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Umstellen von Formeln und Gleichungen

1. Das Zusammenfassen von Termen bedeutet grunds¨tzlich ein Ausklammern, auch wenn man den a Zwischenschritt nicht immer aufschreibt. 4a - 6a = (4 - 6)a = -2a 2. Steht eine Variable, nach der aufgel¨st werden soll, in einer Klammer, so ist diese Klammer aufo zul¨sen, hierbei ist ein Minuszeichen vor der Klammer zu beachten. o 4(3 - a) - 3(a - 5) = -1 a = ? (a = 4)

3. Sind in einer Gleichung Bruchterme vorhanden, so sind beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren. x x-2 - =4 x = ? (x = 12) 2 5 4. Beim Dividieren bzw. Multiplizieren einer Gleichung ist darauf zu achten, dass jeder einzelne Summand auf beiden Seiten der Gleichung dividiert bzw. multipliziert wird. ax x = = a2 + 3a a+3 |:a

5. Kommt die Variable, nach der aufgel¨st werden soll, mehrmals vor, so werden alle Terme, die o diese Variable enthalten, auf die linke Seite gebracht, dann wird die Variable ausgeklammert, zum Schluss muss noch durch den Klammerausdruck dividiert werden. 8U =aU +b U = ? 8 U = a U + b | -a U 8U -aU = b U (8 - a) = b | : (8 - a) b U = 8-a

6. Ein Bruchterm wie

-a b-c

kann durch Erweitern mit -1 vereinfacht werden: -a -a · (-1) a a = = = b-c (b - c) · (-1) -b + c c-b

1. Stelle die Formel nach der angegebenen Variablen um: 1 a) 4b - 2(b - 4) = 2c b = ? b) 2b = A = ? 3A 1 2 c) 3A - kA = 1 A = ? d) + = 3 a = ? 2 a 2 a e) V = c = ? f) W = k = ? 1+c b-k 1 1 a-b g) 2a = - x = ? h) c = a = ? x b ab 2. L¨se die Gleichungen: o a) (5x + 8)2 - (3x + 9)2 = (4x + 1)2 1 1 c) -- x = 8 - -- (x - 4) 3 7

a) c - 4 1 3-k 2-V e) V b g) 2ab + 1 c)

1 6b 4 d) 5 Wb - a f) W b h) 1 - cb b)

b) 2x(x - 5) - (x + 3)(2x - 2) + 36 = 0 1 1 d) -- x - -- (x - 8) = 2 6 8

Roolfs

a) 1 c) 18

b) 3 d) 24

1

Umstellen von Formeln und Gleichungen

7. Kommt die Variable, nach der aufgel¨st werden soll, lediglich im Nenner vor und befindet sich auf o jeder Seite h¨chstens ein Bruchterm, so ist es vorteilhaft, die Kehrwerte beider Seiten zu gebilden. o c A-d c A-d A-d c | ·c | + d

b =

A = ?

b = 1 b c b

=

= A-d

c + d = A b A = c + d b

Beachte: a = b c + A A A = ? a = 1 a b c + A A A A + b c

falsch w¨re: a

=

4 = 2 offensichtlich falsch w¨re: a 1 4 = 1 2

+ 2 + 1 2

Roolfs

2

Umstellen von Formeln

1. L¨se stets nach b auf: ( b = ... Die rechte Seite darf kein b enthalten. o Das Ergebnis soll keine Klammern und Doppelbr¨che enthalten. u 3 3-b 1 c - 3b a

a)

A=

b)

c=

c)

b =2 2 - 3ab A = (2a - b) · 2c

d)

e)

A = (a - 2 ) · c

b

f)

3 - B · (3 - 2b) = 1

g)

2A -

1 =1 3-b

1

h)

2A · ( 2 b - 1) = 1 4 1-c - a b

i)

B=

j)

A = 2ab + bc + 2

k)

C = a - 3 (2ab - 1) 1 1-a - ab b

a

l)

A=

Roolfs

3

Umstellen von Formeln

L¨sungen o

1. L¨se stets nach b auf: ( b = ... Die rechte Seite darf kein b enthalten. o Das Ergebnis soll keine Klammern und Doppelbr¨che enthalten. u 3 3-b 1 c - 3b a 3A - 3 A a 3ac + 3c 4 6a + 1 4ac - A 2c 2ac - 2A c 3B - 2 2B 6A - 4 2A - 1 2A + 1 A ac - a aB - 4 A-2 2a + c 4a - 3C 2a2 1 - a + a2 Aa

a)

A=

b=

b)

c=

b=

c)

b =2 2 - 3ab

b=

d)

A = (2a - b) · 2c

b=

e)

A = (a - 2 ) · c

b

b=

f)

3 - B · (3 - 2b) = 1

b=

g)

2A -

1 =1 3-b

1

b=

h)

2A · ( 2 b - 1) = 1 4 1-c - a b

b=

i)

B=

b=

j)

A = 2ab + bc + 2

b=

k)

C = a - 3 (2ab - 1)

a

b=

l)

A=

1 1-a - ab b

b=

Roolfs

4

Umstellen von Formeln erste Schritte

1. L¨se stets nach c auf: ( c = ... Die rechte Seite darf kein c enthalten. o Das Ergebnis soll keine Klammern und Doppelbr¨che enthalten. u a) A=b·c

b)

A=

a·c 2 B c

c)

A=

d)

A = (1 - a) · c

e)

A = (a - b) · 2c

f)

B · (1 - c) = 1

g)

A-

1 =0 2-c

1

h)

A · ( 2 c - 1) = 1 1-c 2

i)

A=B-

j)

A = ac + bc + c

k)

C = 1 - 3 (2c - 1) (a + c) · h 2

1

l)

A=

Roolfs

5

Umstellen von Formeln erste Schritte

Losungen ¨

1. L¨se stets nach c auf: ( c = ... Die rechte Seite darf kein c enthalten. o Das Ergebnis soll keine Klammern und Doppelbr¨che enthalten. u A b 2A a B A A 1-a A 2(a - b) B-1 1 =1- B B 2A - 1 1 =2- A A 2(A + 1) 2 =2+ A A

a)

A=b·c

c=

b)

A=

a·c 2 B c

c=

c)

A=

c=

d)

A = (1 - a) · c

c=

e)

A = (a - b) · 2c

c=

f)

B · (1 - c) = 1

c=

g)

A-

1 =0 2-c

1

c=

h)

A · ( 2 c - 1) = 1 1-c 2

c=

i)

A=B-

c = 2A - 2B + 1

j)

A = ac + bc + c

c=

A a+b+1 3C 2

k)

C = 1 - 3 (2c - 1) (a + c) · h 2

1

c=2-

l)

A=

c=

2A - ah 2A = -a h h

Roolfs

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