Read ZGINANIE PLASKIE BELEK PROSTYCH text version

ZGINANIE PLASKIE BELEK PROSTYCH

WYKRESY SIL POPRZECZNYCH I MOMENTÓW ZGINAJCYCH

Zginanie plaskie: wszystkie sily zewntrzne czynne (obcienia) i bierne (reakcje) le w jednej wspólnej plaszczynie przechodzcej przez o belki Zginanie proste: kierunek wektora momentu zginajcego pokrywa si z kierunkiem osi symetrii przekroju poprzecznego belki.

Do wyznaczania sil wewntrznych wykorzystuje si metod mylowych przekrojów. Przy stalym przekroju belki granicami odcinków, w których naley dokona mylowych przekrojów, s punkty przyloenia sil zewntrznych ­ czynnych i biernych (reakcji podporowych). Na rysunku pokazano zastosowanie metody mylowych przekrojów, uklad wspólrzdnych (o Y skierowana jest w dól, o X wzdlu osi belki) oraz sily wewntrzne w belce.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

128

W odrónieniu od rozcigania i skrcania, w zginaniu wystpuj dwie sily wewntrzne ­ sila poprzeczna T w plaszczynie obcienia XY oraz moment zginajcy M, którego wektor jest prostopadly do plaszczyzny XY. W obliczeniach wytrzymalociowych belek rzecz podstawow jest wyznaczenie rozkladów T i M. Maksymalne wartoci tych sil wskazuj na przekroje najbardziej obcione, na przekroje niebezpieczne. Umowne okrelenie znaków sil wewntrznych pokazano na rysunku.

UMOWA: Belka zginana ,,wypukloci w dól" ­ dodatnie sily wewntrzne. Belka zginana ,,wypukloci w gór" ­ ujemne sily wewntrzne.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

129

RÓWNANIA STATYKI

Sposoby podparcia belek

Uklady sil: a) Plaski uklad sil równoleglych z dwoma równaniami statyki. b) Plaski uklad sil dowolnych z dwoma równaniami statyki (suma rzutów sil na o poziom nieaktywna). Dla wyznaczania reakcji podporowych mona sformulowa dwa uklady równa równowagi, zawierajce po dwa równania. (1) (2)

Pyi 0, M0i 0,

MAi 0,

i1 i1

n

n

0 ­ dowolny punkt.

i1 n

i1

n

MBi 0.

UWAGA PRAKTYCZNA: korzystnie jest stosowa uklad (2). Dla sprawdzania poprawnoci oblicze mona wykorzysta dodatkowo drugie równanie ukladu (1).

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

130

Przyklad Dla belki przedstawionej na rysunku wykona wykresy sil poprzecznych i momentów zginajcych.

Zadanie jest statycznie wyznaczalne. Dla L = a + b reakcje podporowe (rys. a):

Pa , L Pb MB 0 R AL Pb 0 R A L . Sprawdzenie prawidlowoci oblicze: Py 0 R R Pb Pa P A B L L

MA 0

RBL Pa 0 RB

Poniewa belka ma staly przekrój poprzeczny, mylowe przekroje wyznacza si w przedzialach ograniczonych punktami przyloenia obcie (rys. b,c): Przedzial 1­1: 0 x1 a

Tx1 R A

Pb , L

Mx1 R A x1; Mx1 0 0, Mx1 a

Pab . L

Przedzial 2­2:

a x2 a + b

Tx 2 R A P RB Mx 2 R A x 2 Px 2 a , Mx 2 a

Pa , L Pab , Mx 2 a b 0. L

Podobnie jak dla prtów i walów, aby sprawdzi poprawno oblicze, naley sprawdzi prawy koniec belki (rys. c). Przedzial 2'­2': 0 x '2 b

Tx 2' RB

Pa , L

Mx 2' RB x 2' , Mx 2' 0 0, Mx 2' b

Pab . L

Wykresy T oraz M pokazano na rys. a. Analizujc je naley pamita, e na wykresach sil wewntrznych musz by widoczne wszystkie sily zewntrzne. Na wykresie T uskoki odpowiadaj silom P, RA i RB. Na podporach A i B moment musi by równy zeru ­ na podparciu przegubowym nie ma momentu zewntrznego. Musi by take zachowana ciglo wykresu M na kocu I i pocztku II przedzialu.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

131

PRZYKLAD Dla belki obcionej w sposób cigly obcieniem o stalej intensywnoci q wykona wykresy sil poprzecznych i momentów zginajcych.

Obcienie cigle q = const dzialajce na odcinku L mona zastpi sil wypadkow qL, przyloon w polowie dlugoci odcinka (wypadkowa ukladu sil równoleglych). Z sumy momentów wzgldem podpór A i B otrzymuje si RA = RB = qL/2 (rys. a). W belce wystarczy rozpatrzy tylko jeden przedzial 0 x L, w którym

Tx R A qx; Tx 0 R A Mx R A x Mx o qL , 2 Tx L R A qL qL , 2

qx 2 ; 2 0, Mx L 0.

Do wykonania wykresu momentów potrzebny jest trzeci punkt, który mona otrzyma, obliczajc ekstremum funkcji opisujcej moment zginajcy:

dM R A qx Tx 0 dx Mmax Mx x m

xm

2

RA 1 L, q 2

L 1 L qL2 R A q . 2 2 2 8

Ekstremum momentu wystpuje w przekroju, w którym sila poprzeczna jest równa zeru (por. zalenoci róniczkowe pomidzy obcieniem a silami wewntrznymi). Sprawdzenie poprawnoci oblicze mona przeprowadzi rozpatrujc prawy koniec belki (rys. b).

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

132

PRZYKLAD Dla belki obcionej momentem M wykona wykresy sil poprzecznych i momentów zginajcych.

Z równa statyki oblicza si reakcje podporowe (rys. a):

MA

0, RBL M 0

MB 0, R AL M 0

M , L M RA . L RB

Sprawdzenie: RA ­ RB = 0. W przedziale 1­1 (0 x1 a) sily wewntrzne wynosz (rys. b):

Tx1 R A

M Mx1 Ma , Mx1 R A x1 , Mx1 0 0, Mx1 a , L L L M Mb , Mx 2 R A x 2 M,Mx 2 a ,Mx 2 L 0. L L

natomiast w przedziale 2­2 (a x2 L):

Tx 2 R A

Wykresy sil wewntrznych pokazano na rys. a.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

133

PRZYKLAD Dla belki przedstawionej na rysunku wykona wykresy sil poprzecznych oraz momentów zginajcych. Przyj dane: P = 1200 N, q = 1500 N/m, M = 1000 Nm, L = 4 m. Wykona dodatkowo wykres momentów, korzystajc z zasady superpozycji.

Równania statyki (rys. a):

MA 0, MB 0,

L L qL P M RBL P qL M 0 RB 2150N, 2 2 2 2 L 3 L qL 3 M R AL P L qL M 0 R A P 5050N. 2 2 2 2 L

Sprawdzenie: RA + RB = P + qL = 7200 N. Sily wewntrzne w trzech mylowych przekrojach (rys. b): Przedzial 1­1: 0 x1 L/2

Tx1 P 1200 N, Mx1 Px1; Mx10 0, Mx1L / 2

Przedzial 2­2: L/2 x2 3/2L

PL 2400 N m. 2

Tx2 L / 2

L Tx 2 P R A q x 2 , 2 1200 5050 3850 N, Tx2 3 / 2L 1200 5050 1500 4 2150 N,

L q x 2 L 2 Mx 2 Px 2 R A x 2 , 2 2 Mx 2 L / 2 1200 2 2400 N m,

2

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

134

Mx2 3 / 2L

3 1500 42 1200 4 5050 4 7220 20200 12000 1000 N m. 2 2

Poniewa w przedziale II sila poprzeczna zmienila swój znak, mona wnioskowa, e w przekroju, w którym T = 0 moment osignie w tym przedziale warto ekstremaln

dMx 2 dx 2

L L R P P R A q x 2 Tx 2 0 x 2m A 4,567 m, 2 2 q Mx 2 max Mx 2 4,567 2541 N m.

Przekrój, w którym moment jest równy zeru obliczy mona rozwizujc trójmian kwadratowy i wybierajc pierwiastek znajdujcy si w granicach drugiego przedzialu

Mx 2

Przekrój 3­3:

L q x 2 L 2 Px 2 R A x 2 0 x 20 2,73m. 2 2

3/2L x3 2L

2

Tx 3 P R A RB qL 0, L 3 Mx 3 Px3 R A x 3 RB x 3 L qLx 3 L , 2 2 Mx 3 3 / 2L 1000 N m, Mx 3 2L 1000 N m.

Sily wewntrzne w przedziale III mona równie okreli w prostszy sposób, przyjmujc granice przedzialu 0 x'3 L/2 (patrz rys. b). Sposób ten umoliwia równie sprawdzenie poprawnoci oblicze. Wykresy sil wewntrznych przedstawiono na rys. a. Analizujc te wykresy naley po raz kolejny zwróci uwag, e wszystkie sily zewntrzne musz by na nim widoczne. W przekrojach, w których nie ma sil zewntrznych (czynnych i biernych) obowizuje ciglo odpowiednich wykresów. Wykres momentów zginajcych w bardzo prosty sposób mona otrzyma stosujc zasad superpozycji. Na rysunku c pokazano sposób rozdzielenia obcienia na trzy proste przypadki oraz sumowania odpowiadajcych tym przypadkom wykresów momentów zginajcych. Przedstawiony sposób otrzymywania wykresów M ma due znaczenie praktyczne.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

135

NAPRENIA NORMALNE W ZGINANEJ BELCE

Moment zginajcy naprenia normalne Sila poprzeczna naprenia styczne (ze wzgldów praktycznych ­ pomijane). Zaloenia: hipoteza plaskich przekrojów. Z dowiadczenia: W zginanej belce istnieje warstwa obojtna, prostopadla do plaszczyzny dzialania momentu zginajcego, w której wlókna nie ulegaj odksztalceniom naprenia = 0. Naprenia normalne w warstwie odleglej o y od warstwy obojtnej: M y. JZ JZ ­ osiowy moment bezwladnoci przekroju porzecznego belki. Naprenia normalne s liniow funkcj odlegloci od osi obojtnej. Maksymalne wartoci napre normalnych wystpuj w wlóknach skrajnych, najbardziej oddalonych od osi obojtnej. Rozklad napre normalnych pokazano na rysunku.

Naprenia normalne w zginanej belce o przekroju prostoktnym

Naprenia normalne w zginanej belce o przekroju trapezowym

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

136

Dla belki o przekroju trapezowym: po wyznaczeniu poloenia rodka cikoci przekroju znane s odlegloci skrajnych wlókien od osi obojtnej. Na rysunku przyjto, e odlegloci skrajnych wlókien h1 > h2, std |1| > |2|. Naprenia te wynosz:

1

M h1, JZ

2

M h 2. JZ

Maksymalne naprenia normalne przy zginaniu:

max

M . WZ

Wz ­ wskanik wytrzymaloci przekroju na zginanie, zdefiniowany jako iloraz momentu bezwladnoci oraz maksymalnej odlegloci skrajnego wlókna od osi obojtnej.

W

JZ . hmax

WARUNEK WYTRZYMALOCIOWY dla zginanej belki o równej wytrzymaloci na rozciganie i na ciskanie ma posta

max

M dop . WZ

Z warunku wytrzymalociowego mona wyznaczy: ­ obcienia dopuszczalne dla zadanego przekroju belki, ­ wymagan wielko przekroju dla zadanego obcienia.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

137

Przyklady przekrojów belek

Dla przekroju prostoktnego (rys. a) moment bezwladnoci wzgldem osi Z (o obojtna) oraz wskanik wytrzymaloci przekroju na zginanie wynosz:

bh3 JZ bh2 JZ , WZ 1 . 12 h 6 2

Dla przekroju okrglego (rys. b)

1 d4 r 4 JZ D3 r 3 JZ W0 , WZ 1 . 2 64 4 D 32 4 2

O wytrzymaloci belki decyduje moment bezwladnoci przekroju wzgldem osi obojtnej. Z wytrzymalociowego punktu widzenia najbardziej korzystne s te przekroje, których wiksza cz pola powierzchni poloona jest moliwie daleko od osi obojtnej (rys. c). W praktyce przekrojami przeznaczonymi do pracy w warunkach zginania s przekroje dwuteowe (na rys. d pokazano model takiego przekroju). Przekroje dwuteowe (równie teowe, ceowniki, ktowniki itp.) s przekrojami znormalizowanymi (patrz tabele wyrobów hutniczych). Warto zwróci uwag, e niewlaciwe usytuowanie dwuteownika znacznie zmniejsza zdolno konstrukcji do przenoszenia obcie, np. obrócenie dwuteownika z rys. d o kt 90 spowoduje znaczce obnienie wytrzymaloci rzdu kilkudziesiciu procent.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

138

PRZYKLAD Dla belki wspornikowej obliczy wymiary przekroju poprzecznego. Przyj naprenia dopuszczalne dop = 140 MPa. Z wykresu momentów zginajcych wida, e maksymalny moment w utwierdzeniu wynosi Mmax = PL = 8 kNm. Warunek wytrzymalociowy ma posta:

P = 10 kN

L = 0,8 m

d

Mmax dop . W

PL

Z warunku tego wyznacza si warto liczbowa wskanika wytrzymaloci na zginanie:

W

Mmax 8 103 57,14 cm3 . dop 140

Dla belki o przekroju piercieniowym wskanik ten wynosi:

J W , 0,5d

d4 (0,8d)4 J 0,02898 d4 , 64

W 0,058 d3 .

Z zalenoci 0,058 d3 = 57,14 otrzymuje si: d = 9,95 cm. PRZYKLAD Dla belki jednoprzslowej obcionej sil skupion P okreli wymiary 4 typów przekrojów poprzecznych pokazanych na rysunku. Wybra przekrój najlepszy z ekonomicznego punktu widzenia.

1 2

a

RA= 0,5 P

P = 50 kN

R B= 0,5 P

L=3m

3

2b

t

4

h

d

a

b

PL 4

Do oblicze przyj dop = 150 MPa. Z wykresu momentów zginajcych okreli mona maksymalna warto momentu zginajcego Mmax = PL/4 = 503/4 = 37,5 kNm. Z warunku wytrzymalociowego wyznacza si wymagan warto wskanika wytrzymaloci na zginanie:

Mmax dop , W

W

Mmax 37,5 103 250 cm3 . dop 150

Dla porównania przekrojów wykorzystane zostan ich pola powierzchni. Dla poszczególnych przekrojów otrzymano nastpujce wartoci.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

d=0,8d

139

1. Przekrój kolowy

W

d3 32 W 3 32 250 , d3 13,66 cm , 32

a3 W , a 3 6 W 3 6 250 11 45 cm , , 6

F1

d2 146,46 cm2 . 4

2. Przekrój kwadratowy

F2 a2 1311cm2. ,

3. Przekrój prostoktny

W

b(2b)2 2b3 3 3 , b 3 W 3 250 7,21cm , 6 3 2 2

F3 2b2 104 cm2.

4. Przekrój dwuteowy: z tabel wyrobów hutniczych (Polskie Normy) znajduje si dwuteownik I220, posiadajcy wskanik W = 278 cm3 (h = 220 mm, t = 98 mm). Pole powierzchni tego dwuteownika wynosi F4 = 39,6 cm2. Z porównania pól powierzchni w odniesieniu do dwuteownika F1 : F2 : F3 : F4 = 3,70 : 3,31 : 2,63 : 1,00 wynika, e przekrój dwuteowy jest najlejszy (to porównanie ma wic aspekt ekonomiczny).

W

max

max

WZ T Smax dop JZ b

zginanej belce wystpuj naprenia normalne M dop oraz naprenia styczne obliczane ze wzoru (Smax ­ max moment statyczny przekroju). Dla

belki o przekroju dwuteowym na rysunku pokazano rozklady napre. W punktach 1 i 3 sprawdzane s warunki na max i max. Szczególnej uwagi wymaga punkt 3, w którym wystpuj razem due wartoci i - tutaj znajduje zastosowanie hipoteza Hubera: red 2 32 dop . 2 2 Z praktyki wiadomo, e naprenia styczne maj znacznie mniejszy wplyw ni naprenia normalne, jednake sprawdzenie warunku na maksymalne naprenia styczne max, a przede wszystkim sprawdzenie punktów, Rozklady napre normalnych i w których dzialaj lcznie naprstycznych w dwuteowniku enia normalne i styczne jest konieczne.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc 140

ODKSZTALCENIA BELEK

Odksztalceniami belki s: ­ ugicie belki y, zdefiniowane jako pionowe przemieszczenie rodka cikoci przekroju poprzecznego belki, ­ kt obrotu przekroju dy tg . , zdefiniowany jako kt obrotu

dx

normalnej do przekroju poprzecznego belki lub ze wzgldów praktycznych ­ prostopadlej do normalnej.

Odksztalcenia zginanej belki

Obliczanie odksztalce belek moliwe jest za pomoc metody calkowania tzw. równania róniczkowego linii ugicia belki. Metoda ta pozwala na wyznaczanie ugicia oraz kata obrotu w dowolnym przekroju x. W praktyce inynierskiej stosowane s równie uproszczone metody wyznaczania odksztalce belek. Jedn z metod jest metoda superpozycji.

Metoda superpozycji obliczania odksztalce belki

Metoda superpozycji pozwala wyznacza odksztalcenia tylko w wybranych punktach (np. poparcia, koce belki). Dla szybkiego stosowania metody naley korzysta z gotowych rozwiza dla podstawowych typów prostych belek (patrz tabela).

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

141

Przemieszczenia prostych belek

Belka Kt obrotu Przemieszczenie

PL2 A 16EJ PL2 B 16EJ qL3 A 24EJ B qL 24EJ

3

y max

PL3 48EJ

dla x = L/2

y max

5 qL4 384 EJ

dla x = L/2

ML A 6EJ ML B 3EJ

PL2 B 2EJ qL3 B 6EJ

y

1 x L 2

ML2 16EJ

y max

ML2 9 3EJ

PL3 yB 3EJ qL4 yB 8EJ

ML B EJ

ML2 yB 2EJ

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

142

PRZYKLAD 7.8 Dla belki przedstawionej na rysunku obliczy ugicie i kt obrotu punktu C. Przyj: P = 40 kN, q = 2,5 kN/m, EJ = 50 MNm2. Aby zastosowa metod superpozycji, naley rozdzieli obcienia na sil skupion P oraz obcienia cigle q. Poniewa q dziala na czci belki znajdujcej si poza podporami, naley uwzgldni moment M oddzialujcy na cz belki AB.

RA P = 40 kN R B q = 5 kN/m

A

a=5m

1

a=5m L P

B

b=4m

y

1

B1

2a 2

(qb)

2b

q

B2b

y

2b

1. Belka obciona sil P:

PL2 Pa2 40 52 B1 103 0,005 rad 0,29 , 16EJ 4EJ 4 50 y1 a tgB1 a B1 4 0,005 103 20 mm .

2. Belka obciona rozloon równomiernie sil q. 2a. Odksztalcenie przsla AB:

B2a qa2 2a qa3 2,5 53 ML 2 103 0,00208 rad 0,12, 3EJ 3EJ 3EJ 3 50 y 2a a B2a 4 0,00208 103 8,3 mm .

2b. Odksztalcenie wspornika BC:

qa4 2,5 44 10 16 mm, 8EJ 8 50 qa3 2,5 43 10 3 0,00053 rad 0,03. 6EJ 6 50 y 2b

B2b

Calkowite ugicie koca C:

yC y1 y2a y2b 20,0 8,3 16 4,3 mm .

B B1 B2a 0,29 0,12 0,17.

Kt obrotu przekroju belki na podporze B:

Kt obrotu przekroju belki na kocu C:

C B1 B2a B2b B B2b 0,17 0,03 0,17.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc 143

y

q

B2a

M = qb /2

2a

2

BELKI STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE

W belce statycznie niewyznaczalnej liczba niewiadomych reakcji podporowych jest wiksza od liczby równa statyki. Rónica pomidzy tymi wielkociami okrela stopie statycznej niewyznaczalnoci zadania. Rysunek pokazuje, jak belka statyczne wyznaczalna staje si belk statycznie niewyznaczaln.

a)

A

RA

P

C

RB

B

b)

A

RA

P

RC

C

RB

B

Belka statycznie wyznaczalna i statycznie niewyznaczalna

Belka pokazana na rysunku a jest belk statycznie wyznaczaln (plaski uklad sil równoleglych). Z dwóch równa statyki wyznacza si reakcje RA i RB. Ze wzgldów konstrukcyjnych moe si okaza, e ugicie belki w przekroju C przekracza wartoci dopuszczalne i konieczne jest podparcie belki w tym punkcie (rys. b). Skutkiem dodatkowego podparcia jest pojawienie si trzeciej reakcji RC i belka staje si jednokrotnie statycznie niewyznaczalna.

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

144

Przyklad Dla belki pokazanej na rysunku wyznaczy reakcje, korzystajc z metody superpozycji.

Równania równowagi:

(1) (2)

MA 0 MB 0

qL2 RBL MA 0, 2 qL2 R AL MA 0. 2

Zdanie jest jednokrotnie statycznie wyznaczalne ­ naley uloy jedno równanie geometryczne. Zadanie rozwizano dwoma sposobami. 1. Równanie geometryczne yB = 0 (rys. a). Po uwolnieniu belki z podparcia B naley obliczy jej ugicie wywolane obcieniem q oraz sil RB

qL4 yB1 , 8EJ yB 2 R L B , 3EJ qL4 RBL 3 yB1 yB2 RB qL. 8EJ 3EJ 8

2. Równanie geometryczne A = 0 (rys. b). Po uwolnieniu belki z utwierdzenia, naley porówna kty obrotu na podporze A:

A1 qL3 M L , A 2 A , 24EJ 3EJ A1 A 2 qL3 M L qL2 A MA . 24EJ 3EJ 8

Z ukladu dwóch równa statyki oraz jednego z przedstawionych wyej równa geometrycznych otrzymuje si:

RA 5 qL, 8 RB 3 qL, 8 MA 1 2 qL . 8

12 Zginanie plaskie belek prostych.doc

145

Information

ZGINANIE PLASKIE BELEK PROSTYCH

18 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

627694