Read Matematicke formule text version

Matematicke formule

za ucenike srednje skole

Nevena Luki

Kompjutersko-tehnicka obrada: Konstantin Simi

Beograd, 2006.

Matematicke formule

2

Sadrzaj

1. Osnovne algebarske formule ................................................................................5 1.1. Apsolutne vrednosti ..........................................................................................5 1.2. Racionalni izrazi .................................................................................................5 1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)>0) ..........................................................................5 1.4. Rastavljanje na cinioce....................................................................................6 1.5. Lagranzeva formula .........................................................................................6 1.6. Osobine korena i stepena ...............................................................................6 2. Iracionalne nejednacine ........................................................................................8 3. Kvadratna funkcija ..................................................................................................8 3.1. Kvadratna jednacina .......................................................................................8 3.2. Vijetova pravila .................................................................................................9 3.3. Znak resenja .......................................................................................................9 3.4. Znak kvadratnog trinoma f(x)=Ax2+Bx+C....................................................10 4. Logaritmi..................................................................................................................12 5. Trigonometrija.........................................................................................................13 5.1. Trigonometrijske funkcije ................................................................................14 5.2. Inverzne trigonometrijske funkcije ................................................................18 5.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za vaznije uglove .................22 5.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacije ..........................................22 5.5. Svoenje na ostar ugao ................................................................................23 5.6. Adicione formule.............................................................................................24 5.7. Dvostruki ugao.................................................................................................24 5.8. Trostruki ugao ...................................................................................................25 5.9. Polovina ugla ...................................................................................................25 5.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod........26 5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku........26 5.12. Vaznije trigonometrijske sume.....................................................................27 5.13. Trigonometrijske jednacine..........................................................................28 5.14. Osnovne transformacije inverznih trigonometrijskih funkcija .................29 5.15. Sinusna teorema ...........................................................................................30 5.16. Kosinusna teorema .......................................................................................30 6. Planimetrija .............................................................................................................31 6.1. Krug ...................................................................................................................31 6.2. Kruzni isecak.....................................................................................................31 6.3. Kvadrat .............................................................................................................31 6.4. Pravougaonik...................................................................................................32 6.5. Trougao.............................................................................................................32 6.6. Jednakostranicni trougao .............................................................................33 6.7. Pravougli trougao ...........................................................................................33 6.8. Paralelogram ...................................................................................................34 6.9. Trapez................................................................................................................35 6.10. Jednakokraki trapez .....................................................................................36 6.11. Tangente i tetive ...........................................................................................37 6.12. Osobine upisanog kruga u trougao...........................................................38 6.13. Tetivni cetvorougao......................................................................................39

Matematicke formule

3

6.14. Tangentni cetvorougao...............................................................................39 7. Stereometrija ..........................................................................................................40 7.1. Kosa cetvorostrana prizma............................................................................40 7.2. Kosa cetvorostrana prizma sa rombom u osnovi ......................................41 7.3. Trostrana kosa prizma .....................................................................................42 7.4. Trostrana piramida sa svim bocnim jednakim ivicama ............................43 7.5. Trostrana piramida kod koje bocne strane zaklapaju sa osnovom isti ugao.........................................................................................................................44 7.6. Trostrana piramida cije su sve bocne ivice normalne ..............................45 7.7. Cetvorostrana piramida kod koje je jedna bocna ivica (DV) normalna na ravan osnove ....................................................................................................46 7.8. Kupa ..................................................................................................................47 7.9. Zarubljena kupa ..............................................................................................48 7.10. Lopta (sfera) ..................................................................................................49 7.11. Loptin isecak ..................................................................................................49 7.12. Loptin pojas....................................................................................................50 8. Determinante .........................................................................................................51 8.1. Sarusovo pravilo ..............................................................................................51 8.2. Razbijanje na kofaktore .................................................................................51 8.3. Osobine determinanti ....................................................................................52 9. Vektori......................................................................................................................53 9.1. Kolinearnost......................................................................................................54 9.2. Linearna zavisnost vektora ............................................................................54 9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomou determinante ................54 9.4. Formiranje vektora ..........................................................................................55 9.5. Trougao.............................................................................................................55 9.6. Vektor visine trougla .......................................................................................56 9.7. Vektor simetrale ugla izmeu dva vektora.................................................56 9.8. Skalarni proizvod .............................................................................................57 9.9. Vektorski proizvod ...........................................................................................58 9.10. Mesoviti proizvod ..........................................................................................59 9.11. Trostrana piramida ........................................................................................60 9.12. Cetvorostrana piramida ..............................................................................60 10. Analiticka geometrija u ravni.............................................................................61 10.1. Podela duzi u odnosu m:n ...........................................................................61 10.2. Jednacina prave ..........................................................................................62 10.3. Odnos dve prave..........................................................................................63 10.4. Jednacina kruga...........................................................................................63 10.5. Uslov da je prava tangenta kruga .............................................................64 10.6. Meusobni polozaj dva kruga ....................................................................64 10.7. Pramen pravih ...............................................................................................65 10.8. Pramen krugova............................................................................................65 10.9. Elipsa ...............................................................................................................66 10.10. Hiperbola......................................................................................................67 10.11. Parabola.......................................................................................................68 11. Nejednakosti, sume i nizovi.................................................................................69 11.1. Nejednakosti ..................................................................................................69 11.2. Sume ...............................................................................................................69

Matematicke formule

4

11.3. Osobine sume................................................................................................70 11.4. Aritmeticki niz (progresija)............................................................................70 11.5. Geometrijski niz (progresija).........................................................................71 11.6. Beskonacan geometrijski niz (red)..............................................................71 12. Polinomi .................................................................................................................72 12.1. Vijetova pravila za polinome ......................................................................72 12.2. Formiranje jednacina ...................................................................................72 13. Uvod u analizu......................................................................................................73 13.1. Oblasti definisanosti nekih funkcija ............................................................73 13.2. Ispitivanje funkcije .........................................................................................74 13.3. Granicna vrednost funkcije .........................................................................74 13.4. Vaznije granicne vrednosti ..........................................................................74 13.5. Neodreeni matematicki izrazi...................................................................75 13.6. Asimptote funkcije ........................................................................................76 14. Izvodi ......................................................................................................................77 14.1. Pravila izvoda.................................................................................................77 14.2. Tablica izvoda ...............................................................................................77 14.3. Izvod viseg reda ............................................................................................78 14.4. Izvod slozene funkcije...................................................................................78 14.5. Izvod inverzne funkcije .................................................................................78 14.6. Tangenta funkcije u tacki (x0,f(x0)) .............................................................78 15. Integrali..................................................................................................................79 15.1. Osobine integrala .........................................................................................79 15.2. Tablica integrala ...........................................................................................79 15.3. Cesto koriseni integrali sa uobicajenim smenama ...............................80 15.4. Metod neodreenih koeficijenata ............................................................80 15.5. Trigonometrijski integrali ...............................................................................81 15.6. Metod parcijalne integracije ......................................................................81 15.7. Integracija racionalnih funkcija ..................................................................82 15.8. Njutn-Lajbnicova formula ............................................................................82 15.9. Neke rekurentne formule za integrale .......................................................83 16. Kombinatorika ......................................................................................................84 16.1. Binomni koeficijenti .......................................................................................84 16.2. Izracunavanje zbira kvadrata binomnih koeficijenata...........................85

Matematicke formule

5

1. Osnovne algebarske formule

1.1. Apsolutne vrednosti

A, A 0 A = - A, A 0 A B = A B A A = B B A 2 = A = A2 A - B A+ B A + B A B A B A -B A B A B A -B A = B ( A = B B 0) ( A = - B B 0)

1.2. Racionalni izrazi y=|x|

2

B = 0 ( B = 0 I 0) I B B 0 ( > 0) ( B = 0 I 0) I I

1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)>0)

A( x) B ( x ) = 1 ( A( x) = 1) ( A( x) 0 B ( x) = 0) A( x) B ( x ) = A( x)C ( x ) ( A( x) 0 B ( x) 0 C ( x) 0) ( A( x) = 1) ( B ( x) = C ( x) A( x) 0)

Matematicke formule

6

1.4. Rastavljanje na cinioce

A2 - B 2 = ( A - B ) ( A + B ) A3 ± B 3 = ( A ± B ) ( A2 AB + B 2 ) A2 + B 2 = ( A - Bi ) ( A + Bi ) ( A ± B) 2 = A2 ± 2 AB + B 2 ( A ± B)3 = A3 ± 3 A2 B + 3 AB 2 ± B 3 ( A ± B)3 = A3 ± 3 AB( A ± B ) ± B 3 A4 + A2 B 2 + B 4 = ( A2 + AB + B 2 )( A2 - AB + B 2 ) A3 + B 3 + C 3 - 3 ABC = ( A + B + C )( A2 + B 2 + C 2 - AB - AC - BC )

1.5. Lagranzeva formula

A± B =

A + A2 - B ± 2

A - A2 - B 2

1.6. Osobine korena i stepena

n

x m y = nm x m y n

an / m = m an a n a m = a n + m , n, m a n : a m = a n-m ( a n ) m = a n m ,

2n

a0 = 1

y= x

A2 n = A A0

( 2 n A ) 2 n = A,

Matematicke formule

7

y = ax,a > 1

y = ax,a < 1

Matematicke formule

8

2. Iracionalne nejednacine

A( X ) B ( X ) I A(X) 0 B ( X ) 0 A( X ) B 2 ( X ) II A(X) 0 B ( X ) 0 nema kvadriranja Resenje je unija resenja I i II

A( X ) B ( X ) A(X) 0 B ( X ) 0 A( X ) B 2 ( X )

3. Kvadratna funkcija

y = ax 2 + bx + c Funkcija ima ekstremnu vrednost b 4ac - b 2 u tacki T - , 2a 4a za a > 0, funkcija ima minimum za a < 0, funkcija ima maksimum

3.1. Kvadratna jednacina

ax 2 + bx + c = 0 -b ± D 2a D = b 2 - 4ac (diskriminanta) D > 0, x1 , x2 x1/ 2 = D = 0, x1 , x2 , x1 = x2 D < 0, x1 , x2 , x1 = x2

Matematicke formule

9

3.2. Vijetova pravila

ax 2 + bx + c = 0 x1 + x2 = - x1 x2 = c a b a

b 2 - 4ac x1 - x2 = a

3.3. Znak resenja

ax 2 + bx + c = 0 b c S = x1 + x2 = - , P = x1 x2 = a a 1o resenja istog znaka D >0 P >0 2o resenja suprotnog znaka D >0 P <0 a) oba pozitivna D >0 P <0S >0 b) oba negativna D >0 P <0S <0

Matematicke formule

10

3.4. Znak kvadratnog trinoma f(x)=Ax2+Bx+C

1. kvadratni trinom uvek pozitivan A > 0 D < 0

2. pozitivan, sem jedne vrednosti A > 0 D 0

Matematicke formule

11

3. kvadratni trinom uvek negativan A < 0 D < 0

4. negativan, sem jedne vrednosti A < 0 D 0

Matematicke formule

12

4. Logaritmi

log b a = x b x = a uslovi: a > 0 b > 0 b 1

def

log b2 n a = log b a 2 n

1 log|b| a 2n = 2n log b | a |

y = log a x, a > 1

log a 1 = 0 log a a = 1 log b a n = n log b a 1 log b a m log a AB = log a A + log a B log bm a = log a A = log a A - log a B B

a log a b = b log a b = log a b = 1 log b a log c b (za digitron) log c a

log10 a = lg a = log a log e a = ln a

y = log a x, a < 1

Matematicke formule

13

5. Trigonometrija

sin =

a c b cos = c 1 cos

a b b cot = a tan = csc = 1 sin

sec =

Sohcahtoa je ime jednog Indijanca. Zapamtite ga, zato sto ono na engleskom znaci: Sinus (sine) opposite hypotenuse, cosinus (cosine) adjacent hypotenuse, tangens (tangent) opposite adjacent ! Hyponenuse znaci hipotenuza, opposite znaci naspramna stranica, a adjacent znaci nalegla stranica.

sin 2 + cos 2 = 1 t an cot = 1

sin tan = cos cos cot = sin

tan 2 sin = 1 + tan 2 1 cos 2 = 1 + tan 2

2

U narednoj tabeli dat je znak trigonometrijskih funkcija po kvadrantima :

sin cos tan cot I + + + + II + III + + IV + -

Zapamtite frazu : All students take classes! Dakle, u prvom kvadrantu su svi pozitivni, u drugom sinus, u treem tangens, a u cetvrtom kosinus. Zar nije lako?

Matematicke formule

14

5.1. Trigonometrijske funkcije

y=sin x

1

0.5

-6

-4

-2

2

4

6

-0.5

-1

1o oblast definisanosti D: x

D : y [ -1,1]

4o monotonost funkcije y y

2o znak funkcije

y > 0 za x ( 0 + T , + T ) y < 0 za x ( + T , 2 + T )

za x - + T , + T 2 2 3 za x + T , + T 2 2

2 + 2 k + 2 k

5o ekstremne vrednosti ymax = 1 za x = ymin = -1 za x = -

3 nule funkcije y = 0 za x = k

o

2

6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodicnost funkcije T = 2 k

Matematicke formule

15

y=cos x

1

0.5

-6

-4

-2

2

4

6

-0.5

-1

1o oblast definisanosti D: x D : y [ -1,1] 2o znak funkcije

4o monotonost funkcije y y za x [ + T , 2 + T ] za x [ 0 + T , + T ]

y > 0 za x - + T , + T 2 2 3 y < 0 za x + T , + T 2 2

3o nule funkcije y = 0 za x =

5o ekstremne vrednosti ymax = 1 za x = 2k ymin = -1 za x = + 2k 6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodicnost funkcije T = 2 k

2

+ k

Matematicke formule

16

y=tan x

30

20

10

-6

-4

-2 -10

2

4

6

-20

-30

1o oblast definisanosti D: x D: y 2o znak funkcije

4o monotonost funkcije y za x 5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije vertikalna asimptota x = 7o periodicnost funkcije T = k

y > 0 za x 0 + T , + T 2

y < 0 za x - + T ,0 + T 2 3o nule funkcije y = 0 za x = 0 + T

2

+ k

Matematicke formule

17

y=cot x

30

20

10

-6

-4

-2 -10

2

4

6

-20

-30

1o oblast definisanosti D: x D: y 2o znak funkcije

4o monotonost funkcije y za x 5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije vertikalna asimptota x = + k 7o periodicnost funkcije T = k

y > 0 za x 0 + T , + T 2

y < 0 za x + T , + T 2 3 nule funkcije y = 0 za x =

o

2

+T

Matematicke formule

18

5.2. Inverzne trigonometrijske funkcije1

y=arcsin x

1o oblast definisanosti D : x [ -1,1] D : y - , 2 2 2o znak funkcije y > 0 za x > 0 y < 0 za x < 0 3o nule funkcije y = 0 za x = 0

1

4o monotonost funkcije y za x 5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodicnost funkcije Funkcija nije periodicna.

Napomena: Kodomeni inverznih trigonometrijskih funkcija su definicijom odreeni, da bi ove funkcije bile jednoznacne, zato sto su trigonometrijske funcije periodicne. Ukoliko bi kodomen inverznih trigonometrijskih funkcija bio ceo skup realnih brojeva, tada bi inverzne trigonometrijske funkcije bile viseznacne.

Matematicke formule

19

y=arccos x

1o oblast definisanosti D : x [ -1,1] D : y [ 0, ] 2o znak funkcije y > 0 za x D 3o nule funkcije y = 0 za x = 1

4o monotonost funkcije y za x 5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodicnost funkcije Funkcija nije periodicna.

Matematicke formule

20

y=arctan x

1o oblast definisanosti D: x D : y - , 2 2 2o znak funkcije y > 0 za x > 0 y < 0 za x < 0 3o nule funkcije y = 0 za x = 0

4o monotonost funkcije y za x 5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije horizontalne: y - , x + 2 , x + 2 7o periodicnost funkcije Funkcija nije periodicna. y

Matematicke formule

21

y=arccot x

1o oblast definisanosti D: x D : y ( 0, ) 2o znak funkcije y > 0 za x 3o nule funkcije y = 0 za x =

4o monotonost funkcije y za x 5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije horizontalne: y , x + y 0, x + 7o periodicnost funkcije Funkcija nije periodicna.

2

Matematicke formule

22

5.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za vaznije uglove

stepeni radijani 0

0 0

1

30

45

60

90

180

sin

cos

tan

cot

0

6 1 2 3 2 3 3

4 2 2 2 2

1

3 3 2 1 2

2

1

0

-1

3 2

270

360

2 0

1

-1

0

0

3

0

0

0

0

3

1

3 3

5.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacije

sin(- ) = - sin cos( - ) = + sin tan(- ) = - tan cot(- ) = - cot

sin( + 2k ) = sin T = 2 k cos( + 2k ) = cos tan( + k ) = tan T = k cot( + k ) = cot

Matematicke formule

23

5.5. Svoenje na ostar ugao

sin - = + sin 2 cos - = + cos 2 I tan - = + tan 2 cot - = + cot 2

sin + = + sin 2 cos + = - cos 2 II tan + = - tan 2 cot + = - cot 2

sin( - ) = + sin cos( - ) = - cos II tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot

3 sin - = - sin 2 3 cos - = - cos 2 III tan 3 - = + tan 2 cot 3 - = + cot 2

sin( + ) = - sin cos( + ) = - cos III tan( + ) = + tan cot( + ) = + cot

3 sin + = - sin 2 3 cos + = + cos 2 IV tan 3 + = - tan 2 cot 3 + = - cot 2

sin(2 - ) = - sin cos(2 - ) = + cos IV tan(2 - ) = - tan cot(2 - ) = - cot

I

sin(2 + ) = + sin cos(2 + ) = + cos tan(2 + ) = + tan cot(2 + ) = + cot

Matematicke formule

24

5.6. Adicione formule

sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin tan ± tan 1 tan tan cot cot 1 cot( ± ) = cot ± cot tan( ± ) = sin( + ) sin( - ) = sin 2 - sin 2 cos( + ) cos( - ) = cos 2 - sin 2 tan( + ) - tan - tan = tan tan tan( + )

sin( + ) = tan + tan cos cos cos( + ) = cot cot - 1 sin sin cos + sin = tan + cos - sin 4

5.7. Dvostruki ugao

sin 2 = 2sin cos cos 2 = cos 2 - sin 2 2 tan tan 2 = 1 - tan 2 cot cot 2 = 1 - tan 2 1 + cos 2 cos 2 = 2

2 tan 1 + tan 2 1 - tan 2 cos 2 = 1 + tan 2 1 - tan 2 cot 2 = 2 tan 1 - cos 2 sin 2 = 2 sin 2 =

Matematicke formule

25

5.8. Trostruki ugao

sin 3 = 3sin - 4sin 3 cos3 = 4cos3 - 3cos 3tan - tan 3 tan 3 = 1 - 3tan 2 cot 3 - 3cot cot 3 = 3cot 2 - 1

1 sin(60 - )sin sin(60 + ) = sin 3 4 1 cos(60 - ) cos cos(60 + ) = cos3 4 tan(60 - ) tan tan(60 + ) = tan 3 2cot 2 = cot - tan

5.9. Polovina ugla

sin 2

1 - cos 2 2 1 + cos cos 2 = 2 2 1 - cos tan 2 = 2 1 + cos 1 + cos cot 2 = 2 1 - cos =

Primer:

sin18 =

Dokaz:

5 -1 4

sin 36 = cos54 2sin18 cos18 = cos(3 18 ) 2sin18 cos18 = 4cos3 18 - cos18 / : cos18 4sin 2 18 + 2sin18 - 1 = 0 Resenje kvadratne jednacine je:

sin18 = 5 -1 4

Matematicke formule

26

5.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

sin ± sin = 2sin

±

2

2 sin ± cos = sin ± sin - 2 + - cos + cos = 2cos cos 2 2 + - cos - cos = -2sin sin 2 2 sin( ± ) tan ± tan = cos cos

cos

5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku

1 sin cos = sin ( - ) + sin ( + ) 2 1 cos cos = cos ( - ) + cos ( + ) 2 1 sin sin = cos ( - ) - cos ( + ) 2

Matematicke formule

27

5.12. Vaznije trigonometrijske sume

n +1 n x sin x n 2 2 cos kx = x k =1 sin 2 n +1 n sin x sin x n 2 2 sin kx = x k =1 sin 2 n sin 2 nx sin(2k - 1) x = sin x k =1 n 1 tan( n + 1) x - tan x = 2sin x k =1 cos x + cos(2 k + 1) x n tan nx tan(k - 1) x tan kx = -n tan x k =2 n sin1 = tan n cos( k - 1) x cos k k =1 cos

Matematicke formule

28

5.13. Trigonometrijske jednacine

Jednacina

sin x = 0 sin x = 1

Resenje

x = k

x=

sin x = -1 sin x = a cos x = 0

+ 2 k 2 3 x= + 2 k 2 a (-1,1)

cos x = 1 cos x = -1

+ k 2 x = 2 k x = + 2 k x= A sin x + B cos x = C .

Cesta smena kod trigonometrijskih jednacina je:

Kod trigonometrijskih jednacina takoe se veoma cesto koriste sledee transformacije:

sin x =

2 tan

x 1 + tan 2 2

x 2

i

x 2 cos x = x 1 + tan 2 2 1 - tan 2

U tekstu koji sledi bie objasnjeno jos par tipova trigonometrijskih jednacina:

1. A sin x + B cos x = C / : A2 + B 2 cos x =

A A2 + B 2

, sin x =

B A2 + B 2

Matematicke formule

29

2. A sin 2 x + B cos 2 x + C sin x cos x = D / : cos 2 x (homogena) 1 =tan 2 x + 1 cos 2 x A tan 2 x + B + C cot x = D (tan 2 x + 1)

3. A sin x + B cos x = C

sin x = 2 tan x 2

x 2 x 1 - tan 2 2 cos x = x 1 + tan 2 2 1 + tan 2

5.14. Osnovne transformacije inverznih trigonometrijskih funkcija

arccos x + arcsin x = 2 arctan x + arccot x = 2 arcsin(- x) = - arcsin x arctan(- x) = - arctan x arccos(- x) = - arccos x arccot(- x) = - arccot x

arcsin(sin x) = x arccos(cos x) = x arctan(tan x) = x arccot(cot x) = x uslov: x 0, 2

Matematicke formule

30

5.15. Sinusna teorema

C

b

a c

A

B

a = 2R sin b = 2R sin c = 2R sin bc sin ac sin ab sin = = P = 2 2 2

5.16. Kosinusna teorema

C

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos

b

a c

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos

A

B

Matematicke formule

31

6. Planimetrija

6.1. Krug

P = R 2

R

O

O = 2 R

6.2. Kruzni isecak

O

R

R

360 R O=l = 180

P=

R 2

l

6.3. Kvadrat

P = a2 O = 4a d =a 2

d

d 2 a Ru = 2 Ro =

a

Matematicke formule

32

6.4. Pravougaonik

D

d

C b B

P = ab O = 2a + 2b d Ro = 2

A

a

6.5. Trougao

C

Tb

Ta a

A

c

B

a (srednja linija) 2 b mb = 2 c mc = 2 abc Ro = 4P P Ru = s ma =

a ha b hb c hc = = 2 2 2 P = s ( s - a) ( s - b) ( s - c) (Heronov obrazac) P= a+b+c (poluobim) 2 O = a + b + c = 2s s=

Matematicke formule

33

6.6. Jednakostranicni trougao

h = a sin 60 =

a 3 2

h O Ru 60 a

Ro

a h a2 3 P= = 2 4 O = 3a a 3 3 a 3 Ru = 6 Ro =

6.7. Pravougli trougao

C

hc

Ro

c 2 a+b-c Ru = 2 ab chc P= = 2 2 Ro = hc 2 = p q (geom. sredina) P = ( s - a ) ( s - b)

A

p

q

B

Matematicke formule

34

6.8. Paralelogram

d1 ha d2 a

specijalni slucaj: romb

P = aha = bhb

b

hb

O = 2a + 2b

2 2 d1 + d 2 = 2( a 2 + b 2 )

P = ah = O = 4a

d1d 2 2

Ako su poznate jedna stranica i obe dijagonale, povrsinu paralelograma mogue je izracunati na sledei nacin:

AA ' ha 2a ha = = ah = P ABCD 2 2 P AA ' C moze se izracunati preko Heronovog obrasca, ako je dato: P AA ' C = AA ' = 2 AC = d1 CA ' = d 2

Matematicke formule

35

6.9. Trapez

D d A h

b

C c a

a+b h 2 O = a+b+c+d P=

B

Ako su date stranice a, b, c i d, povrsina trapeza se izracunava na sledei nacin:

D d A a A'

b d

C h a-b

D b C

c

B

a -b h 2 P A ' BC moze se izracunati preko Heronovog obrasca a+b PABCD = h 2 a+b PABCD = P A ' BC a -b P A ' BC =

Ako su date stranice a i b i dijagonale d1 i d2, povrsina trapeza se izracunava na sledei nacin:

d2 d h d2 d M b A A' a

P

BMD

=

c d1 B

a+b h = PABCD 2

Matematicke formule

36

6.10. Jednakokraki trapez

D c h a

b d

C c

a+b (srednja linija) 2 P = mh O = a + b + 2c m=

A

a -b 2

a+b 2

B

Ako je krug upisan u jednakokraki trapez, tada je:

c=m= h = ab Ru =

a+b 2

h ab = 2 2

Matematicke formule

37

6.11. Tangente i tetive

T X A

B O

XT 2 = XA XB

Ugao izmeu tangente i tetive jednak je periferijskom uglu nad tetivom:

C

AOB = 2 ACB = 2 DAB = ACB =

2

D

Matematicke formule

38

6.12. Osobine upisanog kruga u trougao

C

P O

R

N

AM = AP = s - a BM = BN = s - b CP = CN = s - c

B

M A

Matematicke formule

39

6.13. Tetivni cetvorougao

C D

+ = + = 180

A

B

6.14. Tangentni cetvorougao

b d c

a+b = c+d

a

Matematicke formule

40

7. Stereometrija

7.1. Kosa cetvorostrana prizma

D1

C1

A1

B1

D

C

E A B

AA1,BB1,CC1 i DD1 su bocne ivice kose prizme. AA1 zaklapa sa AB i AD isti ugao. Prema tome, E (podnozje visine EA1) je na simetrali ugla.

Matematicke formule

41

7.2. Kosa cetvorostrana prizma sa rombom u osnovi

D1 M1 A1

C1

B1

D

M

C

E1 A E

B

Visina H=AE pripada ACC1A1. ACC1A1 je normalan na bazu. Dijagonale baze su meusobno normalne (AC BD i A1C1 B1D1). Prema tome, dijagonala BD je normalna na ACC1A1. Iz toga dalje sledi da je dijagonala BD MM1, pa je BDD1B1 pravougaonik.

Matematicke formule

42

7.3. Trostrana kosa prizma

C1

M1 A1

B1

C

M H A B

BC AM , pa je prema tome i BC AMM1A1. ABB1A1 i ACC1A1 su paralelogrami. BCC1B1 je pravougaonik.

Matematicke formule

43

7.4. Trostrana piramida sa svim bocnim jednakim ivicama

V

C H A

Podnozje visine H je u centru opisanog kruga.

B

Matematicke formule

44

7.5. Trostrana piramida kod koje bocne strane zaklapaju sa osnovom isti ugao

V

C H A

Podnozje visine H je u centru upisanog kruga.

D B

Matematicke formule

45

7.6. Trostrana piramida cije su sve bocne ivice normalne

C

V A

Bocne ivice su AV = BV = CV = s . Ivice osnove su a = s 2 .

B

s 3 2=s Zapremina se izracunava po obrascu : V = 3 6 s

Matematicke formule

46

7.7. Cetvorostrana piramida kod koje je jedna bocna ivica (DV) normalna na ravan osnove

V

D

C

A

B

DV ABCD VA AB DA AB VAB je pravougli trougao. DV ABCD VC BC DC BC VCD je pravougli trougao.

Matematicke formule

47

7.8. Kupa

s

s

H

s

s

R

R

V=

BH 3 P= B+M

B = R 2 M = R s

Omotac kupe

s s

= 2 R 180° s = R 360° s OB = 180°

s

Ob

Matematicke formule

48

7.9. Zarubljena kupa

R*

s*

s*

s*

H*

s*

R

R

M = s (R + R ) P = B+B +M

* * * * *

*

*

*

B* = k 2 B H * = kH s* = ks R* = kR

M * = k 2M P* = k 2 P V * = k 3V

H 2 ( R + RR 2 + R*2 ) V = 3

M * = (1 - k 2 ) M P* = B + k 2 B + (1 - k 2 ) M

V * = (1 - k 3 )V s* = (1 - k ) s H * = (1 - k ) H

Matematicke formule

49

7.10. Lopta (sfera)

r

P = 4 R 2

R h

V=

4 3 R 3

Kalota

P = 2 R h Vo =

(omotac odsecka)

(3R - h) 3 odsecak Po = r 2 + 2 R h

h2

7.11. Loptin isecak

h

2 V = R 2 h 3 P = M1 + M 2 , gde su: M1 omotac kupe M 2 omotac kalote

Matematicke formule

50

7.12. Loptin pojas

h

P = 2 R h

Matematicke formule

51

8. Determinante

8.1. Sarusovo pravilo

Pored determinante 3x3, sa desne strane treba prepisati prve dve kolone. Vrednost determinante se racuna na sledei nacin :

a a1 a2

b b1 b2

c a c1 a1 c2 a2

b b1 = (ab1c2 + bc1a2 + ca1b2 - ba1c2 - ac1b2 - cb1a2 ) b2

Treba voditi racuna da je proizvod dijagonala koje idu s leva na desno pozitivan, a proizvod dijagonala koje idu s desna na levo negativan. Vrednost determinante dobijamo sabiranjem ovih proizvoda dijagonala.

8.2. Razbijanje na kofaktore

a+ a1- a2+

b- b1+ b2-

c+ c1- = + c c2+

a1 a2

b1 a - c1 b2 a2

b a b + c2 b2 a1 b1

Znak mesta se odreuje na sledei nacin: (-1)vrsta + kolona

Matematicke formule

52

8.3. Osobine determinanti

1. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) podeli nekim brojem, pa se cela determinanta pomnozi istim brojem.

ka kb kc a b c ... ... ... = k ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) pomnozi nekim brojem i doda drugoj koloni (vrsti).

3. Ako je zbir po kolonama isti, onda se druga i trea vrsta prepisu i dodaju prvoj vrsti.

a c b b a a= c b c

a+b+c a+b+c a+b+c b c 1 a b a c

1 1 1 = (a + b + c) b a a = c b c

0 0 = (a + b + c) b a - b a - b = ( a + b + c)(c - b)(a - b) c b-c 0

Matematicke formule

53

9. Vektori

Ca -1 = x -1 x -1 = a -1

{

}

i i j su jedinicni vektori.

y

A '' b j O i A( a, b)

OA = OA ' + A ' A

OA ' = a i OA '' = b j

a A'

OA = OA ' + OA '' OA = ai + b j OA(a, b) a = ai + b j

x

z

Az c A '' O k i j A'

A( a, b , c )

A '''

i , j i k su jedinicni vektori.

OAx = ai

b Ay

a Ax

y

OAy = b j OAz = ck

x

OA = OAx + Ax A + A ' A OA = ai + b j + ck OA(a, b, c)

Desno orijentisani vektori: i k j k i j i j k

Matematicke formule

54

9.1. Kolinearnost Svi vektori istog, odnosno paralelnog pravca, oznaceni su kao kolinearni. 9.2. Linearna zavisnost vektora

a , b, c c = a + b , , x, a1 , a2 ,..., an x = 1 a1 + 2 a1 + ... + n a1 x, a1 , a2 ,..., an su zavisni.

Vektor d je linearno nezavisan akko se ne moze prikazati kao linearna kombinacija vektora a, b i c .

9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomou determinante

1.

a D= 1 b1 a(a1 , a2 ) D = 0 b(b1 , b2 ) D 0

a2 b2 a b a b (zavisni) (nezavisni)

2.

a1 D = b1 a(a1 , a2 , a3 ) c1 b(b1 , b2 , b3 ) D = 0 c(c1 , c2 , c3 ) D0

a2 b2 c2

a3 b3 c3 (zavisni) (nezavisni)

c =a + b c a + b

Matematicke formule

55

9.4. Formiranje vektora

A( a, b, c) AB(a1 - a, b1 - b, c1 - c) B( a1 , b1 , c1 )

Dokaz:

AB = AO + OB

A

AB = OB - OA AB = a1 i + b1 j + c1 k -

B

- (ai + b j + ck )

AB = (a1 - a )i + (b1 - b) j + +(c1 - c) k

k i O j

9.5. Trougao

C

A1, B1,C1 su sredista stranica. T je teziste trougla ABC.

A1

B1

OA + OB 2 a + a1 + a2 b + b1 + b2 c + c1 + c2 T , , 3 3 3 OC1 =

B

A

OT =

C1

OA + OB + OC 3 a (a1 , a2 , a3 )

| a |= a12 + a22 + a32

O

Matematicke formule

56

9.6. Vektor visine trougla

C b h A a D B

h = CA + AD h = AD - b AD = k a0 = k k = Proja b = AD = h= a b

2

a |a|

a b |a|

|a|

2

a

a b

|a|

a-b

9.7. Vektor simetrale ugla izmeu dva vektora

s=

a b + |a| |b|

Matematicke formule

57

9.8. Skalarni proizvod

a b =| a | | b | cos (skalarni proizvod dva vektora je skalar )

b

= ( a, b)

b

O a

O a

( a, b)

Pravilno!

Nepravilno!

i i k

j k

1 0 0 0 0 1

a (a1 , a2 , a3 ) b(b1 , b2 , b3 ) = = (a1 i + a2 j + a3 k ) (b1 i + b2 j + b3 k ) = = a1b1 + a2b2 + a3b3

j 0 1 0

cos =

a b | a ||b |

a =| a | a0 , gde je a0 jedinicni vektor. x =| b | cos x= | a | | b | cos |a|

b O x a

a b x = Proja b = |a|

Matematicke formule

58

9.9. Vektorski proizvod

a × b = c (vektorski proizvod dva vektora je vektor )

1° Pravac c je normalan na ravan koju odreuju vektori a i b . 2° Vektori a, b i c su desno orijentisani vektori (suprotno smeru kazaljke na satu, odnosno pravilo desnog zavrtnja). 3° Vektorski proizvod c vektora a i b definise se kao povrsina paralelograma koji obrazuju vektori a i b. 4° | a × b |=| a | | b | sin 5° 6° 7° a × b = -b × a a×b = 0 a b a(a1, a2 , a3 ) b(b1, b2 , b3 ) i j a × b = a1 a2 b1 b2

× i k i 0 j j k 0 -i k -j i 0

k a3 b3

primer : (1) Nai vektor x koji je normalan na a, b. x = p a×b (2) a a (a, x) = (a, i ) cos x = 1 , cos y = 2 , |a| |a| a3 cos z = |a|

j -k

Matematicke formule

59

9.10. Mesoviti proizvod

Mesoviti proizvod predstavlja zapreminu paralelepipeda. To je skalar. V = BH V = a×b H H =| c | sin V = a × b | c | sin V = a × b | c | cos , = 90° - , a × b = n V =| n | | c | cos V = n c = (a × b) c = a, b, c

V a , b, c H= = B a×b H = pa×b H = p a×b p= H a×b H a×b a×b

a, b, c = 0 a, b, c su kolinearni a b a×b = 0 aba b=0

a (a1 , a2 , a3 ) b(b1 , b2 , b3 ) c(c1 , c2 , c3 ) a1 a2 a, b, c = b1 b2 c1 c2 a3 b3 c3

H=

H=

a , b, c a×b

2

a×b

(

)

a × (b × c) = (a c) b - (a b) c

Matematicke formule

60

9.11. Trostrana piramida

V= V=

BH 3 a×b H 6

a , b, c V= 6

9.12. Cetvorostrana piramida

V= V=

BH 3 a×b H 3

a , b, c V= 3

Matematicke formule

61

10. Analiticka geometrija u ravni

B S A

A( x0 , y0 ) B( x1 , y1 ) AB = ( x1 - x0 ) 2 + ( y1 - y0 ) 2 x +x y +y S 0 1 , 0 1 srediste duzi AB 2 2

C T

A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) C ( x3 , y3 )

B

x + x + x y + y + y3 S 1 2 3 , 1 2 teziste ABC 3 3

A

1 1 P = | x1 2 y1 1 x2 y2 1 x3 | y3 povrsina trougla

10.1. Podela duzi u odnosu m:n

M A

B

M ( x, y ) AM : MB = m : n ( x - a1 , y - a2 ) : (b1 - x, b2 - y ) = m : n ( x - a1 ) : (b1 - x) = m : n ( y - a2 ) : (b2 - y ) = m : n

Matematicke formule

62

10.2. Jednacina prave

y = kx + n (eksplicitni oblik) k = tan Ax + By + C = 0 (implicitni oblik)

x y + =1 a b

b a

(segmentni oblik)

A( x - xo ) + B ( y - y0 ) = 0 y = k ( x - x0 ) + y0 y= d= s: y1 - y0 ( x - x0 ) + y0 x1 - x0 | Ap + Bq + C | A +B A1 x + B1 y + C1 A12 + B12

2 2

(normalni oblik jednacine prave)

(jednacina prave kroz 1 tacku A( x0 , y0 )) (jednacina prave kroz 2 tacke A( x0 , y0 ) i B ( x1 , y1 ))

(odstojanje tacke ( p, q ) od prave Ax + By + C = 0) =± A2 x + B2 y + C2 A2 + B2

2 2

(simetrala ugla)

s : Ax + By + d= C1 - C2 A +B

2

C1 + C2 =0 2

2

(osa simetrije izmeu paralelnih pravih)

(rastojanje izmeu dve paralelne prave Ax + By + C1 = 0 i Ax + By + C2 = 0)

Matematicke formule

63

10.3. Odnos dve prave

y = k1x + n1 y = k2 x + n2 k1 = k2 (prave su paralelne) k1 k2 = -1 (prave su normalne) tan = k1 - k2 1 + k1 k2 (ugao izmeu dve prave)

10.4. Jednacina kruga

M R O

O( p, q ) je centar kruga. R je poluprecnik. M ( x, y ) je skup tacaka sa osobinom da je rastojanje M od O jednako R. (d ( M , O ) = R ) ( x - p )2 + ( y - q )2 = R 2 (j-na kruga)

Udaljenost tacke ( x0 ,y0 ) od kruga dobija se kada se od udaljenosti tacke od centra oduzme poluprecnik: d = ( x0 - p ) 2 + ( y0 - q) 2

Matematicke formule

64

10.5. Uslov da je prava tangenta kruga

| Ap + Bq + C |

2 2

M(x0,y 0) R

A +B (ako je poznata prava u exp. obliku) R 2 ( R 2 + 1) = (kp - q + n)2 (ako je poznata prava u imp. obliku) ( x - p )( x0 - p ) + ( y - q)( y0 - q ) = R 2 (ako je poznata tacka)

=R

Ax

2

+B

O

10.6. Meusobni polozaj dva kruga

C y+ =0

d > R1 + R2 (ne seku se)

d = R1 + R2 (dodiruju se spolja)

d = R1 - R2 (dodiruju se iznutra)

d < R1 - R2 (ne seku se)

Matematicke formule

65

10.7. Pramen pravih

Ax + By + C + ( A1 x + B1 y + C1 ) = 0

10.8. Pramen krugova

( x - p1 ) 2 + ( y - q1 ) 2 = R12 ( x - p2 ) 2 + ( y - q2 ) 2 = R2 2

( x - p1 ) 2 + ( y - q1 )2 - R12 + ( x - p2 ) 2 + ( y - q2 )2 - R22 = 0

Matematicke formule

66

10.9. Elipsa

x2 a2

+

y2 b2

=1

b F1 a F2

c2 = a 2 - b2 F1 (-c,0) fokusi,zize F2 (c,0) a 2 k + b 2 = n 2 (uslov dodira sa datom tangentom y = kx + n) x x0 a

2

+

y y0 b

2

= 1 (uslov dodira sa datom tackom ( x0 , y0 ))

Matematicke formule

67

10.10. Hiperbola

x2 a2

-

y2 b2

=1

c2 = a 2 + b2 b y = ± x (asimptote) a F1 (-c,0) fokusi,zize F2 (c,0) a 2 k - b 2 = n 2 (uslov dodira sa datom tangentom y = kx + n) x x0 y y0 - 2 = 1 (uslov dodira sa datom tackom a2 b ( x0 , y0 ))

Matematicke formule

68

10.11. Parabola

y 2 = 2 px

p=2kn

(uslov dodira sa datom tangentom y = kx + n) y y0 =p(x+x 0 ) (uslov dodira sa datom tackom ( x0 , y0 ))

Matematicke formule

69

11. Nejednakosti, sume i nizovi

11.1. Nejednakosti

2n > n 2 3n > n3 n ! > 2n n ! > 3n n ! < n n -1 n! < nn-2

i =1 n i =1 n

1 > n , n 1 i 1 1 , n2

n+i > 2

(1 + h) n > 1 + nh , n 2, h > -1 (Bernulijeva nejednakost)

11.2. Sume

i =1 n i =1 n i =1 n

i =

n

n(n + 1) 2

(2i - 1) = n2 i2 =

3

n(n + 1)(2n + 1) 6

2

n(n + 1) i = 2 i =1

2

(1 + x)(1 + x )(1 + x ) ... (1 + x

4

2n -1

1 - x2 )= 1- x

n

, n 1, x 1

Matematicke formule

70

11.3. Osobine sume

ai

i =1 n i =1 n

i =1 n

ai

n

def

= a1 + a2 + ... + an = a1 a2 ... an

n n

def

i =1 n i =1 m

1 = n ai = ai + ai

i =1 i =k j =k k n

n

,k < n

(ai + bi ) = ai + bi (c ai ) = c ai

i =1 i =1 n i =1

aj

(broj clanova sume je m - k + 1)

i =1

11.4. Aritmeticki niz (progresija)

a1 a2 ... an an = a1 + (n - 1)d d - razlika n n Sn = (a1 + an ) = [2a1 + (n - 1)d ] 2 2 an - k + an + k = 2an

cest zadatak Odrediti niz (bilo koji) takav da razlike njegovih uzastopnih clanova obrazuju aritmeticki niz. a2 - a1 = d1 an - a1 = d1 + d 2 + ... + d n -1 a3 - a2 = d 2 n -1 (d1 + d n -1 ) an - a1 = ... 2 an - an -1 = d n -1 a = a + n - 1 (d + d ) 1 1 n n -1 2

Matematicke formule

71

cest zadatak Odrediti zakonitost: {1},{1,2},{3,4,5},{6,7,8,9},{10,11,12,13,14}

S1 S2 S3 S4 S5

S3 = {1 + 2,...} S4 = {1 + 2 + 3,...} S5 = {1 + 2 + 3 + 4,...} prvi clan skupa: n an = (n + 1) 2 n poslednji clan skupa: bn = (n + 1) + n 2

11.5. Geometrijski niz (progresija)

a1 a2 ... an a2 = a1q a3 = a1q 2 an = a1q n -1 1 - qn Sn = a1 1- q an - k an + k = an 2

11.6. Beskonacan geometrijski niz (red)

a1 a1q ... S = lim Sn = a1 1- q n vazan uslov: |q|<1

Matematicke formule

72

12. Polinomi

P( x) = an x n + an -1 x n -1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 Ostatak koji se dobija kada se P( x) podeli sa ( x - a ) je P (a ). Ako je P(a ) = 0, polinomi su deljivi.

12.1. Vijetova pravila za polinome

Ax3 + Bx 2 + Cx + D = 0 B x1 + x2 + x3 = - A C x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = A D x1 x2 x3 = - A Ax 4 + Bx3 + Cx 2 + Dx + E = 0 B x1 + x2 + x3 + x4 = - A x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 = C A D A

x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x2 x3 x4 + x1 x3 x4 = - x1 x2 x3 x4 = E A

12.2. Formiranje jednacina

y - sy + p = 0 s = y1 + y2 p = y1 y2

2

y 3 - sy 2 + py - q = 0 s = y1 + y2 + y3 p = y1 y2 + y2 y3 + y1 y3 q = y1 y2 y3

Matematicke formule

73

13. Uvod u analizu

13.1. Oblasti definisanosti nekih funkcija

f ( x) = A f ( x) = ln A f ( x) = eln A f ( x) = ln A2n = 2n ln | A | 1 f ( x) = log A e f ( x) = 1 log A2 n e = 1 1 log e 2n | A|

,A 0 ,A>0 ,A>0 ,A 0 ,A {0,1} ,A {0,1} ,(nema uslova) , k , ,

f ( x) = ln e A 1 f ( x) = sin 1 f ( x) = cos f ( x) = tan f ( x) = cot

2

+ k

+ k 2 , k

Matematicke formule

74

13.2. Ispitivanje funkcije 1. oblast definisanosti (domen) 2. parnost/neparnost 3. periodicnost 4. nule funkcije (y=0) 5. znak funkcije 6. asimptote (izracunavanje granicnih vrednosti) a) vertikalne (VA) b) horizontalne (HA) c) kose (KA) 7. monotonost i ekstremne vrednosti a) monotonost (trazenje prvog izvoda funkcije) b) ekstremne vrednosti (minimum i maksimum) , y'=0 8. tacke prevoja i konveksnost/konkavnost a) tacke prevoja (trazenje drugog izvoda funkcije) , y''=0 b) konveksnost/konkavnost 9. grafik funkcije 13.3. Granicna vrednost funkcije

y = f ( x) ( > 0)( > 0)(x) ( x - x0 < f ( x) - a < ) a = lim f ( x)

x x0

13.4. Vaznije granicne vrednosti

1. lim

sin x =1 x 0 x Dokaz : x > 0, sin x x tan x

x 1 sin x cos x sin x cos x 1 x 1 1 1 sin x 1 (po teoremi o 2 policajca) x

tan x =1 x 0 x arcsin x 3. lim =1 x x 0 arctan x 4. lim =1 x x 0 2. lim

Matematicke formule

75

5. lim

1 - cos x x2

x 0

=

1 2

2 2 2

Dokaz : x x 1 x x 2 sin 2sin sin 1 2 2 2 2 2 = lim lim = lim = 2 2 x 0 x 0 x 0 x 2 x2 x 2 x 2 2

2

sin x x tan x 1 6. lim 1 + = e n n 1 an = 1 + - konvergentan n ln(1 + x) =1 7. lim x x 0 ex -1 =1 8. lim x 0 x ax -1 = ln a 9. lim x 0 x

n n

(1 + x) k - 1 10. lim =k x x 0 sin x 11. lim =1 x x

13.5. Neodreeni matematicki izrazi

1. - 2. 3. 0 4. 0 5.

0

7. + 8. 9. + n 10. n 11. n 12.

, a >1 a = neodreeni izraz , a =1 0 , 0 < a <1

6. 1

Matematicke formule

76

13.6. Asimptote funkcije

1. vertikalna asimptota (VA) x=a

x a

lim f ( x) =

2. kosa asimptota (KA) y = kx + n k = lim f ( x) x x n = lim [ f ( x) - kx ]

x

3. horizontalna asimptota (HA) y=n y = lim f ( x)

x +

y = lim f ( x)

x -

Matematicke formule

77

14. Izvodi

def f ( x0 + x) - f ( x0 ) f f '( x0 ) = ( x0 ) = lim x x x 0

14.1. Pravila izvoda

[c f ( x)]' = c f '( x) f '( x) f ( x) = c c [ f ( x) ± g ( x)]' = f '( x) ± g '( x) [ f ( x) g ( x)]' = f '( x) g ( x) + f ( x) g '( x) f ( x) f '( x) g ( x) - f ( x) g '( x) g ( x) = g 2 ( x)

14.2. Tablica izvoda

' '

x' =1 c' = 0 x = n x n -1 1 1 =- 2 x x ' x = 1 2 x

(e x ) ' = e x (a x ) ' = e x ln a (ln x) ' = 1 x

'

n '

'

(sin x) ' = cos x (cos x) ' = - sin x 1 (tan x) ' = cos 2 x 1 (cot x) ' = - 2 sin x

1 - x2 1 (arccos x) ' = - 1 - x2 1 (arctan x) ' = 1 + x2 1 (arc cot x) ' = - 1 + x2

(arcsin x) ' =

1

ln x 1 = log a x = ln a x ln a

Matematicke formule

78

14.3. Izvod viseg reda

y '' = ( y ') ' , y ''' = ( y '') ' , y ( n) = y ( n -1)

(

)

'

14.4. Izvod slozene funkcije

h( x) = f ( g ( x)) h '( x) = f '( g ( x)) g '( x)

[n n ]' = n n n -1 n ' [en ]' = en n ' 1- n 1 n' [arccos n]' = - 2 1- n 1 n' [arctan n]' = 2 1+ n 1 n' [arccot n]' = - 1 + n2 [arcsin n]' = 1

2

[n n ]' = n n n -1 n ' [sin n]' = cos n n ' [cos n]' = - sin n n ' 1 [tan n]' = n' cos 2 n 1 [cot n]' = - 2 n ' sin n 1 [ln n]' = n ' n

n'

14.5. Izvod inverzne funkcije

y = f ( x ) x = f -1 ( y ) y ' x =

1 , gde indeks oznacava zavisnu promenljivu x 'y

14.6. Tangenta funkcije u tacki (x0,f(x0))

y = f ( x) y = k ( x - x0 ) + y0 k = f '( x0 ) 1 k =- f '( x0 ) (jednacina tangente) (jednacina normale)

Matematicke formule

79

15. Integrali

f ( x)dx = F ( x) + c F '( x) =

def

f ( x)

F '( x) je primitivna funkcija funkcije f ( x ). F ( x) + c je neodreeni integral funkcije f ( x).

15.1. Osobine integrala

f ( x)dx = F ( x) + c k f ( x)dx = k f ( x)dx ( f ( x) ± g ( x))dx = f ( x)dx ± g ( x)dx

15.2. Tablica integrala

dx = x + c

x k +1 x dx = k + 1 + c , k -1

k

sin xdx = - cos x + c cos xdx = sin x + c sin 2 x = - cot x + c cos2 x = tan x + c

dx x2 + a

x

dx

x2 xdx = 2 + c 1 dx x2 = - x + c dx x = ln x + c

dx

dx = ln x + x 2 + a + c

e

x

dx = e + c

x

ax a dx = ln a + c

a 2 + x 2 dx = a arctan a + c , specijalno 1 + x 2 dx = arctan x + c

x dx = arcsin + c , specijalno a a2 - x2 dx

dx

1

x

dx

dx 1- x

2

dx = arcsin x + c

Matematicke formule

80

15.3. Cesto koriseni integrali sa uobicajenim smenama Integral Smena

dx x + a dx = ln x + a + c dx 1 x-a +c dx = ln x2 - a2 2a x + a dx 2 2 2 2 dx = ln x + x ± a + c x ±a dx 1 bx dx = arcsin + c 2 2 2 b a a -b x

x+a =t

1 1 1 = - x 2 - a 2 2a x - a x + a 1

t = x + x2 ± a2

a x= t b 1 =t x a x= b

dx

x ax 2 + bx + c dx 1 bx dx = arctan + c b2 x2 + a 2 ab a

dx

*Napomena: Kada se javi izraz ax 2 + bx + c , treba ga dopuniti do POTPUNOG KVADRATA BINOMA!

15.4. Metod neodreenih koeficijenata

Pn ( x)e

x

cos xdx = Qn ( x)e x cos x + Rn ( x)e x sin x

'

Pn ( x)e x cos xdx = Qn ( x)e x cos x + Rn ( x)e x sin x Qn ( x) i Rn ( x) su nepoznati polinomi stepena n kao Pn ( x ) i traze se grupisanjem i uporeivanjem sa levom stranom.

Matematicke formule

81

15.5. Trigonometrijski integrali

1. tan x = t dx = dt cos 2 x dt dx = 1+ t2 sin x = cos 2 x =

2

2. tan dx

x =t 2

t2 1+ t2 1 1+ t2

= dt x 2cos 2 2dt dx = 1+ t2 2t sin x = 1+ t2

2

cos x =

1- t2 1+ t2

x 1 a 2 - x 2 dx = x a 2 - x 2 + a 2 arcsin + c a 2

2 x 2 2 a x - a dx = x - a - ln x + x 2 - a 2 2 2 2 2 2 2

+c

2 x 2 2 a x + a dx = a + x + ln x + x 2 + a 2 + c 2 2

*Hint: Za izracunavanje parcijalne integracije.

datih

integrala,

koristiti

metod

15.6. Metod parcijalne integracije

I = f ( x) g ( x) dx

u = f ( x)

dv = g ( x)

du = f '( x)dx v = g ( x)dx

I = u v - vdu

Matematicke formule

82

15.7. Integracija racionalnih funkcija

( x - a) (ax2 + bx + c) dx

1. Ako je stepen brojioca vei ili jednak stepenu imenioca ­ PODELITI. 2. Ako je stepen brojioca manji od stepena imenioca ­ RAZLOZITI RACIONALAN IZRAZ NA SLEDEI NACIN:

Pn ( x)

( x - a) (ax 2 + bx + c) + B1x + C1 ax + bx + c

2

Pn ( x)

=

A A1 A2 + + ... + + 2 x - a ( x - a) ( x - a)

2

+

B2 x + C2 (ax + bx + c)

2

+ ... +

(ax 2 + bx + c)

B x + C

15.8. Njutn-Lajbnicova formula

x2

x2 f ( x)dx = F ( x) x = F ( x2 ) - F ( x1 ) 1 x1

Matematicke formule

83

15.9. Neke rekurentne formule za integrale

In =

dx ( x 2 + 1)n

I n = arctan x v = dx

u = ( x 2 + 1) - n In = x ( x + 1)

2

n

+ 2n

x2 + 1 - 1 ( x + 1)

2

n +1

dx

x dx dx In = 2 + 2n 2 - n n 2 n +1 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) In I n +1 x + 2nI n - 2nI n +1 In = 2 x +1 x + (2n - 1) I n 2nI n +1 = 2 n ( x + 1) I n +1 = 1 x + (2n - 1) I n + c 2 2n ( x + 1)n 1 x + (2n - 1) I n 2n ( x 2 + 1) n dx

I n +1 = In =

(x

2

+a

2 n

)

smena: x = at

adt I n = 2n 2 a (t + 1) dt I n = a1- 2 n n t2 +1

(

)

Matematicke formule

84

16. Kombinatorika

Pn = n (n - 1) (n - 2) ... 3 2 1 = n ! (permutacije bez ponavljanja) P n1

k , k2 ,..., kn

=

(k1 + k2 + ... + kn )! (permutacije sa ponavljanjem) k1 ! k2 ! ... kn !

Vnk = n (n - 1) (n - 2) ... (n - k + 1) (varijacije bez ponavljanja) V n = n k (varijacije sa ponavljanjem)

k Cn k

Vnk n n! = = = (kombinacije bez ponavljanja) k ! k !(n - k )! k (kombinacije sa ponavljanjem)

k n + k - 1 Cn = k

16.1. Binomni koeficijenti

0! = 1 n 0 =1 n n k = n-k n n n + 1 k + k + 1 = k + 1 ( a + b) =

n

n

a = b =1 n k =0 k n n n n 2n = + + + ... + 0 1 2 n 2 =

n n

n n-k k k a b k =0

n

n n n 2n -1 = + + + ... 0 2 4 n n n 2n -1 = + + + ... 1 3 5

k =0

k a n-k bk

n

n Tk +1 = a n - k b k k n n n n 2n + + + ... + = 0 1 2 n n

2 2 2 2

Matematicke formule

85

16.2. Izracunavanje zbira kvadrata binomnih koeficijenata

(1 + x) n ( x + 1)n = ( x + 1)2 n n n n n n - 2 n n -1 n n x x + x + x + x 2 + ... + + 0 1 n - 2 n - 1 2 n n n n n -1 n n - 2 n 2 n n x + x + x x + x+ + ... + 0 1 2 n - 2 n - 1 n 2n 2n 2n 2n = + x + x 2 + ... + x 2n 2n 0 1 2 n n n n n n n n = x n + x n + x n + ... + x n = 0 0 1 1 2 2 n n

2 n 2 n 2 n 2 n n = + + + ... + x 0 1 2 n

n 2n k = n k =0 n n n n n n n -1 2n n -1 = + + ... + x x n - 2 n - 1 n - 1 0 1 1 2

n

2

Matematicke formule

86

Beleske:

Matematicke formule

87

Information

Matematicke formule

87 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

65680