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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Departamento de Engenharia de Estruturas

TABELAS DE VIGAS:

Deslocamentos e Momentos de Engastamento Perfeito

Revisão e adaptação: Libânio Miranda Pinheiro Bruna Catoia Thiago Catoia

Colaboração: Marcos Vinicius Natal Moreira

São Carlos, fevereiro de 2010

CASO 1

VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO

TABELA 3.1a DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA EQUAÇÃO DA ELÁSTICA

p x

p

wmax

x

0

1 p 4 8 EI

p 4 4 4 3 24EI

2

p

3

1 p 4 30 EI 11 p 4 120 EI 1 P 3 3 EI 1 M 2 2 EI 5 p 4 384 EI

3 p 4 460 EI

p

(*)

0

p 4 5 5 4 120EI

0

p 4 5 5 4 15 11 120EI P 3 3 3 2 6EI M 2 1 2 2EI

p 4 3 2 2 1 24EI

P

4

0

(**)

5

M

0

6

p

x

7

p

0,5

8

0,519 0,5 0,5

p 4 3 4 10 2 7 360EI

P

9

1 p 4 120 EI 1 P 3 48 EI

p 4 16 4 40 2 25 960EI P 3 4 2 3 48EI

2

(**)

2

P

10

(a b)

b

a x

M

Pb 2 b 2 3EI 3

1 M 2 9 3 EI (a 0,423)

3

2 b2 3

Pbx 2 b2 x 2 6EI Pa 2 b 2 x a: 3EI Pa ( x ) x a: 2x a 2 x 2 6EI xa:

11

M a b

0,423

2 b2 3

12

M 3EI

b2 3

2

3

M 2 2 3 2 6EI Mx 2 xa: 3b 2 x 2 6EI M ( x ) 2 x a: x 3a 2 2x 6EI

Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971) e de SCHIEL (1976). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. x/ (*) Valor aproximado (**) 0,5

CASO

VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO

TABELA 3.1b DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA EQUAÇÃO DA ELÁSTICA

wmax

x

M

13

M x

p

M 2 8EI

3 p 4 554 EI 3 p 4 1258 EI 1 p 4 328 EI

(*)

0,5 0,422

(*)

M 2 1 2EI p 4 2 4 3 3 48EI p 4 5 2 3 120EI

14

x

p

15

p

16

0,447

(*)

M

17

p

0,402 1 3

p 4 2 5 10 4 11 3 3 240EI M 2 3 2 2 4EI

M 2 27 EI 1 p 4 384 EI

p

18

x

19

0,5

(*)

p 4 4 2 3 2 24EI

1 p 4 764 EI

0,525

0,5

p 4 5 3 3 2 2 120EI

(**)

p

20

P

21

2

7 p 4 3840 EI 1 P 3 192 EI

pa 6a 2 3a 3 3 24EI p 2 5 2 24a 2 384EI

p 4 16 5 40 3 25 2 960EI P 3 4 3 3 2 48EI

2

p

0,5

(**)

a

22

a

x

a

0,5

x 0: px x 3 4ax 2 6a 2 x 3 6a 2 24EI 0 x :

P

23

P a x

Pa 2 2a 3 6EI

a

px x 3 2x 2 6a 2 x 6a 2 3 24EI Px 2 x 0: x 3ax 3a 6EI

a

Pa 2 8EI

0,5

0 x :

Pa x x 2EI

Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971) e de SCHIEL (1976). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. x/ (*) Valor aproximado (**) 0,5

CASO 24 25

TABELA 3.1c DESLOCAMENTOS ELÁSTICOS EM VIGAS FLECHA VINCULAÇÃO E CARREGAMENTO wmax p p 3 4 4b 3 b 4 a b 24EI x

x

0 0

(*)

p a

c/2 c/2

b

pa 20 3 10a 2 a 3 120EI

p

26

a

P

b P

pc ab c 2 c 3 2 2a 2a 6EI 4 64 Pa 3 2 4a 2 24EI 23 P 3 648 EI 19 P 3 384 EI 63 P 3 1000 EI 5 P 3 240 EI

a

27

a x P

b

P 3

a

0,5

28

3

P

3

0,5 0,5

0,5 0,447

P

P

29

4 P

4 4 4 P P P

5 P 5 5

30

5 5

b x

31

P

2

2 P a

32

a

1 Pa 2 b 24 EI pa 3a 3 4a 2 3 24EI

0,5

p

33

a x

p

a a a

34

P

a x

p

p 20a 4 15a 2 2 7a 3 12 360EIa

Pa 2 a 3EI

35

a x

36

P

a

a

pa 6a 3 6a 2 3 48EI

a a

a

37

M

Pa 2 4a 3 6EI

Ma 2a 4EI

38

a x

Extraída de ISNARD; GREKOW; MROZOWICZ (1971). Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia. (*) Não corresponde necessariamente ao deslocamento máximo

TABELA 3.2a MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO

p

A

MBA

B

MCD

C

D

MDC

E

MEF

F

1 2 3 4 5 6 7

p a

a

c

p c b

p

/2

p a

/2

c

pc 3 2 c 2 16 pc 2 2 2 2 c 2 8 7 p 2 128

p 2 8

pc 3 2 c 2 24

p 2 12

pc 2 6b 2 4bc c 2 12 2

11 2 p 192

pc 2 12 2

pc 3 2 c 2 24 pc 2 4bc c 2 2 12 5 p 2 192

p 2 12

p 2 8

pc 3 2 c 2 16

pc 2 8

2

b 2

9 p 2 128

pc 2 2 2 c 2 2 8

p

/2

p a

p p

P

/2

a

pc 2 a 2 2 8 9 p 2 128

4ac c

2

pc 2 12 2

6a

2

4ac c 2

5 p 2 192 pa 2 3 2a 6 pa 2 a 2 2 2

Pab 2 2

11 2 p 192

7 p 2 128

pa 2 3 2a 4 pa 2 3 2a 4

pa 2 3 2a 4 pa 2 3 2a 4

Pab a 2 2

8

a

a

pa 2 3 2a 6 pa 2 2 a 2 2

Pa 2 b 2

9

a b

Pab b 2 2

P

10

/2

P a

/2

P a

3P 16

P 8 Pa a 2 P 9 5P 16

P 8

3P 16 3Pa a 2 P 3 15P 32

11

3Pa a 2

Pa a

P

P

12

/3

P

/3 /3

P P

P 3

2 P 9 5P 16

13

/4 /4 /4 /4

P P P P a a a a (*) a

15P 32

14

P 2 n 1 8n

P 2 n 1 12n

P 2 n 1 12n

P 2 n 1 8n

M 2

2

M

15

P

a

P P a

b

P (*)

M 2 3a 2 2 2

Mb 3b 2 2

Ma 2 3a 2

3b

2

2

16

a/2 a

a a/2

P 2n 2 1 16n

P 2n 2 1 24n

P 2n 2 1 24n

P 2n 2 1 16n

Extraída de SOUZA; ANTUNES (1983), JIMENES MONTOYA; GARCIA MESEGUER; MORAN CABRE (1973) e de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. (*) n / a Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.

TABELA 3.2b MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO

A

MBA

B

C

MCD

D MDC

E

MEF

F

17

p

p

18

p 2 15 7p 2 120

p

p 2 30 p 2 20 p 2 30 3 p 2 160 7 p 2 960 23 2 p 960 5 2 p 96 p 2 32 p 2 20 p 2 60 p 2 15 7 p 2 120

6a EI 2 2 EI 4 EI EI t t h

p 2 20 p 2 30

7p 2 120 p 2 15 41 2 p 960 17 p 2 480 37 p 2 1920 53 p 2 1920 5 2 p 64 3 2 p 64 p 2 12 p 2 30 p 2 10 7 2 p 80

3a EI 2

p

19

/2

p

/2

17 p 2 480 41 2 p 960

3 p 2 160

20

/2

/2

p

/2

/2

/2

p

p 2 30

21

53 p 2 1920 37 p 2 1920 5 2 p 64 3 2 p 64

23 2 p 960 7 p 2 960 5 2 p 96 p 2 32

22

/2

23

/2

p

/2

p

24

/2

parábola

parábola

parábola

/2

p

p

p

25

11 2 p 120 p 2 24 p 2 10

26

27

p 2 15 p 2 30 p 2 15

parábola

28

p

p

/2

29 30 31 32

/2

a

7 2 p 80

7 p 2 120

t+t t h

3a EI 2 3 EI

--

3EI t t 2h

6a EI 2 4 EI 2 EI EI t t h

--3 EI 3EI t t 2h

Extraída de SOUZA; ANTUNES (1983), JIMENES MONTOYA; GARCIA MESEGUER; MORAN CABRE (1973)

e de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.

TABELA 3.2c MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO

A

33

p a c b

p

34

a

c

b

p M BA 2 a 4 (a c) 4 2c 2 (2a c) 8 p 4 ( b c ) 3 b 3 3 ( b c ) 4 b 4 M CD 2 12 p 4 ( a c ) 3 a 3 3 ( a c ) 4 a 4 M DC 2 12 p 4 M EF 2 b (b c) 4 2c 2 (2b c) 8 45a 28c pc (3a 2c) 9( 2 a 2 ) 12ac c 2 4 M BA 2 30a 20c 108 pc 10(3b c) 2 (3a 2c) 15c 2 (3b ) 17c 3 M CD 2 540 pc 10(3b c)(3a 2c) 2 15c 2 (3a ) 28c 3 M DC 2 540 pc 45b 17c M EF (3b c) 9( 2 b 2 ) 6bc c 2 1 9 2 270b 90c 108

B

C

D

E

F

35

p a c b

p

36

c

b

Extraída de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.

pc 45a 17c (3a c) 9( 2 a 2 ) 6ac c 2 1 9 2 270a 90c 108 pc 10(3a c)(3b 2c) 2 15c 2 (3b ) 28c 3 M CD 2 540 pc 10(3a c) 2 (3b 2c) 15c 2 (3a ) 17c 3 M DC 540 2 pc 45b 28c M EF (3b 2c) 9( 2 b 2 ) 12bc c 2 4 2 30b 20c 108 p 2 2 c (5 3c 2 ) M BA 2 30 p 2 c (10 2 15c 6c 2 ) M CD 2 30 p 2 c (5c 4c 2 ) M DC 2 20 p c 2 (40 2 45c 12c 2 ) M EF 2 120

M BA

TABELA 3.2d MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO CARREGAMENTO

A

B

37

p a c

p

38

a

c

39

p c b

p

40

a c a

Extraída de SCHREYER (1965). Convenção de GRINTER. Revista e adaptada por Libânio M. Pinheiro, Bruna Catoia e Thiago Catoia.

p c 2 40 2 45c 12c 2 M BA 2 120 p 2 c 5c 4c 2 M CD 2 20 p 2 c 10 2 15c 6c 2 M DC 2 30 p 2 2 c 5 3c 2 M EF 2 30 p c 2 20 2 15c 3c 2 M BA 2 120 p 2 c 5c 3c 2 M CD 2 60 p 2 c 10a 3c 2 M DC 2 60 p c 2 10 2 3c 2 M EF 2 120 p c 2 10 2 3c 2 M BA 2 120 p 2 c 10b 3c 2 M CD 2 60 p 2 c 5c 3c 2 M DC 2 60 p 20 2 15c 3c 2 M EF 2 120 p 3 M BA 2a 2 a 3 8 p 3 M CD 2a 2 a 3 12 p 3 M DC 2a 2 a 3 12 p 3 M EF 2a 2 a 3 8

C

D

E

F

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ISNARD, V.; GREKOW, A.; MROZOWICZ, P. Formulario del ingeniero: metodos practicos de calculo de obras de ingenieria. Bilbao, Urmo, 1971. JIMENES MONTOYA, P.; GARCIA MESEGUER, A.; MORAN CABRE, F. Hormigon Armado, 2v. 7.ed. Barcelona, Gustavo Gili, 1973. PINHEIRO, L. M. Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1986. SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. v.1. 6.ed. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1976. SCHREYER, H. Estática das construções. v.2. Porto Alegre, Globo, 1965. SOUZA, João Carlos A. O.; ANTUNES, Helena M. C. C. Estática das estruturas: temas complementares. São Carlos, Escola de Engenharia de São Carlos, 1983.

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