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5 PRODUIT TENSORIEL

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5

5.1

Produit tensoriel

D´finitions et exemples e

Soient f (x), x Rd , et g(y), y Rk , deux fonctions localement int´grables. e Alors f (x)g(y) est localement int´grable sur Rd+k , et l'on peut d´finir une dise e tribution sur Rd+k : (f (x)g(y), ) =

Rd+k

f (x)g(y)(x, y) dxdy f (x)

Rd Rk

=

g(y)(x, y) dy dx.

D´finition 5.1. Soit f D (Rd ) et g D (Rk ). On d´finit le produit tensoriel e e de f et g comme une distribution h D (Rd+k ) telle que (h, ) = f (x), (g(y), (x, y)) On note h = f (x) g(y). Il faut v´rifier que le produit est bien d´fini. Pour simplifier, on suppose e e dans la suite que d = k = 1. Lemme 5.2. Soit g D (R) et D(R2 ). Alors la fonction (x) := g(y), (x, y) appartient a l'espace D(R), et pour tout entier j 0 on a `

j (j) (x) = g(y), x (x, y)

pour tout D(Rd+k ).

De plus, si k D(R2 ) et k dans D(R2 ), alors la suite k (x) := g(y), k (x, y) converge vers dans D(R). D´monstration. La fonction (x) est bien d´finie pour tout x R. Comme e e (x, y) = 0 pour |x| R 1, le support de est inclut dans la boule BR R de centre z´ro et de rayon R. Montrons que est continu. En effet, soit e {xn } R une suite convergeant vers x R. Alors (xn , ·) (x, ·) dans D(R). Il s'ensuit que (xn ) (x). Montrons que C (R) et

j (j) (x) = g(y), x (x, y)

pour tout j 1.

(5.1)

Soit hn 0. Alors (x + hn , y) - (x, y) x (x, y) hn dans l'espace D(Ry ),

5 PRODUIT TENSORIEL

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d'o` on voit que u

-1 hn ((x + hn ) - (x)) = g(y), h-1 ((x + hn , y) - (x, y)) (g(y), x (x, y)). n

On a montr´ la relation (5.1) pour j = 1. Par r´currence, on peut ´tablir (5.1) e e e pour j 2. Soit maintenant k D(R2 ) une suite telle que k dans D(R2 ). Alors les supports des fonctions k D(R) sont born´s uniform´ment par rapport e e a ` k. Montrons que pour tout j 0 k (x) (j) (x)

(j)

quand k uniform´ment en x R. e

Si ce n'est pas le cas, alors il existe un entier j 0, une constante > 0 et des suites {xl } R et kl tels que |kl (xl ) - (j) (xl )| pour tout l 1, {xl } converge vers un point x quand l . ^

(j)

(5.2) (5.3)

D'autre part, la convergence (5.3) entra^ que kl (xl , ·) (^, ·) dans D(R). ine x Comme g D (R), on obtient

j j kl (xl ) = g(y), x kl (xl , ·) g(y), x (^, ·) = (j) (^). x x (j)

C'est une contradiction avec l'in´galit´ (5.2). e e Le lemme 5.2 permet de justifier la d´finition du produit tensoriel. Si e D(R2 ), alors la fonction (x) = (g(y), (x, y)) appartient ` D(R), et l'on peut a consid´rer (f, ). Evidemment, la fonctionnelle e (f, ) = f (x), (g(y), (x, y)) (5.4)

est lin´aire. Si k dans D(R2 ), alors k = (g(y), k (x, y)) converge vers e dans D(R). Par cons´quent, e (f, k ) (f, ) quand k , et donc la fonctionnelle (5.4) est continue. Exemples 5.3. (a) a b = (a,b) pour tout a, b R. (b) Si f D (R), alors f 1 D (R2 ) et (f 1, ) = f (x),

R

(x, y) dy .

5 PRODUIT TENSORIEL

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5.2

Propri´t´s du produit tensoriel e e

(a) Le produit tensoriel est commutative : si f, g D (R), f (x) g(y) = g(y) f (x).

Th´or`me 5.4. e e alors

(b) Le produit tensoriel est continu : si fk f dans D (R) et g D (R), alors fk (x) g(y) f (x) g(y) dans D (R2 ).

(c) Le produit tensoriel est associative : si f, g, h D (R), alors f (x) g(y) h(z) = f (x) g(y) h(z) . (d) D´rivation du produit tensoriel : si f, g D (R), alors e

j j x f (x) g(y) = (x f (x)) g(y).

(e) Multiplication par une fonction r´guli`re : si f, g D (R) et a C (R), e e alors a(x) f (x) g(y) = (a(x)f (x)) g(y). (f ) Translation du produit tensoriel : si f, g D (R) et b R, alors (f g)(x + b, y) = f (x + b) g(y). Pour la d´monstration de ce r´sultat, on aura besoin du lemme suivant. e e Lemme 5.5. Soit D(R2 ). Alors il existe une suite {n } D(R2 ) telle que n n (x, y) =

k=1

dans D(R2 ),

Ln

(5.5) (5.6)

unk (x)vnk (y),

o` unk , vnk D(R). u D´monstration. Supposons que supp BR . Soit {Pk (x, y)} une suite de e polyn^mes telle que o Pk - C k (B2R ) < 1/k.

c Si D(R), = 1 sur BR et = 0 sur B2R , alors la suite

k (x, y) = (x)(y)Pk (x, y) v´rifie toutes les propri´t´s requises. e ee

5 PRODUIT TENSORIEL

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D´monstration du th´or`me 5.4. (a) Il faut montrer que e e e (f (x) g(y), ) = (g(y) f (x), ) Supposons d'abord que

L

pour tout D(R2 ).

(x, y) =

n=1

un (x)vn (y).

Alors

L L

(f (x) g(y), ) =

L

(f (x) g(y), un (x)vn (y)) =

n=1

(f, un ) (g, vn ),

n=1

=

(g(y) f (x), un (x)vn (y)) = (g(y) f (x), ).

n=1

Dans le cas g´n´ral, on choist une suite {n } D(R2 ) v´rifiant (5.5), (5.6). e e e Alors (f (x)g(y), ) = lim (f (x)g(y), n ) = lim (g(y)f (x), n ) = (g(y)f (x), ).

n n

(b) Soit D(R2 ). Alors (fk × g, ) = (fk (x), (g(·), (x, ·))) (f (x), (g(·), (x, ·))) = (fk × g, ). La d´monstration des popri´t´s (c)­(f) est bas´e sur des id´es analogues. e ee e e Exemple 5.6. Soit f D (R). Alors (f 1, ) = f (x),

R

(x, y) dy ,

(1 f, ) =

R

f (x), (x, y) dy.

On conclut que f (x),

R

(x, y) dy =

R

f (x), (x, y) dy

pour tout D(R2 ).

(5.7)

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