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Chapitre 1 : L'électrostatique Exercices

E1. Pour faciliter l'écriture, on numérote les charges : q1 = 5 µC, q2 = -2 µC, q3 = 3 µC. Le module de la force électrique entre chaque paire de charges est donné par l'équation 1.1. La direction de ces forces dépend du signe des charges et de leurs positions relatives indiquées à la figure 1.17. Toutes les forces sont parallèles à l'axe des x. - - - (9×109 )(5×10-6 )(2×10-6 ) - (a) F 21 = - k|q1 q2 | i = - i = -225 i N 2 r12 (2×10-2 )2 (9×109 )(2×10-6 )(3×10-6 ) - - - - i = 33,8 i N F 23 = k|q2 q3 | i = 2 r23 (4×10-2 )2 - - - - - F 2 = F 21 + F 23 = (-225 + 33,8) i = -191 i N - - - (b) F 12 = - F 21 = 225 i N - - - (9×109 )(5×10-6 )(3×10-6 ) - i = -37,5 i N F 13 = - k|q1 q3 | i = - 2 r13 (6×10-2 )2 - - - - - F 1 = F 12 + F 13 = (225 - 37,5) i = 188 i N E2. Pour faciliter l'écriture, on numérote les charges : q1 = 2q, q2 = 4q, q3 = -3q, où q = 1 nC. Le module de la force électrique entre chaque paire de charges est donné par l'équation 1.1. La direction de ces forces dépend du signe des charges et de leurs positions relatives indiquées à la figure 1.18. (a) Sur la charge q2 , la force électrique issue des deux autres charges est orientée directement selon l'un des axes : - - - (9×109 )(2×10-9 )(4×10-9 ) - j = -8,00 × 10-5 j N F 21 = - k|q1 q2 | j = - 2 r12 (3×10-2 )2 (9×109 )(4×10-9 )(3×10-9 ) - - - - i = 6,75 × 10-5 i N F 23 = k|q2 q3 | i = 2 r23 (4×10-2 )2 ³ - -´ - - - 6,75 i - 8,00 j × 10-5 N F 2 = F 21 + F 23 =

(b) Sur la charge q3 , les forces sont orientées comme suit :

¡ ¢ L'angle est donné par = arctan 3 = 36,8 , de sorte que = 180 - = 143,1 . Le 4 - k|q1 q3 | module de F 31 est F31 = r2 = 2,16 × 10-5 N. Si on utilise la méthode énoncée à la

13

section 2.3 du tome 1, alors

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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E3.

- ³ - - -´ - F 31 = F31 cos i + F31 sin j = -1,73 i + 1,30 j × 10-5 N - - - F 32 = - F 23 = -6,75 × 10-5 i N ³ - -´ - - - -8,48 i + 1,30 j × 10-5 N F 3 = F 31 + F 32 = Q = 2 µC.

Pour faciliter l'écriture, on numérote les charges : q1 = Q, q2 = -2Q, q3 = 3Q, où

Le module de la force électrique entre chaque paire de charges est donné par l'équation 1.1. La direction de ces forces dépend du signe des charges et de leurs positions relatives indiquées à la figure 1.19. Comme il s'agit d'une triangle équilatéral, les côtés de longueur L = 0,03 m font un angle de 60 l'un par rapport à l'autre. (a) Sur la charge q3 , les forces sont orientées comme suit :

(9×109 )(2×10-6 )(6×10-6 ) - - - - i = 120 i N F 31 = k|q12q3 | i = -2 )2 L (3×10 - F 32 est à un angle = 120 par rapport à l'axe des x positifs et son module est F32 = k|q22q3 | = 240 N, de sorte que L - ³ - - -´ - F 32 = F32 cos i + F32 sin j = -120 i + 208 j N - - - - F 3 = F 31 + F 32 = 208 j N (b) Sur la charge q2 , les forces sont orientées comme suit :

- F 21 fait un angle 21 = 240 par rapport à l'axe des x positifs et son module est F21 = k|q12q2 | = 80,0 N, de sorte que L - ³ - - -´ - F 21 = F21 cos i + F21 sin j = -40,0 i - 69,3 j N ³ - -´ - - F 23 = - F 32 = 120 i - 208 j N 2 Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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E4.

³ - -´ - - - 80,0 i - 277 j N F 2 = F 21 + F 23 =

Pour faciliter l'écriture, on numérote les charges : q1 = -3Q, q2 = -2Q, q3 = Q, q4 = 2Q,

où Q = 4 nC. Les forces électriques sont déterminées par l'équation 1.1, le signe des charges et leurs positions relatives. p 2 2 Comme r12 = 0,03 m et r23 = r14 = 0,04 m, alors r24 = r13 = r12 + r23 = 0,05 m. (9×109 )(12×10-9 )(8×10-9 ) - - - - j = 9,60 × 10-4 j N (a) F 21 = k|q1 q2 | j = 2 -2 )2 r12 (3×10 (9×109 )(8×10-9 )(4×10-9 ) - - - k|q2 q3 | - i = 1,80 × 10-4 i N F 23 = r2 i = (4×10-2 )2

23

Les diagonales du rectangle que forment les charges sont à un angle ³ ´ - = arctan 0,03 = 36,9 par rapport à l'horizontale. Alors F 24 fait un angle 0,04

24 = 360 - 36,9 = 323,1 par rapport à l'axe des x positifs et son module est

F24 = k|q2 q4 | = 2,30 × 10-4 N, de sorte que 2 r24 - ³ - - -´ - F 24 = F24 cos 24 i + F24 sin 24 j = 1,84 i - 1,38 j × 10-4 N ³ - -´ - - - - 3,64 i + 8,22 j × 10-4 N F 2 = F 21 + F 23 + F 24 = - - - (b) F 12 = - F 21 = -9,60 × 10-4 j N - F 13 fait un angle 13 = 36,9 par rapport à l'axe des x positifs et son module est F13 = k|q1 q3 | = 1,73 × 10-4 N, de sorte que 2 r13 - ³ - - -´ - F 13 = F13 cos 13 i + F13 sin 13 j = 1,38 i + 1,04 j × 10-4 N (9×109 )(12×10-9 )(8×10-9 ) - - - - i = 5,40 × 10-4 i N F 14 = k|q1 q4 | i = 2 -2 )2 r14 (4×10 ³ - -´ - - - - 6,78 i - 8,56 j × 10-4 N F 1 = F 12 + F 13 + F 14 =

E5.

(a)

On donne q1 = 27 µC et q2 = 3 µC. On cherche q3 . - Pour que F 3 soit nulle, q3 doit nécessairement être sur l'axe joignant q1 et q2 . En effet, en dehors de cet axe, q3 subit toujours une force électrique dont la résultante est non nulle. - - Sur l'axe, lorsque q3 est à droite de q2 ou à gauche de q1 , les forces F 31 et F 32 sont toujours de même sens, quel que soit le signe de q3 , et la résultante ne peut être nulle.

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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On en conclut que q3 doit se trouver entre q1 et q2 . Puisque q1 est à l'origine, on cherche x, la position de q3 par rapport à l'origine : - - - - - F 3 = F 31 + F 32 = 0 = F 31 = - F 32 Ces deux forces électriques ont donc le même module. Comme r31 = x et r32 = 1 - x, alors F31 = F32 =

kq1 q3 2 r31

=

kq2 q3 2 r32

=

q1 x2

=

q2 (1-x)2

= 27 (1 - x)2 = 3x2 =

8x2 - 18x + 9 = 0 Les racines de cette équation quadratique sont x = 1,50 m et x = 0,750 m. Comme la charge q3 doit se trouver entre les deux autres, on ne conserve que le second résultat, x = 0,750 m et le signe de q3 n'a aucune importance. (b) Si q2 = -3 µC, alors la charge q3 doit se trouver sur l'axe qui traverse q1 et q2 , mais à l'extérieur du segment qui joint ces deux charges. D'autre part, comme q1 > q2 , q3 doit se trouver à droite de q2 afin que r31 > r32 . La situation se présente donc comme dans cette figure :

- - - - - Comme en (a), F 3 = F 31 + F 32 = 0, donc F 31 = - F 32 . Ces deux forces électriques ont le même module lorsque r31 = x et r32 = x - 1 : F31 = F32 =

kq1 q3 2 r31

=

kq2 q3 2 r32

=

q1 x2

=

q2 (x-1)2

= 27 (x - 1)2 = 3x2 =

8x2 - 18x + 9 = 0 Les racines de cette équation quadratique sont x = 1,50 m et x = 0,750 m. Comme la charge q3 doit se trouver à droite de q2 , on ne conserve que le premier résultat : x = 1,50 m E6. La distance Terre-Lune est rTL = 3,84 × 108 m. La masse de la Terre et celle de la Lune sont mT = 5,98 × 1024 kg et mL = 7,36 × 1022 kg. On suppose la présence d'une charge de même valeur Q sur la Terre et sur la Lune. Les modules des forces gravitationnelle et électrique doivent être égaux; donc : Fg = FE = 4

GmT mL 2 rT L

=

kQ2 2 rT L

= Q =

q

GmT mL k

= 5,71 × 1013 C

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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E7.

On a qp = -qe = 1,6 × 10-19 C et on cherche la distance r telle que le module de la force électrique entre les deux charges soit p k|q q | FE = rp2 e = 1,0 N = r = k |qp qe | = 1,52 × 10-14 m

E8.

On a q = 2e et qTh = 90e, où e = 1,6 × 10-19 C. On donne aussi m = 6,7 × 10-27 kg

et la distance initiale r = 3 × 10-15 m entre les deux charges. (a) Le module de la force électrique de répulsion, à cette distance, est FE =

k|q qT h | r2

=

k(180e2 ) r2

= 4,61 × 103 N

(b) Si la force électrique est la seule force agissant sur la particule alpha, alors, à partir de la deuxième loi de Newton (équation 5.2 du tome 1), a = E9.

FE m

=

4,61×103 6,7×10-27

= 6,88 × 1029 m/s2

2

(a) On donne r = 0,74 × 10-10 m. Comme qp = 1,6 × 10-19 C, alors, avec l'équation 1.1, FE =

2 kqp r2

=

(9×109 )(1,6×10-19 )

(0,74×10-10 )2

= 4,21 × 10-8 N

Il s'agit d'une force électrique de répulsion. (b) On donne r = 2,82 × 10-10 m. Comme qNa+ = |qCl- | = e = 1,6 × 10-19 C, alors FE =

k|qN a + qC l - | r2

2

=

(9×109 )(1,6×10-19 )

(2,82×10-10 )2

= 2,90 × 10-9 N

Il s'agit d'une force électrique d'attraction. E10. (a) Pour faciliter l'écriture, on numérote les charges : q1 = -2Q, q2 = Q, q3 = q. On sait que Q > 0, mais le signe de la charge q est inconnu. Pour exprimer la force électrique résultante sur celle-ci, on suppose pour l'instant qu'elle est positive. À partir de l'équation 1.1, du signe des charges et de leurs positions relatives dans la figure 1.21, on obtient - - - - F 31 = - k|q1 q3 | i = - k(2Q)q i = - 2kQq i 2 9,00 32 r13 - - - - F 32 = - k|q2 q3 | j = - kQq j = - kQq j 2 4,00 22 r23 ³ ³ ´ - -´ - - - 2 - 1 - F 3 = F 31 + F 32 = kQq - 9,00 i - 4,00 j = kQq -0,222 i - 0,250 j serait inversé. (b) Une nouvelle charge q4 = 2,5Q apparaît dans le voisinage de q3 et on veut que la force - - électrique résultante F 0 sur cette dernière soit nulle. Puisque F 3 est la résultante de q1 3 et q2 , alors ³ - -´ -0 - - - - F 3 = F 3 + F 34 = 0 = F 34 = - F 3 = kQq 0,222 i + 0,250 j

Ce résultat demeure valable même si q < 0, puisqu'alors le sens de la force résultante

(i)

Si q3 > 0, cette force est dans le premier quadrant et fait un angle

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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= arctan

ensuite avec l'équation 1.1 : F34 =

parce que q4 est positive, celle-ci doit se trouver dans le quatrième quadrant. La distance - r34 entre l'origine et q4 s'obtient en comparant le module de F 34 calculé de deux façons, q d'abord à partir de l'équation (i) : F34 = (0,222kQq)2 + (0,250kQq)2 = 0,334kQq ;

k|q3 q4 | 2 r34

³

0,250 0,222

´

- = 48,4 par rapport à l'axe des x positifs. À cause du sens de F 34 et

=

kq(2,5Q) 2 r34

En comparant ces deux égalités, on obtient r34 =

- Comme on le voit dans la figure qui suit, le vecteur - 34 est dans le sens opposé à F 34 : r

= q

2,5kqQ 2 r34

2,5 0,334

= 2,73 m.

Comme = 180 + 48,4 = 228,4 , alors - - = r cos - + r sin = (-1,82- - 2,05- ) m r 34 i j i j 34 34 Le résultat serait similaire avec q3 = q < 0. E11. Pour faciliter l'écriture, la figure ci-dessous reprend la figure 1.22 en précisant le nom donné à chacune des charges connues :

les deux charges inconnues doivent avoir la même valeur. Sans cette égalité, il serait impossible d'équilibrer la charge du centre, située à égale distance de q1 et q2 . De plus, comme les trois charges connues sont positives, les deux charges inconnues

Comme les charges sont placées de façon symétrique, on peut immédiatement affirmer ³- ´ - - que, pour que la force électrique résultante sur q3 , q4 et q5 soit nulle F 3 = F 4 = F 5 = 0 ,

doivent être négatives pour créer des forces d'attraction s'opposant aux forces de répulsion, entre autres sur les charges q3 et q5 placées aux extrémités. On pose donc q1 = q2 = q < 0 et on cherche la valeur de q. On considère la somme des forces électriques sur la charge q3 . À partir de l'équation 1.1, 6 Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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du signe des charges et de leurs positions relatives dans la figure, on obtient - - - - - F 3 = F 31 + F 34 + F 32 + F 35 = 0 = - - - - - F 3 = k|q1 q3 | i - k|q3 q4 | i + k|q2 q3 | i - k|q3 q5 | i = 0 = 2 2 2 2 r13 r34 r23 r35 ³ ´ (1×10-6 ) (2×10-6 ) |q1 | |q4 | |q2 | |q5 | |q| |q| kq3 (0,01)2 - (0,02)2 + (0,03)2 - (0,04)2 = 0 = (0,01)2 - (0,02)2 + (0,03)2 - (0,04)2 = 0 Comme q < 0, alors |q| = -q donc (1×10-6 ) (2×10-6 ) q q - (0,01)2 - (0,02)2 - (0,03)2 - (0,04)2 = 0 = 1,11q + 0,375 × 10-6 = 0 = q = -0,338 µC, de sorte que q1 = q2 = -0,338 µC E12. On donne m = 2 × 10-3 kg, L = 1 m et = 15 . Chacune des boules subit trois forces, son poids, une force électrique de répulsion avec l'autre boule et la tension dans le fil. On a représenté ces trois forces sur la boule de droite dans la figure qui suit :

Les deux boules sont à l'équilibre. Sur la boule de droite, cela implique que la somme des forces est nulle selon les deux axes. Puisque 2- - - - - - - - g F E = kQ i , m- = -mg j et que T = Tx i + Ty j = -T sin i + T cos j , alors r2 P 2 2 (i) Fx = 0 = - T sin + kQ = 0 = T sin = kQ r2 r2 P (ii) Fy = 0 = T cos - mg = 0 = T cos = mg Si on divise l'égalité (i) par l'égalité (ii), on obtient tan =

kQ2 mgr 2 .

Mais comme r = 2L sin , ce dernier résultat permet d'aboutir à q 2 2 kQ2 = 4mgL2 sin2 tan = Q = ± 4mgL sin tan = ±0,395 µC k Soit la valeur de la charge identique sur chacune des deux boules. E13. La distance Terre-Lune est rTL = 3,84 × 108 m. La masse de la Terre et celle de la Lune sont mT = 5,98 × 1024 kg et mL = 7,36 × 1022 kg. Le module de la force gravitationnelle entre la Terre et la Lune est (6,672×10-11 )(5,98×1024 )(7,36×1022 ) T = 1,99 × 1020 N Fg = Gm2 mL = r (3,84×108 )2

TL v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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Dans 1 g d'hydrogène, il y a 1 mole de cet atome, de sorte que le nombre de protons et d'électrons correspond directement au nombre d'Avogadro. La charge ainsi obtenue est Qp = -Qe = NA e et le module de la force électrique attractive entre ces deux charges placées à la même distance vaut 2 2 (9×109 )(6,022×1023 ) (1,6×10-19 ) kN 2 e2 k|Qp Q | FE = r2 e = r2A = = 567 N 2 (3,84×108 )

TL TL

Finalement,

FE Fg

=

567 1,99×1020

=

FE Fg

= 2,85 × 10-18

E14. (a) Pour faciliter l'écriture, on numérote les charges : q1 = Q, q2 = 9Q et q3 = q.

On peut conclure, en suivant le même raisonnement qu'à l'exercice 5, que la charge q3 doit se trouver entre les charges q1 et q2 . Mais, comme on veut que la force électrique résultante soit nulle sur les trois charges, il faut, comme à l'exercice 11, que la charge q3 soit de signe opposé aux deux autres. Pour trouver la valeur de q3 et la position x où elle se trouve, on a besoin de deux équations. On commence par exprimer la force résultante sur q3 : - - - - - F 3 = F 31 + F 32 = 0 = F 31 = - F 32 = F31 = F32 =

k|q1 q3 | x2

=

k|q2 q3 | (4-x)2

=

k|Qq| x2

=

k|9Qq| (4-x)2

Comme Q et q sont de signes opposés, alors |Qq| = -Qq. Ici, ce changement de signe n'implique rien puisqu'il se produit de part et d'autre de l'égalité :

9kQq - kQq = - (4-x)2 = x2 1 x2

=

9 (4-x)2

= x2 + x - 2 = 0

Les racines de cette équation quadratique sont x = -2,00 m et x = 1,00 m. Comme la charge q3 doit se trouver entre les deux autres, on ne conserve que le second résultat : x = 1,00 m Pour trouver la relation entre q et Q, on exprime la force résultante sur q1 : - - - - - F 1 = F 13 + F 12 = 0 = F 13 = - F 12 = F13 = F12 =

k|q1 q3 | x2

=

k|q1 q2 | 42

=

k|Qq| x2

=

k|Q(9Q)| 42

Encore une fois, puisque |Qq| = -Qq et |Q (9Q)| = 9Q2 et en utilisant le résultat pour x: - kQq = x2 8

9kQ2 42

= - q =

9Q 16

9 = q = - 16 Q

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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(b) On conserve la numérotation donnée aux charges à la partie (a). Comme le signe de q2 a changé, q3 ne peut plus se trouver entre q1 et q2 . Quel que soit son signe, elle subirait alors deux forces électriques de même sens et la résultante ne pourrait être nulle. Si on maintient q3 sur l'axe et qu'on la suppose de signe opposé à q1 , on peut conjecturer qu'il existe un point à gauche de q1 pour lequel la force électrique sur les trois charges serait nulle. À droite de q2 , le sens des forces est adéquat, mais comme |q2 | > q1 et que q3 est plus près de q2 que de q1 , le module des deux forces agissant sur chaque charge ne peut jamais être égal. La figure qui suit précise la position des charges :

Pour trouver x, on commence par exprimer la force résultante sur q3 . Puisque x < 0, la distance r23 = 4 - x : - - - - - F 3 = F 31 + F 32 = 0 = F 31 = - F 32 = F31 = F32 =

k|q1 q3 | x2

=

k|q2 q3 | (4-x)2

=

k|Qq| x2

=

k|(-9Q)q| (4-x)2

=

|Qq| x2

=

9|Qq| (4-x)2

=

(4 - x)2 = 9x2 = x2 + x - 2 = 0 Les racines de cette équation quadratique sont x = -2,00 m et x = 1,00 m. Comme la charge q3 doit se trouver à gauche de q1 , on ne conserve que le premier résultat : x = -2,00 m Pour trouver la relation entre q et Q, on exprime la force résultante sur q1 : - - - - - F 1 = F 13 + F 12 = 0 = F 13 = - F 12 = F13 = F12 =

k|q1 q3 | x2

=

k|q1 q2 | 42

=

k|Qq| x2

=

k|Q(-9Q)| 42

Encore une fois, puisque |Qq| = -Qq et |Q (-9Q)| = 9Q2 et en utilisant le résultat pour x: - kQq = x2 E15.

9kQ2 42

= -

q 4

=

9Q 16

= q = - 9 Q 4

On donne r = 0,04 m et FE = 0,2 N et on suppose que q1 = ±2q2 . Comme les charges se repoussent, q1 et q2 sont de même signe. k|2q 2 | 2kq 2 FE = k|q12q2 | = 0,2 = r2 1 = 0,2 = r2 1 = 0,2 = r q 2 q1 = ± 0,2r = q1 = ±0,133 µC et q2 = ±0,267 µC 2k

E16.

v4

Pour faciliter l'écriture, on numérote les charges : q1 = 1 nC, q2 = -1 nC, q3 = -2 nC. On Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique 9

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donne d = 0,01 m. Comme à l'exercice 3, on doit, dans chaque cas, tracer un diagramme montrant les forces sur la charge q3 . Les forces électriques sont ensuite déterminées par l'équation 1.1, le signe des charges et leurs positions relatives dans la figure 1.24. (a) Si q3 est placée en A : (9×109 )(1×10-9 )(2×10-9 ) - - - - i = 1,80 × 10-4 i N F 31 = k|q1 q3 | i = 2 d2 r13 (9×109 )(1×10-9 )(2×10-9 ) - - - - F 32 = k|q2 q3 | i = i = 1,80 × 10-4 i N 2 d2 r23 - - - - F 3 = F 31 + F 32 = 3,60 × 10-4 i N

2 (b) Si q3 est placée en B, r13 = d, r23 = d2 + (2d)2 = 5d2 : (9×109 )(1×10-9 )(2×10-9 ) - - - - j = 1,80 × 10-4 j N F 31 = k|q1 q3 | j = 2 d2 r13 - F 32 fait un angle 32 = -26,6 par rapport à l'axe des x positifs et son module est

2 2 (c) Si q3 est placée en C, r13 = r23 = d2 + d2 = 2d2 : - F 31 fait un angle 31 = 45,0 par rapport à l'axe des x positifs et son module est

F32 = k|q2 q3 | = 3,60 × 10-5 N, de sorte que 2 r23 - ³ - - -´ - F 32 = F32 cos 32 i + F32 sin 32 j = 3,22 i - 1,61 j × 10-5 N ³ - -´ - - - 3,22 × 10-5 i + 16,4 × 10-5 j N F 3 = F 31 + F 32 =

F31 = k|q1 q3 | = 9,00 × 10-5 N, de sorte que 2 r13 - ³ - - -´ - F 31 = F31 cos 31 i + F31 sin 31 j = 6,36 i + 6,36 j × 10-5 N - F 32 fait un angle 32 = -45,0 par rapport à l'axe des x positifs et son module est F32 = k|q2 q3 | = 9,00 × 10-5 N, de sorte que 2 r23 - ³ - - -´ - F 32 = F32 cos 32 i + F32 sin 32 j = 6,36 i - 6,36 j × 10-5 N - - - - F 3 = F 31 + F 32 = 12,7 × 10-5 i N

2 (d) Si q3 est placée en D, r23 = d, r13 = d2 + (2d)2 = 5d2 : - F 31 fait un angle 31 = 26,6 par rapport à l'axe des x positifs et son module est

E17.

F31 = k|q1 q3 | = 3,60 × 10-5 N, de sorte que 2 r13 - ³ - - -´ - F 31 = F31 cos 31 i + F31 sin 31 j = 3,22 i + 1,61 j × 10-5 N - - - (9×109 )(1×10-9 )(2×10-9 ) - F 32 = - k|q2 q3 | j = - j = -1,80 × 10-4 j N 2 d2 r23 ³ - -´ - - - 3,22 × 10-5 i - 16,4 × 10-5 j N F 3 = F 31 + F 32 = donné à chacune des charges :

Pour faciliter l'écriture, la figure ci-dessous reprend la figure 1.25 en précisant le nom

10

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

v4

© ERPI

Les trois charges sont aux sommets d'un triangle équilatéral. À partir de la figure, on voit que r12 = r23 = r13 = 2d cos 30 = 2,08 × 10-15 m puisque d = 1,2 × 10-15 m. Une nouvelle figure montre les forces électriques sur chaque charge :

À partir de l'équation 1.1, du signe des charges, de l'orientation des forces et du principe de superposition, on calcule la somme des forces électriques sur la charge q2 : - F 21 fait un angle 21 = 60,0 par rapport à l'axe des x positifs et son module est e k|(- 3 )( 2e )| 3 F21 = k|q1 q2 | = = 11,8 N, de sorte que 2 2 r12 r12 - ³ - - -´ - F 21 = F21 cos 21 i + F21 sin 21 j = 5,92 i + 10,2 j N - - - k( 2e )( 2e ) - F 23 = - k|q2 q3 | i = - 3r2 3 i = -23,7 i N 2 r

23 23

La résultante de ces deux forces est ³ - -´ - - - F 2 = F 21 + F 23 = -17,8 i + 10,2 j N

En procédant de la même façon pour les deux autres charges, on pourrait montrer que le module de la force électrique résultante sur chaque charge est F1 = F2 = F3 = 20,5 N E18. ³ - -´ On donne q1 = 2 µC et q2 = -5 µC. Si - 1 = 2 i + j m est la position de la charge r ³ - -´ 1 et que - 2 = -2 i + 4 j m est la position de la charge 2, alors, comme on le voit r Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

Et son module prend la valeur : q q 2 2 F2 = F2x + F2y = (-17,8)2 + (10,2)2 = 20,5 N

dans la figure suivante, le vecteur déplacement reliant la charge 2 à la charge 1 est donné 11

v4

© ERPI

³ - -´ par - 21 = - 1 - - 2 = 4 i - 3 j m : r r r

- La force électrique F 21 sur la charge 2 est dans le même sens que - 21 . Ces deux vecteurs r ³ ´ ¡ ¢ r font un angle 21 = arctan r21y = arctan -3 = -36,9 par rapport à l'axe des x 4 21y q 2 2 positifs. Comme la distance entre les deux charges est r21 = r21x + r21y = 5,00 m, alors le module de F21 = k|q1 q2 | = 3,60 × 10-3 N et 2 r21 - - - - - F 21 = F21 cos 21 i + F21 sin 21 j = (2,88 i - 2,16 j ) mN force électrique d'attraction à partir de l'équation 1.1 : (9×109 )(40)2 FE = k|q12q2 | = (5,00×103 )2 = 5,76 × 105 N r

E19.

On donne q1 = 40 C, q2 = -40 C et r = 5,00 × 103 m. On trouve le module de cette

Problèmes

P1. Comme les charges sont aux sommets d'un triangle équilatéral, alors r12 = r23 = r13 = 0,10 m - - On donne q1 < 0. Puisque F 12 est attractive, alors q2 > 0. De même, puisque F 13 est répulsive, q3 < 0. À partir du signe des charges, de l'équation 1.1 et des modules fournis, on peut établir trois équations : Si q1 < 0 et q2 > 0, alors |q1 q2 | = -q1 q2 et F12 =

k|q1 q2 | 2 r12

= 5,4 N = - kq1 q2 = 5,4 (0,10)2 = q1 q2 = -6,00 × 10-12 C2 = 15 N = kq1 q3 = 15 (0,10)2 = q1 q3 = 1,67 × 10-11 C2 = 9 N = - kq2 q3 = 9 (0,10)2 = q2 q3 = -1,00 × 10-11 C2 (ii)

(i)

Si q1 < 0 et q3 < 0, alors |q1 q3 | = q1 q3 et F13 =

k|q1 q3 | 2 r13

Si q2 > 0 et q3 < 0, alors |q2 q3 | = -q2 q3 et F23 = 12

k|q2 q3 | 2 r23

(iii)

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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Si on isole q1 dans (i) et (ii) et qu'on suppose l'égalité, alors

-6,00×10-12 q2

=

1,67×10-11 q3

= q2 = -0,359q3

Si on utilise ce résultat dans (iii), alors

2 (-0,359q3 ) q3 = -1,00 × 10-11 = q3 = 2,79 × 10-11 = q3 = ±5,28 × 10-6 C

Si on respecte le raisonnement du départ, alors q3 = -5,28 µC On insère ensuite cette valeur dans (iii) pour trouver q2 = 1,89 µC P2. Pour faciliter l'écriture, on utilise le nom donné aux charges dans cette figure :

- - (a) Comme on le voit dans la figure, F 31 et F 32 sont orientées symétriquement par rapport à l'axe des x. De plus, comme r31 = r32 = a2 + x2 , Q > 0 et q > 0 F31 = F32 =

k|qQ| 2 r32

=

kqQ (a2 +x2 )

Les composantes verticales des deux forces électriques s'annulent et, à cause de la symétrie, F3x = F31x + F32x = 2F31x = 2 (akqQ2 ) cos 2 +x Selon la figure, cos = a2x 2 , donc +x - - - kqQ x 2kqQx - F 3 = F3x i = 2 (a2 +x2 ) a2 +x2 i = (a2 +x2 )3/2 i - (b) Le module de F 3 est la valeur absolue de son unique composante, F3 =

2kqQ|x| . (a2 +x2 )3/2

Ce module atteint un maximum lorsque dF3 = 0. Si on pose x > 0, dx ³ ´ ³ ³ ´´ 2kqQx dF3 d 1 dx d 1 = = dx (a2 +x2 )3/2 = 2kqQ (a2 +x2 )3/2 dx + x dx (a2 +x2 )3/2 dx ¶ µ ´ ³ d(a2 +x2 ) dF3 1 1 3x2 x = = 2kqQ (a2 +x2 )3/2 - (a2 +x2 )5/2 = 2kqQ (a2 +x2 )3/2 - 3 (a2 +x2 )5/2 dx 2 dx ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ 2kqQ 2kqQ dF3 2 2 = a - 2x2 = 0 dx = (a2 +x2 )5/2 a + x - 3x (a2 +x2 )5/2

a Si on exclut x - , alors la dérivée est nulle lorsque a2 - x2 = 0 = x = ± 2

Un maximum existe de part et d'autre de l'origine. Pour s'assurer qu'il s'agit d'un maximum, on devrait calculer la dérivée seconde et vérifier qu'elle est négative. La partie (c) permet de vérifier graphiquement ce résultat.

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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(c) Dans le logiciel Maple, on définit l'expression du module de la force électrique comme une fonction de x. Ensuite on donne une valeur à k, a, q et Q. On trace le graphe demandé sur un intervalle qui va de -2a à 2a : > restart: > F:=2*k*Q*q*abs(x)/(a^2+x^2)^(3/2); > k:=9e9; > a:=1; > q:=1e-5; > Q:=1e-4; > plot(F,x=-2*a..2*a);

(d) Si x À a , alors on peut négliger le a devant x dans le dénominateur de F3 : F3 =

2kqQx (a2 +x2 )3/2

2kqQx (x2 )3/2

= F3

2kqQx x3

= F3

2kqQ x2

La valeur absolue n'apparaît pas dans F3 puisque x > 0. P3. Pour faciliter l'écriture, on utilise le nom donné aux charges dans cette figure :

- - (a) Comme on le voit dans la figure, F 31 et F 32 sont orientées symétriquement par rapport à l'axe des y. De plus, comme r31 = r32 = a2 + x2 , Q > 0 et q > 0, F31 = F32 = 14

k|qQ| 2 r32

=

kqQ (a2 +x2 )

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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Les composantes horizontales des deux forces électriques s'annulent et, à cause de la symétrie, F3y = F31y + F32y = 2F31y = -2 (akqQ2 ) sin 2 +x Selon la figure, sin = a2a+x2 , donc - - - 2kqQa - F 3 = F3y j = -2 (akqQ2 ) a2a+x2 j = - (a2 +x2 )3/2 j 2 +x - (b) La force électrique F 3 est maximale lorsque la valeur absolue de son unique composante, |F3y | =

d|F3 | dx d|F3 | dx d|F3 | dx d|F3 | dx 2kqQa (a2 +x2 )3/2

prend une valeur maximale. Cette quantité atteint un maximum lorsque ´

= 0: ¡ ¢ d = 2kqQa dx (a2 + x2 )-3/2 = ´ ¡ ³ ¢ 1 d = -3kqQa (a2 +x2 )5/2 dx a2 + x2 = =

d dx 2kqQa (a2 +x2 )3/2

³

=

-3kqQa (a2 +x2 )5/2

(2x) =

-6kqQax (a2 +x2 )5/2

=0

Si on exclut x - , alors la dérivée est nulle lorsque x = 0 P4. Pour faciliter l'écriture, on utilise le nom donné aux charges dans cette figure :

(a) Les forces électriques sont déterminées par l'équation 1.1, le signe des charges et leurs positions relatives dans la figure. Si y > a, Q > 0 et q > 0, - - k|Qq| - kQq - F 31 = k|q1 q3 | j = (y-a)2 j = (y-a)2 j 2 r13 - - - kQq - F 32 = - k|q2 q3 | j = - k|(-Q)q| j = - (y+a)2 j 2 (y+a)2 r23 ´- ³ ´- ³ 2 -(y-a)2 - kQq - kQq - 1 1 j = F 3 = (y-a)2 j - (y+a)2 j = kQq (y-a)2 - (y+a)2 j = kQq (y+a) 2 (y+a)2 (y-a) ´- ³ ´- ³ 2 2 -y 2 +2ay-a2 - 4ay j = kQq (y-a)2 (y+a)2 j = F 3 = kQq y +2ay+a 2 (y+a)2 (y-a)

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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- F3 =

4kqQay - j (y 2 -a2 )2

4kqQay (y 2 -a2 )2

(b) Si y À a , alors on peut négliger le a devant y dans le dénominateur de F3 : F3 = P5.

4kqQay (y2 )2

= F3

4kqQa y3

Le module de la force électrique de répulsion entre les charges q1 = q et q2 = Q - q placées à une distance r l'une de l'autre est FE =

k|q1 q2 | r2

=

k|q(Q-q))| r2

=

kq(Q-q)) r2

=

kqQ r2

-

kq2 r2

On trouve la valeur de q qui rend ce module maximal en considérant qu'il s'agit d'une fonction FE (q) et en calculant pour quelle valeur de q, dFE = 0 : dq ³ ´ 2 kqQ dFE d - kq2 = kQ - 2kq = 0 = Q - 2q = 0 = q = dq = dq r2 r r2 r2

Q 2

P6.

(a) On donne r = 0,03 m, la distance constante entre deux sphères chargées. Soit q1 et q2 , la valeur initiale de ces deux charges. Comme ces charges s'attirent, elles sont de signes contraires et |q1 q2 | = -q1 q2 . Le module de la force électrique d'attraction entre ces deux charges est FE =

k|q1 q2 | r2

= 150 N = -

(9×109 )q1 q2

(0,03)2

= 150 N = q1 q2 = -15,0 × 10-12 C2

(i)

Si on relie électriquement les sphères, la charge électrique sur chaque sphère se modifie. Comme les sphères ont la même taille et qu'elles sont faites du même matériau, la symétrie entraîne que la charge finale sera la même sur chaque sphère. On nomme q la charge inconnue identique sur chaque sphère après le contact. Le module de la force électrique de répulsion entre ces deux charges est FE =

k|q 2 | r2

= 10 N =

(9×109 )q2

(0,03)2

= 10 N = q = 1,00 × 10-6 C

(ii)

Comme la charge totale sur les deux sphères ne peut se modifier, alors q1 + q2 = 2q. Si on utilise cette égalité dans l'équation (ii), on trouve q1 = 2 × 10-6 - q2 (iii)

Si on remplace q1 dans l'équation (i) par cette valeur, ¢ ¡ 2 2 × 10-6 - q2 q2 = -15,0 × 10-12 = q2 - 2 × 10-6 q2 - 15,0 × 10-12 = 0 q1 = 5,00 µC, q2 = -3,00 µC ou q1 = -3,00 µC, q2 = 5,00 µC

On trouve les racines de cette équation quadratique et ensuite les valeurs de q1 :

(b) Si, initialement, la force électrique est répulsive, les deux charges sont de même signe et l'équation (i) de la partie (a) s'écrit plutôt q1 q2 = 15,0 × 10-12 C2 = q1 = 16

15,0×10-12 q2

(iv)

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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L'équation (iii) n'est pas modifiée par ce changement de signe : q1 = 2 × 10-6 - q2 (iii)

Si une solution existe pour les valeurs de q1 et q2 , alors le graphe des équations (iii) et (iv) doit avoir une intersection. On définit dans Maple les deux équations et on trace le graphe sur un intervalle qui permet de voir leur comportement : > restart: > q1_iii:=2e-6-q2; > q1_iv:=15e-12/q2; > plot({q1_iii,q1_iv},q2=-1e-5..1e-5,q1=-3e-5..3e-5,tickmarks=[0,0]);

On voit bien dans ce graphe qu' aucune solution n'est possible puisque les courbes ne se croisent pas. = CQFD P7. (a) On donne m1 = m2 = 0,010 kg, une distance entre les deux sphères r = 010 m. La charge sur chaque sphère est la même et on l'obtient en enlevant des électrons de manière à ce que q1 = q2 = q > 0. Le module de la force électrique de répulsion est q 2 kq2 FE = r2 = 10,0 N = q = 10,0r = 3,33 µC k est q = N e, donc N =

q e

Pour chaque électron perdu, la charge augmente de e. Le nombre N d'électrons à enlever =

3,33×10-6 1,6×10-19

= 2,08 × 1013 électrons sur chaque sphère.

(b) On multiplie la masse de chaque sphère par les rapports nécessaires afin de calculer combien d'électrons chacune d'elles contient. Le symbole NA représente le nombre d'Avogadro. m1 × ³ ´ ³ ´ ¡ 29 électrons ¢

1 atome

1 mole 63,5×10-3 kg

0,010 kg ×

La fraction des électrons qui doit être enlevée est

v4

³

×

NA 1 mole

1 mole 63,5×10-3 kg

´

×

³

×

6,023×1023 atomes 1 mole

´

= ¢ ¡ × 291électrons = 2,75 × 1024 électrons atome

2,08×1013 2,75×1024

= 7,56 × 10-12

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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P8.

(a) Pour faciliter l'écriture, on utilise le nom donné aux charges dans cette figure :

On cherche la force électrique résultante sur q8 . Toutes les charges ont la même valeur Q > 0. Selon le théorème de Pythagore, r48 = r58 = r68 = d2 + d2 = 2d et q¡ ¢ 2 r78 = 2d + d2 = 3d Les forces électriques sont déterminées par l'équation 1.1 et leurs positions relatives dans la figure. Pour les trois premières charges, cette force ne possède qu'une seule composante : 2- - F 81 = kQ j d2 2- - F 82 = kQ i d2 2- - F 83 = kQ k d2 Pour les trois charges suivantes, la force est parallèle aux diagonales des faces et possède deux composantes. - F 84 fait un angle 84 = 45 par rapport à l'axe des x positifs vers l'axe des y dans le

kQ plan xy et son module est F84 = 2 = 1 kQ , de sorte que 2 d2 ( 2d) - 2 2- 2- - 1 kQ2 2 - - - F 84 = F84 cos 84 i + F84 sin 84 j = 2 d2 2 i + 1 kQ 22 j = 42 kQ i + 42 kQ j 2 d2 d2 d2 - F 85 fait un angle 85 = 45 par rapport à l'axe des x positifs vers l'axe des z dans le kQ plan xz et son module est F85 = 2 = 1 kQ , de sorte que 2 d2 ( 2d) - 2 2- 2- - 1 kQ2 2 - - - F 85 = F85 cos 85 i + F85 sin 85 k = 2 d2 2 i + 1 kQ 22 k = 42 kQ i + 42 kQ k 2 2 2 d d d2 - F 86 fait un angle 86 = 45 par rapport à l'axe des y positifs vers l'axe des z dans le kQ plan xz et son module est F86 = 2 = 1 kQ , de sorte que 2 d2 ( 2d) - - 2 2 2- 2- - - - F 86 = F86 cos 86 j + F86 sin 86 k = 1 kQ 22 j + 1 kQ 22 k = 42 kQ j + 42 kQ k 2 2 2 2 d 2 d d d2 - Finalement, F 87 est selon la diagonale qui traverse le cube, c'est-à-dire parallèle au - vecteur - qui donne la position de q8 . On peut exprimer F 87 en faisant appel à un r

2 2 2 2 2 2

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Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

v4

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³- - - ´ - - - - - 1 j vecteur unitaire parallèle à , soit - r = r = d i +d 3d+d k = 3 i + j + k : r u r ³ - - ´ ³- - - ´ 2 - - kQ2 1 u i + j + k F 87 = F87 - r = 2 3 i + j + k = 93 kQ d2 ( 3d) On calcule ensuite la résultante sur q8 : 2- 2- 2 - - F 8 = kQ j + kQ i + kQ k + d2 d2 d2 2- 2- 2- 2- 2- 2- + 42 kQ i + 42 kQ j + 42 kQ i + 42 kQ k + 42 kQ j + 42 kQ k d2 d2 d2 d2 d2 d2 ³- - - ´ 2 i + j + k = + 93 kQ 2 d ´ ³- - - ´ ³ 2 2 2 2 - i + j + k = F 8 = kQ + 42 kQ + 42 kQ + 93 kQ d2 d2 d2 d2 2 - - - - F 8 = 1,90 kQ ( i + j + k ) d2 (b) Si on respecte la donnée, les charges q1 , q2 , q3 et q7 dans la figure de la partie (a) changent de signe. Ce changement ne modifie que le sens des forces électriques associées à ces charges : 2- - F 81 = - kQ j d2 2- - F 82 = - kQ i d2 2- - F 83 = - kQ k d2 ³- - ´ 2 - - i + j + k F 87 = - 93 kQ 2 d

Si on garde pour les autres forces le vecteur calculé à la partie (a), la résultante sur q8 ´ ³- - - ´ 3 kQ2 i + j + k 9 d2

devient ³ 2 2 2 - F 8 = - kQ + 42 kQ + 42 kQ - d2 d2 d2 2 - - - - F 8 = -0,485 kQ ( i + j + k ) d2 P9.

=

(a) On sait que qp = -qe = e et |qp qe | = e2 . La force électrique d'attraction entre l'électron et le proton de l'atome d'hydrogène agit comme force centripète. À partir de l'équation 6.3 du tome 1, on compare le module de ces deux forces et on trouve le module v de la vitesse tangentielle de l'électron : q 2 2 ke2 FE = ke = mv = v = r mr r2

(b) Au chapitre 12 du tome 1, on définit le moment cinétique d'une particule comme le résultat du produit vectoriel entre le vecteur position de la particule - et son vecteur r quantité de mouvement - = m- : p v - - - L =× r p On suppose que l'électron est en orbite circulaire autour de l'origine d'un système d'axes. Alors, les vecteurs - et - sont toujours perpendiculaires, de sorte que le module du r v

v4

Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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moment cinétique est ° ° °° °° L = °- × - ° = °- ° °- ° sin = rmv sin (90 ) = rmv r p r p Selon la condition de Bohr, ce module est quantifié et L = rmv =

nh 2

= r =

nh 2mv

Si on récupère le résultat de la partie (a), alors r=

nh ³ 2 ´1/2 2m ke mr

(i)

On doit maintenant isoler r, qu'on remplace par rn , puisque cette quantité dépend du niveau d'énergie n. À partir de (i), rn =

nhm1/2 rn 2mk1/2 e

1/2

= rn

1/2

=

nhm1/2 2mk1/2 e

= rn =

n2 h2 42 kme2

= CQFD

(c) Dans les pages liminaires du manuel, on trouve m = 9,11 × 10-31 kg et la constante de Planck, h = 6,626 × 10-34 J·s. À partir de ces valeurs et de la valeur de e, on trouve r1 = 5,30 × 10-11 m, r2 = 2,12 × 10-10 m, r3 = 4,77 × 10-10 m P10. (a) On donne r = 0,03 m. Si q1 et q2 sont les deux charges inconnues, alors q1 + q2 = 8,00 × 10-6 µC (i)

Si la force entre les deux charges est répulsive, alors les deux charges sont de même signe et |q1 q2 | = q1 q2 . Le module de cette force est FE =

k|q1 q2 | r2

=

kq1 q2 r2

= 150 N = q1 q2 =

150k r2

= 15,0 × 10-12 C2

(ii)

On isole q1 dans l'équation (i) et on remplace dans l'équation (ii) : ¢ ¡ 2 8,00 × 10-6 - q2 q2 = 15,0 × 10-12 = q2 - 8,00 × 10-6 q2 + 15,0 × 10-12 = 0 On trouve les racines de cette équation quadratique et ensuite les valeurs de q1 : q1 = 5,00 µC, q2 = 3,00 µC ou q1 = 3,00 µC, q2 = 5,00 µC (b) Si la force est attractive, les deux charges sont de signes opposés et |q1 q2 | = -q1 q2 . On modifie en conséquence l'équation (ii) de la partie (a) : q1 q2 = -15,0 × 10-12 C2 (iii)

On trouve à nouveau les racines de cette équation quadratique et ensuite les valeurs de q1 , q1 = 9,57 µC, q2 = -1,57 µC ou q1 = -1,57 µC, q2 = 9,57 µC P11. Pour tous les ions, on a qNa = e et qCl = -e et |qNa qCl | = |qCl qCl | = e2 . Lorsqu'elle vient - d'un couple formé de l'ion chlore placé en d i et d'un autre ion chlore, la force électrique Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

v4

En combinant les équations (i) et (iii), on trouve ¢ ¡ 2 8,00 × 10-6 - q2 q2 = -15,0 × 10-12 = q2 - 8,00 × 10-6 q2 - 15,0 × 10-12 = 0

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est répulsive et la composante de cette force sur l'axe des x est dans la direction positive. - Si elle vient d'un couple formé de l'ion chlore placé en d i et d'un ion sodium, la force électrique sera attractive et sa composante selon x sera négative. Pour chacune des situations décrites, la position symétrique des ions permet d'affirmer que la force électrique résultante sur l'ion chlore choisi ne possède qu'une composante selon x. On commence par fixer, dans Maple, la valeur des constantes du problème : > restart: > a:=2.82e-10; > d:=2*a; > e:=1.6e-19; > k:=9e9; (a) On calcule la composante selon x de la force électrique et ensuite son module : > Fax:=-k*e^2/d^2; > Fa:=abs(Fax); L'indice a fait référence à la portion (a) du problème et servira dans les autres portions à calculer la résultante. Pour cette portion, FE = 7,24 × 10-10 N (b) Des 8 ions supplémentaires, les 4 ions sodium sont à une distance q¡ ¢ 2 2a + x2 = 2a2 + d2 de l'ion chlore choisi. La composante selon x des forces r1 = force multiplié par

d . 2a2 +r2

électriques d'attraction associées à ces ions est la même et correspond au module de la Ce rapport est le cosinus de l'angle que forment ces vecteurs

avec l'axe des x. Cet angle est celui représenté à la figure 1.28. Les 4 ions chlore sont à une distance r2 = a2 + d2 de l'ion chlore choisi et le vecteur de la force électrique de répulsion pour chaque couple forme un angle dont le cosinus vaut

d a2 +r2

par rapport à l'axe des x.

On calcule les composantes selon x de force, la résultante et ensuite le module de cette résultante : > Fb1x:=-(k*e^2/((sqrt(2)*a)^2+d^2))*(d/sqrt(((sqrt(2)*a)^2+d^2))); > Fb2x:=(k*e^2/(a^2+d^2))*(d/sqrt(a^2+d^2)) ; > Fbx:=Fax+4*Fb1x+4*Fb2x; > Fb:=abs(Fbx); Pour cette portion,

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Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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FE = 2,28 × 10-10 N (c) Dans les 16 ions supplémentaires, 4 ions sodium sont à une distance q r1 = (2a)2 + x2 = 4a2 + d2 de l'ion chlore choisi et le vecteur de la force électrique d'attraction pour chaque couple forme un angle dont le cosinus vaut à l'axe des x. 8 ions chlore sont à une distance r2 =

d 4a2 +d2

par rapport

et le vecteur de la force électrique de répulsion pour chaque couple forme un angle dont le cosinus vaut

d 5a2 +d2

q¡ ¢ 2 5a + x2 = 5a2 + d2 de l'ion chlore choisi

chlore choisi et le vecteur de la force électrique d'attraction pour chaque couple forme un angle dont le cosinus vaut

d 8a2 +d2

q¡ ¢ 2 2 2a + x2 = 8a2 + d2 de l'ion Finalement, 4 ions sodium sont à une distance r3 = par rapport à l'axe des x.

par rapport à l'axe des x.

On calcule les composantes selon x de force, la résultante et ensuite le module de cette résultante : > Fc1x:=-(k*e^2/(4*a^2+d^2))*(d/sqrt((4*a^2+d^2))); > Fc2x:=(k*e^2/(5*a^2+d^2))*(d/sqrt((5*a^2+d^2))); > Fc3x:=-(k*e^2/(8*a^2+d^2))*(d/sqrt((8*a^2+d^2))); > Fcx:=Fbx+4*Fc1x+8*Fc2x+4*Fc3x; > Fc:=abs(Fcx); Pour cette portion, FE = 9,33 × 10-11 N (d) Comme on le voit sur cette figure, on trouve 24 ions sur la rangée suivante :

Dans les 24 ions supplémentaires, 22 Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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le vecteur de la force électrique de répulsion pour chaque couple forme un angle dont le cosinus vaut

d 9a2 +d2

q 4 ions chlore sont à une distance r1 = (3a)2 + x2 = 9a2 + d2 de l'ion chlore choisi et par rapport à l'axe des x. q¡ ¢2 8 ions sodium sont à une distance r2 = 10a + x2 = 10a2 + d2 de l'ion chlore dont le cosinus vaut

d 10a2 +d2

choisi et le vecteur de la force électrique d'attraction pour chaque couple forme un angle par rapport à l'axe des x. q¡ ¢2 13a + x2 = 13a2 + d2 de l'ion chlore choisi 8 ions chlore sont à une distance r3 =

d 13a2 +d2

et le vecteur de la force électrique de répulsion pour chaque couple forme un angle dont le cosinus vaut par rapport à l'axe des x.

l'ion chlore choisi et le vecteur de la force électrique d'attraction pour chaque couple forme un angle dont le cosinus vaut

d 18a2 +d2

q¡ ¢ 2 Finalement, 4 ions sodium sont à une distance r4 = 3 2a + x2 = 18a2 + d2 de par rapport à l'axe des x.

On calcule les composantes selon x de force, la résultante et ensuite le module de cette résultante : > Fd1x:=(k*e^2/(9*a^2+d^2))*(d/sqrt((9*a^2+d^2))); > Fd2x:=-(k*e^2/(10*a^2+d^2))*(d/sqrt((10*a^2+d^2))); > Fd3x:=(k*e^2/(13*a^2+d^2))*(d/sqrt((13*a^2+d^2))) ; > Fd4x:=-(k*e^2/(18*a^2+d^2))*(d/sqrt((18*a^2+d^2))); > Fdx:=Fcx+4*Fd1x+8*Fd2x+8*Fd3x+4*Fd4x; > Fd:=abs(Fdx); Pour cette portion, FE = 4,70 × 10-11 N (e) Plusieurs méthodes se valent pour trouver une réponse à cette question. Celle de ce solutionnaire fait appel à la capacité de Maple de faire une régression linéaire et à l'utilisation d'une syntaxe qui exige une certaine connaissance du logiciel. On regroupe d'abord les résultats et on les porte en graphique. Dans ce graphique, l'abscisse représente le nombre d'ions le long de l'arête pour chaque cas. L'ordonnée correspond au module de la force électrique ressentie par l'ion chlore placé devant ce mur grandissant d'ions. > res:='[[1,Fa],[3,Fb],[5,Fc],[7,Fd]]'; > points:=plot(res,x=0..8,style=point,symbol=diamond,color=blue,labels=["Nombre d'ions sur l'arête","F"]):

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Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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> plots[display](points); On prend le logarithme du module de la force et on crée un nouvel ensemble de données : > resln:=[seq([res[i,1],map(ln,res[i,2])],i=1..4)]; Ce nouvel ensemble de données croît de façon linéaire, ce qui montre que la première courbe se comporte probablement comme une exponentielle. On produit un nouveau graphe : > plot(resln,x=0..8,y=-20..-24,style=point,symbol=diamond,color=blue,labels= ["Nombre d'ions sur l'arête","ln(F)"]); Par la méthode des moindres carrés, on trouve l'équation de cette droite : > with(stats): > eq_fit:= fit[leastsquare[[x,y], y=A+B*x, {A,B}]]([[1,3,5,7],[resln[1,2],resln[2,2], resln[3,2],resln[4,2]]]); Et on calcule son coefficient de détermination : > (describe[linearcorrelation]([1,3,5,7],[resln[1,2],resln[2,2],resln[3,2],resln[4,2]]))^2; L'équation de la courbe représentant le comportement du module de la force en fonction du nombre d'ions sur l'arête est > F:=expand(exp(rhs(eq_fit))); On combine les résultats et l'analyse statistique : > courbe:=plot(F,x=0..8,color=red): > plots[display]({courbe,points}); Et, pour ce qui est de la réponse à la question : > eq:=(7.24e-10)/100=F; > solve(eq,x); Ce résultat indique qu'il faut environ 11 ions le long de l'arête pour que le module de la force électrique soit inférieur par un facteur 100 à la valeur trouvée en (a). Un tel carré comporte donc 121 ions (f) Comme on peut s'en convaincre en reprenant les calculs du fichier Maple avec une valeur supérieure pour d, la force électrique d'attraction diminue : l'ion chlore est moins attiré lorsqu'il est loin. À l'étape (e), on observe qu'en augmentant le nombre d'ions, on diminue aussi l'attraction électrique. En conclusion, s'il y a un grand nombre de rangées et que l'ion est loin, il ne sera pas attiré. Si l'ion est proche, il sera malgré tout attiré et se fixera probablement à la surface. 24 Électricité et magnétisme, Chapitre 1 : L'électrostatique

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