Read timdientich.pdf text version

ng Dng Tích Phân Tìm Din Tích Gii Hn Bi ng Cong, Trc Và Các ng Thng

Phn ng dng ca tích phân tìm din tích hình phng trên ta hai chiu ã c bác hc Isaac Newton (1642-1727) khai sáng da trên nn trit hc hình hc do bác hc René Descartes (1596-1650) khi xng h ta , cng là cha ngành tân toán hc c dùng cho n ngày nay (1*). Trong phn này ta tìm hiu khái nim nh ngha tích phân và mt s ví d v ly tích phân. Sau ó s dùng GraphFunc kim chng kt qu ca các ví d ã c kho sát. Cho hàm s f(x) liên tc trên on [a, b] thì din tích (S) ca hình phng c gii hn bi hàm s f(x), trc hoành (y=0) và các ng thng ng x = a, x = b (xem hình 0) c tính bng công thc:

(chú ý nu f(x) dng trên mt on nào ó thì biu thc trên là cng trên on ó; nu f(x) âm trong mt on nào ó thì din tích s là âm trên on ó).

Hình 0 Ta cn hiu mt chút khái nim v tích phân (2*) trong Gii Tích. Phng pháp tìm din hình tích phng c gii hn bi hàm s f(x) và các ng khác (nh trc x hay y, các ng thng ng x hay ngang y hoc các ng cong khác) là chia din tích hình phng ó thành nhng hình ch nht dc nh có chiu rng là và chiu dài là y = f(x) (3*) ­ Xem hình 0. Sau ó cng tt c din tích ca các hình ch nht nh ó li vi nhau ta c din tích ca hình phng cn tính. Nhng din tích này vn cha chính xác nu giá tr ca >0. S chính xác s hành hình khi ta cho gii hn tin v 0. Có th nói rng mu cht ca tích phân hay o hàm u da trên khái nim gii hn mà hình thành. iu ó có ý ngha rng mi o hàm hay tích phân có c u do delta x luôn bng không. Nu ta nói delta bng không thì mi s khi chia cho nó b vô ngha (nhc li ký hiu o hàm ca y = dy/dx), do ó, ngi ta hình thành thut ng toán hc gi là limit biu tng ca s gii hn ti gn im 0

tránh trng hp 0/0 (không bng 1 và không tn ti) cho hp vi i s. Mt khi mà tin ti 0, thì ngi ta gán ký hiu thành dx. Vy theo công thc (I) trên, ta hiu rng din tích ca nó c tính chính xác mt cách tuyt i cho bt k hàm s nào tho mãn nh ngha. Khái nim quan trng nht trong gii tích v tích phân khi áp dng phn tính din tích hình phng là hãy chia nó nh theo mt mô hình nào ó làm chun sau ó tích (*4) (hay cng) chúng li vi nhau bng cách da vào mô hình và ký hiu do chính mình t ra. Sau ây ta xét mt s ví d ly tích phân ca mt s hàm s n gin cho ti khó và sau ó dùng GraphFunc kim li kt qu. 1. Tính din tích c gii hn bi hàm s , x = 0, x = 4 và trc hoành x.

Ta dùng GraphFunc kim nghim: u tiên ta v hàm s trc, sau ó in các giá tr 0 và 4 vào ch nhãn hiu From và To và bm nút Find Area tính din tích. Xem Hình 1.

Hình 1: Din tích S c tô m di ng cong có giá tr gn úng là 3,555555555555123. Ta so sánh din tích c tính chính xác bi công thc (có giá tr là 32/9) vi din tích gn úng do GraphFunc tính thì có s sai bit rt nh. 2. Tính din tích c gii hn bi hàm s , x = 0, x = 5 và trc hoành (y=0).

Hình 2: Din tích S c tô m di ng cong có giá tr gn úng là 12,223075761498318 Ta so sánh kt qu chính xác do ly tích phân trc tip và kt qu do GraphFunc tính có s khác bit nh. S khác bit này là do giá tr mà GraphFunc thc hin bng 0.01. Nu giá tr delta này càng nh thì kt qu s chính xác càng ln n nhiu s thp phân (5*). 3. Sau ây ta xét din tích ca mt hàm s mà tích phân ca nó dng không chun c gíi hn bi , nh sau: và trc hoành (y=0). Vi iu kin ã cho, din tích c thành lp

Vi biu thc trên, ta không th nào dùng cách ly tích phân theo thông thng gii. Tích phân này thoát thai t phng trình Gamma. thc hin cách gii, ta nên bình phng hai v trên sau ó chuyn chúng v dng theo bin s ta cc. chuyn theo dng cc, ta xét tính cht i xng ca nó và ta vit mt v ca thành thc trên có th vit li (6*): (ây là im mu cht gii bài tích phân loi này), do ó, biu

.

(A)

T ây ta thy xut hin là biu tng ca ng tròn. Nh vy ta hãy chia mt phng mà hàm s trên bao ph trên th theo các vòng tròn ng tâm ti gc 0 có bán kính r và khong cách gia vòng tròn k nhau là dr. Nh vy din tích ca mi vòng tròn là và ta ch xét mt phn t ca mt phng (7*). Biu thc trên có th vit li theo to trc nh sau:

. Ta t , và thu c kt qu nh sau:

hay

.

Vy, din tích (*8) tìm c là: Bây gi ta dùng GraphFunc v hình và kim chng din tích va tìm c trên. Mc dù iu kin bài toán cho giá tr , ta ch xét trong phm vi x = 0 ti x = 5 nh ch trong hình 3. Bn có th sa giá tr ca From và To t 0 ti 15 và s thy s chính xác ca nó thêm vài s thp phân.

Hình 3: Din tích c tính t x = 0 ti x = 5 có giá tr gn úng là 0,8862269254513975. Sau cùng bn có th thy rng GraphFunc có chc nng giúp bn tìm din tích gn úng ca bt k hàm nào mà liên tc trên on mà bn mun tính din tích.

(1*) René Descartes là bác hc tinh thông thn hc, trit hc, hình hc và cng là ngi sáng lp ra ngành tân toán hc hin i. Descartes sáng lp ra h thng ta là nn tng toán hc mà bác hc Newton - va là nhà toán hc, trit hc, và vt lý hc ­ phát huy tip phát minh ra phng pháp gii tích nh ly o hàm, tích phân, trong mt phng hai chiu và th tích trong không gian ba chiu và khám phá ra nhiu các phng trình vt lý quan trng khác. Công vic ca bác hc Newton ã li kho tàng vô tin khoáng hu trong vic ng dng cho các ngành khoa hc hin i khác. (2*) Tích phân: Trong ting Vit, ngi ta hay dùng t ng o hàm và tích phân trong sách v trong phn "nh ngha" nhng vn ít thy ai gii thích ý ngha ích thc ca nhóm t này mc dù t ng và ký hiu ca nó ã quá quen thuc. Tht công tâm mà nói hiu my ch này theo ý ngha ích thc thì không phi d và my ai ã hiu rõ ý ngha ca nó khi còn ang ngi di mái trng trung hc! Phn t ng này hy vng s có ngi ging thêm ý ngha ca nó trong các sách giáo khoa sao cho ngi hc hình dung c ý ngha ích thc ca nó. Hiu ý nim và mc ích ca nó mi là mu cht phát huy và có sc sáng to sau này, còn ký hiu và mô hình do con ngi t t ra theo li suy ngh riêng ca h vi mc ích là hiu "s vt" qua các ký hiu hay phng trình da trên các ký hiu ó. D nhiên

ngôn ng và ký hiu thì rt quan trng. Nu chúng mô t sát s vt thì khi truyn t tri thc v iu cn kho sát s rõ ràng. Và nu ta hiu ích thc v bn tính t nhiên ca iu ang kho sát thì khi truyn t tri thc s mc rõ ràng hn na. (3*) Hoc chia nh hình phng thành các hình ch nht nh nm ngang. Ngoài ra, chiu dài ca hình ch nht nh ng theo trc tung c xác nh bi y = f(x) và giá tr ca x trong trng hp này là nm chính gia ca on nh delta x. Hình ch nht nh nm ngang hay nm dc này úng ra chúng là nhng hình thang cong trong trng hp giá tr delta x c chn tng i ln.. (4*) Tích: hiu ngha tích ly hay tích tiu thành i; ch không hiu tích là nhân. Sau khi ta phân chia mt mt phng thành nhiu hình ch nht nh, ta cn tích chúng li hay cng các hình ch nht ó li. ây chính là khái nim tích phân. Sau ây là mt ví d khác hiu khái nim ca tích phân. Gi s bn mun tính din tích "tng i" ca mt ming t nào ó mà ming t ó không có hình thù theo mt hình hc nào ht. Theo bn thì bn làm th nào tính din tích ming t ó theo n v ca chính bn? Có th bn cng ngh rng ta cn to ra mt ming hình ch nht mu có nhiu dài và chiu rng tng i nh ging nh viên gch ngói chng hn. Và bn gi s nhng viên gch ngói này ging nhau v din tích. Sau ó bn xp các viên gch ó li vi nhau sao cho chúng che kín b mt ca ming t mà ta cn tính. Sau cùng bn cng tt cc viên gch ó li vi nhau, bn s tính c din tích khá tng i v ming t ó da theo n v din tích ca các viên gch mà bn ã t lên trên ming t. Nu bn hình dung tip, bn thy din tích ca ming t ó mun chính xác hn bn cn phi chia viên gch ó nh hn mt chút na (tc là bn chn mt mu gch có din tích nh hn na) cho nó có th ph kín ming t hn. Và nu bn càng chia nh din tích ca viên gch thêm ln na và c th, s kín mà các viên gch bao trùm ming t càng ln; nó cng ng ngha din tích ca ming t da vào s din tích ca các viên gch ã tri bao ph trên nó càng chính xác. Trong toán hc, ngi ta có th chia nó nh ti mc bng 0, nhng phi bit trc ng cong hay hàm biu din ca ming t ó. Vy bn có th phát biu: Tích phân là quá trình phân chia ri tng hp li. Bn cng áp dng khái nim này vào h ta ba chiu. Thay vì xét din tích, ta xét th tích ca viên gch! (5*) Chú ý cách dùng du chm trong các con s thp phân. GraphFunc hay các nc Tây phng dùng du chm biu din s thp phân, còn Vit Nam hay các nc Âu châu thì dùng du phy. (6*) Nu xét tng bc gii thì biu thc (A) không còn úng theo ý ngha ca phép i s, nhng nó vn úng theo phép suy lun. Ngoài ra, bn c có th tham kho thêm v phng pháp Residue gii mt s tích phân c bit. (7*) Bn c coi li hình v ca hàm s và iu kin bài toán thì din tích cn tính nm trong phn th nht trên mt phng ta x-y. Do ó, ta ch xét din tích bao ph mt phn t b mt ca ng tròn.

(8*) Công thc tng quát là T.V. - Ngày 12 tháng 11 nm 2006

, trong ó a là s thc.

Information

6 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

97684