Read Kombinatoryka i rachunek prawdopodobiestwa ­ treci, umiejtnoci ­ realizacja omiu glównych kompetencji kluczowych text version

Wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobiestwa oraz realizacja omiu glównych kompetencji kluczowych

Kategoria: Materialy z warsztatów przedmiotowych Slowa kluczowe: kombinatoryka, rachunek prawdopodobiestwa, kompetencje kluczowe Dane autora: Piotr Janoska, Uniwersytet lski, [email protected] Artykul ten zawiera wybrane zagadnienia z kombinatoryki i rachunku prawdopodobiestwa oraz uwagi na temat realizacji omiu glównych kompetencji kluczowych, które zostaly przeze mnie przedstawione podczas unijnych warsztatów przedmiotowych z matematyki, zakoczonych w sierpniu tego roku. Materialy te mog zatem by pomocne nauczycielom gimnazjów oraz szkól ponadgimnazjalnych podczas realizacji projektów unijnych w szkolach. 1.Kombinatoryka: 1. permutacje bez powtórze, 2. permutacje z powtórzeniami, 3. kombinacje bez powtórze, 4. kombinacje z powtórzeniami, 5. wariacje bez powtórze, 6. wariacje z powtórzeniami. 2.Rachunek prawdopodobiestwa: 1. prawdopodobiestwo klasyczne, 2. prawdopodobiestwo calkowite, 3. zaleno oraz niezaleno zdarze, 4. najprostsze zmienne losowe. Ad.1Omawiajc kombinatoryk staramy si przedstawia w ciekawy sposób moliwoci uporzdkowania przedmiotów, wybierania elementów z danego zbioru, ustawiania przedmiotów w cigi. Pokazujemy fragment tzw. matematyki dyskretnej uywajc najprostszych metod np. metody szufladkowej. Ad.1.1 Permutacje bez powtórze ­ zwizane z nimi pojcia to: silnia, wlasnoci silni, silnia jako funkcja. Wykorzystujemy nastpujce typy zada z tego zakresu: · rozmieszczanie ukladów ksiek na pólce tak, aby wybrane ksiki ssiadowaly(nie ssiadowaly) ze sob,

· · · ·

budowanie liczb o niepowtarzajcych si cyfrach, rozmieszczanie osób przy stole prostoktnym lub okrglym tak, aby wybrane osoby siedzialy(nie siedzialy) obok siebie, ustawianie osób do zdj w rzdach , obliczenia wystpujce w genetyce zwizane z tymi permutacjami.

Ad.1.2 Permutacje z powtórzeniami ­ wprowadzamy odpowiedni wzór na tego typu permutacje, uzasadniamy jego poprawno oraz pokazujemy w tym rozdziale uyteczno indukcji matematycznej. Wykorzystujemy nastpujce typy zada z tego zakresu: · · · · · ukladanie ,,slów" z danego zbioru liter , obliczenia wystpujce w genetyce zwizane z powtarzaniem si genów, przestawianie liter w wyrazach(np. Missisipi, mama, matematyka, kajak) tak, aby nie bylo wida rónicy po tym przestawieniu , obliczenia zwizane z wyznaczaniem zbioru, z którego pochodz permutacje z powtórzeniami, na podstawie iloci tych permutacji , ukladanie ,,sznurów" korali. Ad.1.3 Kombinacje bez powtórze ­ wprowadzamy symbol Newtona, trójkt Pascala, dwumian Newtona, wzór na kombinacje bez powtórze; uzasadniamy jego poprawno oraz pokazujemy uyteczno indukcji matematycznej. Prezentujemy nastpujce typy zada zwizane z tym tematem: · obliczenia geometryczne(np. ile prostych przechodzi przez zadane punkty na plaszczynie, ile pólprostych przechodzi przez nie; ile plaszczyzn przechodzi przez zadane punkty w przestrzeni trójwymiarowej, ile bryla ma przekrojów, itd.), · · · · obliczenia zwizane ze zbiorem i jego podzbiorami, wybieranie delegacji sporód pewnej grupy osób, rady klasowej sporód uczniów danej klasy, itd., obliczenia zwizane z grami liczbowymi(Toto Lotek, Multi Lotek), wybieranie okrelonego ukladu kart z calej talii.

Ad.1.4 Kombinacje z powtórzeniami ­ wprowadzamy rzadziej uywane wzory na te kombinacje, uzasadniamy ich poprawno oraz pokazujemy uyteczno indukcji matematycznej. Prezentujemy nastpujce typy zada z tego tematu: · · obliczenia zwizane z chemi, fizyk(rozmieszczanie czstek rozrónialnych i nierozrónialnych w blokach), genetyk, zagadnienia polegajce na obliczaniu podzbiorów danego zbioru,

· · ·

obliczenia urnowe(losowanie kul z urn), wybieranie zadanego ukladu kart z calej talii , obliczenia zwizane z wyznaczaniem zbioru, z którego pochodz kombinacje z powtórzeniami, na podstawie iloci tych kombinacji.

Ad.1.5 Wariacje bez powtórze ­ wprowadzamy wzór na te wariacje, uzasadniamy jego poprawno oraz pokazujemy uyteczno indukcji matematycznej. Prezentujemy tzw. metod szufladkow przy obliczaniu tych wariacji oraz zastosowanie cigów geometrycznych. Wykorzystujemy nastpujce typy zada z tego zakresu: · · · · · obliczenia zwizane z ustawianiem osób w kolejkach, wysiadaniem pasaerów na przystankach, wychodzeniem pasaerów z windy, itd., budowanie liczb o niepowtarzajcych si cyfrach, kolorowanie flag zloonych z ukladów pasów poziomych lub pionowych, ukladanie ,,sznurów" korali, losowanie bez zwracania kul z urn.

Ad.1.6 Wariacje z powtórzeniami ­ wprowadzamy odpowiedni wzór, uzasadniamy jego poprawno oraz pokazujemy uyteczno indukcji matematycznej. Pokazujemy zasad szufladkow przy obliczaniu tych wariacji oraz zastosowanie cigów geometrycznych, przyklady zada brzmicych odmiennie o identycznych rozwizaniach. Wykorzystujemy odpowiednie typy zada: · · · · · · obliczenia zwizane z ustawianiem osób w kolejkach, wysiadaniem pasaerów na przystankach, wychodzeniem pasaerów z windy, itd., budowanie liczb o powtarzajcych si cyfrach, kolorowanie flag zloonych z ukladów pasów poziomych lub pionowych, ukladanie ,,slów" w alfabecie Morse'a , ukladanie ,,sznurów" korali, obliczenia zwizane z iloci ,,slów", które mona zapisa korzystajc z dostpnego ,,alfabetu". Ad.2.Omawiajc rachunek prawdopodobiestwa staramy si przedstawia w prosty sposób obliczanie szans wygranej, zespól poj z tej dziedziny oraz analiz najprostszych zmiennych losowych. Ad.2.1 Prawdopodobiestwo klasyczne ­ wprowadzamy wzór na prawdopodobiestwo klasyczne funkcjonujcy dla zbiorów skoczonych, uzasadniamy jego poprawno oraz pokazujemy uyteczno indukcji matematycznej. Zaciekawiamy uczniów ,,gwar"

probabilistyczn, innymi rodzajami prawdopodobiestw(np. prawdopodobiestwem geometrycznym), paradoksami z tej dziedziny. Prezentujemy typy zada z tego zakresu: · · · · · obliczenia zwizane z kombinatoryk(punkty od 1 do 6), rachowanie prawdopodobiestw wygranych w danych grach liczbowych, obliczanie prawdopodobiestw sensownoci ,,slów" tworzonych z danego ,,alfabetu", rachowanie prawdopodobiestw w sytuacjach geometrycznych(np. zwizanych z ukladaniem trójkta korzystajc z danego zbioru odcinków), porównywanie prawdopodobiestw wystpujcych w rónych modelach probabilistycznych. Ad.2.2 Prawdopodobiestwo calkowite ­ wprowadzamy odpowiedni wzór, wzór Bayes'a, uzasadniamy ich poprawno; omawiamy rachunki zwizane z drzewami stochastycznymi. Pokazujemy nastpujce typy zada z tego zakresu: · · · · obliczenia zwizane z wieloetapowymi dowiadczeniami losowymi, rachunki dotyczce wielokrotnego losowania kul z urn , obliczenia dotyczce wielokrotnych rzutów monet, kostk itd., porównywanie prawdopodobiestw wystpujcych w rozwaaniach dotyczcych drzew stochastycznych(skoczonych bd nieskoczonych; symetrycznych bd niesymetrycznych), · prezentacja prostych metod rozwizywania ,,trudnych" zagadnie. Ad.2.3 Zaleno oraz niezaleno zdarze ­ omawiamy te pojcia i podajemy ich interpretacj probabilistyczn. Zastanawiamy si nad cislym(matematycznym) ich znaczeniem oraz znaczeniem potocznym. W rozdziale tym zamieszczamy: · · · · · odpowiednie definicje dla dwóch zdarze, trzech zdarze, itd., list przykladów ilustrujcych te pojcia, obliczenia zwizane z rzutami kostk, monet, losowaniem ukladu kart z talii(ze zwracaniem, bez zwracania), rachunki wystpujce w schematach urnowych , list kontrprzykladów ilustrujcych zagadnienia zwizane z zalenoci zdarze.

Ad.2.4 Najprostsze zmienne losowe ­ definiujemy te zmienne, ilustrujemy w formie tabelek, zaciekawiamy prostymi zagadnieniami statystycznymi, podajemy interpretacj wartoci oczekiwanej i wariancji. W rozdziale tym zamieszczamy:

· · · · ·

list przykladów prostych zmiennych losowych , obliczenia zwizane z rzutami kostk, monet, itd., rachunki wystpujce w schematach urnowych , interpretacj wartoci oczekiwanej jako najczciej wystpujcego ,,wyniku" w danym dowiadczeniu losowym, interpretacj wariancji jako pomiaru ,,bldu" wystpujcego w danym dowiadczeniu losowym.

Dzial ten jest wstpem do prostego opisu statystycznego danej zbiorowoci poprzez liczenie wartoci oczekiwanej i wariancji. Realizujc powysze treci, pracujemy nad wszechstronnym rozwojem nastpujcych kompetencji kluczowych: a) porozumiewanie si w jzyku ojczystym ­ksztaltowanie umiejtnoci poprawnego wypowiadania si w jzyku matematyki, b) porozumiewanie si w jzykach obcych ­wzbogacenie wiedzy sluchaczy o niektóre zwroty i okrelenia z jzyka angielskiego, c) kompetencje matematyczne i podstawowe kompetencje naukowo-techniczne rozwijanie zdolnoci i chci wykorzystywania matematycznych sposobów mylenia oraz prezentacji, d) kompetencje informatyczne ­rozwijanie umiejtnoci obejmujcych zdolnoci poszukiwania, gromadzenia i przetwarzania informacji matematycznych, e) umiejtno uczenia si ­ docieranie do nowej wiedzy i umiejtnoci oraz przetwarzanie i przyswajanie ich, f) kompetencje spoleczne i obywatelskie ­ rozwijanie wspólpracy wewntrz grupy wiczeniowej(podzial sluchaczy na podgrupy i prowadzenie zaj w tych podgrupach) , g) inicjatywno i przedsibiorczo ­rozwijanie umiejtnoci odnoszcych si do zarzdzania projektami(co obejmuje np. planowanie, organizowanie, kierowanie, zlecanie zada, analizowanie, sprawozdawczo), h) wiadomo i ekspresja kulturalna ­ kreatywne ,,rozwizywanie rónego typu pokazywanie ,,estetyki" poruszanych problemów. zada" i zdobywanie,

Information

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobiestwa ­ treci, umiejtnoci ­ realizacja omiu glównych kompetencji kluczowych

5 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

452802