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Transfer inovácií 19/2011

2011

DAS BLACK-SCHOLES MODELL IM REALOPTIONSANSATZ ZUR BEWERTUNG EINES INVESTITIONSPROJEKTES

Ing. Jozef Glova, PhD. Technical University of Kosice Faculty of Economics Nmcovej 32, 042 00 Kosice e-mail: [email protected] Abstract Real options approach applies the techniques developed for financial option to real life capital investment decisions under uncertainty. In the paper some discrepancies between DCF approaches and Real option approach are discussed and using the option pricing analogy of the financial option for the real option is applied. Also some basic characteristic of real option are also discussed. The possible real option valuation using the Black-Scholes Model is demonstrate. Key words: real option valuation, DCF-approach, binomial model. EINLEITUNG Die heutige Wirtschaft wird ganz oft als ,,neu" bezeichnet, da heutzutage der Wert wird zunehmend durch die Fähigkeit geschaffen, Wissen generieren und nutzen zu können, und nicht mehr nur durch die Entwicklung physischer Beständen. Das ist auch mit einer erhöhten Geschwindigkeit der Veränderung des Unternehmensfeldes verbunden, was selbstverständlich auch der Grad an Unsicherheit über künftige Wirtschaftsbedingungen zugenommen. Die so erhöhte Unsicherheit stellt dann auch hohe Ansprüche an Ansätzen der Projektenbewertung, wo die flexiblen Handlungsmöglichkeiten während der Lebensdauer eines Investitionsprojekts treffen müssen und wo die strategische Entscheidungen zu modellieren und einzubeziehen sind. Zu solchen Ansätzen werden gerade einzelne Methoden aus dem ein Gebiet der Realoptionen gezählt. ANSÄTZE ZUR ERMITTLUNG DES INVESTITIONSWERTES Der Investitionswert wird alleinig auf Basis der DCF-Verfahren, die Ertragswert-methode und der Realoptionsansatz [2]. Die Ertragswertmethode ermittelt den Unternehmenswert als Summe der Barwerte, der zukünftig den Unternehmenseignern zufließenden finanziellen Überschüsse [4]. Das Ertragswert- und die DCF-Verfahren beruhen auf der gleichen konzeptionellen Grundlage, dem Kapitalwertkalkül, nach dem der Barwert eines Zahlungsstromes dessen Marktwert entspricht. Der Unterschied der Verfahren liegt darin, dass zum einen die Cashflows als Grundlage dienen und zum anderen die den Unternehmenseignern zufließenden finanziellen Überschüsse [4]. In die allgemein wird Statik des DCFVerfahrens kritisiert, was kann aber teilweise durch Instrumentarium der Realoptionen geheilt werden. Daher sollte zunächst geklärt werden, unter welcher Voraussetzung von Realoptionen gesprochen werden kann. DER BEGRIFF DER REALOPTION Die Begriffsbildung Realoption oder englisch ,,Real Option" geht zurück auf den Artikel ,,Determinants of Corporate Borrowing" von Stewart Myers. Myers [6] stellt fest, dass der Marktwert eines Unternehmen aus zwei grundlegenden Komponenten zusammensetz - aus Vermögensgegenständen, deren Wert unabhängig von der weitern Investitionsstrategie des Unternehmens ist, und Vermögensgegenstände, deren Wert in irgendeiner Form von der künftigen Investitionsstrategie des Unternehmens abhängt und daher auch als Call Optionen interpretierbar sind. Myers bezeichnet die zweite Komponente als Real Option. EIGENSCHAFTEN VON REALOPTIONEN Durch die folgenden konstituierenden Eigenschaften von Realoptionen unterscheiden sich werthaltige Flexibilitätspotentiale von üblichen unternehmerischen Entscheidungsmöglichkeiten: Werthaltigkeit; Zweckgebundenheit; Flexibilität; Unsicherheit; Irreversibilität. Nur wenn diese fünf Kriterien zutreffen ist sichergestellt, dass sich die zu bewertende Option von dem üblichen Prozess der Entscheidungsfindung eines Unternehmers unterscheidet und ihr Wert somit nicht in der Gewinn und Verlust Planung des DCF-Verfahrens berücksichtigt wird.

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2011 verschlossen. In der geläufigen Lehrbuchliteratur wird teilweise das Black-Scholes-Modell als Grenzfall des Binomial-Modells erklärt, wenn nicht sogar ganz auf die Herleitung verzichtet wird [5]. Dabei wird die Restlaufzeit der Option quasi in unendlich viele marginal, kleine Teilperioden unterteilt. Konvergiert die Periodenlänge gegen Null, so entspricht die Binomialverteilung des Binomial-Modells einer Lognormalverteilung, der die Renditeschwankungen des Basiwertes im Black-Scholes-Modell folgen [4]. Dennoch soll in dieser Arbeit die stochastische Herleitung der Black-Scholes-Formel in verständlicher Weise nachvollzogen werden. Um eine Aussage über den Wert des Basisinstrumentes am Ende der Optionslaufzeit treffen zu können, ist eine Annahme über die zukünftige Wertentwicklung unerlässlich. So wird die Wertentwicklung mit Hilfe eines stochastischen Prozesses modelliert, dem ein positiver Trend und ein unsicherer Einfluss unterliegen. Dabei handelt es sich um eine Brown'sche Bewegung der Form [5]:

dS t St dt dz

DIE BEWERTUNG VON REALOPTIONEN Auf Grund einer Ähnlichkeit der Finanzoptionen und Realoptionen liegt es nahe, finanzwirtschaftliche Optionspreismodelle für die Bewertung von realwirtschaftlichen Optionen heranzuziehen. Dafür müssen zunächst gleichartige Faktoren, sogenannte Werttreiber, identifiziert werden, die den Wert von Realoptionen beeinflussen [2]. Die Werttreiber von Finanz- und Realoptionen bestehen aus Basisobjekt, Ausübungspreis, Laufzeit, Versäumte Zahlungen während der Laufzeit, Zinssatz und Volatilität. Es muss aber jedoch berücksichtigt werden, dass die Optionspreismodelle nicht uneingeschränkt übertragen werden können [5]. Da die genannten Werttreiber den Wert einer Realoption beeinflussen, ist es nicht verwunderlich, dass sie für eine Bewertung durch Optionspreismodelle benötigt werden. Im Folgenden soll auf eine von zwei bekanntesten Verfahren, das Binomial- und das Black-ScholesModell eingegangen werden. DAS BLACK-SCHOLES MODELL Im Gegensatz zum Binomial-Modell geht das Black-Scholes-Modell von einem zeitstetigen und nicht von einem zeitdiskreten Prozess aus. Das heißt, dass die Optionslaufzeit nicht in eine begrenzte Anzahl an Teilperioden t unterteilt wird, in der sich der Wert des Basisinstrumentes stufenweise entwickelt, sondern dass die Wertentwicklung ein kontinuierlicher Prozess innerhalb der Optionslaufzeit ist [3]. Es liegt also ein analytisches Verfahren vor, das auf Grund seiner eindeutig geschlossenen Lösungsformel nur schwer modifizierbar ist [4]. Die geschlossene Lösungsformel lautet [2]:

C (0) S (d1 ) X e

rf t

(d 2 )

mit C(0) - Optionswert (in Periode 0). Entspricht C1(0) beim Binomial-Modell S - Wert des Basisobjektes; X ­ Ausübungspreis; rf - risikoloser Zins; t ­ Optionslaufzeit; (d1),(d2) - zwei standardnormalverteilte Variablen. Das Black-Scholes-Modell bietet durch die geschlossene Lösungsformel scheinbar eine einfache Handhabung. Das Problem liegt jedoch in der bloßen Anwendung der Formel, so dass die Anwender das konkrete Entscheidungsproblem nicht vollständig durchdringen, die Bewertungsannahmen nicht hinterfragen und so vor einer ,,Black-Box" stehen [4]. Auf Grund der anspruchsvollen mathematischen Hilfsmittel und Notationen bleibt ihnen oftmals der Zugang dazu

mit St - Wert des Basisobjektes (abhängig von der Zeit t); - bezeichnet einen ,,Drift"; ­ Volatilität; dt - kann als Einfluss der Zeit interpretiert werden; dz - kann als zufälliger Einfluss interpretiert werden. Dieser Prozess darf nicht mit der Ermittlung der Volatilität durch eine Monte-CarloSimulation verwechselt werden, auch wenn dieser Ermittlung ebenfalls eine Brown'sche Bewegung, jedoch im Spezialfall des Wiener Prozesses, zu Grunde liegt. Für eine einfachere Interpretation der Brown'schen Bewegung betrachten wir die Wertänderung des Basisinstrumentes in einem möglichst kleinen Zeitintervall, so dass der Einfluss der Zeit dt durch das kleine Zeitintervall t und der zufällige Einfluss dz durch den Einfluss in diesem Intervall z beschrieben wird.

St St t z

St St t St z

mit und

z t; ~ N (0;1) .

Die Wertänderung St im Zeitintervall t hängt also von t St ab und somit ist t der Erwartungswert der Wertentwicklung oder der Rendite in diesem Intervall. Zusätzlich kommt der zufällige Einfluss durch z hinzu. So gibt t

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die Standardabweichung in diesem Intervall an [5]. Daraus folgt:

St St t t ~ N( t;

2

t)

(1)

Dies soll nachfolgend deduktiv bewiesen werden. Subtrahieren wir von Formel (1) den Erwartungswert t und dividieren durch die Standardabweichung t, so sollte der Ausdruck standardnormalverteilt sein.

St St t t t t t t ~ N (0;1)

Die Verteilungsfunktion F(sT) gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der Wert des Basisobjektes im Zeitpunkt T, also am Ende der Optionslaufzeit, kleiner oder gleich sT ist. Da die Verteilungsfunktion dem Integral der Dichtefunktion f(sT) entspricht, muss dieses jedoch zuvor ermittelt werden.

ln( sT ) E[ln( sT )] Var [ln( sT )]

F ( sT )

(2)

und

ln( sT ) E[ln( sT )] Var [ln( sT )]

1 ln(sT ) E [ln(sT )] 2 ( ) 2 Var[ln(sT )]

Als Zwischenergebnis ist festzuhalten, dass die Wertentwicklung des Basisobjektes einer Brown'schen Bewegung folgt. Diese ist in einem Zeitpunkt, also einem marginal kleinen Zeitintervall, normalverteilt mit dem Erwartungswert t und der Varianz 2 t. Ein solcher Wertentwicklungsprozess wird auch als Geometrische Brown'sche Bewegung bezeichnet [5]. Im nächsten Schritt wird auf Basis der normalverteilten Brown'schen Bewegung mit Hilfe des Lemmas von Itô eine lognormalverteilte Wertenwicklung betrachtet. Die Wertentwicklung wird lediglich deshalb lognormalverteilt dargestellt, da so die Parameter und die Wertverteilung am Ende der Optionslaufzeit unmittelbar ablesbar sind. Dieses Vorgehen soll nicht näher erläutert werden, da für das allgemeine Verständnis die Herleitung der Geometrischen Brown'schen Bewegung ausreicht. Die lognormalverteilte Wertentwicklung wird formal beschrieben durch:

2

f ( sT )

F ' ( sT )

1 sT Var [ln( sT )]

1

1 2 Var[ln(sT )]

e

1 sT

(3)

Setzen wir nun den Erwartungswert und die Standardabweichung von ln(sT) in die Formeln (2) und (3) ein, so erhalten wir:

1 2 ln( sT ) ( S0 T

2 2

2

)T

f ( sT )

1 2 T

e

ln( sT ) ( S0 T

2

1 sT

2 ) T

und

F ( sT )

d ln( St )

(

2

) dt

dz

2

mit und

E[ln( ST )]

ln( S 0 ) (

2

2

) T

Var[ln(ST )]

T

Zur Ermittlung der Ausübungswahrscheinlichkeit der Option werden nun die Verteilungsfunktion F(sT) und die Dichtefunktion f(sT) ermittelt. Im Folgenden werden neben den Zufallsvariablen auch deren Realisationen in den Formeln verwendet. Deshalb werden Zufallsvariablen mit großen und die Realisationen mit kleinen Buchstaben notiert. Da für die weitere Herleitung die Definitionen der standardnormalverteilten Verteilungsund Dichtefunktionen benötigt werden, seien diese kurz dargestellt:

f ( x)

F ( x)

Eine Ausübung der Option findet jedoch nur dann statt, wenn im Fälligkeitszeitpunkt der Wert des Basisobjektes ST über dem Ausübungspreis X liegt. Es wird also die Wahrscheinlichkeit P(ST > X) = 1 - P(ST X) = 1 ­ F(X) gesucht. Dabei handelt es sich um die Ausübungswahrscheinlichkeit der Option. Auf Grund der symmetrischen Eigenschaften der Standart-normalverteilung entspricht 1- F(X) = F(X).

2

F( X )

ln( X ) E[ln( ST )] Var [ln( ST )]

ln( X ) ln( S 0 ) ( T

2

) T

ln(

S0 ) ( X T

2

2

) T

( x)

x

1 2

e

1 2 x 2

( x)

(u )du

An dieser Stelle sei zunächst die Frage bezüglich der Verteilung der Wertentwicklung des Basisobjektes im Fälligkeitszeitpunkt geklärt und eine Aussage über die Ausübungswahrscheinlichkeit getroffen.

201

Transfer inovácií 19/2011 Da für die weitere Herleitung der BlackScholes-Formel eine risikoneutrale Welt unterstellt wird, wird zunächst das Prinzip der risikoneutralen Bewertung erörtert. Dafür werden die Folgenden Annahmen benötigt: Neben dem vorliegenden Basisobjekt besteht ein risikoloses Investitionsobjekt, das zu einer sicheren, stetigen Verzinsung rf führt. Die Projekte verlaufen kontinuierlich, also ohne zeitliche Unterbrechungen und es existieren keine Transaktionskosten. Beide Objekte sind beliebig teilbar, und von versäumten Zahlungen während der Optionslaufzeit wird abgesehen. Die Wertentwicklung des Basisobjektes folgt einer Geometrischen Brown'schen Bewegung. Das Prinzip der risikoneutralen Bewertung besagt nun, dass die Risikoneigung der Marktteilnehmer für die Bewertung der Option keine Rolle spielt. Das gedankliche Kalkül, das dahinter steckt, geht davon aus, dass unser Basisobjekt und das risikolose Investitionsobjekt so kombiniert und im Zeitablauf umgeschichtet werden können, dass sie zusammen zur Fälligkeit der Option stets den gleichen Wert besitzen wie die Option selbst, unabhängig von der Wertentwicklung des Basisobjektes. Daraus folgt, dass der Wert der Option auch im Zeitpunkt t = 0 dem Wert der beiden Objekte entspricht. Man spricht von einem selbstfinanzierenden Duplikationsportfolio [3]. Existiert ein solches Duplikationsportfolio, dann muss der Wert der Option bei jeder möglichen Risikoneigung der Marktteilnehmer dem Wert des Duplikationsportfolios entsprechen. Die Präferenzen der Akteure spiegeln sich also lediglich im Wert des Basisobjekts S und dem risikolosen Zins rf wieder und spielen so nur indirekt eine Rolle bei der Ermittlung des Optionswertes C(0) [5]. Der aktuelle Wert einer Option im Zeitpunkt t = 0 entspricht nach Black und Scholes dem mit dem risikolosen Zins rf diskontierten erwarteten Optionswert im Fälligkeitszeitpunkt t = T.

C ( 0) e

rf T

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max(sT

0

X ) f ( sT )dsT

( sT

X

X ) f ( sT )dsT X

X

sT f ( sT )dsT

X

f ( sT )dsT

C (0)

e

rf T

( sT f ( sT )dsT

X

X

X

f ( sT )dsT )

C (0)

e

rf T X

sT f ( sT )dsT

e

rf T

X

X

f ( sT )dsT

Dies lässt sich letztendlich zur Black-ScholesFormel umformen.

C (0) S0 (d1 ) X e

rf T

(d 2 )

2

ln

mit

d1

S0 X

(r f T

2

) T

und

d2

S ln 0 X

2

(rf T

2

) T d1 T (4)

mit

E[C (T )] E[C(T )] E[max(ST

X ;0)]

An dieser Stelle kommt die Annahme der risikoneutralen Welt zum tragen. Formel (4) unterscheidet sich lediglich dadurch von Formel (16), dass an Stelle des Erwartungswertes der risikolose Zins r f verwendet wird. Da in einer risikoneutralen Welt keine Risikoprämien existieren, entspricht die erwartete Rendite des Projekts dem risikolosen Zins. Mit (d2) ist in der Black-Scholes Formel also die risikoneutrale Ausübungswahrscheinlichkeit der Option enthalten [3]. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Wertentwicklung des Basisobjektes einer Geometrischen Brown'schen Bewegung folgt und in einem konkreten Zeitpunkt lognormalverteilt ist. Die Black-Scholes Formel diskontiert den so ermittelten Erwartungswert des Basisobjektes im Fälligkeitszeitpunkt mit dem risikolosen Zins. Unter der Annahme einer risikoneutralen Welt, die durch ein sich selbst finanzierendes Duplikationsportfolio begründet wird, kann der unbekannte Erwartungswert der Rendite des Basisobjektes durch den risikolosen Zins ausgetauscht werden. Umgeformt hängt der Wert der Option von dem Wert des Basisobjektes, dem Ausübungspreis und zwei standardnormalverteilten Zufallsvariablen ab, die wiederum von der Unsicherheit, der Optionslaufzeit und dem risikolosen Zins beeinflusst werden. Eine genauere Betrachtung zeigt, dass eine der beiden standardnormalverteilten Zufallsvariablen der

202

Transfer inovácií 19/2011 Ausübungswahrscheinlichkeit der Option in einer risikoneutralen Welt entspricht.

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[3]

ZUSAMMENFASSUNG Auf Grund der hohen Relevanz der Investitionsbewertung in Wissenschaft und Praxis wurden im Laufe der Zeit eine Vielzahl von Bewertungsverfahren entwickelt. Das aktuell vorherrschende und zu den Ertragswertverfahren gehörende DCF-Verfahren bewertet Investitionen unter Berücksichtigung ihrer zukünftigen Ertragskraft. Unberücksichtigt bleiben jedoch Handlungsspielräume und Flexibilitäten, die es einem Unternehmer ermöglichen wertsteigernd auf zukünftige Informationszuflüsse zu reagieren. Bei den Handlungsspielräumen handelt es sich um Realoptionen, die zunächst an Hand verschiedener Merkmale eindeutig identifiziert werden müssen und sich vom üblichen Prozess der unternehmerischen Entscheidungsfindung unterscheiden. Da realwirtschaftliche Optionen den finanzwirtschaftlichen Optionen ähneln, liegt es nahe für ihre Bewertung finanzwirtschaftliche Optionspreismodelle zu verwenden. Dafür müssen zunächst die Werttreiber der Option ermittelt werden. Die beiden bekanntesten Optionspreismodelle sind das Binomial- und das Black-Scholes Modell. Black-Scholes Modell wird im beilegenden Artikel angesprochen und dargestellt. Literaturverzeichnis [1] Adams, M., Markus, R.: Unternehmensbewertung auf der Basis von Realoptionen - Der Wert Unternehmerischer Flexibilität. In: Praxishandbuch Unternehmensbewertung: Grundlagen, Methoden, Fallbeispiele. Gabler Verlag, 2005. 456 s. ISBN 34-0912-698-8. Black, F.: The Pricing of Commodity Contracts, Journal of Financial Economics, 1976, roc. 3, c. 3, s. 167-179. ISSN 0304405X.

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Black, F., Sscholes, M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 1973, roc. 81, c. 3, s. 637-59. ISSN 00223808. Ernst, D., Schneider, S., Thielen, B.: Unternehmensbwertungen erstellen und verstehen - Ein Praxisleitfaden. München: Verlag Franz Vahlen, 2008. 344 s. ISBN 380063-526-7. Hahnenstein, L., Wilkens, S., Röder, K.: Die Black-Scholes-Optionspreisformel - Eine Herleitung mit Hilfe des Prinzips der risikoneutralen Bewertung. In: Wirtschaftswissenschaftliches Studium. Verlag Franz Vahlen, 2001. S. 355-361. ISSN 0340 1650. Institut der Wirtschaftsprüfer (IDW): IDW Standard: Grundsätze zur Durchführung von Unternehmensbewertungen. Düsseldorf: IDW, 2008. Peemöller, V. H., et al.: Praxishandbuch der Unternehmensbewertung, 4. aktualisierte und erweiterte Auflage. Herne Berlin: Verlag Neue Wirtschafts-Briefe, 2009. 1077 s. ISBN 978-3-482-51184-4. Myers, S. C.: Determinants of Corporate Borrowing. In: Journal of Financial Economics 5, 197). S. 147-175. NorthHolland Publishing Company. ISSN 0304405X. Trigeorgis, L.: Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation. 6. vyd. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1996. 427 s. ISBN 978-0-2622-0102-5.

Der Beitrag wurde im Rahmen des VEGA Projekts "VEGA c. 1/0897/10 (IntRateRiskMetrics)" erstellt.

[2]

203

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