Read Pormet1lic.pdf text version

Kazimierz ylak

Alicja Rychlewicz

MATEMATYKA KROK PO KROKU

Poradnik metodyczny Klasa I Liceum ogólnoksztalcce, liceum profilowane i technikum Zakres podstawowy i rozszerzony

Opracowanie Zespól Wydawnictwa Edukacyjnego RES POLONA Sp. z o.o.:

Projekt okladki Barbara Zawadzka Opracowanie graficzne okladki Iwona Zielak-Mamiska Redaktor merytoryczny Boenna Nonas Natalia Ledwoch-Studziska Redaktor techniczny Piotr Solarz

Poradnik jest czci obudowy programu pt. Matematyka krok po kroku. Program nauczania matematyki w 3-letnim liceum ogólnoksztalccym, 3-letnim liceum profilowanym i 4-letnim technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony. Numer dopuszczenia: DKOS-4015-72/02. Poradnik zostal przygotowany do podrcznika pt. Matematyka krok po kroku. Podrcznik dla klasy pierwszej liceum ogólnoksztalccego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony. Numer dopuszczenia: 82/02.

Wydanie I © Copyright by Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o. Wszelkie prawa zastrzeone. Ksika ta zarówno w caloci, jak i we fragmentach nie moe by reprodukowana w sposób elektroniczny, fotograficzny i inny bez pisemnego zezwolenia Wydawcy.

ISBN 83-7071-355-6

WYDAWCA: Wydawnictwo Edukacyjne RES POLONA Sp. z o.o. 90-613 Lód, ul. Gdaska 80, tel. 0 (prefiks) 42 636-36-34, fax 637-30-10 Internet: www.res-polona.com.pl; e-mail: [email protected]

Spis treci

Wstp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . OKRELANIE WYMAGA EDUKACYJNYCH I PLANOWANIE SPRAWDZIANÓW PISEMNYCH Okrelanie wymaga edukacyjnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Planowanie sprawdzianów pisemnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ROZKLAD MATERIALU (propozycja) 1. Wstp do matematyki wspólczesnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Liczby rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Funkcje liniowe. Równania i uklady równa liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Planimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . KONSPEKTY LEKCJI Konspekt 1. Obliczanie wartoci wyrae liczbowych za pomoc kalkulatora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konspekt 2. Bld przyblienia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konspekt 3. Róne sposoby okrelania funkcji. Równo funkcji . . . . . . . . . . Konspekt 4. Funkcje rónowartociowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konspekt 5. Równania, w których wystpuje warto bezwzgldna . . . . . . . . Konspekt 6. Pole figury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konspekt 7. Wielokt wpisany w okrg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 100 106 111 116 120 124 19 26 40 51 64 9 11 5

Wstp

Przystpujc do pracy z nowym programem nauczania i now Podstaw programow, nauczyciele maj wtpliwoci, czy sprostaj wszystkim stawianym im wymaganiom. Pojawiaj si obawy, czy zrealizuj program, czy uczniowie opanuj przewidziane w nim umiejtnoci. Nauczyciele poszukuj nowych rozwiza metodycznych. Zastanawiaj si, jak realizowa nowe treci, jakie formy pracy zaplanowa, jak ocenia uczniów. Niekiedy potrzebuj nowych pomyslów, wskazówek, jak rozwiza okrelony problem dydaktyczny. Moe wtedy warto sign po poradnik metodyczny. Zamieszczony w poradniku metodycznym rozklad materialu jest zgodny z ukladem treci podrcznika pt. Matematyka krok po kroku. Podrcznik dla klasy pierwszej liceum ogólnoksztalccego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony. Przy kadym temacie podane s cele ogólne i cele szczególowe lekcji, propozycja sposobu realizacji tematu, lista proponowanych wicze na lekcji oraz zada domowych. Przedstawione cele mog ulec zmianie, jeli zaplanujemy odmienny od opisanego sposób realizacji tematu, inny uklad treci, gdy zastosujemy inn form pracy na lekcji lub wybierzemy inny typ zada. Np. nie zostanie wyksztalcona umiejtno samodzielnego opanowania definicji i twierdze z podrcznika, jeli uczniowie nie bd pracowa na lekcji z podrcznikiem, nie bdzie opanowana umiejtno wspólpracy przy rozwizywaniu problemów, jeli nie zostanie zorganizowana praca w grupach. W zbiorze zada w kadym podrozdziale s trzy grupy zada. W pierwszej grupie s zadania sprawdzajce opanowanie umiejtnoci ksztalconych podczas realizacji danego tematu. W drugiej grupie zadania o wyszym stopniu trudnoci, które sprawdzaj take opanowanie umiejtnoci ksztalconych na wczeniejszych lekcjach. Pozostale zadania s przeznaczone dla zakresu rozszerzonego. Jaki bdzie np. stopie trudnoci zada omawianych na lekcji i rozwizywanych przez ucznia w domu, zaley od ustalonych przez nauczyciela wymaga. Dlatego wybór zada ze zbioru zada pozostawiamy nauczycielowi. W poradniku wskazujemy jedynie zadania zamieszczone w podrczniku i okrelamy typy zada, które powinny by omówione, aby zapisane cele lekcji mogly by osignite. Uczniowie maj na ogól trudnoci z rozumieniem czytanego tekstu. Dlatego na wielu lekcjach zalecamy prac z podrcznikiem. Podczas czytania tekstu uczniowie powinni notowa wybrane fragmenty. Dobre opanowanie umiejtnoci czytania tekstu matematycznego i sporzdzania notatek ulatwi uczniom zdobywanie wiedzy matematycznej w toku dalszej nauki. Wanym zadaniem szkoly wynikajcym z Podstawy programowej jest ksztalcenie umiejtnoci wspólpracy przy rozwizywaniu problemów. Dlatego powinnimy zaplanowa odpowiedni liczb lekcji, na których organizowana bdzie praca w grupach. 5

Wybór takiej formy zaj powinien uwzgldnia zaplanowane cele szczególowe lekcji. Zadaniem szkoly jest take udzielanie pomocy uczniom w opanowaniu umiejtnoci wykorzystania nowoczesnych narzdzi wspomagajcych rozwizywanie problemów. W klasie pierwszej uczniowie powinni przede wszystkim sprawnie poslugiwa si kalkulatorem, ale wskazane jest, aby wybrane dwa, trzy tematy zostaly zrealizowane równie z wykorzystaniem komputerów. Znaczna wikszo tematów zapisanych w rozkladzie materialu bdzie realizowana na jednej jednostce lekcyjnej. Na kilka z nich powinnimy przeznaczy dwie godziny lekcyjne. Jeli osignita sprawno wykonywanych wicze przez uczniów jest niewystarczajca, to naley powici dodatkowy czas na realizacj okrelonego tematu. Przewidujc takie sytuacje, informujemy w uwagach, e dany temat moe by zrealizowany na dwóch godzinach lekcyjnych. Rozklad materialu w poradniku poprzedzaj uwagi dotyczce okrelania wymaga edukacyjnych oraz propozycja liczby i zakresu sprawdzianów pisemnych. Pierwsz lekcj w nowym roku szkolnym przeznaczamy na omówienie programu nauczania, okrelenie wymaga oraz omówienie zasad oceniania zgodnie ze szkolnym (przedmiotowym) systemem oceniania. Mamy nadziej, e poradnik metodyczny okae si przydatny przy formulowaniu wymaga edukacyjnych, planowaniu sprawdzianów pisemnych i ulatwi nauczycielom przygotowanie zaj. Autorzy

6

OKRELANIE WYMAGA EDUKACYJNYCH I PLANOWANIE SPRAWDZIANÓW PISEMNYCH

Okrelanie wymaga edukacyjnych. Wymagania edukacyjne okrelamy, opierajc si na Podstawie programowej i wybranym programie nauczania. Stanowi one podstaw wystawiania i uzasadniania oceny czstkowej, semestralnej oraz oceny rocznej. Uwzgldniajc sformulowane wymagania, ustalamy kryteria, wedlug których bd oceniane prace pisemne, odpowiedzi ustne oraz praca ucznia na lekcji. Podajc do wiadomoci uczniów stawiane im wymagania, jednoczenie informujemy ich, co bdzie oceniane i w jakiej formie. Naley przy tym uwzgldni zasady szkolnego (przedmiotowego) systemu oceniania. Powinnimy pamita o tym, aby wszystkie zapisane w Podstawie programowej osignicia uczniów byly sprawdzone w calym cyklu nauczania (niektóre dopiero w klasie trzeciej, np. obliczanie prawdopodobiestw zdarze). Dlatego przed sformulowaniem wymaga powinnimy zaplanowa odpowiednie metody i formy pracy z uczniami. Np. cel edukacyjny: wyksztalcenie umiejtnoci operowania najprostszymi obiektami abstrakcyjnymi bdzie osigany na wikszoci zaj. Cel: nabycie umiejtnoci samodzielnego zdobywania wiedzy matematycznej bdzie osigany zalenie od przyjtej formy pracy na zajciach (np. praca z podrcznikiem) albo te odpowiednio sformulowanych polece zada pracy domowej. Zadanie szkoly: rozwijanie umiejtnoci wspólpracy przy rozwizywaniu problemów bdzie realizowane, jeli np. zaplanujemy prac w grupach. Natomiast zadanie: rozwijanie umiejtnoci wykorzystania nowoczesnych narzdzi wspomagajcych rozwizywanie problemów matematycznych mona zrealizowa, jeli zaplanujemy zajcia z wykorzystaniem kalkulatorów lub komputerów. Osignicia uczniów bd cile zwizane z form pracy na lekcji, zastosowan metod, przygotowanymi przykladami i zadaniami. Umiejtno: wykrywanie zalenoci funkcyjnych midzy wielkociami liczbowymi bdziemy ksztalci, wykorzystujc odpowiednio dobrane zadania. Umiejtno podawania przykladów i kontrprzykladów ­ bdziemy rozwija, wybierajc odpowiednie metody pracy na lekcji. Samodzielne opanowanie definicji i twierdze z podrcznika ­ umiejtno t bdziemy ksztalci zarówno, organizujc prac na zajciach (praca z podrcznikiem), jak i odpowiednio formulujc polecenia pracy domowej. Wymagania edukacyjne moemy ustala na podstawie umiejtnoci opisanych w Podstawie programowej, okrelajc stopie ich opanowania. Przy ustalaniu kryteriów oceniania pracy ucznia oraz uzasadnianiu wystawianych ocen jest niezbdne przyporzdkowanie poziomów wymaga poszczególnym umiejtnociom. W zalenoci od tego, za pomoc jakich zada zaplanujemy sprawdzanie opanowania danej umiejtnoci, dobieramy odpowiedni poziom (poziomy) wymaga. Naley take zaplanowa sposób (form) sprawdzania danej umiejtnoci. Kade osignicie zapisane w Podstawie programowej jest opisane w programie nauczania w formie listy umiejtnoci ksztalconych podczas realizacji rónych treci. Np. osignicie: sporzdzanie wykresów funkcji oraz odczytywanie wlasnoci funkcji z wykresu jest w programie opisane nastpujc list umiejtnoci (str. 10­11). 9

Temat Wykresy funkcji liczbowych

Treci · Wykres funkcji · Miejsce zerowe funkcji

Umiejtnoci Ucze potrafi: · naszkicowa wykres funkcji okrelonej wzorem · odczyta z wykresu warto funkcji dla danego argumentu · odczyta z wykresu funkcji, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje dan warto · odczyta dziedzin i zbiór wartoci funkcji · odczyta najmniejsz i najwiksz warto funkcji · odczyta miejsca zerowe funkcji Ucze potrafi: · poda dziedzin i zbiór wartoci funkcji okrelonych rónymi sposobami · naszkicowa wykres funkcji liczbowej okrelonej za pomoc wzoru, tabeli, grafu, opisu slownego Ucze potrafi: · szkicowa wykresy funkcji f + c (c ­ funkcja stala), ­f, f , znajc wykres funkcji f

Sposoby okrelania funkcji

· Funkcja okrelona opisem slownym, wzorem, za pomoc tabeli, za pomoc grafu

Dzialania na funkcjach

· Symetria wzgldem osi i przesunicie wykresu funkcji

· Wlasno wykresu Ucze potrafi: Funkcje rónowartociowe funkcji rónowartocio- · ustali, czy funkcja okrelona za pomoc wej wykresu jest rónowartociowa Funkcje przeksztalcajce wzajemnie jednoznacznie zbiór na zbiór. Funkcje odwrotne · Funkcje odwrotne Ucze potrafi: · naszkicowa wykres funkcji odwrotnej na podstawie wykresu danej funkcji

10

Temat Funkcje monotoniczne

Treci

Umiejtnoci

Ucze potrafi: · Funkcja rosnca · ustali, które funkcje s malejce, rosnce w zbiorze lub nie s monotoniczne na podstawie ich · Funkcja malejca wykresu w zbiorze · Funkcja monotoniczna · poda przedzialy, w których funkcja · Przedzialy monotonicz- okrelona za pomoc wykresu jest rosnca, i przedzialy, w których funkcja noci jest malejca · Funkcja niemalejca w zbiorze · · Funkcja nierosnca · w zbiorze ustali, które funkcje s niemalejce, nierosnce na podstawie ich wykresów poda przedzialy, w których funkcja okrelona za pomoc wykresu jest niemalejca, i przedzialy, w których funkcja jest nierosnca

Proporcjonalno · Wykresy proporcjonalnoci prostej prosta i odwrotna i odwrotnej

Ucze potrafi: · rozpozna na podstawie wykresu, tabeli, wzoru wielkoci wprost lub odwrotnie proporcjonalne · szkicowa wykresy proporcjonalnoci prostej i odwrotnej

Funkcja liniowa Funkcje parzyste i nieparzyste

· Wykres funkcji liniowej Ucze potrafi: · naszkicowa wykres funkcji liniowej · Funkcja parzysta · Funkcja nieparzysta Ucze potrafi: · ustali na podstawie wykresu, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta Ucze potrafi: · narysowa obraz wykresu funkcji w przesuniciu o wektor

· Przesunicie wykresu Przeksztalcenia funkcji o wektor wykresów funkcji

Nie jest konieczne tworzenie listy umiejtnoci dla poszczególnych osigni zapisanych w Podstawie programowej. Musimy jednak pamita, e np. stopie opanowania umiejtnoci: sporzdzanie wykresów funkcji oraz odczytywanie wlasnoci funkcji z wykresu ustalimy, badajc opanowanie umiejtnoci opisanych w tabeli. Planowanie sprawdzianów pisemnych. Zakres kadego sprawdzianu pisemnego okrelamy, dobierajc odpowiednie treci i umiejtnoci, których opanowanie bdziemy sprawdza wedlug sformulowanych wymaga edukacyjnych. Zadania powinny sprawdza umiejtnoci zgodnie z przyporzdkowanymi poziomami wymaga. Nie kady sprawdzian naley zaplanowa na cal godzin lekcyjn. Czas przeznaczony na sprawdzian pisemny powinien zalee od zaloonych celów badania oraz od liczby i stopnia trudnoci zada, za pomoc których bdziemy sprawdza opanowanie wybranych umiejtnoci. 11

Tabela przedstawia propozycj sprawdzianów pisemnych z okreleniem ich celów.

Lp. 1. Treci · Zdanie w sensie logicznym · Prawa rachunku zda · Zbiory · Kwantyfikatory Cele badania Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · okreli warto logiczn zdania, zaprzeczenia zdania, alternatywy, koniunkcji, implikacji, równowanoci zda · zastosowa prawa De Morgana, prawo kontrapozycji · wyznacza sum, iloczyn, rónic zbiorów, dopelnienie zbioru · · 2. · Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych · Dzialania na liczbach okreli warto logiczn zdania z kwantyfikatorem przeprowadzi dowód wybranego prawa rachunku zbiorów, rachunku zda

Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · uzasadni, e dana liczba jest wymierna · poda przyblienie, zaokrglenie liczby · zapisa w postaci ulamka zwyklego liczb wymiern o danym rozwiniciu dziesitnym · obliczy warto wyraenia liczbowego (take z wykorzystaniem kalkulatora) · wykona obliczenia, w zapisie których wystpuj potgi o wykladniku naturalnym i calkowitym Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · poda dziedzin wyraenia algebraicznego · przeksztalci wyraenie algebraiczne · obliczy warto wyraenia algebraicznego dla danych wartoci zmiennych (take z wykorzystaniem kalkulatora) · stosowa obliczenia procentowe · odczyta dane z tabel, diagramów i wykresów · przedstawi dane w tabeli, na diagramie kolumnowym Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · wyznaczy kresy zbioru ograniczonego · wyznaczy sum, iloczyn, rónic przedzialów · rozwiza równanie, nierówno z wartoci bezwzgldn · okreli liczb rozwiza równania z wartoci bezwzgldn w zalenoci od wartoci parametru · wyznaczy bld bezwzgldny, wzgldny przyblienia liczby wymiernej · oszacowa bld bezwzgldny podanego przyblienia danej liczby niewymiernej · · oszacowa bld wzgldny podanego przyblienia liczby niewymiernej oszacowa warto wyraenia liczbowego

3.

· Wyraenia algebraiczne · Procenty i promile · Elementy statystyki opisowej

4.

· Kresy zbioru · Przedzialy liczbowe · Warto bezwzgldna · Bld przyblienia · Szacowanie wartoci wyrae liczbowych

12

Lp. 5.

Treci · Wzór na odleglo punktów · Pojcie funkcji · Wykres funkcji · Operacje na funkcjach

Cele badania Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · obliczy odleglo punktów o danych wspólrzdnych · poda dziedzin i zbiór wartoci danej funkcji · szkicowa wykresy funkcji okrelonych rónymi sposobami · odczyta z wykresu miejsca zerowe, dziedzin, zbiór wartoci, najmniejsz i najwiksz warto funkcji · oblicza wartoci sumy, rónicy, iloczynu, ilorazu funkcji · szkicowa wykresy funkcji f + c (c ­ funkcja stala), ­f, f , znajc wykres funkcji f Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · zbada, czy funkcja jest rónowartociowa

6.

· Funkcja rónowartociowa

· poda wzór funkcji odwrotnej do danej funkcji; · Funkcja odwrotna okreli dziedzin i zbiór wartoci funkcji odwrotnej · Funkcja monotoniczna · Proporcjonalno prosta · naszkicowa wykres funkcji odwrotnej na podstawie i odwrotna wykresu danej funkcji · Pierwiastek arytme· poda przedzialy monotonicznoci funkcji na podstawie tyczny jej wykresu · sprawdzi na podstawie definicji monotoniczno funkcji · rozpozna wielkoci wprost lub odwrotnie proporcjonalne i zapisa za pomoc wzoru zaleno midzy nimi · obliczy pierwiastek arytmetyczny lub poda jego przyblion warto · obliczy potg o wykladniku wymiernym 7. · Funkcja liniowa · Równania liniowe · Uklady równa liniowych Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · naszkicowa wykres funkcji liniowej · wyznaczy wzór funkcji liniowej, majc dany jej wykres · rozwiza równanie liniowe z jedn niewiadom · rozwiza równanie z jedn niewiadom równowane alternatywie równa liniowych · rozwiza równanie liniowe z jednym parametrem · rozwiza zadanie prowadzce do równa liniowych z jedn niewiadom · zaznaczy na plaszczynie zbiór punktów, których wspólrzdne spelniaj równanie liniowe z dwiema niewiadomymi · rozwiza zadanie prowadzce do ukladu równa liniowych z dwiema niewiadomymi · rozwiza uklad równa z dwiema, trzema niewiadomymi · poda interpretacj geometryczn ukladu dwóch równa liniowych z dwiema niewiadomymi

13

Lp. 8. · ·

Treci

Cele badania

Równania z parame- Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · rozwiza równanie z wartoci bezwzgldn trami Równania i nierównoci z wartoci bezwzgldn Uklady równa liniowych · · · rozwiza równanie liniowe z dwoma parametrami okreli liczb rozwiza równania z parametrem, w którym wystpuje warto bezwzgldna rozwiza uklad równa liniowych z dwiema niewiadomymi metod wyznaczników rozwiza uklad równa liniowych z dwiema niewiadomymi i parametrem

· ·

Uklady równa · liniowych z parametrem

9.

· Nierównoci liniowe z jedn niewiadom · Nierównoci liniowe z dwiema niewiadomymi · Nierównoci z wartoci bezwzgldn

Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · rozwiza nierówno liniow z jedn niewiadom, w tym proste przyklady z wartoci bezwzgldn · wyznaczy zbiór rozwiza nierównoci z jedn niewiadom i wartoci bezwzgldn · zaznaczy na plaszczynie zbiór rozwiza nierównoci liniowej z dwiema niewiadomymi · · zaznaczy na plaszczynie zbiór rozwiza ukladu równa liniowych i nierównoci liniowych rozwizywa zadania prowadzce do ukladów nierównoci liniowych

10. · Odleglo na plaszczynie · Wielokty · Przystawanie figur · Pole figury · Funkcje trygonometryczne kta ostrego w trójkcie prostoktnym

Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · uzasadni, e trzy punkty s wspólliniowe (nie s wspólliniowe), znajc odlegloci midzy tymi punktami · zapisa pole w rónych jednostkach pola · stosowa cechy przystawania trójktów · stosowa twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa · stosowa wzory na obliczanie pól wieloktów · wyznaczy dlugoci pozostalych boków trójkta prostoktnego, którego kt ostry ma miar 30°, 45° lub 60°, znajc dlugo jednego boku · obliczy przyblione dlugoci pozostalych boków trójkta prostoktnego, znajc dlugo jednego boku i miar kta ostrego trójkta · oblicza dlugoci boków, wysokoci wieloktów, stosujc funkcje trygonometryczne · wyznaczy wartoci pozostalych funkcji trygonometrycznych, znajc sinus lub kosinus kta

14

Lp.

Treci

Cele badania Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · obliczy pole wycinka kola, dlugo luku okrgu · obliczy pole odcinka kola · sprawdzi, czy w czworokt mona wpisa okrg · sprawdzi, czy na czworokcie mona opisa okrg · zapisa równanie okrgu, znajc wspólrzdne rodka i dlugo promienia okrgu · wyznaczy z równania okrgu wspólrzdne rodka i dlugo promienia tego okrgu · okreli wzajemne poloenie prostej i okrgu · okreli wzajemne poloenie okrgów Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · narysowa prost, znajc jej równanie kierunkowe lub ogólne · zapisa równanie kierunkowe prostej w postaci ogólnej i odwrotnie · wyznaczy równanie kierunkowe i ogólne prostej przechodzcej przez dwa dane punkty · okreli wzajemne poloenie prostych o danych równaniach · wyznaczy równanie prostej równoleglej, prostopadlej do danej prostej · zaznaczy na plaszczynie zbiór punktów, których wspólrzdne spelniaj dan nierówno liniow · zapisa nierówno liniow z dwiema niewiadomymi, które s wspólrzdnymi punktów nalecych do danej pólplaszczyzny · zaznaczy na plaszczynie zbiór punktów, których wspólrzdne spelniaj dany uklad nierównoci liniowych · opisa zbiór zaznaczony na plaszczynie za pomoc ukladu nierównoci liniowych Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · wyznaczy obraz punktu w symetrii rodkowej, osiowej · wyznaczy wspólrzdne obrazu punktu w symetrii wzgldem pocztku ukladu wspólrzdnych, osi ukladu wspólrzdnych · wyznaczy obraz odcinka w symetrii rodkowej, osiowej · · wyznaczy równanie obrazu prostej, okrgu w symetrii rodkowej, osiowej sprawdzi, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta

11. · Kolo i okrg · Wielokt wpisany w okrg · Wielokt opisany na okrgu

12. · Równanie prostej · Opisywanie zbiorów za pomoc nierównoci liniowych

13. · Symetria rodkowa · Symetria osiowa · Funkcja parzysta, nieparzysta

15

Lp.

Treci

Cele badania Sprawdzamy, czy ucze potrafi: · obliczy wspólrzdne i dlugo wektora · wyznaczy wspólrzdne pocztku (koca) wektora, znajc wspólrzdne wektora, wspólrzdne jego koca (pocztku) · wyznaczy równanie obrazu prostej, okrgu w przesuniciu równoleglym · zbudowa sum, rónic wektorów, iloczyn wektora przez liczb · wyznaczy wspólrzdne sumy, rónicy i iloczynu wektora przez liczb, znajc wspólrzdne wektorów · wyznaczy wspólrzdne rodka odcinka · wyznaczy wspólrzdne rodka cikoci trójkta, znajc wspólrzdne jego wierzcholków · narysowa obraz wykresu funkcji w przesuniciu o wektor · wyznaczy wzór funkcji, której wykres jest obrazem wykresu danej funkcji w przesuniciu o wektor · · poda wspólrzdne wektora prostopadlego, równoleglego do prostej danej równaniem wyznaczy równanie symetralnej odcinka

14. · Wektory · Przesunicie o wektor · Przeksztalcenia wykresów funkcji

16

ROZKLAD MATERIALU (propozycja)

1. Wstp do matematyki wspólczesnej

Lp. 1. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe

Ucze potrafi: Zdanie w sensie logicz- · Poznanie podstawowych elementów myle- · poda przyklad zdania nym prawdziwego i przyklad zda· Przyklady zda w sensie nia matematycznego · Precyzyjne nia falszywego logicznym formulowanie myli · okreli, czy dane zdanie · Zaprzeczenie zdania w mowie i pimie proste jest prawdziwe, czy · Koniunkcja zda falszywe · Alternatywa zda · zapisa zaprzeczenie, koniunkcj, alternatyw zda · odczyta zapisane zdania z uyciem symboli , , · okreli, czy zaprzeczenie, koniunkcja, alternatywa zda jest zdaniem prawdziwym, czy falszywym

Sposób realizacji Podajemy przyklady zda logicznych i zda, które nie s zdaniami logicznymi. Polecamy uczniom, aby wskazali zdania, o których mona powiedzie, e s prawdziwe lub falszywe. Wprowadzamy pojcie zdania logicznego. Podajemy przyklady zda, w których wystpuj funktory zdaniotwórcze negacji, koniunkcji, alternatywy. Wprowadzamy pojcie negacji zdania oraz pojcia alternatywy i koniunkcji zda. Wprowadzamy symbole spójników logicznych negacji, alternatywy, koniunkcji. Podajemy, jak warto logiczn ma koniunkcja (alternatywa) w zalenoci od wartoci logicznych zda j tworzcych. Podajemy, jak warto logiczn ma zaprzeczenie zdania prawdziwego oraz zaprzeczenie zdania falszywego. Polecamy uczniom, aby przeczytali z podrcznika przyklady dotyczce okrelania wartoci logicznej negacji, koniunkcji i alternatywy. wiczenia Wskazywanie, które z podanych zda prostych s zdaniami logicznymi oraz okrelanie wartoci logicznych zda. Odczytywanie zapisanych zda (np. p (q r)). Okrelanie wartoci logicznych zda zloonych (np. (p q), p q, p q), gdy zdania p, q s podane oraz gdy znane s tylko wartoci logiczne zda p, q. Praca domowa Poda przyklady zda, dla których wyraenie (np. (p r) q) jest prawdziwe oraz zda, dla których to wyraenie jest falszywe. Zadania 1a), c), d), f), g), h), str. 12 i wybrane zadania ze zbioru zada. 19

Uwagi Uczniowie powinni umie podawa przyklady zda prawdziwych i falszywych, odczytywa zdania zapisane za pomoc symboli logicznych, okrela, czy zdania zloone s prawdziwe, czy falszywe zarówno wtedy, gdy tworzce je zdania proste s okrelonymi zdaniami, jak i wtedy, gdy znane s tylko ich wartoci logiczne.

Lp. 2. Temat (treci) Implikacja zda Równowano zda · Implikacja zda · Równowano zda Cele ogólne · Poznanie podstawowych elementów mylenia matematycznego · Precyzyjne formulowanie myli w mowie i pimie Cele szczególowe Ucze potrafi: · zapisa implikacj, równowano zda · odczyta zapisane zdanie z uyciem symboli , · okreli, czy implikacja, równowano zda jest zdaniem prawdziwym, czy falszywym · okreli, czy dane twierdzenie jest implikacj, równowanoci · formulowa twierdzenia, stosujc pojcia: warunek konieczny, dostateczny

Sposób realizacji Podajemy przyklady zda, w których wystpuj funktory zdaniotwórcze implikacji i równowanoci. Wprowadzamy pojcia implikacji i równowanoci zda. Wprowadzamy symbole spójników logicznych implikacji i równowanoci. Podajemy, jak warto logiczn ma implikacja (równowano) w zalenoci od wartoci logicznych zda j tworzcych. Polecamy uczniom, aby przeczytali z podrcznika przyklady dotyczce okrelania wartoci logicznej implikacji i równowanoci. Podajemy przyklady twierdze, które s zapisane w formie implikacji oraz przyklady twierdze, które s zapisane w formie równowanoci. Wskazujemy zaloenie i tez w twierdzeniach zapisanych w formie implikacji. Wprowadzamy pojcia warunku koniecznego i dostatecznego. wiczenia Odczytywanie zapisanych zda z uyciem symboli , . Okrelanie wartoci logicznych zda zloonych (np. (p q) r) zarówno, gdy zdania p, q, r s okrelonymi zdaniami, jak i wtedy, gdy podane s tylko ich wartoci logiczne. Podawanie przykladów twierdze formulowanych w postaci implikacji i równowanoci. Wypowiadanie np. twierdze: Jeeli liczba jest liczb pierwsz, to nie jest podzielna przez 5; Liczba jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr 20

jest podzielna przez 3 w formie: Warunkiem koniecznym tego, aby liczba byla liczb pierwsz jest, aby nie byla podzielna przez 5; Warunkiem koniecznym i wystarczajcym tego, aby liczba byla podzielna przez 3 jest, aby suma jej cyfr byla podzielna przez 3. Praca domowa Poda przyklady zda, dla których np. wyraenie p (q r) jest prawdziwe i takich, dla których jest ono falszywe. Wyszuka w podrczniku twierdzenia zapisane w postaci implikacji i równowanoci. Zadania 1b), e), i), j), 2, str. 12. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Podkrelamy fakt, e implikacja jest falszywa tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy i nastpnik falszywy. Ilustrujemy przykladami fakt, e implikacja jest prawdziwa, gdy jej poprzednik jest falszywy (niezalenie od wartoci logicznej nastpnika implikacji). Podajemy przyklad twierdzenia, dla którego twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Uczniowie powinni umie podawa przyklady twierdze formulowanych jako implikacja, równowano, okreli, kiedy zdania p q, p q s prawdziwe, kiedy falszywe, uzasadni, e twierdzenie odwrotne do danego nie musi by prawdziwe.

Lp. 3. Temat (treci) Prawa rachunku zda · Zastpienie równowanoci implikacj · Prawa De Morgana · Prawo wylczonego rodka · Prawo kontrapozycji Cele ogólne Cele szczególowe

· Poznanie podstawoUcze potrafi: wych elementów myle- · zapisa rónowano zda za nia matematycznego pomoc implikacji · Precyzyjne · zapisa zaprzeczenie formulowanie myli koniunkcji (alternatywy) za w mowie i pimie pomoc alternatywy (koniunkcji) zaprzecze · Przeprowadzanie · zastpi implikacj zdaniem prostych rozumowa równowanym, wykorzydedukcyjnych stujc prawo kontrapozycji · dowodzi prawa rachunku zda

Sposób realizacji Podajemy przyklady zda ilustrujcych prawo wylczonego rodka, np. x = 2 x 2; 2 + 3 > 7 2 + 3 7. Wyjaniamy, dlaczego alternatywa dwóch zda, z których jedno jest zaprzeczeniem drugiego, jest zawsze zdaniem prawdziwym. Wprowadzamy pojcie prawa rachunku zda.

21

wiczenia Okrelanie wartoci logicznych zda (np. (p q), p q, (p q), p q), jeli zdania p, q s podanymi zdaniami oraz jeli znamy tylko ich wartoci logiczne. Zastpowanie zda logicznych równowanymi im zdaniami z zastosowaniem odpowiednich praw logicznych. Dowodzenie niektórych praw logicznych. Praca domowa Poda przyklady zda ilustrujce prawa przechodnioci i prawo kontrapozycji. Zadanie 3, str. 13. Zadanie 4, str. 13. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Uczniowie na tym etapie ksztalcenia nie musz zna wszystkich praw rachunku zda. Wskazane jest, aby znali i rozumieli prawa, które s zapisane w rozkladzie materialu. wiczenia powinny sluy przede wszystkim zrozumieniu i umiejtnoci wykorzystywania praw.

Lp. 4. Temat (treci) Zbiory · Zbiór, zbiór pusty · Relacja naleenia do zbioru · Zbiory skoczone i nieskoczone · Sposoby zapisywania zbiorów · Zawieranie si zbiorów · Podzbiór zbioru · Cz wspólna zbiorów · Zbiory rozlczne · Suma zbiorów · Rónica zbiorów Cele ogólne · Operowanie prostymi obiektami matematycznymi · Opisywanie zbiorów za pomoc równa i nierównoci · Definiowanie obiektów matematycznych · Podawanie przykladów i kontrprzykladów Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda przyklady zbiorów skoczonych i nieskoczonych · poda przyklady elementów nalecych i nienalecych do danego zbioru · zapisa zbiór o danych elementach · poda przyklad podzbioru danego zbioru · poda przyklad zbiorów, z których aden nie jest podzbiorem drugiego · zaznaczy na diagramie sum, iloczyn zbiorów i rónic zbiorów · zapisa fakt naleenia elementu do sumy, iloczynu, rónicy zbiorów, wykorzystujc odpowiednie symbole logiczne

22

Sposób realizacji Omawiamy pojcie zbioru, relacj naleenia elementu do zbioru, pojcie zbioru skoczonego i nieskoczonego. Uczniowie podaj przyklady zbiorów skoczonych i nieskoczonych, przyklady elementów nalecych i nienalecych do danego zbioru. Omawiamy sposoby zapisywania zbiorów (np. zbiór, którego jedynymi elementami s liczby 0, 1, moemy zapisa nastpujco: {x N: x < 2}, {x R: x(x ­ 1) = 0}, {0, 1}). Wprowadzamy pojcie zbiorów równych. Podajemy przyklad zbioru oraz przyklady kilku podzbiorów tego zbioru. Wyjaniamy pojcie zawierania si zbiorów. Wprowadzamy definicje sumy, iloczynu, rónicy zbiorów, ilustrujc je przykladami. Uczniowie zaznaczaj na diagramach sum, iloczyn, rónic zbiorów. Wskazuj elementy nalece i nienalece do sumy, rónicy i iloczynu danych zbiorów. Podaj przyklady zbiorów rozlcznych. wiczenia Zapisanie zbioru skoczonego o danych elementach. Wskazywanie zbiorów skoczonych i nieskoczonych wród podanych zbiorów. Zaznaczanie na diagramach sumy, rónicy i iloczynu zbiorów. Zapisywanie, e dany element naley do sumy, rónicy, iloczynu zbiorów (np. 5 A \ B 5 A 5 B). Podawanie przykladów podzbiorów danego zbioru. Wskazywanie, które sporód podanych zbiorów s zbiorami równymi. Praca domowa Zadania 1, 3, str. 16; zadania 5, 8, str. 17. Zapisz, stosujc zapis symboliczny, fakt, e np. element nie naley do zbioru A B. Uwagi Uczniowie powinni potrafi zapisywa zbiory skoczone, podawa przyklady elementów nalecych i nienalecych do zbioru, podawa przyklady elementów nalecych i nienalecych do sumy, rónicy, iloczynu zbiorów, podawa przyklady podzbiorów danego zbioru, stwierdza, np. na podstawie zdania: x A x B, e x naley do rónicy zbiorów A i B. Przy omawianiu dziala na zbiorach wykorzystujemy przyklady zbiorów skoczonych.

Jeli uczniowie bd mieli trudnoci z opanowaniem umiejtnoci zapisanych w rozkladzie, material ten powinnimy zrealizowa w cigu dwóch jednostek lekcyjnych.

23

Lp. 5.

Temat (treci) Wlasnoci dziala na zbiorach · Przemienno · Lczno · Rozdzielno · Prawa De Morgana

Cele ogólne · Operowanie prostymi obiektami matematycznymi · Opisywanie zbiorów za pomoc równa i nierównoci · Samodzielne zdobywanie wiedzy matematycznej · Przeprowadzanie prostych rozumowa dedukcyjnych

Cele szczególowe Ucze potrafi: · wyznaczy sum, iloczyn, rónic zbiorów · wyznaczy dopelnienie zbioru · ilustrowa na diagramach wlasnoci dziala na zbiorach · przeprowadzi dowody wybranych praw rachunku zbiorów

Sposób realizacji Uczniowie wyznaczaj zbiory A B, A C, B \ C, (A B) C, A (B \ C) itp., majc dane zbiory A, B, C. Uczniowie odszukuj w podrczniku definicj dopelnienia zbioru i zapoznaj si z ni. Polecamy uczniom, aby podali dopelnienie tego samego zbioru dla rónych przestrzeni. Uczniowie zapoznaj si z zapisanymi w podrczniku wlasnociami dziala na zbiorach. Ilustruj wybrane wlasnoci na diagramach. Uczniowie przeprowadzaj dowód wybranej wlasnoci, wzorujc si na dowodzie zamieszczonym w podrczniku. wiczenia Zadanie 2, str. 16. Ilustrowanie wlasnoci dziala na diagramach. Odszukanie definicji dopelnienia zbiorów i zapoznanie si z ni. Wyznaczanie dopelnienia zbioru. Zapoznanie si z przeprowadzonym w podrczniku dowodem wlasnoci. Przeprowadzenie dowodu wybranej wlasnoci. Praca domowa Zadania 4, 7, 9, str. 17. Zadania 10, 11, str. 17 lub wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Ucze powinien sprawnie wyznacza sum, rónic, iloczyn zbiorów skoczonych, rozumie pojcie dopelnienia zbioru, potrafi zilustrowa wybran wlasno na diagramie. Zwracamy uwag na rozdzielno sumy wzgldem iloczynu zbiorów (wlasno ta nie ma odpowiednika dla liczb rzeczywistych). Dla ilustracji np. wlasnoci A (B C) = (A B) (A C) zaznaczamy na kolejnych diagramach zbiory: B C, A (B C), A B, A C, (A B) (A C). Do 24

ilustrowania wlasnoci dziala na zbiorach mona wykorzysta diagramy zamieszczone w zbiorze zada. Odszukiwanie w podrczniku wskazanej definicji i zapoznawanie si z ni jest jednym z elementów ksztalcenia umiejtnoci korzystania z tekstu matematycznego.

Lp. 6. Temat (treci) Kwantyfikatory · Kwantyfikator szczególowy · Kwantyfikator ogólny · Zaprzeczenie kwantyfikatora Cele ogólne Cele szczególowe

Ucze potrafi: · Operowanie obiektami matematycznymi · zapisywa za pomoc sym· Poznanie podstawoboli kwantyfikatorów zdania, wych elementów myle- w których wystpuj zwroty dla kadego, istnieje nia matematycznego · Prowadzenie prostych · poda przyklad zdania rozumowa dedukprawdziwego, falszywego cyjnych z kwantyfikatorem szczególowym i ogólnym · okreli, czy zdanie z kwantyfikatorem szczególowym, ogólnym jest prawdziwe, falszywe

Sposób realizacji Omawiamy pojcia kwantyfikatora ogólnego i kwantyfikatora szczególowego. Wprowadzamy symbole kwantyfikatorów. Uczniowie zapisuj zdania (np. Dla kadego x x2 + 5 0; Istnieje x < 0 taki, e 3x ­ 1 < 0; Dla kadego x istnieje y taki, e x + y = 7), wykorzystujc w zapisie symbole kwantyfikatorów. Uczniowie podaj przyklady zda prawdziwych i przyklady zda falszywych odpowiednio z kwantyfikatorem ogólnym, kwantyfikatorem szczególowym. Okrelaj wartoci logiczne zda, w których wystpuj kwantyfikatory. Uzasadniaj, e podane zdania s prawdziwe (falszywe). wiczenia Zadanie 1, str. 19. Wybrane zadania ze zbioru zada. Zapisywanie zaprzeczenia zdania z kwantyfikatorem (zastosowanie twierdzenia). Praca domowa Zadania 2, 3, 4, str. 19. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Ucze powinien rozumie, e np. wyraenie x 0 nie jest zdaniem logicznym, natomiast wyraenie: Dla kadego x x 0 jest zdaniem logicznym. Powinien umie okrela warto logiczn zda z kwantyfikatorami, stosowa twierdzenia dotyczce zaprzeczenia zda z kwantyfikatorami (rozumie, e np. zdanie: Nieprawda, e dla kadego x x 0 jest równowane zdaniu: Istnieje x taki, e x > 0).

25

Wan umiejtnoci ksztalcon na zajciach jest umiejtno uzasadniania, e zdanie jest prawdziwe, falszywe. Opanowanie tej umiejtnoci umoliwi uczniom w toku dalszej nauki sprawne przeprowadzanie prostych dowodów matematycznych.

Zagadnienia wystpujce w rozdziale 1.4. Kalkulator. Arkusz kalkulacyjny powinny by omawiane w miar potrzeb, np. przed planowan lekcj, na której bdzie stosowany kalkulator lub arkusz kalkulacyjny. Uczniowie powinni przeczyta wskazane fragmenty, jeli niedostatecznie sprawnie posluguj si kalkulatorem lub arkuszem kalkulacyjnym.

2. Liczby rzeczywiste

Lp. 1. Temat (treci) Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych · Liczby naturalne · Liczby parzyste, nieparzyste · Liczby pierwsze, zloone · Podzielno liczb · Rozklad liczby na czynniki pierwsze · Liczby calkowite · Liczby wymierne · Liczby niewymierne · O liczbowa · Wspólrzdne punktu na osi liczbowej Cele ogólne Cele szczególowe

· Podawanie przykladów Ucze potrafi: · poda przyklady liczb natui kontrprzykladów ralnych, parzystych, nie· Definiowanie obiektów parzystych, pierwszych, matematycznych · Przyswajanie schematów zloonych, calkowitych, wymiernych, niewymiernych rozumowa i ich stoso· rozpozna, czy liczba jest wanie naturalna, calkowita, · Przeprowadzanie wymierna, niewymierna prostych rozumowa · zaznaczy na osi punkt dedukcyjnych o danej wspólrzdnej · odczyta wspólrzdne punktu zaznaczonego na osi liczbowej · uzasadni, e dane liczby s wymierne · udowodni, e dana liczba jest niewymierna

Sposób realizacji Wskazane jest, aby uczniowie zapoznali si w domu z treci rozdzialu 2.1. Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Sprawdzamy, czy uczniowie potrafi podawa przyklady liczb parzystych, nieparzystych, pierwszych, zloonych, calkowitych, wymiernych, niewymiernych (przypominamy odpowiednie pojcia). Uczniowie rozkladaj liczby na czynniki pierwsze. Przypominamy pojcie osi liczbowej i pojcie wspólrzdnej punktu. Uczniowie zaznaczaj na osi liczbowej punkty o danych wspólrzdnych oraz odczytuj wspólrzdne danych punktów zaznaczonych na osi liczbowej. Uczniowie uzasadniaj, korzystajc z definicji, e wskazane liczby s wymierne. Przeprowadzamy dowód niewymiernoci liczby .

26

wiczenia Podawanie przykladów liczb parzystych, nieparzystych, pierwszych, zloonych. Rozkladanie liczb na czynniki pierwsze. Wskazywanie liczb naturalnych, calkowitych, wymiernych, niewymiernych wród

podanych liczb zapisanych w rónej postaci np. ,

.

Zaznaczanie na osi liczbowej punktu o danej wspólrzdnej np. 5; 2,2; ­3 ,

, od

czytywanie wspólrzdnych punktów zaznaczonych na osi.

Uzasadnianie, e liczby postaci 2 , 0,3, ­4 , 2,(6) s liczbami wymiernymi.

Dowodzenie, e liczba Praca domowa Zadania 3, 4c), 5, 6, str. 29. Zadanie 7, str. 29. Uwagi

jest niewymierna.

Celem lekcji jest przede wszystkim uporzdkowanie wiadomoci o liczbach. Uczniowie powinni wiedzie, do jakiego zbioru liczbowego naley dana liczba i umie podawa przyklady liczb nalecych do danego zbioru liczbowego.

Lp. 2. Temat (treci) Dzialania. Wlasnoci dziala · Wykonalno dziala w zbiorach liczb: naturalnych, calkowitych, wymiernych, niewymiernych, rzeczywistych · Wlasnoci dziala, kolejno wykonywania dziala · Obliczanie wartoci wyrae liczbowych · Potga o wykladniku naturalnym i calkowitym · Podstawowe wlasnoci dotyczce potg Cele ogólne · Wykonywanie dziala na liczbach · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Przeprowadzanie dokladnych oblicze · Wykorzystanie kalkulatora do oblicze · Ksztaltowanie umiejtnoci wspólpracy przy rozwizywaniu problemów Cele szczególowe Ucze potrafi: · ustali, czy dane dzialanie jest wykonalne w danym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych · wskaza dzialania, które nie s wykonalne w danym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych i uzasadni odpowied · stosowa wlasnoci dziala przy obliczaniu wartoci wyrae liczbowych · oblicza wartoci wyrae liczbowych z wykorzystaniem kalkulatora · wykonywa obliczenia, w zapisie których wystpuj potgi o wykladniku naturalnym i calkowitym · stosowa wlasnoci potg

27

Sposób realizacji Wprowadzamy pojcie dzialania wykonalnego w zbiorze. Podajemy przyklady dziala, które s wykonalne i dziala, które nie s wykonalne w danym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. Uczniowie uzasadniaj, e wskazane dzialanie nie jest wykonalne w danym zbiorze, podajc odpowiednie przyklady. Polecamy, aby uczniowie przeczytali fragment rozdzialu dotyczcy wlasnoci dziala oraz kolejnoci wykonywania dziala. Uczniowie rozwizuj zadania, wykorzystujc wlasnoci dziala, obliczaj wartoci wyrae liczbowych z wykorzystaniem kalkulatora. wiczenia Wskazywanie dziala wykonalnych w danym zbiorze. Podawanie przykladów uzasadniajcych, e dzialanie nie jest wykonalne w danym zbiorze. Zadanie 1, str. 32; zadania 5b), d), e), str. 33. Obliczanie wartoci wyrae (take za pomoc kalkulatora). Obliczanie wartoci wyrae z wykorzystaniem wlasnoci potg. Zadanie 4, str. 32. Praca domowa Zadania 2, 3, str. 32; zadania 5c), f), str. 33. Zadanie 6, str. 33. Uwagi Wskazane jest, aby uczniowie pracowali w grupach. Uatrakcyjni to zajcia i umoliwi osignicie zaloonych celów w krótkim czasie. Bardzo wane jest wyksztalcenie umiejtnoci obliczania potg o wykladnikach calkowitych oraz stosowanie wlasnoci potg. Uczniowie powinni sprawnie poslugiwa si kalkulatorem przy obliczaniu wartoci liczbowej wyrae. Na zajciach lekcyjnych mona wykorzysta zamieszczone w zbiorze zada przyklady.

28

Lp. 3.

Temat (treci) Rozwinicia dziesitne liczb rzeczywistych · Rozwinicia dziesitne liczb wymiernych · Rozwinicia dziesitne liczb niewymiernych · Przyblienia dziesitne z niedomiarem · Przyblienia dziesitne z nadmiarem · Zaokrglenia

Cele ogólne · Przeprowadzanie oblicze dokladnych i przyblionych · Wykorzystanie kalkulatorów do oblicze · Samodzielne opanowanie definicji i twierdze z podrcznika

Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda rozwinicie dziesitne liczby wymiernej · zapisa w postaci ulamka zwyklego liczb o danym rozwiniciu dziesitnym skoczonym · zapisa w postaci ulamka zwyklego liczb o danym rozwiniciu dziesitnym nieskoczonym i okresowym · poda przyblienie dziesitne liczby rzeczywistej z niedomiarem, nadmiarem · poda zaokrglenie dziesitne liczby rzeczywistej

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z fragmentem rozdzialu 2.3. Rozwinicia dziesitne liczb rzeczywistych (str. 33) dotyczcym dziesitnego systemu pozycyjnego. Wykorzystujc kalkulator, uczniowie podaj rozwinicia dziesitne liczb wymiernych (uczniowie mog wyznacza rozwinicia dziesitne, wykonujc odpowiednie dzielenie). Przypominamy, jaka jest rónica midzy rozwiniciami dziesitnymi liczb wymiernych i niewymiernych. Stosujc schematy blokowe, uczniowie podaj przyblienia dziesitne z niedomiarem i nadmiarem oraz zaokrglenia dziesitne liczb rzeczywistych. Po zapoznaniu si z przykladem w podrczniku (str. 34) uczniowie zapisuj w postaci ulamka zwyklego liczby, których rozwinicie dziesitne jest nieskoczone i okresowe. wiczenia

Podawanie rozwini dziesitnych liczb wymiernych np. , , , 1 .

Podawanie przyblie dziesitnych z nadmiarem, niedomiarem i zaokrgle liczb (mona wykorzysta przyklady zamieszczone w zbiorze zada). Zapisanie w postaci ulamka zwyklego ulamka okresowego (np. 0,(4); 0,0(12)). Praca domowa Zapozna si z przykladem opisanym na pocztku rozdzialu 2.4. Wyraenia algebraiczne. Zadania 3, 5, str. 36; zadania 6, 7b), str. 37. Zadanie 8, str. 37. Uwagi Przy wyznaczaniu przyblie liczb uczniowie powinni korzysta z kalkulatora. 29

Jeli w czasie lekcji nie wystarczy czasu, to polecamy uczniom, aby zapoznali si w domu z tabelami na str. 34 (tworzenie jednostek wyszego i niszego rzdu).

Lp. 4. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · uporzdkowa wyraenie (dodawanie jednomianów podobnych) · poda dziedzin wyraenia algebraicznego · zapisywa wyraenia algebraiczne w innej postaci, wykorzystujc wzory skróconego mnoenia · oblicza wartoci wyrae algebraicznych dla danych wartoci zmiennych (take z wykorzystaniem kalkulatora)

Wyraenia algebraiczne · Wykonywanie dziala na wyraeniach · Jednomian algebraicznych · Jednomiany podobne · Przeprowadzanie obli· Dziedzina wyraenia cze dokladnych i przyalgebraicznego · Przeksztalcanie wyrae blionych · Wykorzystanie kalkulaalgebraicznych torów do oblicze · Wyraenia algebraiczne równe

Sposób realizacji Sprawdzamy, czy uczniowie zrozumieli przeczytany w domu fragment podrcznika. Uczniowie podaj znane im wzory skróconego mnoenia, przeksztalcaj wyraenia algebraiczne, stosujc wzory skróconego mnoenia, i porzdkuj wyraenia. Przypominamy, wykorzystujc wykonane wiczenia, pojcia jednomianu, jednomianów podobnych. Uczniowie okrelaj dziedzin wyrae algebraicznych oraz obliczaj wartoci wyrae dla podanych wartoci zmiennych. Podajc odpowiednie przyklady, omawiamy pojcie wyrae algebraicznych równych. wiczenia Okrelanie dziedziny wyraenia algebraicznego. Podawanie warunków okrelajcych dziedzin wyraenia algebraicznego. Porzdkowanie wyraenia algebraicznego za pomoc redukcji wyrazów podobnych. Przeksztalcanie wyraenia algebraicznego z wykorzystaniem wzorów skróconego mnoenia. Wyznaczanie wskazanej zmiennej z podanego warunku. Obliczanie wartoci wyraenia dla danych wartoci zmiennych (take z wykorzystaniem kalkulatora). Sprawdzanie, czy dane wyraenia s równe. Praca domowa Zadania 3b), 4b), c), 5, str. 39.

30

Uwagi Na lekcji wykorzystujemy wybrane przyklady ze zbioru zada. Szczególn uwag powinno si zwróci na rozwijanie umiejtnoci przeksztalcania wyrae z wykorzystaniem wzorów skróconego mnoenia i wyznaczania wskazanej zmiennej z podanego warunku.

Lp. 5. Temat (treci) Procenty i promile · Procent · Promil · Regula trzech Cele ogólne · Przeprowadzanie oblicze procentowych · Przeprowadzanie oblicze dokladnych i przyblionych · Opisywanie zwizków pomidzy wielkociami liczbowymi za pomoc równa i nierównoci · Wykorzystanie kalkulatora do oblicze Cele szczególowe Ucze potrafi: · zamienia procenty na promile i odwrotnie · obliczy procent (promil) danej liczby · wyznaczy liczb, znajc jej procent (promil) · oblicza, jaki procent jednej liczby stanowi druga liczba · oblicza, o ile procent jedna liczba jest wiksza (mniejsza) od drugiej liczby · wykorzystywa obliczenia procentowe w zadaniach z kontekstem realistycznym

Sposób realizacji Omawiamy pojcia: procent, promil. Uczniowie obliczaj procent danej liczby, wyznaczaj liczb, znajc jej procent, obliczaj, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, obliczaj, o ile procent jedna liczba jest wiksza (mniejsza) od drugiej. Wyniki podaj z okrelon dokladnoci. Uczniowie rozwizuj zadania z wykorzystaniem oblicze procentowych (zadania dotyczce ste roztworów, odsetek od lokat bankowych i inne). wiczenia Zadania 1a), 2a), c), 3a), b), 4, 5, 6, 7, str. 42; zadanie 8, str. 43. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1c), 2b), 3c), str. 42. Odpowiednio dobrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Temat ten powinien by realizowany na dwóch jednostkach lekcyjnych. Na pierwszej ksztalcimy przede wszystkim umiejtno poslugiwania si procentem (promilem) przy rozwizywaniu prostych zada rachunkowych (np. zadania 1, 2, 3, 4), na drugiej umiejtno wykorzystywania oblicze procentowych w zadaniach z kontekstem 31

realistycznym. Przy realizacji programu w zakresie rozszerzonym naley wykorzysta trudniejsze zadania praktyczne ze zbioru zada.

Lp. 6. Temat (treci) Elementy statystyki opisowej · Tabela · Diagram kolowy · Diagram kolumnowy · Diagram slupkowy · Wykres liniowy Cele ogólne · Odczytywanie i przedstawianie danych w rónych formach · Wykorzystanie nowoczesnych narzdzi wspomagajcych rozwizywanie problemów Cele szczególowe Ucze potrafi: · odczyta informacje ilociowe z tabel, diagramów i wykresów · porówna odczytane wielkoci · przedstawi dane w tabelach, za pomoc wykresu kolowego, kolumnowego, slupkowego, wykresu liniowego · posluy si kreatorem wykresów arkusza kalkulacyjnego

Sposób realizacji Zajcia najlepiej przeprowadzi w pracowni komputerowej. Uczniowie otwieraj przygotowany w edytorze tekstu dokument, w którym s przygotowane wykresy i diagramy, i wykonuj opisane polecenia (odczytywanie i porównywanie danych). Wykorzystujc kreator wykresów arkusza kalkulacyjnego, uczniowie przedstawiaj dane za pomoc diagramów kolowych, kolumnowych, slupkowych, liniowych. Obserwuj zmiany na wykresach po wprowadzeniu innych danych. wiczenia Odczytywanie danych z wykresów. Porównywanie danych. Tworzenie wykresów z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego. Porównywanie form prezentacji danych. Praca domowa Zapoznanie si z przykladami opisanymi w rozdziale 2.6. Elementy statystyki opisowej. Zadania 1, 2, str. 45 lub odpowiednio wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Przy planowaniu (przeprowadzaniu) zaj warto skorzysta z pomocy nauczyciela informatyki. Dokument w edytorze tekstu powinien zawiera przynajmniej trzy wykresy (np. kolowy, kolumnowy, liniowy) z zapisanymi pod nimi poleceniami. Uczniowie przed przystpieniem do pracy z arkuszem kalkulacyjnym powinni otrzyma krótk informacj (moe by dolczona do dokumentu w edytorze tekstu), jak poslugiwa si kreatorem wykresów.

32

Wane jest, aby uczniowie potrafili oceni przydatno okrelonej formy prezentacji danych. Jeli lekcja nie moe by przeprowadzona w pracowni komputerowej, to podczas realizacji tematu mona wykorzysta zamieszczone przyklady w podrczniku i zbiorze zada. Na realizacj tego tematu moemy przeznaczy dwie jednostki lekcyjne.

Lp. 7. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · porówna dwie liczby · zapisa nierówno równowan danej nierównoci, któr otrzymujemy po dodaniu do obydwu stron danej nierównoci tej samej liczby · zapisa nierówno równowan danej nierównoci, któr otrzymujemy po pomnoeniu obydwu stron danej nierównoci przez t sam liczb rón od zera · poda przyklad liczby wymiernej i niewymiernej, która spelnia dan nierówno

· Opisywanie zwizków Uporzdkowanie liczb pomidzy wielkociami rzeczywistych liczbowymi za pomoc · Porównywanie liczb · Dodawanie liczb do oby- równa i nierównoci · Podawanie przykladów dwu stron nierównoci i kontrprzykladów · Mnoenie stron nierównoci przez liczb · Gsto zbioru liczb wymiernych · Gsto zbioru liczb niewymiernych

Sposób realizacji Uczniowie porównuj liczby rzeczywiste. Podajc odpowiednie przyklady, omawiamy (przypominamy) zasady, jakie obowizuj przy dodawaniu liczb do obu stron nierównoci, mnoeniu obydwu stron nierównoci przez liczb rón od zera. Omawiamy pojcie gstoci zbioru liczb wymiernych, niewymiernych. Uczniowie take niewymiernych) p takich, e a < p < b podaj przyklady liczb wymiernych ( dla ustalonych liczb rzeczywistych a, b takich, e a < b. wiczenia Porównywanie liczb rzeczywistych (zad. 1a), b), c), f), str. 47). Zapisywanie nierównoci równowanej danej nierównoci, któr otrzymujemy odpowiednio po dodaniu do obydwu stron danej nierównoci tej samej liczby, pomnoeniu obydwu stron danej nierównoci przez t sam liczb rón od zera. Podawanie takich wartoci a, b, dla których implikacja a < b c < d ab < cd jest zdaniem falszywym. Podawanie przykladów liczb wymiernych w takich, e a < w < b, jeli dane s Podawanie przykladów liczb niewymiernych r takich, e a, b R i a < b. a < r < b, jeli dane s a, b R i a < b. 33

Praca domowa Zadania 1d), e), 2, 4, 5, str. 47. Zadania 3, 6, str. 47. Uwagi Na zajciach moemy wykorzysta przyklady zamieszczone w zbiorze zada. Bardzo wane jest wyksztalcenie umiejtnoci stosowania twierdze dotyczcych nierównoci (str. 46).

Lp. 8. Temat (treci) Przedzialy liczbowe · Przedzial otwarty · Przedzial domknity · Przedzial jednostronnie domknity (otwarty) · Przedzialy nieograniczone Cele ogólne · Opisywanie zbiorów za pomoc nierównoci i ich ukladów · Definiowanie obiektów matematycznych · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Samodzielne zdobywanie wiedzy matematycznej Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda przyklady liczb nalecych i nienalecych do danego przedzialu · zaznaczy przedzial na osi liczbowej · wyznaczy sum, iloczyn i rónic przedzialów · zapisa za pomoc przedzialu zbiór opisany za pomoc nierównoci lub ukladu nierównoci

Sposób realizacji Polecamy uczniom, aby zapoznali si z definicjami przedzialów ograniczonych przedstawionymi w podrczniku. Uczniowie zaznaczaj przedzialy ograniczone na osi liczbowej, podaj przyklady liczb nalecych i nienalecych do wskazanych przedzialów. Nastpnie uczniowie zapoznaj si z okreleniami przedzialów nieograniczonych. Zaznaczaj przedzialy nieograniczone na osi, podaj przyklady liczb nalecych i nienalecych do wskazanych przedzialów. Uczniowie zapisuj w postaci przedzialów zbiory zapisane za pomoc nierównoci lub ukladu nierównoci, wyznaczaj sum, iloczyn, rónic przedzialów. wiczenia Zadania 1b), c), 2, 3a), b), 4, str. 50; zadanie 6, str. 51. Wyznaczanie sumy, rónicy i iloczynu przedzialów. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1a), d), 3c, 5, str. 50. Zadanie 7, str. 51.

34

Uwagi Uczniowie powinni wiedzie, jakim zbiorem jest np. rónica zbiorów ­3, 1 \ {­3, 1}, 2, 5 \ (1, 4), (0, 3) \ N, iloczyn zbiorów 1, 5 C, (0, 7) R. Uczniowie, z którymi realizujemy program w zakresie rozszerzonym, powinni rozwiza zaproponowane zadania w krótkim czasie. Dlatego powinnimy dodatkowo wybra odpowiednie zadania ze zbioru zada.

Lp. 9. Temat (treci) Kresy zbiorów liczbowych · Zbiory ograniczone z dolu · Zbiory ograniczone z góry · Zbiory ograniczone · Kres zbioru ograniczonego Cele ogólne · Opisywanie zwizków pomidzy wielkociami liczbowymi za pomoc równa i nierównoci · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Definiowanie obiektów matematycznych · Przeprowadzanie prostych rozumowa dedukcyjnych Cele szczególowe Ucze potrafi: · wskaza liczb najmniejsz i najwiksz w zbiorze skoczonym · wskaza zbiory ograniczone i nieograniczone wród podanych zbiorów · poda przyklady zbiorów ograniczonych i nieograniczonych · uzasadni, e zbiór jest ograniczony · wyznaczy kresy zbioru ograniczonego

Sposób realizacji Polecamy uczniom, aby przeczytali przyklad zamieszczony na pocztku rozdzialu 2.9. Kresy zbiorów liczbowych. Omawiamy przeczytany fragment rozdzialu. Wprowadzamy pojcia: zbioru ograniczonego z dolu, zbioru ograniczonego z góry, zbioru ograniczonego. Uczniowie podaj przyklady zbiorów ograniczonych i nieograniczonych. Uzasadniaj, e dany zbiór jest ograniczony z góry (z dolu), wskazujc liczby wiksze lub równe (mniejsze lub równe) kademu elementowi tego zbioru. Podajc odpowiednie przyklady (zbiory skoczone, przedzialy), wprowadzamy pojcia: kresu dolnego, kresu górnego zbiorów. Uczniowie wyznaczaj kresy zbiorów ograniczonych (zbiory skoczone i przedzialy liczbowe). Przeprowadzamy dowód twierdzenia 3. (kolejne kroki dowodu mog by wskazywane przez uczniów). wiczenia Wskazywanie liczby najwikszej, najmniejszej w danym zbiorze. Podawanie przykladów zbiorów ograniczonych i nieograniczonych. Uzasadnianie, e zbiór jest ograniczony. Wyznaczanie kresów zbioru.

35

Praca domowa Zadania 1, 2, str. 53; zadania 3, 4, 5, str. 54. Zadanie 6, str. 54. Uwagi Na zajciach lekcyjnych wykorzystujemy wybrane przyklady ze zbioru zada. Celem lekcji jest przede wszystkim poznanie i zrozumienie pojcia zbioru ograniczonego. Od uczniów, z którymi realizujemy program w zakresie podstawowym, nie musimy wymaga formalnych definicji kresów zbioru, a pojcia te wprowadzamy, ilustrujc je odpowiednio dobranymi przykladami.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda warto bezwzgldn liczby · poda przyklady liczb spelniajcych dane równanie, dan nierówno · wyznaczy odleglo dwóch punktów na osi liczbowej · oblicza wartoci wyrae, w których wystpuje warto bezwzgldna

· Definiowanie obiektów 10. Warto bezwzgldna · Wlasnoci wartoci bez- matematycznych · Opisywanie zbiorów za wzgldnej pomoc równa, · Odleglo punktów na nierównoci i ich prostej ukladów · Interpretacja geometryczna wartoci bezwzgldnej · Opisywanie przedzialów za pomoc wartoci bezwzgldnej

Sposób realizacji Uczniowie obliczaj wartoci bezwzgldne liczb na podstawie definicji, podaj przyklady liczb spelniajcych dane równanie lub nierówno. Omawiamy wlasnoci wartoci bezwzgldnej. Realizujc program w zakresie rozszerzonym, zapoznajemy uczniów z dowodem np. twierdzenia 3d) (albo polecamy zapozna si z dowodem twierdzenia podanym w podrczniku). Uczniowie obliczaj wartoci wyrae, w których wystpuje warto bezwzgldna, obliczaj odlegloci punktów na osi liczbowej. wiczenia Obliczanie wartoci bezwzgldnej liczby. Podawanie przykladów liczb spelniajcych dane równanie, dan nierówno z wartoci bezwzgldn. Obliczanie wartoci wyraenia, w którym wystpuje warto bezwzgldna, z wykorzystaniem wlasnoci modulu. Obliczanie odlegloci punktów na osi liczbowej. Rozwizywanie zada z wykorzystaniem wlasnoci wartoci bezwzgldnej. Dowodzenie niektórych wlasnoci wartoci bezwzgldnej. 36

Praca domowa Zadania 1, 2, 4, 5, str. 57. Zadanie 7, str. 57. Uwagi Realizujc temat, moemy wykorzysta wybrane przyklady ze zbioru zada. Lekcj moemy zaplanowa tak, aby uczniowie samodzielnie zapoznali si z definicj wartoci bezwzgldnej, jej wlasnociami, wzorem na odleglo punktów na osi liczbowej zamieszczonymi w podrczniku i sporzdzili stosowne notatki.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · zaznaczy na osi liczbowej zbiory opisane za pomoc równania, nierównoci z wartoci bezwzgldn · rozwiza równanie, nierówno z wartoci bezwzgldn · zapisa przedzial lub sum przedzialów za pomoc nierównoci z wartoci bezwzgldn · okreli liczb rozwiza równania z wartoci bezwzgldn w zalenoci od wartoci parametru

11. Równania i nierównoci · Opisywanie zbiorów za pomoc równa i niezwizane z wartoci równoci bezwzgldn · Rozwizywanie równa · Zapisywanie i nierównoci z warprzedzialów za pomoc toci bezwzgldn wartoci bezwzgldnej · Równania i nierównoci z wartoci bezwzgldn

Sposób realizacji Uczniowie podaj liczby spelniajce dane równanie (nierówno) z wartoci bezwzgldn oraz liczby, które nie spelniaj danego równania (nierównoci). Omawiamy sposób rozwizywania równa i nierównoci z wartoci bezwzgldn. Uczniowie rozwizuj równania i nierównoci z wartoci bezwzgldn, zaznaczaj na osi zbiory liczb spelniajcych dan nierówno, zapisuj przedzialy, sumy przedzialów za pomoc nierównoci z wartoci bezwzgldn. Uczniowie okrelaj liczb rozwiza równania z wartoci bezwzgldn w zalenoci od wartoci parametru. wiczenia Zadanie 1a), 2b), str. 60. Zaznaczanie na osi zbiorów liczb spelniajcych równanie, nierówno (np. x = 3, x < 6, x > 2). 37

Rozwizywanie równa i nierównoci (np. 2x = 2, x < 3, x 1). Zadania 4a), b), f), str. 60. Wyznaczanie liczby rozwiza równania w zalenoci od wartoci parametru (np. x ­ 3 = m + 2). Praca domowa Zadania 1c), 2c), 3a), b), 4d), e), str. 60. Zadania 3c), 5, str. 60. Uwagi Na zajciach moemy take wykorzysta przyklady ze zbioru zada.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Przeprowadzanie oblicze przyblionych · Wykorzystanie kalkulatora do oblicze · Zapisywanie relacji midzy liczbami Cele szczególowe Ucze potrafi: · wyznaczy bld bezwzgldny podanego przyblienia danej liczby wymiernej · oszacowa bld bezwzgldny podanego przyblienia danej liczby niewymiernej · wyznaczy bld wzgldny podanego przyblienia danej liczby wymiernej · oszacowa bld wzgldny podanego przyblienia danej liczby niewymiernej

12. Bld przyblienia · Bld bezwzgldny · Bld wzgldny

Sposób realizacji Uczniowie obliczaj wartoci wyraenia liczbowego za pomoc kalkulatora dla rónych przyblie dziesitnych liczby. Wprowadzamy pojcie bldu bezwzgldnego. Uczniowie obliczaj bld bezwzgldny przyblienia dziesitnego liczby wymiernej oraz szacuj bld bezwzgldny przyblienia dziesitnego liczby niewymiernej. Wprowadzamy pojcie bldu wzgldnego. Uczniowie obliczaj bld wzgldny przyblienia dziesitnego liczby wymiernej oraz szacuj bld wzgldny przyblienia dziesitnego liczby niewymiernej. wiczenia Obliczanie wartoci wyraenia liczbowego 8 ­ 17 2 oraz zapisanego w postaci 609 ­ 272 z wykorzystaniem kalkulatora dla przyblie 2,2; 2,24 i 2,236 liczby . Szacowanie bldu bezwzgldnego przyblienia 1,7 liczby .

38

Zadania 1a), b), 6, str. 63. Szacowanie bldu wzgldnego przyblienia 2,2 liczby Praca domowa Uczniowie powinni przeledzi przyklady omówione w rozdziale 2.12. Bld przyblienia i rozwiza zadania 1c), d), 3, str. 63. Uczniowie powinni przeledzi przyklady omówione w rozdziale 2.12 i rozwiza zadania 1d), 2, 5, 8, str. 63 lub wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Celem lekcji jest uwiadomienie uczniom, e wykonujc dzialania za pomoc kalkulatora, wykonujemy dzialania na przyblieniach dziesitnych liczb i w zalenoci od tego, jakie przyblienie zostanie przyjte do oblicze (albo od kolejnoci wykonywanych dziala), moemy otrzyma wyniki znacznie rónice si od siebie. Nie wiemy take, o ile róni si otrzymane wyniki od wartoci wyraenia, dlatego wana jest informacja, jak bardzo przyblienie róni si od wartoci wyraenia.

Temat ten moe by zrealizowany zgodnie z konspektem zamieszczonym na str. 100­105. Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Opisywanie zwizków pomidzy wielkociami liczbowymi za pomoc równa i nierównoci · Przeprowadzanie oblicze przyblionych · Samodzielne zdobywanie wiedzy matematycznej Cele szczególowe Ucze potrafi: · wyznaczy przedzial, do którego naley warto wyraenia, jeli dane jest przyblienie i oszacowanie bldu bezwzgldnego · wyznaczy przedzial, do którego naley warto wyraenia, jeli dane jest przyblienie i oszacowanie bldu wzgldnego

.

13. Szacowanie wyrae liczbowych · Bld bezwzgldny · Bld wzgldny

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z tekstem rozdzialu 2.13. Szacowanie wyrae liczbowych, sporzdzaj stosowne notatki. Sprawdzamy, czy opisane przyklady zostaly przez uczniów zrozumiane. Uczniowie szacuj wartoci wyrae liczbowych. wiczenia Szacowanie wartoci wyrae dla wartoci zmiennych nalecych do danych przedzialów. Szacowanie wartoci wyrae, jeli dane jest przyblienie i oszacowanie bldu bezwzgldnego.

39

Szacowanie wartoci wyrae, jeli dane jest przyblienie i oszacowanie bldu wzgldnego. Praca domowa Zadania 1b), 2, 3, str. 64. Zadanie 4, str. 64. Uwagi Na zajciach wykorzystujemy przyklady ze zbioru zada. Realizujc program w zakresie rozszerzonym, na temat ten przeznaczamy dwie jednostki lekcyjne. Na pierwszej lekcji uczniowie przeprowadzaj proste szacowania wyrae liczbowych, na drugiej rozwizuj zadania trudniejsze oraz zadania z kontekstem realistycznym.

3. Funkcje

Lp. 1. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · odczyta wspólrzdne punktu zaznaczonego na plaszczynie · zaznaczy punkt o danych wspólrzdnych · okreli, do której wiartki naley punkt o danych wspólrzdnych · zaznaczy na plaszczynie zbiór punktów spelniajcych dany warunek · obliczy odleglo punktów o danych wspólrzdnych

· Opisywanie zbiorów za Uklad wspólrzdnych pomoc równa, na plaszczynie nierównoci · Uklad wspólrzdnych · Wspólrzdne punktu na · Wyznaczanie zwizków metrycznych w otaplaszczynie · Wzór na odleglo punk- czajcej przestrzeni · Samodzielne opanowatów na plaszczynie nie definicji i twierdze z podrcznika

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z fragmentem rozdzialu 3.1. Uklad wspólrzdnych (str. 65 i str. 66), nastpnie odczytuj wspólrzdne zaznaczonych punktów, zaznaczaj punkty o danych wspólrzdnych, okrelaj, do której wiartki ukladu nale punkty o danych wspólrzdnych. Uczniowie czytaj dalszy fragment rozdzialu 3.1 (str. 67), obliczaj odlegloci punktów o danych wspólrzdnych i zaznaczaj zbiory na plaszczynie. Na przyklad {(x, y) R2: x2 = 4 y = 3}, {(x, y) R2: x = 2 y < 5}, {(x, y) R2: x > 3 y < 0}. wiczenia Odczytywanie wspólrzdnych punktów. 40

Zaznaczanie punktów o danych wspólrzdnych. Okrelanie, do której wiartki naley punkt o danych wspólrzdnych. Obliczanie odlegloci punktów o danych wspólrzdnych. Zaznaczanie w ukladzie wspólrzdnych zbiorów punktów spelniajcych dany warunek. Opisywanie za pomoc równa, nierównoci podzbiorów plaszczyzny. Praca domowa Zadania 2, 3, 4, 5c), str. 69; zadanie 7, str. 70. Uwagi Na zajciach moemy wykorzysta przyklady ze zbioru zada. Glównym celem lekcji jest uporzdkowanie wiadomoci o ukladzie wspólrzdnych oraz wyksztalcenie umiejtnoci zaznaczania zbiorów, których wspólrzdne spelniaj podane warunki. Podczas lekcji wskazana jest praca z podrcznikiem, poniewa samodzielne opanowanie wskazanych wyej fragmentów podrcznika nie powinno sprawi trudnoci nawet slabszym uczniom.

Lp. 2. Temat (treci) Pojcie funkcji · Funkcja jako przyporzdkowanie · Dziedzina funkcji · Przeciwdziedzina funkcji · Zbiór wartoci funkcji Cele ogólne · Definiowanie obiektów matematycznych · Podawanie przykladów i kontrprzykladów Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda przyklad funkcji (take nieliczbowej) · wskaza, które przyporzdkowania nie s funkcjami i uzasadni odpowied · poda dziedzin i zbiór wartoci funkcji · wyznaczy warto funkcji dla danego argumentu

Sposób realizacji Omawiamy pojcia funkcji, dziedziny, przeciwdziedziny i zbioru wartoci funkcji, ilustrujc je stosownymi przykladami. Uczniowie podaj przyklady funkcji liczbowych i nieliczbowych, uzasadniaj, które sporód wskazanych przyporzdkowa nie s funkcjami, okrelaj dziedzin, zbiór wartoci danej funkcji, podaj wartoci funkcji dla wskazanych argumentów. wiczenia Podawanie przykladów funkcji. Zadanie 1, str. 73. Podawanie dziedziny i zbioru wartoci funkcji okrelonej wzorem. Uzasadnianie, e dane przyporzdkowanie nie jest funkcj. Wyznaczanie wartoci funkcji dla danych argumentów.

41

Praca domowa Zadania 2, 3, 4a), b), str. 73. Zadania 4c), d), str. 73. Uwagi Na zajciach moemy wykorzysta przyklady ze zbioru zada. Uczniowie powinni dostrzega funkcje w otaczajcym wiecie (np. lista w dzienniku lekcyjnym, NIP, numer dowodu osobistego, PIN karty kredytowej).

Lp. 3. Temat (treci) Wykresy funkcji liczbowych · Wykres funkcji · Miejsce zerowe funkcji Cele ogólne Cele szczególowe

· Definiowanie obiektów Ucze potrafi: matematycznych · naszkicowa wykres funkcji · Sporzdzanie wykresów okrelonej wzorem funkcji · sprawdzi, czy punkt · Odczytywanie danych o danych wspólrzdnych z wykresu funkcji naley do wykresu funkcji · odczyta warto funkcji dla danego argumentu · odczyta z wykresu funkcji argument, dla którego funkcja przyjmuje dan warto · odczyta miejsca zerowe funkcji · odczyta dziedzin i zbiór wartoci funkcji · odczyta najmniejsz i najwiksz warto funkcji

Sposób realizacji Polecamy uczniom, aby przeczytali fragment podrcznika na str. 74 dotyczcy wykresu funkcji. Omawiamy pojcie wykresu funkcji liczbowej. Pokazujemy przyklady wykresów funkcji (mog to by przyklady z podrcznika ­ str. 75). Wprowadzamy pojcie miejsca zerowego funkcji. Uczniowie odczytuj z wykresu dziedzin, zbiór wartoci, miejsca zerowe funkcji, wartoci funkcji dla danego argumentu i argumenty, dla których funkcja przyjmuje dan warto oraz szkicuj wykresy funkcji okrelonych wzorami. wiczenia Odczytywanie wspólrzdnych punktów nalecych do wykresu funkcji. Sprawdzanie, czy punkt o danych wspólrzdnych naley do wykresu funkcji. Odczytywanie miejsc zerowych funkcji. Odczytywanie najmniejszej i najwikszej wartoci funkcji. Odczytywanie dziedziny i zbioru wartoci funkcji. Szkicowanie wykresów funkcji. 42

Praca domowa Zadania 1, 3, 4b), c), str. 77. Zadania 5, 6, str. 77. Uwagi Na lekcji mona wykorzysta wykresy funkcji zamieszczone w zbiorze zada. Do wicze zwizanych ze szkicowaniem wykresów funkcji uczniowie mog wykorzysta przygotowane w zbiorze zada uklady wspólrzdnych z naniesionymi siatkami.

Lp. 4. Temat (treci) Sposoby okrelania funkcji · Funkcja okrelona opisem slownym · Funkcja okrelona wzorem · Funkcja okrelona za pomoc wykresu · Funkcja okrelona za pomoc tabeli · Funkcja okrelona za pomoc grafu · Funkcje równe Cele ogólne · Odczytywanie danych przedstawionych rónymi sposobami · Przedstawianie danych w róny sposób · Sporzdzanie wykresów funkcji · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Przyswajanie schematów rozumowania i ich stosowanie Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda dziedzin i zbiór wartoci funkcji okrelonych rónymi sposobami · naszkicowa wykres funkcji liczbowej okrelonej za pomoc wzoru, tabeli, grafu, opisu slownego · wskaza funkcje równe i uzasadni wybór · uzasadni, e funkcje nie s równe

Sposób realizacji Podajemy przyklady funkcji okrelonych w róny sposób. Uczniowie podaj dziedzin, zbiór wartoci i szkicuj wykresy tych funkcji, podaj przyklady rónych opisów tej samej funkcji. Wprowadzamy pojcie funkcji równych. Wród podanych przykladów uczniowie wskazuj funkcje równe oraz funkcje, które nie s równe i uzasadniaj swój wybór, korzystajc z definicji funkcji równych. wiczenia Zadania 1, 4, str. 80; zadanie 5, str. 81. Wybrane zadania ze zbioru zada. Zadanie 6, str. 81. Praca domowa Zadania 2, 3, str. 80. Uwagi Przy realizacji tematu wskazane jest, aby uczniowie pracowali z podrcznikiem zarówno przy omawianiu rónych sposobów okrelania funkcji, wprowadzaniu definicji 43

funkcji równych (uczniowie mog samodzielnie opanowa definicj), jak i przy rozwizywaniu zada.

Temat ten realizujemy na dwóch godzinach lekcyjnych. Lp. 5. Temat (treci) Dzialania na funkcjach · Suma funkcji · Rónica funkcji · Iloczyn funkcji · Iloraz funkcji · Symetria wzgldem osi i przesunicie wykresu funkcji Cele ogólne · Operowanie podstawowymi obiektami matematycznymi · Definiowanie obiektów matematycznych · Sporzdzanie wykresów funkcji Cele szczególowe Ucze potrafi: · obliczy wartoci sumy, rónicy, iloczynu, ilorazu funkcji dla danego argumentu · zapisa wzory sumy, rónicy, iloczynu, ilorazu funkcji · szkicowa wykresy funkcji f + c (c ­ funkcja stala), ­f, f , znajc wykres funkcji f

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z przykladem opisanym na pocztku rozdzialu 3.5. Operacje wykonywane na funkcjach (str. 82). Omawiamy pojcia sumy, rónicy, iloczynu, ilorazu funkcji. Uczniowie obliczaj wartoci sumy, rónicy, iloczynu, ilorazu funkcji dla danych argumentów, zapisuj wzory funkcji równych sumie, rónicy, iloczynowi, ilorazowi danych funkcji. Uczniowie szkicuj wykresy funkcji f + c (c ­ funkcja stala), ­f, f , majc dany wykres lub wzór funkcji f. wiczenia Obliczanie wartoci sumy, rónicy, iloczynu, ilorazu funkcji dla danego argumentu. Zapisywanie wzorów sumy, rónicy, iloczynu, ilorazu funkcji, które okrelone s wzorami. Szkicowanie wykresów funkcji. Praca domowa Zadania 1, 2, 3, str. 84. Zadanie 4, str. 85. Uwagi Znajc definicj sumy funkcji, uczniowie powinni samodzielnie sformulowa definicje rónicy i iloczynu funkcji. Wród przykladów podajemy take funkcje o rónych dziedzinach. Uczniowie powinni zauway, e nie da si wykona dziala na tych funkcjach.

44

Lp. 6.

Temat (treci) Funkcje rónowartociowe · Funkcja rónowartociowa · Wlasno wykresu funkcji rónowartociowej · Warunek równowany definicji

Cele ogólne

Cele szczególowe

· Podawanie przykladów Ucze potrafi: · ustali, czy funkcja okrelona i kontrprzykladów · Odczytywanie wlasnoci za pomoc wykresu jest rónowartociowa funkcji z wykresu · Przyswajanie schematów · poda przyklady funkcji rónowartociowych i funkrozumowania i ich cji, które nie s rónowartostosowanie ciowe · Przeprowadzanie · uzasadni na podstawie defiprostych rozumowa nicji, e funkcja nie jest dedukcyjnych rónowartociowa · sprawdzi rónowartociowo funkcji

Sposób realizacji Podajemy przyklady funkcji rónowartociowej i takiej, która nie jest rónowartociowa (mog to by np. funkcje opisane za pomoc tabeli). Omawiamy, korzystajc z podanych przykladów, pojcie funkcji rónowartociowej. Rozwaamy przyklad funkcji opisanej za pomoc wzoru, która nie jest rónowartociowa, np. f(x) = x2. Uczniowie wskazujc róne argumenty, dla których funkcja przyjmuje te same wartoci, uzasadniaj, e funkcja nie jest rónowartociowa (wane jest, aby uczniowie sami okrelili, czy funkcja jest rónowartociowa, a nastpnie uzasadnili ten fakt). Na podstawie danych wykresów funkcji uczniowie okrelaj, czy funkcja jest rónowartociowa oraz formuluj wlasno, jak maj wykresy funkcji rónowartociowych (jako przyklady moemy wykorzysta wykresy funkcji ze str.75). Uczniowie sprawdzaj rónowartociowo funkcji, wykorzystujc twierdzenie ze str. 86. wiczenia Ustalanie na podstawie wykresu, czy funkcja jest rónowartociowa. Wskazywanie wród funkcji okrelonych za pomoc wykresu funkcji rónowartociowych i funkcji, które nie s rónowartociowe. Uzasadnianie, e funkcja nie jest rónowartociowa. Sprawdzanie rónowartociowoci funkcji danych za pomoc wzoru. Praca domowa Zadania 2a), c), 3b), str. 87. Zadania 2d), 3d), str. 87. Uwagi Wyjaniamy, e warunek: Jeli f(x1) = f(x2), to x1 = x2 jest równowany warunkowi: Jeli x1 x2, to f(x1) f(x2) na mocy prawa kontrapozycji. 45

Realizujc program w zakresie rozszerzonym, moemy pokaza, jak sprawdzamy rónowartociowo, korzystajc z definicji funkcji rónowartociowej (moemy w tym celu wykorzysta np. funkcj dan wzorem f(x) = 2x ­ 1). Istotne jest, aby uczniowie rozumieli, e jeli obliczymy wartoci funkcji tylko dla kilku wybranych argumentów, to na tej podstawie nie moemy wyciga wniosku, e funkcja jest rónowartociowa. Temat ten moe by realizowany na dwóch godzinach lekcyjnych.

Lp. 7. Temat (treci) Funkcje przeksztalcajce wzajemnie jednoznacznie zbiór na zbiór Funkcje odwrotne · Funkcje przeksztalcajce zbiór na zbiór · Funkcje przeksztalcajce wzajemnie jednoznacznie zbiór na zbiór · Funkcje odwrotne · Wykres funkcji odwrotnej Cele ogólne · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Definiowanie obiektów matematycznych · Przeprowadzanie prostych rozumowa dedukcyjnych · Sporzdzanie wykresów funkcji Cele szczególowe Ucze potrafi: · stwierdzi, czy funkcja przeksztalca dany zbiór na dany zbiór i uzasadni ten fakt · stwierdzi, czy funkcja przeksztalca wzajemnie jednoznacznie dany zbiór na dany zbiór i uzasadni ten fakt · poda wzór funkcji odwrotnej do funkcji okrelonej wzorem · okreli dziedzin i zbiór wartoci funkcji oraz funkcji do niej odwrotnej · naszkicowa wykres funkcji odwrotnej na podstawie wykresu danej funkcji

Sposób realizacji Polecamy uczniom, aby przeczytali przyklad zamieszczony na pocztku rozdzialu 3.7. Omawiamy pojcia funkcji przeksztalcajcej zbiór na zbiór i funkcji przeksztalcajcej wzajemnie jednoznacznie zbiór na zbiór, ilustrujc je przykladami funkcji przeksztalcajcych zbiór skoczony na zbiór skoczony. Uczniowie wskazuj wród funkcji okrelonych w róny sposób funkcje przeksztalcajce zbiór na zbiór, funkcje przeksztalcajce wzajemnie jednoznacznie zbiór na zbiór i funkcje, które nie maj takich wlasnoci oraz uzasadniaj odpowied. Polecamy uczniom, aby przeczytali przyklad na str. 89. Omawiamy pojcie funkcji odwrotnej, podajc przyklad funkcji przeksztalcajcej zbiór skoczony na zbiór skoczony. Uczniowie wyznaczaj funkcje odwrotne (wzory funkcji odwrotnych), podaj dziedzin i zbiór wartoci funkcji odwrotnej, szkicuj wykresy funkcji odwrotnych na podstawie wykresu danej funkcji. wiczenia Wskazywanie funkcji przeksztalcajcych zbiór na zbiór i uzasadnianie odpowiedzi. Wskazywanie funkcji przeksztalcajcych wzajemnie jednoznacznie dany zbiór na dany zbiór i uzasadnianie odpowiedzi. 46

Wyznaczanie wzoru funkcji odwrotnej. Wyznaczanie dziedziny i zbioru wartoci funkcji odwrotnej. Szkicowanie wykresów funkcji odwrotnych. Praca domowa Zadanie 1, str. 91; zadania 2, 3, 4, str. 92. Uwagi Temat ten powinien by realizowany na dwóch godzinach lekcyjnych. Na pierwszej godzinie wprowadzamy pojcia, ilustrujc je prostymi przykladami. Na drugiej godzinie utrwalamy material i ksztalcimy wskazane w poradniku umiejtnoci, wykorzystujc trudniejsze przyklady ze zbioru zada. Przed wprowadzaniem kolejnych poj moemy poleci uczniom, aby zapoznali si z odpowiednimi przykladami opisanymi w podrczniku.

Lp. 8. Temat (treci) Funkcje monotoniczne · Funkcja rosnca w zbiorze · Funkcja malejca w zbiorze · Funkcja monotoniczna · Przedzialy monotonicznoci Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda przyklady funkcji malejcych i rosncych · ustali, które funkcje s malejce, rosnce lub nie s monotoniczne na podstawie ich wykresu · poda przedzialy, w których funkcja okrelona za pomoc wykresu jest rosnca, i przedzialy, w których funkcja jest malejca · uzasadni na podstawie definicji, e dana funkcja nie jest malejca, nie jest rosnca · sprawdzi na podstawie definicji monotoniczno funkcji · ustali, które funkcje s niemalejce, nierosnce na podstawie ich wykresów poda przedzialy, w których funkcja okrelona za pomoc wykresu jest niemalejca, i przedzialy, w których funkcja jest nierosnca

· Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Definiowanie obiektów matematycznych · Odczytywanie wlasnoci funkcji z jej wykresu · Przyswajanie schematów rozumowa i ich · Funkcja niemalejca stosowanie · Przeprowadzanie w zbiorze prostych rozumowa · Funkcja nierosnca dedukcyjnych w zbiorze

·

47

Sposób realizacji Omawiamy pojcia funkcji rosncej i funkcji malejcej. Uczniowie wskazuj wród funkcji okrelonych za pomoc wykresu funkcje rosnce, funkcje malejce i funkcje, które nie s monotoniczne. Omawiamy sposób sprawdzania monotonicznoci funkcji na podstawie definicji. Uczniowie sprawdzaj monotoniczno funkcji okrelonych wzorami. Uzasadniaj, e dana funkcja nie jest rosnca, malejca, odczytuj przedzialy monotonicznoci z wykresu funkcji. Uczniowie zapoznaj si z podanymi w podrczniku definicjami funkcji niemalejcej i funkcji nierosncej. Wskazuj wród funkcji okrelonych za pomoc wykresu, tabeli funkcje niemalejce, funkcje nierosnce i funkcje, które nie s monotoniczne, odczytuj z wykresu przedzialy, w których funkcja jest niemalejca i przedzialy, w których funkcja jest nierosnca, sprawdzaj na podstawie definicji, czy funkcja okrelona za pomoc wzoru jest niemalejca, nierosnca. wiczenia Wskazywanie wród funkcji okrelonych za pomoc wykresu funkcji malejcych, rosncych i funkcji, które nie s monotoniczne. Sprawdzanie na podstawie definicji monotonicznoci funkcji. Uzasadnianie, e funkcja nie jest monotoniczna, malejca, rosnca. Odczytywanie przedzialów monotonicznoci funkcji z jej wykresu. Wskazywanie funkcji, które s niemalejce, nierosnce. Odczytywanie z wykresów funkcji przedzialów, w których funkcja jest niemalejca i przedzialów, w których funkcja jest nierosnca. Sprawdzanie na podstawie definicji, czy dana funkcja jest niemalejca, nierosnca. Praca domowa Poda przyklad funkcji okrelonej za pomoc wykresu, która w podanych przedzialach jest malejca, rosnca. Zadania 1, 2, str. 96; zadania 3a), b), str. 97. Zadania 3c), 5, 6, str. 97. Uwagi Lekcja przebiegnie sprawniej, jeli wykorzystamy wykresy funkcji zamieszczone w zbiorze zada lub podrczniku. Realizujc program z zakresie podstawowym, sprawdzanie monotonicznoci funkcji na podstawie definicji mona ograniczy do przykladów dotyczcych funkcji liniowych. Uczniowie powinni take potrafi okrela monotoniczno funkcji okrelonych za pomoc tabeli i grafu.

Realizujc program w zakresie rozszerzonym, na temat ten przeznaczamy dwie godziny lekcyjne.

48

Lp. 9.

Temat (treci)

Cele ogólne

Cele szczególowe Ucze potrafi: · rozpozna na podstawie wykresu, tabeli, wzoru wielkoci wprost lub odwrotnie proporcjonalne · szkicowa wykresy proporcjonalnoci prostej i odwrotnej · zapisa za pomoc wzoru zalenoci midzy wielkociami wprost i odwrotnie proporcjonalnymi

Proporcjonalno pro- · Opisywanie zwizków midzy wielkociami sta i odwrotna liczbowymi · Wielkoci wprost pro· Wykrywanie zalenoci porcjonalne funkcyjnych midzy · Wielkoci odwrotnie wielkociami liczproporcjonalne bowymi · Wykresy proporcjonalnoci prostej i odwrotnej · Szkicowanie wykresów funkcji i odczytywanie wlasnoci funkcji z wykresu

Sposób realizacji Omawiamy pojcia wielkoci wprost proporcjonalnych i wielkoci odwrotnie proporcjonalnych, ilustrujc je przykladami. Uczniowie wskazuj wielkoci wprost i odwrotnie proporcjonalne, szkicuj wykresy proporcjonalnoci prostej i odwrotnej, zapisuj za pomoc wzoru zalenoci midzy wielkociami wprost lub odwrotnie proporcjonalnymi. wiczenia Wskazywanie wielkoci wprost i odwrotnie proporcjonalnych (okrelonych za pomoc wzoru, tabeli, wykresu). Szkicowanie wykresów proporcjonalnoci prostej i odwrotnej. Wyznaczanie wzorów proporcjonalnoci prostej i odwrotnej. Praca domowa Zapozna si z przykladami opisanymi w rozdziale 3.9. Proporcjonalno prosta i odwrotna. Zadanie 1, str. 99; zadania 2a), b), 3, str. 100. Zadanie 2c), str. 100. Uwagi Temat powinien by zilustrowany przykladami wielkoci wprost i odwrotnie proporcjonalnych z ycia codziennego.

49

Lp.

Temat (treci)

Cele ogólne · Definiowanie obiektów matematycznych · Przeprowadzanie oblicze dokladnych i przyblionych · Wykorzystywanie kalkulatora do oblicze · Samodzielne zdobywanie wiedzy matematycznej

Cele szczególowe Ucze potrafi: · obliczy pierwiastek arytmetyczny · stosowa wlasnoci pierwiastka arytmetycznego · obliczy przyblion warto pierwiastka arytmetycznego · wykonywa proste obliczenia, w zapisie których wystpuj pierwiastki arytmetyczne · naszkicowa wykres funkcji okrelonej wzorem f(x) = x · obliczy potg o wykladniku wymiernym · stosowa wlasnoci potg o wykladnikach wymiernych · obliczy przyblion warto potgi o wykladniku wymiernym

10. Pierwiastek arytmetyczny. Potga o wykladniku wymiernym · Pierwiastek arytmetyczny n-tego stopnia · Podstawowe wlasnoci pierwiastków arytmetycznych · Potga o wykladniku wymiernym · Wlasnoci potg o wykladnikach wymiernych

Sposób realizacji Przypominamy pojcie pierwiastka kwadratowego i jego wlasnoci. Omawiamy pojcie pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia, ilustrujc odpowiednimi przykladami. Podajemy podstawowe wlasnoci pierwiastka arytmetycznego. Uczniowie obliczaj pierwiastki, podaj przyblion warto pierwiastka, wykorzystujc kalkulator. Wykonuj obliczenia, w zapisie których wystpuj pierwiastki arytmetyczne. Uczniowie samodzielnie zapoznaj si z pojciem potgi o wykladniku wymiernym oraz wlasnociami potg o wykladnikach wymiernych. Obliczaj potgi o wykladnikach wymiernych, stosuj wlasnoci potg, obliczaj przyblione wartoci potg. wiczenia Zadania 1a), b), c), 2a), c), 3a), b), 4a), b), 5a), b), str. 102. Praca domowa Zadania 1d), e), 2b), 3c), 4c), 5c), str. 102. Zadanie 6, str. 102. Uwagi Wane jest, aby uczniowie, z którymi realizujemy program w zakresie podstawowym, potrafili zapisywa pierwiastki za pomoc potg o wykladnikach wymiernych oraz sprawnie poslugiwali si kalkulatorem przy obliczaniu wartoci wyrae liczbowych.

50

4. Funkcje liniowe Równania i uklady równa liniowych

Lp. 1. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · naszkicowa wykres funkcji liniowej · wyznaczy miejsce zerowe funkcji liniowej okrelonej wzorem · ustali na podstawie wzoru, czy funkcja jest rosnca, malejca, stala · ustali, czy wykresy funkcji liniowych okrelonych wzorami s równolegle, prostopadle · uzasadni, e wykresy funkcji liniowych okrelonych wzorami s równolegle, prostopadle · wyznaczy wzór funkcji liniowej, majc dany jej wykres · wyznaczy równanie kierunkowe prostej przechodzcej przez dwa dane punkty · Sporzdzanie wykresów Funkcja liniowa funkcji · Funkcja liniowa · Miejsce zerowe funkcji · Definiowanie obiektów matematycznych liniowej · Przyswajanie schematów · Wspólczynnik kierunrozumowa i ich stosokowy funkcji liniowej wanie · Monotoniczno funkcji liniowej · Wykres funkcji liniowej · Warunek prostopadloci prostych okrelonych równaniami kierunkowymi · Warunek równolegloci prostych okrelonych równaniami kierunkowymi

Sposób realizacji Omawiamy pojcie funkcji liniowej. Podajemy wzór na wspólczynnik kierunkowy funkcji liniowej, do wykresu której nale dwa punkty o danych wspólrzdnych. Uczniowie szkicuj wykresy funkcji liniowych, wyznaczaj miejsca zerowe funkcji, wyznaczaj równania kierunkowe prostych przechodzcych przez dwa dane punkty. Uczniowie okrelaj monotoniczno funkcji danych za pomoc wzoru, dowodz, e funkcja liniowa okrelona wzorem f(x) = ax + b jest rosnca, jeli a > 0 (malejca, jeli a < 0). Omawiamy warunki równolegloci i prostopadloci prostych, których równania zapisane s w postaci kierunkowej. Uczniowie okrelaj na podstawie równa kierunkowych, czy proste s równolegle, prostopadle. wiczenia Zadania 1a), b), 5, str. 107; zadanie 6, str. 108. Wskazywanie funkcji malejcych, rosncych wród funkcji liniowych okrelonych za pomoc wzorów. 51

Okrelanie, czy proste o danych równaniach kierunkowych s prostopadle, równolegle i uzasadnianie odpowiedzi. Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej, majc dany jej wykres. Wyznaczanie równania kierunkowego prostej przechodzcej przez dwa dane punkty. Praca domowa Zadania 1c), 2, 3, 4, str. 107. Zadania 7, 8, str. 108. Uwagi Lekcja ma na celu utrwalenie i uporzdkowanie wiadomoci o funkcji liniowej. Na zajciach wykorzystujemy take przyklady ze zbioru zada. Wród wicze mog si znale take przyklady wyznaczania równania prostych równoleglych, prostopadlych. Umiejtno wyznaczania równania prostej przechodzcej przez punkt o danych wspólrzdnych i równoleglej, prostopadlej do danej prostej powinna by przede wszystkim ksztalcona podczas realizacji tematu: Równanie ogólne prostej. Uczniów bardziej zainteresowanych matematyk moemy zapozna z dowodem twierdzenia o zalenoci midzy wspólczynnikami kierunkowymi prostych prostopadlych.

Lp. 2. Temat (treci) Równania · Rozwizanie równania · Dziedzina równania · Równanie oznaczone · Równanie sprzeczne · Równanie nieoznaczone · Równania równowane Cele ogólne · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Rozwizywanie równa · Definiowanie obiektów matematycznych · Samodzielne opanowanie definicji i twierdze z podrcznika Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda przyklad równania oznaczonego, nieoznaczonego, sprzecznego · wskaza wród podanych przykladów równania oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne · sprawdzi, czy liczba (uklad liczb) jest rozwizaniem równania · wskaza wród podanych równa równania równowane

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z fragmentem rozdzialu 4.2. Równania (str. 108 i str. 109). Sprawdzaj, czy dana liczba (uklad liczb) jest rozwizaniem równania, podaj przyklady równa oznaczonych, nieoznaczonych, sprzecznych. Wskazuj wród podanych równa równania oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne, wyznaczaj dziedzin równania.

52

Uczniowie zapoznaj si z kolejnym fragmentem rozdzialu 4.2 (pojcie równa równowanych, twierdzenie 1. i twierdzenie 2., str. 110), wskazuj wród podanych równa równania równowane, uzasadniaj, e równania s równowane. wiczenia Wskazywanie równa oznaczonych, nieoznaczonych, sprzecznych. Zadania 1a), d), f), 2a), d), 3, str. 111.

Wyznaczanie dziedziny równania np. = 1, = 3, x x­

x = 3 .

Praca domowa Zadania 1c), e), 2b), c), 4, str. 111. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Przy omawianiu równa równowanych wskazane jest podanie przykladów równa majcych te same zbiory rozwiza, ale róne dziedziny oraz równa o tych samych dziedzinach, które nie s równowane. Przyklady ilustrujce pojcia: równanie oznaczone, równanie nieoznaczone, równanie sprzeczne powinny dotyczy nie tylko równa liniowych np. równanie oznaczone:

x = 2, równanie nieoznaczone: x = 2, równanie sprzeczne: t 2 = ­10 . y

Przy omawianiu tych poj moemy w zadaniach formulowa take polecenie uzasadnienia odpowiedzi (np. uzasadnij, e równanie jest sprzeczne). Zapoznanie si z treciami zawartymi w rozdziale 4.2 mona poleci uczniom jako prac domow przed realizacj tego tematu.

Lp. 3. Temat (treci) Równania liniowe z jedn niewiadom · Równanie liniowe z jedn niewiadom · Liczba rozwiza równania liniowego Cele ogólne · Opisywanie zwizków pomidzy wielkociami liczbowymi za pomoc równa · Rozwizywanie równa liniowych Cele szczególowe Ucze potrafi: · rozwizywa równania liniowe z jedn niewiadom · rozwizywa równania z jedn niewiadom równowane alternatywie równa liniowych · zapisywa warunki zadania za pomoc równa liniowych · rozwizywa zadania prowadzce do równa liniowych z jedn niewiadom

53

Sposób realizacji Uczniowie rozwizuj równania liniowe z jedn niewiadom, okrelaj, czy dane równania s oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne. Rozwizuj równania równowane alternatywie równa liniowych oraz zadania z kontekstem realistycznym. wiczenia Zadania 1a), b), f), str. 113; zadania 2a), d), 3, str. 114. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1d), e), str. 113; zadania 2b), c), 4, str. 114. Zadanie 5, str. 114. Uwagi Na lekcji wykorzystujemy przyklady zada praktycznych. Wan umiejtnoci ksztalcon na zajciach jest umiejtno zapisywania warunków zadania za pomoc równania.

Lp. 4. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe

· Rozwizywanie równa Ucze potrafi: Równania, w których · rozwizywa równania z wari ich ukladów wystpuje warto bez· Przyswajanie schematów toci bezwzgldn wzgldna · Wlasnoci wartoci bez- rozumowa i ich stoso- · odczytywa rozwizania równa z wykresu wanie wzgldnej · Równanie z wartoci bezwzgldn

Sposób realizacji Omawiamy, podajc odpowiednie przyklady, sposób rozwizywania równania postaci f(x) = a, gdzie f jest funkcj liniow rón od stalej i a R, wykorzystujc wlasno: a = b a = b a = ­b, a R i b 0. Uczniowie rozwizuj równania (np. zadania 2a), b), c), str. 117). Omawiamy sposoby rozwizywania innych równa z wartoci bezwzgldn (np. x ­ 5 = 2x + 1 , x + 3 ­ 2 = 1). Uczniowie rozwizuj równania (np. zadania 3a), b), str. 118 lub wybrane zadania ze zbioru zada). Odczytuj rozwizania równa, korzystajc z wykresu. Zadanie 3c), str. 118. wiczenia Rozwizywanie równa z wartoci bezwzgldn. Zadanie 1b), str. 117.

54

Praca domowa Zadanie 1a), c), str. 117. Wybrane zadania ze zbioru zada. Zadanie 4, str. 118. Uwagi Uczniów, którzy sprawnie rozwizuj zadania, zachcamy do zapoznania si z przykladami opisanymi w podrczniku i rozwizania tego samego równania dwoma rónymi sposobami. Jeli uczniowie maj trudnoci z rozwizywaniem równa, omawiamy tylko jeden sposób rozwizywania danego równania.

Lp. 5. Temat (treci) Równania liniowe z parametrem Cele ogólne Cele szczególowe

· Rozwizywanie równa Ucze potrafi: · rozwiza równanie liniowe i ich ukladów · Przyswajanie schematów z jednym parametrem · okreli liczb rozwiza rozumowania i ich równania liniowego stosowanie · · rozwiza równanie liniowe z dwoma parametrami okreli liczb rozwiza równania z parametrem, w którym wystpuje warto bezwzgldna

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z fragmentem rozdzialu 4.5. Równania liniowe z parameoraz przykladami 2. i 3., str. 119). Rozwizuj równania liniowe trem, str. 118 ( z parametrem. Okrelaj liczb rozwiza równania w zalenoci od wartoci parametru. Wyznaczaj wartoci parametru, dla których równanie jest oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne. Uczniowie rozwizuj równania liniowe z dwoma parametrami oraz okrelaj liczb rozwiza równania z parametrem, w którym wystpuje warto bezwzgldna. wiczenia Rozwizywanie równa liniowych z jednym parametrem. Okrelanie liczby rozwiza równania w zalenoci od wartoci parametru. Wyznaczanie wartoci parametru, dla których równanie jest oznaczone, nieoznaczone, sprzeczne. Zadania 2a), c), 3a), c), str. 119.

55

Praca domowa Zadanie 1, str. 119. Wybrane zadania ze zbioru zada. Zadania 2b), 3b), str. 119. Uwagi Wskazane jest, aby przed realizacj tego tematu uczniowie przypomnieli sobie twierdzenie 1. z rozdzialu 4.3. Równania liniowe z jedn niewiadom. W zadaniach dotyczcych równa z parametrem (z parametrami) powinny by rónie formulowane polecenia (np. Rozwi równanie z parametrem m. Dla jakich wartoci parametru k równanie jest sprzeczne? Wyznacz te wartoci parametrów m i k, dla których równanie ma jedno rozwizanie). Od uczniów, z którymi realizujemy program w zakresie podstawowym, wymagamy tylko umiejtnoci rozwizywania równa liniowych z jednym parametrem.

Lp. 6. Temat (treci) Równania liniowe z dwiema niewiadomymi · Rozwizanie równania z dwiema niewiadomymi · Graficzne przedstawienie zbioru rozwiza równania Cele ogólne · Rozwizywanie równa i ich ukladów · Opisywanie zbiorów za pomoc równa · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Opisywanie zwizków pomidzy wielkociami liczbowymi za pomoc równa Cele szczególowe Ucze potrafi: · podawa przyklady par liczb spelniajcych równanie liniowe z dwiema niewiadomymi · zaznaczy na plaszczynie zbiór punktów, których wspólrzdne spelniaj równanie liniowe z dwiema niewiadomymi · rozwizywa zadania prowadzce do równania liniowego z dwiema niewiadomymi

Sposób realizacji Wprowadzamy pojcie równania liniowego z dwiema niewiadomymi. Podajemy przyklady równa liniowych z dwiema niewiadomymi. Wyjaniamy, co jest rozwizaniem równania liniowego. Uczniowie podaj przyklady par liczb spelniajcych dane równanie. Pokazujemy, w jaki sposób mona zapisa równanie liniowe postaci: ax + by + c = 0, gdzie b 0, w postaci kierunkowej i dlaczego moemy rozwizania danego równania utosamia z punktami lecymi na prostej. Pokazujemy, wykorzystujc przyklady, jak interpretujemy geometrycznie równanie postaci: ax + by + c = 0, gdzie b = 0. Uczniowie zaznaczaj w ukladzie wspólrzdnych zbiory punktów, których wspólrzdne spelniaj dane równania. Podaj rozwizanie równania spelniajce podane warunki (np. x + y = 3, x N, y N), rozwizuj zadania prowadzce do równa liniowych z dwiema niewiadomymi.

56

wiczenia Podawanie par liczb spelniajcych równanie. Zaznaczanie na plaszczynie zbioru punktów spelniajcych dane równanie. Podawanie rozwiza równania liniowego z dwiema niewiadomymi spelniajcych podany warunek. Rozwizywanie zada prowadzcych do rozwizania równania liniowego z dwiema niewiadomymi. Zadania 3, 4, str. 121. Praca domowa Polecamy przeczytanie przykladu na str. 121. Zadania 1, 2d), e), str. 121. Zadanie 5, str. 121. Uwagi Celem lekcji jest utrwalenie i uporzdkowanie wiadomoci o równaniach liniowych z dwiema niewiadomymi oraz ksztalcenie umiejtnoci rozwizywania zada praktycznych prowadzcych do równania liniowego z dwiema niewiadomymi. Na lekcji zwracamy uwag na fakt, e np. równanie x = 5 moe by równaniem z jedn niewiadom, gdy dziedzina jest zbiorem liczb rzeczywistych, a równaniem z dwiema niewiadomymi, gdy dziedzin jest zbiór {(x, y): x R i y R

.

Lp. 7. Temat (treci) Uklady równa liniowych z dwiema niewiadomymi · Rozwizanie ukladu równa · Uklady równa równowane · Geometryczna interpretacja ukladów równa · Uklad oznaczony · Uklad sprzeczny · Uklad nieoznaczony Cele ogólne · Rozwizywanie równa i ich ukladów · Opisywanie zbiorów za pomoc równa i ich ukladów Cele szczególowe Ucze potrafi: · sprawdzi, czy para liczb jest rozwizaniem ukladu równa · poda interpretacj geometryczn ukladu równa · rozwiza graficznie uklad równa · okreli, czy dany uklad jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny

Sposób realizacji Omawiamy pojcie ukladu równa liniowych z dwiema niewiadomymi oraz przypominamy, co jest rozwizaniem ukladu równa. Uczniowie sprawdzaj, czy dana para liczb jest rozwizaniem ukladu równa. Polecamy uczniom, aby przeczytali fragment podrcznika od definicji ukladu równa równowanych na str. 123 do koca rozdzialu. Podajc odpowiednie przyklady ukladów równa i ich interpretacj geometryczn, omawiamy pojcia: uklad oznaczony, uklad nieoznaczony, uklad sprzeczny. 57

Uczniowie rozwizuj graficznie uklady równa oraz podaj interpretacj geometryczn ukladów równa. wiczenia Zadania 1a), b), 2a), 3b), str. 124. Okrelanie, czy dany uklad równa jest oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny. Praca domowa Zadania 1c), 2c), 3a), str. 124. Uwagi Celem lekcji jest utrwalenie i uzupelnienie wiadomoci o ukladach równa liniowych z dwiema niewiadomymi. Naley zwróci uwag na poprawne formulowanie odpowiedzi przez uczniów. Wane jest, aby uczniowie wiedzieli, jakie czynnoci naley wykona, gdy podajemy interpretacj geometryczn ukladu, a jakie, gdy rozwizujemy graficznie uklad równa.

Lp. 8. Temat (treci) Metody rozwizywania ukladów równa · Metoda podstawiania · Metoda przeciwnych wspólczynników Cele ogólne · Opisywanie zbiorów za pomoc równa i ich ukladów · Rozwizywanie równa i ich ukladów · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie · Opisywanie zwizków pomidzy wielkociami liczbowymi za pomoc równa Cele szczególowe Ucze potrafi: · rozwiza uklad równa metod podstawiania · rozwiza uklad równa metod przeciwnych wspólczynników · rozwizywa zadania prowadzce do ukladu równa liniowych z dwiema niewiadomymi

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z fragmentem rozdzialu 4.8. Metody rozwizywania ukladów równa dotyczcym rozwizywania ukladów równa metod podstawiania, rozwizuj uklady równa, stosujc t metod. Uczniowie zapoznaj si z fragmentem rozdzialu 4.8 dotyczcym rozwizywania równa metod przeciwnych wspólczynników, rozwizuj uklady równa metod przeciwnych wspólczynników. Uczniowie rozwizuj zadania prowadzce do rozwizania ukladu równa liniowych z dwiema niewiadomymi, w tym zadania praktyczne. wiczenia Zadania 1a), c), 2a), b), str. 127.

58

Rozwizywanie zada prowadzcych do ukladów równa liniowych z dwiema niewiadomymi. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1b), 2c), str. 127; zadanie 3, str. 128. Zadanie 4, str. 128. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Celem lekcji jest wyksztalcenie sprawnoci w rozwizywaniu ukladów równa metodami, które uczniowie poznali w gimnazjum. Uczniowie powinni sprawnie rozwizywa uklady równa, wykorzystujc obie metody. Moemy równie poleci uczniom, aby przeczytali rozdzial 4.8 jako prac domow przed omówieniem tego tematu. Na realizacj tematu powinno si przeznaczy dwie godziny lekcyjne. Na pierwszej lekcji ksztalcimy przede wszystkim umiejtno stosowania rónych metod rozwizywania ukladów równa, na drugiej umiejtno rozwizywania zada prowadzcych do ukladów równa liniowych z dwiema niewiadomymi, w tym zada praktycznych.

Lp. 9. Temat (treci) Metoda wyznaczników rozwizywania ukladów równa Uklady równa z parametrem · Wyznacznik stopnia drugiego · Wyznacznik ukladu · Wzory na rozwizanie ukladu Cele ogólne · Rozwizywanie równa i ich ukladów · Definiowanie obiektów matematycznych · Opisywanie zbiorów za pomoc ukladów równa · Samodzielne zdobywanie wiedzy matematycznej Cele szczególowe Ucze potrafi: · obliczy wyznacznik czwórki liczb · rozwiza uklad równa liniowych metod wyznaczników · rozwiza uklad równa liniowych z dwiema niewiadomymi i parametrem

Sposób realizacji Wprowadzamy pojcie wyznacznika. Uczniowie obliczaj wyznacznik podanej czwórki liczb zapisanych w postaci tablicy. Omawiamy pojcia wyznacznika glównego ukladu i wyznacznika zwizanego ze zmienn wystpujc w ukladzie (Wx i Wy). Uczniowie zapisuj dla podanego ukladu równa odpowiednie wyznaczniki i obliczaj ich wartoci. Polecamy uczniom, aby zapoznali si z twierdzeniem 1., str. 129 i z przykladem 1., str. 130. Uczniowie rozwizuj uklady równa metod wyznaczników. Uczniowie zapoznaj si z przykladami 2. i 3. (str. 130 i str. 131). Rozwizuj uklady równa z parametrem.

59

wiczenia Obliczanie wyznacznika czwórki liczb. Zapisywanie wyznaczników zwizanych z danym ukladem równa. Rozwizywanie ukladów równa metod wyznaczników. Rozwizywanie ukladów równa z parametrem. Praca domowa Zadania 1, 2a), b), 3c), str. 131. Zadanie 4b), str. 132. Uwagi Na lekcji moemy take wyprowadzi wzory na rozwizanie ukladu równa. Istotne jest, eby uczniowie rozumieli, jakie warunki powinny spelnia odpowiednie wyznaczniki, aby uklad byl oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny. Na realizacj tego tematu przeznaczamy dwie godziny lekcyjne. Na pierwszej lekcji ksztalcimy umiejtno rozwizywania ukladów równa metod wyznaczników, na drugiej ksztalcimy umiejtno rozwizywania ukladów równa z parametrem.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Rozwizywanie równa i ich ukladów · Definiowanie obiektów matematycznych · Opisywanie zbiorów za pomoc równa i ich ukladów · Opisywanie zwizków pomidzy wielkociami liczbowymi za pomoc równa · Samodzielne zdobywanie wiedzy matematycznej Cele szczególowe Ucze potrafi: · sprawdzi, czy trójka (czwórka) liczb jest rozwizaniem ukladu równa · rozwiza uklad równa z trzema lub czterema niewiadomymi metod podstawiania · rozwizywa zadania prowadzce do ukladów równa z trzema lub czterema niewiadomymi

10. Uklady równa z trzema i czterema niewiadomymi · Rozwizanie ukladu równa z trzema niewiadomymi · Rozwizanie ukladu równa z czterema niewiadomymi

Sposób realizacji Omawiamy pojcie rozwizania ukladu równa z trzema, czterema niewiadomymi. Uczniowie sprawdzaj, czy dany uklad liczb jest rozwizaniem ukladu równa. Polecamy uczniom, aby przeczytali przyklady z rozdzialu 4.10. Uklady równa liniowych z trzema i czterema niewiadomymi. Uczniowie rozwizuj uklady równa metod podstawiania i metod przeciwnych wspólczynników oraz zadania prowadzce do ukladów równa liniowych z trzema niewiadomymi.

60

wiczenia Zadanie 1a), str. 133. Rozwizywanie ukladów równa z trzema niewiadomymi. Rozwizywanie ukladów równa z czterema niewiadomymi. Rozwizywanie zada prowadzcych do ukladów równa z trzema niewiadomymi. Praca domowa Zadania 1b), 2c), 3, str. 133. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Na realizacj tematu moemy przeznaczy dwie godziny lekcyjne. Uczniowie, z którymi realizujemy program w zakresie podstawowym, powinni przede wszystkim umie rozwizywa uklady równa liniowych z trzema niewiadomymi. Wymagania dla tych uczniów moemy ograniczy do rozwizywania ukladów równa metod podstawiania. Na lekcji i w pracy domowej wykorzystujemy zadania praktyczne prowadzce do ukladów równa z trzema niewiadomymi.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Opisywanie zbiorów za pomoc nierównoci · Odczytywanie danych z wykresu · Opisywanie zwizków pomidzy wielkociami liczbowymi za pomoc nierównoci Cele szczególowe Ucze potrafi: · sprawdzi, czy liczba jest rozwizaniem nierównoci · rozwiza nierówno liniow z jedn niewiadom · rozwizywa zadania prowadzce do nierównoci liniowych · wyznaczy zbiór rozwiza nierównoci z jedn niewiadom i wartoci bezwzgldn

11. Nierównoci liniowe z jedn niewiadom · Nierównoci liniowe z jedn niewiadom · Zbiór rozwiza nierównoci

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z fragmentem rozdzialu 4.11. Nierównoci liniowe (str. 134). Sprawdzaj, czy dana liczba jest rozwizaniem nierównoci, rozwizuj nierównoci liniowe oraz zadania prowadzce do nierównoci liniowych z jedn niewiadom. Uczniowie rozwizuj nierównoci z wartoci bezwzgldn. wiczenia Sprawdzanie, czy liczba jest rozwizaniem nierównoci. Rozwizywanie nierównoci liniowych z jedn niewiadom. 61

Zadania 4a), c), 5, str. 137. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1, 2, str. 136; zadania 3c), 4b), 6, str. 137. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Przy rozwizywaniu zada praktycznych prowadzcych do nierównoci liniowych zwracamy uwag na fakt, e nie kade rozwizanie nierównoci musi by rozwizaniem zadania (naley zwróci uwag na wynikajce z treci zadania warunki, jakie musi spelnia niewiadoma). Realizujc program w zakresie rozszerzonym, na temat ten moemy przeznaczy dwie godziny lekcyjne.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Opisywanie zbiorów za pomoc nierównoci · Opisywanie zwizków pomidzy wielkociami liczbowymi za pomoc nierównoci · Samodzielne zdobywanie wiedzy matematycznej Cele szczególowe Ucze potrafi: · sprawdzi, czy para liczb jest rozwizaniem nierównoci · zaznaczy na plaszczynie zbiór rozwiza nierównoci liniowej z dwiema niewiadomymi · opisa pólplaszczyzn w ukladzie wspólrzdnych za pomoc nierównoci · rozwizywa zadania prowadzce do nierównoci liniowych z dwiema niewiadomymi

12. Nierównoci liniowe z dwiema niewiadomymi · Rozwizanie nierównoci z dwiema niewiadomymi · Graficzne rozwizanie nierównoci

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z fragmentem rozdzialu 4.12. Nierównoci liniowe z dwiema niewiadomymi (str. 137). Okrelaj, czy podane nierównoci s nierównociami liniowymi z dwiema niewiadomymi, sprawdzaj, czy dana para liczb jest rozwizaniem nierównoci. Uczniowie zapoznaj si z pozostalym fragmentem rozdzialu 4.12. Zaznaczaj na plaszczynie zbiory rozwiza nierównoci, rozwizuj zadania prowadzce do nierównoci liniowych z dwiema niewiadomymi. Uczniowie zaznaczaj na plaszczynie zbiory rozwiza nierównoci z dwiema niewiadomymi, w których wystpuje warto bezwzgldna. wiczenia Sprawdzanie, czy para liczb spelnia dan nierówno. 62

Zaznaczanie zbioru rozwiza nierównoci w ukladzie wspólrzdnych. Zadania 4a), b), str. 139. Rozwizywanie zada prowadzcych do nierównoci z dwiema niewiadomymi. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1, 2, 3a), 4c), str. 139. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Na realizacj tematu moemy przeznaczy dwie godziny lekcyjne. Wród zada prowadzcych do nierównoci liniowych z dwiema niewiadomymi powinny si znale zadania praktyczne.

Lp. 13. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · zaznaczy na plaszczynie zbiór rozwiza ukladu nierównoci liniowych · zaznaczy na plaszczynie zbiór rozwiza ukladu równa liniowych i nierównoci liniowych · rozwizywa zadania prowadzce do ukladów nierównoci liniowych

Uklady nierównoci · Opisywanie zbiorów za pomoc nierównoci liniowych oraz równa i ich ukladów i nierównoci · Opisywanie zwizków · Rozwizanie ukladu pomidzy wielkociami nierównoci liczbowymi za pomoc · Uklady nierównoci równa i nierównoci liniowych z dwiema · Samodzielne zdobyniewiadomymi wanie wiedzy matema· Uklady równa liniotycznej wych i nierównoci liniowych z dwiema niewiadomymi

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z treci rozdzialu 4.13. Uklady nierównoci liniowych oraz równa i nierównoci. Zaznaczaj na plaszczynie zbiory rozwiza ukladów nierównoci oraz ukladów równa i nierównoci. Rozwizuj zadania prowadzce do ukladów nierównoci liniowych oraz ukladów równa i nierównoci liniowych. wiczenia Zadania 1a), 2a), 3a), str. 142. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 2b), 3b), str. 142. Wybrane zadania ze zbioru zada.

63

Uwagi Na realizacj tematu przeznaczamy dwie godziny lekcyjne. Na pierwszej lekcji ksztalcimy umiejtno zaznaczania na plaszczynie zbioru rozwiza ukladu nierównoci liniowych oraz ukladu równa i nierównoci liniowych, na drugiej umiejtno rozwizywania zada prowadzcych do ukladów nierównoci liniowych.

5. Planimetria

Lp. 1. Temat (treci) Podstawowe figury geometryczne · Prosta, pólprosta, odcinek · Symetralna odcinka · Punkty wspólliniowe · Pólplaszczyzna · Kt, kty równe (przystajce) · Dwusieczna kta · Stopniowa miara kta · Kt pelny, kt pólpelny, kt prosty · Kty przylegle, wierzcholkowe · Kty odpowiadajce, naprzemianlegle · Proste równolegle i proste prostopadle · Figury wypukle Cele ogólne · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Definiowanie obiektów matematycznych · Samodzielne opanowanie definicji i twierdze z podrcznika Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda przyklad punktów wspólliniowych · narysowa kt pelny, pólpelny, prosty · narysowa kt równy danemu ktowi · wskaza kty wierzcholkowe, przylegle, odpowiadajce, naprzemianlegle · wyznaczy miar kta przyleglego · narysowa prost równolegl, prostopadl do danej prostej · narysowa symetraln odcinka, dwusieczn kta · podawa przyklady figur wypuklych i figur, które nie s wypukle · uzasadni, e dana figura nie jest wypukla

Sposób realizacji Uczniowie czytaj fragment rozdzialu 5.1. Podstawowe figury geometryczne od pocztku do pojcia figury wypuklej wlcznie. Omawiamy przeczytany fragment tekstu. Uczniowie rysuj prost równolegl, prost prostopadl do danej prostej. Podaj przyklady figur wypuklych i figur, które nie s wypukle. Polecamy uczniom, aby przeczytali fragment rozdzialu 5.1 od pojcia kta do koca str. 147. Omawiamy pojcia kta, kta wypuklego, miary kta. Uczniowie wskazuj na podanych rysunkach kty wierzcholkowe, kty naprzemianlegle, kty przylegle, kty odpowiadajce oraz podaj miary zaznaczonych na rysunku któw. 64

Omawiamy pojcia symetralnej odcinka i dwusiecznej kta. Uczniowie rysuj symetraln odcinka oraz dwusieczn kta. wiczenia Podawanie przykladów (rysowanie) prostych równoleglych, przecinajcych si, odcinków równoleglych (prostopadlych), pólprostych równoleglych (prostopadlych). Podawanie przykladów (rysowanie) figur wypuklych oraz figur, które nie s wypukle. Uzasadnianie, e figura nie jest wypukla. Rysowanie któw (kt ostry, rozwarty, prosty, pólpelny, pelny), wskazywanie wierzcholka i ramion kta. Wyznaczanie miary kta przyleglego. Konstruowanie symetralnej odcinka, dwusiecznej kta. Konstruowanie kta przystajcego do danego kta. Rozwizywanie wybranych zada ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1, 2, str. 149. Zadania 5, 6, str. 150. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Celem lekcji jest uporzdkowanie i uzupelnienie wiadomoci, przypomnienie podstawowych poj. Przyklady (zadania) powinny by tak dobrane, aby sprawdzaly rozumienie i znajomo omawianych na lekcji poj.

Lp. 2. Temat (treci) Odleglo na plaszczynie · Odleglo punktów na plaszczynie · Wlasnoci odlegloci · Warunek wspólliniowoci punktów Cele ogólne · Wyznaczanie zwizków metrycznych i miarowych w otaczajcej przestrzeni · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie Cele szczególowe Ucze potrafi: · zapisa warunek wspólliniowoci trzech punktów · uzasadni, e trzy punkty s wspólliniowe (nie s wspólliniowe), znajc odlegloci midzy tymi punktami · oblicza odlegloci punktów o danych wspólrzdnych

Sposób realizacji Omawiamy wlasnoci odlegloci (moemy posluy si przykladem dotyczcym odlegloci midzy trzema wybranymi miastami w Polsce ­ odlegloci mierzymy midzy ustalonymi punktami w tych miastach). Zwracamy uwag na nierówno trójkta. Uczniowie zapisuj warunki na to, aby trzy punkty byly wspólliniowe. Obliczaj odleglo midzy punktami o danych wspólrzdnych.

65

wiczenia Zapisanie warunku tego, aby trzy punkty byly wspólliniowe. Zapisanie warunku tego, aby punkt naleal do danego odcinka. Obliczanie odlegloci midzy punktami o danych wspólrzdnych. Uzasadnianie, e punkty s wspólliniowe, jeli dane s odlegloci midzy nimi. Rozwizywanie wybranych zada ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 3, 4, str. 149. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Realizujc program w zakresie rozszerzonym, dla uczniów szczególnie zainteresowanych matematyk moemy okreli odleglo na plaszczynie innym wzorem, np. x2 ­ x1 + y2 ­ y1 , gdzie (x1, y1), (x2, y2) s wspólrzdnymi dwóch punktów plaszczyzny. Moemy te pokaza, jak wyglda okrg jednostkowy przy tak okrelonej odlegloci.

Lp. 3. Temat (treci) Lamana. Wielokty · Lamana, lamana zwyczajna · Wielokt · Przektna wielokta · Kt wewntrzny i zewntrzny wielokta · Wielokt foremny · Wielokty przystajce · Suma miar któw wielokta Cele ogólne · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich · Definiowanie obiektów matematycznych · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Przeprowadzanie prostych rozumowa dedukcyjnych Cele szczególowe Ucze potrafi: · wskaza wród podanych figur lamane zwyczajne · poda przyklad lamanej, wielokta, wielokta foremnego · wskaza wierzcholek, bok, kt wewntrzny, przektn wielokta · uzasadni, e wielokty s przystajce, wykorzystujc równo odpowiednich boków i któw · obliczy miar kta wielokta, znajc miary pozostalych jego któw · obliczy miar kta zewntrznego wielokta foremnego · udowodni twierdzenie o sumie miar któw wielokta wypuklego

66

Sposób realizacji Omawiamy pojcie lamanej i lamanej zwyczajnej. Uczniowie rysuj lamane zwyczajne, lamane zamknite, lamane zwyczajne zamknite. Wskazuj wród podanych figur lamane, lamane zwyczajne, lamane otwarte, zamknite. Omawiamy pojcia: wielokta, wierzcholka wielokta, boku wielokta, przektnej wielokta, kta wewntrznego i zewntrznego wielokta, wielokta foremnego (mona skorzysta przy omawianiu tych poj z rysunków umieszczonych na str. 151 lub poleci uczniom, aby przeczytali fragment rozdzialu dotyczcy wieloktów). Omawiamy pojcie wieloktów przystajcych. Uczniowie zapoznaj si z twierdzeniami 1., 2., 3. Przeprowadzamy dowody twierdze 2. i 3. Uczniowie rozwizuj zadania dotyczce wieloktów przystajcych oraz miar któw w wielokcie. Rozwizywanie wybranych zada, w tym zada polegajcych na przeprowadzaniu dowodów. wiczenia Zadanie 1, str. 153. Podawanie przykladów (rysowanie) lamanych zwyczajnych, wieloktów, wieloktów foremnych, wskazywanie wierzcholków, boków, przektnych, któw wewntrznych i zewntrznych wielokta. Uzasadnianie, e wielokty s przystajce, jeli znane s dlugoci ich boków i miary któw. Zadania 3a), b), str. 153; zadania 4a), 5a),7a), 8, str. 154. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 2, 3c), str. 153. Zadania 4b), 5b), 7b), str. 154. Zadania 9, 10, str. 154. Udowodni twierdzenie 1. Uwagi Przystawanie trójktów bylo omawiane w gimnazjum. Wprowadzajc pojcie wieloktów (figur) przystajcych, powinnimy odwola si do wiedzy uczniów.

67

Lp. 4.

Temat (treci) Pole figury · Pojcie pola figury · Jednostka pola · Pole prostokta

Cele ogólne · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich · Wyznaczanie miar figur geometrycznych · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie

Cele szczególowe Ucze potrafi: · obliczy pole prostokta o danych dlugociach boków · zapisywa pole w rónych jednostkach pola · oszacowa pole figury za pomoc siatki kwadratów · uzasadni, e pole figury jest wiksze, mniejsze od danej liczby

Sposób realizacji Omawiamy pojcie pola figury, podajemy przyklady figur, których pole jest równe zero (punkt, odcinek). Pokazujemy, w jaki sposób moemy oszacowa pole dowolnej figury, formulujemy twierdzenie 4. Uczniowie obliczaj pola prostoktów, wyraaj pola we wskazanych jednostkach, szacuj pola figur z wykorzystaniem siatki kwadratowej. wiczenia Obliczanie pól prostoktów. Zapisywanie pól z wykorzystaniem rónych jednostek. Szacowanie pól figur. Uzasadnianie, e pole figury jest mniejsze (wiksze) od danej liczby. Praca domowa. Zadania 1c), 2b), 3a), 4b), str. 157. Zadanie 5, str. 158 Przeczytanie fragmentu rozdzialu 5.3. Pole figury (str. 157) przeznaczonego dla zakresu rozszerzonego. Uwagi Do szacowania pól figur mona wykorzysta przygotowane przezroczyste folie z naniesionymi siatkami kwadratów.

Temat ten moe by zrealizowany zgodnie z konspektem, który zostal zamieszczony na str. 120­123.

68

Lp. 5.

Temat (treci) Trójkty · Trójkt prostoktny, ostroktny, rozwartoktny · Trójkt równoramienny, równoboczny · Pole trójkta · Cechy przystawania trójktów · Twierdzenie o symetralnej odcinka · Twierdzenie o zalenoci midzy dlugociami boków i miarami któw trójkta

Cele ogólne

Cele szczególowe

· Wyznaczanie zwizków Ucze potrafi: · okreli zalenoci midzy miarowych w figurach ktami, bokami trójkta plaskich prostoktnego, równoramien· Wyznaczanie miar figur nego, równobocznego geometrycznych · Definiowanie obiektów · rozpoznawa trójkty prostoktne, ostroktne, rozwarmatematycznych · Przyswajanie schematów toktne, równoramienne, równoboczne rozumowa · obliczy pole trójkta, znajc dlugoci podstawy i wysokoci trójkta · stosowa cechy przystawania trójktów · uzasadni, e trójkty s przystajce na podstawie odpowiedniej cechy · uzasadni wzór na pole trójkta

Sposób realizacji Uczniowie podaj przyklady (rysuj) trójktów prostoktnych, ostroktnych, rozwartoktnych, równoramiennych, równobocznych, okrelaj zalenoci midzy dlugociami boków, miarami któw danego trójkta, obliczaj pole trójkta. Pokazujemy, w jaki sposób mona uzasadni wzór na pole trójkta. Omawiamy cechy przystawania trójktów. Uczniowie uzasadniaj na podstawie odpowiedniej cechy, e e dane trójkty nie s przystajce. dane trójkty s przystajce oraz Formulujemy twierdzenie 3. i twierdzenie 4., str. 160. Uczniowie wskazuj najdlusze (najkrótsze) boki, kty o najwikszej (najmniejszej) mierze w danym trójkcie. wiczenia Zadania 1a), 2, 3a), str. 161; zadanie 4b), str. 162. Zadania 6a), b), c), str. 162. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadanie 1b), str. 161; zadanie 3b), str. 162. Zadania 5, 6d), 7, str. 162.

69

Uwagi Celem lekcji jest uporzdkowanie wiadomoci dotyczcych trójktów. Wan umiejtnoci ksztalcon na zajciach jest uzasadnianie, e trójkty s przystajce (wskazywanie trójktów przystajcych). Na realizacj tego tematu moemy przeznaczy dwie godziny lekcyjne.

Lp. 6. Temat (treci) Twierdzenie Pitagorasa · Twierdzenie Pitagorasa · Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Cele ogólne · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie · Przeprowadzanie prostych rozumowa dedukcyjnych Cele szczególowe Ucze potrafi: · zapisa zaleno midzy dlugociami boków trójkta prostoktnego · sprawdzi, czy trójkt jest prostoktny, znajc dlugoci jego boków · wyznaczy dlugo trzeciego boku trójkta prostoktnego, znajc dlugoci dwóch pozostalych · obliczy wysoko trójkta równobocznego, równoramiennego o danych dlugociach boków · obliczy pole trójkta równobocznego, równoramiennego o danych dlugociach boków

Sposób realizacji Prosimy uczniów o sformulowanie twierdzenia Pitagorasa i twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa. Przeprowadzamy dowód twierdzenia Pitagorasa, sprawdzamy, czy uczniowie rozumiej kolejne kroki dowodu. Uczniowie rozwizuj zadania, stosujc twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa. wiczenia Zadania 1a), c), 2a), b), 3a), d), str. 165. Obliczanie dlugoci wysokoci trójkta równobocznego, równoramiennego. Obliczanie pola trójkta równobocznego, równoramiennego. Praca domowa Zadania 1b), d), 2c), 3c), str. 165. Zadanie 5, str. 166. 70

Przeledzi dowód twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa. Uwagi Wane jest, aby uczniowie potrafili zapisywa twierdzenie Pitagorasa dla danego trójkta zgodnie z symbolik przyjt na rysunku. Realizujc program w zakresie rozszerzonym, nie musimy wymaga znajomoci pelnego dowodu twierdzenia Pitagorasa, ale wskazane byloby, aby uczniowie rozumieli ide dowodu tego twierdzenia.

Lp. 7. Temat (treci) Czworokty · Prostokt · Kwadrat · Równoleglobok · Romb · Trapez · Deltoid · Pola czworoktów Cele ogólne · Samodzielne opanowanie definicji i twierdze z podrcznika · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich · Wyznaczanie miar figur geometrycznych Cele szczególowe Ucze potrafi: · okreli zalenoci midzy bokami, miarami któw prostokta, kwadratu, równolegloboku, rombu, trapezu, deltoidu · rozpozna, jakim czworoktem jest czworokt, którego kty lub boki spelniaj okrelone warunki · obliczy pole prostokta, znajc dlugoci jego boków · obliczy pole równolegloboku, znajc dlugoci jego podstawy i wysokoci · obliczy pole trapezu, znajc dlugoci podstaw i wysokoci trapezu · obliczy pole rombu, deltoidu, znajc dlugoci przektnych

Sposób realizacji Uczniowie czytaj rozdzial 5.6. Czworokty, notuj w zeszycie wzory na pola czworoktów. Okrelaj zalenoci midzy miarami któw, dlugociami boków czworoktów, obliczaj pola czworoktów. wiczenia Zadania 1, 2, 4c), d), str. 168. Zadania 5b), c), str. 169. Praca domowa Zadania 3, 4a), b), str. 168. Zadanie 5a), str. 169. 71

Zadanie 6, str. 169. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Gdy realizujemy program w zakresie rozszerzonym, to wród zada rozwizywanych na lekcji i zadanych jako praca domowa powinny by zadania, w których stosowane jest twierdzenie Pitagorasa oraz zadania, w których pole czworokta obliczamy jako sum pól trójktów.

Lp. 8. Temat (treci) Funkcje trygonometryczne w trójkcie prostoktnym · Sinus kta · Kosinus kta · Tangens kta · Kotangens kta Cele ogólne · Definiowanie obiektów matematycznych · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich · Wyszukiwanie potrzebnych informacji · Wykorzystanie narzdzi wspomagajcych rozwizywanie problemów Cele szczególowe Ucze potrafi: · oblicza wartoci funkcji trygonometrycznych kta ostrego w trójkcie prostoktnym, znajc dlugoci boków trójkta · oblicza dlugoci boków trójkta prostoktnego, wykorzystujc funkcje trygonometryczne · odczytywa w tablicach matematycznych przyblione wartoci funkcji trygonometrycznych · wykorzysta kalkulator do wyznaczenia przyblionych wartoci funkcji trygonometrycznych

Sposób realizacji Omawiamy pojcia funkcji trygonometrycznych w trójkcie prostoktnym. Uczniowie wyznaczaj wartoci funkcji trygonometrycznych kta ostrego, obliczaj dlugoci boków trójkta prostoktnego, stosujc funkcje trygonometryczne. Omawiamy, w jaki sposób odczytujemy przyblione wartoci funkcji trygonometrycznych w tablicach matematycznych, w jaki sposób wykorzystujemy do tego celu kalkulator. wiczenia Zadania 1a), b), 2a), b), 3a), 4, str. 173. Praca domowa Zadania 1c), 2c), 3b), str. 173. Zadanie 5, str. 173. 72

Zapoznanie si z fragmentem podrcznika na str. 172 opisujcym sposób obliczania wysokoci drzewa. Uwagi Odczytywanie przyblionych wartoci funkcji trygonometrycznych w tablicach matematycznych i wykorzystywanie do tego celu kalkulatora najlepiej zrealizujemy, organizujc prac w grupach.

Lp. 9. Temat (treci) Wlasnoci funkcji trygonometrycznych · Podstawowe tosamoci trygonometryczne · Wzory redukcyjne dla któw I wiartki · Wartoci funkcji trygonometrycznych dla któw o miarach: 30°, 45°, 60° Cele ogólne · Przeprowadzanie oblicze dokladnych i przyblionych · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich · Wykorzystanie narzdzi wspomagajcych rozwizywanie problemów · Przeprowadzanie prostych rozumowa dedukcyjnych Cele szczególowe Ucze potrafi: · wyznaczy wartoci pozostalych funkcji trygonometrycznych, znajc sinus lub kosinus kta · obliczy przyblione dlugoci pozostalych boków trójkta prostoktnego, znajc dlugo jednego boku i miar kta ostrego trójkta · wyznaczy dlugoci pozostalych boków trójkta prostoktnego, w którym kt ostry ma miar 30°, 45° lub 60°, znajc dlugo jednego boku · udowodni podstawowe tosamoci trygonometryczne

Sposób realizacji Formulujemy twierdzenie 1., przeprowadzamy dowód twierdzenia. Podajemy wzory redukcyjne dla któw I wiartki ukladu wspólrzdnych i uzasadniamy je. Uczniowie obliczaj wartoci pozostalych funkcji trygonometrycznych, znajc sinus lub kosinus kta, obliczaj wartoci funkcji trygonometrycznych, znajc tangens lub kotangens kta. Prosimy uczniów o zapoznanie si z tabel wartoci funkcji trygonometrycznych na str. 174. Uzasadniamy prawdziwo danych z tabeli. Uczniowie rozwizuj zadania, w których wykorzystuj tosamoci trygonometryczne, wzory redukcyjne, wartoci funkcji dla któw o miarach: 30°, 45°, 60° oraz obliczaj dlugoci boków trójkta z podan dokladnoci, wykorzystujc do oblicze kalkulator. wiczenia Zadania 1, 3a), b), 4a), str. 176. Wybrane zadania ze zbioru zada. 73

Praca domowa Zadania 2, 3c), 4b), str. 176. Zapozna si z przykladem 2. na str. 176. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Na realizacj tego tematu moemy przeznaczy dwie godziny lekcyjne. Wiksza liczba wicze umoliwi uczniom lepsze utrwalenie wiadomoci i sprawniejsze rozwizywanie zada.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Wyznaczanie miar figur geometrycznych · Przeprowadzanie oblicze dokladnych i przyblionych · Wykorzystanie narzdzi wspomagajcych rozwizywanie problemów Cele szczególowe Ucze potrafi: · oblicza dlugoci boków, wysokoci wieloktów, stosujc funkcje trygonometryczne · oblicza pola wieloktów, wykorzystujc funkcje trygonometryczne

10. Zastosowania funkcji trygonometrycznych · Wzór na pole trójkta

Sposób realizacji Temat realizujemy na dwóch godzinach lekcyjnych. Pierwsz lekcj przeprowadzamy w pracowni komputerowej. Uczniowie wyznaczaj przyblione wartoci funkcji trygonometrycznych, wyznaczaj dlugoci boków wieloktów, pola wieloktów, przeprowadzajc obliczenia z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego. Na drugiej lekcji organizujemy prac w grupach. Uczniowie rozwizuj zadania z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych. Przy wykonywaniu oblicze uczniowie wykorzystuj kalkulator. wiczenia Wybrane zadania ze zbioru zada. Zadanie 3, str. 179. Zadania 4b), 5b), str. 179. Praca domowa Zadania 1, 2, str.178. Zadania 4a), 5a), str. 179. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Na pierwszej lekcji wiczymy rozwizywanie prostych zada. Rozwijamy przede wszystkim umiejtno przeprowadzania oblicze z wykorzystaniem arkusza kalkula74

cyjnego. Na drugiej lekcji rozwizujemy trudniejsze zadania. Mona dobra zadania tak, aby rozwizania wczeniejszych byly elementami rozwiza nastpnych zada (unikniemy wówczas powielania pewnych schematów rozumowa).

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Wyznaczanie miar figur geometrycznych · Przeprowadzanie oblicze dokladnych i przyblionych · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Wykorzystanie narzdzi wspomagajcych rozwizywanie problemów Cele szczególowe Ucze potrafi: · obliczy pole kola o danym promieniu · obliczy pole wycinka kola o danym promieniu i danym kcie · obliczy dlugo okrgu o danym promieniu · obliczy dlugo luku okrgu o danym promieniu i danym kcie · kola obliczy pole odcinka

11. Kolo i okrg · Ciciwa, promie, rednica okrgu (kola) · Pole kola · Pole wycinka kola · Dlugo okrgu · Dlugo luku okrgu · Figura ograniczona

Sposób realizacji Omawiamy pojcia: okrg, kolo, promie, ciciwa, rednica okrgu (kola), luk okrgu, wycinek kola. Uczniowie zaznaczaj na rysunku promie, ciciw, rednic okrgu (kola), zaznaczaj luk okrgu, wycinek kola odpowiadajcy ktowi o danej mierze (np. dla któw o miarach: 90°, 135°, 180°, 270°). Omawiamy pojcie figury ograniczonej. Uczniowie podaj przyklady figur ograniczonych i nieograniczonych. Podajemy wzory na pole kola, dlugo okrgu, omawiamy sposób obliczania pola wycinka kola, dlugoci luku okrgu. Uczniowie obliczaj pole kola, wycinka kola, dlugo okrgu, luku okrgu, pole odcinka kola. Podaj dokladne wyniki oblicze i przyblienia z okrelon dokladnoci. wiczenia Zadanie 2, str. 181; zadanie 4, str. 182. Zadanie 6, str. 182. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadanie 1, str 181; zadanie 3, str. 182. Zadanie 5, str. 182.

75

Uwagi Do wyznaczania przyblie pól figur i dlugoci luku okrgu uczniowie powinni wykorzysta kalkulator. Uczniowie szczególnie zainteresowani matematyk (realizujcy program w zakresie rozszerzonym) powinni pozna dowód twierdzenia 1., str. 180.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich · Definiowanie obiektów matematycznych · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie · Samodzielne opanowanie definicji i twierdze z podrcznika Cele szczególowe Ucze potrafi: · wyznaczy miar kta wpisanego, znajc miar kta rodkowego opartego na tym samym luku · wyznaczy miar kta rodkowego, znajc miar kta wpisanego · narysowa okrg opisany na danym trójkcie · wyznaczy dlugo promienia okrgu opisanego na trójkcie równobocznym · sprawdzi, czy czworokt mona wpisa w okrg · uzasadni, e danego czworokta nie mona wpisa w okrg

12. Kty w okrgu Wielokt wpisany w okrg · Kty w okrgu: kt rodkowy, kt wpisany · Twierdzenie o ktach wpisanym i rodkowym opartych na tym samym luku · Twierdzenie o ktach wpisanych opartych na tym samym luku · Twierdzenie o kcie wpisanym opartym na pólokrgu · Wielokt wpisany w okrg · Twierdzenie o trójkcie wpisanym w okrg · Twierdzenie o czworokcie wpisanym w okrg

Sposób realizacji Uczniowie czytaj fragment rozdzialu 5.11. Kty w okrgu. Wielokt wpisany w okrg, str. 182 i str. 183 (definicja kta rodkowego, wpisanego, twierdzenia 1., 2. i 3.). Wyznaczaj miary któw wpisanych, rodkowych, stosujc twierdzenia 1., 2. i 3. Omawiamy pojcie wielokta wpisanego w okrg (definicja, poloenie rodka okrgu, przyklady wieloktów, na których nie mona opisa okrgu), twierdzenie o czworokcie wpisanym w okrg. Uczniowie rysuj okrg opisany na danym trójkcie. Sprawdzaj, czy na danym czworokcie mona opisa okrg i uzasadniaj odpowied. wiczenia Zadanie 2a), str. 184; zadania 3a), b), 4, 5, str. 185. Zadania 3e), f), str. 185. Praca domowa Zadania 1, 2b), 3c), d), str 184; zadanie 6, str. 185. 76

Zadanie 7, str. 185. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Uczniowie, z którymi realizujemy program w zakresie rozszerzonym, powinni umie udowodni twierdzenie: Jeeli czworokt jest wpisany w okrg, to suma miar przeciwleglych jego któw jest równa 180°.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich · Definiowanie obiektów matematycznych · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie · Samodzielne opanowanie definicji i twierdze z podrcznika Cele szczególowe Ucze potrafi: · okreli wzajemne poloenie prostej i okrgu, znajc dlugo promienia okrgu i odleglo rodka okrgu od prostej · narysowa okrg wpisany w dany trójkt · wyznaczy dlugo promienia okrgu wpisanego w trójkt równoboczny · sprawdzi, czy w czworokt mona wpisa okrg · uzasadni, e w dany czworokt nie mona wpisa okrgu

13. Wielokt opisany na okrgu · Odleglo punktu od prostej · Wzajemne poloenie prostej i okrgu · Okrg wpisany w kt · Wielokt opisany na okrgu · Twierdzenie o trójkcie opisanym na okrgu · Twierdzenie o czworokcie opisanym na okrgu

Sposób realizacji Uczniowie czytaj fragment rozdzialu 5.12. Wielokt opisany na okrgu, str. 185 i str. 186 (odleglo punktu od prostej, wzajemne poloenie prostej i okrgu, okrg wpisany w kt). Okrelaj wzajemne poloenie prostej i okrgu, znajc odleglo rodka okrgu od prostej i dlugo promienia okrgu. Rysuj okrg o danym promieniu wpisany w dany kt wypukly. Omawiamy pojcie wielokta opisanego na okrgu (definicja, poloenie rodka okrgu, przyklady wieloktów, których nie mona opisa na okrgu), twierdzenie o czworokcie opisanym na okrgu. Uczniowie rysuj okrg wpisany w dany trójkt. Sprawdzaj, czy w dany czworokt mona wpisa okrg i uzasadniaj odpowied. wiczenia Zadanie 1, str. 187; zadania 2a), b), c), d), e), 3, 5, str. 188. Zadania 2f), g), h), str. 188. Praca domowa Zadanie 4, str. 188. 77

Zadania 6, 7, str. 188. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Uczniowie, z którymi realizujemy program w zakresie rozszerzonym, powinni umie udowodni twierdzenie: Jeeli czworokt jest opisany na okrgu, to sumy dlugoci przeciwleglych jego boków s równe.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · sprawdzi, czy punkt o danych wspólrzdnych naley do okrgu danego równaniem · zapisa równanie okrgu, znajc wspólrzdne rodka i dlugo promienia okrgu · wyznaczy z równania okrgu wspólrzdne rodka i dlugo promienia tego okrgu · zapisa równanie okrgu, znajc wspólrzdne rodka okrgu oraz wspólrzdne punktu, który naley do okrgu · okreli wzajemne poloenie okrgów, znajc dlugoci promieni i odleglo rodków okrgów · okreli wzajemne poloenie okrgów o danych równaniach

14. Równanie okrgu. Wza- · Opisywanie zbiorów za pomoc równa jemne poloenie dwóch · Definiowanie obiektów okrgów matematycznych · Równanie okrgu · Podawanie przykladów · Wzajemne poloenie i kontrprzykladów dwóch okrgów

Sposób realizacji Wyprowadzamy równanie okrgu, wykorzystujc wzór na obliczanie odlegloci dwóch punktów. Uczniowie sprawdzaj, czy punkt o danych wspólrzdnych naley do okrgu danego równaniem, zapisuj równanie okrgu, znajc wspólrzdne rodka oraz dlugo promienia tego okrgu. Wyznaczaj wspólrzdne rodka i dlugo promienia okrgu o danym równaniu. Zapisuj równanie okrgu, znajc wspólrzdne rodka okrgu oraz wspólrzdne punktu, który naley do okrgu. Omawiamy wzajemne poloenie dwóch okrgów, analizujc kolejne podpunkty twierdzenia 1., str. 190. Uczniowie okrelaj wzajemne poloenie dwóch okrgów,

78

znajc ich promienie i odleglo ich rodków oraz okrelaj wzajemne poloenie dwóch okrgów, znajc równania okrgów, okrelaj liczb rozwiza ukladu równa z parametrem, wykorzystujc twierdzenie 1. wiczenia Zadania 1, 2, 4a), c), d), 6a), c), 7b), str. 191. Zapisywanie równania okrgu, jeli dane s wspólrzdne rodka okrgu i wspólrzdne punktu nalecego do okrgu. Zadanie 9, str. 192. Praca domowa Zadania 4e), 6b), 7c), str. 191. Zadanie 8, str. 192. Wybrane zadania ze zbioru zada. Uwagi Na zajciach poprzedzajcych lekcj: Równanie okrgu. Wzajemne poloenie dwóch okrgów polecamy uczniom, aby przypomnieli sobie wzory skróconego mnoenia oraz wzór na obliczanie odlegloci punktów o danych wspólrzdnych.

Temat ten realizujemy na dwóch godzinach lekcyjnych.

79

Lp.

Temat (treci)

Cele ogólne

Cele szczególowe Ucze potrafi: · narysowa prost, znajc jej równanie kierunkowe lub ogólne · zapisa równanie kierunkowe prostej w postaci ogólnej i odwrotnie · sprawdzi, czy punkt o danych wspólrzdnych naley do prostej o danym równaniu · wyznaczy równanie kierunkowe i ogólne prostej, znajc wspólrzdne dwóch rónych punktów nalecych do prostej · okreli, czy proste s równolegle, przecinaj si, s prostopadle, znajc ich równania kierunkowe · wyznaczy równanie kierunkowe prostej równoleglej i prostopadlej do prostej o danym równaniu · okreli, czy proste s równolegle, przecinaj si, s prostopadle, znajc ich równania ogólne

· Opisywanie zbiorów za 15. Równanie ogólne pomoc równa prostej · Równanie ogólne prostej · Definiowanie obiektów matematycznych · Warunki równolegloci i prostopadloci prostych · Przyswajanie schematów rozumowa i ich danych równaniami stosowanie w postaci kierunkowej · Warunki równolegloci i prostopadloci prostych danych równaniami w postaci ogólnej

Sposób realizacji Wprowadzamy pojcie równania ogólnego prostej. Uczniowie podaj wspólrzdne punktów nalecych do prostej o danym równaniu, sprawdzaj, czy punkty o danych wspólrzdnych nale do prostej o danym równaniu, zapisuj równanie ogólne prostej w postaci kierunkowej i równanie kierunkowe w postaci ogólnej, rysuj proste o danym równaniu ogólnym. Podajemy posta równania prostej przechodzcej przez dwa dane punkty. Uczniowie wyznaczaj równanie ogólne prostej przechodzcej przez dane dwa punkty, przypominaj warunki równolegloci i prostopadloci prostych danych w postaci kierunkowej. Zapoznaj si z warunkami równolegloci i prostopadloci prostych danych za pomoc równa ogólnych. Sprawdzaj, czy proste o danych równaniach s równolegle, prostopadle, zapisuj równania prostych równoleglych, prostopadlych do prostych danych równaniem kierunkowym lub ogólnym i przechodzcych przez dany punkt. 80

wiczenia Zadania 1a), b), 2a), 3b), 4, 5b), 6a), str. 195. Zadanie 7, str. 195. Praca domowa Zadania 1c), 2b), 3a), 5a), 6b), str. 195. Zadanie 8, str. 196. Uwagi Przed realizacj tego tematu uczniowie powinni sobie przypomnie równanie prostej w postaci kierunkowej oraz warunki równolegloci i prostopadloci prostych danych równaniami kierunkowymi. Uczniowie, z którymi realizujemy program w zakresie podstawowym, nie musz zna warunków równolegloci i prostopadloci prostych danych równaniami ogólnymi. Zatem sprawdzajc warunki równolegloci, prostopadloci prostych oraz wyznaczajc równanie prostej równoleglej, prostopadlej do prostej o danym równaniu i przechodzcej przez dany punkt, powinni zapisa najpierw równania ogólne w postaci kierunkowej, a nastpnie skorzysta z warunków równolegloci, prostopadloci prostych danych za pomoc równa kierunkowych.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Opisywanie zbiorów za pomoc nierównoci i ich ukladów · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie · Samodzielne opanowanie definicji i twierdze z podrcznika Cele szczególowe Ucze potrafi: · poda przyklad punktu, którego wspólrzdne spelniaj dan nierówno liniow · zaznaczy na plaszczynie zbiór punktów, których wspólrzdne spelniaj dan nierówno liniow · zapisa nierówno liniow z dwiema niewiadomymi, które s wspólrzdnymi punktów nalecych do danej pólplaszczyzny · zaznaczy na plaszczynie zbiór punktów, których wspólrzdne spelniaj dany uklad nierównoci liniowych · zapisa uklad nierównoci liniowych z dwiema niewiadomymi, które s wspólrzdnymi punktów nalecych do danej figury

16. Opisywanie figur plaskich za pomoc nierównoci liniowych i ich ukladów · Opisywanie pólplaszczyzn za pomoc nierównoci liniowych · Opisywanie figur za pomoc ukladu nierównoci liniowych

81

Sposób realizacji Uczniowie zaznaczaj na plaszczynie zbiór punktów, których wspólrzdne spelniaj dan nierówno. Zapoznaj si z przykladem 1., str. 196. Opisuj za pomoc nierównoci zaznaczone w ukladzie wspólrzdnych pólplaszczyzny. Omawiamy przyklad 2., str. 197. Uczniowie opisuj za pomoc ukladu nierównoci zaznaczone w ukladzie wspólrzdnych figury. wiczenia Zadania 1a), c), 2a), c), 3a), str. 198. Zadanie 3c), str. 198. Praca domowa Zadania 1b), 2b), str. 198. Zadanie 3b), str. 198. Uwagi Uczniowie, z którymi realizujemy program w zakresie podstawowym, powinni potrafi opisywa za pomoc nierównoci lub ukladu nierównoci zaznaczone w ukladzie wspólrzdnych pólplaszczyzny, trójkty o dwóch bokach równoleglych do osi ukladu wspólrzdnych, prostokty o bokach równoleglych do osi ukladu wspólrzdnych.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · wyznaczy obraz punktu w symetrii osiowej · wyznaczy wspólrzdne obrazu punktu w symetrii wzgldem osi ukladu wspólrzdnych · wyznacza wspólrzdne punktów w symetrii wzgldem prostych równoleglych do osi ukladu wspólrzdnych · wskaza o symetrii figury osiowosymetrycznej · poda przyklady figur osiowosymetrycznych · poda przyklady figur, które nie maj osi symetrii

17. Symetria osiowa. Figury · Podawanie przykladów i kontrprzykladów osiowosymetryczne · Definiowanie obiektów · Symetria osiowa matematycznych · Punkty symetryczne wzgldem osi ukladu wspólrzdnych · O symetrii figury · Figura osiowosymetryczna

Sposób realizacji Omawiamy pojcie symetrii osiowej. Uczniowie wyznaczaj obraz punktu, odcinka w symetrii wzgldem prostej, odczytuj wspólrzdne obrazów punktów (zaznaczo82

nych w ukladzie wspólrzdnych) w symetrii wzgldem osi Ox i Oy. Poszukuj zalenoci midzy wspólrzdnymi danego punktu i jego obrazu w symetrii wzgldem osi ukladu wspólrzdnych. Omawiamy pojcie figury osiowosymetrycznej. Uczniowie wskazuj osie symetrii figury, podaj przyklady figur osiowosymetrycznych i figur, które nie maj osi symetrii. wiczenia Zadania 1, 2, 3, str. 201. Zadania 4a), d), 5a), str. 201. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Wybrane zadania ze zbioru zada. Zadania 4c), 5c), str. 201. Uwagi Obraz punktu, odcinka, wielokta uczniowie powinni umie wyznacza, poslugujc si cyrklem i linijk.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Definiowanie obiektów matematycznych Cele szczególowe Ucze potrafi: · wyznaczy obraz punktu w symetrii rodkowej · wyznaczy wspólrzdne obrazu punktu w symetrii wzgldem pocztku ukladu wspólrzdnych · wskaza rodek symetrii figury rodkowosymetrycznej · poda przyklady figur rodkowosymetrycznych · poda przyklad figury, która nie ma rodka symetrii

18. Symetria rodkowa Figury rodkowosymetryczne · Symetria rodkowa · Punkty symetryczne wzgldem pocztku ukladu wspólrzdnych · rodek symetrii figury · Figury rodkowosymetryczne

Sposób realizacji Omawiamy pojcie symetrii rodkowej. Uczniowie wyznaczaj obraz punktu, odcinka w symetrii wzgldem punktu, odczytuj wspólrzdne obrazów punktów (zaznaczonych w ukladzie wspólrzdnych) w symetrii wzgldem pocztku ukladu wspólrzdnych. Poszukuj zalenoci midzy wspólrzdnymi danego punktu i jego obrazu w symetrii wzgldem pocztku ukladu wspólrzdnych. Omawiamy pojcie figury rodkowosymetrycznej.

83

Uczniowie wskazuj rodek symetrii figury, podaj przyklady figur rodkowosymetrycznych i figur, które nie maj rodka symetrii, wyznaczaj rodek symetrii okrgu danego równaniem, wielokta, jeli dane s wspólrzdne jego wierzcholków. wiczenia Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1, 2, 4, str. 204. Zadanie 5, str. 204. Uwagi Obraz punktu, odcinka, wielokta uczniowie powinni umie wyznacza, poslugujc si cyrklem i linijk.

Lp. 19. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe

Wlasnoci symetrii · Definiowanie obiektów Ucze potrafi: · wyznaczy równanie obrazu matematycznych osiowej i rodkowej okrgu, prostej w symetrii · Przeprowadzanie pro· Punkty stale stych rozumowa deduk- rodkowej, osiowej przeksztalcenia · narysowa wykres funkcji, cyjnych · Wlasnoci symetrii osioktóry jest obrazem wykresu · Samodzielne opanowawej i rodkowej danej funkcji w symetrii nie definicji i twierdze wzgldem osi, rodka ukladu wspólrzdnych · zapisa wzór funkcji, której wykres powstal przez przeksztalcenie wykresu funkcji danej wzorem w symetrii wzgldem pocztku ukladu wspólrzdnych, osi ukladu wspólrzdnych · udowodni, e symetria jest izometri

Sposób realizacji Omawiamy pojcie punktu stalego przeksztalcenia, formulujemy twierdzenia o punktach stalych symetrii osiowej, rodkowej, dowodzimy twierdzenie 1., str. 205. Uczniowie zapoznaj si z twierdzeniami 2. i 2'., str. 205. Dowodzimy twierdzenie 2'. Uczniowie wskazuj punkty stale przeksztalce, wyznaczaj równania obrazów prostych, okrgów w symetrii wzgldem pocztku ukladu wspólrzdnych, wzgldem osi ukladu wspólrzdnych. Zapisuj wzory funkcji, których wykresy s obrazami wykresów danych funkcji, przeksztalcaj wykresy funkcji w symetrii osiowej i rodkowej. 84

wiczenia Zadania 2, 3a), 5, str. 207. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1, 3b), 4, 6, 7, str. 207. Zapoznanie si z dowodem twierdzenia 1'. Uwagi

Na realizacj tego tematu przeznaczamy dwie godziny lekcyjne. Lp. 20. Temat (treci) Funkcje parzyste i nieparzyste · Funkcja parzysta · Funkcja nieparzysta Cele ogólne · Odczytywanie wlasnoci funkcji z jej wykresu · Definiowanie obiektów matematycznych · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie Cele szczególowe Ucze potrafi: · ustali na podstawie wykresu, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta · sprawdzi na podstawie definicji, czy funkcja okrelona wzorem jest parzysta, nieparzysta · podawa przyklady funkcji parzystych, nieparzystych · podawa przyklady funkcji, które nie s funkcjami parzystymi ani nieparzystymi

Sposób realizacji Omawiamy pojcie funkcji parzystej. Uczniowie zapoznaj si z przykladem 1., str. 208, podaj przyklady funkcji parzystych, funkcji, które nie s parzyste, sprawdzaj parzysto funkcji, korzystajc z definicji. Omawiamy pojcie funkcji nieparzystej. Uczniowie zapoznaj si z przykladem 2., str. 209, podaj przyklady funkcji nieparzystych, sprawdzaj, korzystajc z definicji, nieparzysto funkcji okrelonych wzorami. Wskazuj wród funkcji okrelonych za pomoc wykresu funkcje parzyste i nieparzyste. wiczenia Zadania 1, 2, 3a), c), str. 210; zadania 4a), c), str. 211. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadanie 3b), str. 210; zadania 4b), 5, str. 211.

85

Uwagi Wane jest, aby przy wprowadzaniu definicji zwróci uwag na dziedzin funkcji parzystej, nieparzystej. Ilustracj graficzn na osi dziedziny tych funkcji jest zawsze zbiór punktów bdcy figur symetryczn wzgldem punktu zerowego osi.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne · Definiowanie obiektów matematycznych · Podawanie przykladów i kontrprzykladów · Samodzielne opanowanie definicji i twierdze z podrcznika Cele szczególowe Ucze potrafi: · wskaza (narysowa) wektory równolegle, prostopadle, wektory majce ten sam zwrot · wskaza (narysowa) wektory równe · obliczy wspólrzdne wektora o danym pocztku i kocu · obliczy dlugo wektora o danych wspólrzdnych · narysowa w ukladzie wspólrzdnych wektor o danych wspólrzdnych · wyznaczy wspólrzdne koca wektora, znajc wspólrzdne wektora i wspólrzdne jego pocztku · wyznaczy wspólrzdne pocztku wektora, znajc wspólrzdne wektora i wspólrzdne jego koca

21. Wektory · Wektor · Wektor zerowy · Dlugo wektora · Kierunek i zwrot wektora · Wektory równolegle · Wektory prostopadle · Wspólrzdne wektora · Wektory równe

Sposób realizacji Uczniowie czytaj fragment rozdzialu 5.20. Wektory (str. 211 i str. 212). Rysuj wektory równolegle, prostopadle, wektory majce ten sam zwrot, wektory równe. Czytaj fragment rozdzialu dotyczcy wspólrzdnych wektora (str. 213 i str. 214). Zapoznaj si z przykladem 1. Uczniowie wyznaczaj wspólrzdne wektora o danym pocztku i kocu. Polecamy uczniom, aby przeczytali przyklady 2., 3., 4. oraz twierdzenie 2. Uczniowie obliczaj dlugoci wektorów, wyznaczaj wspólrzdne koca (pocztku) wektora, znajc wspólrzdne wektora i wspólrzdne pocztku (koca) wektora. wiczenia Zadania 1a), c), str. 215; zadania 2b), 3, 4, str. 216. Wybrane zadania ze zbioru zada.

86

Praca domowa Zadanie 1b), str. 215; zadania 2c), 5, str. 216. Uwagi Realizujc program w zakresie podstawowym, moemy na ten temat przeznaczy dwie godziny lekcyjne.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · wyznaczy (narysowa) obraz punktu, odcinka, wielokta w przesuniciu o wektor · wyznaczy wspólrzdne obrazu punktu w przesuniciu o dany wektor · wyznaczy wspólrzdne wektora przesunicia, znajc wspólrzdne punktu i jego obrazu · wyznaczy równanie obrazu prostej, okrgu w przesuniciu równoleglym · udowodni, e przesunicie o wektor jest izometri, zachowuje wspólliniowo punktów

22. Przesunicie równolegle · Definiowanie obiektów matematycznych · Przesunicie o wektor · Wlasnoci przesunicia · Samodzielne opanowanie definicji i twiero wektor dze z podrcznika · Wzory na wspólrzdne obrazu punktu w przesu- · Przeprowadzanie niciu prostych rozumowa dedukcyjnych

Sposób realizacji Uczniowie czytaj fragment rozdzialu 5.21. Przesunicie równolegle (str. 216 i str. 217). Wyznaczaj obraz punktu, odcinka, wielokta w przesuniciu o dany wektor, wyznaczaj wspólrzdne obrazu punktu w przesuniciu równoleglym, wyznaczaj wspólrzdne wektora przesunicia, znajc wspólrzdne punktu i jego obrazu, wyznaczaj równanie obrazu prostej, okrgu w przesuniciu o dany wektor. Uczniowie wykazuj, e przesunicie o wektor jest izometri i zachowuje wspólliniowo punktów. wiczenia Zadanie 5, str. 218. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1, 2, 3, 4, str. 218. 87

Uwagi Uczniowie, przeprowadzajc dowód na to, e przesunicie równolegle jest izometri i zachowuje wspólliniowo punktów, mog pracowa w grupach. Cz uczniów ma za zadanie udowodni, e przesunicie równolegle jest przeksztalceniem izometrycznym, pozostali, e przesunicie zachowuje wspólliniowo punktów.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe

23. Dzialania na wektorach · Wykonywanie dziala na Ucze potrafi: · zbudowa sum, rónic wekwektorach · Suma wektorów torów o danych pocztkach · Definiowanie obiektów · Wektor przeciwny i kocach matematycznych · Rónica wektorów · zbudowa iloczyn wektora · Iloczyn wektora przez · Przeprowadzanie o danym pocztku i kocu liczb prostych rozumowa przez liczb calkowit dedukcyjnych · wyznaczy wspólrzdne sumy, rónicy i iloczynu wektora przez liczb, znajc wspólrzdne wektorów

Sposób realizacji Omawiamy pojcie i sposób wyznaczania sumy wektorów. Uczniowie wyznaczaj sum dwóch danych wektorów, wyznaczaj sum trzech danych wektorów. Podajemy wzory na obliczanie wspólrzdnych sumy wektorów i wlasnoci dotyczce sumy wektorów (twierdzenie 1.). Uczniowie zaznaczaj w ukladzie wspólrzdnych wektory i ich sum, odczytuj wspólrzdne sumy wektorów. Obliczaj wspólrzdne sumy wektorów, znajc wspólrzdne wektorów. Uczniowie zapoznaj si z dowodem twierdzenia 1a), a nastpnie przeprowadzaj dowód twierdzenia 1c). Omawiamy pojcie wektora przeciwnego do danego i pojcie rónicy wektorów. Uczniowie wyznaczaj rónic wektorów o danych pocztkach i kocach. Obliczaj wspólrzdne rónicy wektorów o danych wspólrzdnych. Omawiamy pojcie iloczynu wektora przez liczb. Uczniowie wyznaczaj wektor równy iloczynowi danego wektora przez liczb calkowit, np. 2, 5, ­1, ­3. Podajemy wzory na obliczanie wspólrzdnych iloczynu wektora przez liczb, wlasnoci iloczynu wektora przez liczb. Uczniowie wyznaczaj wspólrzdne iloczynu wektora przez liczb. Uczniowie zapoznaj si z dowodem twierdzenia 3a), a nastpnie przeprowadzaj dowód twierdzenia 3c). wiczenia Zadania 3a), b), e), g), str. 223. 88

Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Zadania 1, 2, str. 223. Zadania 3c), f), str. 223. Uwagi Na realizacj tego tematu mona przeznaczy dwie godziny lekcyjne.

Lp. 24. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · sprawdzi, czy wektory o danych wspólrzdnych s równolegle · sprawdzi, czy wektory o danych wspólrzdnych s prostopadle · poda wspólrzdne wektora prostopadlego do prostej danej równaniem · poda wspólrzdne wektora równoleglego do prostej danej równaniem · wyznaczy równanie prostej, znajc wspólrzdne wektora prostopadlego do prostej i wspólrzdne punktu nalecego do tej prostej

Równoleglo i pro- · Podawanie przykladów i kontrprzykladów stopadlo wektorów · Przeprowadzanie pro· Wspólrzdne wektora stych rozumowa dedukprostopadlego do prostej cyjnych · Warunek równolegloci · Samodzielne opanowawektorów nie definicji i twierdze · Warunek prostopadloci z podrcznika wektorów

Sposób realizacji Formulujemy twierdzenie o wektorze prostopadlym do prostej i przeprowadzamy jego dowód. Uczniowie podaj wspólrzdne wektora prostopadlego do prostej danej równaniem ogólnym, sprawdzaj, czy wektor o danych wspólrzdnych jest prostopadly do prostej danej równaniem kierunkowym. Uczniowie zapoznaj si z twierdzeniem 2. i dowodem tego twierdzenia oraz czytaj twierdzenie 3. Sprawdzaj, czy wektory s równolegle i czy wektor o danych wspólrzdnych jest równolegly do prostej o danym równaniu. Uczniowie zapoznaj si z twierdzeniem 4., sprawdzaj, czy wektory s prostopadle. Wyznaczaj równanie prostej, znajc wspólrzdne wektora prostopadlego do prostej i wspólrzdne punktu nalecego do tej prostej. wiczenia Zadania 2, 3, 4, 5a), str. 225. Wybrane zadania ze zbioru zada. 89

Praca domowa Zadania 1, 5b), 6, str. 225. Uwagi Na realizacj tego tematu moemy przeznaczy dwie godziny lekcyjne.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe Ucze potrafi: · wyznaczy wspólrzdne rodka odcinka, znajc wspólrzdne jego koców · wyznaczy wspólrzdne jednego z koców odcinka, znajc wspólrzdne drugiego koca oraz wspólrzdne rodka tego odcinka · wyznaczy wspólrzdne rodka cikoci trójkta, znajc wspólrzdne jego wierzcholków · wyznaczy równanie symetralnej odcinka

25. Zastosowania wektorów · Przyswajanie schematów rozumowa i ich · Wspólrzdne rodka stosowanie odcinka · rodek cikoci trójkta · Samodzielne opanowanie definicji i twierdze · Twierdzenie o odcinku z podrcznika lczcym rodki dwóch boków trójkta · Przeprowadzanie · Twierdzenie o rodkowej prostych rozumowa trapezu dedukcyjnych · Twierdzenie o rodkowych trójkta

Sposób realizacji Uczniowie zapoznaj si z fragmentem rozdzialu 5.24. Zastosowania wektorów. Przesunicia wykresów funkcji zawierajcym wyprowadzenie wzorów na wspólrzdne rodka odcinka oraz przyklad 1. Wyznaczaj wspólrzdne rodka odcinka, majc dane wspólrzdne jego koców, wyznaczaj wspólrzdne jednego z koców odcinka, znajc wspólrzdne drugiego koca i wspólrzdne rodka tego odcinka. Uczniowie zapoznaj si z przykladem 2. Wyznaczaj równanie symetralnej odcinka o danych kocach. Zapoznaj si z twierdzeniami 1., 2., 3. Obliczaj dlugo odcinka lczcego rodki ramion trapezu oraz wyznaczaj wspólrzdne rodka cikoci trójkta o danych wierzcholkach. wiczenia Zadania 1, 2, 6, str. 229; zadanie 8, str. 230. Praca domowa Zadania 3, 4, 5, str. 229. Zapozna si z dowodem twierdzenia 2., str. 227.

90

Uwagi Uczniów, z którymi realizujemy program w zakresie podstawowym, moemy take zapozna z dowodem twierdzenia 1.

Lp. Temat (treci) Cele ogólne Cele szczególowe

26. Przeksztalcenia wykresów funkcji · Przesunicie wykresu funkcji o wektor

· Sporzdzanie wykresów Ucze potrafi: · narysowa obraz wykresu funkcji funkcji w przesuniciu rów· Przyswajanie schemanoleglym tów rozumowa i ich · wyznaczy wzór funkcji, stosowanie której wykres jest obrazem · Samodzielne opanowawykresu danej funkcji nie definicji i twierdze w przesuniciu o wektor z podrcznika · wyznaczy wspólrzdne wektora przesunicia, znajc wzór funkcji oraz wzór funkcji po przesuniciu

Sposób realizacji Uczniowie czytaj fragment rozdzialu 5.24., str. 228 i str. 229 (przesunicie wykresu funkcji o wektor, twierdzenie 4.). Wyznaczaj obrazy wykresów funkcji w przesuniciu o dany wektor, wyznaczaj wzór funkcji, której wykres jest obrazem wykresu danej funkcji w przesuniciu o dany wektor, wyznaczaj wspólrzdne wektora przesunicia. wiczenia Zadania 9, 10, 11, str. 230. Zadanie 12a), str. 230. Wybrane zadania ze zbioru zada. Praca domowa Wybrane zadania ze zbioru zada. Zadanie 12b), str. 230. Uwagi Dla uczniów, z którymi realizujemy program w zakresie rozszerzonym, wród wicze powinny znale si zadania polegajce na znajdowaniu obrazów wykresów funkcji w zloeniu przeksztalce, np. symetrii wzgldem osi ukladu wspólrzdnych i przesunicia o wektor.

91

KONSPEKTY LEKCJI

Konspekt 1.

Temat: Obliczanie wartoci wyrae liczbowych za pomoc kalkulatora

Cele lekcji Cele ogólne · Projektowanie i przeprowadzanie oblicze dokladnych i przyblionych. · Wykorzystanie kalkulatora do oblicze. Cele szczególowe (operacyjne) Ucze potrafi: · obliczy sum, iloczyn liczb za pomoc kalkulatora, · obliczy procent danej liczby za pomoc kalkulatora, · obliczy potg o wykladniku naturalnym za pomoc kalkulatora, · obliczy pierwiastek kwadratowy liczby dodatniej za pomoc kalkulatora, · zaplanowa kolejno wykonywania dziala, obliczajc warto wyraenia za pomoc kalku · obliczy warto wyraenia liczbowego za pomoc kalkulatora z wykorzystaniem pamici. Metody pracy · pogadanka · opowiadanie · metoda oparta na dzialaniu praktycznym uczniów Formy pracy · praca w grupach · praca z cal klas Pomoce dydaktyczne · kalkulatory 95

4

Opowiadanie

96

Przebieg lekcji

Czas (min) a 2 5 2 b Czynnoci nauczyciela c Sprawy organizacyjne Sprawdzenie pracy domowej Omówienie zasad pracy na lekcji Nauczyciel informuje uczniów o zasadach pracy na Ewentualne pytania uczniów lekcji: uczniowie pracuj w grupach, zadania s takie same dla wszystkich grup, kady ucze samodzielnie wykonuje wiczenia, po wykonaniu wiczenia uczniowie porównuj otrzymane wyniki, wyznaczony w kadej grupie ucze sprawdza, czy wszyscy poprawnie wykonali zadanie. Wprowadzenie do nowej lekcji Nauczyciel dzieli klas, np. na sze grup. Nastpnie omawia funkcje poszczególnych przycisków na klawiaturze kalkulatora. Nauczyciel moe tylko sprawdzi, czy wszyscy uczniowie znaj oznaczenia i wiedz, do czego slu odpowiednie przyciski. Przewidywane czynnoci ucznia d Uwagi e

a 3

b Dzialanie praktyczne uczniów

c Rozwinicie tematu lekcyjnego Nauczyciel poleca uczniom obliczy wartoci wyrae: a) 6581 + 12987 + 94036, b) 45 · 782 · 2,567, c) 17% · 684.

d Uczniowie samodzielnie wykonuj wiczenia, uzgadniaj wyniki. Wskazani uczniowie podaj otrzymane wyniki.

e Jeli uczniowie nie potrafi wykona wiczenia c) albo nie stosuj najprostszego sposobu, omawiamy, jak powinno si oblicza procent liczby z wykorzystaniem kalkulatora. Uczniowie powinni umie wykorzysta odpowiednie funkcje do obliczenia wyrae c) i d). Jeli kalkulator nie ma funkcji obliczania potgi o dowolnym wykladniku, to sugerujemy uczniom sposób obliczenia, zapisujc: (1,75)8 = (((1,75)2)2)2,

4 Dzialanie praktyczne uczniów

Nauczyciel poleca uczniom obliczy wartoci wyrae: a) (2,276)3, b) d)

, .

c) (1,75)8,

Uczniowie samodzielnie wykonuj wiczenia, uzgadniaj wyniki. Wskazani uczniowie podaj otrzymane wyniki oraz omawiaj sposób wykonania zadania.

=

.

Dzialanie praktyczne uczniów

4

Nauczyciel poleca uczniom obliczy wartoci wyrae: a) 2,37 + 54 · , b) 4578 ­ 35 · 78.

Uczniowie samodzielnie wykonuj wiczenia, uzgadniaj wyniki. Wskazani uczniowie podaj otrzymane wyniki oraz omawiaj sposób wykonania zadania.

Nauczyciel obserwuje, czy uczniowie zapisuj wyniki czciowe na kartce, czy korzystaj z pamici kalkulatora. Przy omawianiu wyników podkrelamy, e naley zawsze zaplanowa kolejno wykonywania dziala.

97

3

Dzialanie Dzialanie Pogadanka praktyczne uczniów praktyczne uczniów

Pogadanka

98

a

b

c Nauczyciel omawia sposób wykorzystywania pamici przy wykonywaniu oblicze.

d

e

4

Uczniowie obliczaj warto Nauczyciel poleca uczniom obliczy warto wyraenia. wyraenia: 54 · 27 + 72 · 31 ­ 49 · 17 z wykorzystaniem pamici kalkulatora. Polecamy wybranym uczniom, aby sprawdzili, czy wszyscy w grupie potrafi wykona zadanie zgodnie z poleceniem. Nauczyciel poleca uczniom obliczy warto wyraenia:

Nauczyciel obserwuje prac uczniów, sprawdzajc, czy uczniowie wykonuj zadanie zgodnie z poleceniem (tzn. czy korzystaj z pamici kalkulatora).

8

Uczniowie wykonuj obliczenia, Nauczyciel obserwuje prac porównuj midzy sob otrzymane uczniów. wyniki. Uczniom, którzy maj trudnoci, ( , + , ) + ( ­ , ) , wskazuje poprawn kolejno korzystajc wylcznie z kalkulatora i nie zapisujc wykonywania dziala. wyników czciowych. Podsumowanie lekcji

3

Po tej lekcji uczniowie powinni umie stosowa kalkulator do: obliczania procentu liczby, obliczania wartoci wyrae, w tym wykorzystywania pamici.

a 3

b

c Zadanie pracy domowej Nauczyciel poleca obliczy wartoci wyrae za pomoc kalkulatora:

a) ,

d

e Omawiajc prac domow, naley zasugerowa uczniom, aby obliczyli warto wyraenia a), stosujc rón kolejno wykonywania dziala. Zadanie a) wymaga omówienia na nastpnej lekcji.

b) ( , ) + + .

+

99

Konspekt 2.

Temat: Bld przyblienia

Cele lekcji Cele ogólne · Przeprowadzanie oblicze przyblionych. · Wykorzystanie kalkulatora do oblicze. · Zapisywanie relacji midzy liczbami. · Nabycie umiejtnoci samodzielnego zdobywania wiedzy matematycznej. · Czytanie tekstu matematycznego ze zrozumieniem. Cele szczególowe (operacyjne) Ucze potrafi: · wyznaczy bld bezwzgldny podanego przyblienia danej liczby wymiernej, · oszacowa bld bezwzgldny podanego przyblienia danej liczby niewymiernej, · wyznaczy bld wzgldny podanego przyblienia danej liczby wymiernej. Metody pracy · pogadanka heurystyczna · opowiadanie · praca z ksik Formy pracy · praca z cal klas · praca w grupach

100

Przebieg lekcji

Czas (min) a 2 3 4 b Czynnoci nauczyciela c Sprawy organizacyjne Sprawdzenie pracy domowej Wprowadzenie do nowej lekcji Uczniowie pracuj w grupach. Osoby wyznaczone przez poszczególne grupy zapisuj otrzymany 8 ­ 17 2, przyjmujc jako przyblienie liczby wynik w tabeli przygotowanej przez nauczyciela. liczb 8 ­ 17 2 2,2, 2,24, 2,2 0,36 2,236. 2,24 0,8464 Trzem kolejnym grupom przydziela nastpujce zadania: 2,236 0,788544 Korzystajc z równoci Nauczyciel dzieli klas na sze grup. Trzem grupom przydziela nastpujce zadania: Oblicz za pomoc kalkulatora warto wyraenia

8 ­ 17 2 = 609 ­ 272 , oblicz za pomoc

Przewidywane czynnoci ucznia d

Uwagi e

W czasie gdy uczniowie wykonuj obliczenia, nauczyciel rysuje tabel, do której bd wpisywane wyniki poszczególnych oblicze.

kalkulatora warto wyraenia, przyjmujc jako przyblienie liczby 2,2, 2,24, 2,236. liczb 2,2 2,24 2,236

609 ­ 272 10,6 ­0,28 0,808

101

3

Praca z ksik. Ewentualnie: pogadanka heurystyczna

Opowiadanie, praca z ksik

102

a 4

b

c

d

e

Uczniowie odpowiadaj na pytania. Celem zadawanych pyta jest Nauczyciel zadaje pytania: sformulowanie przez uczniów 1. Czy rónice midzy otrzymanymi wynikami s wniosku: Rónice s spowododue? wane dokladnoci przyblie 2. Dla którego z przyblie liczby rónica i sposobem obliczania. midzy wynikami jest najmniejsza? 3. Czym s spowodowane takie rónice? Rozwinicie tematu lekcyjnego Nauczyciel mówi, e otrzymujc pewn warto bdc wynikiem oblicze przyblionych, powinnimy zdawa sobie spraw, jak bardzo moe si ona róni od dokladnej wartoci. Nauczyciel poleca przeczyta z podrcznika definicj bldu bezwzgldnego. Nauczyciel poleca obliczy bld bezwzgldny

przyblienia 0,6 liczby .

3

Uczniowie czytaj odpowiedni fragment.

Nauczyciel obserwuje prac uczniów.

Uczniowie obliczaj bld bezwzgldny przyblienia 0,6

liczby . Jeli zadanie sprawilo uczniom trudno, to nastpne zadanie polega na obliczeniu bldu bezwzgld- Ucze wybrany przez nauczyciela wykonuje polecenie na tablicy.

nego przyblienia 0,2 liczby wynik:

.

0,6 ­ =

.

Nauczyciel obserwuje prac uczniów. Stara si zorientowa, czy s oni w stanie wykona polecenie po samodzielnym przeczytaniu definicji bldu bezwzgldnego. W razie potrzeby naprowadza uczniów na wlaciwy sposób rozwizania, zadajc odpowiednie pytania.

a 8

b

c Nauczyciel poleca uczniom przeczyta fragment podrcznika dotyczcy szacowania przyblienia 1,7 liczby . Zadaje odpowiednie pytania lub wypowiada polecenia majce na celu zorientowanie si, czy uczniowie wystarczajco zrozumieli tekst, np. Podaj 4 kolejne cyfry rozwinicia dziesitnego liczby . Dlaczego 1,7 ­ = ­ 1,7? < 1,74? Dlaczego 1,7 < Dlaczego

d Uczniowie czytaj odpowiedni fragment z ksiki. Staraj si go zrozumie, wykonujc w razie potrzeby obliczenia i przeksztalcenia wyrae na kartce papieru.

e Ten fragment lekcji jest bardzo wany, nie tylko ze wzgldu na zapoznawanie uczniów ze sposobem szacowania bldu bezwzgldnego podanego przyblienia danej liczby niewymiernej. Bardzo wane jest nauczenie uczniów umiejtnoci czytania tekstu matematycznego. Nauczyciel powinien czuwa nad tym procesem i pomaga uczniom w opanowaniu tej umiejtnoci. Systematyczne stosowanie na lekcji metody pracy z ksik umoliwi wdroenie uczniów do samodzielnego zdobywania wiedzy.

Praca z ksik

­ 1,7 < 1,74 ­ 1,7?

103

Pogadanka. Praca z ksik

104

a 5

b

c Kada grupa ma oszacowa bld przyblienia 2,6 liczby . Nauczyciel kieruje pytania do uczniów, aby sprawdzi, czy zadanie zostalo poprawnie rozwizane i czy wszyscy rozumiej zapisy na tablicy.

d Uczniowie pracuj w grupach. Czlonkowie grupy wyznaczaj sobie zadania bez ingerencji nauczyciela. Przedstawiciele grup, które jako dwie pierwsze wykonaly zadanie, zapisuj rozwizania na tablicy. Warto obliczona za pomoc kalkulatora: = 2,64575... Zatem 2,6 < < 2,65, a wic ­ 2,6 < 2,65 ­ 2,6 = 0,05.

e

3

Uczniowie najpierw sluchaj Nauczyciel krótko wyjania, dlaczego bld bezwzgldny nie nadaje si do opisu kadej sytuacji. nauczyciela, a nastpnie czytaj Np. rysuje dwa róne odcinki znacznie rónice si odpowiedni fragment ksiki. dlugoci: 10 cm i 1m. Jeli odmierzylibymy kady z nich z dokladnoci do 2 cm, to bldy bezwzgldne bylyby takie same, ale dla jednego odcinka 2 cm rónicy to 0,2, a dla drugiego 0,02 jego dlugoci. Dlatego potrzebne jest wprowadzenie pojcia bldu wzgldnego. Nauczyciel poleca przeczyta z podrcznika definicj bldu wzgldnego.

a 4

b

blienia 0,6 liczby .

c Nauczyciel poleca obliczy bld wzgldny przy-

d

e

Uczniowie obliczaj bld wzgldny Polecenie wyznaczenia bldu wzgldnego przyblienia

przyblienia 0,6 liczby . Wybrany o obliczonym wczeniej bldzie bezwzgldnym skraca czas ucze wykonuje polecenie na potrzebny na wykonanie zadania. tablicy.

, ­

=

·

=

.

Podsumowanie lekcji 3 Po tej lekcji uczniowie powinni umie: wyznacza bld bezwzgldny, wyznacza bld wzgldny, szacowa bld bezwzgldny. Zadanie pracy domowej 3 Nauczyciel poleca rozwiza np. zadania 1c), 1d) i 3, str. 63 z podrcznika lub odpowiednie zadania ze zbioru zada. Poleca przeczyta rozdzial 2.12. Uczniowie czytaj treci wskazanych zada. Lekcja byla prowadzona metodami problemowymi. Nie ma potrzeby rozwizywa w czasie tej lekcji wikszej liczby zada. Uczniowie nie powinni mie klopotów z rozwizaniem zada.

105

Konspekt 3.

Temat: Róne sposoby okrelania funkcji. Równo funkcji

Cele lekcji Cele ogólne · Operowanie podstawowymi obiektami matematycznymi. · Podawanie przykladów i kontrprzykladów. · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie. · Nabycie umiejtnoci samodzielnego zdobywania wiedzy matematycznej. · Czytanie tekstu matematycznego ze zrozumieniem. Cele szczególowe (operacyjne) Ucze potrafi: · poda przyklady opisów funkcji okrelonej rónymi sposobami, · okreli dziedzin i poda wartoci funkcji okrelonej rónymi sposobami dla wskazanych argumentów, · wskaza funkcje równe i uzasadni wybór, · uzasadni, e funkcje nie s równe. Metody pracy · ,,burza mózgów" · pogadanka heurystyczna · praca z ksik Formy pracy · praca z cal klas · samodzielna praca uczniów

106

Przebieg lekcji

Czas (min) a 3 4 b Czynnoci nauczyciela c Sprawy organizacyjne Sprawdzenie pracy domowej Wskazane jest, aby praca domowa zawierala zadania polegajce na odczytywaniu wartoci funkcji i sporzdzaniu wykresu funkcji, której dziedzina jest zbiorem dyskretnym (np. zadania 1 i 4, str. 77). Ta cz lekcji ma na celu utrwalenie pojcia funkcji. Przewidywane czynnoci ucznia d Uwagi e

Wprowadzenie do nowej lekcji 2 Pogadanka utrwalajca Nauczyciel pyta o definicj funkcji. Odpowiednio dobierajc pytania, stara si, aby uczniowie wskazali istotne elementy definicji funkcji. Rozwinicie tematu lekcyjnego ,,Burza mózgów" (w tym praca z ksik) 5 Nauczyciel poleca przeczyta pocztkowy fragment rozdzialu 3.4 z podrcznika dotyczcy okrelenia funkcji f trzema rónymi sposobami i odpowiedzie na nastpujce pytania: 1. Jakie sposoby okrelania funkcji zostaly przedstawione w ksice? 2. Ile rónych funkcji zostalo okrelonych? 3. Jakie wartoci przyjmuje opisana funkcja dla argumentów równych odpowiednio ­2, 0, 7? Uczniowie czytaj odpowiedni fragment. Staraj si odpowiedzie na pytania. W miar potrzeby sporzdzaj notatki. Naley si spodziewa, e uczniowie nie bd mieli klopotów z wykonaniem polecenia. Nauczyciel obserwuje prac uczniów. Stara si zorientowa, czy radz sobie z czytaniem tekstu matematycznego. Aby usprawni prac na lekcji, mona np. wywietli za pomoc rzutnika wczeniej zapisane pytania.

107

4

,,Burza mózgów" (w tym praca z ksik)

108

a 8

b

c Nauczyciel formuluje polecenie: Podaj przyklad funkcji. Okrel j dwoma rónymi sposobami.

d Uczniowie zglaszaj pomysly. Obowizuj nastpujce reguly: glosu udziela wybrany przez nauczyciela ucze, w czasie jednej wypowiedzi ucze moe zglosi jeden pomysl, nie ocenia si jakoci pomyslów w czasie ich zglaszania, wszystkie pomysly s notowane na tablicy.

e Nauczyciel moe take podawa przyklady albo proponowa, aby podany byl jeszcze inny opis funkcji. Zwlaszcza wtedy, gdy uczniowie nie podaj przykladów, które bdzie mona wykorzysta przy wprowadzeniu pojcia funkcji równych.

Nauczyciel podsumowuje t cz lekcji. Moe zapyta uczniów, czy wszystkie podane przyklady przyporzdkowa przedstawiaj funkcj. Zwraca uwag na to, e róne opisy okrelaj t sam funkcj. Nauczyciel zadaje odpowiednie pytania, formulujc je pocztkowo w sposób ogólny, nastpnie precyzujc je w miar potrzeby, a bd to pytania, na które uczniowie z latwoci bd potrafili odpowiedzie, np.: 1. Kiedy róne sposoby opisu okrelaj t sam funkcj? 2. Kiedy funkcje s równe? 3. Czy ta sama funkcja okrelona za pomoc rónych opisów moe mie róne dziedziny? 4. Czy ta sama funkcja okrelona za pomoc rónych opisów moe dla konkretnego argumentu przyjmowa róne wartoci? 5. Czy funkcje równe maj ten sam wykres? Uczniowie staraj si odpowiada na zadane pytania. W miar potrzeby analizuj przyklady zapisane na tablicy lub podane w ksice. Nauczyciel zadaje róne pytania w zalenoci od potrzeby. Stara si przy tym, aby uczniowie sami sformulowali warunki definiujce funkcje równe.

8

a 2

b Praca Praca z ksik z ksik

c Po uzyskaniu warunków definiujcych funkcje równe nauczyciel poleca uczniom przeczyta z podrcznika okrelenie funkcji równych. Nauczyciel poleca uczniom przeczyta z podrcznika informacje o pozostalych sposobach okrelania funkcji (tabela, graf). Podsumowanie lekcji

d Uczniowie czytaj odpowiedni tekst z podrcznika.

e Uczniowie nie powinni mie problemów ze zrozumieniem pojcia funkcji równych.

3

2

Nauczyciel zwraca uwag na to, co bylo najbardziej istotne na lekcji: naley zapamita róne sposoby opisu funkcji, naley wiedzie, co to znaczy, e funkcje s równe. Zadanie pracy domowej Nauczyciel poleca rozwiza zadania z podrcznika: 1, 4, str. 80 i 5, str. 81, naszkicowa wykresy funkcji okrelonych za pomoc tabeli i grafu w rozdziale 3.4 lub rozwiza odpowiednie zadania ze zbioru zada. Poleca przeczyta treci zada. Wyjania ewentualne wtpliwoci. Lekcja jest prowadzona metodami problemowymi. Nie ma potrzeby rozwizywa w czasie tej lekcji wikszej liczby zada. Uczniowie nie powinni mie trudnoci z wykonaniem pracy domowej.

4

109

Aby usprawni prac na lekcji, nauczyciel moe przygotowa foli z przykladami funkcji. Mog to by funkcje okrelone poniej. Funkcja f

110

Funkcja g Kadej liczbie naturalnej przyporzdkowana jest reszta z dzielenia tej liczby przez 2. Funkcja h h(x) = x ­ 3 , dla x {0, 1, 2, 3}. x h(x) 0 ­3 1 ­2 2 ­1 3 0 g(n) = 2 ­ NWD(n, 2), gdzie n jest liczb naturaln.

Konspekt 4.

Temat: Funkcje rónowartociowe

Cele lekcji Cele ogólne · Podawanie przykladów i kontrprzykladów. · Odczytywanie wlasnoci funkcji z wykresu. · Przyswajanie schematów rozumowania i ich stosowanie. Cele szczególowe (operacyjne) Ucze potrafi: · ustali, czy funkcja okrelona za pomoc wykresu jest rónowartociowa, · poda przyklady funkcji rónowartociowych i funkcji, które nie s rónowartociowe, · uzasadni na podstawie definicji, e funkcja nie jest rónowartociowa, · sprawdzi rónowartociowo funkcji. Metody pracy · pogadanka heurystyczna Formy pracy · praca z cal klas

111

Pogadanka heurystyczna

112

Przebieg lekcji

Czas (min) a 3 4 4 b Czynnoci nauczyciela c Sprawy organizacyjne Sprawdzenie pracy domowej Wprowadzenie do nowej lekcji Nauczyciel podaje przyklady dwóch funkcji f, g opisanych za pomoc tabel. x f(x) x 2 2 ­2 3 2 ­1 ­2 4 3 0 0 5 2 1 2 6 4 2 4 Uczniowie odpowiadaj na zadane Funkcje f, g, mona okreli za pytania. pomoc opisu slownego, a nastpnie poleci uczniom, aby samo7 8 dzielnie okrelili funkcj za pomoc tabeli. 2 4 Funkcja f kadej liczbie naturalnej z przedzialu 2, 8 przypo3 4 rzdkowuje liczb jej dodatnich 6 8 dzielników. Funkcja g przyporzdkowuje kadej liczbie calkowitej przyjmuje warz przedzialu ­2, 4 podwojony iloczyn tej liczby. przyjmuje warPrzewidywane czynnoci ucznia d Uwagi e

g(x) ­4

Zadaje uczniom pytania: Dla jakich argumentów funkcja f to równ 2? Dla jakich argumentów funkcja f to równ 4? Czy moemy wskaza tak warto funkcji g, która odpowiada co najmniej dwóm rónym argumentom?

a 2

b Pogadanka heurystyczna

c Nauczyciel w trakcie pogadanki stara si podkreli, e dla kadych dwóch rónych argumentów wartoci funkcji g s róne, natomiast tej wlasnoci nie ma funkcja f. Informuje uczniów, e funkcj g nazywamy funkcj rónowartociow, natomiast funkcja f nie jest rónowartociowa. Rozwinicie tematu lekcyjnego Nauczyciel podaje definicj funkcji rónowartociowej. Wyjania, e na mocy prawa kontrapozycji warunek: Jeli x1 x2, to f(x1) f(x2) jest równowany warunkowi: Jeli f(x1) = f(x2), to x1 = x2. Formuluje twierdzenie 1., str. 86. Nauczyciel poleca uczniom, aby wykorzystujc podane twierdzenie, uzasadnili, e funkcja f dana wzorem f(x) = ­4x + 1 jest rónowartociowa.

d

e

3

Jeli uczniowie s bardziej zainteresowani matematyk, to moemy nie podawa warunku: f(x1) = f(x2) x1 = x2, natomiast zaproponowa im, aby sformulowali warunek równowany warunkowi: x1 x2 f(x1) f(x2). Wybrany ucze rozwizuje zadanie Uczniowie mog skorzysta na tablicy. Uczniowie rozwizuj z przykladu 1. na str. 86. Wane zadanie w zeszytach. jest, aby pelne rozwizanie tego zadania znalazlo si na tablicy. Uczniowie powinni umie zapisa odpowiednie zaloenia.

Pogadanka heurystyczna

4

113

4

Pogadanka Pogadanka Pogadanka Pogadanka heurystyczna heurystyczna heurystyczna heurystyczna

Pogadanka heurystyczna

114

a 3

b

c Nauczyciel podaje przyklad funkcji g okrelonej wzorem g(x) = x2. Zadaje pytania: 1. Czy dana funkcja jest rónowartociowa? 2. Czy potraficie poda przyklady dwóch rónych argumentów, dla których wartoci funkcji s takie same? Nauczyciel poleca rozwiza zadanie 3c), str. 87.

d Uczniowie odpowiadaj na kolejne pytania.

e

Wybrany ucze rozwizuje zadanie na tablicy. Pozostali uczniowie notuj w zeszytach.

3

Nauczyciel poleca uczniom otworzy podrcznik na str. 75. Prosi, aby uczniowie okrelili, które z wykresów przedstawiaj funkcje rónowartociowe. Nauczyciel pyta uczniów, ile punktów wspólnych z kadym z wykresów ma dowolna prosta równolegla do osi OX.

Uczniowie udzielaj odpowiedzi.

4

Uczniowie odpowiadaj na zadane Próbujemy zadawa pytania tak, pytania. aby uczniowie sami sformulowali wlasno wykresu funkcji rónowartociowej. Wybrani uczniowie uzasadniaj, które wykresy nie przedstawiaj funkcji rónowartociowych.

5

Nauczyciel poleca rozwiza zadanie 1, str. 87.

a 3

b

c Podsumowanie lekcji Nauczyciel zwraca uwag na najistotniejsze elementy lekcji. Zadanie pracy domowej Nauczyciel poleca rozwiza zadania 2a), c), 3b), str. 87.

d

e

3

115

Konspekt 5.

Temat: Równania, w których wystpuje warto bezwzgldna

Cele lekcji Cele ogólne · Rozwizywanie równa i ich ukladów. · Przyswajanie schematów rozumowania. · Nabycie umiejtnoci samodzielnego zdobywania wiedzy. Cele szczególowe (operacyjne) Ucze potrafi: · rozwizywa równania z wartoci bezwzgldn. Metody pracy · praca z ksik · metoda grup eksperckich · elementy pogadanki Formy pracy · praca w grupach

116

Przebieg lekcji1

Czas (min) a 3 4 b Czynnoci nauczyciela c Sprawy organizacyjne Sprawdzenie pracy domowej Wskazane jest, aby w pracy domowej uczniowie korzystali z definicji i wlasnoci wartoci bezwzgldnej. Grupy bazowe mog by zrónicowane pod wzgldem zdolnoci uczniów i ich postpów w nauce. Przewidywane czynnoci ucznia d Uwagi e

Wprowadzenie do nowej lekcji 5 Metoda grup eksperckich Nauczyciel omawia zagadnienia, które bd przedmiotem rozwaa na lekcji. Nastpnie dzieli klas na pi1 grup bazowych. Kada grupa bazowa deleguje jednego ucznia do grupy eksperckiej.

1

Liczba grup zaley od liczby uczniów w klasie i od liczby zagadnie, które naley omówi. Jeli w klasie jest np. 30 uczniów, to moemy utworzy 6 grup bazowych po 5 uczniów. Bdzie wtedy 5 grup eksperckich (po jednym uczniu z kadej grupy bazowej). Kada grupa ekspercka bdzie miala inny problem do rozwizania.

117

Elementy pracy z ksik

Elementy pracy z ksik. Metoda grup eksperckich

118

a 25

b

c Rozwinicie tematu lekcyjnego Nauczyciel przedstawia kadej z grup eksperckich zadanie do wykonania. Grupa I Zadanie Przeczytaj przyklad 1., str. 114 i str. 115 i przyklad 3., str. 116. Rozwi równania:

x ­ 2 = 1, 2x + 3 = 0, x ­

d Kada grupa ekspercka rozwizuje swoje zadanie. Po analizie i opracowaniu zagadnienia eksperci wracaj do grup bazowych. Dziel si efektami pracy grup eksperckich i wzajemnie si ucz.

e Nauczyciel powinien czuwa nad pracami grup eksperckich oraz w miar potrzeby odpowiednio ukierunkowa prac uczniów. Jest to bardzo istotne, gdy eksperci s odpowiedzialni za przekazanie wiedzy swym kolegom.

= ­5.

Grupa II Zadanie Przeczytaj przyklad 2., str. 115. Rozwi równanie: 1 ­ 2x = x + 2.

a

b

c Grupa III Zadanie Przeczytaj przyklad 4., str. 116. Rozwi równanie: x + 3 ­ 2 = 1. Grupa IV Zadanie Przeczytaj przyklad 5., str. 116. Rozwi równanie: x + x ­ 2 = 5. Grupa V Zadanie Przeczytaj przyklad 6., str. 117. Rozwi równanie: 1 ­ 2x + 3x + 2 = 3. Podsumowanie lekcji Nauczyciel zwraca uwag na zastosowane sposoby rozwizywania równa z wartoci bezwzgldn. Omawia najistotniejsze elementy rozwiza danych równa. Zadanie pracy domowej Nauczyciel poleca rozwiza zadanie 2c), str. 177 oraz zadania 3a), c), 4, str. 118. Poleca przeczyta treci zada. Wyjania ewentualne wtpliwoci.

d

e

3

Elementy pogadanki

5

Praca z ksik. Metoda grup eksperckich

119

Konspekt 6.

Temat: Pole figury

Cele lekcji Cele ogólne · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich. · Wyznaczanie miar figur plaskich. · Przyswajanie schematów rozumowa i ich stosowanie. Cele szczególowe (operacyjne) Ucze potrafi: · obliczy pole prostokta o danych dlugociach boków, · zapisywa pole w rónych jednostkach, · oszacowa pole figury za pomoc siatki kwadratów. Metody pracy · pogadanka · opowiadanie · metoda oparta na dzialaniu praktycznym uczniów · wiczenia Formy pracy · praca w grupach · praca z cal klas

120

Przebieg lekcji

Czas (min) a 3 4 Opowiadanie 8 b Czynnoci nauczyciela c Sprawy organizacyjne Sprawdzenie pracy domowej Wprowadzenie do nowej lekcji Nauczyciel omawia sposób wyznaczania pola prostokta przy ustalonej jednostce pola oraz omawia sposób szacowania pól figur. Przy omawianiu sposobu szacowania pola figury mona wykorzysta przyklad zamieszczony w podrczniku. Przewidywane czynnoci ucznia d Uwagi e

121

Dzialanie praktyczne uczniów

2

Opowiadanie

122

a 8

b

c Rozwinicie tematu lekcyjnego

d

e Naley zwróci uwag na to, aby uczniowie dokladnie naloyli foli na rysunek (linie siatek o wikszym zagszczeniu musz si pokrywa z odpowiednimi liniami siatek o mniejszym zagszczeniu).

Uczniowie szacuj pola figur. Nauczyciel dzieli klas na sze grup. Kada grupa otrzymuje rysunki tej samej figury umieszczonej na siatce (tzn. siatka jest narysowana na tej samej kartce, na której jest narysowana figura) zloonej z kwadratów jednostkowych oraz folie pokryte siatk zloon z kwadratów o polu

równym odpowiednio ,

pola kwadratu jed

nostkowego. Polowa uczniów kadej grupy szacuje pole za pomoc siatki zloonej z kwadratów jednostkowych i siatki zloonej z kwadratów

o polu równym pola kwadratu jednostkowego.

Pozostali szacuj pole za pomoc siatki zloonej

z kwadratów o polu równym

pola kwadratu

jednostkowego. 3 Nauczyciel poleca poszczególnym grupom odczy- Wybrani uczniowie z poszczególta wyniki. nych grup odczytuj wyniki. Nauczyciel wyjania zasad wyznaczania pola dowolnej figury.

a 5

b wiczenia wiczenia

c

d

e

Nauczyciel poleca uczniom rozwiza zadania 1a), Uczniowie samodzielnie b), str. 157. rozwizuj zadania w zeszycie. Wybrany ucze przedstawia rozwizanie na tablicy. Nauczyciel poleca uczniom rozwiza zadania 2a), Uczniowie samodzielnie 3b), 4a), str. 157. rozwizuj zadania w zeszycie. Wybrany ucze przedstawia rozwizanie na tablicy. Podsumowanie lekcji Nauczyciel zwraca uwag na to, jakimi umiejtnociami powinni wykaza si uczniowie po przeprowadzonej lekcji. Zadanie pracy domowej Nauczyciel poleca rozwiza zadania 1c), 2b), 3a), 4b), str. 157. Przy rozwizywaniu zada uczniowie wykorzystuj tabel z jednostkami pola na str. 155.

7

2

3

123

Konspekt 7.

Temat: Wielokt wpisany w okrg

Cele lekcji Cele ogólne · Operowanie podstawowymi obiektami matematycznymi. · Wyznaczanie zwizków miarowych w figurach plaskich. · Projektowanie i wykonywanie oblicze. · Nabywanie umiejtnoci samodzielnego zdobywania wiedzy matematycznej. · Nabywanie umiejtnoci wspólpracy przy rozwizywaniu problemów. Cele szczególowe (operacyjne) Ucze potrafi: · wyznaczy miar kta wpisanego, znajc miar kta rodkowego opartego na tym samym luku, · wyznaczy miar kta rodkowego, znajc miar kta wpisanego, · narysowa okrg opisany na danym trójkcie, · wyznaczy dlugo promienia okrgu opisanego na trójkcie równobocznym, równoramiennym, prostoktnym, · sprawdzi, czy czworokt mona wpisa w okrg, · uzasadni, e danego czworokta nie mona wpisa w okrg. Metody pracy · dyskusja (w grupie) · praca z ksik · pogadanka sprawdzajca, podsumowujca Formy pracy · praca z cal klas · praca w grupach

124

Przebieg lekcji

Czas (min) a 3 6 Pogadanka sprawdzajca b Czynnoci nauczyciela c Sprawy organizacyjne Sprawdzenie pracy domowej Nauczyciel sprawdza zapamitanie i zrozumienie Uczniowie wykonuj polecenia nauczyciela. przeczytanego tekstu, polecajc wskazanym uczniom, aby: narysowali kt rodkowy i wpisany oparte na tym samym luku, podali miar kta wpisanego, majc dan miar kta rodkowego opartego na tym samym luku, okrelili, gdzie ley rodek okrgu opisanego na wielokcie, podali przyklad czworokta, na którym nie mona opisa okrgu. Rozwinicie tematu lekcyjnego 5 Praca Praca z ksik z ksik Nauczyciel poleca przeczyta fragment rozdzialu 5.11 na str. 184. Nauczyciel poleca rozwiza zadanie 2a), str. 184 i zadanie 3b), str. 185. Uczniowie czytaj odpowiedni fragment. Uczniowie samodzielnie rozwizuj zadania. Wybrany ucze przedstawia rozwizanie na tablicy. Nauczyciel obserwuje prac uczniów. Na poprzedniej lekcji jednym z zada pracy domowej powinno by zapoznanie si z fragmentem rozdzialu 5.11, str. 182 i str. 183. Przewidywane czynnoci ucznia d Uwagi e

6

125

3 Dyskusja (w grupie)

Dyskusja (w grupie)

7 Dyskusja (w grupie)

Dyskusja (w grupie)

126

a 5

b

c Nauczyciel dzieli klas na grupy po 4, 5 uczniów. Omawia zadanie dla grup: Oblicz dlugo promienia okrgu opisanego na trójkcie równobocznym o wybranej dlugoci boku.

d Uczniowie ustalaj dlugo boku trójkta, obliczaj dlugo promienia okrgu opisanego i uzgadniaj wyniki. Wskazany przez nauczyciela ucze z kadej grupy podaje wybran dlugo boku i otrzymany wynik.

e Nauczyciel przygotowuje tabel, do której wpisuje dlugoci boków trójkta proponowane przez uczniów i obliczone dlugoci promienia okrgu opisanego.

Nauczyciel zadaje pytanie: Jaka jest zaleno midzy dlugoci boku trójkta równobocznego i dlugoci promienia okrgu opisanego na nim? Sformulujcie odpowied na podstawie zapisanych wyników. Nauczyciel omawia zadanie dla grup: Oblicz dlugo promienia okrgu opisanego na trójkcie prostoktnym o wybranych dlugociach przyprostoktnych.

Na podstawie otrzymanych wyni- Uczniowie nie powinni mie trudnoci z zapisaniem odpowiedniej ków uczniowie poszukuj zalezalenoci. noci midzy dlugoci boku trójkta równobocznego i dlugoci promienia okrgu opisanego na trójkcie. Uczniowie wykonuj polecenie. Wskazany przez nauczyciela ucze podaje wybrane dlugoci przyprostoktnych i otrzymany wynik. Mona zasugerowa uczniom, aby dlugoci przyprostoktnych byly liczbami calkowitymi mniejszymi od 10. Podkrelamy fakt, e dlugo promienia okrgu opisanego na trójkcie prostoktnym jest równa polowie dlugoci przeciwprostoktnej trójkta. Nauczyciel obserwuje prac uczniów, udziela wskazówek, odpowiada na pytania uczniów. Realizujc program w zakresie podstawowym, nauczyciel powinien podpowiedzie uczniom sposób rozwizania zadania.

3

Nauczyciel omawia zadanie dla grup: Oblicz dlugo promienia okrgu opisanego na trójkcie równoramiennym o wybranych dlugociach boków. Naley tak dobra dlugoci boków, aby trójkt nie byl ani równoboczny, ani prostoktny.

Wskazany przez nauczyciela ucze podaje wybrane dlugoci boków trójkta i omawia rozwizanie przy tablicy.

a 3

b Pogadanka podsumowujca

c Podsumowanie lekcji Nauczyciel zwraca uwag na najbardziej istotne elementy materialu nauczania na lekcji: sprawdzanie, czy na danym czworokcie mona opisa okrg, obliczanie dlugoci promienia okrgu opisanego na trójkcie równobocznym, prostoktnym, równoramiennym.

d

e

Zadanie pracy domowej 4 Nauczyciel poleca rozwiza zadania 1, 2b), str. 184 oraz 3c), d), 5, str. 185. Poleca uczniom, aby przeczytali treci zada. Wyjania ewentualne wtpliwoci. Lekcja byla prowadzona metodami problemowymi. Uczniowie aktywnie pracowali podczas lekcji. Uczniowie nie powinni mie trudnoci z wykonaniem pracy domowej.

127

Information

127 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

433920


You might also be interested in

BETA
Dzieci z wad sluchu