Read Matematin analiz ir tiesin algebra text version

Specialieji analizs skyriai

.

Specialieji analizs skyriai

Kompleksinio kinamojo funkcij teorija Furje eiluts ir Furje integralai Operacinis skaiciavimas

. Lauko teorijos elementai

2

Kompleksinio kintamojo funkcij teorija

1. Kompleksini skaici aibs. Kompleksinio kintamojo funkcija. Riba. Isvestin. Analizins funkcijos. Kosi ir Rymano slygos. Laplaso lygtis. Harmonins funkcijos. 2. Laipsnin funkcija. Rodyklin funkcija. Trigonometrins ir hiperbolins funkcijos. Logaritmin funkcija. Apibendrintoji laipsnin funkcija. 3. Integralo apibrzimas, savybs, skaiciavimas, vertinimas. Kosi integralin teorema. Kosi teorema daugiajungei sriciai. Kosi integralin formul. Analizini funkcij aukstesnij eili isvestins. Kosi nelygyb. Liuvilio teorema. Moreros teorema. 4. Kompleksini skaici sekos ir eiluts. Konvergavimo pozymiai. Laipsnins eiluts. Teiloro ir Makloreno eiluts. 5. Analizins funkcijos nuliai. Lorano eilut. Ypatingieji taskai. Rezidiumai ir j taikymas.

3

Kompleksinio kintamojo funkcij teorija. Literatra.

· A. Krylovas, J. Raulynaitis. Kompleksinio kintamojo funkcij teorija, V.: Technika, 2006 · A. Nagel, L. Papreckien. Kompleksinio kintamojo funkcij teorija, V., 1996 · A. Kabaila, P. Rumsas. Kompleksinio kintamojo funkcij teorija, V.: Mintis, 1971 · A. Barauskas, Z. Navickas, V. Tvelis. Kompleksinio kintamojo funkcijos ir operacinis skaiciavimas. V.: Mokslas, 1986 · .. , .. . , ., 2002 · E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006 · P. Alekna. Kompleksinio kintamojo funkcij teorijos uzdavinynas, SU, 2006 · A. Krylovas. Kompleksinio kintamojo funkcij teorijos savarankisko darbo uzduotys. Sprendimai ir atsakymai. V.: Technika, 1996 · A. Nagel, L. Navickait. Kompleksinio kintamojo funkcij teorijos uzdaviniai, V., 1975 · A. Nenortien, Z. Navickas, I. Pranevicien. Kompleksinio kintamojo funkcij teorijos uzdavinynas, V., 1985

4

Furj eiluts ir Furj integralai

1. Trigonometrin Furj eilut. Funkcij su periodu 2L Furj eiluts. Lygini ir nelygini funkcij Furj eiluts. 2. Funkcij isreiskimas Furj eilute atkarpoje [0, L]. Furj eiluts kompleksin forma. 3. Furj integralas. Kompleksin Furj integralo forma. Furj transformacija.

5

Furj eiluts ir Furj integralai. Literatra

· E. Bajornas, N. Janusauskait, V. Vteris. Furj eiluts, K., 1988 · · · V. Pekarskas, Trumpas matematikos kursas. - Kaunas, Technologija, 2006 V. Iljinas, E. Pozniakas. Matematins analizs pagrindai, V.: Mokslas, 1981, t.2, sk.X . . , , ., , 1980

· E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006

6

Operacinis skaiciavimas

1. Laplaso transformacija. Tiesiskumo teorema. Panasumo teorema. Postmio teorema. Vlavimo teorema. Egzistavimo ir vienaties teorema. Isvestins ir integralo transformacijos. Laplaso transformacijos diferencijavimas ir integravimas. 2. Ssuka. Ssukos Laplaso transformacija. Diuamelio formul. Atvirkstin Laplaso transformacija. Atvirkstins transformacijos skaiciavimas. 3. Laplaso transformacijos taikymai. Integralins lygtys. Tiersnins diferencialins lygtys su pastoviais koeficinetais. Tiesini diferencialini lygci sistemos.

7

Operacinis skaiciavimas. Literatra

·

J. Rimas. Operacinis skaiciavimas, K.: Technologija, 2006 E. Dagien, E. Kirjackis, A. Krylovas. Operacinis skaiciavimas. V.: Technika, 2000 A. Barauskas, Z. Navickas, V.Tvelis. Kompleksinio kintamojo funkcijos ir operacinis skaiciavimas. V.: Mokslas, 1986

· ·

· E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006 · . . , . . . , ., , 1973

8

Lauko teorijos elementai

1. Skaliarinis laukas. Vektorinis laukas. Gradientas. Kryptin isvestin. Potencialai.. 2. Divergencija. Rotorius. Kreiviniai integralai. Gryno teorema. Pavirsiniai integralai. Gauso-Ostrogradskio teorema. 3. Lauko teorijos taikymai. Stokso teorema.

9

Lauko teorijos elementai. Literatra

· · · · · · · · · P. Alekna, Keli kintamj funkcij integralai (dvilypiai, trilypiai, kreiviniai, pavirsiniai): uzdavinynas, S., SU, 2003 V. Liutikas, A. Miliusas, E. Vakrina, Daugialypiai, kreiviniai ir pavirsiniai integralai: uzdavini rinkinys, V., VISI, 1985

10

E. Kirjackis, B. Kryzien. Lauko teorijos pagrindai, V.: Technika, 1996 E. Kirjackis, B. Kryzien. Lauko teorijos elementai, V.: Technika, 1998 (tsinys) V. Iljinas, E. Pozniakas. Matematins analizs pagrindai, V.: Mokslas, 1981, t.2, sk. V-VII I. Pranevicien, H. Pranevicius, Lauko teorija, K., Technologija, 2004 E. Kreyszig, Anvanced engineering mathematics, 2006 .. , .. , .. . , .: , 1978

Vertinimo tvarka

20% 20%

10%

50%

1 kolokviumas 2 kolokviumas Papildomi balai Egzaminas

11

Papildomi balai

Savarankiski darbai Nam darbai Aktyvumas Teisingi atsakymai

12

Kompleksinio skaiciaus apibrzimas

Tarkime, A ­ aib, kurioje apibrzta algebrine operacija .

a , b A : a ° b = c A.

Siuo atveju sakoma, kad aib A yra uzdara operacijos atzvilgiu. + {0} {0}

13

-

/

2n

2 n1

Kompleksinio skaiciaus apibrzimas

Realij skaici aibje negalima istraukti lyginio laipsnio saknies is neigiamo skaiciaus. Pvz.,

-2

Arba, kas yra tas pats, negalima issprsti lygt z2 2 = 0 (1)

Realij skaici aib R galima praplsti iki kompleksini skaici aibs C, kuri yra uzdara vis keturi aritmetini veiksm atzvilgiu ir kurioje galima issprsti (1) lygt.

14

Kompleksinio skaiciaus apibrzimas

Pazymkime C realij skaici por aib: = { a , b : a , b } .

Sioje aibje sudtis ir daugyba apibrziami taip: a , b c , d = a c , b d , a , bc , d = a c - b d , a d b c.

Aib C elementai vadinami kompleksiniais skaiciais.

15

Kompleksinio skaiciaus apibrzimas

Bet kurio kompleksinio skaiciaus (x,y) priesingasis skaicius (-x, -y) apibrziamas taip:

x , y -x , - y = 0, 0.

Skaicius (0,0) vadinamas kompleksiniu nuliu.

Bet kurio nenulinio kompleksinio skaiciaus (x,y) atvirkstinis kompleksinis skaicius (x,y)-1 apibrziamas taip:

x , y x , y -1 = 1, 0. Is si apibrzim gauname kompleksini skaici atimties ir dalybos formules.

16

Kompleksinio skaiciaus apibrzimas

Kompleksini skaici atimties formul: a , b - c , d = a , b -c , -d = a - c , b - d .

Kompleksini skaici dalybos formul: a , b : c , d = a , bc , d -1 =

a c bd bc - a d , 2 . 2 2 2 c d c d

Kodl taip?

17

Kompleksinio skaiciaus apibrzimas

· Kas yra (c,d)-1 ? Pazymkime (c,d)-1 = (x,y). Pagal apibrzim, c , d x , y = 1, 0 c x - d y , c y d x = 1, 0.

Gauname tiesini lygci sistem

{

cx-d y dxcy

c -d =1 x = , y= 2 . 2 2 2 =0 c d c d

Taigi, x , y = c , d -1 =

c -d , 2 . 2 2 2 c d c d

18

Kompleksinio skaiciaus apibrzimas

· Turime, kad a , b : c , d = a , bc , d -1 = a , b

c -d , 2 . 2 2 2 c d c d

Pritaik kompleksini skaici daugybos apibrzim a , b p , q = a p - b q , a q b p , gauname, ac bd bc - ad a , b : c , d = , 2 . 2 2 2 c d c d

Matome, kad kompleksini skaici aib yra uzdara keturi aritmetini veiksm atzvilgiu.

19

Kompleksinio skaiciaus apibrzimas

· Isnagrinkime aritmetini veiksm isvestas formules, tuo atveju, kai kompleksinio skaiciaus antroji komponent yra lygi nuliui. Turime a , 0 ± c , 0 = a ± c , 0 , a , 0c , 0 = a c , 0 , a a , 0 : c , 0 = ,0 . c Matome, kad skaici (x,0) aib sutampa su realij skaici aibe. Taigi ir (1,0) 1 yra realusis vienetas .

20

Kompleksini skaici sekos

Tarkime, kad {zn} ­ kompleksini skaici seka. Skaicius z0 vadinamas k.s. sekos riba, jei bet kokiam > 0 egzistuoja N toks, kad visi sekos nariai su numeriais n > N, tenkina nelygyb |zn ­ z0| < . Rasoma

lim z n=z 0

n

Kai riba egzistuoja, sakoma, kad seka konverguoja. Priesingai ­ diverguoja. K. s. seka {zn} konverguoja tada ir tik tada, kai konverguoja sekos {Re zn}, {Im zn}. Kompleksini skaici sek riboms bdingos sios savybs:

lim z n ±w n=lim z n±lim wn

n n n

lim z n wn=lim z n lim wn

n n n

lim z z n n n lim = lim wn n w n

n

21

Kompleksini skaici sfera

Kompleksini skaici sekos moduli riba yra , t.y., kai

{zn} riba vadinama begalybe, kai sios sekos nari

lim z n=

n

Kokia yra sios lygybs geometrin prasm?

Staciakampje koordinaci sistemoje (u, v, t) nubrzkime sfer (Rymano sfera), kurios centras yra taske (0, 0, ½) ir spindulys ­ ½. Sferos taskas N(0, 0, 1) vadinamas siaurs poliumi. Kompleksin plokstuma (z) sutampa su u0v.

22

Kompleksini skaici sfera

Tiess, jungiancios kompleksins plokstumos task z su siaurs poliumi N, ir sferos sankirtos taskas vadinamas tasko z stereografiniu vaizdu.

Stereografinio vaizdo z' (u, v, t) koordinates apskaiciuojamos pagal formules:

x u= 2 2 1x y y v= 2 2 1 x y x 2 y 2 t= 2 2 1x y

Zinant stereografinio vaizdo koordinates, task z randame pagal formules:

x= u 1-t

y=

v 1-t

Taigi, kiekvien sferos task z', isskyrus siaurs pol, atitinka baigtinis taskas z. Todl Rymano sferos siaurs polis laikomas be galo nutolusio kompleksins plokstumos tasko z = stereografiniu vaizdu.

Kompleksini skaici aibs C ir tasko z = sjunga C U {} vadinama isplstine kompleksine plokstuma. Zymima

=

23

Kompleksinio kintamojo funkcijos svoka

Tarkime, kad kiekvien aibs D= task atitinka vienas, keli, arba be galo daug kompleksini skaici w = f(z). Gali bti ir w = . Tada sakoma, kad aibje D apibrzta kompleksinio kintamojo z funkcija w = f(z).

Jei kiekvien z atitinka tik viena reiksm w, tai funkcija w = f(z) vadinama vienareiksme.

Kompleksini skaici aib D, kurioje apibrzta funkcija w = f(z) vadinama funkcijos apibrzimo aibe.

Funkcijos reiksmi aibe vadinama aib

G={w : w= f z , z D}

24

Kompleksinio kintamojo funkcijos svoka

Pazymjus z = x + iy ir w = u + iv , galima isskirti kompleksinio kintamojo funkcijos realij dal ir menamj dal:

w= f z = f xiy=u x , yiv x , y , u x , y= f z , v x , y = f z

Taigi, kompleksinio kintamojo funkcij galima apibrzti dviem realij kintamj x ir y realiosiomis funkcijomis u(x,y) ir v(x,y).

25

Kompleksinio kintamojo funkcijos geometrinis vaizdavimas

Kiekvien funkcijos apibrzimo aibs D task z atitinka taskas w = f(z) (vaidas): funkcija f(z) vaizduoja aib D aib G.

Tarkime, kad z = z(t), t1 t t2 yra kreiv l srityje D. Tada sios kreivs taskai atvaizduojami srities G kreivs L taskus,

L={w: w= f z , z l }

26

Laipsnin funkcija

Laipsnine vadinama funkcija

w=z , n

Si funkcija yra vienareiksme,

n

D=G=

27

Kompleksini skaici eiluts

Tegu {zk} ­ kompleksini skaici seka. Seka {sn},

s n= z k ,

k=1

n

vadinama kompleksini skaici eiluts

zk

k =1

dalini sum seka. Sakoma, kad kompleksini skaici eilut konverguoja, ir jos suma lygi kompleksiniam skaiciui S, jei egzistuoja riba

lim S n=S.

n

28

Kompleksini skaici eiluts

Eilut konverguoja tik tada, kai konverguoja realij skaici eilutes

z n= x n ,

n=1

n=1

z n= y n .

n=1 n=1

Tarkime, kad konverguoja realij skaici eilut

z n.

n=1

Pastebj, kad |xn||zn| ir |yn||zn|, gauname, kad eiluts |xn| ir |zn| absoliuciai konverguoja. Tada konverguoja ir eilut zn ir sakoma, kad ji konverguoja absoliuciai. Tarkime, kad {cn} yra kompleksini skaici seka. Tada laipsnin eilut

cn z n

n=0

konverguoja absoliuciai skritulyje |z|< R. Sio skritulio spindul R galima rasti, eilutei

c nz n

n=0

taikant Dalambero arba Kosi konvergavimo pozymius.

29

Trigonometrins ir hiperbolins funkcijos

e =

z

n=0

zn , n! -1n-1 z 2n-1 sin z= , 2n -1! n=1

-1n z 2n cos z = , 2n! n=0

z cosh z= , n =0 2n !

2n

z 2n -1 sinh z= . 2n-1! n=1

30

Logaritmin funkcija

Apibrzkime funkcij w = Ln z kaip lygties z = ew sprendin. Pazymj w = u+iv, gauname

z=e e =ze

u iv

i arg z2 k

, k

Todl,

u=lnz, v=arg z2 k ,

w=L n z =lnziarg z 2 k .

Taigi, Ln z turi be galo daug reiksmi. Kai k = 0, gauname pagrindin logaritmo reiksm:

ln z=lnzi arg z.

Funkcija ln z yra vienareiksm. Kai z = x > 0, tai ln z = ln x.

31

Apibendrintoji laipsnin funkcija

Apibendrintoji laipsnin funkcija apibrziama taip:

w=z =e

cia z, a ­ kompleksiniai skaiciai

a

a L nz

,

32

Atvirkstins funkcijos

Issprskime lygt tg w = z. Gausime

1 1iz w= L n =Arctg z 2i 1-iz

Panasiai apibrziamos kitos kompleksinio kintamojo z daugiareiksms atvirkstins funkcijos, areasinusas, areacosinusas, areakotangentas, it kt.:

A rcsin z=-i L ni z 1-z

2

Arsh z=L n z z 2 1 Arch z=L n z z 2-1 1 1z Arth z= L n 2 1-z 1 z1 Arcth z= L n 2 z-1

33

A rccos z =-i L n z z 2 -1 -1 iz1 Arcctg z= Ln 2i iz-1

Funkcijos tolydumas

Tarkime, kad {zn} ­ kompleksini skaici seka ir

lim z n=a.

n

Sudarykime funkcijos w = f(z) reiksmi sek: wn = f(zn).

Sakoma, kad funkcija f(z) turi rib A, kai z artja prie a, jei si funkcija apibrzta tasko a aplinkoje ir

lim wn =A ,

n

neatsizvelgiant sek {zn}. Tada rasome

lim f z = A.

z a

34

Funkcijos tolydumas

Tarkime, kad funkcija f(z) apibrzta taske a ir jo aplinkoje. Sakoma, kad si funkcija yra tolydzioji taske a, jei teisinga lygyb

lim f z = f a .

z a

Arba

x a x y a y

lim u x , y =u a x , a y ,

x a x y a y

lim v x , y =v a x , a y .

Cia

f z =u x , yiv x , y ,

a=a x ia y

Kompleksinio kintamojo funkcija f(z) yra tolydi taske a tada ir tik tada, kai Re w = u, ir Im w = v yra dviej realij kintamj tolydziosios taske (ax, ay) funkcijos.

Funkcija f(z) vadinama tolydzija aibje D, jei ji yra tolydzioji visose aibs taskuose. Visos elementariosios funkcijos yra tolydzios j apibrzimo srityse.

35

Komplksinio kintamojo funkcijos isvestin

Tarkime, kad kompleksinio kintamojo funkcija f(z) apibrzta tasko z=x+iy aplinkoje. Pazymkime argumento z pokyti

z= xi y

ir funkcijos pokyt

f z = f z z - f z .

Funkcijos f(z) isvestin taske z - tai riba

f ' z = lim

z 0

f z z- f z f z = lim . z z z 0

36

Komplksinio kintamojo funkcijos isvestin

Funkcija, turinti taske isvestin, vadinama diferencijuojama tame taske. Diferencijuojama taske funkcija yra tolydi siame taske

Funkcija, diferencijuojama ne tik taske, bet ir jo aplinkoje, vadinama analizine siame taske. Analizin kiekviename srities taske funkcija vadinama analizine sioje srityje.

Sandauga f'(z)z vadinama funkcijos diferencialu ir zymima df(z). Kai f(z) = z, f'(z) = 1, ir z = dz. Taigi,

df z = f ' z dz.

Pastaba. Galioja vis elementarij funkcij lentel.

37

Kosi ir Rymano slygos

Tarkime, kad funkcija f(z) = u(x,y)+iv(x,y) yra diferencijuojama taske z = x + iy. Tada egzistuoja riba

lim

z 0

f z u x x , y yiv x x , y y -u x , yiv x , y = lim . z xi y x 0

y 0

Kadangi riba egzistuoja, neatsizvelgiant, kaip z z0, galima nagrinti rib, kai x 0, o y = 0:

lim

z 0

f z u x x , yiv x x , y - u x , y iv x , y u x , y v x , y = lim = i . z x x x x 0

Apskaiciuokime t paci rib, kai y 0, o x = 0:

f z u x , y iv x , y-u x , y iv x , y v x , y u x , y = lim = -i . z i y y y y 0

lim

z 0

38

Kosi ir Rymano slygos

Taigi, is funkcijos f(z) diferencijuojamo gaunamos Kosi ir Rymano slygos:

u x , y v x , y v x , y u x , y = ; =- x y x x

Is Kosi-Rymano slyg gaunamos kompleksinio kintamojo funkcijos diferencijavimo formuls:

f ' z =

u v v u u u v v i = -i = -i = i . x x y y x y y x

Kosi ir Rymano slygos yra btinos ir pakankamos funkcijos diferencijavimo slygos.

39

Isvestins modulio geometrin prasm

f(z) yra analizin tasko z0 aplinkoje. Per task z0 nubrzkime glodzij kreiv . Pazymkime z = x + iy, w = u + iv.

Tarkime, kad funkcija

Funkcija w = f(z) atvaizduoja krev kreiv .

40

Isvestins modulio geometrin prasm

Kadangi funkcija f(z) yra analizin, ji turi isvestin taske z0:

f z0 f z - f z 0 =lim . f ' z = lim z z -z 0 z 0 z z

0

Isvestins modulis rodo, kaip keiciasi santykis

f z - f z 0 w-w0 = , z -z 0 z-z 0

vaizduojant vien kreiv kit. Sis santykis nepriklauso nuo kreivs. Taigi, |f'(z)| yra istempimo koeficientas taske z0.

41

Isvestins argumento geometrin prasm

Tarkime, kad f '(z0) 0. Tada

f z0 arg f ' z 0=arg lim = lim arg f z 0 - lim arg z=-. z z 0 z 0 z 0

Cia ­ kampas, kur sudaro kreivs liestin taske w0 su Ou asimi. ­ kampas, kur sudaro kreivs liestin taske z0 su Ox asimi:

42

Isvestins argumento geometrin prasm

Taigi, arg f '(z0) parodo, kokiu kampu pasisuks kreivs, vaizduojant jas funkcija f(z). Nors kampai ir priklauso nuo kreivi ir , bet si kamp skirtumas ­ nesikeicia. Kampu tarp kreivi 1 ir 2 taske z0 vadinamas kampas tarp j liestini.

Kampas tarp bet kuri kreivi 1 ir 2 vaizduojant jas funkcija f(z) nesikeicia ir lygus arg f '(z0) 0.

Sia savyb turincios funkcijos vadinamas konforminiais atvaizdziais. Analizin funkcija f(z), kuriai f '(z) 0 srityje D, yra konforminis atvaizdis: kiekviename srities taske kampai tarp glodzij kreivi islieka tie patys.

43

Harmonins funkcijos

Tarkime, kad funkcija (x,y) turi antrosios eils tolydziasias dalines isvestines.

Funkcija vadinama harmonine srityje D, jei ji yra Laplaso lygties sprendinys.

x , y x , y =0. 2 2 x y

Bet kurios analizins funkcijos realioji (arba menamoji) dalis yra harmonin funkcija.

2

2

Dvi harmonins funkcijos, susietos Kosi-Rymano slygomis vadinamos jungtinmis harmoninmis funkcijomis.

Bet kuri harmonin funkcija yra tam tikros analizins funkcijos realioji arba menamoji dalis.

44

Integralo apibrzimas

Tarkime, kad srityje D zinoma dalimis glodzioji orientuota kreiv L, ir kreivs taskuose apibrzta kompleksinio kintamojo funkcija f(z) = u(x,y)+iv(x,y) Padalijame kreiv L n dali: z0 = a, z1, z2, ..., zn = b

ir kiekvienoje kreivs dalyje (zj-1, zj) parenkame po vien task j = j+ij .

45

Integralo apibrzimas

Sudarome integralin sum

S n = f j z j

j=1

n

cia

z j= z j-z j-1= x ji y j - x j-1i y j-1 = x j -x j -1i y j - y j -1= x j i y j.

Pazymkime

= max z j= max x 2j y 2j

1 j n 1 jn

Baigtin riba

lim S n = f z dz

L

nepriklausanti nuo task j parinkimo ir kreivs L padalijimo dalis bdo, vadinama funkcijos f(z) integralu kreive L.

46

Integralo savybs

S n= f j z j= u j , j i v j , j x j i y j =...

j=1 j =1 n j =1 n j =1 n n

...= u j , j x j -v j , j y j i v j , j x j u j , j y j .

Perj prie ribos 0, gauname

f z dz = u x , y dx-v x , y dyi v x , y dxu x , y dy.

L L L

Arba trumpiau,

f z dz = u dx-v dyi v dxu dy = ui v dxi dy .

L L L L

47

Integralo savybs

a f zb g z dz=a f z b g z

L L L

f z dz=- f z dz

L

.

L

-.

Jei L = L1+L2, tai

f z dz = f z dz f z dz

L L1 L2

48

Integralo vertinimo teorema

Tarkime, kad f(z) ­ tolydzioji funkcija kreivs L taskuose. Pazymkime

M =max f z,

z L

cia l ­ kreivs L ilgis. Tada

f z dzM l.

L

Jei kreivs L pradinis ir galinis taskai sutampa, tai kreiv L vadinama uzdarja ir integralas tokia kreive zymimas

f z dz .

L

Jei kreivs apribota sritis lieka is kairs puss, tai kreivs L kryptis laikoma teigiama.

49

Integralo apskaiciavimas

Tarkime, kad kreiv L isreiskiama parametrinmis lygtimis

L={ z=xi y , x= t , y=t , t 0 t t 1 }.

Tada dx = '(t) dt , dy = '(t) dt ir gauname

t1 t1 t0 t0

f z dz = u t , t ' t -v t , t ' t dti v t , t ' t u t , t ' t dt.

L

Kai x = t, y = y(x), t0 = x0, t1 = x1, formul yra tokia:

x1 x1

f z dz = u x , y x-v x , y x y ' x dxi v x , y x u x , y x y ' x dx

L x0 x0

Pazymj dz(t) = (x'(t)+iy'(t))dt = z'(t)dt, formul galime uzrasyti taip:

t1

f z dz = f z t z ' t dt.

L t0

50

Kosi integralin teorema

Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizin srityje D. Uzdaroji kreiv L is D yra dalimis glodzioji, apriboja vienajung srit ir jos taskuose f(z) irgi yra analizin. Tada funkcijos f(z) integralas uzdarja kreive L lygus nuliui.

f z dz =0.

L

rodymas isplaukia is Grino formuls kreivinms integralams:

P dxQ dy =

L D

Q P - dx dy . x y

51

Kosi teorema daugiajungei sriciai

Tarkime, kad Kosi integralins teoremos slygose vietoje vienajungs srities nagrinjama daugiajung sritis, apribota isorini kontru L ir vidiniais, vienas su kitu nesikertanciais kontrais 1, 2, ... , n. Cia n = 2:

Pastaba 1.Jei srities siena susideda is n komponenci ­ nesikertanci tolydzij kreivi ar pavieni task, tai tokia sritis vadinama n-junge. Pastaba 2. Kontrai j- turi neigiam krypt vidini srici atzvilgiu; o - teigiam.

Pjviais j± pakeiskime srit - vienajunge sritimi 1 , kurios sien L1 sudaro kreivs l1 (nuo A1 iki A2), 2+ , 2-, 2- , l2 (nuo B2 iki B1), 1+ , 2-, 1- .

52

Kosi teorema daugiajungei sriciai

Vienajungje srityje 1 funkcija f(z) yra analizin ir

f z dz = f z dz f z dz f z dz f z dz.

L1 l1 2

.

2

-.

2

-.

. f z dz f z dz f z dz f z dz =0.

l2 1

.

1

-.

1

-.

Jei taskai A1=B1, A2=B2, tai

f z dz f z dz =0.

j

.

j

-.

ir kreivs l1, l2, ..., ln sudaro srities kontr L. Taigi, kai n = 2,

f z dz f z dz f z dz f z dz =0.

l1 l2 1

-.

2

-.

53

Kosi teorema daugiajungei sriciai

Arba, pakeitus kontr krypt,

f z dz - f z dz- f z dz=0.

L 1 2

Bendruoju atveju gauname Kosi teorem daugiajungiai sriciai.

Daugiajungje srityje analizins funkcijos f(z) integralai kontrams L, 1, 2, ... , n tenkina lygyb

f z dz = f z dz

L j=1 j

n

Pastaba. Visu kontr kryptis teigiamos (pries laikrodzio rodykl).

54

Integralas su kintamuoju virsutiniu rziu

Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizin srityje D. Du taskus, z0, z1 is D sujunkime kreivmis l1+, l2+, kuri kryptis yra nuo tasko z0 iki tasko z1.

Tada kreivs l1+ ir l2+ sudaro uzdar kontr L ir

f z dz = f z dz f z dz = f z dz- f z dz=0

L l1

.

l2

-.

l1

.

l2

.

arba

f z dz = f z dz

l1

.

l2

.

55

Integralas su kintamuoju virsutiniu rziu

l2+ parinkimo, o priklauso tik nuo pradinio ir galinio task z0 ir z1. Pazymkime

z

Taigi, kai funkcija f(z) yra analizin, jos integralas nepriklauso nuo kreivi l1+,

F z = f w dw.

z0

Galima rodyti, kad F(z) yra analizin ir F'(z) = f(z), t.y. F(z) ­ funkcijos f(z) pirmykst funkcija. Analizins funkcijos f(z) pirmyksts funkcijos uzrasomos formule

z

z =F zC= f wdwC.

z0

ir apibrztin integral skaiciuojame pagal Niutono-Leibnico formul:

z

f w dw= z- z 0 .

z0

56

Kosi integralin formul

L is D riboja srit , taskas z0 is yra vidinis.

Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizin vienajungje srityje D. Uzdaroji kreiv

f z Tada funkcija z-z 0 yra analizin srityje isskyrus task z0.

Pazymkime r apskritim |z ­ z0| = r ir parinkime spindul r > 0 taip, kad skritulys Br = {z: 0 < |z ­ z0| < r} priklausyt . 57

Kosi integralin formul

Tada pagal Kosi formul dvijungei sriciai teisingos lygybs:

L

f z - f z 0 f z f z dz dz= dz = dz f z 0 . z-z 0 z -z 0 z -z 0 z -z 0

r r r

Funkcija f(z) yra analizin, todl ji tolydzioji ir

0 0 : f z - f z 0 , z :z -z 0 .

Pirm integral galima vertinti taip:

r

f z - f z 0 f z- f z 0 dz M l = 2 r=2 , M =max z-z 0 r z-z 0 r z

r

Kadangi galima parinkti kiek norima maz teigiam skaici, integralas yra lygus 0. Antras integralas, kaip buvo parodyta anksciau, lygus 2i. Taigi,

1 f s f z = s- z ds 2 i L

58

Analizins funkcijos aukstesnij eili isvestins

Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizin srityje D. Uzdaroji kreiv L is D riboja srit , taskas z0 is yra vidinis. Zinodami f(z) reiksmes kontro L taskuose,

galima isreiksti f '(z) visos srities taskuose.

Remdamiesi Kosi integraline formule, turime

f z z - f z 1 f s = s-z s-z - z ds. z 2 i L

Taigi,

f z z- f z 1 f s f ' z = lim = s- z2 ds. z 2 i L z0 n! f s z = s-z n1 ds. 2 i L

59

Bendruoju atveju

f

n

Modulio maksimumo principas

srit . Pazymkime M ­ didziausi funkcijos modulio reiksm kontro taskuose:

Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizin srityje D. Uzdaroji kreiv L is D riboja

M =max f z.

z L

Tada bet kuriame kreivs L taske z :

f n z

= f z M , n.

n

n

Funkcija f n(z) yra analizin srityje D, todl, pagal Kosi integralin formul,

1 f n s f z = s-z ds. 2 i L

n

60

Modulio maksimumo principas

Tegu l ­ kontro L ilgis ir > 0 ­ vidinio srities tasko z trumpiausias atstumas iki kontro L:

=mins-z.

s L

vertinkime funkcijos f n(z) modul :

1 M l , n . f z = f z 2

n n

n

Is cia gauname, kad

f z M n

l . 2

Perj prie ribos n , gauname

f z M = max f z .

z L

srities kontro L taskuose.

Taigi, analizins srityje funkcijos modulis gyja savo didziausij reiksm

61

Liuvilio teorema

Tada visiems R > 0 ji yra analizin skritulyje |z|< R. Tarkime, kad funkcija f(z) yra aprzta visoje kompleksinje plokstumoje C:

Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizin visoje kompleksinje plokstumoje C.

M 0 : f zM , z .

Tada visiems R > 0 teisingas vertinimas:

1 f ' z 2

s- z=R

f s 1 M M ds 2 R= . 2 2 2 R R s-z

Kadangi R galima parinkti kiek norima didel, perj prie ribos R, gauname

f ' z 0 f ' z0.

Taigi, jei funkcija f(z) yra analizin visoje kompleksinje plokstumoje C, tai ji arba neaprzta, arba lygi konstantai.

62

Teiloro eilut

isreiskiama konverguojancia laipsnine eilute (Teiloro eilute)

Teorema. Jei funkcija f(z) yra analizin tasko z = a aplinkoje, tai si funkcija

f z =

n=0

f n a z-an . n! {z :z -ar }

rodymas. Tarkime, kad apskritimas L riboja srit

Tada bet kuriame vidiniame taske z:

1 f s f z = s- z ds 2 i L

be to,

1 1 1 = , s-z s-a 1-q

z-a q= . s-a

63

Teiloro eilut

Kadangi s yra srities kontro L taskas, o z ­ vidinis srities taskas, tai

z-as-a=r q1.

Taigi,

1 1 1 z-a = qn = s-a s-a s-z s-a n=0 n=0

n

ir gauname Teiloro eilut:

f z =

n=0

1 f s f n a ds z-an= z -a n . 2 i L s-an1 n! n=0

Kai a=0, Teiloro eilut vadinama Makloreno eilute:

f z =

n=0

f n 0 n z . n!

64

Teiloro eilut

Teiloro eilut yra vienintel. Tarkime, egzistuoja kita laipsnin eilut:

f z =c0 c1 z -ac2 z -a ...

2

Gauname, kad

f a =c0, f ' a=c 1, ... , f

n

a=n ! c n , ...

Taigi, eiluts sutampa, nes

c n=

f

n

a . n!

Teiloro eiluts konvergavimo spindulys lygus tasko a atstumui iki artimiausio z, kuriame f(z) yra nra analizin. Tokie taskai vadinami

ypatingaisiais.

65

Makloreno eiluts

e =

z

n=0

zn , n! -1n-1 z 2n-1 sin z= , 2n -1! n=1 z 2n -1 sinh z= . n=1 2n-1! ln 1z = -1

n=1 n1

cos z =

-1 z , 2n! n=0

n 2n

z 2n cosh z= , n =0 2n ! ln 1-z =-

n=1

zn , n

zn . n

66

Analizins funkcijos nuliai

Taskas z=a vadinamas funkcijos f(z) nuliu, kai f(a) = 0. Siuo atveju f(z) Teiloro eilut taske a neturi nulinio nario c0 = f(a) = 0 ir gali

neturti keliu pirmj nari:

f z =c k z-ak ck 1 z-a k1...

Jei f(z) nra konstanta, tai egzistuoja koeficientas ck 0. Taskas z=a vadinamas f(z) k-osios eils nuliu, kai

f

n

a=0 0nk ,

f

k

a0.

Taigi, nulio eil yra maziausias Teiloro eiluts nenulinio koeficiento numeris. Kai k = 1, nulis vadinamas paprastuoju.

Kai z=a yra funkcijos f(z) k eils nulis, ja galima uzrasyti sandauga

f z = z-a z ;

k

z =c k ck 1 z-a c k2 z -a ...

67

2

cia (z) yra analizin tasko z=a aplinkoje ir (a) 0.

Lorano eilut

isskleidziama konverguojancia siame ziede eilute

Teorema. Kiekviena analizin ziede r < |z ­ a| < R

funkcija f(z)

c-1 c-2 f z =c0 c1 z -ac2 z -a2... ...= c n z-an z-a z-a2 n=-

rodymas. Parinkime skaicius r' ir R': r < r' < R' < R ir pazymkime apskritimus l : |z - a| = r', L : |z - a| = R'.

68

Lorano eilut

Funkcija f(z) yra analizin ziede r' |z ­ a| R', todl, kai z yra ziedo vidinis taskas, galima taikyti Kosi integralin formul:

f z =

1 f s 1 f s ds- s- z s- z ds. 2 i L 2 i l

Pirmajame integrale |z - a| < |s - a| = R' ir

1 1 z-a = s-z s-a n=0 s-a

n

Integruodami panariui, gausime

1 f s 1 f s n ds= ds z -a . 2 i L s-z 2 i L s-a n 1 n=0

69

Lorano eilut

Kai |z - a| > |s - a| = r', antrj integral galime pertvarkyti panasiai:

1 1 - =- s-z a-z

Integruodami panariui, gausime

1 s-an-1 = s-a n=1 z-an 1- z-a

1 f s 1 1 n-1 - ds= f s s-a ds . s-z n 2 i l z-a n=1 2 i l

Pazymj

c n=

1 f s s-an1 ds ; 2 i L

c-n=

1 n-1 f s s-a ds , 2 i l

n0

70

Lorano eilut

Gauname

f z = c n z-a

n n=0 n=1

= c n z-an n z -a n =-

dalis ­ reguliarij

c-n

Si eilute vadinama Lorano eilute, jos pirmoji (+) dalimi, jos antroji (-) dalis ­ pagrindine dalimi.

Lorano eiluts koeficientus taip pat galima skaiciuoti pagal formule

c n=

1 f s s-an1 ds , 2 i

n ,

kur - kontras, priklausantis ziedui r < |z ­ a| < R.

sutampa su Teiloro eiluts koeficientais, o c-n = 0. Taigi, siuo atveju Lorano eilut neturi pagrindins dalies ir sutampa su Teiloro eilute.

71

Jei f(z) analizin taske z = a, tai Lorano eiluts koeficientai cn, n = 0, 1, ...

Ypatingieji taskai

analizin taske z0, taciau yra analizin jo pradurtoje aplinkoje 0 < |z ­ z0| < r.

Taskas z0 vadinamas f(z) izoliuotuoju ypatinguoju tasku, jeigu f(z) nra

tasko pradurtoje aplinkoje 0 < |z ­ z0| < r analizin funkcij f(z) galima isskleisti konverguojancija Lorano eilute

Tarkime, kad z0 yra funkcijos f(z) izoliuotasis ypatingasis taskas. Tada sio

c-1 c-2 f z =c0 c1 z -ac2 z -a ... ... z-a z-a2

2

72

Ypatingieji taskai

Izoliuotasis ypatingasis taskas z = z0 vadinamas funkcijos f(z) pasalinamuoju ypatinguoju tasku, jei Lorano eilute neturi pagrindins dalies, t.y. c-1 = c-2 = ... = 0;

k eils poliumi, jei Lorano eiluts pagrindin dalis turi tik baigtin nari skaici ir c-k 0, c-(k+1) = c-(k+2) = ... = 0; kai k = 1, taskas z = z0 vadinamas

pirmosios eils poliumi arba paprastuoju poliumi;

esmingai ypatinguoju tasku, jei Lorano eiluts pagrindin dalis turi be galo daug nari, t.y.

n0 k n : c-k 0.

73

Ypatingieji taskai

(is Lorano eiluts) gauname, kad egzistuoja riba

Tarkime, kad z0 yra funkcijos f(z) pasalinamasis ypatingasis taskas. Tuomet

lim f z=c 0.

z z0

yra pasalinamasis ypatingasis taskas.

Teorema. Jei funkcija f(z) ypatingajame taske z0 turi baigtin rib, tai sis taskas

74

Ypatingieji taskai

gauname

f z =

Tarkime, kad z0 yra funkcijos f(z) k eils polius. Tuomet (is Lorano eiluts)

1 c0 z -z 0k c1 z -z 0k 1...c-1 z-z 0 k-1...c- k-1 z -z 0c-k . k z-z 0

Pazymj (x) Teiloro eilut sioje israiskoje, gauname, kad

f z =

z . k z-z 0

Funkcija (x) yra analizin taske z0 ir (z0) = c-k 0. Is cia gauname, kad

lim f z= ,

z z0

t.y. funkcijos modulis |f(z) | neaprztai didja, kai z z0.

75

Ypatingieji taskai

Teisingas ir atvirkstinis teiginys: jei funkcijos modulis |f(z)| neaprztai didja, kai z z0, tai z0 yra funkcijos polius.

Jei taskas z0 yra funkcijos f(z) k eils polius, tai egzistuoja riba

lim z-z 0k f z=c-k 0.

z z 0

Funkcija 1/f(z) taske z0 turi k eils nul. Tarkime, kad z0 yra funkcijos f(z) esmingai ypatingasis taskas. Tada riba

lim f z

z z0

neegzistuoja (priesingu atveju ­ tai bt polius arba pasalinamasis ypatingasis taskas)

76

Ypatingieji taskai

Kriterijus ypatingojo tasko tipui nustatyti yra riba lim f z

z z0

taskas.

Jei riba egzistuoja ir yra baigtin, taskas z0 yra pasalinamasis ypatingasis

Jei riba yra begalin, taskas z0 yra polius, kurio eil galima rasti is formuls

lim z-z 0 f z=c-k 0.

z z 0

k

Jei riba neegzistuoja, taskas z0 yra esmingai ypatingasis taskas.

77

Ypatingasis taskas z =

Be galo nutolusio tasko stereografinis vaizdas yra «siaurs polius» N it jo aplinka yra |z| > R, t.y. tam tikro skritulio isor.

Pazymkime w = 1/z ir isskleiskime funkcij (w) = f(1/w) = f(z) tasko w=0 aplinkoje 0 < |w| < r Lorano eilute:

w= c n w

n n=0

c-n w

n

.

n=1

Pakeit zymjimus, gauname

f z =

c-n zn

n=0

c n z n .

n=1

Tai ir yra funkcijos f(z) Lorano eilut srityje |1/z| < r arba |z| > R = 1/r, t.y. be galo nutolusio tasko aplinkoje. Cia Lorano eiluts pirmoji dalis vadinama reguliarija dalimi, o antroji dalis 78 (turinti teigiamuosius laipsnius) ­ vadinama pagrindine dalimi.

Ypatingasis taskas z =

Jei Lorano eilut neturi pagrindins dalies, tai taskas z = vadinamas pasalinamuoju ypatinguoju tasku. Gauname

lim f z =c 0 .

z

Jei si riba yra lygi nuliui, tai taskas z = vadinamas funkcijos f(z) nuliu.

Sakoma, kad funkcija f(z) taske z = turi k eils nul, jei reguliariosios dalies koeficientai c0 = c-1 = ... = c-k+1 = 0, ir c-k 0.

79

Ypatingasis taskas z =

ck+1 = ck+2 = ... = 0, tai sakoma, kad taskas z = yra funkcijos f(z) k eils polius. Tokiu atveju

Kai Lorano eiluts pagrindin dalis turi tik baigtin nari skaici, ir ck 0,

lim f z = .

z

Be to,

lim z

z

-k

f z = c-k 0 , z , k z

ir f(z) galima isreiksti kaip

f z =

cia (z) ­ analizin tasko z = aplinkoje funkcija ir

lim z = c-k 0 .

z

Jei pagrindin Lorano eiluts dalis turi be galo daug nariu, tai taskas z = vadinamas esmingai ypatinguoju tasku. Riba lim f z neegzistuoja.

z

80

Reziduumai

Tarkime, kad z = z0 yra funkcijos f(z) izoliuotasis ypatingasis taskas. Isskleiskime funkcij Lorano eilute sio tasko pradurtoje aplinkoje 0 < |z ­ z0| < r :

f z = c n z-z 0

n n=0 n=1

c-n z -z 0

n

.

Lorano eiluts koeficientas c-1 vadinamas funkcijos f(z) reziduumu taske z = z0 ir zymimas

c-1=Res f z .

z =z 0

81

Reziduumai

Kadangi Lorano eiluts koeficinetai skaiciuojami pagal formul

1 f s c n= s-an1 ds , 2 i

tai reziduumo israiska yra

n ,

Res f z =

z=z0

1 f z dz ; 2 i

cia gali bti ne tik bet kuris apskritimas |z ­ z0| = < r, bet ir uzdaroji kreiv, ribojanti srit, kuriai priklauso taskas z = z0 ir kurioje nra kit funkcijos f(z) ypatingj task.

82

Reziduumai

Jei taskas z = z0 nra funkcijos f(z) ypatingasis taskas, tai integralas lygus nuliui, ir funkcijos rezuduumas taske z = z0 lygus nuliui.

Jei taskas z = z0 yra funkcijos f(z) pasalinamasis ypatingasis taskas, tai Lorano eilut neturi pagrindins dalies ir rezuduumas taske z = z0 lygus nuliui.

Taigi reziduumus reikia skaiciuoti tik poliuje ir esmingai ypatingajame taske.

Jei taskas z = z0 yra funkcijos f(z) pirmosios eils polius, tai

1 f z = c-1c 0 z-z 0 c1 z -z 02... z -z 0

ir

c-1 = Res f z = lim z -z 0 f z.

z =z0 z z0

83

Reziduumai

skaiciuoti taip:

Jei taskas z = z0 yra funkcijos f(z) k eils polius, tai reziduum galima

1 d k Res f z = lim k-1 z-z 0 f z . k -1! z z dz z=z

0 0

k-1

Dar viena formul reziduumui pirmosios eils poliuje skaiciuoti. Tarkime, kad f(z) = (z) / (z), kai (z0) 0, (z0) = 0, '(z0) 0. Tada

c-1 = lim z-z 0

z z0

z z = . z - z 0 ' z 0

84

Pagrindin reziduum teorema

Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizin srityje D, isskyrus baigtin skaici izoliuotj ypatingj task z1, z2, ... , zn. Uzdaroji kreiv L riboja srit is D, f(z) yra analizin kreivs L taskuose ir visi taskai z1, z2, ... , zn priklauso .

85

Pagrindin reziduum teorema

Tada

L

f z dz =2 i Res f z . z =z

j=1

j

n

rodymas. Parinkime r > 0 tok, kad visi skrituliai |z ­ zj| < r bt srityje . Pazymj j apskritimus |z ­ zj| = r , pagal Kosi integralin teorem daugiajungei sriciai gauname

f z dz = f z dz .

L j=1 j

n

Pritaik formul

1 Res f z = f z dz , 2 i z =z

j j

gauname teoremos teigin.

86

Reziduumas be galo nutolusiame taske

Tarkime, kad be galo nutolusio tasko z = aplinkoje funkcija f(z) isskleista Lorano eilute

f z =

c-n z

n

n=0

c n z n .

n=1

Sios Lorano eiluts pirmoji dalis vadinama reguliarija dalimi, o antroji dalis (turinti teigiamuosius laipsnius) ­ vadinama pagrindine dalimi.

eiluts reguliariosios dalies koeficientas c-1, paimtas su priesingu zenklu:

Funkcijos f(z) reziduumu be galo nutolusiame taske z = vadinamas Lorano

Res f z =-c-1 .

z=

87

Reziduumas be galo nutolusiame taske

Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizin visoje kompleksinje plokstumoje, isskyrus baigtin skaici izoliuotj ypatingj task z1, z2, ... , zn. Parinkime R>0 tok, kad visi |zj|< R. Tada, pazymj L apskritim |z|= R, gauname, kad

f z dz =2 i Res f z . z =z

L j=1

j

n

Apeidami kreiv L neigiamja kryptimi, turime

f z dz =2 i Res f z. z =

L

--

Sudj formuls, kairje pusje gausime nul. Taigi rodyta tokia teorema: Jei funkcija f(z) yra analizin isplstinje kompleksinje plokstumoje, isskyrus

n

baigtin skaici izoliuotj ypatingj task z1, z2, ... , zn, tai vis reziduum suma lygi nuliui:

Res f z Res f z=0. z=z z=

j=1

j

88

Trigonometrini reiskini integravimas

Tarkime, kad R(u,v) yra racionalioji funkcija. Realiojo kintamoje integrale

2

Rsin t , cos t dt

0

veskime nauj kintamj z = eit . Tuomet

e -e z-z sin t = = 2i 2i

it

-it

-1

e e zz , cos t = = 2 2

it

-it

-1

,

dt=

dz iz

Kai 0 t 2, parametrin lygtis z = eit reiskia apskritum |z| = 1. Taigi

2

z-z-1 z z-1 dz Rsin t , cos t dt= R 2 i , 2 i z . 0 z=1

89

Racionalij funkcij netiesioginiai integralai

Tarkime, kad Pn(x) yra n laipsnio daugianaris su realiaisiais koeficientais, o Q2m(x) ­ 2m laipsnio daugianaris su realiaisiais koeficientais. Be to, 2m ­ n 2 ir lygties Q2m(x) = 0 visos saknys z1, z2, ... , z2m turi nenulin menamj dal. Toki atvej, kai skaicius zj yra saknis, jo kompleksinis jungtinis skaicius irgi yra lygties Q2m(x) = 0 saknis. Skaicius zj = j + i j sunumeruokime taip:

z1 =1i 1 , z m1=1 -i 1 , 1 0 ; z 2 =2i 2 , z m2=2 -i 2 , 20 ; ... ... ... z m =mi m , z 2 m =m-i m , m 0 .

Pazymkime f(z) = Pn(x) / Q2m(x) ir rodykime formul

m j=1

-

f x dx=2 i Res f z . z=z

j

90

Racionalij funkcij netiesioginiai integralai

Parinkime R>0 tok, kad visi |zj|< R. Pazymkime LR apskritimo |z|= R virsutin dal. Tuomet uzdaroji kreiv L yra pusapskritimio LR ir atkarpos [-R; R] sjunga:

91

Racionalij funkcij netiesioginiai integralai

Is pagrindins reziduum teoremos gauname:

R n LR j =1

f z dz = f x dx f z dz=2 i Res f z. z= z

L -R

j

Kai |z|= R , tai is slygos 2m ­ n 2 gauname, kad egzistuoja tokia C > 0, kad

f z

C C 2= 2 . z 2 m-n z R

C

Pritaikome integralo vertinimo formul:

f z dz

LR

C C R= . 2 R R

Perj prie ribos, kai R , gauname formul

m j=1

-

f x dx=2 i Res f z . z=z

j

92

Zordano lema

Tarkime, kad funkcija f(z) yra analizin pusplokstumje Im z 0, isskyrus baigtin ypatingj task skaici. Jei LR - apskritimo |z|= R virsutin dalis ir

lim M R =lim max f z =0,

R R z L R

tai

lim f z e dz =0.

i tz R L R

rodymas. Integrale darome keitin z =R ei . Gauname

LR 0

f z ei t z dz = f R ei ei t R cos i sin i R ei d =.

0 i -R t sin

.= f R e e

e

i t R cos i

i R d .

93

Zordano lema

Pastebj, kad teisinga nelygyb sin 2/, kai 0 /2, vertiname integral:

f z ei t z dz R M R e-R t sin d =.

LR 0 2 2 -R t sin 2

.=2 R M R e

0

d 2 R M R e

0

-R t

d =.

2 R M R -Rt 2 .= e -1 = M R 1-e-t R 0, kai R 0. 2 t -Rt

Lema rodyta.

94

2

Trigonometrini funkcij netiesioginiai integralai

Tarkime, kad funkcijai f(z) galioja Zordano lemos slygos. Pazymj L = LR U [-R; R], kai R , gauname lygyb

L

f z e dz =2 i Res f z ei t z

it z j=1 z =z j R it z it x m it z

m

arba

LR

f z e dz f x e dx=2 i Res f z e

-R j=1 z =z j

;

cia z1, z2, ... , zm - funkcijos f(z) ypatingieji taskai, kuri Im zm > 0. Taigi, kai R ,

ir t > 0, is Zordano lemos gauname:

m

-

f x e dx=2 i Res f z e

it x j=1 z= z j

it z

.

95

Trigonometrini funkcij netiesioginiai integralai

Pritaik Eulerio formuls, gauname dvi lygybes:

- -

f x cos tx dx = 2 i Res f z e

j=1 z =z j

f xsin tx dx

galima uzrasyti taip:

= 2 i Res f z e

j=1 z =z j

m

it z

m

it z

.

.

Kai funkcija f(z) yra lygin, antras integralas lygus nuliui, o pirm formul

0

f x cos tx dx = i Res f z ei t z .

j=1 z =z j

m

Kai funkcija f(z) yra nelygin, gauname formul

f xsin tx dx

0

= i Res f z ei t z .

j=1 z =z j

m

96

Information

Matematin analiz ir tiesin algebra

96 pages

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

862122


Notice: fwrite(): send of 211 bytes failed with errno=104 Connection reset by peer in /home/readbag.com/web/sphinxapi.php on line 531