Read (Microsoft Word - Pravokutni trokut - RJE\212ENJA_cudno) text version

Priprema za ispit znanja ­ trigonometrija pravokutnog trokuta

1. Zbroj duljina kateta pravokutnog trokuta jednak je 12 cm, jedan kut trokuta iznosi 58. Kolika je duljina hipotenuze ovog trokuta? a b S obzirom da se u zadanim podacima pojavljuju katete a i b te kut , uocimo te elemente na skici pravokutnog trokuta i odaberimo trigonometrijsku funkciju koja ih povezuje (naravno, radi se o tangensu jer su obe stranice katete ­ nema hipotenuze): = Ako pomnozimo cijelu jednadzbu s b dobijemo: =

a + b = 12 = 58 c=?

c

Problem je sto se pojavljuju dvije nepoznanice, pa gornju jednadzbu moramo kombinirati s ve dobivenom a + b = 12: = a + b = 12 Umjesto nepoznanice a u drugoj jednadzbi uvrstit emo Nakon izlucivanja nepoznanice b imamo: Podijelimo sve sa + pa dobijemo: = + + = + = :

Sada kad imamo stranicu b mozemo funkcijom kosinus povezati tu stranicu, kut i hipotenuzu c: = Te nakon mnozenja s c i dijeljenja s cos imamo: = Izracunaj stranice pravokutnog trokuta ako mu je povrsina jednaka 22 cm2, a velicina jednog kuta iznosi 56 40´.? a b

2.

P = 22 cm2 = 56 40´ a, b, c = ? P =a*b/2

c

Na skici pravokutnog trokuta uocimo stranice a i b, te ih funkcijom tangens povezemo s zadanim kutom : = Odnosno, nakon mnozenja: =

Problem je sto se pojavljuju dvije nepoznanice, pa gornju jednadzbu moramo kombinirati s ve dobivenom povrsinom: = = = U drugu jednadzbu, umjesto a uvrstimo Nakon sreivanja i dijeljenja s tan imamo: = Sada je jednostavno dobiti i ostale stranice ­ najprije b uvrstimo u c mozemo dobiti Pitagorinim pouckom. = i izracunamo a, dok = te pomnozimo s 2: =

3.

Kolika je duljina hipotenuze pravokutnog trokuta, ako je duljina visine na hipotenuzu 11 cm. A = 48 50´ ?

vc = 11 cm = 48 50´ c=?

b c

v

a

Visina na hipotenuzu je podijelila pravokutni trokut na dva manja pravokutna trokuta. Primijetimo da u iscrtanom pravokutnom trokutu imamo poznata dva elementa ­ katetu v i kut , pa bi mogli izracunati hipotenuzu a koristei funkciju sinus: = odnosno, nakon mnozenja sa a i dijeljenja sa sin : = No, sada u pravokutnom trokutu imamo poznatu katetu a i kut pa mozemo izracunati i ostale dvije stranice: a b c

= odnosno = Treu stranicu a mozemo izracunati pomou Pitagorinog poucka.

4.

Ako je duljina ortogonalne projekcije katete a na hipotenuzu pravokutnog trokuta jednaka 10 cm, a duljina katete b je 7 cm, koliki su kutovi ovog trokuta? (IV.1)

5.

Razlika kuta uz osnovicu i kuta pri vrhu jednakokracnog trokuta iznosi 12, krak je dulji od osnovice za 3 cm. Kolika je povrsina ovog trokuta? ? (IV.16)

­ = 12 b ­ a = 3 cm P=? = 2

Iz formule za povrsinu jasno se vidi da je potrebno izracunati osnovicu a i visinu v. Stoga emo jednakokracnom trokutu povui visinu na osnovicu i uociti jedan od dva pravokutna trokuta na koje visina podijeli jednakokracan trokut

b b

a

No, najprije je potrebno iskoristiti cinjenicu da je ­ = 12, te izracunati kutove i . To emo postii koristenjem cinjenice da je zbroj kutova u trokutu 180 . Napisimo te dvije cinjenice zajedno: ­ = 12 + 2 = 180 Zbrajanjem ovih jednadzbi ( se pokrati) dobijemo: 3 = 192 odnosno = 64

Sada je potrebno odabrati tri elementa u izdvojenom pravokutnom trokutu te ih povezati trigonometrijskom funkcijom. Pri odabiru elemenata potrebno je obratiti paznju sto nam je zadano u zadatku. Stoga uocimo katetu a/2 i hipotenuzu b te kut i povezimo ih funkcijom kosinus:

=

=

Nakon mnozenja sa 2b imamo: =

Jednadzba koju smo dobili nije, sama za sebe, rjesiva jer u sebi ima 2 nepoznanice. Meutim, mi smo ,,pametno" birali elemente trokuta koje smo povezali funkcijom kosinus jer iste te dvije nepoznanice imamo povezane u jednadzbi koju smo dobili pri zadavanju zadatka. Napisimo obje jednadzbe jednu ispod druge kako bi bolje vidjeli nacin na koji emo od njih dvije dobiti jednu jednadzbu, ali samo s jednom nepoznanicom: =

b ­ a = 3 cm Prva jednadzba nam ,,kaze" da umjesto a u drugu jednadzbu uvrstimo izraz - Izlucimo b i podijelimo sa zagradom: = - = :

Dalje je jednostavno ­ izracunati podatak za b uvrstimo u b ­ a = 3 te izracunamo stranicu a, a zatim Pitagorom izracunamo i visinu v = te sve to uvrstimo u formulu za povrsinu. -

6.

U jednakokracnom trokutu kut uz osnovicu za 20 je vei od kuta nasuprot osnovici. Razlika duljina kraka i osnovice je 1 cm. Kolike su duljine stranica trokuta? Izracunajmo najprije kutove tako da zadanu vezu izmeu kutova i koju smo dobili u zadatku ( = + 20) uvrstimo u izraz za zbroj kutova u trokutu, tj. u jednadzbu + 2 = 180 : + + =

= + 20 b ­ a = 1 cm a, b = ?

b b

te izracunamo najprije kut a zatim i .

Postupak nastavljamo uocavajui pravokutni trokut kojeg dobijemo povlacenjem visine na osnovicu te povezujui trigonometrijom stranice a i b (jer je zadana veza izmeu tih stranica: b ­ a = 1 ). v = = Te nakon mnozenja s 2b: = a/2 b

Sada preostaje kombinacijom dvaju izraza s dvije nepoznanice dobiti jednu jednadzbu s jednom nepoznanicom: = - U drugu jednadzbu umjesto a uvrstimo - te podijelimo sa zagradom: - = 1 - = i izlucimo b: = =

I jos preostaje izracunati a uvrstavanjem vrijednosti b u jednadzbu b ­ a = 1.

7.

Opseg jednakokracnog trokuta iznosi 30 cm. Kut naspram osnovice trokuta jednak je 104. Izracunaj povrsinu trokuta. ? S obzirom da je opseg jednakokracnog trokuta a + 2b jasno je da treba trigonometrijom povezati a, b i kut u pravokutnom trokutu kojeg dobijemo povlacenjem visine na osnovicu

o = 30 cm = 104 P=? = 2

/2

v

b

= = a/2

Sreivanjem te jednadzbe mnozenjem sa 2b i kombiniranjem sa jednadzbom za opseg (o = a + 2b = 30) dobijemo: = + Iz prve jednadzbe uvrstimo izraz =

u drugu jednadzbu i izlucimo b: + + = =

Jos nam preostaje sve podijeliti sa zagradom: = +

Sada nam preostaje izracunati a uvrstavanjem upravo izracunatog podatka za b u = a zatim primjenom Pitagorinog poucka pronai i visinu v te izracunati povrsinu trokuta.

8.

Krak jednakokracnog trokuta trostruko je dulji od njegove osnovice. Koliki su kutovi tog trokuta? Podaci koji su zadani kazu nam sto moramo povezati koristei trigonometriju: to su stranice a i b te jedan kut. Skicirajmo jednakokracan trokut te jedan od dva pravokutna trokuta koja dobijemo povlacei visinu na osnovicu i primijenimo trigonometriju: v

b = 3a , = ?

/2

b

a/2 = =

Sada u dobivenu formulu u nazivnik umjesto b uvrstimo 3a, te skratimo a: = =

Kad dobijemo kut , do kuta dolazimo koristei cinjenicu da je zbroj kutova u trokutu 180. Posto jednakokracan trokut ima kutove , i vrijedi: + 2 = 180

9.

Razlika duljina kraka i osnovice jednakokracnog trokuta iznosi 3 cm, kut nasuprot osnovici ima 44 20´. Kolika je povrsina tog trokuta?

10. Duljina dijagonale pravokutnika je 16 cm, a kut izmeu dijagonala iznosi 118. Kolika je povrsina pravokutnika? d = 16 cm = 118 P=? P = ab Izvucimo jednakokracan trokut s osnovicom a i kutom nasuprot osnovici (iscrtani dio) a onda ga visinom podijelimo na dva pravokutna te primijenimo trigonometriju: odnosno: = = =

d/2 a/2

/2 b/2

Stranicu b dobijemo primjenom Pitagorinog poucka: = -

11. Povrsina pravokutnika jednaka je 33cm2, a kut sto ga zatvara dijagonala s jednom stranicom iznosi 33. Kolike su duljine stranica pravokutnika? P = 33cm2 = 33 a, b = ? S obzirom da je P = a*b, jasno je da trigonometrijom treba povezati a, b i zadani kut. S obzirom da su a i b katete biramo funkciju tanges: =

d b a

Budui da ne znamo dvije vrijednosti (ni a ni b) morat emo kombinirati dvije jednadzbe te ih spojiti u jednu jednadzbu s jednom nepoznanicom : = =

U ovakvim situacijama je potrebno u jednoj jednadzbi postii da se jedna nepoznanica ,,nae sama" na jednoj strani jednadzbe, a nakon toga taj izraz uvrstavamo u drugu jednadzbu. U nasem primjeru dobro je prvu jednadzbu pomnoziti s nazivnikom a. Tako emo se i rijesiti nazivnika i dobiti nepoznanicu b samu na desnoj strani: = =

Uvrstimo sada izraz za b iz prve jednadzbe u drugu: Dijeljenjem s tan dobijemo: = Sada nam preostaje uvrstiti dobiveni podatak za stranicu a u izraz stranicu b. = te izracunati i = =

12. Duljine dijagonala romba jednake su 11 cm i 16 cm. Koliki su kutovi romba? e = 11 cm f = 16 cm , = ? Zadane su dijagonale romba pa treba uociti pravokutni trokut kojem je pravi kut u sjecistu dijagonala. Dijagonale se, osim toga, raspolavljaju a raspolavljaju i kutove i na osnovici:

e a a

f a

Istaknimo 3 elementa u tom trokutu (dva koja znamo i trei koji zelimo izracunati) te primijenimo trigonometriju pravokutnog trokuta: f/2 e/2 = = /2 a /2

Kada iz gornjeg izraza izracunamo kut , do kuta dolazimo jednostavno zahvaljujui cinjenici da je zbroj kutova romba jednak 180, pa je = 180 - .

13. Visina romba duga je 4 cm, njegov siljasti kut iznosi 48. Kolika je duljina vee dijagonale romba? v = 4 cm = 48 e, f = ? Osim pravokutnog trokuta kojeg cine dijagonale pravokutnika u rombu pravi kut mozemo dobiti i povlacenjem visine.

a

v

Taj pravokutni trokut nam je potreban kako bi iz njega izracunali stranicu a. Ona nam je potrebna kako bi u pravokutnom trokutu iz kojeg zelimo izracunati dijagonale imali dva poznata elementa. Dakle, najprije funkcijom sinus povezimo a, v i : = te izrazimo a: = Sada iz drugog trokuta funkcijom sinus povezimo e/2, /2 i a: = =

f/2 /2 a

e/2 /2

Kada pomnozimo cijelu jednadzbu sa 2a dobijemo dijagonalu e: =

Dijagonalu f izracunajte ili Pitagorinim pouckom ili primjenom funkcije kosinus te odaberite veu dijagonalu (sjetite se, trazi se vea dijagonala).

14. Opseg romba je 32 cm, zbroj duljina njegovih dijagonala 34 cm. Koliki je tupi kut romba? o = 32 cm e + f = 34 cm , = ? Lagano se, iz opsega izracuna stranica a, a = 8 cm. Uz taj podatak vidimo da imamo jednadzbu koja povezuje e i f - dakle dvije nepoznanice. Stoga trebamo jos jednu jednadzbu sa e i f, a da pri tome ne uvedemo novu nepoznanicu. To je mogue primjenjujui Pitagorin poucak na iscrtani trokut:

f/2 /2 a

e/2 /2

+ + =

=

U prvoj jednadzbi izvrsimo kvadriranja, pomnozimo s nazivnikom, a iz druge jednadzbe izrazimo e pomou f: + = = -

Uvrstimo izraz za e iz druge jednadzbe u prvu jednadzbu: - - - - Dobiju se dva rjesenja: f1 = 25 f2 = 9 e1 = 9 e2 = 25 + + + + = + = = =

Dovoljno je uzeti jedan par te primjenom trigonometrije (npr. funkcije tangens ) povezati e, f i kut : f/2 = = /2 a e/2 /2

Kut se dobije iz :

= 180 -

15. Duljine osnovica jednakokracnog trapeza jednake su 10 cm i 2 cm, duljina je kraka 6 cm. Koliki su kutovi trapeza? a= 10 cm c = 2 cm b = d = 6 cm , = ? Trapez podijelimo na trokut i paralelogram, a zatim u trokutu spustimo visinu kako bi ga podijelili na dva pravokutna trokuta. c b x =a - c Povezimo b, x/2 i funkcijom kosinus i izracunajmo kut : = = b a c b

Zatim izracunajmo kut : = 180 - .

16. Siljasti kut jednakokracnog trapeza je 63, duljine osnovica jednake su 3 cm i 12 cm. Kolika je povrsina trapeza? = 63 a= 12 cm c= 3 cm P=? c Iz formule za povrsinu: = + b x =a - c b a c b

vidimo da nedostaje visina v Nai emo je iz pravokutnog trokuta tako da primijenimo funkciju tangens: = =

/2

v

b x/2

Pomnozimo gornju jednadzbu sa x, a zatim sve podijelimo s 2: =

Sada uvrstimo izracunatu visinu u formulu za povrsinu.

17. Dijagonala jednakokracnog trapeza okomita je na krak, a s osnovicom zatvara kut od 42 30´. Ako je duljina dijagonale 12 cm, kolika je povrsina trapeza? = 42 30´ d = 12 cm P=? = + Iz iscrtanog trokuta (pravokutan je ) izracunat emo stranicu a i kut , a zatim na ,,klasican nacin doi do visine v i krae osnovice c: a

d

b

Primijetimo da su i kutovi pravokutnog trokuta, pa je njihov zbroj 90. Stoga je: = 90 - Sada primijenimo funkciju kosinus na kut : = Mnozenjem jednadzbe sa a, a zatim dijeljenjem s cos dobijemo stranicu a: =

Nacrtajmo sada trapez bez dijagonale, ali povucimo visinu v i uocimo jedan od dva pravokutna trokuta koji pri tome nastanu: S obzirom da u tom trokutu ne znamo ni jednu stranicu, vratimo se Trokutu iz kojeg smo izracunali stranicu a te izracunajmo iz /2 b njega i krak b (npr. Pitagorinim pouckom). v Sada je mogue, funkcijom sinus, povezati b, v i : = odnosno, nakon mnozenja s b: = x/2

Preostaje nam jos izracunati osnovicu c, kako bi imali sve podatke koji su nam potrebni za racunanje povrsine. To emo napraviti tako da naemo x iz trokuta: = Iz x = a ­ c slijedi c = a ­ x. -

18. Kolika je povrsina deveterokuta kojem je polumjer upisane kruznice jednak 3 cm? n=9 = 3 cm P=? = Najprije emo izracunati sredisnji kut = 360 : 9 = 40 Nakon toga uocimo karakteristicni trokut pravilnog deveterokuta te povucimo visinu (polumjer upisane kruznice ) i uocimo jedan od dva pravokutna trokuta koji pri tome nastanu, te pomou njega izracunajmo stranicu a koja nam je potrebna za racunanje povrsine: /2 r

r r

a

=

=

Nakon mnozenja jednadzbe s 2: = a/2

19. Kolika je povrsina pravilnog petnaesterokuta opisanoga kruznici polumjera 6 cm? n = 15 = 6 cm P=? =

/2 r r r

Zadatak rjesavamo na isti nacin kao i 18. Zadatak ( = 360 : 15 = 24 ostalo je identicno)

a/2

a

NAPOMENA: Budite oprezni kada se radi o kruznicama i mnogokutu. Bitno je je li kruznica opisana ili upisana mnogokutu, a ne (kao u tekstu ovog ­ 19. Zadatka ­ je li mnogokut opisan ili upisan kruznici !!!

20. Kolika je duljina tetive AB u kruznici polumjera 10 cm, ako toj tetivi pripada obodni kut od 77? r = 10 cm = 77 t=?

Bitno je znati teorem o obodnom i sredisnjem kutu: Sredisnji kut nad tetivom AB je dvostruko vei od obodnog kuta nad istom tetivom (bitno je samo da se oba nalaze s iste strane tetive) A

S 2

t

B

Uocimo jednakokracni trokut ABS, te povucimo visinu iz vrha S kako bi dobili dva pravokutna trokuta i na jednom od njih primijenili trigonometriju pravokutnog trokuta kako bi izracunali velicinu t:

r t/2

Pravi izbor je funkcija sinus (povezujemo hipotenuzu r i katetu t/2 nasuprot kuta ): = Mnozenjem sa 2r dobijemo izraz za t: = =

21. Koliki je obodni kut nad tetivom duljine 7 cm u kruznici polumjera 10 cm? t= 7 cm r = 10 cm =? Zadatak se rjesava identicno kao i prosli ­ 20. Zadatak.

22. Koliki je obodni kut nad tetivom kruznice kojoj je duljina jednaka 3/5 duljine polumjera? t = 3/5r =? Zadatak se rjesava identicno kao i ­ 20. Zadatak, pri cemu se u izraz = =

umjesto t uvrsti 3/5r, te se skrati r pa imamo: = =

23. Tetiva kruznice od njena je sredista udaljena 5 cm. Ako je polumjer kruznice 8 cm, koliki je siljasti obodni kut nad tetivom? d = 5 cm r = 8 cm =? r t/2 Ovdje treba iskoristiti funkciju kosinus: = Odnosno, nakon mnozenja s r: = A d S 2 B

t

24. Nad tetivom AB duljine 6 cm nalazi se obodni kut 53. U tockama A i B konstruiraju se tangente na kruznicu i one se sijeku u tocki P. Koliko je tocka P udaljena od sredista kruznice? t = 6 cm = 53 d=? A r S t P

B Ovdje je potrebno uociti dva trokuta. Prvi je trokut ABS u kojem je kut pri vrhu S jednak 2 (po teoremu o obodnom i sredisnjem kutu) U tom trokutu emo spustiti visinu iz vrha S na tetivu AB Uocit emo pravokutan trokut (iscrtano) te primijeniti funkciju Sinus kako bi dobili polumjer r: = = r S

A t/2

t/2 B

Mnozenjem sa 2r i dijeljenjem sa 2sin imamo polumjer r: =

Sada treba koristiti drugi trokut - to je trokut ASP, jer se u njemu nalazi trazeni podatak d (udaljenost SP). Taj je trokut pravokutan s pravim kutom pri vrhu A (jer je polumjer okomit na tangentu u tocki dodira): U njemu je funkcijom sinus mogue dobiti trazenu velicinu d: = Odnosno = S r d P A

Meutim, potrebno je izracunati kut . Za to je potrebno uociti cetverokut ASBP te uociti da su njegova 4 kuta: 2, 90, 90 i 2. Posto je zbroj kutova u cetverokutu 360 vrijedi: 2 + 90 + 90 + 2 = 360 106 + 180 + 2 = 360 S 2 = 74 = 37 90 B 2 A 90 2 P

25. Dvije se kruznice diraju izvana. Pod kojim se kutom sijeku njihove zajednicke vanjske tangente ako je polumjer vee kruznice 10 cm, a polumjer manje 7 cm? (IV.10) R = 10 cm r = 7 cm =? A B R r S1 R r S2 P

Najprije treba uociti dva pravokutna trokuta: AS1P i AS2P: A B R r /2 S1 R+r S2 P

Ni u jednom od ta dva pravokutna trokuta nemamo poznata dva elementa. Stoga povucimo tockom B paralelu sa pravcem S1S2:

A /2 R R+r S1 R+r Dobili smo trei pravokutni trokut cija je hipotenuza R + r, a kateta nasuprot kuta /2 iznosi R ­ r (razmisli zasto ?!) pa mozemo funkcijom sinus doi najprije do kuta /2, a onda je lako izracunati i : = + - r /2 S2 P B

Svim ucenicima zelim ugodno rjesavanje i puno uspjeha na pismenom ispitu

Ukoliko ima nejasnoa, pitanja, eventualnih gresaka mozete javiti na E-mail [email protected]

Information

(Microsoft Word - Pravokutni trokut - RJE\212ENJA_cudno)

15 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

302245