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INDICE Tema I: La Carga Y La Materia

Pág. 1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.Introducción Conductores y Aisladores Conservación y Cuantización de la Carga Ley de Coulomb Fuerzas en las que intervienen fuerzas multiples Fuerzas en las que intervienen distribuciones continúas de cargas Ejercicios propuestos 2 3 3 4 6 7 11

Tema II: Campo Eléctrico

2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.2.8.2.9.Introducción Campo Eléctrico Campo Eléctrico de una carga puntual Campo Eléctrico debido a cargas múltiples Dipolos eléctricos Líneas del campo eléctrico Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga El movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico Ejercicios propuestos 15 15 15 16 18 19 20 23 24

Tema III: Ley de Gauss

3.1.3.2.3.3.3.4.3.5.3.6.Introducción Flujo eléctrico Ley de Gauss Aplicación de la Ley de Gauss Conductores y Campos eléctricos Ejercicios propuestos 28 28 31 33 35 39

Tema IV: Potencial Eléctrico

4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.Introducción Potencial Eléctrico Potencial de potencial eléctrico Diferencia de potencial eléctrico Potencial eléctrico debido a distribuciones de cargas Energía potencial eléctrica 43 43 43 45 46 48

4.7.4.8.4.9.4.10.-

Superficies equipotenciales Determinación de campos eléctricos a partir de potenciales eléctricos Potencial de un conductor cargado Ejercicios propuestos

50 50 51 52

Tema V: Capacitores y Dieléctricos

5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.5.6.5.7.5.8.Introducción Capacitancia Calculo de la Capacitancia Energía en capacitores Energía en capacitores Combinación de capacitores Dieléctricos Ejercicios propuestos 56 56 57 58 59 60 62 63

Tema VI: La Corriente y La Resistencia

6.1.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.Introducción La corriente eléctrica y la densidad de corriente Resistencia, Resistividad y Conductividad Modelo de conducción eléctrica Energía y Potencia eléctrica Ejercicios propuestos 67 67 70 71 73 74

Tema VII: Circuitos de Corriente directa

7.1.7.2.7.3.7.4.7.5.7.6.7.7.Introducción Fuerza electromotriz Resistores en serie y paralela Regla de Kirchoff Circuitos RC Instrumentos de medición Ejercicios propuestos 78 78 79 81 82 85 86

Tema VIII: Campos Magnéticos

8.1.8.2.8.3.8.4.8.5.Introducción Campos magnéticos Fuerzas magnéticas sobre un conductor que lleva una corriente Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo magnético uniforme Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético 90 90 92 94 95 2

8.6.8.7.8.8.-

Selector de velocidades, espectrómetro de masa y ciclotrón Efecto may Ejercicios propuestos

96 99 100

Tema IX: Ley de Ampere

9.1.9.2.9.3.9.4.9.5.9.6.9.7.9.8.Introducción Ley de Biot - Savart Ley de Ampere Fuerzas magnéticas entre dos conductores paralelos Campo magnético de un solenoide Flujo Magnético La corriente de desplazamiento de Maxwell Ejercicios propuestos 104 104 105 106 107 108 109 111

Tema X: Ley de Faraday

10.1.10.2.10.3.10.4.10.5.10.6.10.7.10.8.Introducción Ley de Faraday y la Inductancia magnética Ley de Lenz fuerza electromotriz en movimiento Fuerza, energía y potencia en la fuerza electromotriz de movimiento Fuerza electromotriz y campos eléctricos Generadores y Motores Ejercicios propuestos 115 115 117 117 119 120 122 125

Tema XI: Inductancia

11.1.11.2.11.3.11.4.11.5.11.6.11.7.11.8.11.9.Introducción Inductancia Circuitos RL Energía en Inductores Energía en campos magnéticos Inductancia mutua Osciladores en un circuito LC Circuitos RCL Ejercicios propuestos 130 130 132 134 135 137 138 141 142

Tema XII: Inductancia

12.1.- Introducción 12.2.- Transformadores 12.3.- Elementos individuales de circuitos de C.A. 147 147 149

3

12.4.12.5.12.6.12.7.12.8.-

Circuitos de corriente alterna en serie con RCL Potencia en un circuito de C.A. Resonancia en un circuito en serie RLC Circuitos filtros Ejercicios propuestos

153 155 157 158 159 160 166 179

Anexos Respuestas Bibliografía

4

TEMA I LA CARGA Y LA MATERIA

1.1 INTRODUCCIÓN: Un átomo de cualquier elemento está formado por tres tipos de partículas subatómicas: electrones, protones y neutrones. Los protones y neutrones contribuyen la parte central del átomo, llamado núcleo atómico, en cuyo alrededor se encuentran los electrones. La masa de un protón es aproximadamente igual a la de un neutrón pero la del electrón es 1.840 veces menor que la de un protón o un neutrón. La carga del electrón e - = 1, 6 × 10 - 19 coulomb y su masa es 9,11× 10- 31 Kg . La carga del protón e = 1, 6 × 10- 19 coulomb y su masa es 1, 6 × 10- 27 Kg . Ordinariamente el átomo de un elemento tiene igual número de protones que de electrones. Los protones ejercen una fuerza de atracción sobre los electrones; pero los protones entre sí se repelen, ocurriendo este mismo fenómeno de repulsión entre los electrones. Estos fenómenos de atracción y repulsión se explican atribuyéndole una propiedad llamada electricidad o carga eléctrica a estas partículas; que por convención es positiva para los protones y negativa para los electrones. Podemos concluir que un cuerpo electrizado positivamente tiene déficit de electrones y si esta electrizado negativamente tiene exceso de electrones y estado neutro tiene igual número de protones que de electrones. La electrización puede darse por Frotamiento o por Inducción.

Electrización por frotamiento Podemos transferir carga eléctrica frotando una varilla de vidrio con un paño, o frotando una varilla de teflón con un trozo de piel. (ver figura 1.1)

-

5

La varilla de vidrio se carga eléctricamente positiva (protones) y el paño de seda se carga eléctricamente negativo (electrones), lo que a ocurrido entre los dos es una transferencia de cagas, la varilla de vidrio le cedió electrones a el paño de seda y esta a su vez le cedió protones a la varilla de vidrio. Si frotamos la varilla de teflón con el trozo de piel la transferencia de carga que ocurre entre ellos es que la varilla de teflón se carga eléctricamente positivo (protones). Electrización por Inducción.

Utilizamos dos esferas metálicas neutras, sosteniendo cada una por un soporte aislado, tocándose cada una (Figura 1-2.a). Si llevamos una varilla de teflón, con cargas negativas, muy cerca de una de las esferas, los electrones en movimiento en la esfera se van al lado opuesto de la otra esfera, dejando cargas opuestas en las dos esferas (Figura 1.2.b). Mientras sigue cerca la varilla de teflón, separamos las dos esferas, dejándolas con cargas opuestas (Figura 1.2.c). Aun cuando quitemos la varilla de teflón, las cargas inducidas por ella permanecen en las dos esferas metálicas (figura 1.2.d). Decimos que las dos esferas se han cargado por inducción.

6

1.2 CONDUCTORES Y AISLADORES Los conductores son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con bastante libertad, mientras que los aisladores son materiales que no transportan la carga con facilidad. Los materiales como el vidrio, el caucho y la lucita son aisladores. Cuando este tipo de material se carga por frotamiento, sólo el área que se frota se carga y no existe tendencia a la que carga se mueve hacia otras regiones del material. Los materiales como el cobre, aluminio y plata son buenos conductores. Cuando este tipo de material se carga en alguna pequeña región, la carga se distribuye con facilidad sobre la superficie del conductor. Existe una tercera clase de materiales los semiconductores y sus propiedades eléctricas se encuentran entre los correspondientes a los aisladores y conductores, un ejemplo de estos son el silicio y el germanio. 1.3 CONSERVACIÓN Y CUANTIZACIÓN DE LA CARGA. Conservación de la carga.

La carga neta es igual antes y después de cualquier interacción. Un ejemplo de esto lo observamos en las electrizaciones que indicamos en el punto anterior. El intercambio de electrones y interactuando no hace que varíe la carga total del sistema. Nadie ha presenciado caso alguno en la que aparezca una carga neta. Cuantización de la carga.

La carga se representa en múltiplos enteros de la carga del electrón y al hecho de que nunca se han observado cargas menores que la del electrón. En general, las cargas ni se crean, ni se destruyen, ni se transforman, sino que sólo se desplazan y a lo sumo se fraccionan pero nunca más allá de un quantum de carga e - , o sea un electrón. 1.4 LEY DE COULOMB. · · · · · Esta ley es única y exclusiva para dos cargas puntuales. La fuerza sobre cada partícula actúa siempre a lo largo de recta que las une. Las cargas son magnitudes algebraicas que pueden ser positivas o negativas. La fuerza puede ser de atracción si las cargas son de signos diferentes o de repulsión si son de signos iguales. K es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende de las unidades en que se expresen F, q y r.

7

K = ·

1 Nw m 2 = 9 × 109 4 0 C2

0 constante de permisividad del espacio vacío. C2 - 12 0 = 8, 85 × 10 Nw m 2 La Ley de Coulomb establece: "La fuerza de atracción o repulsión entre dos carpas puntuales es directamente proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadro de la distancia que las separa".

F =

1 q 'q r 4 0 r 2 1 3 2

K

(1.1)

Donde: F = Es la fuerza que ejerce q sobre q'. k = Es el vector unitario de vector posición. r = Es la magnitud del vector posición. K = Constantemente de proporcionalidad. q y q'= Son las cargas que interactúan. La unidad de carga es el Coulomb. Decimos que cuando la fuerza entre dos cargas determinadas separadas por 1 mts es igual al valor numérico de K en Newtons, esas cargas son de 1C cada una.

Ejemplo:

Si un electrón se coloca en un punto (3,0,0) cm y un protón se coloca en el punto (0,2,0) cm, halle: a) La fuerza con la cual el electrón actúa sobre el protón, b) El módulo de la fuerza con la cual el protón actúa sobre el electrón. DATOS: e - = p + = 1, 6 × 10 - 19 C

x = 3cm = 3 × 10 - 2 m y = 2cm = 2 × 10 - 2 m

8

r ep 2 = ( 3 × 10- 2 m ) + ( 2 × 10- 2 m ) = 1,3 × 10- 3 m

2 2

a) Aplicando la Ley de Coulomb. Fe - , p = 1 q2 r 4 0 r 2

Fe - , p = ( - 1, 47 × 10- 25 i + 9, 74 × 10- 26 j ) Nw b) Fe - , p = - Fp, e - entonces: Fe - , p = Fp, e - =

( 1, 47 × 10 ) + ( 9, 74 × 10 )

- 25 2

- 26 2

Nw

Fp, e - = 1, 76 × 10- 25 Nw 1.5 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN CARGAS MULTIPLES. Se aplica el principio de Superposición: la fuerza sobre cualquier carga, originada por un conjunto de carga individual. Ft = F + F2 + F3 + KK + Fn 1 Ft =

F

i =1

n

i

=

q 4 0

r

i =1

n

qi

2 i

ri

(1,2)

Pasos para resolver ejercicios de este tipo. 1.Realizar un diagrama en un sistema de coordenadas indicando todas las fuerzas que interactúan. 2.No olvidar que la fuerza eléctrica que actúan sobre una carga es una cantidad vectorial. 3.Busque simetrías en la distribución de las cargas, que den lugar a la fuerza eléctrica.

Ejemplo:

Las cargas q, 2q, -4q y-2q ocupan las cuatro esquinas de un cuadro de 2L de lado, centrado en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Calcular: a) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la carga q, debida a las otras cargas?, b) ¿Cuál es el modulo de dicha fuerza? (ver Figura 1.4).

9

1) Indicamos un sistema de coordenadas sobre la carga que se va a estudiar el efecto.

F2,TOTAL =

1 4 0

Q1Q2 QQ QQ r 4,2 + 3 2 r 3,2 + 4 2 r1,2 Nw 2 r 2 3,2 r 2 4,2 r 1,2

2q 2 4q 2 4q 2 F2,TOTAL = k i + cos - i + sin - j Nw 2 2 2 8L 8L 4L 2 q F2,total = ( 1.3185 × 109 i - 7.695 × 109 j ) 2 Nw L 2 q F2,total = 7.807 × 109 2 Nw L

1.6 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN DISTRIBUCIONES DE CARGAS. CONTINUAS

Es cuando las partículas se componen de grandes cantidades de electrones o protones, por lo que dichas cargas están muy próximas unas de otras.

10

Puede ser buena aproximación manejar un gran conjunto de cargas puntuales como una distribución continua de carga eléctrica. Para evaluar la fuerza eléctrica se realizan los siguientes pasos: (Figura 1.6)

.Se divide la distribución continua de carga en pequeños elementos de q. .Se aplica la ley de Coulomb para calcular la fuerza eléctrica sobre la carga de prueba.

F =

1 q ' q r 4 0 r 2

.Se evalúa la fuerza total sobre la carga de prueba, debido a la distribución continua de cargas, sumando las contribuciones de todos los elementos de carga.

q' F 4 0

i =1

n

qi ri ri 2

Este valor de la fuerza es aproximado .Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeño comparado con la distribución a , entonces podemos decir que el límite de qi 0.

q' F = 4 0

i q 0

lim

r

i= 1

n

i q

2 i

ri

F =

q' 4 0

db r r2

(1.3)

11

En donde la integración es una operación vectorial. Esta es la fuerza total ejercida por una distribución continua de cargas sobre una carga de prueba q'. Al llevar a cabo cálculos de este tipo resulta conveniente utilizar el concepto de densidad de carga, definimos densidad de carga como la carga total de una distribución continua (Q) por unidad de volumen, de área o lineal. - Densidad volumétrica de carga. Si una carga Q está distribuida uniformemente en todo un volumen V, la carga por unidad de volumen, ( rho ) , se define por:

=

Q C en donde tiene las unidades 3 V m

(1.4).

- Densidad superficial de carga. Si una carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie cuya área es A, la densidad lineal de carga, ( sigma ) , se define por:

=

Q , en donde A

tiene las unidades de

C m2

(1.5).

- Densidad lineal de carga. Si una Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud L, la densidad lineal de carga, ( landa ) , se define por:

=

Q C en donde tiene las unidades de L m

(1.56).

Si la carga está distribuida de manera no uniforme sobre un volumen, superficie o línea, se tendría que expresar las densidades de carga como. dQ dQ dQ = ; = ; = (1.7) dV dA dL

Ejemplo:

Una varilla recta de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre una carga de prueba q' ubicada en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de uno de los extremos.

12

Solución:

1.2.-

Dividimos la distribución continua de carga en pequeños q Aplicamos la Ley de Coulomb

F =

Como =

1 q ' q r 4 r2 0

q despejando q = L donde L = x L Sustituyendo en la ecuación en la ecuación 1 q ' x F = i 4 x2 0 3.Se evalúa la fuerza eléctrica total

q ' F = i 4 0 q ' F = i 4 0 F =

L+ d

d

dx = x2 -1 = x

L+ d d

q ' L 1 q 'Q i = i 4 0 d ( L + d ) 4 0 d ( l + d )

Ejemplo:

13

Calcular la fuerza que ejerce un anillo cargado uniformemente con una carga total Q, sobre una carga puntual q', colocada en el eje. El radio del anillo es R, y q', está a una distancia L del centro del anillo. (ver Figura 1.8)

Solución: .Dividimos la solución continua de carga en pequeños q.

Si observamos los componentes de las fuerzas en el eje Z son de igual magnitud pero de sentido contrario por lo que se anulan, esto va a ocurrir para todas las fuerzas perpendiculares. Entonces las fuerzas que van a ejercer sobre la carga de prueba son las que se realizan sobre el eje y. .Aplicando la Ley de Coulomb.

14

Fy =

1 q 'q r 4 0 r 2 q' 4 0 q' 4 0 q cos = R 2 + L2 ) ( qL ( R 2 + L2 )

Fy =

Fy =

.- Se evalúa la fuerza eléctrica total. q' L Fy = dq 4 0 ( R 2 + L2 ) 3 2 Fy = q' L 2 4 0 ( R + L2 ) 3 2 Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es 5 × 10- 5 C. ¿Cómo esta distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza repulsiva entre ellas es de 1Nw cuando las esferas están separadas 2mts? Dos cargas de 1× 10- 9 C están en el aire separadas 8 cm. Hallase el valor y dirección de la fuerza ejercida por estas cargas sobre una tercera de 5 × 10- 11 C distante 5cm de cada una de las dos primeras cargas.

-6 Tres cargas puntuales están a lo largo del eje y. una carga q1 = 2 × 10 C -6 están en y = 2m y una carga q2 = - 3 × 10 C está en y = 1m ¿En donde debe colocarse una tercera carga positiva, q3, de modo que la fuerza resultante sobre ella sea cero?.

1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS. 1)

2)

3)

4)

Se supone que un protón está formado de dos quarks "arriba" de carga +(2/3) e y uno "abajo" de carga -(1/3)e. Suponga que los x10- 15 m. ¿Cuáles son las fuerzas electrostáticas entre cada par de los tres quarks?

15

5)

- 13 - 13 En el punto ( - 2 × 10 m ) se coloca una carga - e y en el punto ( 2 × 10 m ) otra carga +e. Halle la fuerza F que actúa sobre una carga +e situada en el - 13 punto ( 0,10 × 10 m ) .

6)

Una carga de 3 × 10- 6 C se coloca a 12 cm de una segunda carga de - 1,5 × 10- 6 C. Calcúlese la magnitud, dirección y sentido de la fuerza que obra sobre cada carga Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-p. ¿Cuál es la relación de Q a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación, tenga una repulsión Coulombiana máxima? Cierta esfera metálica de volumen igual a 1cm3 posee una masa de 7,5gr y contiene 8, 2 × 10 22 electrones libres. a)¿Cuantos electrones han de quitarse de cada una para que la fuerza electrostática de repulsión entre ellas equilibre exactamente a la fuerza de atracción gravitatoria? Supóngase que la distancia entre las esferas es lo bastante grande para que las cargas sobre cada una de ellas pueda considerarse como puntuales b) Exprésese el número de electrones eliminados como fracción del número de electrones eliminados como fracción del número total de electrones libres. Dos partículas puntuales se colocan a una distancia de 8,75cm entre si y se les comunican carga igual. La primera partícula, de 31,3gr de masa, tiene 1, 93m s 2 de aceleración inicial hacia la segunda partícula. a) ¿Cuál es la masa de la segunda partícula, si su aceleración inicial hacia la primera es 5, 36 m s 2 ? Qué carga tiene cada partícula. Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un cuadrado de lados a, como se ve en la Figura 1.10. Determine la fuerza resultante sobre la carga positiva q.

7)

8)

9)

10)

16

11)

Una carga Q se coloca en cada uno de los vértices opuestos de un cuadrado. Una carga q se coloca en cada uno de los otros vértices. Si la fuerza eléctrica resultante sobre Q es cero ¿Cómo están relacionados q y Q?. Se colocan tres cargas positivas iguales, de magnitud 1, 2 × 10- 6 C en las esquina de un triangulo equilátero de 6cm de lado. ¿Cuál es la fuerza eléctrica neta sobre una carga de - 2 × 10- 6 C que se coloca en el punto medio de uno de los lados? Un cubo de aristas a tiene una carga q en cada vértice. a) Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre cualquiera de estas cargas 2 2 es F = 0, 0252 q 0 a b) ¿Cuál es la fuerza resultante de F sobre una carga puntual Q colocada en el centro del Cubo? Dos esferas similares de masa m cuelga de hilos de seda de longitud L y tiene cargas semejantes q, como se muestra en la Figura 1.9. Suponer que es lo suficientemente pequeño como para que la tan puede reemplazarse por el 13 sen . Utilizando esta aproximación, a) demostrar que x = ( qL 2 0 mg ) en donde x es la separación entre las esferas b) ¿Cuánto vale q sí L =120cm, m =10gr y x5cm? C) Explique en detalles lo que sucedería si las bolas son conductoras y se descargase una de ellas totalmente.

12)

13)

14)

17

15)

a) ¿Cuál es la magnitud de las cargas positivas iguales que deberían colocarse sobre la tierra y sobre la luna para neutralizar su atracción gravitacional? b) ¿Se tiene que conocer las distancias de la tierra a la luna para resolver este problema? Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud 2L, que va de y =-L, como se muestra en la figura (1.12). Se coloca una carga q' en el eje x, en x =D. Si la varilla tiene una densidad de carga = 2 0 D / L y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre q'.

16)

17)

Calcule la fuerza que ejerce una lámina plana infinita con densidad superficial de carga , sobre una carga q.

18

18)

Se tiene una lámina vertical infinita que tiene una carga de 10 - 4 C / m 2 . Se cuelga una pelota de corcho de 5gr de masa, mediante un hilo de 60cm de longitud, a una distancia de 20cm de la lámina cargada. ¿Cuál es la orientación del hilo?. a) ¿Sí la carga de la pelota de corcho es q = 5 × 10- 9 C ? b) ¿Sí es - 2, 4 × 10- 9 C ?. Una varilla larga y delgada, de longitud L, que contiene una distribución uniforme de carga Q, se aleja de una carga puntual q. La parte más cercana de la varilla está a una distancia d de la carga puntual. ¿Cuál es la fuerza eléctrica que ejerce la varilla sobre la carga q? Dos varillas, cada una con longitud 2L, se colocan paralelas entre sí a una distancia R. Cada una tiene una carga total Q, Distribuida uniformemente en la longitud de la varilla, pero no la evalúe. Sin desarrollar las integrales, ¿Puede usted determinar la fuerza entre las varillas cuando R>>L?

19)

20)

19

TEMA II CAMPO ELÉCTRICO

1.8 INTRODUCCIÓN: Si colocamos una partícula de propiedades conocidas en un punto del espacio y medimos las fuerzas que se ejercen sobre ella, podemos determinar las propiedades locales del espacio en ese punto, es lo que se conoce como campo, se trata generalmente de magnitudes vectoriales. 2.2 CAMPO ELÉCTRICO

Se define como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva q' colocada en un punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba q'. E = F q' Nw C (2.1)

La dirección del vector Campo Eléctrico esta determinada por la Fuerza eléctrica que actúa sobre la carga que prueba q'. 2.3 CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL.

Si tenemos una carga q que actúa sobre un punto p que contiene una carga de prueba q', separadas por una distancia r. Recordemos la Ley de Coulomb F = 1 q 'q r 4 0 r 2

Si sustituimos este valor en la ecuación de campo eléctrico obtenemos: E = 1 q r 4 r 2 0 (2.2)

Esta última ecuación obtenida es la que se utiliza para obtener el campo eléctrico generado por una carga puntual.

Ejemplo:

Una carga de 3 × 10- 6 C está ubicada en ( x, y ) = ( 0cm,3cm ) . Determine el campo eléctrico en un punto P ( x, y ) = ( 4cm,9cm ) .

20

E =

1 q r 4 0 r 2

r 2 = x2 + y 2 =

( 4)

2

+ ( 6 ) cm 2

2

r 2 = (16 + 36 ) cm 2 = 52cm 2 r 2 = 52 × 10 -2 m 2 Nw m 2 C

2

E = 9 × 109

3 × 10-6 C 52 × 10 -2 m

2

4 × 10-2 m 6 × 10-2 m i+ j = 72 × 10-2 m 72 × 10-2 m Nw C

E = 5,19 × 10 4 ( 0, 055i + 0, 083 j )

E =

( 2, 88 × 10

3

i + 4, 33 × 103 j )

Nw C

2.4

CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS MULTIPLES

Cuando se tiene cargas múltiples aplicamos el principio de superposición para determinar el campo eléctrico neto o resultante. Este principio establece que la fuerza eléctrica neta sobre un cuerpo es la suma vectorial de las fuerzas debida a las cargas puntuales individuales. O sea que el campo eléctrico neto es la suma vectorial de los campos de las cargas individuales presentes.

21

ET = E1 + E2 + E3 + KKK + En 1 ET = ET = 4 0 i= 1

n

n

i= 1

qi ri ri 2

(2.3)

Ejemplo:

Tres cargas están en los vértices de un triangulo equilátero, como en la figura (2.2) Calcule la intensidad del campo eléctrico en la posición de la carga 8 × 10- 6 C , el modulo del campo eléctrico y su dirección Solución: a)

22

Ex = E1 + E2 x Ex = 1 g1 1 q2 i- sen i 4 0 r 2 4 0 r2 2 1 Nwm 2 5 × 10 - 6 C 3 × 10- 6 C - sen 60 i 2 2 2 ( 50 × 10- 2 m ) C ( 50 × 10- 2 m ) Nwm 2 ( 2 × 10- 5 C / m 2 - 1, 04 × 10- 5 C / m 2 ) i C2 Nw i C

Ex = 9 × 109

Ex = 9 × 109

Ex = 8, 65 × 10 4

Ey = E2 y =

1 q2 cos 4 0 r22 Nw ( - j) C

Ey = 5, 4 × 10 4

ET = ( 8, 65 × 10 4 i - 5, 4 × 104 j )

b) El modulo del campo eléctrico

E

Y

Figura 2.4

( - j) =

9 × 109 Nwm 2 3 × 10 - 6 C cos 60 ( - j ) 2 2 C ( 50 × 10- 2 m ) Nw C

Ex

X

y

ET = ET =

( 8, 65 × 10 ) + ( 5, 4 × 10 )

2 2

4 2

Nw / C

7.48 × 109 + 2,92 × 109 Nw / C

ET = 10,19 × 104 Nw / C

Et

c) La dirección es: tg = Ey 5, 4 × 104 = tg = 0, 62 = arctg 0, 62 Ex 8, 65 × 104

= 31,96 32o

23

2.5

DIPOLO ELÉCTRICOS

Un dipolo eléctrico consta de dos cargas igual magnitud pero con signo contrario, separadas por una distancia L. (Figura 2.5)

Ejemplo:

Si se tienen dos cargas iguales pero de signos contrarios, separadas por una distancia 2ª, en un configuración llamada dipolo eléctrico. ¿Cuál es el campo eléctrico E debido a estas dos cargas, en un punto P que se encuentra a una distancia x sobre la perpendicular al punto medio que une a las dos cargas? Suponga que x>>a. (Figura 2.6) Solución:

+q a a

-q

Ex

P

Ex1 2

E2

E2y

E1y

E1

Figura 2.7 Como los campos generados en el eje de las x son iguales pero de sentidos contrarios el campo resultante en esa coordenada es cero Ey = E1x + E2 x = 1 q1 q2 2 sen + 2 sen - j 4 0 r1 r2

Ey =

1 4 0

q1 2 q a g - j= 2 2 cos - j = 2 2 4 0 ( a + x ) ( a 2 + x 2 ) 2 r1

24

Ey =

2 4 0

(a

qa

2

+ x

2

)

3 2

- j

como x>>a

Ey =

1 4 0

(x )

2

2qa

3 2

j= k

2 qa x3

2.6

LINEAS DEL CAMPO ELÉCTRICO

El campo eléctrico debido a una distribución de carga se pueden visualizar en términos de las líneas de campo eléctrico. Las líneas del campo eléctrico son continuas en el espacio y son una alternativa más adecuada a la representación visual. Para una carga puntual positiva, las líneas son radiales hacia adentro, como lo indica la figura. (Figura 2.8) Para una carga puntual negativa, las líneas son radiales hacia adentro, como lo indica la figura. (Figura 2.9) Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal modo que la tangente a la línea del campo, en cada punto, especifique la dirección del campo eléctrico en ese punto. La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto, es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto. Propiedades de las líneas de campo eléctrico 1.- En una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí. En esta región podemos tomar un área pequeña que esté orientada perpendicular a las líneas casi paralelas del campo. La densidad de las líneas, es el número de líneas que cruzan esa área pequeña, dividió entre el valor del área. 2.- Las líneas pueden indicarse o terminar sólo en cargas y nunca en el espacio vacío. Si no se crean nuevas líneas de fuerza al retirarnos de una carga, será igual a N (número de líneas) dividido entre el área de la superficie perpendicular a las líneas. Esa superficie es una esfera de radio R y la densidad de las líneas es N / 4 R 2 . La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico. 3.- Las líneas se originan en las cargas positivas y se prolongan hacia las cargas negativas. Las eléctricas son las fuentes de los campos eléctricos, que apuntan alejándose de las cargas negativas. 4.- Nunca se cruzan dos líneas de campo eléctrico.

25

2.7

CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA.

Con mucha frecuencia las cargas que interactuar entre sí están muy próximas, a este tipo de situaciones se le considera un sistema de carga continuo, es decir, que el sistema de cargas con espacios muy reducidos entre sí equivalen a una carga total Q que está continuamente distribuida en todo un volumen, superficie o línea. Para evaluar en una distribución continua de carga en el Campo Eléctrico se realizan los siguientes pasos. (Figura 2.10) Se divide la distribución de carga en pequeños elementos q. Se aplica la Ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a estos elementos en el punto P. E = 1 q r 4 0 r 2

Se evalúa el campo eléctrico total sobre el punto P, debido a la distribución de carga, sumando las contribuciones de todos los elementos de cargas. E= 1 4 0

n

i =1

qi ri ri 2

Este valor de la fuerza es aproximado. Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeña comparado con la distancia a P, entonces podemos decir que el limite de qi 0 E=

n 1 qi lim ri 4 0 q 0 i = 1 ri 2

E=

1 dq r2 r 4 0

(2.4)

Esta integración es una operación es vertical. El resultado obtenido de esta integración es el campo eléctrico total ejercido por una distribución continua de carga sobre un punto P. Debemos recordar lo establecido en el tema anterior en el punto 1.7 con respecto a la densidad de carga.

26

Densidad Volumétrica de carga Densidad Superficial de carga

Q ( 2.5) V Q = ( 2.6 ) A

=

Densidad Lineal de carga

=

Q ( 2.7 ) L

Ejemplo:

Una barra de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud y una carga total Q. ¿Calcular el campo eléctrico en el punto P que esta a una distancia d de un uno de los extremos de la barra? Solución:

X

P

Ex

L

d

1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeña q. 2.- Aplicamos la Ley de Coulomb E = 1 q r 4 r 2 0

q despejando q = L donde L = x L Sustituyendo en la ecuación: Como = E = 3.- Se evalúa el campo eléctrico total. 1 x r 4 0 r 2

27

E= 4 0

d+L

d

dx i x2

d+L 1 1 -1 1 E= - = i 4 0 r d 4 0 d d + L

E =

4 0

-d + L + d d (L + d )

i =

E =

L i 4 d ( L + d ) 0

Ejemplo:

Una lamina plana infinita, la carga positiva está distribuida de manera uniforme sobre todo el plano xy, con una densidad superficial de carga, . Calcular la intensidad del campo eléctrico en un punto P que esta en el eje Z a una distancia Z = a. (Figura 2.12) Dividimos la distribución en pequeños diferenciales de q. Aplicamos la Ley de Coulomb. E = 1 q r 4 0 r 2

El área de una porción de franja de longitud L es L dx y la carga sobre la franja es dq = Ldy por lo que la carga d por unidad de longitud es dq Ldy = = dy L L En virtud de que la franja crea en el punto P un campo eléctrico E , que esta en l plano d = y,z 2 dy r 4 0 r Este campo tiene componentes en y y z, pero como las componentes en y por simetría son iguales pero de sentido contrario la suma dará cero al considerar la lamina entera. E =

28

Ez = Evaluado el campo eléctrico total

2 dy r 4 0 r

dy cos r - a a d yr = Como dy = sustituyendo 2 cos cos E =

2 0

a 2 dy cos = cos d g = d cos a r cos 2 Cambiando los límites de integración - 2a 2

2

E=

- 2

d K = (

2

- 2

K=

E= 2.8

K E= K 2 0 2 0

EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO ELÉCTRICO.

Si tenemos una partícula de carga q y la colocamos en un campo eléctrico E, entonces la furaza eléctrica es F = E . q Si esta es la única fuerza ejercida sobre la carga, entonces aplicamos de 2da Ley de Newton. F = m . a Igualando tenemos ; F = E . q E.q (2.8) m

ma = E . q despejando la aceleración a =

Si el campo eléctrico es uniforme la aceleración es constante. Si la carga es positiva, la aceleración será en la dirección del campo eléctrico; si es negativa, la aceleración será en dirección opuesta a la del campo electrónico. Este movimiento cuando se realiza entre dos placas metálicas planas con cargas opuestas, pueden aplicarse las ecuaciones de la Cinemática Bidimensional. (Figura 2.13)

29

Ejemplo:

Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme E, dirigido a lo largo del eje x, describiremos su movimiento.

0 = 0 E

q X

Figura 2.14

at 2 Eq 2 Eq x = Vot + = t V = V0 + at = t 2 2m m V 2 = Vo 2 + 2ax =

( 2qE ) x

M

Ek = 2.9

1 mV 2 = Eqx 2 EJERCICIOS PROPUESTOS.

1) Una carga de - 12 × 10- 6 C está en el punto x =0m y una segunda carga 0,5 × 10- 9 C , en el punto x =0,1m. ¿Cuál s la magnitud y la dirección del campo eléctrico a) en x =1m y b) x =0,11m? 2) Una carga eléctrica de - 2,8 × 10- 6 C está ubicada en el origen. Determine el campo eléctrico a) sobre el eje x =2m y b) sobre el eje y en y =-3. 3) Un pequeño objeto, que tiene una carga de - 5 × 10- 9 C , experimenta una fuerza hacia debajo de 20 × 10- 9 Nw cuando se coloca en cierto punto de un campo eléctrico a) ¿Cuál es el campo en dicho punto? b) Cuáles serian la magnitud y sentido de la fuerza que actuaría sobre un electrón colocado en tal punto? 4) Calcular la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P, de la siguiente figura. (Figura 2.15) 5) ¿Cuál es el vector de un campo eléctrico en el cual la fuerza sobre un electrón es igual a su peso?

30

6) Tres cargas iguales q están en los vértices de un triangulo equilátero de lado a, como se muestra en la figura (2,.16) a)¿En qué punto (que no sea )?el campo eléctrico es cero? b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P? 7) Una pequeña esfera, de masa 0,1gr, lleva una carga de 3 × 10- 10 C y esta sujeta en el extremo del hilo está atado a un gran conductor vertical plano, que tiene una densidad de carga de 25 × 10- 6 C / m 2 . Hállese el ángulo que forma el hilo con la vertical. 8) Una varilla delgada no conducta de longitud L, tiene una carga total q distribuida de modo uniforme en toda su longitud. Demostrar que el valor de E en un punto P sobre la perpendicular al punto medio de la varilla es E= q 2 0 y 1 L2 + 4 y 2

9) Una barra de 10cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de - 5 × 10- 6 C. Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje de la barra, en el punto a 30cm de su centro. 10) Un disco cargado uniformemente de 8cm de radio tiene una densidad de carga de 6 × 10- 4 C / m 2 . Calcule el campo eléctrico sobre el eje del disco a) 2cm, b) 20cm. 11) Dos placas grandes, planas y verticales son paralelas entre sí y están separadas por una distancia d. Ambas tienen una distancia uniforme de carga, , positiva. ¿Cuál es el campo eléctrico? a) en el espacio que las rodea y b) entre ellas? 12) Se tienen una varilla delgada, con carga uniforme, de 50cm de longitud y se dobla en semicírculo. La carga total sobre la varilla es 2 × 10- 6 C. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de campo eléctrico en el centro del semicírculo? 13) Un disco delgado circular de radio a está cargado uniformemente, y su carga por unidad de área es 2 × 10- 6 C. Encontrar el campo eléctrico en el eje del disco a una distancia r del disco. 14) El campo eléctrico en el espacio comprendido entre dos laminas planas y paralelas, cargadas iguales y de signos opuestos, cada una de ellas de 100cm 2 de superficie, es 1× 104 N / C. ¿Cuál es la carga de cada lámina? Deprecie los efectos de los bordes. 15) Se lanza un electrón de un campo eléctrico uniforme de 5 × 103 N / C , dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 1× 107 m / s y forma un ángulo de 30º por encima de la horizontal. a) ¿Calcúlese la altura máxima inicial? b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá el electrón antes de recobrar su altura inicial?

31

16) Un protón se acelera a partir del reposo, en un campo eléctrico uniforme de 6 5 × 102 N / C. En cierto instante posterior, su velocidad es de 2,5 × 10 m / s. a) ¿Determine la aceleración del protón en alcanzar esta velocidad? b) ¿Cuánto tarda el protón en alcanzar esta velocidad? c) ¿Qué distancia recorre en este tiempo? d) ¿Cuál es su energía cinética en ese instante? 17) Se proyecta un electrón formando un ángulo de 37º con la horizontalidad, con una velocidad inicial de 4,5 × 105 m / s, en una región de un campo eléctrico E = 200 j N C. Calcule: a) el tiempo que tarda el electrón en regresara su altura inicial. b) la altura máxima alcanzada por el electrón y c) su desplazamiento horizontal al alcanzar su altura máxima. 18) a) ¿Cuál es la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de 1× 106 N C . ? b) ¿Cuánto tiempo transcurre, si parte del reposo, para que su rapidez sea de un décimo de la velocidad de luz? 19) En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas iguales y opuestas, existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado llega a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2cm de distancia de la primera, al cabo de 1,5 × 10- 8 seg . Hállese: a) El campo eléctrico. b) La velocidad del electrón cuando llega a la segunda lámina. 20) Un electrón entra a la región de un campo eléctrico uniforme, velocidad inicial 3 × 106 m / s y un campo eléctrico 200 N/C. la anchura de las placas es L = 0,1 m. a) ¿Determinar la aceleración del electrón mientras se encuentra en el campo eléctrico?. b) Calcular el tiempo que tarda el electrón en recorrer la región del campo eléctrico. c) ¿Cuál es el desplazamiento vertical y del electrón mientras está en campo eléctrico?. d) ¿Cuál es la velocidad del electrón al salir del campo eléctrico?

32

TEMA III LEY DE GAUSS

1.9 INTRODUCCIÓN Esta ley facilita en muchos casos el cálculo de los campos eléctricos, cuando hay simetría en la distribución de la carga. Su utilidad esta en la habilidad que se tenga para encontrar una superficie gaussiana adecuada en la cual se conozca el comportamiento del campo eléctrico. En el tema anterior vimos como a través de la Ley de Coulomb se calculaba el campo eléctrico partiendo de la distribución de cargas. Esta Ley de Coulomb puede expresarse a través de la Ley de Gauss. Donde los cálculos no son tan laboriosos. 3.2 FLUJO ELÉCTRICO

Es una propiedad de todos los campos vectoriales. Flujo electrónico es una medida de número de líneas del campo eléctrico que atraviesan cierta superficie. El número neto de líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el interior de ella. Tomemos una plano de área A, orientando perpendicularmente al flujo Figura 3.1. Recordando que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del campo eléctrico, entonces el número de líneas que atraviesan la superficie de área A es proporcional al producto de EA, o sea es flujo eléctrico

= EA

(3.1)

Las unidades del flujo eléctrico con Nw. M2/C Si tomamos ese mismo plano de área A y lo inclinamos en ese mismo campo eléctrico formando un ángulo con la vertical Figura 3.2. El número de líneas que pasan a través de ella debe ser menor. Como el número de líneas que atraviesan la superficie A, es igual al que atraviesan las superficie A', entonces el flujo deseado es:

= EA '

Como la relación entre las dos áreas es A = A cos = EA cos (3.2) Con esto podemos concluir: El flujo máximo cuando la superficie es perpendicular al campo eléctrico. El flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo.

33

Claro que esta definición es para un pequeño diferencial de área. Consideremos ahora una superficie general dividida en un gran número de elementos de área A (Fig. 3.3) Si tomamos un pequeño elemento de área como lo indicamos en el dibujo y calculamos el flujo eléctrico a través de él. i = Ei Ai cos = 1. 3 Ei2Ai Producto escalar de dos vectores Si usamos todas las contribuciones de los elementos de área obtenemos el flujo total que pasa por la superficie. Ei. Ai

i= 1 n

Si el área de cada uno de los elementos se hace tender a cero, entonces el número de elemento tiende al infinito y la suma se sustituye por una integral. lim

A 0

Ei. i =

i =1

n

sup erficie

E.dA

Por lo general se trata de evaluar el flujo que pasa por una superficie cerrada, por lo que la ecuación se puede escribir como c =

E.dA

(3.3)

Podemos decir que si una superficie cerrada tienen más límites salientes que entrantes, el flujo es positivo y si entran más líneas que las que salen, el flujo es negativo.

Ejemplo:

Se aplica un campo eléctrico de 5 × 104 Nw / C , a lo largo del eje x de anchura y 0,8 m de largo, si a) éste es paralelo al plano y z, b) es paralelo al plano y c) contiene al eje y, y su normal, forma un ángulo de 53º con el eje x. Solución: a) Área A d

E

y x Figura 3.4

34

El flujo es: =

E.dA = EdA cos

El ángulo entre E y A es cero grado. Cos 0 = 1 = E dA = E. A El área es b . h Nw.m 2 = E.b.h = 5 × 10 Nw / C.0.8m.0, 2m = 8 × 10 C

4 3

b) z

E

y d A Áre a

x

Figura 3.5

El flujo es: =

E.dA = E.dA cos

El ángulo entre E y A es de 90º, cos 90=0 por lo que el flujo es cero = 0 c) z

E

x

dA

y Figura 3.6

El flujo = E.dA = E.dA cos el ángulo entre E y A es de 53º, cos 53º = 0,60

35

= E cos

4

dA =

E. A cos 53º

3

Nw.m 2 = 5 × 10 Nw / C.0,8m.0, 2m.0, 60 = 4,81× 10 C 3.3 LEY DE GAUSS

Para usar la Ley de Gauss necesitamos determinar el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada. Esas superficies, que por lo general serán imaginarias, pueden que tenga simetría. A estas superficies las llamamos superficies gaussianas. La Ley de Gauss expresa el flujo en términos de la carga encerrada. Si no hay carga dentro de una superficie cerrada, el flujo eléctrico a través de la superficie es cero. Consideramos una carga puntual positiva Figura 3.7, escogeremos una esfera como superficie gaussiana, de radio R, ubicando la carga en el centro de la esfera. Sabemos que el campo eléctrico por ley de coulomb es: 1 q E = r 4 r 2 0 Como podemos observar las líneas del campo eléctrico son reales en toda la superficie y hacia fuera, por lo que son perpendiculares a la superficie en cada punto. O sea que el campo eléctrico en cada punto que tomemos es paralelo al pequeño A, entonces: E.A = E.A Por lo que: d = E.dA = Integrando obtenemos: = = 1 q dA 4 r 2 0

E.dA =

1 q 4 0 r 2

1 q dA = 4 r 2 0 1 q dA = A 4 0 R 2

Como el área de una esfera es 4 R 2 sustituyendo 1 q q = 4 R 2 = 2 4 0 R 0

(3.4)

Este resultado nos indica que el flujo eléctrico que emana de una carga puntual es independiente del radio de la esfera gaussiana. q = E.dA = 0

36

Podemos decir que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es independiente de la forma de esa superficie. De hacho, el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada que rodee a una carga puntual q es q / o Pasos para utilizar la Ley de Gauss en la solución de un Problema: Hacer un esquema de la distribución de carga, que ayudará a ubicar la simetría adecuada. Identificar la simetría espacial de la distribución de carga y de campo eléctrico que produce. Escoger la superficie gaussiana que sea adecuada a simetría identificada. Aplicar la ecuación de flujo eléctrico para una superficie gaussiana.

Ejemplo:

El flujo eléctrico neto que pasa por una superficie cerrada dada es - 4 × 102 Nwm 2 / c. ¿Qué carga está contenida dentro de la superficie, si ésta es a) una esfera de 3cm de lado b) un cubo de lado 3cm y c) un cilindro circular recto de 3cm de altura y 1cm de radio. No necesitamos llevar a cabo la integración, según la ley de Gauss, el flujo eléctrico total es tan solo = q / o, sin importar la forma de la superficie, por lo que la carga encerrada es igual en los tres casos indicados en el problema

q C2 2 2 -2 = q = . 0 = - 4 × 10 Nwm / C.8,85 × 10 2 0 Nwm = - 3,54 × 10- 9 C

3.4 APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.

Presentamos algunos ejemplos de cómo utilizar la Ley de Gauss. Debemos recordar que la Ley de Gauss sólo es útil cuando existe un alto grado de simetría en la distribución de carga y siempre debe elegirse la superficie gaussiana de modo que tenga la misma simetría que la correspondiente a la distribución de carga.

Ejemplos:

1.- Determine el campo eléctrico debido a una varilla infinitamente larga, recta, y cargada con densidad lineal de carga positiva , constante, como se observa en la Figura 3.8. Solución: Por simetría, la dirección del campo eléctrico es radia en el plano x, y, como se observa en la Figura 3.9.

37

La superficie gaussiana que tiene simetría con la varilla es un cilindro, el cual lo indicamos centrado en la varilla, con un radio r y una altura h, como se observa en la Figura 3.10. Calculamos el flujo a través del cilindro, indicando las direcciones de las áreas, dA para las diversa superficies del cilindro. = 1 = = 0 2 = 2 = 3 =

E.dA

1 1 1

1

+

E.dA

2 1

2

+

E.dA

3

3

E.dA cos E.dA

2 2

;

El campo eléctrico es paralelo a esa superficie por o lo que E es perpendicular a dA1 ; cos 90 = 0 el campo eléctrico es perpendicular a la superficie por lo que E es paralelo a dA2 ; cos 0º = 1 el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo o que E es perpendicular a dA3 ; cos 90 = 0

2

cos 2 ;

E.dA E.dA

2

3

cos 3 ;

3 = 0

dA2 = E. A2 entonces el flujo es : = E el área lateral de un cilindro recto de altura h es 2 rh = E.2 rh q . Aplicando la Ley Gauss: = 0 Igualando las ecuaciones obtenemos: q q E.2 rh = E = 0 2 rh 0 q ; q = L donde L=h como la densidad de carga = L Sustituyendo E=

h E= 2 rh 0 2 r 0

2.- Determine el campo eléctrico fuera y dentro de un cascarón esférico de radio R que tiene una carga total Q positiva distribuida uniformemente sobre una superficie externa.

38

a)

CAMPO ELÉCTRICO FUERA Figura 3.11

Solución: Por simetría el campo eléctrico es radial hacia fuera y r > R, aplicando la ecuación de flujo. = E.dA = E dA cos , = 0 cos = 1 = E dA = E. A; el área de la esfera gaussiana es 4 r 2 q = E 4 r 2 ; aplicando la Ley de Gauss = 0 q E = 4 0 r 2 CAMPO ELÉCTRICO DENTRO Figura 3.12

b)

Solución: Dentro del cascarón el radio de este es mayor al de la superficie gaussiana R > r, para este caso la superficie gaussiana no encierra carga alguna, por lo que el campo eléctrico dentro del cascarón esférico es cero (Q = 0). q E = E =0 4 0 r 2 3.- Calcule el campo eléctrico fuera de una lámina infinita no conductora, con la densidad uniforme de carga, . Figura 3.13 Para resolver este ejercicio debemos ubicar la superficie gaussiana simétrica, en este caso podemos utilizar un cilindro igual que el primer ejemplo. Figura 3.14 =

EdA + EdA + EdA = EdA ; el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por

1 2 3 1 2 3 1 1 1

= E dA 1 1

lo que E es paralelo a dA; cos 0º = 1

= EdA2 ; el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo 2 que E es perpendicular a dA, cos 90º = 0 2 2= 0 = EdA ; el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por 3 3 lo que E es paralelo a dA, cos 0º = 1 3 paralelo a dA, cos 0º = 1 3 = E dA3

3

39

entonces el flujo es: = E dA1 + E dA2 = 2 E dA = 2 E. A recordando que = Q Q = A sustituyendo en la ley de gauss. A = igualando las dos ecuaciones: 2 EA = 3.5 Q A = 0 0

A

0

E =

0

CONDUCTORES Y CAMPO ELÉCTRICOS.

Los conductores tienen gran número de electrones libres. Cualquier campo eléctrico que se desarrolle dentro de un conductor, por efecto de un campo eléctrico externo, hará que los electrones se muevan y en menos de un microsegundo, se reacomodan en una configuración que anula el campo eléctrico dentro del conductor. Los conductores no tienen campo eléctrico estático interno. El movimiento de cargas en respuesta a campos eléctricos aplicados se llama inducción. Como podemos observar Figura 3.14 el campo inicial, no tiene su forma original al que se genera a través de las cargas inducidas. Veamos que sucede cuando a un conductor se le colocan cargas en ellos o cerca de ellos o cuando se colocan en campos eléctricos externos con la Ley de Gauss. a) Cuando colocan cargas en los conductores (exceso de carga). Vemos que dentro de la superficie Gaussiana Figura 3.15 no hay campo, no hay flujo y no hay carga neta, todo el exceso de carga está en la superficie externa de un conductor se mueve al exterior E = 0. Figura 3.16. Cuando la burbuja esta cargada +Q, esta inducirá una carga -Q en la superficie del metal, lo cual mantiene al campo eléctrico dentro del metal en cero E = 0. Figura 3.17.

40

b) Campos eléctricos cerca de conductores. 1) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor, debe ser perpendicular a la superficie del conductor. 2) Empleando la Ley de Gauss, podemos calcular el valor de ese campo eléctrico perpendicular cerca de la superficie, en términos de la densidad de carga en ella.

Ejemplo:

Conductor con una superficie gaussiana pequeña perpendicular a la superficie del conductor o cuya tapa es paralela a la superficie. Figura 3.18. La densidad ( sigma ) de carga superficial puede variar en el conductor, por lo que tomamos una superficie gaussiana muy pero muy pequeña donde tanto la densidad de carga ( ) superficial y E se puede considerar constante en ella. Q ; = E.dA = EA 0 Como sabemos la carga total de q encerrada en la superficie gaussiana es A de modo que: igualando las ecuaciones = Q = E. A 0 y sustituyendo el valor de la carga total

A

nos queda E =

el campo eléctrico inmediatamente fuera de la superficie es 0 proporciaonal a la densidad local de carga. En resumen: 1) El campo eléctrico dentro de un conductor es cero. 2) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor es perpendicular a la superficie de éste, y tiene el valor o, siendo la densidad superficial de carga local.

0

= E. A

41

3) Un conductor en equilibrio eléctrico, ----- uno que contenga burbujas no conductoras, sólo puede tener carga n su superficie exterior, siempre que las burbujas no contengan carga neta.

Ejemplo:

Dos cascarones concéntricos, conductores perfectos (Figura 3.19), tienen radios R y 2R, respectivamente. Se coloca una carga q en la esfera interna, y de -2q en la externa. ¿Cuáles son los campos eléctricos en todo el espacio, debido a los dos cascarones? Solución a) Cuando el radio de la superficie Gaussiana es menor que el radio R r < R. Como la superficie GAussiana no encierra carga alguna, el campo eléctrico dentro del cascarón de radio R es cero E = 0.

b)

Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el cascarón de radio R y menor que el de 2R R < < 2R, (Fig.3.20), para este caso la carga que esta encerrada por la superficie gaussiana es la del menor cascarón (q) aplicando la ecuación del flujo eléctrico para calcular el campo eléctrico. = E.dA = E.dA cos , como el campo eléctrico E es paralelo a dA- e , = 0o , cos 0o = 1 = E dA = E. A, el área de una esfera gaussiana es 4 r 2 = E.4 r 2 q , igualando 0

La ley de Gauss es =

= E.4 r 2 = q 4 0 r 2

q despejando 0

E=

c)

Cuando el radio de la superficie gaussiana es mayor que el del cascarón mayor (2R), 2R < r (Fig. 3.21). La carga cerrada por la superficie gaussiana es la carga total interna qiut = q -2. q qiut = -q, con esta carga calculamos el campo eléctrico a través del flujo eléctrico.

42

= E.dA = E.dA cos , dA, = 0o ; cos 0o = 1

el campo eléctrico E es paralelo a

el área de una esfera gaussiana es = E dA = E. A, 2 = E.4 r q ; Igualando las ecuaciones: la ley de gauss es = 0 E.4 r 2 = 3.6 -q -q ; despejando E = 0 4 0 r 2

4 r 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Una placa infinitamente grande, delgada y no conductora, tiene una densidad uniforme de carga, a) ¿Cuál es el flujo eléctrico de un circulo de radio R paralelo a la placa? b)¿Cuál es el flujo por ese circulo si el plano del circulo tiene una inclinación de 30º con respecto a su orientación original?. 2) El campo eléctrico en determinada región del espacio tiene la dirección de z y su magnitud es E = 4XZ, en la cual X y Z se miden a partir de cierto origen. Calcule el flujo eléctrico de ese campo a través de un cuadrado perpendicular al eje Z; las esquinas del cuadro están (X, Y, Z)= (1,1,3); (1,2,3); (2,2,3) y (2,1,3). Todos los campos se miden en Nw/C y todas las distancias en m. 3) Un campo eléctrico de dirección constante es perpendicular al plano de un circulo de radio R. la magnitud máxima del campo en ese plano se tiene en el círculo. Suponga que la magnitud del campo eléctrico en el plano decrece desde un valor axial, en la forma 1/r. Determine el flujo eléctrico a través del plano del círculo. 4) Una carga q se coloca justo arriba del centro de un círculo horizontal de radio r, y sobre la carga se coloca un hemisferio de ese radio (Fig. 3.22). Calcule el flujo eléctrico a través de la superficie cerrada que consiste del hemisferio y el círculo plano. 5) Una carga de 120 × 10- 6 C está en el centro de un cubo con los lados 25cm a) Determine el flujo total a través de cada cara del cubo b) ¿Halle el flujo a través de la superficie completa del cubo? 6) Una carga puntual, q, está en el centro de un tetraedro de lado L (Fig. 3.23). ¿Cuál es el valor promedio del campo eléctrico sobre una cara del tetraedro?

43

7) La intensidad del campo eléctrico terrestre cerca de su superficie es 130 Nw / C y apunta hacia abajo ¿Cuál es la carga de la tierra, suponiendo que este campo sea causado por tal carga? 8) Un globo de 30cm de radio tiene una carga de 3 × 10- 8 C distribuida uniformemente sobre su superficie . ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 49cm del centro del globo?. Suponga que el globo se encoge a un radio de 10cm, pero no pierde carga. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia de 40cm del centro? 9) Una lámina plana grande cargada tiene una carga por unidad de área de 7,5 × 10- 6 C / m2. Halle la intensidad del campo eléctrico precisamente arriba de la superficie de la lámina medio desde su punto medio. 10) Un cascarón esférico grueso, no conductor, con carga total Q distribuida uniformemente tiene radio interior R, y radio exterior R2 . Calcule el campo eléctrico resultante, en todo lugar del espacio. 11) A lo largo de un cilindro infinito de radio r se distribuye uniformemente una carga a) Demostrar que E, para distancias r medidas desde el eje del cilindro(r < R), está dado por E = r / 2 0 en donde es la densidad de carga b) ¿Cuál serían el resultado esperado para (r>R)?. 12) Se tiene un cubo de lado a ubicado en el origen, ver Figura (3.24), suponga que un campo eléctrico está presente, y está descrito por bx 2i + cxzk , siendo b y c cantidades constante. Calcule el flujo a través de cada lado del cubo, y use el resultado para calcular la carga dentro del cubo. 13) Dos láminas no conductoras infinitas con carga son paralelas entre sí, como se ve en la figura (3.25). La lámina de la izquierda tiene una densidad de carga uniforme y la lámina de la derecha tiene una densidad de carga uniforme - . Calcule el valor del campo eléctrico en los puntos a) a la izquierda de las dos láminas b) entre ellas y c) a la derecha de ellas. 14) Una superficie cerrada cuyas dimensiones son a=b=0,4m y c=0,6m está ubicada como se indica en la figura (3.26). El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y está 2 dado por E = ( 3 + 2 x ) i. Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Cuál es la carga neta encerrada por la superficie? 15) Un conductor tiene una superficie orientada en el plano yz, que es la frontera de una región en la cual hay campo eléctrico orientado hacia la dirección +x. La intensidad de este campo decrece linealmente a medida que aumenta x de x =0m a x =3m. Al principio de la región, en x =0, la intensidad de campo ha bajado a cero. describa la distribución, en dirección x, de la carga que produce ese campo. 44

16) Dos grandes placas metálicas de área 1m 2 están colocadas frente a frente (Fig. 3.27). Están separadas 5cm y tienen cargas iguales y opuestas en sus superficies interiores. Si E entre las placas es de 55 Nw / C ¿Cuál es la carga en las placas? 17) Un cascarón esférico conductor de radio 8cm lleva una carga neta de 2 × 10- 6 C , uniformemente distribuida sobre su superficie. Obtenga el campo eléctrico en los puntos a) fuera del cascarón b) dentro del mismo. 18) Una pequeña esfera cuya m es 1× 10- 3 gr tiene una carga q de 2 × 10- 8 C. Cuelga de un hilo de seda que forma un ángulo de 30º con una gran lámina conductora cargada como muestra en la figura (3.28). Calcule la densidad de carga superficial de la lámina. 19) Una partida , que se dirige a la superficie de un núcleo de oro se encuentra a una - 15 distancia igual a un radio nuclear ( 6,9 × 10 m ) de esa superficie. ¿Cuáles son las

- 27 fuerzas sobre esa partícula y su aceleración en ese punto? ( m = 6, 7 × 10 Kg ) .

20) Un alambre recto largo está rodeado por un cilindro metálico hueco cuyo eje coincide con el del alambre. El alambre sólido tiene una carga por unidad de longitud de + , y el cilindro hueco tiene una carga neta por unidad de longitud de + 2 . Con base en esta información, aplique la ley de Gauss para hallar a) la carga por unidad de longitud sobre las superficies interior y exterior del cilindro hueco y b) el campo eléctrico afuera del cilindro hueco, a una distancia r del eje.

45

TEMA IV POTENCIAL ELÉCTRICO

1.10 INTRODUCCIÓN El potencial eléctrico ofrece una manera más sencilla de describir los fenómenos electrostáticos que la que presenta el campo eléctrico. Esta es la principal razón por la cual este concepto ha alcanzado una mayor aplicación. Como la fuerza electrostática dada por la ley de coulomb es conservativa, es posible describir convenientemente los fenómenos electrostáticos en términos de una energía potencial eléctrica. Esto es lo que nos permite definir una magnitud escalar llamada Potencial Eléctrico. En los circuitos eléctricos de voltaje, o tensión, medida entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia de potencial eléctrico entre esos dos puntos. 1.11 POTENCIAL ELÉCTRICO: El potencial eléctrico es una función escalar que representa el trabajo por unidad de carga, realizado por un agente externo para cambiar la posición de una carga eléctrica determinada dentro de una región donde existe una campo eléctrico. El potencial eléctrico solo es una propiedad de larga o la distribución de carga que los produce (q) y no de la carga de prueba (q'). 1.12 POTENCIAL ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL: Tomemos dos cargas puntuales q y q', separadas por una distancia r. Entonces el potencial eléctrico es. W F .R q ' E .R V( r ) = = ( r) = q' q' q'

V( r ) = E.r = 1 qr 4r 0 r 2

V( r ) =

1 q 4r 0 r

(4.1)

Calculo del potencial eléctrico de una carga puntual q a una distancia r de la carga.

La unidad de potencial eléctrico es el Joule entre coulomb (J/C), a esta unidad se le dio el nombre de voltio.

46

1 = 1J / C V Como el potencial eléctrico tiene las dimensiones de campo eléctrico multiplicado por la longitud, entonces. 1N / C = 1 / m V Para el cálculo del Potencial Eléctrico de dos o más cargas puntuales aplicamos el principio de Súper posición. El potencial total en un punto P, debido a varias caras puntuales, es la suma de los potenciales debidos a las cargas individuales. Vt = V1 + V2 + KKKK + Vn Vt =

Vi =

i =1

n

1 4 0

i =1

n

qi ri

(4.2)

Observamos que es una suma algebraica.

Ejemplo:

-6 -6 Se colocan dos cargas en el eje X : q1 = 4 × 10 C en 2cm y q2 = - 2 × 10 C en 4cm. Determine los puntos en el eje de las X donde el potencial es cero.

Solución: a) El punto izquierdo al lado de la carga q1 q1 2cm q2

y

p

X 2m = 2 × 10- 2 m Vt = V1 + V2 = 0 2cm 4cm

x

Figura 4.1

47

V1 = - V2 1 q1 1 q2 = 4 0 r1 4 0 r2 1 4 × 10- 6 C 1 = - 4 0 X 4 0

(

- 2 × 10- 6 C X + 2 X 10- 2 m )

4 × 10- 6 C 2 × 10- 6 C 4 × 10- 6 C = = X X + 2 × 10- 2 m 2 × 10- 2 C 2=

(

X X + 2 X 10- 2 m )

X 2 ( X + 2 X 10- 2 m ) = X X + 2 X 10- 2 m 2 X + 4 X 10 - 2 m = X 2 X + 4 X 10- 2 m - X = 0 X = - 4 X 10- 2 m b) El punto derecho al lado de la carga q2

y

q1

p

X 2cm

x

Figura 4.2

V 1 = -V 2 1 q1 1 q2 = - 4 0 r 4 0 r2 1 q1 q2 4 x10 - 6 C - 2 × 10 - 6 C = - = r r2 X + 2 X 10 - 2 m X 1 4 x10 - 6 C X + 2 X 10 - 2 m X + 2 X 10 - 2 m = 2= 2 x10 - 6 C X X -2 2 X = X + 2 X 10 m 2 X - X = 2 X 10 - 2 m X = 2 X 10 - 2 m

48

4.4

DIFERENCIA DE POTENCIAL ELÉCTRICO.

Es el trabajo por unidad de carga que se debe efectuar para mover una carga de prueba desde el punto a hasta el punto sin cambiar su energía cinte. También la podemos definir como el cambio en energía potencial dividido entre la carga de prueba q'. V = VAB W F .ds q '. · ds = AB = - = - q' q' q' A A VAB = - ·ds

A B B B

El signo negativo aparece debido a que el trabajo es realizado por un agente externo cuya aplicada F es igual a - q E. También podemos hacer referencia q que la diferencia de potencial es un trabajo que se produce de potencial es un trabajo que se produce a través de la variación de la energía potencial por lo que. WAB = - EU AB (4.4)

Ejemplo:

Entre dos láminas paralelas situadas en el aire se establece una diferencia de Potencial 2 × 103 , si el aire se hace conductor cuando la intensidad del campo eléctrico excede de 3 × 106 N / C. ¿Cuál es la separación mínima de las láminas? Solución: VAB = - Edx = - E dx = - E ( - X

A A B B

)

VAB = E. X despejando a X V 2.000 N .m / C X = AB = = 6, 67 × 10 4 m 6 E 3 × 10 N / C 4.5 POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A DISTRIBUCIONES DE CARGAS

Como el potencial eléctrico es una magnitud escalar, la integral que resolveremos es escalar también, la distribución continua de cargas las subdividimos en pequeños q. dV = 1 dq 4 0 r

49

para calcular el potencial eléctrico total, integramos: V =

dV

=

1 4 0

dq r

(4.5)

Ejemplo:

Dos placas metálicas paralelas tienen 125cm 2 de área, cada una, están separadas por L =0,8cm. Tienen una diferencia de potencia de potencial de 0,5 V. Determine el valor numérico del campo eléctrico. ¿Cuáles so la densidad de carga y la carga total de cada placa? Solución: a) V = - E dx V = - E dx V = EL

O L

V 0, 5V E= = = 62, 50V / m 2 8 × 10- 3 m El campo eléctrico entre dos placas paralelas es 0

b) E =

0

= E. 0 esta es la densidad de carga. C2 = 5, 53 × 10- 10 c / m 2 2 Nwm

= 62, 5V / m.8,85 × 10- 12

c)

La densidad de carga superficial es:

=

Q Q = .A A C 2 Q = 5, 53 × 10 - 10 . 1, 25 × 10 - 2 m = 6, 91× 10 - 12 C 2 m

(

)

Ejemplo:

Determine el potencial eléctrico de un disco de delgado, plano y uniformemente cargado, de radio R y carga total Q, en un punto P en su eje Solución: dq = dq = dA dA

50

dq = 2 rdr 1 2 rdr 1 dV = = 2 2 4 0 r + x 20 V = V =

rdr

r 2 + x2

R

20

R

0

R2 + x2 - x 20 Q V = R2 + x2 - x 2 0 R 2

(

r 2 + x2 2 0

rdr

r 2 + x2 =

0

)

(

)

4.6

ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA

La energía mecánica es igual a la suma de la Energía cinética mas la Energía Potencial. Em = EK + Eu Y que cambio de la energía mecánica en cero. VEm = Em - EmA = 0 VEm = VEk + VEu = 0 O sea que la variación de la energía cinética es igual al cambio o variación de la energía potencial pero con igual signo opuesta. VEk + VEu = 0 VEk = - VEu El teorema de la energía cinética establece que: W =VEk por lo que podemos decir que: W = -VEk VEu = - W

51

VEu = - F .ds

A

B

(4.6)

Para fuerzas conservativas el valor de F es independiente de la trayectoria de integración entre los puntos a y b. F .ds = F .dr

b b

VEu = - Fdr = -

a

a

1 qq ' dr 4 0 r 2

b

1 dr 1 -1 VEu = - q ' q 2 = q 'q 4 0 r 4 0 r a 1 q 'q VEu = - 44 0 rb 14 244 3 1 q 'q 44 0 ra 14 244 3

VEu = EuB - EuA a.- Energía Potencial en un sistema de cargas: Si en el sistema existen mas de dos partículas cargadas, puede obtenerse la energía potencial total, calculando Eu para cada par de cargas y sumando algebraicamente los términos: qq q q q1q2 1 Eut = + 1 3 + 2 3 r r2.3 1.2 1.3 4 0 r (4.8)

Ejemplo:

Una carga de 2 × 10 - 4 C está fija en el origen de un sistema de coordenadas. En una pesa con 11gr de masa se coloca una carga de 2 × 10- 6 C la pasa se acerca, desde muy lejos, hasta un punto a 45cm del origen. ¿Cuál es la energía potencial eléctrica del sistema? Solución:

52

Eu =

1 q1q2 Nw.m 2 2 × 10 - 4 C.2 × 10 - 6 C = 9 × 109 4 0 r C2 45 × 10- 2 1.2

Eu = 8 Joule b.- Electrón Volt: Con frecuencia calculamos la energía multiplicando el voltaje por la carga. Esta unidad de energía se llama electrón volt y consiste en multiplicar un electrón por un voltio. 1ev = ( 1, 6 × 10- 9 C ) ( 1V ) = 1, 6 × 10- 19 Joule 4.7 SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES

Son regiones en las que el potencial eléctrico de una distribución de carga tiene valores constantes. Por lo que podemos, decir, que cuando desplazamos una carga de prueba q' que a lo largo de una superficie equipotencial, no se realiza trabajo alguno. Las superficies equipotenciales son siempre perpendiculares a las líneas de fuerza y por consiguiente, al campo eléctrico. 4.8 DETERMINACIÓN DE CAMPO POTENCIALES ELÉCTRICOS ELÉCTRICO A PARTIR DE

Recordando que la diferencia de potenciales es: dv = E.ds Descomponemos a ds en coordenadas cartesianas: ds = dxi + dyj + dzK El producto escalar es: dv = E.ds = - Exdxi - Eydyj - Ezdzk Si despejamos el campo eléctrico, tenemos que este es igual al valor negativo de la derivada del potencial con respecto a alguna coordenada. dv -v -v -v E= - = i- j- k ds x y z O sea que el vector campo eléctrico se expresa en términos de las derivadas del potencial eléctrico.

53

Ejemplo:

Una distribución de potencial en el espacio está descrita por la función: V = Axy 2 - B 2 yz 3 + Cx 2 z , donde A, B y C son constantes. Determine el campo eléctrico: Solución: Ex = V = x

( Ay

2

+ 2CxZ ) i

Ey =

V = ( 2 Axy - 2 Bz 3 ) j y

V = ( - 6 Byz 2 + Cx 2 ) k x E = - ( Ay 2 + 2Cxz ) i - ( 2 Ay - 2 Bz 3 ) j - ( - 6 Byz 2 + Cx 2 ) k Ez = 4.9 POTENCIAL DE UN CONDUCTOR CARGADO

Consideremos dos puntos y B sobre la superficie de un conductor cargado. E siempre es perpendicular al desplazamiento ds por lo que E.ds=0:, Observemos la figura 4.4. VA - VA = VAB = - E.ds = 0

A B

La superficie de cualquier conductor cargado en equilibrio es una superficie equipotencial. Además, ya que el campo eléctrico es cero dentro del conductor, se concluye que el potencial es constante en todo punto del interior del conductor es igual a su valor en la superficie. ANEXO 1: Tabla (4.1)

Ejemplo:

Un disco delgado de 23cm de radio tiene una carga total de 1,5 × 10- 7 C , repartida uniformemente en su superficie. ¿Cuál es el trabajo mínimo que se requiere para traer una carga q = 2 × 10- 8 C en reposo, desde el infinito a una distancia de 78cm del disco, a lo largo de su eje? Solución: V = W W = V .q Q revisando la tabla anterior

54

Q R 2 + x 2 - x .q 2 2 0 R el potencial en un disco cargado W =

W= 2 ( 3,14 ) ( 8,85 × 10- 12 C / Nwm 2 ) ( 23 × 10- 2 m )

-2 2 2

(

)

1,5 × 10- 7 C

2

( ( 23 × 10

W=

m ) + ( 78 × 10- 2 m ) - ( 78 × 10- 2 m ) .2 × 10- 8 C

-7

)

1,5 × 10 C 9,9 × 10- 17 . ( 0, 033m ) .2 × 10- 8 C = Nwm 2 2,94 × 10- 12 2,94 × 10- 12 C / Nw

W = 3,37 × 10- 5 Joule

4.10

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1) Se trae del infinito una carga de 3 × 10- 6 C , y se fija en el origen de un sistema de coordenadas a) ¿Cuando trabajo se efectúa? b) Del infinito se trae una segunda carga de 5 × 10- 6 C , y se coloca a 10cm de distancia de la primera. ¿Cuándo trabajo efectúa el campo eléctrico de la primera carga cuando se trae la segunda carga? c) ¿Cuando trabajo efectúa el agente externo para traer la segunda carga, si esta se mueve con la energía cinética invariable? 2) ¿A través de que diferencia de potencial se necesita acelerar un electrón para alcanzar 8 una velocidad del 60% de la velocidad de la luz a partir del reposo? ( C = 3 × 10 m / s ) .

-9 -9 3) Dos cargas puntuales q1 = 40 × 10 Cyq2 = - 30 × 10 C a una distancia de 10cm. El punto A se encuentra en el punto medio del segmento que los une, y el B dista 8cm de q1 y 6cm de q2 . Hallase: a) el potencial en el punto A; b) el potencial en el punto B; c) el trabajo necesario para transportar una carga de 25 × 10- 9 C desde el punto B al punto A?

4) El potencial a cierta distancia de una carga puntual es 600V, y el campo eléctrico es de 200 N/C a) ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b) ¿y el valor de la carga? 5) Un campo eléctrico uniforme de magnitud 400 V/M esta dirigido en la dirección y negativa, ver la figura 4.5; las coordenadas del punto A son (-0,4, 0.6) m y las del punto B son (0.5, 0.7)m. Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre A y B, utilizando la trayectoria A C B. 6) Un protón pasa del punto A al punto B bajo la influencia única del campo eléctrico, 4 3 perdiendo velocidad al hacerlo, desde VA = 3 × 10 m / s hasta VB = 3 × 10 m / s ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los dos puntos?

55

7) A una distancia r de una carga puntual q1 el potencial eléctrico es V =600V y la magnitud del campo eléctrico es E =200N/C. Determine el valor de q y r. 8) Determinada distribución de cargas estáticas en el espacio produce un potencial 2 eléctrico de la forma V ( x, y , x ) = a, + a2 xz + a3 z , siendo constantes los coeficientes a;. Determine el campo eléctrico E en el origen y el punto (x,y,z)=(0m,0m,1m) . 9) Calcule el potencial eléctrico en el punto P, sobre el eje de la corona mostrada en la figura 4.6, la cual tiene una densidad de carga uniforme y radios interior y exterior iguales a A y B, respectivamente. 10) Demostrar que el potencial eléctrico en un punto sobre el eje de un anillo de radio a, esta dado por: 1 q V = 4 0 x2 + a 11) Un largo cilindro metálico, de radio ra , esta sostenido por un pie aislante sobre el eje de otro largo cilindro metálico hueco de radio interior rb . La carga positiva por unidad de longitud en el cilindro interior es , y sobre el cilindro exterior existe una densidad de carga lineal negativa igual negativa. a) Demuestre que la diferencia de potencial entre los cilindro es 2k Lnrb / ra . b) pruébese que el campo eléctrico en cualquier punto situado entre los cilindros es Vab / Ln ( rb / ra ) .1/ r. 12) El potencial, Vr, de una distribución de carga esféricamente simétrica, esta expresa 2 por Vr = ( Q / 4 0 ) 5 - 4 ( r / R ) para r<R, y por Vr = Q / 4 0 r , para r>R. a) Determine el campo eléctrico. b) ¿Dónde esta la carga, y como se distribuye? 13) El potencial eléctrico en una cierta región es V = zx + y 2 - 7 ¿Determine el ángulo entre la dirección eléctrico, E, y la dirección del eje x positivo, en el punto P, el cual tiene las coordenadas (en metros) (2,1,2)?. 14) Dos conductores esféricos de radios r1 yr2 están conectados por medio de un alambre conductor, como se indica en la figura 4.9. Si r1 = 0,3m y r2 = 0,15m y el campo eléctrico en la superficie de la esfera mas pequeña es de 500 Nw/C, calcule la magnitud de la carga en exceso en la esfera grande. 15) Deduzca una ecuación para el potencial eléctrico en todos los puntos, debido a una varilla de longitud L y densidad lineal uniforme de carga, , empleando la ecuación V = 1 4 0 d q r. La varilla esta orientada en el eje z, con su centro en el origen.

56

Demuestre que a distancias muchos mayores que L a la varilla, el potencial se reduce al de una carga puntual Q = / L, en el origen. 16) Un cilindro infinitamente largo, de radio R, se llena con una densidad volumétrica uniforme de carga . Calcule el potencial dentro y fuera del cilindro. 17) Considere una disposición de ocho cargas negativas iguales ubicadas de modo que queden definidos los vértices de un cubo con arista de longitud L =0,15m.Si cada una de las ocho cargas mide q = - 6 × 10- 6 C , determine el potencial en el centro del cubo. 18) Dos esféricas conductoras idénticas de radio r =0,15m están separadas por una distancia a =10m ¿Cuál es la carga de cada esfera si el potencial de una es 1500 V y el de la otra es -1500 V?. 19) Una lamina cuadrada cuyos lados tienen una longitud L, contiene una densidad superficial de carga informe y esta situada en el plano x y, como en la figura 4.8. Establezca la expresión integral necesaria para calcular el potencial eléctrico en un punto p, sobre una recta perpendicular a un eje que pase por el centro de la lámina. Suponga que el punto P esta a una distancia d de la lámina. 20) Por frotamiento, se puede producir una carga de 10- 8 C. ¿Cuál seria el aumento en el potencial que tal carga produciría en una esfera conductora aislada de 10cm de radio?.

57

TEMA V CAPACITORES Y DIELECTRICOS

1.13 INTRODUCCIÓN Como ya sabemos todo conductor tiene un potencial eléctrico constante en todos sus puntos y dentro de el, por ser superficies equipotenciales. Si tenemos un sistema formado por conductores cargados los cuales están cerca entre si, el potencial de cada conductor no solo va a estar determinado por su carga, si no que también va estar influenciado por el valor y signo, el tamaño, la forma y posición de los otros conductores que intervienen en el sistema. La diferencia de potencial entre dos conductores cargados puede acelerar una carga de prueba o varias, por lo que podemos decir que el sistema almacena energía. Un capacitor en un sistema que almacena energía. La relación entre la cantidad de carga que almacena un capacitor, y la diferencia de potencia de sus conductores, va a depender de la geometría del capacitor. 1.14 CAPACITANCIA Si tenemos dos conductores separados por el espacio vacío o por un material conductor, supongamos que los conductores tienen cargas iguales pero de signos opuestos, de manera que la carga neta es cero. Esta combinación es lo que conocemos como capacitador. La razón de la magnitud de la diferencia de potencia de potencial entre ellos es lo que conocemos como Capacitancia (C). C = Q V (5.1)

La capacitancia siempre es una cantidad positiva, la capacitancia tiene las unidades de coulombs por volt. C= Coulomb = Faradio Volt

Esta unidad del Fardio es muy grande, por lo que las más comunes son el microfaradio 1 MF = 10- 6 F y el picofaradio 1 pf = 10- 12 F , la capacitancia de un dispositivo depende de la disposición geométrica de los conductores. Algunas aplicaciones:

58

Para eliminar la chispa que se produce cuando se interrumpe rápidamente un circuito que posee autoinducción. Para sintonizar circuitos de radio. Para igualar la corriente rectificada proporcionada por el generador e energía. 1.15 CALCULO DE LA CAPACITANCIA Capacitor esférico La Capacitancia de un conductor esférico de radio R y carga Q, el segundo conductor es una esfera conductora hueca concéntrica de radio infinito. C= Q ; como el potencial de la esfera es KQ/R, V y el de la esfera de radio infinito es 0. C= Q R = = 4 0 R KQ / R K Capacitor de placas paralelas. Como se observa en la Figura 5.1, dos placas paralelas de igual área separadas por una distancia d, con cargas +Q y -Q. Si las placas están muy próximas entre si, se pueden despreciar los efectos externos y suponer que E es uniforme entre ellas y cero entre los demás puntos. El campo eléctrico entre las placas es 0 y la carga por unidad de área en cualquiera de las dos placas es = Q A. E = Q A 0

la diferencia de potencial entre las placas es de E.d. V = E.d = la capacitancia es C =Q/V sustituyendo C= A Q = 0 Qd 0 A d QD 0 A

59

Con este resultado obtenemos que la capacitancia de un capacitor de placas paralelas es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia que la separa. Capacitor cilíndrico Un conductor cilindrico, como se observa en la Figura 5.2, de radio a y carga +Q es concéntrico con un cascaron cilíndrico mas grande de radio b y carga -Q: determinar la capacitancia de este capacitor cilíndrico si su longitud es L.. Un ejemplo de este es un cable coaxial.

Ejemplo: (un cable coaxial)

Solución: VAB = - Eds = - Erdr La carga por unidad de longitud = Q L Q = L y el campo eléctrico es 2 K / r B dr VAB = - 2k = - 2k ln ( b a ) r A La capacitancia es: Q C= = sustituyendo de potencial es positiva dado que el cilindro interior tiene mayor V potencial. 1.16 ENERGÍA EN CAPACITORES Un capacitor es capaz de efectuar un trabajo. Podemos determinar la energía contenida en un capacitor cargado determinado cuando trabajo necesita para cargarlo inicialmente. Para cargar un capacitor tomamos un pequeño diferencial de carga adquirida de uno de los conductores y lo pasamos al otro conductor, al continuar moviendo la carga adicional dq, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de más cargas, por lo que tenemos que efectuar un trabajo para mover cada carga adicional. dw = Vdq =

Q A A B B

q dq C (5.2)

W = dw =

q C dq = O

Q

1 Q2 qdq = C 2C O

60

Este es un resultado general para todos los capacitares, ese trabajo queda almacenado en el capacitor como energía potencial. Esta es la energía que puede mover una carga de prueba colocada entre los conductores. Q2 Eu = ; como 2C Q = Cv (5.3)

C 2V 2 CV 2 Eu = Eu = 2C 2 Eu = QV 2

(5.4)

(5.5)

Ejemplo:

¿Cuántas energía se almacena en una esfera metálica de 12cm de radio cuando s coloca en ella una carga de 4 × 10- 5 C ? Solución Eu = QV ; el 2 potencial es Q 4 0 r

Q Eu =

Q 4 0 r Q2 = 2 8 0 r

( 4 × 10 -

8 8, 85 × 10- 12 C

5

C

)

2

(

2

)

12 × 10- 12 m Nwm 2

Eu =

1, 6 × 10- 9 Nw Eu = 59, 93 Joule 2, 67 × 10- 11

1.17 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS En los capacitares las líneas del campo eléctrico van del conductor positivo al negativo. Este campo eléctrico es el que acelera a la carga de prueba, colocada entre las placas del capacitor. Pongamos un ejemplo con un capacitor de placas paralelas.

61

Capacitancia C =

0 A d

Campo eléctrico E =

0 Diferencia de potencial V = E.d Eu = A E2 CV 2 2 = 0 ( Ed ) Eu = 0 2 2d 2

( Ad ) ( volumen )

La densidad de energía (u) es el coeficiente de volumen en la ecuación anterior. U = Eu = volumen u= 0 E 2 2 E2 Eu = 0 2 ( Ad )

( Ad )

esta es la densidad local de energía en el espacio vacío, a un cundo el campo eléctrico sea variable.

1.18 ENERGÍA EN CAMPOS ELÉCTRICOS Los capacitares se pueden asociar de varias maneras, en serie y en paralelo. A continuación veremos como puede calcularse la capacitancia equivalente de estas combinaciones. Asociación en paralelo: La siguiente Figura 5.3, describe una asociación de capacitares en paralelo tienen el mismo potencial entre sus conductores. Q1 = C1V La carga total en ambos capacitares es: Qt = Q1 + Q2 Qt = C1V + C2V y Q2 = C2V

( 5.6 ) = ( C1 + C2 ) V

Despejando V obtenemos la capacitancia equivalente C1 + C 2 = Qt V

62

Capacitancia equivalente es: Cep = C1 + C2 Por lo que podemos decir que la capacitancia equivalente de un grupo de capacitares en paralelo es la suma de cada una de las capacitancia de dichos capacitares. Ceq = C1 + C2 + KKKK + Cn ( 5.7 ) Ceq =

C

i =1

n

i

Concluimos que la capacitancia equivalente es una asociación en paralelo es mayor que cualquiera de las capacitancias individuales. Asociación en serie: La siguiente Figura 5.4, describe una asociación de capacitares en serie. Los capacitores conectados en serie tienen la misma carga. Observamos al conectar la batería y esta mantiene un potencial fijo y se transfieren carga negativa a la placa derecha y carga positiva la placa izquierda (d) la parte pespunteada de la figura se carga por inducción, la carga positiva en la placa a induce una carga negativa en la placa b y la placa d induce una carga positiva en la placa c. Q1 = Q2 = Q El potencial en cada capacitor es: V1 = Q C1 Por lo que: VT = V1 + V2 = Q C 1 + Q C 2 VT = Q ( 1 C1 + 1 C2 ) = Q Cequi . Por lo que la capacitancia equivalente es: 1 Cequi . = 1 C1 + 1 C2 Cuando tenemos n capacitares conectados en serie: 1 Cequi . = 1 C1 + 1 C2 + KKK + 1 Cn = (5.8) y V2 = Q C2

1C

i =1

n

i

(5.9)

63

La capacitancia equivalente es una asociación en serie en menor que cualquiera de las capacitancias individuales.

Ejemplo:

Calcule la capacitancia equivalente a los siguientes capacitores de circuito, Figura 5.5. C1 = 5 × 10- 6 F C2 = 10 × 10 - 6 F C3 = 6 × 10- 6 F C4 = 2 × 10 C5 = 8 × 10 Solución: C1.2 = C1 + C2 = 5 × 10- 6 F + 10 × 10- 6 F C1.2 = 1, 5 × 10- 6 F C3.4 = C3 + C4 C3.4 = 6 × 10 - 6 F + 2 × 10- 6 F 1 Cequi.= 1 C1.2 + 1 C3.4 + 1 C5 1 1 1 1 = + + = -5 -6 Cequ . 1, 5 × 10 F 8 × 10 F 8 × 10 - 6 F V = 1 = ( 6, 67 × 104 + 1, 25 × 105 + 1, 25 × 105 ) F = 3,17 × 105 Cequ . 1 Cequ = 3,16 × 10- 6 F 5 3,17 × 10 DIELÉCTRICOS

-6

Figura 5.5

F F

-6

Cequ =

5.7

Un dieléctrico es material no conductor, como el papel, plástico y el vidrio. Si introducimos un dieléctrico entre las placas de un capacitor, la capacitancia generalmente aumenta, observe la Figura 5.8.

64

Si tenemos un capacitor de placas paralelas de la carga Q0 y capacitancia C0 , cuando no existe dieléctrico, la diferencia de potencial será V0 = Q0 / C0 . Si le colocamos un dieléctrico entre las placas Figura 5.9, el potencial disminuye en un factor K (constante dieléctrica). V = V0 K (5.10)

Esta constante dieléctrica va a depender del tipo de material del dieléctrico, observe la Tabla 5.1 ANEXO 2. Y la capacitancia aumenta en el factor K. C = C0 K

( 5.11)

Cuando un capacitor de placas paralelas esta lleno con un dieléctrico la capacitancia se puede expresar como: C = KC0 ; donde C= K E0 A d C0 = E0 A d

( 5.12 )

Ejemplos:

Un acumulador de automóvil, de 1 z V, puede almacenar 4 × 106 J de energía. Calcule el área de un capacitor de placas paralelas que pueda almacenar la misma energía, si la separación entre las placas es 1mm y entre ellas hay un dieléctrico con K =3. Solución:

65

Eu =

CV 2 2

despejando

C

6 2 Eu 2 ( 4 × 10 J ) 8 × 106 J C= = = = 55, 56 × 103 F 2 2 V 144V ( 12V )

C=

K 0 A D

despejando

A

C.d 55, 56 × 103 F .1× 10 - 3 m 55, 56m 2 A= = = = A = 2,1× 1012 m 2 - 11 - 12 K 0 ( 3) ( 8,85 × 10 F / m ) 2, 66 × 10 5.8 EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Dos conductores aislados entre si se cargan al transferir electrones de uno al otro. Después de haber transferido 2,5 × 1012 electrones, la deferencia de potencial entre los conductores resulta ser 16 V. ¿Cuál es la capacitancia del sistema? 2) Dos esferas conductoras concéntricas tienen 5cm y 23cm de radio, respectivamente, y una carga igual, pero opuesta, de 6,3 × 10- 7 C. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre ellas? 3) Un capacitor de placas paralelas tiene placas cuadradas de 40cm por lado, separadas 5mm. El capacitor se carga a 230v y se desconecta de la fuente de carga ¿Cuál es la densidad de carga en las placas? ¿Cuál es la carga total en cada placa?. 4) ¿Cuál debe ser la capacitancia necesaria para almacenar una energía 10Kw.h a una diferencia de potencial de 1000V? 5) Demuestre que la energía asociada con una esfera conductora de R y carga Q, rodeada por un vacío, se expresa como Eu = KQ 2 / 2 R. 6) Un cable coaxial con conductor interno de 3mm de diámetro y blindaje exterior de 8mm de diámetro, tiene un potencial de 1KV entre los conductores. a) ¿Cuál es la capacitancia de 10m de cable? b) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 10m del cable? c) ¿Cuánta energía se almacena en un tramo de 1km? 7) Las placas de un capacitor de placas paralelas tiene 600cm 2 de área y están a 0,2cm de distancia. La diferencia de potencial entre ellas es 800v. a) ¿Cuál es el campo entre las placas? b) ¿Cuál es la carga en cada placa? c) ¿Cuál es la fuerza que ejerce el campo sobre una de las placas? d) Suponga que se tira de las placas para separarlas, 66

de modo que la distancia entre ellas aumenta 10%. ¿Cuál es el cambio de la energía almacenada?. 8) La batería de la figura 5.10 suministra 12v. a) Encontrar la carga en cada uno de los capacitadotes cuando se cierra el interruptor S1 y b) cuando se cierra el interruptor S 2 . Considérese que C1 = 1× 10- 6 , C2 = 2 × 10- 6 F , C3 = 3 × 10- 6 F y C4 = 4 × 10- 6 F . 9) Considere la combinación de capacitares de la figura 5.11 a) ¿Cuál es la capacitancia equivalente entre los puntos a y b? b) ¿Determine la carga en cada capacitor si Va = 36V ? C1 = 4 × 10- 6 F , C2 = 2 × 10- 6 F , C3 = 24 × 10- 6 F , C4 = 8 × 10- 6 F .

-6 -6 10) En la figura 5.12, cada capacitor C1 = 3 × 10 F y cada capacitor C2 = 2 × 10 F a) Calcúlese la capacitancia equivalente del circuito b) Hállese la carga de cada uno de los capacitares cuando Vab = 900V y c) Calcúlese Vcd cuando Vab = 900V .

11) El capacitor C1 tiene una capacitancia de 2 × 10- 6 C y el C2 tiene 3 × 10- 6 F de capacitancia. Una carga q = 10 × 10- 6 C se coloca en C1 , mientras que C2 se lleva a una diferencia de potencial entre sus placas de 50V. ¿Cuál es la energía total almacenada en los dos capacitores?. 12) Encontrar en la siguiente Figura 5.13, a) la carga, b) la diferencia de potencial y c) la energía almacenada en cada capacitor. -6 -6 -6 C1 = 10 × 10 F , C2 = 5 × 10 F , C3 = 4 × 10 F , V = 100V . y r2 , 13) Un capacitor consiste en dos cascarones esféricos concentricos, de radio r1 respectivamente. Calcule la capacitancia si el espacio entre los cascarones se llena con un dieléctrico cuya constante es k si el primer capacitor tiene aire entre sus cascarones, y tiene carga Q, y s el espacio se llena a continuación con el dialéctico, ¿Cuál es el cambio de energía?. 14) Se va a construir un capacitor de placas paralelas utilizando papel como dieléctrico. Si se desea obtener un voltaje máximo de 6 × 104V antes de la destrucción. ¿Qué espesor del dieléctrico se necesita?. 15) Dos placas paralelas de 100cm3 de área se cargan con una misma, carga de signos opuestos, de 8,9 × 10- 7 C. El campo eléctrico en el material dieléctrico que llena el espacio entre las placas es de 1, 4 × 106 V / m. a) Encontrar la constante dieléctrica del material. b) Determinar la magnitud de la carga inducida en cada una de las superficies del dieléctrico.

67

-6 y C2 = 2 × 10- 6 F se cargan como una combinación 16) Los capacitares C1 = 6 × 10 F en paralelo a través de una batería de 250V los capacitares se desconectan de la batería y entre si y, a continuación, se conectan placa positiva con positiva y negativa con negativa. Calcule la carga resultante en cada capacitor.

17) Se suministra a dos laminas paralelas de 100cm 2 de área, cargas iguales y opuestas de 10- 7 C. El espacio entre las laminas esta ocupado por un dieléctrico y el campo eléctrico dentro es 3,3 × 105V / m a) ¿Cuál es la constante eléctrica? b) ¿Cuál es la densidad de carga inducida sobre cada una de sus caras?. 18) Un capacitor consta de 12 placas conectadas alternadamente a la terminal positiva y a la negativa las placas son 8 x 15cm y están a 0,30mm de distancia ¿Cuál es la capacitancia?. Suponga que la zona entre las placas se rellena con material de constante dieléctrica 2,5. ¿Cuál es la capacitancia? 19) Un capacitor de placas paralelas tiene una capacitancia de 4 × 10- 6 F las placas se cargan a 600V a) ¿Cuál es la energía almacenada en el capacitor? b) ¿Cuánto trabajo se necesita para introducir un dieléctrico cuya constante es K =2 entre las placas? Suponga que el capacitor se desconecta de la fuente de voltaje antes de introducir el dieléctrico. 2 × 10- 6 F y 4 × 10- 6 F , respectivamente, se 20) Tres capacitares, de fuerza de 1× 10- 6 F , pueden conectar de diversas formas entre dos puntos. ¿Qué arreglo produce la capacitancia equivalente menor y cual es la mayor?.

68

TEMA VI LA CORRIENTE Y LA RESISTENCIA

1.19 INTRODUCCIÓN Hemos estudiado cargas eléctricas que están en reposo, ahora estudiaremos el comportamiento de estas mismas cargas pero en movimiento. Como ya sabemos las cargas eléctricas se mueven bajo el efecto de los campos eléctricos, este movimiento que se genera es lo que llamaremos corriente eléctrica. Esta corriente eléctrica nos describe la rapidez de flujo de cargas a través de alguna región del espacio. Para detallar el flujo de las corrientes eléctricas, definiremos que es resistencia, resistividad y conductividad. Muchos de los aparatos domésticos funcionan con corrientes eléctricas. 1.20 LA CORRIENTE ELÉCTRICA Y LA DENSIDAD DE CORRIENTE. Definiremos a la corriente eléctrica como la carga total que pasa a través de un área A de sección transversal, por unidad de tiempo. Consideremos la carga que pasa a través de un alambre. Figura 6.1. Tomemos una sección de área A, no necesitamos especificar la forma ni la orientación de área, si Q es la carga neta que pasa a través de esta área en un intervalo de tiempo t , la corriente J la expresamos como: I = Q t (6.1)

si la corriente eléctrica varia en función del tiempo, entonces cuando el limite de t cuando tiene cero, podemos definir a la corriente eléctrica en un instante determinado: I = dQ dt (6.2)

como podemos observar la unidad de corriente eléctrica es el Coulomb entre el tiempo, a esta unidad se le dio el nombre de Ampere (A). 1A = 1 C s

esta unidad de Ampere (A) es muy grande, por lo que se usan otras unidades como miliamperes (mA), microAmperes ( µ A ) y el nanoAmperes ( A ) .

69

1mA = 10 - 3 A 1µ A = 10 - 6 A 1 A = 10 - 9 A Se ha convenido en elegir la dirección de la corriente eléctrica como si fuera en la dirección del flujo de la carga positiva la corriente eléctrica es una cantidad escalar, pero tiene signo asociado. La densidad de corriente eléctrica (J) es la rapidez de flujo de carga por unidad de superficie, que pasa por un área infinitesimal, la densidad de corriente es un vector. Observe la Figura 6.2. dI = J .dA ( 6.3) como observamos esto es un producto escalar por lo que: dI = J .dA cos

( 6.4 )

donde es el ángulo que forman la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área dA. Cuando la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área dA son paralelos, o sea = 0, la corriente diferencial dI es máxima y cuando la densidad de corriente eléctrica J y el elemento de área dA son perpendiculares, o sea = 90, la corriente diferencial dI es cero. Para calcular la corriente total que pasa por el área A integramos la ecuación anterior. I =

J .dA

S

( 6.5 )

Densidad de corriente eléctrica de un grupo de cargas en movimiento, ver Figura 6.3, para calcular esta densidad tenemos que tomar en cuenta la densidad numérica (nq) que es el número de portadores de carga móviles por unidad de volumen, la velocidad (V) con que se muevan todas las partículas, la cantidad de carga que pasa por un área dada (A). Por lo que la carga Q en este elemento es: Q = donde x es la longitud del conductor. V =

(n

q

A x ) q

X t 70

despejando x = V t

Q = ( nq AV t ) q .

Utilizando la ecuación de la corriente eléctrica. I = Q = t

(n

q

AV t ) q . t

I = nq AV .q . Utilizando la ecuación de densidad de corriente eléctrica J = n AV .q . I = q A A

J = nq .V .q

( 6.6 )

Donde la dirección de la densidad de J queda indicada por la velocidad.

Ejemplo:

1.- Calcule la corriente cuando 2 × 1014 electrones pasan por una sección transversal dada de un conductor, cada segundo. Solución: Q I = = t

( 2 × 10 ) ( 1, 6 × 10

14

- 19

C)

1seg I = 32 µ A

= 3, 2 × 10- 5 C / seg

2.- La cantidad de carga q (en C) que pasa a través de una superficie cuya área es de 1cm 2 varia con el tiempo según la expresión q = 3t 2 - 2t + 2, en donde t esta en segundo. a) ¿Cuál es la corriente eléctrica instantánea a través de las superficies, en el instante t =0,5 seg.? b) ¿Cuál es el valor de la densidad de corriente eléctrica?. Solución:

71

dq d = ( 3t 2 - 2t + 2 ) dt dE I = 6t - 2 sustituyendo el I =

valor

de t .

-3

I = 6 ( 0, 5 ) - 2 · I = · 1A = · 1× 10 J =

mA

3.- Los portadores de carga en un semiconductor tienen densidad numérica nq = 2,3 × 1024 portadores / m3 . Cada portador tiene una carga cuya magnitud es la de la carga de un electrón. Si la densidad de corriente es 1, 2 × 104 A / m 2 ¿Cuál es la velocidad de los portadores?. Solución: V = nq.qV V = J = nq .Q despejando 1, 2 × 104 A / m 2 1, 2 × 104 C / S = ( 2, 3 × 1024 por / m3 ) (1, 6 × 10- 19 C ) 3, 68 × 105 C / m V = 32, 61× 10 - 3 m / s 6.3 RESISTENCIA, RESISTIVIDAD Y CONDUCTIVIDAD.

I · 1A · 1A = = = 1× 10 4 A / m 2 2 -4 2 A 1cm 1× 10 m

RESISTENCIA (r): es I a diferencia de potencial entre dos puntos y la corriente eléctrica que pasa por el. R= V /I

( 6.7 )

Como la unidad de la diferencia de potencia de potencial es el voltio y la de la corriente eléctrica es el Amper. R = Voltio / Amper La ley de Ohm establece que la resistencia para muchos materiales es constante dentro de un amplio margen de diferencias de potencia. RESISTIVIDAD ( ): es una cantidad asociada con la resistencia, que es característica del material.

72

= R A / L las unidades de la resistividad es .m ( ohm - metro ) esta ecuación se formula normalmente.

R = L/ A (6.8)

CONDUCTIVIDAD ( ): es la densidad de corriente por unidad de intensidad del campo eléctrico, es el inverso de la resistividad. J 1 = ( 6.9 ) las unidades de la conductividad es (1 m ) E La resistividad de los materiales tienen dependencia de la temperatura.

=

= 0 1 + ( T - T0 )

= 0 = T0 = =

es la resistividad a cierta temperatura T es la resistividad a cierta temperatura T0 por lo común es 20 ºC coeficiente de temperatura de la resistividad.

( 6.10 )

Como la resistencia de un conductor es proporcional a la resistividad, la variación de la resistencia con temperatura es: R = R0 1 + ( T - T0 ) ANEXO 3: Tabla 6.1

Ejemplos:

1.- Un conductor subterráneo de aluminio tiene 91,4m de longitud y área de 0,30cm2 a) ¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál es el radio de un alambre de cobre de la misma longitud y resistencia? Solución: del aluminio 2, 82 × 10- 8 .m del cobre 1, 72 × 10 - 8 .m

73

a) R =

L 91, 4 m = 2, 82 × 10- 8 . m A 3 × 10 - 5 m L L L = r = = 2 A r R

2

= R = 85, 9 × 10- 3

b) R =

r =

1, 72 × 10 - 8 .m

91, 4m ( 3,14 ) ( 85, 9 × 10- 3

)

= r = 2, 41× 10 - 3 m

2.- Si un alambre de plata tiene una resistencia de 10 a 20º C ¿Qué resistencia tendrá a 40º C? (desprecie todo cambio en la longitud o en el área de la sección transversal debido al cambio en la temperatura).

= 3, 8 × 10- 3 º C - 1 R = R0 1 + ( T - T0 ) = 10 1 + 3,8 × 10- 3 º C ( 40º C - 20º C )

R = 10, 76 6.4 MODELO DE CONDUCCIÓN ELÉCTRICA

Recordando la segunda ley de Newton a = F (la fuerza eléctrica es F =q E) m a= Esta aceleración es corta entre los Choques. V1 = V0 + aT = V0 + qEt m qE m

Si asumimos que la velocidad inicial es cero y el tiempo promedio de las colisiones es . Vd = Esta es la velocidad se deriva. qE M

( 6.11)

74

Recordando la densidad de corriente eléctrica tenemos que: J = nq .Vd .q = nq . nq q 2 E m qE .q m

J = La conductividad seria:

( 6.12 )

=

Y la resistividad:

nq q 2 m

( 6.13)

m ( 6.14 ) nq q 2 El tiempo promedio ( ) entre las colisiones esta relacionado con distancia L y la velocidad térmica promedio . .

=

=

L

Ejemplos:

( 6.15 )

1.- Calcular la trayectoria libre media entre choques de los electrones en el cobre, a una temperatura correspondiente a una velocidad térmica media de 1, 3 × 106 m / s. Solución: Nq del cobre es 8, 48 × 1028 m - 3 del cobre 1, 7 × 10- 8 m e - = 1, 6 × 10- 19 C me = 9,11× 10- 31 Kg

75

=

me = nq q 2

9,11× 10 - 31 Kg = ( 8, 48 × 1028 m - 3 ) (1, 6 × 10- 19 C ) (1, 7 × 10- 8 m )

= 2, 47 × 10- 14 Seg = L L = = 2, 47 × 10 - 14 Seg .1, 3 × 106 m / Seg ó 3, 21

= 3, 21× 10 - 8 m 6.5

ENERGÍA Y POTENCIA ELÉCTRICA

Parte de la energía eléctrica que se consume en un circuito eléctrico se dispara al sistema en forma de calor. Para calcular esta energía perdida por unidad de tiempo cuando una corriente pasa por un material, tomemos una carga pequeña dq que se mueve a través de una diferencia de potencial V. P = dw ; potencia eléctrica es la rapidez con que realiza un trabajo. dt

dw = dEu Eu ; la energía potencial es la diferencia de potencial por carga. Dt dq P=V ; la corriente eléctrica es dq/dE dt P = P = VI Esta es la potencia perdida en una resistencia.

( 6.16 )

Ejemplo:

Se mantiene una corriente eléctrica de 8 A en un resistor de 150 durante 1 h. Calcule la energía empleada en el resistor. Solución: Eu = P.T = P = V .I ; V = IR

76

Entonces: P = I 2 .R; Eu = I 2 .R.T Eu = ( 8 A ) . ( 150 ) . ( 1h ) = 9, 6 Kwh.

2

6.6

EJERCICIOS PROPUESTOS

Un alambre de 1,6mm de radio conduce una corriente eléctrica de 0,092 A ¿Cuántos electrones cruzan una sección determinar del alambre en 1seg?. La densidad de corriente en el interior de un conductor cuyo radio uniforme mide 0,3cm es 0,35 mA/m2. ¿En cuantos segundos pasaran el número de Avogadro de electrones por un punto dado del conductor? La densidad de los electrones portadores de corriente en el cobre, es 8,5 × 1028 electrones / m3 . Por un alambre de 1,8mm de radio pasa una corriente de 1,2 A. a) ¿Cuál es la velocidad de los electrones ?. b) ¿Cómo cambia esa velocidad en otro alambre, de 2,4mm de diámetro, conectado al extremo del primero?.

Un alambre de longitud 16,5m y sección transversal de 0,02cm2 tiene una resistencia media de 0,12 . Calcule la conductividad del material con el cual se hizo el alambre. Un alambre de aluminio de 50mm2 de área, colocado a lo largo del eje X, trasporta 10.000C en una hora. Suponga que hay un electrón libre por cada átomo de aluminio. Determine a) la corriente, b) la densidad de corriente, c)la velocidad del desplazamiento, teniendo que la densidad del aluminio es de 2,7g/cm3. Un alambre de longitud 2m y sección trasversal de 0,25mm2 tiene una resistencia de 43 a 20º C. Si la resistencia del alambre aumenta hasta 43, 2 a32º C , ¿Cuál es el coeficiente de temperatura de la resistividad?. Calcule la resistividad del cobre a partir de los siguiente una diferencia de potencia de 1,2V produce una corriente de 1,8 A en un alambre de cobre cuya longitud es de 100m y 0,18cm de diámetro y esta a una temperatura de 20 º C. ¿Cuánta plata, cuya densidad es de 10,5 × 103 Kg / m3 , se necesitaria para formar un alambre de 1 Km de longitud, que tuviera una resistencia de 5 ?. El aluminio tiene 2, 7 × 103 Kg / m3 de densidad. Calcular: a) ¿Cuál es la resistencia de un alambre de aluminio de 2cm de diámetro y 250m de longitud?. b)¿Cuál es la masa del alambre de aluminio?. c) ¿Cuál es la masa del alambre de cobre, de 8,9 × 103 Kg / cm3 de densidad, con la misma longitud y resistencia total?.

77

El embobinado de cobre de un motor tiene una resistencia de 50 a 20 ºC cuando el motor esta inactivo. Después de funcionar por varias horas, la resistencia aumenta a 58 ¿Cuál es la temperatura del embobinado?. Un calefactor de inmersión de 500w se coloca en un recipiente que contiene 2,0 litros de agua a 20 ºC. a) ¿Cuánto tiempo tardara en elevarse la temperatura del agua hasta su temperatura de ebullición, suponiendo que el agua absorbe el 80% de la energía disponible? b) ¿Cuánto tiempo más tardara en evaporarse la mitad del agua?. Un calefactor por radiación, de 1250w, se fabrica de tal forma que opera a 115V. a) ¿Cuál será la resistencia de la bobina calefactora? c) ¿Cuántas Kilocalorías irradia l calefactor en una hora?. En una instalación hidroeléctrica, una tubería entrega 2000 hp a un generador, el cual, a su vez, convierte el 90% de la energía mecánica en energía eléctrica. Bajo estas condiciones, ¿Cuánta corriente eléctrica entregara el generador a una diferencia de potencial entre terminales de 3000V?. Se tienen las terminales de un acumulador de 12V conectadas entre si con un conductor de cobre. ¿Qué longitud debe tener el conductor, si su área de sección transversal es 3 × 10- 5 m 2 , y la potencia disipada es 1,2Kw?. Un acumulador de 12 V se conecta a dos conductores metálicos sumergidos en un recipiente de agua. Durante 240 horas pasa una corriente eléctrica de 100 mA. ¿Cuánta energía se tomo del acumulador durante ese lapso?. Dos cascarones esféricos concéntricos cuyos radios interior y exterior son ra y rb , respectivamente forman un elemento resistivo cuando la región entre las dos superficies contienen un material de resistividad . Demuestre que la resistencia del dispositivo es: 1 1 R= - 4 ra rb Un conductor cilíndrico de Tungteno tiene una longitud inicial L1 y un área de la sección transversal A1. El metal se estira uniformemente hasta alcanzar una longitud final L2 = 10 L1. Si la resistencia del conductor con la nueva longitud es de 75 . ¿Cuál es el valor inicial de R?. Un generador entre 60A a 110V a) ¿Qué potencia entrega ese generador? b) ¿Cuánto tardaría en evaporar 1 litro de agua, iniciando en 20ºC?.

78

Un tostador que utiliza un elemento de calentamiento de nicrom funciona a 120V. Cuando se le conecta a 0ºC, transporta una corriente eléctrica inicial de 1,5 A. algunos segundos después la intensidad alcanza un vapor estacionario de 1,33 A. ¿Cuál es la temperatura final del elemento?. El valor medio del coeficiente térmico del Nicrom -1 para ese intervalo de temperatura es 4,5 × 10- 4 ( º C ) . Una barra de aluminio de 2,5m de longitud tiene una sección rectangular de 1 por 5cm a) ¿Cuál es su resistencia? b) ¿Cuál seria la longitud de un hierro de 15mm de diámetro que tuviese la misma resistencia?.

79

TEMA VII CIRCUITOSDE CORRIENTE DIRECTA

1.21 INTRODUCCIÓN Estudiamos a continuación circuitos sencillos, en donde conectaremos entre si resistores, capacitares y acumuladores, mediante cables conductores. Para el análisis de estos circuitos utilizaremos dos reglas (Kirchhoff). Estas reglas deducen a partir de las leyes de la conservación de la energía y de la conservación de la carga. También describiremos los instrumentos utilizados para medir la corriente eléctrica, la diferencia de potencial y la resistencia en los circuitos eléctricos. 1.22 FUERZA ELECTROMOTRIZ Una fuerza electromotriz es una fuente de energía que hace posible mantener una corriente eléctrica constante en un circuito cerrado, la fuerza electromotriz de una fuente describe el trabajo realizado por unidad de carga, la unidad de la fuerza electromotriz es el volt. Consideremos una carga positiva que se mueve desde a hasta b, como la Figura 7.1, donde la fem (fuerza electromotriz) le indicamos con la letra , r es la resistencia interna de la fem, y I es la corriente eléctrica que circula por el circuito y R es una resistencia externa. Cuando la carga pasa del terminal negativo al positivo su potencial aumenta en . Pero la resistencia interna r hace que el potencial disminuya I r. Entonces. V = - Ir

( 7.1)

Revisando el circuito vemos que la tensión entre terminales V también debe ser igual a la diferencia de potencial a través de la resistencia externa R. V = IR

( 7.2 )

Sustituyendo esta ecuación en la anterior obtendremos:

= IR + Ir

( 7.3)

80

Sacando factor común de la corriente y despejando obtenemos: I =

R+r

( 7.4 )

La resistencia interna es mucho menor que la resistencia externa, por lo que en muchos circuitos se deprecia este valor.

Ejemplo:

Una batería con un fem de 8V y una resistencia interna de 0,5 se conecta a través de un resistor d carga R. Si la corriente es de 2A a) ¿Cuál es el valor de R? b) ¿Cuántas potencia se disipa en la resistencia interna R de la batería del circuito?. I =

R+r

R=

2

I

-r =

8V - 0, 5 = 3, 5 2A

Pr = I 2 r = P = R 7.3

( 2 A ) . ( 0, 5 ) = 2 w 2 I 2 R = ( 2 A ) . ( 3, 5 ) = 14 w

RESISTORES EN SERIE Y EN PARALELO Asociación de resistores en serie

La corriente que circula en este tipo de asociación es la misma para cada resistor, ya que cualquier carga que fluya a través de R2 . V = IR + IR2 = I ( R1 + R2 )

( 7.5 )

A los resistores R1 y R2 se les puede reemplazar por una sola resistencia equivalente. Req = R1 + R2

( 7.6 )

La resistencia equivalente de una conexión en serie de resistores siempre es mayor que cualquiera de las resistencias. Asociación de resistores en paralelo La diferencia de potencial a través de cada resistor es la misma, en la asociación en paralelo, pero la corriente en cada resistor es diferente. Cuando la corriente del circuito 81

llega al punto (nodo), se separa en dos partes una I, que pasa por R1 y otra I2 que pasa por R2. La corriente que entra en el punto a es igual a la sale de este punto, por lo que. I = I1 + I 2

( 7.7 )

Como el potencial es el mismo, tenemos por ley de ohm. V = R1 I1 ; V = R2 I 2

( 7.8 )

Despejando las intensidades y sustituyendo en la ecuación (7.7). I = 1 V V 1 + =V + R1 R2 R2 R1

la resistencia equivalente entonces va a será: 1 1 1 = + Req R1 R2 Req = R1 R2 R1 + R2

( 7.9 )

La resistencia equivalente de una asociación en paralelo de resistores es menor que cualquiera de las resistencias.

Ejemplo:

Se aplica una diferencia de potencial de 25V entre los puntos a y b como se muestra en la figura. Calcule la corriente en cada resistor. Solución: Como en esta asociación en serie la corriente s la misma. I = I 2,3 = I 4 = I V = IR1 + IR2,3 + IR4 = I ( R1 + R2,3 + R4 ) R2,3 = R2 R3 5 .10 = = 3, 33 R2 + R3 5 + 10

82

Despejando la corriente: I = V 25V = = 3A R1 + R2,3 + R4 3 + 3, 33 + 2

Entonces: I1 = 3 A; I 2,3 = 3 A y I 4 = 3 A Calculemos a I 2 y I 3 V2,3 = I 2,3 .R2,3 = 3 A. 3, 33 = 9, 99V Como V2,3 es igual a V2 y V3 en asociación en paralelo I2 = V V2 9, 99V 9, 99V = ; I3 = 3 = = 1A R2 5 R3 10 I2=2 A 7.4 I3=1 A

REGLAS DE KIRCHHOFF Para analizar circuitos cerrados complejos aplicamos las reglas de Kirchhoff.

Primera regla: la suma de las corrientes que llegan a cualquier nodo (unión) debe ser igual a la suma de las corrientes que salen de él. Segunda regla: la suma de las diferencias de potencial a través de cada elemento, en torno de cualquier circuito cerrado, debe ser cero. Un nodo es cualquier punto del circuito en el que las corrientes pueden separarse. La primera regla es un enunciado de la conservación de la energía. Para aplicar la segunda regla debemos tomar en cuenta las siguientes indicaciones: 1.- Si se recorre un resistor en dirección de la corriente, el cambio en el potencial a través de el es -IR. Figura 7.5 a. V = Vb - Va = - IR 2.- Si se recorre un resistor en dirección opuesta a la corriente, el cambio en el potencial a través de el es +IR. Figura 7.5 b. V = Vb - Va = + IR

83

3.- Si se recorre una fuente de fem en dirección opuesta a la misma, desde + hasta - en los terminales, el cambio en el potencial es +E. Figura 7.5c. V = Vb - Va = + E 4.- Si se recorre una fuente de fem en la dirección de la misma, desde - hasta + en los terminales, el cambio en el potencial es -E. Figura 7.5d. V = Vb - Va = - Para resolver este tipo de circuitos cerrados primero debemos indicar los símbolos y las direcciones de las corrientes en las diversas ramas, después aplicar las reglas de Kirchhoff. El número de ecuaciones independientes debe ser al menos igual al número de incógnitas. Si obtenemos una respuesta negativa en una de las corrientes indica que esta tiene la dirección opuesta a la que supuso.

Ejemplo:

Los elementos conocidos del circuito de la Figura 7.6 son: R1 = 5 ; R2 = 20 , 1 = 3V ; 2 = 6V , I 3 = 0,1A. Calcule el valor de R3 y las corrientes I1 y I2. Solución: 1) I1 + I 2 = I 3 2) - I 3 R3 - I1 R1 + 1 = 0 3) I 3 R3 + I 2 R2 + 2 = 0 sustituyendo valores: 1) I 1 + I 2 = 0,1A 2) - 0,1R3 - 5 I1 + 3 = 0 resolviendo este sistema de ecuaciones 3) 0,1R3 - 20 I1 + 8 = 0 tenemos que: ________________________________ 0 - 25 I1 + 11 = 0 I1 = 0, 44 A sustituyendo este valor en la ecuación 3 R3 = 20 I1 + 8 = 8 R3 = 8 __________ 0,1

FIGURA 7.6

84

para calcular a I2 utilizamos la ecuación #1 I 2 = 0,1A - I1 0,1A - 0, 44 A = - 0, 34 A 7.5 CIRCUITOS RC

Son circuitos formados con resistores y capacitares, este tipo de circuitos varían con el tiempo. Cuando aplicamos una diferencia de potencial a través de un capacitor, la rapidez con la que se carga depende de su capacitancia y de la resistencia del circuito. Consideremos el siguiente circuito, si accionamos el interruptor en un instante T =0, se presentara una corriente a través del resistor y el capacitor empezara a cargarse. La carga se va a transferir desde una de las placas del capacitor a la otra, hasta que queda completamente cargado. Este valor va a depender de la fem de la batería. Cuando se alcanza la carga máxima, la corriente en el circuito es cero. Aplicamos la 2da regla de Kirchhoff, después de cerrar el interruptor.

= IR -

q = 0 C

( 7.10 )

I R es la caída de potencial a través del resistor q/C es la caída de potencial a través de capacitor I y q son valores instantáneos. La corriente máxima o inicial del circuito es: I0 =

R

(7.11)

Cuando el capacitor se carga hasta su valor máximo, la larga deja de fluir, la corriente en el circuito es cero la carga máxima en el capacitor es: Q = C .

( 7.12 )

Como la corriente y la carga varían en función del tiempo, por lo que derivamos en función del tiempo la ecuación (7.10); d dt Como es constante:

(

- IR - q C ) = 0

85

dI dq 1 R- =0 dt dt C Como I = dq Dt - - dI I R = dt C dI 1 = - dt I RC Dado que R y C soi constantes, integramos:

I0

dI 1 R- =0 dt C

despejando:

I

dI -1 = I RC

dt

0

t

I -t Ln = RC I Si queremos hallar la carga en el capacitor recordamos que I = dq / dt y lo sustituimos en la ecuación anterior (7.12). dq -t / RC = e dt R dq = Integrando:

R

-t / RC

dt

O

dq =

q

R

O

e

t

-t / RC

dt

Obtenemos la ecuación para determinar la carga en función del tiempo. q ( t ) = C ( 1 - e - t / RC ) donde Q = C es la carga máxima en el capacitor. q (t ) = Q ( 1 - e - t / RC )

( 7.13) ( 7.14 )

86

Ejemplo:

Considere un circuito RC como el de la Figura 7.9, para el que R = 2 × 106 , C = 6 Nf y = 20V . Halle a) la constante de tiempo del circuito, b) la carga máxima en el capacitor, c) la corriente máxima en el circuito, y d) la carga y la corriente como funciones del tiempo. Solución:

a ) = RC = ( 2 × 106

) ( 6 × 10

-6

F ) = 12 seg

b)Q = C = ( 6 × 10- 6 F ) ( 20V ) = 1, 2 × 10 - 4 C c) I 0 = R = 20V = 1× 10 - 5 A 6 2 × 10

Figura

d )q (t ) = Q ( 1 - e - t / RC )

q (t ) = 1, 2 × 10 - 4 ( 1 - e - t /12 ) C

le damos valores a t; para conseguir a q(t) y I(t) q( 2 ) = 18, 4 µ f , q ( 4) = 34 µ c, q ( 6) = 47, 2 µ c, q ( 8) = 58, 4 µ c, q (10) = 67,8µ c, q (12) = 75,8µ c, q (14) = 82, 6 µ c, q (16) = 88, 4 µ c I ( t ) = I 0 ( e - t / RC ) = 1× 10- 5 ( e - t /12 ) A I ( 2 ) = 8, 5µ A I ( 4 ) = 7, 2 µ A I ( 6 ) = 6,1µ A I ( 8 ) = 5,1µ A I ( 10 ) = 4, 3µ A I ( 12 ) = 3, 7 µ A I ( 14) = 3,1µ A I ( 16 ) = 2, 6 µ A ANEXO 4: Grafico 01 y 02 7.6 INSTRUMENTO DE MEDICIÓN

Amperímetros: Miden las corrientes en los conductores de los circuitos. El amperímetro se conecta en serie en el segmento del circuito se va a medir, por lo que el amperímetro debe tener una resistencia pequeña para que no afecte a la corriente que va a medir. I =

R + RA

( 7.15)

87

Donde RA es la resistencia del amperímetro, pero RA<<R, la corriente será igual. Voltímetro: Miden las diferencias de potencial a través de elementos de circuitos con los que se conectan en paralelo. Al contrario del amperímetro el voltímetro debe tener una gran resistencia, para que no afecte al circuito que va a medir. 1 1 1 = + ( 7.16 ) Req Rv R Donde Rv es la resistencia del voltímetro que es mucho más grande que el circuito Rv>>R, por lo que la resistencia equivalente es casi igual a la del circuito. 1 1 1 = + Req Rv R y no afectara los parámetros del circuito original. Ohmetros: Mide resistencias y esta compuesto de un galvanómetro, una resistencia interna de referencia y una batería de fuerza electromotriz conocida. 7.7 EJERCICIOS PROPUESTOS

( 7.17 )

1) Demostrar que la potencia suministrada a R como energía térmica en el circuito de la Figura 7.12 es un máximo cuando R es igual a la resistencia interna r de la batería b) Demostrar que esta potencia máxima es P = E 2 / 4r. 2) Una resistencia de 0,1 debe generar energía térmica con un ritmo de 10w al conectarse a una batería cuya fem es de 1,5 V. a) ¿Cuál es la resistencia interna de la batería?, b)¿Cuál es la diferencia de potencia que existe a través de la resistencia?. 3) Determinado acumulador automotriz tiene una fuerza electromotriz de 12 V. Cuando produce una corriente de 100a, el voltaje entre terminales es 9V. Calcule la resistencia interna de acumulador. ¿Cuál es la potencia que disipa el acumulador cuando produce esa corriente?. 4) ¿Qué diferencia de potencia se medirá a través de un resistor de carga 12 cuando se conecta a través de una batería de 6V de fem que tiene una resistencia interna de 0,15 ?. 5) Las baterías de niquel-cadmio que se usan en los vuelos espaciales pueden mandar 30a durante 1 h y su fem es de 30V. ¿Cuánta energía contienen esas batería?.

88

6) Dos resistores de 60 se conectan en serie entre dos terminales, cuya diferencia de potencial es d 120V. ¿Cuál es la potencia total disipada?. 7) Determine la resistencia equivalente entre los puntos a y b de la figura. 8) Considere la combinación de resistores de la Figura 7.14, a) Halle la resistencia entre los puntos a y b, b) Si la corriente en el resistor 5 es de 1 A, ¿Cuál s la diferencia de potencial entre los puntos a y b.? 9) a)¿Para que valor de R2 en la Figura 7.15, es cero el voltaje entre los puntos a y b?. b) ¿Para que valor es cero la corriente en el circuito?. 10) a) Determine l valor de I1 e I3 en el circuito de la Figura 7.16, si la batería de 4V se reemplaza por un capacitor de 4NF, b) determine la carga en el capacitor de 4NF. 11) Determine el valor de la corriente en cada uno de los cuatros resistores mostrados en el circuito de la Figura 7.17. 12) Doce resistores, cada uno de resistencia R, se interconectan formando un cubo, como en la Figura 7.18, a) determine la resistencia equivalente RAB de una arista, b) Calcular la resistencia equivalente RBC de la diagonal de una de las caras. c) Determinar la resistencia equivalente RAC de una diagonal del cubo. 13) Un cubo esta formado por conductores idénticos, como se observa en la Figura 7.19, cada uno con resistencia r1 y se conecta a un voltaje de línea V, a) ¿Cuál es la resistencia equivalente del cubo?, b) ¿Cuál es la corriente en cada uno de los conductores?. 14) Un capacitor de 3 × 10- 3 µ F con una carga inicial de 6,2NC se carga a través de un resistor de 1500 a) ¿Cuánta energía esta almacenada inicialmente en el capacitor? b) Si el capacitor se descarga completamente a través del resistor, ¿Cuánta energía se dispara como calor en este?. 15) Tiene usted dos capacitores, de 20 µ F , y tres resistores, uno de 4 y los otros dos de 2 . Determinar la conexión de esos elementos que produzca un circuito cuya constante de tiempo se 5 × 10- 5 seg. 16) Un resistor de 3 × 106 y un capacitor de 1µ F se conecta un circuito de una sola malla con una fuente de fem = 4V . Después de 1 seg. de haber establecido la conexión, a) ¿Con que ritmo aumenta la carga del capacitor, b) se almacena la energía en el capacitor; c) Se genera energía térmica en el resistor, y d) suministra energía de la fuente fem?.

89

17) La diferencia de potencial entre las placas de un capacitor de 2µ F que tiene una fuga, disminuye de V0 a V(1/4 V0) en un tiempo de 2 seg. ¿Cuál es la resistencia equivalente entre las placas del capacitor?. 18) Hallase las fuerzas electromotrices 1 y 2 en el circuito de la Figura 7.20 y la diferencia de potencial entre los puntos a y b. 19) a) ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos a y b de la Figura 7.21, cuando esta abierto el interruptor S?, b) ¿Cuál de los dos puntos, a y b, esta a mayor potencial?, c) ¿Cuál será el potencial final del punto b cuando se cierre el interruptor S?, d) ¿Cuánto cambia la carga de cada condensador cuando se cierra S?. 20) Considere el circuito de la Figura 5.21, a) Calcule la corriente en el resistor de 5 , b) ¿Cuánta potencia disipa todo el circuito?, c) Determine la diferencia de potencial entre los puntos a y b, y c) ¿Cuál es el punto que esta al potencial más elevado?.

FIGURA 5.21

90

TEMA VIII CAMPOS MAGNÉTICOS

1.23 INTRODUCCIÓN Desde el año 800 a.c., aproximadamente, los griegos conocían el fenómeno del magnetismo. Estos descubrieron que determinadas piedras tenían la propiedad de atraer pequeños trozos de hierro, los imanes tiene polos magnéticos, un polo magnético norte (N) y otro sur (S), los polos magnéticos no pueden separarse, ya que si partimos un imán en dos partes, estas partes formaran dos nuevos imanes. Si tratamos de unir las partes por donde se partió el imán no es puede, porque las fuerzas magnéticas no lo permiten. Esto se debe a que polos iguales fuerzas magnéticas no lo permiten. Esto se debe a que polos iguales se repelen y polos diferentes se atraen. En la actualidad existen imágenes artificiales como los electroimanes. En este capitulo veremos como están relacionadas las fuerzas magnéticas con los campos eléctricos. También estudiaremos los efectos de los campos magnéticos, ya que son generados por los imanes y cargas en movimiento. 1.24 CAMPOS MAGNÉTICOS (B). Definiremos el vector campo B en un punto del espacio, en términos de una fuerza magnética. Si tomamos una partícula cargada que se mueve con una velocidad los efectos que se producen sobre esta partícula cargada por un campo magnético son: 1.- La fuerza magnéticas es proporcional a la carga q a la velocidad de la partícula. 2.- La magnitud y dirección de la fuerza magnética depende de la velocidad de la partícula. 3.- Cuando una partícula cargada se mueve en una dirección paralela al vector campo magnético, la fuerza magnética F sobre la carga es cero. 4.- Cuando el vector velocidad forma un ángulo con el campo magnético, la fuerza magnética actúa en una dirección perpendicular tanto a como B; en donde, F es perpendicular al plano formado por y B. (ver Figura 8.1). 5.- La fuerza magnética sobre una carga positiva tiene la dirección opuesta a la fuerza que actúa sobre una carga negativa que se mueve en la misma dirección. 6.- Si el vector velocidad forma un ángulo con el campo magnético, la magnitud de la fuerza magnética es proporcional a sen

91

Con estos efectos que se producen podemos decir como es la fuerza magnética sobre una partícula cargada en movimiento en un campo magnético. F = q × B

( 8.1)

Campo podemos observar × B es un producto vectorial: F = q × B sen

( 8.2 )

Por lo que cuando es igual a 0º o 180º la fuerza es cero y cuando es 90º la fuerza tiene su valor máximo. Podemos concluir que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético, que actúa sobre una partícula cargada solo cuando esta se encuentra en movimiento y cuando esta asociada con un campo magnético estacionario no realiza cuando la partícula se desplaza. Un campo magnético aplicado puede alterar la dirección del vector velocidad, pero no puede cambiar la rapidez de la partícula. Las unidades de campo magnético es el weber por metro cuadrado; que lleva el nombre de tesla (T). B= Wb Nw Nw =T = = 2 M C .m / s A.m

Ejemplo:

El campo magnético sobre cierta región es B = (2,3j) T. Un electrón se mueve en el campo con una velocidad = ( i + 2 j - 3k ) m / s. Con la notación de vectores unitarios exprese la fuerza ejercida sobre el electrón por el campo magnético. Solución: F = q × B = ( 1, 6 × 10- 19 C ) ( i + 2 j - 3k ) m / s × ( 2i - 3 j ) T F = ( 1, 6 × 10- 19 C ) ( 0 - 3k - 4k + 0 - 6 j - 9i ) N / C F = - ( 1, 44 × 10- 18 i + 9, 6 × 10- 19 j + 1,12 × 10- 18 k ) Nw

92

1.25 FUERZA MAGNETICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE LLEVA UNA CORRIENTE. La fuerza total sobre un conductor con corriente es la suma vectorial de las fuerzas magnéticas sobre todas las cargas en movimiento en su interior. Este cálculo se realiza determinando la fuerza sobre un pequeño segmento del conductor y después se suman, o integran, la fuerza infinitesimal en cada segmento. Observamos las Figura (8.2 a y b) adjuntas y recordamos que la velocidad es el desplazamiento en función del tiempo. V = dI dt

La corriente es la carga en función del tiempo I = dq dq = Idt dt

Como estamos hablando de un pequeño segmento del conductor, entonces la fuerza magnética es: dF = dq × B = I dt ( dI / dt × B ) dF = IdI × B Donde la magnitud de dF es: dF = IdIBsen El ángulo es el que se forma entre dI y b. La fuerza neta sobre dicho conductor es la integración de dF. FB = I ( dI × B )

( 8.3)

Ejemplo:

1) Un alambre largo conduce una corriente de 15 A. Un imán recto se acerca al alambre de tal modo que los portadores de carga, con velocidad 10-3 cm/s, sienten un campo magnético de 5 × 10- 2 T , perpendicular a su dirección de movimiento. Calcule la fuerza, a) sobre cada portador de carga (electrón) en movimiento, y b) sobre un tramo de 1m de alambre.

93

Solución: a ) F = q × B F = q × Bsen = 1, 6 × 10- 19 C ( 1× 10- 5 m / s × 5 × 10- 2 Nw / Cm / s ) sen90o F = 8 × 10- 26 Nw b) F = I ( dI × B ) F = IB dIsen = IBI = ( 115 A .5 × 10- 2 Nw / A.m .1 m ) F = 75 × 10- 2 Nw 2) Un alambre en forma de u de masa m y longitud L se coloca con sus dos extremos en mercurio. El alambre se encuentra en un campo homogéneo de inducción magnética B. Si se manda por el alambre una carga q = Idt , el alambre salta. Conociendo la altura h que alcanza el alambre. Calcular la magnitud de la carga q, cuando B = 0,1w / m 2 , m = 10 g , L = 20cm y h = 3m. Solución: Recordando la relación de impulso y cantidad de movimiento.

Fdt =

m.v y F = I B sen

(

fuerza magnetica )

Sustituyendo el valor de la fuerza magnética en la relación de impulso y cantidad de movimiento.

I

Bdt = m.

IB Idt = m.v como q = IBq = m.v q= m.v IB despejando a

Idt

q

Recordando la ley de la conservación de la energía.

94

EmA = EmB Ek = Eu L m V 2 = m gY V = 2 gy 2 Sustituyendo en q m q= 2 gY IB 10 × 10 - 3 Kg q= .2 ( 9,8 m / s . ( 3m ) ) = 0, 5C / m / s.7, 67 m / s ( 20 × 10- 2 m ) ( 0,1Nw / C m / s ) q=2,83C 8.4 MOVIMIENTO DE TORSIÓN SOBRE UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME

Consideremos una espira rectangular que lleva una corriente I, en presencia de un campo uniforme en plano de ella como lo indica la Figura 8.3. La magnitud de las fuerzas es. F1 = F2 = IbB F1 es la fuerza sobre el lado izquierdo de la espira y F 2 es la fuerza sobre el lado derecho como se observa en la parte b de la Figura (8.3). El momento de torsión neto sobre la espira tiende a hacerla girar alrededor del punto 0. = F 1 Como el área de la espira es A =ab = IAB Este resultado solo es cuando el campo B esta en el plano de la espira. Si consideramos una espira rectangular con una corriente I, y el campo magnético forma un ángulo con la normal al plano de la espira ver la Figura (8.4a) como F1 = F2 = IbB, el momento de torsión neto respecto a un punto 0 es. = F1 a a sen + F2 sen = I 2 2 ab sen 9 9 + F2 = IabB 2 2

95

Donde el brazo de momento es a 2 sen como se ve en la Figura (8.4b) donde el área es A =ab. = IABsen Esto es un producto vectorial: = IA × B

( 8.4 )

A es un vector perpendicular al plano de la espira, el sentido de este vector se determina por la regla de la mano derecha ver Figura 8.5. Donde IA se define como el momento magnético M de la espira. M = IA (8.5)

Por lo que el momento de torsión se puede expresar como: = M×B

( 8.6 )

Ejemplo:

En la Figura 8.6 se muestra una bobina rectangular, de alambre, con 20vueltas, de 10x5cm. Transporta una corriente de 0,10 A y esta pivoteada por uno de sus lados. Cual es el momento de torsión que actúa en la espira si se monta de tal forma que su plano forma un ángulo de 30º con respecto a la dirección de un campo magnético uniforme de 0,5 T. Calculemos el momento con respecto al origen: 1 = r × F = Frsen60o como F = ILB entonces 1 = ILBrsen60o para calcular el momento con respecto a las 20 espiras = 20 1 = 20 ILBrsen60o = 4, 33 × 10- 3 Nw 8.5 MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO MAGNÉTICO

= 20 ( 0,10 A ) ( 10 × 10- 2 m ) ( 0, 5T ) ( 5 × 10- 2 m ) sen60o

Observamos la figura (8.7) y apliquemos la segunda ley de Newton F = q B; F = m.a 96

Esta aceleración es centrípeta a = 2 / r ; igualamos las dos ecuaciones q B = m.a q B = m 2 / r Si despejamos a r obtendremos el radio de la órbita circular m r = qB La frecuencia angular de rotación de la partícula cargada s

=

Y el periodo de su movimiento es T =

qB = r m

( 8.7 )

2 r 2 2 m = = qB

( 8.8 )

Ejemplo:

Un protón, un dentaron y una partícula alfa, con iguales energías cinéticas, entra en una región de campo magnético uniforme, moviéndose perpendicularmente a B. Comparar - 27 - 27 los radios de sus trayectorias circulares, m( d ) = 3,34 × 10 Kg ; m p = 1, 67 × 10 Kg , q( P ) = 1, 6 × 10- 19 C ; m( ) = 6, 68 × 10 - 27 Kg , q ( ) = 3, 2 × 10- 19 C Ek ( p ) = q 2( p ) B 2 R 2( p ) 2m( p ) ; Ek ( d ) = q 2( d ) B 2 R 2( d ) 2m( d ) ; Ek ( ) = q 2 ( ) B 2 R 2 ( ) 2m( )

Ek ( p ) = Ek ( d ) q 2( p ) B 2 R 2( p ) 2m( p ) R( d ) = = q 2( d ) B 2 R 2( d ) 2m( d ) despejando a R( d )

(R

2

( p ) m( d )

)

1 2

R( d ) = 1, 4 R( p )

Ek( p ) = Ek( ) Q 2( p ) B 2 R 2( p ) 2m( p ) R( ) = q 2 ( ) B 2 R 2 ( ) 2m( )

(q =

2

2 ( p ) R ( p ) m( )

)

1 2

m( p ) q 2 ( ) R( d ) = 1, 4 R( )

R( ) = R( p )

97

8.6

SELECTOR DE VELOCIDADES; ESPECTROMETRO DE MASA Y CICLOTRON

A continuación describiremos algunos aparatos que miden al movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos uniformes. Las cargas reaccionan en forma independiente a los campos eléctricos y magnéticos, por lo que la fuerza total que actúa sobre dicha carga es: F = q ( E + × B ) Fuerza de Lorente (8.9) Selector de velocidades: Es un dispositivo especial de campos eléctricos y magnéticos, un par de placas paralelas cargadas, como se observa en la Figura (8.8), generan un campo eléctrico uniforme, mientras se aplica un campo magnético uniforme perpendicular (indicado por las cruces). Si se introduce una carga q positiva, esta por el efecto de dichos campos se moverá en línea recta horizontal.

= E/B

( 8.10 )

Si la velocidad es mayor que esta se desviaran hacia arriba y las de menos velocidad se desviaran hacia abajo. Espectrómetro de masas: Es un aparato que separa iones atómicos y moleculares conforme a su razón masa a carga.

= E/B=

2 gV m

( 8.11)

Elevando al cuadrado ambas ecuaciones obtendremos E2 q/m = 2VB 2

( 8.12 )

Ciclotrón: Es una maquina que puede acelerar partículas cargadas hasta velocidades muy altas. Ek = 1 q2 B2 R2 mv = 2 2m

2

Ek = es la energía cinética máxima al salir del ciclotrón.

98

Y la fuerza responsable de la aceleración es: F = qvB = Despejando a R tenemos: R= mv qB

mv 2 R

( 8.13)

Ejemplos:

1) El espectrómetro de masas de la Figura 8.9 muestra un dispositivo usado por Dempster para medir las masas de los iones. Un ion de masa M y cargada + q se produce, esencialmente en reposo, en la fuente S, que es una cámara en la que se produce una descarga gaseosa. El ion se acelera a través de una diferencia de potencial V y penetra en un campo magnético B. Dentro de campo, el ion se mueve en circulo e incide sobre una placa fotográfica colocada a una distancia x desde la rendija de entrada y se registra el impacto. Demostrar que la masa M queda expresada: B2q 2 M = x 8V aplicando la 2da ley de Newton: F = qvB = m v2 q2 B2r 2 v2 = R m2

y la relación entre el campo eléctrico y la energía cinética: qv = 1 q2 B2r 2 mv 2 qv = 1 2 m 2 m2

despejando a la masa: qB 2 x 2 m= 8V 2) En un gran ciclotrón se esta movimiento un denteron en un campo magnético de 1,5 T y en orbita de 2 m de radio debido a un choque rasante con un blanco, el denteron se desintegra, con una perdida insignificante de energía cinética en un protón y newton. Estudiar los movimientos resultantes de cada partícula. Supóngase que la energía del denteron se disminuye por partes iguales entre el protón y neutrón al desintegrarse.

99

M ( d ) = 3, 34 × 10 - 27 Kg

q( d ) = 1, 6 × 10- 19 C

m( p ) = 1, 67 × 10- 27 Kg .V( d ) =

qBr = 1, 44 × 10- 8 m / s Ek( d ) = 1 m( d ) = 3, 46 × 10- 11 Joules 2 Ek( d ) Ek( p ) = = 1, 73 × 10- 11 Joules = Ek( n ) 2 El neutrón no tiene carga por lo que conservara su energía cinética y no se puede predecir su trayectoria porque el campo magnético no actúa sobre él. V( p ) = 2 Ek( p ) M ( p) m( p ) v( p ) Q( p ) B = 1, 44 × 108 Joule

R( p ) = 8.7

= 1, 002m

EFECTO HALL

Es un experimento que permite determinar el siglo de los transportadores de carga en un conductor si tenemos una tira plana de cobre que transporta una corriente como se indica en la figura (8.10) para encontrar una expresión del voltaje de Hall. Observamos que a fuerza magnética que actúa sobre los portadores es: F = qVab B Donde EH es el campo eléctrico debido a la separación de las cargas. F = qEH Entonces el potencial de Hall es: qVab B = qEH EH = Vab B Entonces el potencial de Hall es: VH = EH d ab = Vab Bd ab

100

Y la velocidad de deriva es: Vab = I NqA

Sustituyendo en la ecuación anterior de potencial. VH = IBd nqA

recordando que A =td es el espesor de la muestra. VH = donde 1/nq es el coeficiente de Hall RH. IB nqt

Ejemplo:

Se utiliza una sección de conductor con un espesor de 0,15cm, como el espécimen experimental en una medición del efecto Hall. Si se mide un voltaje de Hall de 60 × 10- 6 W , para una corriente de 15 A en un campo magnético de 1,5 T, calcule el coeficiente de Hall para el conductor. VH = RH = 8.8 IBRH T

VH t = 4 × 10- 7 electrones / m3 IB

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Se proyecta un electrón hacia un campo magnético uniforme dado por B = ( 0, 2 L + 5 J ) T . Determine la expresión vectorial de la fuerza sobre el electrón, cuando su velocidad es v = 5 × 106 Jm / s. 2) Los electrones sin perturbar, en mi cinescopio de Tv, viajarían a una velocidad de 7 × 107 m / s a lo largo de la dirección +x la Tv esta en u lugar de la superficie terrestre en el cual el campo magnético tiene una componente vertical de 13 NT y horizontal de 22,5 T. El componente horizontal esta en línea con la dirección +x y definimos a la

101

dirección vertical como dirección Z. El tubo tiene 0,3m de longitud. Calcule la desviación, en dirección y magnitud, del haz de electrones debida al campo terrestre.

6 6 3) Un electrón tiene una velocidad dada por v = ( 2 × 10 L + 3 × 10 ) m / s. Penetra en un

campo magnético cuyo valor es B = ( 0, 03L - 0,15 J ) T a) Encontrar la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre el electrón, b) Repetir los cálculos para denteron que tenga la misma velocidad.

4) Un protón y una partícula alfa, que tiene el doble de la carga y cuatro veces la masa del perímetro, se acelera con la misma diferencia de potencial y entran a una región de campo magnético constante, perpendicular a sus trayectorias. a) ¿Cuál es la relación de los radios de sus orbitas?. b) ¿Cuál es la relación de las frecuencias de sus orbitas?. 5) Un alambre metálico de masa m se desliza sin filtración en dos rieles espaciados a una distancia d, tal como se indica en la Figura (8.11). El dispositivo se encuentra en un campo magnético uniforme vertical B. Del generador G fluye una corriente constante I a lo largo de un riel, a través del alambre y de regreso por el otro riel. Encontrar la velocidad del alambre como función del tiempo, suponiendo que el instante t =0 estaba en reposo. 6) La figura 8.12, muestra un anillo de radio a perpendicular a la dirección general de un campo magnético que diverge siguiendo a una simetría radial, la magnitud B del campo magnético en la posición del anillo es la misma y su dirección forma, en todos los sitios del anillo, un ángulo respecto a la normal al plano del anillo, los alambres de conexión enrollados no tienen efecto alguno. Determinar la magnitud y la dirección de fuerza que ejerce el campo sobre el anillo si este transporta una corriente I como la mostrada en la figura. 7) Un alambre recto y delgado conduce una corriente de 10 mA y forma un ángulo de 60º con un campo magnético constante de 10.-5T. LA parte del alambre dentro del campo tiene una longitud de 10cm. Calcule la fuerza, tanto en dirección como en magnitud, sobre el segmento del alambre. 8) El segmento de conductor mostrado en la Figura (8.13) lleva una corriente I =0,5 A, la sección más corta tiene 0,75m de largo, y el largo de la sección de mayor longitud mide 1,5m. Determine la magnitud y dirección de la fuerza magnética sobre el conductor si existe un campo magnético uniforme B =0, L T en la región. 9) El cubo de la Figura (8.1) de 0,5m de arista, se encuentra en un campo magnético uniforme de 0,6 T, paralelo al eje X. El hilo abcdef transporta una corriente de 44 A en el sentido indicado. Determínese la , magnitud, dirección y sentido de las fuerzas que actuan sobre las porciones ab, cd, de y ef.

102

10) Supongamos que la figura (8.15) representa una cinta de cobre con dimensiones Z1 = 2cm e y1 = 1mm. Cuando la inducción magnetica es 5 T y la intensidad 100 A, la fem Hall resulta ser 45,4 NV. ¿Cuál es la concentración de electrones libres?. 11) La Figura (8.16) muestra un cilindro de madera cuya masa m es de 0,25Kg, su radio es R, su longitud L es de 0,1m y con un número N =10 de vueltas de alambre enrolladas longitudinalmente en l eje, de tal forma que el plano de las espiras de alambre contiene al eje del cilindro. ¿Cuál es la menor de las corrientes a través de la espira que impide que I cilindro ruede por el plano inclinado, que forma un ángulo respecto a la horizontal, en presencia de un campo vertical cuya inducción magnética es de 0,5 T, si el plano de las espiras es paralelo al plano inclinado?. 12) Un alambre de longitud L transporta una corriente I. Demostrar que si el alambre se enrolla para formar una bobina circular, la torca máxima en un campo magnético dado se obtiene cuando la bobina tiene solo una vuelta y que el valor máximo de esta torca es = 1 4 L2 IB. 13) Una espira rectangular consta de 40 vueltas enrolladas apretadamente y sus dimensiones 0,25m por 0,20m, la espira esta articulada a lo largo del eje y el plano de la bobina forma un ángulo de 45º con el eje x, como se observa en la Figura (8.17). a) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por un campo magnético uniforme de 0,25T dirigido a lo largo del eje x, cuando la corriente en los arrollamientos tiene un valor de 0,5 A, en la dirección indicada?. b) ¿Cuál es la dirección esperada de rotación de la espira?. 14) ¿Cuál es el momento máximo sobre una bobina de 2cm x12cm que tiene 600 vueltas, cuando transporta una intensidad de corriente de 10-5 A en un campo uniforme de 0,10T?. 15) Una bobina circular tiene N vueltas, radio R y conduce una corriente I. El momento bipolar magnético esta alineado inicialmente con un campo magnético externo fijo B. ¿Cuánto trabajo debe efectuar una fuerza para hacer girar la bobina a un ángulo ?. 16) ¿Qué campo magnético se requeriría para hacer que un electrón cuya energía es de 4400 e V se mantenga en una trayectoria circular de radio 0,8m?. 17) El ciclotrón se ajusta normalmente para acelerar denterones. a)¿Cuál seria la energía que se podría producir en protones, utilizando la misma frecuencia del oscilados que utilizaba para los denterones?. b) ¿Qué campo magnético se necesitaría?. c) ¿Cuál seria la energía de los protones que se producirían si el campo magnético se conservara con el mismo valor que se utilizaba para los dentrones ? d) ¿Cuál seria la frecuencia del oscilador que se necesitaría en este caso?. e) Responder las mismas preguntas para el caso de partículas .

103

18) Se lleva a cabo un experimento de efecto Hall con una banda de aluminio, cuya densidad es 2, 7 g / cm3 , la banda tiene 1cm de ancho, que es la distancia a la cual se mide el voltaje de Hall, y 0,50mm de espesor. Cuando el campo magnético es 0,050T y la corriente es de 96 A el voltaje de Hall es 1nV. ¿Cuántos electrones por átomo están libres para conducir corriente en el aluminio?. 19) Una bobina circular de 8cm de diámetro tiene 12 espiras y transporta una corriente de 5ª, la bobina se encuentra en un campo magnético de 0,6 T. a) ¿Cuál es el momento máximo sobre la bobina?. b) ¿Para que posición tendría el momento un valor igual a la mitad del calculado en a?. 20) Una partícula alfa tiene una velocidad v = 3 × 105 Lm / s y entra a una región en la que el campo magnético tiene un valor B =1,2KT. Determine la magnitud y dirección requerida de un campo eléctrico E que hará a la partícula alfa seguir moviéndose a lo largo del eje x.

104

TEMA IX LEY DE AMPERE

1.26 INTRODUCCIÓN En este capitulo estudiaremos que los campos magnéticos son producidos por cargas en movimiento. Empezaremos hablando de la ley de Biot y Savart, que describe los campos magnéticos que producen las cargas en movimiento y después la ley de Ampere para determinar el campo magnético de configuración de alta simetría que conduce en corrientes constantes. 1.27 LEY BIOT-SAVART Si un alambre conduce una corriente constante I, el campo magnético dB en un punto P debido a un elemento ds tiene las siguientes propiedades (ver Figura 9.1): El vector dB es perpendicular tanto a ds (el cual tiene la dirección de la corriente) como al vector unitario r dirigido desde el elemento al punto P. La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia desde el elemento al punto P. La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la longitud ds del elemento. LA magnitud de dB es proporcional a sen , donde es al ángulo entre los vectores ds y r. dB = km Ids × r ( ley de Biot - Sa art ) r2

-7 km. es una constante µ 0 / 4 = 10 w / A.m

Para determinar el campo total, se deben sumar todas las contribuciones de dB. B=

µ 0I 4

ds × r r2

( 9.1)

Ejemplo:

El alambre mostrado en la Figura 9.2, transporta una corriente I. ¿Cuál es el campo magnético B en el centro C del semicírculo proveniente de : a) cada uno de los segmentos rectos de longitud L, b) del segmento semicircular d radio R y c) del alambre completo?.

105

a) dB = dB =

Según la ley de Biot-Savart

µ 0 I dL × r ; como el ángulo entre ds y r es 0º 4 r 2

µ 0 I dLr sen0o = 0 4 r 3

Los segmentos rectos no contribuyen a la inducción magnética. dB = b) B= c) 9.3

µ0I 4 r 3

dLrsen ; = 2 y dL Rd r3

µ0I 4

0

µ0I Rd B= 2 R 4 R

d

0

B =

µ 0I 4

el resultado b es el campo producido en todo el alambre. LEY DE AMPERE

Usted demostró claramente que un alambre portador de corriente produce un campo magnético, si se toma el alambre con la mano derecha, como se observa en la Figura 9.3, en forma tal que el dedo pulgar apunte en dirección de la corriente, los dedos cerrados definirán la dirección de B. La ley de Ampere establece que la integral de línea de B.ds alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a µ 0 I , donde I es la corriente constante total que atraviesa la trayectoria.

Bds =

Ejemplo:

µ 0I

( 9.2 )

esta ley solamente es valida para corrientes estacionarias.

Un alambre sin forro, del num. 10 (0,10 pulgadas de diámetro), puede transportar una corriente de 50 A sin sobrecalentarse. ¿Cuál es valor de B en la superficie de este alambre cuando circula tal corriente?.

106

Bds = µ I Bds cos 0 = µ B 2 r = µ I

0 0

0

I

B = 9.4

µ0 I = 7, 87 ×10 -3 T 2 r

FUERZAS MAGNETICAS ENTRE DOS CONDUCTORES PARALELOS

Observemos la Figura 9.4, el alambre 1 producirá un campo magnético de B 1, en el alambre 2, debido a una corriente I1. B1 =

µ 0 I1 2 d

( 9.3)

el alambre 2, tiene una corriente I2, y esta siendo afectado por un campo B, externo, por lo que la fuerza magnética sobre una longitud L del alambre es: F2 = I 2 LB1 =

la fuerza que un alambre ejerce sobre el otro es igual y opuesta:

µ 0 LI 2 I1 2 a

( 9.4 ) ( 9.5 )

µ 0 I 2 I1 F = L 2 a

esta es la fuerza por unidad de longitud.

Ejemplo:

Dos conductores paralelos, separados a una distancia a =0,2m, llevan corrientes en la misma dirección, como se ven en la Figura 9.5. Si ejerce cada conductor sobre el otro?.

µ I I F = 0 2 1 = 1, 5 × 10- 4 Nw / m L 2 a

9.5 CAMPO MAGNÉTICO DE UN SOLENOIDE

Es un alambre largo devanado en la forma de una hélice, que genera campos magnéticos semejantes a los campos eléctricos que genera un capacitador de placas paralelas. Ver Figura 9.6. El campo magnético en el interior de un solenoide largo es 107

B = µ 0 nI

( 9.6 )

Este campo magnético es uniforme y donde n es el número de espiras por unidad de longitud n = M/L.

Ejemplo:

1) Un solenoide cuyas espiras se han devanado estrechamente tiene una longitud de 0,25m y conduce una corriente I =0,5 A. La cual produce un campo magnético B = 8 × 10- 5 T . ¿Cuántas espiras tiene el solenoide?. B = µ0 M = BL = 31, 8 vueltas µ0 I M I L

2) Deducir la ecuación para el campo debido a un solenoide partiendo de la expresión magnético: B= 2 ( R2 + X 2 )

µ 0 IR 2

3 2

Obtenida de una espira circular, de la Figura 9.7. (sugerencia: dividir al solenoide en una serie de espiras de corriente de espesor infinitesimal y después realizar la integración). Siendo I la corriente de la espira. Si tengo varias espiras delgadas: I = I 0 n × n = número de espiras por unidad de longitud. I 0 = corriente que lleva cada espira. dI = I 0 ndx B =

2

0

(R

µ 0 R 2 dI

2

+ X

2

)

3 2

=

2

0

(R

µ 0 R 2 I 0 ndx

2

+ X

2

)

3 2

B =

µ0 I 0 n

2

0

R 2 dx r3

como

r =

(R

2

+ x2 )

1/ 2

Hagamos un cambio de variable:

108

X = Rtg ; dx = R sec 2 d ; cos = r = R sec

R r

B=

µ 0 I0n

2

2

0

R 3 sec d R 3 sec3

B=

µ 0 I0n

2

2

0

cos d =

µ0 I0n

2

( sen

2

2

0

B = 9.6 FLUJO MAGNÉTICO

µ0 I 0 n

El flujo magnético a través de un elemento de área dA se obtiene mediante:

m =

B.dA

( 9.7 )

Ejemplo:

Dos alambres de cobre del número 10 (diámetro 0,10 pulg.) largos y paralelos, transportan corrientes de 10ª en direcciones opuestas. Si sus centros se encuentran separados 2 cm. a) Calcular el flujo por metro de conductor que existe en el espacio entre los ejes de estos dos alambres. b) ¿Qué fracción del flujo se encuentra dentro de los alambres?. c) repetir el cálculo de (a) para corrientes paralelas.

T = 1 + 2 X2 L L L Iµ0 1 = = 10 - 6 w / m L 4

a)

Los flujos tienen la misma dirección igual y deben sumarse

109

2

L

= =

BdA =

µ0 I nr 2

µ0 I 0,02 2 1,27×10 -3

0,02 1,27× 10 -3

µ0 I dr = B = r 2

dA = Ldr

2 2 T

L L L

= 5, 51×10 -5 w / m = 1, 302 ×10 -5 w / m 2 1 / L = 0,15 2 / L Como los flujos producidos por los alambres son iguales pero sentidos contrarios se anulan.

b) f = c)

=0 T

La ley de gauss del magnetismo establece que el flujo magnético neto a través de cualquier superficie cerrada siempre es cero.

m = B.dA = 0

9.7 LA CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO DE MAXWELL

La ley de Ampere se aplica integrando una trayectoria cerrada. Cuando una corriente es continua, la corriente que cruza cualquiera de esas superficies debe ser igual a la corriente que cruza cualquier otra ver Figura 9.9. Ahora en la Figura 9.10 tenemos dos superficies con la misma espira como limite y podemos observar que una corriente I cruza la superficie 1 en el sentido positivo y en la superficie 2 no hay corriente, con la ley de Ampere no hay forma de distinguir las dos superficies. Maxwell presenta una modificación que corriente esa falla, en la superficie 2 que no pasa corriente hay un flujo eléctrico variable.

E =

Si se deriva en función del tiempo:

q 0 E = q 0

110

0

d E dq = = I dt dt

Este término de flujo variable es la corriente de desplazamiento. Id = 0 d E dt

( 9.8 )

La suma de la corriente ordinaria y la corriente de desplazamiento, es continua, la ley de Ampere quedaría satisfecha para cualquier superficie y se aplica aun cuando las corrientes varíen a través del tiempo.

B.ds =

Ejemplo:

µ 0 ( I + Id ) = µ 0 I + µ 0 0

d E dt

( 9.9 )

El voltaje aplicando entre las placas de un capacitor de 3NF varía con el tiempo t/4 según la expresión Vap = 6 ( 1 - e ) V , donde t esta en segundos. Calcule a) la corriente de desplazamiento como una función del tiempo, b) el valor de la corriente en T=2seg. a) I d = dq dV =C dt dt d 6 (1 - e -t / 4 ) V dt

I d = ( 3 ×10 -6 F )

I d = 4, 5 ×10 -6 e -t / 4 F b ) I d = 4, 5 ×10 -6 e -2 / 4 F I d = 2, 73 ×10 -6 F 9.8 EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Un topógrafo usa una brújula a 6,10m, debajo de una línea de energía eléctrica por la cual pasa una corriente constante de 100 A. ¿Se alterara sensiblemente la lectura de la brújula debido a esta corriente?, la componente horizontal del campo magnético terrestre es aproximadamente 0,2 gauss. 111

2) Un alambre recto largo lleva una corriente de 50 A. Un electrón que lleva una velocidad de 107 m / seg ., se encuentra a 5cm del alambre. ¿Qué fuerza obra sobre, b) paralela al alambre y c) perpendicularmente a la dirección dada por (a) y (b)?. 3) Cuatro alambres de cobre, largos y paralelos, están colocados de tal forma que sus secciones transversales forman un cuadrado de 20cm de lado. Por cada alambre circula una corriente de 20 A en el sentido mostrado en la Figura (9.110). ¿Cuál es la magnitud y l dirección de B en el centro del cuadrado?. 4) En el ejercicio anterior (3) ¿Cuál es la fuerza por metro que obra en el alambre inferior izquierdo, en magnitud y dirección?. 5) En la Figura (9.12) muestra a un alambre largo que transporta una corriente de 30 A. La espira rectangular transporta una corriente de 20ª. Calcular la fuerza resultante que actúa sobre la espira. Suponer que a =1cm; b =8cm y L =30cm. 6) Un alambre se dobla para formar una "horquilla" larga como la mostrada en la Figura (9.14). Si por ella circula una corriente de 10 A, a)¿Cuál es la dirección y la magnitud de B en el punto a?, b) ¿Y en el punto b?, considerar R =0,50m. 7) Calcular el campo magnético B aproximado en el punto P de la Figura (9.15). Suponer que I =10 A y q q =8cm. 8) Una espira circula de cobre de 10cm de radio transporta una corriente de 15ª. En su centro esta colocada una segunda espira de 1cm de radio, de 50 vueltas y que transporta una corriente de 1 A. a) ¿Cuál es el campo magnético B producido por la espira grande en su centro?. b) ¿Cuál es la torca que actúa sobre la espira pequeña?. c) Supóngase que los planos de las dos espiras son perpendiculares y que el campo magnético B producido por la espira grande esencialmente uniforme en el espacio ocupado por la espira pequeña. 9) Por el cilindro interior de un cable coaxial pasa una corriente hacia abajo, y regresa por el cilindro interior, como se muestra en la Figura 9.16. El radio del cilindro interior es 0,50cm y el del cascaron es 0,8cm. calcule el campo magnético en la superficie cilíndrica, en un punto intermedio (a medio camino) entre las superficies interior y exterior, cuando la corriente sea 5 A. No tome en cuenta los efectos en los extremos. 10) Un solenoide superconductor largo se devana con alambre fino de niobio, de modo que hay 3x104 vueltas/m. Si una fuente de corriente produce 50 A. ¿Cuál es el campo magnético dentro del solenoide?.

112

11) Calcule el campo magnético al centro de una bonina cuadrada de alambre con 20 vueltas, de 25cm de longitud, y que lleva una corriente de 4ª. 12) Comienza a pasar una corriente de 1 NA en un circuito con un capacitor de 5 × 10- 11 F , de a cm2 de área, cuando t =0seg. a) ¿Con que rapidez cambia el voltaje entre las placas del capacitor, cuando t =0?. b) Con el resultado anterior, calcule en forma explicita d E / dt y la corriente de desplazamiento cuando t =0seg. 13) Calcule la fuerza por unidad de área entre dos laminas metálicas que conduzca corrientes idénticas en la misma dirección, la corriente que pasa por las laminas tiene una densidad lineal h A//m. 14) ¿Cuántas espiras deberá tener una bobina de vueltas circulares estrechamente enrolladas, de radio 0,4m, para que una corriente de 3,2 A, produzca un campo magnético de 1, 61× 10- 4 T en su centro?. 15) Una bobina toroidal de la Figura (9.17) esta formada por 400 espiras sobre un núcleo que tiene radio interior a =8cm y radio exterior b =10cm. Calcule la magnitud del campo magnético en el punto central entre las paredes interior y exterior del núcleo, cuando circula una corriente de 0,75 A en el devanado. 16) La arista de un cubo tiene una longitud L =0,15m y el cubo esta ubicado como se muestra en la Figura (9.18). Existe además un campo magnético uniforme por toda la región dado por B = ( 6 L + 3J + 1,5 K ) T . a) Calcule el flujo a través de la cara sombreada del cubo. b) ¿Cuál es el flujo total a través de las seis del cubo?. 17) Un solenoide tiene 400 espiras, longitud de 50cm, radio de 8cm y transporta una corriente de 6 A. Calcule el campo magnético en un punto axial, a una distancia de 15cm del centro (es decir, a 10cm de un extremo). 18) Por un tira de metal delgada, muy larga y de anchura w pasa una corriente I. Determine el campo magnético en el plano de la tira (en un punto extremo) a una distancia b de un lado. 19) Un solenoide de 30cm de longitud esta arrollado con dos capas de hilo, la interior tiene 300 y exterior 250 espiras, la intensidad es 3 A, con el mismo sentido en ambas capas ¿Cuál es el campo magnético en un próximo al centro de solenoide? 20) Un anillo de madera cuyo diámetro medio es 10cm lleva un arrollamiento toroidal de 500 espiras apretadas. Calculase el campo en un punto de la circunferencia media del anillo cuando la corriente que circula por el arrollamiento es de 0,3 A.

113

TEMA X LEY DE FARADAY

1.28 INTRODUCCIÓN Estudiaremos a continuación campos magnéticos variables que originan campos eléctricos. Estos campos eléctricos no se relacionan con fuerzas conservativas. Con esta ley complementamos la introducción a las leyes fundamentales del electromagnetismo. Esta en todo nuestro sistema de generación de energía eléctrica y desempeña un papel en la mayor parte de los artículos electrónicos que usamos. 1.29 LEY DE FARADAY Y LA INDUCCIÓN MAGNETICA Describiremos un experimento de fem inducida. Consideremos una espira de alambre conectada a un galvanómetro, como se ve en la Figura 10.1, si movemos un imán hacia el interior de la espira, observaremos que la aguja del galvanómetro cambiara de orientación. Si por el contrario alejamos el imán de la espira, la aguja del galvanómetro se moverá en sentido contrario. Si ese mismo imán lo dejamos estacionario, respecto a la espira, en el galvanómetro no se observara ninguna lectura y finalmente si el imán se mantiene estacionario y el circuito de la espira se mueve acercándose o alejándose del imán, la aguja también se moverá. Con estas observaciones podemos concluir que siempre que exista un movimiento relativo entre el imán y el circuito de la espira. Se genera una corriente en el circuito, aun cuando no existan baterías en dicho circuito. Estas corrientes se denominan corrientes inducidas, y se producen por una fem inducida. La ley Faraday establece que la fem inducida en un circuito es directamente proporcional, a la razón de variación del flujo magnético a través d un circuito con respecto al tiempo.

=

- d m dt

(10.1)

donde m es el flujo magnético que varia con el tiempo

m =

Si el circuito es una bobina de N espiras

B.dA

114

= -N

d m dt

(10.2 )

Si el flujo magnético es uniforme en un circuito de área A que esta en un plano, como se muestra en la Figura 10.2, la fem inducida se puede expresar:

=

-d ( BA cos dt

)

( 10.3)

Como podemos observar es posible inducir una fem en el circuito en varias formas: la magnitud de B puede variar con el tiempo. el área del circuito puede cambiar con el tiempo. el ángulo entre B y la normal al plano puede variar con el tiempo. puede ocurrir cualquier combinación de estas formas.

Ejemplo:

Se hace una bonita con 100 vueltas de alambre de cobre aislado, enrolladas sobre un cilindro de hierro cuya sección trasversal es de 0,001m2 y se conecta con una resistencia. La resistencia total en el circuito es de 10 . Si la inducción magnética longitudinal en el hierro cambia de 1 T en un sentido a 1 T en sentido contrario, ¿Qué cantidad de carga fluye por el circuito?.

115

=

dm d t = d m dt

I =

R

;I =

dq dt

R

=

dq dt

despejando

dq =

dt

R

=

d m R

d

q

=

d m m q = R R

m1 = M .B. A = -0,1 T m 2 = 0,1 T m 2 - m1

q = R 1.30 LEY DE LENZ El signo negativo de la ecuación anterior, se incluye como recordatorio de que el sentido de la fem inducida obedece a la ley de Lenz, ósea que con esta ley se puede ley se puede determinar la dirección de la fem y de la corriente inducida. "La corriente y la fem inducida actúan en tal dirección que tienden a oponerse a cualquier cambio en el número neto de líneas de flujo que pasan a través de la sección transversal del circuito". Supongamos que tenemos una barra que se mueve hacia la derecha, como se mueve en la Figura 10.3. Cuando la barra se mueve hacia la derecha, el flujo magnético a través del circuito aumenta con el tiempo y la corriente inducida debe circular en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Si por el contrario la barra se mueve hacia la izquierda, como se muestra en la Figura 10.4, el flujo magnético decrecerá con el tiempo y la corriente inducida tendrá que ser en el sentido de las manecillas del reloj. En cualquier caso se observa que la corriente inducida tiende a mantener el flujo original a través del circuito.

= 2 ×10 -2 C

116

1.31

FUERZA ELECTROMOTRIZ EN MOVIMIENTO

Observamos la Figura 10.5, donde tenemos a un conductor rectilíneo de longitud L que se mueve con velocidad constante v a través de un campo magnético uniforme. Consideremos que el conductor se mueve perpendicularmente al campo, las cargas libres que se encuentran en el conductor van a estar bajo la influencia de una fuerza definida por qv x B. Esta fuerza moverá a los electrones hacia el extremo inferior del conductor dejando a los electrones hacia el extremo inferior del conductor dejando a los protones en el extremo superior. En consecuencia se produce un campo eléctrico dentro del conductor, la carga en los extremos va aumentando hasta que la magnitud de la fuerza magnética q v B se equilibre con la fuerza eléctrica q . En este punto la carga cesa de fluir y la condición de equilibrio es: q = q B; = B Este potencial generado en los extremos es más alto en la parte superior que en la inferior. Consideremos ahora un circuito que consta de un barra conductora de longitud L que se desliza a lo largo de dos rieles conductores paralelos fijos, como se muestra en la Figura 10.6. Supongamos que la barra móvil tiene una resistencia nula y que los rieles tienen una resistencia R. Aplicamos un campo magnético uniforme y constante B y perpendicular al plano del circulo. Si aplicamos una fuerza (Fapl) hacia la derecha, las cargas libres en la barra experimentan una fuerza magnética, que genera una corriente inducida. En este circuito cerrado el flujo magnético externo es:

m = BLx

Donde Lx es el área del circuito en cualquier instante, donde x es el ancho del circuito, y cambia con el tiempo. La fem inducida mediante la ley de Faraday es:

=-

d m d = dt dt dx dt

( BLx )

= - BL = BLv

(10.4 )

Esta última ecuación es la fem de movimiento. Llamamos la fem de movimiento, cuando una barra conductora de longitud L se mueve a través de un campo magnético B con una velocidad v, de modo que B sea perpendicularmente a la barra.

117

Ejemplo:

La figura 10.7, muestra una barra de cobre que se mueve sobre unas vías conductoras con una velocidad v paralela a un alambre recto, largo, que transporta una corriente I. Calcular la fem ( ) inducida en la barra, suponiendo que v = 5m / s; I = 100 A; a = 1cm y b = 20cm.

= BL ; d = B dx

Como B depende de x, tenemos: B =

µ0 I donde 2 x

d E =

µ0 I dx 2 x

integrando obtenemos:

µ I = d = 0 2 0 = 3 × 10 -4 Volts

1.32

a

b

µ 0 I dx = Ln ( b a ) x 2

FUERZAS, ENERGÍA Y POTENCIA EN LA FUERZA ELECTROMOTRIZ DE MOVIMIENTO

En el tema anterior hablamos de una fuerza magnética que actúa sobre la corriente inducida que inhibe siempre el movimiento que produce la fuerza electromotriz de movimiento. Esta fuerza magnética es: FB = I ( dL × B )

( 10.5)

Donde dL describe un elemento de longitud del alambre y B es el campo magnético en ese elemento. La fuerza aplicada ( Fapl ) es: Fapl = ILB

Donde I = B L / R 2 2 Por lo que: Fapl = L B

118

La potencia disipada, debida al flujo de corriente a través de un resistor, es igual a la potencia requerida, para mantener moviéndose a la espira. P = Fapl . =

2 L2 B 2 R

2

( 10.6 )

2

o

v 2 L2 B 2 BvL P= I R= R= R R

( 10.7 )

Ejemplo:

Se dispone de un alambre de cobre de 50cm del Nro 18 (diámetro =0,001016m). Se le da la forma de una espira circular y se coloca perpendicularmente en un campo magnético uniforme que esta aumentado con el tiempo a razón constante de 100 gauss/seg. ¿Con que rapidez se genera calor por el efecto Joule en la espira? Solución: dB = 100 gauss / seg = 10- 2 Weber / m 2 seg dt I = A( e ) dB = . R R dt L( a ) A( a ) = 1, 7 × 10- 8 ( 0,5 ) A( e ) = ( 0, 5 / 2

)

2

= 0, 02m 2

R=

( 0, 0005)

2

2

= 0, 01 donde es la resistividad del cobre 1, 7 × 10- 8 .m

P= 1.33

( 0, 02 )

0, 01

(10 )

-2

2

= 4 × 10- 6 watts.

FUERZAS ELECTROMOTRICES Y CAMPOS ELÉCTRICOS

La ley de la inducción electromagnética demuestra que siempre se crea un campo eléctrico mediante un flujo magnético variable. Este campo eléctrico inducido tiene propiedades que son muy diferentes de aquellas que corresponden al campo electrostático producido por cargas estacionarias. Si tenemos una espira conductora de radio r situada en un campo magnético uniforme y perpendicular al plano de la espira, como se muestra en la Figura 10.8, la ley de Faraday establece:

119

=-

d m dt

La corriente inducida indica la presencia de un campo eléctrico , que debe ser tangente a la espira ya que todos los puntos de ella son equivalentes. W =F . A Donde W es el trabajo efectuado para mover una carga de prueba alrededor de la espira; F es la fuerza eléctrica que actúa sobre dicha carga y A es el perímetro de la espira: W = q ; A = 2 r. F = q Sustituyendo obtenemos: q = q Despejando al campo eléctrico:

( 2 r )

=

Si utilizamos la ley de Faraday:

2 r

=

Donde:

- 1 d m 2 r dt

m = BA = B r 2

Entonces:

= -

r Db 2 dt

( 10.8 )

El signo negativo indica que el campo eléctrico inducido se opone al cambio del campo magnético. Este resultado también es valido en ausencia de un conductor. Podemos representar de forma general la ley de Faraday de la inducción de la siguiente manera:

120

=

.ds =

-

d m dt

( 10.9 )

Este campo eléctrico no es conservativo, ya que varia con el tiempo y se genera por un campo magnético variable.

Ejemplo:

La Figura 10.9, muestra a un campo magnético uniforme B restringido aun volumen cilíndrico de radio R, la magnitud de B disminuye con ritmo constante de 0,010 T/seg. ¿Cuál es la aceleración instantánea (en dirección y en magnitud) que experimentaría un electrón colocado en a, en b y en c?. Suponer que r =5cm (la curvatura necesaria, del campo más allá de R no cambia la respuesta, siempre y cuando exista simetría axial de R no cambia la respuesta, siempre y cuando exista simetría axial respecto de un eje perpendicular al plano de la figura y que pase por b). a ) dL = - d m dt

( 2 r ) = -

dB r dt 2

dB ( r 2 ) dt

= -

dB = 0, 01T / seg dt F = q = q dB r F , recordando a = dt 2 m

- 19 qr dB 1, 6 × 10 ( 0, 05 ) ( 0, 01) a= = = 4, 4 × 107 m s 2 - 31 2m dt 2 ( 9,1× 10 )

b) a = 0; pues

r= 0

c ) a = 4, 4 × 107 m / s 2 en la dirección que se indica en la figura.

121

1.34

GENERADORES Y MOTORES Estos son mecanismos que funcionan a través de la inducción electromagnética.

Generador de corriente alterna (ca), es un dispositivo que convierte la energía mecánica en energía eléctrica. Consta de una bobina de N espiras que forma un círculo de área A, que gira por algún medio externo en un campo magnético B, como se observa en la Figura 10.10, con una velocidad angular angular respecto a un eje perpendicular al campo. Al girar la bobina, el flujo magnético a través de ella cambia con el tiempo, y se induce una fem. si la velocidad angular w es constante y es el ángulo entre el campo magnético y la normal al plano, entonces el flujo magnético a través de la bobina en cualquier tiempo es:

m = BA = AB cos = AB cos t

Y la fem inducida en la bobina es:

= -N

d m d = - NAB ( cos t ) dt dt

= NAB sen t

( 10.10 )

Este resultado muestra que la fem varía senoidalmente con el tiempo, como se ve en la Figura 10.11. Cuando t = 90o o 270o , la fem inducida tendrá su valor máximo.

= max = NAB

( 10.11)

Y cuando t = 0 o 180º , ósea B sea perpendicular al plano de la bobina, la fem inducida es cero. Representamos a un generador mediante un círculo que encierra una onda senoidal, como se muestra en la Figura 10.12. Si a este generador lo conectamos como elemento de un círculo en serie, con resistencia R, entonces, se genera una corriente en el circuito. I = Y su magnitud máxima es:

NAB = sen ( t ) R R

122

I =

NAB R

( 10.12 )

La potencia entregada a este circuito es: P = I = INAB sen ( t )

( 10.13)

Y la potencia mecánica que debe ejercer la fuerza que hace girar la espira es: Pmec = = µ B sen

( 10.14 )

Donde µ es el momento bipolar magnético en un campo magnético B. La dependencia explicita con respecto al tiempo, de la potencia, se calcula con el producto de la corriente por el potencial V2 P= = R

( NAB )

R

2

sen 2 ( t )

( 10.15)

Este valor siempre es positivo, en contraste con la fuerza electromotriz o la corriente las cuales alternan su signo, como se muestra en la Figura 10.13.

Ejemplo:

Un generador de corriente alterna, una espira rectangular de N vueltas, longitud a y ancho b, gira con un frecuencia v en un campo magnético uniforme b, tal como se muestra en la Figura 10.14. a) Demostrar que sobre la espira aparece una fem inducida por la expresión:

= 2 NbaBsen 2 t = 0 sen 2 t

Este es el principio de operación de los generadores comerciales de corriente alterna. b) Diseñar una espira que produciría una fem de 0 = 150V cuando gira 60rev/s en un campo de 0,5 T. a) Tomemos una vista lateral de una espira ladeada en un instante t

m=

Como esta en función del tiempo:

B.dA =

Bab cos

123

V = Donde = 2 Vt , sustituyendo:

w como w = V = 2 t 2 t

m = Bab cos ( 2 Vt )

Sabemos que la fem inducida es

=

d m = 2 VBab en ( 2 Vt ) Dt

Este resultado obtenido es para una espira Ahora para N vueltas: d m = 2 VNBab en ( 2 Vt ) dt Para t = 1 la ecuación nos queda: 4V

0 = 2 VNBab en

Donde 0 el valor máximo de :

= 2 VNBab 2

= 0 en ( 2 Vt )

b) 0 = 2 VNA como ab es el área de la espira A=

0 150 0, 8 2 = = m 2 VN 2 ( 60 ) N N

si diseñamos una bobina de una espira, tenemos: A = 0, 8m 2 se elegirán las dimensiones para lograr un área de esta magnitud, por ejemplo una espira cuadrada de lado 0, 8m.

124

1.35

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Un campo uniforme de inducción B es normal al plano de un anillo circular de 10cm de diámetro hecho de alambre de cobre Nro 10(diámetro =0,00254m)¿con que rapidez debe cambiar B al transcurrir el tiempo para que se forme una corriente de 10 A en el anillo ?. 2) Un alambre rígido doblado en forma de un semicírculo de radio R gira con una frecuencia v en un campo uniforme B, tal como se ve en la Figura 10.14. ¿Cuál es la amplitud, la frecuencia de la fem inducida y la corriente inducida cuando la resistencia interna del medidor M es Rm y el resto del circulo tiene una resistencia que se puede ignorar?. 3) Un disco de cobre circular de 10cm de diámetro gira a razón de 1800 rev/min alrededor de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al disco. Un campo uniforme inducido B de 10.000 gauss, es normal al disco. ¿Qué diferencia de potencial se desarrolla entre el eje del disco y su borde?. 4) El flujo magnético a través de la espira de la Figura 10.15 es perpendicular al plano de la espira, esta dirigido hacia adentro de la pagina y varia de acuerdo con la relación m = 6t 2 + 7t + 1, en donde m esta dado en miliwebers ( 1mwb = 10- 3 wb ) y t esta en segundos. a) ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en la espira después de t =20seg?. b) ¿Cuál es la dirección de la corriente a través de R?. 5) La barra conductora AB de la Figura 10.16 hace contacto con dos rieles metálicos AD y BC separados 50cm en un campo magnético uniforme de 1 T perpendicular al plano de la pagina, la resistencia total del circuito ABCD es de 0,4 ohms (supuesta constante). a) ¿Cuál es la magnitud y el sentido de la fem inducida en la barra cuando se mueve hacia la izquierda con la rapidez de 8 m/s?. b)¿Qué fuerza se necesita para mantener a la barra en movimiento?. c) Comparar el ritmo con el cual la fuerza F realiza trabajo mecánico con el ritmo de aumento de la energía térmica en el circuito. 6) El plano de una bobina rectangular de dimensiones 10cm por 8c, es perpendicular a la dirección de un campo magnético B, si la bobina tiene 50 espiras y una resistencia total de 12 , ¿En qué proporción debe cambiar la magnitud de B para poder inducir una corriente de 5 mA en los devanados de la bobina? . 7) Una bobina de 125 vueltas, de 2cm de radio y cuya resistencia es de 3 , gira sobre un diámetro, dentro de un campo magnético uniforme de 0,5 T. ¿A qué velocidad debe girar para producir una corriente máxima de 6 A en la bobina? 8) Un bocing 747 vuela hacia el norte, a 900 Km/h en un lugar donde el campo magnético terrestre consiste de un componente vertical hacia arriba de 2 × 10- 5 T , y un

125

componente hacia el sur de 3 × 10- 5 T . Si la envergadura de las alas 747 es 35cm, calcule la fem inducida entre ellas. Si la aeronave volara hacia el este, en lugar de hacia el norte ¿Cómo cambiaría la respuesta?. 9) Una espira cuadrada de alambre, de dimensiones LxL, esta en un plano perpendicular a un campo magnético constante. El campo solo ocupa una determinada región, cuyo limite es definido en la Figura 10.17, los lados d la espira forman un ángulo de 45º con ese limite, y una fuerza externa hace mover a la espira a una velocidad v, saliendo de la región del campo constante. ¿Cuánta potencial debe suministrar la fuerza externa, como función del tiempo?. 10) Un solenoide largo, de radio r y n vueltas por unidad de longitud, conduce una corriente alterna I = I 0 se ( wt ) , observar la Figura 10.18. ¿Cuáles son los campos eléctricos que se inducen dentro del solenoide, a una distancia R/2, y fuera del solenoide, a una distancia de 2 R? (sugerencia: aplique la ley de Faraday, a las dos trayectorias que se indican, y use la simetría). 11) Una bobina de 5cm2 de área, con 50 vueltas de alambre, se conecta con un resistor de 50 de resistencia. Se hace girar a mano, a una frecuencia de 1 rev/s dentro de un campo magnético de 0,5 T. a) ¿Cuál es la cantidad máxima de corriente que produce? b) ¿Cuál es la potencia promedio que se produce?. 12) Una bobina con 300 vueltas, de 10cm de diámetro y 20 de resistencia, se coloca en dirección perpendicular a un campo magnético uniforme de 1 T. De repente, el campo magnético invierte su dirección. ¿Cuál es la carga total que pasa por la bobina?. 13) Una aleta de hélice gira con una rapidez constante en el campo magnético de la tierra, la rotación ocurre en una región donde la componente del campo magnético perpendicular al plano de rotación es de 2, 2 × 10- 5 T . Si la aleta tiene una longitud de 1,2 m y su velocidad angular es 15 rad / s. ¿Qué diferencia de potencial se desarrolla entre sus extremos?. 14) Un campo magnético que esta dirigido entrando a la pagina y cambia con el tiempo 2 conforme a B = ( 0, 05t + 0 ) T , donde t esta en seg. El campo tiene una sección transversal circular de radio R =0,05m, como se observa en la Figura 10.19. ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P, cuando t =4s y r1=0,0m? 15) Una bobina circular de 500 espiras y radio 20cm esta girando alrededor de un perpendicular a un campo magnético de 0,01T. ¿Qué velocidad angular producirá una fem inducida máxima de 2 mV?. 16) Una espira única de alambre de forma cuadrada, con 10cm por lado se coloca entre los polos de un electroimán. El campo magnético es 1,2 T y esta dirigido

126

perpendicularmente al plano de la espira. Calcular la fem inducida en la espira si el campo se reduce a cero con velocidad uniforme en 2,4 seg. 17) Una bobina rectangular de 8cm de ancho por 12cm de longitud tiene 80 vueltas. ¿A que velocidad debe girar en un campo de 0,8 T para que su voltaje máximo inducido sea de 80V?. 18) Un disco conductor de radio 0,25m gira alrededor de un eje que pasa por su centro con una velocidad angular de w = 10rad / s. Un campo magnético uniforme de 1,2T actúa perpendicularmente al plano del disco (paralelo al eje de rotación). Calcule de diferencia d potencial que se desarrolla entre la orilla y el eje del disco. 19) La bobina de encendido de un automóvil consiste de dos solenoides, de 2cm de diámetro y 8cm de longitud. Uno conectado al acumulador de 12 V a través del distribuidor tiene 20 vueltas y una resistencia de 2, 4 . El segundo solenoide se devana sobre el primero y tiene 2400 vueltas. Cuando se abre el platino del distribuidor, la corriente en el primer solenoide cae a cero en 3µ s. ¿Cuál es la fem promedio inducida entre las terminales de la segunda bobina durante este intervalo de tiempo?. 20) El conjunto de carriles horizontales y paralelos que se muestran en la Figura 10.20 esta dentro de una región de campo magnético B uniforme, con una magnitud de 0,05T y dirigido a lo largo de la vertical y señalando hacia arriba. Cuándo una barra metálica resbala a lo largo de los carriles hacia el oeste (izquierda) con una velocidad de 10 m/s, a) ¿Cuál será la lectura del voltímetro conectado entre las terminales A y B?, b) ¿y entre las terminales A' y B'?.

127

TEMA XI INDUCTANCIA

1.36 INTRODUCCIÓN Como ya hemos estudiado las resistencias son causa de la perdida de energía y los capacitores son los que almacenan la energía en un campo eléctrico y los inductores almacenan la energía en un campo magnético. En este capitulo estudiaremos los inductores. Los inductores sólo son activos cuando cambian las corrientes. Estos permiten un grado fundamental de control de los circuitos, los circuitos eléctricos con inductores, capacitares y resistores son análogos a osciladores armónicos amortiguados. Cuando una corriente eléctrica atraviesa una bobina esta varía en el tiempo y produce una fuerza electromotriz entre los terminales de la bobina misma. Este fenómeno recibe el nombre de autoinducción y dicha fuerza electromotriz se denomina autoinducida. Esta fuerza electromotriz autoinducida se encuentra relacionada con la rapidez de variación de la corriente por medio de un término conocido como inductancia del circuito la cual es constante para cada bobina que no presenta materiales ferromagnéticos en su vecindad. 1.37 INDUCTANCIA En todo circuito eléctrico cerrado en el que la corriente tenga alguna dependencia con respecto al tiempo, se va a incluir una fuerza electromotriz adicional en el circuito. Consideremos un circuito aislado, como se observa en la Figura 11.1 que está formado por un interruptor que se cierra cuando t = o, un resistor y una fuente de fem cuando cerramos el interruptor inducida se opone a la fuerza electromotriz de la batería y desacelera el flujo de la corriente. El resultado es que las corrientes variables en los circuitos originan efectos de inducción que tratan de reducir la rapidez de cambio de esas corrientes. La fem que se crea en estas condiciones se denominan fem autoinducida, la fem autoinducida siempre es proporcional a la razón de variación de la corriente con respecto al tiempo como el campo magnético que se establece alrededor de un alambre que conduce una corriente I es proporcional a I, el flujo magnético a través de un circuito también es proporcional a L (es la constante de proporcionalidad denominada inductancia). L depende de la superficie determinada, o sea, de la geometría del circuito en el cual se induce la fuerza electromotriz.

m = LI

128

según la ley de Faraday: E = - d m dI = -L dt dt

La inductancia de una bobina de N vueltas es L= N m I

Estableciendo relación entre las ecuaciones anteriores obtenemos: L=- La unidad SI de la inductancia es el envío (H) 1H = 1 volt.seg Amp E dI dt

Ejemplo:

Un solenoide con una sola capa de espiras tiene 6cm de longitud y 4cm de diámetro y un total de 800 vueltas. Calcule la inductancia de esta bobina. Si la corriente aumenta con una rapidez de 103 A/S calcule la ffem inducida durante ese periodo. a) el campo magnético dentro de un solenoide es: B = µ 0 nI = µ 0 el flujo magnético a través del solenoide es: N I

m = BA = µ 0

AN I

-7 donde µ 0 es la permeabilidad del espacio vacío ( 4 × 10 H / m ) y la inductancia es:

L=

( 4 × 10

-7

2 2 H / m ) ( 2 × 10 - 2 m ) ( 800 ) ( 6 × 10 - 2m )

L = 1, 68 × 10 -2 H

129

b)

la fuerza electromotriz inducida es: E= -L dI = 1, 68 × 10- 2 H ( 103 A / s ) dt E = -16, 8V

(

)

11.3

CIRCUITOS RL

Estudiaremos un circuito como se ve en la Figura 11.2, que consiste de una inductancia, más resistencia en serie con una batería y un interruptor. Si se cierra el interruptor, la corriente comenzará a crecer pero el inductor producirá una fem que opone al aumento en la corriente. Por lo que podemos decir que el inductor actúa como una batería cuya polaridad es opuesta a la batería real que hay en el circuito. Esta fuerza contraelectromotriz se obtiene: EL = -L dI dt

Esto produce una caída de potencial entre los puntos a y b a través del inductor y donde el punto a está a un potencial mayor que el punto b. Aplicando la ecuación de mallas de Kirchhoff. E - IR - L dI = 0 dt

Donde I R es la caída de voltaje para encontrar una solución a esta ecuación diferencial realizamos un cambio de variables. x= Sustituyendo: X + L dx =0 R dt E - I y dx = - dI R

dx R =- dt x L Integrando obtenemos:

130

Ln =

x R = - t x0 L

Tomando el antilogaritmo de este resultado: x = x0 e - Rt

L

Como en t = o; I0 , entonces x0 =E/R, sustituyendo valores: E E - Rt -I = e R R I = E (1 - e - Rt R

L

L

)

Esta ecuación también se puede escribir así: E (1 - e- t R Donde es la constante de tiempo del circuito RL I = = L R

)

Ejemplo:

Considera el circuito de la Figura 11.3, E = 12V, L = 12mH y R = 18 , a) ¿Cuál es la constante de tiempo inductiva del circuito?, b) calcule la corriente en el circuito en un tiempo de 500 µ s después que se haya cerrado el interruptor S1 y c) ¿Cuál es el valor final de la corriente de estado estacionario? = L 12 ×10 -3 H = = 6, 67 ×10 -4 S R 18 E R

I =

(1 - e

-t /

12 ) = 18V (1 - e

- 500× 10 -6 / 6,67× 10 -4

)

I = 0, 35 A I max = E 12V = = 0, 667 A R 18 131

11.4

ENERGÍA EN INDUCTORES

Un inductor es un componente que almacena energía n el campo magnético un solenoide forma un inductor simple con inductancia fácil de calcular y tiene un campo magnético uniforme en su interior. Una batería debe efectuar un trabajo para hacer que una corriente pase a través de un inductor. La cantidad que se efectúa es una medida de la energía almacenada en el inductor. P= dw dt

( potencia ) ( potencia )

P = IEext Igualando:

dw = IEext dt Donde Eext es la fuerza electromotriz externa, y si la fuerza electromotriz externa y el inductor son los únicos elementos del circuito, la primera debe ser igual, pero opuesta a la fuerza electromotriz inducida en el inductor: dw dI = LI dt dt Si la corriente aumenta, la potencia es positiva la energía interna, Eul, del inductor aumenta. Si la corriente decrece la potencia es negativa, la energía interna disminuye. Entonces el cambio de energía. Eul , total de inductor se puede calcular integrando el trabajo efectuado por la fuente externa al cambiar la corriente: um = E

t1 t2

2 2 dw dI dt =LI dt =L IdI dt dt t1 t1

t

t

um = E

1 1 2 2 LI 2 - LI1 2 2 1 LI 2 2 132

La energía del inductor es: Eum =

Ejemplo:

Un capacitor con C = 0, 02 µ F , tiene una carga de 15 µ C ¿Cuál es la corriente estable equivalente que debe conducir un inductor de L = 20 µ H para que almacene la misma cantidad de energía?. Euc 1 Q2 1 = = 2 C 2

(15 ×10

-6

C)

2 ×10 -8 C

= 5, 63 ×10 -3 Joule

Eul = Euc

1 LI 2 = Euc I = 2

2 Euc L

I = 11.5

2 (5, 63 ×10 -3 J 20 ×10

-6

)

H

= 23, 72 A

ENERGÍA EN CAMPO MAGNETICOS

Los elementos de circuito tienen una energía asociada con su campo magnético. El solenoide ideal constituye una herramienta para determinar la densidad de energía en un campo magnético, éste dentro de un solenoide es uniforme. Como determinamos anteriormente la energía del inductor: Eum = 1 LI 2 2

Recordando la ecuación de inductancia de un solenoide ideal: I = µ0 An 2 Y el campo magnético en el solenoide es proporcional a la corriente: B = µ nI 0 Sustituyendo en la ecuación de energía del inductor las ecuaciones de L y B obtenemos: Eum = 1 B2 A 2 µ0

133

Como el campo magnético es constante dentro del solenoide, podemos identificar la densidad de energía (um) que es la energía por unidad de volumen del campo magnético, como: Um = 1 B2 2 µ 0 3

La unidad de energía de un campo eléctrico es: UE = 1 E0 E 2 2

Y la densidad de energía es la suma de las densidades de energía eléctrica y magnética. u = um + u E = 1 B2 + E0 E 2 2 µ0

Ejemplo:

Considera el circuito de la Figura 11.4, ¿Qué energía se almacena en el inductor cuando la corriente alcanza su valor final del equilibrio después de que se ha cerrado el interruptor?. I = Eum = 11.6 E 24V = = 3A R 8

1 1 I 2 = 2 2

( 4 H )( 3 A )

2

= 18 J

INDUCTANCIA MUTUA

La interacción entre dos circuitos se conoce como inducción mutua. O sea cuando l flujo magnético a través de un circuito varía con el tiempo debido a corrientes variables existentes en circuitos cercanos. Veamos los dos circuitos de la Figura 11.5 la corriente I que pasa por el circuito 1 y la corriente I2 por el circuito 2 generan un campo magnético. El flujo magnético generado a través del área del circuito 1 es. m(1) = L1 I1 + M 12 I 2

134

Donde M12 es la inductancia neutra del circuito 1 debido al circuito 2 tanto L como M12 dependen tan sólo de la geometría. El flujo magnético a través d la espira 2 tiene un término proporcional a su propia corriente y también uno proporcional a la corriente en la espira 1.

m(2 ) = L2 I 2 + M 21 I 2

La fem inducida por inducción mutua en una bobina siempre es proporcional a la razón de variación de la corriente en la otra bobina. Esto sugiere que las inductancias mutuas son iguales: M 12 = M 21 = M La Ley de Faraday que expresa la fuerza electromotriz inducida se convierte en: E2 = - M dI1 dt y E2 = - M dI 2 dt

Si las proporciones en las cuales las corrientes cambian con el tiempo son iguales entonces se encuentran que E1 = E2. La unidad de inductancia mutua también es el envió.

Ejemplo:

Dos bobinas adyacentes A y B tiene una inductancia mutua M = 30mH ¿Cuál es la fem inducida en la bobina A como una función del tiempo cuando la corriente en la bobina B se obtiene de la expresión I = 2 + 3t - t 2 , donde I esta en amperios y t está en segundos?. E = -M dI 2 dt d ) dt ( 2 + 3t - t ) E = ( 0, 04 - 0, 06t ) V

2

E = ( 30 × 10 -3 H 11.7

OSCILADORES EN UN CIRCUITO L C

Analicemos el circuito mostrador en la Figura 11.6 cuándo cerramos el interruptor, se producirán osciladores en la carga y corriente del capacitador. Si la resistencia del circuito es despreciable no se dispara energía como calor por efecto Joule, la carga inicial del capacitor es Qm y el interruptor se cierra t = 0. 135

Cuando el capacitor está completamente cargado, la energía total Eu en el circuito 2 se almacena en el campo eléctrico del capacitor ( Q m / 2C ) En este tiempo, la corriente es cero y n hay energía almacenada en el inductor. A medida que el capacitor empieza a descargarse, la energía almacenada en su campo eléctrico disminuye. Simultáneamente la corriente aumenta y parte de la energía se almacena ahora en el campo magnético del inductor. Cuando el capacitor ha quedado completamente descargado no almacena energía. En este tiempo la corriente alcanza su valor máximo y todas las energías se almacenan ahora en el inductor. El proceso se repite entonces en la dirección contraria. La energía continúa transfiriéndose entre el inductor y el capacitor en forma indefinida y esta corresponde a oscilaciones en la corriente y en la carga. Consideramos un tiempo t donde el capacitor y el inductor almacenan energía. Eu = Euc + EuL = Q2 1 + LI 2 2C 2

Eu es la energía total almacenada en el circuito LC donde la resistencia del circuito es nula y la energía total debe permanecer constante en el tiempo. al derivar la ecuación con respecto al tiempo. Q dQ dEu d Q2 1 dI = + LI 2 = + LI = 0 dt dt 2C 2 dt C dt como I = dQ / dt, sustituyendo: LI d 2Q Q + =0 2 dt C

d 2Q 1 =- Q 2 dt LC Q = Qm cos (wt +8 ) Carga contra el tiempo del circuito LC donde Qm es la carga máxima del capacitor y W la frecuencia angular de oscilación que depende únicamente de la inductancia y capacitancia. W = 1 LC 136

Como Q varía periódicamente la corriente también varía periódicamente, o sea: I = dQ = - wQm sen ( wt + 8 ) dt

Que es la corriente contra el tiempo del circuito LC. Las variaciones de q y de I con respecto al tiempo se obtienen mediante: Q = Qm cos wt I = -WQm sen wt = - I m senwt Donde I m =WQm es la corriente máxima en el circuito. En la Figura 11.7, se muestran las gráficas de Q y de I en función del tiempo, donde podemos observar que cuando la carga alcanza un valor extremo la corriente es cero, y cuando la carga es cero, la corriente adquiere un valor límite. En análisis energético del circuito LC resulta que la energía total es: Eu = Euc + Euc = Q2m LI 2 m cos 2 wt + sen 2 wt 2C 2

Como la energía, máxima almacenada en el capacitor debe ser igual en el inductor: Q2m 1 = LI 2 m 2C 2 Sustituyendo: Eu = Q2m Q2m cos 2 wt + sen 2 wt ) = ( 2C 2C

Es conveniente recordar que la energía total Eu sólo permanece constante si es desprecian las perdidas de energía.

Ejemplo:

En el capacitor es

2

(Q

2

/ 2C ) y la energía acumulada en el inductor es

1 2 LI , pero la energía total deja de ser constante yq que a causa del resistor se disipa

137

energía como calor por efecto Joule, la rapidez de la energía disipada a través de un resistor es: DEu = - I 2R Dt Donde el signo negativo significa que Eu está disminuyendo con el tiempo. Recordando que: DEu dI Q dQ = LI + Dt dt C dt Igualando estas dos ecuaciones obtenemos: dI Q dQ + = -I 2 R dt C dt Aplicando el concepto de que I = dQ / dt y dI = d 2Q / dt 2 obtenemos: LI d 2Q dQ Q +R + =0 2 dt dt C En este caso de que R es razonablemente pequeña, la solución de la ecuación es: L Q = Qm e - Rt / 2 L cos wdt Un circuito LC del tipo que se muestra en la Figura 11.8, tiene una inductancia de 0.63mH y una capacitancia de 10pF. El capacitar se descarga a su valor máximo mediante una batería de 24 V. Después se suprime la batería del circuito y el capacitor descarga a través del inductor a) Si se desprecia toda la resistencia del circuito, determine el valor de la corriente en el circuito oscilatoria. B) ¿A que frecuencia oscilará el circuito? C) ¿Cuál es la energía frecuencia máxima almacenada en el circuito magnético del inductor?. a )Qm = C .V = ( 10 × 10- 12 F ) ( 24V ) = 2, 4 × 10 - 10 C I m = w.Qm = Qm = LC 2, 4 × 10 - 10 C = 3, 02 × 10- 3 A -3 - 12 ( 0, 63 × 10 H ) ( 10 × 10 F )

b) f =

w 1 1 = = = 2, 01× 106 Hz -3 - 12 2 2 ( 0, 63 × 10 H ) ( 10 × 10 F ) 2 LC

2 1 1 LI 2 m = ( 0, 63 × 10- 3 H ) ( 3, 02 × 10- 3 A ) = 2,87 × 10- 9 J 2 2

c ) Eu =

138

11.8

CIRCUITO R C L

Es un circuito como el que es muestra en la Figura 11.9, cuándo se cierra el interruptor del circuito y se establece una corriente en él, la energía almacenada donde:

2 1 (R) = - 2L LC

Wd

1 2

Cuando se consideran grandes valores de R, se encuentra que las oscilaciones se amortiguan mucho más rápido. Existe un valor crítico de la resistencia Rc por arriba del cual no ocurren oscilaciones. Rc = 4L C

Ejemplo:

Considera el circuito descrito en la Figura 11.10, ¿Cuál es el valor máximo del resistor que una vez conectado en serie es L y C, permitirá que el circuito continúe oscilando? Rc = 4 L C = 4 ( 2, 81× 10 - 3 H ) / ( 9 × 10 - 12 F )

Rc = 35.339, 6 11.9 EJERCICIOS PROPUESTOS

1) La corriente e n un inductor de 10H varía con el tiempo según I = 2t 2 - 3t , donde I está en A y t en seg. a) Calcule la magnitud de la fem inducida en t = y t = 3 seg. b) ¿Para que valor de t la fem inducida será cero?. 2) Una corriente de 1 A pasa por un circuito completamente aislado. Un flujo magnético de 0,01T.m2 pasa por el lugar del circuito. Cuando el circuito se coloca cerca de otro que tiene 2 A de corriente, el flujo magnético a través del primer circuito aumenta a 0,012 T.m2. a) ¿Cuál es la inductancia mutua de los dos circuitos? b) ¿Cuánto flujo magnético pasa a través del segundo circuito, cuya autoinductancia es 1mH?. 3) Dos bolívares se devana sobre el mismo núcleo toroidal de 10cm de radio promedio y 1,2cm de diámetro de su sección transversal. Una bobina tiene 400 vueltas y la otra 24000 vueltas. Fluye una corriente de 2 A por la de 400 vueltas cuando se conecta a una batería de 12V. Si al abrir el interruptor se reduce esta corriente a cero en 20µ s, ¿Cuál es el fem inducida entre los extremos de la bobina de 2400 vueltas?. 139

4) Se tiene un toroide de sección transversal cuadrada. L radio del mismo, que es la distancia del eje de simetría al centro del cuadrado, es 20cm; los lados del cuadrado tienen 3cm. El toroide se devana con 1000 con 1000 vueltas de alambre. a) ¿Cuál es la autoinductancia del toroide? b) ¿Cuál es la autoinductancia si el núcleo del toroide se fabrica con hierro dulce, cuya µ = 2000 µ 0 ?. 5) Considere el circuito de la Figura 11.11, se toma E = 12V , L = 12mH y R = 18 . a) ¿Cuál es la constante de tiempo inductiva del circuito? b) Calcule la corriente en el circuito en un tiempo de 500µ s después de que se haya cerrado el interruptor S 1. c) ¿Cuál es el valor final de la corriente de estado estacionario? d) ¿Cuánto tarda la corriente en alcanzar el 80% de su valor máximo?. 6) En el circuito RL de la Figura 11.12, se toma L = 4H; R=6 y E = 48V , a) ¿Cuál es el valor de la fem autoinducida , Vab,, 0.5 seg después de cerrar el interruptor?. 7) Una batería para la cual E = 12V se conecta a un circuito RL en el que L = 0.5H y R = 4 . Cuando la corriente ha alcanzado la mitad de su valor final, ¿Qué fracción de a energía magnética total se ha almacenado en el inductor?. 8) Supóngase que la corriente máxima que puede conducir un alambre superconductor es 250 A. Un toroide tiene un radio promedio R = 20cm y el diámetro d bobina es de 2,5cm; se construye usando 500m de dicho alambre. ¿Cuánta energía se puede almacenar en este toroide?. 9) Un ingeniero electricista forma un solenoide cilíndrico de 5cm2 área y 10cm de longitud con 1000m de alambre delgado. El alambre maneja una corriente máxima de 100m A a) ¿Cuál es la inductancia del solenoide?, b) ¿Cuanta energía puede almacenar el inductor?. 10) Una bobina de 2 H de inductancia y 10 de resistencia se conecta súbitamente a una batería sin resistencia de E = 100V. a) ¿Cuál es la corriente de equilibrio?, b) ¿Cuánta energía almacena el campo magnético cuando esta corriente circula en la bobina?. 11) Un alambre de cobre de Min 10 transporta una corriente de 10 A. Calcular: a) La densidad de energía magnética y b) la densidad de energía eléctrica en la superficie del alambre. El diámetro del alambre es de 0,10 p/g y su resistencia por unidad de longitud es de 1 /1000 pies. 12) a) ¿Cuál es la densidad de energía del campo magnético fuera de un alambre recto de radio a que conduce una corriente I?; b) ¿Cuál es la energía total por unidad de longitud debida a ese campo magnético que está dentro de un cilindro de radio R (R>a)centrado en el alambre?.

140

13) Una bobina de 20 espiras está enrollada sobre un solenoide largo como se ilustra en la Figura 11.13. El solenoide tiene una sección transversal de 4 × 10- 3 m 2 , y está devanado uniformemente con 1200 vueltas por metro de longitud. Calcule la inductancia mutua de los dos devanados. 14) a) ¿Qué valor de capacitancia debe combinarse con un inductor de 80 mH para que sea posible obtener una frecuencia de resonancia de 200 Hz?. b) ¿Qué intervalos de tiempo transcurren entre acumulaciones de carga máxima del mismo signo en un placa del capacitor?. 15) Un circuito RCL tiene R = 10 , L = 3mH y C = 10 µ F . a) Calcule el factor de amortiguamiento y la frecuencia angular. b) Si la resistencia fuera variable, ¿Qué valor de R daría un amortiguamiento critico?. 16) Un capacitor y una resistencia de 200 se conectan en serie y los terminales de una fuente de 120V 60 Hz. La corriente en el circuito es de 0,20 A. Calcule la capacitancia del capacitor. 17) El Interruptor del circuito de la Figura 11.14 se ha cerrado en cada tramo del circuito. a) Cuál es la corriente en cada tramo del circuito, b) Cuándo se abre el interruptor la corriente en el inducir baja en un factor de 3, en 5m seg. ¿Cuál es el valor de la inductancia? c) ¿Cuánto vale la corriente que pasa en cada tramo a los 10m seg?. 18) a) ¿Cuáles son las corrientes a través de cada uno de los tres resistores de la Figura 11.15, inmediatamente después de haber cerrado el interruptor? b) ¿Cuáles son después de un tiempo largo?. 19) La bobina toroidal de la Figura 11.16, consta de N espiras y tiene una sección transversal rectangular. Sus radios interior y exterior son a y b respectivamente. a) Demuestre que la autoinductancia de la bobina es: µ N 2h 0 L = Ln (b a ) 2 b) Si a = 3cm, b = 5cm y h = 1cm ¿Cuál número de vueltas producirán una inductancia de 0.5 mH?. 20) Un solenoide de núcleo de aire tiene 0,5m de longitud consta de 1000 espiras y tienen un área de sección transversal de 1cm2. a) deprecie los efectos de los extremos y determine la autoinductancia. B) un segundo devanado enrollado alrededor del centro del solenoide tiene 100 vueltas. ¿Cuál es la inductancia mutua?. c) En el segundo devanado fluye una corriente constante de 1 A y el solenoide está conectado a una carga de 103 . Se interrumpe repentinamente la corriente constante. ¿Cuánta carga fluye a través del resistor de carga?.

141

TEMA XII CORRIENTES ALTERNAS

1.38 INTRODUCCIÓN La fuerza automotriz inducida produce una corriente alterna, que es fuente de potencia. Los generadores de CA convierten la energía mecánica del agua que cae, o del vapor de agua a presión y caliente, en energía mediante turbinas, y son el punto inicial en el suministro de la potencia eléctrica. A continuación describiremos los principios básicos de los circuitos simples de corriente alterna. También se investigara las características de los circuitos que contengan elementos conocidos y que sean excitados por un voltaje aplicado senoidal. Al conectar resistores, inductores y capacitadotes en circuitos con fuentes de fuerza electromotriz de corrientes alterna, se hacen posibles corrientes y voltajes con nuevos comportamientos dependientes del tiempo, se podrá ver que cuando el voltaje aplicado por el generador es senoidal, la corriente en cada elemento también es senoidal, pero que no necesariamente esta en fase con el voltaje aplicado. Los sistemas de este tipo presentan el fenómeno de la resonancia. 1.39 TRANSFORMADORES

Cuando se transmite energía eléctrica a través de grandes distancias, resulta económico utilizar un voltaje alto y una corriente baja para reducir al mínimo las perdidas I2 R por calentamiento en las líneas de transmisión. En el extremo receptor de tales líneas, el consumidor requiere energía a un voltaje bajo y a una corriente alta para aplicarlo a aparatos y maquinas accionadas por motor. El transformador de CA es un dispositivo que se utiliza para elevar (o bajar) el voltaje V y la corriente I de CA sin que provoque cambios apreciables en el producto I V. El transformador de CA consta de dos bobinas de alambre devanadas alrededor de un núcleo de hierro suave, como lo observamos en la Figura 12.1, la bobina de la izquierda, y que esta conectada a la fuente de voltaje de entrada de CA y tiene N1 espiras, se denomina devanado primario. La bobina de la derecha consta de N2 espiras, esta conectada a un resistor de carga R1, y se llama devanado segundario. A través del devanado primario se tiene una fuerza electromotriz de CA, 1 , con amplitud V1 E1 = V1 sen ( wt ) (12.1) Como E1 depende del tiempo, la corriente a través del devanado primario cambia, y hay un flujo magnético que cambia a través de ella. E1 = - L dI1 dt

(12.2 ) ( Ley

de

Faraday )

142

Al mismo tiempo se induce una fuerza electromotriz, E2, a través del devanado segundario. Esa fuerza electromotriz se induce debido a que la corriente variable en el devanado primario produce un flujo magnético variable a través del devanado segundario. Por lo que E2 depende de la inductancia mutua. E2 = -M dI1 Dt

(12.3)

Si sustituimos dI1 / dt de la ecuación (12.2) E2 M = E1 L

(12.4 )

La relación M/L es constante, por lo tanto, E2 tiene la misma dependencia armónica respecto al tiempo que E1. La inductancia mutua de los devanados es un caso especial de inductancia mutua de un solenoide y un anillo, de acuerdo con ella. M = µ0 A N1 N2 1

(12.5 )

La autoinductancia en el devanado primario es: L = µ0 A M 12 1

(12.6 )

Sustituyendo en la ecuación (12.4), las ecuaciones (12.5) y (12.6) tenemos: E2 M2 = E1 M1

(12.7 )

Como la dependencia de la CA con respecto al tiempo es idéntica en E 1 y en E2, la ecuación que relaciona las amplitudes de voltaje en los devanados es: V2 M2 = V1 M1

(12.8 )

Cuando N2>N1, el transformador es de subida, y la amplitud de voltaje en el devanado segundario es mayor que la del primero. Cuando M2<M1, el transformador es de bajada, y la amplitud de voltaje en el devanado segundario es menor que en el devanado primario. 143

Si el transformador tiene una construcción eficiente, o sea se reduce al mínimo toda resistencia y no hay pérdidas por calentamiento de Joule, tenemos que: I1 E1 = I 2 E2 Si sustituimos en la ecuación (12.7), tenemos que: I1 M2 = I2 M1

(12.9 )

(12.10 )

Ejemplo:

La corriente en el primario de un transformador ideal es de 6,5 A cuando el voltaje en el primario es 96 V. Calcule el voltaje a través del segundario cuando una corriente de 0,8 A se entrega al resistor de carga. V2 = 12.3 I1V1 6, 5 A.96V = = 780 A I2 0, 8 A

ELEMENTOS INDIVIDUALES EN CIRCUITOS DE CA. Resistores en un circuito de CA

Consideremos un circuito de CA constituido por un resistor y un generador de CA, como se muestra en la Figura 12.2. A partir de la ecuación de Kirchoff. Em sen ( wt ) - IR = 0

( 12.11)

Donde la caída del voltaje a través de un resistor es VR = IR = Em sen ( wt ) y la corriente a través de un resistor es:

IR =

Em sen ( wt ) VR = = I m sen ( wt ) R R

Im = Em R

(12.12 )

Donde Im es la corriente máxima de un resistor.

(12.13)

( 12.14 )

Y la caída de voltaje a través del resistor es: VR = I m Rsen ( wt )

144

La corriente que pasa, y la caída de voltaje en el resistor tienen la misma dependencia senoidal con respecto al tiempo, como se puede observar en la Figura 12.3. Por lo que se dice que están en fase. Inductores en un circuito de CA Reemplazamos del circuito anterior al resistor por un inductor, como lo observamos en la Figura 12.4. Si VL es la caída de voltaje instantáneo a través del inductor, aplicando Kirchoff se tiene:

V = VL =

dI = Em sen wt dt

(12.15 )

Para determinar la corriente que pasa por el inductor reformulamos la ecuación: dI = Em sen ( wt ) dt L

(12.16 )

Se integra esta ecuación: IL = Em L

sen ( wt ) dt

=

- Em cos ( wt ) wL

(12.17 )

Utilizando la identidad trigonométrica cos ( wt ) = - sen ( wt - 2 ) , la ecuación (12.17) nos queda: IL = Em sen( wt - 2) wL

(12.18 )

Podemos observar que la corriente esta fiera de fase respecto al voltaje por 2 rad , o 90o , por consiguiente para un voltaje senoidal aplicado, la corriente siempre esta atrasada respecto del voltaje en 90º a través de un inductor, como se puede observar en la Figura 12.5. La corriente máxima a través del inductor es: Im = Em wL

(12.19 )

Donde wL es la reactancia Inductiva. X L = wL

(12.20 )

145

Utilizando las ecuaciones (12.15) y (12.19) determinamos la caída de voltaje instantáneo a través del inductor.

VL = Em sen wt = I m X L sen wt

(12.21)

Capacitadores en un circuito de CA Ahora conectamos al circuito estudiado un capacitador por inductor, como se observa en la Figura 12.6,la regla de Kirchoff de malla, aplicada a esta circuito produce: V = Vc = Em sen ( wt )

(12.22 )

Donde Vc es la caída de voltaje instantáneo a través del capacitor. Para calcular la corriente, calculamos primero la carga Q, de la definición de capacitancia, Vc = Q/C, sustituyendo este valor en la ecuación (12.22) Q = C.Em sen ( wt ) Como I = dQ/dt, derivando la ecuación anterior (12.23): IE = dQ = wCEm cos ( wt ) dt

(12.23)

(12.24 )

Donde IE es la corriente instantánea. Introduciendo la identidad trigonométrica cos ( wt ) = sen ( wt + 2 ) , la ecuación (12.24) puede expresarse:

I C = wCEm sen ( wt + 2 )

( 12.25 )

Se puede observar que la corriente esta 90º fuera de fase respecto al voltaje que existe a través del inductor, como se puede observar en la Figura 12.7, donde para una fem senoidal aplicada, la corriente se adelanta al voltaje que existe a través de un capacitor 90º. El valor máximo de la corriente en el circuito es: I m wCEm

(12.26 )

Y la resistencia efectiva de un circuito capacitivo se llama reactancia capacitiva. XC = 1 wC

(12.27 )

146

La caída de voltaje a través del capacitor se puede expresar como: VC = I m Xcsen ( wt )

(12.28 )

Ejemplos:

1.- En el circuito simple de CA de la Figura 12.8, sea R = 40 ; Em = 120V , y la frecuencia del generador f = 60Hz. Suponga que el voltaje a través del resistor V R =0 cuando t = 0. calcule la corriente a través del resistor en a) t =1/240 seg y b) t = 1/180seg. I1 = ER 120V sen wt = sen 2 60 (1 2440 ) = 8, 2 × 10 -2 A R 40 120V sen 2 60 (1 180 ) = 1,1× 10 -1 A 40

I 2 ==

2.- Una corriente alterna de 10 A, valor máximo, en un solenoide, como se observa en la Figura 12.9, de autoinductancia L = 250 m H, induce una fuerza electromotriz de 10 V, valor máximo. ¿Cuál es la frecuencia angular de la corriente alterna?. I = Em Em = XL wL despejando

W =

Em 10V = IL 10 A.250 ×10 -3 H

3.- El generador de un circuito de A puramente capacitivo, ver Figura 12.10, tiene una frecuencia angular de 120 rad / s y Em = 110V . Si C = 6 µ F , ¿Cuál es la corriente en el circuito en t = 7 / 480 seg ?. I = WC Em sen ( wt + 2 ) = (120 rad / s ) ( 6 × 10- 6 F ) (110V

)

sen 120 12.4

( 7 / 480 ) +

2 = 3,1× 10 - 2 A

CIRCUITOS DE CORRIENTES ALTERNA EN SERIE CON RCL

En la Figura 12.11, muestra un circuito serie compuesto por un resistor, un inductor, un capacitor y un generador de CA. Este circuito representa comportamiento de resonancia. Supongamos que la corriente senoidal en el circuito ha alcanzado un valor de estado estacionario. Entonces el voltaje aplicado es: V = Em sen ( wt + ) (12.29 ) 147

Donde es el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje aplicado y la corriente varia según: I = I m sen wt

(12.30 )

Estudiemos el circuito descrito, la corriente en este circuito en serie debe ser la misma en cualquier instante y voltaje a través de cada elemento tendrá diferente amplitud y fase como se indica en punto anterior (12.3). Por lo que podemos expresar la caída instantánea de voltaje como: VR = I m Rsen ( wt ) = VR sen ( wt ) VL VC

(12.31) = I m X L sen ( wt + 2 ) = VL cos ( wt ) (12.32 ) = I m X C sen ( wt + 2 ) = -VC cos ( wt ) (12.33)

Donde VR, VL y VC son los voltajes máximos a través de cada elemento. VR = I m R VL = I m X L VC = I m X C

(12.34 ) (12.35 ) (12.36 )

El voltaje instantáneo V a través de los tres elementos es: V = VR + VL + VC

(12.37 )

En el diagrama de la Figura 12.12, donde el fasor Im s utiliza para representar la corriente en cada elemento. Observe que los fasores de voltaje VL y VC se encuentran sobre la línea, y de aquí que sea posible construir el fasor diferencial, V L - VC, el cual es perpendicular al fasor VE, como se puede observar en la Figura (), resolviendo obtenemos: Em = V 2 R + ( VL -VC ) La corriente máxima es: Im = R2 + ( X L - X C Em

2

= I m R 2 + ( X L -X C )

2

(12.38 )

)

2

148

Este valor R2 + ( X L - X C

)

2

se conoce como impedancia (Z):

2

Z = R2 + ( X L - X C )

( 12.39 )

Si se elimina el factor común Im de cada fasor, en la Figura 12.14, se puede construir un triangulo de impedancia, como se muestra en la Figura 12.15. Tan = X L - XC R

( 12.40 ) ( + )

si

Cuando XL>XC, la corriente se retrasa respecto al voltaje aplicando XL<XC la corriente se adelanta al voltaje igual a la resistencia y la corriente adquiere su valor máximo ( = 0 ) .

( - )

y cuando XL=XC la impedancia de CA es

Ejemplo:

Un resistor R = 900 , un capacitor C = 0, 25µ F y un inductor L = 2,5 H, están conectados en serie a través de una fuente de CA a 160 Hz para la cual Em = 140V . Calcule: a) La impedancia del circuito; b) la máxima corriente entregada por la fuente; c) el ángulo de fas entre la corriente y el voltaje; d) se atrasa o se adelanta la corriente respecto al voltaje; e) los voltajes máximos a través de cada elemento. a) Z = R 2 + ( X L - X C X L = wL = XC =

( 2

f

)L

= 2 (160 Hz ) ( 2, 5 H

)

2

) = 2.512

1 1 = = 3.980, 9 WC 2 (160 Hz ) ( 0, 25 ×10 -6 F )

2 2

Z = ( 900 ) + ( 2.512 - 3.980, 9 ) b) I m = Em 140V = = 81, 3 × 10 - 3 A Z 1.722, 7

= 1.722, 7

c )tg =

X L - XC 2.512 - 3.980, 9 = artg = - 58, 5º R 900

d) como XL<XC la corriente se adelanta con respecto al voltaje.

149

e)VR = I m R = 81, 3 ×10 -3 A.900 = 73,17V VL = I m X L = 81, 3 ×10 -3 A.2.512 = 204, 23 V VC = I m X C = 81, 3 ×10 -3 A.3.980, 9 = 323, 65V 12.5 POTENCIA EN UN CIRCUITO DE CA

La potencia instantánea entregada por un generador de CA a cualquier circuito es el producto de la corriente del generador y del voltaje aplicado, ya que la energía solo se pierde en la resistencia de ese circuito, mientras que la energía que acumulan ya sea el capacitor o l inductor no se pierde. Esta potencia instantánea se puede expresar como: P = I = I m Em sen wt sen ( wt + o P = I 2R = Z2

) Em cos ( wt - ) 2

(12.41)

R

(12.42 )

Esta función es muy complicada y no es muy útil desde el punto de vista practicado, es más importante conocer la potencia promedio disipada en el tiempo. Tomamos el tiempo promedio P en uno o más ciclos, observando que I m , Em , y son constantes. Si utilizamos la identidad trigonométrica sen ( wt + ) = se wt cos + cos wt sen y la sustituimos en la ecuación (12.41), obtenemos: P = I m Em sen 2 wt cos + I m Em senwt cos wtsen

(12.43)

En esta ecuación se incluye el valor medio sen 2 wt = 1 2 , como se observa en la Figura 12.16. El tiempo promedio del segundo termino de seta ecuación es idénticamente wt cos wt = 1 2 cos 2 wt , cuyo valor medio es cero. Por lo cero porque sen que la potencia media es: P med = 1 I m Em cos 2

( 12.44 )

Ciando se realizan menciones de voltaje y corrientes en circuitos de CA, los instrumentos que se utilizan se calibran normalmente para leer valores rms (raíz cuadrático medio). El valor rms o valor eficaz de cualquier cantidad que varia senoidalmente es simplemente el valor máximo de esa cantidad dividido entre 2. V 2 = Em 2 sen 2 ( wt +

)

voltaje instantáneo

(12.45)

150

1 2 V 2 med = Em 2 sen 2 ( wt + ) med = 2 Em Vrms = ( v 2 ) I rms = ( I 2 ) = Em voltaje eficaz (rms) 2 Im corriente eficaz (rms) 2

( 12.46 )

(12.47)

med

med

=

(12.48) (12.49)

P med = I rmsVrms cos potencia media

La potencia media entregada por el generador se disipa como calor en el resistor.

2 P med = I rms . R

(12.50 )

No hay potencia perdida en un inductor o capacitor ideal.

Ejemplo:

Un circuito serie RCL tiene una resistencia de 80 y un impedancia de 180 . ¿Qué potencia media será entregada a este circuito cuando Vrms = 120V ?.

2 P med = I rms .R

Vrms =

Em Em = Vrms 2

2 = 169, 71 V

I rms =

Im Em / Z = = 0, 67 A 2 2

pmed = I 2 rms .R = 35, 91w 12.6 RESONANCIA EN UN CIRCUITO SERIE R L C

Un circuito serie R C L esta en resonancia cuando la corriente alcanza su valor máximo. I = E sen ( wt + V = m Z Z

)

corriente instantánea (12.51)

151

Sustituyendo la ecuación de la impedancia obtenemos: I = Em sen ( wt + R2 +

( XL -

) 2 XC )

(12.52 )

Cuando XL = XC la corriente alcanza su valor máximo: I = Em sen ( wt + R

)

(12.53)

Esto ocurre cuando la frecuencia es wo (frecuencia de resonancia), la cual se obtiene: W0 = 1 LC

(12.54 )

Esta es igual a la frecuencia angular de oscilación de la inductancia y capacitancia, también se puede calcular la potencia media como una función de la frecuencia. Pmed = R w + L (w -W

2 2 2 2

V 2 rms Rw2

02 2

)

( 12.55)

Cuando w = w0 la potencia media a máxima: P med = V 2 rms R

(12.56 )

Cuando sintonizamos un aparato de radio, m TV, etc, lo que se hace al girar la perilla sintonizadota es ajustar la frecuencia natural wo de un circuito interno hasta el valor de la frecuencia w de la señal transmitida por la antena de la estación. Observemos la grafica de la Figura 12.17, donde Q0 s el factor de calidad. Un circuito con alto Q 0 responde a una gama muy angosta de frecuencia y uno de bajo Q0 tiene una respuesta a una gama de frecuencias mucho más amplia. Como frecuentemente están presentes muchas señales sobre un espectro de frecuencias, es importante diseñar un circuito con un alto -Q0, para eliminar señales indeseables. Q0 = w = R L w0 w

(12.57 ) (12.58 )

Donde

152

Sustituyendo Q0 =

w0 L R

(12.59 )

Ejemplo:

Un circuito serie R C L tiene L=156 mH, C=0,2µ F y R = 88 , el circuito sé excita mediante un generador con Em = 110V . Calcule: a) la frecuencia resonante del circuito, b) el factor de calidad del circuito y c) el valor de la potencia media máxima. W0 = 1 = 5, 66 × 103 S -1 LC w0 L = 10, 03 R V 2 = rms = R

Q0 =

P med 12.7

(E

m

/ R

2

)

2

= 68, 75w

CIRCUITOS FILTROS

Se utilizan para modificar la variación de una señal con el tiempo, también se usan para suavizar o eliminar voltajes que varían con el tiempo. Observemos la Figura 12.18, el voltaje de entrada es Em sen wt . Como nos interesan los valores máximos, entonces el voltaje máximo de entradas es: Vent = I m Z = I m R 2 + (1 / wC )

2

(12.60 )

Y el voltaje máximo de salida se toma a través del resistor. Vsal = I m R La relación entre el Vsal y Vent es : Vsal R = 2 Vent R + (1 / wC )

153

Ahora si tomamos un circuito como el de la Figura 12.19, el voltaje máximo de salida se toma a través del capaacitor: Vsal = I m XC = Y la relación entre el Vsal y Vent es: Vsal 1 / wC = 2 2 Vent R + (1 / wC ) Im wC

Ejemplo:

Considere el circuito de la Figura 12.20 con R = 1000 y C = 0, 01µ F . Calcule la relación Vsal / Vent para, a ) w = 500 s - 1 y b) w = 5 × 106 s - 1. a) Vsal R = = 5 × 10 -3 2 2 Vent R + (1 / wa C ) Vsal R = =1 2 2 Vent R + (1/ wb C ) EJERCICIOS PROPUESTOS

b) 12.8

1) Cinco segundos después de haber cerrado el interruptor S de la Figura 12.21, el potencial a través de la resistencia de 10M es 25V. Calcule el valor de la capacitancia C. 2) Un solenoide superconductor tiene una inductancia de 23H. La fuente de potencia usada para energizar este solenoide puede suministrar una corriente de 120 A; el voltaje máximo en las terminales de la fuente es 1,5 V. ¿Cuánto tiempo se necesitara para tener el solenoide en su corriente garantizada de 120 A?. 3) Un capacitor y una resistencia de 200 se conectan en serie y con las terminales de una fuente de 120 V y 60 Hz, la corriente en el circuito es 0,20 A. calcule la capacitancia del capacitor. 4) Una fuente de voltaje de CA de 12V se conecta entre las terminales de un circuito en serie R L, la corriente en el circuito s de 0,5 A y la potencia disipada en el es de 32w. Si la frecuencia de la CA es de 60 Hz. ¿Cuáles son los componentes de resistencia e

154

inductancia de este circuito?. Calcule la disipación de potencia en el circuito cuando la frecuencia de la fuente se cambia a 40Hz manteniendo el voltaje a 12V. 5) Para reducir el voltaje de 230V a 6,5V se utiliza un transformador. El número de vueltas en el devanado segundario es de 132. ¿Cuántas vueltas debe haber en el devanado primario?. 6) Un transformador de subestación se usa para reducir el voltaje desde 230.000 V hasta 4.600 V para distribución segundaria. ¿Cuál es la relación de vueltas para este transformador?. Si pasa una corriente de 250A a través de la línea de 4.600V, ¿Cuál es la corriente en la línea de 230.000V?. 7) En la Figura 12.22, la resistencia de R es 250 , L tiene una autoinductancia de 0,5 H y resistencia nula, y C una capacitancia de 0, 02µ F . a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito?, b)si e condensador solo puede resistir un voltaje máximo de 350 V, ¿Cuál puede ser el voltaje efectivo máximo entre los bornes del generador para la frecuencia d resonancia?. 8) Un circuito absorbe 330w de una línea de corriente alterna a 110 V y 60 Hz. El factor de potencia es 0,6 y la corriente esta retardada respecto al voltaje. a) Hallase la capacidad de un capacitador conectado en serie que proporcione un factor de potencia igual a la unidad. b) ¿Qué potencia se absorberá entonces de la línea?. 9) En el circuito simple de CA de la Figura 12.23, R = 30 . si VR = 0, 25 Em en t = 0, 002 seg ., ¿Cuál es la frecuencia angular del generador?; ¿Cuál es el próximo valor en t para calcular VR será 0,25 Em?. 10) El voltaje máximo en el circuito de la Figura 12.24, es 110 V, y la frecuencia de oscilación es de 60 Hz. Calcule la corriente máxima y las caídas máximas de potencial a través del resistor, capacitor e inductor. 11) Un resistor de 80 y un capacitor de 4µ F se conecta en serie con una fuente de poder de 220V, 60Hz. Calcule la corriente, potencia y factor de potencia. ¿Cómo cambiaria los valores cuando se conecta una inductancia de 0,40H en serie con el circuito?. 12) Se tiene en circuito de la Figura 12.25, la fuerza electromotriz tiene una amplitud Em = 12V , y una frecuencia de 1000 Hz; L = 20mH , C1 = 25µ F . Calcule a) la corriente máxima, b) la frecuencia de resonancia; c) el voltaje instantáneo máximo a través de cada capacitor, d) el voltaje instantáneo máximo a través del inductor. 13) Un circuito de CA suministra Vrms = 110V a 60 Hz a un resistor de 5 , un capacitor de 40 µ F y un inductor de autoinductancia variable, entre 5mH y 200mH; todos ellos

155

en serie. El capacitor debe resistir un voltaje máximo de 800V. a) ¿Cuál es la corriente máxima posible que no dañe el capacitor?, b) ¿A que valor puede aumentar con seguridad la autoinductancia?. 14) Una línea de transmisión de CA transfiere energía con un ritmo Prom. = 5Mw desde una planta generadora hasta una fabrica. a) ¿Cuál es la corriente en la línea si el voltaje de transmisión Vrms es de 120V? ¿Si Vrms = 80 Kv ?; b) ¿Cuál es la relación entre las perdidas térmicas (Joule) de energía en ambos casos? (Suponer que el factor de potencias cos = 1. ) 15) En cierto circuito serie RCL, I rms = 6 A;Vrms = 240V y la corriente se adelanta al voltaje 53º, a) ¿Cuál es la resistencia total del circuito?; b) Calcule la reactancia del circuito (XL-XC). 16) Una bobina de resistencia 20 e inductancia 10,2 H esta en serie con un capacitor y una fuente de 100Vrms, 60Hz. LA corriente en el circuito es de 5 A (rms). a) Calcule la capacitancia del circuito; b) ¿Cuál es el valor de Vrms a través de la bobina?. 17) R = 1000 y C = 0, 01µ F , en el circuito de la V .sal./ V .ent. para; a ) w = 50 seg - 1 y b) w = 5 × 105 seg - 1. Figura 12.26. Calcule

-1 18) En un circuito serie de CA, R = 21 , L = 25mH , C = 17 µ F , Em = 150V y w = 2000 / seg . a) Calcule la corriente máxima en el circuito; b) Determine el voltaje máximo a través de cada uno de los elementos; c) ¿Cuál es el factor de potencia del circuito?.

19) Para

cierto

circuito 3

serie

RCL,

R = 100 , I = 2 3 sen ( 200t + 3 × 10 2

) A,

Encuentre: a) la impedancia, b) la reactancia inductiva del circuito y c) el ángulo de fase. 20) Un resistor de 80 , un inductor de 200mH y un capacitor de 0,15µ F ( rms ) , están conectados en paralelo a través de una fuente de 120V( rms ) que opera a una frecuencia angular de 374 seg - 1 , a) ¿Cuál es la frecuencia resonante del circuito; b) Calcule la corriente rms en el resistor, inductor y capacitor; c) ¿Cuál es la corriente rms entregada por la fuente?; d) ¿La corriente se adelanta o atrasa respecto del voltaje?, ¿Qué ángulo?.

E = 400

sen ( 200t ) V y Xc =

156

ANEXO 1

CAMPOS CARGAS Y POTENCIALES ELECTRICOS PARA DIVERSAS CONFIGURACIONES DE Ubicación del

Configuración de cargas potencial eléctrico

Magnitud del campo eléctrico

Potencial eléctrico

Carga puntual

q 4 0 r 2

q 4 0 r 2

Línea infinita de densidad uniforme

r= a

de carga,

2 0 r

r In 2 0 r a

Placas paralelas con carga opuesta, densidad uniforme de carga lugar separación d Disco cargado de radio R, a lo largo del eje a una distancia x

0

V = - Ed = -

d 0

En cualquier

Q 2 0

r

R2 + x2 - x R2 + x2

Q 2 0 r

(

R2 + x2 - x

)

Cascarón esférico cargado, de radio R Dipolo eléctrico

r R:

Q 4 0 r 2

r > R:

Q 4 0 r

Lejos, sólo a lo largo de la mediatriz:

Lejos, en cualquier lugar:

P 4 0 r 3

Anillo cargado de radio R, a lo largo del eje

P cos 4 0 r 2 Qx 4 0 R2 + x2

4 0 ( R + x

2

Qx

2 32

)

Esfera maciza no conductora,

157

uniformemente cargada con radio R

r R:

Q 4 0 r 2

r R: r < R:

Q 4 0 r 2 Q r2 3- 2 8 0 R

r < R:

Qr 4 0 r 3

ANEXO 2

PROPIEDADES DIELECTRICAS DE ALGUNOS MATERIALES

Material

Constante Dialéctica K

Rigidez Dieléctrica

Emáx ( 106 V m )

Vacío Aire Parafina Teflón Poliestireno Lucite Mylar Plexiglas Nylon Papel Cuarzo Fundido Pirex Baquelita Caucho de neopreno Silicio Germanio Agua Titanio de estroncio 1.0 1.0005 2.0-2.5 2.1 2.5 2.8 3.1 3.4 3.5 3.7 3.74-4.1 4-6 4.9 6.7 12 16 80 332 8 14 24 12 40 14 16 3 10 60 24 20

158

·

Los valores para algunos materiales dependen de mucho de la temperatura y de la frecuencia, cuando los campos son oscilantes.

ANEXO 3

RESISTIVIDADES

CONDUCTIVIDADES Y

COEFICIENTES C)

DE

TEMPERATURA

(a 20º

Material temperatura

Resistividad

Conductividad,

Coeficiente

( .m )

( .m )

-1

( ºC)

-1

Conductores Elementos Aluminio Plata Cobre Hierro Tungsteno Platino Aleaciones Nicromo Manganina Latón Semiconductores Carbón (grafito) Germanio (puro) Silicio (puro)

2.82 × 10- 8 1.59 × 10- 8 1.72 × 10- 8 10.0 × 10- 8 5.6 × 10- 8 10.6 × 10- 8 100 × 10- 8 44 × 10- 8 7 × 10- 8 3.5 × 10- 5 0.46 640

3.55 × 107 6.29 × 107 5.81× 107 1.0 × 107 1.8 × 107 1.0 × 107 0.1× 107 0.23 × 107 1.4 × 107 2.9 × 104 2.2 1.6 × 10- 3

0.0039 0.0038 0.0039 0.0050 0.0045 0.0039 0.0004 0.00001 0.002 - 0.0005 - 0.048 - 0.075

159

Aisladores Vidrio Hule de neopreno

Teflón

10- 10 a 1014 109 1014

10- 14 a 10- 10 10- 9 10- 14

ANEXO 4

160

ANEXO 5

ALGUNAS CONSTANTES FÍSICAS FUNDAMENTALES

Constantes Error Velocidad de la luz en el vacío Símbolo Valor

c G

exacta

Constante gravitacional

2.99792458 × 108 m s 6.67259 × 10- 11 m3 kg .s 2 6.02214 × 1023 mol - 1

128

Número de Avogadro

NA

0.6

161

Constante universal de los gases

R k e

8.31451 J mol.K 1.38066 × 10- 23 J K 1.60218 × 10- 19 C 8.85418781762 × 10- 12 C 2 / N .m 2 8.987552 × 109 kg .m3 .s - 2 .C - 2 4 × 10- 7 T .m / A 9.10939 × 10- 31 kg 1.67262 × 10- 27 kg 1.67493 × 10- 27 kg 6.62608 × 10- 34 J .s 1.05457 × 10- 34 J .s = 6.58212 × 10- 22 MeV .s

8.4

Constante de Boltzmann

8.5

Carga elemental

0.3

Permeabilidad del espacio vacío

exacta

Permeabilidad del espacio vacío

0

1 4 0 µ0 me mp mn

h h

exacta

Masa del electrón

0.6

Masa del protón

0.6

Masa del neutrón

0.6

Constante de Planck

0.6 h 2 0.6 0.3

hc 0.3

Relación carga a masa del electrón

197.327 Mv. fm - 1.75882 × 1011 C / kg

1836.15

- e me m p / me

0.3

Relación masa protón a electrón

0.15

Volumen molar del gas ideal en condiciones normales

22414.1cm3 / mol

8.4

Magnetón de Bohr

µB

9.27402 × 10- 24 J / T 2.067783 × 10- 15Wb 0.529177 × 10- 10 m

0.3

Cuanto de flujo magnético

0 = h 2e

a0

0.3

Radio de Bohr

0.05

162

Constante de Rydberg

R

1.09737 × 107 m - 1

0.001

163

Information

TEMA I

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