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Wasserbauliches Versuchswesen

Dr.-Ing. T. Schlurmann, Obering. Bergische Universit¨t Wuppertal a 7. November 2002

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung ¨ 1.1 1.2 1.3 Vorteile physikalischer Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nachteile physikalischer Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschichtlicher R¨ckblick des wasserbaulichen Versuchswesen . . u 2 2 4 5 8 8

2 Definition eines physikalischen Modells 2.1 Ziele eines physikalischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . .

¨ 3 Das Konzept der Ahnlichkeit 10 ¨ 3.1 Ahnlichkeit durch Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2.1 3.3 Fundamentale und abgeleitete Dimension . . . . . . . . . 11 3.2.2 Prinzipien der Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . 12 ¨ Ahnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.3.5 Froudemodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Reynoldsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Grenzen des Versuchswesens . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Detailprobleme des wasserbaulichen Versuchswesen . . . . 22 Wahl des Maßstabs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1

2

1

Einfuhrung ¨

Die Darstellung von hydraulischen Vorg¨ngen mit Mitteln der technischen Mea chanik ist solange m¨glich, wie die den Vorgang beschreibenden Differentialgleio chungen analytisch und numerisch ausgewertet werden k¨nnen. Auch wenn die o Entwicklung mathematischer Formulierungen und Methoden sowie numerischer Simulationen mittels leistungsstarker Computer große Fortschritte gemacht hat, bleiben ­ auch langfristig gesehen ­ hydraulische Modelle in der Hydromechanik und im Wasserbau erhalten. Sir Cyril Hinkelwood brachte diesen Gegensatz beider Techniken mit einem Satz ausgezeichnet zum Ausdruck (Le Mehaut´, e [5]): (...) hydraulic engineers observed what could not be explained, and mathematicians explained things that could not be observed. Das Fehlen einer brauchbaren Turbulenztheorie, wovon im folgenden noch h¨ufiger berichtet wird, f¨hrt zu Absch¨tzungen und zu vereinfachten Beschreia u a bungen ph¨nomenologischer Vorg¨nge sowie zur Definition von Parametern. Zur a a Erg¨nzung dieser vereinfachenden Betrachtungsweise werden diese Parameter a mit geometrisch bestimmbaren numerischen Werten definiert, die aus der Erfahrung bekannt sind oder gezielt ermittelt werden. F¨r die Bestimmung dieser u Gr¨ßen eignen sich hydraulische Modelle, an denen jedoch auch das physikalio sche Verhalten einer Str¨mung ­ also das Ph¨nomen selbst ­ studiert werden o a kann. Das Modell kann also eine ¨hnliche Nachbildung eines Prototyps sein, in dem a alle korrespondierenden Gr¨ßen in einem bestimmten Bezug stehen, oder es o ist ein un¨hnliches Modell, in dem nur das qualitative Verhalten (Ph¨nomen) a a des Vorgangs studiert wird. Beide Modellformen werden im wasserbaulichen Versuchswesen angewendet. Die Nachbildung des Modells erfolgt im allgemeinen in einem Labor, wobei in der Merzahl aller F¨lle das Modell kleiner als der Prototyp in der Natur ist. a Um nun die an dem Modell gewonnenen Erkenntnisse auf den Prototyp ubertra¨ gen zu k¨nnen, m¨ssen definierte physikalische Gesetzm¨ßigkeiten eingehalten o u a ¨ werden. Man kann aber auch die geometrische oder hydraulische Ahnlichkeit verlassen und Analogien zwischen der Str¨mungsmechanik und anderen Geo bieten der Physik anwenden. Die experimentelle Str¨mungsforschung und das o wasserbauliche Versuchswesen f¨r konkrete Probleme des Bauingenieurwesens u sollen im folgenden beschrieben werden.

1.1

Vorteile physikalischer Modelle

Die Vorteile maßst¨blicher physikalischer Modelle liegen vor allem darin, dass a hydromechanische Ph¨nomene, die sich prinzipiell den g¨ngigen Erkenntnissen a a einer modernen Wissenschaft entziehen, fundiert und am Modell im direkten Kontakt mit dem Medium untersucht werden k¨nnen. Aus einer anderen Sichto weise fasst Dalrymple [2] die entscheidenden Vorteile zusammen: · Physikalische Modelle integrieren die den Prozess beherrschenden Gleichungen ohne dass vereinfachende Randbedingungen impliziert werden

1.1

Vorteile physikalischer Modelle

3

m¨ssen, wie es analytische und numerische Modelle verlangen, u · durch die maßst¨bliche Abbildung im Modell werden Daten einfacher und a kostenreduziert erfasst, wobei Feldversuche am Prototyp schwieriger und teurer sind und simultane Messungen ohne Beeintr¨chtigung der Prozesse a kaum m¨glich sind, o · und der Grad der experimentellen Kontrolle, welcher variationsreiche und auch seltene extrem Randbedingungen erlaubt, ist beim physikalischen Modelle weitaus gr¨sser als beim Prototyp. o Le Mehaut´, [5] gibt des weiteren sechs essentielle Gr¨nde zum Einsatz phye u sikalischer Modelle an: · Maßst¨bliche physikalische Modelle sind im Vergleich zu analytischen und a numerischen Simulation weitaus aufw¨ndiger und kostenintensiver, bieten a aber ein H¨chstmaß an Zuverl¨ssigkeit und Transparenz, um in kontr¨o a a ren decision-making-processes glaubw¨rdige Abbildung der physikalischen u Verh¨ltnisse zu liefern und Entscheidungen somit zu vereinfachen, a · Experimentelle Techniken werden langfristig ein wertvolles Werkzeug in der Hydromechanik und im Wasserbau bleiben. Das Fehlen einer sinnvolllen Turbulenztheorie f¨hrt dazu, dass grobe Absch¨tzungen zur Beu a schreibung von ph¨nomenologischen Vorg¨ngen sowie zur Definition von a a Parametern f¨r analytische und numerische Berechnungen nach wie vor u gemacht werden m¨ssen. Fluidstr¨mungen sind vornehmlich chaotischer u o Natur. Dieses Chaos kann dennoch als deterministisch definiert werden, aber es ist prinzipiell nicht vorhersagbar, da ein kleiner Ausl¨ser eine o große Wirkung haben kann. Eine mathematische Berechnung eines stochastischen Prozesses kann nur zu gemittelten statistischen Ergebnissen einer experimentellen Gr¨ße f¨hren. o u · Neue Messtechniken wurden in der Hydromechanik entwickelt, die ein detaillierteres Bild der internen Str¨mungsprozesse liefern. Datenaufnahmeo und -analysemethoden sind komplexer geworden und erlauben die Erfassung mehrerer voneinander abh¨ngiger Variablen. a · Die Genauigkeit numerischer Modellierungen ist von der mathematischen Genauigkeit der dieser zu Grunde liegenden Gleichungen abh¨ngig. Physia kalsiche Modelle bieten die M¨glichkeiten der Beobachtung und Messung o der internen Prozesse, · Maßst¨bliche physikalische Modelle bleiben die besten analogen Compua ter, die die Einbindung komplexer Randbedingungen erm¨glichen. Kono vektive und dissipative nichtlineare Effekte, die in numerischen Simulationen (oftmals) vernachl¨ssigt werden, werden in maßst¨blichen physia a ¨ kalischen Modelle ber¨cksichtigt und unterliegen sogar dem Ahnlichkeitsu prinzip,

1.2

Nachteile physikalischer Modelle

4

· und, der direkte Kontakt mit dem Medium bildet wertvollen Anhalt um intuitiv Erkenntnisse uber die Prozesse zu erhalten. Es stimuliert die Vor¨ stellungskraft der Ingenieurs und bildet die Grundlage f¨r Entscheidungsu findungen, die in der Theorie oder von Computern nicht vermittelt werden k¨nnen. o

1.2

Nachteile physikalischer Modelle

Die zuvor genannten Vorteile zum Einsatz physikalischer Modelle m¨ssen nach u Hughes [3] im direkten Vergleich mit gewissen Unzul¨nglichkeiten dieser Mea thoden behandelt werden. Im einzelnen werden herausgestellt: · Skalierungseffekte, die zwischen Modell und Prototyp unweigerlich auftreten, und nicht gleichsam Ber¨cksichtigung im Modell finden k¨nnen. u o Dieses Ph¨nomen stellt f¨r ein physikalisches Modell dieselben Unzul¨nga u a lichkeiten dar, wie eine idealisierte Randbedingung f¨r eine numerische u oder analytische Simulation. Beispiel: Ein Skalierungseffekt, der vorwiegend auftritt ist, dass Reibungskr¨fte an Flusssohlen oder Bauwerksobera f¨chen, die z.B. f¨r den Sedimenttransport oder Dissipationseigenschaften a u einer Struktur untersucht werden, im Modell relativ gr¨ßer als in der Nao tur oder am Prototypen sind. · Laboreffekte, die den zu simulierenden Prozess im Modell deutlich beeinflussen und zu inkorrekten Analysen f¨hren k¨nnen. Beispiel: Ein Laborefu o fekt, der haupts¨chlich auftritt ist, dass z.B. Laborabmessungen (Randbea dingungen) nicht ausreichen, um physikalische Prozesse umfassend abzu¨ bilden und infolgedessen durch Uberlagerungsvorg¨nge verf¨lscht werden. a a · Oftmals k¨nnen nicht s¨mtliche funktionalen Zusammenh¨nge und Rando a a bedingung, die in der Natur oder am Prototyp wirken, im physikalischen Modell ber¨cksichtigt werden. Die fehlenden Einflussgr¨ßen m¨ssen vom u o u Modellierer abgesch¨tzt und sinnvoll f¨r Analysen und Ergebnisse ubera u ¨ pr¨ft werden. Beispiel: Ein typischer Effekt, der dieser Gruppe zugeh¨rt u o ist z.B., dass ein fehlender Windeinfluss, der auf die Wasseroberfl¨che im a Brandungsbereich von Wellen einwirkt und k¨stennahe Zirkulation aufu grund der vom Wind induzierten Schubspannungen ausl¨st. Die Wellen im o Labor hingegen werden ausschließlich mechanisch generiert. Ein anderer Effekt, der vornehmlich in der Flusshydraulik entsteht, ist der Einfluss des Fehlens der Coreolis-Kraft bei Flussmodellen, die in der Natur zu lokalen Str¨mungsph¨nomen f¨hrt und im Modell nur unzul¨nglich Ber¨cksichtio a u a u gung findet. Der Kosteneffekt eines physikalischen Modells im Vergleich zu analytischen und numerischen Simulationen wurde bereits oben genannt. Dort wo ein mathematisches Modell sinnvolle und genaue Ergebnisse f¨r den Ingenieur liefert, u sollen diese Techniken auch angewendet werden und das komplexe physikalische Modell nur als finale Instanz zur Abbildung der Natur oder zur Erprobung eines Prototypen herangezogen werden.

1.3

Geschichtlicher R¨ckblick des wasserbaulichen Versuchswesen u

5

1.3

Geschichtlicher Ruckblick des wasserbaulichen Versuchswe¨ sen

Wissenschaftliche hydraulische Untersuchungen wurden im 16. Jahrhundert erstmals von Leonardo da Vinci durchgef¨hrt. Da Vinci zeigte und skizzieru te seinerzeit diverse komplexe Str¨mungsvorg¨nge (Geschwindigkeitsprofile und o a Wirbelstrukturen in Fl¨ssen) in einer bis dahin nicht erfolgten Pr¨zision und u a ¨ Detailtreue. Die erste theoretische Abhandlung von Ahnlichkeitskriterien mechanischer Prozesse wurde von Newton (1642-1727) angestellt. Er formulierte unter anderem auch die Regeln der sogenannten korrespondierenden Geschwindigkeiten, die das Verh¨ltnis zwischen einer durch Schwerkraft (Gravitation) a erzeugten Str¨mung in sich ¨hnelnden Bewegungen aber auf grunds¨tzlich difo a a ferierenden Skalen beschreiben. Erste modellskalierte Experimente wurden von Smeaton um 1750 durchgef¨hrt. Die Bemessung und Optimierung von Wasseru r¨dern und Windm¨hlen standen damals im Vordergrund seiner Arbeit. Oba u gleich Smeaton keine streng mathematischen Relationen zwischen Modell und Prototyp beachtete, deutete er erstmals auf die Bedeutsamkeit dieser Zusammenh¨nge hin. a Der franz¨sische Wasserbau-Professor Reech f¨hrte 1852 erstmals eine Art o u ¨ der Froud'schen Ahnlichkeit im Rahmen von Untersuchungen des dynamischen Str¨mungswiderstands von modellmaßst¨blichen Schiffen ein und entwickelte o a Regeln zur Umrechnung gemessener Geschwindigkeiten und Kr¨fte vom Moa dell zum Prototyp. 1870 unternahm Froude Messungen mit Modellschiffen in Schleppkan¨len und f¨hrte analoge Berechnungen wie Reech durch. Froude vera u glich seine Resultate mit denen eines Protypens durch lineares Aufsklalieren. Seine Analysen befriedigten nicht ausnahmslos, was heute als die sogenannten ¨ Froud'sche Ahnlichkeit bekannt ist und in Form einer dimensionslosen Zahl seinen Namen tr¨gt. Die ersten Experimente mit einer beweglichen Sohle in der a Flusshydraulik wurden von Fargue 1875 durchgef¨hrt. Er bildet einen Abschnitt u der Garonne nach und demonstrierte die Richtigkeit seiner von ihm gemachten Empfehlungen zum Ausbau des Flusses mit den Modellergebnissen. Reynolds modellierte 1885 den River Mersey mit einer beweglichen Sohle und verwendete f¨r seine relativ kleines physikalisches Modell einen 33fach gr¨u o ßeren Vertikal- als Horizontalmaßstab. Er benutzte f¨r seine Experimente die u nat¨rliche Kornverteilung des Flusssubstrats und setzte diese in Originalgr¨u o ße ein. Zwei Jahre sp¨ter verk¨ndete er optimistisch, dass er ein Konzept im a u wasserbaulichen Versuchswesen entwickelt h¨tte [3]. a (...) due to proper circumstances it is indeed possible to build river models in which the development of the bed will be actually similar to that taking place in the corresponding section of the prototype river. Seine Arbeit wurde von Harcourt fortgef¨hrt, der Feinsand und leichtere u Materialien, wie gemahlene Holzkohle, einsetzte und den folgenden Gedanken zu seinen Modellierung machte: (...) if I can succeed in demonstrating with the model that the origi-

1.3

Geschichtlicher R¨ckblick des wasserbaulichen Versuchswesen u

6

nally existing conditions can be reproduced typically; and if, moreover, by placing regulating works in the model, the same changes can be reproduced that were brought about by the training works actually built, then I am sure that I can take the promise of success, the probable effect of the projects that have been proposed. Das erste hydraulische Labor in den USA wurde 1887 an der Lehigh University von Prof. Mirremen eingerichtet; und das Erste in Deutschland wurde von Prof. Engels an der Technischen Universit¨t Dresden 1898 gegr¨ndet. Zur Jahra u hundertwende wurden an die Wasserbauingenieure eine Vielzahl von Fragen zu Flussregulierungsmaßnahmen im Zuge der Industriealisierung gestellt, so dass der Einsatz physikalischer Modelle eine immer weitere Anwendung fand. Mehrere invariante, dimensionslose Zahlen (Froude, Reynolds, Cauchy, etc.) basierend auf physikalischen Grundlagen wurden mit dem Ziel eingef¨hrt, dass eine geneu ¨ relle Aquivalenz dieser Zahlen zwischen Modell und Prototyp bzw. Natur und ¨ damit einer hydraulischen Ahnlichkeit erf¨llt sind. Ein formalerer Einstieg in die u Bestimmung invarianter Parameter kam im Zuge der Entwicklung der Dimensionsanalyse Anfang des 20. Jahrhunderts hervor. Es ergab sich die M¨glichkeit, o invariante, dimensionslose Parametergruppen aus einer Vielzahl von Variablen zu determinieren. Um 1914 wurde in Hannover ein großes hydraulisches Labor an der hiesigen Universit¨t eingerichtet, welches sp¨ter (1936) den Namen a a seines Gr¨nders Franzius erhielt. In Delft, Niederlande, wurde 1927 das wohl u noch heute renommierteste Labor (Delft Hydraulics Laboratory) eingerichtet. Eine der ersten Aufgaben dort war es, den zu einem großen Teil unter dem Meeresspiegel liegenden Niederlanden ausreichend Schutz vor Sturmfluten und ¨ infolgedessen Uberschwemmungen zu geben. Nach dem zweiten Weltkrieg konnte weltweit eine Vielzahl an hydraulischen Laboreinrichtungen verzeichnet werden; Hughes [3] beschreibt einige von diesen. Unter diesen sollen kurz die Bedeutendsten ohne Achtung der Reihenfolge herausgenommen werden: · Hydraulic Laboratories, Iowa University, USA, · Delft Hydraulics Laboratory, Die Niederlande, · Waterways Experiment Station, USA, · National Research Council Hydraulics Laboratory, Canada, · Port and Harbour Research Institute, Japan, · Laboratoire Nationale D'Hydrauliques, Frankreich, · Danish Hydraulic Institute, D¨nemark, a · Hydraulic Research Wallingford, England, · Coastal Research Laboratories, University of Delaware, USA, · Water Research Station, University of New South Wales, Australien,

1.3

Geschichtlicher R¨ckblick des wasserbaulichen Versuchswesen u

7

· Franzius Institut f¨r Wasserbau, Universit¨t Hannover, Deutschland u a · Bundesanstalt f¨r Wasserbau (K¨sten- und Binnengew¨sser), Hamburg u u a und Karlsruhe, Deutschland, · Leichtweiss Institut f¨r Wasserbau, Universit¨t Braunschweig, Deutschu a land, · Hubert Engels Laboratorium, Technische Universit¨t Dresden, Deutscha land, · Wasserbaulabor der RWTH Aachen, Deutschland. Seit Beginn der 40iger Jahre im letzten Jahrhundert bis heute spielen maßst¨bliche physikalische Modelle eine bedeutende Rolle bei der Bemessung hya draulischer Strukturen und Bauwerken des Wasserbaus.

8

2

Definition eines physikalischen Modells

Der Begriff hydraulisches, physikalisches Modell erzeugt verschiedene Assoziationen bei verschiedenen Berufsgruppen, abh¨ngig von deren Ausbildung in eia ner Fachwissenschaft, so dass eine allumfassende Definition nur bedingt m¨glich o ist. F¨r manche beschr¨nkt sich der Begriff auf kleinmaßst¨bliche, hydraulische, u a a physikalische Modelle; f¨r andere wiederum schließt die Modellierung im Labor u Turbulenz grunds¨tzlich aus. Eine etwaige Definition eines physikalischen Moa dells wird von Hughes [3] gegeben: Definition: Ein hydraulisches, physikalisches Modell ist ein f¨r geu w¨hnlich mit reduzierter Gr¨ße reproduziertes physikalisches Syo o stem, so dass die im kleinmaßst¨blichen System dominierenden a Kr¨fte und Vorg¨nge ­ korrekt proportioniert zum eigentlichen phya a sikalischen System (Prototyp) ­ in der Natur ¨hnlich repr¨sentiert a a werden. Ein Großteil physikalischer Modelle bildet Prototypen in einem verkleinert Maßstab ab, wobei dann auch mit verschiedenen Fluiden oder unter andersartigen Konditionen gearbeitet werden muß. Es gibt Beispiele, wo der Maßstab auch vergr¨ßert im Modell abgebildet wird, z.B. bei der Str¨mungssimulation o o von roten Blutk¨rperchen in Venen und Arterien von Menschen (Price [6]). o Abschließend f¨r dieses Kapitel wird Yalin [7] zitiert, der definierte, dass: u Zitat: Ein physikalisches Modell ist ein Pr¨zisionswerkzeug, welches a in der Lage ist, Verhalten und Strukturen eines physikalischen Modells bestimmbar zu machen. Ein Modell gilt als zuverl¨ssig, wenn a es korrekt konstruiert (designed) wurde. Wenn das Design des Modells inkorrekt ist, so ist auch das Modell fehlerhaft, und in diesem Fall ist die Nutzung eines noch so ausgefeilten Messinstruments oder Messmethodik nur dazu in der Lage, die Genauigkeit einer Messung eines inkorrekten Modells zu erh¨hen. o In anderen Worten: ein Modell mit schlechter Skalierung verh¨lt sich ¨hnlich a a wie ein Linial mit falscher L¨ngeneinteilung. Das Lineal kann sicherlich dazu a verwendet werden, eine Messung mit ausreichender Genauigkeit anzustellen, jedoch wird die Messung verglichen mit dem realen Wert garantiert falsch sein!

2.1

Ziele eines physikalischen Modells

Hughes [3] z¨hlt drei wesentliche Ziele der physikalischen Modellierung auf, a die so oder so ¨hnlich schon in einem vorangegangen Abschnitt uber Vor- und a ¨ Nachteile dieser Technik erw¨hnt wurden: a 1. Suche nach qualitativen Einblicken eines physikalischen Problems, welche bislang unergr¨ndet geblieben sind (z.B. Turbulenz Formationen in breu chenden Wellen, Kolkung durch Str¨mungsabl¨sung und Wirbelbildung o o an Bauwerken),

2.1

Ziele eines physikalischen Modells

9

2. Messungen zu machen, die theoretische Annahmen st¨tzen oder wideru legen (z.B. nichtlineare Wellen in einer Gegenstr¨mung, Interagierende o nichtlineare Wellen), 3. Einblicke in hochkomplexe Ph¨nomene zu erlangen, die theoretisch nicht a oder nur bedingt analytisch fassbar sind (z.B. Stabilit¨t von gesch¨tteten a u Wellenbrechern, Sediment Suspension zur Bildung von Riffelbetten) Dalrymple [2] klassifiziert die Ziele anders, und unterscheidet zwischen zwei typischen physikalischen Modellen: die eine Gruppe verifiziert oder entwickelt ein g¨ngiges numerisches Modell weiter und definiert diese als validation moa dels, w¨hrend die andere ein Prototyp Verhalten unter Reproduzierung aller a eine Rolle spielenden Kr¨fte simulieren soll. Letztgenannte Modelle werden von a ihm als design models kategorisiert. Kamphuis [4] definierte eine dritte Gruppe, die sogenannten process models, die nur dazu errichtet werden, um einen Einblick in einen physikalischen Prozess zu erlangen, dessen grundlegende Mechanismen und damit analytische Beschreibung bislang verborgen blieben.

10

3

¨ Das Konzept der Ahnlichkeit

¨ Die generelle Vorgehensweise um das Konzept der Ahnlichkeit im wasserbaulichen Versuchswesen zu definieren, besteht darin herauszufinden, inwiefern die hydraulischen Bedingungen im skalierten Modell die tats¨chlichen hydraulia schen Bedingungen in der Natur (Prototyp) wiedergeben. Es basiert dabei auf der generellen Annahme [3], dass (...) the fundamental entities of which the physical universe is constructed are such that from them a miniature universe could be constructed similar to the present universe. Dass diese Annahmen in mikroskopisch kleinen Zusammenh¨ngen, z.B. in der Nanotechnik, nicht mehr a gelten, sollte hinl¨nglich bekannt sein. a ¨ Das Konzept der Ahnlichkeit im wasserbaulichen Versuchswesen verlangt daher, dass spezifische Relationen und Parameter zwischen Modell und Natur identisch sind. Grunds¨tzlich unterscheiden sich dabei a nach Le Mehaut´ [5] drei verschiedene M¨glichkeiten, die im folgenden ausf¨hre o u lich erl¨utert werden. a

3.1

¨ Ahnlichkeit durch Kalibrierung

¨ ¨ Die Methode der Ahnlichkeit durch Kalibrierung ist die Alteste. Es wurde bereits von Sextus Julius Frontinus im ersten Jahrhundert vor Christus angewendet. Dieser baute ein skaliertes Modell des r¨mischen Trinkwasser Aqu¨o a dukts, um herauszufinden an welchen Stellen sich im Zuleitungssystem Sand und Geschwemmsel ansammelten und welche konstruktiven Optimierungsmethoden sich praktisch daraus ableiten ließen. Frontinus nutzte implizit die damals noch ¨ nicht bekannten Regeln der Ahnlichkeit, baute aufgrund seiner Unwissenheit zwangsl¨ufig auch Fehler in die physikalischen Modelle ein. Qualitative erreicha te er allerdings f¨r die damalige Zeit hervorragende Ergebnisse. u ¨ Die Kriterien hingegen, die eine Ahnlichkeit im hydraulischen Verst¨ndnis a ausmachen, basieren vornehmlich auf einer Kalibrierung des physikalischen Modells. Der Nachteil dieser Methode ist, dass die wesentlichen Prinzipien der Natur bzw. des Prototyps hinl¨nglich bekannt sein sollten. Die ingenieurwissena schaftlichen L¨sungen, die sich mit einem kalibrierten Modell ergeben, m¨ssen o u generell reproduzierbar (validierbar) sein; ansonsten macht die Kalibrierungsmethoden wenig Sinn, ist dann der zu Grunde liegende Mechanismus chaotischer Natur. ¨ Die Ahnlichkeit durch Kalibrierung findet heute noch h¨ufig in den Bereia chen eine Anwendung, in denen hydromechanische Prozesse und Ph¨nomene a derart komplex sind, dass sie zun¨chst in grundlegenden process models in a trial and error Verfahren untersucht werden m¨ssen. Dimensionsanalysen oder u analytische Beschreibungen bleiben diesen Prozessen (zun¨chst) verschlossen. a Es wird hierbei vorausgesetzt, dass das maßst¨bliche physikalische Modell a kaum oder nur geringen Skalierungseffekten unterlegen ist, um Messungen anzustellen, die denen des Prototypens stark ¨hnlich sind. Nur dadurch wird die a Basis zur Kalibrierung des Modells gew¨hrleistet. In Anbetracht der Komplexia

3.2

Dimensionsanalyse

11

t¨t und der Forschungsdefizite im Bereich des Sedimenttransports in Fliessgea w¨ssern und in K¨stenregionen, bildet die Kalibrierungsmethode eine vielvera u sprechende M¨glichkeit, um generelle Ausk¨nfte uber Prozesse mit beweglichen o u ¨ Sohlen zu erhalten. Ein dominierender Fehler bei der Anwendung der Kalibrierungsmethode in der labortechnischen Praxis ist, dass zu hoher Stellenwert auf ¨ zu viele Ahnlichkeitskonditionen gelegt wird. Hughes [3] wertet diese Bestrebungen damit, dass das (...) scale model knows best how to reproduce its own physical processes whether one understands it or not. ¨ Die zusammenfassende Bewertung der Methode der Ahnlichkeit durch Kalibrierung ist, dass es eigentlich eine Kunst darstellt, Modelle unter diesen Bedingungen zu errichten und Analysen damit anzustellen, so dass deren Ausf¨hu rung haupts¨chlich sehr erfahrenen labortechnischen Einrichtungen uberlassen a ¨ bleibt. Dass diese Methode auf nat¨rliche Grenzen trifft, scheint selbstverst¨ndu a lich und kann mit einem Beispiel kurz wiederholt bzw. erl¨utert werden: Falls a das zu untersuchende Ph¨nomen nicht-deterministisch ist oder falls kleinste a nicht vorhersagbare Effekte (Ursachen) große Auswirkungen induzieren, ist ei¨ ne Anwendung der Methode der Ahnlichkeit durch Kalibrierung sinnlos. Beispielsweise k¨nnte das bloße Vorhandensein eines (großen) Steins in einem m¨o a andrierenden Fluss zur Folge haben, dass Kolkungen und lokale Str¨mungsvero h¨ltnisse eine vollkommen andersartiges globales Str¨mungsprofil hervorrufen, a o welches weder mit experimentellen noch analytischen numerischen Verfahren berechenbar ist. Die relativ einfache Flussm¨andrierung mit beweglicher Sohle a unter Verwendung eines einheitlichen Materials kann im hydraulischen, physikalischen Modell allerdings gut simuliert werden.

3.2

Dimensionsanalyse

Das sogenannte -Theorem nach Buckingham [3] ist Hauptbestandteil der Dimensionsanalyse. Ergebnisse einer Dimensionsanalyse bezogen auf eine komplexe Problemstellung eines von den mathematische Zusammenh¨ngen unbea kannten Prozesses ist, dass eine Reduzierung der f¨r den Prozess relevanten u (beschreibenden) Variablen in Form von dimensionslosen Variablen (Produkten) erreicht wird [3]. 3.2.1 Fundamentale und abgeleitete Dimension

Dimensionen und Einheiten sind ein integraler Teil jeder Messung einer physikalischen Gr¨ße, wobei Dimensionen z.B. als Masse, L¨nge, Fl¨che, Volumen, Zeit, o a a Beschleunigung, Geschwindigkeit, spezifische W¨rmekapazit¨t oder Temperatur a a angegeben werden, wobei diese aber nicht zwangsl¨ufig unabh¨ngig voneinander a a sind. Tats¨chlich stellen nur Masse, L¨nge, Zeit, Temperatur und Elektronena a dichte ein unabh¨ngiges System dar. Ihre Einheiten werden als base units a definiert. Andere physikalische Gr¨ßen, wie Geschwindigkeit, Beschleunigung, o Druck oder spezifische W¨rmekapazit¨t, werden als abgeleitete Dimensionen a a beschrieben. Ihre Einheiten werden als derived units definiert. Es existieren allerdings auch noch die sogenannten supplementary units, wie ein Winkel

3.2

Dimensionsanalyse

12

im Gradmaß. Diese weisen uberhaupt keine fundamentale Dimension auf. ¨ In Bezug auf ein Massen-System, formuliert Yalin [7], dass jede physikalische Gr¨ße aus einer Kombination der drei fundamentalen Gr¨ßen L¨nge [L], Zeit o o a [T] und Masse [M] uber die folgende Beziehung erzeugt werden kann: ¨ a[=]L T M (1)

wobei das Symbol [=] bedeutet: habe die Einheit von. Yalin f¨hrt außerdem an, u dass die Natur einer Gr¨ße vom Wert der Exponenten , und ist. o Geometrische Gr¨ße, wenn = 0, = 0, = 0 o Kinematische Grße, wenn = 0, = 0, = 0 Dynamische Gr¨ße, wenn = 0, = 0, = 0 o

(2)

Sind alle drei Exponenten = = = 0 dann ist die Gr¨ße a nicht von den o fundamentalen Gr¨ßen L¨nge [L], Zeit [T] und Masse [M] abh¨ngig und wird o a a dann als dimensionslose Gr¨ße definiert, die denselben numerischen Wert in o ¨ jedem Einheitensystem beh¨lt. Die anschließende Tabelle gibt einen Uberblick a uber fundamentale und abgeleitete Gr¨ßen., wobei nicht alle, wie z.B. die Dichte, o ¨ einer Kategorie zugeordnet werden kann. Physik. Gr¨ße o Dimension Art der Gr¨ße o Fundamentale Gr¨ße o Zeit [T ] Masse [M ] L¨nge a [L] Geometrisch Temperatur [T ] Winkel [1] Abgeleitete Gr¨ße o Fl¨che a [L2 ] Geometrisch -2 ] Kraft [M LT Dynamisch Dichte [M L-3 ] Druck [M L-1 T -1 ] Dynamisch Geschwindigkeit [LT -1 ] Kinematisch Beschleunigung [LT -2 ] Kinematisch 3 T -1 ] Durchfluss [L Kinematisch Energie [M L2 T -3 ] Dynamisch -1 ] Impuls [M LT Dynamisch 3.2.2 Prinzipien der Dimensionsanalyse

Der erster Schritt in einer Dimensionsanalyse eines physikalischen Prozesses ist zu entscheiden, inwiefern eine Variable (Gr¨ße) uberhaupt einen Einfluss auf o ¨ den Prozess aus¨bt. Ist dies absolviert, k¨nnen theoretische und experimentelle u o Studien mit dem Ziel ausgef¨hrt werden, einen funktionalen Zusammenhang u

3.2

Dimensionsanalyse

13

zwischen den verbliebenen Variablen zu finden. Wird kein theoretischer Zusammenhang gefunden, stellt die experimentelle Vorgehensweise den einzigen L¨sungsweg dar. o Im Experiment wird zumeist nur eine Variable variiert, w¨hrend andere kona stant gehalten werden, um eine Art Sensitivit¨tsanalyse durchzuf¨hren. Offena u sichtlich steigt die Anzahl der durchzuf¨hrenden Versuche uberproportional mit u ¨ der Zahl der Variablen, so dass erreicht werden muss, dass einzelne Variablen in dimensionslosen Variablen untergebracht werden m¨ssen. Genau hier liegt der u Ansatzpunkt einer Dimensionsanalyse nach Buckingham, der das -Theorems entwickelt hat. Diese Prozedur formuliert, dass zun¨chst zu bestimmen ist, wie a viele dimensionslose Produkte der den Prozess beschreibenden Variablen determiniert werden k¨nnen. Dazu kann nach Hughes [3] die folgende Faustformel o verwendet werden: In einer dimensionsbehafteten, homogenen Gleichung mit n Variablen, existieren m = n - r dimensionslose Produkte, wobei r die Anzahl der fundamentalen Dimensionen der n Variablen angibt. Eine Gleichung f beinhaltet n Variabeln und ist definiert: f (a1 , a2 , a3 , . . . , an ) = 0. (3)

Das -Theorem besagt also, dass diese Gleichung f mit Hilfe von m dimensionslosen Parametern umgeformt werden kann: f (1 , 2 , 3 , . . . , m ) = 0, (4)

wobei jedes der Elemente i in f ein unabh¨ngiges dimensionsloses Produkt ist, a deren Faktoren aus einigen der Variablen ai gebildet werden. In der Hydromechanik und im Wasserbau sind bereits mehrere dimensionslose Produkte definiert, die bereits vor Entwicklung der Dimensionsanalyse eingef¨hrt worden sind, wie z.B.: u · Reynoldszahl: Re =

VL , gh

V · Froudezahl: F r = ,

· Eulerzahl: Eu =

p , V 2 V 2 L , V 2 E ,

· Weberzahl: W e = · Cauchyzahl: Ca = · Machzahl: M a =

V c

,

L V

· Strouhalzahl: St =

mit: = Dichte, V = Geschwindigkeit, L = L¨nge, = kinematische Viskosit¨t, a a g = Gravitationskonstante, F = Kraft, p = Druck, = Oberfl¨chenspannung, a E = Elastizit¨tsmodul, c = Schallgeschwindigkeit, = Kreisfrequenz. a Zusammengefasst beinhaltet die Dimensionsanalyse folgende Schritte:

3.2

Dimensionsanalyse

14

1. Identifiziere alle wichtigen unabh¨ngigen Variablen des physikalischen a Prozesses, 2. Entscheide welcher der ermittelten Variablen Einfluss auf den physikalischen Prozess aus¨bt, u 3. Bestimme wie viele dimensionslose Produkte aus den zuvor ermittelten Variablen erzeugt werden k¨nnen, o 4. Reduziere das Variablen System zu einer angemessenen Anzahl an dimensionslosen Variablen. Die Summe der auf diese Art und Weise ausgew¨hlten Variablen, kann ein a sogenanntes vollst¨ndiges Gef¨ge von dimensionslosen Produkten bilden, wenn a u die zwei Voraussetzungen erf¨llt sind: u 1. Jedes dimensionslose Produkt in dem vollst¨ndigen Gef¨ge ist unabh¨ngig a u a von den anderen Produkten, und 2. jedes dimensionslose Produkt, das durch dieselben Variablen gebildet werden kann, produziert wiederum ein Produkt, welches alternativ durch Potenzieren aus dem originalen Produkt generiert werden kann. Da das Prinzip des vollst¨ndigen Gef¨ges von dimensionslosen Produkten a u nicht ganz einfach nachvollziehbar ist, folgt an dieser Stelle ein kleine Beispiel: Beispiel: Die Variablen der Str¨mung L, V, g, und µ bilden z.B. o ein vollst¨ndiges Gef¨ge von dimensionslosen Produkten, dadurch, a u dass einerseits die Froudezahl und andererseits die Reynoldszahl aufgestellt werden k¨nnen, so dass: o

V Fr =

Re =

gh V L µ

(5)

Dadurch, sind die dimensionslosen Produkte V 3 /(µg) und gL2 /(µV ) folglich Kombinationen der Reynolds- und Froudezahl. Diese Kombinationen sind: V 3 /(µg) = gL2 /(µV ) =

V L µ V L µ V2 gL gL V2

= Rr1 F r2 = Rr1 F r-2

(6)

Beinhaltet eine physikalische Problemstellung mehrere Variablen derselben Dimension, so bildet das Verh¨ltnis von zwei dieser Variablen ein dimensionsa loses Produkt. Z.B. beziehen sich im K¨steningenieurwesen die Variablen Welu lenh¨he H, Wellenl¨nge L und Wassertiefe d alle auf die Dimension [L], so dass o a

3.2

Dimensionsanalyse

15

sofort mehrere dimensionslose Produkte, wie die Wellensteilheit H/L, die relative Wassertiefe d/L und die Wellenh¨he zur Wassertiefe Relation H/d aufgestellt o werden k¨nnen. Hierbei muß bemerkt werden, dass o H H = d L

1

d L

-1

(7)

gilt und damit feststeht: Es werden lediglich zwei dimensionslose Produkte ben¨tigt, um ein vollst¨ndiges Gef¨ge von dimensionslosen Produkten aus den o a u Variablen H, L und d aus einer identischen Dimension [L] aufzustellen. Ein weiteres Beispiel aus dem Bereich des Ocean Engineering soll dieses Prinzip n¨her bringen. a Beispiel: Die Variablen, die bei der Vorhersage der signifikanten Wellenh¨he Hs auf Ozeanen entscheidend zu sein scheinen, sind die o Gravitationskonstante g, Windgeschwindigkeit U , Wassertiefe d und die Windeinwirkungsl¨nge X, welche auch Fetch genannt wird. Diesa bez¨glich ergibt sich, dass der Wert der signifikanten Wellenh¨he Hs u o eine Funktion von f (g, U, d, X) ist. Diese f¨nf Variablen bilden also u ein vollst¨ndiges Gef¨ge von dimensionslosen Produkten. Ein sola u ches Gef¨ge ist z.B., gHs /U 2 , gd/U 2 sowie gX/U 2 , und Hs kann u damit nach Buckingham's -Theorem uber den Zusammenhang ¨ gHs =F U2 gd gX , U2 U2 (8)

ausgedr¨ckt werden. Durch Erzeugung der dimensionlosen Produku te, wird die Anzahl der Variablen von 4 auf 2 reduziert, wobei g hier als Konstante angenommen wird. Dies ist eine große Vereinfachung und hilft dem in der Praxis t¨tigen Ingenieur vehement. Entsprea chende Tafeln werden im Shore Protection Manual (1978) bzw. im Coastal Engineering Manual (2001) auch tats¨chlich verwendet, da a die internen Prozesse bei der Wellengenerierung durch Wind immer noch weitesgehend unbekannt sind. Noch einfacher gestaltet sich eine Dimensionsanalyse, wenn die am Prozess beteiligten Variablen in einer Matrix aufgeschrieben und deren jeweilige Dimension in Potenzschreibweise tabellarisch festgehalten wird. Auf das vorherige Beispiel zur Bestimmung der signifikanten Wellenh¨he Hs gestaltet sich diese Matrix bezogen auf ein o Massen-System, wie folgt: g 1 -2 0 Hs 1 0 0 U 1 -1 0 d 1 0 0 X 1 0 0

L T M

3.2

Dimensionsanalyse

16

Da die Einheit der Masse in dieser vereinfachten Betrachtung nicht enthalten ist, beschr¨nkt sich die Zahl der fundamentalen Dimena sionen auf r = 2 und damit die Zahl der dimensionslosen Produkten auf m = n - r = 5 - 2 = 3. Das vollst¨ndige Gef¨ge der dimensia u onslosen Produkte beinhaltet drei Terme, die jeweils die Form:

k = g k1 H s 2 U k3 d k 4 X k5

(9)

aufweisen m¨ssen. Das System der unabh¨ngigen Exponenten Gleiu a chungen kann sofort aus der Matrix aufgeschrieben werden und ist damit: (k1 + k2 + k3 + k4 + k5 ) = 0 -2k1 - k3 = 0 (10)

Dieses Gleichungssystem ist mit nur zwei Gleichungen und f¨nf Vau riablen uberdeterminiert, so dass drei vorgegeben und somit zwei ¨ Variablen damit bestimmbar werden. Das erste Produkt sollte die abh¨ngige Variable mit der ersten Potenz integriert haben, so dass a k2 = 1 gew¨hlt wird. Der Fetch sollte dar¨ber hinaus nicht in dema u selben Parameter auftauchen, so dass k4 = k5 = 0 definiert werden. Nach Aufl¨sung des Gleichungssystems verbleibenden k1 = 1 und o k3 = -2, so dass der erste Term die Form:

1 1 = g 1 Hs U -2 d0 X 0 =

gHs U2

(11)

annimmt. Der zweite Term beinhaltet nicht die abh¨ngige Variaa ble, so dass k2 = 0 wird. Außerdem wird jetzt die Wassertiefe d aber wiederum nicht der Fetch X ber¨cksichtigt, so dass k4 = 1 u und k5 = 0 sind. Das resultiert darin, dass k1 = 1 und k3 = -2 berechnet werden und f¨hrt schließlich zu dem zweiten Term: u

0 2 = g 1 Hs U -2 d1 X 0 =

gd U2

(12)

Mit einer analogen Vorgensweise f¨r den dritten Term, wobei diesu mal der Fetch X Ber¨cksichtigung finden muß, ist 3 definiert: u

0 3 = g 1 Hs U -2 d0 X 1 =

gX U2

(13)

Durch diese Dimensionsanalyse ist der Zusammenhang geschaffen, dass die signifikante Wellenh¨he wie folgt definiert werden kann: o Hs = U2 F g gd gX , U2 U2 (14)

3.3

¨ Ahnlichkeitsgesetze

17

Hughes [3] folgert, dass die Wirkung der Dimensionsanalyse durch ihre einfache Anwendung und universelle Einsetzbarkeit einerseits als St¨rke aber auch a als Schw¨che zu sehen ist. Le Mehaut´ [5] sieht es noch etwas pessimistischer, a e da die Dimensionsanalyse nur eine Ersatzl¨sung des eigentlichen physikalischen o Systems ist, welches aber nur eine L¨sung im mathematischen Verst¨ndnis hero a beif¨hrt, obgleich er auch konstatiert, dass ohne die Dimensionsanalyse oftmals u uberhaupt keine L¨sung eines komplexen System existieren w¨rde. o u ¨

3.3

¨ Ahnlichkeitsgesetze

Birkhoff [1] pr¨gte den Begriff der inspectional analysis und stellte damit die a ¨ allgemein g¨ltigen Ahnlichkeitsgesetze auf, die sich in den dominierenden physiu kalischen Gleichungen widerspiegeln. Diese k¨nnen entweder allgeimer Art oder o beispielsweise auch die Reynold 'schen oder Navier-Stokes'schen Gleichungen umfassen. Sie k¨nnen in differentieller Form, vereinfacht auf eine Dimension o sowie von empirischer oder experimenteller Natur sein. Es wird dabei angenommen, dass der Prototyp eine ausgeglichene Kr¨ftebia lanz erf¨llt. Es gilt, A + B + C + ... = 0 und dabei k¨nnte A eine Tr¨gheitskraft, u o a B eine Druckkraft und C eine Elastizit¨tskraft sein. Das skalierte Modell erf¨llt a u die analoge Bedingung, dass n¨mlich a + b + c + ... = 0 ist, wobei die Platzhalter a in Form der kleinen Buchstaben in dieser Gleichung den großen Buchstaben aus ¨ der Naturgleichung ¨hnlich sind. Unter dieser Voraussetzung besagt das Ahna lichkeitsgesetz, dass die Relationen a/A = b/B = c/C = ... = Y eine Konstante ¨ bilden m¨ssen; nur dann gilt eine mechanische Ahnlichkeit zwischen Modell und u Prototyp. Die inspectional analysis gew¨hrt also einen weitaus tieferen Einblick in Phya sik, als es die Kalibrierungsmethode bzw. die Dimensionanalyse zulassen. Im speziellen erlaubt die inspectional analysis: · Identifikation der wichtigen und vernachl¨ssigbaren Parameter in einem a physikalischen Prozess, · Definition der minimalen Skalierung, um zu garantieren, dass die wichtigsten Parameter im Prozess auch skaliert abgebildet werden, · Absch¨tzung der wichtigsten Parameter im Prozess; Determinierung der a Skalierungseffekte, so dass die vernachl¨sigbaren Gr¨ßen ermittelt werden a o k¨nnen, o · Erkennung der ingenieurtechnischen L¨sungen. o In der Str¨mungmechanik sind generell sechs charakteristische Kr¨fte maßo a gebend: Tr¨gheits-, Druck-, Schwere (Gravitations-), Z¨higkeits- (Viskose-), a a Oberfl¨chenspannungs- und Elastizit¨tskr¨fte. Korreliert man diese zwischen a a a ¨ Modell und Prototyp, sind alle Ahnlichkeitskriterien erf¨llt und man kann dau von ausgehen, dass das Modell sich exakt wie der Prototyp in der Natur verh¨lt. a Dass jedoch, diese sechs Kr¨ftegleichgewichte in der Regel nicht erf¨llt werden a u

3.3

¨ Ahnlichkeitsgesetze

18

k¨nnen, wird in den n¨chsten Abschnitten beschrieben. Zwar ist beispielsweio a ¨ se eine geometrische Ahnlichkeit unabh¨ngig von einer Bewegung des Systems; a aber ein Kr¨ftegleichgewicht h¨ngt eindeutig von der Wahl des geometrischen a a Maßstabs ab, ob n¨mlich im Modell z.B. die Oberfl¨chenspannung einen gr¨ßea a o ren Einfluss hat, die beim Prototyp einen weitaus geringeren Stellenwert haben und folglich vernachl¨ssigt wird. a ¨ Die Ahnlichkeitsbeziehungen zwischen den sechs Kr¨ften spiegeln sich in a Newton's zweitem Bewegungsgesetz wider: Fi = Fp + Fg + FV + Ft + Fe (15)

mit: Fi = Tr¨gheitskraft [V 2 L2 ], Fp = Druckkraft [pL2 ], Fg = Schwerkraft a [gL3 ], FV = Z¨higkeitskraft [µV L], Ft = Oberfl¨chenspannung [L], a a 2 ]. F¨ r eine dynamische Ahnlichkeit, mußsen ¨ Fe = Elastizit¨tskraft [EL a u die Verh¨ltnisse zwischen Tr¨gheitskr¨ften sowie zwischen den Kr¨ftebilanzen a a a a im Modell und beim Prototyp identisch sein. (Fp + Fg + FV + Ft + Fe )m (Fi )m = (Fi )p (Fp + Fg + FV + Ft + Fe )p ¨ und f¨r eine vollst¨ndige Ahnlichkeit muß erf¨llt sein, dass u a u (Fp )m (Fg )m (Fi )m (FV )m (Ft )m (Fe )m = = = = = . (Fi )p (Fp )p (Fg )p (FV )p (Ft )p (Fe )p (17) (16)

Kein Modell kann diese Gleichung vollst¨ndig erf¨llen! Dennoch k¨nnen meia u o stens unter Vernachl¨ssigung der Oberfl¨chenspannung (wenn das Modell nicht a a zu klein ist) und der Elastizit¨tkr¨fte (sofern es sich um identische Fluide hana a delt) einigen Bedingungen nachgekommen werden. Auf diese Art und Weise werden Modelle errichtet, die entweder Schwer- oder Z¨higkeitskraft dominiert sind und infolgedessen a Froude- bzw. Reynoldsmodelle genannt werden. 3.3.1 Froudemodelle

Ein praktisches Beispiel f¨r eine Modell¨hnlichkeit, welche von Schwerkr¨ften u a a ­ also einer Stromung mit freier Oberfl¨che ­ dominiert wird, besagt, dass die a Verh¨ltnisse von Tr¨gheits- und Schwerkraft im Modell und beim Prototyp a a identisch sein m¨ssen: u (Fi )p (Fi )m = (Fg )m (Fg )p mit Dimensionen behaftet lautet das Gleichgewicht: V 2 L2 gL3 =

m

(18)

V 2 L2 gL3

(19)

p

3.3

¨ Ahnlichkeitsgesetze

19

Unter der Voraussetzung, dass f¨r Modell und Prototyp dasselbe Fluid veru wendet wird, vereinfacht sich diese Gleichung zu: V2 gL und schließlich zu: (Vm /Vp )2 =1 (gm /gp ) (Lm /Lp ) (21) =

m

V2 gL

(20)

p

was letztendlich einer zwischen Modell und Prototyp relativierten Froudezahl Vm /( gm Lm ) = Vp /( gp Lp ) entspricht. Weil allgemein die Gravitationskonstante g im Modell und Natur gleich groß ist, ergibt sich: (Vm /Vp ) (Lm /Lp ) ¨ Wird f¨r eine geometrische Ahnlichkeit der L¨ngenmaßstab = Lp /Lm veru a wendet, so verhalten sich die Geschwindigkeiten zueinander: (23) d.h., im Modell sind die Str¨mungsgeschwindigkeit nur um den Faktor 1/ o kleiner, w¨hrend die L¨ngen um den Faktor 1/ zur Natur skaliert sind. Zua a sammengefasst gilt f¨r die wichtigsten Parameter in einem Froudemodell: u · L¨ngen = Lp /Lm = , a · Fl¨chen = Ap /Am = 2 , a · Volumen = Vp /Vm = 3 , · Geschwindigkeiten = vp /vm = · Zeiten = tp /tm = , · Durchfl¨sse = Qp /Qm = 5 , u , Vp = Vm =1 (22)

Jetzt ist auch sofort ersichtlich, dass in einem Modell nicht gleichzeitig eine ¨ Froude'sche und eine Reynold 'sche Ahnlichkeit existieren kann, da allein die Zeitskalen in beiden Modellen (Froude: und Reynolds: 2 ) unterschiedlich sind. Wie soeben erfahren, m¨ssen bei Modellen mit freier Oberfl¨che, bei denen u a auch der Einfluss der Schwerkraft zum Tragen kommt, die Froudezahlen im Modell und Natur gleich gehalten werden. Hier ist jedoch die Berandung des Fliessquerschnitts nur zum Teil vorgegeben. An der freien Oberfl¨che als Fliessgrenze a kommt die Wirkung der Kr¨fte, auch der Reibungskr¨fte, zum Tragen. Will man a a

3.3

¨ Ahnlichkeitsgesetze

20

identische Energieh¨hen, Wasserspiegel und Sohlgef¨lle im Modell und in der o a ¨ Natur erreichen, m¨ssen wiederum die Verlusth¨hen dem Ubertragungsmaßstab u o der L¨ngen entsprechen (I = hv /L). Damit ist der Rauhigkeitsbeiwert V erlust a nach dem Moody-Diagramm zu bestimmen. Wegen der kleineren Reynoldszahlen im Modell muss die Modellberandung (Ufer- und Sohlenbeschaffenheit) dann kleinere k/D-Werte aufzeigen. Die Einstellung des Modells auf Naturverh¨ltnisse (Kalibrierung) erfolgt uber die Variation der Modellrauhigkeit, bis die a ¨ tats¨chliche Spiegellinie erreicht ist. a 3.3.2 Reynoldsmodelle

Ein weiteres praktisches Beispiel f¨r eine Modell¨hnlichkeit, welche von Z¨u a a higkeitskr¨ften ­ also einer Rohrstromung ­ dominiert wird, besagt, dass die a Verh¨ltnisse von Tr¨gheits- und Z¨higkeitskraft im Modell und beim Prototyp a a a gleichgesetzt werden: (Fi )p (Fi )m = (Fv )m (Fv )p mit Dimensionen behaftet lautet das Gleichgewicht: V 2 L2 µV L diese Gleichung vereinfacht sich zu: V L µ und schließlich zu: (m /p )(Vm /Vp )(Lm /Lp ) =1 (µm /µp ) (27) =

m

(24)

=

m

V 2 L2 µV L

(25)

p

V L µ

(26)

p

was letztendlich einer zwischen Modell und Prototyp relativierten Reynoldszahl m Vm Lm /µm = p Vp Lp /µp entspricht. Weil allgemein die Dichte und die dynamische Viskosit¨t µ im Modell und Natur gleich groß sind (wobei teilweise a auch andere Fluide im Modell Verwendung finden k¨nnen), ergibt sich: o Vm Lm =1 Vp Lp (28)

¨ Wird wiederum f¨r eine geometrische Ahnlichkeit der L¨ngenmaßstab = u a Lp /Lm verwendet, so verhalten sich die Geschwindigkeiten zueinander: Vp = Vm (29)

3.3

¨ Ahnlichkeitsgesetze

21

d.h., im Modell sind die Str¨mungsgeschwindigkeit und die L¨ngen um den Fako a tor 1/ zur Natur skaliert. Zusammengefasst gilt f¨r die wichtigsten Parameter u in einem Reynoldsmodell: · L¨ngen = Lp /Lm = , a · Fl¨chen = Ap /Am = 2 , a · Volumen = Vp /Vm = 3 , · Geschwindigkeiten = vp /vm = 1/, · Zeiten = tp /tm = 2 , · Durchfl¨sse = Qp /Qm = , u Dass die Vorg¨nge in Rohrleitungen, die ermittelt werden sollen, jedoch nicht a einwandfrei berechenbar sind, h¨ngt von den Verlusten im System ab. Die a kontinuierlichen hvkont. = V erlust LV 2 /(2gD) und ortlichen Reibungsverluste ¨ hvort. = V erlust LV 2 /(2gD) gelten eigentlich nur f¨r station¨re Fliesszust¨nde. u a a Im instation¨ren Fall sind beide Verlusth¨hen nicht definiert. Diese Verluste haa o ben also einen signifikanten Einfluss auf das Str¨mungsverhalten, weil Energie o dem Fliessvorgang entzogen wird. Eine exakte Modell¨hnlichkeit ist dann gegeben, wenn das Verh¨ltnis aller a a wirksamen Kr¨fte den gleichen konstanten Quotienten ergibt, wie oben bereits a erl¨utert. Nur wenn die Reynoldszahlen im Modell und Natur identisch sind, gilt a ¨ die Ahnlichkeit zwischen Tr¨gheits- und Z¨higkeitskr¨ften. Außerdem m¨ssen a a a u ¨ mechanische Ahnlichkeiten noch erf¨llt werden, dazu geh¨ren neben Rohrform u o und L¨ngenabmessungen auch die Oberfl¨chenbeschaffenheit der Rohrwandung a a (Material). Sie wird in der Rohrhydraulik durch den Parameter k/D gekennzeichnet und ihr Einfluss ist wiederum im Moody-Diagramm dargestellt. Dabei treten folgende Probleme auf: · Bei sehr glatten Naturrohren kann das Verh¨ltnis k/D im Modell nicht a mehr erreicht werden, es entstehen dann immer gr¨ßere Modellverluste, o · Der Erzeugung von der -fachen Modellgeschwindigkeit durch eine 2 fache Druckdifferenz setzt die Modelltechnik Grenzen. ¨ Es wird aus versuchstechnischen Grenzen dann auf angen¨herte Ahnlichkeia ten ausgewichen, indem man das gleiche Verh¨ltnis von Massen- zu Reibungsa kr¨ften nicht f¨r das Fl¨ssigkeitselement (das hieße identische Reynoldszahl), a u u sondern nur f¨r die Verluste in der Leitung fordert, also: u p Lp m Lm = Dp Dm man kann diese Gleichung erf¨llen, wenn: u (30)

3.3

¨ Ahnlichkeitsgesetze

22

· rauher Bereich (V erlust = f (k/D)), es ergibt sich ein Remin ­ das Modell darf nur mit Re > Remin betrieben werden, ¨ · Ubergangs- oder glatter Bereich (V erlust = f (Re, k/D)). So ist V erlust ¨ durch Anderung von Re (bei Rem < Rep ) zu bestimmen, jedoch treten enge Grenzen auf, weil glatter als hydraulisch glatt nicht m¨glich ist, o · verzerrte Modelle, w¨hle verschiedene L¨ngs- und Quermaßst¨be, z.B. a a a Dp /Dm < Lp /Lm , also relativ gr¨ßerer Rohrdurchmesser im Modell. o 3.3.3 Grenzen des Versuchswesens

Hydraulische Modelle m¨ssen gewisse Abmessung aufweisen, die nach oben u ¨ hin durch Laborabmessungen und nach unten durch Ahnlichkeitsgrenzen beschr¨nkt werden. Durch Reduzierung der Reynoldszahln wirkt sich der Z¨a a higkeitseinfluss unmaßst¨blich aus, aber die hydraulisch glatt Kurve aus dem a Moody-Diagramm kann nicht unterschritten werden. Strenger ist die Forderung nach turbulenter Str¨mung, die sowohl in der Natur als auch im Modell o garantiert werden muß. Außerdem spielt die Oberfl¨chenspannung vor allem a im Modell eine Rolle, so dass ihr Einfluss niemals uberwiegt, muss insbeson¨ dere in Flussmodellen eine ausreichende Wassertiefe (min. 3 cm) gegeben sein! Ist die Einhaltung dieser Wassertiefe nicht erreichbar, etwas bei großfl¨chigen a ¨ Modellen, sollte der vertikale Maßstab uberh¨ht abgebildet werden. Ahnlicho ¨ keitsgesetze gelten dann nur noch n¨herungsweise, so dass eine erneute Kalia brierung erforderlich wird. Ein Problem beim Verzerren ist, dass vertikale und horizontale Geschwindigkeiten unterschiedlich ubertragen werden. ¨ 3.3.4 Detailprobleme des wasserbaulichen Versuchswesen

· Bewegliche Sohle: Modellk¨rnung ist nicht beliebig verkleinerbar, weil sich o das physikalische Verhalten des Bodens signifikant ¨ndert (Sand - Ton). a Als Abhilfemaßnahme kommt z.B. einen Abmiderung der spezifische Dichte des anstehenden Materials in Frage. ¨ · Tidemodelle: Ubergang auf Z¨higkeitsabfl¨sse bei flachen Neigungen a u (Oberfl¨chenspannung), bei zu langsamen Str¨mungen im Modell k¨nnen a o o unter Umst¨nden nicht gewollte laminare Zust¨nde erzielt werden. Außera a dem wird im Modell nicht oder nur kaum der Einfluss der Coriolis-Kraft bemerkbar sein. · Schwingungen: Bauwerksschwingungen, die durch Str¨mungen im Modell o erzeugt werden, sind auf die Natur uberhaupt nicht ubertragbar. ¨ ¨ · Luftaufnahme: Aufgrund großer Verwirbelungen oder beim Wellenbrechen ist die Luftaufnahme (air entrainment) vom Modell auf den Prototyp ebenfalls nicht ubertragbar, da Luftblasen im Modell und in der Natur ¨ mit gleicher Aufstiegsgeschwindigkeit auftreten.

3.3

¨ Ahnlichkeitsgesetze

23

3.3.5

Wahl des Maßstabs

Sicherlich sollte ein Modellmaßstab nicht zu klein gew¨hlt werden, so dass auf a dieser Ebene nicht andere Kr¨fte (Z¨higkeit-, Kapillar- und Elastizit¨tseffekte) a a a uberm¨ssigen Einfluss auf die physikalsichen Prozesse aus¨ben. Es muß also a u ¨ erkannt werden, dass die Skalierung nicht unendlich fortgef¨hrt werden kann; u ¨ andererseits existiert niemals vollkommene Ahnlichkeit zwischen Modell und Natur ­ das Modell kann nur die Natur ¨hnlich abbilden. a Oftmals resultieren Skalierungseffekte auch aus einer unzureichenden Laborausstattung, z.B. bei der mechanischen Reproduzierung von Wellen in Kan¨len, a die wie hinl¨nglich bekannt sein sollte, in der Natur durch den Wind erzeugt a werden. Oder die Verwendung von S¨ßwasser im Labor, wobei dieser Effekte u relative einfach ausgeglichen werden kann, da das Modell einfach ein anderes Gewicht zugeordnet bekommt und damit die Auftriebskr¨fte wieder identisch a sind. Hingegen spielen Messfehler eine gr¨ßere Rolle, insbesondere bei Messvoro g¨ngen im Modell, da oftmals die Str¨mungsprozesse durch die Hinzunahme a o von Instrumenten nachhaltig beeinflusst wird (z.B. Geschwindigkeitsmessung mit hydrometrischen Fl¨geln). u Die Wahl des Modellmaßstabs richtet sich also einerseits nach gewissen ¨koo nomischen Randbedingungen, und den physikalischen Randbedingen andererseits, um eine ausreichende Modell¨hnlichkeit zu gew¨hrleisten. Letztendlich a a entscheidet der Modellierer nach Erfahrung, was den richtigen Modellmaßtab ausmacht. Z.B. wurden Hafenmodelle zur Untersuchung der Wellenausbreitung und des Resonanzverhaltens in Maßst¨ben 1/300, 1/150 und 1/100 ausgef¨hrt, um dann a u doch herauszufinden, dass ein Maßstab von 1/150 wohl den richtigen Maßstab im ¨konomischen wie auch im physikalischen Verst¨ndnis ausmacht. Weitere tyo a pische Modellmaßst¨be im wasserbaulichen Versuchswesen sind beispielsweise: a · Wellenbrecher Stabilit¨t: 1/30 bis 1/50, a · Wind-Wellen Einwirkung in H¨fen: 1/150 (Wassertiefe sollte nicht kleiner a als 3 cm und Wellenperioden nicht kleiner als 0,5 sec werden), · Wasserkraftwerke (Zu- und Auslaufquerschnitte), Entlastungsanlagen (Sprungschanzen): 1/50 bis 1/100, ¨ · Flussmodell, Astuar: 1/100 (vertikal), 1/800 (horizontal), · Strand, Shoreline: 1/100 (vertikal), 1/300 (horizontal), · Schiffsmodell: 1/100. Dennoch ist der Trend zu beobachten, dass weltweit immer mehr Superlabs eingerichtet werden, die großmaßst¨bliche Versuchseinrichtungen zur Verf¨gung a u stellen [5], um optimale Bedingungen zu garantieren und Skalierungsfehler zu vermeiden.

LITERATUR

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Literatur

[1] Birkhoff, G. (1950). Hydrodynamics: A Study in Logic, Fact and Similitude. Dover, New York [2] Dalrymple, R. A. (1985). Introduction to Physical Modells in Coastal Engineering. in: Physical Modelling in Coastal Engineering, Editor: R. A. Dalrymple, A. A. Balkema, Rotterdam, The Netherlands, pp. 3-9 [3] Hughes, S. A. (1993). Physical Models and Laboratory Techniques in Coastal Engineering. Adv. Series on Ocean Engineering, Vol. 7, World Scientific [4] Kamphuis, J. W. (1991). Physical Modelling. in: Handbook of Coastal and Ocean Engineering. Editor: J. B. Herbich, Gulf Publishing Company, Houston, USA, Vol. 2 [5] Le Mehaut´, B. (1990). Similitude. in: Ocean Engineering Science, Editor: e B. Le Mehaut´, Vol. 9, Part B in the series The Sea, John Wiley and Sons, e N.Y., pp. 955-980 [6] Price, W. A. (1978). Modells - Can we learn from the Past (theme speech). Proceedings of the 16th Coastal Engineering Conference, ASCE, Vol. 1, pp. 25-36 [7] Yalin, M. S. (1989). Fundamentals of Hydraulic Physical Modelling. in: Recent Advances in Hydraulic Physical Modelling, Editor: R. Martins, Kluwer Academics Publishers, Dordrecht, The Netherlands, pp. 567-588

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