Read repm2.pdf text version

Örjan Dammert 2003-02-24

Mekanik II Formelsamling

(För mer utförliga beskrivningar av formlernas innebörd och tillämplighet, se föreläsningsanteckningar /lärobok)

Icke-inertialsystem

Mekanikens lagar gäller endast i inertialsystem . För inertialsystemen gäller att de rör sig relativt varandra med konstant hastighet, och utan att rotera relativt varandra. Rörelsekvationerna för en partikel kan dock skrivas relativt ett icke-inertialsystem S på följande sätt: m arel = F + F fiktiv (Liknar Newtons andra lag)

I ekvationen är F = summan av alla de verkliga krafter som påverkar partikeln , och F fiktiv = - mR - m × r - 2m × v rel - m × ( × r ) , vilket är summan av alla tröghetskrafter som verkar på partikeln. Två av tröghetskrafterna har välkända namn: - 2m × v rel kallas Corioliskraften, och - m × ( × r ) centrifugalkraften. Ovan betecknar den rotationsvektor som beskriver S systemets rotationsrörelse relativt ett inertialsystem. Vidare betyder r , v rel och arel partikelns lägevektor, hastighet respektive acceleration relativt koordinatsystemet S . För en partikels rörelse nära en punkt P på jordytan kan följande rörelseekvationer vara användbara i ett koordinatsystem, fixt relativt jorden, med origo i punkten P: m arel = mg + K - 2 m × v rel , där mg = mg 0 - m × ( × R ) Den effektiva tyngdkraften mg är riktad längs lodlinjen genom punkten P . Kraften K är summan av alla verkliga krafter (utom den rena gravitationskraften mg 0 ) som verkar på partikeln. är jordens rotationsvektor, och R lägevektorn för punkten P räknat från jordens centrum.

Stel kropps allmänna rörelse

För en stel kropp som roterar kring en fix punkt P med rotationsvektorn gäller att rörelsemängdsmomentet m.a.p. punkten P ges av LP = I P där I P =

( r

2

1 - r r dm

)

kallas kroppens tröghetstensor i punkten P.

( y + z ) dm P I yy = ( x 2 + z2 ) dm P I zz = ( x 2 + y 2 ) dm

I xx =

P 2 2

= = =

kroppens tröghetsmoment m.a.p. x-axeln kroppens tröghetsmoment m.a.p. y-axeln kroppens tröghetsmoment m.a.p. z-axeln

I xy = - x y dm I yz = - y z dm I xz = - x z dm

P P

P

är kroppens tröghetsprodukt i P m.a.p. x - och y - axlarna är kroppens tröghetsprodukt i P m.a.p. y - och z - axlarna är kroppens tröghetsprodukt i P m.a.p. x - och z - axlarna

Tröghetstensorns komponenter bildar en symmetrisk matris , dvs det gäller att I xy = I yx

P P

och

I yz = I zy

P

P

och

I xz = I zx

P

P

Sats: Betrakta en axel genom en godtycklig fix punkt P i en kropp. Axeln är en principalaxel i P L P är parallell med axeln när kroppen roterar kring denna axel genom P . Om två av axlarna i ett kartesiskt koordinatsystem är principalaxlar i origo, så är koordinatsystemet ett principalsystem i origo. Steiners sats: IP

= I MC + M R 2 1 - R R

(

)

där P är en godtycklig punkt , och MC är kroppens masscentrum. Vektorn R är lägevektorn för MC , utgående från punkten P. Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix punkt P ( dvs den i kroppen fixa punkten P är också en fix punkt i rummet ) : Låt xyz-systemet vara ett kartesiskt koordinatsystem fixt i kroppen med origo i punkten P. (Välj gärna som xyz-system ett principalsystem i punkten P ). För att använda momentlagen m.a.p. P , dvs L P = NP , på ett sådant sätt som framgångsrikt möjliggör beräkning av kroppens rotationsrörelse , använder vi

O det kinematiska sambandet LP = LP + × LP , samt uttrycket LP = I P . Momentlagen ger på detta sätt tre skalära ekvationer som kallas Eulers dynamiska ekvationer.

Motsvarande ekvationer relaterade till kroppens masscentrum MC är L MC = N MC

,

O LMC = LMC + × LMC

och

LMC = I MC

Om det fysikaliska systemet är holonomt, kan följande ekvationer vara användbara för lösning av stötpoblem:

Centralrörelse

Centralkraft ^ F = F(r) r

Två-kropparsproblemet (två kroppar med massorna m och M påverkar varandra med gravitationskraften) kan reduceras till ett problem för en enda mM partikel med den reducerade massan µ = , som rör sig i m+M k ^ centralkraftfältet F = F(r) r , där F = - 2 och k= GmM . r Bankurvans ekvation är i polära koordinater: r = 1 + cos där = 0 motsvarar bankurvans närmaste punkt. I bankurvans ekvation är Bankurvans excentricitet = L2 , och µk 1+ L = r × µv

=

2 E L2 µ k2

För energier E sådana att Vmin < E < 0 gäller att 0 < < 1 , och bankurvan är en ellips. k Ellipsens storaxel = 2a , där a = - 2E Keplers 1:a lag Keplers 2:a lag Keplers 3:a lag Planetbanan är en ellips med solen i ena brännpunkten. Sektorhastigheten är konstant. T2 = 4 2µ 3 a k

1 1 2 L2 1 2 + E = T + U = µ v + U( r ) = µ r + U(r ) = µ r 2 + Veff (r ) 2 2 2 2 2µr Binet´s formel för bankurvan : där u = 1 r R e = 6,37 10 6 m kg 2 1, 495 1011 m Jordens massa M e = 5, 976 10 24 kg d2 u + u = d2 - µ 1 1 F L2 u 2 u ,

Jordradien

2 G = 6,6720 10 -11 Nm

Avståndet mellan jorden och solen =

Analytisk mekanik

Holonomt tvångsvillkor :

f ( q1 , q 2 ,...., q 3N-k , t ) = 0

För ett fysikaliskt system gäller att Antalet generaliserade koordinater = =Antalet frihetsgrader hos systemet = =Antalet oberoende koordinater (som förmår beskriva ett godtyckligt tillåtet läge för systemet, dvs förmår beskriva varje läge som är förenligt med tvångsvillkoren) =Minsta antalet koordinater (som förmår beskriva ett godtyckligt tillåtet läge för systemet, dvs förmår beskriva varje läge som är förenligt med tvångsvillkoren). Lägevektorn r i för den i:e partikeln r i = r i ( q1 , q 2 ,...., q 3N-k , t ) En godtycklig virtuell förflyttning av den i:te partikeln kan uttryckas i virtuella ändringar av de valda generaliserade koordinaterna enligt 3N-k r i q r i = q =1 Generaliserad kraft ri Q = Ka i q i=1

N

Virtuella arbetet A =

N

i=1

Ka i

ri

=

3N-k =1

Q q

Virtuella arbetets princip (ett nödvändigt villkor för jämvikt)

K ai

i=1

N

ri

= 0

Dynamikens fundamentalekvation eller d´Alemberts princip

( K ai

i=1

N

r - m i i r i = 0

)

Lagranges ekvationer för ett holonomt system d T T - = Q dt q q De applicerade krafterna kallas konservativa, om Q kan skrivas V Q = - , där V = V(q) q

Potentialfunktionen V = V(q) kallas den potentiella energin . Lagranges ekvationer för ett holonomt system med konservativa krafter d L L - = 0 dt q q där L = T - V är systemets Lagrangefunktion.

De applicerade krafterna kallas monogena, om Q kan skrivas U d U Q = - + där U = U(q, q, t) q dt q Funktionen U(q, q, t) kallas generaliserad potential. ( Lorentzkraften kan visas vara monogen. En konservativ kraft är ett specialfall av monogen kraft, nämligen en monogen kraft som inte beror av t eller q , = 1,2,..., n , och som därför bara beror av q , = 1,2,..., n) I Lagranges ekvationer kan L bytas ut mot L´ definierat av d L = L + F ( q, t ) , dt där F ( q, t ) är en godtycklig funktion av t och q ( = 1, 2,....,3N - k ) . Definition av den generaliserade rörelsemängden p (den till koordinaten q kanoniskt konjugerade rörelsemängden p ) L p = q En koordinat som inte ingår explicit i uttrycket för Lagrangefunktionen kallas cyklisk , d.v.s. det gäller att q cyklisk L = 0 q

Konserveringslag: Om en koordinat q är cyklisk, så är motsvarande generaliserade rörelsemängd p en rörelsekonstant.

Stötproblem kan behandlas med "Lagranges ekvationer i stötapproximation",

om systemet är holonomt. T T - = q efter q före P

där den generaliserade stötimpulsen

P definieras av

P =

N

i=1

Si

r i q

Men P kan alternativt beräknas (kanske enklare) ur formeln

i=1

S i ri

=

3N-k =1

P q

Små svängningar kring ett stabilt jämviktsläge.

1 2

Genom att göra lämpliga approximationer kan man i fallet små svängningar skriva det fysikaliska systemets kinetiska respektive potentiella energi: T =

µ,=1

n

Tµ q µ q

respektive

V =

1 2

µ,=1

n

Vµ q µ q

där koefficienterna Tµ och Vµ är konstanta. Både T och V ovan är alltså homogena kvadratiska funktioner, i det förra fallet av hastigheterna q och i det senare fallet av lägekoordinaterna q ( =1,2,...,n ). Lagranges ekvationer ger nu

=1 n

( Tµ q

+ Vµ q

)

= 0

µ = 1, 2,..., n

som är ett system av n kopplade linjära ordinära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter. Lösningsansatsen q = a e -i t , = 1, 2,..., n , leder till följande system av n linjära homogena ekvationer i de obekanta talen a1 , a 2 , a3 ,..., a n :

=1

{ Vµ - 2 Tµ } a

n

= 0

µ = 1, 2,..., n

Villkoret för att icke-triviala lösningar till ekvationssystemet ska existera är att determinanten av koefficienterna för a är lika med noll, dvs att det Vµ - 2 Tµ = 0 Specialisering till två frihetsgrader: Lagranges ekvationer blir i detta fall

{

}

T11 q1 + V11 q1 + T12 q 2 + V12 q 2 = 0 T21 q1 + V21 q1 + T22 q 2 + V22 q 2 = 0 Lösningsansatsen q1 = a1 e -i t

q 2 = a 2 e -i t leder till ekv.systemet

(V11 - 2 T11 ) a1 + (V12 - 2 T12 ) a2

= 0

(V21 - 2 T21 ) a1 + (V22 - 2 T22 ) a2

Villkoret för existensen av icke-triviala lösningar blir V11 - 2 T11 V21 - 2 T21 V12 - 2 T12 V22 - 2 T22 = 0

= 0

Denna andragradsekvation har lösningarna 12 respektive 2 2 . Insättning av 12 i ekvationssystemet ger a a 1 = 2 . Insättning av 2 2 ger analogt 2 = 2 a1 a1

1 2

Den allmänna (reella) lösningen till ekvationssystemet kan nu skrivas q1 = A cos (1t + 1 ) + B cos ( 2 t + 2 ) q 2 = 1 A cos (1t + 1 ) + 2 B cos ( 2 t + 2 ) där konstanterna A, B, 1 och 2 kan bestämmas ur begynnelsevillkoren.

Hamiltonformalism

Jacobi´s integral: h =

=1

p q

n

- L

( h är en funktion av q , q och t ) L = 0 ), t

Sats:

Om Lagrangefunktionen inte beror av tiden explicit (dvs om

så är Jacobi´s integral h en rörelsekonstant.

Sats: Om tvångsvillkoren är skleronoma och krafterna konservativa, så gäller att h = T + V, dvs h är lika med systemets totala mekaniska energi. Definition: H = p q

n

- L , uttryckt som funktion av q, p, t kallas

Hamiltons funktion. Det gäller alltså att H = H( q, p, t ). Hamiltons ekvationer: q = H p , p = - H q . Och L H = - t t

=1

Det gäller att

dH H = dt t

Hamiltons princip: Bland alla möjliga banor i konfigurationsrummet, längs vilka systempunkten q kan röra sig från en punkt till en annan inom ett givet tidsintervall, är den verkliga rörelsebanan q(t) den bana för vilken integralen

I = har extremvärde.

t2 t1

L( q, q, t) dt

, där L = T - V

Speciell relativitetsteori

En och samma händelse har koordinaterna (x,y,z,t) i inertialsystemet K, och koordinaterna (x´, y´, z´, t´) i ett annat inertialsystem K´. Systemet K´ har den konstanta hastigheten v relativt K (i x-axelns riktning). Lorentztransformationen ger då sambanden v t - 2x x - vt c x = y´ = y z´ = z t = 2 v2 v 1- 2 1- 2 c c Även x = x + v t v2 1- 2 c y = y´ z = z´ t = t + v x c2 v2 1- 2 c

Lagen om hastigheters addition: ux = Även ux = ux - v vu 1 - 2x c ux + v vu 1 + 2x c uy = uy vu 1 - 2x c uy v u 1 + 2x c uz = uz vu 1 - 2x c uz vu 1 + 2x c

uy =

uz =

Lorentzkontraktionen: En bräda ligger i vila längs x´-axeln i K´-systemet (=brädans vilosystem). Brädans längd i K´-systemet är L o . Brädans längd mätt i K-systemet är L. Det gäller att L = Lo 1 - Tidsdilatationen: Betrakta två händelser som i K´-systemet äger rum på samma plats. (Händelserna kan t.ex. vara att en klocka, som befinner sig i vila i K´-systemet, visar tiden 12.00 respektive 13.00 ). Tidsdifferensen mellan händelserna är i K´-systemet, medan tidsdifferensen i K- systemet är t . Då gäller sambandet v2 c2 (Lorentzkontraktionen)

t =

1- v2 c2

( är den kortaste tidsskillnaden mellan händelserna) En partikels totala energi E= mc 2 u2 1- 2 c u= partikelns hastighet i inertialsystemet

Partikelns kinetiska energi T = E - mc 2 Partikelns rörelsemängd: mu p = u2 1- 2 c Samband mellan E,p,m

( mc 2 kallas partikelns viloenergi )

u = partikelns hastighet i inertialsystemet

(innehåller ej u !)

E = c p2 + m 2c2 För en foton gäller (eftersom m=0 ) att E = pc För en kollision mellan två partiklar, som kan betraktas som isolerade, gäller att Totala energin E bevaras. Totala rörelsemängsmomentet p bevaras. För det fyrdimensionella intervallet mellan två händelser gäller att detta antingen är rumsartat, tidsartat eller ljusartat. Denna egenskap hos händelsepar är oberoende av inertialsystem. Det fyrdimensionella intervallet ds mellan två infinitesimalt närbelägna händelser ges av uttrycket ds = dx 2 + dy 2 + dz2 - c 2 dt 2 där dx, dy, dx, dt är händelsernas koordinatdifferentialer i K-systemet. Låt dx´, dy´, dz´, och dt´ vara kordinatdifferentialerna mellan samma händelser i K´systemet. ds = dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2 Man visar lätt att ds = ds´ dvs. att det fyrdimensionella intervallet är invariant vid Lorentztransformation mellan K och K .

Information

10 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

206204