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EJERCICIOS RESUELTOS.

TOMA DE DECISIONES EN ESTADISTICA.

Ejemplo 1: Se tienen dos cajas, caja A y caja B. La caja A tiene 40 fichas con el número 1; 50 fichas con el número 10 y 10 fichas con el número 100. La caja B tiene 40 fichas con el número 100; 50 fichas con el número 10 y 10 fichas con el número 1. Se elige una caja al azar, y de ella se saca una ficha. Usted no sabe si es la caja A ó B. H : La caja es la A Se tienen las hipótesis: 0 H1 : La caja es la B Se establece la regla de decisión: Rechazar la hipótesis nula si la ficha es de 100. Fichas Número de fichas Número de fichas en caja A en caja B 40 10 50 50 10 40

1 10 100

a.

¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo I?. Desarrolle. Respuesta: La probabilidad de cometer el error tipo I es el nivel de significación alfa: = P(rechazar H0/H0 es verdadera). = P(sacar una ficha de 100 de la caja A). = 10/100. = 0.10. ¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II?. Desarrolle. Respuesta: La probabilidad de cometer el error tipo II es beta: = P(aceptar H0/H1 es verdadera). = P(sacar una ficha de 1 ó de 10 de la caja B). = 60/100. = 0.60.

b.

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ESTADISTICA

Página 1

c.

¿Es este un test de hipótesis de una ó de dos colas?. Justifique. H0: Caja A X X X X X X 10 100 H1: Caja B X X X X X X X X X 10 100

X X X X 1

X 1

Respuesta: La dirección del extremo en esta hipótesis es hacia la derecha, rechaza para valores grandes de fichas. Por lo tanto este es un test de una cola ó unilateral.

d. d-i. Si la ficha que sacamos es un 10: ¿Cuál es el valor_p?. Respuesta: Valor_p = P(de lo observado ó más extremo, bajo H0). Valor_p = P(sacar una ficha de 10 ó de 100 de la caja A). Valor_p = 60/100. Valor_p = 0.60.

d-ii. ¿Cuál es la decisión y la conclusión?. Respuesta: El valor_p es mayor que el nivel de significación 0.10 en (a). Por lo tanto no podemos rechazar Ho y concluimos que la caja es la caja A.

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Página 2

Ejemplo 2:

"Comer para tener huesos sanos significa ingerir suficientes alimentos ricos en calcio y vitamina D", es la campaña que han estado siguiendo los consultorios de la Región del Maule. En particular, el calcio se encuentra en muchos alimentos, pero la fuente más común es la leche y otros productos lácteos. Por ejemplo, tomar un vaso de leche, significan 300 miligramos (mg) de calcio, y para un Adulto con edades entre 19 y 50 años, se recomienda una dosis de 1000 mg según la Academia Nacional de Ciencias de los EE.UU. Sobre la base anterior, se ha encuestado a un grupo de Adultos consultándose la cantidad de vasos de leche diarios que consume, reuniéndose la siguiente información según el lugar de origen: Cantidad de vasos de leche diario. 0 1 2 3 4 Número de Adultos Urbanos. 36 28 21 12 3 Número de Adultos Rurales. 5 14 22 27 32

Pero, en la recopilación de la información, en varios de los casos se omite el lugar de origen del Adulto, para resolver este problema, se plantea la siguiente hipótesis: H0: El Adulto proviene de un lugar Urbano. H1: El Adulto proviene de un lugar Rural. Se determinó la siguiente regla de decisión: Se rechaza H0 si la persona seleccionada consume al menos 4 vasos de leche diario.

a. Indique el tipo de hipótesis planteada, ya sea Unilateral ó Bilateral. Justifique. Respuesta: Rechazamos H0 para valores grandes (4 ó más vasos diarios), es decir a la derecha, por lo tanto la hipótesis es unilateral.

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Página 3

H o : El A d ul t o p r o v i e ne de un l ug a r U r b a n o

40 36 35

30 28 25 21

20

15 12 10

5 3 0 0 1 2 3 4 5

Níme r o de v a s os de l e c he di a r i o

H 1: El A dul t o pr o v i e ne de un l u ga r R u r a l

35 32 30 27 25 22 20

15 14

10

5

5

0 0 1 2 3 4 5

Núme r o de v a s os de l e c he di a r i o

b.

Calcule el nivel de significación. Interprete el resultado obtenido. Respuesta: El nivel de significación es la probabilidad de cometer el Error Tipo I: = P(error tipo I). = P(rechazar H0/ H0 es Verdadera). = P(concluir que la persona es del área Rural y es del área Urbana). = P(que la persona tome 4 vasos de leche diario y sea del área Urbana). = Proporción de personas que toman 4 vasos de leche del área Urbana. = 3/100 = 0.03. Luego, el nivel de significación es =0.03.

ESTADISTICA Página 4

EJERCICIOS RESUELTOS

c.

Calcule la probabilidad del Error Tipo 2. Interprete el resultado obtenido. Respuesta: La probabilidad del Error del Tipo 2 es Beta. = P(error tipo II). = P(aceptar H0/ H1 es Verdadera). = P(concluir que la persona es del área Urbana y es del área Rural). = P(que la persona toma menos de 4 vasos de leche diario y sea del área Rural). = Proporción de personas que toman menos de 4 vasos de leche del área Rural. = 68/100 = 0.68. Luego, la probabilidad del Error del Tipo 2 es 0.68. Si la persona seleccionada ha consumido 3 vasos de leche, determine el valor_p. ¿Qué decisión debe tomar?. Respuesta: Valor_p = P(observación ó más extremo bajo H0). Valor_p = P(que una persona del área Urbana tome 3 vasos de leche ó más) Valor_p = 15/100 = 0.15. Este valor_p es mayor que alfa = 0.03, por lo tanto no se rechaza H0. Decisión: El Adulto proviene de un lugar Urbano.

d.

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Página 5

Ejemplo 3:

El buen hábito de higiene bucal que deben tener las personas para una dentadura saludable es el tema de tesis que realiza un alumno de la carrera de Odontología de la Universidad de Talca, y para ello, su estudio se centra en niños de 7 años de edad que asisten a dos colegios A y B en la zona urbana de Talca, registrando la cantidad de cepillados diarios que realizan los niños: Cantidad de cepillados diarios 0 1 2 3 4 5 6 Cantidad de niños Colegio B Colegio A 2 15 3 13 7 11 9 8 10 5 14 4 16 1

Pero el alumno cuando completa sus fichas, no siempre registra el nombre del colegio al cual asiste el niño, y con la información previa propone el siguiente test de hipótesis: H0: El niño asiste al colegio A. H1: El niño asiste al colegio B. Para concluir, establece la siguiente regla de decisión: Rechazar H0 si el niño realiza a lo más 1 cepillado diario. a.

¿Cuál es la probabilidad de cometer error tipo 1?. Interprete. Respuesta: = P(rechazar H0/H0 es verdadera). = P(el niño realiza a lo más 1 cepillado diario y que asiste al colegio A). = (2+3)/(2+3+7+9+10+14+16) = 5/61. = 0.0820. Existe una probabilidad del 8.20% de afirmar que el niño asiste al colegio B cuando en verdad asiste al colegio A. ¿Cuál es la probabilidad de cometer error tipo 2?. Interprete. Respuesta: = P(aceptar H0/H1 es verdadera). = P(al niño realiza más de 1 cepillado diario y que asiste al colegio B). = (11+8+5+4+1)/(15+13+11+8+5+4+1) = 29/57.

ESTADISTICA Página 6

b.

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= 0.5088. Existe una probabilidad del 50.88% de afirmar que el niño asiste al colegio A cuando en verdad asiste al colegio B.

c.

Si el niño realiza 3 cepillados diarios, ¿A cuál colegio asiste?. ¿Qué tipo de error podría cometer?. Respuesta: Si el niño realiza 3 cepillado diarios, no se rechaza H0, es decir, el niño asiste al colegio A. Se podría estar cometiendo error tipo 2. Si el niño seleccionado realiza 3 cepillados diarios, ¿Cuál es el valor_p?. ¿Cuál es la decisión y conclusión?. Respuesta: Valor_p = P(el niño realiza a lo más 3 cepillado diarios y que asiste al colegio A). Valor_p = (2+3+7+9)/61 = 21/61. Valor_p = 0.3443. Para todo valor de mayor ó igual al 34.43%, se rechaza H0, es decir, con = 8.20% no se rechaza H0, luego, el niño asiste al colegio A.

d.

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