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La Ley de Gauss

1. Introducci´n o

- La ley de Gauss desempe~ a un papel importante dentro de la electrost´tica y del elecn a tromagnetismo por dos razones b´sicas: a 1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo el´ctrico debido e a una distribuci´n de cargas cuando ´sta presenta buenas propiedades de simetr´ o e ia. En estos casos, suele resultar mucho m´s simple usar la ley de Gauss que obtener E a por integraci´n directa sobre la distribuci´n de cargas, tal y como se ha descrito en o o el tema anterior. 2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley b´sica, no s´lo de la a o electrost´tica, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de a las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fen´menos electromagn´ticos). o e - Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuaci´n matem´tica que relaciona o a el campo el´ctrico sobre una superficie cerrada con la carga el´ctrica encerrada en su e e interior. - La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto de l´ ineas de campo. Como se vi´ en el tema anterior, el n´ mero de l´ o u ineas de campo que parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el n´ mero total de l´ u ineas que pasan a trav´s de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior (ver Fig. 1). Adem´s, e a como se puede apreciar en la figura, el n´ mero de l´ u ineas debe ser independiente de la forma de la superficie que encierra a la carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el n´mero de l´neas de campo que atraviesan u i una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en su interior.

Figura 1:

1

2.

Flujo El´ctrico e

- El flujo el´ctrico d a trav´s de una superficie elemental da se define como el proe e ducto escalar del vector campo E en dicho punto por el vector elemento de area da (ver ´ Fig. 2 (a)): d = E · da (1)

Figura 2: - El flujo total a trav´s de una cierta superficie S, a lo largo de la cual el campo E puede e variar de punto a punto, se obtiene dividiendo S en peque~ os elementos de superficie a, n en cada uno de los cuales E se puede suponer uniforme, y sumando el flujo a trav´s de e cada uno de estos elementos de superficie (Fig. 2 (b)), =

S

E · a =

S

E · da

(2)

Por tanto, el flujo el´ctrico a trav´s de una superficie arbitraria S es igual a la integral e e de superficie del campo E sobre dicha superficie. - Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se suele designar mediante que el flujo a trav´s de una superficie cerrada S se suele escribir: e =

S

, de modo

S

E · da

(3)

- Es conveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al flujo el´ctrico a trav´s de e e una superficie: Significado: el flujo el´ctrico a trav´s de una superficie puede interpretarse como e e una medida del n´ mero de l´ u ineas de campo que atraviesan dicha superficie; en el caso de una superficie cerrada, las l´ ineas de campo que salen a trav´s de la e superficie dan una contribuci´n positiva al flujo, mientras que las l´ o ineas que entran dan una contribuci´n negativa. Por tanto, el flujo el´ctrico a trav´s de una supero e e ficie cerrada es una medida del n´mero neto de l´neas que pasan a trav´s de dicha u i e superficie, es decir, del n´mero de l´neas que salen menos el n´mero de l´neas que u i u i entran; las unidades de flujo el´ctrico en el sistema internacional son Newton · m2 /C; e 2

3.

La Ley de Gauss

- Ley de Gauss: el flujo el´ctrico neto a trav´s de una superficie cerrada cualquiera es e e igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella dividida por 0 : Q E · da = int 0 S

=

(4)

donde Qint es la carga neta en el interior de S. - Notar los siguientes puntos en relaci´n a la ley de Gauss: o Significado f´ isico: la ley de Gauss nos dice que el flujo a trav´s de una superficie e cerrada es proporcional a la carga el´ctrica Qint encerrada en su interior, e = Qint 0

El flujo es positivo si la carga es positiva, y negativo si la carga es negativa. De esta manera, lo que nos dice la ley de Gauss es que la carga el´ctrica constituye la fuente e del flujo el´ctrico: las cargas positivas (flujo positivo) son las fuentes y las cargas e negativas (flujo negativo) son los sumideros. Desde un punto de vista cualitativo, dado que el flujo el´ctrico a trav´s de una superficie cerrada es una medida del e e n´ mero neto de l´ u ineas de campo que pasan a trav´s de dicha superficie (n´ mero de e u l´ ineas que salen menos n´ mero de l´ u ineas que entran), la ley de Gauss nos dice que el n´ mero neto de l´ u ineas de campo que pasan a trav´s de una superficie cerrada es e proporcional a la carga neta encerrada en su interior. Por tanto, la carga el´ctrica e constituye la fuente de las l´ ineas de campo (las cargas positivas son las fuentes, donde nacen las l´ ineas de campo, y las cargas negativas los sumideros, donde terminan las l´ ineas de campo). Resumiendo: lo que nos dice la ley de Gauss es que la carga el´ctrica constituye la fuente del flujo el´ctrico o, lo que es lo mismo, la fuente de e e las l´neas de campo (las cargas positivas son las fuentes y las cargas negativas son i los sumideros). Es importante fijarse en que el campo el´ctrico que aparece en la integral de superficie e de la ley de Gauss es el campo el´ctrico debido a todas las cargas presentes en el e problema, tanto a las cargas situadas dentro de la superficie cerrada S sobre la que se calcula el flujo como a las cargas situadas fuera de ella, mientras que el flujo a trav´s de dicha superficie s´lo depende de la carga en su interior. Notar que si e o cambiamos la posici´n de las cargas dentro o fuera de S, o a~ adimos m´s cargas o n a fuera de S, aunque el valor del campo E en cada punto de la superficie S var´ si ia, mantenemos la misma carga neta dentro de la superficie, el flujo =

S

E · da

a trav´s de S sigue siendo el mismo e igual a la carga total dentro de S dividida por e 0 . El flujo a trav´s de una superficie cerrada s´lo depende de la carga dentro de ella; e o no depende de la forma de la superficie, ni de la posici´n de las cargas dentro de ella, o o del n´ mero y posici´n de las cargas fuera de S, siempre y cuando mantengamos la u o misma carga neta dentro de S. 3

La ley de Gauss constituye una ley fundamental, no s´lo de la electrost´tica, sino o a del electromagnetismo. De hecho, es una de las ecuaciones de Maxwell, que son las ecuaciones b´sicas del electromagnetismo. a

4.

Algunas Aplicaciones de la Ley de Gauss

- La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo el´ctrico debido a distribue ciones de carga con alto grado de simetr´ particularmente para distribuciones de carga ia, con simetr´ esf´rica, cil´ ia e indrica o plana. - Definiremos una superficie gaussiana como cualquier superficie cerrada imaginaria que empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo el´ctrico debido a una cierta dise tribuci´n de cargas. o - Para aplicar la ley de Gauss al c´lculo del campo el´ctrico debido a una cierta distribua e ci´n de cargas con propiedades de simetr´ adecuadas es aconsejable seguir el siguiente o ia procedimiento: 1. Seleccionar una superficie gaussiana que tenga las siguientes propiedades: (a) la superficie debe tener la misma simetr´ que la correspondiente distribuci´n ia o de carga; (b) en cada punto de la superficie, E debe ser normal o tangencial a la superficie; (c) en todos los puntos en los que E es normal a la superficie, E debe tomar un valor constante. Los casos m´s frecuentes son: a (a1) para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetr´ esf´rica, debe ia e elegirse como superficie gaussiana una esfera centrada en la carga o cuyo centro coincida con el centro de la distribuci´n de carga; o (a2) para l´ ineas de carga o cilindros uniformemente cargados, debe elegirse una superficie cil´ indrica coaxial con la l´ inea de carga o cilindro; (a3) para planos (o l´minas) cargados que tienen simetr´ plana, debe elegirse a ia como superficie gaussiana un cilindro peque~o sim´trico con el plano. n e 2. Calcular el flujo a trav´s de dicha superficie. e 3. Calcular la carga total Qint dentro de la superficie, y usar ley de Gauss, = Qint /0 , para obtener el campo E.

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