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Baudynamik und Zustandsanalyse

Das vorliegende Skript wurde im Original mit dem Programmsystem MATHEMATICA ® von WOLFRAM-Research [http://www.wolfram.com] geschrieben und erstmals auf den Webseiten der Hochschule für Technik und Wirtschaft in Dresden (University of Applied Sciences) [http://www.htw-dresden.de] veröffentlicht. Die Schrift trägt den Charakter eines Arbeitskonzepts, so dass ich für Hinweise und Anregungen aller Art, einschließlich zu Rechtschreibung, Grammatik und Druckbild sehr dankbar bin. Mit meinem Beitrag erhebe ich keinen Anspruch auf irgendeine Vollständigkeit bzw. Allgemeingültigkeit. Ich möchte einzig und allein an exemplarischen Problemstellungen der Baumechanik logisch einfache mathematisch-physikalische Lösungsmethoden zur Diskussion stellen. Mirko Slavik, Dresden

21 Beanspruchungen infolge Wind

21.10 Galloping, Divergenz, Flattern, Regen-Wind-induzierte Schwingungen 21.10.1 Allen vier aeroelastischen Schwingungsphänomenen gemeinsam ist das Kennzeichen der Instabilität. Das gilt im übertragenen Sinne auch für deren Wortbedeutung, da die ersten drei Begriffe in der Literatur unterschiedlich gehandhabt werden. 21.10.2 Im Gegensatz zu den KÁRMÁNschen Querschwingungen, die eine Zwitterstellung zwischen Störinduzierung und Selbstinduzierung darstellen (vgl. hierzu die Absätze 21.1.7 sowie 21.9.11), stehen Galloping, Divergenz und Flattern sowie die Regen-Wind-induzierten Schwingungen für selbsterregte physikalische Erscheinungen. 21.10.3 Regen-Wind-induzierte Schwingungen (siehe u. v. a. [101], [102] und [123]) resultieren aus oszillierenden Veränderungen der Oberflächenbedingungen an zylindrischen Querschnitten infolge Wasserrinnsalen, die zeitlich und örtlich schwankende Ablösepunkte der Grenzschichten erzeugen, die wiederum unterschiedliche Druckverhältnisse bewirken (vgl. Absatz 21.9.4 ff.).

à Versteckte Zelle zu Aachener Versuchen Regen-Wind-induzierter Schwingungen (s. a. [76]).

21.10.4 Für die drei anderen aerodynamischen Instabilitätsfälle existieren in der Fachwelt unterschiedliche Eingruppierungen bzw. Zuordnungen. PETERSEN [78] versteht unter Galloping bewegungsinduzierte, ungekoppelte Biege- oder Torsionsschwingungen, unter dem Flattern hingegen gekoppelte Biege- und Torsionsschwingungen. 21.10.5 Im Gegensatz dazu findet man bei HOLMES [128, S. 119] unter der Überschrift "Flutter" die drei Arten "Galloping", " 'Stall' Flutter" und " 'Classical' Flutter". Das "Galloping" begrenzt er auf quasiquadratische Querschnitte, die ausschließlich translatorische Bewegungen ausführen. Der Begriff des " 'Stall' Flutter" entspricht offensichtlich dem deutschen Fachwort der Divergenz (vgl. u. v. a. [97] und [103]). HOLMES weist ihm nur Rotationsschwingungen und als Querschnittstyp das Rechteck- und das H-Profil zu. Die bei sehr schlanken, plattenähnlichen Tragwerken auftretenden gekoppelten Biege- und Torsionsschwingungen bezeichnet er als " 'Classical' Flutter". 21.10.6 Die Hauptursache für die Entstehung von Flatterschwingungen sind die sich infolge der Bewegungen des umströmten Objektes verändernden Größen der Anströmflächen.

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21.10.7 Um den Basismechanismus der selbsterregten Gallopingschwingungen zu veranschaulichen, bedienen wir uns der Arbeit von HORTMANNS [129, S. 1 f.]. Ähnliche Erklärungen findet man in vielen anderen Quellen. HORTMANNS unterscheidet zwei Varianten der Entstehung von Biegegallopingschwingungen, die hauptsächlich bei nichtkreiszylindrischen Querschnitten, wie Rechteck- und Quadratprofilen auftreten. 21.10.8 Im ersten Fall liegt ein schräge Anströmung vor (siehe Bild 21.10.8). Wegen des zu erwartenden Strömungsabrisses an der oberen, linken Kante, treten Turbulenzen und damit erhöhte Widerstände auf, weshalb die Geschwindigkeitszunahme relativ kleiner bleibt als auf der Unterseite. Das Ergebnis ist ein resultierender Unterdruck, der eine nach unten gerichtete aerodynamische Querkraft hervorruft.

vx, o

y x

y x Qy

vchar vx, u vx, o

vx, u

cp

Bild 21.10.8: Bahnlinien und Druckverteilung eines schräg angeströmten quadratischen Störkörpers (Prinzipdarstellung) 21.10.9 Im zweiten Fall bewege sich der Körper in die negative y-Richtung, was einer negativen Schwinggeschwindigkeit entspricht. Ursache kann die oben beschriebene Schräganströmung oder eine Anregung infolge Turbulenzen sein. Unabhängig davon, ob der Körper schräg oder orthogonal angeströmt wird, tritt auf der Oberseite infolge des Widerstandsentzuges ein relativer Abfall der Geschwindigkeit gegenüber dem vorherigen Zustand auf. Damit einher geht eine relative Druckzunahme. Auf der Unterseite kann, je nachdem ob es zum Ablösen der Strömung kommt oder nicht, eine relative Geschwindigkeitsabnahme bzw. Geschwindigkeitszunahme auftreten. Tendenziell ist trotz der innewohnenden Ambivalenz mit einem relativen Drucküberschuss in Richtung der Störkörperbewegung zu rechnen. Die entstehenden Querkräfte hätten dann eine anfachende Wirkung. Da diese Erregerkräfte erst infolge der Verschiebung des Störkörpers entstehen, bezeichnet man sie als selbstinduziert. 21.10.10 Wie bereits die obige Beschreibung zeigt, sind die sich einstellenden Druckveränderungen im Wechselspiel von Querbewegung und schräger Anströmung außerordentlich komplex und damit schwierig beschreib- und erfassbar. Sie hängen im entscheidenden Maße vom Anströmwinkel a ab, der im Bereich kleiner Zeitfenster maßgebend von der Translations- und Rotationsbewegung des Körpers beeinflusst wird. 21.10.11 Das Phänomen der selbstinduzierten Schwingungen eines mechanischen Systems, das beispielsweise bei vereisten Freileitungen beobachtet werden kann, tritt nur bei bestimmten kritischen

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Windgeschwindigkeiten vchar , krit auf. Sofern bestimmte Effekte nicht ein Eindämmen der Amplitudenvergrößerungen bewirken, ist mit Versagenszuständen zu rechnen. 21.10.12 Um aufzeigen, wie man das aeroelastische Instabilitätsproblem prinzipiell mathematischphysikalisch fassen kann, bedienen wir uns des im Bild 21.10.12 ausgewiesenen, vereinfachten Berechnungsmodells, das zwei Freiheitsgrade besitzt. Rotation und Translation des Störkörpers gehen ein außerordentlich komplexes physikalisches Wechselspiel mit dem anströmenden Wind ein.

k2, c 2

WIND vchar m

+y

z

x

Qx

-y Mz Qy d

k1

c1

Bild 21.10.12: Vereinfachtes Biege-Torsionsmodell für Gallopingschwingungen 21.10.13 Da es ohne sehr aufwändige Windkanalversuche fast ausgeschlossen ist, empirisch gesicherte physikalische Berechnungsansätze zu formulieren, existieren in der Fachliteratur unterschiedliche Näherungsmethoden, die nicht immer eindeutig mechanisch interpretierbar sind, da sie häufig auf Modelle mit nur einem Freiheitsgrad reduziert worden sind. Einen derartig pragmatisch orientierten Ansatz findet man z. B. bei PETERSEN [78]. 21.10.14 In Anlehnung an den Absatz 21.9.21 definieren wir die zwei Strömungskräfte Q x ( t ) und

Q y ( t ) in [N/m] sowie ein Strömungsmoment M z ( t ) in [Nm/m], die alle drei auf die Längeneinheit in

z - Richtung bezogen sind:

Q x @tD = cf,x q d; Q y @tD = cf,y q d; M z @tD = c m,z q d2 1 2

mit

q =

vchar 2

mit

d c f (jz ) q

- charakteristische Querschnittsabmessung in [m], - dimensionsloser aerodynamischer Kraftbeiwert (Quertriebsbeiwert [78]), - dimensionsloser aerodynamischer Momentenbeiwert, - Staudruck [N/m²],

c m (jz )

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r vx P vchar

- Dichte des strömenden Mediums [kg/m³], - mittlere (charakteristische) Windgeschwindigkeit [m/s].

21.10.15 Mit den oben getroffenen Annahmen gelingt es, das Verhalten des im Bild 21.10.12 ausgewiesenen Starrkörpers mit der Differenzialgleichung (7.1) des einfachen Einmassenschwingers zu beschreiben, wobei die formale Analogie, die zwischen Translation und Rotation besteht, genutzt wird (siehe Abschnitt 5; vgl. auch die Pendeldifferenzialgleichung im Absatz 25.2.2). Die Kennparameter der Trägheit (Masse m [kg/m], Massenträgheitsmoment J [kg m2 /m] ) sind vorerst, wie die angreifenden Kräfte und das Moment, auf die Einheitslänge in z - Richtung bezogen. Es gilt:

m y ''@tD + c1 y '@tD + k1 [email protected] J z ''@tD + c2 z '@tD + k2 z @tD + Q y @D M z @D

mit

k1 c1 k2 c2

- Federkonstante (Translation), - Federkonstante (Rotation),

- Strukturdämpfungskonstante (Translation), - Strukturdämpfungskonstante (Rotation).

21.10.16 Die drei aeroelastischen Beiwerte c f , x , c f , y und c m, z sind im entscheidenden Maße vom Anströmwinkel a abhängig. In Anlehnung an [78] betrachten wir zunächst nur den translatorischen Fall in y-Richtung. Für c f , y formulieren wir die Abhängigkeit:

-k K + 2 7 O 180 -k K - 2 7 O 180

cf,y = - -A

k

+A

k

21.10.17 Zwischen der Schwinggeschwindigkeit vy des Störkörpers und dem Anströmwinkel a (vgl. Bild 21.10.8) besteht gemäß der Aussagen des Absatzes 21.10.9 die Beziehung:

vy vchar F

= - ArcTanB

21.10.18 Somit kann ausgehend vom Abschnitt 21.9 nachfolgender vereinfachter Berechnungsablauf formuliert werden. Wir starten mit einer sehr kleinen Auslenkung des Einmassenschwingers und steigern die Windgeschwindigkeit von null beginnend innerhalb eines bestimmten Zeitbereiches bis zum gewählten Endwert vchar , der dann konstant bleibt. Es gilt:

vchar = 25; t = .005; f1 = 1; 1 = 2 f1 êê N; maxn = 1 105 ; 1 d = 1; m = 1.625 102 ; = .02; b1 = ; = 1.2919; = 1.345 10-5 ; = ; 2 f1 d 2m St = ; Sc = ; vchar d2 y0 = 10-2 ; y1 = y0 - 10-10 ; v1 = 0;

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Eigenfrequenz Kehrwert der Sc

STROUHALzahl @-D:

SCRUTONzahl

@HzD:

Struktur-Dämpfungsgrad

=

b1 1

St-1 @-D: @-D:

1. 25. 5.03135 0.0031831

QUERTRIEBSBEIWERT c f , y

1.0

0.5

c f , y @-D

0.0 -0.5 -1.0 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

::y1+n 0.0000249975 1.09255

Anströmwinkel a @radD

-375. H-0.122173-1. [email protected] vn DL2

J-39 996. y-1+n + 79 960.5 yn + 0.00397508 J-1.09255

-375. H0.122173-1. [email protected] vn DL2 N

[email protected] N>>

+

SCHWINGWEG

1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 0 100 200

Zeit @sD y @mD

300

400

500

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6

Windgeschwindigkeit

25 20 15 10 5 0 0 100 200 300 400 500

Zeit @sD Windgeschw. @mêsD

c f , y vs. v y

1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -5 0

v y @mêsD c f , y @-D

5

c f , y vs. a

1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -0.3 -0.2 -0.1 0.0

a @radD c f , y @-D

0.1

0.2

0.3

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7

-0.7424 -0.7426 -0.7428 -0.7430 -0.7432

Dc f , y ê Da

0.01

0.02

0.03

Zeit @sD

0.04

0.05

21.10.19 Die mit dem obigen Algorithmus berechneten Varianten unterschiedlicher charakteristischer Windgeschwindigkeiten bestätigten die u. a. in [117] ausgewiesene Beziehung für die Grenzgeschwindigkeit vgrenz , bei der die Gallopingschwingungen eintreten. Sie lautet:

2m vgrenz d2 2 d f1 - c f, y Sc 2 d f1 - c f, y

à Versteckte Zelle zur Einsetzgeschwindigkeit des Gallopingeffektes.

21.10.20 Den Dreh- und Angelpunkt der rechnerischen Imitation stellen die c f , y (a) - Verläufe dar. Beispiele hierfür findet der Leser in [78] und [117] sowie in verschiedenen Forschungsarbeiten zu den Galloping- und Flattererscheinungen bei Ingenieurtragwerken.

à Versteckte Zelle zur Analyse veränderter Funktionsansätze der Quertriebsbeiwerte c f , y .

21.10.21 Wir erweitern jetzt den Algorithmus um den Torsionsanteil (siehe Absatz 21.10.15):

Dc f , y ê Da

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m y ''@tD

+

c1 y '@tD

+ k1 [email protected]

+ Q y @D

Hyn+1 - 2 yn + yn-1 L t2

+ 2 b1

Hyn+1 - yn-1 L 2 t

+

1 2 yn

+

Qn m

M

J z ''@tD + c2 z '@tD + k2 z @tD + M z @D

Hn+1 - 2 n + n-1 L t2

+ 2 b2

Hn+1 - n-1 L 2 t

+

2 2 n

+

Mn J

21.10.22 In der Beziehung 21.10.17 für den Anströmwinkel a wird näherungsweise der Verdrehungsanteil hinzugefügt (siehe Bilder 21.10.8 und 21.10.12), womit eine Kopplung der bisher alleinigen Translations- mit der Rotationsbewegung stattfindet. Bezüglich der Vorzeichen besteht allerdings noch Diskussionsbedarf, der aber an dieser Stelle nicht bedient wird.

vy vchar F +

= - ArcTanB

21.10.23 Der Index "1" bezieht sich im Weiteren auf die Parameter, die zur Translationsbewegung gehören. Mit dem Index "2" werden die Torsionsanteile gekennzeichnet. Es gilt:

vchar = 25; t = .005; maxn = 1 105 ; f1 = 1.0; f2 = .75; d = 1; m = 1.625 102 ; J = 50; 1 = .02; 2 = .01; = 1.2919; = 1.345 10-5 ; = ; St = y0 = 10-2 ; y1 = y0 - 10-10 ; v1 = 0; 0 = 10-3 ; 1 = 0 - 10-20 ; 1 = 0; f1 d vchar ; Sc = 2 1 m d2 ;

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1. Eigenfrequenz 2. Eigenfrequenz Kehrwert der Sc

STROUHALzahl @-D:

@HzD HTranslationL: @HzD HRotationL: 1 = 2 =

b1 1 b2 2

1. 0.75 25. 5.03135 0.0031831 0.00159155

SCRUTONzahl

Struktur-Dämpfungsgrad Struktur-Dämpfungsgrad

St-1 @-D: @-D @-D

HTranslationL: HRotationL:

QUERTRIEBSBEIWERT c f , y

1.0

0.5

c f , y @-D

0.0

-0.5 -1.0 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

::y1+n 0.0000249975 1.09255

Anströmwinkel a @radD

-375. H-0.122173-1. [email protected] vn D+n L2

1+n 0.0000249991 J-39 998.5 -1+n + 79 977.8 n + 0.00161488 J-1.09255 1.09255

-375. H0.122173-1. [email protected] vn D+n L2 N -375. H-0.122173-1. [email protected] vn D+n L2

J-39 996. y-1+n + 79 960.5 yn + 0.00397508 J-1.09255

-375. H0.122173-1. [email protected] vn D+n L2 N

+

[email protected] N,

+

[email protected] N>>

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10

VERSCHIEBUNG

1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0

y @mD

0

100

200

Zeit @sD

300

400

500

VERDREHUNG

0.05

j @radD

0.00

-0.05

0

100

200

Zeit @sD

300

400

500

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11

Windgeschwindigkeit

25 20 15 10 5 0 0 100 200 300 400 500

Zeit @sD Windgeschw. @mêsD

c f , y vs. v y

1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -5 0

v y @mêsD c f , y @-D

5

c f , y vs. a

1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -0.3 -0.2 -0.1 0.0

a @radD c f , y @-D

0.1

0.2

0.3

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12

-0.7450 -0.7455 -0.7460 -0.7465 -0.7470 -0.7475 -0.7480 -0.7485 0.01 0.02

Dc f , y ê Da

Dc f , y ê Da

0.03

Zeit @sD

0.04

0.05

tstart = 0; tende = 500;

Frequenzanalyse - Verschiebung

140 120 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3

Frequenz @HzD Amplituden

4

5

6

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13

Frequenzanalyse - Verdrehung

0.8

0.4

0.2

0.0 0 1 2 3

Frequenz @HzD

4

5

6

21.10.24 Wie oben erkennbar, bereitet die Erweiterung des Rechenmodells auf die Torsionsanteile, mathematisch gesehen, keine besonderen Schwierigkeiten. Es eignet sich zur prinzipiellen Anwendung für Divergenz- und Flatterprobleme. Hingegen ist das Erlangen realitätsnaher Ergebnisse mittels wirklichkeitsnaher Ansätze für die aerodynamischen Beiwerte außerordentlich schwierig. Ohne entsprechende Windkanalversuche sind vorerst keine brauchbaren Annahmen zu finden.

à Versteckte Zelle zu den Flatterschwingungen gemäß [100, S.48, Gl.(2.15)].

Amplituden

0.6

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