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Berechnungen am Dreieck

In Klasse 9 wurde durch die Satzgruppe des Pythagoras und die Einführung des Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels das rechtwinklige Dreieck schon vollkommen berechenbar. Jede geometrisch lösbare Aufgabenstellung konnte algebraisch (durch Berechnung) nachvollzogen werden. Damit ist im Prinzip jede eindeutig lösbare Dreiecksaufgabe auch rechnerisch lösbar, denn das allgemeine Dreieck kann durch die Seitenhöhen in rechtwinklige Dreiecke zerlegt werden. Es sollen nun zwei Sätze abgeleitet werden, mit denen alle Dreiecksberechnungen am allgemeinen Dreieck, die auf einem Kongruenzsatz beruhen und damit eindeutig lösbar sind, ohne Umweg über die Seitenhöhen lösbar sind.

Sinussatz

geg : , a , b ges : hc ¿ ADC gilt : sin = h c =bsin b hc ¿ BCD gilt :sin = h c =a sin a bsin =hc =asin bsin =asin sin sin = a b Durch Teilung des Dreiecks mit der Höhe hb erhält man eine weitere Beziehung des Sinussatzes , sodass sichinsgesamt ergibt : sin sin sin = = a b c Mit dem Sinussatz sind die Aufgaben zu den Kongruenzsätzen SsW und WSW lösbar.

Sinussatz: In jedem Dreieck ist das Verhältnis aus der Länge einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels konstant.

a b c = = sin sin sin oder auch sin sin sin = = a b c

Der Kosinussatz

geg :a , b , ges : c Die Seite b wird durch D in die Abschnitte u=CD und v= AD geteilt , also v=b-u. Im BCD gilt : u cos = u=acos a hb 2 2 2 sin = hb =asin hb =a sin a Im ABD gilt : c 2 =h2 v 2 b c =h v =a sin b-u =a sin b-acos 2 c 2 =a sin2 b2 -2abcos a2cos2 c 2 =a2sin 2 cos 2 b2 -2abcos sin 2 xcos 2 x=1 2 2 2 c =a b -2abcos Mit dem Kosinussatz sind die Aufgaben zu den Kongruenzsätzen SSS und SWS lösbar.

¿

2

2 b 2

2

2

2

2

2

2

Kosinussatz: In jedem Dreieck ist das Quadrat einer Seitenlänge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenlängen, vermindert um das doppelte Produkt aus diesen Seitenlängen und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

Für das Dreieck ABC gilt somit : a2=b2 c 2-2bccos 2 2 2 b =a c -2accos c 2 =a2 b 2-2abcos

Winkelberechnung im Dreieck

Möchte man mithilfe des Sinus- und Kosinussatzes die Winkel in einem Dreieck berechnen, so ist folgendes zu beachten: Wird der Kosinussatz genutzt, so ist das Ergebnis eindeutig. Ist der Wert des Kosinus positiv, so ist der Winkel spitz und bei negativem Kosinus stumpf. Wird der Sinussatz genutzt, so muss der Wert des Sinus immer positiv sein, denn die Winkel im Dreieck liegen nur im Bereich 0°<<180°. Das bedeutet jedoch, dass es zwei Lösungen gibt, einen spitzen und einen stumpfen Winkel, die den selben Sinus besitzen. Deshalb ist stets darauf zu achten, dass bei dieser Anwendung des Sinussatzes der Kongruenzsatz SsW eingehalten wird. Das bedeutet, dass das bekannte Winkel-Seite-Paar den größeren Winkel und die längere Seite enthält. Damit ist garantiert, dass der berechnete Winkel ein spitzer Winkel ist.

Beispiel

Von einem Dreieck sind die Kantenlängen a=5cm; b=6cm und der Winkel =35° bekannt und es sollen die restlichen Stücke des Dreiecks berechnet werden. Die Aufgabenstellung entspricht dem Kongruenzsatz SSS und ist damit eindeutig lösbar. 1.Berechnung der Seite c mit dem Kosinussatz c²=a²b²-2abcos c²=5cm ²6cm ²-25cm6cmcos 35 °11,85 cm² c3,44 cm Würde man nun zur Berechnung eines weiteren Winkels den Sinussatz anwenden, so würde dies eine Verletzung des Kongruenzsatzes SsW darstellen, denn liegt nicht der längeren Seite gegenüber! sin sin = c b bsin 6cmsin 35 ° sin = = =0,999 1=88,6 ° ; 2=91,4 ° c 3,44 cm Es kann nicht entschieden werden , welche Lösung für richtig ist !

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