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12-9-2002

La loi normale

Nino Silverio

Support de cours provisoire pour l'unité de valeur "Mathématiques et statistiques" destiné aux classes du BTS Comptabilité-Gestion de l'ECG.

Définition

La plus importante des distributions de probabilités est la distribution normale ou distribution de Gauss(1) ou distribution de Laplace(2)Gauss. Il s'agit d'une loi de distribution continue, c'est-à-dire que la variable aléatoire peut prendre toutes les valeurs réelles. Une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est f ( x ) doit respecter les contraintes suivantes (analogues à celles vues pour une loi de probabilités dans le cas discret du chapitre "Variables aléatoires") :

­ f ( x ) dx = 1 et x R, f ( x ) 0

a R, b R, a b, p ( a X b ) =

+

(1)

a f ( x ) dx

b

(2)

La variable aléatoire X suit la loi normale si sa densité de probabilité est :

1. Pierre Simon, marquis de Laplace, astronome, mathématicien et physicien français (17491827) 2. Carl Friedrich Gauss, astronome, mathématicien et physicien allemand (1777-1855)

1

Définition

­ -- -----------1 x R, f ( x ) = -------------- e 2 2

1 x ­ m 2

(3)

On peut montrer qu'on a bien

+ ­ -- -----------1 -------------- e 2 dx = 1 2 1 x ­ m 2

­

Cette loi est encore notée ( m, ) . Elle a le désavantage de ne pas être commode d'utilisation du fait qu'elle dépend de trois paramètres, à savoir x, m, . En effectuant le changement de variable x­m t = ----------- on définit une nouvelle densité de probabilité appelée loi normale centrée réduite que l'on note encore ( 0, 1 ) : 1 -------x R, f ( x ) = ---------- e 2 2 En effet, si la variable aléatoire X suit la loi normale, on a

x ­x 2

(4)

(5)

p(X x) =

­

-------------- e 2

1

x­m 2 ­ 1 ------------ -2

dx

Effectuons le changement de variable proposé, dx = dt

t + m

p ( X t + m ) =

­

1 ­ -- t 2 ---------- e 2 dt 2

1

Cette dernière distribution a l'avantage de ne dépendre que d'un seul paramètre t ; ce qui simplifie évidemment la construction des tables.

2

La loi normale

Représentations

Connaissant donc les valeurs des probabilités utilisant la densité de probabilité (5), on peut calculer toute valeur d'une distribution de Gauss de la forme (3) à l'aide du changement de variable (4). Par la suite, il suffira d'étudier la loi normale centrée réduite.

Représentations

La fonction densité de probabilité de la loi normale centrée réduite 1 -------x R, f ( x ) = ---------- e 2 2 est paire car f ( ­ x ) = f ( x ) . Cela signifie que sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Il suffit donc de l'étudier sur un intervalle pour x allant de 0 à + . La dérivée par rapport à x s'écrit

1 1 d ---------- e -------- = ­ x ---------- e ­ ---2 2 d x 2 2 ­x2 x2 ­x 2

qui s'annulle pour x = 0 et est négative pour toutes les valeurs supérieures à 0. La courbe y admet donc un maximum en x = 0 qui 1 -------vaut ---------- e 2 0.399 . Calculons la dérivée seconde : 2

xxx1 1 d ­ x ---------- e ­ ---- = x 2 e ­ ---- ­ e ­ ---- ---------2 2 2 dx 2 2

2 2 2

­0 2

Elle s'annulle pour x = 1 qui est un point d'inflexion (la valeur de 1 -------f ( 1 ) = ---------- e 2 0.24 ), est négative pour les valeurs inférieures à 1 2 et positive pour les valeurs supérieures à 1. Sur la figure suivante, on a une représentation graphique de cette fonction ; on reconnaît sa forme caractéristique de "cloche" où ses branches extrêmes vers ­ et + sont placées tangentiellement à l'axe des abscisses.

La loi normale

­12

3

Représentations

En appliquant (2), on obtient

x

p( X x) =

­

1 ­ -- t 2 ---------- e 2 dt encore noté ( x ) . 2

1

Vu que la densité de probabilité est paire, que ( + ) = 1 et que ( 0 ) = 1 , on a : -2 ( ­x ) = 1 ­ ( x )

(6)

Loi normale centrée réduite

0. 40

0. 35

0. 30

0. 25

0. 20

0. 5 1

0. 0 1

0. 05

0. 00

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

68,27% 95,45% 99,73% 99,99% Le calcul de p ( ­ a X a ) = p ( X a ) ne pose pas de problèmes, il suffit d'appliquer (6). p ( ­ a X a ) = ( a ) ­ ( ­ a ) = ( a ) ­ 1 + ( a ) = 2 ( a ) ­ 1

4

La loi normale

x

1 Loi normale centrée et réduite ( x ) = ---------2

­

e

­1 t2 -2 dt

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

0.00 0.500000 0.539828 0.579260 0.617911 0.655422 0.691462 0.725747 0.758036 0.788145 0.815940 0.841345 0.864334 0.884930 0.903199 0.919243 0.933193 0.945201 0.955435 0.964070 0.971284 0.977250 0.982136 0.986097 0.989276 0.991802 0.993790 0.995339 0.996533 0.997445 0.998134

0.01 0.503989 0.543795 0.583166 0.621719 0.659097 0.694974 0.729069 0.761148 0.791030 0.818589 0.843752 0.866500 0.886860 0.904902 0.920730 0.934478 0.946301 0.956367 0.964852 0.971933 0.977784 0.982571 0.986447 0.989556 0.992024 0.993963 0.995473 0.996636 0.997523 0.998193

0.02 0.507978 0.547758 0.587064 0.625516 0.662757 0.698468 0.732371 0.764238 0.793892 0.821214 0.846136 0.868643 0.888767 0.906582 0.922196 0.935744 0.947384 0.957284 0.965621 0.972571 0.978308 0.982997 0.986791 0.989830 0.992240 0.994132 0.995603 0.996736 0.997599 0.998250

0.03 0.511967 0.551717 0.590954 0.629300 0.666402 0.701944 0.735653 0.767305 0.796731 0.823814 0.848495 0.870762 0.890651 0.908241 0.923641 0.936992 0.948449 0.958185 0.966375 0.973197 0.978822 0.983414 0.987126 0.990097 0.992451 0.994297 0.995731 0.996833 0.997673 0.998305

0.04 0.515953 0.555670 0.594835 0.633072 0.670031 0.705402 0.738914 0.770350 0.799546 0.826391 0.850830 0.872857 0.892512 0.909877 0.925066 0.938220 0.949497 0.959071 0.967116 0.973810 0.979325 0.983823 0.987455 0.990358 0.992656 0.994457 0.995855 0.996928 0.997744 0.998359

0.05 0.519939 0.559618 0.598706 0.636831 0.673645 0.708840 0.742154 0.773373 0.802338 0.828944 0.853141 0.874928 0.894350 0.911492 0.926471 0.939429 0.950529 0.959941 0.967843 0.974412 0.979818 0.984222 0.987776 0.990613 0.992857 0.994614 0.995975 0.997020 0.997814 0.998411

0.06 0.523922 0.563559 0.602568 0.640576 0.677242 0.712260 0.745373 0.776373 0.805106 0.831472 0.855428 0.876976 0.896165 0.913085 0.927855 0.940620 0.951543 0.960796 0.968557 0.975002 0.980301 0.984614 0.988089 0.990863 0.993053 0.994766 0.996093 0.997110 0.997882 0.998462

0.07 0.527903 0.567495 0.606420 0.644309 0.680822 0.715661 0.748571 0.779350 0.807850 0.833977 0.857690 0.878999 0.897958 0.914656 0.929219 0.941792 0.952540 0.961636 0.969258 0.975581 0.980774 0.984997 0.988396 0.991106 0.993244 0.994915 0.996207 0.997197 0.997948 0.998511

0.08 0.531881 0.571424 0.610261 0.648027 0.684386 0.719043 0.751748 0.782305 0.810570 0.836457 0.859929 0.881000 0.899727 0.916207 0.930563 0.942947 0.953521 0.962462 0.969946 0.976148 0.981237 0.985371 0.988696 0.991344 0.993431 0.995060 0.996319 0.997282 0.998012 0.998559

0.09 0.535856 0.575345 0.614092 0.651732 0.687933 0.722405 0.754903 0.785236 0.813267 0.838913 0.862143 0.882977 0.901475 0.917736 0.931888 0.944083 0.954486 0.963273 0.970621 0.976705 0.981691 0.985738 0.988989 0.991576 0.993613 0.995201 0.996427 0.997365 0.998074 0.998605

La loi normale

Représentations

5

6

1 Loi normale centrée et réduite ( x ) = ---------2

x

­

e

­1 t2 -2 dt

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

0.00 0.998650033 0.999032329 0.999312798 0.999516517 0.999663019 0.999767327 0.999840854 0.999892170 0.999927628 0.999951884 0.999968314 0.999979331 0.999986646 0.999991454 0.999994583 0.999996599 0.999997885 0.999998698 0.999999206 0.999999520 0.999999713 0.999999830 0.999999900 0.999999942 0.999999967 0.999999981 0.999999989 0.999999994 0.999999997 0.999999998

0.01 0.998693692 0.999064496 0.999336262 0.999533462 0.999675135 0.999775903 0.999846865 0.999896341 0.999930493 0.999953833 0.999969626 0.999980206 0.999987223 0.999991831 0.999994827 0.999996756 0.999997985 0.999998760 0.999999244 0.999999544 0.999999727 0.999999839 0.999999905 0.999999945 0.999999968 0.999999982 0.999999990 0.999999994 0.999999997 0.999999998

0.02 0.998736057 0.999095677 0.999358984 0.999549856 0.999686844 0.999784184 0.999852663 0.999900359 0.999933251 0.999955707 0.999970887 0.999981046 0.999987777 0.999992193 0.999995061 0.999996905 0.999998079 0.999998819 0.999999281 0.999999567 0.999999741 0.999999847 0.999999910 0.999999948 0.999999970 0.999999983 0.999999990 0.999999995 0.999999997 0.999999998

0.03 0.998777162 0.999125901 0.999380986 0.999565714 0.999698160 0.999792178 0.999858254 0.999904232 0.999935906 0.999957509 0.999972098 0.999981852 0.999988308 0.999992539 0.999995284 0.999997048 0.999998170 0.999998876 0.999999316 0.999999588 0.999999754 0.999999855 0.999999915 0.999999951 0.999999972 0.999999984 0.999999991 0.999999995 0.999999997 0.999999998

0.04 0.998817040 0.999155194 0.999402289 0.999581052 0.999709094 0.999799895 0.999863647 0.999907962 0.999938461 0.999959242 0.999973261 0.999982625 0.999988817 0.999992870 0.999995498 0.999997185 0.999998256 0.999998930 0.999999350 0.999999609 0.999999767 0.999999862 0.999999920 0.999999953 0.999999973 0.999999985 0.999999991 0.999999995 0.999999997 0.999999999

0.05 0.998855724 0.999183581 0.999422914 0.999595887 0.999719659 0.999807344 0.999868846 0.999911555 0.999940919 0.999960908 0.999974378 0.999983367 0.999989304 0.999993188 0.999995703 0.999997315 0.999998339 0.999998982 0.999999382 0.999999628 0.999999779 0.999999870 0.999999924 0.999999956 0.999999975 0.999999986 0.999999992 0.999999996 0.999999998 0.999999999

0.06 0.998893246 0.999211088 0.999442878 0.999610233 0.999729865 0.999814533 0.999873859 0.999915017 0.999943285 0.999962509 0.999975451 0.999984078 0.999989772 0.999993492 0.999995898 0.999997440 0.999998417 0.999999031 0.999999412 0.999999647 0.999999790 0.999999876 0.999999928 0.999999958 0.999999976 0.999999986 0.999999992 0.999999996 0.999999998 0.999999999

0.07 0.998929637 0.999237740 0.999462202 0.999624105 0.999739724 0.999821470 0.999878692 0.999918350 0.999945562 0.999964048 0.999976481 0.999984761 0.999990220 0.999993783 0.999996086 0.999997559 0.999998492 0.999999078 0.999999441 0.999999665 0.999999801 0.999999883 0.999999932 0.999999961 0.999999977 0.999999987 0.999999993 0.999999996 0.999999998 0.999999999

0.08 0.998964929 0.999263560 0.999480905 0.999637518 0.999749247 0.999828164 0.999883351 0.999921560 0.999947752 0.999965527 0.999977470 0.999985416 0.999990649 0.999994061 0.999996264 0.999997673 0.999998564 0.999999122 0.999999469 0.999999682 0.999999811 0.999999889 0.999999935 0.999999963 0.999999979 0.999999988 0.999999993 0.999999996 0.999999998 0.999999999

0.09 0.998999149 0.999288571 0.999499004 0.999650485 0.999758445 0.999834623 0.999887842 0.999924651 0.999949858 0.999966948 0.999978420 0.999986044 0.999991060 0.999994328 0.999996436 0.999997782 0.999998632 0.999999165 0.999999495 0.999999698 0.999999821 0.999999895 0.999999939 0.999999965 0.999999980 0.999999989 0.999999994 0.999999996 0.999999998 0.999999999

La loi normale

Représentations

Propriétés

Propriétés

MOYENNE ET ÉCART-TYPE

On peut montrer que l'espérance mathématique d'une loi normale ( m, ) est égale à m et que l'écart-type vaut . Il en découle(3) que l'espérance mathématique d'une loi normale ( 0, 1 ) vaut 0 et l'écart-type 1. Intéressons-nous à savoir comment sont réparties les valeurs dans une distribution normale. Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne m et d'écart-type . Nous calculons p ( m ­ x m + ) ce qui peut se faire en effectuant le changement de variable t = x ­ m de manière à ----------- se ramener à une loi normale centrée et réduite. On obtient : p ( m ­ x m + ) = p ( ­ 1 t 1 ) = 2 ( 1 ) ­ 1 Or d'après la table, à l'intersection de la ligne 1.0 et la colonne 0.00 signifiant la valeur 1.0 + 0.00 = 1.00, on lit la valeur 0.841345, d'où p ( m ­ x m + ) = p ( ­ 1 t 1 ) 2 0.841345 ­ 1 = 0.68269 Cela signifie en clair que 68,27% des valeurs d'une distribution normale se trouvent dans l'intervalle [ m ­ , m + ] . Des calculs analogues pour les intervalles suivants donnent : [ m ­ , m + ] [ m ­ 2, m + 2 ] [ m ­ 3, m + 3 ] [ m ­ 4, m + 4 ] 68,27% 95,45% 99,73% 99,99%

RÉPARTITION DES VALEURS

La quasi-totalité des valeurs sont donc réparties autour de la moyenne dans un intervalle d'une étendue de huit fois la valeur de l'écart-type. Exemples :

3. cf. la section "Variable aléatoire réduite" du chapitre "Variables aléatoires".

La loi normale

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Propriétés

1.

La taille des élèves d'une école suit une loi normale de moyenne 150 cm et d'écart-type 20 cm. Combien d'élèves ont une taille comprise entre 140 cm et 170 cm si l'école compte au total 1000 élèves ? 140 ­ 150 170 ­ 150 p ( 140 x 170 ) = p ----------------------- t ----------------------- 20 20 = p ­ 1 t 1 - 2 = ( 1 ) ­ ­ 1 -- 2 Les tables nous fournissent les valeurs cherchées : 1 ( 1 ) ­ ­ 1 = ( 1 ) ­ 1 ­ -- -- 2 2 1 = ( 1 ) + -- ­ 1 0.841345 + 0.691462 ­ 1 2 = 0.532807

Le nombre d'élèves figurant dans l'intervalle recherché est donc 1000 0.532807 533 . 2. En 1965, d'après une enquête de l'INSEE, dans la région parisienne, 11% des revenus individuels étaient supérieurs à 20 000 FF et 3% des revenus inférieurs à 3 000 FF. En supposant que la répartition des revenus suit une loi normale, quel est alors le revenu individuel moyen ? Quel est le pourcentage de personnes dont le revenu est compris entre 5 000 FF et 10 000 FF ? p ( x > 20000 ) = 0.11 D'après le résultat de l'enquête : p ( x < 3000 ) = 0.03 Vu l'hypothèse de normalité et en effectuant un changement de variable t = x ­ m pour nous ramener à une loi normale centrée et ----------- réduite, on a : p ( t > t a ) = 0.11 p ( t < t b ) = 0.03 Il s'en suit que t a doit être positif et t b négatif. De plus,

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La loi normale

Importance de la loi normale

p ( t > t a ) = 1 ­ p ( t t a ) = 1 ­ ( t a ) = 0.11 p ( t < t b ) = 1 ­ p ( t ­ t b ) = 1 ­ ( ­ t b ) = 0.03 En consultant les tables, avec ( t a ) = 1 ­ 0.11 = 0.89 , on obtient pour t a la valeur 1.23. ­ t b s'obtient à partir de ( ­ t b ) = 1 ­ 0.03 = 0.97 et ­ t b = 1.89 . À partir de ces deux valeurs, nous obtenons le système de deux équations à deux inconnues m et suivant : 20000 ­ m = 1.23 ----------------------- 3000 ­ m = ­ 1.89 -------------------- d'où l'on tire : m 13298.08 et 5448.72 . Il s'agit de calculer p ( 5000 x 10000 ) . Or cette probabilité est égale à 5000 ­ 13298 10000 ­ 13298 p ( 5000 x 10000 ) p -------------------------------- t ----------------------------------- 5449 5449 donc p ( 5000 x 10000 ) p ( ­ 1.52 t ­ 0.60 ) . Afin de pouvoir travailler avec nos tables, nous transformons la dernière expression de manière à ce que qu'elle ne comporte que des valeurs positives : p ( 5000 x 10000 ) p ( 0.60 t 1.52 ) . Et p ( 0.60 t 1.52 ) = ( 1.52 ) ­ ( 0.60 ) 0.935744 ­ 0.725747 p ( 0.60 t 1.52 ) 0.21 Ainsi 21% de personnes ont un revenu compris entre 5 000 FF et 10 000 FF.

Importance de la loi normale

APPROXIMATION DE LA LOI BINOMIALE

Soit la variable aléatoire S n désignant le nombre de "succès" d'un événement se réalisant avec une probabilité p au cours de n épreuves successives et indépendantes. S n suit une loi binomiale de moyenne np et d'écart-type npq ou np ( 1 ­ p ) . On peut démontrer que si n

La loi normale

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Importance de la loi normale

S n ­ np tend vers l'infini, la variable aléatoire X = -------------------------- tend vers la np ( 1 ­ p ) loi normale centrée, réduite. Ce résultat est très important en pratique car dès que n est de l'ordre de quelques dizaines et que p n'a pas une valeur trop proche de 0 ou de 1, le calcul de la loi binomiale peut être remplacé par celui de la loi normale beaucoup plus pratique à manipuler. En pratique, on juge que l'approximation peut être effectuée dès que npq 9 . Dans ce cas, lorsqu'on est amené à calculer

b

p ( a Sn b ) =

k p k q n ­ k

k=a

n

on approche ce calcul par l'expression b + 0.5 ­ np a ­ 0.5 ­ np p ( a S n b ) ---------------------------- ­ ---------------------------- npq npq Exemple :

1.

On lance 900 fois un dé. Quelle est la probabilité pour que la fréquence d'apparition d'un nombre pair soit comprise entre 450 et 495 ? Soit S n le nombre d'apparitions d'un nombre pair au cours de 1 n = 900 lancers. p vaut -- et S n suit une loi binomiale de 2 900 moyenne np = -------- = 450 et d'écart-type 2 11 -900 -- -- = 225 = 15 . 22 Dès lors, la réponse exacte à la question posée nécessite le calcul de l'expression suivante :

495

i = 450

900 ­ i i 900 1 1 -- -- i 2 2

On peut éviter ce calcul très lourd en recourant à l'approximation par la loi normale puisque npq = 225 9 .

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La loi normale

Importance de la loi normale

450 ­ 0.5 ­ 450 S n ­ 450 495 + 0.5 ­ 450 p ( 450 S n 495 ) p ------------------------------------ ------------------- ------------------------------------- 15 15 15 Cette dernière expression se simplifie : S n ­ 450 p ( 450 S n 495 ) p ­ 0.03 ------------------- 3.03 15 En consultant les tables de loi normale centrée, réduite, on trouve p ( 450 S n 495 ) ( 3.03 ) ­ ( ­ 0.03 ) = ( 3.03 ) ­ 1 + ( 0.03 ) 0.998777 ­ 1 + 0.511967 = 0.510744 et finalement p ( 450 S n 495 ) 0.51 .

LE THÉORÈME LIMITE CENTRAL

Soient n variables aléatoires X i mutuellement indépendantes ayant la même loi de probabilité d'espérance mathématique µ et d'écart-type . Alors n X i ­ nµ -------------------------- x = ( x ) lim p i = 1 x n Ainsi, si on effectue n épreuves indépendantes d'une expérience en mesurant une propriété X, alors la variable aléatoire

n

Xi

­µ n X = ---------------------------n

i=1 -------------

où µ et sont respectivement la moyenne et l'écart-type de X, converge vers la loi normale centrée, réduite. Ce théorème est très général, car il dit que, quelle que soit la loi suivie par la propriété considérée, pourvu qu'elle ait une moyenne µ et un écart-type , la moyenne des n valeurs de la propriété en question, mesurées lors des n épreuves indépendantes peut être considérée

La loi normale

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Exercices non résolus

comme suivant une loi normale de moyenne µ et d'écart-type -----n pourvu que n soit assez grand (généralement à partir de n > 30). En fait il existe des formulations encore plus générales qui n'exigent même pas que les X i suivent tous la même loi !

Exercices non résolus

On lance 12 fois une pièce équilibrée. Calculer la probabilité pour que le nombre de "face" soit compris entre 4 et 7 en utilisant la loi binomiale, l'approximation normale. Rép. 0.7332, 0.7329 2. Quelle est la probabilité d'obtenir plus de 25 fois un total de sept lorsqu'on lance 100 fois une paire de dés ? Rép. 0.0089 3. Une entreprise fabrique des machines. Le nombre de machines fabriquées chaque jour suit une loi normale. Au cours des 700 derniers jours, plus de trente machines ont été fabriquées au cours de 589 jours différents alors que seulement pendant 16 jours, plus de 90 machines ont été fabriquées. Quelle est la fabrication moyenne par jour de machines et quel est l'écart-type ?

1.

Rép. m = 50, = 20 4. Un fabriquant décide de sélectionner 10% de sa production pour en faire des articles de qualité. Sa production suit une loi normale de moyenne 80 et d'écart-type 4. Quelle est la valeur du seuil à partir duquel un élément de la production est sélectionné pour être transformé en produit de qualité ? Rép. 85.16

Références

[1] M. Boissonade et A. M. Halbique, Statistique et probabilités, Ligel Paris, 1968 [2] S. Lipschutz, Probabilités, Série Schaum, 1979 [3] T. H. Wonnacott et R. J. Wonnacott, Statistique, Economica, 1991 [4] A. Jacquard, Les probabilités, Presses universitaires de France, 1976

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La loi normale

Références

[5] P. Pieretti et J. Weiland, Statistique et probabilités en économie, Éditions St. Paul, 1996 [6] Bernard Grais, Méthodes statistiques, Dunod, 1992 [7] Arthur Engel, L'enseignement des probabilités et de la statistique, volume 1, CÉDIC, 1975

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Information

Loi normale.fm

13 pages

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