#### Read Matematicke formule text version

`Matematicke formuleza ucenike srednje skoleNevena LukiKompjutersko-tehnicka obrada: Konstantin SimiBeograd, 2006.Matematicke formule2Sadrzaj1. Osnovne algebarske formule ................................................................................5 1.1. Apsolutne vrednosti ..........................................................................................5 1.2. Racionalni izrazi .................................................................................................5 1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)&gt;0) ..........................................................................5 1.4. Rastavljanje na cinioce....................................................................................6 1.5. Lagranzeva formula .........................................................................................6 1.6. Osobine korena i stepena ...............................................................................6 2. Iracionalne nejednacine ........................................................................................8 3. Kvadratna funkcija ..................................................................................................8 3.1. Kvadratna jednacina .......................................................................................8 3.2. Vijetova pravila .................................................................................................9 3.3. Znak resenja .......................................................................................................9 3.4. Znak kvadratnog trinoma f(x)=Ax2+Bx+C....................................................10 4. Logaritmi..................................................................................................................12 5. Trigonometrija.........................................................................................................13 5.1. Trigonometrijske funkcije ................................................................................14 5.2. Inverzne trigonometrijske funkcije ................................................................18 5.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za vaznije uglove .................22 5.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacije ..........................................22 5.5. Svoenje na ostar ugao ................................................................................23 5.6. Adicione formule.............................................................................................24 5.7. Dvostruki ugao.................................................................................................24 5.8. Trostruki ugao ...................................................................................................25 5.9. Polovina ugla ...................................................................................................25 5.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod........26 5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku........26 5.12. Vaznije trigonometrijske sume.....................................................................27 5.13. Trigonometrijske jednacine..........................................................................28 5.14. Osnovne transformacije inverznih trigonometrijskih funkcija .................29 5.15. Sinusna teorema ...........................................................................................30 5.16. Kosinusna teorema .......................................................................................30 6. Planimetrija .............................................................................................................31 6.1. Krug ...................................................................................................................31 6.2. Kruzni isecak.....................................................................................................31 6.3. Kvadrat .............................................................................................................31 6.4. Pravougaonik...................................................................................................32 6.5. Trougao.............................................................................................................32 6.6. Jednakostranicni trougao .............................................................................33 6.7. Pravougli trougao ...........................................................................................33 6.8. Paralelogram ...................................................................................................34 6.9. Trapez................................................................................................................35 6.10. Jednakokraki trapez .....................................................................................36 6.11. Tangente i tetive ...........................................................................................37 6.12. Osobine upisanog kruga u trougao...........................................................38 6.13. Tetivni cetvorougao......................................................................................39Matematicke formule36.14. Tangentni cetvorougao...............................................................................39 7. Stereometrija ..........................................................................................................40 7.1. Kosa cetvorostrana prizma............................................................................40 7.2. Kosa cetvorostrana prizma sa rombom u osnovi ......................................41 7.3. Trostrana kosa prizma .....................................................................................42 7.4. Trostrana piramida sa svim bocnim jednakim ivicama ............................43 7.5. Trostrana piramida kod koje bocne strane zaklapaju sa osnovom isti ugao.........................................................................................................................44 7.6. Trostrana piramida cije su sve bocne ivice normalne ..............................45 7.7. Cetvorostrana piramida kod koje je jedna bocna ivica (DV) normalna na ravan osnove ....................................................................................................46 7.8. Kupa ..................................................................................................................47 7.9. Zarubljena kupa ..............................................................................................48 7.10. Lopta (sfera) ..................................................................................................49 7.11. Loptin isecak ..................................................................................................49 7.12. Loptin pojas....................................................................................................50 8. Determinante .........................................................................................................51 8.1. Sarusovo pravilo ..............................................................................................51 8.2. Razbijanje na kofaktore .................................................................................51 8.3. Osobine determinanti ....................................................................................52 9. Vektori......................................................................................................................53 9.1. Kolinearnost......................................................................................................54 9.2. Linearna zavisnost vektora ............................................................................54 9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomou determinante ................54 9.4. Formiranje vektora ..........................................................................................55 9.5. Trougao.............................................................................................................55 9.6. Vektor visine trougla .......................................................................................56 9.7. Vektor simetrale ugla izmeu dva vektora.................................................56 9.8. Skalarni proizvod .............................................................................................57 9.9. Vektorski proizvod ...........................................................................................58 9.10. Mesoviti proizvod ..........................................................................................59 9.11. Trostrana piramida ........................................................................................60 9.12. Cetvorostrana piramida ..............................................................................60 10. Analiticka geometrija u ravni.............................................................................61 10.1. Podela duzi u odnosu m:n ...........................................................................61 10.2. Jednacina prave ..........................................................................................62 10.3. Odnos dve prave..........................................................................................63 10.4. Jednacina kruga...........................................................................................63 10.5. Uslov da je prava tangenta kruga .............................................................64 10.6. Meusobni polozaj dva kruga ....................................................................64 10.7. Pramen pravih ...............................................................................................65 10.8. Pramen krugova............................................................................................65 10.9. Elipsa ...............................................................................................................66 10.10. Hiperbola......................................................................................................67 10.11. Parabola.......................................................................................................68 11. Nejednakosti, sume i nizovi.................................................................................69 11.1. Nejednakosti ..................................................................................................69 11.2. Sume ...............................................................................................................69Matematicke formule411.3. Osobine sume................................................................................................70 11.4. Aritmeticki niz (progresija)............................................................................70 11.5. Geometrijski niz (progresija).........................................................................71 11.6. Beskonacan geometrijski niz (red)..............................................................71 12. Polinomi .................................................................................................................72 12.1. Vijetova pravila za polinome ......................................................................72 12.2. Formiranje jednacina ...................................................................................72 13. Uvod u analizu......................................................................................................73 13.1. Oblasti definisanosti nekih funkcija ............................................................73 13.2. Ispitivanje funkcije .........................................................................................74 13.3. Granicna vrednost funkcije .........................................................................74 13.4. Vaznije granicne vrednosti ..........................................................................74 13.5. Neodreeni matematicki izrazi...................................................................75 13.6. Asimptote funkcije ........................................................................................76 14. Izvodi ......................................................................................................................77 14.1. Pravila izvoda.................................................................................................77 14.2. Tablica izvoda ...............................................................................................77 14.3. Izvod viseg reda ............................................................................................78 14.4. Izvod slozene funkcije...................................................................................78 14.5. Izvod inverzne funkcije .................................................................................78 14.6. Tangenta funkcije u tacki (x0,f(x0)) .............................................................78 15. Integrali..................................................................................................................79 15.1. Osobine integrala .........................................................................................79 15.2. Tablica integrala ...........................................................................................79 15.3. Cesto koriseni integrali sa uobicajenim smenama ...............................80 15.4. Metod neodreenih koeficijenata ............................................................80 15.5. Trigonometrijski integrali ...............................................................................81 15.6. Metod parcijalne integracije ......................................................................81 15.7. Integracija racionalnih funkcija ..................................................................82 15.8. Njutn-Lajbnicova formula ............................................................................82 15.9. Neke rekurentne formule za integrale .......................................................83 16. Kombinatorika ......................................................................................................84 16.1. Binomni koeficijenti .......................................................................................84 16.2. Izracunavanje zbira kvadrata binomnih koeficijenata...........................85Matematicke formule51. Osnovne algebarske formule1.1. Apsolutne vrednosti A, A  0 A =  - A, A  0 A B = A  B A A = B B A 2 = A = A2 A - B  A+ B  A + B A  B  A  B  A  -B A  B  A  B  A  -B A = B  ( A = B  B  0)  ( A = - B  B  0)1.2. Racionalni izrazi y=|x|2B = 0  ( B = 0  I  0) I B B  0  ( &gt; 0)  ( B = 0  I  0) I I1.3. Stepeni izrazi (uslov: A(x)&gt;0)A( x) B ( x ) = 1  ( A( x) = 1)  ( A( x)  0  B ( x) = 0) A( x) B ( x ) = A( x)C ( x )  ( A( x)  0  B ( x)  0  C ( x)  0)   ( A( x) = 1)  ( B ( x) = C ( x)  A( x)  0)Matematicke formule61.4. Rastavljanje na cinioceA2 - B 2 = ( A - B )  ( A + B ) A3 ± B 3 = ( A ± B )  ( A2  AB + B 2 ) A2 + B 2 = ( A - Bi )  ( A + Bi ) ( A ± B) 2 = A2 ± 2 AB + B 2 ( A ± B)3 = A3 ± 3 A2 B + 3 AB 2 ± B 3 ( A ± B)3 = A3 ± 3 AB( A ± B ) ± B 3 A4 + A2 B 2 + B 4 = ( A2 + AB + B 2 )( A2 - AB + B 2 ) A3 + B 3 + C 3 - 3 ABC = ( A + B + C )( A2 + B 2 + C 2 - AB - AC - BC )1.5. Lagranzeva formulaA± B =A + A2 - B ± 2A - A2 - B 21.6. Osobine korena i stepenanx  m y = nm x m y nan / m = m an a n  a m = a n + m , n, m  a n : a m = a n-m ( a n ) m = a n m ,2na0 = 1y= xA2 n = A A0( 2 n A ) 2 n = A,Matematicke formule7y = ax,a &gt; 1y = ax,a &lt; 1Matematicke formule82. Iracionalne nejednacineA( X )  B ( X ) I A(X)  0  B ( X )  0  A( X )  B 2 ( X ) II A(X)  0  B ( X )  0  nema kvadriranja Resenje je unija resenja I i IIA( X )  B ( X ) A(X)  0  B ( X )  0  A( X )  B 2 ( X )3. Kvadratna funkcijay = ax 2 + bx + c Funkcija ima ekstremnu vrednost  b 4ac - b 2  u tacki T  - ,  2a 4a   za a &gt; 0, funkcija ima minimum za a &lt; 0, funkcija ima maksimum3.1. Kvadratna jednacinaax 2 + bx + c = 0 -b ± D 2a D = b 2 - 4ac (diskriminanta) D &gt; 0, x1 , x2  x1/ 2 = D = 0, x1 , x2  , x1 = x2 D &lt; 0, x1 , x2  , x1 = x2Matematicke formule93.2. Vijetova pravilaax 2 + bx + c = 0 x1 + x2 = - x1  x2 = c a b ab 2 - 4ac x1 - x2 = a3.3. Znak resenjaax 2 + bx + c = 0 b c S = x1 + x2 = - , P = x1  x2 = a a 1o resenja istog znaka D &gt;0 P &gt;0 2o resenja suprotnog znaka D &gt;0 P &lt;0 a) oba pozitivna D &gt;0 P &lt;0S &gt;0 b) oba negativna D &gt;0 P &lt;0S &lt;0Matematicke formule103.4. Znak kvadratnog trinoma f(x)=Ax2+Bx+C1. kvadratni trinom uvek pozitivan A &gt; 0  D &lt; 02. pozitivan, sem jedne vrednosti A &gt; 0  D  0Matematicke formule113. kvadratni trinom uvek negativan A &lt; 0  D &lt; 04. negativan, sem jedne vrednosti A &lt; 0  D  0Matematicke formule124. Logaritmilog b a = x  b x = a uslovi: a &gt; 0  b &gt; 0  b  1deflog b2 n a = log b a 2 n1 log|b| a 2n = 2n log b | a |y = log a x, a &gt; 1log a 1 = 0 log a a = 1 log b a n = n log b a 1 log b a m log a AB = log a A + log a B log bm a = log a A = log a A - log a B Ba log a b = b log a b = log a b = 1 log b a log c b (za digitron) log c alog10 a = lg a = log a log e a = ln ay = log a x, a &lt; 1Matematicke formule135. Trigonometrijasin  =a c b cos  = c 1 cos a b b cot  = a tan  = csc  = 1 sin sec  =Sohcahtoa je ime jednog Indijanca. Zapamtite ga, zato sto ono na engleskom znaci: Sinus (sine) opposite hypotenuse, cosinus (cosine) adjacent hypotenuse, tangens (tangent) opposite adjacent ! Hyponenuse znaci hipotenuza, opposite znaci naspramna stranica, a adjacent znaci nalegla stranica.sin 2  + cos 2  = 1 t an   cot  = 1sin  tan  = cos  cos  cot = sin tan 2  sin  = 1 + tan 2  1 cos 2  = 1 + tan 2 2U narednoj tabeli dat je znak trigonometrijskih funkcija po kvadrantima :sin  cos  tan  cot  I + + + + II + III + + IV + -Zapamtite frazu : All students take classes! Dakle, u prvom kvadrantu su svi pozitivni, u drugom sinus, u treem tangens, a u cetvrtom kosinus. Zar nije lako?Matematicke formule145.1. Trigonometrijske funkcijey=sin x10.5-6-4-2246-0.5-11o oblast definisanosti D: xD : y  [ -1,1]4o monotonost funkcije y y2o znak funkcijey &gt; 0 za x  ( 0 + T ,  + T ) y &lt; 0 za x  ( + T , 2 + T )    za x   - + T , + T  2  2  3   za x   + T , + T  2 2   2 + 2 k + 2 k5o ekstremne vrednosti ymax = 1 za x = ymin = -1 za x = -3 nule funkcije y = 0 za x = ko26o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodicnost funkcije T = 2 kMatematicke formule15y=cos x10.5-6-4-2246-0.5-11o oblast definisanosti D: x D : y  [ -1,1] 2o znak funkcije4o monotonost funkcije y y za x  [ + T , 2 + T ] za x  [ 0 + T ,  + T ]    y &gt; 0 za x   - + T , + T  2  2  3   y &lt; 0 za x   + T , + T  2 2 3o nule funkcije y = 0 za x =5o ekstremne vrednosti ymax = 1 za x = 2k ymin = -1 za x =  + 2k 6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodicnost funkcije T = 2 k2+ kMatematicke formule16y=tan x302010-6-4-2 -10246-20-301o oblast definisanosti D: x D: y 2o znak funkcije4o monotonost funkcije y za x  5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije vertikalna asimptota x = 7o periodicnost funkcije T = k   y &gt; 0 za x   0 + T , + T  2     y &lt; 0 za x   - + T ,0 + T   2  3o nule funkcije y = 0 za x = 0 + T2+ kMatematicke formule17y=cot x302010-6-4-2 -10246-20-301o oblast definisanosti D: x D: y 2o znak funkcije4o monotonost funkcije y za x  5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije vertikalna asimptota x =  + k 7o periodicnost funkcije T = k   y &gt; 0 za x   0 + T , + T  2    y &lt; 0 za x   + T ,  + T  2  3 nule funkcije y = 0 za x =o2+TMatematicke formule185.2. Inverzne trigonometrijske funkcije1y=arcsin x1o oblast definisanosti D : x  [ -1,1]    D : y  - ,   2 2 2o znak funkcije y &gt; 0 za x &gt; 0 y &lt; 0 za x &lt; 0 3o nule funkcije y = 0 za x = 014o monotonost funkcije y za x  5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodicnost funkcije Funkcija nije periodicna.Napomena: Kodomeni inverznih trigonometrijskih funkcija su definicijom odreeni, da bi ove funkcije bile jednoznacne, zato sto su trigonometrijske funcije periodicne. Ukoliko bi kodomen inverznih trigonometrijskih funkcija bio ceo skup realnih brojeva, tada bi inverzne trigonometrijske funkcije bile viseznacne.Matematicke formule19y=arccos x1o oblast definisanosti D : x  [ -1,1] D : y  [ 0,  ] 2o znak funkcije y &gt; 0 za x  D 3o nule funkcije y = 0 za x = 14o monotonost funkcije y za x  5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije Funkcija nema asimptota. 7o periodicnost funkcije Funkcija nije periodicna.Matematicke formule20y=arctan x1o oblast definisanosti D: x    D : y  - ,   2 2 2o znak funkcije y &gt; 0 za x &gt; 0 y &lt; 0 za x &lt; 0 3o nule funkcije y = 0 za x = 04o monotonost funkcije y za x  5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije horizontalne: y  - , x  + 2 , x  + 2 7o periodicnost funkcije Funkcija nije periodicna. yMatematicke formule21y=arccot x1o oblast definisanosti D: x D : y  ( 0,  ) 2o znak funkcije y &gt; 0 za x  3o nule funkcije y = 0 za x =4o monotonost funkcije y za x  5o ekstremne vrednosti Funkcija nema ekstremuma. 6o asimptote funkcije horizontalne: y   , x  + y  0, x  + 7o periodicnost funkcije Funkcija nije periodicna.2Matematicke formule225.3. Tabela vrednosti trigonometrijskih funkcija za vaznije uglovestepeni radijani 00 0130456090180sin cos tan cot 06 1 2 3 2 3 34 2 2 2 213 3 2 1 2210-13 22703602 01-10030000313 35.4. Neke osnovne trigonometrijske transformacijesin(- ) = - sin  cos( - ) = + sin  tan(- ) = - tan  cot(- ) = - cot sin( + 2k ) = sin    T = 2 k cos( + 2k ) = cos   tan( + k ) = tan    T = k cot( + k ) = cot  Matematicke formule235.5. Svoenje na ostar ugao   sin  -   = + sin   2      cos  -   = + cos   2   I   tan   -   = + tan    2    cot   -   = + cot    2      sin  +   = + sin   2      cos  +   = - cos   2   II   tan   +   = - tan    2    cot   +   = - cot    2   sin( -  ) = + sin  cos( -  ) = - cos   II   tan( -  ) = - tan  cot( -  ) = - cot    3  sin  -   = - sin    2     3  cos  -   = - cos    2   III   tan  3 -   = + tan     2    cot  3 -   = + cot        2sin( +  ) = - sin  cos( +  ) = - cos   III   tan( +  ) = + tan  cot( +  ) = + cot    3  sin  +   = - sin    2     3  cos  +   = + cos    2   IV   tan  3 +   = - tan     2    cot  3 +   = - cot        2sin(2 -  ) = - sin  cos(2 -  ) = + cos   IV   tan(2 -  ) = - tan  cot(2 -  ) = - cot  Isin(2 +  ) = + sin  cos(2 +  ) = + cos     tan(2 +  ) = + tan  cot(2 +  ) = + cot  Matematicke formule245.6. Adicione formulesin( ±  ) = sin  cos  ± cos  sin  cos( ±  ) = cos  cos   sin  sin  tan  ± tan  1  tan  tan  cot  cot   1 cot( ±  ) = cot  ± cot  tan( ±  ) = sin( +  )  sin( -  ) = sin 2  - sin 2  cos( +  )  cos( -  ) = cos 2  - sin 2  tan( +  ) - tan  - tan  = tan  tan  tan( +  )sin( +  ) = tan  + tan  cos  cos  cos( +  ) = cot  cot  - 1 sin  sin  cos  + sin    = tan  +   cos  - sin  4 5.7. Dvostruki ugaosin 2 = 2sin  cos  cos 2 = cos 2  - sin 2  2 tan  tan 2 = 1 - tan 2  cot  cot 2 = 1 - tan 2  1 + cos 2 cos 2  = 22 tan  1 + tan 2  1 - tan 2  cos 2 = 1 + tan 2  1 - tan 2  cot 2 = 2 tan  1 - cos 2 sin 2  = 2 sin 2 =Matematicke formule255.8. Trostruki ugaosin 3 = 3sin  - 4sin 3  cos3 = 4cos3  - 3cos  3tan  - tan 3  tan 3 = 1 - 3tan 2  cot 3  - 3cot  cot 3 = 3cot 2  - 11 sin(60 -  )sin  sin(60 +  ) = sin 3 4 1 cos(60 -  ) cos  cos(60 +  ) = cos3 4 tan(60 -  ) tan  tan(60 +  ) = tan 3 2cot 2 = cot  - tan 5.9. Polovina uglasin 21 - cos  2 2  1 + cos  cos 2 = 2 2  1 - cos  tan 2 = 2 1 + cos   1 + cos  cot 2 = 2 1 - cos  =Primer:sin18 =Dokaz:5 -1 4sin 36 = cos54 2sin18 cos18 = cos(3 18 ) 2sin18 cos18 = 4cos3 18 - cos18 / : cos18 4sin 2 18 + 2sin18 - 1 = 0 Resenje kvadratne jednacine je:sin18 = 5 -1 4Matematicke formule265.10. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvodsin  ± sin  = 2sin ±22   sin  ± cos  = sin  ± sin  -   2   +  - cos  + cos  = 2cos cos 2 2  +  - cos  - cos  = -2sin sin 2 2 sin( ±  ) tan  ± tan  = cos  cos cos5.11. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir i razliku1 sin  cos  = sin ( -  ) + sin ( +  )   2 1 cos  cos  = cos ( -  ) + cos ( +  )   2 1 sin  sin  = cos ( -  ) - cos ( +  )   2Matematicke formule275.12. Vaznije trigonometrijske sumen +1 n x  sin x n 2 2  cos kx = x k =1 sin 2 n +1 n sin x  sin x n 2 2  sin kx = x k =1 sin 2 n sin 2 nx  sin(2k - 1) x = sin x k =1 n 1 tan( n + 1) x - tan x =  2sin x k =1 cos x + cos(2 k + 1) x n tan nx tan(k - 1) x  tan kx = -n  tan x k =2 n sin1 = tan n  cos( k - 1) x  cos k k =1 cosMatematicke formule285.13. Trigonometrijske jednacineJednacinasin x = 0 sin x = 1Resenjex = kx=sin x = -1 sin x = a cos x = 0+ 2 k 2 3 x= + 2 k 2 a  (-1,1)cos x = 1 cos x = -1+ k 2 x = 2 k x =  + 2 k x= A sin x + B cos x = C .Cesta smena kod trigonometrijskih jednacina je:Kod trigonometrijskih jednacina takoe se veoma cesto koriste sledee transformacije:sin x =2 tanx 1 + tan 2 2x 2ix 2 cos x = x 1 + tan 2 2 1 - tan 2U tekstu koji sledi bie objasnjeno jos par tipova trigonometrijskih jednacina:1. A sin x + B cos x = C / : A2 + B 2 cos x =A A2 + B 2, sin x =B A2 + B 2Matematicke formule292. A sin 2 x + B cos 2 x + C sin x cos x = D / : cos 2 x (homogena) 1 =tan 2 x + 1 cos 2 x A tan 2 x + B + C cot x = D (tan 2 x + 1)3. A sin x + B cos x = Csin x = 2 tan x 2x 2 x 1 - tan 2 2 cos x = x 1 + tan 2 2 1 + tan 25.14. Osnovne transformacije inverznih trigonometrijskih funkcija  arccos x + arcsin x =   2  arctan x + arccot x =    2  arcsin(- x) = - arcsin x  arctan(- x) = - arctan x arccos(- x) =  - arccos x  arccot(- x) =  - arccot x arcsin(sin x) = x arccos(cos x) = x   arctan(tan x) = x arccot(cot x) = x    uslov: x   0,   2Matematicke formule305.15. Sinusna teoremaCba cABa = 2R sin  b = 2R sin  c = 2R sin  bc sin  ac sin  ab sin  = = P = 2 2 25.16. Kosinusna teoremaCa 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos  b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos ba cc 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos ABMatematicke formule316. Planimetrija6.1. KrugP = R 2ROO = 2 R6.2. Kruzni isecakORR360 R O=l = 180P=R 2l6.3. KvadratP = a2 O = 4a d =a 2dd 2 a Ru = 2 Ro =aMatematicke formule326.4. PravougaonikDdC b BP = ab O = 2a + 2b d Ro = 2Aa6.5. TrougaoCTbTa aAcBa (srednja linija) 2 b mb = 2 c mc = 2 abc Ro = 4P P Ru = s ma =a  ha b  hb c  hc = = 2 2 2 P = s  ( s - a)  ( s - b)  ( s - c) (Heronov obrazac) P= a+b+c (poluobim) 2 O = a + b + c = 2s s=Matematicke formule336.6. Jednakostranicni trougaoh = a  sin 60 =a 3 2h O Ru 60 aRoa  h a2 3 P= = 2 4 O = 3a a 3 3 a 3 Ru = 6 Ro =6.7. Pravougli trougaoChcRoc 2 a+b-c Ru = 2 ab chc P= = 2 2 Ro = hc 2 = p  q (geom. sredina) P = ( s - a )  ( s - b)ApqBMatematicke formule346.8. Paralelogramd1 ha d2 aspecijalni slucaj: rombP = aha = bhbbhbO = 2a + 2b2 2 d1 + d 2 = 2( a 2 + b 2 )P = ah = O = 4ad1d 2 2Ako su poznate jedna stranica i obe dijagonale, povrsinu paralelograma mogue je izracunati na sledei nacin:AA ' ha 2a  ha = = ah = P ABCD 2 2 P AA ' C moze se izracunati preko Heronovog obrasca, ako je dato: P AA ' C = AA ' = 2 AC = d1 CA ' = d 2Matematicke formule356.9. TrapezD d A hbC c aa+b h 2 O = a+b+c+d P=BAko su date stranice a, b, c i d, povrsina trapeza se izracunava na sledei nacin:D d A a A'b dC h a-bD b CcBa -b h 2 P A ' BC moze se izracunati preko Heronovog obrasca a+b PABCD = h 2 a+b PABCD =  P A ' BC a -b P A ' BC =Ako su date stranice a i b i dijagonale d1 i d2, povrsina trapeza se izracunava na sledei nacin:d2 d h d2 d M b A A' aPBMD=c d1 Ba+b  h = PABCD 2Matematicke formule366.10. Jednakokraki trapezD c h ab dC ca+b (srednja linija) 2 P = mh O = a + b + 2c m=Aa -b 2a+b 2BAko je krug upisan u jednakokraki trapez, tada je:c=m= h = ab Ru =a+b 2h ab = 2 2Matematicke formule376.11. Tangente i tetiveT X AB OXT 2 = XA  XBUgao izmeu tangente i tetive jednak je periferijskom uglu nad tetivom:C AOB = 2 ACB = 2 DAB = ACB = 2DMatematicke formule386.12. Osobine upisanog kruga u trougaoCP ORNAM = AP = s - a BM = BN = s - b CP = CN = s - cBM AMatematicke formule396.13. Tetivni cetvorougaoC D    +  =  +  = 180A B6.14. Tangentni cetvorougaob d ca+b = c+daMatematicke formule407. Stereometrija7.1. Kosa cetvorostrana prizmaD1C1A1B1DCE A BAA1,BB1,CC1 i DD1 su bocne ivice kose prizme. AA1 zaklapa sa AB i AD isti ugao. Prema tome, E (podnozje visine EA1) je na simetrali ugla.Matematicke formule417.2. Kosa cetvorostrana prizma sa rombom u osnoviD1 M1 A1C1B1DMCE1 A EBVisina H=AE pripada ACC1A1. ACC1A1 je normalan na bazu. Dijagonale baze su meusobno normalne (AC  BD i A1C1  B1D1). Prema tome, dijagonala BD je normalna na ACC1A1. Iz toga dalje sledi da je dijagonala BD  MM1, pa je BDD1B1 pravougaonik.Matematicke formule427.3. Trostrana kosa prizmaC1M1 A1B1CM H A BBC  AM , pa je prema tome i BC  AMM1A1. ABB1A1 i ACC1A1 su paralelogrami. BCC1B1 je pravougaonik.Matematicke formule437.4. Trostrana piramida sa svim bocnim jednakim ivicamaVC H APodnozje visine H je u centru opisanog kruga.BMatematicke formule447.5. Trostrana piramida kod koje bocne strane zaklapaju sa osnovom isti ugaoVC H APodnozje visine H je u centru upisanog kruga.D BMatematicke formule457.6. Trostrana piramida cije su sve bocne ivice normalneCV ABocne ivice su AV = BV = CV = s . Ivice osnove su a = s 2 .Bs 3 2=s Zapremina se izracunava po obrascu : V = 3 6 sMatematicke formule467.7. Cetvorostrana piramida kod koje je jedna bocna ivica (DV) normalna na ravan osnoveVDCABDV  ABCD   VA  AB DA  AB  VAB je pravougli trougao. DV  ABCD   VC  BC DC  BC  VCD je pravougli trougao.Matematicke formule477.8. KupassHssRRV=BH 3 P= B+MB = R 2 M = R sOmotac kupe s s= 2 R 180° s = R  360°  s OB = 180° sObMatematicke formule487.9. Zarubljena kupaR*s*s*s*H*s*RRM = s  (R + R ) P = B+B +M* * * * ****B* = k 2 B H * = kH s* = ks R* = kRM * = k 2M P* = k 2 P V * = k 3VH  2 ( R + RR 2 + R*2 ) V = 3M * = (1 - k 2 ) M P* = B + k 2 B + (1 - k 2 ) MV * = (1 - k 3 )V s* = (1 - k ) s H * = (1 - k ) HMatematicke formule497.10. Lopta (sfera)rP = 4 R 2R hV=4 3 R 3KalotaP = 2 R h Vo =(omotac odsecka) (3R - h)  3  odsecak Po = r 2 + 2 R h   h27.11. Loptin isecakh2 V = R 2 h 3 P = M1 + M 2 , gde su: M1 omotac kupe M 2 omotac kaloteMatematicke formule507.12. Loptin pojashP = 2 R hMatematicke formule518. Determinante8.1. Sarusovo praviloPored determinante 3x3, sa desne strane treba prepisati prve dve kolone. Vrednost determinante se racuna na sledei nacin :a a1 a2b b1 b2c a c1 a1 c2 a2b b1 = (ab1c2 + bc1a2 + ca1b2 - ba1c2 - ac1b2 - cb1a2 ) b2Treba voditi racuna da je proizvod dijagonala koje idu s leva na desno pozitivan, a proizvod dijagonala koje idu s desna na levo negativan. Vrednost determinante dobijamo sabiranjem ovih proizvoda dijagonala.8.2. Razbijanje na kofaktorea+ a1- a2+b- b1+ b2-c+ c1- = + c c2+a1 a2b1 a - c1 b2 a2b a b + c2 b2 a1 b1Znak mesta se odreuje na sledei nacin: (-1)vrsta + kolonaMatematicke formule528.3. Osobine determinanti1. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) podeli nekim brojem, pa se cela determinanta pomnozi istim brojem.ka kb kc a b c ... ... ... = k ... ... ... ... ... ... ... ... ...2. Determinanta ne menja vrednost ako se jedna kolona (vrsta) pomnozi nekim brojem i doda drugoj koloni (vrsti).3. Ako je zbir po kolonama isti, onda se druga i trea vrsta prepisu i dodaju prvoj vrsti.a c b b a a= c b ca+b+c a+b+c a+b+c b c 1 a b a c1 1 1 = (a + b + c) b a a = c b c0 0 = (a + b + c) b a - b a - b = ( a + b + c)(c - b)(a - b) c b-c 0Matematicke formule539. VektoriCa -1 = x -1 x -1 = a -1{}i i j su jedinicni vektori.yA '' b j O i A( a, b)OA = OA ' + A ' AOA ' = a  i OA '' = b  ja A'OA = OA ' + OA '' OA = ai + b j OA(a, b) a = ai + b jxzAz c A '' O k i j A'A( a, b , c )A '''i , j i k su jedinicni vektori.OAx = aib Aya AxyOAy = b j OAz = ckxOA = OAx + Ax A + A ' A OA = ai + b j + ck OA(a, b, c)Desno orijentisani vektori: i k j k i j i j kMatematicke formule549.1. Kolinearnost Svi vektori istog, odnosno paralelnog pravca, oznaceni su kao kolinearni. 9.2. Linearna zavisnost vektoraa , b, c c =  a +  b ,  ,  x, a1 , a2 ,..., an x = 1 a1 +  2 a1 + ... +  n a1 x, a1 , a2 ,..., an su zavisni.Vektor d je linearno nezavisan akko se ne moze prikazati kao linearna kombinacija vektora a, b i c .9.3. Ispitivanje linearne zavisnosti vektora pomou determinante1.a  D= 1  b1  a(a1 , a2 )  D = 0 b(b1 , b2 )  D  0  a2 b2 a b a b (zavisni) (nezavisni)2.a1   D = b1 a(a1 , a2 , a3 )   c1  b(b1 , b2 , b3 )  D = 0 c(c1 , c2 , c3 )  D0   a2 b2 c2a3 b3 c3 (zavisni) (nezavisni)c =a + b c  a + bMatematicke formule559.4. Formiranje vektoraA( a, b, c)    AB(a1 - a, b1 - b, c1 - c) B( a1 , b1 , c1 ) Dokaz:AB = AO + OBAAB = OB - OA AB = a1 i + b1 j + c1 k -B- (ai + b j + ck )AB = (a1 - a )i + (b1 - b) j + +(c1 - c) kk i O j9.5. TrougaoCA1, B1,C1 su sredista stranica. T je teziste trougla ABC.A1B1OA + OB 2  a + a1 + a2 b + b1 + b2 c + c1 + c2  T , ,  3 3 3   OC1 =BAOT =C1OA + OB + OC 3 a (a1 , a2 , a3 )| a |= a12 + a22 + a32OMatematicke formule569.6. Vektor visine trouglaC b h A a D Bh = CA + AD h = AD - b AD = k  a0 = k  k = Proja b = AD = h= a b2a |a|a b |a||a|2aa b|a|a-b9.7. Vektor simetrale ugla izmeu dva vektoras=a b + |a| |b|Matematicke formule579.8. Skalarni proizvoda b =| a |  | b |  cos  (skalarni proizvod dva vektora je skalar )b = ( a, b)b O a O a  ( a, b)Pravilno!Nepravilno!i i kj k1 0 0 0 0 1a (a1 , a2 , a3 ) b(b1 , b2 , b3 ) = = (a1 i + a2 j + a3 k )  (b1 i + b2 j + b3 k ) = = a1b1 + a2b2 + a3b3j 0 1 0cos  =a b | a ||b |a =| a | a0 , gde je a0 jedinicni vektor. x =| b |  cos  x= | a |  | b |  cos  |a|b  O x aa b x = Proja b = |a|Matematicke formule589.9. Vektorski proizvoda × b = c (vektorski proizvod dva vektora je vektor )1° Pravac c je normalan na ravan koju odreuju vektori a i b . 2° Vektori a, b i c su desno orijentisani vektori (suprotno smeru kazaljke na satu, odnosno pravilo desnog zavrtnja). 3° Vektorski proizvod c vektora a i b definise se kao povrsina paralelograma koji obrazuju vektori a i b. 4° | a × b |=| a |  | b |  sin  5° 6° 7° a × b = -b × a a×b = 0  a b a(a1, a2 , a3 ) b(b1, b2 , b3 ) i j a × b = a1 a2 b1 b2× i k i 0 j j k 0 -i k -j i 0k a3 b3primer : (1) Nai vektor x koji je normalan na a, b. x = p a×b (2) a a (a, x) = (a, i )  cos  x = 1 , cos  y = 2 , |a| |a| a3 cos  z = |a|j -kMatematicke formule599.10. Mesoviti proizvodMesoviti proizvod predstavlja zapreminu paralelepipeda. To je skalar. V = BH V = a×b  H H =| c |  sin  V = a × b  | c |  sin  V = a × b  | c |  cos  ,  = 90° -  , a × b = n V =| n |  | c |  cos  V = n c = (a × b) c =  a, b, c   V  a , b, c    H= = B a×b H = pa×b H = p  a×b p= H a×b H a×b a×b a, b, c  = 0  a, b, c su kolinearni   a b  a×b = 0 aba b=0a (a1 , a2 , a3 ) b(b1 , b2 , b3 ) c(c1 , c2 , c3 ) a1 a2  a, b, c  = b1 b2   c1 c2 a3 b3 c3H=H= a , b, c    a×b2 a×b()a × (b × c) = (a c)  b - (a b)  cMatematicke formule609.11. Trostrana piramidaV= V=BH 3 a×b  H 6 a , b, c    V= 69.12. Cetvorostrana piramidaV= V=BH 3 a×b  H 3 a , b, c    V= 3Matematicke formule6110. Analiticka geometrija u ravniB S AA( x0 , y0 ) B( x1 , y1 ) AB = ( x1 - x0 ) 2 + ( y1 - y0 ) 2 x +x y +y  S  0 1 , 0 1  srediste duzi AB 2   2C TA( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) C ( x3 , y3 )B x + x + x y + y + y3  S 1 2 3 , 1 2  teziste ABC 3 3  A1 1 P = | x1 2 y1 1 x2 y2 1 x3 | y3 povrsina trougla10.1. Podela duzi u odnosu m:nM ABM ( x, y ) AM : MB = m : n ( x - a1 , y - a2 ) : (b1 - x, b2 - y ) = m : n ( x - a1 ) : (b1 - x) = m : n ( y - a2 ) : (b2 - y ) = m : nMatematicke formule6210.2. Jednacina pravey = kx + n (eksplicitni oblik) k = tan  Ax + By + C = 0 (implicitni oblik)x y + =1 a bb a(segmentni oblik)A( x - xo ) + B ( y - y0 ) = 0 y = k ( x - x0 ) + y0 y= d= s: y1 - y0 ( x - x0 ) + y0 x1 - x0 | Ap + Bq + C | A +B A1 x + B1 y + C1 A12 + B122 2(normalni oblik jednacine prave)(jednacina prave kroz 1 tacku A( x0 , y0 )) (jednacina prave kroz 2 tacke A( x0 , y0 ) i B ( x1 , y1 ))(odstojanje tacke ( p, q ) od prave Ax + By + C = 0) =± A2 x + B2 y + C2 A2 + B22 2(simetrala ugla)s : Ax + By + d= C1 - C2 A +B2C1 + C2 =0 22(osa simetrije izmeu paralelnih pravih)(rastojanje izmeu dve paralelne prave Ax + By + C1 = 0 i Ax + By + C2 = 0)Matematicke formule6310.3. Odnos dve pravey = k1x + n1 y = k2 x + n2 k1 = k2 (prave su paralelne) k1  k2 = -1 (prave su normalne) tan  = k1 - k2 1 + k1  k2 (ugao izmeu dve prave)10.4. Jednacina krugaM R OO( p, q ) je centar kruga. R je poluprecnik. M ( x, y ) je skup tacaka sa osobinom da je rastojanje M od O jednako R. (d ( M , O ) = R ) ( x - p )2 + ( y - q )2 = R 2 (j-na kruga)Udaljenost tacke ( x0 ,y0 ) od kruga dobija se kada se od udaljenosti tacke od centra oduzme poluprecnik: d = ( x0 - p ) 2 + ( y0 - q) 2Matematicke formule6410.5. Uslov da je prava tangenta kruga| Ap + Bq + C |2 2M(x0,y 0) RA +B (ako je poznata prava u exp. obliku) R 2 ( R 2 + 1) = (kp - q + n)2 (ako je poznata prava u imp. obliku) ( x - p )( x0 - p ) + ( y - q)( y0 - q ) = R 2 (ako je poznata tacka)=RAx2+BO10.6. Meusobni polozaj dva krugaC y+ =0d &gt; R1 + R2 (ne seku se)d = R1 + R2 (dodiruju se spolja)d = R1 - R2 (dodiruju se iznutra)d &lt; R1 - R2 (ne seku se)Matematicke formule6510.7. Pramen pravihAx + By + C +  ( A1 x + B1 y + C1 ) = 010.8. Pramen krugova( x - p1 ) 2 + ( y - q1 ) 2 = R12 ( x - p2 ) 2 + ( y - q2 ) 2 = R2 2( x - p1 ) 2 + ( y - q1 )2 - R12 +  ( x - p2 ) 2 + ( y - q2 )2 - R22  = 0  Matematicke formule6610.9. Elipsax2 a2+y2 b2=1b F1 a F2c2 = a 2 - b2 F1 (-c,0)   fokusi,zize F2 (c,0)  a 2 k + b 2 = n 2 (uslov dodira sa datom tangentom y = kx + n) x  x0 a2+y  y0 b2= 1 (uslov dodira sa datom tackom ( x0 , y0 ))Matematicke formule6710.10. Hiperbolax2 a2-y2 b2=1c2 = a 2 + b2 b y = ± x (asimptote) a F1 (-c,0)   fokusi,zize F2 (c,0)  a 2 k - b 2 = n 2 (uslov dodira sa datom tangentom y = kx + n) x  x0 y  y0 - 2 = 1 (uslov dodira sa datom tackom a2 b ( x0 , y0 ))Matematicke formule6810.11. Parabolay 2 = 2 pxp=2kn(uslov dodira sa datom tangentom y = kx + n) y  y0 =p(x+x 0 ) (uslov dodira sa datom tackom ( x0 , y0 ))Matematicke formule6911. Nejednakosti, sume i nizovi11.1. Nejednakosti2n &gt; n 2 3n &gt; n3 n ! &gt; 2n n ! &gt; 3n n ! &lt; n n -1 n! &lt; nn-2i =1 n i =1 n1 &gt; n , n 1 i 1 1 , n2n+i &gt; 2(1 + h) n &gt; 1 + nh , n  2, h &gt; -1 (Bernulijeva nejednakost)11.2. Sumei =1 n i =1 n i =1 ni =nn(n + 1) 2 (2i - 1) = n2  i2 =3n(n + 1)(2n + 1) 62 n(n + 1)  i =  2    i =12(1 + x)(1 + x )(1 + x )  ...  (1 + x42n -11 - x2 )= 1- xn, n  1, x  1Matematicke formule7011.3. Osobine sume aii =1 n i =1 ni =1 n aindef= a1 + a2 + ... + an = a1  a2 ...  ann ndefi =1 n i =1 m1 = n  ai =  ai +  aii =1 i =k j =k k nn,k &lt; n (ai + bi ) =  ai +  bi  (c  ai ) = c   aii =1 i =1 n i =1 aj(broj clanova sume je m - k + 1)i =111.4. Aritmeticki niz (progresija)a1 a2 ... an an = a1 + (n - 1)d d - razlika n n Sn = (a1 + an ) = [2a1 + (n - 1)d ] 2 2 an - k + an + k = 2ancest zadatak Odrediti niz (bilo koji) takav da razlike njegovih uzastopnih clanova obrazuju aritmeticki niz. a2 - a1 = d1  an - a1 = d1 + d 2 + ... + d n -1 a3 - a2 = d 2  n -1  (d1 + d n -1 )  an - a1 = ... 2   an - an -1 = d n -1  a = a + n - 1 (d + d ) 1 1 n n -1 2Matematicke formule71cest zadatak Odrediti zakonitost: {1},{1,2},{3,4,5},{6,7,8,9},{10,11,12,13,14}S1 S2 S3 S4 S5S3 = {1 + 2,...} S4 = {1 + 2 + 3,...} S5 = {1 + 2 + 3 + 4,...} prvi clan skupa: n an = (n + 1) 2 n poslednji clan skupa: bn = (n + 1) + n 211.5. Geometrijski niz (progresija)a1 a2 ... an a2 = a1q a3 = a1q 2 an = a1q n -1 1 - qn Sn = a1  1- q an - k  an + k = an 211.6. Beskonacan geometrijski niz (red)a1 a1q ... S = lim Sn = a1 1- q n  vazan uslov: |q|&lt;1Matematicke formule7212. PolinomiP( x) = an x n + an -1 x n -1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 Ostatak koji se dobija kada se P( x) podeli sa ( x - a ) je P (a ). Ako je P(a ) = 0, polinomi su deljivi.12.1. Vijetova pravila za polinomeAx3 + Bx 2 + Cx + D = 0 B x1 + x2 + x3 = - A C x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = A D x1  x2  x3 = - A Ax 4 + Bx3 + Cx 2 + Dx + E = 0 B x1 + x2 + x3 + x4 = - A x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 = C A D Ax1  x2  x3 + x1  x2  x4 + x2  x3  x4 + x1  x3  x4 = - x1  x2  x3  x4 = E A12.2. Formiranje jednacinay - sy + p = 0 s = y1 + y2 p = y1  y22y 3 - sy 2 + py - q = 0 s = y1 + y2 + y3 p = y1  y2 + y2  y3 + y1  y3 q = y1  y2  y3Matematicke formule7313. Uvod u analizu13.1. Oblasti definisanosti nekih funkcijaf ( x) = A f ( x) = ln A f ( x) = eln A f ( x) = ln A2n = 2n ln | A | 1 f ( x) = log A e f ( x) = 1 log A2 n e = 1 1 log e 2n | A|,A  0 ,A&gt;0 ,A&gt;0 ,A  0 ,A  {0,1} ,A  {0,1} ,(nema uslova) ,  k ,  , f ( x) = ln e A 1 f ( x) = sin  1 f ( x) = cos  f ( x) = tan  f ( x) = cot  2+ k+ k 2 ,  kMatematicke formule7413.2. Ispitivanje funkcije 1. oblast definisanosti (domen) 2. parnost/neparnost 3. periodicnost 4. nule funkcije (y=0) 5. znak funkcije 6. asimptote (izracunavanje granicnih vrednosti) a) vertikalne (VA) b) horizontalne (HA) c) kose (KA) 7. monotonost i ekstremne vrednosti a) monotonost (trazenje prvog izvoda funkcije) b) ekstremne vrednosti (minimum i maksimum) , y'=0 8. tacke prevoja i konveksnost/konkavnost a) tacke prevoja (trazenje drugog izvoda funkcije) , y''=0 b) konveksnost/konkavnost 9. grafik funkcije 13.3. Granicna vrednost funkcijey = f ( x) ( &gt; 0)( &gt; 0)(x) ( x - x0 &lt;   f ( x) - a &lt;  ) a = lim f ( x)x  x013.4. Vaznije granicne vrednosti1. limsin x =1 x 0 x Dokaz : x &gt; 0, sin x  x  tan xx 1  sin x cos x sin x  cos x 1 x 1 1 1 sin x  1 (po teoremi o 2 policajca) xtan x =1 x 0 x arcsin x 3. lim =1 x x 0 arctan x 4. lim =1 x x 0 2. limMatematicke formule755. lim1 - cos x x2x 0=1 22 2 2Dokaz : x  x 1 x  x 2  sin     2sin  sin  1 2 2 2 2 2 = lim  lim = lim  = 2 2 x 0 x 0 x 0  x  2 x2  x 2 x     2 22sin x  x  tan x  1 6. lim 1 +  = e n n   1 an = 1 +  - konvergentan  n ln(1 + x) =1 7. lim x x 0 ex -1 =1 8. lim x 0 x ax -1 = ln a 9. lim x 0 xn n(1 + x) k - 1 10. lim =k x x 0 sin x 11. lim =1 x  x13.5. Neodreeni matematicki izrazi1.  -   2.  3. 0   4. 0 5. 07.  +    8.      9.  + n   10.   n   11.  n   12.   , a &gt;1   a  = neodreeni izraz , a =1 0 , 0 &lt; a &lt;1 6. 1Matematicke formule7613.6. Asimptote funkcije1. vertikalna asimptota (VA) x=ax alim f ( x) = 2. kosa asimptota (KA) y = kx + n k = lim f ( x) x  x n = lim [ f ( x) - kx ]x 3. horizontalna asimptota (HA) y=n y = lim f ( x)x +y = lim f ( x)x -Matematicke formule7714. Izvodidef f ( x0 + x) - f ( x0 ) f f '( x0 ) = ( x0 ) = lim x x x 014.1. Pravila izvoda[c  f ( x)]' = c  f '( x) f '( x)  f ( x)  =  c  c   [ f ( x) ± g ( x)]' = f '( x) ± g '( x) [ f ( x)  g ( x)]' = f '( x)  g ( x) + f ( x)  g '( x)  f ( x)  f '( x)  g ( x) - f ( x)  g '( x)  g ( x)  = g 2 ( x)  14.2. Tablica izvoda' 'x' =1 c' = 0  x = n  x n -1   1 1 =- 2 x   x '  x = 1   2 x(e x ) ' = e x (a x ) ' = e x ln a (ln x) ' = 1 x'n ''(sin x) ' = cos x (cos x) ' = - sin x 1 (tan x) ' = cos 2 x 1 (cot x) ' = - 2 sin x1 - x2 1 (arccos x) ' = - 1 - x2 1 (arctan x) ' = 1 + x2 1 (arc cot x) ' = - 1 + x2(arcsin x) ' =1ln x  1  = log a x =   ln a  x ln a Matematicke formule7814.3. Izvod viseg reday '' = ( y ') ' , y ''' = ( y '') ' , y ( n) = y ( n -1)()'14.4. Izvod slozene funkcijeh( x) = f ( g ( x))  h '( x) = f '( g ( x))  g '( x)[n n ]' = n  n n -1  n ' [en ]' = en  n ' 1- n 1 n' [arccos n]' = - 2 1- n 1 n' [arctan n]' = 2 1+ n 1 n' [arccot n]' = - 1 + n2 [arcsin n]' = 12[n n ]' = n  n n -1  n ' [sin n]' = cos n  n ' [cos n]' = - sin n  n ' 1 [tan n]' = n' cos 2 n 1 [cot n]' = - 2 n ' sin n 1 [ln n]' =  n ' nn'14.5. Izvod inverzne funkcijey = f ( x )  x = f -1 ( y )  y ' x =1 , gde indeks oznacava zavisnu promenljivu x 'y14.6. Tangenta funkcije u tacki (x0,f(x0))y = f ( x) y = k ( x - x0 ) + y0 k = f '( x0 ) 1 k =- f '( x0 ) (jednacina tangente) (jednacina normale)Matematicke formule7915. Integrali f ( x)dx = F ( x) + c  F '( x) =deff ( x)F '( x) je primitivna funkcija funkcije f ( x ). F ( x) + c je neodreeni integral funkcije f ( x).15.1. Osobine integrala f ( x)dx = F ( x) + c  k  f ( x)dx = k  f ( x)dx  ( f ( x) ± g ( x))dx =  f ( x)dx ±  g ( x)dx15.2. Tablica integrala dx = x + cx k +1  x dx = k + 1 + c , k  -1k sin xdx = - cos x + c  cos xdx = sin x + c  sin 2 x = - cot x + c  cos2 x = tan x + c dx x2 + axdxx2  xdx = 2 + c 1 dx  x2 = - x + c dx  x = ln x + cdxdx = ln x + x 2 + a + cexdx = e + cxax  a dx = ln a + c a 2 + x 2 dx = a arctan a + c , specijalno  1 + x 2 dx = arctan x + c x dx = arcsin + c , specijalno a a2 - x2 dxdx1xdxdx 1- x2dx = arcsin x + cMatematicke formule8015.3. Cesto koriseni integrali sa uobicajenim smenama Integral Smenadx  x + a dx = ln x + a + c dx 1 x-a +c dx = ln  x2 - a2 2a x + a dx 2 2  2 2 dx = ln x + x ± a + c x ±a dx 1 bx dx = arcsin + c  2 2 2 b a a -b xx+a =t1  1 1  = -   x 2 - a 2 2a  x - a x + a  1t = x + x2 ± a2a x= t b 1 =t x a x= bdxx ax 2 + bx + c dx 1 bx dx = arctan + c  b2 x2 + a 2 ab adx*Napomena: Kada se javi izraz ax 2 + bx + c , treba ga dopuniti do POTPUNOG KVADRATA BINOMA!15.4. Metod neodreenih koeficijenata Pn ( x)excos  xdx = Qn ( x)e x cos  x + Rn ( x)e x sin  x'Pn ( x)e x cos  xdx = Qn ( x)e x cos  x + Rn ( x)e x sin  x    Qn ( x) i Rn ( x) su nepoznati polinomi stepena n kao Pn ( x ) i traze se grupisanjem i uporeivanjem sa levom stranom.Matematicke formule8115.5. Trigonometrijski integrali1. tan x = t dx = dt cos 2 x dt dx = 1+ t2 sin x = cos 2 x =22. tan dxx =t 2t2 1+ t2 1 1+ t2= dt x 2cos 2 2dt dx = 1+ t2 2t sin x = 1+ t22cos x =1- t2 1+ t2  x 1 a 2 - x 2 dx =  x a 2 - x 2 + a 2 arcsin  + c a 22 x 2 2 a x - a dx =  x - a - ln x + x 2 - a 2 2 2  2 2 2 2 +c  2 x 2  2 a x + a dx =  a + x + ln x + x 2 + a 2  + c 2 2   *Hint: Za izracunavanje parcijalne integracije.datihintegrala,koristitimetod15.6. Metod parcijalne integracijeI =  f ( x)  g ( x) dxu = f ( x)dv = g ( x)du = f '( x)dx v =  g ( x)dxI = u  v -  vduMatematicke formule8215.7. Integracija racionalnih funkcija ( x - a) (ax2 + bx + c) dx1. Ako je stepen brojioca vei ili jednak stepenu imenioca ­ PODELITI. 2. Ako je stepen brojioca manji od stepena imenioca ­ RAZLOZITI RACIONALAN IZRAZ NA SLEDEI NACIN:Pn ( x)( x - a) (ax 2 + bx + c) + B1x + C1 ax + bx + c2Pn ( x)=A A1 A2 + + ... + +  2 x - a ( x - a) ( x - a)2+B2 x + C2 (ax + bx + c)2+ ... +(ax 2 + bx + c) B x + C15.8. Njutn-Lajbnicova formulax2x2  f ( x)dx = F ( x) x = F ( x2 ) - F ( x1 ) 1 x1Matematicke formule8315.9. Neke rekurentne formule za integraleIn = dx ( x 2 + 1)nI n = arctan x v =  dxu = ( x 2 + 1) - n In = x ( x + 1)2n+ 2n x2 + 1 - 1 ( x + 1)2n +1dx    x dx dx   In = 2 + 2n  2 - n n  2 n +1   ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)   In I n +1   x + 2nI n - 2nI n +1 In = 2 x +1 x + (2n - 1) I n 2nI n +1 = 2 n ( x + 1) I n +1 =  1  x + (2n - 1) I n  + c  2 2n  ( x + 1)n     1  x + (2n - 1) I n   2n  ( x 2 + 1) n    dxI n +1 = In = (x2+a2 n)smena: x = atadt I n =  2n 2 a (t + 1) dt I n = a1- 2 n  n t2 +1()Matematicke formule8416. KombinatorikaPn = n  (n - 1)  (n - 2)  ...  3  2 1 = n ! (permutacije bez ponavljanja) P n1k , k2 ,..., kn=(k1 + k2 + ... + kn )! (permutacije sa ponavljanjem) k1 ! k2 ! ...  kn !Vnk = n  (n - 1)  (n - 2)  ...  (n - k + 1) (varijacije bez ponavljanja) V n = n k (varijacije sa ponavljanjem)k Cn kVnk n n! = = =   (kombinacije bez ponavljanja) k ! k !(n - k )!  k  (kombinacije sa ponavljanjem)k  n + k - 1 Cn =    k 16.1. Binomni koeficijenti0! = 1 n 0 =1   n  n  k = n-k      n   n   n + 1  k  +  k + 1 =  k + 1       ( a + b) =nna = b =1 n   k =0  k   n  n  n  n 2n =   +   +   + ... +    0  1  2  n 2 =n n n  n-k k  k a b k =0  nn n n 2n -1 =   +   +   + ...  0  2  4 n n n 2n -1 =   +   +   + ... 1  3  5k =0   k a n-k bknn Tk +1 =   a n - k b k k  n n n  n   2n  +   +   + ... +   =   0   1  2  n  n 2 2 2 2Matematicke formule8516.2. Izracunavanje zbira kvadrata binomnih koeficijenata(1 + x) n ( x + 1)n = ( x + 1)2 n n n n  n  n - 2  n  n -1  n  n x x + x +   x +   x 2 + ... +  + 0 1 n - 2 n - 1 2           n  n  n  n  n -1  n  n - 2  n  2  n   n x + x + x x + x+  + ... +  0     1  2  n - 2  n - 1  n  2n   2n   2n   2n  =   +   x +   x 2 + ... +   x 2n  2n  0 1  2  n  n   n  n   n  n   n  n  =    x n +    x n +    x n + ... +    x n =  0  0   1  1   2  2   n  n 2  n  2  n  2  n  2  n  n =   +   +   + ... +    x  0   1   2   n    n   2n   k =  n    k =0    n  n   n  n   n  n   n -1  2n  n -1 = +    + ... +       x x n - 2  n - 1  n - 1 0  1   1  2    n2Matematicke formule86Beleske:Matematicke formule87`

#### Information

##### Matematicke formule

87 pages

Find more like this

#### Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

65680