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INTRODUCTION ´ ´ GENERALE

Dans cette introduction, nous faisons un panorama de l'industrie de la gestion d'actifs. Apr`s avoir pr´sent´ les diff´rents acteurs (soci´t´s de gese e e e ee tion et investisseurs), nous nous int´ressons ` la r´glementation de la gese a e tion d'actifs, et plus particuli`rement de la gestion collective. Nous abore dons ensuite les diff´rents styles de gestion, que nous pouvons caract´riser e e par l'univers d'investissement et par la technique de gestion utilis´e. La e quatri`me section est consacr´e ` la place de la gestion quantitative en e e a asset management. Enfin, dans la derni`re section, nous pr´sentons le plan e e du livre.

L'industrie de la gestion d'actifs

La gestion d'actifs (en anglais asset management) repr´sente au 31 e d´cembre 2009 environ 52,6 billions de dollars1 d'actifs sous gestion2 . Elle e a largement b´n´fici´ du rebond du march´, puisque le montant d'AuM e e e e avait fortement baiss´ en 2008 pour s'´tablir ` 47 billions de dollars3 , e e a mais on est encore loin des 57 billions de dollars de l'ann´e 2007. La e

1 Nous rappelons qu'en fran¸ais un billion est mille milliards (et correspond ` un c a trillion en am´ricain). e 2 Le terme anglais correspondant est assets under management (ou AuM). 3 Boston Consulting Group, « In Search of Stable Growth », Global Asset Management Report, juillet 2010, www.bcg.com.

10

La gestion d'actifs quantitative

r´partition des actifs sous gestion est la suivante. La gestion collective e sous forme de fonds repr´sente environ 23 $bln, alors que les hedge funds e et les ETF g`rent respectivement 1,6 $bln et 1 $bln. Les 27 $bln restants e correspondent ` des mandats de gestion et ` la gestion structur´e. a a e Dans cette section, nous pr´sentons respectivement les soci´t´s d'invese ee tissement et leurs clients. En particulier, nous faisons la distinction entre la gestion traditionnelle et la gestion hedge funds. Nous consacrons aussi un paragraphe aux agences de notation.

La gestion traditionnelle

La gestion traditionnelle est domin´e par de tr`s grands acteurs (global e e ` oe players). A c^t´ des g´ants que sont BlackRock ou Pimco, on trouve une e myriade de petites soci´t´s de gestion. Contrairement ` ces g´ants qui ee a e couvrent toutes les classes d'actifs, ces boutiques sont sp´cialis´es dans e e quelques strat´gies. e Les grands acteurs Sur le tableau 1, nous reportons le classement du journal Pensions & Investments concernant les plus grosses soci´t´s de gestion. On voit donc ee que les 5 plus grosses soci´t´s de gestion repr´sentent environ 15% des acee e tifs g´r´s et que les 20 premi`res soci´t´s g`rent environ 45% des actifs. Ce ee e ee e ph´nom`ne de concentration s'est encore accentu´ avec la crise. Ainsi, la e e e fusion entre BlackRock et Barclays Global Investors (BGI) a donn´ naise sance en 2009 ` un mastodonte qui g`re 3,36 billions de dollars au 31 mars a e 20104 . En France, l'ann´e 20095 a vu aussi la cr´ation d'Amundi, issue de e e la fusion de CAAM6 et SGAM7 . Cette course au plus gros est dict´e par e une concurrence de plus en plus forte dans la gestion traditionnelle. Cela se traduit par une baisse g´n´rale des frais de gestion, ce qui a entra^ e e e in´ une diminution de la marge depuis 20068 . Afin de r´tablir une rentabilit´ e e plus importante, les soci´t´s de gestion se sont lanc´es dans une vaste ee e op´ration de r´duction des co^ts et d'industrialisation. Une premi`re soe e u e lution est d'automatiser la cha^ de traitement front-middle-back. Cela ine passe par une automatisation informatique de l'ensemble des processus. La deuxi`me solution est de g´rer plus d'actifs afin de b´n´ficier des effets e e e e d'´chelle. e

: www.blackrock.com. ann´e a ´t´ aussi l'occasion pour BNP Paribas Asset Management d'absorber e e e Fortis AM. 6 Cr´dit Agricole Asset Management. e 7 Soci´t´ G´n´rale Asset Management. e e e e 8 Boston Consulting Group, « Conquering the Crisis », Global Asset Management Report, juillet 2009, www.bcg.com.

5 Cette 4 Source

Introduction g´n´rale e e

11

Tableau 1. Les plus gros g´rants au 31 d´cembre 2008 (en milliards e e de dollars)

Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Nom Barclays Global Investors Allianz Group State Street Global Fidelity Investments AXA Group BlackRock Deutsche Bank Vanguard Group J.P. Morgan Chase Capital Group Bank of New York Mellon UBS BNP Paribas Goldman Sachs Group ING Group Cr´dit Agricole e HSBC Holdings Legg Mason Natixis Wells Fargo

Pays GB DE US US FR US DE US US US US CH FR US NL FR GB US FR US

AuM 1 516 1 462 1 444 1 389 1 383 1 307 1 150 1 145 1 136 975 928 821 810 798 777 776 735 698 630 574

Source : The P&I/Watson Wyatt 500 (www.pionline.com)

Les boutiques ` oe A c^t´ de ces grosses soci´t´s de gestion, on trouve un certain nombre de ee boutiques. Ces boutiques sont g´n´ralement cr´´es par un ancien g´rant e e ee e qui monte sa propre soci´t´ de gestion. La logique de ces boutiques est ee tr`s diff´rente des pr´c´dentes. Elles sont g´n´ralement sp´cialis´es sur un e e e e e e e e style de gestion, et leur succ`s d´pend tr`s fortement de la performance e e e financi`re des fonds g´r´s. Sur le tableau 2, nous reportons le nombre de e ee soci´t´s de gestion dans quelques pays europ´ens9 . ee e Nous remarquons qu'il existe de grandes diff´rences entre les pays. Ainsi, e il peut appara^ curieux que le nombre de soci´t´s de gestion en France itre ee soit beaucoup plus grand qu'au Royaume-Uni ou en Allemagne. En fait, les boutiques sont une sp´cialit´ tr`s fran¸aise. Parmi les plus c´l`bres, e e e c ee on peut citer La Fran¸aise des Placements, Oddo AM, etc. Ces boutiques c g`rent g´n´ralement moins de vingt milliards d'euros. Certaines sont cee e e

9 European Fund and Asset Management Association, « Asset Management in Europe ­ Facts and Figures », EFAMA's Third Annual Review, avril 2010, www.efama.org.

Introduction g´n´rale e e

23

Nous reportons les statistiques d'actifs sous gestion (en milliards de dollars), du nombre de fonds ainsi que l'AuM moyen par fonds recueillies par l'Investment Company Institute33 sur le tableau 4. Nous remarquons que, sur les 23 $bln d'actifs collect´s par les OPCVM dans le monde, e ´ pr`s de la moiti´ sont aux Etats-Unis. Nous notons aussi une tr`s grande e e e ´ diff´rence entre l'AuM moyen d'un fonds aux Etats-Unis et dans le reste e du monde.

Tableau 4. AuM et nombre d'OPCVM dans le monde

R´gion e Monde Am´rique e Europe Asie et Pacifique Afrique ´ Etats-Unis Luxembourg France Australie Irlande Br´sil e Royaume-Uni Japon Canada Chine Allemagne Italie Espagne Cor´e du Sud e

AuM 22 964 12 597 7 546 2 715 106 11 121 2 294 1 806 1 199 861 784 729 661 565 381 318 279 270 265

(en %) 54,9% 32,9% 11,8% 0,5% 48,4% 10,0% 7,9% 5,2% 3,7% 3,4% 3,2% 2,9% 2,5% 1,7% 1,4% 1,2% 1,2% 1,2%

Nombre 65 735 16 982 33 054 14 795 904 7 691 9 017 7 982 2 721 4 744 2 266 3 656 2 075 547 2 067 675 2 588 8 703

(en %) 25,8% 50,3% 22,5% 1,4% 11,7% 13,7% 12,1% 4,1% 7,2% 3,4% 5,6% 3,2% 0,8% 3,1% 1,0% 3,9% 13,2%

AuM moyen 349 742 228 184 118 1 446 254 226 316 165 322 181 272 697 154 414 104 30

Source : Investment Company Institute, 2010.

Les mandats discr´tionnaires e La gestion sous mandat contractualise une relation bilat´rale entre le e g´rant et l'investisseur. Elle se distingue de la gestion collective puisque e c'est une gestion non publique et concerne donc principalement les investisseurs institutionnels. L'exemple typique est le fonds de pension qui cherche ` r´pliquer un indice d'actions ou d'obligations. Celui-ci va lancer a e un appel d'offre (request for proposal ou RFP). Aid´ d'un consultant, le e

33 Investment Company Institute, Investment Company Fact Book -- A Review of Trends and Activity in the Investment Company Industry, 50th edition, 2010, www. icifactbook.org.

24

La gestion d'actifs quantitative

fonds de pension effectue une premi`re s´lection de g´rants (short list). e e e Dans un deuxi`me temps, une ´tude approfondie des g´rants s´lectionn´s e e e e e conduira le fonds de pension ` choisir un g´rant (ou plusieurs si le notiona e nel est gros). Par d´finition, il est tr`s difficile d'obtenir des statistiques sur ces mane e dats discr´tionnaires puisqu'ils ne sont pas publics. N´anmoins, on estime e e qu'en Europe les mandats discr´tionnaires repr´sentent environ 50% des e e actifs sous gestion fin 2008 (EFAMA, 2010). Ces mandats peuvent aussi ^tre compl´t´s par des services de conseil. Ainsi, BlackRock Solutions, e ee filiale de BlackRock sp´cialis´e dans la gestion des risques, l'allocation e e strat´gique, etc., a une client`le repr´sentant 9 billions de dollars. e e e Les ETF Les trackers ou exchange traded funds (ETF) sont des fonds qui r´plie quent la performance d'un indice et qui sont n´gociables en bourse. Cone trairement aux OPCVM classiques qui offrent une liquidit´ journali`re, les e e ETF sont n´goci´s en continu. Pour cela, la soci´t´ de gestion a recours ` e e ee a un (ou plusieurs) market maker qui va assurer la liquidit´ intra-journali`re. e e Avant l'ouverture de la bourse, le market maker re¸oit l'inventaire du c portefeuille, et s'engage ensuite ` maintenir des prix d'achat et de vente a avec un ´cart maximum et une quantit´ minimum dans des conditions e e normales de march´. e Les ETF sont des produits relativement r´cents. Le premier ETF a ´t´ e ee lanc´ par State Street en 1993. Ce tracker appel´ Standard and Poor's Dee e posit Receipt (SPDR que l'on prononce "spider") r´plique la performance e du S&P 500 et il est aujourd'hui le plus gros ETF avec 68 milliards de dollars d'actifs sous gestion au 1er juillet 2010. En France, il faut attendre le 15 janvier 2001 pour que Lyxor Asset Management lance le premier tracker sur la bourse de Paris. Le march´ des ETF est beaucoup plus petit e que celui des fonds traditionnels, puisqu'il repr´sente environ un billion e de dollars en 201034 . N´anmoins, c'est un march´ qui conna^ une tr`s e e it e forte croissance avec des encours qui augmentent de 30% en moyenne par an. Outre les trackers classiques sur les indices d'actions ou d'obligations, on trouve d´sormais un vaste univers d'investissement allant des indices e de mati`res premi`res ` des indices de style en passant par des indices e e a sectoriels. Depuis quelques ann´es, on voit aussi appara^ des ETF sur e itre indices de strat´gie35 et des ETF actifs36 . e

34 On estime que fin 2009 il y a un peu plus de 1 900 ETF dans le monde. Source : BlackRock. 35 Par exemple, des strat´gies optionnelles de type covered call. e 36 Ce sont des ETF d'allocation dynamique entre classes d'actifs ou des ETF structur´s int´grant une protection de capital, des effets de levier ou donnant la performance e e inverse de l'indice.

Introduction g´n´rale e e

25

Les v´hicules d'investissement de gestion alternative e De par la nature des strat´gies mises en place, les r´glementations eue e rop´ennes et am´ricaines sont peu adapt´es aux hedge funds. Ceci explique e e e que les hedge funds vont chercher des v´hicules dans des pays beaucoup e moins r´glement´s afin de limiter les impacts r´glementaires sur la gese e e ` oe tion du fonds. A c^t´ des zones offshore traditionnelles, les hedge funds utilisent aussi des v´hicules des zones onshore qui pr´sentent une fiscae e lit´ all´g´e. De par leur flexibilit´ absolue, les fonds Ca¨ e e e e imans sont les v´hicules les plus r´pandus. « Ils ne connaissent aucune restriction quant e e aux investissements sous-jacents. Tout type de placement est permis, y compris des placements immobiliers et illiquides » (Lecocq, 2008)37 . Ces fonds peuvent ^tre des fonds communs de placement ou structur´s sous la e e forme de soci´t´s. Dans tous les cas, une dizaine de jours suffit pour obee tenir l'agr´ment et cr´er le fonds. En Europe, Guernesey, Jersey et Malte e e offrent des v´hicules proches de ceux des ^ Ca¨ e iles imans. Depuis quelques ann´es, ces v´hicules d'investissement sont concurrenc´s par des v´hicules e e e e plus r´glement´s. C'est notamment le cas avec les fonds irlandais, luxeme e bourgeois et suisses. Par exemple, l'Irlande offre deux types de v´hicules. e Pour les fonds d'investisseurs professionnels (professionnal investor fund ou PIF), la souscription minimum est de 125 000 euros alors que celle-ci est relev´e ` 250 000 euros pour les fonds d'investisseurs qualifi´s (qualie a e fying investor fund ou QIF). Ces derniers plus souples ont la pr´f´rence ee des hedge funds. En 2007, le Luxembourg a cr´´ les fonds d'investissement ee sp´cialis´s (SIF). Depuis quelque temps, des hedge funds de tr`s grande e e e notori´t´ (BlueCrest, Man AHL, Winton) proposent d'investir dans leurs ee strat´gies via des v´hicules UCITS38 . e e

Remarque 2. La fronti`re entre gestion traditionnelle et gestion altere native est moins importante aujourd'hui que par le pass´. Tout d'abord, e on note une convergence entre ces deux gestions du point de vue des tech` niques de gestion. A partir de 2005 sont apparus des fonds long only actions g´r´s par des hedge funds en utilisant leur moteur de stock picking e e impl´ment´ dans leur strat´gie long/short. En 2006, les soci´t´s de gestion e e e ee traditionnelle ont lanc´ des fonds actions appel´s 130/30. Ces fonds sont e e construits sur une exposition acheteuse de 130% couverte en partie par une exposition vendeuse de 30%. On peut voir ces fonds comme un fonds actions tilt´ par une strat´gie equity market neutral. Ensuite, on note que e e les hedge funds se tournent de plus en plus vers des formats contr^l´s oe (plateformes de comptes g´r´s, newcits, etc.). e e

37 D. Lecocq, « Quelle juridiction pour les hedge funds ? », Banque & Finance, maijuin 2008, p. 46-47. 38 On utilise le terme Newcits pour d´signer ce type de fonds. e

38

La gestion d'actifs quantitative

liste des laur´ats du prix Graham et Dodd qui r´compense chaque ann´e e e e les meilleurs articles du FAJ78 . On y trouve bien s^r Fisher Black et u ses co-auteurs (parmi lesquels Emmanuel Derman et Robert Litterman) mais aussi Michael Brennan, John Campbell, Hayne Leland, Andrew Lo, Robert Merton, Richard Roll, Stephen Ross, Mark Rubinstein, William Sharpe, etc. On retrouve ce m^me souci d'´ducation professionnelle dans e e la revue Journal of Portfolio Management. Celle-ci est cr´´e en 1974 par ee Peter Bernstein dont l'id´e originelle est de fournir aux professionnels e ´ e l'´tat de l'art des m´thodes financi`res. Edit´ aujourd'hui par Frank Fae e e bozzi, Journal of Portfolio Management continue ` diffuser au sein de la a profession les outils et m´thodes indispensables pour faire de la gestion e d'actif. C'est notamment dans cette revue que seront publi´s la r´gression e e de style de Sharpe, la loi fondamentale de la gestion active de Grinold ou encore les strat´gies de rebalancement de Mark Rubinstein79 . e Comme nous venons de le voir, la fronti`re entre le monde acad´mique et e e le monde professionnel est moins prononc´e qu'en Europe. C'est donc tout e naturel que les professeurs de finance des universit´s am´ricaines aient une e e activit´ professionnelle. Tous les noms prestigieux ont ´t´ ` un moment e eea de leur vie impliqu´s dans la cr´ation d'un fonds, dans l'´laboration d'une e e e strat´gie ou m^me dans la construction d'un business. Ainsi, Fisher Black e e et Myron Scholes sont ` l'origine du fonds Stagecoach Fund chez Wells a Fargo au d´but des ann´es soixante-dix, Hayne Leland et Mark Rubinstein e e mettront en place l'assurance de portefeuille dans la soci´t´ de gestion ee LOR, William Sharpe fait du conseil dans diverses soci´t´s de gestion dont ee Wells Fargo Investment Advisors et Frank Russell Company, Andrew Lo cr´e sa propre soci´t´ de gestion AlphaSimplex, etc. Parmi ces diff´rentes e ee e exp´riences, certains parcours ont chang´ l'histoire de l'asset management. e e Au d´but des ann´es soixante-dix, Barr Rosenberg est Professeur de e e finance ` l'Universit´ de Californie ` Berkeley. C'est un jeune ´conom`tre a e a e e qui a fait sa th`se en 1968 ` Harvard University. Son sujet porte sur l'estie a mation des param`tres d'un mod`le lin´aire lorsque ceux-ci sont al´atoires. e e e e Celui-ci a d´j` des publications prestigieuses dans Journal of the American ea Statistical Association ou Biometrika 80 lorsqu'il s'int´resse ` la pr´vision e a e des risques communs et sp´cifiques des actions81 . En 1974, il cr´e la soci´t´ e e ee de conseil Barr Rosenberg Associates (BARRA) qui a pour objectif de d´velopper la gestion de portefeuille aupr`s des institutionnels. En pare e

78 Celle-ci est disponible ` a l'adresse www.cfapubs.org/page/ AllpastGrahamAndDoddWinners?journalCode=faj. 79 P.L. Bernstein et F.J. Fabozzi, Streetwise: The Best of the Journal of Portfolio Management, Princeton University Press, 1998. 80 B. Rosenberg, « Linear Regression with Randomly Dispersed Parameters », Biometrika, 60(1), 1973, p. 65-72. 81 B. Rosenberg et W. McKibben, « The Prediction of Systematic and Specific Risk in Common Stocks », Journal of Financial and Quantitative Analysis, 8, 1973, p. 317-333.

Introduction g´n´rale e e

39

ticulier, il d´veloppe le mod`le multi-factoriel BARRA82 qui est une ale e ternative au mod`le APT. Alors que ce dernier s'appuie sur des facteurs e statistiques, le mod`le BARRA utilise des facteurs ´conomiques. BARRA e e est un succ`s ´norme tr`s utilis´ par les fonds de pension et les invese e e e tisseurs institutionnels. Rosenberg quitte BARRA en 198583 pour cr´er e RIEM (Rosenberg Institutional Equity Management). La philosophie de gestion consiste ` combiner les mod`les de portefeuille ` la BARRA avec a e a des mod`les statistiques de valorisation des actions. En 1999, RIEM est e rachet´ par AXA IM et devient AXA Rosenberg. Cette soci´t´ g`re 41 e ee e millards de dollars au 31 mai 2010. Barr Rosenberg est l'un des pionniers ` quitter le monde acad´mique a e pour se lancer dans la gestion quantitative84 . Il est vite suivi par d'autres universitaires. L'histoire de BGI est racont´e dans le chapitre 10 de Berne stein (2007). Celle-ci d´bute avec le lancement du premier fonds indie ciel par Wells Fargo Investment Advisors. D'autres innovations suivront (comme le fonds Stagecoach Fund), mais la rentabilit´ n'est pas au rendeze vous. En 1990, Wells Fargo vend finalement sa soci´t´ de gestion ` la ee a banque Barclays qui la renomme Barclays Global Investors. Il faut encore quelques ann´es pour que ces solutions innovantes soient accept´es et que e e BGI devienne la premi`re soci´t´ de gestion au monde. Bernstein (2007) e ee rapporte les propos suivants de Blake Grossman, le CEO de BGI85 : « It was an evangelical undertaking Grossman declared as he looked back over the whole story from the struggles of the 1970s onward. Indexing and computer-driven strategies based on theoretical models are still the core of our work. They color everything we do. » (Bernstein, 2007, page 147). Dans cette entreprise d'´vang´lisation, Grossman est aid´ par Richard Grie e e nold et Ronald Kahn. Grinold rejoint BGI en 1993 pour ^tre responsable e de la recherche. Auparavant, il a ´t´ Professeur ` l'Universit´ de Californie ee a e a ` Berkeley et a travaill´ chez BARRA, tout comme Kahn, qui a un Ph.D. e en physique de Harvard et qui rejoint BGI en 1998. En 1995, Grinold et Kahn publient un livre intitul´ Active Portfolio Management: Quantitae tive Theory and Applications, qui synth´tise leurs travaux de recherche e chez BARRA. On remarque que la premi`re r´f´rence du livre est un are ee ticle sur le probl`me des donn´es et l'estimation robuste d'un mod`le paru e e e

82 B. Rosenberg, « Extra-Market Components of Covariance in Security Returns », Journal of Financial and Quantitative Analysis, 9, 1974, p. 263-274. 83 En 2004, MSCI rach`te BARRA pour offrir une solution int´gr´e avec d'une part e e e les indices et d'autre part les mod`les factoriels d'optimisation. e 84 Le lecteur qui d´sire conna^ e itre de fa¸on plus d´taill´e l'histoire de Barr Rosenberg c e e peut consulter le chapitre 3 de Mintz et al. (1998). 85 Il est int´ressant de noter que Grossman a ´t´ l'assistant de recherche de William e e e Sharpe ` Stanford. Le monde de la finance am´ricaine a d´cid´ment ´t´ fa¸onn´ par a e e e e e c e quelques personnalit´s que sont Harry Markowitz, William Sharpe, Fisher Black, etc. e

La construction d'un backtest

69

Le ratio Kappa d´fini par Kaplan et Knowles (2004) est15 : e Kappam () = µ-

m

lpmm ()

On remarque que Sortino () = Kappa2 (). Une autre mesure de performance a ´t´ propos´e par Keating et Shadwick (2002)16 : ee e Omega () =

-

(1 - F (x)) dx F (x) dx

Kaplan et Knowles (2004) ont montr´ que nous avons la relation suivante e Omega () = Kappa1 () + 1. La grande difficult´ avec ces ratios est de e d´finir la bonne valeur du seuil , qui est per¸u comme le rendement e c minimum acceptable de l'investisseur (minimum acceptable return). C'est donc un param`tre endog`ne propre ` chaque investisseur. C'est pourquoi e e a on utilise g´n´ralement deux mesures universelles de seuil : = 0 et = r. e e Remarque 7. Les ratios pr´c´dents sont tr`s utilis´s dans l'industrie e e e e des hedge funds ` cause du caract`re non gaussien des rendements des a e strat´gies alternatives. Dans la pratique, ces ratios donnent des r´sultats e e relativement proches du ratio de Sharpe17 .

5.4.

Un exemple

` A titre d'illustration, nous consid´rons la strat´gie (S) de covered call e e BXM qui est ´tudi´e ` la page 479. Nous supposons que le benchmark (B) e e a de cette strat´gie est l'indice S&P 500. Nous reportons sur la page suivante e a ` quoi pourrait ressembler un reporting18 . Sur le tableau 9, nous indiquons les performances mensuelles (en %) de la strat´gie. Nous indiquons aussi le e rendement et la volatilit´ (en %) de la strat´gie et du benchmark pour les e e diff´rentes ann´es calendaires. Nous pouvons bien s^r enrichir ce reporting e e u en incluant une attribution de performance, une analyse temporelle de la corr´lation, etc. e

15 P.D. Kaplan et J.A. Knowles, « Kappa: A Generalized Downside Risk-Adjusted Performance Measure », Journal of Performance Measurement, 8(3), 2004, p. 42-54. 16 C. Keating et W.F. Shadwick, « A Universal Performance Measure », Journal of Performance Measurement, 6(3), 2002, p. 59-84. 17 M. Eling et F. Schuhmacher, « Does the Choice of Performance Measure Influence the Evaluation of Hedge Funds », Journal of Banking and Finance, 31(9), 2007, p. 2632-2647. 18 BM et WM correspondent aux mois qui pr´sentent le meilleur rendement (best e month) et le plus mauvais rendement (worst month).

70

Tableau 8. Statistiques (01/01/1990 ­ 31/12/2009)

Rendement Volatilit´ e Sharpe TE IR Alpha 1D 1W 1M 6M 1Y VaR 1% 5%

S 9,1% 13,0% 0,37 8,7% 0,09 0,8% S - 9,0% -18,0% -24,5% -33,1% -35,5% S -40,1% 26/12/07 09/03/09

B 8,2% 18,6% 0,21

Drawdown B - 9,0% Max -18,3% D´but e -29,7% Fin -40,7% -46,3%

B -55,3% 09/10/07 09/03/09

Skewness Kurtosis BM 1D 1W 1M 6M 1Y

Les outils math´matiques e

WM

S -0,32 26,71 8,2% (Mars 09) -15,0% (Oct. 08) S 2,4% 5,4% 10,9% 19,9% 29,4% B 3,1% 6,4% 13,3% 24,3% 39,0%

B 0,00 12,72 11,4% (D´c. 91) e -16,8% (Oct. 08)

S 1,2% 2,4% 5,0% 8,1% 16,1%

B 1,7% 3,6% 6,9% 11,9% 25,0%

Les m´thodes d'optimisation e

77

ou encore : min

qR i

(yi - q)

avec (u) = u × ( - 1 {u < 0}). Si on consid`re maintenant le mod`le e e lin´aire Y = X + U et que l'on applique la d´finition pr´c´dente ` la vae e e e a ^ riable al´atoire U , l'estimateur de la r´gression quantile pour le niveau e e est : ^ = arg min yi - x i

i

Notons que pour = 50%, la r´gression quantile est connue sous le nom e de r´gression m´diane et nous avons : e e ^ 50% = arg min

i

yi - x i

Cela revient ` minimiser la valeur absolue des r´sidus. Cette estimation a e est aussi appel´e r´gression lin´aire robuste. e e e 1.3.2. ´ Ecriture du probl`me sous forme LP e = x + ui i

K

Nous avons : yi

=

k=1

+ - xi,k k - k + u+ - u- i i

Nous obtenons le programme d'optimisation LP : z = s.c. arg min c z Az = b z0

avec Y le vecteur des endog`nes, X la matrice des exog`nes, z le vece e teur + - u+ u- , A = X -X I -I , b = Y et c =

0 0 1 (1 - ) 1- . Pour r´soudre ce probl`me LP, Portnoy et e e Koenker (1997) proposent d'utiliser la m´thode des points int´rieurs2 . e e 1.3.3. Extension ` l'estimation non param´trique a e

Dans le cas d'une seule variable exog`ne, nous pouvons modifier la e m´thode pr´c´dente pour construire une estimation non param´trique de e e e e la fonction quantile conditionnelle Q ( | X = x). Pour cela, nous introduisons les poids wi dans la fonction d'optimisation : min

qR i

wi (yi - (0 (x) + 1 (x) (xi - x)))

2 S. Portnoy et R. Koenker, « The Gaussian Hare and the Laplacian Tortoise: Computability of Squared- Error versus Absolute-Error Estimators », Statistical Science, 12, 1997, p. 279-296.

78

Les outils math´matiques e

^ 0 est l'estimation non param´trique du mod`le lin´aire local. De m^me, e e e e nous pouvons utiliser un mod`le quadratique : e min

qR i

x - xi h et K un noyau non param´trique. Nous avons : e ^ ^ Q ( | X = x) = 0 wi = K

avec :

wi yi - 0 (x) + 1 (x) (xi - x) + 2 (x) (xi - x)

2

^ et d´finir 0 comme l'estimation non param´trique du mod`le quadratique e e e 3 local . 1.3.4. Application ` l'estimation du skew b^ta a e

S B Rt = Rt + ut B o` Rt et Rt sont les rendements de la strat´gie et du benchmark. On u S e B cherche ` estimer la fonction (r) = Q | Rt = r . (r) est le a rendement de la strat´gie expliqu´ par le benchmark. On consid`re les e e e indices investissables HFRX de hedge funds calcul´s par HFR4 . On cale cule la fonction (r) en utilisant le mod`le quadratique local de r´gression e e lin´aire avec l'indice S&P 500 comme benchmark. Cette fonction est repr´e e sent´e sur le graphique 1 pour les strat´gies equity hedge (HFRX EH) et e e equity market neutral (HFRX EMN) et pour l'indice global (HFRX). On remarque que le b^ta n'est pas constant et qu'il est plus ´lev´ lorsque e e e les rendements du S&P 500 sont tr`s n´gatifs dans le cas de la strat´gie e e e equity hedge et de l'indice global. L'estimation d'un b^ta non conditione nel peut donc ^tre biais´e. Par contre, on v´rifie que la strat´gie equity e e e e market neutral ne pr´sente pas de composante directionnelle significative. e

On consid`re le mod`le lin´aire : e e e

2.

2.1.

2.1.1.

La programmation quadratique

Sp´cification d'un programme quadratique e

D´finition e

Un programme quadratique (QP) est un probl`me d'optimisation dont e la fonction objectif est quadratique et dont les contraintes sont lin´aires. e

partie est d´velopp´e ` la page 297. e e a soci´t´ Hedge Fund Research, Inc. est sp´cialis´e dans les bases de donn´es de e e e e e hedge funds. Tous les mois, elle publie des indices non investissables qui refl`tent la e performance globale de l'industrie de la gestion alternative funds. Contrairement ` ces a indices appel´s HFRI, les indices HFRX sont des indices journaliers et investissables. e Source : www.hedgefundresearch.com.

4 La 3 Cette

Les m´thodes d'optimisation e Graphique 1. Estimation de la fonction (r)

79

On cherche donc la solution x telle que : 1 x = arg min x Qx - x R 2 sous les contraintes : Sx T On remarque que ce syst`me de contraintes permet de traiter aussi le cas e de contraintes lin´aires d'´galit´ Ax = B puisque cela revient ` consid´rer e e e a e deux in´quations Ax B et Ax B : e -A A x -B B

De la m^me fa¸on, nous pouvons consid´rer un espace born´ x- x x+ e c e e puisque nous avons : -I -x- x I x+ C'est pourquoi la plupart des logiciels num´riques pr´f`rent traiter le e ee syst`me suivant plus facile ` appr´hender pour l'utilisateur5 : e a e Ax = B Cx D x- x x+

5 C'est

par exemple le cas de la proc´dure Qprog du logiciel Gauss. e

90

Les outils math´matiques e

particulier, on note que les coefficients des facteurs growth valent respectivement -94,4% (indice large) et 92,6% (indice smid). Si on somme ces coefficients, on obtient donc une exposition globale au facteur growth tr`s e faible, ce qui indique qu'il y a s^rement un probl`me de multi-colin´arit´ u e e e dans la r´gression MCO. e

2.3.

2.3.1.

Application au portefeuille de variance minimale

R´sultats th´oriques e e

Consid´rons un portefeuille compos´ de n actifs. Nous notons la mae e trice de covariance des rendements. Le probl`me du portefeuille de vae riance minimale est le suivant : x = s.c. arg min x x 1 x = 1 et 0 x 1

On cherche donc le portefeuille qui pr´sente la variance la plus faible sous e la contrainte que les poids soient positifs et que la somme des poids soit ´gale ` 1. e a Consid´rons tout d'abord le cas o` l'on n'impose pas la contrainte 0 e u x 1. Le lagrangien du probl`me d'optimisation est12 : e f (x; 0 ) = 1 x x - 0 1 x - 1 2

La solution x v´rifie le syst`me suivant des conditions de premier ordre : e e x f (x; 0 ) = x - 0 1 = 0 0 f (x; 0 ) = 1 x - 1 = 0 Nous obtenons x = 0 -1 1. Comme 1 x - 1 = 0, nous avons 0 = 1/ 1 -1 1 . La solution est donc : x = 1 -1 1 1 -1 1

Nous remarquons que la contribution marginale en risque est : 0 1 (x) x = = x x x x x La solution du probl`me de variance minimale sans contraintes de shorte selling v´rifie donc les conditions suivantes : e (x) (x) = xi xj i, j

12 Pour des raisons d'´criture, nous consid´rons la fonction avec un coefficient e e d'´chelle de 1/2, mais cela ne change pas la solution du probl`me. e e

Les m´thodes d'optimisation e

91

Introduisons maintenant la contrainte de no short-selling. Le lagrangien devient : 1 f (x; 0 ) = x x - 0 1 x - 1 - x 2 La solution x v´rifie le nouveau syst`me des conditions de premier ordre : e e x f (x; 0 ) = x - 0 1 - = 0 0 f (x; 0 ) = 1 x - 1 = 0 ainsi que les conditions de Kuhn-Tucker : min (i , xi ) = 0 Nous avons donc x = 0 -1 1 + -1 . Il n'est pas possible de d´finir la e solution analytique. N´anmoins, nous avons : e x 0 1 + (x) = = x x x x x ` A l'optimum, si xi = 0 alors i > 0 et si xi > 0 alors i = 0. La solution du probl`me de variance minimale avec des contraintes de no short-selling e v´rifie donc les conditions suivantes : e (x) (x) 0 = = xi xj x x et : (x) 0 + i = xi x x si xi = 0 et xj = 0

si xi = 0

` A l'optimum, les contributions marginales en risque sont donc ´gales pour e tous les actifs qui composent le portefeuille de variance minimale (c'esta `-dire ceux qui ont un poids strictement positif). Nous pouvons d´river l'expression analytique de la solution optimale e dans le cas o` toutes les corr´lations sont ´gales. Notons = u e e R la matrice de covariance avec R = Cn () la matrice de corr´lation e -1 constante13 . Nous avons -1 = R-1 avec i,j = (i j ) et : R-1 = 11 - ((n - 1) + 1) I (n - 1) 2 - (n - 2) - 1

n j=1

Comme x = -1 1 / 1 -1 1 , nous en d´duisons que14 : e xi =

-2 - ((n - 1) + 1) i +

(i j )

-1 -1

n k=1

-2 - ((n - 1) + 1) k +

n j=1

(k j )

13 Nous 14 Nous

avons donc Ri,j = si i = j et Ri,i = 1. utilisons la propri´t´ tr (AB) = tr (BA). e e

98

Les outils math´matiques e

2.4.4.

Portefeuille de march´ et ratio de Sharpe e

Graphique 9. Portefeuille de march´ et ratio de Sharpe e

Sur le graphique 9, nous reportons la fronti`re efficiente pr´c´dente ainsi e e e que le taux sans risque qui est ´gal ` 3%. Tobin a montr´ qu'il existe e a e un seul portefeuille optimal lorsqu'il existe un actif sans risque. Sur le graphique, celui-ci correspond au point A. Dans ce cas, on voit que toute combinaison lin´aire de ce portefeuille et de l'actif sans risque produit e des portefeuilles qui dominent ceux appartenant ` la fronti`re efficiente a e de Markowitz. Le portefeuille optimal (ou portefeuille de march´) est le e portefeuille qui pr´sente le plus grand ratio de Sharpe : e xM = arg max sh (x | r) D'un point de vue graphique, le ratio de Sharpe s'interpr`te comme la e tangente de l'angle ABC : sh (x | r) = µ (x) - r AC = tan = (x) BC

On remarque donc que les portefeuilles qui se situent sur la droite (A, B) ont le m^me ratio de Sharpe que le portefeuille de march´. Cette droite e e est appel´e la droite de march´ (capital market line ou CML). e e

Les m´thodes d'optimisation e

99

Pour trouver le portefeuille de march´, on consid`re donc le probl`me e e e suivant : µ (x ()) - r M = arg max (x ()) Connaissant M , nous en d´duisons imm´diatement que : e e xM = x M La recherche du maximum est plus compliqu´e que r´soudre les µ- et e e probl`mes d'allocation. Th´oriquement, la fonction sh (x () | r) est croise e sante jusqu'` M , puis d´croissante. Il semble donc tr`s facile de trouver a e e la solution en utilisant l'algorithme de Newton-Raphson. N´anmoins, il e arrive que la d´croissance (respectivement que la croissance) ne soit pas e tr`s forte notamment lorsque le taux sans risque r est ´lev´ (respectivee e e ment faible). De plus, la fonction n'est pas forc´ment de classe C 2 (voir le e graphique 10). Pour ´viter ces probl`mes, il est important de partir d'un e e point initial qui ne corresponde pas au portefeuille de variance minimale ou au portefeuille d'esp´rance maximale de rendement. e Reprenons l'exemple num´rique pr´c´dent. Nous avons repr´sent´ le e e e e e portefeuille de march´ lorsque le taux sans risque r est ´gal ` 3% sur le e e a graphique 9. Les relations entre le ratio de Sharpe sh (x | r) d'une part et les param`tres (x ), µ (x ) et (x ) d'autre part sont report´es sur e e le graphique 10 lorsque le taux sans risque vaut respectivement 1%, 3% et 6%. Les compositions du portefeuille de march´ sont donn´es dans le e e tableau 8.

Tableau 8. Portefeuilles de march´ e

r xM 1 xM 2 xM 3 xM 4 M µ xM xM sh xM

2,00 28,00 5,63 48,77 17,61 0,05 6,38 3,44 1,27

3,00 20,10 6,70 54,99 18,22 0,07 6,55 3,59 0,99

4,00 2,02 9,14 69,22 19,62 0,11 6,95 4,07 0,72

5,00 12,10 70,22 17,69 0,17 7,07 4,26 0,48

6,00 21,82 68,07 10,11 0,38 7,34 5,07 0,26

Remarque 9. La condition de premier ordre du programme d'optimisation x = arg max sh (x | r) est x sh (x | r) = 0. Le portefeuille optimal v´rifie donc la relation suivante : e x µ (x) - r µ (x) - r = x (x) (x) On peut montrer que cette condition est suffisante (Scherer, 2007).

100

Les outils math´matiques e Graphique 10. Ratio de Sharpe en fonction de (x ), µ (x ) et (x )

2.5.

Construction d'un portefeuille long/short avec contr^le de volatilit´ o e

Un portefeuille long/short consiste en un ensemble de positions acheteuses financ´es par des positions vendeuses. Dans les probl`mes d'alloe e n cation pr´c´dents, nous imposons que la somme des poids i=1 xi soit e e ´gale ` 1. Dans le cas d'un portefeuille long/short, cette condition est e a donc remplac´e par la condition suivante : e

n

xi = 0

i=1

Nous supposons aussi que nous disposons pour chaque strat´gie i d'un e score si et que notre objectif est de maximiser le score lin´aire suivant : e

n

x = arg max

i=1

si xi

n

Le score du portefeuille x est not´ s (x) = i=1 si xi . Nous verrons dans le e chapitre sur les outils de scoring des m´thodes statistiques pour construire e ces scores. Mais ces scores peuvent aussi ^tre tr`s simples : e e ­ si peut par exemple ^tre ´gal au rendement esp´r´ µi de la strat´gie e e ee e (calcul´ par un mod`le de pr´vision ´conom´trique ou correspondant e e e e e a ` une vue discr´tionnaire) ; e

140

Les outils math´matiques e

Impl´mentation du mod`le e e D'un point de vue pratique, voici donc les diff´rentes ´tapes du mod`le e e e de Black-Litterman : 1. on calcule la matrice de variance-covariance des rendements des actifs en utilisant les donn´es historiques ; e 2. on en d´duit le vecteur d'´quilibre qui est la solution du probl`me e e e inverse de Markowitz ; 3. le g´rant sp´cifie ses vues de march´ et la conviction dans ses vues e e e (cela revient ` sp´cifier les matrices P , Q et ) ; a e 4. ` partir d'une matrice de poids , on calcule l'esp´rance conditiona e nelle µcond ; 5. on utilise cette information pour r´soudre le probl`me d'optimisation e e classique : xBL = s.c. arg min x x - x µcond 1 x = 1 et 0 x 1

La difficult´ majeure avec l'algorithme pr´c´dent est la sp´cification de e e e e la matrice . G´n´ralement, on pose : e e = Le param`tre est un param`tre d'ajustement qui permet de calibrer une e e volatilit´ cible de tracking error (Meucci, 2005). De nouveau, nous avons e un probl`me inverse. Si nous param´trons la solution xBL en : e e xBL ( ) = s.c. arg min x x - x µcond ( ) 1 x=1 0x1 -1 µcond ( ) = + P (P P + ) (Q - P ) (xBL ( ) - x ) (xBL ( ) - x ) =

alors le probl`me inverse est d´fini par : e e = > 0 : xBL ( ) | x =

avec la volatilit´ cible de tracking error ex-ante. Le mod`le de Blacke e Litterman n´cessite donc la r´solution de deux probl`mes inverses : le e e e premier pour d´terminer le vecteur que nous calculons analytiquement e et le second pour d´finir le scalaire que nous calibrons num´riquement. e e Pour cela, nous utilisons la m´thode de la bi-section. e

Les m´thodes d'optimisation e

141

Un exemple Reprenons l'exemple pr´c´dent. Nous avons calcul´ page 137. On e e e suppose que le g´rant a une vue absolue sur le premier actif et une vue e relative sur les deuxi`me et troisi`me actifs : e e P = 1 0 0 0 0 1 -1 0

Q =

q1 q2-3

On suppose que q1 et q2-3 sont ´gaux ` 5%. Cela veut dire que le g´rant e a e pense que l'esp´rance de rendement du premier actif est 5% et que l'esp´e e rance de sur-performance du second actif par rapport au troisi`me actif e est aussi de 5%. Il nous faut maintenant sp´cifier l'incertitude des vues e du g´rant. On a : e 2 1 0 = 2 0 2-3 On suppose que 1 = 5% et 2-3 = 10%. Cela indique que le g´rant a e plus confiance dans sa premi`re vue que dans la seconde. Posons = 1. e L'ensemble de ces param`tres d´finit notre cas g´n´rique (1). Les autres e e e e cas sont des variantes de ce cas g´n´rique. Dans le cas (2), on a q1 = 10% e e et q2-3 = 0%. Le cas (3) correspond ` 1 = 2-3 = 20%. Enfin, est ´gal a e a ` 10% dans le cas (4). Nous reportons les solutions xBL dans le tableau ainsi que la volatilit´ de la tracking error xBL ( ) | x par rapport au e portefeuille strat´gique x donn´ par le cas (0). e e

Tableau 19. Portefeuilles Black-Litterman

xBL 1 xBL 2 xBL 3 xBL 4 xBL | x

(0) 10,00 20,00 50,00 20,00 0,00

(1) 28,78 15,16 42,30 13,76 1,14

(2) 54,40 7,27 33,10 5,24 2,81

(3) 11,86 17,76 51,00 19,38 0,34

(4) 12,90 18,77 49,29 19,03 0,22

Consid´rons le jeu de param`tres (1) et supposons que le g´rant s'impose e e e une contrainte de volatilit´ de tracking error ´gale ` 1%. Nous repr´sentons e e a e sur le graphique 17 le chemin emprunt´ par l'algorithme de la bi-section e pour trouver la solution : 26,0% 15,6% xBL = 43,7% 14,7%

142

Les outils math´matiques e

Nous remarquons que le mod`le de Black-Litterman a sur-pond´r´ le e ee premier actif (26% au lieu de 10%). Il aurait d^ aussi sur-pond´rer le u e troisi`me actif et sous-pond´rer le second actif puisque le g´rant pense e e e que la diff´rence de rendement est seulement de 5% alors que le march´ e e ´value cette diff´rence ` 8%. N´anmoins, il n'en tient pas compte car e e a e l'incertitude du g´rant est deux fois plus importante pour la deuxi`me e e vue. Il pr´f`re donc jouer pleinement la premi`re vue d'autant plus que la ee e contrainte de volatilit´ de tracking error est forte. e

Graphique 17. Solution du probl`me inverse de Black-Litterman e

Remarque 16. Le param`tre de tracking error permet plus ou moins e de tilter le portefeuille strat´gique. Ce param`tre joue n´anmoins le m^me e e e e r^le que la matrice d'incertitude . Pour s'en convaincre, nous consid´rons o e un exemple avec l'indice hedge funds de Credit Suisse Tremont. Celui-ci est compos´ de dix sous-indices correspondant chacun ` une strat´gie de e a e gestion alternative. Supposons que nous connaissons chaque mois la performance moyenne des sous-indices pour les douze prochains mois. Nous cherchons alors a tilter l'indice en incorporant ces vues dans le mod`le de ` e Black-Litterman. Nous supposons que la matrice est une matrice diagonale d'´l´ments i,i = 2 . La matrice est la matrice de covariance ee empirique des vingt-quatre derniers mois. Le portefeuille de march´ core respond ` la composition mensuelle de l'indice. Le graphique 18 pr´sente a e

Les m´thodes d'optimisation e

143

les r´sultats du backtest46 pour diff´rentes valeurs de et . Une auge e mentation de a donc un effet similaire ` une diminution de . Une plus a grande tracking error est ´quivalente ` une plus grande certitude des vues e a tactiques.

Graphique 18. Incertitude et tracking error dans le mod`le de Blacke Litterman

4.

La programmation dynamique

Les principes de la programmation dynamique ont ´t´ ´nonc´s par Rieee e chard Bellman dans les ann´es cinquante. Ils permettent de r´soudre des e e probl`mes de contr^le optimal. Dans les ann´es soixante-dix, Robert Mere o e ton a utilis´ intensivement ces techniques pour r´soudre de nombreux e e probl`mes de finance tels que la valorisation d'option am´ricaine, l'ope e timisation inter-temporelle entre la consommation et l'´pargne, et plus e g´n´ralement les probl`mes de choix d'investissement en avenir incertain. e e e

46 Nous

faisons l'hypoth`se sh = 0,50 pour calculer les primes de risque d'´quilibre. e e

144

Les outils math´matiques e

4.1.

4.1.1.

L'approche de Bellman

Le principe d'optimalit´ de Bellman e

Consid´rons un probl`me d'optimisation dynamique entre les dates 0 et e e T . La programmation dynamique repose sur le principe d'optimalit´ de e Bellman : si le probl`me g´n´ral peut ^tre d´compos´ en sous-probl`mes, e e e e e e e alors une sous-trajectoire de la trajectoire optimale est elle-m^me optie male pour la fonction objectif restreinte aux trajectoires ayant pour origine celle de cette sous-trajectoire. Ce principe permet de r´soudre le probl`me e e g´n´ral de fa¸on descendante. On d´termine la solution optimale en pare e c e tant de la date T et on r´sout successivement le sous-probl`me entre les e e dates t et t - 1. Consid´rons le probl`me d'optimisation dynamique discr`te suivant47 . e e e On note t les dates de d´cision entre 0 et T . Soient e (t) et v (t) les vae riables d'´tat et de contr^le48 . On d´finit f (t, e (t) , v (t)) la fonction de e o e gain et e (t + 1) = g (t, e (t) , v (t)) la fonction de transfert. Connaissant l'´tat initial du syst`me e0 , on cherche ` d´terminer la suite des contr^les e e a e o optimaux v (t) qui permet de maximiser la fonction objectif d´finie par : e J (v) =

T -1 t=0

f (t, e (t) , v (t)) + h (T, e (T ))

On impose aussi que les variables d'´tat et de contr^le satisfont certaines e o contraintes de la forme e (t) E (t) et v (t) V (t). Le probl`me d'optimie sation est donc : max

T -1 t=0

f (t, e (t) , v (t)) + h (T, e (T ))

Pour r´soudre ce probl`me, on consid`re le sous-probl`me suivant entre e e e e t - 1 et t : h (t, e (t)) = max f (t, e (t) , v (t)) + h (t + 1, g (t, e (t) , v (t)))

v(t)

e (t + 1) = g (t, e (t) , v (t)) e (t) E (t) s.c. v (t) V (t) e (0) = e0

Sous certaines conditions, la suite des solutions de ces sous-probl`mes est e la solution du probl`me g´n´ral. e e e

47 Cette partie s'inspire tr`s largement du chapitre 4 Partie B de Demange et Rochet e (1997). 48 En automatique, la variable de contr^le est appel´e la variable de commande. o e

Les m´thodes d'optimisation e

155

4.3.

Quelques extensions du mod`le de Merton e

Le mod`le de Merton a donn´ lieu ` de nombreuses extensions, en partie e a culier dans le domaine de la gestion dite de long terme. C'est notamment le cas de la gestion d'un fonds de pension, qui est un m´canisme de syst`me e e de retraite. Durant la vie active, l'employ´ cotise au fonds de pension, le e fonds de pension g`re les sommes re¸ues en investissant dans des actifs, e c et l'employ´ re¸oit au moment de la retraite un capital ou une pension. e c

Dans le cas d'un fonds de pension defined benefit (DB), la pension est d´finie ex-ante. Dans ce cas, le risque est transf´r´ au fonds de pension, et e ee celui-ci peut ^tre (virtuellement) en faillite si l'actif est inf´rieur au passif. e e L'approche liability-driven investment (LDI) est une m´thode de gestion e actif-passif adapt´e pour les fonds de pension dans cette situation57 . e

Dans le cas d'un fonds de pension defined contribution (DC), la pension d´pend de la performance du portefeuille de l'employ´. Le risque est ainsi e e enti`rement support´ par l'employ´. Celui-ci doit donc faire des choix e e e d'investissement alors qu'il a g´n´ralement une connaissance tr`s faible e e e de la th´orie financi`re. Ces choix sont d'autant plus compliqu´s qu'ils e e e peuvent d´pendre du cycle de vie de l'investisseur58 . Les soci´t´s de gese ee tion proposent alors deux solutions simples ` l'investisseur. La premi`re a e solution consiste ` investir dans un fonds profil´, c'est-`-dire un fonds a e a diversifi´ correspondant ` une certaine aversion pour le risque. On dise a tingue g´n´ralement trois types d'investisseur : l'investisseur conservateur e e ` (C), l'investisseur mod´r´ (M) et l'investisseur agressif (A). A chacun de ee ces types d'investisseur correspond un fonds profil´. On a ainsi des fonds e prudents (P), des fonds ´quilibr´s (E) et des fonds dynamiques (D). Ces e e fonds sont aussi appel´s des fonds "lifestyle", c'est-`-dire des fonds qui e a d´pendent du style de vie de l'investisseur qui est appr´hend´ par son e e e aversion pour le risque. La deuxi`me solution consiste ` investir dans des e a fonds g´n´rationnels. L'id´e sous-jacente est de prendre en compte le cycle e e e de vie de l'investisseur. Dans ce cas, la part de l'actif risqu´ est grande e lorsque l'investisseur est jeune, elle diminue avec l'^ge pour atteindre une a valeur faible au moment de la retraite. Ces fonds g´n´rationnels sont ape e pel´s des fonds "lifecycle". e

57 B. Bruder, G. Jamet et G. Lasserre, « Beyond Liability-Driven Investment: New Perspectives on Defined Benefit Pension Fund Management », Lyxor White Paper Series, 2, 2010, www.lyxor.com. L. Martellini et V. Milhau, « Measuring the Benefits of Dynamic Asset Allocation Strategies in the Presence of Liability Constraints », EDHEC Risk Working Paper, 2009. 58 P.A. Samuelson, « Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming », Review of Economics and Statistics, 51(3), 1969, p. 239-246.

156

Les outils math´matiques e

Sur le graphique 21, nous reportons les diff´rentes solutions59 . Sur le e premier graphe, on illustre l'approche moyenne-variance et la d´terminae tion du portefeuille de march´. Sur le deuxi`me graphe, on indique le e e couple rendement-risque des portefeuilles optimaux des trois investisseurs. Ces portefeuilles sont sur la droite de march´. Ce qui les distinguent, ce e sont les proportions relatives entre le portefeuille de march´ et l'actif sans e risque. Ainsi, un investisseur conservateur (C) d´tient plus d'actif sans e risque qu'un investisseur agressif (A). Mais la proportion entre les actions et les obligations est la m^me. Celle-ci est donn´e par le portefeuille de e e march´. Les fonds profil´s sont illustr´s sur le troisi`me graphe. La proe e e e portion entre actions et obligations varient en fonction du profil. Ainsi, le fonds prudent (P) d´tient plus d'obligations que le fonds dynamique (D). e Enfin, les fonds g´n´rationnels sont report´s sur le quatri`me graphique. e e e e Selon ce principe, un investisseur jeune (20 ans) d´tient quasiment toute e sa richesse en actions. Avec l'^ge, celui-ci va r´duire la part en actions au a e b´n´fice des obligations et de l'actif sans risque. Au moment de la retraite, e e le portefeuille est presque enti`rement investi dans l'actif sans risque. e

Graphique 21. Illustration des fonds profil´s et g´n´rationnels e e e

59 Le taux sans risque est fix´ ` 1%, les rendements esp´r´s des obligations et des e a e e actions sont ´gaux ` 3% et 8% et les volatilit´s correspondantes sont de 5% et 15%. e a e La corr´lation entre les obligations et les actions est de 20%. e

Les m´thodes d'optimisation e

157

L'existence des fonds profil´s et g´n´rationnels est donc contradictoire e e e avec le th´or`me de s´paration de Tobin (Campbell et Viciera, 2002). e e e De m^me, la th´orie financi`re classique ne permet pas de r´soudre le e e e e probl`me des fonds de pension defined benefit. Dans les paragraphes suie vants, nous voyons comment on peut r´concilier ces pratiques de march´ e e et la th´orie financi`re en adaptant le cadre d'analyse de Merton. e e 4.3.1. L'approche liability-driven investment

Nous reprenons la m´thodologie pr´sent´e dans Bruder et al. (2010). On e e e consid`re un fonds de pension DB qui doit faire face ` un ensemble de paiee a ments futurs. On calcule d'abord la valeur pr´sente de la structure du pase sif du fonds de pension, ainsi que les sensibilit´s aux diff´rents param`tres e e e de march´ (taux d'int´r^t, inflation, etc.). Ceci permet de construire le e ee portefeuille de couverture du passif (liability hedging portfolio ou LHP). Si la valeur de l'actif est sup´rieure ou ´gale ` la valeur du portefeuille e e a LHP, alors le fonds de pension a tout int´r^t ` acheter le portefeuille ee a LHP. Dans ce cas, le passif est enti`rement couvert et se pr´sente sous e e la forme d'un portefeuille obligataire compos´ de z´ro-coupons, d'obligae e tions index´es sur l'inflation, etc. Si la valeur de l'actif ne lui permet pas e d'acheter le portefeuille LHP, alors le fonds de pension n'est pas solvable. Pour le redevenir, celui-ci doit investir dans des actifs risqu´s. L'approche e LDI permet alors de d´finir la strat´gie dynamique optimale d'exposition e e aux actifs risqu´s. e Notons A (t) la valeur de l'actif du fonds et L (t) la valeur pr´sente e du passif. On d´finit le ratio de financement (funding ratio) de la fa¸on e c suivante : A (t) F (t) = L (t) Le programme d'optimisation du fonds de pension est alors : max EP [U (F (T ))] sous la contrainte de budget : A0 = EQ e-

RT

0

rt dt

A (T )

Comme nous l'avons vu pr´c´demment, la contrainte de budget traduit le e e fait que le fonds de pension ach`te un actif contingent A (T ) dont le prix e T e a initial EQ exp - 0 rt dt A (T ) est ´gal ` la richesse initiale du fonds de pension, qui est la valeur du passif A0 . On en d´duit que la solution e optimale A (T ) v´rifie la relation suivante : e U (F (T )) dQ = dP L avec L le lagrangien associ´ ` la contrainte de budget. Bruder et al. e a (2010) montrent alors que la r´solution du probl`me pr´c´dent revient ` e e e e a

Les m´thodes num´riques e e

199

par le fait que les valeurs propres de sont : i () = i A2 1 -i A2 2 si i A2 > 0 1 sinon

Ce r´sultat se d´duit de la d´composition A = A1 + iA2 . Une autre fa¸on e e e c de trouver la matrice de covariance la plus proche consiste donc ` faire a une d´composition en valeurs propres de , ` mettre les valeurs propres e a n´gatives ` z´ro, puis ` recomposer la matrice avec ces nouvelles valeurs e a e a propres. 2.3.2. Calcul de la matrice de corr´lation la plus proche e

On d´finit la matrice de corr´lation la plus proche d'une matrice carr´e e e e arbitraire A de la fa¸on suivante : c (A) = min { A - X : X est une matrice de corr´lation} e Pour r´soudre ce probl`me, Higham (2002) propose d'utiliser la m´thode e e e des projections altern´es qui est une m´thode it´rative20 : e e e A - PU (PS (A)) o` PU et PS sont des projections sur les espaces S et U qui sont d´finis u e par : S = X = X : X 0 et : U = X = X : diag (X) = 1

L'algorithme pour calculer la matrice de corr´lation la plus proche de A e correspond alors aux ´tapes suivantes : e 1. on pose S0 = 0 et X0 = A ; 2. ` l'it´ration k, on calcule Rk = Xk-1 - Sk-1 , Yk = PS (Rk ), a e Sk = Yk - Rk et Xk = PU (Yk ) ;

3. on recommence l'´tape 2 jusqu'` la convergence de l'algorithme ; la e a solution est alors Xk . On peut consid´rer diff´rentes classes de projection pour l'impl´mentation e e e num´rique de l'algorithme. Dans ce livre, nous utilisons les projections e suivantes : PU (A) = (Pm,n ) et : avec Pm,n = 1 Am,n si m = n sinon

PS (A) = T S + T

20 N.J. Higham, « Computing the Nearest Correlation Matrix -- A Problem from Finance », IMA Journal of Numerical Analysis, 22(3), 2002, p. 329-343.

200

Les outils math´matiques e

+ + o` T ST est la d´composition Schur de A et S + = Sm,n avec Sm,n = u e max (Sm,n , 0).

Si on applique cet algorithme ` une matrice de corr´lation uniforme a e Cn () avec une valeur quelconque, nous avons : PU (PS (Cn ())) = Cn ( ) avec = max (, -1/ (n - 1)). Dans le cas o` < -1/ (n - 1), nous obu tenons donc la matrice de corr´lation constante de dimension n la plus e petite, qui est la solution la plus naturelle du probl`me. Consid´rons maine e tenant la matrice suivante : 1,0 0,9 1,0 A = 0,5 0,6 1,0 0,2 0,9 0,0 1,0 0,9 0,0 0,9 0,0 1,0 En appliquant l'algorithme lation suivante : 1,0000 0,6933 (A) = 0,6147 0,2920 0,7376

pr´c´dent, nous obtenons la matrice de corr´e e e 1,0000 -0,0901 1,0000

1,0000 0,4571 1,0000 0,7853 0,0636 0,2025 0,7876

2.4.

L'int´gration num´rique e e

b

Les m´thodes d'int´gration num´rique permettent de calculer les int´e e e e grales de la forme : I=

a

f (x) dx

On distingue g´n´ralement les algorithmes num´riques ` pas r´guliers de e e e a e ceux ` pas irr´guliers. a e 2.4.1. Les m´thodes des trap`zes et de Simpson e e

Une premi`re approche est d'approcher l'int´grale I par une succession e e de trap`zes. Soient xi = a + ih avec h = n-1 (b - a) et n le nombre de e noeuds. Nous avons :

b a n

f (x) dx

i=1

h (f (xi-1 ) + f (xi )) 2 f (a) + f (b) + 2

n-1

= h

f (xi )

i=1

Les m´thodes num´riques e e

229

tes valeurs de xT . L'utilisation de l'´quation de Fokker-Planck est notame ment int´ressante lorsque nous ne disposons pas de la solution analytique e de f (xT ). Reprenons l'exemple du processus de Ornstein-Uhlenbeck : dx (t) = a (b - x (t)) dt + dW (t) Nous cherchons ` d´terminer la densit´ f associ´e ` la distribution F (xT ) = a e e e a Pr {x (T ) xT | x (0) = x0 }. La premi`re fa¸on de proc´der est de r´soudre e c e e l'´quation de Feynman-Kac : e

2 (t, x) x u (t, x) + (a (b - x (t))) x u (t, x) + t u (t, x) = 0 u (T, x) = (T, x) 1 2 2

L'autre m´thode consiste ` r´soudre l'´quation de Fokker-Planck : e a e e - a (b - x) x u (t, x) = t u (t, x) - au (t, x) u (0, x) = 1 {x = x0 } Sur le graphique 21, nous repr´sentons les deux solutions num´riques ainsi e e que la solution exacte pour les valeurs x0 = 0, a = 1, b = 10%, = 20% et T = 1.

Graphique 21. Densit´ du processus de Ornstein-Uhlenbeck e

1 2 2 2 x u (t, x)

Dans le cas du mouvement brownien g´om´trique : e e dx (t) = µx (t) dt + x (t) dW (t)

230

Les outils math´matiques e

l'´quation de Fokker-Planck s'´crit : e e - µx - 2 2 x x u (t, x) = t u (t, x) + µ - 2 u (t, x) u (0, x) = 1 {x = x0 } Nous repr´sentons la solution analytique ainsi que les solutions num´riques e e de Feynman-Kac et de Fokker-Planck sur le graphique 22 pour les valeurs x0 = 100, µ = 10%, = 20% et T = 1.

Graphique 22. Densit´ du mouvement brownien g´om´trique e e e

1 2 2 2 2 x x u (t, x)

nous avons : 1 2 2 2 2 2 2 x1 1 (·) u (·) + 1 x2 2 (·) u (·) + x1 ,x2 [1 (·) 2 (·) u (·)] 2 -x1 [µ1 (·) u (·)] - x2 [µ2 (·) u (·)] = t u (·) u (0, x1,0 , x2,0 ) = 1 {x1 = x1,0 , x2 = x2,0 }

L'´quation de Fokker-Planck se g´n´ralise dans le cas de processus de e e e diffusion multi-dimensionnels. Par exemple, dans le cas bivari´ : e dx1 (t) = µ1 (t, x1 , x2 ) dt + 1 (t, x1 , x2 ) dW1 (t) dx2 (t) = µ2 (t, x1 , x2 ) dt + 2 (t, x1 , x2 ) dW2 (t) E [W1 (t) W2 (t)] = dt

Cette ´quation a pour solution u (T, x1,T , x2,T ) = f (x1,T , x2,T ) dx1 dx2 e avec f la densit´ associ´e ` la distribution : e e a F (x1 , x2 ) = Pr {x1 (T ) x1,T , x2 (T ) x2,T | x1 (0) = x1,0 , x2 (0) = x2,0 }

Les m´thodes num´riques e e

231

Ce processus a ´t´ introduit en finance par Heston (1993) pour mod´liser ee e la volatilit´ stochastique43 . L'´quation de Fokker-Planck associ´e est : e e e 1 2 2 2 x1 x2 x2 u (t, x1 , x2 ) + 1 x2 2 x2 u (t, x1 , x2 ) + 1 2 2 x1 ,x2 [x1 x2 u (t, x1 , x2 )] -x1 [µx1 u (t, x1 , x2 )] - x2 [a (b - x2 ) u (t, x1 , x2 )] = t u (t, x1 , x2 ) En d´veloppant, nous obtenons : e 1 2 1 2 2 2 2 x1 x2 x1 u + 2 2 x2 x2 u + x1 x2 x1 ,x2 u+ 2 (2x2 + - µ) x1 x1 u + + x2 - a (b - x2 ) x2 [u (t, x1 , x2 )] = t u (t, x1 , x2 ) + (µ - a - x2 - ) u (t, x1 , x2 )

Consid´rons par exemple le processus de diffusion suivant : e dx1 (t) = µx1 (t) dt + x1 (t) x2 (t) dW1 (t) dx2 (t) = a (b - x2 (t)) dt + x2 (t) dW2 (t) E [W1 (t) W2 (t)] = t

On montre que l'´quation de Fokker-Planck est : e 1 2 2 2 2 2 x1 x2 x1 u + 1 2 x2 x2 u + x x2 x1 ,x2 u+ 2 2 1 2 2 2-1 2 2 x2 + 2x1 x2 x1 u + 2 x2 + x-1 x2 x2 u = 2x1 2 1 t u (t, x1 , x2 ) - (2 - 1) x2-2 x2 + 2 + 2x-1 x2 u

1 2 1

Un autre mod`le de volatilit´ stochastique (appel´ SABR) est celui d´velope e e e p´ par Hagan et al. (2002)44 : e dx1 (t) = x2 (t) x (t) dW1 (t) 1 dx2 (t) = x2 (t) dW2 (t) E [W1 (t) W2 (t)] = dt

` A titre d'illustration, nous avons repr´sent´ les densit´s bivari´es des e e e e mod`les45 de Heston et SABR pour T = 0,5 sur les graphiques 23 et e 24 en utilisant les m´thodes num´riques de r´solution des edp bivari´es e e e e de Kurpiel et Roncalli (1999).

43 S.L. Heston, « A Closed-form Solution for Options with Stochastic Volatility with Application to Bond and Currency Options », Review of Financial Studies, 6(2), 1993, p. 327-343. 44 P. Hagan, D. Kumar, A. Lesniewski et D. Woodward, « Managing Smile Risk », Wilmott Magazine, September 2002, p. 84-108. 45 Les param`tres pour le mod`le de Heston sont µ = 0, a = 2, b = 4%, = 20% e e et = -75% alors que nous utilisons = 0,75, = 0,5 et = -75% pour le mod`le e SABR. Dans les deux cas, la position initiale du syst`me est x1 (0) = 1 et x2 (0) = 0,06. e

En particulier, pour = 1, on obtient : 1 2 2 2 1 2 2 2 x1 x2 x1 u + 2 2 x2 x2 u + x1 x2 x1 ,x2 u+ 2 2 2 2 2x1 x2 + 2x1 x2 x1 u + 2 x2 + x2 x2 u = 2 t u (t, x1 , x2 ) - x2 + 2 + 2x2 u 2

232

Les outils math´matiques e

Graphique 23. Densit´ du mod`le de Heston e e

Graphique 24. Densit´ du mod`le SABR e e

Les outils statistiques

263

~ ~ nous avons besoin que Y , X forment un vecteur gaussien pour montrer ~ ~ que la solution du probl`me d'esp´rance conditionnelle E Y | X = x = e e f (x) est bien : f (x) ^ = x = x X X

-1

X Y

~ ~ Si nous faisons l'hypoth`se que Y , X forment un vecteur gaussien, cela e ~ revient ` faire l'hypoth`se que U est une variable al´atoire gaussienne a e e puisque la projection gaussienne est lin´aire. Remarquons que nous avons e aussi : ^ = X X

-1

X Y

-1

= + X X

~ X U

~ En imposant l'orthogonalit´ entre X et U , nous montrons que l'estimateur e ^ est sans biais : ^ E = + X X = ^ Si les r´sidus sont homosc´dastiques2 , la matrice de covariance de est : e e ^ var = = 1.1.2. E ^ -

-1 -1

~ E X U

^ -

2 X X

Application au calcul de l'alpha et du b^ta e

Nous avons vu pr´c´demment qu'il existe un portefeuille de march´ xM e e e (ou portefeuille optimal) qui est pr´f´rable ` tous les autres portefeuilles ee a car il maximise le ratio de Sharpe sh (x | r). Dans ce cas, toute allocation xM () entre le portefeuille de march´ et l'actif sans risque domine la e fronti`re efficiente de Markowitz. Le rendement al´atoire Rt du portefeuille e e xM () est : M Rt = Rt + (1 - ) r

M avec Rt le rendement al´atoire du portefeuille de march´ et r le taux e e sans risque. Nous avons :

µ xM () = µ xM + (1 - ) r et : xM () = xM

2 Cela

` ´ ~ veut dire que les r´sidus ont la m^me variance ou encore U N 0, 2 I . e e

264

Les outils ´conom´triques e e

Nous v´rifions que le ratio de Sharpe du portefeuille xM () est le m^me e e que celui du portefeuille de march´ xM : e sh xM () | r = = = µ xM + (1 - ) r - r (xM ) µ xM - r (xM ) sh xM | r

L'ensemble des points xM () , µ xM () , R+ est appel´ la e droite de march´. Le mod`le CAPM est un prolongement de l'analyse e e i pr´c´dente. Dans ce cas, le rendement Rt d'un titre i est li´ au rendement e e e du portefeuille de march´ par la relation lin´aire suivante3 : e e

i M R t = r + Rt - r + i

avec : =

i M cov Rt , Rt 2 RM t

Dans la pratique, on estime le b^ta d'un titre ` partir d'un historique de e a rendements et on approxime le portefeuille de march´ par un benchmark e repr´sentatif (par exemple un indice). Jensen (1968) utilise ce mod`le pour e e estimer la sur-performance d'un g´rant4 . Pour cela, il consid`re le mod`le e e e suivant : i M Rt - rt = + Rt - rt + i ^ Les estimations et de cette r´gression lin´aire sont appel´s l'alpha ^ e e e et le b^ta du g´rant. Certains styles de gestion sont bas´s sur ce mod`le e e e e d'´valuation des actifs. Par exemple, un g´rant peut privil´gier des titres e e e ^ ^ agressifs ( > 1) ou des titres d´fensifs ( < 1) dans la construction de e son portefeuille. Certaines gestions pr´sentent beaucoup de b^ta et peu e e d'alpha. C'est le cas des gestions indicielles. D'autres strat´gies, comme e les strat´gies absolute return, se veulent ^tre des gestions avec peu de b^ta e e e et beaucoup d'alpha. Cette distinction entre strat´gie d'alpha et strat´gie e e de b^ta s'est encore renforc´e ces derni`res ann´es avec la crise financi`re e e e e e de 2008. 1.1.3. Extension aux moindres carr´s pond´r´s e e e

Dans le cas des moindres carr´s pond´r´s (weighted least squares ou e ee WLS), nous avons :

n

^ = arg min

i=1

wi u2 i

3 W.F. Sharpe, « Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk », Journal of Finance, 19(3), 1964, p. 425-442. 4 M.C. Jensen, « The Performance of Mutual Funds in the Period 1945-1964 », Journal of Finance, 23(2), 1968, p. 389-416.

Les outils statistiques

265

Nous pouvons montrer que l'estimateur analytique est : ^ = X W X

-1

X W Y

o` W est une matrice diagonale dont les ´l´ments sont Wi,i = wi . u ee 1.1.4. Extension ` la r´gression robuste a e

Reprenons le probl`me pr´c´dent des moindres carr´s ordinaires. Nous e e e e avons :

n n

^ = arg min

i=1

(ui ) = arg min

i=1

yi - x i

(4.1)

avec (u) = u2 . Huber (1964) propose de g´n´raliser cette m´thode en e e e consid´rant d'autres fonctions (u)5 . Dans cette approche appel´e M e e estimation, la fonction doit poss´der les propri´t´s suivantes : (u) 0, e ee (0) = 0, (u) = (-u) et (u1 ) (u2 ) si |u1 | |u2 |. Soit (u) = (u). Les conditions de premier ordre du probl`me (4.1) forment un e syst`me de K ´quations : e e

n i=1

yi - x xi,k = 0 i

Nous pouvons ´crire ce syst`me de la fa¸on suivante : e e c

n i=1

yi - x i yi - x i

yi - x xi,k = 0 i

En posant w (u) = (u) /u, nous obtenons finalement :

n i=1

wi · yi - x · xi,k = 0 i

Nous remarquons que nous obtenons le syst`me de premier ordre du e probl`me des moindres carr´s pond´r´s. La seule diff´rence est l'endog´n´e e ee e e e it´ des poids wi qui d´pendent de ui . Pour r´soudre ce syst`me, nous e e e e utilisons l'algorithme it´ratif suivant : e 1. on choisit une valeur initiale (0) ; 2. on calcule la matrice W (j-1) associ´e aux poids wi = yi - x (j-1) ; e i (j) = X W (j-1) X

-1

3. ` chaque it´ration j, nous calculons l'estimateur des moindres carr´s : a e e X W (j-1) Y

5 P.J. Huber, « Robust Estimation of a Location Parameter », Annals of Mathematical Statistics, 35(1), 1964, p. 73-101.

266

Les outils ´conom´triques e e

L'estimateur le plus c´l`bre est celui obtenu avec (u) = |u| et (u) = ee sign (u). Il est connu sous le nom d'estimateur LAD (least absolute deviation). Une variante de l'estimateur LAD est celle propos´e par Huber e (1964) : u2 si |u| c (u) = c |u| si |u| > c Ces deux estimateurs sont moins sensibles aux points aberrants que l'estimateur OLS d'o` le nom de r´gression robuste. On remarque aussi u e que la r´gression quantile que nous avons pr´sent´e au paragraphe 1.3. e e e a ` la page 76 est un cas particulier de r´gression robuste avec (u) = e u × ( - 1 {u < 0}) et (u) = - 1 {u < 0}. Notons que si = 0,5 nous obtenons la r´gression m´diane et (u) = u×(0,5 - 1 {u < 0}) = 0,5×|u|. e e L'estimateur de la r´gression m´diane correspond donc ` l'estimateur e e a LAD. Nous remarquons aussi que : (u) = u × ( - 1 {u < 0}) (1 - ) |u| si u 0 = |u| si u > 0

4. on r´p`te les ´tapes 2 et 3 jusqu'` la convergence de l'algorithme : e e e a (j) - (j-1) .

Posons u = y - q avec q = x . Nous avons :

n i=1

(ui ) = (1 - )

yi <qi

|yi - qi | +

yi >qi

|yi - qi |

^ qi = x est bien l'estimateur de Qi tel que Pr {Yi Qi | Xi = xi } = i d'o` le nom de r´gression quantile6 . u e Nous cherchons ` estimer le b^ta hebdomadaire de certaines actions par a e rapport ` celui du CAC 40 pour la p´riode allant du 1er janvier 1990 au a e 31 d´cembre 2009. Nous reportons sur le graphique 1 les estimateurs OLS e et LAD ainsi que l'estimateur de la r´gression quantile pour diff´rentes e e valeurs de .

1.2.

1.2.1.

Le maximum de vraisemblance

D´finition de l'estimateur e

La m´thode du maximum de vraisemblance (maximum likelihood ou e ML) est une technique tr`s populaire. On rappelle ici quelques r´sultats e e que l'on peut trouver dans tous les livres traitant de l'estimation statistique (Davidson et MacKinnon, 1995). Soit un vecteur K × 1 de

6 R. Koenker et G. Basset, « Regression Quantiles », Econometrica, 46(1), 1978, p. 33-50.

Les outils statistiques Graphique 1. Estimation robuste du b^ta e

267

param`tres ` estimer et l'espace des param`tres. Nous notons Li () e a e la vraisemblance de l'observation i, c'est-`-dire la fonction de densit´ a e de l'observation i. i () ln Li () est la log-vraisemblance de Li (). Consid´rons n observations iid, on d´finit la fonction de log-vraisemblane e n ^ ce de l'´chantillon comme l'expression () = i=1 i (). n est l'estie ^ mateur du maximum de vraisemblance s'il v´rifie n () . e ^ Nous pouvons montrer que n est sans biais, asymptotiquement efficace et poss`de la propri´t´ de normalit´ asymptotique : e ee e ^ n n - 0 N 0, J -1 (0 )

avec J (0 ) la matrice d'information de Fisher d´finie par : e J (0 ) = E - 2 i (0 )

et 0 la vraie valeur du vecteur des param`tres. Soit h () une fonction e ^n converge alors presque s^rement vers u du vecteur des param`tres . h e h (0 ) et nous avons : ^ n h n - h (0 ) N 0, h (0 ) h (0 ) -1 J (0 )

Les outils statistiques Graphique 5. Densit´ de R1:52 e

297

1.5.2.

La r´gression non param´trique e e

Consid´rons maintenant le mod`le y = f (x) + u. Si f (x) = x (resp. e e f (x) = f (x, )), nous obtenons le mod`le param´trique lin´aire (resp. non e e e ^ ^ e lin´aire) et nous avons y = x ML (resp. y = f x, ML ). La r´gression e ^ ^ non param´trique consiste ` estimer directement f et nous avons y = e a ^ ^ f (x). Par exemple, nous avons pr´sent´ le lissage spline ` la page 194. e e a Cette technique est une r´gression non param´trique. Une autre m´thode e e e non param´trique tr`s connue est la r´gression polyn^miale locale (local e e e o regression ou loess 55 ). Dans le cas d'une seule variable exog`ne, nous e avons :

p

yi = 0 (x) +

j=1

j (x) (xi - x) + ui

j

^ Pour une valeur x donn´e, nous estimons les param`tres j (x) par moindres e e 56 carr´s pond´r´s en utilisant les poids : e ee wi = K x - xi h

55 W.S. Cleveland et S.J. Devlin, « Locally Weighted Regression: An Approach to Regression Analysis by Local Fitting », Journal of the American Statistical Association, 83(403), 1988, p. 596-610. 56 W. H¨rdle, Applied Nonparametric Regression, Cambridge University Press, 1992. a

298

Les outils ´conom´triques e e

^ Nous en d´duisons que l'estimation y = f (x) est : e ^ y = ^ = = ^ f (x)

p

^ 0 (x)

^ E 0 (x) +

j=1

j ^ j (x) (x - x) + ui

Contrairement au mod`le lin´aire classique, la r´gression non param´trique e e e e n´cessite la r´solution d'un probl`me de moindres carr´s pour chaque vae e e e leur de x. Elle est donc plus gourmande en temps de calcul. La m´thode e pr´c´dente s'applique aussi ` la r´gression quantile57 . e e a e Consid´rons le mod`le non lin´aire : e e e y = (cos (2x - ) + 1) avec U[0,1] . Nous avons : m (x) = E [ y| x] = et : 1 (cos (2x - ) + 1) 2

-1 q (x; ) = Fy|x () = (cos (2x - ) + 1)

Nous pouvons estimer la fonction m (x) par r´gression non param´trique e e et la fonction q (x; ) par r´gression quantile non param´trique. Sur le e e graphique 6, nous pr´sentons un exemple avec 1 000 points (x, y) simul´s. e e Nous comparons m (x) et q (x; ) avec les fonctions estim´es m (x) et e ^ q (x; ) pour diff´rentes valeurs d'ordre p de la r´gression polynomiale58 . e e

2.

Mod´lisation de la d´pendance e e statistique

Dans cette section, nous abordons le probl`me de la d´pendance entre e e plusieurs variables al´atoires. Il existe principalement deux cadres d'anae lyse pour r´soudre ce type de probl`me. Le premier consid`re une ape e e proche gaussienne et consiste ` estimer une matrice de covariance ou de a corr´lation. Le second consid`re une approche plus g´n´rale et utilise les e e e e fonctions copules. Celles-ci sont utilis´es en finance depuis peu longtemps e et d´finissent la statistique exhaustive minimale de d´pendance au sein e e d'un vecteur al´atoire. e

57 Voir

le paragraphe consacr´ ` la r´gression quantile non param´trique ` la page e a e e a

77.

58

est fix´ ` 95%. ea

Les outils statistiques Graphique 6. R´gression non param´trique e e

299

2.1.

2.1.1.

Mod´lisation des matrices de covariance et de e corr´lation e

L'estimateur du maximum de vraisemblance

On consid`re un vecteur gaussien X N (µ, ) de dimension n. La e log-vraisemblance de l'´chantillon {x1 , . . . , xT } est ´gale ` : e e a =- nT T 1 ln 2 - ln || - 2 2 2

T t=1

(xt - µ) -1 (xt - µ)

L'estimateur ML de µ v´rifie µ = 0 et nous obtenons µ = x. En utilisant e ^ ¯ les propri´t´s de la trace matricielle, nous avons : ee = - = - T 1 nT ln 2 - ln || - 2 2 2 nT T 1 ln 2 - ln || - 2 2 2

T t=1 T t=1

tr (xt - x) -1 (xt - x) ¯ ¯ tr -1 (xt - x) (xt - x) ¯ ¯

nT T 1 = - ln 2 - ln || - tr -1 S 2 2 2 avec : S=

t=1 T

(xt - x) (xt - x) ¯ ¯

300

Les outils ´conom´triques e e

Nous en d´duisons que : e -1 = et nous obtenons finalement : 1 ^ = S T L'estimateur du maximum de vraisemblance de est donc la matrice de covariance empirique. 2.1.2. La prise en compte d'une structure de corr´lation e 1 T - S =0 2 2

L'estimateur du maximum de vraisemblance sugg`re que nous pouvons e estimer la matrice de corr´lation de X N (µ, ) ` partir des donn´es e a e centr´es xi,t = i (xi,t - µi ). Dans ce cas, nous notons C = (i,j ) la e ~ ^ -1 ^ matrice de corr´lation. Nous obtenons : e ^ C = s.c. arg max (C) C est une matrice de corr´lation e

T

avec : =- T 1 nT ln 2 - ln |C| - 2 2 2

x C -1 xt ~t ~

t=1

Il peut ^tre pertinent de prendre en compte une structure particuli`re de e e corr´lation. Par exemple, nous pouvons imposer : e 1 .. C = Cn () = . 1 Dans ce cas, on parle de mod`le ` un seul facteur. Pour comprendre cette e a structure de corr´lation, nous consid´rons le mod`le suivant : e e e i = 1, . . . , n Xi = X + 1 - i

o` X et i sont des variables al´atoires gaussiennes ind´pendantes centr´es u e e e et r´duites. Nous interpr´tons X comme le facteur commun et i comme e e le facteur idiosyncratique. Nous en d´duisons que : e E [Xi Xj ] = E X 2 + (1 - ) E [i j ] + (E [Xi ] + E [Xj ]) =

(1 - )

et E [Xi Xi ] = 1. La corr´lation entre Xi et Xj est donc ´gale ` . e e a Consid´rons maintenant le mod`le suivant : e e Xi = X + (f (i)) - X(f (i)) + 1 - (f (i)) i i = 1, . . . , n

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

351

3.1.3.

Le lissage

Soit une date t donn´e. Nous notons : e a t|t = Et [t ] et : P t|t = Et (at - t ) (at - t )

pour t t . Nous avons bien s^r a t |t = at et P t |t = Pt . Le lissage u est alors donn´ par le syst`me r´cursif suivant : e e e Pt a t|t P t|t = = =

-1 Pt Tt+1 P t+1|t at + Pt a t+1|t - a t+1|t Pt + Pt P t+1|t - P t+1|t Pt

3.2.

3.2.1.

Quelques applications

Les moindres carr´s r´cursifs e e

Consid´rons le mod`le lin´aire classique : e e e yt = x + t t avec xt un vecteur de K variables exog`nes et t N 0, 2 . Ce mod`le e e est un cas particulier d'un mod`le espace-´tat. L'´quation de mesure est e e e en fait : yt = x t + t t tandis que l'´quation de transition du vecteur d'´tat t est : e e t = t-1 En utilisant le filtre de Kalman, nous en d´duisons que : e ^ ^ t|t-1 = t-1 P t|t-1 = Pt-1 ^ y t|t-1 = x t|t-1 t vt = yt - y t|t-1 Ft = x P t|t-1 xt + 2 t ^ ^ t = t|t-1 + P t|t-1 xt Ft-1 vt Pt = IK - P t|t-1 xt Ft-1 x P t|t-1 t

Consid´rons le vecteur Yt = (y1 , . . . , yt ) et la matrice Xt = x , . . . , x . e t 1 Nous avons : Xt Xt = Xt-1 Xt-1 + xt x t et :

Xt Yt = Xt-1 Yt-1 + xt yt

352

Supposons que Pt = 2 Xt Xt -1

Les outils ´conom´triques e e

, nous en d´duisons que : e

-1

Ft = 2 1 + x Xt-1 Xt-1 t -1

xt

Posons t = Xt-1 Xt-1 xt . En utilisant la formule de l'inversion de Sherman-Morrison-Woodbury pr´sent´e ` la page 121, nous obtenons : e e a Xt Xt -1 = Xt-1 Xt-1 -1

-

t t 1 + xt t

Cette ´quation correspond exactement ` l'´quation du filtre de Kalman : e a e Pt = = IK - P t|t-1 xt Ft-1 x P t|t-1 t

2 -1 Xt-1 Xt-1 -1 -1

-

2 Xt-1 Xt-1

xt x Xt-1 Xt-1 t -1

2

2 1 + x Xt-1 Xt-1 t

xt

=

2

Xt-1 Xt-1

-1

-

t t 1 + xt t

-1

ce qui prouve que l'hypoth`se Pt = 2 Xt Xt e d´duisons que : e ^ ^ t = t|t-1 + Xt-1 Xt-1 -1

est v´rifi´e. Nous en e e

xt

vt 1 + xt t

Le filtre de Kalman est donc finalement : ^ vt = yt - x t-1 t t = Xt-1 Xt-1 -1 xt Ft = 2 1 + xt t ^ = ^t-1 + Pt-1 xt F -1 vt t t -1 Pt = Pt-1 - 1 + xt t t t

Ce sont aussi les ´quations r´cursives des moindres carr´s ordinaires11 . e e e Notons au passage que ce syst`me r´cursif ´vite l'inversion des T matrices e e e -1 ^ Xt Xt dans le syst`me t = Xt Xt e Xt Yt pour t = 1, . . . , T . Nous v´rifions qu'` la date terminale de l'´chantillon, nous avons : e a e ^ ^ T = OLS Consid´rons maintenant le filtre de lissage. Nous avons : e Pt = =

-1 Pt P t+1|t I

11 A. Spanos, Statistical Foundations of Econometric Modelling, Cambridge University Press, 1986.

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

353

d'o` : u ^ t|t ^ ^ ^ = t + Pt t+1|t - t ^ = t+1|t et : P t|t = = Pt + P t+1|t - P t+1|t P t+1|t ^ ^ t|T = OLS et :

P t|T = 2 XT XT -1

En particulier, nous avons :

^ = cov OLS

Afin d'illustrer l'int´r^t des moindres carr´s r´cursifs, nous simulons le ee e e mod`le suivant : e yt = 2 + t + 3xt + t yt = 10 + t + 3xt + t t = 1, . . . , 100 t = 101, . . . , 200

avec t N (0, 1). La variable exog`ne xt est simul´e ` partir de la e e a e distribution U[0,5] . Sur le graphique 2, nous reportons la valeur estim´e de la constante ct . On voit qu'` partir de t > 100, on a un changea ment de comportement de l'estimateur. Si on consid`re l'´volution de e e l'innovation vt ainsi que les intervalles de confiance ` 99%, on v´rifie le a e changement structurel du mod`le. On identifie g´n´ralement les ruptures e e e de tendance des estimateurs par les tests CUSUM et CUSUMSQ12 . No-1/2 tons wt = 1 + xt vt l'innovation standardis´e. Sous l'hypoth`se e e t t H0 : t = t-1 , la statistique CUSUM d´finie par Wt = s-1 i=1 wi avec e 2 -1 T ^ s2 = (T - K) yt - x t suit la loi N (0, t - K). La statistique

t=1 t

CUSUMSQ correspond ` Vt = a

t i=1

2 wi

T i=1

distribution B^ta de param`tres (T - t) /2 et (t - K) /2. e e 3.2.2. L'estimation des composantes inobservables

2 wi . Sous H0 , Vt suit une

Le filtre de Kalman permet d'estimer tr`s facilement les composantes e inobservables du vecteur d'´tat t . Prenons l'exemple d'un mod`le de e e tendance d´terministe : e yt = µt + t µt = t

12 R.L. Brown, J. Durbin et J.M. Evans, « Techniques for Testing the Constancy of Regression Relationships over Time », Journal of the Royal Statistical Society B, 37(2), 1975, p. 149-192.

354

Les outils ´conom´triques e e Graphique 2. Moindres carr´s r´cursifs et test CUSUM e e

2 avec t N 0, . Pour estimer la tendance µt , il suffit d'estimer le ^ param`tre par moindres carr´s ordinaires et nous avons µt = t. Ree e ^ marquons que le mod`le pr´c´dent s'´crit aussi : e e e e

yt = µt + t µt = µt-1 + Une fa¸on de mod´liser la tendance stochastique est donc de perturber c e 2 l'´quation µt = µt-1 + par un bruit t N 0, . Nous obtenons alors e un mod`le espace-´tat : e e yt = µt + t µt = µt-1 + + t Pour obtenir la correspondance avec notre mod`le canonique de la page e 2 349, il suffit de poser Zt = 1, dt = 1, Ht = , Tt = 1, ct = et 2 Qt = . On peut donc estimer µt et µ t|t-1 en employant le filtre de ^ ^ Kalman. Supposons maintenant que la pente de la tendance est aussi stochastique : µt = µt-1 + t-1 + t t = t-1 + t

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

s t-1 , . . . , t-1

371

(1) (N )

(1)

(N )

et des poids

s wt-1 , . . . , wt-1

repr´sentant une ape

proximation de f ( t-1 | , It-1 ) avec Ns le nombre de particules simul´es. e On peut alors ´crire : e

Ns

f ( t | , It ) f ( yt | t , )

i=1

wt-1 f t | t-1 , t , . . . , t

(1) (Ns )

(i)

(i)

Le probl`me se r´sume alors ` d´terminer l'´chantillon e e a e e

(1) (N )

ainsi que les poids wt , . . . , wt s . Ces poids peuvent ^tre choisis par e la m´thode dite d'´chantillonnage pr´f´rentiel (Importance Sampling). e e ee

4.1.

´ Echantillonnage pr´f´rentiel ee

Supposons ainsi qu'il existe une distribution cible p (x) dont il est difficile de tirer un ´chantillon, mais qu'il est possible d'´valuer (´ventuellement e e e a ` une constante de normalisation pr`s). Supposons maintenant que l'on e connaisse une distribution instrumentale q (x) dont il est possible de g´n´e e rer un ´chantillon x(1) , . . . , x(Ns ) . On suppose que la distribution q e poss`de un support englobant le support de p tel que le ratio q (x) /p (x) e est born´ pour tout x du support. La distribution p (x) peut alors ^tre e e approch´e par : e

Ns

p (x)

i=1

w(i) x - x(i)

o` est la fonction de Dirac. Le poids normalis´ w(i) associ´ ` x(i) est u e e a calcul´ en deux ´tapes, en posant d'abord : e e w(i) = p x(i) q x(i)

Ns i=1

puis en normalisant chaque poids par

w(i) .

4.2.

Calcul des poids pour les techniques SMC

Dans le cas du calcul des poids d'un filtre particulaire, la technique d'´chantillonnage pr´f´rentiel est appliqu´e ` la distribution jointe de e ee e a 0:t = (0 , . . . , t ) : f ( 0:t | yt , It-1 ) = f ( t | yt , 0:t-1 , It-1 ) f ( 0:t-1 | It-1 ) f ( yt | t ) f ( t | 0:t-1 ) = f ( 0:t-1 | It-1 ) f ( yt | It-1 ) f ( yt | t ) f ( t | 0:t-1 ) f ( 0:t-1 | It-1 )

372

Les outils ´conom´triques e e

o` la d´pendance par rapport ` est implicite. On en d´duit que : u e a e

(i) wt

f yt | t

(i)

f t

(i)

(i)

0:t-1 f 0:t-1 It-1

(i) (i) (i)

(i)

(i)

q t , 0:t-1 yt , It-1 f yt | t q t

(i)

=

f t

(i)

(i)

0:t-1

(i)

yt , 0:t-1 , It-1

(i)

×

(i)

f 0:t-1 It-1 q 0:t-1 yt , It-1 (5.10)

(i)

=

(i) wt-1

f yt | t q t

f t

(i)

(i)

0:t-1

(i)

yt , 0:t-1 , It-1

o` l'on a partitionn´ la densit´ instrumentale de la mani`re suivante : u e e e q ( 0:t | yt , It-1 ) = q ( t , 0:t-1 | yt , It-1 ) × q ( 0:t-1 | It-1 ) On voit donc naturellement appara^ itre l'algorithme g´n´rique suivant ` e e a chaque pas de temps t : 1. on simule t q t

(i) (i)

yt , 0:t-1 , It-1 ;

(i)

(i)

2. on met ` jour le poids wt a

en utilisant l'´quation (5.10) ; e

3. on r´p`te Ns fois les ´tapes 1 et 2 pour produire un ´chantillon de e e e e taille Ns ; 4. on normalise chaque poids wt

(1) (i)

en divisant par

Ns i =1

wt ;

(Ns )

(i)

5. le cas ´ch´ant, on peut ´chantillonner de nouveau t , . . . , t e e e

(N )

(1)

e pond´r´s par wt , . . . , wt s pour produire un nouvel ´chantillon ee avec des poids plus ´quilibr´s. e e Un des principaux probl`mes des filtres particulaires est la d´g´n´rescene e e e (i) (i) ce des ´chantillons t , wt e avec le temps. Ce ph´nom`ne appara^ e e it lorsque la variance des poids wt , . . . , wt s est trop grande, avec pour r´sultat de concentrer l'´chantillon autour de quelques particules avec un e e ` large poids. A mesure que ce ph´nom`ne s'accentue, l'approximation de e e la densit´ f ( t | , It ) se d´grade. Pour combattre ce ph´nom`ne, il est e e e e souvent n´cessaire de remplir l'´chantillon avec de nouvelles particules, e e par exemple en ´chantillonnant ` nouveau pour r´-´quilibrer les poids e a ee comme dans l'algorithme pr´c´dent26 . C'est pourquoi il existe de nome e

26 Certains algorithmes plus sophistiqu´s introduisent des variables auxiliaires pour e ´viter ce ph´nom`ne. e e e M. Pitt et N. Shephard, « Filtering via Simulation: Auxiliary Particle Filters », Journal of the American Statistical Association, 94(446), 1999, p. 590-599.

(1)

(N )

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

373

breuses versions de l'algorithme g´n´rique pr´c´dent27 . Les plus connus e e e e sont ceux pr´sent´s par Arulampalam et al. (2002) : algorithme SIS (See e quential Importance Sampling), algorithme GPF (Generic Particle Filter ), algorithme SIR (Sampling Importance Resampling) et algorithme RPF (Regularized Particle Filter ).

4.3.

4.3.1.

Quelques exemples

La r´plication d'allocation dynamique e

Roncalli et Weisang (2008) consid`rent un g´rant actions qui a une e e allocation dynamique entre l'indice MSCI USA et l'indice MSCI EMU et cherchent ` estimer les positions prises par ce g´rant en ne connaissant a e que la valeur du fonds28 . Ils supposent que le g´rant change les poids ` e a une fr´quence mensuelle. Sur le graphique 8, nous repr´sentons les deux e e indices, les poids de l'indice MSCI USA du g´rant ainsi que la valeur du e fonds correspondant. La performance mensuelle Rt du fonds est ´gale ` : e a Rt = wt

(USA) (EMU) (USA)

Rt

(USA)

+ 1 - wt

(USA)

Rt

(EMU)

avec Rt et Rt les performances mensuelles des indices MSCI USA et MSCI EMU. Comme c'est un fonds actions long only, nous avons la (USA) (EMU) (EMU) (USA) contrainte wt + wt = 1 d'o` wt u = 1 - wt . Pour estimer les poids, nous pouvons proc´der comme dans le cas du paragraphe sur le e b^ta alternatif. Nous sp´cifions : e e Rt = t Rt + (1 - t ) Rt t = t-1 + t

(USA) (EMU)

+ t

Nous pouvons donc estimer la position t = wt de Kalman avec le mod`le espace-´tat suivant : e e = t Rt Rt - R t t = t-1 + t

(EMU) (USA)

(USA)

en utilisant le filtre

- Rt

(EMU)

+ t

Sous la forme g´n´rique, la variable d'observation yt est ´gale ` Rt - e e e a (EMU) (USA) (EMU) Rt et nous avons Zt = Rt - Rt . Nous avons donc seulement deux param`tres ` estimer par maximum de vraisemblance et . Nous e a estimons ensuite la variable d'´tat t par filtrage de Kalman ou filtrage e particulaire. Nous obtenons les r´sultats du graphique 9. Nous notons que e les deux filtres donnent de tr`s bons r´sultats. e e

27 S. Arulampalam, S. Maskell, N. Gordon et T. Clapp, « A Tutorial on Particle Filters for Online Nonlinear/non-Gaussian Bayesian tracking », IEEE Transaction on Signal Processing, 50(2), 2002, p. 174-188. 28 T. Roncalli et G. Weisang, « Tracking Problems, Hedge Fund Replication and Alternative Beta », Working paper, 2008, ssrn.com/abstract=1325190.

374

Les outils ´conom´triques e e

Graphique 8. Un exemple d'allocation dynamique

Graphique 9. Estimation de l'allocation par filtrage

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

375

4.3.2.

Un mod`le non lin´aire e e

On consid`re l'exemple suivant : e f (t | t-1 ) = fN (t ; Tt (t-1 ) , Qt ) 2 f (yt | t ) = fN yt ; t , Ht Cela veut dire que la repr´sentation espace-´tat est : e e t = Tt (t-1 ) + t 2 yt = t + t (5.11)

avec t N (0, Qt ) et t N (0, Ht ). Nous remarquons que l'´quation de e mesure est non lin´aire ainsi que l'´quation d'´tat si la fonction Tt () est e e e non lin´aire. L'exemple pr´c´dent a souvent ´t´ ´tudi´ avec la sp´cification e e e e ee e e suivante29 : 25 Tt () = + + 8 cos (1.2 × t) 2 1 + 2 En consid´rant les valeurs num´riques suivantes = 1/20, Qt = 1 et Rt = e e 10, nous simulons le mod`le (5.11) et nous estimons t en consid´rant les e e algorithmes des filtres particulaires. Les densit´s de vraisemblance et de e transition a priori sont donn´es par f (yt | t ) et f (t | t-1 ). Nous supe posons que la densit´ a posteriori f (t | t-1 , yt ) est ´gale ` f (t | t-1 ), e e a ce qui veut dire que la connaissance de yt ne permet pas d'avoir plus d'information sur l'´tat t . Pour l'´chantillonnage pr´f´rentiel, on simule les e e ee (i) particules t de la fa¸on suivante : c t = Tt t-1 + t

(i) (i) (i) (i)

avec t N (0, Qt ). Ce sch´ma est utilis´ pour simuler la densit´ a priori e e e q (t | t-1 ) et la densit´ a posteriori q (t | t-1 , yt ). Sur le graphique e 10, nous reportons l'exemple d'une simulation avec 1 000 particules. Les estimations t sont ´gales ` : ^ e a

Ns

t = ^

i=1 (i) t

wt t

(i) (i)

avec la valeur simul´e de t pour la i-i`me particule et wt le poids de e e (i) t . Pour chaque simulation, nous pouvons calculer la statistique RMSE : RMSE = 1 T

T t=1

(i)

(t - t ) ^

2

29 B.P. Carlin, N.G. Polson et D.S. Stoffer, « A Monte Carlo Approach to Nonnormal and Nonlinear State-Space Modeling », Journal of the American Statistical Association, 87(418), 1992, p. 493-500. G. Kitagawa, « Monte Carlo Filter and Smoother for Non-Gaussian Nonlinear State Space Models », Journal of Computational and Graphical Statistics, 5(1), 1996, p. 1-25.

384

Les outils ´conom´triques e e

mod`le de la r´gression lin´aire devient : e e e yt = x + t t avec : t ht = exp 1 ht t 2 = 0 + 1 t-1 + · · · + q q + 1 ht-1 + · · · + p ht-p + vt

Notons que les processus t et vt ne sont pas forc´ment gaussiens, et que e l'on peut utiliser des distributions avec des queues ´paisses, plus adapt´es e e aux s´ries financi`res. L'estimation des param`tres de ce mod`le par maxie e e e mum de vraisemblance est consid´r´e comme un probl`me difficile en ee e g´n´ral car la fonction de vraisemblance est un m´lange des distributions e e e des variances conditionnelles ht . Dans son expression la plus simple, le mod`le ` volatilit´ stochastique canonique est : e a e

1 yt = exp 2 ht t ht = 0 + 1 ht-1 + vt

(5.14)

On peut toutefois l'estimer par quasi-maximum de vraisemblance en utilisant le filtre de Kalman35 . Pour cela, il faut lin´ariser le mod`le. Notons e e tout d'abord que nous pouvons param´trer le mod`le (5.14) de la fa¸on e e c suivante : yt = 0 exp 1 ht t 2 (5.15) ht = 1 ht-1 + vt avec 0 = exp (0 /2). Harvey et al. (1994) proposent de transformer les observations yt = rt de la mani`re suivante : e

2 ln rt = + ht + t

avec = 0 + E ln 2 et t = ln 2 - E ln 2 . Nous obtenons alors un t t t mod`le espace-´tat : e e 2 ln rt = + ht + t (5.16) ht = 1 ht-1 + vt

2 e o` la variable d'observation est ln rt et la variable d'´tat est ht . u

Reprenons l'exemple des rendements mensuels de l'indice S&P 500. Nous estimons les param`tres du mod`le (5.16) par maximum de vraie e semblance en employant le filtre de Kalman. Nous obtenons :

2 ln rt = -7,766 + ht + t ht = 0,926 × ht-1 + vt

35 A. Harvey, E. Ruiz et N. Shephard, « Multivariate Stochastic Variances Models », Review of Economic Studies, 61(2), 1994, p. 247-264.

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

385

avec v = 0,229 et = 2,118. Tous les coefficients sont significatifs au seuil de confiance de 99%. Nous reportons sur le graphique 16 la volatilit´ e estim´e par le filtre de Kalman, avant et apr`s lissage, que nous compae e rons ` celle obtenue avec le mod`le GARCH(1,1) de la section pr´c´dente. a e e e Nous notons que les profils de volatilit´ sont similaires. Le graphique 17 e 1 pr´sente des diagnostics sur les r´sidus standardis´s = rt exp - 2 ht . e e e t Nous pouvons noter la pr´sence d'auto-corr´lation partielle marginalee e ment significative, ce qui sugg`re un mod`le mal sp´cifi´. Nous pouvons e e e e aussi v´rifier que les r´sidus standardis´s ne sont pas distribu´s selon e e e t e une loi normale.

Graphique 16. Volatilit´ stochastique estim´e pour l'indice S&P 500 e e

Remarque 44. Le mod`le canonique de volatilit´ stochastique a donn´ e e e lieu ` de nombreuses extensions, comme la prise en compte d'asym´trie36 . a e Notons aussi que l'on peut employer d'autres m´thodes que celle du filtre e de Kalman pour estimer ce mod`le37 . e

36 A.C. Harvey et N. Shephard, « Estimation of an Asymmetric Stochastic Volatility Model for Asset Returns », Journal of Business and Economic Statistics, 14(4), 1996, p. 429-434. 37 C. Broto et E. Ruiz, « Estimation Methods for Stochastic Volatility Models: A Survey », Journal of Economic Surveys, 18(5), 2004, p. 613-649.

386

Les outils ´conom´triques e e Graphique 17. Diagnostics des r´sidus standardis´s e e t

5.2.2.

Estimation du mod`le ` volatilit´ stochastique canonique par e a e MCMC

Supposons maintenant que l'on d´sire estimer le mod`le ` volatilit´ e e a e stochastique suivant en utilisant la m´thode MCMC : e rt = + t avec : t ht 1 ht t 2 = + ht-1 + v vt = exp (5.17)

o` t et t sont deux bruits blancs gaussiens de moyenne nulle et de u variance unitaire tels que E [t t+l ] = 0 pour tout l et E [t t+l ] = 0 pour tout l = 0. Les param`tres de ce mod`le sont la constante , les e e coefficients et , la volatilit´ v . Nous devons aussi estimer la volatilit´ e e stochastique ht pour t = 1, . . . , T et la position initiale h0 . L'information connue a priori sur le mod`le, ainsi que l'incertitude associ´e, est donn´e e e e par les distributions a priori : ­ l'incertitude associ´e ` h0 est traduite par : e a h0 N (m0 , C0 )

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

387

­ la distribution a priori de est donn´e par une loi normale : e N (0 , A0 )

2 ­ Notons = (, ) . La distribution a priori de , v est donn´e e 2 par une loi normale-inverse-gamma , v N IG 0 , 0 , 0 , s2 ou 0 encore : 2 | v 2 v 2 N 0 , v 0

IG 0 /2, 0 s2 /2 0

Les hyper-param`tres associ´s sont donc m0 , C0 , 0 A0 , 0 , 0 , 0 et e e s2 . Notons h = (h1 , . . . , hT ) et r = (r1 , . . . , rT ) . On d´sire estimer la e 0 2 distribution a posteriori f , , v , h r des param`tres du mod`le38 . On e e fait l'hypoth`se que cette distribution peut ^tre d´compos´e de la mani`re e e e e e suivante :

2 2 2 f , , v , h r = f h| , , v , r × f , v , h, r × f ( | h, r)

On peut donc appliquer l'´chantillonnage de Gibbs. Cela revient ` simuler e a a ` l'it´ration i les param`tres suivants : e e 1. le vecteur h des volatilit´s stochastiques : e

2 hi f h| i-1 , i-1 , v,i-1 , r 2 2. le vecteur , v des param`tres : e 2 2 i , v,i f , v i-1 , hi , r

3. la constante : i f ( | hi , r) Pour les distributions a priori s´lectionn´es ci-dessus pour les param`tres e e e 2 , v et , il existe des distributions a posteriori dites conjugu´es 39 : e 2 ­ f , v , h, r Posons X = 1, (h0 , . . . , hT -1 )

. Il est possible de d´montrer que la e

2 distribution a posteriori f , v , h, r est une loi normale-inverse-

38 Notons que le vecteur h des volatilit´s stochastiques est ici consid´r´ comme un e e e param`tre du mod`le. e e 39 Dans le paradigme bay´sien, si la distribution a posteriori appartient ` la m^me e a e famille de distributions que la distribution a priori, les distributions sont dites conjugu´es, la distribution a priori est appel´e distribution a priori conjugu´e de e e e la fonction de vraisemblance.

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

401

2 u 2 + 2 (1 - cos ) v 2 2 Dans le cas g´n´ral, si la forme stationnaire d'un processus Xt existe, il e e doit exister un polyn^me P (L) tel que : o 2 fS(z) () = 1 - 21 cos + 1

S (zt ) = zt - zt-1 est appel´e la forme stationnaire de zt et nous avons : e

S (Xt ) = P (L) Xt Les mod`les structurels e Les mod`les structurels sont des mod`les ` composantes inobservables e e a (Harvey, 1990). Ils admettent donc g´n´ralement une repr´sentation espacee e e ´tat. Ils sont la plupart du temps non stationnaires, c'est pourquoi il est e n´cessaire de trouver la forme stationnaire du processus pour calculer la e densit´ spectrale associ´e. Le mod`le Local Level (LL) est d´fini par : e e e e yt = µt + t µt = µt-1 + t

2 2 avec t N 0, et t N 0, . La forme stationnaire de yt est :

S (yt ) = = Nous en d´duisons que : e

t + (1 - L) t

yt - yt-1

2 2 2fS(y) () = + 2 (1 - cos )

Le mod`le Local Linear Trend (LLT), que nous avons vu ` la page 355, e a peut ^tre mis sous la forme suivante : e yt = µt + t µt = µt-1 + t-1 + t t = t-1 + t

2 2 2 avec t N 0, , t N 0, et t N 0, . La forme stationnaire de yt est :

S (yt ) = = Nous en d´duisons que : e

(1 - L) yt

2

t-1 + (1 - L) t + (1 - L) t

2

2

2 2 2 2fS(y) () = + 2 (1 - cos ) + 4 (1 - cos )

Le mod`le Basic Structural Model (BSM) a pour expression : e yt = µt + t + t µt = µt-1 + t-1 + t t = t-1 + t s-1 t-i = t

i=0

402

Les outils ´conom´triques e e

2 2 2 2 avec t N 0, , t N 0, , t N 0, et t N 0, . La forme stationnaire de yt est :

S (yt ) =

= (1 - L) (1 - Ls ) t + (1 - Ls ) t +

s i=1

(1 - L) (1 - Ls ) yt

Ls t-i + 1 - 2L + L2 t

Nous en d´duisons que : e 2fS(y) () =

2 2 g ((1 - L) (1 - Ls )) + g (1 - Ls ) + s 2 2 Ls + g 1 - 2L + L2

g avec : g g (1 - Ls ) 1 - 2L + L2

s i=1

i=1

= 2 (1 - cos s) = 6 - 8 cos + 2 cos 2 = s+2 =

s-1 j=1

g

Ls

g ((1 - L) (1 - Ls ))

(s - j) cos j

4 (1 - cos s) (1 - cos )

Une variante du mod`le BSM a ´t´ utilis´e par Lehman Brothers pour e ee e d´velopper le mod`le Cassandra de pr´vision de la volatilit´ implicite des e e e e cours de change. Dans ce mod`le, la volatilit´ implicite t se d´compose e e e de la fa¸on suivante : c t = µt + t + t + t avec µt l'´quilibre de long terme, t l'effet de retour ` la moyenne et t la e a composante saisonni`re. Plus formellement, nous avons : e µt = µt-1 + t t = t-1 + t s-1 i=0 t-i = t

2 2 2 avec t , t et t trois bruits blancs ind´pendants de variance , et . e µt est donc une marche al´atoire, t est un processus AR(1) et t est un e processus saisonnier stochastique puisque nous avons t = t-s +t -t-1 . 2 Notons que si = 0, alors la composante saisonni`re est d´terministe e e (t = t-s ). Pour estimer ce mod`le par la m´thode du maximum de e e vraisemblance dans le domaine des fr´quences, il nous faut trouver la e densit´ spectrale de la forme stationnaire. Nous avons : e

S (yt )

= (1 - L) (1 - Ls ) yt = (1 - L) (1 - Ls ) t +

(1 - Ls ) t + 1 - L - Ls + Ls+1 t + 1 - L 1 - 2L + L2 t

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

403

Nous en d´duisons que : e 2fS(y) ()

2 2 = g ((1 - L) (1 - Ls )) + g (1 - Ls ) +

g avec : g

1 - L - Ls + Ls+1 1 - L =

2 2 + g 1 - 2L + L2

1 - L - Ls + Ls+1 1 - L

g 1 - L - Ls + Ls+1

g (1 - L) =

= 4 - 4 cos - 4 cos s + 2 cos (s - 1) + 2 cos (s + 1)

1 - 2 cos + 2

g 1 - L - Ls + Ls+1 g (1 - L)

Les autres expressions ont d´j` ´t´ donn´es dans le cas du mod`le BSM. eaee e e Le mod`le Cycle Model (CM) est d´fini par : e e yt = t t cos c sin c t-1 = t - sin c cos c t-1 yt =

-1

+

t t

avec t N 0, 2 et N 0, 2 . Harvey (1990) montre que ce t processus s'´crit aussi : e 1 - 2 cos c L + 2 L2 × ((1 - cos c L) t + ( sin c L) ) t 1 + 2 - 2 cos c cos 2 c - 4 (1 + 2 ) cos c cos + 22 cos 2

Nous en d´duisons que : e 2fy () = 1+ 4 + 42 cos2

Nous avons repr´sent´ des diff´rentes densit´s spectrales sur les grae e e e phiques 26 et 27. Les jeux de param`tres utilis´s sont les suivants. Pour le e e mod`le LL, = 0,20 et = 0,10 pour (#1) ­ respectivement = 0,20 e pour (#2) et = 0,30 pour (#3). Pour le mod`le LLT, = 0,20, e = 0,10 et = 0,10 pour (#4) ­ respectivement = 0,20 pour (#5) et = 0,30 pour (#6). Pour le mod`le BSM, = 0,10, = 0,10, e = 0,10, = 0,10 et s = 4 pour (#7) ­ respectivement s = 12 pour (#9). Pour (#8), nous avons = 0,20, = 0,30, = 0,10, = 0,10 et s = 4 tandis que pour (#10) nous avons = 0,10, = 0,10, = 0,10, = 0,20 et s = 12. Il est int´ressant de noter l'influence du caract`re e e stochastique de la saisonnalit´ sur le processus. Pour le mod`le cyclique, e e nous avons pris = 0,10. Nous v´rifions que si 1, nous obtenons la e densit´ spectrale d'un cycle d´terministe, qui est parfaitement localis´e ` e e e a la fr´quence c . Plus est faible, moins le processus est bien localis´. e e

404

Les outils ´conom´triques e e

Graphique 26. Densit´ spectrale des processus LL, LLT et BSM e

Graphique 27. Densit´ spectrale du mod`le de cycle stochastique e e

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

405

6.4.

6.4.1.

L'estimation dans le domaine spectral

Le p´riodogramme e

La transform´e de Fourier discr`te46 d'une s´rie temporelle {xt } avec e e e t = 1, . . . , n est d´finie par : e

n

d (j ) =

t=1

xt e-ij t

pour j = 2j/n avec j {0, 1, . . . , n - 1}. On construit le p´riodogramme e I (j ) de la fa¸on suivante : c I (j ) = |d (j )| 2n

2

Sous certaines conditions47 , on montre que :

n

lim I () = fx ()

Cet estimateur a cependant une variance tr`s importante. C'est pourquoi e on pr´f`re utiliser dans la pratique un p´riodogramme liss´. Celui-ci est ee e e d´fini par : e

s=m

I (j ) =

s=-m

wm (s) I (j )

avec wm (s) une fen^tre de lissage et m la largeur de la fen^tre. La fonction e e wm (s) est ´gale ` W (s/m) avec W (u) une fonction normalis´e. Voici les e a e fonctions de lissage les plus utilis´es : e W (u) = 1 - |u| W (u) = 1 - 6 |u| + 6 |u|

3 2 3

(Bartlett) · 1 |u| < 1 2 1 2 + (Parzen) (Tukey) (Rectangular) (Daniell)

-1

2 (1 - |u|) · 1 |u| W (u) = 1

W (u) = 1 - 2a + 2a cos (u) W (u) = (u)

-1

sin (u)

-3

W (u) = 3 (u)

sin (u) - (u)

cos (u)

(Priestley)

Sur le graphique 28, nous consid´rons un processus AR(1) avec = 0,5 e et = 20%. Nous repr´sentons sa densit´ spectrale fx (), puis nous e e

46 En 47 En

anglais, cette fonction est appel´e dft ou discrete fourier transform. e particulier, le processus doit ^tre stationnaire. e

406

Les outils ´conom´triques e e

simulons ce processus pour n ´gal ` 1 000 observations. Nous calculons e a ensuite le p´riodogramme I (). Nous remarquons que I () est fortement e bruit´. Nous estimons ensuite la densit´ spectrale en utilisant la teche e nique de lissage. Nous calculons ainsi I (j ) en consid´rant la fen^tre e e de Tukey avec a = 0,25 et m = 50. Nous obtenons un estimateur beaucoup moins bruit´. Afin de voir l'impact du lissage, nous construisons e la fonction d'autocorr´lation associ´e. Pour cela, il suffit d'appliquer la e e transform´e de Fourier discr`te inverse ` I (j ) et I (j ) pour estimer la e e a fonction d'autocovariance : (k) = ^ et de normaliser : (k) = ^ 1 n

n

I (j ) eij k

j=1

(k) ^ (1) ^

Dans le cas d'un processus AR(1), la fonction d'autocorr´lation th´orique e e (k) est ´gale ` k . Sur le graphique 29, nous repr´sentons cette fonction e a e ainsi que la fonction d'autocorr´lation empirique. Nous reportons aussi e la fonction (k) estim´e ` partir du p´riodogramme. Nous v´rifions que ^ e a e e celle-ci est exactement ´gale ` la fonction empirique. Nous remarquons e a que ces deux fonctions ne convergent pas vers 0 lorsque le retard k est relativement grand, ce qui n'est pas le cas de celle estim´e ` partir du e a p´riodogramme liss´ avec la fen^tre de Tukey. e e e 6.4.2. La m´thode d'estimation de Whittle e

Whittle (1953) propose une m´thode d'estimation des processus gause siens stationnaires dans le domaine des fr´quences48 . Consid´rons le proe e cessus gaussien x = {xt , t = 1, . . . , n} avec x N (0, ). La fonction de log-vraisemblance du processus x est alors : =- Whittle montre que :

n-1

1 1 n ln 2 - ln || - x -1 x 2 2 2

(5.19)

ln || x -1 x

ln f (j )

j=0 n-1 j=0

I (j ) f (j )

48 P. Whittle, « The Analysis of Multiple Stationary Time Series », Journal of the Royal Statistical Society B, 15(1), 1953, p. 125-139. Y. Pawitan et F. O'Sullivan, « Nonparametric Spectral Density Estimation using Penalized Whittle Likelihood », Journal of the American Statistical Association, 89(426), 1994, p. 600-610.

La mod´lisation des s´ries temporelles e e Graphique 35. Densit´ spectrale de quelques processus ARFIMA e

415

le domaine spectral. Dans le cas du processus ARFIMA avec d > 0, on observe le m^me ph´nom`ne que dans le cas du processus fractionnaire e e e pur, c'est-`-dire que les composantes de tr`s basse fr´quence dominent a e e tr`s largement la densit´ spectrale. Pour 0, nous avons donc : e e ln f () ln 2 - ln 2 - d ln 4 sin2 2

Geweke et Porter-Hudak (1983) utilisent ce r´sultat et proposent d'estimer e d par la r´gression lin´aire suivante52 : e e ln I (j ) = c - d ln 4 sin2 j 2 + uj

avec min . La d´termination de l'intervalle ]0, min ] a donn´ lieu ` une e e a abondante litt´rature sur le sujet53 . En g´n´ral, min est fix´ ` 2 T o` e e e ea u T est la longueur de l'historique utilis´ pour estimer le p´riodogramme. e e

52 J. Geweke et S. Porter-Hudak, « The Estimation and Application of Long Memory Time Series Models », Journal of Time Series Analysis, 4(4), 1983, p. 221-238. 53 C.M. Hurvich et K.I. Beltrao, « Automatic Semiparametric Estimation of the Memory Parameter of a Long-Memory Time Series », Journal of Time Series, 15(3), 1994, p. 285-302. R.T. Baillie, « Long Memory Processes and Fractional Integration in Econometrics », Journal of Econometrics, 73(1), 1996, p. 5-59.

416

Les outils ´conom´triques e e

Relation avec l'exposant de Hurst Notons H l'exposant de Hurst. Soit c une constante. Il existe plusieurs fa¸ons de caract´riser H. c e 1. La distribution du processus y ` la date ct est ´gale ` celle du proa e a cessus y ` la date t multipli´e par cH : a e yct = cH yt On dit dans ce cas que le processus est auto-similaire (self-similar ). 2. Si on consid`re la distribution asymptotique de k , on v´rifie que : e e k ck 2H-2 3. Du point de vue de la repr´sentation spectrale, on obtient : e f () c ||

-2H-1 d

4. Nous pouvons aussi d´finir l'exposant de Hurst par rapport au pae ram`tre fractionnaire puisque nous avons : e H =d+ 1 2

Pour estimer ce param`tre, on utilise g´n´ralement la statistique R/S e e e (ou rescaled range). Soit ST l'´cart-type empirique de {y1 , . . . , yT } et RT e la statistique d´finie par54 : e

t t

RT = max

t i=1

(yi - y ) - min ¯

t

i=1

(yi - y ) ¯

La statistique R/S que l'on note Q est donc ´gale ` : e a QT = RT ST

On montre que QT cT H pour T . On peut donc estimer le coefficient H en consid´rant la r´gression lin´aire suivante : e e e ln Qt = a + H ln t + ut Remarque 48. Notons que l'on peut tester l'hypoth`se H = 0 en utie lisant la statistique Vt = Qt / t dont les valeurs critiques sont donn´es e dans le tableau 2 de Lo (1991). Par exemple, au seuil de confiance de 95%, les valeurs critiques sont 0,809 et 1,862.

54 A.W. Lo, « Long-Term Memory in Stock Market Prices », Econometrica, 59(5), 1991, p. 1279-1313.

La mod´lisation des s´ries temporelles e e

417

Consid´rons le rendement journalier du S&P 500 et la variation joure nali`re du VIX de janvier 1990 ` d´cembre 2009. Sur le graphique 36, nous e a e reportons la relation estim´e ln Qt = a + H ln t pour ces deux s´ries. Nous e ^ ^ e ^ ^ obtenons H = 0,60 pour l'indice S&P 500 et H = 0,32 pour l'indice VIX. En utilisant la statistique Vt , nous ne refusons pas l'hypoth`se H = 0,50 e pour l'indice S&P 500 au seuil de confiance de 95%. Pour l'indice VIX, celle-ci est refus´e. Si nous calculons le param`tre fractionnaire implicite, e e ^ ^ nous obtenons donc d = 0,10 pour l'indice S&P 500 et d = -0,18 pour l'indice VIX55 . Ce dernier pr´sente donc un caract`re mean reverting. e e

Graphique 36. Analyse R/S des indices S&P 500 et VIX

6.6.3.

La d´tection et l'identification des cycles e

Soit c la fr´quence du cycle. Nous avons vu que f (c ) doit ^tre beaue e coup plus ´lev´e que f () pour = c . En 1929, Fisher consid`re alors e e e la statistique g suivante56 : g=

q j=1

I (c ) I (j )

55 L'estimation directe du param`tre fractionnaire par maximum de vraisemblance e ^ ^ dans le domaine des fr´quences donne respectivement d = -0,05 et d = -0,15. e 56 voir Priestley (1994).

418

Les outils ´conom´triques e e

avec q = [n/2]. Sous l'hypoth`se que le processus poss`de bien un cycle e e de fr´quence c , alors Fisher montre que la distribution de g est : e

q

Pr {g a} = 1 -

(-1)

j=1

j

q q-1 (1 - jx)+ j

Si cette probabilit´ est plus petite que le niveau , alors on rejette l'hye poth`se d'absence de cycle. Dans la pratique, la fr´quence c n'est pas e e connue, on choisira donc la fr´quence correspondant ` la plus grande vae a leur du p´riodogramme : e c = : I () = max I (j )

1jq

Dans le cas o` le nombre d'observations n est grand, Priestley (1994) a u montr´ que la statistique g = 2ng a pour distribution Pr {g a} = e ne-a/2 . Nous consid´rons l'exemple du nombre annuel de peaux de lynx r´colt´es e e e au Canada entre 1820 et 194057 . Nous repr´sentons sur le graphique 37 e la s´rie temporelle xt = log (yt ) avec yt le nombre de peaux. Si nous e calculons le p´riodogramme de xt , nous observons un pic ` la fr´quence e a e c = 0,6614. Le test de Fisher prend la valeur g = 0,59674, ce qui donne une p-value proche de 0. La pr´sence d'un cycle est donc confirm´e et la e e p´riode du cycle est ´gale ` p = 2/c soit 9,5 ann´es. Sur le graphique e e a e 37, nous avons repr´sent´ ce cycle (quasi d´cennal) ct ainsi que la partie e e e r´siduelle xt - ct . Finalement, nous obtenons : e xt = = ct + t 2,90 + 0,607 × sin 2 t - 1,13 + t p

6.6.4.

L'extraction de composantes fr´quentielles d´termin´es e e e

Dans le paragraphe pr´c´dent, nous avons volontairement omis d'explie e quer comment nous avions calcul´ la composante ct . Nous rappelons que e la transform´e de Fourier du logarithme du nombre de peaux de lynx xt e est :

n

d (j ) =

t=1

xt e-ij t

La transform´e inverse est donn´e par : e e xt = 1 n

n

d (j ) eij t

j=1

57 H.

Tong, Non-Linear Time Series, Oxford University Press, 1993.

La mod´lisation des s´ries temporelles e e Graphique 37. D´tection du cycle des peaux de lynx e

419

Si nous d´finissons dc () de la fa¸on suivante : e c dc () = d (c ) si = c ou = 2 - c 0 sinon

alors la composante cyclique est ´gale ` : e a ct = x + ¯ 1 n

n

dc (j ) eij t

j=1

Nous avons donc estimer la composante cyclique en consid´rant la transe form´e de Fourier inverse des coefficients de Fourier correspondant au e cycle de fr´quence c . e La m´thode pr´c´dente se g´n´ralise facilement. Consid´rons une pare e e e e e tition de = {1 , . . . , n } :

m

=

k=1

k

avec k k = et construisons la composante xk en prenant la transt form´e de Fourier inverse des coefficients dk () d´finis par : e e dk () = d () si k 0 sinon

420

Les outils ´conom´triques e e

Alors nous avons r´ussi ` d´composer le signal xt en m sous-signaux : e a e

m

xt =

k=1

xk t

Si un processus est compos´ de plusieurs cycles de fr´quences diff´rentes, e e e il est alors tr`s facile de reconstruire ces cycles par l'analyse spectrale. e Cette m´thode permet donc d'extraire des composantes fr´quentielles e e d´termin´es. Elle est li´e au th´or`me suivant. e e e e e Th´or`me 2. Soit la s´rie temporelle {xt , t = 1, . . . , n} et d (j ) la transe e e form´e de Fourier avec j = 2j/n. On passe de la repr´sentation teme e porelle ` la repr´sentation fr´quentielle de la fa¸on suivante : a e e c d (j ) = xt = n-1

n t=1 n -ij t t=1 xt e n ij t j=1 d (j ) e

Et nous avons l'identit´ suivante concernant la r´partition ´nerg´tique : e e e e

n

|xt | = n-1

2

j=1

|d (j )|

2

Ce r´sultat est connu sous le nom de d´composition de Parseval. e e Consid´rons une s´rie temporelle xt = ct + ut compos´e d'une compoe e e sante cyclique de long terme et d'une composante r´siduelle. La compoe sante de long terme est la somme de trois cycles ci ´l´mentaires dont les t ee p´riodes sont sup´rieures ` 5 ans. La composante r´siduelle est la somme e e a e de 5 cycles de tr`s court terme (inf´rieurs ` 1 an) et d'un bruit gause e a sien. Nous repr´sentons xt ainsi que les composantes ci , ct et ut sur le e t graphique 38 pour les 2 500 dates. Nous consid´rons le signal reconstruit e avec seulement les m fr´quences les plus significatives. Nous avons donc : e

n

xm = n-1 t

j=1

dm (j ) eij t

avec dm (j ) = 0 pour les 2 500 fr´quences ` l'exception des m fr´quences e a e qui pr´sentent les coefficients |d (j )| les plus ´lev´s. Le graphique 39 e e e pr´sente le signal reconstruit xm pour diff´rentes valeurs de m. On voit e e t donc que nous captons une grande partie de la dynamique de xt avec peu de coefficients. Une autre fa¸on d'illustrer ceci est d'utiliser le th´or`me c e e de Parseval. Nous avons : m =

n m 2 t=1 |xt | n 2 t=1 |xt |

=

n-1

avec dk:n la k-i`me statistique d'ordre parmi n de d (j ). Si nous consid´e e rons les r´sultats du tableau 7, nous voyons que nous expliquons 35% de la e variance avec seulement une fr´quence, 70% de la variance avec seulement e deux fr´quences, etc. Avec 50 fr´quences sur 2 500 (soit seulement 2%), e e nous arrivons ` expliquer plus de 96% de la variance. a

n 2 k=n-m+1 |dk:n | n 2 t=1 |xt |

432

Les outils ´conom´triques e e Graphique 45. Le filtrage par la m´thode des seuils e

signaux (voir le graphique 46). Le premier signal correspond ` la sousa bande W 9 , le deuxi`me signal est la somme des 2 sous-bandes suivantes, e etc. Le quatri`me signal est celui d´fini par les coefficients d'ondelettes e e c(0) , d(0) , d(1) et d(2) . La somme des 4 signaux correspond bien au signal d'origine. 7.3.2. Le d´bruitage e

On utilise g´n´ralement la m´thode des seuils pour ´liminer le bruit e e e e ~ d'un signal. Soient W = {wn } et W = {wn } les vecteurs des coefficients ~ d'ondelettes du signal avant et apr`s le d´bruitage. Les diff´rentes teche e e niques66 de shrinkage sont : ­ Hard shrinkage Soit w+ un scalaire. Nous avons : wn = wn · 1 |wn | > w+ ~

66 D.L. Donoho et I.M. Johnstone, « Ideal Spatial Adaptation via Wavelet Shrinkage », Biometrika, 81(3), 1994, p. 425-455. D.L. Donoho et I.M. Johnstone, « Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage », Journal of the American Statistical Association, 90(432), 1995, p. 12001224.

La mod´lisation des s´ries temporelles e e Graphique 46. Le codage en sous-bandes

433

­ Soft shrinkage Dans cette m´thode, les coefficients wn sont d´finis par : e ~ e wn = sgn (wn ) · |wn | - w+ ~

+

En pratique, les coefficients wn sont r´duits (en divisant par l'´cart-type) e e avant d'^tre transform´s. e e Consid´rons le processus xt d´fini par : e e xt = sin (t) + sin (2t) Nous construisons le processus bruit´ yt de la fa¸on suivante : e c yt = xt + et

­ Quantile shrinkage Cette m´thode correspond ` la m´thode Hard shrinkage avec w+ le e a e p-i`me quantile des coefficients |wn |. e ­ Semi-soft shrinkage Soient w1 et w2 deux scalaires tels que w1 < w2 . Nous avons : si |wn | w1 0 -1 wn = ~ sgn (wn ) (w2 - w1 ) w2 (|wn | - w1 ) si w1 < |wn | w2 wn si |wn | > w2

434

Les outils ´conom´triques e e

avec et N 0, 0,42 . Sur le graphique 48, nous repr´sentons yt ainsi e que le processus d´bruit´ avec les m´thodes Hard shrinkage et Soft shrine e e ` kage. A titre d'information, nous reportons aussi les coefficients wn utilis´s ~ e par ces m´thodes et nous les comparons aux coefficients wn sur le grae phique 47. Donoho et Johnson (1994) sugg`rent d'appliquer les m´thodes e e de d´bruitage sur les coefficients des premi`res sous-bandes (et non sur e e l'ensemble des coefficients d'ondelettes) en consid´rant w+ = 2 ln nj e ` avec nj le nombre de coefficients de la j-i`me sous-bande. A titre d'illuse tration, nous reproduisons l'exemple de Donoho et Johnson (1994) sur le graphique 49.

Graphique 47. Coefficients d'ondelettes utilis´s pour le d´bruitage e e

7.3.3.

Les processus de m´moire longue e

Une des applications les plus c´l`bres des ondelettes est l'estimation et la ee d´tection des processus de m´moire longue. Dans un article de 1992, Wore e nell et Oppenheim montrent que les ondelettes sont parfaitement adapt´es e d a ` ce probl`me67 . Consid´rons un processus yt d´fini par (1 - L) yt = t e e e

67 G.W. Wornell et A. Oppenheim, « Estimation of Fractal Signals from Noisy Measurements using Wavelets », IEEE Transactions on Signal Processing, 40(3), 1992, p. 611-623.

Les strat´gies quantitatives e

451

avec µ et la tendance et la volatilit´ r´alis´e. Nous pouvons mon^ ^ e e e trer que Ct est une fonction croissante puis d´croissante du multie plicateur. 3. La valeur du coussin est n´gativement corr´l´e ` la volatilit´ r´alis´e. e ee a e e e Supposons que : dSt = µSt dt + (t) St dWt Nous pouvons montrer que : Ct = C0 St S0

m

exp - (m - 1) rt -

1 m2 - m 2

t

2 () d

0

Comme m > 1, Ct est une fonction d´croissante de la volatilit´ e e t r´alis´e 0 2 () d. e e Le graphique 4 illustre ces diff´rentes propri´t´s. e ee

Graphique 4. Valeur de CT en fonction de ST , et T

1.1.4.

Optimalit´ de la gestion CPPI e

On consid`re le cas d'un multiplicateur qui varie dans le temps. Nous e avons : dC (t) = (m (t) (µ - r) + r) C (t) dt + m (t) C (t) dW (t)

452

La gestion quantitative

Posons e (t) = m (t) C (t) la quantit´ investie ` la date t. En reprenant e a le cadre d'analyse du chapitre 2, nous en d´duisons que l'´quation HJB e e devient : J 2 J 1 J (t, c) + max (e (µ - r) + rc) (t, c) + e2 2 2 (t, c) = 0 eR t c 2 c avec la contrainte c > 0. Nous obtenons finalement : e = - (µ - r) c J (t, c) 2 2 c J (t, c)

En utilisant le m^me raisonnement que celui men´ dans le mod`le de e e e Merton au chapitre 2, nous pouvons montrer que m (t) est constant dans le cas d'une fonction d'utilit´ HARA5 : e U (x) = (x - g)

Nous en d´duisons alors que la gestion CPPI est optimale lorsque l'ine vestisseur adopte un programme de maximisation d'utilit´ HARA. Nous e rappelons que, dans le cas d'une fonction d'utilit´ CRRA, c'est la strat´gie e e constant mix qui est optimale. Remarque 53. L'´quation HJB pr´c´dente reste valide si on introduit e e e des contraintes suppl´mentaires, par exemple une exposition maximale e (Black et Perold, 1992). Dans le cas d'une garantie am´ricaine, l'approche e par martingale est privil´gi´e6 . e e 1.1.5. La m´thode CPPI en pratique e

L'analyse pr´c´dente suppose que la trajectoire du sous-jacent est contie e nue. Dans ces conditions, nous avons Pr {Ct < 0} = 0. Nous sommes donc dans une situation d'assurance parfaite. Reprenons notre exemple et simulons une trajectoire du processus. Sur le graphique 5, nous repr´sentons e la trajectoire St ainsi que la valeur du coussin Ct , l'exposition et et la valeur de la strat´gie CPPI Vt pour m = 5. Supposons que l'on utilise e un multiplicateur plus ´lev´, par exemple m = 7. Dans ce cas, nous obe e tenons les r´sultats du graphique 6. Nous remarquons que lorsque t est e ´gal ` 3 ans, la valeur du coussin est tr`s faible. L'exposition est quasi e a e nulle. N´anmoins, nous arrivons ` partir de la quatri`me ann´e ` nous e a e e a r´exposer ` l'actif sans risque de fa¸on significative gr^ce ` la forte hausse e a c a a de St . Malheureusement cette situation n'est pas r´aliste, car elle suppose e

5 F. Black et A. Perold, « Theory of Constant Proportion Portfolio Insurance », Journal of Economic Dynamic and Control, 16(3-4), 1992, p. 403-426. 6 N. El Karoui, M. Jeanblanc et V. Lacoste, « Optimal Portfolio Management with American Capital Guarantee », Journal of Economic Dynamics and Control, 29(3), 2005, p. 449-468.

Les strat´gies quantitatives e

453

Graphique 5. Simulation de la strat´gie CPPI (m = 5) e

Graphique 6. Simulation de la strat´gie CPPI (m = 7) e

454

La gestion quantitative

une gestion parfaitement continue (le g´rant r´agit instantan´ment aux e e e fluctuations du march´) et une absence de sauts. Dans la pratique, nous e aurions s^rement mon´taris´ le fonds la troisi`me ann´e, car il y a un trop u e e e e grand risque de ne pas se r´ajuster ` temps. Afin de se rapprocher de la e a r´alit´, nous consid´rerons le mod`le pr´c´dent en temps discret. e e e e e e En temps discret, lorsqu'on consid`re une p´riode de rebalancement dt, e e la valeur du portefeuille ´volue de la mani`re suivante : e e Vt+dt - Vt = (Vt - et ) Bt+dt - Bt St+dt - St + et Bt St

avec Bt+dt = (1 + r dt) Bt et Ft+dt = (1 + r dt) Ft . On se donne aussi les valeurs initiales pour les param`tres V0 , B0 et S0 . Le g´rant garantit un e e -T / dt capital G ` maturit´ T . Nous avons donc : F0 = G (1 + r dt) a e . Reprenons notre exemple avec un niveau de garantie ´gal ` 95 afin de e a bien comprendre l'influence des diff´rents param`tres m, et dt. Nous supe e posons que l'actif risqu´ ´volue selon un mouvement brownien g´om´triee e e que7 . Nous simulons un ensemble de trajectoires. Pour chaque trajectoire simul´e, nous appliquons la strat´gie du coussin en temps discret e e pour rebalancer le portefeuille entre l'actif risqu´ et l'actif sans risque. e Avec la m´thode Monte-Carlo, nous pouvons alors calculer la probabilit´ e e Pr {CT < 0} d'avoir un coussin n´gatif avant la maturit´. Nous pouvons e e aussi ´valuer le co^t de la garantie comme l'esp´rance des coussins n´gatifs e u e e a ` maturit´ T , c'est-`-dire E [ CT | CT < 0]. Cette quantit´ (exprim´e en % e a e e de l'investissement initial) est appel´e le risque de gap (gap risk ). Les e graphiques 7 et 8 repr´sentent l'´volution de ces quantit´s en fonction des e e e param`tres m, et dt. Les valeurs par d´faut de m et sont ´gales ` 5 e e e a et 20%. Pour le graphique 7, nous utilisons une p´riode de rebalancement e de 30 jours calendaires. Nous v´rifions que la probabilit´ et le co^t de la e e u garantie sont des fonctions croissantes de m, et dt. Dans la pratique, nous devons choisir un multiplicateur optimal qui permet de maximiser l'utilit´ de l'investisseur. Dans le cas d'une fonction e d'utilit´ lin´aire, nous avons : e e m = arg max E [Ct ] Nous obtenons : E [Ct ] 1 1 r + m (µ - r) - m2 2 t + m2 2 t 2 2 = exp ((r + m (µ - r)) t) = exp

Le multiplicateur optimal m est donc +. Cette solution n'est pas acceptable, car elle permet de gagner beaucoup avec une probabilit´ tr`s e e

7 Afin

d'´liminer l'effet tendance, nous posons µ = 0. e

Les strat´gies quantitatives e

455

Graphique 7. Influence du param`tre (dt = 30 jours) e

Graphique 8. Influence de la p´riode de rebalancement dt e

456

La gestion quantitative

faible. Si on utilise une fonction d'utilit´ logarithmique, cela revient ` e a maximiser l'esp´rance de rendement de Vt ou encore : e m = arg max E ln Nous avons : E ln Ct = C0 1 r + m (µ - r) - m2 2 t 2 Ct C0

La condition de premier ordre s'´crit : e Ct = (µ - r) t - m 2 t = 0 E ln m C0 Nous en d´duisons que le multiplicateur optimal est : e m = (µ - r) 2

Ce multiplicateur optimal est donc le ratio de Sharpe de l'actif sans risque divis´ par la volatilit´. Pour tenir compte de la fr´quence de rebalancee e e ment, nous constatons que : Vt+dt = Vt + (Vt - et ) rt,t+dt + et Rt,t+dt o` rt,t+dt et Rt,t+dt sont les rendements sans risque et risqu´ entre t et u e t + dt. Nous en d´duisons que : e Ct+dt = Ct (1 + (1 - m) rt,t+dt + mRt,t+dt ) Nous devons v´rifier que le coussin est positif ` tout instant : e a Ct+dt > 0 1 + (1 - m) rt,t+dt + mRt,t+dt > 0 1 Rt,t+dt > - (1 + (1 - m) rt,t+dt ) m

-1 En pratique rt,t+dt 0, et donc Rt,t+dt > -m-1 et m < -Rt,t+dt . Comme ceci doit ^tre v´rifi´ ` tout instant, le multiplicateur doit ^tre e e e a e inf´rieur ` l'inverse du drawdown d de fr´quence dt : e a e

m<

1 d

Le multiplicateur m+ = d-1 est appel´ le multiplicateur maximum8 . Au e del` de ce multiplicateur, il y a un risque d'avoir un coussin n´gatif, et a e donc d'^tre appel´ en garantie. Sur le tableau 2, nous reportons les valeurs e e

8 P. Bertrand et J.L. Prigent, « Portfolio Insurance: The Extreme Value Approach to the CPPI Method », Finance, 23(2), 2002, p. 68-86.

Les strat´gies quantitatives e

457

prises par m et m+ pour diff´rentes valeurs de et d. Supposons que le e ratio de Sharpe soit ´gal ` 0,25, alors le multiplicateur optimal est ´gal e a e a ` 5 si = 5%. Si le ratio de Sharpe est ´gal ` 1, celui-ci est ´gal ` 20 ! e a e a Consid´rons un sous-jacent de type actions d´velopp´es, ce qui correspond e e e a ` une volatilit´ de long terme de l'ordre de 20%. Dans ce cas, m = 1,25 e si sh = 0,25 et m = 5 si sh = 1. Pour cette classe d'actifs, nous avons des drawdowns journaliers de l'odre de 10%, ce qui donne un multiplicateur maximum ´gal ` 10. Consid´rons maintenant un sous-jacent de type hedge e a e funds. Pour une volatilit´ ´gale ` 10% et un ratio de Sharpe ´gal ` 1, le ee a e a multiplicateur optimal est ´gal ` 10. N´anmoins, comme la liquidit´ de ce e a e e fonds est mensuelle et qu'il existe des risques extr^mes, nous consid´rons e e que le drawdown est ´gal ` 20%, ce qui donne m+ = 5. Dans ce dernier e a exemple, nous sommes donc oblig´s d'utiliser un multiplicateur plus petit e que celui optimal du fait du risque de gap.

Tableau 2. Calcul des multiplicateurs m et m+

sh = 0,25 sh = 1,00

m m d m+

5% 5 20 2% 50

10% 2 10 5% 20

15% 1,67 6,67 10% 10

20% 1,25 5 20% 5

30% 0,83 3,33 30% 3,33

50% 0,5 2 50% 2

1.2.

L'approche coeur-satellite

Amenc et al. (2004) proposent d'utiliser la m´thode CPPI pour construie re des strat´gies coeur-satellite9 . Notons Bt , Xt et St les processus qui e d´crivent l'actif sans risque, le coeur et le sous-jacent du satellite. Nous e supposons que : dBt = rBt dt dXt = µX Xt dt + X Xt dWtX dSt = µS St dt + S St dWtS avec E WtX WtS = t. Nous investissons une proportion de la richesse initiale dans le coeur et le reste dans une strat´gie CPPI portant sur l'actif e St . Nous avons donc : Ct Xt + (1 - ) V0 Vt = V0 X0 C0

La valeur initiale du coussin est C0 = (1 - ) V0 . Par d´finition, nous e avons : Xt Vt V0 X0

9 N. Amenc, P. Malaise et L. Martellini, « Revisiting core-satellite investing », Journal of Portfolio Management, 31(1), 2004, p. 64-75.

458

La gestion quantitative

Cette garantie est tr`s diff´rente de celle donn´e en assurance de portee e e feuille, puisqu'elle est relative ` la valeur du coeur. Consid´rons un CPPI a e classique. Nous avons : dCt = mCt Nous en d´duisons que : e 1 2 m2 - m S t 2 (6.1) Amenc et al. (2004) proposent de financer le levier ` partir du coeur et non a a ` partir de l'actif sans risque. Dans cette version du CPPI Long/Short, nous avons : Vt = V0 Xt +(1 - ) V0 X0 exp - (m - 1) r +

LS dCt

dSt - (m - 1) rCt dt St

St S0

m

=

dSt LS dXt - (m - 1) Ct St Xt LS LS = (mµS - (m - 1) µX ) Ct dt + mS Ct dWtS -

LS mCt LS (m - 1) X Ct dWtX

Nous en d´duisons que : e

LS LS Ct = C0 exp µt + mS WtS - (m - 1) X WtX

avec : 1 1 2 2 2 µ = mµS - (m - 1) µX - m2 S - (m - 1) X + m (m - 1) S X 2 2 Nous obtenons finalement : VtLS = V0 avec : =

2 2 S + X - 2S X m 1-m

Xt + (1 - ) V0 X0

St S0

Xt X0

exp -

1 m2 - m 2 t 2 (6.2)

Si nous comparons les ´quations (6.1) et (6.2), nous remarquons des effets e diff´rents . e 1. Dans le cas du CPPI classique, le coussin ne d´pend pas de la pere formance du coeur. Pour le CPPI Long/Short, la valeur du coussin est n´gativement corr´l´e ` la performance du coeur. Il y a donc un e ee a effet amortisseur sur la valeur de VtLS . 2. La corr´lation influence la valeur de Vt dans le cas du CPPI ` e a travers la dynamique jointe de (Xt , St ) mais n'a aucun effet sur le coussin. Ce n'est pas vrai pour le CPPI Long/Short. Les co^ts u de gamma sont d'autant plus importants que est ´lev´. Il est e e donc pr´f´rable d'utiliser le CPPI Long/Short lorsque le satellite ee est positivement corr´l´ au coeur. ee

480

La gestion quantitative

Graphique 28. Comparaison des indices BXM et BXY avec l'indice S&P 500

est respectivement de 9,0% et 9,5% alors qu'elle est seulement de 8,1% pour le S&P 500. De plus, la volatilit´ de ces indices est beaucoup plus e faible. Elle vaut respectivement 13,2% et 15,0%, alors qu'elle est ´gale ` e a 18,9% pour le benchmark. Ces indices Covered Call pr´sentent donc des e ratios de Sharpe long terme bien sup´rieurs ` celui du S&P 500, ce qui e a en fait de bons candidats pour une allocation strat´gique (surtout l'indice e BXM).

2.3.2.

La strat´gie Bull Spread e

Description de la strat´gie e Nous notons C (Kc ) le prix de l'option d'achat de prix d'exercice Kc . P (Kp ) est le prix de l'option de vente de prix d'exercice Kp . La strat´gie e Bull Spread est compos´e de trois positions : e 1. une position longue dans l'actif risqu´ St ; e 2. une position courte sur l'option d'achat C (Kc ) ; 3. et une position longue sur l'option de vente P (Kp ) avec Kp < Kc .

Les strat´gies quantitatives e

481

Nous consid´rons une p´riode avec deux dates 0 et T . Le PnL de cette e e strat´gie est : e PnL = (ST - S0 ) +

C (Kc ) - max (0, ST - Kc ) + max (0, Kp - ST ) - P (Kp ) Nous obtenons trois cas : (Kp - S0 ) + C (Kc ) - P (Kp ) si (ST - S0 ) + C (Kc ) - P (Kp ) si PnL = (Kc - S0 ) + C (Kc ) - P (Kp ) si S T Kp Kp < S T < Kc S T Kc

Nous repr´sentons la fonction PnL17 sur le graphique 29. Notons aussi que e les fonctions de distribution des strat´gies long only et Bull Spread sont e difficilement comparables, puisque les payoffs sont tr`s diff´rents (voir le e e graphique 30).

Graphique 29. Payoff de la strat´gie Bull Spread e

17 Nous supposons que S = 100. Les prix d'exercice des options sont respectivement 0 Kc = 103 et Kp = 93. La maturit´ T des options est fix´e ` un an. Nous consid´rons e e a e une volatilit´ implicite ´gale ` 30%. Nous supposons aussi que le taux de dividende e e a et le taux sans risque sont nuls.

482

La gestion quantitative Graphique 30. Fonction de distribution du PnL

Consid´rons le cas particulier lorsque nous finan¸ons compl`tement e c e l'achat de l'option de vente par la vente de l'option d'achat. Cela veut dire que C (Kc ) = P (Kp ). Sachant un prix d'exercice Kc pour le call, nous pouvons trouver un prix d'exercice Kp qui v´rifie C (Kc ) = P (Kp ), e et vice versa. Pour cela, nous devons r´soudre une ´quation lin´aire par e e e la m´thode de Newton-Raphson ou la m´thode de la bi-section. Soient e e CBS (K, , T ) et PBS (K, , T ) les prix du call et du put en fonction des param`tres K, et T . Nous posons Kp = (Kc ) : e Kp = = (Kc ) {K : PBS (K, , T ) = CBS (Kc , , T )}

Sur le graphique 31, nous repr´sentons cette fonction pour l'ensemble e pr´c´dent des param`tres (avec une volatilit´ fix´e ` un mois). Notons e e e e e a que si nous tenons compte du smile, le profil des prix d'exercice est moins favorable ` la strat´gie Bull Spread. Ainsi, le prix d'exercice implicite du a e put est plus petit que celui calcul´ sans l'effet smile. e Rationalit´ de la strat´gie e e Cette strat´gie est tr`s c´l`bre depuis la fraude Madoff18 . En effet, elle e e ee ´tait pr´sent´e comme la principale source de performance des hedge funds e e e

18 P. Clauss, T. Roncalli et G. Weisang, « Risk Management Lessons from Madoff Fraud », in J.J. Choi et M. Papaioannou (eds), Credit, Currency or Derivatives Ins-

Les strat´gies quantitatives e Graphique 31. Prix d'exercice implicite KP = (KC )

483

g´r´s par Bernard Madoff. Depuis, on sait que cette performance ´tait ee e obtenue par un sch´ma de Ponzi. e L'id´e sous-jacente de la strat´gie Bull Spread est d'´liminer partiele e e lement les effets de la queue de distribution de l'actif risqu´. Dans le e paragraphe suivant, nous pr´sentons un backtest avec une maturit´ et des e e prix d'exercice fixes. En r´alit´, ce type de strat´gie est activement g´r´. e e e ee Par exemple, le g´rant peut choisir une maturit´ pour le put beaucoup e e plus lointaine que celle du call afin de minimiser la prime ` payer et l'efa fet du smile. Le g´rant pourra aussi revendre le put si le mark-to-market e de celui-ci est tr`s important, et racheter un put avec un prix d'exercice e beaucoup plus bas que pr´c´demment. De m^me, il pourra racheter le call e e e si le mark-to-market est tr`s faible, et revendre un call avec plus de prime. e On peut aussi imaginer que le g´rant pourra annuler compl`tement sa poe e sition Bull Spread si la valeur mark-to-market de la position globale est fortement positive. Voyons un exemple. Nous supposons que S0 = 100. Les prix d'exercice des options sont respectivement Kc = 105 et Kp = 97. La maturit´ T e des options est fix´e ` 3 mois. Nous consid´rons une volatilit´ implicite e a e e

truments of Global Financial Stability or Crisis ?, International Finance Review, 10, Emerald Group Publishing Limited, 2009.

Les strat´gies quantitatives e

487

Une hausse de la volatilit´ implicite est favorable ` la strat´gie. Disposant e a e d'un mod`le de dynamique de la volatilit´ implicite, il est alors possible e e de construire des signaux d'achat et de vente de straddle. La construction de ces mod`les ´tant relativement difficile, nous pouvons nous contenter e e de mod´liser la dynamique de la volatilit´ historique et consid´rer que e e e celle-ci est un bon proxy de t .

Graphique 34. Sensibilit´s de l'option straddle e

3.1.2.

Application ` l'arbitrage court terme de la volatilit´ de change a e

Dans ce paragraphe, nous mod´lisons la volatilit´ instantan´e des cours e e e de change. Nous construisons ensuite des signaux de volatilit´ qui sont utie lis´s dans une strat´gie d'achat et de vente d'options straddle de maturit´ e e e tr`s courte. e On note t la volatilit´ historique (t ´tant la volatilit´ implicite). Les e e e ` taux d'int´r^t domestique et ´tranger sont respectivement r et r . A la ee e date t, le prix du straddle ATM est ´gal ` Wt . Dans le cas d'une position e a vendeuse, le PnL est ´gal ` : e a PnL = Wt - |ST - S0 |

488

La gestion quantitative

On propose de calculer le signal comme la probabilit´ d'avoir un PnL e positif : SC t = Pr S - (t ) ST S + (t ) = Pr {PnL 0}

avec S ± (t ) = St ± Wt . Si on suppose que les rendements du sous-jacent 2 sont ind´pendants et gaussiens ln (St+1 /St ) N µt , t , on a : e SC t = ln S + (t ) - mt t T - t - ln S - (t ) - mt t T - t

avec mt = ln St +µt (T - t). On suppose g´n´ralement que les rendements e e sont centr´s -- µt est ´gal ` 0 dans ce cas-l`. Si on se place dans le cas d'un e e a a 2 mouvement brownien g´om´trique, on peut aussi choisir µt = r-r -t /2. e e On se fixe ensuite des seuils s+ et s- avec s+ > s- . On vend le straddle si SC t > s+ et on l'ach`te si SC t < s- . Le rationnel de cette strat´gie e e ` est simple. A l'instant t, le march´ anticipe une volatilit´ t du cours e e de change entre t et T . Notre estimation t sugg`re une autre valeur e pour la volatilit´ sur cette m^me p´riode. On peut par exemple utiliser un e e e mod`le GARCH pour estimer cette volatilit´. On voit que l'approximation e e faite par notre mod`le, i.e. assimiler la volatilit´ instantan´e GARCH ` la e e e a volatilit´ historique r´alis´e, ne peut marcher que pour des p´riodes tr`s e e e e e courtes (T -t 0). Comme on ne couvre pas les positions, il est n´cessaire e de ne pas laisser d´river la position trop longtemps ` cause du d´calage e a e du spot. Consid´rons une strat´gie seulement vendeuse de straddle. Posons r = e e r = 5%. Prenons une volatilit´ implicite ´gale ` 10% et une maturit´ e e a e ´gale ` un jour. Nous pouvons alors repr´senter la distribution du PnL e a e pour chaque valeur du score SC t . Sur le graphique 35, nous reportons les quantiles 5% et 95%, la m´diane et la moyenne du PnL normalis´ (c'este e a `-dire le PnL rapport´ ` la valeur de la prime du straddle). Nous simulons ea cette strat´gie de vente de straddle de maturit´ un jour pour la p´riode e e e 1995-2009 en consid´rant 8 devises par rapport au dollar. Ces devises e sont le dollar australien (AUD), le dollar canadien (CAD), l'euro (EUR), la livre sterling (GBP), le yen (JPY), la couronne norv´gienne (NOK), le e dollar n´o-z´landais (NZD) et la couronne su´doise (SEK). Le graphique e e e 36 pr´sente les PnLs journaliers normalis´s en fonction du score SC t , alors e e que le graphique 37 correspond au backtest de la strat´gie consistant ` e a vendre un dollar chaque fois que le score SC t est sup´rieur au seuil s+ . Le e cas s+ = 0 correspond ` une vente syst´matique quel que soit le score. Ce a e type de strat´gie vise ` capter le spread positif entre la volatilit´ implicite e a e et ma volatilit´ r´alis´e constat´e historiquement. On note cependant deux e e e e p´riodes. La p´riode de 1998 ` 2004 est tr`s favorable ` cette strat´gie. e e a e a e Depuis 2004, la rentabilit´ de cette strat´gie est beaucoup plus faible. On e e

Les strat´gies quantitatives e

489

note que fixer un seuil s+ ´gal ` 50% permet d'´liminer certaines positions e a e perdantes, notamment depuis 2004. Remarque 57. Une des difficult´s dans la construction de ces backtests e est la prise en compte des co^ts de frottement. Le backtest pr´c´dent est u e e obtenu avec les valeurs mid des volatilit´s implicites ATM sans int´grer de e e co^ts bid-ask. L'int´gration de ces co^ts pourrait changer compl`tement la u e u e pertinence de la strat´gie. De m^me, le changement de sources de donn´es e e e pourrait affecter les r´sultats du backtest. Il faut donc toujours ^tre prue e dent et modeste avec des backtests de strat´gie optionnelle. Nous abordee rons ce probl`me plus en d´tail dans le dernier chapitre. e e

Graphique 35. Relation th´orique entre la valeur du score et le PnL e

3.2.

Les swaps de variance

Un swap de variance est un contrat financier qui permet de s'exposer ` a la variance r´alis´e future. En quelques ann´es, c'est devenu un instrument e e e indispensable pour la construction de strat´gies de volatilit´. e e

Les strat´gies quantitatives e Graphique 38. PnL du swap de variance

493

position sur le rendement journalier : PnL (t - 1, t) 0

252 St St-1 e K/(100 ) - K/(100 252) St St-1 e

Le PnL journalier est positif si la valeur absolue du rendement journalier exc`de une certaine quantit´ de volatilit´ implicite. Nous repr´sentons sur e e e e le graphique 39(b) le c^ne au-del` duquel le PnL journalier est positif. Par o a exemple, si le prix d'exercice est ´gal ` 25 et la valeur du sous-jacent est e a ´gale ` 100, le PnL journalier est positif si le rendement est sup´rieur ` e a e a 1,62% ou inf´rieur ` -1,60%. Consid´rons maintenant le cas o` les rendee a e u ments sont nuls ` l'exception d'une journ´e de trading o` nous observons a e u une forte variation du sous-jacent. Notons R+ et n le nombre de journ´es e de trading couvertes par cette variation R+ . Nous obtenons : n

2 1002 × 252 × R+ 2 K

La statistique n est reproduite sur le graphique 39(c). Par exemple, si nous consid´rons un swap de variance de prix d'exercice 25%, alors une e seule variation journali`re de ±10% permet d'avoir un PnL positif si la e maturit´ du contrat est inf´rieure ` 41 jours de trading. nouvelle e e a Une ´criture de la condition pr´c´dente est R+ nK/ 100 × 252 . Cette e e e fonction correspond ` celle donn´e par le graphique 39(d). Elle indique a e

494

La gestion quantitative

pour chaque maturit´ la variation journali`re qui permet d'^tre s^ r que e e e u le PnL est positif sur toute la p´riode. Par exemple, si on observe un e rendement de ±10% sur une seule journ´e, on est s^r que le PnL d'un e u swap de variance de maturit´ 3 mois et de prix d'exercice 15% est positif. e

Graphique 39. Comportement du swap de variance

3.2.2.

Valorisation du swap de variance

Consid´rons une option d'achat de maturit´ T . Nous rappelons que les e e expressions du v´ga et du gamma sont : e = C = e(b-r)T (d1 ) S0 T 1 2 C = e(b-r)T (d1 ) S2 S0 T

=

Nous en d´duisons que la sensibilit´ V de l'option ` la variance est : e e a V = = = 2 C 2 1 C 2 1 T S2 2 0

Les strat´gies quantitatives e

495

Rappelons que la formule de robustesse de Black-Scholes pr´sent´e ` la e e a page 651 montre que le PnL d'une position optionnelle couverte en delta est sensible ` la volatilit´ r´alis´e. Nous avons : a e e e PnL = e-rT

0 T

1 (t) 2 (T, K) - 2 (t) S 2 (t) dt 2 V (t) 2 (T, K) - 2 (t) dt T -t

= e-rT

0

T

Si la position optionnelle est un call, le PnL est aussi sensible ` la position a du sous-jacent. L'id´e de Demeterfi et al. (1999) est de construire un pore tefeuille d'options d'achat qui est beaucoup moins sensible ` la variation a du sous-jacent, c'est-`-dire qui pr´sente une sensibilit´ V (t) constante22 . a e e Soient Vj (t) et V (t) les sensibilit´s de la j-i`me option et du portefeuille. e e En notant wj (t) le poids de la j-i`me option dans le portefeuille, nous e obtenons :

m

V (t) =

j=1

wj (t) Vj (t)

Sur le graphique 40, nous repr´sentons la sensibilit´ V (t) du portefeuille e e d'options pour diff´rentes valeurs de m lorsque les poids sont proportione nels ` 1/K 2 . Nous remarquons que lorsque m , nous avons : a V (t) =

0

1 2 C (K) =c K 2 2

Une exposition ` la variance revient donc ` d´tenir un portefeuille d'opa a e tions avec tous les prix d'exercice pond´r´es en 1/K 2 . Ce principe est la ee base de la valorisation et de la r´plication statique du swap de variance. e Nous consid´rons un swap de variance de maturit´ T dont le payoff e e N × (V - Kvar ) d´pend de la diff´rence entre la variance r´alis´e V et e e e e le prix d'exercice Kvar . Nous supposons que la dynamique du sous-jacent est : dS (t) = µ (t) dt + (t) dW (t) La variance r´alis´e est d´finie par : e e e V = 1 T

T

2 (t) dt

0

Le swap de variance a un prix nul si : Kvar = E [V ] = 1 E T

T

2 (t) dt

0

22 K. Demeterfi, E. Derman, M. Kamal et J. Zou, « More Than You Ever Wanted To Know About Volatility Swaps », Quantitative Strategies Research Notes, Goldman Sachs, 1999.

496

La gestion quantitative Graphique 40. Sensibilit´ V du portefeuille d'options et des calls e

Dans le cas d'un mouvement brownien g´om´trique, nous avons aussi : e e Kvar = 2 E T

T 0

S (T ) dS (t) - ln S (t) S (0)

Demeterfi et al. (1999) montrent alors que23 : Kvar = 2 T 2 T

F0

erT

0

1 P (K) dK + K2 S0 rT e -1 F0

F0

1 C (K) dK K2

+ (6.5)

rT - ln

F0 - S0

o` F0 est le prix forward du sous-jacent, C (K) et P (K) sont les prix des u calls et puts de prix d'exercice K et de maturit´ T . e Remarque 59. L'´quation (6.5) est tr`s importante car elle indique qu'il e e est possible de r´pliquer un swap de variance avec un ensemble de calls e et puts. Comme nous l'avons vu pr´c´demment, cette r´plication statique e e e

23 Le lecteur peut aussi consulter la r´f´rence suivante qui propose une d´monstration ee e beaucoup plus claire de ce r´sultat. e P. Carr et R. Lee, « Volatility Derivatives », Annual Review of Financial Economics, 1, 2009, p. 1-21.

Les strat´gies quantitatives e

497

est tr`s particuli`re puisque les poids sont inversement proportionnels au e e carr´ des strikes des options ­ w (K) K -2 . e Le r´sultat pr´c´dent permet ` Demeterfi et al. (1999) de d´river des fore e e a e mules approch´es pour le prix d'exercice du swap de variance. En particue lier, si le smile est lin´aire, c'est-`-dire que (K) = (F )-s (K - F ) /F , e a ces auteurs montrent que24 : Kvar = 2 (F ) 1 + 3s2 T + . . .

Pour valoriser le swap de variance en mark-to-market, nous devons tout d'abord remarquer que la variance telle que d´finie dans ce swap est ade ditive. Cela veut dire que si t1 < t2 < t3 , nous avons25 : vt1 ,t3 = n2,3 n1,2 vt ,t + vt ,t n1,3 1 2 n1,3 2 3

Consid´rons un swap de variance ` la date t1 pour la p´riode [t1 , t3 ] et e a e ` dont le prix d'exercice est Kt1 ,t3 . A la date t2 , nous en d´duisons que : e

2 PnL = Nvar × vt1 ,t3 - Kt1 ,t3

n2,3 n1,2 + n2,3 2 n1,2 vt ,t + vt ,t - Kt1 ,t3 n1,3 1 2 n1,3 2 3 n1,3 n1,2 n2,3 2 2 = Nvar × vt1 ,t2 - Kt1 ,t3 + Nvar × vt2 ,t3 - Kt1 ,t3 n1,3 n1,3 = Nvar ×

Le premier terme du PnL est connu ` la date t2 et correspond ` la volatilit´ a a e r´alis´e sur la p´riode [t1 , t2 ]. Le second terme correspond ` un swap de e e e a variance pour la p´riode [t2 , t3 ]. Notons Kt2 ,t3 son prix d'exercice, nous e avons : PnL = Nvar × n1,2 2 vt1 ,t2 - Kt1 ,t3 + n1,3 n2,3 2 2 2 Nvar × vt2 ,t3 - Kt2 ,t3 + Kt2 ,t3 - Kt1 ,t3 n1,3

24 Cette formule d'approximation est tr`s utilis´e par les quants pour produire des e e backtests. 25 En effet, nous avons : 0 1 0 1 t2 t3 n1,2 @ 1 X 2 St A n2,3 @ 1 X 2 St A ln ln + n1,3 n1,2 t=t St-1 n1,3 n2,3 t=t St-1

1 2

=

1 n1,3

t=t1

t3 X

ln2

St St-1

518

La gestion quantitative

(resp. sur le taux actuariel). Les r´sultats sont pr´sent´s sur le tableau 7 e e e dans le cas de l'obligation de maturit´ 5 ans. Nous v´rifions que le calcul e e bas´ sur la sensibilit´ donne de bons r´sultats. e e e

Tableau 6. Prix, taux de rendement actuariel et sensibilit´ d'une e obligation de maturit´ T et de coupon 5% e

T 1 2 3 4 5

R (0, T ) 0,52 0,99 1,42 1,80 2,15

B (0, T ) 99,48 98,04 95,86 93,10 89,92

P (0) 104,45 107,92 110,53 112,43 113,74

R 0,52 0,98 1,39 1,76 2,08

S -103,91 -208,83 -312,51 -413,32 -510,09

Tableau 7. Impact d'une variation des taux sur le prix de l'obligation 5 ans

R (en pbs) -50 -30 -10 0 10 30 50

P (0) 116,32 115,28 114,25 113,74 113,23 112,23 111,23

P 2,58 1,54 0,51 0,00 -0,51 -1,51 -2,51

^ P (0) 116,33 115,28 114,25 113,74 113,23 112,22 111,22

P 2,59 1,54 0,51 0,00 -0,51 -1,52 -2,52

S × R 2,55 1,53 0,51 0,00 -0,51 -1,53 -2,55

4.2.2.

La strat´gie de roll-down e

Consid´rons un investisseur qui a un horizon de placement d'un an. La e fa¸on la plus naturelle d'investir est d'acheter une obligation de maturit´ c e un an. Le prix actuel de l'obligation est P = C (1)×B (0, 1)+N ×B (0, 1). Au bout d'un an, il re¸oit le coupon C (1) et la valeur de l'obligation est c N . On en d´duit que le taux de rendement de cet investissement est ´gal e e au taux z´ro-coupon de maturit´ 1 an : e e R = = = N + C (1) -1 C (1) B (0, 1) + N B (0, 1) 1 -1 B (0, 1) R (0, 1)

L'investisseur peut aussi acheter une obligation de maturit´ T et la ree vendre un an plus tard. Dans ce cas, le rendement de l'investissement est : P (1) + C (1) R= -1 P (0)

Les strat´gies quantitatives e

519

Le prix P (1) n'est pas connu aujourd'hui puisque c'est le prix de revente. Si on suppose n´anmoins que la courbe des taux reste inchang´e, nous e e pouvons calculer R. Consid´rons la courbe des taux pr´c´dente. Soit une e e e obligation de maturit´ 5 ans dont le coupon annuel est de 5%. Le prix e P (0) de l'obligation est ´gale aujourd'hui ` 113,74. Si on calcule la valeur e a de cette obligation dans un an avec la courbe des taux inchang´e, nous e obtenons P (1) = 112,43. Nous en d´duisons que : e R= 112,43 + 5 - 1 = 3,24% 113,74

Ce rendement est bien sup´rieur au taux z´ro coupon R (0, 1) qui est e e ´gal ` 0,52%. Cette strat´gie qui consiste ` consid´rer que la courbe des e a e a e taux ne va pas bouger et ` investir sur une maturit´ plus grande que a e l'horizon d'investissement est appel´e une strat´gie de roll-down 43 . Nous e e repr´sentons sur le graphique 51 l'exc`s de rendement R - R (0, 1) de e e cette strat´gie. N´anmoins, il existe une grande diff´rence entre ces deux e e e rendements puisque R (0, 1) est certain alors que R n'est pas du tout certain. Il existe donc un risque en cas de mont´e des taux. Reprenons e l'exemple en supposant que les taux augmentent de 2% dans un an. Dans ce cas, la valeur de l'obligation devient P (1) = 104,55 et nous obtenons : R= 104,55 + 5 - 1 = -3,68% 113,74

¯ Remarque 62. L'exc`s de rendement R = R - R (0, 1) d'une strat´gie e e roll-down comprend deux composantes : le carry d´signe le rendement proe venant du portage de coupon tandis que le roll-down d´signe le rendement e provenant de la d´formation (ou non) de la courbe des taux. Nous avons : e P (1) C (1) ¯ - R (0, 1) + -1 R= P (0) P (0)

carry roll-down

Ce carry est lui-m^me d´composable en une partie coupon et une partie e e ¯ financement. Sur le tableau 8, nous reportons l'exc`s de rendement R e ainsi que la d´composition entre carry et roll-down pour les obligations e de maturit´ 1 an ` 5 ans. Dans le cas d'un coupon de 5%, le roll-down e a est n´gatif car le prix de l'obligation est bien au-dessus du pair. Si on e consid`re un z´ro-coupon, on a un carry n´gatif car il n'y a pas de coupon e e e et un roll-down positif. Dans le cas d'une obligation avec un coupon de 2%, le carry et le roll-down sont tous deux positifs pour une maturit´ e sup´rieure ` deux ans. e a On appelle breakeven R la variation de taux au-del` de laquelle la a strat´gie n'est plus rentable. Celui-ci est ´gal ` 76 pbs dans notre exemple. e e a

43 On

la trouve aussi dans la litt´rature sous le nom de "Riding the Yield Curve". e

520

La gestion quantitative Tableau 8. D´composition entre carry et roll-down e

T 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

P (0) 104,45 107,92 110,53 112,43 113,74 99,48 98,04 95,86 93,10 89,92 101,47 101,99 101,73 100,83 99,45

Coupon 4,79 4,63 4,52 4,45 4,40 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,97 1,96 1,97 1,98 2,01

Carry Financement Total Coupon = 5% -0,52 4,26 -0,52 4,11 -0,52 4,00 -0,52 3,92 -0,52 3,87 Z´ro Coupon e -0,52 -0,52 -0,52 -0,52 -0,52 -0,52 -0,52 -0,52 -0,52 -0,52 Coupon = 2% -0,52 1,45 -0,52 1,44 -0,52 1,44 -0,52 1,46 -0,52 1,49

Roll-down -4,26 -3,21 -2,36 -1,69 -1,15 0,52 1,47 2,27 2,96 3,54 -1,45 -0,51 0,26 0,89 1,39

¯ R 0,00 0,90 1,64 2,24 2,72 0,00 0,94 1,75 2,44 3,02 0,00 0,93 1,70 2,35 2,88

En consid´rant ce mouvement de taux, nous v´rifions que le rendement e e de la strat´gie est ´gal au taux z´ro coupon R (0, 1) : e e e R= 109,33 + 5 - 1 = 0,52% 113,74

` A titre d'illustration, nous repr´sentons les valeurs de breakeven de la e strat´gie de roll-down sur le graphique 52. e Remarque 63. Le breakeven est une meilleure mesure du carry et du roll-down. C'est en effet une mesure homog`ne au risque de taux. Il core respond en premi`re approximation au carry et au roll-down en euros e ajust´s par la sensibilit´ de l'obligation aux mouvements des taux. Or le e e carry et le roll-down s'interpr`tent souvent en terme de protection qu'ils e offrent contre le risque d'une hausse de taux. Dans notre exemple, nous remarquons que le carry et le roll-down en absolu sont bien plus importants sur les maturit´s longues. Cette perception n'est pas la bonne, car e si on pond`re par la sensibilit´ au risque de taux, le carry et le roll-down e e sont meilleurs sur les maturit´s courtes. Dans notre exemple, cette protece tion est de 95 pbs par an pour l'obligation 2 ans et de 76 pbs par an pour l'obligation 5 ans. Autrement dit, pour la m^me exposition au risque d'un e mouvement parall`le de la courbe de taux (c'est-`-dire la m^me duration), e a e une obligation 2 ans offre un meilleur carry et roll-down qu'une obligation 5 ans. Nous devons aussi noter qu'une strat´gie de roll-down est justifi´e e e

Les strat´gies quantitatives e

521

¯ Graphique 51. Exc`s de rendement R = R - R (0, 1) (en %) de la e strat´gie de roll-down e

Graphique 52. Breakeven R (en pbs) de la strat´gie de roll-down e

522

La gestion quantitative

dans un environnement de faible volatilit´. Id´alement, il faudrait que rien e e ne bouge, c'est-`-dire que la volatilit´ soit nulle. C'est pourquoi il est ima e portant de comparer le breakeven de la strat´gie ` la volatilit´ associ´e. e a e e G´n´ralement, les taux courts pr´sentent une volatilit´ plus importante e e e e que les taux longs. Dans notre exemple, il faudrait que la volatilit´ du e taux 2 ans soit 25% plus forte que la volatilit´ du taux 5 ans pour justifier e le diff´rentiel de carry et de roll-down observ´44 . e e Remarque 64. Au premier ordre, nous pouvons calculer le breakeven en comparant les rendements forward aux rendements spot futurs. Nous avons : R Rt,1Y - Rt+1,0

o` Rt,1Y est le yield-to-maturity 1 an forward et Rt+1,0 est le yield-tou maturity spot dans un an en supposant la courbe des taux inchang´e. Dans e notre exemple, le taux z´ro 4 ans dans 1 an est ´gal ` 1,80% et le taux e e a forward 1 an de maturit´ r´siduelle 4 ans est ´gal ` 2,55%. Nous avons e e e a R 75 pbs par an. Si on r´ajuste par la sensibilit´ et la convexit´, nous e e e trouvons un carry et un roll-down sur le z´ro-coupon 5 ans ´gal ` 3,05% e e a (` comparer avec le chiffre de 3,02% calcul´ avec la m´thode exacte). a e e

4.2.3.

Les strat´gies de barbell e

Dans le cas de la strat´gie pr´c´dente portant sur une seule maturit´, e e e e on parle de portefeuille bullet. Plus g´n´ralement, on cherche ` jouer un e e a sc´nario de mouvement de courbe de taux. Pour cela, on peut utiliser un e portefeuille barbell construit ` partir de plusieurs maturit´s. L'exemple a e typique est un portefeuille portant sur les maturit´s 2 ans, 5 ans et 10 e ans. On impose g´n´ralement que la sensibilit´ du portefeuille soit nulle e e e afin de tirer parti des mouvements de pentification et de courbure de la courbe des taux. Notons n1 , n2 et n3 le nombre d'obligations de maturit´ e T1 , T2 et T3 avec T1 < T2 < T3 . La sensibilit´ du portefeuille S est nulle e si la relation suivante est v´rifi´e : e e n 1 S 1 + n2 S 2 + n 3 S 3 = 0 Par convention, nous fixons n2 = -1. Pour d´terminer le portefeuille, e nous avons donc deux variables n1 et n3 ` estimer. Pour cela, nous dea vons imposer une deuxi`me relation. Martinelli et al. (2003) proposent 4 e m´thodes pour construire un portefeuille barbell45 . e 1. Dans un portefeuille 50/50, la sensibilit´ de chaque jambe longue e est la m^me ­ n1 S1 = n3 S3 . Nous avons donc : e

S2 n1 = -n2 S1 S2 n3 = -n2 S3

chiffre de 25% correspond ` 95/76 - 1. a n´anmoins que plus de 90% des strat´gies impl´ment´es sont des portee e e e feuilles barbell 50/50.

45 Notons

44 Le

Les strat´gies quantitatives e

537

­ Dans le cas de plusieurs actifs, nous pouvons fixer une allocation cible w et tilter cette exposition : w (t) = fe (s (t) , w ) Par exemple, nous pouvons sp´cifier : e wi (t) =

n i=1 (1 + si (t)) × wi (1 + si (t)) × wi

Ce type de fonction d'exposition est utilis´ dans le cas d'une gestion e benchmark´e. e ­ Nous pouvons aussi construire une exposition sans r´f´rence ` un ee a benchmark. La fonction d'exposition pourra ^tre de la forme : e wi (t) = × fe (si (t))

avec fe (x) 0. -1 n ­ Si fe (x) 0 et = ( i=1 f (si (t))) (les poids sont positifs et la somme des poids est ´gale ` 100%), nous obtenons une strat´gie e a e total return. ­ Si fe (x) R, c'est-`-dire que nous pouvons avoir des positions a short, la strat´gie est dite absolute return. e On peut aussi utiliser les mod`les d'allocation pr´sent´s dans le chapitre 2. e e e Le mod`le dit Trend following Markowitz est notamment tr`s populaire. e e Il correspond au mod`le de Markowitz avec un objectif de volatilit´ o` les e e u primes de risque sont remplac´es par les scores. e

5.1.2.

Un exemple

Nous reprenons l'univers d'investissement de la page 93 en ne consid´rant e que quatre classes d'actifs : les actions am´ricaines, les actions europ´ennes, e e les obligations am´ricaines et les obligations europ´ennes. Nous simulons e e une strat´gie trend following en rebalan¸ant le portefeuille tous les mois e c avec des poids obtenus ` partir du programme d'optimisation suivant : a

wt

= s.c.

arg max s wt t (wt ) wt

` A la date t, le vecteur st des scores correspond aux rendements observ´s e sur la derni`re ann´e des quatre classes d'actifs. Nous utilisons la mae e trice de covariance empirique des rendements journaliers observ´s sur la e derni`re ann´e pour mesurer le risque (wt ) du portefeuille. C'est donc e e un programme d'allocation de type Markowitz avec une contrainte de volatilit´ et des contraintes suppl´mentaires wt . e e 1. Dans le cas d'une strat´gie benchmark´e, nous d´finissons le benche e e mark w comme ´tant le portefeuille ´quipond´r´. La volatilit´ cible e e ee e

538

La gestion quantitative

` la date t est ´gale ` la volatilit´ historique du benchmark cala e a e cul´e sur la derni`re ann´e et correspond ` : e e e a 0,7 · w wt 1,3 · w 1 wt = 1 Dans cette strat´gie (not´e #1), la d´viation par rapport au benche e e mark est contr^l´e par des contraintes sur les poids. Nous pouvons oe aussi construire une autre strat´gie (not´e #2) o` la contrainte porte e e u sur la volatilit´ de l'erreur de r´plication : e e (w - w ) (w - w ) 2% 1 wt = 1

La simulation de ces deux strat´gies et du benchmark est repr´sent´e e e e sur le graphique 56. 2. Pour la strat´gie total return, nous avons : e = 6% 0 wt 1 1 wt = 1

Contrairement ` la strat´gie pr´c´dente, il n'y a pas de contrainte de a e e e d´viation des poids par rapport ` un benchmark. Nous remarquons e a d'ailleurs que la simulation du graphique 57 pr´sente un ratio de e Sharpe meilleur que la strat´gie pr´c´dente. e e e 3. Pour la strat´gie absolute return, nous imposons : e = 4% -0,5 · 1 wt 0,5 · 1 1 wt = 0

Les poids peuvent ^tre maintenant n´gatifs, ce qui veut dire que e e certaines positions sont short. Nous imposons aussi que la somme des poids est nulle. La strat´gie n'a donc pas de biais structurellement e long ou short. La simulation de la strat´gie est pr´sent´e sur le e e e graphique 58. Les r´sultats de ces simulations sont proches de ceux obtenus par certains e travaux acad´miques71 . e

71 M.T. Faber, « A Quantitative Approach to Tactical Asset Allocation », Journal of Wealth Management, 9(4), 2007, p. 69-79. O. ap Gwilym, A. Clare, J. Seaton et S. Thomas, « Price and Momentum as Robust Tactical Approaches to Global Equity Investing », Journal of Investing, 19(3), 2010, p. 80-91.

Les strat´gies quantitatives e

539

Graphique 56. Backtest de la strat´gie trend following benchmark´e e e

Graphique 57. Backtest de la strat´gie trend following total return e

540

La gestion quantitative Graphique 58. Backtest de la strat´gie trend following absolute return e

5.1.3.

Profil optionnel d'une strat´gie trend following e

Les strat´gies trend following sont intensivement utilis´s par les CTA. e e Comme nous l'avons vu pr´c´demment, on peut caract´riser les strat´gies e e e e dynamiques de trading par un profil optionnel ´quivalent. Ainsi, Fund et e Hsieh (2001) analysent les strat´gies CTA comme des profils optionnels e de type lookback straddle 72 .

5.2.

La strat´gie mean reverting e

La strat´gie de retour ` la moyenne est tr`s utilis´e dans le cas de l'are a e e bitrage de volatilit´ ou du pair trading. Deux types de mod´lisation sont e e couramment employ´s. Le premier repose sur le processus de Ornsteine Uhlenbeck alors que le second utilise la coint´gration. e 5.2.1. Le mod`le de Ornstein-Uhlenbeck e

Notons St la variable d'int´r^t. Cela peut ^tre par exemple une volaee e tilit´, un spread de volatilit´, une diff´rence de deux prix d'actions ou e e e un spread de taux d'int´r^t. Nous consid´rons un processus de Ornsteinee e

72 W. Fung et D.A. Hsieh, « The Risk in Hedge Fund Strategies: Theory and Evidence from Trend Followers », Review of Financial Studies, 14(2), 2001, p. 313-341.

Les strat´gies quantitatives e

541

Uhlenbeck pour mod´liser la dynamique de St . Nous avons : e avec a 0. La solution de ce processus est donn´e ` la page 238. Nous e a rappelons que St | S0 est une variable al´atoire gaussienne avec : e E [ St | S0 ] = S0 e-a(t-t0 ) + b 1 - e-a(t-t0 ) 1 - e-2a(t-t0 ) 2a Trois param`tres interviennent dans la d´finition du processus. Nous avons : e e 2 [St | S0 ] = 2

t

dSt = a (b - St ) dt + dWt

et :

lim E [ St | S0 ] = b

b est donc la moyenne de long terme de St . Nous remarquons que : E [ St | S0 ] - b = (S0 - b) e-a(t-t0 ) Plus le param`tre a est ´lev´, plus la d´viation par rapport ` b sera en e e e e a moyenne petite au cours du temps. a est donc une mesure de la vitesse pour retourner ` la moyenne b. Enfin, est un param`tre de volatilit´. a e e Nous montrons l'influence de ces param`tres sur le graphique 59. e Si nous discr´tisons le processus de Ornstein-Uhlenbeck, nous obtenons : e e a avec t N 0, . Nous pouvons construire un mod`le de retour ` la moyenne plus g´n´ral : e e St - St-1 = bt = bt-1 + t

p i=1 2

St - St-1 = a (b - St-1 ) + t

i (bt-i - St-i ) + t

avec t = (St , . . . , St-p+1 , bt , . . . , bt-p+1 ) , R = e1 1 - 1 -2 · · · -p 1 · · · 0 0 ··· . . . . Ip-1 . . 0 0 ··· T = 1 0 0p Ip-1

2 e e avec t N 0, 2 et t N 0, . C'est un mod`le AR(p) qui int`gre une moyenne stochastique. Pour estimer ce mod`le, nous utilisons le filtre e de Kalman en utilisant la repr´sentation espace-´tat suivante : e e St = Zt t t = T t-1 + R t

ep

··· ··· ··· ···

et : p 0 . . . 0 0 . . . . . . 0

542

La gestion quantitative Graphique 59. Illustration de l'effet de retour ` la moyenne (b = 100) a

Remarque 65. Si p = 1, ce mod`le correspond ` la version discr´tis´e e a e e du processus bi-dimensionnel suivant : dSt = a (bt - St ) dt + dWt dbt = dZt avec Zt un mouvement brownien ind´pendant de Wt . Nous pouvons consie d´rer d'autres processus pour mod´liser la moyenne stochastique bt . Par e e exemple, nous pouvons supposer que bt est aussi un processus de OrnsteinUhlenbeck : dSt = a (bt - St ) dt + dWt dbt = ( - St ) dt + dZt La discr´tisation de ce processus est imm´diate et l'estimation de bt se e e fait par le filtre de Kalman. 5.2.2. Les mod`les a correction d'erreurs e `

Si Xt et Yt sont I (1) et que St est I (0), alors nous savons que (Xt , Yt ) admet une repr´sentation sous forme de correction d'erreurs (VECM). La e

73 ou

Nous supposons que St est la diff´rence73 entre deux processus Xt et e Yt : St = Xt - Yt

une combinaison lin´aire de Xt et Yt . e

Les outils de scoring

555

des actifs financiers, nous choisissons les actifs financiers i qui v´rifient la e condition si (1 - ) n. Dans le cas d'un portefeuille long/short, les actifs financiers de la position acheteuse L v´rifient si (1 - ) n alors que ceux e de la position vendeuse S v´rifient si n. Notons que ces s´lections e e s'appellent des "top k lists" et font l'objet d'´tudes statistiques2 depuis e le d´but des ann´es 2000 et le d´veloppement des moteurs de recherche e e e internet. Les exemples de s´lection d'actifs financiers bas´s sur la m´thode des e e e rangs ne manquent pas. Par exemple, de nombreux g´rants actions utie lisent cette approche pour s´lectionner les titres de leur portefeuille ` e a partir de facteurs comptables comme les ratios Price-to-Book 3 (P/B) ou Price-Earnings 4 (P/E). 1.1.2. La m´thode des probabilit´s e e

Nous associons maintenant ` chaque actif financier i une variable al´atoia e re Xi . Nous supposons que cette variable al´atoire est positivement corr´l´e e ee a ` notre signal d'investissement. Nous pouvons alors construire le score si de la fa¸on suivante : c si = Pr {Xi xi } Si l'actif financier i a une probabilit´ importante que Xi prenne de fortes e valeurs, alors le score est ´lev´ indiquant un signal d'investissement fort. e e Dans le cas d'une relation n´gative avec le signal d'investissement, nous e avons : si = Pr {Xi xi } Par d´finition, S est une distribution uniforme et prend ses valeurs dans e l'intervalle [0, 1]. Consid´rons un processus de Ornstein-Uhlenbeck Yi (t). Pour tout actif e ` financier i, nous associons les param`tres ai , bi et i de Yi (t). A la date e t, la position de Yi (t) est connue. Nous cherchons ` conna^ la position a itre de Yi (t) ` la date t + . La variable al´atoire Xi est donc Yi (t + ). Si la a e

2 R. Fahin, R. Kumar et D. Sivakumar, « Comparing Top K Lists », SIAM Journal on Discrete Mathematics, 17(1), 2003, p. 134-160. 3 Le ratio Price-to-Book est le rapport entre le cours de march´ du titre et la book e value. Celle-ci est la valeur comptable nette de l'entreprise. Ce ratio mesure donc le rapport entre la valeur de march´ des capitaux propres et leur valeur comptable. e G´n´ralement, on pr´f`re les actions qui ont un faible ratio P/B. e e ee 4 Le ratio Price-Earnings est le rapport entre le cours de march´ du titre et le e b´n´fice par action. Ce ratio est utilis´ pour mesurer la chert´ pr´sente d'une action. e e e e e

556

La gestion quantitative

relation avec le signal d'investissement est n´gative, nous avons : e si = Pr {Xi xi } = Pr {Yi (t + ) xi } = 2ai 1 - e-2ai

xi - Yi (t) e-ai + bi 1 - e-ai i (7.1)

Voici le type de score que nous pouvons utiliser pour une strat´gie mean e reverting. Supposons que Yi (t) repr´sente le spread de volatilit´ historique e e de maturit´ entre deux actions i1 et i2 : e

1 2 Yi (t) = t-,t - t-,t

(i )

(i )

` A la date t, les volatilit´s implicites de maturit´ sont cot´es respectivee e e (i1 ) (i2 ) ment Kt,t+ et Kt,t+ . Le score de la paire i est donc :

1 2 1 2 si = Pr t,t+ - t,t+ Kt,t+ - Kt,t+

(i )

(i )

(i )

(i )

Ce score mesure la probabilit´ que le spread de volatilit´ r´alis´e entre t et e e e e t+ soit inf´rieur au spread cot´ par le march´. Un score ´lev´ indique qu'il e e e e e faut vendre la volatilit´ du premier actif et acheter celle du second actif. e Pour calculer ce score, nous devons tout d'abord estimer les param`tres e ai , bi et i par la m´thode du maximum de vraisemblance en consid´rant e e l'historique {Yi (s) , s t}. Ensuite, il suffit de calculer l'expression (7.1) pour chaque paire de trading. Par exemple, pour ai = 0,7, bi = -3,0 et i = 3,8, la valeur du score est 97,6% si le spread actuel et le spread implicite sont ´gaux ` -1 et 3,5 (voir le graphique 1). Dans ce scoring e a appliqu´ au spread de volatilit´, notons que le g´rant est int´ress´ par les e e e e e paires pr´sentant des scores tr`s ´lev´s ou tr`s faibles. e e e e e 1.1.3. La m´thode des z-scores e xi - m

n

Un z-score est une normalisation de la variable al´atoire X. Nous avons : e zi = avec : m = 1 n xi

i=1

=

1 n

n i=1

(xi - mi )

2

Les param`tres de normalisation m et sont donc la moyenne et l'´carte e type des valeurs prises par l'ensemble des actifs financiers. Dans certains

Les outils de scoring Graphique 1. Illustration du score de probabilit´ e

557

cas, la normalisation ne se fait pas entre les scores des diff´rents actifs e financiers ` la date t, mais porte sur l'historique [t - p, t] de la variable a xi (t). Dans ce cas, nous avons : zi (t; p) = avec : mi (t; p) = 1 p+1

p

xi (t) - mi (t; p) i (t; p)

=0

xi (t - )

p

i (t; p) =

1 p+1

=0

(xi (t - ) - mi (t; p))

2

Les param`tres de normalisation mi (t; p) et i (t; p) sont donc la moyenne e et l'´cart-type de la variable sur la p´riode glissante [t - p, t]. Dans ce e e dernier cas, on parle de z-score temporel alors qu'on r´serve le nom de e z-score spatial pour le premier cas. Supposons que xi (t) corresponde au P/E du titre i, le z-score zi (t; p) normalise le P/E du titre i par rapport aux p derni`res observations du P/E du titre i. En revanche, le z-score zi e normalise le P/E du titre i par rapport au P/E de l'ensemble des titres. La distribution d'un z-score est complexe puisqu'elle d´pend de la distrie bution de X. N´anmoins, sous certaines conditions, on consid`re qu'elle e e

558

La gestion quantitative

doit ^tre proche d'une distribution normale centr´e et r´duite N (0, 1). e e e D'ailleurs, dans certaines applications5 , les z-scores sont born´s ` gauche e a par -3 et ` droite par +3. Le choix de l'intervalle [-3, +3] correspond au a fait que la probabilit´ Pr {|N (0, 1)| 3} est tr`s faible6 . e e 1.1.4. La normalisation d'un score Souvent, il est plus pratique de normaliser un score afin de changer de support. Prenons l'exemple d'un score S qui prend ses valeurs dans [0, 1]. Dans le cas d'un portefeuille long/short, le score S = 2 × S - 1 peut ^tre e plus pertinent. En effet, il prend ses valeurs dans [-1, 1] et on distingue plus facilement les candidats short (ceux qui ont un score n´gatif) des e candidats long (ceux qui ont un score positif). Plus g´n´ralement, la normalisation d'un score consiste ` appliquer une e e a transformation de la forme S = g (S). On peut sp´cifier la fonction g de e diff´rentes fa¸ons. e c 1. La m´thode min-max. e La m´thode min-max7 consiste ` normaliser le score afin qu'il prenne e a ses valeurs dans [0, 1]. Nous avons : s = i si - mini si maxi si - mini si

2. La m´thode PIT (probability integral transform). e e e Notons FS la distribution du score S et FS la distribution d´sir´e pour le score S . La fonction g est d´finie de la fa¸on suivante : e c S = F-1 (FS (S)) S Reprenons notre exemple pr´c´dent. Nous avons S U[0,1] et nous e e voulons que S U[-1,1] . Comme FS (x) = x et FS (x) = (x + 1)/ 2, nous en d´duisons que : e g (x) = F-1 (FS (x)) = 2x - 1 S 3. La m´thode PIT empirique. e La distribution th´orique du score S n'´tant pas toujours connue, e e ^ on peut utiliser sa distribution empirique FS . Nous avons donc : ^ S = F-1 FS (S) S

5 C'est notamment le cas lorsque le z-score est normalis´ pour prendre des valeurs e enti`res. Dans ce cas, les valeurs du z-score vont g´n´ralement de -3 ` +3 avec un pas e e e a de 1. 6 Elle vaut exactement 0,26%. 7 A. Jaina, K. Nandakumara et A. Ross, « Score Normalization in Multimodal Biometric Systems », Pattern Recognition, 38(12), 2005, p. 2270-2285.

Les outils de scoring Graphique 9. Courbe de Lorenz

575

Cette courbe de Lorenz mesure la performance du score ` ne pas s´lectiona e ner les mauvais paris. Nous pouvons aussi construire la courbe de Lorenz qui mesure la performance du score ` s´lectionner les bons paris. Dans ce a e cas, nous avons : x (s) = Pr {S > s} y (s) = Pr {S > s | Y = 1} x (s) = 1 - F (s) y (s) = 1 - F1 (s)

Pr {S s} F0 (s) = Pr {S < s | Y = 0} et F1 (s) = Pr {S < s | Y = 1}, nous obtenons : x (s) = 1 - F (s) y (s) = 1 - F0 (s)

ou encore :

Cette courbe s'appelle la courbe de pr´cision. Enfin, la courbe ROC (Ree ceiver Operating Characteristic) est d´finie par : e x (s) = Pr {S > s | Y = 0} = 1 - F0 (s) y (s) = Pr {S > s | Y = 1} = 1 - F1 (s) Pour chacune de ces courbes, nous pouvons calculer un coefficient de Gini G ainsi qu'un coefficient de Gini normalis´ G : e G = G (L) G (L )

576

La gestion quantitative

avec L la courbe de Lorenz correspondant au score parfait. ` A titre d'illustration, nous consid´rons l'exemple du graphique 8. Nous e repr´sentons la courbe de s´lection, la courbe ROC et la courbe de pr´cision e e e sur le graphique 10. Les coefficients de Gini correspondants sont donn´s e dans le tableau 3. Il est int´ressant de remarquer que les coefficients de e Gini normalis´ sont tr`s proches quelle que soit la courbe de performance. e e Si nous reprenons notre exemple initial long/short, le coefficient de Gini vaut -0,32 pour le premier score et 0,64 pour le deuxi`me score. Il ne fait e plus aucun doute que ce dernier est le plus performant.

Graphique 10. Courbes de s´lection, ROC et de pr´cision e e

Tableau 3. Coefficients de Gini

Courbe S´lection e ROC Pr´cision e

G (L) 0,20 0,51 0,31

G (L ) 0,40 1,00 0,60

G 0,51 0,51 0,51

e Remarque 71. Le graphique 11 pr´sente un backtest long/short sur 100 actions. Tous les mois, on d´termine les 50 positions acheteuses et les 50 e positions vendeuses en fonction d'un score. Si on consid`re la performance e financi`re, le score S1 est largement meilleur que le score S2 . Pourtant, e

Les outils de scoring

577

si on compare la densit´ du coefficient de Gini estim´e ` partir des 60 e e a valeurs mensuelles du coefficient de Gini, il n'est pas ´vident qu'un score e domine l'autre. Une ´tude plus approfondie du backtest r´v`le que la tr`s e e e e bonne performance financi`re du score S1 peut ^tre expliqu´e par quelques e e e rendements aberrants.

Graphique 11. Performance financi`re et performance du score e

3.

Les m´thodes d'apprentissage statistique e

L'apprentissage statistique (statistical learning) d´signe de fa¸on g´n´e c e e rale tout mod`le statistique qui permet de pr´dire une variable Y de sore e tie ` partir d'un nombre fini de variables d'entr´e X. Par exemple, la a e r´gression lin´aire est un mod`le d'apprentissage statistique. Dans un sens e e e plus restreint, elle d´signe les mod`les qui sont estim´s sur une population e e e test et qui sont ensuite valid´s sur une autre population. Ce sont donc des e algorithmes qui comprennent deux phases : une phase d'apprentissage et une phase de validation crois´e. e Parmi les diff´rentes m´thodes d'apprentissage statistique, les m´thodes e e e d'ensemble d´signent les algorithmes qui permettent d'am´liorer la pere e formance de pr´vision d'un syst`me de classification ou de scoring. L'id´e e e e

578

La gestion quantitative

est de combiner plusieurs estimations du syst`me plut^t que d'en utie o liser une seule ou d'agr´ger plusieurs mod`les, tout en ´vitant un sure e e ajustement (overfitting). Notons L un algorithme d'apprentissage (learning algorithm) et M le nombre de combinaisons (ou d'it´rations). Pour e chaque it´ration m, on utilise ensuite une m´thode M qui permet de e e d´finir une hypoth`se de sortie hm : X Y . La m´thode d'ensemble e e e d´finit alors le syst`me de scoring comme une combinaison de ces diff´rentes e e e hypoth`ses de sortie : e H (x) = f (wm , hm ) o` wm sont les poids optimaux estim´s par l'algorithme d'ensemble. Par u e exemple, dans le cas d'un syst`me de classification o` les sorties sont 1 e u (bien class´) et -1 (mal class´), H (x) peut prendre la forme suivante : e e

M

H (x) = sign

m=1

wm hm (x)

On classifie les algorithmes d'ensemble selon la m´thode M. On distingue e en particulier les algorithmes de boosting qui sont bas´s sur des m´thodes e e de construction adaptative des algorithmes de bagging qui utilisent une m´thode al´atoire. e e

3.1.

Les m´thodes de boosting e

Les m´thodes de boosting trouvent leur origine dans les articles fondae teurs de Shapire (1990)22 et Freund (1995)23 . En 1996, ces deux auteurs proposent l'algorithme AdaBoost pour les syst`mes de classification24 . e Friedman et al. (2000) r´sument cette proc´dure de la fa¸on suivante25 : e e c 1. les poids des observations sont fix´s ` i = 1/n pour i = 1, . . . , n ; e a 2. on r´p`te les s´quences suivantes pour m = 1, . . . , M : e e e (a) on estime le syst`me de classification hm (x) {-1, 1} en utilie sant les poids i sur la population d'apprentissage ; (b) on calcule l'erreur em ainsi que le poids wm d´finis par : e em = E [1 {y = hm (x)}] et : wm = log 1 - em em

22 R.E. Shapire, « The Strength of Weak Learnability », Machine Learning, 5(2), juin 1990, p. 197-227. 23 Y. Freund, « Boosting a Weak Learning Algorithm by Majority », Information and Computation, 121(2), 1995, p. 256-285. 24 Y. Freund et R.E. Shapire, « Experiments with a New Boosting Algorithm », in Machine Learning: Proceedings of the Thirteenth International Conference, Morgan Kaufman, 1996. 25 J. Friedman, T. Hastie et R. Tibshirani, « Additive Logistic Regression: A Statistical View of Boosting », Annals of Statistics, 28(2), 2000, p. 337-407.

588

La gestion quantitative

Pour que µ > 0, on doit v´rifier la condition suivante : e µ-r

Pour que la r`gle stop loss soit efficace dans un march´ trend fole e lowing, le param`tre doit ^tre sup´rieur au ratio de Sharpe de la e e e strat´gie. On obtient donc un r´sultat paradoxal. Plus la strat´gie e e e pr´sente un ratio de Sharpe ´lev´, plus la r`gle de stop loss est inefe e e e ficace. Le message de ces r´sultats est tr`s clair. Un stop loss est efficace si la e e strat´gie pr´sente un rendement ajust´ du risque peu attractif. Un stop e e e loss peut donc se justifier dans le cas d'une strat´gie long only sur des e classes d'actifs traditionnelles. D'ailleurs, un backtest sur les indices actions montre que certaines r`gles stop loss apportent de la valeur. En e revanche, si la strat´gie pr´sente un tr`s bon rendement ajust´ du risque, e e e e alors il ne faut surtout pas mettre en place un stop loss5 . Malgr´ ces r´sultats th´oriques, beaucoup de praticiens continuent d'utie e e liser ces r`gles de stop loss. Toute la difficult´ est alors de calibrer les pae e ram`tres n, n , et g. On peut calibrer ces param`tres sur la trajectoire e e historique, mais cela revient ` optimiser le backtest. La m´thode la plus a e couramment utilis´e est de d´finir ces param`tres en fonction de la volatie e e lit´ de la strat´gie6 . Pla¸ons-nous dans le cas d'un mouvement brownien e e c g´om´trique classique. Nous avons : e e Pr {R (t; n) -} =

1 - - µ - 2 2 n 260 n 260

On calibre la valeur de en se donnant une p´riode d'observation n (exe prim´e en jours de trading) et une probabilit´ d'activer le stop p = e e Pr {R (t; n) -}. Nous en d´duisons que : e = -1 (1 - p ) 1 n - µ - 2 260 2 n 260

Si on n´glige l'effet tendance, l'expression de devient : e = -1 (1 - p ) n 260

Par exemple, si n correspond ` deux semaines, le seuil est ´gal ` 13,7% a e a dans le cas o` = 30% et p = 1%. u

autrement, un stop loss est efficace si la strat´gie sous-jacente est mauvaise. e Schalow, « Setting Stops with Standard Deviations », Journal of Portfolio Management, 22(4), 1996, p. 58-61.

6 D.L. 5 Dit

La gestion du risque Tableau 1. Statistiques des backtests de stop loss (volatilit´ 1 an) e

589

Performance (en %) Volatilit´ (en %) e Ratio de Sharpe

S&P 500 8,20 18,59 0,21

p = 5% 9,30 12,71 0,39

p = 20% 6,84 11,84 0,22

n = 60 7,85 13,32 0,27

Tableau 2. Statistiques des backtests de stop loss (volatilit´ 3 mois) e

Performance (en %) Volatilit´ (en %) e Ratio de Sharpe

S&P 500 8,20 18,59 0,21

p = 5% 8,03 12,73 0,29

p = 20% 4,89 11,94 0,05

n = 60 6,51 17,37 0,13

Sur le graphique 1, nous pr´sentons les r´sultats de la strat´gie stop e e e loss appliqu´e ` l'indice S&P 500. Nous supposons que n = n et p = pg . e a Les valeurs par d´faut sont n ´gal ` 20 jours de trading et p ´gal ` 5%. La e e a e a volatilit´ est calibr´e ` chaque date t en prenant la volatilit´ historique e e a e sur la derni`re ann´e. Les statistiques de performance sont pr´sent´es dans e e e e ` le tableau 2. A premi`re vue, on obtient des r´sultats plut^t satisfaisants. e e o Nous remarquons n´anmoins que ces r´sultats sont sensibles aux choix e e des param`tres. En particulier, si on utilise la volatilit´ historique 3 mois e e pour calibrer le param`tre , nous obtenons des r´sultats beaucoup moins e e favorables. Remarque 72. La mise en place de prise de profit ressemble ` premi`re a e vue ` une r`gle de stop loss dans le cas d'un march´ mean reverting. En a e e fait, ces deux r`gles sont tr`s diff´rentes. Dans une r`gle stop loss, on e e e e essaye de limiter une perte qui a d´j` ´t´ r´alis´e en partie. Dans une ea ee e e r`gle take profit, on est dans une configuration o` la strat´gie gagne de e u e l'argent. Toute la difficult´ est alors de s'arr^ter avant le retournement. e e Mettre en place une prise de profit revient ` croire que l'on est capable de a vendre au plus haut et d'acheter au plus bas !

1.2.

La gestion de l'exposition

Le mod`le pr´c´dent pose une difficult´ majeure. C'est un mod`le d'ale e e e e location binaire. Dans la pratique, on pr´f`re g´rer l'exposition de fa¸on ee e c dynamique plut^t que d'utiliser une r`gle d'allocation wt {0, 1}. o e L'exemple le plus simple est la m´thode de contr^le de volatilit´. Nous e o e avons vu pr´c´demment qu'il y a une relation n´gative entre la volatilit´ et e e e e le rendement. Une faible volatilit´ est g´n´ralement associ´e ` un march´ e e e e a e haussier tandis qu'une forte volatilit´ est le signe d'un march´ baissier. e e

590

La gestion quantitative

Graphique 1. Simulation historique de r`gles stop loss sur l'indice S&P 500 e

Consid´rons la r`gle suivante : e e wt = max min , w+ , w- t-1

wt est donc une fonction d´croissante de la volatilit´ t-1 . Si t-1 < , e e ` alors wt > 1. Nous avons aussi wt (w- , w+ ). A titre d'illustration, le graphique 2 pr´sente la fonction d'exposition wt pour les param`tres e e w- = 50%, w+ = 150% et = 15%. Avec ce m´canisme, nous r´duisons e e donc l'exposition dans un environnement ` forte volatilit´. a e Consid´rons l'exemple avec l'indice S&P 500. Nous utilisons un mod`le e e GARCH(1,1) pour mesurer la volatilit´ t . La volatilit´ cible est fix´e e e e a ` 20%. Dans le cas (w- , w+ ) = (0, 1), nous obtenons une performance l´g`rement sup´rieure ` celle de l'indice S&P 500, mais avec une volae e e a tilit´ et un drawdown moindres. Dans le cas (w- , w+ ) = (50%, 150%), e nous obtenons des r´sultats similaires en terme de mesure de risque, et la e performance est am´lior´e. e e Remarque 73. La gestion de l'exposition en fonction de la volatilit´ est e une strat´gie tr`s r´pandue parmi les hedge funds et le CTA en particulier. e e e Par rapport ` la r`gle d'allocation 0/1, elle permet de ne pas d´finir une a e e r`gle de d´sactivation du stop ad-hoc. N´anmoins, elle n'a de sens que s'il e e e existe une relation entre les r´gimes de volatilit´ et de performance. e e

La gestion du risque Graphique 2. Exemple de fonction d'exposition wt

591

Graphique 3. Simulation historique du contr^le de volatilit´ avec o e l'indice S&P 500

Les instruments financiers

631

5.1.

Topologie des march´s de mati`res premi`res e e e

Les march´s financiers des mati`res premi`res sont des march´s fortee e e e ment r´gul´s34 . Ceci s'explique par le caract`re relativement complexe des e e e contrats, par la nature des transactions et par l'enjeu ´conomique souse jacent. Contrairement aux actifs financiers traditionnels (par exemple les march´s des actions ou des obligations), les prix des mati`res premi`res e e e sont d´termin´s par l'´quilibre entre l'offre et la demande sur le march´ e e e e physique et ces prix ont une influence importante sur les futures de mati`e res premi`res. Une mauvaise r´colte, une catastrophe naturelle ou un chane e gement climatique vont donc impacter l'´volution des futures, tout comme e un embargo ou une suspension d'exportation.

On distingue g´n´ralement deux grandes cat´gories d'acteurs : ceux qui e e e cherchent ` se couvrir et ceux qui sp´culent. Parmi la premi`re cat´gorie, a e e e on trouve les producteurs, les n´gociants, les consommateurs et les entree prises agro-alimentaires. Dans la seconde cat´gorie, on trouve les hedge e funds et les op´rateurs de march´. Ce sont ces derniers qui assurent la lie e quidit´ de ces march´s ` terme. La part des op´rations de trading (ou des e e a e positions sp´culatives) est difficile ` mesurer35 . Plusieurs ´tudes montrent e a e cependant que cette part augmente depuis quelques ann´es. Ceci peut e avoir un impact non n´gligeable sur le prix des mati`res premi`res phye e e siques. Ainsi, certaines ´tudes expliquent la crise alimentaire de 2007-2008 e par la part croissante de ces op´rations de sp´culation36 . e e

´ La plupart des march´s se trouvent aux Etats-Unis, ` l'exception du e a LME qui est sp´cialis´ dans les m´taux : e e e ­ CME (Chicago Mercantile Exchange) ; ­ LME (London Metal Exchange) ; ­ CBOT ( Chicago Board of Trade) ; ­ NYBOT (New York Board of Trade) ; ­ NYMEX (New York Mercantile Exchange).

34 Aux Etats-Unis, l'agence de r´gulation est la commission CFTC (commodity fu´ e tures trading commission). De nombreuses donn´es concernant l'activit´ des march´s e e e de futures sont disponibles sur son site web : www.cftc.gov. 35 L'article de Working (1953) est la r´f´rence classique concernant la part de la ee sp´culation sur le march´ des futures. Pour une revue r´cente de ce sujet appliqu´ aux e e e e mati`res premi`res agricoles, vous pouvez consulter Sanders et al. (2010). e e H. Working, « Futures Trading and Hedging », American Economic Review, 43(3), 1953, p. 314-343. D.R. Sanders, S.H. Irwin et R.P. Merrin, « The Adequacy of Speculation in Agricultural Futures Markets: Too Much of a Good Thing ? », Applied Economic Perspectives and Policy, 32(1), 2010, p. 77-94. 36 M. Robles, M. Torero et J. von Braun, « When Speculation matters », International Food Policy Research Institute, 57, ageconsearch.umn.edu, f´vrier 2009. e

632

Annexe

On classe g´n´ralement les mati`res premi`res en trois grandes cat´gories : e e e e e l'´nergie, les m´taux et l'agriculture. Le tableau 4 pr´sente les futures les e e e plus liquides pour chaque cat´gorie37 . e

Tableau 4. Principaux futures de mati`res premi`res e e

´ Energie Fuel P´trole e Gasoil Gaz naturel Sans plomb

M´taux e Argent Or Platine Palladium Zinc Plomb Aluminium

Agriculture Cacao Soja Ma¨ is Coton Bl´ e Sucre B´tail e

Outre les contrats futures, on peut investir dans les mati`res premi`res e e en utilisant des indices, comme l'indice GSCI (Goldman Sachs Commodity Index), l'indice RICI (Rogers International Commodity Index) ou l'indice CRB (Reuters CRB Futures Index). La composition de ces indices est tr`s diff´rente que ce soit en termes de mati`res premi`res ou de poids. e e e e Certains sont tr`s focalis´s sur le secteur de l'´nergie comme l'indice GSCI e e e alors que d'autres sont plus ´quilibr´s (comme l'indice RICI qui contient e e 35 mati`res premi`res). On peut investir dans ces diff´rents indices via des e e e fonds de r´plication, des ETFs ou des produits structur´s. Ceci explique e e l'impact ´norme que peuvent avoir ces indices sur le march´ des futures38 . e e

5.2.

Sp´cificit´ des futures de mati`res premi`res e e e e

Par rapport aux contrats portant sur les actifs financiers traditionnels, les futures de mati`res premi`res comportent deux sp´cificit´s : e e e e 1. la valorisation des futures est beaucoup plus complexe ; 2. la courbe forward de structure par terme pr´sente des caract´ristiques e e originales.

37 Ces contrats sont d´nomm´s en anglais : heating oil, crude oil (cot´ ` Chicago) ou e e ea brent (cot´ ` Londres), gas oil, natural gas et rbob gasoline pour l'´nergie, silver, gold, ea e platinum, palladium, zinc, lead et aluminium pour les m´taux, cocoa, soybeans, corn, e cotton, wheat, sugar et live cattle pour les mati`res agricoles, auxquels il faut ajouter e le caf´ (coffee) et l'huile de soja (soybean oil). e 38 Dans le cas des mati`res premi`res agricoles, les positions doivent ^tre d´clar´es e e e e e ` la CFTC. Pendant tr`s longtemps, la CFTC distinguait les positions long et short, a e et les positions commerciales (` titre de couverture) et non commerciales (` titre de a a sp´culation). Depuis peu, elle a cr´´ une nouvelle cat´gorie appel´e index trackers pour e ee e e contr^ler l'impact des indices sur ces mati`res premi`res. o e e

Les instruments financiers

633

Il n'existe pas un mod`le th´orique consensuel pour valoriser les futures e e de mati`res premi`res. Tout d'abord, il convient de prendre en compte le e e co^t de stockage s de la mati`re premi`re. Soit S (t) le prix spot. Le prix u e e forward est donc de la forme : F (t, T ) = S (t) e(r+s)(T -t) La d´tention physique de la mati`re premi`re entra^ certes un co^t, e e e ine u mais elle peut constituer un avantage dans certaines situations. C'est notamment le cas lorsque les niveaux de stocks sont bas dans un contexte de demande forte. On peut mod´liser cet avantage comme une prime c e (appel´e convenience yield ), que l'on assimile ` un param`tre de liquidit´ e a e e de la mati`re premi`re. Nous avons donc : e e F (t, T ) = S (t) e(r-c+s)(T -t) Ceci explique que la valeur du futures peut ^tre inf´rieure ` la valeur e e a spot si c > r + s. Ce mod`le ne permet cependant pas d'expliquer toute la e dynamique des futures de mati`res premi`res39 . Les prix ` terme ob´issent e e a e plus ` un ´quilibre intertemporel de l'offre et la demande qu'` une relation a e a d'arbitrage math´matique40 . e L'autre sp´cificit´ des mati`res premi`res est le caract`re contango et e e e e e backwardation de la courbe forward. Prenons l'exemple du futures Crude Oil. Nous repr´sentons la structure par terme de ce futures ` diff´rentes e a e dates sur le graphique 4. Selon les p´riodes, cette structure par terme peut e ^tre croissante ou d´croissante41 . Le terme contango d´signe une courbe e e e forward croissante alors que le terme backwardation correspond ` une a courbe forward d´croissante. Ce ph´nom`ne va forc´ment avoir une incie e e e dence sur la m´thode de roulage des positions de futures. G´n´ralement, e e e le contrat le plus liquide est le premier contrat. Au moment de l'´ch´ance e e de ce contrat, on peut rouler sa position sur le contrat de maturit´ la e plus proche (ou contrat nearby). Cette fa¸on de rouler la position va avoir c une incidence sur le rendement de la strat´gie. En effet, si la courbe est e en backwardation, le roulage de la position va conduire ` un gain alors a que nous avons une perte si la courbe est en contango (voir le graphique 5). Une strat´gie bas´e sur les futures de mati`res premi`res comporte e e e e donc un rendement li´ ` la m´thode de roulage. Ce rendement est appel´ ea e e roll return 42 . D'autres m´thodes de roll de futures sont possibles, par e

39 E.S. Schwartz, « The Stochastic Behavior of Commodity Prices: Implications for Valuation and Hedging », Journal of Finance, 52(3), 1997, p. 923-973. 40 Notons de plus que cette relation ne peut s'appliquer aux mati`res premi`res non e e stockables comme l'´lectricit´. e e 41 Ce ph´nom`ne s'apparente ` ce que l'on trouve dans les structures par terme de e e a taux d'int´r^t. e e 42 C. Harvey et C. Erb, « The Strategic and Tactical Value of Commodity Futures », Financial Analysts Journal, mars 2006, p. 69-97.

634

Annexe

exemple rouler la position sur le contrat le plus liquide (c'est-`-dire celui a qui pr´sente le plus grand volume) ou rouler le contrat sur le deuxi`me e e contrat. Sur le graphique 6, nous comparons ces m´thodes de roll dans le e cas du caf´. Nous v´rifions que la composante roll return est importante. e e

Graphique 4. Structure par terme du futures Crude Oil

Remarque 77. Mis ` part les hedge funds, l'investissement dans les maa ti`res premi`res est encore marginalis´ et peu fr´quent parmi les investise e e e seurs institutionnels. Celui-ci est encore per¸u comme tr`s risqu´. Pourc e e tant, les mati`res premi`res peuvent ^tre des actifs tr`s diversifiants dans e e e e une allocation strat´gique43 . e

6.

La valorisation des produits optionnels

Dans cette section44 , nous rappelons les principaux concepts concernant la valorisation des produits optionnels et d´riv´s. Pour un traitement plus e e exhaustif, le lecteur peut consulter Gatheral (2006)45 , Hull (2008), Portait

43 G. Gorton et K.G. Rouwenhorst, « Facts and Fantasies about Commodity Futures », Financial Analysts Journal, 62(2), 2006, p. 47-68. 44 Cette section est tir´e en partie de Roncalli (2009). e 45 J. Gatheral, The Volatility Surface: A Practitioner's Guide, John Wiley & Sons, 2006.

Les instruments financiers

635

Graphique 5. Les ph´nom`nes contango et backwardation e e

Graphique 6. Comparaisons des m´thodes de roll dans le cas du caf´ e e

Les instruments financiers

643

Pour mesurer l'efficacit´ d'une couverture, on ´tudie le ratio suivant : e e = PnL (T ) C (0)

Dans le cas d'une couverture parfaite, ce ratio est nul. On utilise souvent la volatilit´ () comme mesure d'efficacit´. On reprend l'exemple de e e l'option pr´c´dente, mais avec une maturit´ de 130 jours ou 6 mois (et e e e on suppose qu'une ann´e correspond ` 260 jours de trading). On simule e a 10 000 trajectoires du mouvement brownien g´om´trique et on estime la e e densit´ du ratio qui est repr´sent´e sur le graphique 8 pour diff´rents e e e e pas de rebalancement t . On v´rifie que la couverture est d'autant plus e efficace que la fr´quence de rebalancement est ´lev´e. Ainsi, l'efficacit´ e e e e de la couverture mesur´e par () est ´gale respectivement ` 8% pour e e a une fr´quence journali`re alors qu'elle vaut 37% pour une fr´quence de e e e rebalancement de 26 jours (voir le graphique 9).

Graphique 8. Densit´ du ratio de PnL e

6.3.

La gestion des options

Nous voyons dans un premier temps comment valorisoer une position optionnelle dans un fonds d'investissement. Le deuxi`me paragraphe est e consacr´ aux coefficients de sensibilit´ qui sont utilis´s pour la couverture e e e dynamique et pour comprendre les risques de la position optionnelle. Nous

644

Annexe

Graphique 9. Relation entre l'efficacit´ () et la fr´quence t de la e e couverture

´tudions ensuite la volatilit´ implicite qui est une param´trisation de la e e e distribution risque-neutre. 6.3.1. Valorisation des strat´gies optionnelles en mark-to-market e

Supposons que nous vendons un produit optionnel dans une strat´gie ` e a ` la date t0 , par exemple un call d'´ch´ance T et de prix d'exercice K. A la e e ` date t0 , nous recevons la prime de l'option C0 . A la date d'´ch´ance T , le e e PnL de cette vente de call est ´gal ` : e a PnL (T ) = C0 - (S (T ) - K)

+

Ce PnL peut ^tre positif ou n´gatif en fonction de l'´volution du souse e e jacent. Le cas le plus favorable est lorsque le sous-jacent est inf´rieur au e prix d'exercice et, dans ce cas, nous gagnons la prime de l'option. Que vaut maintenant le PnL pour t < T , par exemple pour t = t0 ? On pourrait ^tre e tent´ de r´pondre que le PnL ` la date t0 est ´gal ` la prime du call. Dans e e a e a ce cas, nous ne valorisons qu'une seule jambe de la strat´gie. Avec un tel e raisonnement, la valeur de la strat´gie serait ´gale ` C0 jusqu'` t < T . e e a a Nous observerions alors un possible saut du PnL ` la date T si l'option a ´tait exerc´e. Ceci pose un probl`me dans le cas d'un fonds ouvert. Si e e e nous valorisons les produits optionnels de cette fa¸on, les clients ont tout c

Les instruments financiers

645

int´r^t ` sortir du fonds d`s que la prime de l'option est incluse dans la ee a e NAV du fonds. Dans la pratique, toute strat´gie doit ^tre valoris´e en mark-to-market e e e pour ´viter les incoh´rences pr´c´dentes. Dans l'exemple de vente d'un e e e e call, nous avons : PnL (t) = C0 - C (t) avec C (t) le prix de march´ de l'option ` la date t. De cette fa¸on, e a c nous n'aurons pas un saut de PnL ` la date d'exercice. Remarquons qu'` a a + l'´ch´ance, le mark-to-market C (T ) de l'option est le payoff (S (T ) - K) e e et nous retrouvons le PnL pr´c´dent. Que vaut maintenant le PnL ` l'orie e a gine ? La r´ponse est z´ro, puisque le mark-to-market de l'option est juse e tement la prime re¸ue. En fait, dans la pratique, il est tr`s l´g`rement c e e e n´gatif. En effet, si on d´cide de racheter l'option sur le march´, elle ne e e e sera pas exactement ´gale ` C0 mais l´g`rement inf´rieure ` cause du e a e e e a spread bid-ask. Le PnL ` la date t0 est en fait le bid-ask de l'option. Pour a ^tre plus pr´cis, il faudrait donc valoriser la strat´gie en tenant compte e e e de cette asym´trie entre le prix acheteur et le prix vendeur, sachant qu'` e a + l'´ch´ance on converge toujours vers le m^me PnL C0 - (S (T ) - K) . e e e On consid`re un exemple de vente de call ` la monnaie d'´ch´ance 50 e a e e jours de trading. Pour avoir des valeurs enti`res de t, on suppose que e l'ann´e comporte 250 jours de trading. La valeur actuelle S0 du souse jacent est ´gale ` 100. On consid`re un taux d'int´r^t constant et ´gal ` e a e ee e a 5%. Le tableau 7 pr´sente les r´sultats ` diff´rentes valeurs de t pour trois e e a e trajectoires simul´es S (t) du sous-jacent avec l'hypoth`se d'une volatilit´ e e e implicite constante et ´gale ` 20%. La prime de l'option C0 est ´gale ` e a e a ` e e 4,0689. A l'´ch´ance, on v´rifie que le PnL est bien ´gal ` la prime moins e e a le payoff ` maturit´. Ainsi, pour la premi`re trajectoire, le PnL final est a e e ´gal ` la prime puisque le sous-jacent finit ` 93,641 et donc l'option n'est e a a pas exerc´e. Pour la seconde trajectoire, on obtient un PnL tr`s n´gatif e e e puisque l'option finit tr`s en dedans de la monnaie. Le payoff ` maturit´ e a e est ´gal ` 12,838 et on v´rifie que : e a e PnL (T ) = 4,0689 - 12,838 = -8,77 Remarquons que le PnL ´tait encore plus d´favorable cinq jours de trading e e avant l'´ch´ance. Le tableau 8 reprend les m^mes trajectoires simul´es avec e e e e des volatilit´s implicites qui ne sont plus constantes, ce qui produit des e trajectoires diff´rentes de PnL mais un PnL final qui reste le m^me. e e Remarque 80. Nous utilisons ce principe de valorisation en mark-tomarket avec toutes les strat´gies optionnelles pr´sent´es dans ce livre (coe e e vered call, bull spread, variance swap, etc.). Une l´g`re diff´rence peut e e e appara^ cependant concernant la prime re¸ue ou vers´e. Dans certains itre c e cas, la prime re¸ue est capitalis´e alors que dans d'autres cas elle est c e

646

Annexe

Tableau 7. Valorisation en MtM avec une volatilit´ implicite constante e

t 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

S1 (t) 100,000 98,513 103,921 103,069 104,012 102,891 97,277 95,471 94,868 95,453 93,641

PnL1 (t) 0,00 1,01 -2,06 -1,20 -1,63 -0,53 2,82 3,58 3,88 4,01 4,07

S2 (t) 100,000 98,530 98,362 100,815 105,871 112,434 112,517 112,605 110,901 114,888 112,838

PnL3 (t) 0,00 1,00 1,32 0,27 -3,10 -8,93 -8,88 -8,85 -7,04 -10,92 -8,77

S3 (t) 100,000 104,350 103,206 103,477 98,183 98,992 99,155 103,859 102,751 105,594 104,209

PnL3 (t) 0,00 -2,61 -1,55 -1,49 1,91 1,81 2,04 -0,65 0,57 -1,65 -0,14

Tableau 8. Valorisation en MtM avec une volatilit´ implicite non constante e

t 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20

1 (t) 0,200 0,170 0,147 0,140 0,120 0,116 0,114 0,097 0,092 0,078 0,051

PnL1 (t) 0,00 1,51 -1,38 -0,44 -0,84 0,31 3,64 4,04 4,07 4,07 4,07

2 (t) 0,200 0,341 0,400 0,445 0,483 0,516 0,546 0,574 0,600 0,624 0,647

PnL3 (t) 0,00 -1,35 -1,82 -3,35 -6,49 -11,13 -10,85 -10,43 -8,35 -11,15 -8,77

3 (t) 0,200 0,209 0,257 0,211 0,202 0,248 0,181 0,234 0,202 0,209 0,200

PnL3 (t) 0,00 -2,74 -2,39 -1,64 1,88 1,22 2,26 -0,90 0,55 -1,66 -0,14

r´investie imm´diatement dans la strat´gie55 . De m^me, la prime vers´e e e e e e peut ^tre financ´e par la strat´gie ou en empruntant. e e e 6.3.2. Les coefficients de sensibilit´ e

Nous avons vu pr´c´demment que le delta d'une option est d´fini par : e e e = C S

C'est la sensibilit´ du prix de l'option ` l'actif sous-jacent. Dans le cas d'un e a portefeuille d'option portant sur le m^me sous-jacent, le delta d'un portee feuille est ´gal ` la somme des deltas individuels. Le delta est une quantit´ e a e importante pour le g´rant de l'option qui va construire le portefeuille de e

55 Dans l'exemple utilis´ dans cette section, nous n'avons ni capitalis´ ni r´investi la e e e prime.

Les instruments financiers

651

Consid´rons la vente d'une option de maturit´ T et de strike K. Nous e e supposons que le vendeur valorise l'option avec une volatilit´ implicite e (T, K). Le PnL du vendeur d´pendra de la diff´rence entre la variance e e qui a ´t´ vendue v (T ) = 2 (T, K) × T et la variance v (T ) subie par ee ^ la couverture dynamique. Plus pr´cis´ment, El Karoui et al. (1998) ont e e montr´ que58 : e PnL = e-rT

0 T

1 (t) 2 (T, K) - 2 (t) S 2 (t) dt 2

Cette formule est connue sous le nom de formule de robustesse de BlackScholes. Dans le cas d'une option europ´enne d'achat, (t) est positif. e On peut donc d´gager un PnL positif si la variance r´alis´e est inf´rieure e e e e a ` la variance qui a ´t´ vendue. Reprenons l'exemple du graphique 8 ` ee a la page 643. Nous reprenons les m^mes param`tres et nous estimons la e e densit´ du ratio d'efficacit´ de la couverture dynamique pour un pas e e de rebalancement t ´gal ` 1 jour de trading. Nous supposons que le e a trader a vendu l'option avec une volatilit´ implicite ´gale ` 20% et e e a qu'il utilise cette m^me volatilit´ pour g´rer la couverture dynamique. e e e Si nous supposons que la dynamique du sous-jacent est un mouvement brownien g´om´trique dont le coefficient de diffusion est , nous obtenons e e le graphique 13. Dans le cas o` = , nous retrouvons les r´sultats u e pr´c´dents, c'est-`-dire que la distribution de est centr´e sur 0. Si la e e a e volatilit´ r´alis´e est tr`s inf´rieure (resp. sup´rieure) ` la volatilit´ e e e e e e a e implicite , alors il est fort probable que le trader ait un PnL positif (resp. n´gatif). Dans notre exemple, nous avons ainsi : e Pr { > 0| = 20%, = 15%} = 99,94% = 1,05%

Pr { > 0| = 20%, = 25%}

Remarque 81. Pour certains produits (options cliquets par exemple), le coefficient (t) change de signe au cours du temps. Dans ce cas, il n'est pas possible de d´finir un niveau de volatilit´ implicite conservateur. Ce e e probl`me a donn´ lieu au d´veloppement du mod`le ` volatilit´ incertaine59 e e e e a e (uncertain volatility model ou UMV). L'id´e sous-jacente est de consid´rer e e que la volatilit´ est comprise entre une valeur minimum et une valeur e maximum ­ (t) [- , + ] ­ et de couvrir l'option avec la volatilit´ - e lorsque le gamma de l'option est n´gatif et avec la volatilit´ + lorsque le e e gamma devient positif. On calcule alors le prix de l'option par edp.

58 N. El Karoui, M. Jeanblanc et S.E. Shreve, « On the Robustness of the BlackScholes Equation », Mathematical Finance, 8(2), 1998, p. 93-126. 59 M. Avellaneda, A. Levy et A. Paras, « Pricing and Hedging Derivative Securities in Markets with Uncertain Volatilities », Applied Mathematical Finance, 2(2), 1995, p. 73-88.

652

Annexe Graphique 13. Densit´ du ratio en fonction de la volatilit´ r´alis´e e e e e

Relation entre la volatilit´ implicite et la densit´ risque-neutre e e Breeden et Litzenberger (1978) ont montr´ que le smile et la densit´ e e risque-neutre sont compl`tement li´s60 . Nous avons : e e Pr {S (T ) K} = 1 + er(T -t) · K Ct (T, K) o` Ct (T, K) est le prix ` l'instant t de l'option europ´enne d'achat d'´ch´u a e e e ance T et de strike K. Soient t (T, K) la surface de la volatilit´ implicite e et Ct (T, K, ) le prix BS de l'option de volatilit´ implicite . Nous avons : e Pr {S (T ) K} = =

1 + er(T -t) · K Ct (T, K, t ) + er(T -t) · Ct (T, K, t ) · K t (T, K) 1 + er(T -t) · K Ct (T, K, t (T, K))

avec : K C (T, K, ) =

Ct (T, K, ) =

-e-r(T -t) (d2 ) 1 S0 e(b-r)(T -t) T - t d2 + T - t 2

Si on s'int´resse ` la fonction de densit´, nous avons : e a e

2 K Pr {S (T ) K} = er(T -t) · K Ct (T, K)

60 D. Breeden et R. Litzenberger, « State Contingent Prices Implicit in Option Prices », Journal of Business, 51, 1978, p. 621-651.

INDEX

1/n (portefeuille), 130, 537 130/30 (strat´gie), 25, 109 e

A

ACP (analyse en composantes principales), 173­177, 305, 309 Action · Equity swap, 626 · Gestion active, 26 · Gestion indicielle, 103­114 · Indice, 627 · Screening, 581 · Valorisation, 624 AdaBoost (algorithme), 578 Adams-Bashforth (algorithme de), 209 Adams-Moulton (algorithme de), 209 AIFM (directive), 21 Alg`bre lin´aire, 170 e e Allocation · Strat´gique, 17, 32, 73, 128, e 138, 357, 480, 634

· Tactique, 32, 138, 357, 551 Alpha (de Jensen), 16, 34, 106, 263, 361, 459 AMF, 17 Antith´tique (variable), 251 e Apprentissage statistique, 316, 577 APT · Logiciel, 307 · Mod`le, 35, 191 e Arbitrage · Convertible, 31, 527 · Relative value, 507­533 · Statistique, 31, 507 · Volatilit´, 498, 525 e Arbre binomial, 653 ARCH (mod`le), 281, 378­383 e ARFIMA (processus), 412, 434 ARMA (mod`le), 339­341, 355, e 399, 430, 541 Assurance de portefeuille, 443 AuM (assets under management), 9 Aversion au risque, 124, 154, 155, 160, 506

668

La gestion d'actifs quantitative

B

Backfilling, 595 Backtest, 47­71, 484, 488 Backwardation, 315, 633 Bagging (algorithme), 580 Bande (matrice), 187, 196, 226 Barbell (strat´gie), 522 e Bayes-Stein (estimateur de), 308 Bellman, voir Programmation dynamique Benchmark, 20, 51, 86, 360, 506, 537, 614, 627 B^ta, 111, 263, 308, 357, 528, 626 e BFGS (algorithme), 123 Bi-section (algorithme), 97, 119, 140, 184, 213, 482, 616, 649 Biais du survivant, 595 Bid-ask (spread), 114, 489, 601, 645 Bilin´aire (interpolation), 82 e Black-Litterman (mod`le de), 138­ e 143, 315 Black-Scholes (formule), 207, 461, 637 Blend (style), 26 Bond picking, 28, 583 Boosting (algorithme), 578 Bootstrap, 580 Bottom-up (approche), 29 Box-Muller (algorithme de), 237, 258 Brownien g´om´trique (mouvement), e e 62, 153, 196, 207, 229, 237, 271, 281, 286, 588, 636, 643 Broyden (algorithme de), 121, 213, 226 Budget de risque, 128 Bull Spread (strat´gie), 480­485 e Buy and hold (strat´gie), 49, 67 e

C

CARA (utilit´), 124 e Carry trade, 27, 101, 509 Cauchy (probl`me de), 208 e

CDO (collateralized debt obligation), 508, 528 CDS (credit default swap), 527, 619 CESR, 17 Change (taux de), 509, 629 Cholesky (d´composition de), 171, e 237 CIR (processus), 272, 286, 657 Co^ts de transaction, 114, 474 u Coeur-satellite (strat´gie), 457­460 e Coint´gration, 342, 542 e Commodities, voir Mati`res pree mi`res e Constant mix (strat´gie), 49, 160, e 452, 599 Contango, 315, 633 Contribution en risque, 90, 128, 163, 531 Contr^le (variable de), 253 o Convenience yield, voir Mati`res e premi`res e Convertible (arbitrage de), 31, 527 Copule · Archim´dienne, 314 e · D´finition, 312 e · Normale, 314, 560 · t de Student, 314 Correction d'erreurs (mod`le `), e a voir VECM Corr´lation e · Constante, 91, 131, 310 · Estimation, 199, 299­312 · Factorielle, 300, 532 · Implicite, 501 · Simulation, 244 · Trading, 501 Couverture de change, 55 Covariance (matrice de) · Analyse factorielle, 303 · Estimation, 197, 299­312 · Ledoit-Wolf, 310 · Maximum de vraisemblance, 299 Covered call (strat´gie), 24, 474­ e 480

Index

669

CPPI (m´thode), 32, 448­457 e Crank-Nicholson (sch´ma), 224 e Cr´dit (strat´gie de), 526 e e Creuse (matrice), 187, 226 CRRA (utilit´), 124, 154, 161, 452 e CSSF, 18 CTA (strat´gie), 30, 465, 540, 630 e Currency swap, 630

D

Data snooping, 597 DCF (discounted cash flows), 625 Delta (coefficient de sensibilit´), e 461, 486, 495, 526, 527, 637, 639, 646 Dense (matrice), 187 Densit´ spectrale, 395 e DFP (algorithme), 123 Diff´rences (m´thode des), 201, e e 228 Diff´rences finies (algorithme des), e 221­232, 638 Dirichlet (conditions de), 225 Discr´pance faible (s´quence `), e e a 255 Discrimination (courbe de), 569 Dispersion, 133, 501 Distressed securities, 31 Diversification, 93, 130 Dividende, 625 Dominance stochastique, 572 Drawdown, 64, 472 Duration, 27, 517, 617

EM (algorithme), 273 EMM (m´thode d'estimation), 287 e Ensemble (m´thode d'), 577 e Eonia, 614 Equity hedge, 30, 78 Equity market neutral, 25, 31, 78, 111, 508, 528­533 Equity swap, 626 ERC (portefeuille), 132, 530 Espace-´tat (mod`le), 341, 349­ e e 370, 384, 541 ETF (Exchange Traded Fund), 24, 632 Euler · Algorithme, 209, 222, 238, 272 · D´composition, 128 e Euribor, 614 Eurodollar, 624 Event driven, 31 Explicite (sch´ma), 223 e Exponentielle (matricielle), 220

F

Facteurs (mod`le `), 131, 173, 303, e a 358 Faure (g´n´rateur de), 256 e e FCP, voir OPCVM Feynman-Kac (th´or`me de), 227 e e Filtrage · Kalman, 349, 541 · Particulaire, 370­377, 391 · Spectral, 422 · Temps-fr´quence, 430 e Fixed income, 613 Flechter-Reeves (algorithme de), 123 FLS (flexible least squares), 189 Fokker-Planck (´quation de), 227, e 272 Fonds · Flexible, 163 · Lifestyle, 155 · Profil´, 160, 357 e · Target date, 165 Fonds de pension, 155

E

´ Echantillonnage d'importance, 253, 292, 389 ´ Echantillonnage d'un portefeuille, 108, 627 EDO (´quation diff´rentielle ore e dinaire), 147, 208­220 EDP (´quation aux d´riv´es pare e e tielles), 147, 189, 221, 636 EDS (´quation diff´rentielle stoe e chastique), 149, 237 Efficience des march´s, 546, 625 e

670

La gestion d'actifs quantitative

Forward · Contrat, 611 · Prix, 620, 621 · Taux, 55, 515, 522 Fractionnaire (processus), voir ARFIMA Frais de gestion, 13, 51­55, 614 Fronti`re efficiente, 95 e Fund picking, 29 Futures · Contrat, 506, 612, 623, 630 · Prix, 620, 622, 630 · Taux d'int´r^t, 623 ee

GMM (m´thode g´n´ralis´e des e e e e moments), 275­283 Gordon-Shapiro (formule de), 625 Gradient conjugu´ (algorithme du), e 122 Griddy Gibbs (´chantillonnage), e 290, 389 Growth · Facteur, 87, 626 · Style, 26, 135

H

Halton (g´n´rateur de), 256 e e Hamilton-Jacobi-Bellman (´quation e de), 147, 452 Hammersley (s´quence de), 256 e HARA (utilit´), 124, 452 e Hedge funds, 12, 30, 78, 142, 315, 357, 528 Hermite (quadrature de), 202 Hermitienne (matrice), 170 Heston (mod`le de), 231, 286, 657 e Histogramme, 293 Hit rate, 566 Hopscotch (algorithme), 226 Hurst (exposant de), 16, 416

G

Gamma (coefficient de sensibilit´), e 486, 494, 647 GARCH (mod`le), 378­383, 488, e 590 Garp (style), voir Blend Gear (algorithme de), 209 G´n´rateur congruentiel lin´aire, e e e 234 G´n´rateur markovien, 181 e e Gestion · Active, 28 · Alternative, 12, 30 · Collective, 18 · Discr´tionnaire, 29 e · Diversifi´e, 29, 73 e · Indicielle, 28, 103­114 · Overlay, 31 · Passive, 28, 103 · Profil´e, 29 e · Quantitative, 29 · Sous mandat, 23 · Structur´e, 32, 443­460 e · Tilt´e, 103 e · Traditionnelle, 10 Gibbs (´chantillonnage de), 289, e 389 Gini (coefficient de), 196, 574 Glide path, 165 Global macro (strat´gie), 30, 357, e 546­552

I

IGARCH (mod`le), 380 e Implicite (sch´ma), 224 e Importance sampling, 371 In-sample (simulation), 595 Indice, 627 Inf´rence indirecte, 287 e Information (ratio d'), 65, 104 Instrumentale (variable), 279 Int´gration num´rique, 152, 200­ e e 208, 248, 545, 617, 638 Interpolation · Bilin´aire, 82 e · Quadratique, 84 · Spline cubique, 189, 195 Inversion (m´thode de l'), 235 e

J

Jacobi (matrice de), 205

Index

671

K

Kalman (filtre de), 189, 286, 341, 349­357, 362, 383, 541 Kappa (mesure), 69 Kendall (tau de), 313, 559 Kohonen (carte de), 334 Kolmogorov-Smirnov (statistique de), 411, 572

L

Laguerre (quadrature de), 202 LAPACK, 170 Legendre (quadrature de), 202 Levier (effet de), 13, 19, 51, 56, 528 LHP (liability hedging portfolio), 157 LHS (liability hedging swap), 160 Liability-driven investment (LDI), 157 Libor, 614 Liquidit´, 601, 604 e Lissage · Kalman, 351 · Ondelettes, 432 · Spectral, 405 · Spline cubique, 65, 195 LOG (utilit´), 125, 456 e Logit (mod`le), 122, 270 e LogitBoost (algorithme), 579 Long/short (strat´gie), 13, 30, 100­ e 103, 109, 117, 357, 458, 468, 508, 528, 554, 570 Lorenz (courbe de), voir Gini LU (d´composition), 172 e Lucas (mod`le de), 279, 552, 626 e

Markov (cha^ de), 179, 288, 565 ine Markowitz (mod`le de), 94 e MARS (Multivariate Adaptive Regression Splines), 336, 554 Mati`res premi`res, 12, 315, 630­ e e 634 Matrice al´atoire, 309 e Maximum de vraisemblance, 122, 266­275, 277, 286, 347, 381, 384, 406, 409 MCMC (algorithme), 288­293, 386 MDP (portefeuille), 133 Mean reverting, 49, 412, 467, 468, 500, 540­545, 556, 587 M´moire longue (processus de), e 434 Merger arbitrage, 31 Metropolis-Hastings (algorithme de), 292 Milstein (sch´ma de), 242 e Min-max (score), 558 Moindres carr´s e · G´n´ralis´s, 356 e e e · Ordinaires, 261, 346, 381 · Pond´r´s, 264 ee · R´cursifs, 351 e Moments (m´thode des), 276 e Momentum, voir Trend following et Mean reverting Mon´taire dynamique (strat´gie), e e 508 Monte Carlo (m´thode de), 152, e 233­258, 283­293, 638 Mortgage (arbitrage de), 527 Multigestion, 29 Mutual fund, voir OPCVM

M

March´ e · Comptant, 610 · D´riv´, 610 e e · Organis´, 610 e Mark-to-market (valorisation), 477, 497, 622, 626, 639, 644 Market maker, 24 Market neutral, 528

N

NAV (Net Asset Value), 51, 645 Neumann (conditions de), 225 Newcits, 25 Newton-Raphson (algorithme de), 97, 120, 236, 482 Non funded (strat´gie), 50 e Non param´trique e · Estimation, 293­299

672

La gestion d'actifs quantitative

· R´gression, 297 e · Statistique, 572 Noyau (m´thode du), 78, 293 e

O

Obligation · Convertible, 527 · Gestion active, 27 · Valorisation, 615 OBPI (m´thode), 444 e Om´ga (mesure), 69 e Ondelettes (analyse en), 424­439 OPCVM, 22 Optimalit´ de Bellman, voir Proe grammation dynamique Optimisation · Lin´aire, 74 e · Non lin´aire, 119­143 e · Quadratique, 78 · Sous contraintes, 125, 126 Option · Call, 461, 468, 496, 613 · Contrat, 613 · Couverture dynamique, 639 · Put, 468, 496, 613 · Spread option, 207, 253 · Straddle, 485, 492 · Strangle, 465 · Strat´gie, 447, 461­485 e Ordre (statistique d'), 295 Ornstein-Uhlenbeck (processus de), 161, 227, 229, 238, 271, 282, 540, 555 Orthogonale (matrice), 170 Out-of-sample (simulation), voir In-sample

Polak-Ribiere (algorithme de), 123 Pont brownien, 242 Ponzi (sch´ma de), 218, 483 e Portage, 507, 616, 647 Portefeuille de march´, 98 e PPR (Projection Pursuit Regression), voir MARS Pr´diction-correction (algorithme e de), 209 Price-to-book (ratio), 555, 582 Pricing, voir Valorisation Private equity, 12, 21, 27 Probit (mod`le), 122, 270 e Probl`me inverse, 136 e Programmation · Dynamique, 143­167 · Lin´aire, 74 e · Quadratique, 78­118, 262

Q

QR (d´composition), 121, 184 e QuadPack, 205 Quadratique (interpolation), 84 Quadratures (m´thode des), 201, e 250 Quasi lin´aire (relation), 185 e Quasi Monte Carlo (m´thode de), e 255 Quasi-Newton (algorithme de), 122

R

Racine carr´e (matrice), 171, 197 e Racine unit´ (test de), 345 e Rang (statistique de), 554 Real estate, 21 Rebalancement (d'un portefeuille), 47, 596 R´duction de variance, 250 e R´gression (mod`le de) e e · De style, 16, 35, 84, 358 · Lin´aire, 84, 261­267 e · Loess, 297 · Non param´trique, 78, 297 e · Quantile, 76, 266, 298, 315 · Robuste, 265 Relative value, voir Arbitrage

P

P/E (ratio), 555, 581 Pair trading, 31, 530, 553 Parseval (d´composition de), 420 e Particulaire (filtrage), 370, 391 Performance (courbe de), 568 P´riodogramme, 405, 409, 430 e PIT (probability integral transform), 558

Index

673

Rendement actuariel, 516 Rentabilit´ (calcul de), 59 e R´plication (technique de), 28, 108, e 358, 365, 373 Reporting, 58 R´seau de neurones, 316­335, 554 e Rh^ de Spearman, 572 o Risk budgeting, voir Budget de risque Risque (mesure de), 61 ROC (Receiver Operating Characteristic), 575 Roll-down (strat´gie), 518 e Roll return, 633 Rotation du portefeuille, voir Turnover Rotation sectorielle (strat´gie), 547 e Runge-Kutta (algorithme de), 209

S

SABR (mod`le), 231, 658­661 e Schur (d´composition), 176, 200 e Scoring, 100, 553 Screening, 553, 580­583 SEC, 18 Sector neutral, 31, 528 S´lection (courbe de), 568 e Semi-variance, 67 Shannon (entropie de), 439, 563 Sharpe (ratio de), 65, 98 Sherman-Morrison-Woodbury (formule de), 121, 352 Short bias (strat´gie), 30 e Shrinkage (m´thode de), 308, 432 e SICAV, voir OPCVM Signal (d'achat ou de vente), 488 Simplexe · Algorithme, 74 · Approximation, 191 Simpson (m´thode de), 200 e Simulation, voir Monte Carlo Skew b^ta, 78, 337 e Small cap (facteur), 26, 35, 87, 365, 626 SMC (Sequential Monte Carlo), 371, 386

SMM (m´thode simul´e des moe e ments), 283 Sobol (g´n´rateur de), 256 e e SOM (self-organizing map), voir Kohonen Sortino (ratio de), 68 Spearman (rh^ de), 313 o Spectrale (analyse), 283, 395­424, 535 Spline (fonction), 194 Spot · March´, 610 e · Prix, 610, 620, 630, 633 · Taux, 514, 610 SQP (algorithme), 126, 193 Stationnaire (forme), 400 Stock picking, 25, 28, 31, 87, 530 Stop loss, 466, 506, 586 Structure par terme, voir Taux d'int´r^t ee Swap · Action, 626 · Change, 630 · Contrat, 612 Swap de variance, 489­509 Swaption, 526 Sym´trique (matrice), 170 e

T

Take profit, 589 Tau de Kendall, 572 Taux d'int´r^t ee · Carry, 519 · Eonia, 614 · Euribor, 614 · FRA, 620 · Instantan´, 614 e · Libor, 614 · Mon´taire, 613 e · Parit´ couverte (CIP), 509, e 630 · Parit´ non couverte (UIP), e 509 · Strat´gie, 514 e · Structure par terme, 173, 217, 227, 514, 615, 618

674

La gestion d'actifs quantitative

Taux de change (strat´gie), 487, e 509 Taux de succ`s, voir Hit rate e Th^ta (coefficient de sensibilit´), e e 486, 647 Th^ta-sch´ma, 223 e e Tobit (mod`le), 271 e Top-down (approche), 29, 547 Tracker, voir ETF Tracking error, 28, 103, 140, 538, 627 Trading de dispersion, 501 Transformations (m´thode des), e 236 Transform´e de Fourier, 405, 426 e Transform´e en ondelettes, 425 e Trap`zes (m´thode des), 200 e e Trend following, 31, 101, 135, 412, 462, 467, 534­540, 587 Tridiagonal (algorithme), 188, 195, 225 Turnover, 115, 597

VIX (indice de volatilit´), 417, e 504 Volatilit´ e · Arbitrage, 498, 525, 540 · Contr^le, 102, 531, 589 o · Estimation, 62, 130, 376 · Historique, 471 · Implicite, 471, 527, 649, 658 · Locale, 655 · R´alis´e, 489, 495, 650 e e · Smile, 497, 649 · Stochastique, 376, 383­394, 657 · Strat´gie, 484 e Vovol, 286, 383, 658

W

Whittle (estimation de), 406

Y

Yield book, 40 Yield curve, voir Taux d'int´r^t ee Yield-to-maturity, 517, 522

U

UCITS (directive), 17 Unitaire (matrice), 170 Utilit´ (fonction d'), 16, 123 e

Z

Z-score, 556 Z´ro-coupon, 151, 157, 174, 227, e 446, 514, 615

V

Valeur actuelle nette (VAN), 609 Valeurs propres (d´composition e en), 170, 198, 205 Valeurs singuli`res (d´composition e e en), 172 Valorisation, 609 Value · Facteur, 87, 626 · Style, 26 Value-at-Risk, 20, 64, 198 VAR (processus), 339, 356 Variance minimale (portefeuille de), 90, 130 Vasicek (mod`le de), 161, 227 e VECM (mod`le), 342­349, 542 e V´ga (coefficient de sensibilit´), e e 486, 494, 647

Table des mati`res e

Remerciements Pr´face e Introduction g´n´rale e e L'industrie de la gestion d'actifs ........................................... La r´glementation .............................................................. e Les diff´rents styles de gestion.............................................. e La gestion quantitative ....................................................... Plan du livre .....................................................................

5 7 9 9 17 26 32 41

Premi`re partie e Les outils math´matiques e

Chapitre 1 ­ La construction d'un backtest 1. Calcul de la trajectoire d'un panier de strat´gies .............. e 1.1. Les strat´gies financ´es ...................................... e e 1.2. Les strat´gies non financ´es ................................ e e 2. Prise en compte des frais de gestion ............................... 3. Couverture d'une position de change .............................. 4. Les effets de levier....................................................... 5. Le reporting d'un backtest............................................ 5.1. Les mesures de rentabilit´ .................................. e 47 47 47 50 51 55 56 58 59

676

La gestion d'actifs quantitative

5.2. 5.3. 5.4.

Les mesures de risque ........................................ Les mesures de performance ajust´e du risque ....... e Un exemple......................................................

61 65 69 73 74 74 76 76 78 78 84 90 94 100 103 114 119 119 122 125 126 128 130 136 143 144 153 155 169 170 170 187 191 191 194 196 200 208 221 233

Chapitre 2 ­ Les m´thodes d'optimisation e 1. La programmation lin´aire ........................................... e 1.1. L'algorithme du simplexe ................................... 1.2. La m´thode des points int´rieurs ......................... e e 1.3. Application ` la r´gression quantile...................... a e 2. La programmation quadratique ..................................... 2.1. Sp´cification d'un programme quadratique ............ e 2.2. Application ` la r´gression de style ...................... a e 2.3. Application au portefeuille de variance minimale.... 2.4. Probl`me d'allocation de Markowitz..................... e 2.5. Construction d'un portefeuille long/short avec contr^le de volatilit´ .......................................... o e 2.6. La gestion indicielle actions ................................ 2.7. Prise en compte des co^ts de transaction .............. u 3. L'optimisation non lin´aire ........................................... e 3.1. R´solution d'´quations non lin´aires ..................... e e e 3.2. Les algorithmes num´riques d'optimisation non e lin´aire ............................................................ e 3.3. La prise en compte de contraintes lin´aires d'´galit´ e e e 3.4. Le principe de la programmation quadratique s´quentielle ...................................................... e 3.5. Allocation strat´gique sous contraintes de e budget de risque ............................................... 3.6. La construction de portefeuilles diversifi´s............. e 3.7. Exemples de probl`mes inverses........................... e 4. La programmation dynamique ...................................... 4.1. L'approche de Bellman ...................................... 4.2. L'optimisation dynamique de portefeuille .............. 4.3. Quelques extensions du mod`le de Merton ............ e Chapitre 3 ­ Les m´thodes num´riques e e 1. L'alg`bre lin´aire ........................................................ e e 1.1. Les m´thodes de d´composition ........................... e e 1.2. Les matrices bandes et creuses ............................ 2. Les m´thodes d'approximation ...................................... e 2.1. Approximation d'un simplexe.............................. 2.2. Les fonctions splines cubiques ............................. 2.3. Approximation d'une matrice d´finie positive ........ e 2.4. L'int´gration num´rique ..................................... e e 2.5. La r´solution d'´quations diff´rentielles ordinaires .. e e e 2.6. La m´thode des diff´rences finies ......................... e e 3. Les m´thodes de simulation et de Monte Carlo ................ e

Table des mati`res e

677

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Simulation de nombres al´atoires ......................... e Simulation des processus de diffusion ................... Simulation d'une matrice de corr´lation ................ e La m´thode de Monte Carlo ............................... e

233 237 244 247

Deuxi`me partie e Les outils ´conom´triques e e

Chapitre 4 ­ Les outils statistiques 1. Les diff´rentes m´thodes d'estimation............................. e e 1.1. La r´gression lin´aire ......................................... e e 1.2. Le maximum de vraisemblance ............................ 1.3. La m´thode g´n´ralis´e des moments ................... e e e e 1.4. Les m´thodes d'estimation bas´es sur les simulations e e 1.5. L'estimation non param´trique............................ e 2. Mod´lisation de la d´pendance statistique ....................... e e 2.1. Mod´lisation des matrices de covariance et de e corr´lation ...................................................... e 2.2. Les fonctions copules ......................................... 3. Les r´seaux de neurones artificiels et autres mod`les stae e tistiques d'apprentissage............................................... 3.1. Le perceptron et les r´seaux de neurones multie couches ........................................................... 3.2. Les cartes de Kohonen ....................................... 3.3. Le mod`le MARS.............................................. e Chapitre 5 ­ La mod´lisation des s´ries temporelles e e 1. Les mod`les ARMA..................................................... e 1.1. Le cas du mod`le VAR(1)................................... e 1.2. Extension aux mod`les ARMA ............................ e 2. Les mod`les ` correction d'erreurs ................................. e a 2.1. La notion de coint´gration .................................. e 2.2. Les m´canismes ` correction d'erreurs .................. e a 2.3. Tests et estimation des relations de coint´gration ... e 3. Les mod`les espace-´tat ............................................... e e 3.1. Sp´cification et estimation d'un mod`le espace-´tat e e e 3.2. Quelques applications ........................................ 4. Les filtres particulaires................................................. ´ 4.1. Echantillonnage pr´f´rentiel ................................ ee 4.2. Calcul des poids pour les techniques SMC............. 4.3. Quelques exemples ............................................ 5. Les mod`les ` volatilit´ conditionnelle ou stochastique ...... e a e 5.1. Les mod`les ARCH et GARCH ........................... e 5.2. Les mod`les ` volatilit´ stochastique .................... e a e 6. L'analyse spectrale ...................................................... 261 261 261 266 275 283 293 298 299 312 316 318 334 336 339 339 339 340 342 342 344 344 349 349 351 370 371 371 373 376 378 383 395

678

La gestion d'actifs quantitative

7.

6.1. D´finition de la densit´ spectrale ......................... e e 6.2. Localisation dans le domaine des fr´quences .......... e 6.3. Quelques propri´t´s de la densit´ spectrale ............ ee e 6.4. L'estimation dans le domaine spectral .................. 6.5. Extension au cas multi-dimensionnel .................... 6.6. Quelques applications ........................................ L'analyse en ondelettes ................................................ 7.1. La repr´sentation temps-fr´quence ....................... e e 7.2. La transform´e en ondelettes .............................. e 7.3. Quelques applications ........................................ 7.4. L'analyse en paquets d'ondelettes ........................

395 396 398 405 409 411 424 424 425 430 438

Troisi`me partie e La gestion quantitative

Chapitre 6 ­ Les strat´gies quantitatives e 1. La gestion structur´e ................................................... e 1.1. L'assurance de portefeuille.................................. 1.2. L'approche coeur-satellite ................................... 2. Les strat´gies optionnelles ............................................ e 2.1. Dualit´ avec les strat´gies de gestion .................... e e 2.2. Les strat´gies de call et de put ............................ e 2.3. Les strat´gies plus complexes .............................. e 3. Les strat´gies de volatilit´ ............................................ e e 3.1. Relation avec les strat´gies optionnelles ................ e 3.2. Les swaps de variance ........................................ 4. Les strat´gies d'arbitrage et de portage .......................... e 4.1. Le carry trade .................................................. 4.2. Les strat´gies de taux d'int´r^t............................ e ee 4.3. Les strat´gies de cr´dit ...................................... e e 4.4. La strat´gie equity market neutral ........................ e 5. Les strat´gies de momentum ......................................... e 5.1. La strat´gie trend following ................................ e 5.2. La strat´gie mean reverting ................................ e 5.3. Les strat´gies de momentum et l'hypoth`se e e d'efficience des march´s ...................................... e 6. Les strat´gies global macro ........................................... e 6.1. La rotation sectorielle ........................................ 6.2. L'allocation tactique .......................................... Chapitre 7 ­ Les outils de scoring 1. La construction des scores ............................................ 1.1. Les m´thodes d'´laboration des scores .................. e e 1.2. L'agr´gation de scores........................................ e 2. L'´valuation des scores................................................. e 443 443 443 457 461 461 468 474 484 485 489 507 509 514 526 528 533 534 540 546 546 547 551 553 553 553 559 562

Table des mati`res e

679

3.

4.

2.1. L'entropie de Shannon ....................................... 2.2. Les outils graphiques ......................................... 2.3. Les mesures statistiques de performance ............... Les m´thodes d'apprentissage statistique ........................ e 3.1. Les m´thodes de boosting................................... e 3.2. Les m´thodes de bagging.................................... e Les outils de screening ................................................. 4.1. Le screening d'actions ........................................ 4.2. Le screening d'autres univers ..............................

563 567 572 577 578 580 580 581 583 585 586 586 589 592 592 595 596 597 597 601 607 609 610 610 610 613 613 615 620 624 625 626 627 629 630 630 630 631 632 634 636 639 643

Chapitre 8 ­ La gestion des risques 1. Le risque de perte ....................................................... 1.1. La d´finition de stop loss .................................... e 1.2. La gestion de l'exposition ................................... 2. Le risque de simulation ................................................ 2.1. Les donn´es ..................................................... e 2.2. L'estimation historique des param`tres ................. e 2.3. Le probl`me du rebalancement du portefeuille ....... e 3. Le risque d'investissement ............................................ 3.1. La rotation du portefeuille.................................. 3.2. La prise en compte de la liquidit´ ........................ e Conclusion g´n´rale e e Annexe ­ Les instruments financiers 1. Description g´n´rale des diff´rents types de contrats ......... e e e 1.1. Les titres au comptant ....................................... 1.2. Les produits d´riv´s .......................................... e e 2. Les produits de taux d'int´r^t ....................................... ee 2.1. Le march´ mon´taire ......................................... e e 2.2. Les obligations.................................................. 2.3. Les instruments ` terme ..................................... a 3. Les actions................................................................. 3.1. Mod`les de valorisation ...................................... e 3.2. Les contrats swaps sur actions............................. 3.3. Les indices d'actions .......................................... 4. Les devises................................................................. 4.1. Les forward de taux de change ............................ 4.2. Les swaps de change .......................................... 5. Les mati`res premi`res................................................. e e 5.1. Topologie des march´s de mati`res premi`res......... e e e 5.2. Sp´cificit´ des futures de mati`res premi`res .......... e e e e 6. La valorisation des produits optionnels ........................... 6.1. Le mod`le de Black et Scholes............................. e 6.2. La couverture dynamique en delta des produits optionnels ........................................................ 6.3. La gestion des options........................................

680

La gestion d'actifs quantitative

6.4.

Les autres mod`les de valorisation ....................... 653 e 663 667

Bibliographie g´n´rale e e Index

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137 pages

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