Read vzbs-slj.pdf text version

SISTEMI LINEARNIH JEDNACINA - formule i zadaci -

(Sistemi linearnih jednaina) c

1/9

Sistemi linearnih jednaina c

(Sistemi linearnih jednaina) c

2/9

Sistemi linearnih jednaina c

Opti oblik sistema m linearnih jednaina sa n nepoznatih: s c a11 x1 a21 x1 . . . + + a12 x2 a22 x2 . . . + ... + + ... + a1n xn a2n xn . . . = = b1 b2 . . .

()

am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm

(Sistemi linearnih jednaina) c

2/9

Sistemi linearnih jednaina c

Opti oblik sistema m linearnih jednaina sa n nepoznatih: s c a11 x1 a21 x1 . . . + + a12 x2 a22 x2 . . . + ... + + ... + a1n xn a2n xn . . . = = b1 b2 . . .

()

am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm

Reenje sistema () je svaka ured s ¯ena n-torka realnih brojeva (x1 , x2 , . . . , xn ) koja zadovoljava svaku jednainu sistema. c

(Sistemi linearnih jednaina) c

2/9

Reenja sistema LJ s

(Sistemi linearnih jednaina) c

3/9

Reenja sistema LJ s

Sistem () je:

(Sistemi linearnih jednaina) c

3/9

Reenja sistema LJ s

Sistem () je: mogu´ (saglasan, reiv) ako ima bar jedno reenje, i to: c s s

odred ¯en, ako ima jedinstveno reenje s neodred ¯en, ako ima beskonano mnogo reenja c s

(Sistemi linearnih jednaina) c

3/9

Reenja sistema LJ s

Sistem () je: mogu´ (saglasan, reiv) ako ima bar jedno reenje, i to: c s s

odred ¯en, ako ima jedinstveno reenje s neodred ¯en, ako ima beskonano mnogo reenja c s

nemogu´ (nesaglasan, nereiv, kontradiktoran, protivrean), ako nema c s c reenja s

(Sistemi linearnih jednaina) c

3/9

Reenja sistema LJ s

Sistem () je: mogu´ (saglasan, reiv) ako ima bar jedno reenje, i to: c s s

odred ¯en, ako ima jedinstveno reenje s neodred ¯en, ako ima beskonano mnogo reenja c s

nemogu´ (nesaglasan, nereiv, kontradiktoran, protivrean), ako nema c s c reenja s Dva sistema linearnih jednaina su ekvivalentna ako imaju isti skup reenja. c s

(Sistemi linearnih jednaina) c

3/9

Reenja sistema LJ s

Sistem () je: mogu´ (saglasan, reiv) ako ima bar jedno reenje, i to: c s s

odred ¯en, ako ima jedinstveno reenje s neodred ¯en, ako ima beskonano mnogo reenja c s

nemogu´ (nesaglasan, nereiv, kontradiktoran, protivrean), ako nema c s c reenja s Dva sistema linearnih jednaina su ekvivalentna ako imaju isti skup reenja. c s Transformacije koje ouvavaju ekvivalentnost sistema su: c zamena mesta jednaina c mnoenje jednaine brojem razliitim od 0 z c c dodavanje jedne jednaine drugoj, prethodno pomnoene brojem c z razliitim od 0 c

(Sistemi linearnih jednaina) c 3/9

Zadaci (1)

(Sistemi linearnih jednaina) c

4/9

Zadaci (1)

Zadatak 1. Reiti slede´e sisteme: s c (i) x 3x -x + 2y - y - y + 2y - y + y + 2y - y + y - z + 2z + 2z - z + 2z + z - z + 2z + z = 2 = 7 . = 3 = 2 = 7 . = 5 = 2 = 7 . = 9

x (ii) 3x 4x x (iii) 3x 4x

(Sistemi linearnih jednaina) c

4/9

Zadaci (2)

(Sistemi linearnih jednaina) c

5/9

Zadaci (2)

x 2x Zadatak 4. Reiti sistem: s x x + 2y + y + 2y + y + z + z + 2z + z + t = 0 + 2t = 0 . + t = 0 + t = 0

(Sistemi linearnih jednaina) c

5/9

Zadaci (2)

x 2x Zadatak 4. Reiti sistem: s x x 5x Zadatak 6. Reiti sistem: 3x s 7x + 2y + y + 2y + y + 2y - 4y - 3y + z + z + 2z + z - 3z + 5z + 6z + t = 0 + 2t = 0 . + t = 0 + t = 0 = 0 = 10 . = 19

(Sistemi linearnih jednaina) c

5/9

Zadaci (2)

x 2x Zadatak 4. Reiti sistem: s x x 5x Zadatak 6. Reiti sistem: 3x s 7x + 2y + y + 2y + y + 2y - 4y - 3y + z + z + 2z + z - 3z + 5z + 6z + t = 0 + 2t = 0 . + t = 0 + t = 0 = 0 = 10 . = 19

x +y =1 Zadatak 7. Reiti sistem: x + z = 3 . s y +z =0

(Sistemi linearnih jednaina) c

5/9

Zadaci (3)

(Sistemi linearnih jednaina) c

6/9

Zadaci (3)

Zadatak 8. Reiti sistem: s

2x 3x

- y - 4y

- 2z + 2z

= -2 . = 2

(Sistemi linearnih jednaina) c

6/9

Zadaci (3)

Zadatak 8. Reiti sistem: s

2x 3x

- y - 4y

- 2z + 2z

= -2 . = 2

x Zadatak 10. Reiti sistem: -2x s -2x

+ y - 3y - 2y

= 2 = 2 . = -3

(Sistemi linearnih jednaina) c

6/9

Zadaci (3)

Zadatak 8. Reiti sistem: s

2x 3x

- y - 4y

- 2z + 2z

= -2 . = 2

x Zadatak 10. Reiti sistem: -2x s -2x Zadatak 23. Reiti sistem: s 2x 5x

+ y - 3y - 2y - 3y + 2y

= 2 = 2 . = -3 + 7z - 2z = -1 . = -1

(Sistemi linearnih jednaina) c

6/9

Kramerovo pravilo (1)

(Sistemi linearnih jednaina) c

7/9

Kramerovo pravilo (1)

Kramerovo pravilo moe da se primeni samo na kvadratne sisteme (tj. z kada je m = n) i sastoji se u tome da se izraunaju determinanta sistema c a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . .. . . . . . . . . an1 an2 . . . ann

DS =

i determinante promenljivih b1 a12 . . . a1n b2 a22 . . . a2n . . .. . . . . . . . . bn an2 . . . ann a11 a12 . . . b1 a21 a22 . . . b2 . . .. . . . . . . . . an1 an2 . . . bn

Dx1 =

, . . . Dxn =

(Sistemi linearnih jednaina) c

7/9

Kramerovo pravilo (2)

(Sistemi linearnih jednaina) c

8/9

Kramerovo pravilo (2)

Ako je DS = 0 tada je sistem odred i reenje je ¯en s (x1 , x2 , . . . , xn ) = Dx1 Dx2 Dx , ,..., n DS DS DS

(Sistemi linearnih jednaina) c

8/9

Kramerovo pravilo (2)

Ako je DS = 0 tada je sistem odred i reenje je ¯en s (x1 , x2 , . . . , xn ) = Dx1 Dx2 Dx , ,..., n DS DS DS

Ako je DS = 0 i bar jedna od determinanti Dxi , i = 1, 2, . . . , n je razliita od 0 sistem je nemogu´ c c

(Sistemi linearnih jednaina) c

8/9

Kramerovo pravilo (2)

Ako je DS = 0 tada je sistem odred i reenje je ¯en s (x1 , x2 , . . . , xn ) = Dx1 Dx2 Dx , ,..., n DS DS DS

Ako je DS = 0 i bar jedna od determinanti Dxi , i = 1, 2, . . . , n je razliita od 0 sistem je nemogu´ c c Ako je DS = Dx1 = Dx2 = . . . = Dxn = 0 sistem je ili neodred ili ¯en nemogu´ to proveravamo Gausovom metodom eliminacije cs

(Sistemi linearnih jednaina) c

8/9

Zadaci (4)

(Sistemi linearnih jednaina) c

9/9

Zadaci (4)

Zadatak 56. Za koje vrednosti parametra a je sistem x ax 6x odred ¯en? + y + 4y + (a + 2)y + z + z + 2z = 6 = 5 = 13

(Sistemi linearnih jednaina) c

9/9

Zadaci (4)

Zadatak 56. Za koje vrednosti parametra a je sistem x ax 6x odred ¯en? Zadatak 10. Za koje vrednosti parametra a je sistem -ax x x protivrean? c + ay + 2y + (a + 2)y + 2z - z + (a + 1)z = a+2 = 2 = 4 + y + 4y + (a + 2)y + z + z + 2z = 6 = 5 = 13

(Sistemi linearnih jednaina) c

9/9

Information

29 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

709731


You might also be interested in

BETA