Read BAI TAP GIOI HAN CO LOI GIAI text version

GIA S

C KHÁNH

``Th p sáng ng n l a thành công''

· Chuyên luy n thi ð i H c Kh i A - B · Nh n d y kèm t t c các l p 22A - Ph m Ng c Th ch ­ TP.Quy Nhn Liên h : Th y Khánh ­ 0975.120.189

BÀI T P GI I H N

D NG I: TÌM GI I H N DÃY S Phng pháp g i: Dùng ñ nh ngha , tính ch t và các ñ nh lý v gi i h n c a dãy s

2 VÝ dô 1: T×m: lim 3 8n - 3n n2

Gi¶i:

2 lim 3 8n - 3n = lim 3 8 - 3 = 3 8 = 2 n n2 2 VÝ dô 2: T×m: lim 2n - 3n -1 -n 2 + 2

Gi¶i:

2- 3 - 1 2 - 3n -1 n n2 2 lim 2n = lim = = -2 -1 -n 2 + 2 -1 + 2 2 n VÝ dô 3: T×m: lim n -1 - n 2 +1

lim n -1 - -2n n 2 + 1 = lim = lim 2 +1 n -1 + n

Gi¶i: -2

1- 1 + 1+ 1 n n2

= -1 .

D NG II: CH NG MINH limu n = 0 Phng pháp gi i: S d ng ñ nh lý | u | v n n · Cho hai dãy s u n , vn : limu n = 0 (1) lim ( vn ) = 0 vn u n w n , n lim u n = L · (2) lim vn = lim w n = L ( L )

GIA S ð C KHÁNH 0975.120.189 22A ­ PH M NG C TH CH ­ TP.QUY NHN

( -1) VÝ dô: Chøng minh: lim

n

n

cosn =0 n

Gi¶i: n ( -1) cos n 1 vµ lim 1 = 0 nªn lim ( -1) cos n = 0 Ta cã: n n n n D NG III: CH NG MINH limu n T N T I Phng pháp gi i: S d ng ñ nh lý · Dãy (un) tng và b ch n trên thì có gi i h n ; · Dãy (vn) gi m và b ch n d i thì có gi i h n cã giíi h¹n. VÝ dô: Chøng minh d·y sè ( u n ) cho bëi u n = 1 n ( n + 1) Gi¶i: u n ( n +1) 1 Ta cã n +1 = . = n < 1, n. Do ®ã d·y ( u n ) gi¶m. Ngoµi ra, un n+2 ( n +1)( n + 2 ) 1 n * : u n = 1 > 0, nªu d·y ( u n ) bÞ chÆn d-íi. VËy d·y ( u n ) cã giíi h¹n. n ( n +1) D NG IV: TÍNH T NG C A C P S NHÂN LÙI VÔ H N

u Phng pháp gi i: S d ng công th c S = 1 ,| q |< 1 1- q

VÝ dô: TÝnh tæng S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 + .... 2 22 2n Gi¶i: u §©y lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n, víi q = 1 < 1 vµ u = 1 . VËy: S = 1 = 1 = 2 1 2 1- q 1- 1 2 D NG V: TÌM GI I H N VÔ C C Phng pháp gi i: S d ng quy t c tìm gi i h n vô c c 3 1: VÝ dô 1: T×m: lim -2n + 4n - 3 3n 2 + 1 Gi¶i: C¸ch 1: -2 + 4 - 3 3 + 4n - 3 n 2 n3 Ta cã: lim -2n = lim 3+ 1 3n 2 +1 n n3 L¹i cã lim -2 + 4 - 3 = -2 < 0,lim 3 + 1 = 0 vµ 3 + 1 > 0 n * nªn suy ra: n n n3 n 2 n3 n2 -2 + 4 - 3 3 + 4n - 3 n 2 n3 = - lim -2n = lim 3+ 1 3n 2 + 1 n n3 C¸ch 2:

GIA S

ð C KHÁNH

0975.120.189

22A ­ PH M NG C TH CH ­ TP.QUY NHN

4 - 3 n3 -2 + 4 - 3 -2 + 3 + 4n - 3 2 n3 n n 2 n3 = lim = lim n. Ta cã: lim -2n 3n 2 + 1 3+ 1 n2 3 + 1 2 n2 n 4 - 3 -2 + 4 - 3 -2 + 3 n 2 n3 = - 2 < 0 lim -2n + 4n - 3 = lim n. n 2 n3 = - L¹i cã lim n = +; lim 3 3n 2 + 1 3+ 1 3+ 1 n2 n2 2: 4x 2 -1 VÝ dô 2: TÝnh lim x- Gi¶i:

lim 4x 2 -1 = lim x 2 4 - 1 = lim | x |. 4 - 1 x- x- x 2 x- x2 V× lim | x |= + vµ lim 4 - 1 = 2 > 0 lim 4x 2 -1 = + x- x- x- 2 x

D NG VI: TÌM GI I H N C A HÀM S Phng pháp gi i: S d ng các ñ nh lý và quy t c VÝ dô 1: TÝnh: lim x.sin 1 . x x0 Gi¶i: XÐt d·y ( x n ) mµ x n 0, n vµ lim x n = 0 . Ta cã: f ( x n ) = x n sin 1 | x n | xn V× lim | x n |= 0 limf ( x n ) = 0. Do ®ã lim x.sin 1 = 0 . x x0 VÝ dô 2: TÝnh: Ta cã:

lim x+ x 2 + x + 1 - x = lim x +

lim x 2 + x + 1 - x x+

Gi¶i:

1+ 1 x 2 + x + 1 - x 2 = lim x +1 x = lim =1 x+ 2 x+ 2 x 2 + x +1 + x x + x +1 + x 1+ 1 + 1 +1 x x2

VÝ dô 3: TÝnh: Ta cã:

lim x-

lim x 2 + 3x + 1 + x x-

Gi¶i:

x 2 + 3x + 1 + x = lim x -

3+ 1 3+ 1 x x = lim = lim =-3 x- 2 x- 2 x 2 + 3x + 1 - x x + 3x + 1 -1 - 1 + 3 + 1 -1 x x2 x 3x + 1

(Chó ý: khi x - lµ ta xÐt x < 0, nªn x = - x 2 ) D NG VII: CH NG MINH Phng pháp gi i: S d ng ñ nh lý gi i h n k p

GIA S ð C KHÁNH 0975.120.189 22A ­ PH M NG C TH CH ­ TP.QUY NHN

lim f x = 0 (Ho c b ng L) xx ( ) 0

Gi s J là m t kho ng ch a x0 và f, g, h là ba hàm s xác ñ nh trên t p h p J \ x

x J \ x 0 :g ( x ) f ( x ) h ( x ) lim f ( x ) = L x x lim g ( x ) = lim h ( x ) = L 0 x x x x 0 0

{ }

{ 0 } khi ñó:

VÝ dô: Chøng minh:

2 lim x sin x = 0 x+ 1 + x 4

Gi¶i:

2 2 2 2 Ta lu«n cã: | f ( x ) |= x sin x x - x f ( x ) x 1+ x4 1+ x4 1+ x4 1+ x 4 1 1 2 2 2 x = 0; lim x = lim x2 = 0 lim x = lim x- 1 + x 4 x- 1 x+ 1 + x 4 x+ 1 + 1 +1 . x4 x4 2 2 2 lim x = lim x = 0 lim x sin x = 0 x+ 1 + x 4 x - 1 + x 4 x+ 1 + x 4

D NG VIII: GI I H N M T BÊN Phng pháp gi i: S d ng ñ nh ngha gi i h n m t bên · Gi s hàm s f xác ñ nh trên kho ng (x0;b) . Ta nói hàm s f có gi i h n bên ph i là L khi x d n ñ n x0 (ho c t i ñi m x0 ),n u v i m i dãy (xn ) trong kho ng (x0;b) mà limxn = x0 ,ta ñ u có limf(xn ) = L . ð nh ngha tng t cho lim- f(x) = L . xx Hàm s có gi i h n t i x0 và lim f(x) = L t n t i lim f(x) , lim- f(x) = L xx xx xx+

0 0

và lim f(x) = lim- = L . xx xx+ 0 0 VÝ dô 1: Cho hµm sè

3 víi x f (x) = 2x 2 - 3

0

0

x < -1

víi x -1

. T×m lim f ( x ) x-1

Ta cã:

lim f ( x ) = lim + + x -1 x -1

Gi¶i: 2 2 2x - 3 = 2.( -1) - 3 = -1 (1)

lim - f ( x ) = lim - x3 = -1 (2) x -1 x -1

Tõ (1) vµ (2) suy ra lim f ( x ) = -1 x-1 1 khi x > 1 x +1 VÝ dô 2: Cho hµm sè f ( x ) = -1 khi x < 1 x +1 a) T×m lim f ( x ) x2

GIA S ð C KHÁNH 0975.120.189 22A ­ PH M NG C TH CH ­ TP.QUY NHN

b)

Gi¶i: 1 =1 a) lim f ( x ) = lim x2 x2 x + 1 3 b) lim f ( x ) x1 Ta cã: lim f ( x ) = lim 1 = 1 ; lim f ( x ) = lim -1 = - 1 lim f ( x ) lim f ( x ) suy ra 2 x1+ x1- 1 + x x1- x1+ x1+ 1+ x 2 x1- kh«ng tån t¹i lim f ( x ) x1 (Chó ý: lim f ( x ) tån t¹i khi vµ chØ khi lim f ( x ) = lim - f ( x ) = L th× lim f ( x ) = L ) xx x x x x x x + 0 0 0 0 D NG IX: KH Phng pháp gi i: D NG VÔ NH

T×m lim f ( x ) x1

P(x) , víi lim P ( x ) = lim Q ( x ) = 0 : 1) Khi t×m giíi h¹n d¹ng lim x x Q ( x ) x x x x 0 0 0 · Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x - x

0 · NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho l-îng liªn hiÖp. 2 VÝ dô 1: T×m: lim x - 9x + 14 x-2 x2 Gi¶i: 2 ( x - 2 ) ( x - 7 ) = lim x - 7 = -5 lim x - 9x + 14 = lim ( ) x-2 x -2 x2 x2 x2 VÝ dô 2: T×m: lim 4 + x - 2 4x x0 Gi¶i: 4+ x -2 4+ x + 2 4+ x -4 1 lim 4 + x - 2 = lim = lim = lim = 1 4x x0 x0 x0 4x 4 + x + 2 x0 4 4 + x + 2 16 4x 4 + x + 2

(

(

)(

)

)

(

)

(

)

3 VÝ dô 3: T×m: lim x + 7 - 2 x1 x -1

Gi¶i:

2 3 x + 7 - 2 3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4 3 x+7 -2 lim = lim x1 x -1 x1 2 x -1 3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4

(

)

= lim x1

x + 7 - 23 2 ( x -1) 3 ( x + 7 ) + 2.3 x + 7 + 4

= lim x1 3

1

( x + 7)

2

+ 2.3 x + 7 + 4

= 1 12

VÝ dô 4: T×m: lim 2x + 5 - 3 x2 x + 2 - 2

lim 2x + 5 - 3 = lim x2 x + 2 - 2 x2

( (

2x + 5 - 3

)( x + 2 - 2 )(

) = lim ( 2x + 5 - 9 ) ( x + 2 + 2) = lim 2 ( x + 2 x + 2 + 2 )( 2x + 5 + 3) x2 ( x + 2 - 4 ) ( 2x + 5 + 3) x2 2x + 5

22A ­ PH M NG C TH CH ­ TP.QUY NHN

Gi¶i: 2x + 5 + 3 x + 2 + 2

)(

GIA S

ð C KHÁNH

0975.120.189

3 VÝ dô 5: T×m: lim x - 3x - 2 x -1 x1

3 lim x - 3x - 2 = lim x -1 x1 x1 = lim x 2 + x +1 - x1

x3 -1 -

x -1

(

3x - 2 -1

) = lim x3 -1 -

x1 x -1

Gi¶i:

3x - 2 -1 = x -1

2 3x - 2 -1 3 3 3 = 3- = = lim x + x + 1 - 2 2 3x - 2 +1 ( x -1) 3x - 2 +1 x1

(

)

4 x + 2 -1 VÝ dô 6: T×m: lim x-1 3 x + 2 -1

Gi¶i: §Æt t = 12 x + 2 x + 2 = t12 x = t12 - 2, khi ®ã x -1 th× t 1 . Do ®ã: t -1) t 2 + t +1 4 x + 2 -1 t3 -1 = lim ( t 2 + t +1 = 3 = lim lim = lim x-1 3 x + 2 -1 t1 t 4 -1 t1 ( t -1)( t +1) t 2 + 1 t 1 ( t + 1) t 2 +1 4

3 VÝ dô 7: T×m: lim x + 7 - x + 3 x -1 x1 3 lim x + 7 - x + 3 = lim x -1 x1 x1

= lim x1 3 x + 7 - 2 -

x -1

(

Gi¶i:

x +3 -2

) = lim 3 x + 7 - 2 -

x1

x -1

x +3 - 2 x -1

x + 7 - 23 x + 3- 4 - 2 x -1) x + 3 + 2 ( x -1) 3 x + 7 + 2.3 x + 7 + 4 (

(

)

= lim x1 3 2 ( x + 7)

1 + 23 x + 7 + 4

-

1 1 -1 = -1 = 6 12 4 x +3 +2

P(x) lim , ta l-u ý: x± Q ( x ) · §Æt x m (m lµ bËc cao nhÊt) lµm nh©n tö chung ë tö P(x) vµ mÉu Q(x) · Sö dông kÕt qu¶: lim 1 = 0 ( víi > 0 ) x x 2 VÝ dô 1: T×m: lim 3x - 4x +1 x+ -2x 2 + x +1 Gi¶i: 3- 4 + 1 2 - 4x + 1 x x2 lim 3x = lim =-3 x+ -2x 2 + x + 1 x+ 2 -2 + 1 + 1 x x2

2) Khi t×m giíi h¹n d¹ng

ð C KHÁNH

GIA S

0975.120.189

22A ­ PH M NG C TH CH ­ TP.QUY NHN

VÝ dô 2: T×m:

x 2 + x + 1 - 3x lim x- 2 - 3x

Gi¶i:

- 1+ 1 + 1 - 3 2 + x + 1 - 3x x x2 x lim = lim = -1 - 3 = 4 x- x- 2 - 3x 2 -3 -3 3 x 3 3 2 8x + 3x +1 - x VÝ dô 3: T×m: lim x - 4x 2 - x + 2 + 3x Gi¶i: 3 8 + 3 + 1 -1 3 3 3 2 +1 - x x x3 8x + 3x lim = lim = 8 -1 = 1 x- x- 4x 2 - x + 2 + 3x - 4- 1 + 2 +3 - 4 +3 x x2 3) D ng - và d ng 0. · Nhân và chia v i bi u th c liên h p · N u có bi u th c ch a bi n x d i d u cn ho c quy ñ ng m u ñ ña v cùng m t phân th c.

VÝ dô :

lim ( x2 + 2 x + 3 - x) x+

Gi¶i:

2 2 lim ( x2 + 2 x + 3 - x) = lim ( x + 2 x + 3 - x)( x + 2 x + 3 + x) x+ x+ ( x2 + 2 x + 3 + x) 2+ 3 2x + 3 x = lim = lim =1 x+ x+ 2 + 2 x + 3 + x) 2 + 3 + 1) ( x ( 1+ x x2

GIA S

ð C KHÁNH

0975.120.189

22A ­ PH M NG C TH CH ­ TP.QUY NHN

Information

BAI TAP GIOI HAN CO LOI GIAI

7 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

239596