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Goniometria 1

Misura di archi e angoli La misura di un angolo e del corrispondente arco in radianti è legata alla misura in gradi dalla seguente proporzione: rad : ° = : 180° In analisi le funzioni goniometriche vengono sempre utilizzate su angoli misurati in radianti perché il radiante può essere facilmente messo in relazione con misure di lunghezza e quindi rappresentato su un asse coordinato. Poiché le funzioni goniometriche hanno periodo uguale o inferiore all'angolo giro, è fondamentale, nella maggior parte dei casi riferirsi a ciò che capita su un "giro completo" della circonferenza goniometrica. La scelta del periodo da considerare può essere fatta arbitrariamente, ma le scelte da preferire sono in genere [0; 2 ] oppure [- ; + ] . La seconda alternativa, che considera negativi tutti gli angoli della semicirconferenza inferiore, può essere più indicata per cogliere eventuali simmetrie rispetto all'origine o rispetto all'asse y. Inoltre le funzioni goniometriche inverse per convenzione considerano sempre angoli di un intervallo compreso tra - e . 2 Funzioni goniometriche

B C O H A

Tracciato un angolo sulla circonferenza goniometrica (raggio 1, centro nell'origine, il primo lato dell'angolo coincide con il semiasse positivo delle x), possiamo definire le sue funzioni goniometriche fondamentali: cateto opposto BH sen = = = BH = y B perché BO=1 ipotenusa BO cateto adiacente OH cos = = = OH = x B perché BO=1 ipotenusa BO cateto opposto CA tg = = = CA = y C perché AO=1 cateto adiacente OA La definizione data sulla circonferenza goniometrica ci permette di determinare valore e segno delle tre funzioni per angoli positivi e negativi di qualsiasi ampiezza. Analogamente si possono definire altre tre funzioni goniometriche, reciproche delle fondamentali: ipotenusa 1 D cosec = = E cateto opposto sen ipotenusa 1 sec = = cateto adiacente cos O A cateto adiacente DE cotg = = = DE = x E cateto opposto OD perché DEO = EOA in quanto angoli alterni interni e AO=1 Secante e cosecante non hanno una diretta rappresentazione sulla circonferenza goniometrica.

Completa le seguenti tabelle: segno I quad sen cos tg cosec sec cotg + + + II quad III quad IV quad 0 0 1 0

2

valore

3 2

= ... (dominio)

sen cos tg cosec sec cotg

R

E' definita per

Ha valori...(codominio)

[- 1;+1]

Non esiste per = ... (escludere dal dominio) -

Ha periodo...

2

Se consideriamo l'angolo variabile indipendente x e il valore della funzione cone variabile dipendente y, possiamo parlare di funzione seno ( y = sen x ), funzione coseno ( y = cos x ) e funzione tangente ( y = tg x ). Immaginando di "srotolare" la circonferenza gonionetrica sull'asse x e di riportare in ordinata i relativi valori delle funzioni ottieni i tre grafici: la sinusoide, la cosinusoide e la tangentoide. Riprendi sul libro di testo i grafici di queste tre funzioni. y = sec x y = cosec x y = cotg x sono funzioni reciproche delle principali. Prova a costruirne i grafici a partire dai tre grafici principali. N.B.: le funzioni goniometriche, come tutte le altre funzioni (esponenziali, logaritmiche...) NON sono moltiplicazioni, per cui la scrittura sen( x + y ) non equivale a sen x + sen y , cos 2 x non equivale a 2 cos x ... In generale ciò che fa parte dell'argomento della funzione non può essere portato fuori (e viceversa) senza l'ausilio di formule e regole che derivano direttamente dalla definizione di dette funzioni. 2 Ricordiamo la notazione per le potenze: sen 2 x = (sen x ) , mentre sen x 2 = sen x 2 .

( )

Formule fondamentali Ragioniamo su un triangolo rettangolo ABC, costruito in modo tale che = CAB . Per il teorema di Pitagora si ha BC 2 + AC 2 = AB 2 . Dividendo ambo i membri per il quadrato dell'ipotenusa AB si ha BC 2 AC 2 + = 1. AB 2 AB 2 A

B

C

BC cateto opposto AC cateto adiacente = = sen e = = cos AB ipotenusa AB ipotenusa perciò sen 2 + cos 2 = 1 . cateto opposto BC = Inoltre tg = . Se dividiamo numeratore e denominatore per AB si ottiene cateto adiacente AC BC sen tg = AB = . AC cos AB Ma Le dimostrazioni appena viste sono relative ad un triangolo rettangolo, quindi ad angoli 0 < <

2

,

ma si può dimostrare che valgono per angoli qualsiasi. Abbiamo così ottenuto le due formule fondamentali (da sapere a memoria): sen 2 x + cos 2 x = 1 sen x tgx = cos x Le formule fondamentali permettono di esprimere tutte le funzioni goniometriche di un angolo in funzione di una sola. Nota una sola funzione dell'angolo, è possibile ricavare il valore delle altre. 1 es: sappiamo che sen x = . 3 Per ricavare le altre funzioni, sostituiamo il valore del seno nel sistema, quindi risolviamo secondo le incognite cos x e tg x : 1 2 2 8 2 2 + cos x = 1 cos 2 x = cos x = ± 3 9 3 1 1 tg x = tg x = 1 3 tg x = 3 cos x 3 cos x cos x A questo punto, a meno di un'inidicazione del quadrante in cui si trova l'angolo x, siamo costretti a tener conto dei 2 casi, dovuti al fatto che nello stesso periodo 2 diversi angolo hanno lo stesso valore per il seno: 2 2 2 2 cos x1 = cos x 2 = - 3 3 2 2 3 1 2 2 tg x = 3 = 1 = tg x = - =- =- 1 6 2 2 2 2 2 4 4 6 2 2 2 2 Esercizi a p.385-386 sceglierne 6 Valore delle funzioni goniometriche e archi associati Riportiamo qui di seguito una tabella con i valori delle funzioni goniometriche fondamentali per alcuni angoli del primo quadrante. E' importante conoscere il valore di seno, coseno e tangente per gli angoli di 0,

, , , . Per le altre può essere utile avere la tabella da consultare. 6 4 3 2

Angolo orientato gradi radianti

0° 9° 0

seno

0

Funzioni goniometriche coseno

1

tangente

0

20

3+ 5 - 5- 5 4

6- 2 4 5 -1 4 2- 2 2 1 2 10 - 2 5 4 2 2

5 +1 4 3 2 10 + 2 5 4 6+ 2 4

1

3+ 5 + 5- 5 4

6+ 2 4 10 + 2 5 4 2+ 2 2 3 2 5 +1 4

2 2 10 - 2 5 4 1 2 5 -1 4 6- 2 4

0

4 - 10 + 2 5 5 -1

2- 3 25 - 10 5 5

15°

12

18°

10

22° 30'

8

2 -1

3 3

5-2 5

1

30°

6

36°

5

45°

4 3 10

54°

25 + 10 5 5 3 5+2 5 2+ 3

±

60°

3 3 5 5 12

72°

75° 90°

2

Immaginiamo di conoscere il valore delle funzioni goniometriche per un angolo (per semplicità di ragionamento immaginiamo che sia nel primo quadrante: se si trovasse altrove arriveremmo comunque alle stesse conclusioni). Se ci interessa conoscere le funzioni di un altro angolo ottenuto riportando a partire da uno qualsiasi degli assi cartesiani, possiamo fare un semplice ragionamento basato sull'uguaglianza di triangoli. Per semplicità ragioniamo su angoli del periodo [0; 360°]. Caso 1: riportiamo l'angolo a partire dalla posizione 90° in senso orario.

L K O C' B' B C H A

Otteniamo, a partire dalla posizione 0, un angolo = 90° - I Triangoli OBH e OB'K sono uguali per costruzione, perciò le ascisse e le ordinate di B e di B' hanno valore uguale, ma sono scambiate. Perciò sen (90° - ) = cos e cos(90° - ) = sen Ragionando analogamente sui triangoli OCA e OC'L otteniamo che tg (90° - ) = cotg e cotg(90° - ) = tg

Caso 2: riportiamo l'angolo a partire dalla posizione 180° in senso orario.

= 180° -

B' K O HA C' C B

I Triangoli OBH e OB'K sono uguali per costruzione, perciò le ascisse e le ordinate di B e di B' hanno valore uguale, ma segni diversi. Perciò sen (180° - ) = sen e cos(180° - ) = - cos Ragionando analogamente sui triangoli OCA e OC'A otteniamo che tg (180° - ) = - tg e cotg(180° - ) = - cotg

Prova a completare i restanti casi, verificando eventualmente sul libro di testo: Caso 3: riportiamo l'angolo a partire dalla posizione 90° in senso antiorario: = 90° +

B O H A

C

sen (90° + ) = cos(90° + ) = tg (90° + ) = cotg(90° + ) =

Caso 4: riportiamo l'angolo a partire dalla posizione 180° in senso antiorario : = 180° +

B O H A

C

sen (180° + ) = cos(180° + ) = tg (180° + ) = cotg(180° + ) =

Caso 5: riportiamo l'angolo a partire dalla posizione 270° in senso orario: = ...............

B O

C

H A

sen (...............) = cos(...............) = tg (...............) = cotg(...............) =

Caso 6: riportiamo l'angolo a partire dalla posizione 270° in senso antiorario : = ...............

B O

C

H A

sen (...............) = cos(...............) = tg (...............) = cotg(...............) =

Caso 7: riportiamo l'angolo a partire dalla posizione 360° in senso orario:

= ...............

B O

C

H A

sen (...............) = cos(...............) = tg (...............) = cotg(...............) = (in quest'ultimo caso può convenire riferirsi agli angoli con valori negativi)

Ovviamente tutte queste formule non sono da sapere a memoria. E' importante saperle ricostruire disegnando o immaginando una circonferenza goniometrica. Osserviamo che le funzioni goniometriche rimangono uguali in modulo e si limitano a cambiare i segni quando riportiamo a partire dall'asse orizzontale, mentre abbiamo uno scambio tra seno e coseno e uno scambio tra tangente e cotangente quando riportiamo a partire dall'asse verticale. Notiamo infine che: sen = sen per = + 2k oppure = - + 2k cos = cos per = + 2k oppure = - + 2k tg = tg per = + k Equazioni elementari Si dice equazione goniometrica elementare un'equazione del tipo sen x = k , cos x = k , tgx = k , con k costante reale. Ovviamente le prime due hanno senso se - 1 k 1 , mentre la terza ha valore per k . 1 es: sen x = quali angoli hanno seno che vale ½? 2 Riportiamo il valore ½ sulle ordinate della circonferenza goniometrica e leggiamo sulla circonferenza quali sono gli angoli corrispondenti (traccia la 1/2 parallela all'asse x per il punto ½ e unisci all'origine le sue intersezioni con la circonferenza). Nel primo quadrante l'angolo ottenuto è =

5 = . 6 6 Dobbiamo tener conto però di tutti i periodi precedenti e successivi.

(vedi archi associati) - = -

6

. Il secondo angolo sarà

Le soluzioni complete saranno quindi due famiglie: x1 = es: cos x = -

6

+ 2k

5 x 2 = + 2k 6

3 3 Trattandosi di un coseno dovremo questa volta riportare il valore - sull'asse x e 2 2 proiettarlo verticalmente sulla circonferenza. 3 L'angolo del primo quadrante che ha coseno pari a è . 2 6 L'angolo del secondo quadrante che ha coseno uguale in modulo, ma con 5 segno opposto è (vedi archi associati) = - = . 6 6 5 Per trovare l'altro angolo avente uguale coseno devo cercare - = - 6 5 Le soluzioni saranno x1, 2 = ± + 2k 6 es: tgx = 1 Riportiamo 1 sulla tangente e uniamo il punto all'origine (completa il grafico). Possiamo scrivere una sola famiglia di soluzioni perché la seconda rientra già nel periodo successivo. Le soluzioni saranno quindi x = ............................ + k

Come comportarsi se non si conosce il valore dell'angolo soluzione perché non rientra tra quelli riportati in tabella?

Si utilizzano le funzioni goniometriche inverse, ovvero quelle funzioni che, a partire dal valore di una delle funzioni goniometriche fondamentali, ci danno il valore dell'angolo corrispondente. y = arcsen x (arco seno di x) ci dà il valore dell'angolo che ha come seno x. Equivale quindi a x = sen y . Analoga definizione hanno y = arccos x (arco coseno di x, equivalente a x = cos y ) e y = arctg x (arco tangente di x, equivalente a x = tgy ). Sulla calcolatrice le funzioni goniometriche inverse sono indicate con sen -1 , cos -1 , tg -1 . L'uso della calcolatrice è generalmente sconsigliato perché fornisce solo approssimazioni dei risultati esatti. Abbiamo parlato di equivalenza tra le espressioni con la funzione diretta e quella inversa. In realtà ciò non è esatto. La funzione diretta ha lo stesso valore per infiniti angoli, mentre quella inversa fornisce il valore di un unico angolo associato al valore della funzione. 1 5 13 7 Es: = sen = sen = sen = sen - = ..... e così via per infiniti valori. 2 6 6 6 6 1 Se calcolo arcsen quale di questi valori otterrò? E' stata fatta la scelta (del tutto arbitratia) di 2 utilizzare i seguenti codomini per le funzioni inverse. Riportiamo in tabella anche il dominio (questo tutt'altro che arbitrario!) Codominio Dominio arcsen arccos arctg

(- ;+ ] 2 2 [0; )

[- 1;+1] [- 1;+1]

R

- ;+ 2 2

1 4 Traccia la circonferenza goniometrica e individua approssimativamente gli angoli soluzione. Si tratta 1 di angoli nel 2 e 3 quadrante. Possiamo scriverli come x1, 2 = ± arccos - + 2k 4 C'e' chi preferisce riferirsi sempre a valori positivi degli angoli e scrivere (in maniera equivalente) 1 x1, 2 = ± - arccos + 2k 4 2 es: sen 3 x + = 3 2

Es: cos x = -

Sostituisco 3 x +

Y1 =

3

= Y e ottengo sen Y =

2 k 3 4 36 3 4 12 risostituendo 3 5 5 2 3 Y2 = + 2k 3 x + = + 2k 3 x = + 2k x 2 = + k 36 3 4 3 4 12 Svolgi 5 equazioni goniometriche elementari scegliendone di tipi diversi a p.407-408-409 Costruisci il grafico delle funzioni goniometriche inverse a aprtire dai tre grafici principali + 2k 3x + = + 2k 3x = - + 2k x1 = - +

2 da cui 2

Vediamo ancora un tipo di equazioni assimilabili alle elementari. Abbiamo l'uguaglianza tra due funzioni goniometriche (dello stesso tipo o diverse) su angoli differenti Es: sen (3x + ) = sen 2 x . Dobbiamo chiederci (archi associati) in quali casi due angoli hanno lo stesso valore per il seno. Chiamiamo questi due angoli , . sen = sen se = + 2k oppure se = - + 2k .

A questo punto andiamo a sostituire al posto di , le espressioni della nostra equazione di partenza e troviamo le soluzioni. Primo caso: 3x + = 2 x + 2k x1 = - + 2k 2 Secondo caso: 3 x + = - 2 x + 2k 5 x = 2k x 2 = k 5 Svolgi 5 equazioni goniometriche di questo tipo p.409-410 Equazioni goniometriche riconducibili alle elementari Prima tipologia: l'equazione contiene una sola funzione goniometrica (l'argomento è sempre uguale) e può essere ricondotta al caso delle equazioni elementari utilizzando le regole dell'algebra operando come se la funzione goniometrica fosse una qualsiasi incognita. Imponiamo t = sen x Es: 6 sen 2 x - 13 sen x + 5 = 0 2 6t - 13t + 5 = 0 possiamo risolvere come una normale equazione algebrica di secondo grado: 5 t1 = 13 ± 169 - 120 13 ± 49 13 ± 7 3 t= = = = 1 12 12 12 t2 = 2 I valori trovati sono valori di sen x ed equivalgono a due equazioni elementari: 5 1 sen x = sen x = La prima non dà soluzioni perché 5/3>1. 3 2 5 Dalla seconda ricaviamo che x1 = + 2k x 2 = + 2k 6 6 Svolgi 5 equazioni goniometriche di questo secondo tipo p.450-451 Seconda tipologia: l'equazione contiene più funzione goniometriche (l'argomento è sempre uguale). Possiamo ricondurci al caso precedente utilizzando le formule fondamentali (evitare di introdurre radici!). Svolgi 5 equazioni goniometriche di questo secondo tipo p.452-453 Terza tipologia: l'equazione contiene più funzioni goniometriche (l'argomento è sempre uguale). Possiamo ricondurci al primo caso utilizzando la regola di annullamento del prodotto per separare le diverse funzioni in più fattori (scomporre i polinomi considerando funzioni goniometriche diverse come lettere diverse). cos x Es: 2 cos x + cotg x = 0 2 cos x + =0 raccogliamo a fattor comune cos x sen x 1 cos x 2 + = 0 Un prodotto è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori è nullo: sen x

+ k 2 1 2 sen x + 1 secondo fattore: 2 + =0 =0 sen x sen x posso togliere il denominatore con la condizione sen x 0 x 0 + k 1 5 rimane 2 sen x + 1 = 0 sen x = - x 2 = - + 2k x3 = - + 2k 2 6 6 Le tre famiglie di soluzioni ottenute sono tutte accettabili secondo le condizioni di esistenza. Svolgi 5 equazioni goniometriche di questo secondo tipo p.454-455

primo fattore: cos x = 0

x1 =

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