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Um modo de obter algumas fórmulas de matemática financeira

Material elaborado com base em: CASAROTTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de investimentos: matemática financeira; engenharia econômica; tomada de decisão; estratégia empresarial. 9.ed. São Paulo: Atlas, 2000. 458 p. /Capítulos 1, 2, 3, 4 e 5./ NEWNAN, Donald G.; LAVELLE, Jerome P. Fundamentos de engenharia econômica. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2000. 359 p. /pp. 63-6; tradução de Alfredo Alves de Farias; revisão técnica de Alceu Salles Camargo Jr.; original em língua inglesa: Engineering Press, 1998./ F : montante ou valor futuro F' : montante ou valor futuro auxiliar para efeito de derivação de fórmula P : principal ou valor presente P' : valor presente auxiliar para efeito de derivação de fórmula J : juros acumulados i : taxa efetiva de juros r : taxa nominal de juros g : taxa de gradiente geométrico n : número de períodos; em sistemas de amortização de dívidas, caracterizam o horizonte de planejamento. m : número de períodos (menor ou igual a n); número de vezes que o período de capitalização está contido na unidade de tempo da taxa nominal. a, b : referências para uso de fórmulas auxiliares Sn : soma dos termos de uma progressão geométrico finita a1 : primeiro termo de uma progressão geométrica finita an : último termo de uma progressão geométrica finita q : razão de progressão geométrica e : número base dos logaritmos naturais A : valor de cada evento (recebimento ou desembolso) de uma série uniforme postecipada A' : valor de cada evento (recebimento ou desembolso) de uma série uniforme antecipada G : valor característico (primeiro valor não nulo) de uma série em gradiente aritmético X : valor característico (primeiro valor não nulo) de uma série em gradiente geométrico i' : taxa global de juros Pcorr : principal corrigido monetariamente k : referência ao k-ésimo período : taxa de inflação, de correção monetária ou de variação cambial eq m : taxa de inflação, de correção monetária ou de variação cambial média equivalente p : prestação (constante) pk : prestação referente ao k-ésimo período ak : amortização referente ao k-ésimo período jk : juros referentes ao k-ésimo período SDk : saldo devedor imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação c.m.k : correção monetária referente ao k-ésimo período pc.m. k: prestação corrigida monetariamente referente ao k-ésimo período SDcorr. k: saldo devedor corrigido referente ao k-ésimo período jc.m. k : juros corrigidos monetariamente referentes ao k-ésimo período c.m.g k : correção monetária gerada referente ao k-ésimo período c.m.p k : correção monetária paga referente ao k-ésimo período pk S.F. : prestação referente ao k-ésimo período pelo Sistema Francês pk S.H. : prestação referente ao k-ésimo período pelo Sistema Hamburguês ak S.F. : amortização referente ao k-ésimo período pelo Sistema Francês

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ak S.H. : amortização referente ao k-ésimo período pelo Sistema Hamburguês jk S.F. : juros referentes ao k-ésimo período pelo Sistema Francês jk S.H. : juros referentes ao k-ésimo período pelo Sistema Hamburguês SDk S.F. : saldo devedor imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação referente ao Sistema Francês SDk S.H. : saldo devedor imediatamente após o pagamento da k-ésima prestação referente ao Sistema Hamburguês Fn = P + J n F = P+J

F1 = P + i P F1 = P (1 + i ) F2 = P + i P + i P F2 = P (1 + i + i ) F2 = P (1 + 2 i ) F3 = P + i P + i P + i P F3 = P (1 + i + i + i ) F2 = P (1 + 3 i ) ... Fn = P (1 + n i ) F = P (1 + n i ) 1 P=F 1+ n i

F = P+J P (1 + n i ) = P + J J = P i n Jn = P i n

1 1 1 1 + A + ... + A + A 1+ i 1+ 2i 1 + (n - 1) i 1+ n i 1 1 1 1 P = A + + ... + + 1 + (n - 1) i 1 + n i 1 + i 1 + 2 i n 1 P = A k =1 1 + k i 1 A = P n 1 1+ k i k =1 P = A

F = P+J F1 = P + i P F1 = P (1 + i )

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F2 F2 F2 F2 F2

F2 = P (1 + i ) F3 = P + i P + i F1 + i F2

2

= P + i P + i F1 = P + i P + i P (1 + i ) 1 = P [ + i + i (1 + i )] = P [(1 + i ) + i (1 + i )] = P (1 + i ) (1 + i )

F3 = P + i P + i P (1 + i ) + i P (1 + i ) F3 = P 1 + i + i (1 + i ) + i (1 + i ) F3 F3 F3 F3

2

2

F3 = P (1 + i ) (1 + i )

2

[ ] = P [(1 + i ) + i (1 + i ) + i (1 + i ) ] = P [(1 + i ) (1 + i ) + i (1 + i ) ] = P [(1 + i ) + i (1 + i ) ] = P [(1 + i ) + i (1 + i ) ]

2 2 2 2 2 2 3

F3 = P (1 + i ) ...

Fk = P + J k Fk +1 = P + J k +1 Fk +1 = Fk + i Fk Fk +1 = Fk (1 + i ) ... n Fn = P (1 + i )

F = P (1 + i )

n

F = P+J n P (1 + i ) = P + J

n

J = P (1 + i ) - P

J = P (1 + i ) - 1

n

J n = P (1 + i ) - 1

n

[

[

]

]

F = P (1 + i ) 1 P=F (1 + i )n

n

Fk + x = Fk + (Fk +1 - Fk ) x

F = P (1 + i )

n

F = A (1 + i )

n -1

+ A (1 + i )

n-2

+ ... + A (1 + i ) + A (1 + i ) + A

2

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(1) F = A (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) + (1 + i ) + 1 (1) × (1 + i), i > 0: (1 + i ) F = (1 + i ) A (1 + i )n-1 + (1 + i )n- 2 + ... + (1 + i )2 + (1 + i ) + 1

n -1 n-2 2

[

]

(1 + i ) F = A (1 + i ) + (1 + i ) (2) ­ (1): n i F = A (1 + i ) - 1

n

[

[

n -1

+ ... + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i )

3 2

]

]

(2)

F = A A=F

(1 + i )

i i

[

]

n

-1

(1 + i )n - 1

i = 0: n F = P (1 + i ) F=P F = A + A + ... + A + A + A F = An 1 A=F n i > 0: F = A

(1 + i )n - 1

i

n

F = P (1 + i )

n

P (1 + i ) = A

n

(1 + i )n - 1

i

P = A

(1 + i ) - 1 n i (1 + i ) n i (1 + i ) A = P (1 + i )n - 1

1 (1 + i )n

i = 0: F = An P=F

P=F P = An 1 A = P n

F = G (1 + i )

n -1 n -1

F = G (1 + i ) + 2 (1 + i ) + ... + (n - 3) (1 + i ) + (n - 2 ) (1 + i ) + (n - 1) (3) (3) × (1 + i), i > 0: (1 + i ) F = G (1 + i ) (1 + i )n-1 + 2 (1 + i )n-2 + ... + (n - 3) (1 + i )2 + (n - 2) (1 + i ) + (n - 1)

n- 2 2

[

+ 2 G (1 + i )

n-2

+ ... + (n - 3) G (1 + i ) + (n - 2 ) G (1 + i ) + (n - 1) G

2

]

(1 + i ) F = G [(1 + i )n + 2 (1 + i )

[

n -1

+ ... + (n - 3) (1 + i ) + (n - 2) (1 + i )

3

2

] + (n - 1) (1 + i )](4)

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(4) ­ (3): n n -1 3 2 i F = G (1 + i ) + (1 + i ) + ... + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) - n + 1

[ i F = G [(1 + i )

iF =G

n

(1 + i )

i

+ (1 + i )

n -1

+ ... + (1 + i ) + (1 + i ) + (1 + i ) + 1 - n G

3 2

]

]

n

-1

- n G

(1 + i )n - 1 n - F = G i i2 (1 + i )n - 1 n - G = F i i2 i = 0: de (3): F = G [ + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2 ) +(n - 1)] 1 a + an n Sn = 1 2 1 + (n - 1) n F = G 2 n2 F =G 2 2 G=F 2 n i > 0: (1 + i )n - 1 n - F = G i i2 n F = P (1 + i ) (1 + i )n - 1 n n - P (1 + i ) = G i i2 (1 + i )n - 1 n 1 - P =G 2 i (1 + i )n i

n 1 (1 + i ) - 1 n - G = P n 2 i (1 + i ) i i = 0: n2 F =G 2 1 P=F (1 + i )n P=F n2 P =G 2 2 G = P 2 n -1 -1

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i > 0: F = A

(1 + i )n - 1

i

(1 + i )n - 1 n - F = G i i2 (1 + i )n - 1 = G (1 + i )n - 1 - n A i i i2 (1 + i )n - 1 n i - A=G i (1 + i )n - 1 i 2 (1 + i )n - 1 i n i - A =G 2 n n i (1 + i ) - 1 i (1 + i ) - 1 1 n A = G - n i (1 + i ) - 1 1 n G = A - n i (1 + i ) - 1 i = 0: F = An n2 =G F 2 A n = G n 2 2 G = A n A=G P=X P= n2 2

-1

(1 + g ) + ... + X (1 + g ) + X (1 + g ) 1 1+ g +X +X 2 (1 + i ) (1 + i )3 (1 + i )n-1 (1 + i )n (1 + i )

2 n-2

n -1

2 (1 + g )n- 2 + (1 + g )n-1 X 1 + g (1 + g ) + ... + + 1 + 1 + i 1 + i (1 + i )2 (1 + i )n-2 (1 + i )n-1 n

an a = bn b P=

2 n-2 n -1 X 1+ g 1+ g 1 + g 1+ g + + ... + + 1 + 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i

i g: Sn = a n q - a1 q -1

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1+ g 1+ g -1 X 1+ i 1+ i P= 1+ g 1+ i -1 1+ i n 1+ g -1 1+ i P=X (1 + i ) 1 + g - 1 (1 + i ) 1+ i n 1+ g -1 1+ i P=X 1+ g -1 - i 1 + g -1 1+ i P=X g -i g -i X = P n 1+ g -1 1+ i i = g:

2 (1 + g )n- 2 + (1 + g )n-1 X 1 + g (1 + g ) + 1 + + ... + P= 1 + i 1 + i (1 + i )2 (1 + i )n-2 (1 + i )n-1 X P= [ + 1 + 1 + ... + 1 + 1] 1 1+ i X P= n 1+ i n P=X 1+ i 1+ i X = P n n

n -1

P = A n

(1 + i )n - 1 n i (1 + i )

(1 + i )n - 1 n n i (1 + i ) (1 + i )n - 1 P = A lim n i ( + i )n 1 (1 + i )n - 1 (1 + i )n P = A lim n n i ( 1 + i) (1 + i )n

P = lim A

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(1 + i )n - 1 (1 + i )n (1 + i )n P = A lim n n i (1 + i ) (1 + i )n

P = A 1 i A = P i

i > 0: F ' = A'

(1 + i )n - 1

i

n 1

F = P (1 + i ) F = F '(1 + i )

F = A'

i i 1 A' = F n (1 + i ) - 1 1 + i

(1 + i )n - 1 (1 + i )

(1 + i )n - 1 n i (1 + i ) n F = P (1 + i ) 1 P = P '(1 + i ) (1 + i )n - 1 (1 + i ) P = A' (1 + i )n (1 + i )n - 1 P = A' (1 + i )n-1 n -1 i (1 + i ) A' = P (1 + i )n - 1

P' = A' F = A F = A' A

(1 + i )n - 1 (1 + i )n - 1 (1 + i )

n

i

(1 + i )

i -1

i A = A'(1 + i ) i = 0: De (5): A = A' : F = A'n

= A'

(1 + i )n - 1 (1 + i )

i (5)

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F n P = A'n P A' = n A' = i= r (pela definição de taxa nominal) m

n

F = P (1 + i )

(7) F = P (1 + im ) (6) = (7) : 1 m P (1 + i ) = P (1 + i m ) Se P = 0 0 0

m

F = P (1 + i )

1

(6)

Se P m 1 + i = (1 + im ) F = P (1 + i ') F = Pcorr (1 + i ) Pcorr = P + c.m.

c.m. = P : Pcorr = P + P

(8) (9)

Pcorr = P (1 + ) F = P (1 + ) (1 + i ') (10) (9) = (10) : P (1 + i ') = P (1 + ) (1 + i ') Se P = 0 0 0 Se P 1 + i ' = (1 + ) (1 + i ') 1 + = (1 + 1 ) (1 + 2 ) ... (1 + k ) ... (1 + m -1 ) (1 + m ) 1 + = (1 + k )

k =1 m

(11)

Por analogia entre (8) e (11): m 1 + = 1 + eq m

(

)

F = P (1 + i ) r i= m m 1 + i = (1 + im )

n

(12)

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r 1 + i = 1 + m m

m

r 1 + i = lim1 + n m

b

m

a a lim1 + = e b b r 1 + i = lim1 + n m

m r r

m

r r 1 + i = lim1 + n m r 1+ i = e i = er -1 (13) Substituindo (13) em (12): F = P ( + e r - 1) 1 F = P e r n P = F e - r n

n

r

i > 0: F = A

(1 + i )n - 1

r n

i e -1 F = A r e -1 er -1 A = F r n e -1 (1 + i )n - 1 P = A n i (1 + i )

r

P = A P = A

(1 + e - 1) - 1 (e - 1) (1 + e - 1)

n r r

n

( (e A = P

e r n - 1 e r - 1 e r n

r

e r n - 1

) - 1) e

r n

F = A'

(1 + i )n - 1 (1 + i )

i

r n

(1 + e F = A'

- 1) - 1 ( + e r - 1) 1 r e -1 e r n - 1 r F = A' r e e -1

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A' = F

e r - 1 -r e e r n - 1

P = A' P = A' P = A'

(1 + i )n - 1 (1 + i )n-1

r r

(1 + e - 1) - 1 (1 + e - 1)

n n -1

e r n - 1 e r (n -1) e r(n -1) A' = P rn e -1 A= A= A= A' = A'(1 + i ) A' 1 + e r - 1 A'e r A e -r

(

)

pk = ak + jk P = ak

i =1 n

j k = i SDk -1 SDk = P - a k

i =1 k

i > 0: p = P (A / P; i; n ) p = P i (1 + i ) (1 + i )n - 1

n k i =1

SDk = P - a k SDk = p (P / A; i; n - k ) SDk = P SDk = P SDk SDk i (1 + i ) (1 + i ) - 1 (1 + i )n - 1 i (1 + i )n-k

n n-k

(1 + i )n [(1 + i )n-k - 1] (1 + i )n-k [(1 + i )n - 1] (1 + i )k [(1 + i )n- k - 1] = P (1 + i )n - 1 (1 + i )n - (1 + i )k = P (1 + i )n - 1

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j k = i SDk -1 jk

(1 + i )n - (1 + i )k -1 =iP (1 + i )n - 1 (1 + i )n - (1 + i )k -1 (1 + i )n - 1 (1 + i )n - 1 (1 + i )n - [(1 + i )n - (1 + i )k -1 ] = iP (1 + i )n - 1 n n k -1 (1 + i ) - (1 + i ) + (1 + i ) = iP (1 + i )n - 1 k -1 i (1 + i ) = P (1 + i )n - 1

n

ak = p - jk ak = P ak ak ak i (1 + i ) -iP

i = 0: p = P (A / P; i; n ) 1 p = P n ak = p - jk 1 ak = P - 0 n 1 ak = P n SDk = p (P / A; i; n - k ) 1 SDk = P (n - k ) n n k SDk = P - n n k SDk = P 1 - n j k = i SDk -1 k -1 j k = i P 1 - n i = 0 j k = zero a= P n

k i =1

SDk = P - a k P n k SDk = P 1 - n SDk = P - k

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j k = i SDk -1 k -1 j k = i P 1 - n pk = ak + jk P k - 1 + i P 1 - n n 1 k - 1 p k = P + i 1 - n n pk = p k S.F. + p k S.H. 2 a + a k S.H. a k = k S.F. 2 j k S.F. + j k S.H. jk = 2 SDk S.F. + SDk S.H. SDk = 2 pk = k < n: a k = zero SDk = P - a k

i =1 k

SDk = P - 0 SDk = P j k = i SDk -1 jk = i P pk = ak + jk pk = 0 + i P pk = i P k = n: ak = P SDk = P - a k

i =1 k

SDk = P - P SDk = zero j k = i SDk -1 jk = i P pk = ak + jk pk = P + i P

p k = P (1 + i )

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c.m.k = k (SDk -1 + jk ) p c.m. k = p k + c.m.k SDcorr . k = SDk -1 (1 + k ) j c.m. k = i SDcorr . k c.m. g k = k SDk -1 + j c.m. k - j k

c.m. p k = p c.m. k - p k

A = P

1

1+ k i

k =1

n

1

p = P

1

1+ k i

k =1

n

1

ak =

p 1+ k i P 1

ak =

1+ k i

k =1

n

1

1+ k i 1 n 1 1 + k i ak = P k =1 1+ k i j p k = pk - ak 1 jpk = P - P k =1 1 1+ k i 1+ k i k =1 1 n 1 1+ k i 1 = P n - k =1 1+ k i 1 k =1 1 + k i

n

1

1+ k i

n

1

jpk

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jpk

jpk

1 1 1 = P n - n 1 1 1+ k i 1+ k i k =1 1 + k i k =1 1 1 = P n 1 - 1 1+ k i 1+ k i k =1

k

SDk = P - a k

k =1

1 SDk = P - P

k =1 k

1+ k i

k =1

n

1

1+ k i

j g k = i SDk -1

jgk

1 n 1 1+ k i k -1 k =1 = iP - P 1+ k i k =1

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