Read A:\\OHTMHL09.DOC text version

TMHL09 - Hållfasthetslära - Dimensioneringsmetoder Sammanfattning Får ej medföras på tentamen

Stabilitet - diskreta system Fjädermodeller Måterförande - Mutböjande = 0 ger kritisk last (ett egenvärde)

Måterförande > Mutböjande ger stabil jämvikt Måterförande < Mutböjande ger instabil jämvikt

last

Jämviktsförgrening

stora deformationer

instabil jvkt indifferent

bifurkationspunkt

stabil jvkt

deformation

Energibalans

V = Eelast - P

där V är potentialen, Eelast är den i strukturen upplagrade elastiska energin, och P är av yttre lasten utfört arbete. dV = 0 ger kritisk last d

d2V >0 d2 d2V om stabil jvkt; <0 d2 om instabil jvkt

Stabilitet - axialbelastade balkar Axialbelastade balkar

DE: w(x)IV + P q(x) w''(x) = EI EI

Lösning:

w(x) = wpart(x) + whom(x) där whom(x) = C1 + C2 px + C3 sin px + C4 cos px och p = EI P /

Randvillkor på w, w', M = - EIw'' och T = - EIw''' - Pw' OBS: Nytt RV på tvärkraften T!

1

Randvillkoren ger ett ekvationssystem med 4 ekvationer och 4 obekanta (C1 till C4). Icke-trivial lösning av ekvationssystemet erhålls då systemdeterminanten = 0 vilket ger kritisk last. Elementarfall: Eulerfallen, se formelsamling.

Plant spänningstillstånd Ångpanneformlerna:

x = p a 2h och = p a h

Plant spänningstillstånd x, y, xy ger spänningar i riktning :

y

n

n() = .......

n

x

( x , xy )

n() = ....... (se formelsamling)

Elimineras fås Mohrs spänningscirkel

(n - c)2 + 2 = R 2 n

R

2 ( y , - xy ) -

2

c

1 1

där

x + y c = 2 och R =

x - y 2 2 + xy 2

En vinkel i positiv led i xy-planet svarar mot vinkeln 2 i negativ led i Mohrs spänningscirkel Spänningscirkeln ger huvudspänningar 1,2 och max skjuvspänning max: 1 , 2 = c ± R och max = R Huvudspännigsriktningen (till 1) fås ur

sin21 = xy R

2

r

Rotationssymmetri Spänningar: r(r) och (r) Radiell förskjutning: u(r)

r

Jämvikt (vid rotation, vinkelhastighet ): d { r r (r) h(r)} - (r) h(r) = - r 2 2 h(r) dr Deformationssamband du u r (r) = och (r) = dr r Material: Hookes lag Plan spänning, d v s z = 0, ger (h = konstant) B 3+ r (r) = A - 2 - 2 r 2 8 r

(r) = A + B 1 + 3 - 2 r 2 2 8 r

1- 1 + B 1 - 2 u(r) = Ar- - 2 r 3 E E r 8E Randvillkor på r och/eller u ger A och B

Krympförband

Diametralt grepp = Di - dy, radiellt grepp uy - ui = = /2 ger kontakttrycket (krymptrycket) p

Tre-axligt spänningstillstånd Spänningstillståndet i en punkt

x S = ij = yx zx xy y zy xz yz z

Huvudspänningarna fås ur x - xy xz nx 0 y - yz n y = 0 (45) yx zy z - nz 0 zx determinanten = 0 ger en tredjegradsekvation i , vilket ger tre rötter i (i = 1, 2, 3). Roten = i införd i (45) ger riktningen för huvudspänningen i (i = 1, 2, 3)

3

Alternativ formulering Huvudspänningarna fås ur

det ( S - I ) = 0 (48a) (48b) (48c)

Huvudspänningsriktningarna ges av (S - i I)ni = 0

och nT ni = 1 i

Hookes generaliserade lag med temperaturterm 1 x = [ x - ( y + z ) ] + T E

y = z = xy = 1 [ - ( z + x ) ] + T E y 1 [ - ( x + y ) ] + T E z

xy yz zx E yz = zx = där G = G G G 2(1 +) (gäller då materialet är elastiskt, d v s då e < s)

Flythypoteser Definition av effektivspännigen e enligt Tresca:

T = max { | 1 - 2 | , | 2 - 3 | , | 3 - 1 | } e = 1 - 3 om 1 > 2 > 3

enligt von Mises:

vM = e

1 { ( 1 - 2 )2 + ( 2 - 3 )2 + ( 3 - 1 )2 } 2

= ) 2 + 2y + 2 - x y - y z - z x + 3 (2 + 2yz + 2 x z xy zx

Elastiskt tillstånd om e < s Plasticering inträffar då e = s

4

Utmattning Wöhlerkurva Ger livslängd N som funktion av spänningsamplituden a. Spänning under utmattningsgränsen u ger "oändlig" livslängd (med viss sannolikhet). Haigh-diagram Ger utmattningsgränsen u som funktion av spänningens medelvärde m. Utmattningsgränsen (Haigh-diagrammet) reduceras med avseende på ytfinhet, materialvolym, belastad volym mm (, , ...). Arbetspunkten Arbetspunkten ges av Kt nom och Kf nom, där Kt är spänningskoncentrationsm a faktorn och Kf är anvisningsfaktorn: Kf = 1 + q(Kt - 1) Rain-flow count (regndroppsmetooden) Räkning av cykler vid oregelbunden last Palmgren-Miners delskadeteori Delskada: ni / Ni Brott inträffar då

ni =1 Ni

Svängningar Diskreta system, en frihetsgrad: Rörelseekvationen blir M x + c x + kx = F(t) ¨ med lösning x(t) = xpart(t) + xhom(t) där och

xhom(t) = e

- 0t

C1 cos 0 2 t + C2 sin 0 2 t 1 - 1 - 0 =

då 0 < 1

k M

och =

c 2 kM

Begynnelsevillkor ger konstanterna C1 och C2. Harmonisk excitation F(t) = F0sint ger svängningsamplituden A, där F0 / k A= (1 - (/0)2)2 + (2 / 0)2

5

Diskret system, två (eller flera) frihetsgrader: Teckna rörelseekvationerna (en för varje frihetsgrad). Eliminera snittstorheter. Ansätt lösningar x1 = A sint, x2 = B sint, o s v. För fri svängning ger det ett homogent ekvationssystem för konstanterna A, B ... Sätt systemdeterminanten till noll. Det ger egenvinkelfrekvenserna (och egenmoderna). Böjsvängande balk Differentialekvation:

EI w IV(x, t) + m w(x, t) = q(x, t) ¨

med lösning

w(x, t) = wpart(x, t) + whom(x, t)

För den homogena delen ansätts whom(x, t) = X(x) T(t) vilket ger

X(x) = {C1 cosh µx + C2 cos µx + C3 sinh µx + C4 sin µx }

där

µ4 = m2 / EI och för T(t) kan man i regel använda

T(t) = eit Randvillkor ger konstanterna C1 till C4. Sätt systemdeterminanten till noll. Det ger egenvinkelfrekvenser och egenmoder.

Energimetoder Töjningsenergi u per volymsenhet (vid linjärt elastiskt material) u= och/eller u= 2 2 Total töjningsenergi i balk

2 2 2 2 L N(x) + Mv(x) + Mböj(x) + T(x) dx Utot = 2EA(x) 2GKv(x) 2EI(x) 2GA(x) 0

Vid linjärt varierande böjmoment M(x) = M1 + (M2 M1)x / L erhålls L 2 2 {M1 + M1 M2 + M2 } U= 6EI Castiglianos sats Förskjutning p g a kraft P: Rotation (vinkeländring) p g a moment M:

6

=

U(P) P = U(M) M

Statiskt obestämd infästning Inför de övertaliga stödreaktionerna som obekanta, t ex en övertalig stödreaktion R. Castiglianos sats ger U = = 0 som ger R R Statiskt obestämda snittstorheter Inför de övertaliga snittstorheterna som obekanta, t ex en övertalig snittstorhet M. Castiglianos sats ger U = = 0 som ger M M

7

Information

A:\\OHTMHL09.DOC

7 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

164515


You might also be interested in

BETA