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POLEAS Y POLIPASTOS

Por Tomás López

Simples pero eficaces.

Sabemos que, ya en el siglo III a. C., el sabio griego Arquímedes conocía esta máquina simple. Las poleas pueden considerarse un tipo especial de palancas. Si se combinan para formar polipastos, necesitaremos hacer menos fuerza para levantar un mismo peso.

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POLEAS Y POLIPASTOS

POLEAS Y POLIPASTOS

SIMPLES PERO EFICACES

1. LA POLEA SIMPLE Una polea simple es una rueda en cuyo borde (llanta) se ha creado un surco (llamado garganta o canal) por donde puede deslizar una cuerda o un cable. La garganta suele tener forma semicircular en las poleas que se utilizan con cuerdas mientras que, cuando se utilizan correas (tiras de caucho elásticas), su forma suele ser trapezoidal, plana o estriada como muestra la siguiente figura:

La polea simple sirve para tres cosas: 1. Reducir el rozamiento de una cuerda en los cambios de dirección. Por ejemplo: las poleas que se utilizan en los tendederos de ropa.

2. Cambiar la dirección en la que se aplica una fuerza. Entonces recibe el nombre de polea de cable. Ésta es especialmente útil para elevar cargas.

Observa como el señor de la figura izquierda intenta levantar una caja. La postura es incómoda y puede provocar una lesión. En cambio, el señor que eleva el barril utilizando una polea, adopta una postura mucho más cómoda. Además, la gravedad le ayuda a tirar hacia abajo y, por tanto, elevar la carga.

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Ambos tienen que realizar una fuerza igual al peso del objeto que quieren elevar, pero la utilización de la polea resulta mucho más cómoda y segura. El señor que utiliza una polea podría colgarse de la cuelga y quizá, simplemente con su peso, podría conseguir su objetivo. Si alguna vez tienes que levantar una carga y no tienes la suerte de contar con una polea, recuerda flexionar las piernas. De esa forma, tu espalda sufrirá mucho menos. Observa las figuras adjuntas, si elevas una carga de 15 kg sin flexionar las piernas, la zona A de tu columna vertebral sufrirá una sobrecarga de 350 kg. Sin embargo, si flexionas las piernas, las sobrecarga será de solo 100 kg. Naturalmente, hay que hacer algunas modificaciones en la polea simple con el fin de fijarla a un elemento estructural horizontal. Tendremos que poner un gancho o un tornillo tirafondos en la estructura metálica que hace de soporte de la polea:

3. La polea simple también puede servir para transmitir un movimiento giratorio de un eje a otro. Observa, por ejemplo, la taladradora de pie de la siguiente figura. El eje del motor eléctrico (eje motriz) lleva acopladas una serie de poleas, al igual que el eje del portabrocas (eje conducido) Ambos ejes pueden conectarse con una correa eligiendo la pareja de poleas adecuada. Para materiales duros, elegiremos velocidades de taladrado bajas. En cambio, con materiales blandos podemos ir más deprisa.

En la figura de la izquierda, la polea, gracias a la correa que recorre su llanta, transmite movimiento circular desde el eje del motor hacia el eje de la propia polea.

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2. HACIENDO CÁLCULOS... CON LA POLEA FIJA En realidad, la polea fija puede analizarse matemáticamente del mismo modo que el balancín. Observa la siguiente figura, en la que un señor trata de elevar un cubo utilizando una polea de radio r. El señor hace una fuerza FM (fuerza motriz) y el cubo se resiste con su peso FR (fuerza resistente)

La polea es circular y, por tanto, el balancín equivalente será simétrico. Es decir, sus brazos resistente (bR) y motriz (bM) serán iguales (e iguales al radio de la polea): bR = bM Si el señor logra mantener quieto el cubo a cierta altura, podremos estudiar la situación igualando los momentos de las fuerzas que actúan sobre la polea, a la izquierda y a la derecha de su centro de giro. Tenemos: = · = · Pero como bR = bM = r , entonces, dividiendo ambos miembros por el radio llegamos a la conclusión: · = · =

Es decir, el señor está haciendo una fuerza igual al peso del cubo. Por lo tanto, la polea no multiplica su fuerza. Lo cual resulta obvio, pero no debe confundirse con la sensación del señor, al que le resulta más cómodo utilizar una polea que no usarla. Esa sensación es debida a la postura de su cuerpo y no a que la polea simple sea una máquina multiplicadora de fuerza.

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3. CONSTRUYENDO POLEAS FIJAS Una de las ideas más sencillas para construir una polea consiste en cortar tres discos, dos iguales y otro de un diámetro algo inferior, unirlos e insertar un palito en el centro. Desarrolla este método de construcción en sólo 2 tareas, utilizando sólo madera y completando la siguiente hoja de proceso:

HOJA DE PROCESO

NOMBRE DE LA PIEZA O CONJUNTO:

POLEA

TIEMPO TOTAL: ________ MATERIALES Y DIMENSIONES:

HORAS

Madera contrachapada de 3 mm de grosor. Varilla cilíndrica lisa de Ø __________. ________________________________

La hoja de proceso recoge un esquema de proceso de construcción de la pieza

HERRAMIENTAS NECESARIAS: Compás, regla, ______________________ ___________________________________

PROCESO DE CONSTRUCCIÓN Tarea 1: Cortar 2 discos de 10 cm de diámetro... _____ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ Tiempo: _________ horas.

Tarea 2: Pegar... ______________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ Tiempo: _________ horas.

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Cuando nos decidimos a construir algo debemos pensar también en la estructura necesaria para sujetarlo.

Nuestra polea necesita unos soportes donde descansará su eje, una base, unas escuadras (para mantener los soportes perpendiculares a la base) y un cojinetes (para disminuir el rozamiento entre el eje y los soportes) Los más baratos son los cojinetes de fricción, que son unos casquillos hechos de un material que no se adhiera fácilmente al eje, para que le deje girar libremente. La figura de la derecha muestra un cojinete de fricción comercial separado en sus partes superior e inferior.

Respecto a la unión polea-eje se puede actuar de dos formas igualmente válidas: a) Pegando el eje a la polea, de forma que ambos sean solidarios. De esta forma, serán necesarios dos cojinetes. En cada soporte pegaremos uno. b) Insertando un cojinete en el centro de la polea y pegándolo a ella. Ahora, el eje debe quedar fijo a los soportes. Cada extremo del eje se pegará a un soporte.

Recuerda que el borde de los discos de la polea debe ser sólo un poco mayor que la llanta. El objetivo es que no se salga la cuerda o la goma. Una polea con la llanta demasiado profunda no tiene mucho sentido.

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Es muy interesante trabajar con materiales de desecho para realizar prototipos. Es más barato, desarrolla más la imaginación y es más fácil detectar qué parte de la máquina está sometida a mayores esfuerzos. Considera las siguientes alternativas para construir una polea: OPCIÓN 1: Utilizando un tapón de plástico de unos 8 cm de diámetro (llanta), dos discos de cartón corrugado de un diámetro 1 cm mayor, un palito de caramelo (eje), un trozo de pajita de refresco (cojinete de fricción) y un poco más de cartón para hacer la base, los soportes y las escuadras. Conviene horadar el tapón en su centro antes de proceder a pegarlo a los discos de cartón y al eje. El resultado puede tener un aspecto similar al de la figura de la derecha.

OPCIÓN 2: Si nuestra polea tiene un diámetro muy grande, podemos tener problemas para encontrar tapones de ese tamaño. Entonces, podemos utilizar dos discos de cartón corrugado (1) y una tira de ese mismo cartón para la llanta (4) como indica la figura adjunta. El cartón corrugado es el formado por dos capas paralelas de papel entre las cuales se encuentra otra capa ondulada. Observa que la veta de la tira es perpendicular a la longitud de la tira, así es más fácil curvarla. Fíjate cómo se va pegando la tira de cartón al disco de cartón. Se traza una circunferencia interior y se aplica un cordón de pegamento termofusible (5) Después, poco a poco se va curvando la tira y se va pegando. Al final se puede aplicar un cordón de pegamento por la parte interior (2) para reforzar. El eje (3) también puede pegarse al disco por su parte interior. Por último, sólo queda poner el otro disco de cartón horadado en el centro. Como eje puedes utilizar una varilla lisa de madera de diámetro 6 mm (es decir, Ø 6 mm) que puede costar hasta 0,80 /m (precio en el año 2011), o bien un palillo de madera de los usados para hacer brochetas. Desde luego, la combinación palito de caramelo (eje) con carcasa de bolígrafo Bic o similar (cojinete de fricción) da excelentes resultados.

Manos a la obra: Sobre una base de cartón corrugado de 10x10 cm, construye una polea utilizando materiales de desecho. Realiza un breve informe técnico que contenga un boceto de conjunto, un boceto de detalle del cojinete de fricción y una hoja de proceso que describa el proceso seguido en 4 pasos (tareas) Utiliza las plantillas de las páginas siguientes.

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MEMORIA DEL PROYECTO

I.E.S.: ________________________________________________________ AÑO ESCOLAR: ____________ CURSO Y GRUPO: __________________ GRUPO DE TRABAJO: _________ TRIMESTRE: ______________ TÍTULO DEL PROYECTO: __________________________________________________________________________ DIBUJADO POR: _______________________________________________________________________________

SOLUCIÓN FINAL CONSTRUIDA:

BOCETO DE CONJUNTO

DESCRIPCIÓN DEL FUNCIONAMIENTO: PIEZA

LISTA DE DESPIECE NOMBRE MATERIAL

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Este boce to re presenta , en su totalidad, al objeto finalmente construido.

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MEMORIA DEL PROYECTO

I.E.S.: ________________________________________________________ AÑO ESCOLAR: ____________ CURSO Y GRUPO: __________________ GRUPO DE TRABAJO: _________ TRIMESTRE: ______________ TÍTULO DEL PROYECTO: __________________________________________________________________________ DIBUJADO POR: _______________________________________________________________________________

SOLUCIÓN FINAL CONSTRUIDA - BOCETO DE AMPLIACIÓN-A: ________________________ Observaciones:

SOLUCIÓN FINAL CONSTRUIDA - BOCETO DE AMPLIACIÓN-B : ________________________ Observaciones:

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En estos boc etos se repre sentan detalle s a mplia dos del conjunto que fina lme nte se ha construido.

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HOJA DE PROCESO

I.E.S.: ________________________________________________________ AÑO ESCOLAR: ___________ CURSO Y GRUPO: __________________ GRUPO DE TRABAJO: _________ TRIMESTRE: _____________ TÍTULO DEL PROYECTO: _________________________________________________________________________ DIBUJADO POR: ______________________________________________________________________________

NOMBRE DE LA PIEZA O CONJUNTO:

______________________

TIEMPO TOTAL: _______ HORAS

MATERIALES Y DIMENSIONES: _______________________________

La hoja de proceso recoge un esquema de proceso de construcción de la pieza

________________________________ ________________________________ _______________________________

HERRAMIENTAS NECESARIAS: ___________________________________ ___________________________________

PROCESO DE CONSTRUCCIÓN Tarea 1: _____________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ Tiempo: _________ horas.

Tarea 2: _____________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ Tiempo: _________ horas.

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HOJA DE PROCESO

I.E.S.: ________________________________________________________ AÑO ESCOLAR: ___________ CURSO Y GRUPO: __________________ GRUPO DE TRABAJO: _________ TRIMESTRE: _____________ TÍTULO DEL PROYECTO: _________________________________________________________________________ DIBUJADO POR: ______________________________________________________________________________

NOMBRE DE LA PIEZA O CONJUNTO:

______________________

TIEMPO TOTAL: _______ HORAS

PROCESO DE CONSTRUCCIÓN

Tarea 3: _____________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ Tiempo: _________ horas.

La hoja de proceso recoge un esquema de proceso de construcción de la pieza

Tarea 4: _____________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ Tiempo: _________ horas.

Tarea 5: _____________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ _____________________________________________ Tiempo: _________ horas.

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4. POLEAS POR TODAS PARTES

En el teleférico de Madrid...

En las máquinas de los gimnasios...

En las máquinas de efectos encadenados...

En las tirolinas...

En los tendederos de ropa, en el utillaje de los alpinistas, en los pozos de los pueblos,...

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5. LA POLEA MÓVIL La polea móvil es una polea de gancho conectada a una cuerda que tiene uno de sus extremos anclado a un punto fijo y del otro se tira. Estas poleas giran sobre su eje y además se desplazan arrastrando la carga consigo.

La polea móvil permite que podemos levantar cargas haciendo menos fuerza. Por eso decimos que la polea móvil es una máquina multiplicadora de fuerza. Es típico encontrar poleas móviles en las grúas. Suelen tener el aspecto de la figura inferior izquierda aunque, a veces, se montan varias poleas móviles sobre una misma armadura (figura inferior derecha):

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6. HACIENDO CÁLCULOS... CON LA POLEA MÓVIL Una de las aplicaciones más antiguas de la polea móvil es izar las velas de un barco. Observa la figura:

La soga está unida al palo que sujeta la vela, la cual opone una resistencia que llamaremos R. Por la llanta de la polea móvil corre una cuerda de cuyo extremo libre tiramos con una fuerza F. El otro extremo se mantiene fijo a un soporte mediante un clavo. Naturalmente ese clavo está haciendo una fuerza, mayor cuanto más tiremos de la cuerda. A esa fuerza la llamamos tensión y la designamos por la letra T.

Piensa que la fuerza con la que tiramos F es siempre igual a la tensión que soporta el clavo T. Sólo podrían ser distintas si la cuerda se rompiera o si no estuviera tensa. Analicemos este sistema mecánico aplicando la ley de los momentos como la conocemos hasta ahora. Elegiremos el punto respecto del cual se produce el giro (en este caso, el eje de la polea) e igualaremos los momentos de las fuerzas a izquierda y derecha:

T

Cuando la polea no se mueve, tomando como referencia el eje de la polea, se cumple: = · = · =

r

r

F

R

Así se demuestra que la fuerza es igual a la tensión. Observa que el par de la resistencia R, respecto del eje de la polea, es nulo porque R es una fuerza aplicada justo en ese punto.

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Existe una versión ampliada de la ley de los momentos que dice que también es cierta para cualquier otro punto de referencia que elijamos. ¡Increíble! Aquí hay que desarrollar un poco de intuición para elegir un punto útil. Fíjate en el punto amarillo de la figura de la izquierda, es "el elegido". A su izquierda no hay ninguna fuerza por lo tanto: = 0 A su derecha hay dos fuerzas de sentidos opuestos (F y R) cuyos momentos tienen también signos opuestos. El momento de la fuerza F es positivo y el de la fuerza R es negativo: = + = - · + 2 · · Igualando los momentos a la izquierda y a la derecha del punto amarillo tenemos:

T

r

r

F

R

= 0 = - · + 2 · · · = 2 · · = 2 · = 2

El resultado es sorprendente: la fuerza necesaria para mantener la polea móvil quietecita es la mitad del peso que se coloque en el gancho. Por lo tanto, podemos decir que esta máquina multiplica tu fuerza por dos. Ten en cuenta que la tensión que tiene que soportar la cuerda también es la mitad, por lo tanto, no es necesario utilizar una cuerda tan resistente como en el caso de poleas fijas. Pero no lo hace gratis, hay un pequeño inconveniente. Fíjate en que cuando desplazamos un objeto (o levantamos un peso) con una polea fija, si tiramos de la cuerda hasta una distancia L, el objeto no se desplaza una longitud L sino la mitad (L/2) La polea móvil no se utiliza para levantar pesos porque tenemos que hacer fuerza en sentido ascendente y eso resulta muy incómodo.

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7. CONSTRUYENDO POLEAS MÓVILES No resulta fácil construir una polea móvil con materiales de desecho. Aquí tienes una idea:

Se puede construir enteramente de cartón corrugado y añadir un clip con forma de gancho en la parte baja de la armadura. El eje es un palito de caramelo que está pegado a la armadura en sus dos extremos. La polea gira solidariamente con un cojinete de fricción pegado en su centro (un trozo de pajita de refresco) La cuerda es un trozo de hilo de lana, de los que se utilizan para hacer jerséis. Fíjate en la pieza de cartón que está en la parte superior (se ve mejor en la imagen de la derecha) Constituye un auténtico avance técnico. Asegura que la cuerda no se va a salir de la garganta de la polea cuando ésta se desplace verticalmente. Esta construcción exige cierta precisión en la alineación de las piezas, de lo contrario el efecto del rozamiento entre las piezas puede llegar a impedir su correcto funcionamiento.

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8. POLEAS MÓVILES POR TODAS PARTES Las poleas móviles están en los mecanismos de barcos de vela, antiguos y nuevos...

En máquinas de encadenados...

efectos

En ganchos de torres-grúa...

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9. POLIPASTOS La incomodidad de utilizar una polea móvil para elevar cargas puede solventarse fácilmente utilizando una polea fija para invertir el sentido en el que debemos realizar la fuerza. Un polipasto es una combinación de poleas fijas y móviles recorridas por una sola cuerda que tiene uno de sus extremos anclado a un punto fijo. Naturalmente, en la figura de la izquierda, la fuerza F necesaria para que el mecanismo no se mueva será la mitad de lo que pese la resistencia R. Esta vez, haremos la fuerza tirando hacia abajo y, por lo tanto, será mucho más cómodo. Desde luego, podemos repetir la idea y complicar el diseño. A la combinación siguiente se le llama aparejo potencial y está compuesto por 2 ó más poleas móviles y sólo una polea fija. En este caso la fuerza necesaria se reduce a la cuarta parte del peso de la resistencia (F=R/4) Un aparejo potencial está en equilibrio cuando, en el extremo libre de la cuerda, realizamos una fuerza F igual a la resistencia R dividida por 2 elevado al número de poleas móviles n: = 2

El aparejo potencial tiene el inconveniente de que la distancia a la que puede elevarse un objeto depende de la distancia entre poleas (normalmente entre las dos primeras poleas: la fija y la primera móvil) Para solucionarlo se recurre a mecanismos en los que varias poleas fijas acopladas en una sola armadura se conectan mediante una sola cuerda con otras poleas móviles montadas en otra armadura. Este mecanismo se llama aparejo factorial.

500 N 500 N

La fuerza que tenemos que hacer para equilibrarlo depende del número de poleas móviles (n) como indica la siguiente fórmula: =

1000 N

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El aparejo factorial puede adoptar formas más compactas:

Con 1 polea: = 2

Con 4 poleas: = = 2·4 8

Cuando el número de poleas fijas y móviles es diferente, las fórmulas anteriores no sirven. Fíjate en el caso en el que tenemos dos poleas fijas y una polea móvil; en este caso, la fuerza que tenemos que hacer es la tercera parte de la resistencia: F=R/3.

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La polea diferencial se compone de dos poleas de distinto radio caladas sobre el mismo eje. Se usa combinada con una polea móvil provista de un gancho donde se coloca la carga que deseamos elevar. Puede usarse con una cuerda, pero normalmente las gargantas de las poleas son dentadas y se utiliza una cadena. Se llama así porque la fuerza F necesaria para elevar el peso R es proporcional a la diferencia entre dichos radios (r1 es el mayor y r2 es el menor): = 1 - 2 · 2 · 1

Si los dos radios son iguales, la polea diferencial no funciona. Sin embargo, el radio de la polea móvil no influye en la fuerza que debemos hacer. La cadena es cerrada (no tiene extremos libres) y se pasa primero por la garganta de la polea mayor (1-2) y luego por la polea móvil que sustenta la carga R (2-3), retorna a la polea diferencial pasándose por la garganta de la menor (3-4) y finalmente se enlaza con el ramal sobre el que se aplica la fuerza (4-1). Al aplicar la fuerza en la dirección indicada en la figura de la derecha, los ramales 1 y 3 descienden mientras que 2 y 4 ascienden.

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Sección NO APTA para principiantes

10. HACIENDO CÁLCULOS CON... POLIPASTOS

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La figura de la izquierda es un aparejo potencial. Su ganancia mecánica depende de las poleas móviles, ya que las fijas no multiplican la fuerza.

F2 F1

Si R es el peso de la carga, cada tramo de cuerda de la primera polea móvil deberá hacer una fuerza F1= R/2. Precisamente, F1 es la fuerza que actúa sobre el gancho de la segunda polea móvil. Entonces, cada tramo de cuerda de la segunda polea móvil deberá hacer una fuerza F2:

2 =

1 2

=

2

2

=

2·2

=

4

Si añadiéramos otra polea móvil, tendríamos 3 poleas móviles y, de forma análoga calcularíamos F3: 1 2 2 2 = 2 = 3 = = = 3 = 2 2 2 2·2·2 2 8 Es fácil imaginar que si tuviéramos n poleas móviles, tendríamos que hacer una fuerza: = 2·2·

·2

=

2

Antes de analizar el aparejo factorial, observemos las siguientes figuras: Para equilibrar la carga R con dos fuerzas (F1 y F2), es necesario que:

F1

F2

= 1 + 2 Si queremos haga una cuerda que una tensión tanto: que la fuerza F2 la polea móvil, la la recorre tendrá igual a F2/2. Por 2 2

F1

2 2

2 2

1 =

R

R

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Sustituyendo: = 2 2 2 · 2 3 · 2 + 2 = + = 2 2 2 2

2· 3

Despejando F2: 2 =

F=F2/2 es el valor de la tensión en la cuerda y, por tanto, la fuerza que tiene que hacer el señor que tira de la cuerda: = 2 = 2 3

Por lo tanto, debemos hacer 3 veces menos fuerza de lo que pesa la carga. Observa que no hemos tenido en cuenta a las poleas fijas en los cálculos, ya que no alteran la fuerza que debemos hacer. El aparejo factorial suele tener el mismo número de poleas fijas y móviles. El de la figura siguiente tiene 2 poleas de cada tipo: Se cumple, por un lado: = 1 + 2 1 2 1 2 2 2 2 2 y, por otro, como la tensión de la cuerda es la misma en todos sus puntos: = Es decir, 2 · = 1 = 2 Y sustituyendo, resulta: 1 2 = 2 2

F1

F2

R

= 1 + 2 = 2 · + 2 · = 4 · = 4

Si hubiera 3 poleas fijas y 3 móviles, tendríamos: = 1 + 2 + 3 = 2 · + 2 · + 2 · = 2 · (3 · ) = 6

Y así sucesivamente; si tenemos n poleas fijas y n móviles: = 2 ·

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Para analizar la polea diferencial, utilizaremos la ley de los momentos eligiendo como punto de referencia el eje de la polea diferencial. Llamaremos r1 al radio de la polea mayor y r2 al radio de la polea menor Si la carga tiene un peso R, la cadena (o la cuerda) que recorre la garganta de la polea móvil tendrá una tensión R/2, como indica la figura adjunta. Igualando los momentos de las fuerzas a la izquierda y a la derecha del eje de la polea móvil, tenemos:

F

2

2

= 1 · + 2 · 1 · = 1 · = 1 · 2 2 - 2 · 2 2 2

1 · = (1 - 2 ) · Despejando F, tenemos finalmente:

R

=

(1 - 2 ) 1 - 2 · = · 1 2 2 · 1

En el caso límite, cuando r1=r2, el sistema se encuentra en equilibrio sin necesidad de realizar ninguna fuerza (F=0) si bien, por mucho que tiremos de la cuerda o cadena la carga no se elevará, ya que la longitud de cuerda será la misma en los cuatro ramales.

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11.

VOCABULARIO TÉCNICO EN INGLÉS TECHNICAL VOCABULARY AXLE Eje PULLEY Polea FIXED PULLEY Polea fija MOVEABLE PULLEY Polea móvil DIFFERENTIAL PULLEY Polea diferencial COMPOUND PULLEY Aparejo potencial BLOCK AND TACKLE Aparejo factorial CHAIN Cadena HOOK Gancho HOIST Polipasto ROPE Cuerda (soga) TECHNICAL VOCABULARY LOAD Carga FRICTION BEARING Cojinete de fricción

TECHNICAL VOCABULARY

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http://www.tecneweb.com.ar/Apuntes/mecanismos.htm

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