.000 50.000 0

Interes I

12.000 12 000 10.200 8.100 5.700 3.000 39.000 39 000

Otplata O R

30.000 30 000 35.000 40.000 45.000 50.000 200.000 200 000

Anuitet a

42.000 45.200 48.100 50.700 53.000 239.200 239 200

31

2 3 4 5

Konverzija dugova o e ja dugo a

Konverzija duga oznacava da se menjaju uslovi otplaivanja duga/zajma p j g j Najcese se menja kamatna stopa, produzuje se period otplate, i dr. Koraci: 1.Utvrditi 1 Utvrditi anuitet prema pocetnim uslovima 2.Odrediti ostatak duga na dan promene uslova 3.Utvrditi novi anuitet na ostatak duga

32

Konverzija dugova o e ja dugo a

Koraci: 1.Utvrditi anuitet prema pocetnim uslovima

a = K *V

n p

2.Odrediti 2 Odrediti ostatak duga na dan promene uslova

3.Utvrditi novi anuitet na ostatak duga

Z m = a * IV

n-m p

a1 = Z m *V

n - m + n1 p1

n1: produzeno vreme otplate p1: kam.stopa posle konverzije kam stopa a1: anuitet posle konverzije

33

Konverzija dugova o e ja dugo a

Primer: 1.Zajam od 100.000 din. se otplauje 15 godina jednakim s t j d ki sestomesecnim anuitetima uz 10% k c i it ti kamate. t Korisnik zeli posle 10-te godine smanjenje kamatne stope na 8%, anuitet je smanjen za 505,14 din. Za p j j koliko vremena e ostatak duga biti isplaen sa novim anuitetom.

34

Konverzija dugova o e ja dugo a

Resenje: K=100.000; p=5%; n=2*15=30; p1=4%

a = 100.000 *V530 = 6.505,14 30- 20 Z 20 = a * IV5 = 6.505,14 * 7,72173493

Z 20 = 50.230,97

a1=6.505,14-505,14=6.000

35

Konverzija dugova o e ja dugo a

Resenje: Broj anuiteta za isplatu ostatka duga odrediemo iz formule: f l

a1 = Z m *V V

10 +n1 4

n - m + n1 p1 30 -10 + n1 4

6.000 = 50.230,97 *V = 0,119448

36

Konverzija dugova o e ja dugo a

Resenje: iz IV tablica => 10<n<11 Zakljucak: Deset puta treba otplaivati po 6.000 dinara i na kraju 11 og polugodista platiti ostatak 11-og ostatak.

37

PITANJA J

?

38

Information

Microsoft PowerPoint - Lekcija 6 [Compatibility Mode]

38 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

11345


You might also be interested in

BETA
Microsoft Word - MATEMATIKA ZA EKONOMISTE100
Microsoft Word - Matematika za sluzbeni list.doc