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Ejercicios.- Potencias y raíces de números reales. Notación científica.

1.- Poner en cada casilla el número que corresponda: a) d) g)

2

= 2× 2× 2× 2× 2

e)

6

b)

27 = 3

c)

81 = 3

f) i)

81 = 9

54 =

h)

×

×

3

×

64 =

3

64 =

729 =

729 =

6

2.- Indicar cuáles de las siguientes igualdades son ciertas y cuáles falsas. Probar la respuesta. a)

10 2 2 10

b)

34 4 3

c)

37 7 3

d)

113 311

3.- Calcular: a) f)

22 + 2 3

b) c)

2 3 10 2

c) h)

2 3 25

d)

5

2 3 10 2

e)

3

5 3 57

10 3 10 2

36 33

(3 + 2 )

i)

(11 - 6 )

j)

(5 + 2 )

4

4.- Escribe en cada casilla el valor que corresponda. a)

3 4 36 = 3 747 = 713

b)

4 2 45 = 2

c)

511513 = 5

d)

6

6 7 = 612

h)

e)

f)

57 =5 54

g)

9 9

7

= 911

k) n)

115 11

= 113

i) l)

10 10

3

9

=1

= 415 = 2

j)

(2 )

4 5

=2

p

=4

: p15 = p 3

(3 )

(q )

3

4

= 312 = 9

= q 21

(4 )

m)

5.- Escribe el valor que corresponde en cada casilla: a) c)

8 2163 = 2

2

=2

b) d)

1253 25 4 = 5

5

=5

815 93 = 3

3

=3

f)

7293 3 = 815 3

=3

4

e)

1285 2 = 167 2

=2

(7

6

75 ) = 7

4

(

)

=7

g)

37 4 = 3 3

5

(

)

5

=3

h)

53 252 = 5 7 5

3

(

)

3

=5

i)

45 16 2 4 3 = 2 8 2

7

(

)

7

=2

j)

814 3 2 = 3 9 27

3

(

)

3

=3

6.- Situar el valor que corresponda en cada una de las casillas a)

1 1 = 16 2

=2

b)

1 1 = 2 1000 10

= 10

c)

1 1 = 4 125 5

=5

7.- Cuáles de las siguientes igualdades son ciertas: (i) 103 /10-2 = 1 (iv) 10-3 : 10-6 = 103 (ii) 10-2.10-2 = 1 (v) (10-1)-1 = 10-2 (iii) 10-1 = - 10 (vi) 10.10-5 = 10-5

8.- En los siguientes ejercicios rodea con un círculo la opción correcta. a) Si a = 2'5 104 y b = 5.10-6, entonces: k. a.b = 12'5.10-2 (ii) a/b = 5.108 (iv) 100.b = 0'5.10-3

(iii) a + b = 7'5.10-2 b) 0'0000134 es igual a: (i) 134.10-7 (iii) 13'4.10-4 c) 0'003.0'00007 es igual a: (i) 2'1.10-7

(ii) 1'34.10-5 (iv) 1340.10-6

(ii) 0'21.10-9

(iii) 0'0000021

9.- Halla el valor del exponente de la potencia de base 10 en cada uno de los siguientes casos:

a)

5'3214 10 53214 10 0'053214 = 0'00053214 10 532'14 10

b)

0'71245 10 712'45 10 71245 = 7 '1245 10 7124500 10

10.- Escribe en notación científica: a) 73.256.000.000.000.000 b) La centésima parte de una diezmilésima. e) 0,00000000425 f) 0,0000002 .- Expresa en notación científica las siguientes magnitudes: a) Peso de un grano de arroz: 0,000027 kg.

b) Número de granos de arroz en un kilogramo: 36000 granos. c) Número de moléculas que hay en un gramo de hidrógeno: 301.000.000.000.000.000.000.000 moléculas. 11.- Calcular:

1 2

a)

100

b)

1

10000

1 4

c)

1 3

625

1 4

d)

81

1

-

1 4

e)

4 82 2 7 2

4

- 1 2

1

f)

9 27 2 4 3

1 2 0 9 + 92 1

g)

625 5

l)

-

h)

(x )

1 9 3

i)

x2 x

1 2 ( 256 ) 2 1

j)

+ 42

1

k)

(9 - 9 )

1 0 3

m)

12.- Coge un número entero positivo de más de una cifra (por ejemplo 16). (1) Eleva al cuadrado cada cifra y halla la suma de los cuadrados. (12 + 62 = 37). (2) Repite la operación con el número obtenido (32 + 72 = 57). Continúa los pasos (1) y (2) hasta que encuentres algún resultado "interesante". Aplica el mismo método a otros números: 31, 23, 302, 14. 41,.. ¿A qué conclusiones llegas?. Explicalas por escrito y trata de justificar tus afirmaciones. 13.- Sabiendo que: están entre los siguientes valores:

Hallar un valor aproximado de

.

14- Sabiendo que 2'236 < expresión:

< 2'237, dar un valor por defecto y otro por exceso de la

15.- Calcular las siguientes expresiones: a)

25 + 30 2 2

b)

6 7 43 - 65 4

c)

78 511 - 7 6 59

d)

107 56 - 10 4 53

e)

119 1113 - 114 118

16.- Calcular las siguientes expresiones:

a)

5 +2

-1

-3

b)

6 -3

-1

-2

c)

5 -1 10 -1

d)

9 -1 33

e)

4 -1 - 10 -1 + 5 -1

17.- Sitúa en cada cuadrícula el valor que corresponda:

a)

74 =7 76

x5 == x x7 x2

b)

53 1 = 7 5 5 1 8 =x x

3

=5

c)

(3 )

x5 x

4 -3

=3

d)

e)

f)

= x -3

g)

(x )

4

= x -8

h)

(x )

3

=

1 x15

2 + 2 0 + 2 -1 =2 2 -2 + 2 -3 + 2 -4

18.- Halla el valor de n sabiendo que es un número entero.

19.- Contesta razonadamente las siguientes cuestiones: A) Si el volumen de un cubo es 19683 cm3 ¿Cuánto vale el volumen de un cubo cuya arista sea el doble?. B)Si la razón de dos números es 3. ¿Cuál es la razón de sus cuadrados? ¿y de sus cubos?. C)Si a un número x le añadimos una unidad ¿cuánto aumenta su cuadrado? D)¿Cuántos cuadrados perfectos hay inferiores a 1 millón?. E)Escribe el mayor número posible con tres doses. F)Cuántas columnas diferentes habrá que rellenar en una quiniela para acertar 14 aciertos. G)Teniendo en cuenta que 121 = 112 ¿Es 12'1 un cuadrado perfecto? ¿y 1'21?. ¿Por qué?. H)Si la fracción a/b es el cuadrado de otra fracción. ¿Será cuadrado perfecto el producto a.b? ¿Por qué?. 20.- Si partimos de an. Razona las respuestas a las siguientes cuestiones, aportando ejemplos que apoyen la respuesta si es necesario. (a) ¿En cuánto aumenta dicha potencia si se añade 1 al exponente? ¿y si se añade 2?. Intenta dar una respuesta general para el caso que añadamos un número entero p. (b) Responde las mismas cuestiones en el caso de que restemos en lugar de añadir. 21.- En las siguientes igualdades se han deslizado errores. Escribe frente a cada una la igualdad correcta. a) (22 + 1)2 = 16 - 1 b) (a - 2a)2 = a2 - 4a2 c) (x - 2x)2 = - x2 d) 34 - 44 = (3 - 4)4 a) b) c) d)

22.- Si 1.10a + 2.10b + 3.10c + 4.10d = 314200, siendo a = b = c = d . ¿Cuánto vale a + b + c + d?. 23.- Expresar en notación científica los siguientes números que miden importantes constantes de la Física y la Química:

El radio de la órbita del electrón El diámetro del universo de Einstein La masa de una molécula de agua La distancia máxima de Plutón al Sol La carga del electrón Número de Avogadro Masa del protón en reposo

0' 000 000 0053 cm 11 740 000 000 000 000 000 000 millas 0' 000 000 000 000 000 000 000 03 gr. 7590 000 000 000 m 0' 000 000 000 000 000 000 016 02 Culomb 602 500 000 000 000 000 000 000 molec/mol 0' 000 000 000 000 000 000 000 016 72 gr.

24.- Simplifica cuánto puedas la siguiente expresión:

12 '35 10 4 37 '9 10 -6 12350 10 -2 3790 106

25.- Haz los siguientes cálculos sin utilizar la calculadora: a) (4 104) (2 105) b) (6 104) (8 10 - 6) c) (6'2 108) (2 10 - 4)

3 4

d) (9 107) / (3 104)

-4 2

e) (8 105) : (2 10 - 2) i) 6 10 5 + 3 10 6

f)

3'6 108 9 103

g)

( 2 10 )

h)

4

( 5 10 )

j) 6 102 + 9 103

k) 6 10 5 - 10

l) 8 10 - 2 + 9 10 - 3

26.- Efectúa con la calculadora y escribe el resultado en notación científica y con todas las cifras: a) (2,25 A 10 22) A (4 A 10 -15) : (3 A 10 -3) b) 4,2 A 10 -16 ­ 8,2 A 10 -17 + 1,8 A 10 -5 c) (1,4 A 10 -7)2 : (5,2 A 10 - 6) 27.- Un año-luz es la distancia que recorre la luz en un año. Sabiendo que la luz se desplaza en el vacío con una velocidad de 3 A 10 5 km/s., calcula a cuántos km. corresponde un año-luz. 28.- Las dimensiones del Universo son tan grandes que resulta difícil su comprensión para nuestra mente. Para hacerte una idea, calcula el tiempo (en horas, días o años) que se tardaría en recorrer alguna de estas distancias, viajando en un cohete a 1.000 km/h. a) Tierra-Luna: 384.000 km. b) Tierra-Sol: 150 millones de km. c) Tierra-Estrella Polar: 6.168 billones de km. d) Diámetro de la Vía Láctea: 1 trillón de km. 29.- Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4.500.000 por milímetro cúbico de sangre, y que su cantidad de sangre es de 5 litros. Exprésalo en notación científica. Calcula la longitud que ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila, si su diámetro es 0,008 milímetros por término medio. 30.- Los 16 estados miembros de la OTAN dedicaron en el año 1995 unas 6,5 A 10 13 pts. a gastos de defensa, lo que supone un 4,1%, como media de su Producto Interior Bruto (PIB). Expresa, en notación científica y en billones de pesetas el PIB de los países de la OTAN. (En nuestra lengua, 1 billón = 10 12, 1 trillón = 1018 31.- Las reacciones nucleares que tienen lugar en sol, al igual que en otras estrellas similares, fusionan átomos de Hidrógeno en átomos de Helio, de forma que en cada segundo 600 millones de toneladas de Hidrógeno se transforman en 596 millones de toneladas de helio. ¿Qué ha pasado con los 4 millones de toneladas de diferencia?. Esta materia se ha transformado en energía luminosa de acuerdo con la conocida ecuación de Einstein: E = mc2, donde E representa la energía, m la masa y c la velocidad de la luz (aproximadamente 300000 km/s). Las lámparas que usamos para alumbrarnos en las casas tienen una potencia de entre 60 y 100 watios, esto

indica la energía luminosa que emiten por segundo. El sol, de alguna forma, es la l-ampara de nuestra tierra y no es difícil calcular su potencia en watios con los datos anteriores. Para ello debes utilizar la ecuación de Einstein y sustituir los datos que se proporcionan en el enunciado pasando las unidades de masa a kilogramos y las de longitud a metros. ¿Cuántas bombillas de 100 watios deberíamos poner juntas para obtener la potencia lumínica del sol?. 32.- Los astrofísicos han determinado que las reacciones nucleares que se producen en su interior el Sol consumen en 1000 millones de años un 1% de su masa. Como sólo un 10% de la masa del Sol sirve como combustible nuclear, hasta que no se quemen estas reservas continuará emitiendo energía, de forma casi constante, como lo hace en la actualidad. Es decir, el Sol está y seguirá estando durante mucho tiempo aún en lo que los astrofísicos denominan la secuencia principal de una estrella. ¿Cuántos años dura la secuencia principal del Sol?. Se sabe que el Sol lleva brillando como en la actualidad desde hace 4'6 eones. Determinar cuántos años seguirá brillando aún. Las estrellas llamadas pequeñas enanas rojas, como Bernard, pueden seguir emanando su pequeña radiación durante un tiempo total de 200 eones. ¿Cuántas horas más que el Sol durarán estas estrellas? 33.- Las estrellas que tienen mayor masa que el Sol, tienen un mayor brillo. Se calcula que su luminosidad es directamente proporcional a la cuarta potencia de su masa, sin embargo su secuencia principal es más breve que la del Sol, se calcula que su duración es inversamente proporcional al cubo de su masa. Con estos datos completa la siguiente tabla: Masa de la estrella (referida al Sol) 2 masas solares 5 masas solares 10 masas solares 34.- Teniendo en cuenta los siguientes datos: Masa del Sol Masa de la Tierra Radio de la Tierra Distancia Tierra - Sol 2.1033 gramos 6.1027 gramos 6.108 cm. 1'5.1013 cm. Potencia en wattios Secuencia principal (millones de años)

(a) ¿En qué razón están las masas de la tierra y el sol?. Un iceberg cuya masa sea de 2000 toneladas. ¿En qué razón estará su masa respecto a la de la tierra?. ¿Es comparable esta razón a la de la masa de la tierra y el sol?. (b) ¿Cuántos planetas como la tierra podrían ponerse alineados entre la tierra y el sol?. © Una persona que camina 1'5 m. por segundo. ¿Cuánto tiempo tardaría en dar una vuelta completa a la tierra?. (d) ¿Cuánto tiempo tardaría en recorrer la distancia que separa la tierra del sol una avión supersónico que viaja a la velocidad del sonido (340 m. por segundo)?. 35.- Hallar el valor de n en los siguientes casos:

a)

-3 1 -3 - 3 9 :3 2 81 = 3n 1 4 1 27 2 : 33 3

b)

( 0 '0012 100-3 102 ) : (1002 ) = 10n (10003 0 '01-3 0 '12 ) : (10-3 )

36.- Comprueba que los siguientes números pueden escribirse como potencias de base 3 y ordénalos de menor a mayor.

a)

( 0 '3 )

2

3 b) 9 2

c)

4 27 3

9

2

d)

0 '5 0 '166

37.- Expresa mediante una sola potencia de base 5 la expresión:

125 (5 x ) 4 3 25 5x

38.- Sabiendo que 2'236 < expresión:

< 2'237, dar un valor por defecto y otro por exceso de la

39.- Si queremos hallar una aproximación racional del producto y al estar

podemos escribir:

podemos aproximar por 6'5 dicho producto. Dar

aproximaciones racionales de las siguientes expresiones radicales: a) b) c) d) e)

40.-

700 se puede escribir como 7

7 100 o bien

7 10 2 = 10 7 tomando 2'5 como

700

. Halla, utilizando este

aproximación de

tendremos que 25 es una aproximación de

método, valores aproximados de los siguientes radicales: a)

1100

b)

300

c)

2300

d)

6700

e)

170000

Comprueba, utilizando la calculadora, de qué orden es el error cometido en cada aproximación. Una mejora de la aproximación se consigue con la interpolación lineal. Siguiendo con el ejemplo del cálculo aproximado de

700 , se procedería de la siguiente forma:

4 7 9 , luego la raíz buscada será 2 + x, siendo 0 < x < 1.

2 7 3

Ya que

podemos establecer entonces la siguiente proporción:

x 7-4 3 = = 1 9-4 5

De donde:

x=

3 = 0 '6 , por lo tanto 7 5

2 '6

y

700

26

que

resulta más próximo al valor exacto que 25.

41.- Calcular:

simplificando cuanto sea posible el resultado.

42.- En cada fila rodea con un círculo los valores o expresiones equivalentes al que figura en la primera casilla.

(

2x 3

)

2

2x

6

2x5

2x6

3( - a ) -b

a

-4

3

3a 3 b3

-4.a

-27a 3 b3 a0 a4

27a 3 b3

- a4

a -4 a -2 312 - 34 32

38 3 + 38 12

(1 - 4x)2

a-6

1 a2

312 - 36

a2 a4

310 - 36

32

3

7

38 3 + 12

9

1 + 4x2 8x

38 +

1 4

1 - 16x2

16x2 - 8x +1

43.- Efectuar los siguientes cálculos:

44.- Expresa

1800 en la forma a b , donde a y b son números enteros.

1 1

9332 45.- Escribe en forma de radical el resultado de las siguientes operaciones: 2 . 213

46.- Expresar en la forma

las siguientes expresiones:

a)

b)

47.- Introducir dentro del signo radical todos los factores que están delante: a) b) c)

48.- Efectúa los siguientes cálculos y simplifica el resultado: (a) (b) (c )

(d)

(e)

49.- Completar la tabla. Radical único Potencia Otras formas

Forma

an b

50.- Simplificar las siguientes expresiones: (a) (b) c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

51.- Simplificar las siguientes expresiones:

52.- Reducir a común índice: a)

b)

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