Read Microsoft Word - All basic 2007 Genap.doc text version

Kumpulan Soal-Soal Ujian

Semester Genap 2006/2007

Angk. 2004 Semester 6 Angk. 2005 Semester 4 Angk. 2006 Semester 2

Matakuliah Wajib Semester 6 Kewarganegaraan Peng. Analisis Real II Peng. Statistika Matematika Matakuliah Wajib Semester 4 Kalkulus Multivariabel II Aljabar Linear Fungsi Variabel Kompleks Matakuliah Wajib Semester 2 Mekanika A Kalkulus II Peng. Struktur Aljabar I Algoritma & Pemrograman Ke-Gadjah-Madaan & Etika Math Geometri Analitik A Peng. Analisis Numerik Kalkulus Lanjut Geometri Matematika Diskrit Peng. Model Matematika

Matakuliah Pilihan Peng. Teori Modul Teori Himpunan Peng. Teori Kendali Peng. Teori Ukuran & Int. Umum Peng. Topologi Peng. Teori Bilangan Masalah Syarat Batas

Ujian Tengah Semester

Kewarganegaraan

Letkol Sus Drs. H.Mardoto, M.T 26 Maret 2007, Open Book

1. Apa yang dimaksud dengan negara menurut pandangan anda? 2. Berikan contoh yang dapat menjelaskan tentang "bukan penduduk" dan "warga negara asing". 3. Uraikan pendapat anda tentang hal-hal yang dapat dilakukan pemerintah dalam menggelorakan semangat/wawasan berbangsa dan bernegara di lingkungan perguruan tinggi. 4. Jelaskan perbedaan pandangan antara John Locke dan J.J. Rosseau dalam Teori Perjanjian Masyarakat. 5. Genosida dikelompokkan sebagai salah satu kejahatan kemanusiaan. Uraikan pendapat anda tentang hal tersebut berdasarkan referensi dengan alasan-alasan yang jelas.

Ujian Akhir Semester

Kewarganegaraan

Letkol Sus Drs. H.Mardoto, M.T 15 Juni 2007, Open Book

1. Dari pendapat para pakar, pejabat dan politikus tentang RUU Keamanan Nasional yang digagas oleh Pemerintah (Departemen Pertahanan), bagaimanakah kecenderungan pemikiran mereka (setuju, tidak setuju atau yang lainnya). Sebutkan alasan-alasan yang mendasari pemikiran tersebut. 2. Uraikan pendapat anda tentang bagaimana mewujudkan/merealisasikan hak dan kewajiban sebagai Warga Negara Indonesia yang masih berstatus sebagai mahasiswa. 3. Tanggal 27 April 2007 di Gianyar Bali, Indonesia ­ Singapura telah menandatangani tiga dokumen perjanjian yaitu Perjanjian Ekstradisi, Kerjasama Pertahanan dan Kerangka Aturan Daerah Latihan Militer. Jelaskan pendapat anda (sebagai WNI) tentang plus minus bagi negara kita setelah menandatangani ketiga dokumen terebut ditinjau dari sisi politik maupun pertahanan (boleh mereferensi pendapat pakar atau pengamat politik/pertahanan). 4. Beberapa waktu lalu Sultan Hamengkubuwono X telah memutuskan tidak ingin lagi menjabat sebagai Gubernur DIY mulai tahun 2008. Keputusan ini dipandang para pengamat terkait RUU Keistimewaan DIY yang tidak segera disahkan DPR-Pemerintah, padahal konsep RUU telah diajukan tahun 2005. Jelaskan pendapat anda tentang keputusan Sultan HB X tersebut ditinjau dari bentuk negara kita dan status keistimewaan DIY (Bentuk Negara RI adalah Republik sedangkan Kesultanan jelas berbentuk Monarki). 5. Berdasarkan referensi/informasi/pengetahuan tentang materi pendidikan kewarganegaraan pada perguruan tinggi negara lain (luar Indonesia) yang telah anda miliki, buatlah perbandingan (plus minusnya) dengan materi pendidikan kewarganegaraan yang telah anda terima. 6. Dalam era reformasi sekarang ini, banyak orang berdalil bahwa pemilihan pemimpin apapun, entah itu pemerintahan (bupati, walikota, gubernur, presiden) maupun keorganisasian (Ketua Partai Politik, Rektor Perguruan Tinggi, Ketua KNPI, dan lainnya) agar demokratis harus dilakukan pemilihan secara langsung dengan satu orang satu suara. Sebagai salah seorang Warga Negara Indonesia yang telah belajar materi demokrasi, bagaimanakah pendapat anda tentang hal tersebut.

Ujian Tengah Semester

Peng. Analisis Real II

Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS 26 Maret 2007, Closed Book

1. a. Jika fungsi f : I

kontinu pada I, buktikan fungsi f : I

dengan

f ( x) = f ( x) juga kontinu pada I.

b. Jika fungsi g : I fungsi

g :I

dengan g ( x) 0 untuk setiap x I , kontinu pada I. Buktikan

dengan

( g ) ( x) =

g ( x) kontinu pada I.

2. Diberikan interval tertutup terbatas I = [ a, b ] . Jika fungsi f : I buktikan f terbatas pada I.

kontinu pada I

3. Buktikan fungsi f ( x) =

1 kontinu seragam pada (1, ) x

4. Diberikan interval I, titik c I bukan titik ujung interval dan fungsi f : I monoton pada I. Buktikan lim f ( x) = inf { f ( x) | x I , x < c} -

x c

turun

5. Buatlah pendekatan fungsi f ( x) = x 2 + x pada (-2,1) dengan fungsi tangga 3 jika diambil = 4

Ujian Akhir Semester

Peng. Analisis Real II

Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS 2 Juni 2007, Closed Book

I. Diberikan A , fungsi f : A dan c A . Buktikan pernyataan berikut ekuivalen: i. f kontinu di c ii. Jika { xn } barisan dalam A yang konvergen ke c, maka barisan { f ( xn )} konvergen ke f(c) II. Diberikan interval tertutup terbatas I = [ a, b ] . Jika fungsi f : I buktikan f terbatas pada I. III. Jika interval I, titik c I bukan titik ujung interval dan fungsi f : I c I bukan titik ujung interval, buktikan: i. lim f ( x) = sup { f ( x) | x I , x > c} +

x c

kontinu pada I

naik pada I dan

ii.

x c -

lim f ( x) = inf { f ( x) | x I , x < c}

IV. Tentukan nilai limit berikut ini, jika ada log cos x , domain fungsi 0, i. lim + x 0 x 2 x + log cos x lim , domain fungsi ( 0, ) ii. x x log x

iii.

iv.

x 0

3 lim 1 + , domain fungsi ( 0, ) + x 0 x sin x lim x , domain fungsi ( 0, ) +

x

V. Selidiki apakah barisan fungsi { f n } dengan f n ( x) = konvergen seragam pada interval [ 0,1] .

x konvergen titik demi titik dan x+n

Ujian Tengah Semester

Peng. Model Matematika

Dr. Widodo dkk 28 Maret 2007, Closed Book

1. 2. 3. 4.

Jelaskan Model Logistik dan solusinya Jelaskan Model Matematika dengan 2 Kompartemen Jelaskan Model Penyebaran Penyakit SIR Diketahui persamaan logistik diskrit dengan tundaan waktu td = t :

N (t + t ) - N (t ) = t N (t ) [ a - bN (t - t )]

Dengan notasi t = m t dan N (t ) = N (m t ) = N m , dengan m = 1, 2,3, 4,... maka persamaan akan menjadi :

N m +1 - N m = N m ( - N m -1 )

Dengan = a t dan = b t a. Linearkan persamaan diatas dengan metode perturbasi b. Selesaikan linearisasinya c. Interpretasikan penyelesaiannya 5. Model Probabilitas Proses Kematian Murni Satu Spesies Asumsi : a. Hanya terjadi proses kematian, tidak terjadi proses kelahiran b. Peluang terjadinya kematian pada selang (t , t + t ) , dengan t cukup kecil hanya bergantung pada t (proporsional terhadap t ), tidak bergantung pada permulaan waktu t. c. Peluang pada b. saling bebas (independen) terhadap kejadian lain yang saling asing.

Buktikan : dPN (t ) a. = ( N + 1) PN -1 (t ) - NPN (t ) dt dPN0 - j (t ) b. = ( N 0 - j + 1) PN0 - j +1 (t ) - ( N 0 - j ) PN0 - j (t ) dt j N ( N - 1)...( N 0 - j + 1)e - N0t 1 - et , j = 1, 2,3,..., N 0 c. PN0 - j (t ) = (-1) j 0 0 j!

d. Mean : µ (t ) = ( N 0 - j ) PN0 - j (t ) = N 0 e - t

j =0

N0

e. Mean tersebut memenuhi persamaan differensial

d µ (t ) = -µ (t ) ; µ (0) = N 0 dt

Ujian Akhir Semester

Peng. Model Matematika

Dr. Widodo dkk 6 Juni 2007, Closed Book

1. Bicarakan titik kesetimbangan dan kestabilan persamaan logistik diskrit dengan tundaan waktu: N (t + t ) - N (t ) = t N (t ) [ a - bN (t - t ) ] .

2. Jelaskan kestabilan sistem linear dx(t ) dt a b x(t ) = , dengan a, b, c, d konstanta Real. dy (t ) c d y (t ) dt

3. Jelaskan secara ringkas isi tugas paper/makalah anda terkait dengan mata kuliah Pengantar Model Matematika.

Ujian Tengah Semester

Matematika Diskret

Sutopo 2 April 2007, Closed Book

1. Consider the following solitaire game: For every integer i, there is an unlimited supply of balls marked with number i. Initially, we are given a tray of balls, and we throw away a ball that is marked with i. We can replace it by any finite number of balls marked 1,2,3,...,i-1 (Thus, no replacement will be made if we throw away a ball marked with 1). The game ends when the tray is empty. Prove that the game always terminates for any tray of balls given initially!

2. Diantara 50 mahasiswa dalam suatu kelas, 26 orang mendapatkan nilai A pada ujian pertama dan 21 orang mendapatkan nilai A pada ujian kedua. Jika ada 17 orang yang tidak mendapatkan nilai A pada ujian pertama atau kedua, maka berapa banyak mahasiswa yang mendapat nilai A pada kedua ujian ?

3. Diberikan S dan T dua himpunan dan f fungsi dari S ke T serta R adalah relasi ekuivalensi pada T. Selanjutnya U adalah sebarang relasi pada S sedemikian sehingga xUy jika dan hanya jika f(x) R f(y). Tunjukkan bahwa U juga merupakan relasi ekuivalensi !

4. Tunjukkan bahwa dari 52 bilangan bulat yang dipilih secara acak, akan terdapat dua bilangan diantaranya yang jumlah atau selisihnya habis dibagi 100. 5. Diberikan ( A, ) adalah Lattice Distributive. Tunjukkan bahwa jika a x = a y dan

a x = a y untuk suatu a maka x = y .

6. Diberikan Aljabar Boolean berhingga ( A, , , - ) , apabila b adalah sebarang elemen tak nol di A dan a1 , a2 ,..., ak semuanya atom-atom di A sedemikian sehingga ai b , maka tunjukkan b = a1 a2 a3 ... ak .

Ujian Akhir Semester

Matematika Diskret

Sutopo / Al. Sutjijana 11 Juni 2007, Closed Book

1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan diferensi : yt +1 = 6 yt - 8 xt + 10 xt +1 = yt + 1 yang memenuhi syarat y0 = 2 dan x0 = 1 . 2. Buktikan identitas berikut :

n n n n n 2n + + + ... + + ... + = 0 1 2 r n n

3. Bentuklah relasi rekurensi yang sesuai untuk nilai determinan n x n berikut. Kemudian selesaikan relasi rekurensinya !

2

2

2

2

2

Catatan. Jika k1 = + i dan k2 = - i merupakan akar-akar kompleks dari persamaan karakteristik persamaan homogen suatu relasi rekurensi maka penyelesaian homogennya adalah

an = A1 ( + i ) + A2 ( - i ) = B1 n cos n + B2 n sin n

n n

dengan = 2 + 2 , = arctan , B1 = ( A1 + A2 ) , dan B2 = ( A1 - A2 ) i

4. Dengan cara yang sama seperti pada saat menurunkan rumus generating function untuk Fibonacci Number, tentukan generating function untuk : a) H ( n ) , dengan H ( n ) = 2 H ( n - 1) - H ( n - 2 ) , H ( 0 ) = 0, H (1) = 1 b) G ( n ) , dengan G ( n ) = 3G ( n - 1) + 4G ( n - 2 ) , G (1) = G ( 2 ) = 1

Ujian Tengah Semester

Peng. Statistika Matematika

Dr. Sri Haryatmi 28 Maret 2007, Open Rumus 1 lembar HVS

1. x1 & y variabel random kontinu dengan pdf bersama

f ( x, y ) = k ( x + y )

0 x y 1

a) b) c) d)

Cari k supaya f ( x, y ) pdf bersama Cari CDF F ( x, y ) Hitung E ( x / y ) Hitung Var( y / x)

2. Hitung MGF dari Distribusi Normal N µ , 2 dan Distribusi Gamma ( , k )

(

)

Cari var (x) untuk kedua distribusi tersebut 3. X 1 , X 2 ,..., X n independen Normal berturut-turut dengan mean µi dan variansi i 2 ( X - µi ) Cari pdf dari Y = i

i

4. X 1 , X 2 , X 3 independen gamma Xi G (1, i )

Yi = X i

3

i = 1, 2,3

X

j =1

3

j

,

i = 1, 2

Y3 = X j

j =1

Cari pdf bersama Y1 , Y2 , Y3 Cari pdf Yk = X i , k = 2, 3

i =1 k

Ujian Akhir Semester

Peng. Statistika Matematika

Dr. Sri Haryatmi 6 Juni 2007, Open Rumus 1 lembar HVS

1. Sampel random X 1 , X 2 ,..., X n berasal dari pdf Normal dengan mean µ dan variansi 2 . a) Turunkan distribusi dari X b) Turunkan distribusi dari X/- µ n 2. Untuk sampel random berukuran n dari distribusi exp ( ) a) Tunjukkan bahwa

2nX

berdistribusi X 2 ( 2n )

b) Buktikan sifat memoryless P ( X > t + b | X > b ) = P ( X > t ) c) Cari median X

3. Gunakan metode MLE untuk mencari estimator parameter dalam distribusi Normal, kemudian turunkan apakah estimator tersebut mempunyai sifat tak bias?

4. Tulis dan buktikan Teorema Limit Sentral!

5. Variabel Random Y berdistribusi Binomial(n,p). Konstruksikan interval konfidensi untuk p!

Ujian Tengah Semester

Aljabar Linear

Ari Suparwanto 27 Maret 2007, Closed Book

1. Misalkan T : P 1 2.

2

adalah fungsi yang didefinisikan dengan rumus

T ( p ( x) ) = ( p (0), p (1) )

a. b. c. d. e.

Tentukan T (1 - 2 x ) ! Tunjukkan bahwa T adalah Transformasi Linear! Tentukan basis dari range T ! Tunjukkan bahwa T injektif ! Tentukan T -1 ( 2,3) !

3. Misalkan S basis untuk ruang vektor V berdimensi n. Tunjukkan a.

{v1 , v2 ,..., vr }

bebas linear di V jika dan hanya jika

{( v ) , ( v )

1 s

1 s 2 s

2 s

,..., ( vr ) s }

bebas linear di n ! b. {v1 , v2 ,..., vr } membangun V jika dan hanya jika membangun

n

{( v ) , ( v )

,..., ( vr ) s }

!

4. Tentukan basis untuk ruang bagian dari P2 yang dibangun oleh {1 + x, x 2 , -2 + 2 x 2 , -3x} . 5. Diberikan V = (1, x ) x

{

} dengan operasi :

dan k . (1, y ) = (1, ky ) dengan k !

(1, y ) + (1, y ') = (1, y + y ')

Selidiki apakah V dengan operasi tersebut merupakan ruang vektor atas

Ujian Akhir Semester

Aljabar Linear

Ari Suparwanto 5 Juni 2007, Closed Book

1. a. b.

Misalkan A dan B matriks bujursangkar yang berukuran sama. Buktikan A dan B similar jika dan hanya jika A - I dan B - I similar. Dengan menggunakan pernyataan pada bagian a., selidiki similaritas dari matriks :

1 0 0 1 1 0 A = -1 1 1 dan B = 0 1 0 -1 0 2 0 0 2

2. Misalkan M 2 x 2 (

)

adalah ruang vektor dari semua matriks berukuran 2x2 atas

.

Didefiniskan transformasi linear T : M 2 x 2 (

) M 2x2 ( )

yaitu T ( X ) = AXB , dengan :

1 2 2 1 A= dan B = 0 4 -1 3

Hitunglah trace dan determinan dari T !

3. Misalkan V = P3 adalah ruang vektor dari semua polinomial berderajat 3 atas

U = a + b ( x - x 2 ) a, b

{

} dan W = {c (1 + x ) + dx

,

3

c, d

}

Selidiki apakah U W atau bukan !

4. Ditinjau 4 sebagai ruang inner produk Euclid. Tentukan basis ortonormal untuk yang memuat vektor v1 = ( 1 , 1 , 1 , 1 ) sebagai salah satu vektor dalam basis 2 2 2 2 ortonormalnya!

4

Ujian Tengah Semester

Kalkulus Multivariabel II

Prof. Dr. Soeparna Darmawijaya 28 Maret 2007, Closed Book

1. a.

Persamaan umum bidang datar di dalam ruang n dengan vektor arah = (1 , 2 ,..., n ) adalah , x = . Carilah nilai agar bidang datar tersebut melalui titik y = ( y1 , y2 ,..., yn ) Carilah persamaan luasan bola di dalam ruang = (1, -2,1, 2 ) dan berjari-jari 4.

n

b.

yang memiliki titik pusat

2. Buktikan bahwa fungsi f = ( f1 , f 2 ,..., f n ) dari

xa

ke

n

mempunyai limit

x a

c = ( c1 , c2 ,..., cn ) untuk x a . Jadi lim f ( x) = c jika dan hanya jika lim f k ( x) = ck untuk k = 1, 2,..., n .

sin 2 x - x 3. Jika f ( x) = , e - 1, tan x dengan x [ -1, 2] , x a) Hitung lim f ( x) !

x 0

b) Cari titik-titik diskontinu dan titik-titik kontinu fungsi f ( x) tersebut! 4. Jika F ( x, y ) = ( 2 xy - x 2 , y 2 - 4 x ) , P = (0, 0), Q = (1, 2), R = (1, 0) , hitung nilai integral

garis c F .d r jika c memiliki persamaan :

P

Q

a) Poligon yang menghubungkan P ke R ke Q b) y = 2 x c) y = 2 x 2

Ujian Akhir Semester

Kalkulus Multivariabel II

Prof Dr. Soeparna Darmawijaya 6 Juni 2007, Closed Book

Kerjakan 5 dari 7 soal dibawah ini !

1. Jika V1 = , x - = 0 dan V2 = , x - = 0 dua persamaan bidang datar di dalam ruang n , maka berkas bidang datar yang dibentuk adalah V1 + V2 = 0 ( suatu parameter) V1 = 0 dan V2 = 0 disebut anggota pokok dan garis perpotongannya disebut garis pokok. Buktikan bahwa : a) Setiap nilai menentukan suatu anggota dan setiap anggota menentukan satu nilai . b) Setiap y n dilalui oleh tepat satu anggota. c) Setiap anggota memuat garis pokok. 2. Jika persamaan f : n mempunyai derivatif di titik a buktikan bahwa setiap fungsi komponennya mempunyai derivatif di a pula dan sebaliknya. Lebih lanjut df df df df buktikan pula ( a ) = 1 , 2 ,..., n ( a ) . dt dt dt dt

2 3. Jika kurva C mempunyai persaman r = r (t ) = t , t 2 , t 3 carilah kelengkungan, puntiran, 3 T , N , B di suatu titik. 4. Jika R merupakan bagian luasan parabolaida 2z = x 2 + y 2 yang terletak di bawah bidang datar z = 2 dan F = F ( x, y, z ) = ( 2 y, - xz, yz 2 ) , hitung nilai integral luasan

× F · ndS .

R

5. Jika V benda (daerah) dengan batas-batas bidang-bidang datar x = 0, y = 0, z = 0 dan 2 x + 2 y + z = 6 , R1 luasan kulit benda tersebut dan F = F ( x, y, z ) = ( 2 xy + z , y 2 , - ( x + 3 y ) ) hitung nilai integral luasan

F · ndS .

R1

6. Jika F = F ( x, y, z ) = ( 3xy, -5 z ,10 x ) dan C persamaan r = r (t ) = ( t 2 + 1, 2t 2 , t 3 ) , hitung nilai integral garis c F .d r dengan P = (2, 2,1), Q = (5,8,8) .

P Q

7. Diketahui F = F ( x, y, z ) = ( 3xy + z 3 , x 2 ,3xz 3 ) a) Buktikan bahwa integral garis c F .d r , dengan P = (1, -2,1), Q = (3,1, 4) , bebas

P Q

lintas. b) Jika F mempunyai fungsi skalar potensial, carilah fungsi tersebut! c) Hitung nilai integral garis fungsi tersebut!

Ujian Tengah Semester

Kalkulus Lanjut

Yusuf dan Lina Aryati 28 Maret 2007, Closed Book

1. Diberikan fungsi f : [ a, b ]

terbatas. Jika untuk setiap > 0 , terdapat partisi P pada

[ a, b ] sedemikian sehingga U ( f , P ) - L ( f , P ) < , maka f terintegral Riemann pada [ a, b ] . Buktikan!

2. Diberikan fungsi :

x2 , 0 x <1 x =1 3, f ( x) = - x + 2, 1 < x 2 2, 2< x3

dan partisi P = {0,1 - h,1 + h, 2 - h, 2 + h,3} . a) Hitung U ( f , P ) - L ( f , P ) b) Apakah f terintegral Riemann pada [ 0,3] ? Jelaskan alasannya! 3. Diberikan fungsi f : [ a, b ] terbatas. Jika f turun monoton pada [ a, b ] maka f

terintegral Riemann pada [ a, b ] . Buktikan ! 4. Diberikan fungsi f : [ a, b ]

x

terbatas. Fungsi f terintegral pada [ a, x ] untuk setiap

x b dan F ( x) = f (t ) dt , x [ a, b ] .

a

Jika f kontinu di x0 , maka F '( x0 ) ada dan F '( x0 ) = f ( x0 ) . Buktikan!

Ujian Akhir Semester

Kalkulus Lanjut

Yusuf dan Lina Aryati 15 Juni 2007, Closed Book

1. Diberikan fungsi f : [ -2,3]

dengan rumus :

2 - t 2 , -2 t < -1 f ( x) = t + 3, -1 t 2 2t + 1, 2<t 3 Jika F ( x) =

-2

f (t ) dt ,

x

x [ -2,3] , tentukan :

a) Rumus F ( x0 ) secara eksplisit b) F '( x0 ) 2. Diberikan deret suku positif

a

n =1

n

. Jika lim

an +1 = r , dengan r < 1 , buktikan bahwa n a n

a

n =1

n

konvergen!

3. Tentukan kovergensi / divergensi deret : a.

n =1

2n

(n

2

+ 1)

3

b.

2

10

n =1

k!

3k

4. Tentukan jari-jari dan interval konvergensi deret : a.

( -1)

n =1

n

x n +1 2n ( 3n + 1)

b.

n =1

( x - 5)

n 2 4n

n

5. Hitung nilai Integral : a) b)

t ( ln t ) dt

5 8

1

( gunakan subtitusi: ln t = -u )

0

0 2

u du 2-u

Ujian Tengah Semester

Fungsi Variabel Kompleks

Supama 26 Maret 2007, Closed Book

1. Selesaikan persamaan z 4 - 3 + i = 0 2. Tentukan bayangan bidang kompleks oleh pemetaan f ( z ) = z + z + i.z.z . 3. Diberikan fungsi f : D f C , A D f , dan z0 titik limit A. Tuliskan definisi

z z0

lim f ( z ) = L . Berdasarkan definisi tersebut tunjukkan lim

z i

1 = -i . z

4. Jika f kontinu di z0 dan g kontinu di f ( z0 ) , maka tunjukkan bahwa h = g f kontinu di z0 . 5. Hitunglah lim

z 2

z-2 z-2

Ujian Akhir Semester

Fungsi Variabel Kompleks

Supama 4 Juni 2007, Closed Book

1. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut : b) Diketahui P ( z ) = a0 z n + a1 z n -1 + ... + an -1 z + an , n

P ( a + ib ) = 0 , maka P ( a - ib ) = 0 .

a) Bilangan z real atau imajiner murni jika dan hanya jika z , an

()

2

= z2 .

dengan a0 0 . Jika

2. Tunjukkan bahwa u ( x, y ) = 2 x (1 - y ) homogen. Selanjutnya tentukan fungsi analitik

f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) .

3. Jika fungsi f analitik pada suatu domain D dan terdapat bilangan c > 0 sehingga f ( z ) = c , untuk setiap z D , maka tunjukkan f konstan pada D.

Hint: Karena f ( z ). f ( z ) = c 2 maka f ( z ) =

c2 . f ( z)

4. Diketahui f ( z ) =

ez . Hitunglah integral garis c f ( z )dz , jika z4 + z2 C a) C lintasan positif berbentuk segi empat dengan titik-titik sudut 1 ± 2i dan -1 ± 2i . b) C: z + i = 3 arah positif. 2

z-2 pada 0 < z < 1 . Selanjutnya hitung ln (1 - z )

5. Perderetkan secara Laurent f ( z ) =

c f ( z )dz , jika C lingkaran z = 2

C

3

arah positif.

Ujian Tengah Semester

Geometri

Moch. Tari M.Si 29 Maret 2007, Open Book

1. Diketahui LAB garis pada bidang Euclid dengan A = ( 0, 4 ) dan B = (1, 2 ) Jika fungsi f : LAB didefinisikan sebagai :

f ( A + t ( B - A) ) = t B - A

Untuk setiap P = A + t ( B - A ) LAB dengan t

, buktikan bahwa f suatu ruler pada

{

2

, LE , d E } !

2. Dalam bidang Poincare diketahui tiga titik A = ( 0,3) , B = (1, 4 ) , dan C = ( 7, 4 ) Apakah pada bidang tersebut berlaku pernyataan A - B - C ?

3. Diketahui empat titik dalam bidang Taxicab : A = ( 2,1) , B = ( 8, -1) , P = ( -1, 2 ) , dan Q = ( 2,3) Tentukan titik R PQ sehingga PR Bagaimana jika titik R QP ?

AB !

Ujian Akhir Semester

Geometri

Moch. Tari M.Si 7 Juni 2007, Open Book

1. Diketahui segiempat ABCD di bidang Moulton dengan : A = ( -2,1) , B = ( 4,5 ) , C = ( 4,1) , dan D = ( 2, -1) Tentukan garis AB , BC , CD , dan DA ! Kemudian hitung keliling segiempat tersebut !

2. Di bidang Poincare diketahui PQR dengan titik sudut : P = ( 3, 0 ) , Q = ( 4,3) , dan R = ( 5, 0 ) Tentukan vektor singgung di titik P dan R jika 1 = M H ( PRQ ) dan 2 = M H ( RPQ ) Tentukan 1 + 2 !

3. Diketahui l = PQ garis yang melalui titik P dan Q dalam bidang Euclid. Bidang setengah yang ditentukan oleh l didefinisikan :

H + = A

H-

{ = {A

2

( A - P ) , (Q - P )

2

( A - P ) , (Q - P )

} < 0}

>0

Buktikan bahwa H - konveks. Kemudian tentukan bidang H - jika titik P = ( -1, 2 ) dan Q = ( 3, 4 ) !

Semua soal harus disertai gambar yang lengkap !

Ujian Tengah Semester

Peng. Analisis Numerik

Lina Aryati 3 April 2007, Closed Book

1.

cos 2 x ? 1 + sin x b. Fungsi mana yang anda pilih untuk menghitung pendekatan nilai fungsi untuk x mendekati ? Mengapa? 2 c. Fungsi mana yang anda pilih untuk menghitung pendekatan nilai fungsi untuk x mendekati 3 ? Mengapa? 2 a. Apa yang anda dapat simpulkan tentang fungsi f ( x) = 1 - sin x dan g ( x) = a. Misalkan P ( x) merupakan interpolasi linear yang melewati dua data ( xo , f ( xo ) ) dan 1

2.

( x1 , f ( x1 ) ) . Jika

f ' dan f '' ada dan kontinu pada [ x0 , x1 ] , maka terdapat dengan

x0 < < x1 sehingga e( x) = f ( x) - P ( x) = 1

x [ x0 , x1 ] . Buktikan!

( x - x0 )( x - x1 ) f ''( ) , untuk setiap

2!

b. Diberikan data yang berasal dari f ( x) = ln x berikut x f(x) 0.1 -2.303 0.2 -1.609 0.4 -0.916

Tentukan polinom berderajad dua yang menginterpolasi data diatas. Kemudian gunakan untuk menghitung nilai pendekatan dari ln (0,3). Dengan menghitung f '''(0, 25) , tentukan nilai pendekatan untuk e ( 0,3) !

3. Dengan menggunakan metode Bisection sebanyak 4 langkah (n = 4), tentukan nilai pendekatan untuk pembuat nol fungsi f ( x) = x3 - 4 x + 1 yang terletak di antara 0 dan 1.

4. Nilai pendekatan T2 ( f ) =

f ( x)dx

a

b

dapat dihitung dengan metode Trapezium

b-a [ f (a) + f (b)] 2 Uraikan dengan lengkap cara mendapatkan rumus T2 ( f )

Ujian Akhir Semester

Peng. Analisis Numerik

Lina Aryati 12 Juni 2007, Closed Book

1. a. Buktikan bahwa terdapat tepat satu polinom berderajad n yang menginterpolasi (n+1) data. b. Diketahui hasil running program dengan suatu metode sebagai berikut: h Nilai Mutlak Error 1/4 0.5948 1/16 0.1544 1/64 0.0389 Berapakah perkiraan orde error dari metode yang digunakan? Mengapa?

2. a. Jika f analitik dan nilai f(x - h), f(x + h), dan f(x - 2h) diketahui, tentukan rumus pendekatan untuk f ''( x) dengan metode koefisien tak tentu. Berapakah error pendekatannya? b. Dengan menggunakan hasil a., hitung nilai pendekatan untuk f ''(0.5) jika diketahui data berikut: 0.4 0.5 0.6 0.7 x 0.737 0.794 0.843 0.888 f(x)

3. a. Diketahui rumus pendekatan differensi berikut : - f ( x + 3h) + 9 f ( x + h) - 8 f ( x) (1) f '( x) = Dh f ( x) = , 6h 1 (1) dengan error eh f ( x) h 2 f ''( x) . Lakukan analisis sensitivitas nilai fungsi terhadap 2 error dari rumus pendekatan tersebut. b. Diketahui f ( x) = ln(1 - x) . Jika nilai pendekatan untuk f '( 1 2 ) dihitung dengan rumus pendekatan pada a., dan nilai f dihitung sampai dua angka di belakang koma, tentukan nilai h * sehingga untuk h < h * batas errornya mulai membesar.

4. Diketahui Masalah Nilai Awal: Y , Y (0) = 1 x +Y2 Hitung pendekatan untuk Y(1,5) menggunakan metode Runge-Kutta order dua dengan h = 0,5 Y '( x) = -

Ujian Tengah Semester

Peng. Teori Bilangan

Budi Surodjo 3 April 2007, Open Book

Catatan: Kalau berani kerjakan dahulu soal yang sulit 1. Diberikan sistem bilangan asli

(

, +)

a) Bilamana dapat terjadi 0 > 1 ? Beri alasan secara jelas. b) Kenapa 1+1 = 2? 2. Diberikan sistem bilangan asli buktikan n | m atau ( p, q 3. Di dalam sistem bilangan asli P ={p | ( n

( , +, ) . Jika m, n dan ) . ( n = pm + q 1 q < n )

mn,

(

, +, ) dibentuk himpunan

)( n | p n = p

n = 1)}

Tunjukkan : a) P bukan himpunan kosong b) 1 P dan ( n ) .1 + 1 n c)

( n ) ( n 1 ( p1 ,..., pk P ) .n = p1 p2 ... pk )

Ujian Akhir Semester

Peng. Teori Bilangan

Budi Surodjo 12 Juni 2007, Open Book

1. Diberikan S himpunan tidak kosong dilengkapi dengan operasi biner *: S × S S yang memenuhi : a. b. c. d.

( e1 S )( s S )( s * e1 e1 ) ( e2 S )( r , s S )( r * e2 = s * e2 r = s ) ( e3 S )( r , s S )( (s * r )* e3 = s *(r * e3 ) ) ( G S ) ( e1 , e2 , e3 G ( s G s * e1,2,3 G ) G = S )

Apakah S dapat membentuk sistem bilangan asli? Jelaskan jawaban anda! 2. Diketahui S × S = (n, m) n, m S dengan ( S , + S , ×S ) sistem bilangan asli dan

{

}

( n, m ) = {( k , l ) S × S k + S m = n + S l}

2.1. Tunjukkan bahwa ada sistem S × S , + S ×S , ×S ×S yang membentuk perluasan

(

)

( S , + S , ×S ) !

2.2. Ada berapa banyak pasangan

(( n, m ), ( k , l )) yang memenuhi

( n, m ).( k , l ) = ( n, m ).(11,1) + (13,1).( k , l ) + ( m + 1, m ).( l + 1, l )

Catatan: Notasi × disingkat dengan .

3. Diketahui P × P - ( m, m ) = 3.1.

( {

S ×S

}) {( n, l ) n P, l P - {( m, m )}} dengan P = S × S .

( )

Tunjukkan bahwa ada sistem P × P, + P× P , ×P×P yang membentuk perluasan

(S × S, +

, ×S ×S .

Q

)

3.2.

Jika Q = P × P dan bahwa

(( m, k ), ( p, q )) ((1 + 1,1), ( q + 1, q )) , buktikan (( m, k ), ( p, q )) + (( p, q ), ( m, k )) ((3,1), ( k + 1, k ))

Q

3.3.

Buatlah suatu sistem yang merupakan perluasan dari sistem Jelaskan prosesnya!

( P × P, +

P× P

, × P× P .

)

Ujian Tengah Semester

Masalah Syarat Batas

Moch. Tari M.Si 29 Maret 2007, Open Book

1. Tentukan Integral Fourier Sinus dan Cosinus untuk fungsi

f ( x) = x 4 e

-x

2

2. Fungsi f didefinisikan : , - < x < 4sin x f ( x) = , x < - dan x > 0 Ditanyakan : a. Integral Fourier Fungsi itu b. Dengan menggunakan hasil pada a. dan kovergensinya di x = , perlihatkan 1 bahwa sin 2 d = 0 2 1- 0

3. Tentukan penyelesaian masalah syarat batas semi infinit berikut: i. ii. iii. U t = 1 U xx 4 , 0 < x < , t > 0 , t>0 , 0< x<

U ( 0, t ) = 0

U ( x, 0 ) = 0, 004

Ujian Akhir Semester

Masalah Syarat Batas

Moch. Tari M.Si 7 Juni 2007, Open Book

1. Selesaikan BVP untuk vibrasi membran berikut: U tt = U xx + U yy

U t ( x, y , 0 ) = 0 U ( x, y, 0 ) = 0, 25 xy

; 0 < x <, 0 < y <, t > 0 ; t0 ; 0 < x <, 0 < y < ; 0 < x <, 0 < y <

U ( 0, y, t ) = U ( , y, t ) = U ( x, 0, t ) = U ( x, , t ) = 0

2. Diketahui BVP berikut: Ytt = 1 Yxx 4 ; 0 < x < , t > 0 ; t0 ; 0< x< 1 -3 2 xe 32 ; 0< x<

Y ( 0, t ) = 0

Yt ( x, 0 ) = 0

Y ( x, 0 ) = f ( x ) =

Tentukan penyelesaiannya, kemudian tentukan Y ( x, t ) jika syarat terakhir diganti dengan f ( x) = 1 (1 - e- x ) 2 ; 0< x<

Ujian Tengah Semester

Peng. Teori Kendali

Dr. Salmah M.Si 2 April 2007, Open Book

1. Diberikan sistem dengan persamaan s =u Diambil state x1 = s dan x2 = s a. Tentukan persamaan bentuk state space sistem! b. Desain observer sedemikian sehingga pole observer terletak di -1 ± i ! c. Berikan persamaan sistem observer! 2. Pandang sistem -6 28 3 x= x + u -2 2 1

y = (1 -14 ) x

a. Buatlah desain umpan balik dengan pole system terletak di -1 dan -2! b. Buatlah desain observer dengan pole observer terletak di -1 ± i ! c. Buatlah gabungan desain umpan balik dan observer dengan pole terletak seperti pada soal a. dan b.! d. Berikan persamaan sistem setelah diberi umpan balik dan dibangun observer! 3. Diberikan sistem dalam bentuk state space -1 1 2 x= x + u 0 2 0 a. Tunjukkan bahwa sistem tidak teramati! b. Selidiki sub ruang teramati sistem tersebut! c. Apakah sistem dapat distabilkan? 4. Diberikan sistem -1 0 2 1 x = 0 -3 0 x + 1 u 1 0 0 0 a. Tunjukkan bahwa sistem tidak stabil! b. Tunjukkan bahwa sistem dapat distabilkan! c. Hitunglah kendali umpan balik u = Fx sedemikian sehingga pole sistem terletak di -1, -2, dan -3! d. Tunjukkan bahwa sistem tidak teramati! e. Apakah sistem detectable? Jelaskan jawaban anda!

Ujian Akhir Semester

Peng. Teori Kendali

Dr. Salmah M.Si 11 Juni 2007, Closed Book

1. Diberikan sistem yang memenuhi 1 0 0 x = Ax + Bu dengan A = , B = -0,16 -1 1 a. Selidiki apakah sistem terkendali! b. Jika sistem dapat dikendalikan carilah umpan balik sedemikian sehingga pole sistem terletak di µ1,2 = -1 ± i ! c. Diberikan y = (1 0 ) x . Apakah sistem teramati? d. Jika dapat buatlah desain observer yang menempatkan pole sistem di 1,2 = -1 ± i !

2. Diberikan sistem yang memenuhi -1 0 2 1 x = Ax + Bu dengan A = 0 -3 0 , B = 1 , y = Cx dengan C = (1 0 0 ) 1 0 0 0 a. Apakah sistem stabil? b. Apakah sistem dapat distabilkan? c. Dapatkah menempatkan pole sistem di -1, -2, dan -3? Jika dapat hitunglah kendali umpan baliknya!

3. Selidikilah masalah kendali optimal berikut apakah mempunyai penyelesaian. Jika mempunyai penyelesaian optimal tentukan penyelesaian optimal tersebut. Minimalkan : a. b.

-2 x (t ) - 2 u

2 0 1 2 2 0

1

1

2

(t ) dt yang memenuhi x(t ) = -2 x(t ) + u (t ), x(0) = x0

{2 x (t ) - u (t )} dt yang memenuhi x(t ) = 2 x(t ) + u(t ), x(0) = x

1

0

4. Diberikan sistem yang memenuhi 0 1 0 x = Ax + Bu dengan A = , B = . 0 0 1

1 0 Akan diminimalkan fungsi objektif J = ( xT Qx + u 2 ) dt , dengan Q = . 0 2 0

a. b. c. d.

Tentukan persamaan aljabar Riccatinya! Carilah solusi persamaan aljabar Riccati! Carilah kendali optimal steady state! Tentukan sistem lingkar tertutupnya dan selidiki kestabilannya. 1 e. Jika x0 = , tentukan rumus x(t ) untuk respon sistem lingkar tertutupnya. 1 Kemudian tentukan x(5)!

Ujian Tengah Semester

Teori Himpunan

Budi Surodjo 27 Maret 2007, Closed Book

Catatan: Kalau berani kerjakan dahulu soal yang sulit 1. Diberikan dua himpunan A dan B. 1.1 Benarkah A B A jika dan hanya jika B A ? Jelaskan! 1.2 Jika AB = { f | f : B A} himpunan denumerabel, apakah yang anda ketahui tentang A dan B? jelaskan!

2. Ceritakan dan beri penjelasan: 2.1 Manfaat teori himpunan pada bidang statistika ?! 2.2 Manfaat teori himpunan pada bidang ilmu komputer ?!

3. Untuk sebarang himpunan H didefinisikan

P (H ) = {X | X H }

3.1 Apa yang anda ketahui tentang P () ? Jelaskan! 3.2 Jika K himpunan, apakah P ( H × K ) P ( H ) × P ( K ) ? Jelaskan! 4. Diketahui = {1, 2,3,...} . Himpunan A hingga, jika A = atau ( n ) . A {1, 2,3,..., n} . Himpunan A tak hingga jika

( B A)( A B B A)

Buktikan: 1. Jika ( n

) .A

{1, 2,..., n} , maka A = atau A tak hingga.

2. A hingga jika dan hanya jika tak benar A tak hingga!

Ujian Akhir Semester

Teori Himpunan

Budi Surodjo 5 Juni 2007, Closed Book

1. Diberikan fungsi f : A B dan fungsi g : B C . a. Tentukan syarat agar f g terdefinisi! b. Jika g f injektif, apakah selalu g dan f keduanya injektif? Beri alasan! 2. Diketahui A dan adalah himpunan semua bilangan real. Notasi C ( B) menyatakan kardinalitas himpunan B. 2.1. Apakah selalu berlaku C ([ 0,1]) = C ( ) ? Jelaskan! 2.2. Definisikan C ( A) - C ( B) ! 2.3. Apakah C ( D) ( C ( A) - C ( B) ) = C ( D)C ( A) - C ( D)C ( B) ? Jelaskan!

3. Sekelompok anak akan bermain kelereng. Mereka meletakkan 27 kelereng ke dalam atau pada suatu segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1 meter. Jari-jari setiap kelereng 1 cm. Setiap kelereng paling luar terletak pada segitiga dengan pusat kelereng tepat pada sisi segitiga. Buktikan bahwa terdapat paling sedikit dua kelereng yang berjarak paling jauh 18 cm!

4. Diketahui { Ai i = 1, 2,3,..., n} adalah koleksi himpunan-himpunan hingga. Apakah benar

C ( Ai ) = C ( Ai ) -

i =1 i =1 n n i1 ,i2 1

C(A

n

i1 Ai2 ) +

i1 ,i2 ,i3 1

n

C ( Ai1 Ai2 Ai3 )

-

i1 ,i2 ,i3 ,i4 1

n

C ( Ai1 Ai2 Ai3 Ai4 ) + ... +

(-1) n C ( A1 A2 ... An ) dengan i j ik untuk setiap i k ? Jika ya, buktikan!

Ujian Tengah Semester

Peng. Teori Modul

Sri Wahyuni, M.S, DR, Prof. 27 Maret 2007, Closed Book

1. Misalkan M adalah modul atas Ring R, dan S1 serta S2 adalah submodul-submodul dalam M. a) Tunjukkan S1 S2 juga submodul di M b) Tunjukkan S1 + S2 juga submodul di M c) Tunjukkan S1 S2 belum tentu submodul di M d) Tunjukkan S1 + S 2 = S1 S 2 e) Sudah diketahui bahwa akan terbentuk 4 modul faktor

( S1 + S2 )

S1

,

( S1 + S2 )

S2

,

S1

( S1 S2 )

,

S2

( S1 S2 )

Terangkan hubungan-hubungan yang mungkin diantara keempat Modul Faktor tersebut. Jelaskan!

(Nilai: 50)

2. Misalkan V adalah ruang vektor atas F. Sudah kita ketahui bahwa akan terbentuk Ring Suku Banyak F[x]. Misalkan juga T adalah Transformasi Linear dari V ke V. a) Tunjukkan bahwa V merupakan modul atas F[x] terhadap operasi sebagai berikut: p( x) v = p(T )(v)

p( x) F [ x] dan v V

b) Jika diambil V = 3 dan T : x1 0 x1 T x2 = x1 , x2 3 x x x 3 2 3

3

3

dengan definisi

Deskripsikan Modul V atas F[x] melalui Transformasi Linear T seperti pada soal a) di atas!

(Nilai: 50)

Ujian Akhir Semester

Peng. Teori Modul

Sri Wahyuni, M.S, DR, Prof. 5 Juni 2007, Closed Book

1. Misalkan M1 dan M2 masing-masing adalah Modul atas Ring Komutatif R dengan elemen satuan 1R. Selanjutnya dibentuk himpunan M 1 × M 2 = ( m1 , m2 ) m1 M 1 , m2 M 2

{

}

dan operasi jumlahan + pada M 1 × M 2 ,yaitu untuk setiap ( m1 , m2 ) , ( m1 ', m2 ' ) M 1 × M 2 didefinisikan :

( m1 , m2 ) + ( m1 ', m2 ') = ( m1 + m1 ', m2 + m2 ')

Perintah a.) Tunjukkan secara singkat bahwa M 1 × M 2 merupakan Grup Abelian!

Selanjutnya, jika r R dan ( m1 , m2 ) M 1 × M 2 didefinisikan operasi skalar) sebagai berikut :

r

(pergandaan

( m1 , m2 ) = ( rm1 , rm2 )

diatas!

Perintah b.) Tunjukkan M 1 × M 2 merupakan Modul atas Ring R terhadap operasi

2. Diketahui Modul M atas Ring Komutatif R dengan elemen satuan 1R. Selanjutnya dibentuk himpunan End R ( M ) = { f : M M f homomorfisma modul} Pada End R ( M ) didefinisikan operasi + dan i. ii. sebagai berikut.

Untuk setiap f , g End R ( M ) dan untuk setiap m M f + g adalah fungsi dari M ke M dengan definisi ( f + g ) (m) = f (m) + g (m) f g adalah fungsi dari M ke M dengan definisi ( f g ) (m) = f ( g (m))

Perintah a.) Tunjukkan secara singkat bahwa End R ( M ) adalah Ring dengan elemen satuan!

Selanjutnya didefinisikan operasi pergandaan skalar antara f End R ( M ) dan m M sebagai berikut :

f m = f ( m)

Perintah b.) Tunjukkan bahwa M merupakan Modul atas Ring End R ( M ) terhadap operasi

pergandaan skalar

diatas!

3.

dapat dipandang sebagai Hitunglah :

8

-Modul dan juga dapat dipandang sebagai

8

-Modul.

a) b)

c) Annihilator 2 jika d)

{} Annihilator {2} jika

( 8 )T ( 8 )T

jika jika

8 8

= =

-Modul

8

-Modul

8

= =

-Modul

8

8

-Modul

Ujian Tengah Semester

Peng. Topologi

Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS 29 Maret 2007, Closed Book

1. Diberikan

= {1, 2,3,...} dan didefinisikan

En = {n, n + 1, n + 2,...} , untuk n Dibentuk keluarga himpunan bagian = {Ø} { En | n } Buktikan topologi pada !

sebagai berikut :

2. Jika ( X , ) ruang topologi, A X dan A himpunan semua titik interior A, buktikan: a. A terbuka b. A himpunan terbuka terbesar yang termuat dalam A 3. Untuk setiap ruang topologi ( X , ) dan A, B X buktikan : a. A B = A B b. A B A B dan tidak berlaku sebaliknya 4. Jika X = {a, b, c, d , e} buktikan S = {{a, b},{b, c},{e, d },{d , e}} Merupakan subbasis untuk suatu topologi pada X. Tentukan juga topologinya.

5. Dalam ruang topologi biasa

( , )

buatlah liput terbuka untuk interval [ -2,1) yang tidak

memuat liput terbuka berhingga.

Ujian Akhir Semester

Peng. Topologi

Dr. YM Sri Daru Unoningsih, MS 7 Juni 2007, Closed Book

1. Jika 1 , 2 ,..., n topologi pada himpunan tak kosong X, buktikan 2. Diberikan ruang topologi biasa

1 A = n n Tentukan A

i =1

n

i

topologi pada X !

( , )

dan himpunan

1 3 - n n , A ', A, b( A), dan ext ( A)

3. Diberikan ruang topologi ( X , ) , himpunan K kompak di dalamnya dan F K dengan F tertutup. Buktikan F kompak! 4. Jika ( X , ) ruang topologi terhubung dan fungsi f : X Y kontinu pada X, buktikan f(x) terhubung.

5. Buktikan setiap ruang T4 pasti ruang T3 dan setiap ruang T3 pasti ruang Hausdorff.

Ujian Tengah Semester

Peng. Teori Ukuran & Integral Umum

Ch. Rini Indrati 3 April 2007, Closed Book

I. JAWABAN SINGKAT

1. Berikan pengertian himpunan E

terukur Lebesgue!

2. Diketahui X himpunan tidak kosong dan A Aljabar - pada X i. Kapan A X terukur? ii. Berikan pengertian ukuran µ pada ruang terukur ( X , A ) ! iii. Berikan pengertian fungsi f : X terukur - µ ! iv. Berikan pengertian fungsi sederhana pada X! v. Berikan pengertian SIFAT P berlaku hampir dimana-mana pada E X ! 3. Diberikan ruang ukuran ( X , A , µ ) dan f fungsi terukur non negatif pada X. Berikan pengertian

II. ESSAY

f

X

dµ !

1. Diketahui X = {1, 2,3, 4} , A1 = {, X , {1} , {2,3, 4}} , dan A2 = {, X , {2} , {1,3, 4}} . a. Berikan A1 A2 ! b. Selidiki apakah A1 , A2 , maupun A1 A2 aljabar pada X ? 2. Tunjukkan bahwa koleksi semua himpunan terukur Lebesgue di membentuk aljabar!

3. Tunjukkan bahwa jika { f n } barisan fungsi terukur - µ pada ruang terukur ( X , A ) , maka inf f n terukur - µ pada ruang terukur ( X , A ) !

n

3, -1 x < 4 4. Diberikan fungsi f ( x ) = 1, 4 x 5 . Hitunglah 4, 5 < x 7

f ( x ) d µ ( x ) , dengan E = [ -1, 7]

E

dan µ ukuran Lebesgue pada ! 5. Diberikan ruang ukuran ( X , A , µ ) dan f fungsi terukur non-negatif pada X. Jika f = 0 hampir di mana-mana pada X, tunjukkan bahwa

f

X

dµ = 0!

Information

Microsoft Word - All basic 2007 Genap.doc

39 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

282003


You might also be interested in

BETA
Microsoft Word - All basic 2007 Genap.doc