Read Bài tp s phc text version

Ngi dch LÊ L (CSP NINH THUN)

TITU ANDREESCU DORIN ANDRICA

BÀI TP S PHC

(98 VÍ D VÀ BÀI TP CÓ LI GII)

Bài tp s phc LI GII THIU

Nh tên sách, `'Complex Numbers from A to Z'', ni dung nguyên bn ph hu khp các vn liên quan s phc: t xây dng trng s phc, s phc dng lng giác, n hình hc phc... Ngi dch ch chn lc mt s vn lý thuyt, bài tp c bn, nâng cao ca s phc gii thiu bng ting Vit, ngõ hu phc v i tng bn c là hc sinh trung hc ph thông, sinh viên, ngi không chuyên làm toán vi s phc. Trong kh nng có th, ngi dch c gng dùng nhng thut ng ph bin nht hin nay. Tuy nhiên không th không dùng nhng thut ng nu thiu nó thì khó lòng din t các vn v s phc. Mi vic dù mun hay không, cng có th gây ra thiu, sót (hn ch sai, lm). Mong các em hc sinh, sinh viên và quý v thông cm. Ngi dch.

Lê L

Page 2

Bài tp s phc

Mc lc1 Mc lc............................................................................................................................................. 3 1. Dng i s ca s phc .................................................................................................................. 5 1.1 nh ngha s phc................................................................................................................. 5 1.2 Tính cht phép cng ................................................................................................................ 5 1.3 Tính cht phép nhân ............................................................................................................... 5 1.4 Dng i s ca s phc .......................................................................................................... 6 1.5 Ly tha ca n v o i .......................................................................................................... 8 1.6 S phc liên hp .................................................................................................................... 8 1.7 Môun ca s phc............................................................................................................... 10 1.8 Gii phng trình bc hai ...................................................................................................... 14 1.9 Bài tp............................................................................................................................... 17 1.10 áp s và hng dn ............................................................................................................. 22 2. Biu din hình hc ca s phc ....................................................................................................... 25 2.1 Biu din hình hc ca s phc................................................................................................ 25 2.2 Biu din hình hc ca Môun ................................................................................................ 26 2.3 Biu din hình hc các phép toán ............................................................................................. 26 2.4 Bài tp............................................................................................................................... 29 2.4 áp s và hng dn ............................................................................................................. 30 3 Dng lng giác ca s phc .......................................................................................................... 31 3.1 Ta cc ca s phc ......................................................................................................... 31 3.2 Biu din lng giác ca s phc ............................................................................................. 33 3.2 Các phép toán trên dng lng giác s phc............................................................................... 37 3.4 Biu din hình hc ca tích hai s phc ..................................................................................... 40 3.5 Bài tp ............................................................................................................................... 41 3.6 áp s và hng dn ............................................................................................................. 44 4 Cn bc n ca n v .................................................................................................................... 45 4.1 nh ngha cn bc n ca s phc ............................................................................................ 45 4.2 Cn bc n ca n v ............................................................................................................ 47 4.3 Phng trình nh thc ........................................................................................................... 51 4.4 Bài tp............................................................................................................................... 52 4.5 áp s và hng dn .................................................................................................................. 53

1

Có th click chut lên tiêu nhy n ni dung tng ng

Lê L

Page 3

Bài tp s phc

Lê L

Page 4

Bài tp s phc

1. Dng i s ca s phc 1.1 nh ngha s phc Xét R2 R R {( x, y) | x, y R} . Hai phn t ( x1 , y1 ) và ( x2 , y2 ) bng nhau

x1 y1

x2 y2

.

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) 2: Tng z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) 2. Tích z1.z2 ( x1 , y1 ).( x2 , y2 ) ( x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ) 2. Phép toán tìm tng hai s phc gi là phép cng. Phép toán tìm tích hai s phc gi là phép nhân. Ví d 1. a) z1 ( 5,6), z2 (1, 2) z1 z2 ( 5,6) (1, 2) ( 4, 4) . z1 z2 ( 5,6)(1, 2) ( 5 12,10 6) (7,16) . 1 1 1 b) z1 ( ,1), z2 ( , ) 2 3 2 1 1 1 5 3 z1 z2 ( ,1 ) ( , ) 2 3 2 6 2 1 1 1 1 1 7 z1z2 ( , ) ( , ) 6 2 4 3 3 12 nh ngha. Tp 2, cùng vi phép cng và nhân trên gi là tp s phc . Phn t (x,y) gi là mt s phc. 1.2 Tính cht phép cng (1) Giao hoán: z1 z2 z2 z1, z1, z 2 C . (2) Kt hp: ( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ), z1 , z2 , z3 C . (3) Tn ti phn t không: 0 (0,0) C , z 0 0 z z , z C . z C : z ( z) ( z) z 0 . (4) Mi s có s i: z C , S z1 z2 z1 ( z2 ) : hiu ca hai s z1 , z2 . Phép toán tìm hiu hai s gi là phép tr, z1 z2 ( x1 , y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 ) . 1.3 Tính cht phép nhân (1) Giao hoán: z1.z2 z2 .z1 , z1 , z2 C . Lê L

Page 5

Bài tp s phc (2) Kt hp: ( z1.z2 ).z3 z1.( z2 .z3 ), z1 , z2 , z3 C . (3) Tn ti phn t n v: 1 (0,1) C , z.1 1.z z, z C . (4) Mi s khác 0 có s nghch o: z C* , z 1 C : z.z 1 z 1.z 1 . Gi s z ( x, y) C* , tìm z 1 ( x ', y ') , xx yy 1 . Gii h, cho ta ( x, y).( x ', y ') (1, 0) yx xy 0 x y . Vy x' ,y x2 y 2 x2 y 2 1 x y z1 ( 2 , 2 ) 2 z x y x y2 Thng hai s z1 ( x1 , y1 ), z ( x , y ) *là z1 x y x x y y x y y1x z1.z 1 ( x1, y1 ).( 2 , 2 ) ( 1 2 12 , 12 ) C. 2 2 z x y x y x y x y2 Phép toán tìm thng hai s phc gi là phép chia. Ví d 2. a) Nu z (1,2) thì 1 2 1 2 z1 ( 2 , 2 ) ( , ). 1 2 2 1 22 5 5 b) Nu z1 (1,2), z2 (3,4) thì z1 3 8 4 6 11 2 ( , ) ( , ). z2 9 16 9 16 25 25 * Ly tha s m nguyên ca s phc: z , z 0 1; z1 z; z 2 z.z; z n , n nguyên dng. z.z. z

n

z ( z ) n , n nguyên âm. 0 n 0 , mi n nguyên dng. (5) Tính phân phi ca phép nhân vi phép cng: z1.( z2 z3 ) z1.z2 z1.z3 , z1 , z2 , z3 C Nhng tính cht trên ca phép nhân và cng, chng t cùng hai phép toán cng và nhân là mt trng.

1.4 Dng i s ca s phc Dng i s ca s phc c nghiên cu sau ây:

n

1

Lê L

Page 6

Bài tp s phc Xét song ánh2

f :R R {0}, f ( x) ( x,0) . y,0) ; ( x,0).( y ,0) ( xy ,0) .

Hn na

( x,0) ( y,0) ( x

Ta ng nht (x,0)=x. t i=(0,1)

( x, y ) ( x,0) (0, y ) ( x,0) ( y,0).(0,1) x yi ( x,0) (0,1)( y,0) x iy . nh lý . S phc bt k z=(x,y) c biu din duy nht dng z=x+yi, x,y , trong ó i2=-1. H thc i2=-1, c suy t nh ngha phép nhân : i 2 i.i (0,1).(0,1) ( 1,0) 1 . Biu thc x+yi gi là dng i s ca s phc z=(x,y). Do ó: C {x yi | x R, y R, i 2 1} . x=Re(z): phn thc ca z. y=Im(z): phn o ca z. n v o là i. (1) Tng hai s phc z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C . Tng hai s phc là mt s phc , mà phn thc ( phn o) ca nó bng tng hai phn thc (phn o) ca hai s ã cho. (2) Tích hai s phc z1.z2 ( x1 y1i ).( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) ( x1 y2 x2 y1 )i C . (3) Hiu hai s phc z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i C . Hiu hai s phc là mt s phc , mà phn thc ( phn o) ca nó bng hiu hai phn thc(phn o) ca hai s phc ã cho. Khi thc hành cng, tr , nhân s phc thc hin tng t quy tc tính a thc ch cn lu ý i2 1 là . Ví d 3. 5 6i, z2 1 2i a) z1 z1 z2 ( 5 6i ) (1 2i) 4 4i . z1 z2 ( 5 6i )(1 2i ) 5 12 (10 6)i 7 16i . 1 1 1 b) z1 i , z2 i 2 3 2 z

2

f là mt ng cu

Lê L

Page 7

Bài tp s phc

z1

z2

z1z2

1 i) ( 2 1 1 ( i)( 2 3 (

1 1 i) 3 2 1 1 i) 2 6

1 1 1 5 3 (1 )i i 2 3 2 6 2 1 1 1 1 7 ( )i i. 2 4 3 3 12

1.5 Ly tha ca n v o i i 0 1; i1 i; i 2

4 3 5 4

1; i3

6

i 2 .i

5

i,

7 6

.

i i .i 1; i i .i i; i i .i 1; i i .i i Bng quy np c : i 4n 1; i 4n 1 i; i 4n 2 1; i 4n 3 i, n * Do ó i n { 1,1, i, i}, n . Nu n nguyên âm , có 1 i n (i 1 ) n ( ) n ( i) n . i Ví d 4. a) i105 i 23 i 20 i 34 i 4.26 1 i 4.5 3 i 4.5 i 4.8 2 i i 1 1 2 . b) Gii phng trình : z3 18 26i, z x yi, x, y Z . Ta có ( x yi)3 ( x yi)2 ( x yi) ( x2 y 2 2xyi)( x yi) ( x3 3xy 2 ) (3x2 y y3 )i 18 26i. S dng nh ngha hai s phc bng nhau, c: x3 3xy 2 18 y 3 26 t y=tx, 18(3x2 y y3 ) 26( x3 3xy 2 ) ( cho ta x 0 và y 0) 18(3t t 3 ) 26(1 3t 2 ) (3t 1)(3t 2 12t 13) 0. Nghim hu t ca phng trình là t=1/3. Do ó x=3, y=1 z=3+i.

1.6 S phc liên hp Cho z=x+yi. S phc z x yi gi là s phc liên hp ca z. nh lý. (1) z z z R, (2) z z , (3) z.z là s thc không âm, Lê L

Page 8

3x 2 y

Bài tp s phc (4) z1 (5) z1.z2 (6) z (7) (8) (1) (2) (3)

1

z2

z1 z1.z2 ,

z2 ,

(z ) 1 , z C* ,

z1 , z2 C* , z2 z z z z Re( z ) , Im(z)= 2 2i Chng minh. z z x yi x yi. Do ó 2yi=0 y=0 z=x . z x yi, z x yi z. z.z ( x yi)( x yi) x2 y 2

z1 z2

0

x2 ) ( y1 y2 )i x2 y1 )

(4) z1 (5) z1.z2

z2

( x1 ( x1x2

x2 ) ( y1

y2 )i ( x1

( x1

y1i) ( x2

y2i)

z1

z2 .

x2 y1 ) ( x1x2 y1 y2 ) i ( x1 y2

y1 y2 ) i( x1 y2 z1 z2 .

( x1 iy1 )( x2 iy2 )

(6) z.

1 1 1 ( z. ) 1 z z 1 tc là ( z ) ( z ) 1.

z1 z2 ( z1.

1 z .( ) 1, z

1 1 1 z1 ) z1.( ) z1. . z2 z2 z2 z2 (8) z z ( x yi ) ( x yi) 2 x. z z ( x yi ) ( x yi ) 2 yi. z z z z Do ó: Re( z ) , Im(z)= 2 2i Lu ý. a) Vic tính s nghch o ca s phc khác 0, c tin hành: 1 z x yi x y i 2 2 2 2 2 z z.z x y x y x y2 b) Tính thng hai s phc: z1 z1.z2 ( x1 y1i )( x2 y2i ) ( x1 x2 y1 y2 ) x1 y2 x2 y1 i 2 2 2 2 2 2 z2 z2 .z2 x2 y2 x2 y2 x2 y2

(7)

Lê L

Page 9

Bài tp s phc Khi thc hành tìm s nghch o, tìm thng thc hin tng t quy tc tính a thc ch cn lu 1 là . ý i2 Ví d 5. a) Tìm s nghch o ca z 10 8i .

z

1

(10 8i)

1

1 10 8i 2 i 41

1(10 8i) (10 8i)(10 8i)

10 8i 102 82

b) Tính z

10 8i 5 164 82 5 5i 20 . 3 4i 4 3i (5 5i)(3 4i) z 9 16i 2

c) Cho z1 , z2

C . Chng t E

20(4 3i) 5 35i 16 9i 2 25 75 25i 3 i. 25 z1.z2 z1.z2 là mt s thc

z1z2 z1.z2 E E

80 60i . 25

E

z1 z2

z1z2

R.

1.7 Môun ca s phc S | z | x 2 y 2 gi là Môun ca s phc z=x+yi. Ví d 6. Cho z1 4 3i, z2 3i, z3

| z1 | 42 32 5, | z2 | 02 ( 3)2

2,

3, | z3 |

22

2.

nh lý. (1) | z | Re( z ) | z |, | z | Im( z ) | z | . z 0. (2) | z | 0,| z | 0 (3) | z | | z | | z | . (4) z.z z 2 . (5) | z1 z2 | | z1 || z2 | . (6) | z1 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | . (7) | z 1 | z (8) | 1 | z2 (9) | z1 | Lê L

| z | 1 , z C* | z1 | , z2 C * . | z2 | | z2 | | z1 z2 | | z1 | | z2 | .

Page 10

Bài tp s phc Chng minh D kim tra (1)-(4) úng (5) | z1.z2 |2 ( z1.z2 )( z1z2 ) ( z1.z1 )( z2 z2 ) | z1 |2| z2 |2 | z1 z2 | | z1 || z2 | . (6) | z1

z2 |2 ( z1

z1 z2

z2 )( z1 z1z2

z2 ) ( z1

z2 )( z1

z2 ) | z1 |2 z1 z2

z1 z2 | z2 |2

Bi vì z1 z2 Do ó

z1z2 , kéo theo

z1 z2

2 e( z1 z2 ) 2 | z1 z2 | 2 | z1 || z2 | 2 | z1 || z2 | .

| z1 z2 |2 (| z1 | | z2 |)2 . Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | . Bt ng thc bên trái có c do: | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 z2 | | z2 | | z1 | | z2 | | z1 z2 | 1 1 1 1 1 | z |. 1 (7) z. . z z z |z| Nên | z 1 | | z | 1 , z C* .

z1 1 | z1 | . | z1 | | z1z2 1 | | z1 || z2 1 | | z1 || z2 | 1 z2 z2 | z2 | (9) | z1 | | z1 z2 z2 | | z1 z2 | | z2 | Nên | z1 z2 | | z1 | | z2 | . Mt khác | z1 z2 | | z1 ( z2 ) | | z1 | | z2 | | z1 | | z2 | .

(8) Bt ng thc | z1 z2 | | z1 | | z2 | là ng thc Re( z1 z2 ) | z1 || z2 | , tc là z1 tz2 , t là s thc không âm. Bài tp 1. Chng minh | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ) . Li gii. S dng tính cht (4), | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 ) ( z1 z2 )( z1 z2 )

z2 z1 | z2 |2 | z1 |2 z1 z2 z2 z1 | z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ) . z z Bài tp 2. Chng minh nu | z1 | | z2 | 1, z1 z2 1 thì 1 2 là s thc. 1 z1 z2 Li gii. S dng tính cht (4),

Lê L

Page 11

| z1 |2 z1 z2

Bài tp s phc

z1 z1 | z1 |2 1, z1 1 . z1

Tng t, z2

1 , t s trên là A, z2

A

z1 z2 1 z1 z2

1 z2 1 1 1 z1 z2

1 z1

z1 z2 1 z1 z2

A.

Vy A là s thc. Bài tp 3. Cho a là s thc dng và t

1 | a . z Tìm giá tr nh nht và giá tr ln nht ca |z| khi z M0. Li gii. 1 2 1 1 z2 z 2 1 2 2 a |z | (z )( z ) |z| 2 z z z |z| | z |2 | z |4 ( z z ) 2 2 | z |2 1 . | z |2 Do ó | z |4 | z |2 (a2 2) 1 ( z z )2 0. M0 z C * ,| z

|z|

2

[

a2

2 2 a

a4

4a 2 a 2 ;

2 2

a4

4a 2

]

a2 4 a a2 4 |z| [ ; ]. 2 2 a a2 4 a a2 4 max | z | ,min | z | . 2 2 z M,z z. Bài tp 4. Chng minh mi s phc z, 1 , hoc | z 2 1 | 1. | z 1| 2 Li gii. Phn chng 1 và | z 2 1 | 1. | z 1| 2 2 2 2 t z=a+bi z a b 2abi.

Lê L

Page 12

Bài tp s phc

(1 a 2 b 2 ) 2 4a 2b 2 1,(1 a) 2 1 , 2 b2 ) 4a 1 0. b2

(a2 b2 )2 2(a2 b2 ) 0,2(a2 Cng các bt ng thc c (a2 b2 )2 (2a 1)2 0. Mâu thun Bài tp 5. Chng minh 7 7 |1 z | |1 z z 2 | 3 , z, |z|=1. 2 6 Li gii. t t |1 z | [0;2] . t2 2 t 2 (1 z )(1 z ) 2 2 Re( z ) Re( z ) . 2 Khi ó | 1 z z 2 | | 7 2t 2 |. Xét hàm s

f :[0;2] R, f (t ) t

t | 7 2t 2 |

| 7 2t 2 |.

f( 7 7 ) 3 . 6 6

c

f( 7 ) 2 7 2

Bài tp 6. Xét

H {z C , z x 1 xi, x R} . Chng minh rng tn ti duy nht s phc z H ,| z | | w |, w H . Li gii. t y 1 yi, y R. Là nu chng minh c ,tn ti s thc duy nht x sao cho

Lê L

Page 13

Bài tp s phc

( x 1)2 x2 Nói cách khác , x là im cc tiu hàm s

f :R R, f ( y ) ( y 1) 2

( y 1)2

y2 2 y2

y 2 , y R.

2 y 1 2( y 1 2 ) 2 1 , 2

Do ó im c tiu là

1 1 1 z i. 2 2 2 Bài tp 7. Cho x,y,z là các s phc phân bit sao cho y tx (1 t ) z , t (0;1). Chng minh rng | z| | y| | z| | x| | y| | x| . |z y| | z x| | y x| Li gii. T h thc y tx (1 t ) z , z y t ( z x). Bt ng thc | z| | y| | z| | x| . |z y| | z x| tr thành | z | | y | t (| z | | x |), hay | y | (1 t ) | z | t | x | . Vn dng bt ng thc tam giác cho y (1 t ) z tx , ta có kt qu. Bt ng thc th hai , c chng minh tng t, bi y tx (1 t ) z tng ng vi y x (1 t )( z x). x

1.8 Gii phng trình bc hai Phng trình bc hai vi h s thc ax2 bx c 0, a 0 b 2 4ac âm. vn có nghim phc trong c trng hp bit thc Phân tích v trái b 2 a[( x ) ] 0 2a 4a 2 Lê L

Page 14

Bài tp s phc

b 2 2 ) i ( )2 2a 2a

hay ( x

0.

b i b i , x2 . 2a 2a Rõ ràng hai nghim là hai s phc liên hp và phân tích nhân t c ax2 bx c a( x x1 )( x x2 ) trong c trng hp <0. Bây gi xét phng trình bc hai vi h s phc az 2 bz c 0, a 0 S dng phân tích nh trên , c b 2 a[( z ) ] 0 2a 4a 2 b 2 (z hay ) 2a 4a 2 (2az b)2 , t y=2az+b, phng trình tr thành y2 u vi, u,v Phng trình có nghim r u r u y1,2 ( ( sgnv) i). 2 2

Do ó x1

ây r=|| và sgnv là du ca v.Vy nghim phng trình ban u là 1 z1,2 ( b y1,2 ) . 2a Quan h nghim và h s b c z1 z2 , z1z2 , 2a a Và luôn có phân tích nhân t az 2 bz c a( z z1 )( z z2 ) . Bài tp 8. Gii phng trình h s phc z 2 8(1 i) z 63 16i 0. Li gii. (4 4i)2 (63 16i) 63 16i Lê L

Page 15

Bài tp s phc

r | | 632 162 65 .

Phng trình

y2

Có nghim y1,2

( 65 63 2 i

63 16i

65 63 ) (1 8i) . Kéo theo 2 z1,2 4 4i (1 8i). Do ó z1 5 12i, z2 3 4i Ta có th dùng cách khác gii phng trình bc hai trên. (4 4i)2 (63 16i) 63 16i Tìm hai cn bc hai ca 63 16i , tc là tìm z x yi, z 2 63 16i x 1 x2 y 2 63 2 2 x y 2 xyi 63 16i . y 8 xy 8 ' có hai cn bc hai là 1-8i, -1+8i. Phng trình có hai nghim z1 4(1 i ) (1 8i) 5 12i,

z2 4(1 i ) (1 8i ) 3 4i Bài tp 9. Cho p, q là hai s phc , q 0. Chng minh rng nu các nghim phng trình bc p hai x2 px q 0 có Môun bng nhau, thì là mt s thc q Li gii. gi x1, x2 là các nghim phng trình và r | x1 | | x2 | . Khi ó p 2 ( x1 x2 ) 2 q2 x1 x2 Là s thc. Hn na x1 x2 x2 x1 2 x1 x2 r2 x2 x1 r2 2 2 2 Re( x1 x2 ) r2

Re( x1 x2 )

Vy

| x1 x2 |

r 2 , do ó

p2 q2

0.

p là mt s thc. q Bài tp 10. Cho a,b,c là ba s phc khác 0 phân bit vi |a|=|b|=|c|. a) Chng minh rng nu mt nghim phng trình az 2 bz c 0 có Môun bng 1 thì b2=ac. b) Nu mi phng trình az 2 bz c 0, bz 2 cz a 0 có mt nghim có Môun bng 1 thì |a-b|=|b-c|=|c-a|.

Lê L

Page 16

Bài tp s phc Li gii. a) gi z1 , z2 là các nghim phng trình vi |z1|=1. T z2

c 1 |. 1. Bi vì z1 a | z1 | ng vi | z2 | | c 1 . a z1

kéo theo

z2

b ,| a | | b |, ta có | z1 a

z2 )( 1 z1

z2 |2 1. H thc tng

( z1

z2 )( z1

z2 ) 1 , tc là ( z1

1 ) 1. z2

( z1

b) Theo câu a) b2

z2 )2

z1z2 , hay (

ac, c2

b 2 c b 2 ac . ) a a ab . Nhân các h thc c b2c 2 a 2bc a 2 b 2 c 2 ab bc ca.

a2

bc. Do ó

H thc tng ng vi

(a b)2 (b c)2 (c a)2

Tc là

0,

(a b)2 (b c)2 2(a b)(b c) (c a)2 2(a b)(b c). Kéo theo (a c)2 (a b)(b c) . Ly giá tr tuyt i, c 2 , 2 2 | b c |, | c a |, | a b | . Tng t c ây . Cng , các h thc, c

2 2 2

Tc là (

)2 (

)2 (

)2

0 . Do ó ==.

1.9 Bài tp 1. Cho các s phc z1 1 2i, z2 a) z1 z2 z3 , b) z1 z2 z2 z3 z3 z1 , c) z1 z2 z3 ,

2 2 z2 z3 , z2 z3 , z3 z1 2 z12 z2 f) 2 . 2 z 2 z3 2. Gii phng trình a) z 5 7i 2 i;

2 3i, z3 1 i . Tính

d) z12 z e) 1 z2

Lê L

Page 17

Bài tp s phc

5 i; b) 2 3i z c) z (2 3i) 4 5i ; z d) 3 2i . 1 3i 3. Trong C, gii phng trình sau a) z 2 z 1 0; b) z 3 1 0.

n

4. Cho z=i. Tính

k 0

z k , tùy theo s nguyên dng n .

5. Gii phng trình 1 3i; a) z (1 2i) b) (1 i) z 2 1 7i. 6. Cho z=a+bi. Tính z 2 , z 3 , z 4 . 7. Cho z0 a bi. Tìm z C sao cho z 2 8. Cho z=1-i. Tính z n , n nguyên dng. 9. Tìm các s thc x, y sao xho a) (1 2i) x (1 2 y)i 1 i; x 3 y 3 b) i; 3 i 3 i c) (4 3i ) x 2 10. Tính a) (2 b) (2 1 c) ( 1

(3 2i ) xy 4 y2

z0 .

1 2 x 2

(3xy 2 y 2 )i.

i )( 3 2i )(5 4i ); 4i)(5 2i ) (3 4i)( 6 i); i 16 1 i 8 ) ( ); i 1 i 1 i 3 6 1 i 7 6 d) ( ) ( ); 2 2 3 7i 5 8i e) . 2 3i 2 3i 11. Tính a) i 2000 i1999 i 201 i82 i 47 ; b) En 1 i i 2 i3 i n ; n 1;

c) i1.i 2 .i3. i 2000 ; Lê L

Page 18

Bài tp s phc d) i 5 ( i) 7 ( i)13 i 12. Gii phng trình a) z 2 i; b) z 2 i; 1 2 c) z 2 i ; 2 2 13. Tìm các s phc z 0 sao cho z 14. Chng minh rng a) E1 (2 i 5)7

19 7i b) E2 9 i 15. Chng minh a) | z1 z2 |2 | z2

n

100

( i)94 ;

1 z

R

(2 i 5)7

20 5i 7 6i

n

R;

R.

z3 |2 | z3

z1 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 | z1

z2

z3 |2 ;

b) |1 z1 z2 |2

| z1

z2 |2 (1 | z1 |2 )(1 | z2 |2 );

c) |1 z1 z2 |2 | z1 z2 |2 (1 | z1 |2 )(1 | z2 |2 ); d) | z1 z2 z3 |2 | z1 z2 z3 |2 | z1 z2 z3 |2 | z1 4(| z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 )2 . 1 1 | 2. Chng minh | z | 2. 16. Cho z C * , | z 3 3 z z 17. Tìm tt c các s phc z sao cho | z | 1,| z 2 z 2 | 1 . 18. Tìm tt c các s phc z sao cho 4z 2 8 | z |2 8. 19. Tìm tt c các s phc z sao cho z 3 z . 20. Xét z , Re(z)>1. Chng minh 1 1 1 | | . z 2 2 1 3 21. Cho các s thc a,b và i . Tính 2 2 (a b c 2 )(a b 2 c ) . 22. Gii phng trình a) | z | 2 z 3 4i; Lê L

z2

z3 |2

Page 19

Bài tp s phc b) | z | z 3 4i; c) z3 2 11i, z x yi, x, y Z d) iz 2 (1 2i) z 1 0; e) z 4 6(1 i) z 2 5 6i 0; f) (1 i)z 2 2 11i 0. 23. Tìm tt c các s thc m sao cho phng trình z3 (3 i) z 2 3z (m i) 0 Có ít nht mt nghim thc. 24. Tìm tt c các s phc z sao cho z ' ( z 2)( z i ) là s thc. 1 25. Tìm tt c s phc z sao cho | z | | | . z 26. Cho z1 , z2 C , sao cho | z1 z2 | 3,| z1 | | z2 | 1 . Tính | z1 z2 | . 27. Tìm tt c các s nguyên dng n sao cho 1 i 3 n 1 i 3 n ( ) ( ) 2. 2 2 28. Cho s nguyên n>2. Tìm s nghim phng trình z n 1 iz . 29. Cho z1 , z2 , z3 là ba s phc | z1 | | z2 | | z3 | R 0 . Chng minh | z1 z2 || z2 z3 | | z3 z1 || z1 z2 | | z2 z3 || z3 z1 | 9R2 . v(u z ) 30. Cho u,v,w là ba s phc | u | 1,| v | 1, w . Chng minh | w | 1 | z | 1 . u .z 1 31. Cho z1 , z2 , z3 là ba s phc sao cho z1 z2 z3 0,| z1 | | z2 | | z3 | 1. Chng minh 2 2 z12 z2 z3 0 . 32. Cho các s phc z1 , z2 , , zn sao cho | z1 | | z2 | | zn | r 0 Chng t ( z1 z2 )( z2 z3 ) ( zn 1 zn )( zn z1 ) E là s thc. z1 z2 zn 33. Cho các s phc phân bit z1 , z2 , z3 sao cho Lê L

Page 20

Bài tp s phc

| z1 | | z2 | | z3 | 0 z1 z2 là các s thc, chng t z1 z2 z3 1 .

Nu z1 z2 z3 , z2 z3 z1 , z3 34. Cho x1 , x2 là các nghim phng trình x 2

x 1 0 . Tính

2000 a) x12000 x2 ; 1999 b) x1 x1999 ; 2 n n c) x1 x2 ; n N . 35. Phân tích thành tích các a thc bc nht các a thc a) x4 16; b) x 3 27 ; c) x3 8 ; d) x 4 x 2 1. 36. Tìm tt c các phng trình bc hai h s thc có mt trong các nghim sau a) (2 i )(3 i) ; 5 i b) ; 2 i c) i 51 2i80 3i 45 4i 38 . 37. (Bt ng thc Hlawka) chng minh | z1 z2 | | z2 z3 | | z3 z1 | | z1 | | z2 | | z3 | | z1 z2 z3 |, z1 , z2 , z3 C

Lê L

Page 21

Bài tp s phc 1.10 áp s và hng dn

Lê L

Page 22

Bài tp s phc

8. Vi mi s nguyên k không âm, ta có

Lê L

Page 23

Bài tp s phc

37.

2 | z1 z2 | .| z2 z3 | 2 | z2 ( z1 z2 z3 ) z1 z3 | 2 | z2 | .| z1 z2 z3 | 2 | z1 || z3 | 2 | z2 z3 | .| z3 z1 | 2 | z3 | .| z1 z2 z3 | 2 | z2 || z1 | 2 | z3 z1 | .| z1 z2 | 2 | z1 | .| z1 z2 z3 | 2 | z2 || z3 |

Cng các bt ng thc vi

| z1 z2 |2 | z2 z3 |2 | z3 z1 |2 | z1 |2 | z2 |2 | z3 |2 | z1 z2 z3 |2

có iu phi chng minh.

Lê L

Page 24

Bài tp s phc

2. Biu din hình hc ca s phc 2.1 Biu din hình hc ca s phc nh ngha. im M(x,y) trên mt phng Oxy gi là im biu din hình hc ca s phc z=x+yi. S phc z=x+yi gi là ta phc ca im M(x,y). ta dùng ký hiu M(z) ch ta phc ca M là z. Mt phng ta vi vic biu din s phc nh trên gi là mt phng phc.

Các im M,M' (tng ng vi z , z ) i xng nhau qua Ox. Các im M,M'' (tng ng vi z, z ) i xng nhau qua gc ta O.

Mt khác, ta có th ng nht s phc z=x+yi vi v OM , M(x,y) .

Lê L

Page 25

Bài tp s phc

2.2 Biu din hình hc ca Môun z x yi. OM x 2 y 2 | z | . Khong cách t M(z) n O là Môun ca s phc z. Lu ý. a) Vi s thc dng r, tp các s phc vi Môun r biu din trên mt phng phc là ng tròn (O;r). b) Các s phc z, |z|<r là các im nm trong ng tròn (O;r). Các s phc z, |z|>r là các im nm ngoài ng tròn (O;r). 1 3 Ví d 7. Các s phc zk i, k 1,2,3,4 c biu din trong mt phng phc 2 2 bi bn im trên ng tròn n v tâm O. Bi vì | z1 | | z2 | | z3 | | z4 | 1 . 2.3 Biu din hình hc các phép toán (1) Phép toán cng và nhân. Xét s phc z1 x1 y1i, z2 x2 y2i và các vect tng ng v1 x1i y1 j , v2 x2i y2 j . Tng hai s phc z1 z2 ( x1 y1i ) ( x2 y2i ) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i . Tng hai vect v1 v2 ( x1 x2 )i ( y1 y2 ) j . Tng z1 z2 tng ng vi vect tng v1 v2 .

Lê L

Page 26

Bài tp s phc

Ví d 8. a) (3 5i) (6 i) 9 6i : biu din hình hc ca tng hình 1.5. b) (6 2i) ( 2 5i) 4 3i : biu din hình hc hình 1.6.

Tng t, hiu z1 z2 tng ng vi vect v1 v2 c) Ta có ( 3 i) (2 3i) ( 3 i) ( 2 3i)

5 2i , hình 1.7.

d) (3 2i ) ( 2 4i ) (3 2i ) (2 4i ) 5 2i , hình 1.8. Lê L

Page 27

Bài tp s phc Khong cách hai im M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x2 , y2 ) bng Môun ca s phc z1 z2 bng dài vect v1 v2 . M1M 2 | z1 z2 | | v1 v2 | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 . (2) Tích ca s phc vi s thc. Xét s phc z=x+yi và vect tng ng v xi yj . Nu là s thc thì tích z= x+yi tng ng vi vect v xi yj . Nu >0 thì v , v cùng hng và | v | | v |. Nu <0 thì v , v ngc hng và | v| | v |. Tt nhiên , =0 thì v 0 .

Ví d 9. a) Ta có 3(1 2i ) 3 6i , hình 1.10 b) 2( 3 2i) 6 4i

Lê L

Page 28

Bài tp s phc

2.4 Bài tp 1. Biu din hình hc các s phc sau trên mt phng phc z1 3 i, z2 4 2i, z3 5 4i, z4 5 i, z5 1, z6 3i, z 7 2i, z8 4. 2. Biu din hình hc các h thc 3 i; a) ( 5 4i) (2 3i) b) 4 i 6 4i 2 3i ; c) ( 3 2i) ( 5 i) 2 3i ; d) (8 i ) (5 3i ) 3 4i ; 8 4i ; e) 2( 4 2i) f) 3( 1 2i) 3 6i . 3. Biu din hình hc z a) | z 2 | 3 ; b) | z i | 1; c) | z 1 2i | 3 ; d) | z 2 | | z 2 | 2 ; e) 0 Re( z ) 1 ; f) 1 Im( z ) 1 ; z 2 ) 0; g) Re( z 1 1 z R h) z 4. Tìm tp các im M(x,y) trong mt phng phc Lê L

Page 29

Bài tp s phc

| x 2 4 i y 4 | 10 . 1 i . Tìm z3 sao cho các im biu din ca z1 , z2 , z3 to

5. Cho z1 1 i, z 2 thành tam giác u. 6. Tìm các im biu din z, z 2 , z 3 sao cho chúng to thành tam giác vuông. 7. Tìm các im biu din s phc z sao cho 1 |z | 2. z 2.4 áp s và hng dn

3. a) ng tròn tâm (2,0) bán kinh 3. b) Hình tròn tâm (0,-1) bán kính 1. c) Phn ngoài ng tròn tâm (-1,-2) bán kính 3.

7.Hp hai ng tròn

x2 y2 2 y 1 0, x 2 y2 2y 1 0 .

Lê L

Page 30

Bài tp s phc

3 Dng lng giác ca s phc 3.1 Ta cc ca s phc Trong mt phng Oxy, cho M(x,y) khác gc to .

x 2 y 2 gi là bán kính cc ca im M. S o [0;2) ca góc lng giác S thc r (Ox, OM ) gi là argument ca M. Cp có th t (r,) gi là ta cc ca M, vit M(r,). Song ánh h : R R (0,0) (0, ) [0,2 ), h(( x, y)) ( r , ) im gc O là im duy nht có r=0, không xác nh. Mi im M trong mt phng có P là giao im duy nht ca tia OM vi ng tròn n v tâm O. Rõ ràng x r cos . y r sin Xét argument cc ca M vi các trng hp sau:

a) Nu x 0, t tan

y , c x arctan y x k ,

ây

Lê L

Page 31

Bài tp s phc

0, x 0 & y 0 k 1, x 0, y R 2, x 0, y 0

b) Nu x= 0, và y 0 c

,y 0 2 . 3 ,y 0 2

Ví d 10. Tìm các ta cc ca M1 (2, 2), M 2 ( 1,0), M 3 ( 2 3, 2), M 4 ( 3,1), M 5 (3,0), M 6 ( 2,2), M 7 (0,1), M 8 (0, 4) D thy 7 7 r1 22 ( 2) 2 2 2; 1 arctan( 1) 2 2 , M 1 (2 2, ) . 4 4 4 r2 1; 2 arctan 0 , M 2 (1, )

r3 r4

r5

r6

3 7 7 , M 3 (4, ) 3 6 6 3 2; 4 arctan , M 4 (2, ) 3 6 6 3; 2 arctan 0 0 0, M 5 (3,0) 3 3 2 2; 6 arctan( 1) , M 6 (2 2, ) 4 4 4 4;

2

arctan

, M 7 (1, ) 2 2 3 3 r8 4; 8 , M 8 (1, ) . 2 2 Ví d 11.Tìm ta vuông góc ca các im cho bi ta cc 2 7 M1 (2, ), M 2 (3, ), M 3 (1,1) . 3 4 2 1 2 3 x1 2cos 2( ) 1, y1 2sin 2 3, M1 ( 1, 3) . 3 2 3 2 7 3 2 7 3 2 3 2 3 2 x2 3cos , y2 3sin , M2( , ). 4 2 4 2 2 2 Tng t x3 cos1, y3 sin1, M 3 (cos1,sin1) .

7

r7 1;

Lê L

Page 32

Bài tp s phc 3.2 Biu din lng giác ca s phc Cho s phc z=x+yi ta có th vit z dng cc: z r (cos i sin ) , [0;2 ) . r=|z| [0,), là mt argument ca z và Vi z 0, r và xác nh duy nht. i sin ) , t 2k , k Z thì Xét z r (cos z r[cos( 2k ) i sin( 2k )] r (cos i sin ) Tc là , vi s phc bt k z có th vit z r (cos t i sin t ), r 0, t R . Khi ó ta nói z c biu din dng lng giác. 2k , k Z } gi là argument m rng ca z. Tp Argz {t , t Do ó hai s phc z1 , z2 0 biu din dng lng giác r1 r2 z1 r1 (cos t1 i sin t1 ), z2 r2 (cos t2 i sin t2 ) bng nhau , k t1 t2 2k Ví d 12. Vit các s sau di dng cc và xác nh tp Argz 1 i, a) z1 b) z2 2 2i , c) z3

1 i 3,

d) z4 1 i 3 a) P ( 1, 1) nm góc phn t th ba. 1

r1

( 1)2 ( 1)2

2,

arctan

y x

arctan1

4

5 4

z1

2(cos

5 4

i sin

5 ) 4

Page 33

Lê L

Bài tp s phc

5 4

Argz1 {

2k , k

Z} .

b) P2 (2, 2) nm góc phn t th nht

r2

z2

2 2,

2

4

i sin ) 4

2 2(cos

4

Argz2 {

4

2k , k

Z}

c) P3 ( 1, 3) thuc góc phn t th hai

r3 z3

2,

3

2 3 2 3 i sin 2 ) 3

2(cos

d) P4 (1,

2 3 3) thuc góc phn t th t Argz3 { r4 2,

4

2k , k

Z}.

5 3

Lê L

Page 34

Bài tp s phc

z4

2(cos

5 3

i sin

5 ) 3 Z} .

5 2k , k 3 Ví d 13. Vit các s phc sau di dng cc a) z1 2i , 1, b) z2 c) z3 2 , 3i . d) z4 Và xác nh Arg ca chúng. a) im P (0, 2) thuc phn dng trc tung, nên 1 Argz4 {

r1 2,

1

2

, z1

2(cos

2

i sin ) 2

2k , k Z } 2 b) im P2 ( 1,0) thuc phn âm trc hoành, nên r2 1, 2 , z2 cos i sin

Argz2 { 2k } c) im P3 (2,0) thuc phn dng trc hoành, nên r3 2, 3 0, z3 2(cos0 i sin 0)

Argz3 {2k , k Z } d) im P4 (0, 3) thuc phn âm trc tung, nên

Argz1 {

Lê L

Page 35

Bài tp s phc

3 , z4 2 3 2 3 2 3 ) 2

r4

3,

4

2(cos

i sin

Argz4 {

2k , k

Z}

Rõ ràng

i sin ; 2 2 3 3 1 cos i sin ; i cos i sin . 2 2 Bài tp 11. Vit s phc sau di dng cc z 1 cos a i sin a, a (0,2 ) . Li gii. a a | z | (1 cos a)2 sin 2 a 2(1 cos a) 4cos 2 2 | cos | . 2 2 a (0, ) , P nm góc phn t th nht . Do ó a) Nu a (0, ) 2 2 sin a a a arctan arctan(tan ) , 1 cos a 2 2 . a a a z 2cos (cos i sin ) 2 2 2 a ( , ) , P nm góc phn t th t . Do ó b) Nu a ( ,2 ) 2 2 a a a a rctan(tan ) 2 2 , 2 2 2 a a a z 2cos [cos( ) i sin( )] 2 2 2 c) Nu a , thì z=0. Bài tp 12. Tìm các s phc z sao cho z z | z | 1,| | 1. z z Li gii. t z cos x i sin x, x [0,2 ). 1 cos 0 i sin 0; i cos

1 |

z z | z2 z 2 | | z z | z |2 | cos 2 x i sin 2 x cos 2 x i sin 2 x | 2 | cos 2 x |

Page 36

Lê L

Bài tp s phc Do ó

cos 2 x 1 hoc cos 2 x 2 1 . 2

Nu cos 2 x

1 thì 2

x1

Nu cos 2 x

1 thì 2

6

, x2

5 , x3 6

7 , x4 6

11 6

x5

Do ó có 8 nghim

zk

3

, x6

2 , x7 3

4 , x8 3

5 3

,8.

cos xk

i sin xk k 1,2,3,

3.2 Các phép toán trên dng lng giác s phc (1) Phép nhân nh lý. z1 r1 (cos t1 i sin t1 ), z2 r2 (cos t2 i sin t2 ) Khi ó z1.z2 r1r2 [cos(t1 t2 ) i sin(t1 t2 )] . Chng minh. z1.z2 r1r2 (cos t1 i sin t1 )(cos t2 i sin t2 ) r1r2 [(cos t1 cos t2 sin t1 sin t2 ) i (sin t1 cos t2 sin t2 cos t1 )]

r1r2 [cos(t1 t2 ) i sin(t1 t2 )]

a) b)

c) d)

Lu ý Mt ln na ta li | z1 z2 | | z1 || z2 | . arg( z1 z2 ) argz1 argz2 2k , 0, argz1 argz2 2 . k 1, argz1 argz2 2 Có th vit A rg( z1 z2 ) {argz1 argz2 2k , k Z } M rng vi n 2 s phc . Nu zk rk (cos tk i sin tk ), k 1,2, , n z1 z2 zn r1r2 rn [cos(t1 t2 tn ) i sin(t1 t2 Công thc trên có th vit

n n n n

tn )]

zk

k 1 k 1

rk (cos

k 1

tk

i sin

k 1

tk ) .

Page 37

Lê L

Bài tp s phc Ví d 14. Cho z1 1 i, z2 3 i. 7 7 z1 2(cos i sin ), z2 2(cos i sin ) 4 4 6 6 7 7 z1 z2 2 2[cos( ) i sin( )] 4 6 4 6 23 23 2 2(cos i sin ) 12 12 (2) Ly tha ca mt s phc nh lý. (De Moivre3) Cho z r (cos t i sin t ) và n , ta có

z n r n (cos nt i sin nt ) . zn c Chng minh. Dùng công thc nhân vi z z1 z2 n z r.r. .r [cos(t t t ) i sin(t t t )]

n n n

= r (cos nt i sin nt ) Lu ý. a) Chúng ta tìm li c | z n | | z |n . b) Nu r=1, thì (cos t i sin t )n cos nt i sin nt . c) Ta có th vit Argz n {n.arg z 2k , k Z}. Ví d 15. Tính (1 i)1000 .

1 i 2(cos 4 i sin ) . 4

n

(1 i)1000

2

1000

(cos1000

2500 (cos 250 Bài tp 13. Chng minh sin 5t 16sin 5 t 20sin 3 t 5sin t ;

i sin1000 ) 4 4 500 i sin 250 ) 2

. cos5t 16cos5 t 20cos3 t 5cos t Li gii. Dùng công thc Moivre và khai trin nh thc (cos t i sin t )5 ,

cos5t i sin 5t cos5 t 5i cos 4 t sin t 10i 2 cos3 t sin 2 t 10i 3 cos 2 t sin 3 t 5i 4 cos t sin 4 t i 5 sin 5 t

.

Do ó

3

Abraham de Moivre (1667-1754), nhà toán hc Pháp.

Lê L

Page 38

Bài tp s phc

cos5t i sin5t

cos5 t 10cos3 t (1 cos 2 t ) 5cos t (1 cos 2 t ) 2

i[sin t (1 sin 2 t )2 sin t 10(1 sin 2 t )sin 3 t sin 5 t ] ng nht hai v cho iu phi chng minh. (3) Phép chia. nh lý. Gi s z1 r1 (cos t1 i sin t1 ), z2 r2 (cos t2 i sin t2 ) 0 z1 r1 (cos t1 i sin t1 ) z2 r2 (cos t2 i sin t2 )

r1 (cos t1 i sin t1 )(cos t2 i sin t2 ) r2 (cos 2 t2 sin 2 t2 ) r1 [(cos t1 cos t2 r2 sin t1 sin t2 ) i (sin t1 cos t2 sin t2 cos t1 )]

r1 [cos(t1 t2 ) i sin(t1 t2 )] r2

Lu ý. a)Ta có li kt qu | b) Arg (

z1 | z1 | ; | z2 | z2 |

z1 ) {argz1 argz2 2k , k Z } ; z2 1 1 z1 [cos( t ) i sin( t )] ; c)Vi z1 1, z2 z , z r d)Công thc De Moivre còn úng cho ly tha nguyên âm, tc là vi n nguyên âm, ta có z n r n (cos nt i sin nt ) . Bài tp 14. Tính (1 i )10 ( 3 i )5 z . ( 1 i 3)10 Li gii.

Lê L

Page 39

Bài tp s phc

7 10 5 ) .2 (cos i sin )5 4 6 6 z 4 4 10 210 (cos i sin ) 3 3 35 35 5 5 210 (cos i sin )(cos i sin ) 2 2 6 6 . 40 40 10 2 (cos i sin ) 3 3 55 55 cos i sin 3 3 cos5 i sin 5 1 40 40 cos i s in 3 3 2 (cos

10

7 4

i sin

3.4 Biu din hình hc ca tích hai s phc

Xét s phc z1 r1 (cos 1 i sin 1 ), z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) . Gi P , P2 là giao im 1 ca ng tròn (0,1) vi tia OM 1 , OM 2 . Dng P3 thuc ng tròn và có argument cc 1 2 , chn M 3 thuc tia OP3 , OM 3 OM 1.OM 2 . Gi z3 là ta phc ca M3. im M 3 (r1r2 , 1 2 ) biu din tích z1 z2 . Gi A là im biu din ca z=1. OM 3 OM 2 OM 3 OM 2 và M 2OM 3 AOM1 . Suy ra hai tam giác OM1 1 OM 2 OA OAM 1 ,OM 2 M 3 ng dng.

xây dng biu din hình hc ca thng, lu ý im tng ng ca Lê L

z3 là M1. z2

Page 40

Bài tp s phc 3.5 Bài tp 1. Da vào ta vuông góc ,tìm ta cc ca các im a) M 1 ( 3,3) b) M 2 ( 4 3, 4) c) M 3 (0, 5) d) M 4 ( 2, 1) e) M 5 (4, 2) 2. Da vào ta cc ,tìm ta vuông góc các im a) P (2, ) 1 3 b) P2 (4,2 c) P3 (2, ) d) P4 (3, ) e) P5 (1, ) 2 3 f) P6 (4, ) 2 arg( z ) và arg( z ) qua arg(z). 3. Biu din 4. Biu din hình hc các s phc z: a) | z | 2 ; b) | z i | 2 ; c) | z i | 3 ; 5 argz d) ; 4 3 e) arg z ; 2 f) arg z

2

3 arcsin ) 5

;

g) arg( z ) ( , ) 6 3 |z 1 i| 3 h) 0 argz 6 5. Vit các s sau di dng cc Lê L

Page 41

Bài tp s phc a) z1 6 6i 3;

1 3 i ; 4 4 1 3 c) z3 i ; 2 2 d) z4 9 9i 3; e) z5 3 2i; 4i f) z6 6. Vit các s sau di dng cc a) z1 cos a i sin a, a [0, 2 ) , b) z2 sin a i (1 cos a), a [0,2 ) , c) z3 cos a sin a i (sin a cos a), a [0,2 ) , d) z4 1 cos a i sin a, a [0,2 ) . 7. S dng dng cc ca s phc tính tích sau ây 1 3 a) ( i )( 3 3i)(2 3 2i); 2 2 b) (1 i )( 2 2i)i ;

b) z2 c) 2i( 4 4 3i)(3 3i) ; d) 3(1 i )( 5 5i) Mô t các kt qu dng i s 8. Tìm | z |,arg z, Argz, arg z ,arg( z ) a) z (1 i)(6 6i ) ; b) z (7 7 3i)( 1 i) . 9. Tìm |z| và argument cc ca z: (2 3 2i )8 (1 i) 6 a) z , (1 i )6 (2 3 2i )8 ( 1 i)4 1 b) z , ( 3 i)10 (2 3 2i) 4 c) z (1 i 3)n (1 i 3)n . 10. Chng t công thc Moivre úng vi s nguyên âm 11. Tính a) (1 cos a i sin a)n , a [0,2 ), n N , Lê L

Page 42

Bài tp s phc b) z n

1 , nu z zn 1 z

3.

Lê L

Page 43

Bài tp s phc 3.6 áp s và hng dn

Lê L

Page 44

Bài tp s phc 4 Cn bc n ca n v 4.1 nh ngha cn bc n ca s phc Xét s nguyên n 2 và s phc w 0 . Nh trong trng s thc , phng trình zn w 0 c dùng nh ngha cn bc n ca s w. Ta gi nghim z ca phng trình là mt cn bc n ca w. i sin ) là s phc vi r>0 và [0,2). nh lý. Cho w r (cos Cn bc n ca w gm n s phân bit, cho bi 2k 2k zk n r (cos i sin ), k 0,1, , n 1 . n n Chng minh. Biu din s phc z dng lng giác, tc là z (cos i sin ). n Theo nh ngha, ta có z w , nên n (cos n i sin n ) r (cos i sin ) Do ó

n

r, n

2k , k

Z

n

r,

k

Vy nghim phng trình có dng zk n r (cos k i sin k ), k Z 2 . Do ó k , k {0,1, , n 1} là argument cc . Lu ý rng 0 0 1 n 1 Bi tính duy nht ca ta cc, Ta có n nghim phân bit ca phng trình là z0 , z1 , , zn 1 . n ây ta chng minh phng trình có úng n nghim phân bit. Vi s nguyên k bt k, ly k chia cho n có thng q và s d r, tc là k=nq+r, q Z, r{0,1,2,...,n-1} 2 2 (nq r ) r 2q 2q . k r n n n n Rõ ràng zk zr . Do ó {zk , k Z } {z0 , z1 , , zn 1} . Nói cách khác phng trình có úng n nghim phân bit. Biu din hình hc các cn bc n ca w 0 (n 3) là nh ca mt n giác u ni tip ng tròn tâm O bán kính n r , r=|w|.

n

k

2 . n

Lê L

Page 45

Bài tp s phc chng minh iu này, ký hiu M 0 ( z0 ), M 1 ( z1 ), , M n 1 ( zn 1 ) . Bi vì

OM k | zk | n r , k {0,1, , n 1} M M bng

k k 1

Mk

C(0, n r ) . Mt khác , s o cung

2 , k {0,1, , n 2} . n n 2 2 M n 1M 0 bng 2 . (n 1) n n Bi vì các cung M 0 M1, M1M 2 , , M n 1M 0 bng nhau nên a giác M 0 M 1 M n 1 u. Ví d 16. Tìm các cn bc ba ca z=1+i và biu din chúng lên mt phng phc. Dng lng giác ca z là arg zk

1

argzk

2(k 1)

(

2k )

z

2(cos

Các cn bc ba ca z

4

i sin ) . 4

zk

6

2 2 2[cos( k ) i sin( k )], k 12 3 12 3

z0

6

0,1,2

), 12 3 3 z1 6 2 (cos i sin ), 4 4 17 17 z2 6 2(cos i sin ), 12 12 Dùng ta cc, các im biu din z0 , z1 , z2 ln lt là 3 17 M 0 ( 6 2, ) , M 1 ( 6 2, ) , M 2 ( 6 2, ) 12 4 12 Tam giác u biu din kt qu hình 2.6 12

2(cos

i sin

Lê L

Page 46

Bài tp s phc 4.2 Cn bc n ca n v Mt nghim phng trình z n 1 0 gi là mt cn bc n ca n v. Biu din 1 di dng lng giác , 1 cos0 i sin 0, t công thc tìm cn bc n ca s phc, ta có cn bc n ca n v là 2k 2k , k {0,1, , n 1} . cos i sin k n n 0 cos0 i sin 0 1 , 2 2 2 2 . (t ) cos i sin cos i sin 1 n n n n 4 4 2 , cos i sin 2 n n ... 2(n 1) 2(n 1) n 1 . cos i sin n 1 n n 2 2 Ký hiu Un {1, , 2 , , n 1} ,cng cn nhc li . cos i sin n n Nh phn trc ã cp, Biu din hình hc các cn bc n ca n v (n 3) là các im to thành mt n giác u ni tip ng tròn tâm O bán kính 1. Chng hn i) Vi n=2, hai cn bc hai ca 1(nghim phng trình z 2 1 0 ) là -1,1. ii) Vi n=3, cn bc ba ca 1( nghim phng trình z 3 1 0 )cho bi 2k 2k , k {0,1,2}, cos i sin k n n 0 1,

2 2 1 3 , i sin i 3 3 2 2 4 4 1 3 2 cos i sin i 2 3 3 2 2 Biu din lên mt phng phc c tam giác u ni tip ng tròn (O,1).

1

cos

Lê L

Page 47

Bài tp s phc

iii) Vi n=4, các cn bc bn ca 1 là 2k cos k 4 Ta có

0

i sin

2k , k {0,1, 2, 3} . 4

cos0 i sin 0 1 ,

1

2

cos

2

i sin

2

i,

cos i sin 1, 3 3 cos i sin i. 3 2 2 Tc là U4 {1, i, i 2 , i3} {1, i, 1, i}. Biu din hình hc ca chúng là hình vuông ni tip ng tròn (O,1).

S

m k

k

U n gi là cn nguyên thy bc n ca n v , nu mi s nguyên dng m<n ta có

1.

Page 48

Lê L

Bài tp s phc nh lý. a) Nu n|q thì nghim bt k ca z n 1 0 cng là nghim z q 1 0 . b)Các nghim chung ca phng trình z m 1 0 và z n 1 0 là các nghim ca z d 1 0 , d=UCLN(m,n), tc là U m U n U d . c)Các nghim nguyên thy ca z m 1 0 là 2k 2k cos i sin , 0 k m,UCLN (k , m) 1 . k m m Chng minh. a)Nu q=pn thì z q 1 ( z n ) p 1 ( z n 1)( z (q 1) z n 1) . Do ó iu phi chng minh là h qu trc tip suy t h thc trên. 2p 2p b)Xét p cos là mt nghim ca z m 1 0 và i sin m m 2q 2q là mt nghim ca z n 1 0 . Bi vì cos i sin q' m m 2p 2q , | p | | q ' | 1, ta có p 2r , r Z . q m n p q Cho ta r pn qm rmn . m n Mt khác, m m ' d , n n ' d , UCLN (m ', n ') 1. pn qm rmn n p m q rm n d . m'| n' p m | p p p m , p ' Z và 2p 2 p 'm' 2 p' d và p 1 . arg p m m'd d d Ngc li , d | m, d | n , bt k nghim ca z 1 0 là nghim ca z m 1 0 và z n 1 0 (tính cht a). c)Trc ht ta tìm s nguyên dng nh nht p sao cho kp 1. T h thc kp 1. Suy ra 2kp kp 2k , k' . Tc là k ' Z . Xét d=UCLN(k,m) và k=k'd, m=m'd, ây m m k pd k p UCLN(k',m')=1. Ta có Z . Bi vì k' và m' nguyên t cùng nhau , ta có m'|p. md m Do ó s nguyên dng nh nht p tha mãn kp 1là p=m'. Kt hp vi h thc m=m'd suy m ra p , d UCLN (k , m) . d

Lê L

Page 49

Bài tp s phc Nu là cn nguyên thy bc m ca n v, thì t h thc

p k

k

1, p

m suy UCLN (k , m)

ra p=m, tc là UCLN(k,m)=1. Lu ý . T b) ta thu c phng trình z m 1 0 và phng trình z n 1 0 có nghim chung duy nht là 1 nu và ch nu UCLN(m,n)=1. U n là mt cn nguyên thy bc n ca n v thì các nghim ca phng trình nh lý. Nu z n 1 0 là r , r 1 , r n 1 , r là mt s nguyên dng cho trc. Chng minh. Cho r là mt s nguyên dng và h {0,1, , n 1} . Khi ó ( r h )n ( n )r h 1, tc là r h là mt nghim ca z n 1 0 . Ch cn chng minh r , r 1, , r n 1 phân bit. Gi s không phân bit, tc tn ti r h2 r h1 r h2 , h1 h2 mà r h1 . Khi ó r h2 ( h1 h2 1) 0 . Nhng r h2 h1 h2 0 1. i chiu vi 0 h1 h2 n và là mt cn nguyên thy bc n ca n v, ta có mâu thun. Bài tp 15. Tìm s cp th t (a,b) các s thc sao cho (a bi)2002 a bi . Li gii. t z=a+bi z a bi,| z | a 2 b2 . H thc ã cho tr thành z 2002 z . | z |2002 | z 2002 | | z | | z | | z | (| z |2001 1) 0. Do ó |z|=0, tc là (a,b)=(0,0) hoc |z|=1. Trong trng hp |z|=1, ta có z 2002 z z 2003 z .z | z |2 1. Do phng trình z 2003 1 có 2003 nghim phân bit có 2004 cp th t theo yêu cu. Bài tp 16. Hai a giác u cùng ni tip trong mt ng tròn. a giác th nht có 1982 cnh, a giác th hai có 2973 cnh. Tìm s nh chung ca hai a giác ó. Li gii. S nh chung bng s nghim chung ca hai phng trình z1982 1 0, z 2973 1 0 . ng dng nh lý trên, s nghim chung là d UCLN (1982,2973) 991. U n là mt cn nguyên thy bc n ca n v và z là s phc sao cho Bài tp 17. Cho

k |z | 1, k 0,1, , n 1. Chng minh z 0 . Li gii. T gi thit , c k k (z )( z ) 1 | z |2 z k z k , k 0,1, , n 1 . Ly tng các h thc trên,

n 1 n 1 k k 0

n| z|

2

z(

) z.

k 0

k

0.

Do ó z=0. Bài tp 18. Cho P0 P 1 Lê L

Pn 1 là a giác u ni tip ng tròn bán kính 1. Chng minh

Page 50

Bài tp s phc a) P0 P .P0 P2 1

n 2 (n 1) n b) sin sin sin n n n 2n 1 3 (2n 1) 1 c) sin sin sin 2n 2n 2n 2n 1 Li gii. a)Không mt tng quát, gi s các nh a giác là các im biu din hình hc các cn bc n ca n v, P0 1 . Xét a thc 2 2 n 1 . cos i sin f z n 1 ( z 1)( z ) (z ), n n Rõ ràng 2 n 1 n f '(1) (1 )(1 ) (1 ). Ly Môun hai v c kt qu. b)Ta có 2k 2k k k k k 1 1 cos i sin 2sin 2 2i sin cos n n n n n k k k 2sin (sin i cos ) n n n k k Do ó | 1 | 2sin , k 1, 2, , n 1 . S dng a) ta có iu phi chng minh. n c)Xét a giác u Q0Q1 Q2 n 1 ni tip trong ng tròn , các nh ca nó là im biu din hình hc ca cn bc 2n ca n v. Theo a) Q0Q1.Q0Q2 Q0Q2 n 1 2n Bây gi xét a giác u Q0Q2 Qn 2 , ta có Q0Q2 .Q0Q4 Q0Q2 n 2 n Do ó Q0Q1.Q0Q3 Q0Q2 n 1 2 . Tính toán tng t phn b) ta c (2k 1) Q0Q2 k 1 2sin , k 1,2 n và ta có iu phi chng minh 2n

1

P0 Pn

4.3 Phng trình nh thc Phng trình nh thc là mt phng trình có dng z n a 0 , n và n 2. Gii phng trình là tìm cn bc n ca s phc ­a. ây là mt dng n gin ca phng trình bc n h s phc. Theo nh lý c bn, phng trình có úng n nghim. Và cng d thy trong trng hp này phng trình có n nghim phân bit. Ví d 17. a) Gii phng trình z 3 8 0 . 8 8(cos i sin ) , các nghim là Lê L

Page 51

Bài tp s phc

2k 2k i sin ), k 0,1,2 . 3 3 b) Gii phng trình z 6 z3 (1 i) i 0 . Phng trình tng ng vi ( z 3 1)( z 3 i) 0 . Gii phng trình nh thc z3 1 0, z3 i 0 có các nghim 2k 2k k cos i sin , k 0,1,2 và 3 3 zk 2(cos

zk cos 2 2k 3 i sin 2 2k 3 ,k 0,1,2 .

4.4 Bài tp 1. Tìm các cn bc hai ca z a) z 1 i ; b) z i ; 1 i c) z ; 2 2 d) z 2(1 i 3) ; e) z 7 24i . 2. Tìm các cn bc ba ca z a) z i; b) z 27 ; c) z 2 2i ; 1 3 d) z ; i 2 2 e) z 18 26i . 3. Tìm các cn bc bn ca z a) z 2 i 12 ; b) z 3 i; c) z i ; d) z 2i ; e) z 7 24i . 4. Tìm cn bc 5,6,7,8, 12 các s trên. 5. Cho U n { 0 , 1 , , n 1} 4 là các cn bc n ca n v. Chng minh

4

Un cùng vi phép nhân là mt nhóm Abel. Nó còn là nhóm xyclic sinh bi cn nguyên thy bc n ca n v.

Lê L

Page 52

Bài tp s phc a)

j

k

Un , j, k {0,1, , n 1};

b) j 1 U n , j {0,1, , n 1} . 6. Gii phng trình a) z 3 125 0 ; b) z 4 16 0 ; c) z 3 64i 0 ; d) z 3 27i 0 . 7. Gii phng trình a) z 7 2iz 4 iz 3 2 0 ; b) z 6 iz 3 i 1 0 ; c) (2 3i) z 6 1 5i 0 ; d) z10 ( 2 i) z5 2i 0 . 8. Gii phng trình z 4 5( z 1)( z 2 4.5 áp s và hng dn

z 1) .

Lê L

Page 53

Bài tp s phc

Lê L

Page 54

Information

Bài tp s phc

54 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

314658