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Koordinatenberechnung

Die Kleinpunktberechnung

1

Die Kleinpunktberechnung

Mit der Kleinpunktberechnung werden Koordinaten (z.B. Gauß - Krüger Koordinaten) von Punkten auf einer Messungslinie oder orthogonal (rechtwinklig) auf die Messungslinie aufgemessene Punkte berechnet.

Punkte auf einer Messungslinie

Es sind gegeben: a) Koordinaten von Punkt PA ( YA ; XA ) b) Koordinaten von Punkt PE ( YE ; XE ) c) Messungszahlen: rA ; r1 ; r2 ; rE ; Es sind gesucht: Koordinaten von Punkt P1 ( Y1 ; X1 ) Koordinaten von Punkt P2 ( Y2 ; X2 ) rE - rA = S' = gemessene Strecke

X

Y X

E E

Y Y E A Y Y E 2

PE

X2

Y2 Y 2 Y 1

P2

X

Y 1

1

P1 Y 1 Y A

X

Y A PA

A

rE r A

S

gemessene Strecke

Y

Aufgaben: 1. Colorieren Sie alle ähnlichen Dreiecke in der Skizze. 2. Überprüfen Sie die Formelansätze mit Hilfe der Zeichnung.

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Koordinatenberechnung

Arbeitsgang und Formelableitung:

1. Berechnung der Strecke PA ­ PE = S aus Koordinaten

Die Kleinpunktberechnung

2

S = (YE - YA ) 2 + (X E - X A ) 2

2. Vergleichen der gerechneten Strecke (S) mit der gemessenen Strecke (S') S' = rE - rA D S = S - S' (gerechnete Strecke ­ gemessene Strecke) = Soll - Ist Die Streckendifferenz (Ds) muss innerhalb der zulässigen Streckenabweichung in ihrem Bundesland liegen. (Beachten Sie dabei die entsprechenden Vorschriften) 3. Berechnung der Y - Koordinaten der Neupunkte über Verhältisgleichungen (Strahlensatz)

Y1 - YA YE - YA = r1 - rA S' Y2 - Y1 YE - YA = r2 - r1 S'

Y1 - YA =o r1 - rA

Y1 - YA = o × (r1 - rA )

Y1 = YA + o × (r1 - rA ) Y2 =

YE - Y2 YE - YA = = (Probe) rE - r2 S'

YE =

YE - YA ist in allen 3 Gleichungen enthalten und braucht nur einmal berechnet werden. S'

YE - YA = o = ,,Ordinate" S'

Merke: Nur wenn Sie ,,o" mit S' (= gemessene Strecke) berechnen, wird automatisch eine Fehlerverteilung bei den neuen Koordinaten durchgeführt. ,,o" soll mit 6 Stellen nach dem Komma berechnet werden.

Merke:

YE - YA = o sollte durch folgende Probe gesichert werden: S'

YE = YA + o × (rE - rA )

Diese Probe deckt auch einen Vorzeichenfehler bei ,,o" auf. Wenn die Probe stimmt, wird ,,o" abgehakt. Die oft angewandte Probe

o 2 + a 2 1 deckt keine Vorzeichenfehler von ,,o" und ,,a" auf.

Aufgaben: 3. Vervollständigen Sie die Formelableitungen unter Arbeitsgang 3 entsprechend der ersten Zeile Y1 = YA + o × (r1 - rA )

Y2 = YE =

4. Überprüfen Sie die Formelableitungen ihres Nachbarn

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Koordinatenberechnung

Die Kleinpunktberechnung

3

4. Allgemeine Fomel zur Berechnung der Y - Koordinaten Wenn man in Messrichtung gesehen bei der Berechnung eines Neupunkts die Punktnummer mit (i) bezeichnet und den davorliegenden Punkt mit (i-1) ergibt sich die allgemeine Formel.

Y(i) = Y(i-1) + o × (r(i) - r(i-1) )

5. Probe der Y - Koordinaten der Neupunkte Zur Probe aller Y-Koordinaten der Neupunkte wird von dem letzten zu berechnenden Punkt ausgehend noch einmal die Y - Koordinate des Endpunktes (PE) berechnet. Dazu benutzt man ebenfalls die allgemeine Formel. Wenn die Probe stimmt, werden alle Y - Koordinaten der Neupunkte als richtig abgehakt. 6. Berechnung der X - Koordinaten der Neupunkte über Verhältisgleichungen (Strahlensatz)

X1 - X A X E - X A = r1 - rA S' X 2 - X1 X E - X A = r2 - r1 S'

X1 - X A =a r1 - rA

X 1 - X A = a × (r1 - rA )

X1 = X A + a × (r1 - rA )

X2 =

XE - X2 XE - XA = = (Probe) rE - r2 S'

XE =

XE - XA ist in allen 3 Gleichungen enthalten und braucht nur einmal berechnet werden. S'

XE - XA = a = ,,Abszisse" S'

Merke: Nur wenn Sie ,,a" mit S' (= gemessene Strecke) berechnen, wird automatisch eine Fehlerverteilung bei den neuen Koordinaten durchgeführt. ,,a" soll mit 6 Stellen nach dem Komma berechnet werden.

Merke:

XE - XA = a sollte durch folgende Probe gesichert werden: S'

X E = X A + a × (rE - rA )

Diese Probe deckt auch einen Vorzeichenfehler bei ,,a" auf. Wenn die Probe stimmt, wird ,,a" abgehakt. Die oft angewandte Probe

o 2 + a 2 1 deckt keine Vorzeichenfehler von ,,o" und ,,a" auf.

Aufgaben: 5. Vervollständigen Sie die Formelableitungen unter Arbeitsgang 6 entsprechend der ersten Zeile X 1 = X A + a × (r1 - rA )

X2 = XE =

6. Überprüfen Sie die Formelableitungen ihres Nachbarn

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Koordinatenberechnung

Die Kleinpunktberechnung

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7. Allgemeine Fomel zur Berechnung der X - Koordinaten: Wenn man in Messrichtung gesehen bei der Berechnung eines Neupunkts die Punktnummer mit (i) bezeichnet und den davorliegenden Punkt mit (i-1) ergibt sich die allgemeine Formel.

X (i) = X (i-1) + a × (r(i) - r(i-1) )

8.

Probe der X - Koordinaten der Neupunkte: Zur Probe aller X - Koordinaten der Neupunkte wird von dem letzten zu berechnenden Punkt ausgehend noch einmal die X - Koordinate des Endpunktes (PE) berechnet. Dazu benutzt man ebenfalls die allgemeine Formel. Wenn die Probe stimmt, werden alle X - Koordinaten der Neupunkte als richtig abgehakt.

Berechnungsbeispiel:

Aufgabe: 1. Berechnen Sie ein Beispiel ohne Formulare nur mit dem Taschenrechner. (z.B. LfVT: Aufgaben/Koordinatenberechnung Aufgabe Nr. 1 (Kleinpunktberechnung) Beachten Sie die Proben. 2. Überprüfen Sie die gleiche Aufgabe mit Hilfe einer Formularberechnung.

Linie 1

1

9 10

2

Punkt AP 1 AP 2 Rechtswert (Y) 2562009,85 2562093,83 Hochwert (X) 5632191,91 5632175,71

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Koordinatenberechnung

Kleinpunktberechnung mit Hilfe eines Formulars (Tabellen)

Die Kleinpunktberechnung

5

Für die schnelle Berechnung der Neupunktkoordinaten verwendet man Formulare (Tabellen). Dabei gibt es Unterschiede bei der Eintragung der Mess- und Berechnungsergebnisse in den einzelnen Regionen und Bundesländern. Hier werden beispielhaft zwei Möglichkeit vorgestellt.

1. Beispiel

Arbeitsgang:

Zuerst werden die Punktnummern und Koordinaten der Punkte A und E, die Punktnummern der Neupunkte 9 und 10, sowie die gemessenen Strecken r(A); r(E); r(9); r(10) eingetragen. Kontrollieren Sie die Einträge ! Folgen Sie nun der Reihenfolge 1 u.s.w.

Lösung mit einem Taschenrechner mit einem Speicher (Es werden zunächst nur die Y - Koordinaten berechnet und o immer im Speicher gehalten) (Anschließend erfolgt die Berechnung für die X - Koordinaten)

o=

YE Y A S

a=

XE XA S

7

D(s) D zul r(i) S

2

12

Nr.

Berechnung Linie 1 5 6

D(s)= S S

erlaubte Abweichung in ihrem Bundesland

n(i)

1

o Y (i) YE Y A

3

a X(i) XE X A

4

Pkt. Nr.

5

Probe von o und a: Probe richtig: = o und a abhaken

1

0,00 + 0, 981878 (0,04)

25

- 0, 189407

56

Y =Y + o( r(E) r(A)) (E) (A)

8

X(E) = X(A) + a(r(E) r(A) ) 13

r(A)

0,00 62 009 ,85 85 53 62 093 83

(85,53)

32 191 91 32 175 71 - 16 20

1 2

A E

XE X A YE Y A

4 S = r(E) r(A)

r(E)

+ 83 98

2 1

S = (YE Y )2+ (XE XA )2 A

3

r(9)

9 10

Y = Y + o( r(9) r(A)) (9) (A) r(10) Y = Y + o( r(10) r(9) ) (10) (9)

26,28 62 035 ,65 67,62 62 076 ,24

32 186 93 32 179 10

9 10

Neupunkt 9

X(9) = X(A) + a(r(9) r(A) )

14 15

Neupunkt 10

X(10) = X(9) + a (r(10) r(9))

allgemeine Formel

Y = Y + o( r(i) (i) (i-1) r(i-1))

allgemeine Formel

X(i) = X(i-1) + a( r(i) r(i-1) )

11 Probe: Y =Y + o( r(E) r(10)) (E) (10) Probe stimmt: Y- Koord. der Neupunkte abhaken

16 Probe: X(E) = X(10) + a(r(E) r(10)) Probe stimmt: X- Koord. der Neupunkte abhaken

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Koordinatenberechnung

2. Beispiel

Die Kleinpunktberechnung

6

Arbeitsgang:

Zuerst werden die Punktnummern und Koordinaten der Punkte A und E, die Punktnummern der Neupunkte 9 und 10, sowie die gemessenen Strecken r(A); r(E); r(9); r(10) eingetragen. Kontrollieren Sie die Einträge ! Folgen Sie nun der Reihenfolge 1 u.s.w.

Lösung mit einem Taschenrechner mit einem Speicher (Es werden zunächst nur die Y - Koordinaten berechnet und o immer im Speicher gehalten) (Anschließend erfolgt die Berechnung für die X - Koordinaten)

o=

YE Y A S

a=

XE XA S

7

D(s) D zul r(i) S

2

12

Nr.

Berechnung Linie 1 5 6

D(s)= S S

erlaubte Abweichung in ihrem Bundesland

n(i)

1

o Y (i) YE Y A

3

a X(i) X E XA

4

Pkt. Nr.

5

Probe von o und a: Probe richtig: = o und a abhaken

1

0,00 + 0, 981878 (0,04)

25

- 0, 189407

56

Y =Y + o( r(E) r(A)) (E) (A)

8

X(E) = X(A) + a(r(E) r(A) ) 13

r(A) r(9) Y = Y + o( r(9) r(A)) (9) (A) r(10)

0,00 62 009 ,85 26,28 62 035 ,65 67,62 62 076 ,24 85 53 62 093 83

(85,53)

32 191 91 32 186 93 32 179 10 32 175 71 - 16 20

1 9 10 2

A Neupunkt 9

X(9) = X(A) + a(r(9) r(A) )

9 10

14 15

Neupunkt 10

X(10) = X(9) + a (r(10) r(9))

Y = Y + o( r(10) r(9) ) (10) (9) r(E)

4 S = r(E) r(A) 3

E

S = (YE Y )2+ (XE XA )2 A

+ 83 98

11 Probe: Y =Y + o( r(E) r(10)) (E) (10) Probe stimmt: Y- Koord. der Neupunkte abhaken

1

YE Y A

2

X E XA

16 Probe: X(E) = X(10) + a(r(E) r(10)) Probe stimmt: X - Koord. der Neupunkte abhaken

Aufgabe:

1. Entwickeln Sie für die Kleinpunktberechnung ein Excelprogramm. 2. Berechnen Sie ihre Beispiele mit einem Vermessungsprogramm (z.B. KIVID, KAVDI, DIVA u.s.w.)

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