Read Microsoft PowerPoint - 13_R_2_d_D_Alembert_Zakoni_Oscilacije.ppt text version

Newtonovi aksiomi: Dinamika materijalne to ke

13. dio:

D´Alembertov princip Zakoni dinamike Oscilacije

1

· I. aksiom: Zakon inercije · II. aksiom: Zakon gibanja · III. aksiom: Zakon akcije i reakcije (ponavljanje iz statike)

2

I. Aksiom: Zakon inercije

Materijalno tijelo ili to ka bez djelovanja vanjskih sila zadrzava stanje mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok ga vanjske sile ne prisile da takvo stanje promijeni. Gibanje materijalnog tijela bez djelovanja vanjskih sila naziva se gibanje po inerciji.

3

II. Aksiom: Osnovni zakon dinamike

d m v dt

F=

= m

dv = m a dt

Produkt mase i ubrzanja materijalnog tijela ili to ke kojeg tijelo (to ka) dobiva djelovanjem sile jednak je po intenzitetu toj sili. Pravac i smjer ubrzanja podudara se s pravcem i smjerom sile.

4

III. Aksiom: Zakon akcije i reakcije

Dva materijalna tijela (to ke) djeluju jedan na drugi silama istih intenziteta, na istom pravcu djelovanja, ali suprotnog smjera.

Zadaci dinamike:

Prvi zadatak dinamike: Poznat je zakon gibanja materijalne to ke potrebno je odrediti silu koja djeluje na materijalnu to ku (F=?; D´Alembertov princip) Drugi zadatak dinamike: Poznate su sile koje djeluju na materijalnu to ku, potrebno je odrediti zakon gibanja materijalne to ke [s=f(t) =?].

5

6

1

D'Alembertov princip

D'Alembert je uveo u mehaniku pojam sile inercije Fin t.j. sile kojom se tijelo odupire promjeni gibanja.

Sila inercije

F in

Fin

= m (- a )

a

jednaka je produktu mase m i ubrzanja i usmjerena je u suprotnom smjeru od smjera ubrzanja a materijalne to ke.

7

8

F = m a

D'Alembertov princip

(II. Newtonov aksiom)

· Dodamo li nekom sustavu sila i silu inerciju, sustav e biti u ravnotezi. · Time zadatak dinamike mozemo rjesavati pomo u stati kih uvjeta ravnoteze.

9 10

F in = m (- a ) F + F in = 0

m a + m (- a ) = 0

D'Alembertov princip

Slobodna to ka:

F + F in = 0

· · · ·

Op i zakoni dinamike materijalne to ke:

Zakon o promjeni koli ine gibanja Zakon o promjeni kineti ke energije Zakon o o uvanju mehani ke energije Zakon o promjeni momenta koli ine gibanja

12

· Vanjske sile koje djeluju na materijalnu to ku u ravnotezi su sa silom inercije. Neslobodna to ka:

Fakc + R reak + Fin = 0

· Vanjske sile (aktivne i reaktivne-sile veza ) koje djeluju na materijalnu to ku u ravnotezi su sa silama inercije. 11

2

Op i zakoni dinamike materijalne to ke:

1. Zakon o promjeni koli ine gibanja

Izvod:

m v1 - m v 0 = I = F t

Promjena koli ine gibanja jednaka je impulsu sile.

13

m v1 = m v 0 + ? m v1 - m v 0 = ?

14

m a = dv = m dt

Fi

Op i zakoni dinamike materijalne to ke:

Fi

K1 = 0 Fi

t 0

Fi dt

t 0

2. Zakon o promjeni kineti ke energije

2 2 m v1 m v 0 - = A = F s 2 2

d (m v ) d K = = dt dt dK =

1 0

K1 - K 0 =

Fi dt

t 0

F i dt Fi dt

m v1 - m v 0 = m v1 - m v 0 =

Fi dt

dK =

t 0

Ii

Promjena kineti ke energije jednaka je radu sila.

16

15

Izvod: Pravac sile F i puta s se podudaraju

m a = m dv = dt

Fi

v1 v0

m v dv = v2 2

v1 v0 =

s 0

Fi ds

=0

cos = 1

Fi

m

Fi s s0

m

dv ds = ds dt dv v = ds

Fi

1 1 2 2 m v1 - m v 0 = F s 2 2

m

Fi Fi ds

18

m a =

Fi

17

m dv v =

3

Op i zakoni dinamike materijalne to ke:

E k = A E k = E k1 - E k 0 = F s

3. Zakon o o uvanju mehani ke energije

E k + E p = konstantan

2 2 m v0 m v1 + m g h1 = + m g h0 2 2

Suma kineti ke i potencijalne energije pri gibanju materijalne to ke pod djelovanje konzervativnih sila 20 (bez trenja) je konstantna.

E k = E k1 - E k 0 = F s - R t s

19

E = Ep + Ek = m g h + 0 =

1 2 m v0 2

Op i zakoni dinamike materijalne to ke:

4. Zakon o promjeni momenta koli ine gibanja

E = Ep + Ek = m g s +

2 2 m vs m v0 = 2 2

d LO = MO dt

E = Ep + Ek = 0 +

Iz kinematike vertikalan hitac: h =

2 v0

d r ×m v dt

= r× F

m v0 2

2

=

mv0 2

2

Promjena momenta koli ine gibanja u vremenu obzirom na neku to ku jednaka je stati kom

21

2 g

momentu sile obzirom na tu istu to ku.

22

4. Zakon o promjeni momenta koli ine gibanja Primjer 1: Gibanje planeta oko Sunca i sila kojom Sunce privla i planete · Putanja planeta je elipsa a Sunce se nalazi u fokusu elipse ­ to je gibanje pod djelovanjem centralne sile kod koje pravac sile za cijelo vrijeme gibanja prolazi kroz jednu te istu to ku O.

LO = r × m v

23

24

4

MO = r × F = 0 d LO = dt

d r×m v dt

=0

L 0 = r × m v = konst. L 0 = r mv sin = konst. d mv = konst. To ka O ­ Sunce To ka M ­ Zemlja masa Zemlje m = konstanta

25 26

d v = konst. d v = d A v A = d B v B = konst.

Keplerov zakon

d v = konst.

Povrsine moraju biti jednake !

Primjer 2: Prandtlov stolac

· Piruete kod klizanja

d LO =0 dt

L = konst .

L = r m v = konst.

v A - najmanja brzina v N - najve a brzina

27

r v = konst.

28

Primjer 3:

· Kuglica M privezana na nit koja se namotava na tanki vertikalni stap.

Primjer 4: Matemati ko njihalo

MO = r × F d r = l; v = r = l dt d d L O = l ml = m l2 dt dt M O = - d mg = - l sin mg

LO = r × m v

r0 mv0 = r1 mv1

29

d LO = M O (4. zakon dinamike) dt d 2 m l 2 2 = - l sin mg dt ·· g + sin = 0 za mali kut sin l ·· g g + = 0 = 30 l l

5

Diferencijalna jednadzba (oscilacijskog) gibanja matemati kog njihala:

··

+ 2 = 0

= e rt

·· ··

Op e rjesenje diferencijalne jednadzbe sastoji se od zbroja pojedina nih rjesenja pomnozenih konstantama: = C1 1 + C 2 2 = C1 e it + C 2 e - it Posto je

Rjesenje u obliku:

e ± it = cos t ± sin t

A = C1 - C2 i B = C1 + C2

= r e

2

rt

+ 2 = 0 / : e rt r2 = - i 2 = e r2 t = e - it

31

te uz

r 2 e rt + 2 e rt = 0 r + =0 Rjesenja : r1 = i 1 = e r1t = e it

2 2

Dobivamo op e rjesenje diferencijalne jednadzbe matemati kog njihala:

= A sin t + B cos t

Konstante A i B odre ujemo iz po etnih uvjeta gibanja.

32

Gibanje materijalne to ke

a) Krivocrtno gibanje b) Pravocrtno gibanje c) Oscilacijsko gibanje

Harmonijsko gibanje:

Kinematika: Poluga OA vezana je za osovinu u to ci O i rotira konstantnom kutnom brzinom . To ka B mehanizma kulise kre e se gore izme u to aka D-O-C

33 34

Kulisni mehanizam

Harmonijsko gibanje:

x = r sin ( t +

= 0

Oscilacije

)

Osciliranje ili titranje je esta pojava u prirodi.

35

areometar

36

6

Oscilacijska gibanja materijalne to ke oko polozaja stabilne ravnoteze spadaju u pravocrtna i periodi na gibanja. Razlikujemo: 1. Slobodne oscilacije 2. Prigusene oscilacije 3. Prisilne oscilacije sa i bez otpora

37

Diferencijalna jednadzba oscilacija:

m x + b x + k x = F (t )

mx - bx - kx - F (t ) -

· ··

··

·

sila inercije sila prigusenja elasti na sila opruge (restitucijska) sila prisile ­ poreme ajna sila

38

Harmonijske oscilacije

· Tijelo mase m vezano je pomo u opruge konstantne krutosti k, pomaknuto iz polozaja stati ke ravnoteze i zatim oslobo eno, giba se oscilatorno. · Harmonijske oscilacije prouzrokuje restitucijska sila elasti nog pera Fr koja vra a tijelo u ravnotezni polozaj.

39

Slobodne harmonijske oscilacije

· Restitucijska sila elasti nog pera Fr Fr = k . x

za jedini ni pomak x=1 k = Fr

k ­ krutost opruge (N/m) Krutost opruge jednaka je sili koja uzrokuje jedini ni pomak.

40

Ravnoteza - statika

Fx = 0 G ­ Fr = 0 m.g ­ k.xst = 0 m.g = k.xst mg x st = k

41

k

k

x st

0

Fr = k . xst

G = m .g x

42

7

D ´Alembertov princip

Fx = 0

Fin = m a = m

k

k

k

Sila inercije: d 2 x

dt

G - Fr - Fin = 0 Fin = G - Fr d2x m 2 = m g - k (x st + x ) dt

43 44

x st

0

FR G x

Fr

Restitucijska sila:

a Fr = k .(xst + x)

G

x

mg x st = k

Diferencijalna jednadzba slobodnih oscilacija:

d2x m 2 - k x = m g - k x st dt 2 d x k - x = 0 dt 2 m

··

x - 2 x = 0

· Rjesenje diferencijalne jednadzbe:

Kruzna frekvencija slobodnih oscilacija:

2 =

k m

x = A sin t + B cos t

45 46

x - 2 x = 0

Diferencijalna jednadzba slobodnih oscilacija:

Diferencijalna jednadzba slobodnih oscilacija:

x- x = 0

2

k = = m

mg x st g = m x st

x - 2 x = 0

=

k g = m x st

· Rjesenje diferencijalne jednadzbe:

· Rjesenje diferencijalne jednadzbe:

x = A sin t + B cos t

A = R cos B = R sin

x = R sin (t + )

47 48

8

Slobodne oscilacije

x = R sin (t + )

Za po etne uvjete t =0 - po etni pomak x0 i - po etnu brzinu v0 · Amplituda slobodnih oscilacija: 2 v0 2 R = x0 + 2 · Po etna faza slobodnih oscilacija:

tg =

49

x0 v0

50

· Period slobodnih oscilacija:

T= 2

Karakteristike slobodnih harmonijskih oscilacija a) amplituda R i po etna faza oscilacija zavise od po etnih uvjeta gibanja b) frekvencija oscilacija f i period oscilacija T ne zavise od po etnih uvjeta gibanja. ·

51

[s] [s]

x T = 2 st g

· Broj slobodnih oscilacija u jednoj sekundi - frekvencija:

f= 1 = T 2

[1 s = Hz ]

Najzna ajnija karakteristika oscilacijskog gibanja je kruzna frekvencija ­ vlastita frekvencija.

52

Paralelni spoj

Serijski spoj

Mehani ki oscilator

moze imati jedan ili vise stupnjeva slobode. · Broj stupnjeva slobode ozna ava broj me usobno neovisnih koordinata mase mi koje su potrebne za opisivanje gibanja.

Ekvivalentna veza:

53

54

9

Mehani ki oscilatori

- s jednim stupnjem slobode: - s dva stupnja slobode:

Vibrograf

· Ure aj za mjerenje vertikalnih oscilacija

55

56

Geigerov vibrograf

· Instrument za mjerenje vertikalnih i horizontalnih oscilacija

Matemati ko njihalo

MO = r × F d r = l; v = r = l dt d d L O = l ml = m l2 dt dt M O = - d mg = - l sin mg

LO = r × m v

d LO = M O (4. zakon dinamike) dt d 2 m l 2 2 = - l sin mg dt ·· g + sin = 0 za mali kut sin l

57 58

Matemati ko njihalo Slobodne oscilacije

··

g g + = 0 = l l

··

+ 2 = 0

T=

2 l = 2 g

Prigusene oscilacije

1 1 g f= = T 2 l

59 60

10

Prigusene oscilacije

Prigusene oscilacije

· Sila otpora:

Fw = - b v = -b x

· Diferencijalna jednadzba prigusenih oscilacija

x + 2 x +

2 =

61

2

x = 0

62

b m

Prigusene oscilacije

2 =

b m

Prigusene oscilacije

Rjesenje:

<

>

Rjesenje:

x = R e - t sin (~ t +

~=

2

2

1

)

slabo prigusenja Kruzna frekvencija: jako prigusenja Period:

-

2

2

x = R e - t sin (~ t +

1

)

63

~ 2 T= ~ =

2 -

Prigusenje pove ava period oscilacija

~ T>T

64

Prigusene oscilacije

x [m]

~ T

2

Vrlo jako prigusenje: >>

- Gibanje nema karakter oscilacija

R

~=

2

-

x = R e - t

x = R e - t sin(~ t +

t [s]

1

)

1

=0

0

x = - R e- t

-R

65

66

11

Prigusene oscilacije

· Viskozni prigusiva - amortizer

Prisilne oscilacije

- bez otpora - s otporom · Sila prisile:

F = F0 sin

67

t

68

Prisilne oscilacije bez otpora

· Sila prisile

Prisilne oscilacije bez otpora

· Rjesenje:

x = x hom. + x part. x = R sin ( t + h -

F = F0 sin

t

· Diferencijalna jednadzba (nehomogena):

)+

2

2

sin t

x+

2

x = h sin t

h= F0 m

69

slobodne oscilacije

prisilne oscilacije

70

Amplituda prisilnih oscilacija

C=

· Rezonanca:

Prisilne oscilacije bez otpora

s [m x [m] ]

h

2

-

2

=

x st 1-

2 2

0

71

[s] tt [s]

72

12

· Ako se sustav sa sposobnos u osciliranja ­ oscilator uje frekvencijom koja odgovara vlastitoj frekvenciji oscilatora , javljaju se velike amplitude koje dovode do razaranja oscilatora (prisilne oscilacije, pojava rezonance ­ Tacoma bridge).

Prisilne oscilacije s otporom - op i slu aj

· Vlastite oscilacije se vrlo brzo prigusuju pa e nakon nekog vremena preostati samo prisilne oscilacije u uzem smislu.

73

74

Diferencijalna jednadzba oscilacija:

Prisilne oscilacije s otporom

x [m]

m x + b x + k x = F (t )

mx - bx - kx - F (t ) -

· ··

··

·

sila inercije sila prigusenja elasti na sila opruge (restitucijska) sila prisile ­ poreme ajna sila

75

t [s]

76

Primjer 1: Slobodne oscilacije

Opruga oscilira jer je optere ena trenutno silom od 0,12 kN. Odredite zakon slobodnih oscilacija ako krutost opruge iznosi 2000 N/m. Zadano: G = 0,12 kN k = 2000 N/m.

0 k

x = A sin t + B cos t v = x = A cos t - B sin t xst =

x st

·

G

G 120 N = = 0,06 m k 2000 Nm t = 0 x0 = x st = - 0,06 - 0,06 = A 0 + B 1 t = 0 v0 = x = 0

·

B = - 0,06 A =0

0 = A 1 - B 0

x

= k kg 2000 9,81 = = = 12,8 (1/s) m G 120 x = - 0,06 cos (12,8 t )

t = 0 x0 = x st

·

t = 0 v0 = x = 0

x = R sin (t + ) x = A sin t + B cos t v = A cos t - B sin t

77

2 2 = = 0,49 s 12,8 1 1 f= = = 2,08 Hz T 0,49 T=

78

13

· Primjer 2: Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez po etne faze za t = 2 sekunde i t = 4 sekunde, ako amplituda oscilacija iznosi 50 cm a period osciliranja je 8 sekundi. Zadano: a=0 R = 50 cm = 0,5 m T=8s · za t = 4 s x = ?; v = ?; a=?

79

x = R sin ( t + ) x = 0,5 sin t 4

T=

2 2 2 = = = T 8 4

· x = 0,5 cos t 4 4 ··

x = - 0,5

4

2

sin

t 4 2 = 0,5 m 4

t = 2s

x = 0,5 sin

· x = 0,5 cos 2 = 0 m/s 4 4 ··

x = - 0,5

4

2

sin

2 = - 0,5 4 4

2

m/s 2

80

t = 4s

x = 0,5 sin 4 = 0,5 0 = 0 4

· x = 0,5 cos 4 = 0,5 (- 1) = - 4 4 4 8 ··

m/s 0 = 0

x = - 0,5

4

2

sin

4 = - 0,5 4 4

2

· Primjer 3: Amplituda slobodnih harmonijskih oscilacija iznosi 2 metra, a period 4 sekunde bez po etne faze. Izra unajte za vrijeme t = 2 sekunde trenutne vrijednosti pomaka, brzine i ubrzanja. x = R sin( t + )

R=2 T=4 2 T= =4= 2 x = 2 sin t 2

=0

t x v a 2 0 - 0

82

81

v = x = cos t 2 ·· 2 a = x = - sin t 2 2

·

Primjer 4: Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez po etne faze za t = 1 sekunda, ako amplituda oscilacija iznosi 30 cm a period osciliranja 6 sekundi.

83

14

Information

Microsoft PowerPoint - 13_R_2_d_D_Alembert_Zakoni_Oscilacije.ppt

14 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

170418