Read SKAITINIAI METODAI - 4 tema. TIESIOGINIAI TIESINIØ ALGEBRINIØ LYGÈIØ SISTEMØ SPRENDIMO METODAI text version

SKAITINIAI METODAI

4 tema. TIESIOGINIAI TIESINI ALGEBRINI LYGCI SISTEM SPRENDIMO METODAI

Lekt. Svajnas Sajavicius Mykolo Romerio universitetas

2010/2011 s.m. rudens semestras

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

1 / 37

Turinys

1

Modelio pavyzdys. Pagrindinio uzdavinio formulavimas Gauso metodas Zordano-Gauso metodas Perkelties metodas Skaidos metodas Choleckio metodas

2

3

4

5

6

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

2 / 37

Modelio pavyzdys. Pagrindinio uzdavinio formulavimas

Leontjevo snaud ir gamybos modelis

Tarkime, kad yra trys pramons sakos: zems kis, lengvoji pramon ir kuro pramon Leontjevo (technologin matrica):

Produkcija Zems kis Lengvoji pramon Kuro pramon Snaudos Zems kis 0.6 0.2 0.1 Lengvoji pramon 0.1 0.2 0.4 Kuro pramon 0.1 0.4 0.4

Bendroji produkcija: x1 ­ zems kio, x2 ­ lengvosios pramons, x3 ­ kuro pramons

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

3 / 37

Modelio pavyzdys. Pagrindinio uzdavinio formulavimas

Leontjevo snaud ir gamybos modelis

Snaudos: Zems kio produkcijos: 0.6x1 + 0.1x2 + 0.1x3 Lengvosios pramons produkcijos: 0.2x1 + 0.2x2 + 0.4x3 Kuro pramons produkcijos: 0.1x1 + 0.4x2 + 0.4x3

Pervirsiai: Zems kio produkcijos: x1 - (0.6x1 + 0.1x2 + 0.1x3 ) Lengvosios pramons produkcijos: x2 - (0.2x1 + 0.2x2 + 0.4x3 ) Kuro pramons produkcijos: x3 - (0.1x1 + 0.4x2 + 0.4x3 )

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

4 / 37

Modelio pavyzdys. Pagrindinio uzdavinio formulavimas

Leontjevo snaud ir gamybos modelis

Tarkime, kad eksportui ir kt. reikmms reikia 5 vnt. zems kio produkcijos, 2 vnt. lengvosios pramons produkcijos ir 9 vnt. kuro pramons produkt:

x1 - (0.6x1 + 0.1x2 + 0.1x3 ) = 5,

1 2 3 2 x - (0.1x + 0.4x + 0.4x ) = 9, 3 1 2 3

x - (0.2x + 0.2x + 0.4x ) = 2,

t.y.

0.4x1 - 0.1x2 - 0.1x3 = 5, -0.2x + 0.8x - 0.4x = 2,

1 2 3 -0.1x - 0.4x + 0.6x = 9. 1 2 3

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

5 / 37

Modelio pavyzdys. Pagrindinio uzdavinio formulavimas

Pagrindinio uzdavinio formulavimas

Uzdavinys Reikia issprsti tiesini algebrini lygci sistem (TALS)

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n-1 xn-1 + a1n xn = b1 , a x + a x + ··· + a 21 1 22 2 2n-1 xn-1 + a2n xn = b2 , ·············································

an1 x1 + an2 x2 + · · · + an,n-1 xn-1 + ann xn = bn ,

cia aij , bi ­ duoti skaiciai, xi ­ nezinomieji.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

6 / 37

Modelio pavyzdys. Pagrindinio uzdavinio formulavimas

Pagrindinio uzdavinio formulavimas

Uzdavinys (matricin forma) Reikia issprsti tiesini algebrini lygci sistem (TALS) Ax = b, cia a11 a12 a a22 A = 21 · · · · · · an1 an2

··· ··· ··· ···

a1n-1 a1n a2n-1 a2n ··· ··· ann-1 ann

­ duota matrica, b = (b1 , b2 , . . . , bm )T ­ duotas vektorius (laisvieji nariai), x = (x1 , x2 , . . . , xn )T ­ nezinomj vektorius.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

7 / 37

Modelio pavyzdys. Pagrindinio uzdavinio formulavimas

TALS sprendimo metod klasifikacija

Tiesioginiai metodai ­ per baigtin zingsni skaici randamas tikslusis (jei neatsizvelgiame dl apvalinimo atsirandancias paklaidas) uzdavinio sprendinys:

Gauso metodas Zordano-Gauso metodas Perkelties metodas Skaidos metodas Choleckio metodas

Iteraciniai metodai ­ sprendziant uzdavinius siais metodais konstruojamos iteracins sekos ir randami pageidaujamo tikslumo sprendinio artiniai:

Paprastj iteracij metodas Zeidelio metodas Ricardsono metodas Cebysovo iteracinis metodas Relaksacijos metodas Variaciniai metodai (didziausiojo nuolydzio metodas, maziausij netikci metodas, jungtini gradient metodas)

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema 8 / 37

Gauso metodas

Gauso metodas. Metodo esm

Tai vienas is populiariausi tiesiogini TALS sprendimo metod. Bendrojo pavidalo n-osios eils TALS issprendziama mazdaug per 0.7n3 . Metodo esm: pertvarkyti sistemos matric A taip, kad ji tapt trikampe matrica su vienetais pagrindinje strizainje: 1 0 0 A · · · 0 0

a12 a13 1 a23 0 1 ··· ··· 0 0 0 0

··· ··· ··· ··· ··· ···

a1n-1 a1n a2n-1 a2n a3n-1 a3n . ··· ··· 1 an-1,n 0 1

Taikomi tokie ekvivalentieji pertvarkiai:

lygtis dauginama is skaiciaus, nelygaus nuliui; dvi lygtys keiciamos vietomis; lygtis, padauginta is skaiciaus, pridedama prie kitos lygties.

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema 9 / 37

Gauso metodas

Gauso metodas. Tiesiogin eiga

Pirmasis zingsnis. Pirmoji lygtis dalijama is a11 (jei a11 = 0) ir, padauginta is daugiklio -ai1 , i = 2, 3, . . . , n, pridedama prie i-osios lygties; po sio pertvarkio isplstin sistemos matrica yra tokia: 1 0 A1 = 0 · · · 0 a1 = 1j

a1 a1 12 13 a1 a1 22 23 a1 a1 32 33 ··· ··· a1 a1 n2 n3

··· ··· ··· ··· ···

a1 b1 1n 1 1 a2n b1 2 a1 b1 , 3n 3 · · · · · · 1 a1 nn bn

a1j 1 b1 , b1 = ; a11 a11 ai1 ai1 a1 = aij - a1j , b1 = bi - b1 , i, j = 2, 3, . . . , n. ij i a11 a11

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema 10 / 37

Gauso metodas

Gauso metodas. Tiesiogin eiga

Antrasis zingsnis. Pirmoji isplstins matricos eilut nekeiciama. Pirmojo zingsnio veiksmai atliekami su (n - 1)-osios eils isplstine matrica: 1 a22 a1 · · · a1 b1 23 2n 2 a1 a1 · · · a1 b1 1 33 3n 3 A = 32 . · · · · · · · · · · · · · · · 1 a1 a1 · · · a1 nn bn n2 n3 Tiesiogin eiga baigiama po (n - 1)-ojo zingsnio gavus tokio pavidalo isplstin matric: 1 0 = 0 · · · 0

An-1

a1 a1 12 12 1 a2 23 0 1 ··· ··· 0 0

··· ··· ··· ··· ···

a1 a1 b1 1n-1 12 1 a2 a2 b1 2n-1 2n 2 a3 a3 b2 . 3n-1 3n 3 ··· ··· ··· n-1 bn-1 0 ann n

11 / 37

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

Gauso metodas

Gauso metodas. Atbulin eiga

Apskaiciuojamos vis nezinomj reiksms: xn = bn-1 n , an-1 nn

n

xi = bi - i

k=i+1

ai xk , ik

i = n - 1, n - 2, . . . , 1.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

12 / 37

Gauso metodas

Gauso metodas. Pagrindinio elemento parinkimas

Jei kuriame nors tiesiogins eigos zingsnyje isplstins matricos pagrindins strizains elementas tampa lygus nuliui, reikia pritaikyti koki nors pagrindinio elemento parinkimo procedr:

Pirmasis bdas. Pertvarkant k-aj eilut, randama tokia lygtis (pazymkime jos numer m), kurioje koeficientas prie k-ojo nezinomojo yra didziausias: |amk | = maxk i n |aik |. Tada k-oji ir m-oji lygtys sukeiciamos vietomis, ir m-osios lygties koeficientas prie nezinomojo xk tampa pagrindiniu elementu. Antrasis bdas. Pagrindinis elementas parenkamas is pertvarkomos eiluts element: |akm | = maxk j n |akj |. Pernumeruojami nezinomieji xk ir xm bei simenama naujoji nezinomj tvarka. Treciasis bdas. Pagrindinis elementas parenkamas is vis sistemos matricos koeficient. Jei tokio elemento, is kurio bt galima dalyti atitinkamos eiluts elementus, nra, tai sistemos determinantas yra lygus nuliui (sistema neturi sprendini arba turi j be galo daug).

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

13 / 37

Gauso metodas

Gauso metodas. Algoritmo aprasymas

(1) Pradini duomen vedimas. vedamas lygci skaicius n, sistemos koeficientai aij ir laisvieji nariai bi . Zingsnio numeris k := 1. (2) Pagrindinio elemento parinkimas. Jei strizains elementas akk = 0, tai dvi lygtys sukeiciamos vietomis (pernumeruojamos), kad strizains elementas nebt lygus nuliui: akk = 0. (3) Lygties dalijimas. k-oji lygtis dalijama is strizains elemento akk : akj := akj , akk j = k, k + 1, . . . , n; bk := bk . akk

(4) Tiesiogins eigos etapo pabaigos tikrinimas. Jei k = n, tai tiesiogins eigos etapas baigtas ­ einame 7 zingsn; jei ne - einame 5 zingsn.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

14 / 37

Gauso metodas

Gauso metodas. Algoritmo aprasymas

(5) Nezinomj salinimas. Lygci sistema pertvarkoma taip, kad visose lygtyse, kuri numeris didesnis uz k, koeficientas prie xk bt lygus nuliui: k-oji lygtis dauginama is -aik ir pridedama prie i-osios lygties: su visais i, j = k + 1, k + 2, . . . , n: aij := aij - aik · akj , j = k, k + 1, . . . , n, bi := bi - aik · bk . (6) Naujo zingsnio vykdymas: k := k + 1, grztame 3 zingsn. (7) Sprendinio apskaiciavimas (atbulin eiga). Is paskutins lygties xn := bn , o kiti nezinomieji apskaiciuojami atvirkstine tvarka: su visais i = n - 1, n - 2, . . . , 1: xi := bi - (ai,i+1 · xi+1 + ai,i+2 · xi+2 + · · · + ain · xn ). Skaiciavimai baigiami.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

15 / 37

Gauso metodas

Gauso metodas. Pavyzdys

Gauso metodu sprsime sistem

0.01x1 +2x2 +0.2x3 +x4 = 2.2, 0.02x1 +2x3 +0.5x4 = 2.0, 0.035x1 +x2 +3x3 +x4 = 4.0, 0.05x1 +2x2 +x3 = 3.0; Pagrindin element rinksims antruoju bdu Apvalinsime iki trij skaitmen po kablelio

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

16 / 37

Gauso metodas

Gauso metodas. Pavyzdys

Isplstins matricos pertvarkymai:

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

17 / 37

Gauso metodas

Gauso metodas. Pavyzdys

Nezinomj numerius keitme tris kartus Paskutin isplstin matrica atitinka toki sistem:

x2

+0.1x3 +0.5x4 0.005x1 = 1.1, x3 +0.25x4 +0.01x1 = 1.0, x4 +0.004x1 = 0.0, -0.027x1 = 0.0.

Sistemos sprendinys yra toks: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 0.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

18 / 37

Zordano-Gauso metodas

Zordano-Gauso metodas. Metodo esm

Tiesiogin metodo eiga sutampa su Gauso metodo tiesiogine eiga Atbulinje eigoje su n-ja, (n - 1)-ja, ir t.t, 1-ja eilute atliekami tokie patys veiksmai kaip ir tiesioginje eigoje: nuliais paverciami sistemos matricos elementai, esantys virs pagrindins strizains. Po vis pertvarki gaunama tokia isplstin matrica: 1 0 An = 0 · · · 0

0 1 0 ··· 0

0 0 1 ··· 0

··· ··· ··· ··· ···

0 0 0 ··· 1

bn 1 bn 2 bn 3 · · · bn n

Sistemos sprendinys yra laisvj nari stulpelyje: xi = bn , i i = 1, 2, . . . , n.

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema 19 / 37

Zordano-Gauso metodas

Zordano-Gauso metodas. Algoritmo aprasymas

(1)­(6) Tiesiogin eiga tokia pati kaip ir Gauso algoritmo (7) Nezinomj salinimas. k-oji lygtis dauginama is -aik ir pridedama prie i-osios lygties: su visais i, j = k - 1, k - 2, . . . , 1: aij := aij - aik , j = k, k - 1, . . . , 1; bi := bi - aik · bk (8) Atbulins eigos etapo pabaigos tikrinimas. Jei k = 1, tai sistema jau pertvarkyta strizainin ­ einame 10 zingsn. Jei ne ­ einame 9 zinsgn. (9) Naujo zingsnio vykdymas. Sumaziname zingsni skaitiklio reiksm: k := k - 1, grztame 7 zingsn. (10) Sprendinio apskaiciavimas: xi := bi , i = n, n - 1, . . . , 1.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

20 / 37

Zordano-Gauso metodas

Zordano-Gauso metodas. Pavyzdys

Zordano-Gauso metodu sprsime lygci sistem:

4x 1 3x1

5x1

2x2 +6x3 = 10, -4x2 +8x4 = 4, -x2 +6x3 +4x4 = 13, -x2 +12x4 = 17.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

21 / 37

Zordano-Gauso metodas

Zordano-Gauso metodas. Pavyzdys

Paverciame nuliais elementus virs strizains:

Sprendinys yra laisvj nari stulpelyje: x1 = 3, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 0.

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema 22 / 37

Perkelties metodas

Perkelties metodas. Tristrizains sistemos

Taikomas TALS su tristrizainmis matricomis sprsti:

b1 x1 + c1 x2 a x + b x + c x 2 1 2 2 2 3

= d1 , = d2 , = di , = dn .

··························· ····················· an xn-1 + bn xn

ai xi-1 + bi xi + ci xi+1

Tristrizains sistemos atsiranda skaitiskai sprendziant vairius diferencialinius modelius

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

23 / 37

Perkelties metodas

Perkelties metodas. Metodo esm

Is pirmosios sistemos lygties isreiskiame x1 : x1 = - d1 c1 x1 + , b1 b1

t.y. x1 = C1 x2 + D1 , C1 = -c1 /b1 , D1 = d1 /b1 . Is antrosios lygties pasaliname x1 ir isreiskiame x2 : x2 = - cia C2 = - d2 - D1 a2 c2 x3 + = C2 x 3 + D 2 , b2 + C1 a2 b2 + C1 a2

c2 d2 - D1 a2 , D2 = . b2 + C1 a2 b2 + C1 a2 Is i-osios lygties isreiskiamas xi : xi = Ci xi+1 + Di , cia Ci = - ci di - Di-1 ai , Di = . bi + Ci-1 ai bi + Ci-1 ai

Skaitiniai metodai ­ 4 tema 24 / 37

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Perkelties metodas

Perkelties metodas. Metodo esm

n-ojoje lygtyje cn = 0, todl Cn = 0 ir xn = Dn . Zinant xn reiksm, kiti nezinomieji apskaiciuojami pagal grztamj formul: xi = Ci xi+1 + Di , i = n - 1, n - 2, . . . , 1.

Perkelties metodo skaiciavim apimtis proporcinga 8n Gauso metodo skaiciavim apimtis proporcinga (2/3)n3 , t.y. perkelties metodu tristrizain n-osios eils lygci sistema issprendziama (1/12)n2 kart greiciau negu Gauso metodu.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

25 / 37

Perkelties metodas

Perkelties metodas. Algoritmo aprasymas

1

Perkelties koeficient skaiciavimas. Apskaiciuojame koeficientus: C1 = - Ci = - c1 , b1 D1 = d1 ; b1 Di = di - Di-1 ai , bi + Ci-1 ai i = 2, 3, n.

ci , bi + Ci-1 ai

2

Nezinomj apskaiciavimas. Apskaiciuojame nezinomuosius: xn = Dn ; xi = Ci xi+1 + Di , i = n - 1, n - 2, . . . , 1.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

26 / 37

Perkelties metodas

Perkelties metodas. Pavyzdys

Issprsime tristrizain lygci sistem

-2.160x1 0.889x

1

+1.075x2 = -0.836, -2.160x2 +1.111x3 = 0.198, 0.834x2 -2.160x3 +1.166x4 = 0.441, 0.752x3 -2.160x4 = -8.238.

Apskaiciuojame perkelties koeficientus: C1 = 0.497, C2 = 0.647, C3 = 0.720, D1 = 0.387, D2 = 0.050, D3 = -0.228.

Pagal perkelties formules atbuline tvarka apskaiciuojame nezinomj reiksmes: x4 = 4.983,

Lekt. S. Sajavicius / MRU

x3 = 3.357,

x2 = 2.257,

x1 = 1.510.

27 / 37

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

Skaidos metodas

Skaidos metodas. Metodo esm

Sprendziamos sistemos AX = F matrica A isskaidoma dviej trikampi (apatins L ir virsutins U ) matric sandaug ­ A = LU :

=U

l11 l 21 A = l31 · · · ln1

0 l22 l32 ··· ln2

··· ··· ··· ··· ···

=L

0 0 0 ··· ln,n-1

0 u11 u12 0 u 0 22 0 · 0 0 · · · · · · · · · lnn 0 0

··· ··· ··· ··· ···

u1,n-1 u1n u2,n-1 u2n u3,n-1 u3n . ··· ··· 0 unn

Toliau sprendziamos dvi sistemos su trikampmis matricomis: AX = F LU X = F

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema

LY = F, U X = Y.

28 / 37

Skaidos metodas

Skaidos metodas. Metodo realizavimas

Matricos U elementai apskaiciuojami pagal Gauso metodo formules: akj := akj - lki aij , lki = aki /aii , Laisvieji nariai:

k-1

j = i + 1, i + 2, . . . , n, k = i + 1, i + 2, . . . , n.

y1 = f1 ,

yk = fk -

i=1

lki yi ,

k = 2, 3, . . . , n.

Matricos L elementai yra tiesiogins Gauso metodo eigos daugikliai: lki , i = 1, 2, . . . , n - 1, k = i + 1, i + 2, . . . , n,

o strizains elemetai lii = 1, i = 1, 2, . . . , n.

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema 29 / 37

Skaidos metodas

Skaidos metodas. Pavyzdys

Skaidos metodu issprsime sistem

x1 +x2 +2x3 = 0.5, 2x1 -x2 +2x3 = 1.0, 4x +x +4x = -1.5. 1 2 3 Isskaidome matric A:

Gauso metodo daugikliai: l21 = 2, l31 = 4, l32 = 1, todl...

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema 30 / 37

Skaidos metodas

Skaidos metodas. Pavyzdys

Matricos L ir U : 1 0 0 L = 2 1 0 , 4 1 1

1 1 2 U = 0 -3 -2 . 0 0 -2

Paeiliui sprendziame dvi trikampes lygci sistemas:

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

31 / 37

Choleckio metodas

Choleckio metodas. Apibrzimai

Apibrzimas (simetrin matrica) Kvadratin n-osios eils matrica A = (aij ) vadinama simetrine, jei aij = aji , 1 i n, 1 j n. Apibrzimas (skaliarin sandauga) Dviej n-maci vektori X ir Y skaliarin sandauga:

n

(X, Y) =

i=1

xi yi .

Apibrzimas (teigiamai apibrzta matrica) Kvadratin n-osios eils matrica vadinama teigiamai apibrzta, jei su bet kuriuo nenuliniu vektoriumi X galioja nelygyb (AX, X) > 0.

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema 32 / 37

Choleckio metodas

Choleckio metodas. Metodo esm

Metodas taikomas tada, kai matrica A yra simetrin ir teigiamai apibrzta Matrica A isskaidoma apatins trikamps matricos L ir jos transponuotos matricos LT sandaug ­ A = LLT :

=LT

l11 l 21 A = l31 · · · ln1

0 l22 l32 ··· ln2

··· ··· ··· ··· ···

=L

0 0 0 ··· ln,n-1

0 l11 0 0 0 · 0 · · · · · · 0 lnn

l21 l22 0 ··· 0

··· ··· ··· ··· ···

ln-1,1 ln1 ln-1,2 ln2 ln-1,3 ln3 . ··· · · · 0 lnn

Toliau sprendziamos dvi sistemos su trikampmis matricomis: AX = F LLT U X = F

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema

LY = F, LT X = Y.

33 / 37

Choleckio metodas

Choleckio metodas. Metodo esm

Matric L padauginame is matricos LT pirmojo stulpelio: ak1 2 , k = 2, 3, . . . , n; l11 = a11 l11 = a11 ; lk1 l11 = ak1 lk1 = l11 Matric L padauginame is matricos LT antrojo stulpelio:

2 2 l21 + l22 = a22 l22 = 2 a22 - l21 ,

lk1 l21 + lk2 l22 = ak2 lk2 =

ak2 - lk1 l21 , l22

k = 3, 4, . . . , n;

Rad visus matricos L stulpelius iki (j - 1)-ojo imtinai, matric L padauginame is matricos LT j-ojo stulpelio:

j-1 2 lji i=1 j-1 j

+

2 ljj

= ajj ljj =

ajj -

i=1

2 lji , j-1 i=1 lki lji

lki lji + lkj ljj = akj lkj =

i=1

Lekt. S. Sajavicius / MRU

akj -

ljj

, k = j + 1, j + 2, . . . , n.

34 / 37

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

Choleckio metodas

Choleckio metodas. Algoritmo aprasymas

(1) Apskaiciuojame l11 = a11 . (2) Su visais j nuo 2 iki n:

(2.1) Apskaiciuojame matricos L (j - 1)-ojo stulpelio elementus: su visais k nuo j iki n: ak,j-1 lk,j-1 = lj-1,j-1 , j k n; ciklo pagal k pabaiga; (2.2) Perskaiciuojami matricos A elementai: su visais k nuo j iki n ir su visais i nuo 1 iki j - 1: akj = akj - lki lji ciklo pagal i pabaiga ciklo pagal k pabaiga (2.3) Apskaiciuojami matricos L strizains elementai: ljj = ajj .

ciklo pagal j pabaiga. (3) Issprendziama trikamp sistema LY = F. (4) Issprendziama trikamp sistema LT X = Y.

Lekt. S. Sajavicius / MRU Skaitiniai metodai ­ 4 tema 35 / 37

Choleckio metodas

Choleckio metodas. Pavyzdys

Issprsime lygci sistem su simetrine matrica:

2 1 1 x1 3 1 2.5 1 · x2 = 5 . 1 1 3 x3 0 Matricos L elementai: l11 = 2, l12 = 1/ 2, l22 = l33 = 1.5 - 1 = 2, 2

2

l31 = 1/ 2; 1- l32 = 1

2

2 2

1

·

1 2

1 = ; 2 2

1 3- 2

-

2 2

=

19 . 8

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

36 / 37

Choleckio metodas

Choleckio metodas. Pavyzdys

Matricos A isskaidoma taip: 2 2 1 1 1 2 A = 1 2.5 1 = 1 1 1 3

2

0 2

1 2 2

1 2 2 0 0 · 0 2

19 8

0

0

1 2 1 . 2 2 19 8

2

1 Sistema LY = F: 2

1 2

0 2

Sprendinys: y1 =

0 0 Sprendinys: x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1.

Lekt. S. Sajavicius / MRU

Sistema LT X = Y: 0

1 2 2 3 7 , y2 = , 2 2 2 1 2 2

0 y1 3 0 · y2 = 5 19 y3 0

8

y3 = -

1 2 1 2 2 19 8

19 8 .

2

x1 2 7 · x2 = 22 x3 - 19

8

37 / 37

3

Skaitiniai metodai ­ 4 tema

Information

SKAITINIAI METODAI - 4 tema. TIESIOGINIAI TIESINIØ ALGEBRINIØ LYGÈIØ SISTEMØ SPRENDIMO METODAI

37 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

350972