Read Microsoft Word - Dai so tuyen tinh.doc text version

TS. NGUY N DUY THU N (Ch biên) ThS. PHI M NH BAN ­ TS. NÔNG QU C CHINH

IS

TUY N TÍNH

NHÀ XU T B N

I H C S PH M

Mã s : 01.01.90/92. H- 2003

M CL C

L I NÓI U .......................................................................................... 11 CÁC KÍ HI U .......................................................................................... 15 Chng I: NH TH C............................................................................ 18 M U .................................................................................................. 18 §1. PHÉP TH .............................................................................................. 20 1.1. nh ngha phép th ............................................................................ 20 1.2. Ngh ch th .......................................................................................... 21 1.3. D u c a phép th ................................................................................ 21 §2. KHÁI NI M MA TR N......................................................................... 24 §3. NH NGHA VÀ TÍNH CH T C A NH TH C ............................. 26 3.1. nh ngha.......................................................................................... 26 3.2. Tính ch t c a nh th c ...................................................................... 27 §4. KHAI TRI N NH TH C.................................................................... 33 4.1. nh th c con - Ph n bù i s ........................................................... 33 4.2. Khai tri n nh th c theo m t dòng..................................................... 34 4.3. Khai tri n nh th c theo r dòng ......................................................... 38 §5. PHNG PHÁP TÍNH NH TH C .................................................... 42 5.1. Tính nh th c c p 3........................................................................... 42 5.2. Áp d ng phép khai tri n nh th c theo m t dòng ho c m t c t.......... 43 5.3. a nh th c v d ng tam giác.......................................................... 44 5.4. Áp d ng các tính ch t c a nh th c ................................................... 47 5.5. Phng pháp quy n p và phng pháp truy h i .................................. 49 5.6. Tính nh th c b ng máy tính b túi và máy tính i n t .................... 51 §6. NG D NG - H PHNG TRÌNH CRAMER.................................... 55 6.1. nh ngha.......................................................................................... 55 6.2. Cách gi i ............................................................................................ 55 6.3. Gi i h Cramer b ng máy tính b túi và máy tính i n t .................... 58 TÓM T T................................................................................................. 60 BÀI T P................................................................................................... 62 VÀI NÉT L CH S .................................................................................. 67

Chng II: KHÔNG GIAN VECT ......................................................... 69 M U .................................................................................................. 69 §1. NH NGHA VÀ CÁC TÍNH CH T N GI N................................ 71 1.1. nh ngha.......................................................................................... 71 1.2. M t s tính ch t n gi n ................................................................... 72 1.3. Hi u c a hai vect .............................................................................. 73 §2. KHÔNG GIAN CON .............................................................................. 74 2.1. nh ngha.......................................................................................... 74 2.2. Tính ch t c trng............................................................................. 74 2.3. T ng c a nh ng không gian con......................................................... 76 2.4. Giao c a nh ng không gian con.......................................................... 76 2.5. Không gian sinh b i m t h vect ...................................................... 77 §3. S C L P TUY N TÍNH - S PH THU C TUY N TÍNH.......... 80 3.1. nh ngha.......................................................................................... 80 3.2. Các tính ch t....................................................................................... 81 §4. C S C A KHÔNG GIAN VECT .................................................... 85 4.1. nh ngha.......................................................................................... 85 4.2. S t n t i c a c s ............................................................................ 86 §5. S CHI U C A KHÔNG GIAN VECT.............................................. 89 5.1. nh ngha.......................................................................................... 89 5.2. S chi u c a không gian con .............................................................. 89 §6. T A C A M T VECT................................................................. 92 6.1. nh ngha.......................................................................................... 92 6.2. Ma tr n chuy n................................................................................... 93 6.3. Liên h gi a các t a c a m t vect i v i hai c s khác nhau ..... 95 §7. H NG C A H VECT- H NG C A MA TR N............................... 97 7.1. H ng c a h vect .............................................................................. 97 7.2. H ng c a ma tr n................................................................................ 98 7.3. Cách tìm h ng c a ma tr n ............................................................... 103 7.5. Tìm c s , s chi u c a không gian sinh b i m t h vect b ng máy tính i n t ..................................................................................................... 107 TÓM T T............................................................................................... 111

BÀI T P................................................................................................. 113 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 121 Chng III: ÁNH X TUY N TÍNH ..................................................... 123 M U ................................................................................................ 123 §1. NH NGHA ÁNH X TUY N TÍNH - S XÁC NH M T ÁNH X TUY N TÍNH ............................................................................................ 124 1.1. Các nh ngha.................................................................................. 124 1.2. S xác nh m t ánh x tuy n tính .................................................... 128 §2. NH VÀ H T NHÂN C A ÁNH X TUY N TÍNH......................... 129 2.1. nh ngha và tính ch t..................................................................... 129 2.2. Liên h gi a s chi u c a nh, h t nhân và không gian ngu n........... 133 2.3. S ng c u gi a hai không gian cùng s chi u ................................ 135 §3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P CÁC ÁNH X TUY N TÍNH HOMK(V, W)............................................................................................. 136 3.1. Phép c ng hai ánh x tuy n tính ....................................................... 136 3.2. Phép nhân m t ánh x tuy n tính v i m t s ..................................... 137 3.3. Không gian vect HomK(V, W) ........................................................ 138 3.4. Tích hai ánh x tuy n tính................................................................. 139 TÓM T T............................................................................................... 141 BÀI T P................................................................................................. 143 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 147 Chng IV: H PHNG TRÌNH TUY N TÍNH................................. 148 M u.................................................................................................... 148 §1. PHNG TRÌNH TUY N TÍNH - PHNG PHÁP GAUSS............. 149 1.1. nh ngha........................................................................................ 149 1.2. Gi i h phng trình tuy n tính b ng phng pháp Gauss (kh d n n s )........................................................................................................... 150 1.3. Th c hi n phng pháp Gauss trên máy tính i n t ........................ 156 §2. DI U KI N H PHNG TRÌNH TUY N TÍNH CÓ NGHI M 159 2.1. i u ki n có nghi m......................................................................... 159 2.2. Gi i h phng trình tuy n tính b ng nh th c ................................ 160

§3. H PHNG TRÌNH TUY N TÍNH THU N NH T ........................ 165 3.1. nh ngha........................................................................................ 165 3.2. Không gian nghi m c a h thu n nh t .............................................. 166 3.3. Liên h gi a nghi m c a h phng trình tuy n tính và nghi m c a h thu n nh t liên k t ................................................................................... 170 3.4. Gi i h phng trình tuy n tính b ng máy tính i n t ..................... 171 TÓM T T.............................................................................................. 174 BÀI T P................................................................................................. 175 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 181 Chng V: MA TR N............................................................................ 183 M U ................................................................................................ 183 §1. MA TR N C A M T ÁNH X TUY N TÍNH ................................. 184 1.1. nh ngha........................................................................................ 184 1.2. Liên h gi a HomK(V, W) v i Mat(m.n)(K) ........................................ 186 §2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC T P MA TR N ................................. 188 2.1. Phép c ng......................................................................................... 188 2.2. Phép nhân m t ma tr n v i m t s .................................................... 189 2.3. Phép tr ............................................................................................ 190 2.4. Không gian vect Mat(m,n)(K) ........................................................... 190 2.5. Tích c a hai ma tr n ......................................................................... 191 2.6. Th c hi n các phép toán ma tr n b ng máy tính b túi và mây tính i n t ............................................................................................................ 196 §3. I S MATN(K) CÁC MA TR N VUÔNG C P N......................... 200 3.1. nh th c c a tích hai ma tr n .......................................................... 200 3.2. Ma tr n ngh ch o........................................................................... 202 3.3. Tìm ma tr n ngh ch o .................................................................... 204 3.4. M t vài ng d ng u tiên c a ma tr n ngh ch o ........................... 210 3.5. Ma tr n c a m t ng c u................................................................. 211 §4. S THAY I C A MA TR N C A M T ÁNH X TUY N TÍNH KHI THAY I C S - MA TR N NG D NG ................................ 212 4.1. S thay i c a ma tr n c a m t ánh x tuy n tính khi thay i c s 212 4.2. Ma tr n ng d ng............................................................................ 213

§5. VECT RIÊNG-GIÁ TR RIÊNG ........................................................ 215 5.1. Vect riêng- Giá tr riêng.................................................................. 215 5.2. Da th c c trng - Cách tìm vect riêng.......................................... 217 5.3. Tìm giá tr riêng và vect riêng b ng máy tính i n t ...................... 222 §6. CHÉO HOÁ MA TR N ....................................................................... 224 6.1. nh ngha........................................................................................ 224 6.2. i u ki n m t ma tr n chéo hoá c .......................................... 224 6.3. nh lí .............................................................................................. 227 TÓM T T............................................................................................... 228 BÀI T P................................................................................................. 230 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 240 Chng VI: D NG SONG TUY N TÍNH D NG TOÀN PHNG ... 241 M U ................................................................................................ 241 §1. D NG TUY N TÍNH VÀ D NG SONG TUY N TÍNH .................... 242 1.1. nh ngha, ví d .............................................................................. 242 §2. D NG TOÀN PHNG...................................................................... 249 2.1. nh ngha........................................................................................ 249 2.2. Ma tr n c a d ng toàn phng.......................................................... 250 2.3. D ng toàn phng xác nh .............................................................. 251 §3. A D NG TOÀN PHNG V D NG CHÍNH T C .................... 252 3.1. nh ngha........................................................................................ 252 3.2. nh lý ............................................................................................. 252 3.3. Da d ng toàn phng v d ng chinh tác b ng máy tính i n t ....... 257 3.4. nh lý quán tính.............................................................................. 259 §4. KHÔNG GIAN VECT CLIT ........................................................... 262 4.1. nh ngha không gian vect clit ................................................... 262 4.2. C s tr c chu n .............................................................................. 263 4.3. Không gian con bù tr c giao............................................................. 268 4.4. Hình chi u c a m t vect lên không gian con................................... 269 4.5. Phép bi n i tr c giao - Ma tr n tr c giao ....................................... 270 4.6. Phép bi n i d i x ng ..................................................................... 271 4.7. ng d ng ......................................................................................... 272

TÓM T T............................................................................................... 280 §1. D NG TUY N TÍNH, D NG SONG TUY N TÍNH.......................... 280 1.1. nh ngha........................................................................................ 280 1.2. Ma tr n c a d ng song tuy n tính ..................................................... 281 1.3. Liên h gi a hai ma tr n c a cùng m t d ng song tuy n tính i v i hai c s khác nhau....................................................................................... 281 §2. D NG TOÀN PHNG...................................................................... 282 2.1. D ng toàn phng ............................................................................ 282 2.2. Ma tr n c a d ng toàn phng.......................................................... 282 2.3. D ng toàn phng xác nh .............................................................. 282 §3. A D NG TOÀN PHNG V D NG CHÍNH T C .................... 283 3.1. nh ngha........................................................................................ 283 3.2. nh lý. ........................................................................................... 283 3.3. Dùng ph n m m Maple a d ng toàn phng v d ng chính t c 283 3.4. nh lý quán tính.............................................................................. 284 §4. KHÔNG GIAN VECT CLIT ........................................................... 285 4.1. nh ngha........................................................................................ 285 4.2. C s tr c chu n .............................................................................. 285 4.3. Không gian con bù tr c giao............................................................. 286 4.4. Hình chi u c a m t vect lên không gian con................................... 286 4.5. Phép bi n i tr c giao - Ma tr n tr c giao ....................................... 286 4.6. Phép bi n i i x ng ..................................................................... 287 4.7. ng d ng ......................................................................................... 287 BÀI T P................................................................................................. 288 §1. D NG SONG TUY N TÍNH............................................................... 288 §2. D NG TOÀN PHNG...................................................................... 289 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 293 Chng VII: QUY HO CH TUY N ANH............................................. 294 M D U ................................................................................................ 294 §1. BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH ........................................... 295 1.1. M t vài bài toán th c t .................................................................... 295 1.2. Bài toán quy ho ch tuy n tính........................................................... 297

1.3. Ý ngha hình h c và phng pháp th ........................................... 302 §2. PHNG PHÁP N HÌNH VÀ CÁC THU T TOÁN C A NÓ ..... 306 2.1. M t s tính ch t c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c ... 306 2.2. Phng pháp n hình...................................................................... 313 2.3. Gi i các bài toán quy ho ch tuy n tính b ng máy tính i n t ( Theo l p trình tính toán v i Mathematica 4.0)........................................................ 335 TÓM T T............................................................................................... 339 BÀI T P................................................................................................. 340 VÀI NÉT L CH S ................................................................................ 346 L I GI I -H NG D N -TR L I ..................................................... 347 TÀI LI U THAM KH O ....................................................................... 385

L I NÓI

U

th i i c a chúng ta, khoa h c và k thu t phát tri n nh v bão. Chúng òi h i ngành giáo d c ph i luôn luôn i m i k p th i áp ng m i nhu c u v tri th c khoa h c c a thanh thi u niên, giúp h có kh nng lao ng và sáng t o trong cu c s ng sôi ng. Hi n nay chng trình và sách giáo khoa b c ph thông n c ta ã b t u và ang thay i phù h p v i òi h i y. Tr ng Cao ng S ph m, cái nôi ào t o giáo viên THCS, c n ph i có nh ng i m i tng ng v chng trình và sách giáo khoa. Vì m c ích ó, b sách giáo khoa m i ra i, thay th cho b sách giáo khoa c. Cu n sách i s tuy n tính biên so n l n này, n m trong khuôn kh c a cu c i m i y. Nó nh m làm m t giáo trình tiêu chu n chung cho các tr ng Cao ng S ph m trong c n c theo chng trình m i (chng trình 2002), òi h i không nh ng ph i i m i nh ng n i dung ki n th c (n u c n) và c phng pháp gi ng d y c a gi ng viên cng nh phng pháp h c t p c a sinh viên. M t khác, qua m t th i gian dài th c hi n chng trình và sách giáo khoa c, n nay ã có th ánh giá nh ng u, khuy t i m c a nó, s phù h p c a nó v i trình u vào c a sinh viên các tr ng Cao ng S ph m. Do ó cu n sách biên so n l n này cng th a h ng nh ng u i m và kh c ph c nh ng thi u sót c a nh ng cu n sách c. i t ng s d ng cu n sách này là sinh viên và gi ng viên các tr ng Cao ng S ph m trong c n c, các giáo viên THCS c n c b i d ng t trình chu n hoá. Cu n sách cng có th c dùng cho các tr ng i h c và Cao ng khác và cho t t c nh ng ai mu n t h c môn h c này. C s l a ch n n i dung c a giáo trình này là yêu c u u ra và trình u vào c a sinh viên Cao ng S ph m hi n nay, ng th i cng c n tính n vai trò c a môn h c i v i các môn khoa h c khác nh Gi i tích, Hình h c, V t lý, Hoá h c,v.v.., và t o i u ki n cho ng i h c có th h c lên cao hn. C th , giáo trình này ph i trang b c cho ng i giáo viên toán tng lai tr ng THCS nh ng ki n th c c n thi t, y , v ng vàng v i s tuy n tính gi ng d y t t nh ng ph n liên quan trong chng trình toán THCS. Tuy nhiên, n i dung và phng pháp trình bày nh ng n i dung y l i ph i phù h p v i trình

11

nh n th c và kh nng ti p nh n sinh viên. M t khác, giáo trình này cng ph i cung c p y ki n th c giúp ng i c có th h c c nh ng môn khoa h c khác nh ã nói trên; ng th i áp ng mong mu n c a nh ng sinh viên có hoài bão nâng cao hn n a trình c a mình. Vì th , n i dung cu n sách ch a ng nh ng i u r t c b n mà m i sinh viên c n n m v ng, nhng cng có nh ng ph n không òi h i m i sinh viên u ph i hi u. Môn quy ho ch tuy n tính có s d ng nhi u ki n th c i s tuy n tính. Nhi u sách i s tuy n tính trên th gi i x p nó nh m t chng c a mình d i m c "B t phng trình tuy n tính". Trong chng trình Cao ng S ph m m i c a h ào t o giáo viên d y hai môn, n i dung c a môn Quy ho ch tuy n tính có gi m b t. Nó cng c x p vào m t chng trong giáo trình i s tuy n tính này. Cu n sách này g m b y chng: Chng I. Trình bày nh ngha, các tính ch t c a nh th c và các phng pháp c b n tính nh th c. ó là m t phng ti n nghiên c u không gian vect và lý thuy t h phng trình tuy n tính. Chng II và chng III. Nghiên c u không gian vect và các ánh x gi a các không gian y - ánh x tuy n tính. Nó là c s c a i s tuy n tính. Nó giúp cho vi c hoàn thi n lý thuy t h phng trình tuy n tính. Chng IV. H phng trình tuy n tính. ó là m t trong nh ng h ng m r ng c a phng trình c h c tr ng ph thông. V i chng này, lý thuy t h phng trình tuy n tính c coi là hoàn thi n. Chng V. Nghiên c u ma tr n và m i liên h gi a ma tr n v i không gian vect. Nh nó mà các ánh x tuy n tính c nghiên c u sâu s c hn. Chng VI. Nghiên c u d ng song tuy n tính và d ng toàn phng, m t ph n c a lý thuy t d ng trong i s tuy n tính nhng l i có nh h ng sâu s c n Hình h c, Phng trình vi phân và Phng trình o hàm riêng. Chng VII: Nghiên c u m t s bài toán c a Quy ho ch tuy n tính. Ph n i s tuy n tính c a cu n sách này c dùng chung cho c hai h ào t o giáo viên toán (h ào t o giáo viên d y môn Toán cùng v i môn th hai, và h ào t o giáo viên d y ch m t môn Toán). Yêu c u i v i m i h có khác nhau. i v i h ào t o giáo viên d y hai

12

môn, chng trình ch yêu c u sinh viên n m c nh ng i u r t c b n. Ch ng h n, i v i chng nh th c yêu c u ch là hi u c nh ngha nh th c, n m v ng các tính ch t tính c các nh th c thông th ng, không c n hi u k ch ng minh c a các tính ch t này. Song i v i h ào t o giáo viên ch d y Toán thì òi h i cao hn c v n i dung và c v rèn luy n và phát tri n t duy toán h c. Tuy nhiên nh ng òi h i này c th c hi n n âu còn tu thu c vào trình sinh viên t ng a phng. ó là ph n m m d o mà các tr ng v n d ng linh ho t. Ph n Quy ho ch tuy n tính ây ch dùng cho h ào t o giáo viên d y hai môn. M i chng u có ph n m u nêu lên nh ng yêu c u và cách h c t p c a chng y. Cu i m i chng có ph n tóm t t ôi nét chính n i dung c a chng b n c có d p ôn t p l i. Ph n bài t p có m t s l ng có th v t quá yêu c u chung ôi chút vì các tác gi cu n sách mong mu n giúp cho nh ng b n c ham thích môn h c này có thêm c h i rèn luy n k nng. Vì v y, i v i s ông sinh viên thì gi ng viên c n ch d n cho h nh ng bài c th . Tuy nhiên b n c c g ng gi i càng nhi u bài t p càng t t. Các ph n in ch nh không òi h i sinh viên ph i c. Chúng ch dành cho nh ng ai thích thú tìm hi u. h c c giáo trình này, ng i h c c n c b sung ki n th c v s ph c khi mà chng trình Toán THPT cha c p t i; hn n a cng c n có khái ni m v các c u trúc i s nh nhóm, vành, tr ng ti n di n t và b t nh p c v i cách trình bày giáo trình; c n c ng c v ng vàng ki n th c toán h c b c THPT. Giáo trình này c h c vào nm th nh t sau ph n c u trúc c a giáo trình Nh p môn Toán h c Cao c p. is

Khi gi ng d y giáo trình này, có th k t h p nhi u hình th c nh thuy t trình c a gi ng viên, h ng d n sinh viên t c sách, t ch c xêmina, v.v... Ch ng h n, có th t ch c xêmina các m c: Các phng pháp tính nh th c; Gi i h phng trình tuy n tính; Các phép tính v ma tr n. M t i u mà các tác gi mu n lu ý thêm i v i các gi ng viên là: vì giáo trình còn c s d ng t h c nên có nhi u ch ph i t v n d n d t ng i h c, có nhi u ví d . Do ó khi gi ng bài l p, các gi ng viên nên l a ch n nh ng i u c n thi t nh t có th i gian truy n t nh ng ki n th c c b n, nh ng ph n còn l i dành cho sinh viên t h c. Cng nh ã nói trên, i s tuy n tính có nhi u ng d ng, do ó sinh viên c n có k nng v n d ng ki n th c và k nng tính toán.

13

Mu n th vi c th c hành c a sinh viên c n c coi tr ng. Nên c g ng gi m b t th i gian h c lý thuy t l p giành thêm th i gian cho vi c gi i bài t p c a sinh viên, và n u có th thu x p c m t t l gi a th i gian d y lý thuy t và th i gian làm bài t p là 1/1 thì càng t t. i v i ng i h c, khi h c giáo trình này luôn luôn có giây và bút trong tay t mình mô t các khái ni m d a theo nh ng nh ngha; t mình ch ng minh các nh lí sau khi ã tìm hi u k gi thi t và k t lu n; v n d ng các khái ni m, các nh lí t mình trình bày các ví d cho trong sách. Cu i m i chng có ph n tóm t t, b n c nên t n d ng nó c ng c và h th ng l i ki n th c ã h c c chng y. Cng c n nói thêm r ng i s tuy n tính là m t trong nh ng ngành khoa h c c nh t nhng cng r t hi n i. Nh ng i u c trình bày ây ch là nh ng i u c b n nh t, m u c a i s tuy n tính trên tr ng s (mà ch y u là tr ng s th c). Còn nhi u v n n i dung cha th c p t i. Trong cu n sách này ch K c kí hi u chung cho c ba tr ng s , tr ng s h u t Q, tr ng s th c R và tr ng s ph c C, m i khi mu n nói m t i u gì chung cho c ba tr ng s y. Cu i cùng, các tác gi hi v ng r ng cu n sách áp ng c nh ng òi h i c a chng trình, nh ng mong mu n c a b n c. Tuy nhiên, cu n sách cha tránh kh i h t m i khi m khuy t. Vì th , các tác gi mong nh n c nhi u ý ki n c a b n c có th s a ch a nh ng sai sót làm cho cu n sách ngày càng hoàn thi n và ngày càng h u ích hn. Xin chân thành c m n! Các tác gi

14

CÁC KÍ HI U

Xn = Sn sgn()

2 ... n 1 (1) (2) ... (n)

T p h p {1, 2,..., n} g m n s t nhiên t 1 n n. Phép th bi n ph n t 1 thành (i). T p h p các phép th trên t p Xn D u c a phép th . T ng a1 + a2 +...+ an. T ng các s aj, v i j thu c t p ch s J. Tích a1a2...an. Tích các th a s aj, v i j thu c t p ch s J. Ma tr n A có m dòng, n c t,v i các thành ph n aij dòng th i, c t th j. Ma tr n vuông c p n. T p h p các ma tr n vuông c p n v i các thành ph n thu c tr ng K. Ma tr n chuy n v c a ma tr n A. Ma tr n ngh ch Ma tr n n v . o c a ma tr n A. nh th c c a ma tr n A.

a

i=1

n

i

a

jJ n i =1

j

a

a

j J

i

j

A = (aij)(m,n) A = (aij)n Matn(K)

t

A

-1

A I

|A|

~

M

ij

nh th c con bù c a thành ph n aij trong ma tr n vuông (aij).

15

Aij

M ijll ... ir r ....j

~ i1 ...i r j1 ... jr

Ph n bù

i s c a thành ph n aij. nh b i các dòng i1,.., ir

nh th c con xác và các c t i1,..., jr. nh th c con bù c a Ph n bù is c a

M

nh th c con M ij ... i . ....j

l r l r l r l r

A ij11... ir r ....j

nh th c con M ij ... i . ....j

h ng(A) A+B AB

H ng c a ma tr n A. T ng c a hai ma tr n A và B. Tích c a hai ma tr n A và B. Vect, là m t ph n t c a không gian vect. Vect i c a .

-

0

Vect không. H vect g m các vect 1, 2,... m. H ng c a h vect A. C s () c a không gian vect. S chi u c a K- không gian vect V. Ánh x tuy n tính t không gian V gian W. n không

A = { 1, 2,..., m} h ng(A) A () ={ 1 2,..., n} dimKV f: V W f(X) Imf f-1(Y) Kerf hay f-1(0) HomK(V, W) f+g gf

.

nh c a t p X qua ánh x tuy n tính f. nh c a không gian V hay nh c a ánh x tuy n tính f. nh ng c c a t p Y. H t nhân c a ánh x tuy n tính f. T p h p các ánh x tuy n tính t V T ng c a hai ánh x tuy n tính f và g. Tích c a hai ánh x tuy n tính f và g. Tích vô h ng c a hai vect.

16

n W.

tr c giao v i .

H G

Không gian H tr c giao v i không gian G. Chu n c a . Hình chi u c a lên không gian W. Mô un c a s ph c z. S ph c liên h p c a s ph c z. Ch ng minh i u ki n c n. Ch ng minh i u ki n Phng án t i u. T p phng án t i u. Vect dòng th i c a ma tr n A. Vect c t th j c a ma tr n A. .

hchw |z|

z

"" "" x* X

*

Ai Aj

17

Chng I NH TH C

M

U

l p 9, ta gi i h phng trình b c nh t hai n b ng phng pháp c ng i s ho c phng pháp th . Nh ng phng pháp này ã giúp ta d dàng gi i các h phng trình v i h s b ng s . Nhng lên l p 10, khi ph i bi n lu n h phng trình:

ta th y hai phng pháp trên kém t ng quát. Song n u dùng khái ni m nh th c c p hai thì vi c trình bày tr nên sáng s a, g n gàng. Ta s th y r ng khi khái ni m nh th c c p n, (v i n là m t s nguyên dng tu ý) c xây d ng, thì nó có m t vai trò r t to l n. Nó còn c áp d ng vào h u h t các chng trong giáo trình này; c bi t, nó góp ph n a v n gi i h phng trình b c nh t tr thành m t lý thuy t. Nó còn c áp d ng trong nhi u b môn khoa h c khác nh Hình h c, Gi i tích, V t lí, Hoá h c, v.v... Chính vì th mà ta c n n m v ng các tính ch t c a nh th c và các phng pháp tính nh th c, làm nhi u bài t p rèn luy n k nng tính nh th c có th v n d ng t t khi h c t p và nghiên c u b môn i s tuy n tính này cng nh nh ng môn khoa h c khác. nh ngha tr n. Yêu c u chính c a chng này là: - Hi u rõ và n m v ng các tính ch t c a - N m v ng các phng pháp tính nh ng nh th c c n thi t. nh th c. có th tính thành th o

18

nh th c c p n ta c n các khái ni m phép th và ma

nh th c

Hn n a, trong chng này ta c n dùng m t vài kí hi u sau: T ng c a n s : a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an, (n 1 ), c vi t g n là

a

i =1

n

i

,

c là "xích ma ai, i ch y t 1 n n". T ng quát hn, n u ch s ch y kh p m t t p I nào ó thì ta vi t là a i , và c là "xích ma ai, thu c I".

iI

Ví d : a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 = ch y t 1 n 7".

a

i =1

7

i

,

c là "xích ma ai, i

· Tích c a n s : a1a2a3...an. (n 1), c vi t g n là "pi ai, i ch y t 1 vi t là

n

a

i =1

i

, và

c là

n n". N u ch s t ch y kh p m t t p I nào ó thì ta

a

iI

i

c là "pi, ai, i thu c I".

n

Ví d : a1a2a3a4a5 =

a

i =1

i

,

c là "pi ai, i ch y t 1

n 5".

· Cu i cùng trong cu n sách này ta dùng t "tr ng K" m i khi mu n nói n m t i u nào ó chung cho c tr ng s h u t Q, tr ng s th c R và tr ng s ph c C. Ta hãy tìm hi u khái ni m phép th .

19

§1. PHÉP TH ây ta ch dùng khái ni m phép th nh m t phng ti n nghiên c u nh th c ch cha nghiên c u sâu v nó. h c chng này b n c ch c n hi u và nh nh ngha các d ng phép th và tính ch t v d u c a nó, không c n nh ch ng minh. 1.1. nh ngha phép th

a) Gi s t p h p Xn = {1, 2, 3,..., n}, ( n 1 ). M t song ánh : Xn Xn c g i là m t phép th trên t p Xn. Nói riêng, song nh ng nh t c g i là phép th ng nh t. b) M t phép th trên t p Xn c g i là m t chuy n trí hai ph n t i, j thu c Xn n u (i) = j, (j) = i và (k) = k, v i m i k Xn, k i, k i. Nó còn c kí hi u b i (i, j). Nói m t cách n gi n, m t chuy n trí ch hoán v hai ph n t nào ó c a Xn, còn gi nguyên m i ph n t khác. T p h p t t c các phép th trên t p Xn c kí hi u b i Sn. Phép th : Xn Xn c bi u di n nh sau:

trong ó (i) là nh c a ph n t i Xn c vi t m t c t v i i.

1 2 3 4

dòng d i, trong cùng

Ví d 1. = 3 2 4 1 là phép th trên t p X4 = {1, 2, 3, 4} xác nh b i: (1) = 3, (2) = 2, (3) = 4, (4) = 1. = 1 4 3 2 là m t chuy n trí hoán v hai s 2 và 4. Nó c vi t g n là = (2, 4). Chú ý. nh c a các ph n t c a t p Xn qua m i phép th cho ta m t hoán v trên t p Xn. Ng c l i, m i hoán v l i xác nh m t phép th ,

20

1 2 3 4

(ch ng h n, hoán v (3, 4, 1, 2) xác

nh phép th µ =

1 2 3 4 trên 3 4 1 2

t p X4). Vì th s các phép th trên t p Xn b ng s các hoán v trên t p y; ngha là b ng n!. Nh v y, t p Sn có n! ph n t . Ví d 2. S3 có 3! = 1.2.3 = 6 ph n t . ó là nh ng phép th sau:

1.2. Ngh ch th nh ngha. Gi s mà m t phép th trên t p Xn. V i i,j Xn, i j, ta nói c p ((i), (j)) là m t ngh ch th c a n u i <j nhng (i) > (j). Ví d . Trên X3, phép th 2 = 1), phép th 2 =

1 2 3 Có 2 ngh ch th là: (2, 1), (3, 2 3 1

1 2 3 có 3 ngh ch th là: (3, 2), (3, 1), (2, 1). 3 2 1

1.3. D u c a phép th nh ngha. Ta g i phép th là m t phép th ch n nên nó có m t s ch n ngh ch th . c g i là phép th l n u nó có m t s l ngh ch th . Ta gán cho m i phép th ch n m t giá tr b ng +1, m i phép th l m t giá tr b ng -1. Giá tr này c a phép th c g i là d u c a và c kí hi u b i sgn(). Nh v y, theo nh ngha, sgn() = m c 1.2, ta th y phép th = 3 2 1 là m t

1 2 3

Ví d . Trong ví d

21

phép th l vì nó có 3 ngh ch th , còn = 2 3 1 là m t phép th ch n vì nó có 2 ngh ch th . Do ó sgn() = -1, sgn() = 1. B n c hãy t xác m c 1.1. H qu 1. nh d u c a các phép th 1 và j trong ví d 2,

1 2 3

Ch ng minh. Ch c n ch ng minh r ng

} (i) - (j) = {

i, j

i- j

1, n u s ngh ch th là s ch n - 1, n u s ngh ch th là s l

trong ó {i, j} ch y kh p t p các t p con g m hai ph n t c a Xn. Rõ ràng s nhân t t s và m u b ng nhau. Ta s ch ng minh: n u t s có nhân t i - j thì m u cng có i - j ho c j - i. Vì là m t song ánh nên ng v i nhân t i - j t n t i h, k Xn sao cho (h) = i, (k) - j. N u t s có h - k thì m u s có (h) - (k) hay i - j, n u t s có k - h thì m u s có j = i. V y

} (i) - (j) = - 1. Nhng {

i, j

i- j

1

i- j là s âm n u ((i), (i) - (j)

(i)) là m t ngh ch th và là s dng n u trái l i. T ch ng minh. H qu 2. V i hai phép thêm và µ trên Xn ta có: sgn(µ) = sgn()sgn(µ) Ch ng minh. Theo nh ngha và h qu m c 1.3,

ó suy ra i u ph i

= sgn(µ)sgn(), vì {µ(i),µ(j)} cng ch y kh p t p các t p con g m hai ph n t c a Xn.

22

H qu 3. M i chuy n trí Ví d . Xét chuy n trí =

u là phép th l .

1 2 3 4 1 5 3 4

5 6 . Các ngh ch th 2 6

ng

dòng th hai, t c là dòng ch a các (i). S 1 bé hn và s 6 thì l n hn m i s trong dòng nên chúng không tham gia vào ngh ch th . Do ó ch có: - Các ngh ch th d ng (5, r): (5, 3), (5, 4), (5, 2) - Các ngh ch th d ng (s, 2): (3, 2), (4, 2), (5, 2). Vì ngh ch th (5, 2) ã c k 2 l n nên ch có 5 ngh ch th . V y là phép th l . N u b n c mu n ch ng minh h qu này có th d a trên cách lí gi i ví d v a nêu.

23

§2. KHÁI NI M MA TR N M i nh th c c p hai c xác nh khi bi t không nh ng các s t o nên nó mà c cách s p x p chúng trong m t b ng s , ta g i là ma tr n. D i ây là nh ngha c a ma tr n nh ngha 1. M t b ng g m m.n s nh sau: c vi t thành m dòng n c t

c g i là m t ma tr n ki u (m, n). M i s aij c g i là m t thành ph n c a ma tr n. Nó n m th i và c t th j. Ta th ng kí hi u ma tr n b i các ch in hoa: A, B,... Có th vi t ma tr n (1) m t cách n gi n b i A = (aij)(m,n). Khi ã bi t rõ m và n thì còn có th vi t là A = (aij). N u ma tr n ch có m t dòng (m t c t) thì ta g i nó là ma tr n dòng (ma tr n c t). N u m = n thì ma tr n c g i là ma tr n vuông c p n và vi t là A = (aij)n. Ví d . A =

1 2

dòng

0 3 là m t ma tr n ki u (2, 3). 5 - 7

24

nh ngha 2. Ta g i ma tr n

là ma tr n chuy n v c a ma tr n (1) và kí hi u là tA. Nh v y ma tr n tA thu c t A b ng cách i dòng th i c a A thành c t th i c a tA và n u A là ma tr n ki u (m, n) thì ma tr n chuy n v tA ma tr n ki u (n, m).

25

§3. Ta th y

NH NGHA VÀ TÍNH CH T C A nh th c c p hai

a 12 a 21 a 12 a 22

NH TH C

= a11a22 ­ a12a21 là m t t ng. Hãy

xem u m i h ng t c ch n nh th nào. i v i m i h ng t , n u vi t các ch s th nh t dòng trên, còn ch s th hai dòng d i thì c m t phép th :

sgn() = 1 vì có 0 ngh ch th ; sgn() = - 1 vì là m t chuy n trí. Trên t p X2 = {1, 2} ch có hai phép thêm và . Nh v y, có th vi t:

T ng quát, ng i ta 3.1. nh ngha

nh ngha

nh th c c p n, (n > 0), nh sau:

V i ma tr n vuông

ta g i t ng

nh th c c a ma tr n A và kí hi u b i

26

hay |A| hay det(A). Trong cách kí hi u này ta cng nói m i aij là m t thành ph n, các thành ph n ai1, ai2,... ain t o thành dòng th i, các thành ph n a1j, a2j,.., anj t o thành c t th j c a nh th c. Khi ma tr n A có c p n ta cng nói |A| là m t nh th c c p n. Ta th y, m i h ng t c a nh th c c p n là m t tích c a n thành ph n cùng v i m t d u xác nh; trong m i tích không có hai thành ph n nào cùng dòng ho c cùng c t. Ví d 1. N u A = (a11) là m t ma tr n vuông c p m t thì c pm t |A| = a11 Ví d 2. Dùng nh ngha vi t t ng minh nh th c c p 3 nh th c

b n

c s th y r ng:

tìm c k t qu này b n ph i tìm t t c các phép th trên X3 và xác nh d u c a chúng. Công vi c khá v t v . Mu n có nh ng phng pháp tính toán thu n ti n hn, hãy nghiên c u các tính ch t c a nh th c. 3.2. Tính ch t c a nh th c

B n c c n hi u và nh k các tính ch t sau ây c a nh th c áp d ng và ch c n bi t ch ng minh c a vài tính ch t n gi n hi u k nh ngha c a nh th c.

27

Tính ch t 1. N u

nh th c

mà m i thành ph n

dòng th i

' u có d ng aij = a 'ij + a 'ij thì

Ch ng minh. Kí hi u hai Theo nh ngha

nh th c

v ph i l n l t là D' và D".

nh th c ta có:

Tính ch t 2. N u m i thành ph n dòng th i c a nh th c có th a s chung c thì có th t c ra ngoài d u nh th c; t c là:

28

Ch ng minh. Kí hi u nh th c v trái b i D', v ph i b i D, ta có: D' = sgn( ) a1(1)... (cai(i)...an(n) = sgn( ) a1(1)...an(n) = cD.

Sn Sn

Ví d .

5 7 5 7 =3 3 -9 1 -3

Tính ch t 3. Trong th c i d u, t c là:

nh th c n u

i ch hai dòng cho nhau thì

nh

Ví d . V i n = 2 ta có:

Ch ng minh. Kí hi u nh th c v trái b i D', nh th c b i D và coi D là nh th c c a ma tr n (b'), trong ó:

v ph i

v i m i j {1, 2, ..., n}.

29

t = (h, k), ta có: (h) = k, (k) = h, (i) = i, v i i h, i k. Do ó :

Khi ch y kh p Sn thì µ = cng v y. T

ó suy ra r ng

Tính ch t 4. N u inh th c có hai dòng gi ng nhau thì inh th c y b ng 0. Ch ng minh. Gi s nh th c D có dòng th i gi ng dòng th k. Theo tính ch t 3, i ch hai dòng này cho nhau ta c D' = - D. Nhng nh th c D' cng là nh th c D. Nh v y, D = - D. Suy ra 2D = 0. V y D = 0.

30

Tính ch t 5. N u inh th c có hai dòng mà các thành ph n (cùng c t) tng ng t l thì nh th c y b ng 0. Ch ng minh. Xin dành cho b n c. Tính ch t 6. N u nhân m i thành ph n dòng th i v i cùng m t s c r i c ng vào thành ph n cùng c t dòng th k thì c m t nh th c m i b ng inh th c ã cho. Ch ng minh. Cho

Gi s nhân m i thành ph n c a dòng th i v i c r i c ng vào thành ph n cùng c t dòng th k. Th thì ta c.

Theo các tính ch t 1 và 5, ta có:

31

Ví d . Cho

nh th c

2 13 . 6 29

Nhân dòng th nh t v i -3 r i c ng vào dòng th hai ta c:

Tính ch t 7. V i tA là ma tr n chuy n v c a ma tr n A thì |tA| = |A| t c là, hai ma tr n chuy n v c a nhau thì có nh th c b ng nhau.

Ch ng minh. t tA = (bij). Th thì bij = aij v i m i i, j {1, 2,..., n}. Theo nh ngha c a nh th c, ta có:

M i µ có m t ánh x ng c . V i m i i, µ(i) = i. Do ó

t r = (i), ta có µ(i) =

vì µ là phép th

ng nh t nên 1 = sgn() = sgn(µ)sgn(). Suy ra: (2)

sgn(µ) = sgn().

Hn n a khi µ ch y kh p Sn thì cng v y. Nh (1) và (2) có th vi t:

Chú ý. Nh tính ch t 7, n u ta thay t "dòng" b i t "c t" trong các tính ch t 1, 2, 3, 4, 5, 6 thì ta l i c nh ng tính ch t c a nh th c phát bi u i v i c t, ch ng h n: "N u i ch hai c t cho nhau thì nh th c i d u".

32

§4. KHAI TRI N

NH TH C u tìm cách tính

Sau khi ã bi t các tính ch t c a nh th c, ta b t nh th c c p b t kì. Ta c n n vài khái ni m sau. 4.1. nh th c con - Ph n bù is

nh ngha. Cho

nh th c D c p n.

1) N u ch n r dòng i1,..., ir và r c t j1,..., jr, (r < n), thì các thành ph n n m giao c a r dòng và r c t y l p thành m t nh th c kí hi u ...j b i M i j...i và g i là m t nh th c con c p r c a D.

1

r

1

r

2) N u xoá i r dòng và r c t y thì các thành ph n còn l i l p thành m t

M

j1...j r i1...i r

nh th c kí hi u b i M i ...i và g i là .

1 r

~ j1...j r

nh th c con bù c a

nh th c

3)

c g i là ph n bù

...j i s c a M i j...i .

1 r 1 r

Chú ý. M i thành ph n aij c a m t nh th c D là m t nh th c con c p m t c a D. n gi n cách vi t, nh th c con bù và ph n bù i s c a an c kí hi u l n l t b i Mij và Aij. Ví d . Cho nh th c

N u ch n dòng th ba c t th hai thì a32 = 4, là m t c p m t c a D.

nh th c con

33

N u ch n hai dòng: th nh t và th ba, hai c t: th hai và th ba thì:

23 M13 =

3 5 là m t 4 1 2 9 là -6 7

1+3+2+3

nh th c con c p hai c a D;

M13 =

~ 23

23 nh th c con bù c a M13 ;

23 A13 = (-1)

2 9 là ph n bù -6 7

23 i s c a M13 .

4.2. Khai tri n

nh th c theo m t dòng

inh lí. Cho nh th c D c p n có các thành ph n là aij. V i m i i{1, 2,..., n}, ta u có:

Ta nói ó là cách khai tri n

nh th c theo dòng th i.

Ch ng minh. 1) Tr ng h p i = n và các anj = 0 v i m i j c {1, 2,..., n-1). Khi ó:

34

Do ó trong t ng này ch còn các h ng t mà (n) = n; ngha là:

ng v i nh ng phép th Sn

Thu h p c a m i y là m t phép th trên t p Xn-1 = {1, 2,..., n - 1}; ng c l i, m i phép th µ Sn-1 l i sinh ra m t phép th trên t p Xn = {1, 2,..., n - 1, n} xác nh b i: (n) = n, (i) = µ(i) v i m i i {1, 2,..., n - 1}. Vì th có th vi t D = ann Vì

sgn(µgn

µSn -1

1µµ(1 2µµ(2

a

...a iµµ(i...a n -1µµ(-1) .

~

sgn(µgn

µSn -1

1µµ(1 2µµ(2

a

...a iµµ(i...a n -1µµ(-1) = M nn , trong ó M nn là

~ ~ ~

~

nh th c

con bù c a thành ph n ann, và Ann = (-1)n+n M nn = (-1)2n M nn = M nn nên D = annAnn. 2) Tr ng h p i n, và trong dòng th i ch có m t aij = 0, còn m i ais = 0 v i s i; t c là:

Ta i ch liên ti p n - i l n hai dòng li n nhau xu ng v trí dòng th n và c:

chuy n dòng th i

35

i

Ti p t c i ch liên ti p n - i l n hai c t li n nhau n v trí c a c t th n, ta c:

chuy n c t th

M t khác, t Mi j là nh th c con bù c a aij, thì theo ch ng minh trong tr ng h p 2), ta có:

~

3) Tr ng h p t ng quát. V iic nh, ta coi aij = 0 +...+ 0 + aij + 0 +...+ 0, trong ó có n - 1 s 0 và aij là s h ng th i. Theo tính ch t 2 c a nh th c, ta có th vi t:

trong ó m i

nh th c

v ph i

u có d ng

nh th c

tr ng h p 2)

36

Chú ý. Nh tính ch t 7 c a t "dòng" b i t "c t"; t c là:

nh th c,

nh lí cng úng n u ta thay

H qu . Cho

nh th c D v i các thành ph n aij ta có:

Ch ng minh. t aij= a'ki thì ai1Ak1 + ... + aijAkj + ... + ainAkn = a'k1Ak1 +... + a'kjAkj + ...+ a'knAkn là khai tri n c a nh th c D' thu c t D b ng cách thay dòng th k b i dòng th i, còn gi nguyên m i dòng khác; ngha là trong D' có dòng th k gi ng dòng th i. V y nh th c D' = 0. nh lí trên ây cho phép a vi c tính nh th c c p n v vi c tính nh ng nh th c c p th p hn và có th tính c nh th c c p tu ý. Ví d . Tính nh th c:

Gi i 1) Khai tri n nh th c theo dòng th nh t ta có:

37

V y D = 2.(- 29) + 5.23 + (- 5) = - 58 + 115 - 5 = 52. 2) Nh n th y dòng th ba c a nh th c ch có hai thành ph n khác 0 là a32 = 4 và a33 = - 3, nên ta khai tri n nh th c theo dòng này s gi m nh vi c tính toán. C th : C = 4A32 + (- 3)A33.

tính nh th c c p 3 cu i cùng này, ta l i khai tri n theo c t th hai. Vì s 1 n m dòng 1 c t 2 nên ph n bù i s c a nó là:

V y C - 4.(- 52) + (-3).23 = - 277. 4.3. Khai tri n nh th c theo r dòng

nh lí Laplace. N u trong nh th c D ã ch n r dòng c nh i1, i2, ... ir. M1, M2,..., Ms là t t c các nh th c con c p r c a D ch n trong r dòng này và A1, A2,..., As là nh ng ph n bù i s tng ng thì

B n c ch c n hi u n i dung c a nh lí này qua ví d và s d ng chúng, không c n bi t ch ng minh. Tuy nhiên n u thích thú b n có th tìm hi u phép ch ng minh sau ph n ví d . Ví d . Tính nh th c:

38

Gi i Ch n dòng th nh t và dòng th ba. Hai dòng này cho ta 6 c p hai. cho n gi n ta vi t chúng là: nh th c

G i A1, A2,..., A6 l n l t là các ph n bù theo nh lí ta có:

i s c a M1, M2,..., M6,

Ch có M4 0 nên ch c n tính A4. Vì M4 c t o thành t các dòng 1, 3, các c t 2, 3 nên A4 = (-1)1+3+2+3 4 - 5 = 38. V y D = M4A4 = (-11)(38) = - 418. Ch ng minh nh lí. ch ng minh ta c n kí hi u c th hn. Theo các kí hi u trong nh ngha 4.1, ta ph i ch ng minh:

6 2

Hi n nhiên i u kh ng nh là úng v i n = 1. Gi s n > 1 và i u kh ng nh úng v i n - 1, ta ch ng minh nó úng v i n. Tr ng h p ã ch n r dòng u.

39

cho n gi n kí hi u Trong M i ...i , a1j, ta có:

1 r

ng

dòng 1 c t t. Khai tri n M i ...i theo dòng

1 r

u,

trong ó, N1j là v y:

r

~ j1 ...jr

nh th c con bù c a a 1j trong

1

nh th c M i ...i . Nh

1 r

M t khác, khai tri n

nh th c D theo dòng

u ta có:

trong ó, M1j là nh th c con bù c a thành ph n a 1j trong D. Do ó ch c n ch ng minh r ng:

r 1

~

Vì M1j là nh th c c p n - 1 nên theo gi thi t quy n p, i u kh ng nh trong nh lí là úng. Ch n r - 1 dòng u, (chúng n m trong các dòng th 2, 3,..., r ã ch n trong D), ta có:

r

~

trong ó, P1j

~ h1 ...h r -1

1

h là

1

nh th c con bù c a P1j

h1 ...h r -1 j1 ...jr

r

~ h1 ...h r -1

1

trong

nh th c M1j .

r

~

Hi n nhiên m i P1j h là m t N1j nào ó và ng c l i vì chúng là nh ng nh th c con c p r - 1 n m trong các dòng th 2, 3,..., r trong

40

D sau khi ã xoá c t th it (B n

~

r

c hãy t v ra

giúp mình d hi u).

Nhng M1j thu c t D b ng cách xoá i dòng 1 và c t jt. Do ó các thành ph n còn l i các c t th jt+1, it+1 + 1,..., n trong D tr thành các thành ph n c t th it+1 - 1, jt+1,... n - 1 trong M1j . Vì th , v i

r

~

Do ó các tích b ng nhau trong (1) và (2) có cùng m t d u. V y i u kh ng nh c ch ng minh. Tr ng h p t ng quát. Chuy n cho dòng i1 lên dòng th nh t, dòng i2 lên dòng th hai, ti p t c nh th cho n khi chuy n dòng ir lên dòng th r; t c là ã i ch hai dòng li n k (i1 - 1 + i2 - 2 +... + ir ­ r) l n, ta c nh th c D' và

Chú ý r ng sau khi thay

i các dòng nh v y thì các

j1 ...jr

1 r

nh th c con nh th c

c p r l y trong r dòng u v n là các ã cho. Do ó, theo ch ng minh trên:

nh th c con M i ...i c a

41

§5. PHNG PHÁP TÍNH

NH TH C

Bây gi nh các tính ch t c a nh th c ta hãy tìm nh ng phng pháp tính nh th c c p tu ý. Tuy nhiên, i v i các nh th c c p hai và c p ba ngoài nh ng phng pháp chung còn có phng pháp tính riêng. Ta ã bi t quy t c tính nh th c c p hai. Bây gi ta xét m t quy t c tính nh th c c p ba. 5.1. Tính nh th c c p 3

Trong ví d m c 4.2, ta ã tính nh th c c p ba b ng cách khai tri n theo m t dòng. Tuy nhiên, t nh ngha nh th c còn có m t phng pháp tính riêng. Ta bi t:

Nh n xét t ng này ta th y có th tính

nh th c c p ba theo s

sau:

M i h ng t c a nh th c là m t tích c a ba thành ph n n i v i nhau b i nh ng o n th ng. Tích có d u "+" n u các thành ph n c n i b i nét li n, có d u "-" n u các thành ph n c n i b i nét t. Quy t c này do nhà toán h c tên là Sarus là quy t c Sarus. x ng, do ó nó có tên

42

5.2. Áp d ng phép khai tri n c t

nh th c theo m t dòng ho c m t

Áp d ng nh lí 4.2, ta có th tính nh th c tu ý. Song phép tính c n gi n ta nên khai tri n theo dòng (ho c c t) có nhi u thành ph n b ng 0 ho c là nh ng s n gi n.

Gi i Nh n th y c t th hai có nhi u thành ph n b ng 0. Khai tri n nh th c theo c t này ta không c n tính ph n bù i s c a nh ng thành ph n b ng 0. Nh v y,

7 6 3 9

D = (-1)

1+2

(-2) 1

0 10 = 2[6.10(-4) + 3.12 ­ 6.19 ­ 7.10.2]

-4 2

= 2(-240 + 6 - 54 - 140) = - 856.

Gi i Ta cng có th khai tri n nh th c này theo dòng ho c c t có thành ph n b ng 0. Tuy nhiên nh tính ch t 6, ta có th bi n i nh th c trong m t dòng ho c trong m t c t ch còn nhi u nh t là m t thành ph n khác 0. Ch ng h n, ta s bi n i dòng th ba. Nhân c t th nh t v i 1 r i c ng vào c t th hai, nhân c t th nh t v i -10 r i c ng vào c t th t, ta c:

43

Gi nguyên c t th hai, c ng c t th hai vào c t th nh t, nhân c t th hai v i 6 r i c ng vào c t th 3 ta c:

5.3. a

nh th c v d ng tam giác

nh th c d ng tam giác d i là inh th c có d ng:

nh th c d ng tam giác trên là

nh th c có d ng:

Khi ó, nh phép khai tri n có: D = a11a22...ann.

nh th c theo m t dòng ho c m t c t ta

Áp d ng tính ch t 3 và tính ch t 6 ta có th d ng tam giác.

a m i

nh th c v

44

Ví d 2. a

nh th c v d ng tam giác r i tính

nh th c:

Gi i Trong c t th nh t ta có th gi nguyên s 3, r i tri t tiêu các s 2. Song mu n th ta ph i nhân dòng th nh t v i t p. tránh i u ó ta c:

2 . Phép tính s ph c 3

i ch c t th nh t và c t th hai cho nhau, ta

Bây gi , trong c t th nh t gi nguyên s 1 và tri t tiêu các thành ph n khác thu n l i. Nhân dòng th nh t l n l t v i -1 và 2 r i l n l t c ng vào dòng th ba và th t ta c:

i ch dòng th hai và dòng th ba cho nhau:

Nhân dòng th hai v i 8 r i c ng vào dòng th t:

45

Có th ti p t c nhân dòng th ba v i 15 r i c ng vào dòng th t, song có th áp d ng tính ch t tính ch t 3, a th a s 15 ra ngoài nh th c :

Hi n nhiên ta cng có th bi n i các c t ho c bi n dòng a nh th c v d ng tam giác. Ví d 3. a nh th c v d ng tam giác r i tính:

ic c tl n

Gi i Nhân c t th t v i - 3 r i c ng vào c t th nh t, ta c:

Nhân c t th ba l n l t v i 9 và - 2, r i c ng l n l t vào c t th nh t và c t th hai:

46

( a th a s chung 3

c t th hai ra ngoài

nh th c).

Ti p t c nhân c t th hai c a c ng vào c t th nh t, ta c:

nh th c cu i cùng trên ây v i -16 r i

5.4. Áp d ng các tính ch t c a

nh th c

a nh th c v d ng tam giác ta ã s d ng ch y u tính ch t 6, ôi khi có s d ng các tính ch t khác. Nói chung, tính nh th c ta có th áp d ng m i tính ch t c a nó. Ví d 1. Tính nh th c:

Gi i C ng dòng th nh t v i dòng th hai, ta c:

Bây gi 5, D = 0.

nh th c có hai dòng th hai và th t t l . Theo tính ch t nh th c:

Ví d 2. Tính

Gi i

47

Nh n th y t ng các thành ph n trong các dòng u b ng nhau. Do ó n u c ng vào m t c t t t c các c t khác, ch ng h n, c ng vào c t th nh t thì các thành ph n c a c t y u b ng nhau. Theo tính ch t 6, ta c m t nh th c b ng nh th c ã cho

Ti p t c khai tri n

nh th c theo c t th nh t.

Ví d 3. Tính

nh th c:

Gi i Nh n th y các dòng th 4, 5 có th a s chung l n l t là 2, 4. Do ó:

(D' là nh th c v a tìm c). Nhân m i dòng c a D' v i -1 ta c D'' = - D'. Chuy n v D'' ta l i c D'. Do ó, theo tính ch t 1, D'' =

48

D'. Nh v y, D' = D'' = - D'. Suy ra D' = 0. V y D = 0. Ví du 4. Tính inh th c

Gi i Nh n th y các thành ph n dòng th hai b ng các thành ph n tng ng c a dòng th nh t c ng v i 19. Do ó, áp d ng tính ch t 1 ta có:

nh th c th nh t v ph i b ng 0 vì có hai dòng gi ng nhau. th a s chung 19 c a nh th c th hai ra ngoài nh th c, ta có: V y:

a

5.5. Phng pháp quy n p và phng pháp truy h i Ta ã bi t phng pháp quy n p, còn n i dung c a phng pháp truy h i là bi u di n nh th c c n tính qua nh ng nh th c có c p th p hn có d ng xác nh và theo m t công th c xác nh. Tính các nh th c c p th p ta s l n l t tính c nh ng nh th c c p cao hn. Ví d 1. Dùng phng pháp quy n p, tính nh th c:

49

Gi i Khai tri n nh th c theo c t cu i ta có:

Hãy xét vài tr ng h p

d

oán k t qu .

T

ó ta d

oán Dn = (-1)n(n +1) a i ; Ta th ch ng minh công

i =1

n

th c này. Hi n nhiên công th c úng v i n = 1, n - 2. Bây gi gi s n > 2 và công th c úng v i n - 1; t c là : Dn-1 = (-1)n-1n

n

a

i =1

i

Khi ó:

50

V y Dn = (-1)n (n + 1)

n

a

i =1

i

Gi i Khai tri n nh th c này theo dòng th nh t:

Ta th y hai

nh th c cu i cùng có cùng d ng v i D5 = 4D4 - 10D3.

nh th c ã cho.

t chúng là D4, D3, ta có:

4 5 = 6. 2 4

Tng t , D4 - 4D3 - 10D2, trong ó D2=

Tính c D3 s tính c D4; ti p t c tính c D5.

4 5 0

Ta có D3 = 2 4 5 = 4D2 ­ 5

0 2 4

2 5 = 4D2 ­ 40 = 24 ­ 40 = - 16 0 4

V y D5 = 4D4 ­ 10D3 = 4(4D3 ­ 10D2) ­ 10D3 = 6D3 ­ 40D2 = 6(-16) ­ 40.6 = - 336. 5.6. Tính nh th c b ng máy tính b túi và máy tính i n t

51

Ngày nay công ngh thông tin phát tri n, ng i ta ã t o ra nhi u

chng trình máy tính gi i nhanh chóng nhi u phép toán. Vì có nhi u chng trình, các máy tính có th cài t nh ng chng trình khác nhau nên trong cu n sách này ch nêu lên cách s d ng m t vài trong s nh ng chng trình y làm ví d . V nguyên t c, khi m t máy tính c cài t m t chng trình nào thì trong chng trình y ã có h ng d n c th vi c s d ng nó. V i m i chng trình cng có th cói sách h ng d n s d ng kèm theo. ây xin l y máy tính b túi "CASIO fx570MS" và chng trình cài t vào máy tính i n t "Mathematica 4.0" làm ví d . a) Tính nh th c b ng máy tính b túi CASIO fx-570MS. nh Chú ý r ng máy tính CASIO fx-570MS ch có th tính c th c c p n 3.

Gi i. B c 1. T o ma tr n ng v i Th c hi n theo các tao tác sau: - a v t p ma tr n b ng cách b m các nút theo th t : MODE MODE MODE 2 Trên c a s c a máy tính hi n th ch MAT; ngha là máy ã m t p ma tr n. - T o ma tr n: · B m các nút SHIFT MAT 1 . Trên c a s xu t hi n hai dòng: DIM EDIT MAT 1 ·B m 1 xác C a s xu t hi n hai dòng: A 1 B 2 C 3 2 3 nh s dòng và s c t c a ma tr n. nh th c.

52

· B m nút 1 ·B m 3 = 3

kí hi u ma tr n A. = xác nh r ng A là ma tr n vuông c p 3.

· Nh p các thành ph n c a ma tr n:

Nút AC

kh ng

nh ã l p xong ma tr n A.

B c 2. Tính

nh th c c a ma tr n A:

· SHIFT MAT Trên c a s xu t hi n hai dòng: Det Trn 1 ·B m 1 chuy n sang vi c tính A 1 Nh c l i r ng 1 là kí hi u ma tr n A. ·B m 1 =. nh th c c a ma tr n A. i n t (theo chng trình Trên c a s xu t hi n s 73. ó là · B m SHIFII MAT 3 Trên c a s xu t hi n hai dòng: B 2 C Ans 3 4. 2 nh th c.

b) Tính nh th c b ng máy tính MATHEMATICA 4.0)

V i chng trình "Mathematica 4.0", máy tính i n t có th tính nh th c c p b t kì. Ví d . Tính nh th c

Gi i M "Mathematica 4.0".

53

Trên màn hình ta ch vi c ánh l nh: Det[{{2,5, -4,1},{21,24,15,20},{1,7,0,1},{5, -1, 2,0}}] r i n phím Enter Output: 2679. N u mu n tính h n: nh th c c a ma tr n A ã c t o l p tr c, ch ng t n cùng bên ph i. Sau m t giây màn hình xu t hi n:

A = {{2, 5, - 4, 1}, {21, 24, 15, 0}, {1, 7, 0, 1}, {5, - 1, 2, 0}} thì ch vi c ánh l nh: Det[A] . Quan i m v vi c s d ng máy tính Máy tính r t thu n l i cho vi c tính toán vì nó nhanh chóng cho ta k t qu c a phép toán mà ta th c hi n. Nó r t có l i cho nh ng ng i ch c n s d ng k t qu c a phép toán mà không c n bi t phng pháp hay thu t gi i bài toán y. Chúng ta không nh ng ph i bi t s d ng máy tính mà còn ph i s d ng thành th o, vì ó là thành qu c a khoa h c k thu t, là m t công c lao ng r t hi n i và ngày càng ph c p. Nhng khi dùng máy tính gi i m t bài toán thì ta ch là ng i xem k t qu c a bài toán mà ng i khác ã gi i. Song, là ng i làm toán và d y toán, nhi m v chính c a chúng ta không ph i ch là bi t s d ng máy tính gi ng d y mà là ph i bi t nh ng phng pháp gi i toán, nh ng c s lý thuy t d a vào ó mà ng i ta ã xu t nh ng phng pháp gi i và t o ra nh ng chng trình cho máy th c hi n. Vì th ta ph i n m v ng nh ng lý thuy t toán h c và rèn luy n k nng gi i toán tr ng Ph thông cng nh i h c b ng t duy và l p lu n. R t có th trong s chúng ta, nh s n m v ng lý thuy t toán h c và nh ng k nng gi i toán mà s có nh ng ng i sáng t o c nh ng ph n m m toán h c có nhi u ng d ng.

54

§6.

NG D NG - H PHNG TRÌNH CRAMER nh th c là gi i h phng

ng d ng u tiên và quan tr ng c a trình b c nh t n phng trình, n n. 6.1. nh ngha

1) H phng trình tuy n tính n n là h có d ng:

Trong ó: x1, x2,..., xn là các n, aij, bi thu c tr ng s K, v i i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}, aij c g i là h s c a n xj, bi c g i là h ng t t do. 2) M t nghi m c a h (1) là m t b n s (c1, c2,..., cj,... cn) thu c tr ng K sao cho khi thay xj = cj thì m i ng th c trong (1) u là nh ng ng th c úng. 3) N u h (1) có m = n và nh th c

thì nó c g i là h Cramer. phng trình. 6.2. Cách gi i Cho h Cramer

nh th c D c g i là

nh th c c a h

55

V i m i j, trong nh th c D ta thay c t th i b i c t g m các h ng t t do b1, b2,..., bn) ta c nh th c:

(c t th j) Vì bi = ai1x1 + ... + aijxj + ... + ainxn nên

Theo các tính ch t 1 và 2 c a

nh th c, ta có:

56

nh th c h ng t th j chính là D, còn các nh th c khác ph i u b ng 0 (vì có hai c t gi ng nhau). Do ó Dj = xjD. Suy ra xj =

Dj D

v

, v i m i j {1, 2, ..., n}

V y h phng trình Cramer có nghi m duy nh t. Nhà toán h c Th trình bày l i gi i ng i ta l y tên ông không ph i là ng i minh công th c này l y s tên là Cramer (1704-1752) ã dùng nh th c c a m t h phng trình tuy n tính mà sau này t cho h phng trình d ng ó. Tuy nhiên ông ch ng minh công th c Cramer mà ng i ch ng i là Vandermonde, m t nhà toán h c Pháp.

Ví d . Gi i h phng trình:

Gi i Ta ph i tính D, và các Dj.

57

V y h có nghi m duy nh t: (1, -2, 0, 1). 6.3. Gi i h Cramer b ng máy tính b túi và máy tính i n t a) Gi i b ng máy tính b túi Máy tính b túi CASIO-570MS ch có th gi i c h Cramer v i n 3. Ví d . Gi i h phng trình

Gi i a v chng trình "gi i phng trình" ta b m MODE MODE MODE 1 C a s xu t hi n hai dòng unknowns? ( n) 2 3 (2 hay 3 n)

58

B m 3 ( B m 3 =

kh ng (

nh s

n là 3).

C a s xu t hi n a1? (có ngha là b o ta nh p h s a1). nh p h s a1 = 3). Ti p t c nh p các h s b ng cách b m liên ti p:

L p t c c a s xu t hi n x - 1 B m tìm c y = - 2. B m tìm c z = 0. V y h có nghi m (1, - 2, 0). b) Gi i b ng máy tính di n t Máy tính i n t có th gi i h Cramer n n v i n là s nguyên dng tu ý. Ví d . Gi i h phng trình trong ví d c a m c 6.2:

Gi i · T o ma tr n c a h phng trình b ng cách ánh: A ={{3, 0, -2, 0},{1, 3, 0, 5},{0, 1, 4, 1},{0, -2, -1, -4}} (Chú ý ph i dùng phím enter LinearSolve[A,{3, 0, -1, 0}] . Màn hình xu t hi n : Out[] = (1, -2, 0, 1). ó là nghi m c a h phng trình. t n cùng bên ph i). · Gi i h phng trình b ng cách ánh l nh:

59

TÓM T T Ta ã dùng phép th mô t khái ni m t p Xn = {1, 2,..., ni} là m t song ánh. : Xn Xn, nó c vi t nh sau: nh th c. M t phép th trên

M t c p ((i), (j)) c g i là m t ngh ch th c a n u i < j nhng (i) > (j). Phép th c g i là phép th ch n (1 ) n u nó có m t s ch n (1 ) ngh ch th . D u c a phép th kí hi u b i sgn() c xác sgn() = - 1, n u là phép th l

a11 a12 ...a1j ...a1n ........................... a a i2 ...a ij ...a in t ng i1 ........................... a n1 a n2 ...a nj ...a nn

nh b i:

1, n u là phép th ch n

nh th c c a ma tr n vuông A =

sgn ()a1(1) ... a2(2) ... ai(i) ... an(n) kí hi

So

ub i

hay |A| hay det(A). nh th c có 7 tính ch t (xem §3). Dùng các tính ch t này ta ch ng minh c nh lí v s khai tri n nh th c theo m t dòng: D = ai1ai1 + ai2Ai2 + ...+ ainAin v i m i i {1, 2,..., n}, trong ó Aij là ph n bù Ta cng có: Ai1Ak1 + ai2Ak2 + ... + ainAkn = 0 n u i k. Tính ch t 7 nói r ng:

60

i s c a thành ph n aij (xem

nh ngha 4.1).

|tA| = |A| suy ra r ng m i tính ch t c a iv ic t nh th c phát bi u i v i dòng u úng

Áp d ng các tính ch t c a nh th c ta có th tính c nh th c p tu ý. Có nhi u phng pháp tính nh th c, trong ó hai phng pháp th ng dùng nh t là phng pháp khai tri n nh th c theo m t dòng ho c m t c t và phng pháp a v d ng tam giác. Tuy nhi t cng c n bi t các phng pháp khác vi c tính toán c linh ho t. H phng trình Cramer là m t ng d ng u tiên c a nh th c ó là h phng trình có d ng:

Trong ó x1, x2,.. xn là các n, aij, bi K, v i i {1, 2,..., n}, j {1, 2,..., m}; aij c g i là h s c a n xj, bi c g i là h ng t t do và

a11 a12 ...a1j ...a1n ........................... D = a i1 a i2 ...a ij ...a in 0. ........................... a n1 a n2 ...a nj ...a nn

nh th c này c g i là

nh th c c a h phng trình (1).

Kí hi u Dj là nh th c thu c t D b ng cách thay c t th i c a D b i c t các h t t do, ta có công th c nghi m c a h Cramer, c g i là công th c Cramer: xj =

Dj D

, v i m i j {1, 2, .., n}.

61

BÀI T P §1. PHÉP TH 1. Tìm t t c các phép th c a m i t p sau: X2 = {1, 2}, X3 = {1, 2, 3}, X4 = {1, 2, 3, 4}. Xác nh d u c a m i phép th . 2. V i m i phép th sau hãy xác nh d u c a nó, tìm phép th ngh ch o và d u c a phép th ngh ch o:

Xác

nh các tích µ, µ. NH TH C nh th c c a

§3. D NH NGHA VÀ TÍNH CH T C A 3. Cho ma tr n A = (aij) c p 4. a) Trong các tích sau, tích nào có m t trong A:

nh ngha

a13a24a31a33, a12a24a33a41, a14a22a31a43, a11a23a31a42. b) Xác nh d u c a nh ng tích nói trên n u nó có m t trong ngha nh th c c a ma tr n A. 4. Ch n các s j, k sao cho m i tích sau có m t trong th c c a ma tr n A = (aij) c p 5: a11a22a3ja4ka54, a12a2ja33a4ka55. 5. Cho ma tr n c p ba: A = (aij). Vi t các tích có d u "-" ch a a13 có m t trong nh ngha c a nh th c c a A. 6. Cho ma tr n A = (aij) c p n. Xác nh d u c a tích các thành ph n n m trên m i ng chéo (có m t trong nh ngha c a nh th c c a A). 7. Bi t r ng 121, 253, 495 chia h t cho 11. Ch ng minh r ng nh

62

nh nh

nh ngha

th c :

8. Ch ng minh r ng:

9. Không tính, dùng tính ch t c a th c sau b ng 0:

nh th c ch ng t r ng các

nh

§4. KHAI TRI N 10. Tính các

NH TH C

nh th c b ng cách khai tri n theo dòng ho c c t:

63

11. Dùng

nh tí Laplace

tính

nh th c:

§5. PHNG PHÁP TÍNH 12. Tính các nh th c b ng quy t c Sarus:

NH TH C

13. Tính

nh th c b ng cách a v d ng tam giác:

64

14. Dùng phng pháp quy n p tính các

nh th c:

( nh th c Vandermonde). §6. NG D NG-H PHNG TRÌNH CRAMER

15. Gi i h phng trình Cramer:

65

16. Gi i h phng trình:

, trong ó các aj ôi m t khác nhau.

17. (Bài t p t ng h p) B n hãy tìm trong cu n sách giáo khoa này, ho c trong các sách giáo khoa khác v i s tuy n tính, nh ng ví d v các phng pháp tính nh th c (m i phng pháp có m t ho c hai ví d ). Nói riêng, i v i ph n "áp d ng các tính ch t c a nh th c" thì m i tính ch t có ít nh t m t ví d . Các nh th c l y làm ví d ph i có c p n 3. Hn n a các ví d c a b n không c trùng v i ví d trong sách giáo khoa này.

66

VÀI NÉT L CH S

Ngày nay khi nh ngha nh th c bao gi ta cng nói: " nh th c c a m t ma tr n nào ó". Vì th , m t cách t nhiên, ai cng ngh r ng khái ni m nh th c ph i ra i sau khái ni m ma tr n. Nhng th c t , khái ni m nh th c ra i tr c khái ni m ma tr n 150 nm. Ng i u tiên a ra khái ni m nh th c là Leibnitz, nhà toán h c c,(1646- 1716) và nhà toán h c Seki Kova, ng i Nh t b n. Nó cng ã c xu t hi n trong công trình c a m t nhà toán h c Nh t b n khác, tên là Takakazu (16421708). Leibnitz ã không công b phát ki n c a mình có liên quan n nh th c. ông ch nói n nó trong m t b c th g i nhà toán h c L'Hopital bàn v vi c gi i h phng trình tuy n tính. ó, ông ã nói n khái ni m này và h t l i ca ng i nó. Mãi t i nm 1850 (t c là sau g n 200 nm), khi th t c a ông c công b ng i ta m i bi t r ng ông ã phát hi n ra khái ni m nh th c. Leibmtz ã nh n m nh ích l i c a vi c ánh s b i hai ch s kí hi u các h s trong h phng trình. Seki ã ch m n khái ni m nh th c khi tìm nghi m chung c a hai a th c f(x) và g(x) (v i b c th p). Nhng ông ã gi bí m t phng pháp c a mình và ch tin vào nh ng h c trò thân c n nh t. Nm 1674 phát ki n c a Se ki c công b , và khi ó phng pháp c a ông c trình bày rõ ràng hn. châu Âu, Newton, Bezout và Euler, khi nghiên c u vi c tìm t nghi m chung c a các phng trình i s ã g n ch t vi c nghiên c c a mình v i nh th c. Vào nm 1750, nhà toán h c Th y s Cramer công b công trình tng i t ng quát liên quan n nh th c. ông p u ã ã

67

a ra m t bi u di n nh th c cho l i gi i c a bài toán tìm m t ng cônic i qua 5 i m cho tr c. Tuy nhiên Cramer l i không ph i là ng i ch ng minh công th c Cramer mà chúng ta th ng dùng. Ng i u tiên nh ngha và nghiên c u nh th c là nhà toán h c Pháp tên là Vandermonde. Ông ã công b nh ng công trình này vào nm 1771. Ông ã ch ng minh quy t c Cramer và tìm c m t s tính ch t c a nh th c. Nhng ông m i ch tính c nh th c Vandermonde c p 3. Nm 1772, Laplace (1749-1827) ã phát hi n công th c khai tri n nh th c theo m t dòng hay m t c t. T t c các nhà toán h c nói trên ã phát hi n, nghiên c u nh th c, nhng v n cha có tên g i c a nh th c. Tên g i c a nh th c l n u tiên xu t hi n trong m t bài báo c a Gauss nm 1801. Hai nhà toán h c Pháp là Cauchy (1789-1857) và Jacobi (1804-1851) ã trình bày lí thuy t nh th c m t cách h th ng. T ó khái ni m nh th c tr nên ph c p hn.

68

Chng II KHÔNG GIAN VECT

M

U

Trong chng I ta ã th y, nh nh th c ta ã gi i c h phng trình Cramer. Song n u ch dùng nh th c nghiên c u vi c gi i h phng trình tuy n tính t ng quát (khi m n ho c khi m = n nhng nh th c c a h phng trình b ng 0) thì s có nhi u khó khn, ph c t p. Không gian vect s giúp ta v t qua nh ng khó khn y và cng giúp ta trình bày lí thuy t h phng trình tuy n tính m t cách sáng s a. tr ng Ph thông trung h c ta ã dùng vect nghiên c u hình h c. Vect còn c dùng nghiên c u nhi u ngành toán h c khác và c nh ng môn khoa h c khác nh C h c, V t lí, Hoá h c, a lí, và nhi u ngành k thu t. N u xét t p h p V các vect có chung i m g c O mà ta ã h c tr ng Ph thông thì ta th y t p V cùng v i phép c ng hai vect và phép nhân m t vect v i m t s tho mãn nh ng i u ki n sau: 1) ( + ) + = + ( + ); 2) + = + ; 3) có vect không 0 tho mãn i u ki n: + 0 = ; 4) m i có m t vect 5) r( + ) = r + r ; 6) (r + s) = r + s ; 7) (rs) = r(s ) ; 8) 1. = , trong ó r, s, 1 là nh ng s th c.

69

i - tho mãn i u ki n: + (- ) = 0 ;

Trong toán h c và nhi u khoa h c khác còn có nh ng t p h p mà các ph n t c a chúng không ph i là nh ng vect hình h c nh ta v a nói, nhng cng có hai phép toán tho mãn 8 i u ki n nêu trên. Chúng c g i là nh ng không gian vect. M c tiêu c a chng này là trình bày nh ngha không gian vect, các tính ch t c a nó và c u t o c a m t không gian vect, chu n b cho vi c áp d ng nó vào lí thuy t h phng trình tuy n tính và vi c nghiên c u nó sâu s c hn trong nh ng chng sau có th áp d ng nó nhi u hn vào nh ng b môn toán h c khác cng nh nh ng lnh v c khoa h c khác. Vì th ta c n: - N m v ng gian con: nh ngha và các tính ch t c a không gian vect, không

- Hi u rõ r ng m i không gian vect c t o thành t m t h "t i thi u" nh ng vect c a không gian mà ta g i là c s ; bi t cách tìm c s và s chi u c a m t không gian vect; - Bi t c m i liên h gi a to s khác nhau. c a cùng m t vect trong hai c

Trong giáo trình này ta ch xét các không gian vect trên các tr ng s Tuy nhiên nh ng i u trình bày sau ây u úng trong m i tr ng tu ý.

70

§1. 1.1.

NH NGHA VÀ CÁC TÍNH CH T N GI N

nh ngha

nh ngha. Gi s V là m t t p h p mà các ph n t c kí hi u b i , , ,..., K là m t tr ng sô. Trên V có m t phép toán g i là phép c ng hai ph n t c a V (kí hi u "+") và phép toán th hai g i là phép nhân m t ph n t c a V v i m t s thu c tr ng K (kí hi u "."). T p h p V cùng v i hai phép toán này c g i là m t không gian vect trên tr ng K (hay m t K-không gian vect) nên các i u ki n sau c tho mãn i v i m i , , , V và m i r, s, 1 K. 1) ( + ) + = +( + ); 2) + = + ; 3) có m t ph n t 0 V tho mãn i u ki n: + 0 = ; 4) v i m i V có m t ph n t , kí hi u b i - , cng thu c V tho mãn i u ki n: + (- ) = 0 ; 5) r( + ) = r + r 6) (r + s) = r + s ; 7) (rs) = r (s ) ; 8) 1. = .

V c g i là m t vect, 0 c g i là vect không, - c g i là vect i c a .

B n c có th dùng nh ngha c a không gian vect ki m ch ng r ng các t p h p cho trong các ví d d i ây là nh ng không gian vect. Ví d 1. T p h p V các vect OA , OB , OC ?... chung g c O trong không gian (mà ta h c tr ng ph thông) cùng v i phép c ng hai vect và phép nhân m t vect v i m t s th c là m t không gian vect. Nó c g i là không gian vect hình h c.

71

Ví d 2. M i tr ng K là m t không gian vect trên K c ng và phép nhân trên K.

i v i phép

Ví d 3. Tr ng s th c R là m t không gian vect trên tr ng s h u t Q. Ví d 4. Tr ng s ph c C là m t không gian vect trên tr ng s th c R và cng là m t không gian vect trên tr ng Q. Ví d 5. Gi s K là m t tr ng s , t p h p K[x] các a th c c a n x v i h s trong K, cùng v i phép c ng hai a th c và phép nhân a th c v i m t s , là m t K-không gian vect. Ví d 6. Kn = K x K x... x K là tích các c a n phiên b n K. Trên Kn xác nh phép c ng hai ph n t và phép nhân m t ph n t c a Kn v i m t s thu c K nh sau: V i = (a1, a2,..., an), = (b1, b2,..., bn) thu c Kn và s r K, (a1, a2,..., an) + (b1, b2,..., bn) = (a1, + b1, a2 + b2, an,..., bn), r(a1, a2, ..., an) = (ra1, ra2, ..., ran). Kn là m t K-không gian vect. T ây tr i, m i khi nói n không gian Kn ta hi u r ng hai phép toán trong ó ã c nh ngha nh trên. T nh ngha không gian vect ta suy ra ngay m t s tính ch t n gian cua nó. 1.2. M t s tính ch t n gi n Gi s V là m t K-không gian vect. 1) V ch có m t vect không 0 duy nh t. 2) V i m i V, vect i - duy nh t.

3) V i m i V, -(- ) = . 4) V i V và r K, = 0 khi và ch khi r = 0 ho c = 0 . 5) V i V và r K, ta có: (- = -( ) = ( ). Ch ng minh. 1) Gi s

0 và 0' là nh ng vect không c a V. Theo i u ki n 3) 72

trong nh ngha, vì 0 là vect không nên 0 + 0' = 0' . Tng t , vì 0' là vect không nên 0 + 0' = 0 . V y 0 = 0' . 2) Gi s V có nh ng ph n t i là - và ' . Theo i u ki n 4) trong nh ngha, + (- ) = 0 = + . Do ó, áp d ng các i u ki n 1) và 2), ta có :

= + 0 = + [ + (- )] = ( ' + ) + (- ) = 0 + (- ) = - .

3) Vì -(- ) và 4) ""

u là vect

i c a - nên t 2) suy ra -(- ) = .

· N u r = 0 thì theo i u ki n 6), ta có: 0 = (0 + 0) = 0 + 0 . C ng -0 vào v u và v cu i ta c: 0 = 0 .

· N u = 0 thì theo i u ki n 5), ta có: r 0 = r( 0 + 0 ) = r 0 + r 0 . C ng -r 0 vào v u và v cu i ta c 0 = r 0 .

"" Gi s r = 0 . N u r 0 thì theo i u ki n 7) và 8), ta có:

1 1 1 = 1. = ( .r) = ( .r )= 0 = 0 r r r

5) Vì ­(r ) là vect i c a ra nên nh tính ch t 2), ta ch c n ch ng minh (-r) và r(- ) u là vect i c a r . Ta có: (-r) + r = (-r + r) = 0 = 0 ; r(- ) + r = r(- + ) = r 0 = 0 . i u ó ch ng t r ng (-r) và r(- ) u là vect i c a r . V y

(-r) = -(r ) = r(- ). 1.3. Hi u c a hai vect nh ngha. + (- ) c g i là hi u c a và , kí hi u b i và

c là tr .

73

T qu .

nh ngha này và tính ch t c a không gian vect ta suy ra: H

1) ( - ) = p - c . 2) ( - ) = - . Ch ng minh. Xin dành cho b n c.

§2. KHÔNG GIAN CON 2.1. nh ngha

nh ngha. Gi s W là m t t p con c a không gian vect V. N u W cng là m t không gian vect i v i hai phép toán ã cho trong V thì W c g i là m t không gian con c a V. Nh v y mu n ch ng minh t p con W là m t không gian con c a không gian vect V ta ph i ch ng t r ng các phép ã cho trong V cng là các phép toán trong W và ph i ki m tra r ng 8 i u ki n nêu trong nh ngha không gian vect u c tho mãn. Song ta s th y r ng ch c n ki m tra m t s ít i u ki n hn. 2.2. Tính ch t c trng

nh lí. Gi s V là m t không gian vect trên tr ng K. W là m t t p con c a V. Các m nh sau tng ng: (i) W là m t không gian con c a V. (ii) W và v i m i , thu c W, m i r thu c tr ng K, ta có + W, W. (iii) W và v i m i , thu c W, m i r, s thu c tr ng K, ta có r + W. Ch ng minh. "(i) (ii)": N u W là m t không gian con c a không gian vect V thì W ph i ch a m t vect 0 c a nó. Do ó W . Các i u ki n còn l i c a (ii) hi n nhiên c tho mãn. "(i) (iii)": Hi n nhiên.

74

"(iii) (i)": Gi s các i u ki n c a (iii) c tho mãn. Khi ó, v i , thu c W và r = s = 1 K, + = 1 + 1 W; v i W, r K, ta có: r = r + 0 W ; ngha là các phép toán trong W cng là hai phép toán trong V. Ta ph i ki m tra r ng 8 i u ki n trong nh ngha c a không gian vect u c tho mãn. Hi n nhiên các i u ki n 1), 2), 5), 6), 7), 8) c tho mãn vì hai phép toán trong W chính là hai phép toán ã cho trong V. Ch còn c n ki m tra các i u ki n 3) và 4). Vì W nên có m t W. Theo tính ch t c a không gian vect, 0 = 0 + 0 , m t khác, theo gi thi t 0 + 0 W. Do ó 0 W. Tng t , v i m i W ta u có - = (-1) + 0 W. V y W là m t không gian vect trên tr ng K và do ó W là m t không gian con c a V. B n c hãy dùng nh lí 2.2 trong các ví d d i ây: ch ng minh nh ng i u kh ng nh

Ví d 1. V i m i không gian vect V, b n thân V và t p { 0 } là nh ng không gian con c a V. Chúng c g i là nh ng không gian con t m th ng c a V. Ví d 2. T p Pn g m a th c 0 và các a th c có b c bé hn hay b ng n c a K[x], (xem ví d 5, m c 1.1) là m t không gian con c a không gian vect K[x]. Ví d 3. Theo ví d 6), m c 1.1, v i n = 4 và K = R là tr ng s th c, thì R4 là m t R-không gian vect. T p W = {(a1, a2, 0, 0}|ai R) là m t không gian con c a không gian R4. Th t v y, ta ch ng minh cho ví d 3. Rõ ràng W vì (0, 0, 0, 0) W. Bây gi v i = (a1, a2, 0, 0), = (b1, b2, 0, 0) thu c W và r R, ta có:

+ = (a1, a2, 0, 0) + (b1, b2, 0, 0) = (a1 + b1, a2 + b2, 0, 0) W,

r = r(a1, a2, 0, 0) = (ra1, ra2, 0, 0) W. W tho mãn i u ki n (ii) trong gian con c a R4. nh lí 2.2. V y W là m t không

Có nhi u cách t o thành nh ng không gian con c a m t không gian

75

vect V. 2.3. T ng c a nh ng không gian con M nh và nh ngha. Gi s W1, W2,... Wm là nh ng không gian vect con c a K-không gian vect V. Khi ó: T p h p W = { 1 + 2 + ... + n| i Wi, {1, 2,..., m }} là m t không gian con c a V. Không gian này c g i là t ng c a m không gian con Wi ã cho và c kí hi u b i W1 + W2 +... + Wm hay

i =1

m

Wi .

Ch ng minh. Vì 0 Wi v i m i i {1, 2,..., m} nên 0 = 0 + 0 + ... + 0 W ; ngha là W . V i = 1 + 2 + .. +am W, = 1+ 2 +...+ m W và r K, ta có: + = 1 + 2 + 1+ 2 + ... + m = ( 1 + 1) + ( 2 + 2) + .. + ( m + m) Vì i, i Wi và Wi là không gian con c a không gian vect V nên i + i Wi, r i Wi, v i m i i {1, 2,..., m}. Do ó

+ W,

r W.

Theo

nh lí 2.2, W là m t không gian con c a V.

2.4. Giao c a nh ng không gian con M nh và nh ngha. Gi s W1, W2,..., Wm là nh ng không gian vect con c a K-không gian vect V. T ph pU=

I W là m

i i=1

m

t không gian con c a V và c g i là giao c.

c a m không gian con Wi. Ch ng minh. Xin dành cho b n T m t h (m t s hay m t h ) vect c a không gian V cng có th t o thành m t không gian con c a V.

76

2.5. Không gian sinh b i m t h vect nh lí. Gi s A = { 1, 2,..., m} là m t h vect c a K-không gian vect V. Khi ó t p h p W = {r 1 + 2 2 + ...+ µ µ /ri K, v i m i i {1, 2,..., m}} là m t không gian con c a V. W c g i là không gian sinh b i h vect A, còn A sinh c a W. c g i là h

Ch ng minh. Rõ ràng W vì 0 = 1 + 0 2 + ...+ 0 m W. Gi s , W và t K, ch ng h n:

T các i u ki n trong

nh ngha c a không gian vect, ta suy ra:

Theo

nh lí 2.2, W là m t không gian con c a V.

Chú ý. Không gian sinh b i m t vect th ng c kí hi u b i K . N u W là không gian sinh b i h vect { 1, 2,..., m} thì W =

K

i=1

n

1

.

Không gian W trên ây sinh b i m t h h u h n vect. Ng i ta g i nó là không gian h u h n sinh. Có nh ng không gian vect có h sinh vô h n nhng không có h sinh h u h n nào. Trong giáo trình này ta ch xét các không gian vect có h sinh h u h n Ví d 1. 1) Gi s V là không gian vect hình h c trong không gian (xem ví d li trong m c 1.2). OI là m t vect c nh. N u O I thì t p U = {r OI | r R} ch ch a vect 0 , là m t không

77

gian con t m th ng c a V. N u O I thì t p U = {r OI | r R} g m các vect g c O, n m trên ng th ng OI.

· Gi s OJ là vect không cùng phng v i OI . Khi ó, t p W = {r1 OI + r2 OJ | r1 R, r2 R) là m t không gian con c a V g m các vect,,... n m trong m t ph ng (OIJ).

Gi s OK không ng ph ng v i OI , OJ . Th thì { OI , OJ , OK } là m t h sinh c a V. Th t v y, nh ta ã bi t m i vect OA trong không gian u có d ng: OA = r1 OI + r2 OJ + r3 OK . (r1 OI = r1 OA1 , r2 OJ = OA 2 + r3 OK = OA 3

78

Ví d 2. Xét không gian vect R4 và không gian con W trong ví d 3, m c 2.2. H hai vect 1 = (1, 0, 0, 0), 2 = (0, 1, 0, 0), c a R4 là m t h sinh c a W. ch ng minh i u này ta ph i ch ng t r ng m i W c bi u di n d i d ng = r1 1 + r2 2 . Bi t r ng m i vect trong W có d ng = (a1, a2, 0, 0) W. Theo phép c ng và phép nhân v i m t s trong R4, ta có:

= (a1, a2, 0, 0) = (a1, 0, 0, 0) + (0, a2, 0, 0)

= a1(1, 0, 0, 0) + a2(0, 1, 0, 0) = a1 1 + a2 2 . V y { 1 , 2 } là h sinh c a W. Ta hãy th thêm vect (2, 3, 0, 0) vào h vect { 1 , 2 } và xét không gian con W' sinh b i h vect { 1 , 2 , }. M i = a1 1 + a2 2 + a W' u có th vi t thành:

ó là m t vect trong W. Nh v y, W' W. Ng c l i, m i vect = b1 1 + b2 2 W

= b1 1 + b2 2 + .

u có th vi t d i d ng u là h sinh

ó là m t vect thu c W'.

V y W' = W; ngha là hai h {, 2, } và {, 2, } c a không gian vect W.

M t câu h i t ra là trong m t h sinh c a m t không gian vect có th có m t s t i thi u vect sinh ra không gian y hay không? Tr l i c a câu h i này liên quan n m t khái ni m g i là h vect c l p tuy n tính.

79

§3. S 3.1. Gi s

C L P TUY N TÍNH - S nh ngha

PH THU C TUY N TÍNH

A = { 1, 2,..., m-1, m}

(1)

là m t h vect c a K- không gian vect V, (m > 0). nh ngha 1. N u = r1 1 + r2 2 + ... + rm-1 m-1 + r1 m thì ta nói là m t t h p tuy n tính c a h vect A hay bi u th tuy n tính qua m vect ã cho. nh ngha 2. H vect A c g i là ph thu c tuy n tính n u có m s r1, r2,..., rm-1, rm thu c tr ng K, không ng th i b ng 0, sao cho r1 1 + r2 2 + ...+ rm-1 m-1 + rm m = 0 . nh ngha 3. H vect A c g i là c l p tuy n tính n u nó không ph thu c tuy n tính; nói cách khác, n u r1 1 + r2 2 + ...+ rm-1 m-1 + rm m = 0 . thì r1 = r2 = ... = rm-1 = rm = 0. Ví d 1. Trong không gian vect, m i vect khác 0 u l p thành m t h vect c l p tuy n tính. Th t v y, gi s là m t vect khác 0 trong K-không gian vect V. T r = 0 v i r ~ K, nh tính ch t 4), m c 1.2, suy ra r = 0; ngha là h vect { } c l p tuy n tính. Ví d 2. M i h vect ch a 0 u là ph thu c tuy n tính. Th t v y, gi s { 1, 2,..., m, 0 } là m t h vect b t kì c a không gian vect V. Ch n r1 = r2 = ...= rm = 0, rm+1 = 1, ta có: 0 1 + 0 2 + ... +0 m +1. 0 = 0 . i u này ch ng t h ã cho ph thu c tuy n tính. Ví d 3. Trong không gian vect hình h c V, (xem ví d 1, m c 1.1), ba vect l p thành m t h ph thu c tuy n tính khi và ch khi chúng ng ph ng; c l p tuy n tính khi và ch khi chúng không ng ph ng. Th t v y, OI , OJ , OA ph thu c tuy n tính khi và ch khi t n t i ba s th c r1, r2, r3 không ng th i b ng 0 sao cho r1 OI + r2 OJ + r3 OA =

80

0 ; ch ng h n, r3 0. Khi ó OA = -

r1 r OI - 2 OK . r3 r3

i u này ch ng t

ba vect

ng ph ng.

Ví d 4. Xét không gian vect R4. H g m ba vect 1 = (1, 0, 0, 0), 2 = (0, 1, 0, 0), = (2, - 5, 0, 0) là ph thu c tuy n tính, còn các h vect { 1 , 2 }, { 1 , }, { 2 , } c l p tuy n tính. Th t v y, = (2, -5, 0, 0) = (2, 0, 0, 0) + (0, -5, 0, 0) = 2(1, 0, 0, 0) ­ (5, 1, 0, 0) = 2 1 - 5 2 hay 2 1 - 5 2 + (-1) = 0 ; ngha là h { 1 , 2 , } là ph thu c tuy n tính và bi u th tuy n tính qua 1 , 2 . Bây gi ta xét h vect { 1 , }. Gi s r1 1 + r2 = 0 , ngha là r1(1, 0, 0, 0) + r2(2, - 5, 0, 0) - (0, 0, 0, 0) hay (r1, 0, 0, 0) + (2r2, - 5r2, 0, 0) = (r1 + 2r2, - 5r2, 0, 0) = (0, 0, 0, 0). Suy ra:

H phng trình hai n r1, r2 này có nghi m duy nh t là r1 = 0, r2 = 0. V y h hai vect { 1 , } B n { 2 , }. T c hãy t ki m tra s c l p tuy n tính. c l p tuy n tính c a hai h { 1 , 2 },

nh ngha suy ra các tính ch t sau.

3.2. Các tính ch t Theo nh ngha, hai khái ni m ph thu c tuy n tính và c l p tuy n tính c a h vect là hai khái ni m ph nh l n nhau. Vì th , khái ni m này có m t tính ch t gì thì l p t c suy ra m t tính ch t tng ng c a khái ni m kia. Tính ch t 1. 1) N u thêm p vect vào m t h vect ph thu c tuy n tính thì c

81

m t h ph thu c tuy n tính. 2) N u b t i p vect c a m t h vect m th c l p tuy n tính. c l p tuy n tính thì c

Ch ng minh. 1) Gi s h vect A = { 1, 2,..., m-1, m} ph thu c tuy n tính. Khi ó t n t i m s s1,..., sm không ng th i b ng 0, ch ng h n si 0, sao cho: Th thì:

Theo nh ngha, h vect { 1,..., i-1 i, i+1,..., m,..., m+1,..., m+p} ph thu c tuy n tính. 2) Gi s t h vect c l p tuy n tính A b t i p vect ta c h vect B. N u B ph thu c tuy n tính thì theo 1), thêm p vect nói trên vào B l i c h A ph thu c tuy n tính; trái v i gi thi t. V y B c l p tuy n tính. Tính ch t 2. 1) M t h g m m vect (m > 1) là ph thu c tuy n tính khi và ch khi có m t vect c a h c bi u th qua các vect còn l i. 2) M t h g m m vect (m > 1) là c l p tuy n tính khi và ch khi không có m t vect nào c a h c bi u th qua các vect còn l i. Ch ng minh. 1) "" Gi s h vect

C a K-không gian vect V là ph thu c tuy n tính. Theo nh ngha, t n t i m s ri K, i {1, 2,..., m) không ng th i b ng 0, ch ng h n, ri 0, sao cho: r1 1 + ...+ ri-1 i-1 + ti+1 i+1 ... + rm m = 0 . Khi ó r1 1 = - r1 1 -...- ti-1 i-1 ­ ri+1 i+1 - ... - rm 0 . Vì ri 0 nên t ng th c này suy ra

82

ngha là i c bi u th tuy n tính qua các vect còn l i. "" Gi s trong h vect (1) có vect i; tho mãn ng th c:

Vì có si = -1 0 nên tính. Tính ch t 3.

ng th c này ch ng t h (1) ph thu c tuy n

2) Tr c ti p suy ra t 1). 1) M t h g m m vect (m > 0) là c l p tuy n tính khi và ch khi m i t h p tuy n tính c a h u ch có m t cách bi u th tuy n tính duy nh t qua h ó. 2) M t h g m m vect (m > 0) c a không gian vect V là ph thu c tuy n tính khi và ch khi có m t vect c a V bi u th tuy n tính c qua h ó theo hai cách khác nhau. Ch ng minh. 1) "" Gi s h vect { 1, 2,..., m} tính và c l p tuy n

N u còn có cách bi u th tuy n tính

thì (b1 ­ b'1) 1 + (b2 - b'2 ) 2 + ... + (bm ­ b'm ) m = 0 . Vì h vect gã cho c l p tuy n tính nên theo b2- b'2 = ... = bm ­ b'm = 0. nh ngha, b1 ­ b'1 =

Suy ra: b1 = b'1, b2 = b'2 ,..., bm = b'm; ngha là cách bi u th tuy n tính c a qua h vect ã cho là duy nh t. "": N u m i t h p tuy n tính c a h vect { 1, 2,..., m} u ch có m t cách bi u th tuy n tính duy nh t thì 0 = 0 1 + 0 2 + ... +

83

0 m cng là cách bi u th tuy n tính duy nh t c a 0 . Do ó, n u 0 = r1 + r2 2 + ...+ rm m thì b t bu c r1 = r2 ... = rm = 0. V y h vect ã cho c l p tuy n tính. 2) Suy ra t 1). Tính ch t 4. 1) N u thêm vào m t h c l p tuy n tính m t vect không bi u th tuy n tính c qua h y thì c m t h c l p tuy n tính. 2) N u b t i m t h ph thu c tuy n tính m t vect không bi u th tuy n tính c qua các vect còn l i thì c m t h ph thu c tuy n tính. Ch ng ninh. 1) Gi s A = { 1, a2,..., m-1, m}là m t h vect c l p tuy n tính c a K-không gian vect V. V là m t vect không bi u th tuy n tính c qua h A. Ta ph i ch ng minh h vect B = { 1, a2,..., m-1, m , } c l p tuy n tính. Gi s

N u r 0 thì

trái v i gi thi t v . Do ó r = 0 và r= 1 +...+ rm m = 0 vì h A c l p tuy n tính. Suy ra r1 = ... = rm = 0. V y B là h vect c l p tuy n tính. 2) Suy ra ngay t 1). Sau khi có khái ni m v h sinh c a m t không gian vect và h vect c l p tuy n tính ta nghiên c u c u t o c a không gian vect.

84

§4. C S

C A KHÔNG GIAN VECT

Ta nh c l i r ng, trong giáo trình này ta ch xét các không gian vect có h sinh h u h n (h u h n sinh) trên tr ng s . 4.1. nh ngha

M t h sinh c l p tuy n tính c a m t không gian vect khác { 0 } c g i là m t c s c a nó. Không gian vect { 0 } không có c s ; hay có th nói, s vect trong c s c a không gian { 0 } b ng 0. Ví d 1. Trong không gian vect Pn g m a th c 0 và các a th c thu c K[x] v i b c bé hn hay b ng n, h vect {1, x, x2,..., xn) là m t c s . Th t v y, m i a th c f(x) Pn

2

u có d ng f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...

+ anxn, ai K, v i m i i {0, 1, 2,..., n). i u ó ch ng t {1, x, x ,..., xn) là m t h sinh c a Pn. M t khác, n u a0 + a1x + a2x2 +... + anxn = 0 thì t nh ngha a th c suy ra a0 = a1 = a2 = ... = an = 0; ngha là {1, x, x2,..., xn) là h vect c l p tuy n tính. V y nó là m t c s c a Pn. Ví d 2. Trong không gian vect R3, h ba vect 1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1) là m t c s ; ng i ta g i ó là c s chính t c. B n c có th ch ng t i u ó. H ba vect 1 = (1, 1, 0), 2 = (0, 1, 1), 3 (1, 0, 1) cng là m t c s . kh ng nh i u này ta s ch ng minh h vect { 1, 2, 3} là m t h sinh c a R3 và c l p tuy n tính. Gi s = (a1, a2, a3) là m t vect b t kì thu c R3. Ta tìm ba s r1, r2, r3 R sao cho = r1 1 + r2 2 + r3 3 hay sao cho:

85

Gi i h phng trình 3 n r1, r2, r3 này ta c nghi m duy nh t

i u này ch ng t { 1, 2, 3} là m t h sinh c a R3. M t khác, vì ba s r1, r2, r3 c xác nh duy nh t nên m i u có cách bi u th tuy n tính duy nh t qua h sinh này. Theo tính ch t 3, m c 3.2, h sinh này c l p tuy n tính. V y nó là m t c s c a R3. M t câu h i t ra là m i không gian vect u có c s hay không? tr l i câu h i này ta hãy xét m i liên quan gi a h sinh và c s . 4.2. S t n t i c a c s Tr c h t ta xét b sau v m i liên quan gi a h sinh và c s B . N u không gian vect có m t h sinh g m m vect thì s vect c a m i h vect c l p tuy n tính c a nó không v t quá m. Ch ng minh. Gi s K-không gian vect V có m t h sinh A = { 1, 2,..., m}, 0 v i m i i {1, 2,..., m) và e = { 1, 2,..., n} là m t h vect c l p tuy n tính c a V v i n > m. Vì A là m t h sinh nên

0 nên có m t a1j khác 0, ch ng h n a11 0. Do ó

Thay 1 trong h A b i 1 ta c h A1 = { 1, 2 ,..., m}. Gi s V = b1 1 + b2 2 + ... + bm m. Th thì

86

Nh v y m i V

u bi u th tuy n tính c qua h A1; do ó

A1 là m t h sinh c a V. Nói riêng, 2 có d ng:

N u t t c các h s c a các i u b ng 0 thì 2 = a21 1. Suy ra h e ph thu c tuy n tính; trái v i gi thi t. Vì th có m t a2j 0, V i j 1. N u c n ta ánh s l i các i gi thi t r ng a22 0. Khi ó

Thay 2 trong A1 b i 2 ta c h A2 = { 1, 2,..., m }. L p lu n nh trên, A2 là m t h sinh c a V. C ti p t c nh th , ta l n l t thay m vect c a h A b i m vect u tiên c a h e và c h sinh Am = { 1, 2,..., m} c a v. Theo gi thi t, n > m nên m+l Am. Nhng Am là h sinh c a V nên m+1 c bi u th tuy n tính qua h vect này; trái v i gi thi t c l p tuy n tính c a h e. V y n m. H qu . S vect trong hai c s c a m t không gian vect b ng nhau. Ch ng minh. Suy ra ngay t Bây gi ta tr l i cho câu h i nh lí trên. t ra tr c m c 4.2. u có c s .

nh lí 1. M i K - không gian vect V { 0 }

Ch ng minh. Gi s 1 0 là m t vect thu c V. Theo ví d 1, m c 3.1, h { 1} c l p tuy n tính. N u m i vect c a V u bi u th tuy n tính qua h này thì ó là m t c s c a V. N u trái l i, trong V có 2 không bi u th tuy n c qua 1. Theo tính ch t 4, m c 3.2, h vect { 1, 2} c l p tuy n tính. N u h này không ph i là m t c s thì

87

trong V có m t 3 không bi u th tuy n tính c qua h { 1, 2}. L i theo tính ch t 4, m c 3.2, h vect { 1, 2, 3} c l p tuy n tính. Ti p t c, b sung nh th ta c nh ng h vect c l p tuy n tính c a V. Vì V có m t h sinh g m m vect nào ó (có th ta không bi t h sinh y) nên theo b , quá trình này ph i k t thúc vect n nào ó v i n m. Lúc ó ta c h vect E = { 1, 2, 3 ,..., n} mà m i vect c a v u bi u th tuy n tính c qua h e. V y e = { 1, 2, 3 ,..., n} là m t c s c a V. kì H qu . Trong không gian vect, m i h vect u có th b sung thành m t c s . c l p tuy n tính b t

Ý ngha c a nh lí trên ây là dù cho không bi t tr c h sinh c a không gian vect ta v n có th d ng c m t c s c a nó. Song khi ã bi t m t h sinh c a không gian vect thì nh lí sau ây cho th y có th ch n m t c s trong h sinh này. ó là tr l i cho câu h i t ra tr c §3. nh lí 2. T m t h sinh c a m t không gian vect khác { 0 } có th ch n ra m t c s . Ch ng minh. Cách ch ng minh nh lí này gi ng nh cách ch ng minh nh lí trên; ch khác ch là áng l ta ch n các vect ; trong V thì ây ta ph i ch n chúng trong h sinh ã cho.

88

§5. S

CHI U C A KHÔNG GIAN VECT

H qu c a b , m c 4.2, cho th y s vect trong hai c s khác nhau c a m t không gian vect thì b ng nhau. i u ó cho phép ta nh ngha: 5.1. nh ngha

S vect trong m t c s c a K-không gian vect V c g i là s chi u c a V. Kí hi u: dimKV. N u không c n ch rõ tr ng K c th , ta có vi t n gi n là dimV. Ví d 1. Không gian Pn g m a th c 0 và các a th c b c bé hn hay b ng n có s chi u b ng n + 1; t c là dimKPn = n + 1. (Xem ví d 1, m c 4.1). Ví d 2. dimRR3 - 3. Ví d 3. Không gian V các vect hình h c trong không gian có dimRV = 3. H qu . Trong không gian vect n chi u m i h vect tính g m n vect u là c s . c l p tuy n

Ch ng minh. Gi s dimKV = n và a = { 1, 2,..., n} là m t h vect c l p tuy n tính c a V. Theo h qu c a nh lí 1, m c 4.2, có th b sung vào a c m t c s c a V. Vì dimV = n, m i c s g m n vect cho nên không c n b sung vect nào vào a n a. V y a là m t h sinh c l p tuy n tính, do ó là m t c s c a V. Ta hãy tìm hi u m i liên h gi a s chi u c a m t không gian vect v i s chi u c a các không gian con c a nó. 5.2. S chi u c a không gian con nh lí 1. Gi s W là m t không gian con c a K-không gian vect V. Th thì: 1) dimKW dimKV. 2) dimKW = dimKV khi và ch khi W = V. Ch ng minh.

89

1) N u W = { 0 } thì dimkw = 0 dimKV. Bây gi gi s dimKV = n, dimKW = m > 0. Khi ó W có m t c s , ch ng h n, () g m m vect. Vì () là h vect c l p tuy n tính trong W và W V nên () cng là c l p tuy n tính trong V. Theo b , m c 4.2, dimKW m n = dimKV. 2) Suy ra t h qu , m c 5.1. nh lí 2. N u U, W là nh ng không gian con c a K-không gian vect V thì: dim(U + W) = dimU + dimW - dim(U W). Ch ng minh. Gi s dim U = p, dimW = q, dim(U W) = r và { 1, ,.., r} (1) là m t c s c a U W. Vì c s này là m t h vect c l p tuy n tính trong U và trong W nên, theo h qu nh lí 1, m c 4.2, có th b sung thành c s :

c a U và thành c s

c a W. Ta s ch ng minh r ng

là m t c s c a U + W. Mu n th , tr c h t, ta hãy ch ng minh ó là m t h sinh c a U + W. Vì { 1,..., p-r, 1,..., r} U và { 1,..., q-r} W nên h (4) n m trong U + W. Gi s = + , v i

Th thì ngha là h (4) là m t h sinh c a U + W. Hn n a, h (4) c l p tuy n tính. Th t v y, gi s

90

Vì v trái là m t vect trong U còn v ph i là m t vect trong W. C s c a UW là h (1) nên có th vi t

Vì h (3)

c l p tuy n tính nên t

ng th c này suy ra (6) ng th c (5) ta c

t1 = ... = tr = z1 = ... = zq-r = 0; Thay các giá tr này c a zi vào

Vì h (2)

c l p tuy n tính nên (7) c l p tuy n tính. Do ó nó là m t c s

x1 = ... = xp = y1 = ... = yr = 0 T (6) và (7) suy ra h (4) a U+W. V y

dim(u + W) = p - r + r + q - r : p + q - r = dimU + dimW - dim(U W).

91

§6. T A

C A M T VECT

Vì c s là m t h sinh c l p tuy n tính c a không gian vect nên th i vect c a không gian u có cách bi u th tuy n tính duy nh t qua c s ó. 6.1. nh ngha

Gi s () = { 1, 2,..., n} là m t c s c a K-không gian vect V, V có cách bi u di n duy nh t d i d ng

B n s s (a1, a2,..., an) c g i là các t a (). Thay cho l i nói có các t a a2,..., an).

c a

i v i c s

là (a1, a2,..., an) ta vi t: (a1,

Ví d . Trong ví d 2, m c 4, 1 ta ã bi t h () = { 1, 2, 3), trong ó 1 = (1, 1, 0), 2 = (0, 1, 1), 3(1, 0, 1) là m t c s c a R3. Vect = 3 1 - 5 2 + 3 có t a i v i c s () là (3,- 5, 1). Cng nh i v i các vect hình h c ã bi t tr ng trung h c, có m t m i liên quan gi a to và các phép toán trên các vect. nh lí. N u k K, và có t a b2,..., bn) thì: 1) To 2) To l n l t là (a1, a2,..., an) và (b1,

c a + là (a1 + b1, a2 + b2,..., an + bn); c a k là (ka1, ka2,..., kan). c. c a = 3 1 - 5 2 + 3 trong ví d trên

Ch ng minh. Xin dành cho b n Bây gi ta th tìm to

ây i v i c s chính t c, t c là c s () = { 1, 2, n} trong ó 1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1). Ta có:

92

V y to

c a

i v i c s () là (4, - 2, - 4). i c s thì to c a m t vect thay i.

i u này ch ng t khi

Ta hãy xem to c a cùng m t vect trong hai c s khác nhau có quan h v i nhau nh th nào. Tr c h t, m i liên quan gi a hai c s c di n t b i nh ngha sau. 6.2. Ma tr n chuy n nh ngha. Gi s () = { 1, 2,..., n} và { 1, 2,..., 3} là hai c s c a K-không gian vect V,

(vì m i vect i

u bi u th tuy n tính qua c s ()).

Ta g i ma tr n vuông c p n

là ma tr n chuy n t c s ( ) sang c s (). Ví d . Xét không gian vect R3 v i hai c s () = { 1, 2, n} trong ó 1 (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1), và { 1, 2, 3} trong ó 1 = (1, 1, 0), 2 = (0, 1, 1), 3 = (1, 0, 1), (Xem ví d m c 6.1). a) Tìm ma tr n chuy n t c s () sang c s ()

93

b) Tìm ma tr n chuy n t c s () sang c s (). Gi i a) Ta có:

V y ma tr n chuy n t c s () sang c s () là

b) Ta ph i bi u di n các vect i qua c s (). C th , ta vi t: (1, 0, 0) = 1 = b11 1 + b21 2 + b31 3

ng th c (1) cho ta (1, 0, 0) = b11(1, 1, 0) + b21(0, 1, 1) + b31(1, 0, 1) = (b11 + b31, b11 + b21, b21 + b31). Suy ra:

Gi i h này ta tìm c:

ng th c (2) cho ta m t h phng trình; gi i nó ta tìm c:

Tng t , nh

ng th c (3) ta tìm c:

94

V y ma tr n chuy n t c s () sang c s () là

Bây gi ta s tìm ra công th c liên h gi a các t a vect trong hai c s khác nhau. 6.3. Liên h gi a các t a nhau c a m t vect

c a cùng m t

i v i hai c s khác

nh lí. Gi s () = { 1, 2,..., n) và () = { 1, 2,..., n) là hai c s c a K-không gian vect V, T = (tij) là ma tr n chuy n t c s () sang c s (), (x1, x2,..., xn) (y1, y2,...,yn) l n l t là t a c a vect i v i c s () và c s (). Th thì:

Ch ng minh. Theo gi thi t ta có:

T s bi u th tuy n tính duy nh t c a qua c s () suy ra:

95

T ng quát: xi = ti1y1 + t12y2 +... + t1nyn = n}.

t

j=1

n

ij

y j , V i m i i {1, 2,...,

Ví d . Xét không gian R3 v i hai c s () và () trong ví d 6.2. Cho = (- 5, 0 , 1) R3. Hãy tìm t a c a vect R3 c s (). Gi i

m c iv i

T ví d m c 6.2, ta bi t r ng ma tr n chuy n t c s () sang c s () là:

G it a

c a

i v i c s () là (x1, x2, x3). Theo gi thi t t a it a

c a i v i c s () là y1 = - 5, y2 = 0, y3 = 1. Theo công th c ta có:

96

§7. H NG C A H VECT- H NG C A MA TR N nghiên c u các chng sau ta c n bi t cách tìm c s c a nh ng không gian con sinh b i m t h vect c a m t không gian vect. Tuy v phng di n lí thuy t, nh lí 4.6 cho th y t m t h sinh c a m t không gian vect có th tìm c m t c s c a nó. Song khó có th dùng nó vào th c hành. Trong m c này ta s xét m t k thu t tìm c s nh th . Tr c h t ta hãy nh ngha m t khái ni m ti n di n t. ó là h ng c a h vect. Khái ni m này cng có ng d ng trong nhi u v n khác. 7.1. H ng c a h vect nh ngha. S chi u c a không gian vect sinh b i h vect a c g i là h ng c a h a Kí hi u h ng (a). H qu . H a g m m vect là (a) = m. Ch ng minh. Xin dành cho b n c l p tuy n tính khi và ch khi h ng c.

Ví d . Xét ví d 2, m c 2.5. H vect a = { 1, 2} c l p tuy n tính nên nó là c s c a không gian vect W sinh b i a. Theo nh ngha 7.1, h ng (a) = dimW = 2. H b = cng sinh ra không gian vect W. Do ó h ng(b) = dimW = 2. Có th gi i thích vì sao mà h ng = h ng hay không? Hãy xem m nh d i ây. M nh . N u thêm vào m t h vect m t t h p tuy n tính c a h thì h ng c a h m i b ng h ng c a h ã cho. Ch ng minh. Gi s a = { 1 , 2 ,... m }, h ng(a) = n. Thêm vào a vect

G i W, W' l n l t là nh ng không gian sinh b i h a và h b. Vì a b nên W W'. Ng c l i, gi s W'. Khi ó là m t t h p tuy n tính c a h b, ch ng h n,

97

Do ó W' W. V y W' = W. Suy ra h ng (B) = dim(W') - dim(W) h ng(A). 7.2. H ng c a ma tr n nh ngha. 1) Cho ma tr n

Coi các thành ph n trong m t dòng c a ma tr n A nh các t a c a m t vect trong không gian vect V (n chi u) i v i m t c s nào ó. Ta g i h vect a g m :

là h vect dòng c a ma tr n A. H vect c t c a ma tr n A c ( nh ngha tng t . c a h vect a Ng c l i, ma tr n A c g i là ma tr n các t a i v i c s ã cho).

2) Ta g i h ng c a h vect dòng c a ma tr n A là h ng c a ma tr n A. Kí hi u h ng(A).

98

h ng (A) = 1 vì h g m m t vect = (1, 0, - 2) 0

c l p tuy n tính.

Vì dòng th hai c a B là t h p tuy n tính c a dòng th nh t nét theo m nh m c 7.1, h ng(B) = h ng(A) = 1. i v i ma tr n C ta th y h vect dòng c a nó g m ba vect:

Chúng

u bi u th tuy n tính c qua 1 : 2 = 0 1, 3 = -

2 1. 5

Do ó không gian sinh b i ba vect này có c s là { 1}. V y h ng(C) = 1. Theo nh ngha h ng c a ma tr n thì tìm h ng c a ma tr n cng là tìm h ng c a h vect dòng tng ng và do ó bi t h ng c a ma tr n s suy ra c s và s chi u c a không gian vect sinh b i h vect dòng c a ma tr n y. V i ma tr n A = (aij) ki u (m, n), nêu ch n r dòng, r c t thì các thành ph n n m giao c a r dòng r c t y l p thành m t nh th c c p r. Ta g i nó là inh th c con c p r c a A. nh lí. H ng c a ma tr n A b ng c p cao nh t c a các con khác 0 c a A. nh th c

Ch ng minh. Gi s ma tr n A = (aij)(m.n) và c p cao nh t c a các nh th c con khác 0 c a nó b ng r. Có th gi thi t r ng có m t nh th c con khác 0, c p r n m r dòng u, ch ng h n:

99

(Th t v y, ta có th i ch các dòng t c i u ó và phép i ch nh th không làm thay i h ng c a h vect dòng). Ta s ch ng minh r ng h g m r vect dòng u

là c s c a không gian vect sinh b i m vect dòng c a ma tr n A. Tr c h t, h vect (2) c l p tuy n tính. Th t v y, gi s

Áp d ng các phép toán trong không gian vect Kn, ta c:

Rõ ràng (0, 0,..., 0) là m t ngh m c a h này. Vì

100

nên ây là m t h Cramer. Do ó (0, 0,..., 0) là nghi m duy nh t; ngha là b t bu c x1 = x2 =... = xi = 0. i u này ch ng t h (2) c l p tuy n tính. Bây gi ta ch ng minh r ng m i vect dòng còn l i c a ma tr n A bi u th tuy n tính c qua h (2); t c là ph i ch ng minh r ng v i m i

Mu n v y, ph i ch ng minh r ng: Gi s i c nh. i v i aij ta xét nh th c

ây là m t nh th c con c p r + 1 c a ma tr n A nên theo gi thi t nó b ng 0. Khai tri n nó theo c t cu i ta c: trong ó As là ph n bù i s c a thành ph n ai trong m i s {1, 2,..., r}. Vì D 0 nên nh th c Dij, v i

101

Khi i c

nh, j thay

i, ma tr n

không

i nên các As không

i vì chúng là nh ng

nh th c con c p r

c a ma tr n này. Vì th nh ã ch n, ta c Do ó

t ks = -

As , v i m i s {1, 2,..., r}, v i i c D

ng th c (3) c ch ng minh.

V y h vect (2) là m t c s c a không gian vect sinh b i m vect dòng c a ma tr n A. Suy ra h ng(A) = r. Chú ý. Trong phép ch ng minh nh lí trên ta th y n u nh th c con c p cao nh t khác 0 c a ma tr n A n m r dòng nào thì r vect dòng y là c s c a không gian vect sinh b i m vect dòng c a ma tr n A. Ví d : Tìm c s c a không gian vect sinh b i h vect g m các vect trong R3:

Gi i G i A là ma tr n mà các vect dòng là các vect ã cho:

102

Nh v y

1 5 là 2 -1

nh th c con c p cao nh t khác 0 c a ma tr n A.

Nó n m dòng th nh t và th ba c a ma tr n A. V y h vect { 1, 3} là c s c n tìm. H qu 1. H m vect là c l p tuy n tính khi và ch khi ma tr n các t a c a chúng có m t inh th c con khác 0, c p m. Nói riêng, trong không gian vect n chi u, h n vect là c l p tuy n tính khi và ch khi nh th c c a ma tr n các t a c a chúng khác 0. Ch ng minh. Xin dành cho b n c. H qu 2. H ng c a ma tr n b ng h ng c a h vect c t c a nó. Ch ng minh. Gi s A = (aij) là ma tr n ki u (m, n). Xét ma tr n chuy n v t A. H vect dòng c a tA là h vect c t c a A. Theo nh lí trên, h ng(tA) b ng c p c a nh th c con c p cao nh t khác 0 c a tA. Nhng m i nh th c con c a tA l i là chuy n v c a m t nh th c con c a A và ng c l i. M t khác nh th c c a hai ma tr n chuy n v l n nhau b ng nhau. Do ó, |B| là m t nh th c con c p cao nh t khác 0 c a t A khi và ch khi |B'| là m t nh th c con c p cao nh t khác 0 c a A. V y h ng (A) = h ng (tA) = h ng (h vect dòng c a tA) = h ng (h vect c t c a A). 7.3. Cách tìm h ng c a ma tr n Mu n tìm h ng c a h vect ta tìm h ng c a ma tr n các t a h vect y. Mu n tìm h ng c a ma tr n ta tìm c a ma tr n y. c a

nh th c con c p cao nh t khác 0

tìm nh th c con c p cao nh t khác 0 c a ma tr n A, không c n xét t t c các nh th c con c a nó mà ch c n xu t phát t m t nh th c con D1 0 c p s ã bi t r i xét các nh th c con c p s + 1 ch a D1. N u t t c các nh th c con này u b ng 0 thì D1 là m t nh th c con c p cao nh t khác 0; do ó h ng(A) = s. N u có m t nh th c D2 0, c p s + 1 thì ti p t c xét các nh th c c p s + 2 ch a D2. C nh th cho t i khi tìm c m t nh th c D 0, c p r mà m i nh th c c p r + 1 bao quanh nó u b ng 0. Suy ra D là m t nh th c con c p cao nh t khác 0

103

c a ma tr n A. Th t v y, vì D n m r dòng nào ó và m i nh th c con c p r + 1 bao quanh D u b ng 0 nên v i l p lu n nh ch ng minh c a nh lí, h r vect này là c s c a không gian vect W sinh b i h vect òng c a ma tr n A. Do ó dim(W) = r. V i m i nh th c con D' 0, c p t, và Di n m trong t dòng nào ó c a A, thì h g m t vect dòng này c l p tuy n tính trong W. V y t dim(W) = r. Áp d ng. Cho h vect a g m:

a) Tìm h ng(a). b) Tìm c s c a không gian vect sinh b i a. Gi i a) tìm h ng c a h vect, ta ph i tìm h ng c a ma tr n

Theo

nh lí, ta ph i tìm

nh th c con c p cao nh t khác 0 c a A.

Xu t phát t m t

nh th c con khác 0 b t kì, ch ng h n

Ta xét các

nh th c c p 3 ch a D2.

104

Xét ti p các th , ó là:

nh th c con c p 4 ch a D3. Ch còn hai

nh th c nh

V y h ng(A) = 3. b) Vì D3 n m c n tìm. Cng có th có ba dòng u nên h vect { 1, 2, 3} là m t c s

nh th c c p 3 khác ch a D2 và khác 0, ch ng h n,

V y h ng(A) = 3. Vì D' n m ba dòng: th nh t, th hai và th nm nên h vect { 1, 2, 3} cng là m t c s . 7.4. Tìm h ng c a ma tr n b ng các phép bi n Ta cng có th dùng m t s phép bi n c a ma tr n. nh ngha. Các phép bi n i s c p trên các ma tr n: 1) 0. 3) Nhân m i thành ph n trong m t dòng (c t) v i cùng m t s r i c ng vào thành ph n cùng c t (dòng) trong m t dòng (c t) khác.

105

i s c p tìm h ng

i trên ma tr n

i sau ây c g i là các phép bi n

i ch hai dòng (hai c t) cho nhau;

2) Nhân m i thành ph n trong m t dòng (c t) v i cùng m t s khác

nh lí. N u th c hi n các phép bi n i s c p trên m t ma tr n thì h ng c a ma tr n thu c b ng h ng c a ma tr n ã cho. L m d ng ngôn ng có th nói: Các phép bi n thay i h ng c a m t ma tr n. Ch ng minh. Xin dành cho b n Ví d . Tìm h ng c a ma tr n i s c p không làm

c nh m t bài t p.

Gi i · i ch dòng th nh t và dòng th t cho nhau:

· C ng dòng th nh t vào dòng th hai; nhân dòng th nh t v i - 4, r i c ng vào dòng th ba; nhân dòng th nh t v i - 3, r i c ng vào dòng th t. ta c:

·

i ch dòng th hai và dòng th t cho nhau:

· C ng dòng th hai vào dòng th ba:

106

· C ng dòng th ba vào dòng th t ta c ma tr n:

Ma tr n cu i cùng có

nh th c c p ba:

ó là nh th c con c p cao nh t khác 0 c a B. V y h ng(B) = 3. Vì các phép bi n i s c p không làm thay i h ng c a ma tr n nên h ng(A) = h ng(B) = 3. N u dùng phép bi n i s c p tìm c s c a không gian sinh b i m t h vect thì ta g p m t khó khn nh trong vi c xác nh nh ng vect nào c a h l p nên c s , vì quá trình bi n i ta ã i ch các dòng, các c t. B n c hãy th tìm cách kh c ph c khó khn y. 7.5. Tìm c s , s chi u c a không gian sinh b i m t h vect b ng máy tính i n t Mu n tìm c s và s chi u c a không gian W sinh b i m t h vect a ta ch c n tìm nh th c con c p cao nh t khác 0 c a ma tr n A thi t l p b i h vect ã cho. dimW = h ng(A) và nh th c con c p cao nh t khác 0 n m nh ng dòng nào thì nh ng vect dòng y l p thành m t c s . Nh các phép bi n i s c p trên ma tr n, máy tính i n t có th th c hi n các phép bi n i y bi n m t ma tr n ã cho thành m t ma tr n cùng h ng mà ta có th nh n ra ngay nh th c c p cao nh t khác 0. T ó suy ra h ng c a ma tr n, cng là h ng c a h vect, và s chi u c n tìm. Ví d 1. Tìm s chi u c a không gian W sinh b i h vect

107

Gi i t o ma tr n ánh l nh:

Trên màn hình xu t hi n: Out[1]: = {{11 -1, 2, 0, -1},{-2, 2, 0, 0, -2}, {2, -1, -1, 0, 1}, {-1, -1, 1, 2, 2},{1, - 1, -1, 0, 1} l p ma tr n thu g n ánh ti p l nh: RowReduce[A]//MatrixForm Màn hình xu t hi n: Out[2]:=MatrixForm

Trong ma tr n này ta th y ngay

nh th c con c p cao nh t khác 0 là:

V y h ng c a ma tr n b ng 4. Nhng các phép bi n i mà máy th c hi n cho ta m t ma tr n cùng h ng v i ma tr n A nên h ng = h ng(A) = 4 = dimW. tìm c s c a không gian ta c n chú ý r ng khi bi n i ma tr n, theo chng trình Mathematica 4.0, máy tính có th i ch các dòng, do ó th t các dòng b thay i. Vì th nhìn vào ma tr n thu c trên

108

màn hình ta không bi t c c s g m nh ng vect nào trong các vect ã cho. Tuy nhiên máy tính không thay i c t. Vì v y, ta hãy l y các vect ã cho l p thành ma tr n c t. Song, máy tính l i không t o ma tr n c t. tránh ph i l p m t ma tr n c t gi y nháp, ta v n l p ma tr n dòng r i l y ma tr n chuy n v . Ví d 2. Tìm c s c a không gian W sinh b i h vect: a = { 1 = (-2, 4, 2, 5), 2= (3, 1, 0, 7), 3 = (-1, 9, 4, 17),

(1, 0, 2, 1)}.

Gi i ánh l nh t o ma tr n: A = {{-2, 4, 2, 5}, {3, 1, 0, 7},{-1, 9, 4, 17}, {1, 0, 2, 1}} Màn hình xu t hi n: Out[1] ={{-2, 4, 2, 5} {3, 1, 0, 7},{- 1, 9, 4, 17}, {1, 0, 2, 1}}. l p ma tr n chuy n v , ánh l nh: tA = Transpose[A] Màn hình xu t hi n: Out[2]={{- 2, 3, - 1, 1},{4, 1, 9, 0),{2, 0, 4, 2},{5, 7, 17, 1}} tìm ma tr n thu g n, ánh l nh: RowReduce[tA]//1MatnxForm Màn hình xu t hi n: Out[3]=MatrixForm

Ma tr n này cho ta

nh th c con c p cao nh t khác 0 là:

109

V y h ng c a ma tr n này b ng 3: h ng(tA) = h ng(A) = h ng(a). nh th c con c p cao nh t khác 0 n m các c t th nh t, th hai, th t, do ó các vect c t 1, 2, 4 l p thành m t c s .

110

TÓM T T Chng II, trình bày khái ni m không gian vect trên m t tr ng K. ó là m t t p h p V mà m i ph n t g i là m t vect, trên ó có phép ông hai vect và phép nhân m t vect v i m t s thu c K tho mãn 8 ti u ki n ã nêu nh ngha 1.1. M t t p con W c a V c g i là m t không gian con c a V n u b n thân W cng là m t không gian i v i hai phép toán ã cho trong V. Mu n ch ng minh W là không gian con c a V ch c n ch ng minh r ng: 1) W , v i , thu c W và r K, ta có + W, r W; ho c 2) W , v i , thu c W và r, s K, ta có r + s W. T ng c a m không gian con W1, W2,..., Wm c a không gian vect V l i là m t không gian con W = i | i Wi , i = 1, 2,...m .

i =1 m

thì

N u a = { 1, 2,..., m} là m t h vect c a K-không gian vect V

là m t không gian con c a V và c g i là không gian con sinh b i h vect a. H a c g i là ra k1 = k2 =...= km = 0. M i không gian vect u có m t h sinh c l p tuy n tính, g i là c s c a nó. N u () = { 1, 2,..., n} là m t c s c a K- không gian vect V thì m i V u có cách bi u di n duy nh t d i d ng

= a1 1+ a2 2+...+ an n.

c l p tuy n tính n u t

ng th c

k

i i =1

m

i

= 0 suy

Các s ai c g i là t a

c a

i v i c s ().

M t không gian vect có th có nhi u c s khác nhau. T a c a m t vect trong c s này khác v i t a c a nó i v i c s kia. Bi t t a c a i v i c s () có th tìm c t a c a nó i v i c

111

s () n u bi t ma tr n T chuy n t c s () sang c s (). tr n c thi t l p nh sau:

ó là ma

Th thì

Khi ó, n u (x1, x2,..., xn) và (y1, y2,..., yn) l n l t là t a v i c s () và c s () thì

c a

i

Khái ni m h ng c a m t h vect cng nh h ng c a ma tr n r t c n thi t cho các chng sau. Ta nh ngha h ng c a m t h vect là s chi u c a không gian sinh b i h vect ó. V i A là m t ma tr n, ta có: h ng(A) = h ng(h vect dòng) = h ng(h vect c t).

112

BÀI T P §1. 1. Dùng NH NGHA VÀ TÍNH CH T N GI N nh ngha c a không gian vect ch ng t r ng:

a) T p s th c R cùng v i phép c ng hai s th c, phép nhân m t s th c v i m t s h u t là m t Q-không gian vect; b) T p s ph c C cùng v i phép c ng hai s ph c và phép nhân m t s ph c v i m t s th c là m t R-không gian vect; c) T p Q[x] các a th c c a n x trên tr ng s h u t Q là m t Qkhông gian vect; d) V i Q là t p s h u t , R là t p s th c, V = Q x R, cùng v i phép c ng hai ph n t trong V và phép nhân m t ph n t c a V v i m t s h u t xác nh nh sau: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), r(a, b) = (ra, rb), a, c, r là nh ng s h u t b, d là nh ng s th c,là m t Q-không gian vect. e) T p Q ( 2 ) = {a + b 2 | a, b Q}, v i phép c ng và phép nhân v i s h u t xác nh nh sau: (a + b 2 ) + (c + d

2 ) = (a + c) + (b + d) 2,

r(a + b 2 ) = ra + r 2 , r Q là m t Q- không gian vect. 2. Các t p sau có ph i là R-không gian vect không? a) T p Q v i phép c ng hai s h u t và phép nhân m t s h u t v i m t s th c; b) T p s ph c C cùng v i phép c ng hai s ph c và phép nhân m t s ph c v i m t s th c; c) T p s nguyên Z cùng v i phép c ng hai s nguyên và phép nhân m t s nguyên v i m t s th c; d) T p V nói trong bài t p 1d) cùng v i phép c ng và phép nhân v i m t s th c cng xác nh nh th , e) T p D các a th c b c n v i h s th c.

113

3. Cho G là t p h p các hàm s xác nh trên t p s th c R có d ng f(x) = ax + b, trong ó a, b R, v i phép c ng và phép nhân v i m t s h u t xác nh nh sau: v i f, g G, và f(x) = ax + b, g(x) = cx + d thì f + g là m t hàm s xác nh b i (f + g)(x) = (a + c)x + (b + d), v i f G và r R, và f(x) = ax + b thì rf là m t hàm s xác (rf)(x) = rax + rb. Ch ng minh r ng G là m t R- không gian vect. 4. Cho F là t p các hàm s c a bi n s x xác nh trên R (và l y các giá tr trong R) v i phép c ng và phép nhân v i m t s th c xác nh nh sau: v i f, g F, f + g là m t hàm s xác g(x); nh b i (f + g)(x) = f(x) + nh b i (rf)(x) = r.f(x). nh nh b i

v i f F và r R, rf là m t hàm s xác Ch ng minh r ng F là m t R-không gian vect.

5. Cho A và B là hai K-không gian vect. Trên V = A×B, xác phép c ng và phép nhân v i m t s thu c tr ng K nh sau:

( , ) + ( , ) = ( + , + ) , v

1 1 2 2 1 2 1 2

i m i 1, 2 A, 1, 2 B;

k( , ) = (k , k ) , v i m i k K, m i A, m i B. Ch ng minh r ng V là m t K-không gian vect. 6. Trên t p A = {a} xác th c nh sau: nh phép c ng và phép nhân v i m t s

a + a = a, ra = a, v i m i r R. Ch ng minh r ng A là m t R-không gian vect... §2. KHÔNG GIAN CON 7. ch ng minh r ng: a) Q là m t không gian con c a Q-không gian vect R; b) R là m t không gian con c a Q- không gian vect C (C là t p s ph c);

114

c) Q 2 là m t không gian con c a Q-không gian vect R, (xem bài t p 2f, §1) ; d) R- không gian vect G là không gian con c a R-không gian vect F, (v i G và F là nh ng không gian trong các bài t p 3 và 4, §1). e) T p Dn g m a th c 0 và các a th c c a Q[x] có b c bé hn hay b ng n, (n là s t nhiên), là không gian con c a Q-không gian vect Q[x]. 8. Các t p h p sau c ph i là nh ng không gian con c a không gian vect R3 không? a) E = {(a1, a2, a3 | ai R, i = 1, 3}; b) F = {(a1, a2, - a1) | ai R, i = 1, 2}; c) B = {(a1, a2, a1a2) | ai R, i = 1, 2}; d) G = {(a1, a2, a1 + a2) | ai R, i - 1, 2}; e) C = {(a1, a2, a2) | ai R, i = 1, 2}; f) H = {(a1, a2, a3) | a1 + a2 + a3 = 0 ai R, i = 1, 2, 3}; 9. T p h p các s nguyên có ph i là m t không gian con c a không gian vect R trên tr ng Q hay không? 10. T p h p các a th c b c ch n thu c R[x] có ph i là m t không gian con c a R [x] không? 11. Gi s W là m t không gian con c a không gian vect R4, (a1, a2, 4, a4) W. Ch ng minh r ng v i m i r R có m t (b1, b2, r, b4) W. 12. Gi s U và W là hai không gian con c a K-không gian vect V tho mãn i u ki n V = U W. Ch ng minh r ng V = U ho c V = W. 13. Gi s W1, W2,..., Wm là nh ng không gian vect con c a Kkhông gian vect V. Ch ng minh r ng U = con c a V. 14. Cho V là m t R-không gian vect, V. Ch ng minh r ng t p R = {r | r R} là m t không gian con c a V. R c g i là không gian sinh b i vect . 15. Gi s U và W là hai không gian con c a R-không gian vect V.

115

m

I

i =1

Wi là m t không gian

Ch ng minh r ng U + W là giao c a t t c các không gian con c a V ch a U W. §3. S

3

C L P TUY N TÍNH-S

PH THU C TUY N TÍNH

16. Cho ba vect 1 = (2, 0, 3), 2 = (0, 2, -1), 3 = (1, 2, 3) thu c R . Hãy bi u th tuy n tính vect = (5, - 2, 1) qua ba vect ã cho. 17. Cho ba vect 1 = x - 1, 2 = 1, 3 = x2 + 1 thu c R[x]. Hãy bi u th tuy n tính vect = x2 - x + 2 qua ba vect ã cho. 18. Xét xem các h vect sau trong R3 h nào a) 1 = (4, 0, 1), 2 = (2, 0, 1), 3 = (1, 2, 1); b) 1 = (1, 2, 3), 2 = (4, 5, 6), 3 = (5, 7, 9); c) 1 = (1, 2, 3), 2 = (4, 5, 6), 3 = (9, 8, 7); d) 1 = (1, 2, 3), 2 = (4, 5, 6), 3 = (2, -1, 0). 19. Xét xem các h vect sau trong R[x] h nào a) 1 = 1, 2 = x, 3 = x2; b) 1 = 1, 2 = x + 1, 3 = x2+ 1, 4 = 2x2 + x + 3. 20. Cho hai vect = (3, a + b, 5), = (a + 1, b - 2, 10) trong Q3. Tìm a và b hai vect này ph thu c tuy n tính. 21. Cho ba vect 1, 2, 3 c a K-không gian vect V, tuy n tính. c l p c l p tuy n tính: c l p tuy n tính?

a) Ch ng minh r ng ba vect 1 = 1, 2 = 1 + 2 , 3 = 1 + 2 3 c l p tuy n tính. b Ch ng minh r ng ba vect 1 = 1 + 2, 2 = 2 + 3, 3 = 3+ 1 c l p tuy n tính. c) Ba vect = 1 + 2, 2 = 2 + 3, 4 = 3 - 1 có tuy n tính không? 22. Ch ng minh r ng: N u hai vect 1, 2 c a không gian vect V là c l p tuy n tính và

116

cl p

R 1, R 2 là nh ng không gian con c a V l n l t sinh b i 1, 2 thì R1 R2 = 0 . §4. C S C A KHÔNG GIAN VECT

23. Cho { 1,..., i,..., n} là m t c s c a không gian vect V. Ch ng minh r ng: a) N u thay i b i r i' (v i r 0) thì h vect thu c cng là m t c s c a V; b) N u ta c ng vào i m t t h p tuy n tính c a các vect còn l i thì c m t c s m i c a V. 24. Ch ng minh r ng các h vect sau là nh ng c s c a không gian vect R3:

25. Các h vect sau có ph i là c s c a không gian vect R4 không:

26. ch ng minh r ng n u ba vect 1, 2, 3 l p thành m t c s c a K-không gian vect V thì ba vect 1 = 1 + 2, 2 = 2 + 3, 3 = 3+ 1 cng l p thành m t c s c a V. 27. G i P3 là không gian vect g m a th c 0 và các a th c f(x) R[x] có b c f(x) 3. Ch ng minh r ng hai h vect:

2 3 1 = 1, 2 = x, 3= x , 4= x ;

1 = 1, 2= x - 1, 3 = (x - 1) , 4 = (x - 1)

2

3

là hai c s c a P3. 28. Ch ng minh r ng n u { 1,..., 2,..., n} là m t c s c a Rkhông gian vect V thì V =

i =1

n

R i và R i

j1

R j = 0 , v i m i i

117

{1, 2,..., n}, trong ó

j1

R j là t ng c a các R j, (ch ng h n, R 3

(R 1 + R 2 + R 4 +...+ R n) = { 0 }. Ng i ta nói r ng V là t ng tr c ti p c a các không gian con R i, i {1, 2,..., n}. §5. S CHI U C A KHÔNG GIAN VECT

29. Tìm s chi u c a không gian vect V sinh b i các h vect sau:

30. Gi s U, W là hai không gian con c a không gian vect V và V = U + W. Ch ng minh r ng dimV = dimU + dimW khi và ch khi U W = {0 } 31. Gi s U, W là hai không gian con th c s c a không gian vect V, U W. a) N u dimV = 3, dimU = dimW = 2 thì dim(U W) b ng bao nhiêu? b) n u dimV = 6, dimU = dimW = 4 thì dim(U W) có th b ng bao nhiêu? 32. Trong R4, không gian con U sinh b i hai vect 1 = (-1, 1, 1, 1), 2 = (1, 2, 1, 0), không gian con W sinh b i hai vect 1 = (2, -1, 0, 1), 2 = (0, - 5, 6, 0). Tìm dim(U + W) và dim(U W). 33. Cho h vect { 1, 2, 3, 4} là m t c s c a không gian vect V. U là không gian con sinh b i { 1, 2, 3,}, W là không gian con sinh b i { 2, 3, 4,}. a) ch ng minh r ng { 2, 3} là m t c s c a U W. b) Tìm c s và s chi u c a U + W. §6. T A 34. Tìm t a C A VECT i v i c s { 1, 2, 3, 4}:

118

c a các vect sau

35. Tìm t a

c a vect = (5, - 2, 4, 1)

i v i c s :

36. Bi t t a

c a các vect

i v i m t c s () nào ó nh sau:

(0, -5, 4, 1), (2, 7, 0, 9), (4, 0, 1, 2).

Tìm t a

c a các vect sau

i v i c s ():

37. G i P3 là không gian vect g m a th c 0 và các a th c f(x) R[x] có b c f(x) 3. a) Ch ng minh r ng: () :

là hai c s c a không gian P3. b) Tìm ma tr n chuy n t c s () sang c s (). c) Tìm t a §5. S c a các vect f(x) = 2x3 - x + 5 i v i c s ().

CHI U C A KHÔNG GIAN VECT

29. Tìm s chi u c a không gian vect V sinh b i các h vect sau:

30. Gi s U, W là hai không gian con c a không gian vect V và V = U + W. Ch ng minh r ng dimV = dimU + dimW khi và ch khi U W = { 0 }. 31. Gi s U, W là hai không gian con th c s c a không gian vect( V, U W.

119

a) N u dimV = 3, dimU = dimW = 2 thì dim(UW) b ng bao nhiêu? b) N u dimV = 6, dimU = dimW = 4 thì dim(UW) có th b ng bao nhiêu? 32. Trong R4, không gian con U sinh b i hai vect 1 = (1, 1, 1, 1) 2 = (1, 2, 1, 0), không gian con W sinh b i hai vect 1 (2, -1, 0, 1) 2 = (0, - 5, 6, 0). Tìm dim(U + W) và dim(U W). 33. Cho h vect { 1, 2, 3, 4} là m t c s c a không gian vect V U là không gian con sinh b i { 1, 2, 3}, W là không gian con sâu b i { 2, 3, 4}. a) Ch ng minh r ng { 2, 3} là m t c s c a U W. b) Tìm c s và s chi u c a U + W.

a) Dùng h ng c a h vect c s c a R4. c) Tìm t a

ch ng t r ng hai h vect này là hai

b) Tìm ma tr n chuy n t c s a sang c s b. c a = (2, 0, 4, 0) it a i v i c s b. c a i v i c s . i i s c p không làm thay d) Dùng công th c tính t a

42. a) Ch ng minh r ng các phép bi n h ng c a ma tr n.

b) B n hãy t tìm m t h vect trong không gian R4 và dùng các phép bi n i s c p ch ng t r ng h vect y c l p tuy n tính. c) B n hãy t ch n hai h , m i h g m 4 vect, r i dùng các phép bi n i s c p ch ng t r ng m t h có h ng 3, m t h có h ng 2 và ch ra c s không gian sinh b i m i h vect ã cho.

120

VÀI NÉT L CH S Khái ni m không gian vect xu t hi n mu n hn nhi u so v i khái ni m nh th c. Leibnitz là ng i u tiên phát hi n ra khái ni m nh th c và cng chính ông là ng i có công lao áng k trong vi c x ng khái ni m không gian vect. B t ngu n t ý t ng mu n dùng i s nghiên c u hình h c, c th , mu n dùng i s miêu t không ch nh ng l ng khác nhau c a hình h c mà miêu t c v tr c a các i m và h ng c a ng th ng trong hình h c, Leibnitz ã quan tâm n các c p i m (tuy nhiên, ông v n cha phân bi t th t c a hai i m). Hn 100 nm sau khi Leibnitz qua i, t c là vào nm 1833, các công trình c a ông v v n này m i c công b và ng i ta ã treo gi i th ng cho nh ng ai phát tri n c ý t ng c a Leibnitz trong nh ng công trình này. Nm 1835, c Möbius thông báo tin này, Grassmann, m t giáo viên th d c c a m t tr ng h c thành ph Stetin thu c n c c, v i lòng ham mê toán h c, sau g n m t nm làm vi c, ã trình bày công trình v m t c u trúc tng t không gian vect. T nm 1832 Grassmann ã tìm c các d ng vect c a các lu t trong c h c. ông ã chú ý t i tính giao hoán, k t h p c a phép c ng các vect. Công trình c a ông quá t ng quát nên n nm 1840 các nhà toán h c v n không hi u c ý t ng c a ông. Vì th nó có ít nh h ng. Grassmann ã g i quy n sách u tiên c a mình cho Gauss và cho Möbius, nhng Möbius không c h t vì không hi u c ý t ng c a Grassmann. Nm 1844, cùng m t lúc v i Hamilton, Grassmann ã a ra khái ni m không gian giãn n tuy n tính, (t c là không gian vect n chi u ngày nay) cùng v i các tính ch t c a nó. Ông cng ã nh ngha i l ng giãn n nh là t h p tuy n tính, ã nh ngha không gian con và khái ni m c l p tuy n tính c a h vect và c khái ni m mà ngày nay g i là c s , s chi u, tích vô h ng. Vài l n, Grassmann xin c làm vi c tr ng i h c nhng không thành, l n cu i cùng mà ông b t ch i là do Kummer ã nh n xét r ng các bài báo c a ông trình bày không c rõ ràng sáng s a. Cho n lúc ch t ông

121

v n là giáo viên th d c

thành ph Stettin, quê hng ông.

Vi c bi u di n hình h c c a s ph c là m t b c ti n trong quá trình hình thành không gian vect. Nm 1837, Hamilton ã công b công trình trong ó s ph c c bi u di n b i c p s th c. n nm 1841, ông quan tâm n các b n s th c vì mu n có nh ng k t qu tng t nh i v i các s ph c (t c là nh ng c p s ). Chính ây là m t ti p c n v i không gian vect. S quan tâm n các b ba s th c ã d n ông t i khái ni m quaternion và ông ã dùng khái ni m này nghiên c u toán lí. Sau ó nhà v t lí ng i Anh J. C. Maxwell (1831-1879) và nhà v t lí ng i M J. W. Gibbs ã phát tri n thành không gian vect. Các thu t ng vect và vô h ng là do Maxwell x ng. Hamilton cng ã nh ngha khái ni m tích vect. William Rowan Hamìlton có m t ti u s sáng chói. Khi còn nh ông n i ti ng là m t th n ng toán h c; 13 tu i ông h c c la th t; ng. Sau khi t t nghi p i h c Tnnity Dublin, ông c c làm giáo s thiên vn h c tr ng i h c t ng h p. Nm 1837 ông là ch t ch Vi n hàn lâm khoa h c Ailen.

122

Chng III ÁNH X TUY N TÍNH

M

U

Ta ã bi t các t p h p liên h v i nhau b i các ánh x . Gi s A và B là hai t p h p không r ng, m t ánh x t A n B là m t quy t c nào ó cho ng v i ph n t a A m t ph n t duy nh t f(a) B; f(a) c g i là nh c a a. Ánh x t t p A n t p B c kí hi u là f: A B. Ánh x f c xác nh n u bi t nh c a m i aA. Các ánh x c phân lo i thành n ánh, toàn ánh, song ánh. N u X A thì t p h p f(x) = {bB | b = f(x) v i m t x nào ó thu c X} c g i là nh c a X. N u Y B thì t p h p f-1(y) = {aA | f(a)Y} c g i là nh ng c (hay t o nh) c a Y; v.v... Bây gi , i v i các không gian vect, chúng t o thành không ch b i nh ng ph n t , mà còn c nh ng phép toán. Vì th m i liên h gi a chúng cng ph i c th hi n b i nh ng ánh x có liên quan n các phép toán y. ó là ánh x tuy n tính. Chng này dành cho vi c nghiên c u ánh x tuy n tính, g m: - Khái ni m ánh x tuy n tính hay các ng c u không gian vect, các d ng ánh x tuy n tính nh : n c u, toàn c u, ng c u. - S xác nh m t ánh x tuy n tính ( ó ta s th y r ng mu n xác nh m t ánh x tuy n tính ch c n bi t nh c a các vect trong m t c s ). - Khái ni m nh và h t nhân, m i liên quan gi a nh, h t nhân v i

123

n c u, toàn c u và ng c u, m i liên h v chi u c a không gian ngu n v i s chi u c a nh và c a h t nhân. Trên t p các ánh x tuy n tính t không gian V n không gian W cng có th xác nh phép c ng hai ánh x và phép nhân m t ánh x v i m t s làm cho t p các ánh x này tr thành m t không gian vect. ó cng là nh ng i u mà b n c c n n m v ng có th hi u c các khái ni m giá tr riêng và vect riêng c a m t t ng c u, s c nghiên c u ti p chng V. Ánh x tuy n tính còn c nghiên c u ti p nh ng chng sau. Nó còn c m r ng thành các khái ni m ánh x n a tuy n tính, a tuy n tính, a tuy n tính thay phiên. Song giáo trình này cha th trình bày m i ng ánh x nh th . M t d ng c bi t c a ánh x a tuy n tính s c trình bày chng VI. ó là d ng song tuy n tính. hi u c nh ng i u trình bày trong chng này, b n n m v ng nh ng t th c ã h c v không gian vect. cc n

§1.

NH NGHA ÁNH X TUY N TÍNH - S M T ÁNH X TUY N TÍNH nh ngha

XÁC

NH

1.1. Các

nh ngha 1. Gi s V và W là hai K-không gian vect. Ánh x f: V W c g i là m t ánh x tuy n tính hay m t ng c u n u:

v i m i , , thu c V và m i r K. f( ) g i là nh c a . N u W = V thì ánh x tuy n tính f c g i là m t t xác ng c u. Ví d 1. Gi s V là m t K-không gian vect. Ánh x 1v = V V nh b i 1v( ) = , v i m i V

124

là m t ánh x tuy n tính. Nó c g i là

ng c u

ng nh t trên V.

Ví d 2. Gi s U là m t không gian con c a K-không gian vect V, ánh x j : U V xác nh b i j( ) = , v i m i U là m t ánh x tuy n tính. Nó c g i là phép nhúng chính t c. xác Ví d 3. Gi s V và W là hai K-không gian vect. ánh x f. V W nh b i F( ) = 0 w v i m i V là m t ánh x tuy n tính. Nó c g i là ng c u không. t ki m tra r ng B n c có th dùng nh ngha ánh x tuy n tính ba ánh x nói trên là nh ng ánh x tuy n tính. Ví d 4. Ánh x f: R3 R2 xác nh b i

f((a1, a2, a3)) = (a1, a2), v i m i = (a1, a2, a3) R3 là m t ánh x tuy n tính. Th t v y, ch c n ki m tra các i u ki n trong nh ngha; v i (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3) thu c R3 và m i r R, ta có:

Ví d 5. Gi s Pn và Pn-1 l n l t là các R-không gian vect g m a th c 0 và các a th c thu c R[x] v i b c l n l t không quá n và không quá n - 1, d: Pn pn-1 là phép l y o hàm: d(f(x)) = f '(x). Th thì d là m t ánh x tuy n tính. Th t v y, v i hai a th c = f(x), = g(x) và m i r R, ta có:

Ví d 6. Gi s a = { 1, 2,..., n} là m t h vect trong không gian R . Ánh x (cng kí hi u b i a)

m

a : Rn Rm xác

nh nh sau:

125

V i m i = (c1, c2,..., cn) Rn, a( ) ­ c1 1 + c2 2 +...+ cn n Rm, là m t ánh x tuy n tính. Th t v y, v i = (c1, c2,..., cn), = (d1, d2,..., dn) Rn và v i m i r R, ta có:

+ = (c1 + d1, c2 + d2,.., cn + dn) r = (rc1, rc2,..., rcn).

Theo

nh ngha c a ánh x a, ta có:

V y a là m t ánh x tuy n tính. H qu . 1) Ánh x f: V W là m t ánh x tuy n tính khi và ch khi: f(r + s ) = rf( ) + sf( ), v i m i , thu c V và m i r, s thu c K. 2) N u f: V W là m t ánh x tuy n tính thì f( 0 v) = 0 w, và 0 w l n l t là vect không trong V và W. Ch ng minh. 1) Xin dành cho b n c. 2) Vì 0 = 0 v, và f là m t ánh x tuy n tính nên f( 0 v) = f( 0 ) = 0f( ) = 0 w. Ánh x gi a các t p h p c phân ra thành n ánh, toàn ánh, song ánh. Tng ng v i chúng, các ánh x tuy n tính cng c phân thành n c u, toàn c u và ng c u. nh ngha 2. M t ánh x tuy n tính c g i là: a) n c u nên nó là m t n ánh; b) toàn c u nên nó là m t toàn ánh; c) ng c u nên nó ng th i là n c u và toàn c u.

126

ây 0 v

Khi có m t ng c u f t không gian vect V en không gian vect W thì ta vi t: f: V W và nói r ng V và W Ví d 7. Ánh x ng c u v i nhau. ng nh t là m t ng c u.

Ví d 8. Phép nhúng chính t c là m t n c u. Ví d 9. Ánh x tuy n tính f: R3 R2 trong ví d 4, m c 1.1, là m t toàn c u. Th t v y v i m i = (a1, a2) R2 u t n t i vect (a1, a2, 0) R3 mà f( ) = f((a1, a2, 0) = (a1, a2) = . i u này ch ng t ánh x tuy n tính f là m t toàn ánh. V y f là m t toàn c u. M nh . Ánh x tuy n tính f : V W là m t ng c u khi và ch khi t n t i m t ánh x tuy n tính f -1: W V sao cho f -1f = 1v, ff-1= 1w. Ch ng minh. "" Gi s hà m t ng c u. Khi ó bà m t song ánh. Do ó t n t i ánh x ng c f -1 sao cho f-1f - 1v, ff-1 = 1w. Ta ch còn ph i ch ng minh f-1 là m t ánh x tuy n tính; ngha là ph i ch ng minh r ng: f-1(r + s ) = rf-1( ) + sf-1( ), v i m i , thu c W và m i r, sK. Vì ff-1 = 1w nên:

Theo gi thi t, f là m t ánh x tuy n tính. Do ó:

(2) T (1) và (2) suy ra:

V y f-1 là m t ánh x tuy n tính. "" N u f-1f = 1v, ff-1 = 1w thì (nh ã bi t trong ph n t p h p) f là m t song ánh. Theo nh ngha 1, m c 1.1, hà m t ng c u.

127

Ta ã th y t K-không gian vect V b t kì n m t K-không gian W tu ý luôn luôn có ng c u không. Ngoài ng c u không còn có ng c u nào khác và có cách nào xác nh chúng? 1.2. S xác nh m t ánh x tuy n tính

nh lí. Gi s V, W là hai K-không gian uect, () ={ 1,..., 2,..., n} là m t c s c a V và 1, 2,.., n là n vect tu ý c a W. Khi ó t n t i duy nh t m t ánh x tuy n tính f: V W sao cho f( i) = i, v i m i i {1, 2,..., n}. Ch ng minh. Tr c h t ta xác nh ánh x f: V W nh sau: v i m i = r1 1 + r2 2 +... + in n V, ta t f( ) = r1 1 + r2 2 +... + rn n W. ó th c s là m t ánh x vì () là c s c a v nên v i , n s ri c xác nh duy nh t; do ó f( ) c xác nh duy nh t. Ta ph i ki m tra r ng f là m t ánh x tuy n tính. V i = r1 1 + r2 2 +...+ in n) = s1 1 + s2 2 +... + sn n V và m i k K, ta có:

Theo

nh ngha c a f thì:

Hn n a, v i i ta có th vi t:

Gi s có ánh x tuy n tính f': V W tho mãn i u ki n f'( i) = i, v i m i i {1, 2,..., n}. Vì f' là m t ánh x tuy n tính nên v i m i = r1 1 + r2 2 +... + in n V, ta có:

128

V y f' = f, t c là f xác Ý ngha c a 1) Mu n xác vect c s . nh lí:

nh nh trên là duy nh t. nh nh c a các

nh m t ánh x tuy n tính ch c n xác

2) M i h n vect c a W xác nh m t ánh x tuy n tính t V n W Nh v y, có th có vô s ánh x tuy n tính t V n W n u W 0 . Ví d . C s () c a R3 g m 1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1) và ba vect 1 = (0, 2), 2 = (1, -1), 3 = (3, 0) thu c R2 xác nh duy nh t ánh x tuy n tính f: R3 R2 sao cho f( i) = 1, i = 1, 2, 3. Khi ó, v i m i = (a1, a2, a3) R3,

Khi xét các ánh x gi a hai t p h p ta ã nh ngha khái ni m nh và nh ng c. Ch ng h n, f: X Y là m t ánh x , A X, B Y, T p h p f(A) = {f(a) Y | a A} c g i là nh c a A, T p h p f -1(B) = {x E x | f(x) B} c g i là nh ng c c a B. Nói chung, chúng không có c i m gì. Song, các không gian vect là nh ng t p h p có phép toán và ánh x tuy n tính b ràng bu c b i các phép toán y nên ch c h n nh và nh ng c cng có nh ng c i m riêng. §2. NH VÀ H T NHÂN C A ÁNH X TUY N TÍNH 2.1. nh ngha và tính ch t

nh ngha. Gi s V, W là hai K-không gian vect, f: V W là m t ánh x tuy n tính, A V, B W. T p h p f(A) = { W | = f( ), v i m i ã thu c A} c g i là

129

nh c a A. T p h p f-1( ) = { V | f( ) B} c g i là nh ng c (hay t o nh+ c a B. Nói riêng, f(V) c g i là nh c a V hay nh c a f và kí hi u là Imf f ( 0 w) c g i là h t nhân c a f và kí hi u là Kerf.

1

Ví d 1. Cho ánh x f: R4 R3 xác D th y f là m t ánh x tuy n tính.

nh b i:

T

ó suy ra:

Ví d 2. Ánh x g: R4 R3 xác g là m t ánh x tuy n tính.

nh b i:

f(a1, a2, a3, a4) (a1, a2, a3). Img = { (a1, a2, a3) | ai R, i = 1, 2, 3} = R3,

T

ó suy ra

Ví d 3. Cho ánh x h: R2 ~ R3 xác

nh b i

f(a1, a2) = (a1, a2, a1- a2). B n hãy t ki m tra r ng h là m t ánh x tuy n tính.

T

ó suy ra:

130

Ví d 4. Xét ánh x a: Rn Rm trong ví d 6, m c 1.1.

i u này có ngha là Im~l là không gian sinh b i h vect

nh lí. Gi s V, W là hai K-không gian vect, f. V W là m t ánh x tuy n tính, A là m t không gian con c a V, B là m t không gian con c a W. Khi ó: 1) f(A) 1à m t không gian con c a W. Hn n a n u h vect { 1,..,

m} là m t h sinh c a A thì h vect {f( 1),..., f( m)} là m t h sinh c a f(A);

2) f -1(B) là m t không gian con c a V. Ch ng minh. 1) Vì 0 v A nên 0 w = f( 0 v) f(A); t c là f(A) . Gi s 1, 2 thu c f(A) và r, s thu c K. Theo nh ngha c a f(A) t n t i 1, 2 thu c A sao cho 1 = f( 1), 2 = f( 2). Vì f là m t ánh x tuy n tính nên

Vì A là m t không gian con c a V nên r 1 + s 2 A. Do ó r 1+ s 2 = f(r 1 + s 2) f(A). Theo nh lí 2.2, Ch.II, f(A) là m t không gian con c a W. Bây gi gi s { 1,..., m} là m t h sinh c a A. Khi ó f( i) f(A) v i m i i {1,..., m}. V i m i f(A), t n t i m t A sao cho = f( ). Nhng là m t t h p tuy n tính c a h vect { 1,..., m} ch ng h n,

131

Do ó

V y f(A) sinh b i h vect {(f 1),..., f( m)} 2) Vì f( 0 v) = 0 w B nên 0 v f -1(B); ngha là f -1(B) . Gi s -1 1, 2 thu c f (B) và r, s thu c K. Theo nh ngha c a nh ng c, f( 1), f( 2) thu c B. Vì B là m t không gian con c a W, f là m t ánh x tuy n tính nên

Do ó L i theo T nh lí 2.2, Ch.II, f-1(B) là m t không gian con c a V.

ó ta có h qu 1 sau ây.

H qu 1. Gi s f: V W là m t ánh x tuy n tính. Khi ó: 1) Imf là m t không gian con c a W. 2) Kerf là m t không gian con c a V. H qu 2. Gi s f: V W là m t ánh x tuy n tính. 1) f là m t toàn c u khi và ch khi Imf = W. 2) f là m t n c u khi và ch khi Kerf = 0 v. Ch ng minh. 1) Hi n nhiên. 2) "" Gi s f là m t n c u và Kerf. Khi ó f( ) = 0 w = f( 0 v). Vì f là n c u nên = 0 v. Suy ra Kerf = {v}. "" Gi s Kerf = { 0 v}. ch ng minh f là m t n c u ta ph i ch ng minh r ng n u f( 1) = f( 2) thì 1 = 2. Nhng khi f( 1) = f( 2) ta có

132

i u này có ngha là 1 - 2 Kerf. Suy ra 1 - 2 = 0 v vì Kerf = { 0 v}. Do ó 1 = 2. V y f là m t n c u. Ví d 5. Ánh x tuy n tính g: R4 R3 trong ví d 2, là m t toàn c u vì Img = R3. Ví d 6. Ánh x tuy n tính h: R2 R3 trong ví d 3, là m t n c u vì Kerh = { 0 }. Khi f: V W là m t ánh x tuy n tính thì Kerf là m t không gian con c a V còn Imf là m t không gian con c a W. Tuy nhiên s chi u c a chúng có m i liên quan ch t ch v i s chi u c a không gian ngu n V. 2.2. Liên h gi a s chi u c a nh, h t nhân và không gian ngu n nh lí. Gi s f. V W là m t ánh x tuy n tính. Khi ó, dimV = dimImf + dimKerf. Ch ng thinh. Gi s Imf có c s () = { 1, 2,..., m}. V i m i i ta ch n m t j c nh thu c V sao cho f( j) = j. Khi ó { 1,..., 2,..., m} là m t h vect c l p tuy n tính c a V.

Vì h vect ()

c l p tuy n tính nên r1 = r2... = rm = 0.

G i U là không gian con c a V sinh b i h vect { 1,..., 2,..., m} ta s ch ng minh r ng V = Kerf + U. V i V, ta có f( ) Imf. Vì () là c s c a Imf nên

Do ó

133

i u này có ngha là -

s

j j-1

m

j

Kerf.

Hn n a U Kerf = 0 . Th t v y, n u U Kerf thì, ch ng h n,

Vì () là m t c s c a Imf nên x1 = x2 =... = xm = 0; suy ra = 0 . Do ó U Kerf = 0 . Theo nh lí 2, m c 5.2, Ch.II. dimV = dimU + dimKerf - dim(U Kerf). Nhng dim(U Kerf) = 0 và dimU = m = dimImf. V y dimV = dimImf + dimKerf. Ví d . Cho ánh x tuy n tính f: R4 R2 xác f(a1, a2, a3, a4) = (a1 - a2, a3). Tìm s chi u c a Imf và c a Kerf. Gi i G i () là c s chính t c c a R4. Theo nh lí , m c 2.1, Imf sinh b i h vect f() = {f( 1), f( 2), f( 3), f( 4)}. Do ó ch c n tìm h ng c a h vect (f(). Theo nh ngha c a ánh x f, ta có: nh b i:

H ng(f()) b ng h ng c a ma tr n

134

D th y h ng c a ma tr n này b ng 2. Do ó dimImf = 2. Theo lí trên, ta có: dimKerf = dimR4 - dimImf = 4 - 2 = 2.

nh

Nh nh lí trên, ta có c m i liên h gi a hai không gian vect ng c u. 2.3. S ng c u gi a hai không gian cùng s chi u ng c u khi và ch khi chúng có

nh lí. Hai K-không gian vect cùng m t s chi u.

Ch ng minh. "" Gi s f. V W là m t ng c u. Khi ó f ng th i là m t n c u và m t toàn c u. Do ó Kerf = 0 và Imf = W. Theo nh lí 2.2, dimV = dimW + dimKerf. Vì dimKerf = 0 nên dimV = dimW. "" Gi s dimV = dimW - n , () = { 1,..., 2,..., n} là m t c s c a v, còn () = { 1, 2,..., n} là m t c s c a w. Theo nh lí m c 1.2, có ánh x tuy n tính f: V W s ao cho f( i) = i, v i m i i {1, 2 ,..., n}. Theo nh lí 2.2, Imf cng sinh b i h c s (). Do ó Imf = W; ngha là f là m t toàn c u. Theo nh lí 2.2, dimKerf = dimV - dimImf = dimV - dimW = 0. Theo h qu 2, m c 2.1, f là m t n c u. V y f: V W. H qu . Gi s V và W là hai K-không gian vect. Ánh x tuy n tính f: V W là m t ng c u khi và ch khi nó bi n m t c s c a V thành m t c s c a W.

135

Ch ng minh. Xin dành cho b n

c.

Theo nh lí trên ây, m i R-không gian vect n chi u u ng c u v i không gian Rn. Vì th , mu n nghiên c u các tính ch t chung c a Rkhông gian vect, ch c n nghiên c u trên không gian Rn. i u này cho th y t m quan tr ng c a không gian Rn. §3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P CÁC ÁNH X TUY N TÍNH - HOMK(V, W) Kí hi u t p h p các ánh x tuy n tính t K-không gian vect V n K-không gian vect W b i HomK(V, W). Ta s xác nh các phép toán trên HomK(V, W). 3.1. Phép c ng hai ánh x tuy n tính M nh và nh ngha. V i hai ánh x tuy n tính b t kì f, g HomK(V, W), ánh x f + g: V W xác nh b i:

là m t ánh x tuy n tính. f + g c g i là t ng c a hai ánh x tuy n tính f và g. Ch ng minh. Th t v y, v i , V và v i r, s k, ta có:

V y f + g là m t ánh x tuy n tính. Ví d . Cho f, g HomK(R4, R2), xác nh b i:

Xác Theo

nh f + g. Tìm Im(f + g) và Ker(f + gì. Gi i nh ngha, v i = (a1, a2, a3, a4) tu ý thu c R4, ta có:

136

Nh v y v i m i (x1, x2) R2, n u ch n a1 =

1 x1 và a4 = x2, thì 2

ngha là f + g là m t toàn c u. V y Im(f + g) = R2.

Suy ra

3.2. Phép nhân m t ánh x tuy n tính v i m t s M nh . V i ánh x tuy n tính b t kì f HomK(V, W) và s k K, ánh x kf: V W xác inh b i: là m t ánh x tuy n tính. kf c g i là tích c a ánh x tuy n tính f và s k. V i k = - 1, ánh x (- 1)f c g i là ánh x b i ­ f. Ch ng minh. Xin dành cho b n c. ôi c a f và c kí hi u

Ví d . Cho P2 là không gian vect g m a th c 0 và các a th c có b c bé hn hay b ng 2, thu c R[x], ánh x f: P2 R3 xác nh b i:

Ch ng minh r ng f là m t ánh x tuy n tính và 3f là m t Gi i

ng c u.

· Ta ch ng minh f là m t ánh x tuy n tính. Gi s ax2 + bx + c, a'x2 + b'x+ c' thu c P2 và r, s R. Khi ó

137

r(ax2 + bx + c) + s(a'x2 + b'x + c') = (ra + sa')x2 + (rb + sb')x + rc + sc'. Theo gi thi t f(r(ax2 + bx + c) + s(a'x2 + b'x + c')) = f((ra + sa')x2 + (rb + sb')x + rc + sc') = (ra + sa', -(rb + sb'), -(rc + sc')) = r(a, -b , -c) + s(a', -b', - c') = rf(ax2 + bx + c) + sf(a'x2 + b'x + c'). Theo h qu m c 1.1, f là m t ánh x tuy n tính. ng c u. · Bây gi ta ch ng minh 3f là m t

Tr c h t, n u ax2 + bx + c Ker3f thì (0, 0, 0) = 3f(ax2 + bx + c) = 3(a, -b, -c) = (3a, -3b, -3c). Suy ra 3a = - 3b = - 3c = 0 hay a = b = c = 0. Do ó Kerf= {0}. V y f là m t n c u. V i (r1, r2, r3) R3 , n u ch n a th c

r1 2 r2 r x - x - 3 P2 thì 3 3 3

i u này ch ng t 3f là m t toàn c u. V y f: P2 R3.

3.3. Không gian vect HomK(V, W) M nh . Phép c ng hai ánh x tuy n tính và phép nhân m t ánh x tuy n tính v i m t s tho mãn các tính ch t sau: f+ g = g + f, (f+ g) + h = f+ (g + h); f+ 0 = f trong ó 0 là f+ (- t) = 0; k(f+ g) = kf+ kg; (k + 1)f = kf + lf, (k1)f= k(1f);

138

ng c u không;

1f= f, v i m i f, g, h thu c HomK(V, W), k, 1, 1 thu c tr ng K. Nói cách khác HomK(V, W) là m t K-không gian vect. Ch ng minh. V i các nh ngha c a hai phép toán nói trên, b n có th d dàng ki m tra các tính ch t này. 3.4. Tích hai ánh x tuy n tính M nh 1. Gi s f: V W, g: W~ Um hai ánh x tuy n tính. Th thì ánh x gf : V U xác nh b i (gf)( ) = g(f( )), v i m i V, cng là m t ánh x tuy n tính. Nó c g i là tích c a hai ánh x tuy n tính f và g. Ch ng minh. Vì f và g là nh ng ánh x tuy n tính nên v i , V và v i r, s K, ta có: c

i u này ch ng t gf là m t ánh x tuy n tính. Ví d . Cho f. R3 R4. g: R4 R2 xác nh b i:

Khi ó ánh x tuy n tính gf c xác

nh b i:

Ta th y r ng tích gf ch c xác nh khi t p ngu n c a g là t p ích c a f. Do ó n u V W thì, nói chung, trong HomK(V, W) không có khái ni m tích nói trên c a hai ánh x tuy n tính. M nh 2. Gi s f, g , h là nh ng ánh x tuy n tính. Khi ó:. h (gf) = (hg)f, h(f + g) = hf + hg, (f + g)h = fh + gh, n u các phép toán hai v c a ng th c u có ngha. Ch ng minh. ng th c th nh t là úng i v i ba ánh x b t kì. Ta ph i ch ng minh hai ng th c còn l i. làm ví d , ch ng minh

139

ng th c h(f + g) = hf + hg. Gi s f, g: U V, h: V W, ta ph i ch ng t r ng h(f + g)( ) = (hf + hg)( ), v i m i U. Theo cách xác nh t ng hai ánh x , ta có (f + g)( ) ­ f( ) + g( ). Theo cách xác nh c a tích hai ánh x ta có:

Vì h là m t ánh x tuy n tính nên: L i theo L i theo K tc c V y B n nh ngha c a tích hai ánh x , ta c: nh ngha c a t ng hai ánh x : h(f + g)( ) = (hf + hg)( ), v i m i U. h(f + g) = hf + hg. c t ch ng minh ng th c còn l i.

140

TÓM T T V, W, U là nh ng K-không gian vect. f: V W, là m t ánh x tuy n tính n u f( + ) - f( ) + f( ), f(r ) = rf( ) hay f(r ) + s ) = rf( ) + sf( ) , v i m i , V, m i r, s K. N u () = { 1, n} là m t c s c a v thì m i h vect { 1,..., n} c a W xác nh duy nh t m t ánh x tuy n tính f : V W sao cho f( i) = i, v i m i i {1,..., n}. f là m t n c u n u nó là m t n ánh, là m t toàn c u n u nó là m t toàn ánh và là m t ng c u n u nó ng th i là n c u và toàn c u. f: V W dimV = dimW. Ánh x tuy n tính f t o nên m i liên h gi a t p các không gian con c a V và t p các không gian con c a W. A là m t không gian con c a V thì f(A) = { W | = f( ) v i m t A} là m t không gian con c a W. B là m t không gian con c a W thì: f l i) = { V | f( ) B } là m t không gian con c a V. Imf = f(V) c g i là nh c a V hay nh c a f, Kerf = f-1{ 0 w} c g i là h t nhân c a f. N u { 1, 2, ,..., m} là m t h sinh c a không gian vect V thì {( 1), f( 2), ,..., f( m)} là m t h sinh c a Imf. f : V W là m t toàn c u khi Imf = W, hà m t n c u Kerf = { 0 }. dimV = dimImf + dimKerf. HomK(V, W) là t p các ánh x tuy n tính t V HomK(V, W), k K, n W. V i f, g

141

f + g xác kf xác

nh b i: (f + g) ( ) - f( ) + g( ),

nh b i: (kf)( ) = kf( ), v i m i V.

N u f : V W và g: f : W U thì (gf)( ) - g(f( )), v i m i V.

142

BÀI T P §1. TÍNH NH NGHA - S XÁC NH M T ÁNH X TUY N

1. Trong các ánh x sau ây, ánh x nào 1à ánh x tuy n tính? a) f: R3 R3 xác b) g: R3 R3 xác d) k: R3 R2 xác f) P: R3 R2 xác g) q: R3 R4 xác h) t: R3 R3 xác 2. Trong các ánh x ng c u ? nh b i f(a1, a2, a3) = (a1, 0, 0), nh b i g(a1, a2, a3) = (a1, 0, a1-a2); nh b i k(a1, a2, a3) = (a1, a2 + a3); nh b i p(a1, a2, a3) = (a1, 3a2); nh b i q(a1, a2, a3) = (a1, a1-a2, 0, a2-a3); nh b i t(a1, a2, a3) = (a1, a1 + a2,a3) ? bài t p 1, ánh x nào 1à n c u, toàn c u,

c) h: R3 R3 xác d nh b i h(a1, a2, a3) = (a1, a2-2 , 0); e) l: R3 R2 xác d nh b i l(a1, a2, a3) = (a1, a2a3);

3. Cho 1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1) 1 p thành c s chính t c c a R3 và ba vect 1 = (1, 2, 0), 2 = (1, 0, -1), 3 (0, - 2, 2). Ánh x tuy n tính f : R3 R2 c xác nh b i f( i) = i = 1, 2, 3. Tìm nh c a các vect = (- 3, 0, 5), = (2, 2, - 7), = (0, 5, 0) , = (x1, x2, x3). 4. Cho các vect 1 = (2, 3, 1), 2 = (0, 1, 2), 3 = (1, 0, 0), 1 = (1, 1, -1), 2 = (1, 1, 1), 3 = (2, 1 , 2). Ch ng minh r ng t n t i duy nh t m t ánh x tuy n tính f : R3 R3 sao cho f( i) = i. Tìm f(1, 0, 0). 5. Cho ánh x tuy n tính f : R3 R3 tho mãn i u ki n: f(1, 1, 0) = (1, -1 0) , f(1, 0, 1) = (2, 0, 1), f(0, - 1, 0) = (0, - 2, 0). Tìm sao cho: f( ) - (3, 0, 0). 6. Cho ánh x tuy n tính f : V W và h vect a = { 1, 2,..., m} trong V. Ch ng minh r ng n u h vect {f( 1), ( 2),..., ( m)} c l p tuy n tính thì h a cng c l p tuy n tính.

143

7. Cho V, W là hai K-không gian vect, f : V W là m t n c u và h vect a = { 1, 2,..., m} c l p tuy n tính trong V. Ch ng minh r ng h vect {f( 1), ( 2),..., ( m)} c l p tuy n tính trong W. 8. Cho V, W là hai K-không gian vect, f : V W là m t toàn c u và h vect b = { 1, 2,..., m} c l p tuy n tính trong W. V i m i i ta ch n m t ã ; c nh sao cho f( i) = i - 1, 2,..., m. Ch ng minh r ng: c l p tuy n tính trong V. ng c u. a) H vect a = { 1, 2,..., m}

b) N u h vect a là m t c s c a V thì f là m t

§2. NH VÀ H T NHÂN C A ÁNH X TUY N TÍNH 9. Xét các ánh x tuy n tính trong bài t p 1. a) Tìm nh và h t nhân c a m i ánh x . b) Nh nh và h t nhân suy ra ánh x nào là n c u, là toàn c u. c) Tìm s chi u c a nh, c a h t nhân c a m i ánh x . 10. Cho P2 là R-không gian vect g m a th c 0 và các a th c f(x) R[x] v i b c f(x) 2. d: P2 P2 xác nh b i d(f(x)) = f '(x), ây f'(x) là o hàm c a f(x). Tìm Imd, Kerd, dimImd, dimKerd. 11. Cho A và B là hai K-không gian vect. V = A × B là K-không gian vect v i hai phép toán sau: ( 1, 1) + ( 2, 2) = ( 1 + 2, 1+ 2), k( , ) = (k , k ). (xem bài t p 5, Ch. II) Ch ng minh r ng: a) Ánh x p: V A xác Kerd. b) Ánh x u: B V xác Imu. nh b i p( , ): là m t toàn c u. Tìm nh b i u( ) = ( 0 , ) là m t n c u. Tìm

12. Cho f. V W là m t toàn c u, { 1,..., r} là m t c s c a Kerf. B sung vào h vect này c m t c s { 1,..., r, r+1,..., n} c a V. Ch ng minh r ng:

144

a) H vect {f( r+1),..., f( n)}là m t c s c a W. b) G i U là không gian con sinh b i h vect { r+1,..., n}. Ch ng minh r ng f|U: U W là m t ng c u.

§3. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC ÁNH X TUY N TÍNH 13. Trong m i tr ng h p d i ây hãy xác nh f + g, f - g, fg, gf r i tìm nh, h t nhân, s chi u c a nh, s chi u c a h t nhân c a chúng: a) f: R3 R3 , f(a1, a2, a3) = (a1, a2, 0), g: R3 R3 , g(a1, a2, a3) = (ai- a2' 0, a3). b) f: R2 R2 , f(a1, a2) = (a1 + a2, a1 - a2), g: R2 R2 , g(a1, a2) = (2a1, 0). 14. Cho f. R4 R3, g: R3 R2, trong ó f(a1, a2, a3, a4) = (a1 + a2, a3, a4), g(a1, a2, a3) = (a1, a2 - a3,). a) xác inh ánh x gf. b) Tìm Imgf, Kergf. c) gf có ph i là m t toàn c u không? 15. Ch ng minh r ng: a) Tích c a hai n c u là m t n c u; b) Tích c a hai toàn c u là m t toàn c u; c) Tích c a hai ng c u là m t ng c u. 16. T ng c a hai n c u có ph i là m t n c u không? Cho ví d minh h a câu tr l i. Cùng câu h i i v i hai toàn c u. 17. Cho f. U V, g: V W là hai ánh x tuy n tính. Ch ng minh r ng: a) N u gf là m t n c u thì f là m t n c u; b) N u gf là m t toàn c u thì g là m t toàn c u. 18. Cho f: V W là m t ánh x tuy n tính. Ch ng minh r ng: a) N u f là m t n c u thì t n t i m t toàn c u g: W V sao cho gf

145

= Iv, (1v là

ng c u

ng nh t trên V).

b) N u f là m t toàn c u thì t n t i m t n c u g: W V sao cho fg = 1w, (1w là ng c u ng nh t trên W). 19. Cho f, g HomK(V, W). Ch ng minh r ng: a) Ker(kf) + g) Kerf Kerg; b) Ker(kf) = Kerf v i m i k K, k 0. 20. Cho f. U V, g: V W là hai ánh x tuy n tính. Ch ng minh r ng: a) Im(gf) = g(Imf); b) Ker(gf) = f-1(Kerg). 21. Cho f: V W là m t ánh x tuy n tính, A là m t không gian con c a V, B là m t không gian con c a W. Ch ng minh r ng: a) f -1(f(A)) = A + Kerf, b) f(f-1(B)) = W Imf. R4 22. (Bài t p t ng h p) Cho f và g là hai ánh x t không gian vect n R4 xác nh l n l t b i : f(a1, a2, a3, a4) = (a1, a2, - a3, a4), g(a1, a2, a3, a4) = (2a1, a2, a3, - a4). a) ch ng minh r ng f và g là nh ng t ng c u c a R4. b) Kí hi u h = f + g. Ánh x tuy n tính h có ph i là m t n c u, m t toàn c u không? c) Tìm m t c s () c a Kerh và m t c s () c a Imh. d) V i m i vect j trong c s c a Imh ta ch n m t j sao cho h( j) = j. G i U là không gian vect sinh b i các vect j v a ch n. Ch ng minh r ng R4 là t ng tr c ti p c a U và Kerh (xem bài t p 28, Ch. II). e) Tìm vect (x1, x2, x3, x4) sao cho gf(x1, x2, x3, x4) = (- 2, 0, 1, 0). f) G i W là không gian con c a R4 sinh b i hai vect 1 = (0, 2, -1, 0), 2 = (1, 0, 1, 0). Tìm m t c s c a f-1(w). Tìm m t c s c a g(w).

146

VÀI NÉT L CH S Nh ã nói trong m c vài nét l ch s c a chng II, m t trong nh ng ng i sáng t o ra khái ni m không gian vect là nhà toán h c c tên là Hermann Gunther Grassmann. Sau ó, Peano, nhà toán h c ng i Italia vào nm 1888, ã a ra nh ngha tiên c a không gian vect (h u h n chi u ho c vô h n chi u) trên tr ng s th c v i các kí hi u hoàn toàn hi n i, ông cng ã nh ngha khái ni m ánh x tuy n tính t m t không gian này vào m t không gian khác. Peano là m t trong s nh ng ng i sáng l p phng pháp tiên , và cng là m t trong s nh ng ng i u tiên ánh giá úng n giá tr c a nh ng c ng hi n c a Grassmann. Sau ó ít lâu, Pinkerle ã th phát tri n nh ng ng d ng c a i s tuy n tính vào lý thuy t hàm. i u ó giúp ông tìm hi u c nh ng tr ng h p "liên h p Lagrange c bi t" c a nh ng ánh x tuy n tính liên h p và nó ã mau chóng nh h ng n không nh ng vi c nghiên c u phng trình vi phân mà c phng trình o hàm riêng. K t qu c a Pinkerle c th hi n trong các công trình c a Hilbert và tr ng phái c a ông v không gian Hilbert, và cng c th hi n trong các ng d ng c a chúng vào gi i tích. Cng nh ánh x tuy n tính, vào nm 1922, Banach ã nh ngha không gian mà sau này mang tên ông; ó là nh ng không gian không ng c u v i không gian liên h p v i nó.

147

Chng IV H PHNG TRÌNH TUY N TÍNH

M

U

N i dung giáo trình toán tr ng Ph thông là các t p h p s , a th c, phân th c, hàm s và phng trình, trong ó có phng trình b c nh t. ó m i ch nghiên c u cách gi i h phng trình b c nh t hai n. M t trong nh ng phng h ng m r ng toán h c ph thông là t ng quát hoá h phng trình b c nh t. ó là h phng trình tuy n tính. Chng này s trình bày lý thuy t t ng quát v h phng trình này. Ta s th y ây không òi h i m t i u ki n nào v s phng trình, s n. Lý thuy t này r t quan tr ng và nó c hoàn thi n nh không gian vect và nh th c. Nó có nhi u ng d ng không nh ng trong nhi u ngành toán h c khác nh: i s , Hình h c; Gi i tích; Lý thuy t phng trình vi phân, phng trình o hàm riêng; Quy ho ch tuy n tính, mà còn trong nhi u lnh v c khoa h c khác và c trong kinh t . N i dung c a chng này là: i u ki n có nghi m c a m t h phng trình tuy n tính t ng quát, - Phng pháp gi i; - H phng trình tuy n tính thu n nh t; - M i liên h gi a nghi m c a h t ng quát v i h thu n nh t. ó cng là nh ng v n mà b n c c n n m v ng. B n c c n gi i nhi u bài t p có k nng gi i các h phng trình và có th v n d ng chúng trong khi nghiên c u các môn khoa h c khác ho c ng d ng vào th c t . hi u c c n k lý thuy t h phng trình tuy n tính, b n c c n n m v ng nh ng i u c b n v không gian vect nh c s , h ng c a h vect, h ng c a ma tr n. gi i c các h phng trình tuy n tính c n có k nng tính nh th c.

148

§1. PHNG TRÌNH TUY N TÍNH - PHNG PHÁP GAUSS Tr c h t, ta nh c l i nói n m c 6.1, Ch.I. 1.1. nh ngha. nh ngha h phng trình tuy n tính ã c

1) H phng trình tuy n tính n n là h có d ng:

trong ó x1, x2,..., xn là các n; aij, bi thu c tr ng s K, v i i {1, 2,..., m}, j {1, 2,..., n}. aij c g i là h s c a n xj, bi c g i là h ng t t do. 2) M t nghi m c a h (1) là m t b n s (c1, c2,..., cj,..., cn) thu c tr ng K sao cho khi thay xj = cj thì m i ng th c trong h (1) u là nh ng ng th c s úng. 3) Ma tr n

c g i là ma tr n các h s c a h phng trình. Ma tr n

c g i là ma tr n b sung c a h phng trình. 4) Hai h phng trình tuy n tính c g i là tng ng nên

149

chúng có cùng m t t p nghi m. Ta có th vi t g n h phng trình (1) d i d ng:

· N u coi m i c t c a ma tr n B nh m t vect trong không gian Km, ch ng h n:

thì có th vi t h (1) d i d ng:

và g i ó là d ng vect c a h (1). Nh v y, v i ngôn ng không gian vect gi i h phng trình (1) là tìm các h s x; trong cách bi u di n tuy n tính qua h vect { 1 , 2,..., n}. · N u xét ánh x tuy n tính a xác nh b i h vect c t a = { 1, 2, n} c a ma tr n A, nh ã nh ngha ví d 4, m c 2.1, Ch.III và coi = (x1, x2,..., xn) nh m t vect n thì h phng trình (1) có d ng:

A () =

ó là d ng ánh x tuy n tính c a h (1). Gi i h phng trình (1) cc ngha là tìm t p các vect có d ng = (c1, c2,..., cn) Kn sao cho a( ) = , hay tìm a-1( ). 1.2. Gi i h phng trình tuy n tính b ng phng pháp Gauss (kh d n n s ) tr ng Ph thông ta ã bi t gi i h phng trình b ng phng pháp c ng i s . Phng pháp này d a vào nh lí sau ây v bi n i tng ng h phng trình. nh lí. 1) N u i ch m t phng trình trong h thì c m t h tng ng v i h ã cho. 2) N u nhân m t phng trình v i m t s khác 0 thì c m t h tng ng v i h ã cho.

150

3) N u nhân m t phng trình v i m t sôi khác 0 r i c ng vào m t phng trình trong h thì c m t h tng ng v i h ã cho. Ch ng minh. Xin dành cho b n c. D a vào nh ng phép bi n i này ta có th kh d n n s c a h ; nói chính xác hn là, bi n h ã cho thành m t h tng ng, trong ó các phng trình càng v cu i thì s n càng ít. Ví d 1. Gi i h phng trình:

Gi i Nhân hai v c a phng trình (1) l n l t v i - 2, - 3 r i c ng l l t vào phng trình (2) và phng trình (3), ta c h :

Nhân hai v c a phng trình (4) v i - 4 r i c ng vào phng trình (5) c:

T (6) suy ra x3 = - 2. Thay x3 = - 2 vào phng trình (4) ta tính c x2 = 0. Thay x2 = 0, x3 = - 2 Vào phng trình (1) ta tìm c x1 = 1. H có nghi m duy nh t (1, 0, - 2). Phng pháp gi i trên ây c g i là phng pháp kh d n n s do K. Gauss xu t nên còn g i là phng pháp Gauss. C th , khi th c hi n phng pháp này ta ch th c hi n các phép bi n i sau ây trên các dòng c a ma tr n b sung B c a h phng trình: a) i ch hai dòng cho nhau;

151

b) Nhân các thành ph n c a m t dòng v i cùng m t s khác 0;

c) Nhân các thành ph n c a m t dòng v i cùng m t s r i c ng vào m t dòng khác. ó là nh ng phép bi n Ch.II. Ch ng h n, sau: i s c p trên ma tr n ã nói n m c 7.4,

gi i h phng trình trong ví d 1, ta trình bày nh

(Ph n c a ma tr n

ng bên trái g ch th ng

ng là ma tr n A)

Nhân dòng th nh t l n l t v i - 2, - 3, r i l n l t c ng vào dòng th hai và dòng th ba:

Nhân dòng th hai v i - 4 r i c ng vào dòng th ba:

Ma tr n cu i cùng chính là ma tr n b sung c a h phng trình cu i cùng. Ví d 2. Gi i h phng trình:

152

Gi i

i ch dòng th nh t và dòng th hai cho nhau:

Nhân dòng th nh t l n l t v i - 4, - 2, - 4, r i l n l t c ng vào các dòng th hai, th ba, th t:

Nhân dòng th ba v i - 1 r i c ng l n l t vào dòng th hai và dòng

Nhân dòng th hai v i - 5 r i c ng vào dòng th ba:

Ma tr n này là ma tr n b sung c a h phng trình:

153

Rõ ràng m i nghi m c a h ba phng trình u c a h này u là nghi m c a phng trình cu i cùng. Do ó ch c n gi i h g m ba phng trình u. H có nghi m duy nh t: (1, 2, -1). Ví d 3. Gi i h phng trình:

Gi i

i ch dòng th nh t v i dòng th ba r i ti p t c bi n

i ta c:

Ma tr n cu i cùng ng v i h phng trình:

154

Ta l i ch c n gi i h g m hai phng trình Vi t nó d i d ng:

u c a h này.

N u cho x3 = c3, x4 = c4, v i c3, c4 thu c tr ng s K thì v ph i c a m i phng trình trong h này là m t s và h tr thành m t h Cramer vì nh th c c a nó là ng th c:

1 1 = - 2 0. Do ó x1, x2 c xác 0 -2

nh duy

nh t b i các

Nh v y h phng trình có nghi m là :

Vì c3, c4 có th nh n giá tr tu ý trong K nên h có vô s nghi m và nói (*) là nghi m t ng quát c a h . N u cho c3, c4 m t giá tr c th thì ta c m t nghi m riêng c a h . Ch ng h n, v i c3 = 0, c4 = 1, ta c m t nghi m riêng là (-1, - 2, 0, 1). Ví d 4. Gi i h phng trình:

Gi i B n c hãy t tìm hi u nh ng phép bi n i sau:

155

Ma tr n cu i cùng ng v i h phng trình tng ng v i h phng trình ã cho mà phng trình cu i cùng là: 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = - 1 2. Phng trình này vô nghi m. V y h ã cho vô nghi m. 1.3. Th c hi n phng pháp Gauss trên máy tính i n t Qua các ví d trên, ta th y vi c gi i h phng trình tuy n tính b ng phng pháp Gauss c th c hi n b ng cách a ma tr n b sung B c a h v d ng mà ta t m g i là "d ng thu g n". Do ó gi i h phng trình tuy n tính b ng phng pháp này trên máy tính th c ch t là yêu c u máy tính a ma tr n B v d ng thu g n. Ví d 1. Gi i h phng trình:

Gi i T o ma tr n b sung B r i thu g n: {{1, - 5, 4, - 7}, {2, - 9, -1, 4}, {3, - 11, - 7, 17}} //RowReduce// MatrixForm Màn hình xu t hi n: Out[] =

156

v y nghi m c a h phng trình là (1, 0, - 2) vì ma tr n này ng v i h Phng trình:

Ta ti p t c gi i l i các h phng trình trong các ví d 2, 3, 4 c a m c 1, 2. Ví d 2. Gi i h phng trình:

Gi i. {{4, 2, 1, 7}, {1, -1, 1, -2}, {2, 3, - 3, 11}, {4, 1, - 7}}//RowReduce// MatrixForm Màn hình xu t hi n: Out[] =

Nghi m c a h là: (1, 2, -1). Ví d 3. Gi i h phng trình:

Gi i {{3,-1,-1,2,1},{1,-1,-2,4,5}, {1,1,3,-6,-9},

157

{12,-2,1,-2,-10}}//RowReduce//MatrixForm Màn hình xu t hi n:

Ma tr n này ng v h phng trình:

Cho x3 = c3, x4 = c4, suy ra nghi m t ng quát c a h là:

Ví d 4. Gi i h phng trình:

{{4,2,1,-3,7},{1,-1,1,2,5},{2,3,-3,1,3},{4,1,-1,5,1}} //RowReduoe//MatrixForm Màn hình xu t hi n: Out[] =

158

H vô nghi m vì ma tr n này cho th y phng trình cu i là 0x1 + 0x2 + 0x3 + ox4 = 1. §2. DI U KI N H PHNG TRÌNH TUY N TÍNH CÓ NGHI M Ta ã dùng phng pháp Gauss gi i m t h phng trình tuy n tính tu ý. Song trong tr ng h p t ng quát ta cha tr l i câu h i: V i i u ki n nào thì h (1) có nghi m? nh lí sau cho ta câu tr l i. 2.1. i u ki n có nghi m i u ki n này liên quan n h ng c a ma tr n A và ma tr n b sung B c a h phng trình, cho nên ta c n nh l i r ng: H ng c a m t h vect b ng s chi u c a không gian sinh b i h vect y; h ng c a ma tr n b ng h ng c a h vect c t c a nó. nh lí Kronerker-Capelli. H phng trình tuy n tính (1) có nghi m khi và ch khi h ng(A) = h ng(B). Ch ng minh. Ta kí hi u a = { 1, 2, ,..., n} là h vect c t c a ma tr n A, b = { 1, 2, ,..., n , } là h vect c t c a ma tr n b sung B c a h phng trình (1), U là không gian sinh b i h vect a, W là không gian sinh b i h vect b. Vì a b nên U W. "" Gi s h có nghi m (c1, c2,..., cn). Khi ó = c1 1+ c2 2 +...+ cn n. i u này có ngha là ta ã thêm vào h a vect là t h p tuy n tính c a h a c h b. Theo m nh m c 7.1, Ch.II, h ng(A) = h ng(a) = h ng(b) = h ng(B). "" Gi s h ng(A) - h ng(B). Th thì h ng(a) - h ng(b). Suy ra dimU = dimW. Vì U W nên theo nh lí 1, m c 5.2, Ch.II, U = W.

159

Do ó U. Vì th t n t i b n s (c1, c2,..., cn) sao cho = c1 l + c2 2 +... + cn n. V y h (1) có nghi m. Ví d 1. M i h Cramer u có nh th c |A| 0. Do ó h ng(a) = n. Ma tr n B ch có n dòng và |A| cng là nh th c con c p cao nh t khác 0 c a B. Vì th h ng(A) = h ng(B). V y m i h Cramer u có nghi m. Ví d 2. Xét h phng trình trong ví d 3 c a m c 1.3. Các phép bi n i s c p a các ma tr n A và B v d ng thu g n sau ây:

Theo nh lí m c 7.4, Ch.II, các phép bi n i s c p không làm thay i h ng c a ma tr n. Do ó ma tr n này cho th y h ng(A) = 2 = h ng(B). V y h ã cho có nghi m. Ví d 3. Xét h phng trình trong ví d 4 c a m c 1.3. Các phép bi n i s c p a các ma tr n A và B v d ng thu g n sau ây:

Ta th y h ng(a) = 3, h ng(b) = 4. H vô nghi m. 2.2. Gi i h phng trình tuy n tính b ng nh th c

Bây gi ta nghiên c u cách gi i h phng trình tuy n tính (1) b ng nh th c. Ta ã bi t nh th c con c p cao nh t khác 0 c a ma tr n A cho ta bi t s chi u và c s c a không gian sinh b i h vect dòng c a ma tr n

160

A. Gi s h ng(A) = h ng(B) = r, và không làm m t tính t ng quát, ta có th gi thi t nh th c con c p cao nh t khác 0 c a A và B là:

N u r = n thì h phng trình ã cho là m t h Cramer, nó có nghi m duy nh t. N u r < n thì ta xét h phng trình g m r phng trình u.

M i vect dòng c a ma tr n b sung B u là t h p tuy n tính c a r vect dòng u. Vì th m i nghi m c a h (3) cng là nghi m c a m i phng trình t th r + 1 n th m; do ó là nghi m c a h (1). Ng c l i, hi n nhiên m i nghi m c a h (1) là m t nghi m c a h (3). Vì th ch c n gi i h (3). Ta vi t nó d i d ng:

và g i các n xr+1,..., xn là nh ng n t do. V i m i b n - r s (cr+1,..., cn) Kn-r các v ph i c a r phng trình này là nh ng h ng s . Vì nh th c D 0 nên khi ó h (3) tr thành m t h Cramer, ta tìm c giá tr duy nh t c a x1,..., xr, ch ng h n, x1 = c1, x2 = c2,..., xr = c=. Khi ó

là m t nghi m c a h (4). Nh v y các giá tr c a c1, c2,..., cr ph thu c vào n - r tham s cr+1,..., cn. Do cr+1,..., cn có th nh n vô s giá tr nên h phng trình (4) có vô s nghi m.

161

V y khi r < n h (1) có vô s nghi m ph thu c vào n - r tham s . N u coi r ng cr+1,..., cn nh n giá tr tu ý thì nghi m (c1, c2,..., cr, cr+1) c g i là nghi m t ng quát. N u cho m i cj, j = r + 1,... , n, m t giá tr xác nh thì ta c m t nghi m riêng. Ví d 1. Gi i h phng trình:

Gi i Tìm h ng c a các ma tr n:

1 -5 1

nh th c D = 2

2

4 1

0 = 36. Do ó h ng(A) = 3. 3

tính h ng c a B ta ch c n tính các D. ó là:

nh th c con c a B bao quanh

Vì th h ng(B) = 3 = h ng(B). V y h có nghi m. Gi i h phng trình (g m các phng trình ng v i các dòng c a nh th c D):

162

ó là m t h Cramer vì D 0. Áp d ng công th c Cramer ta tìm c nghi m là: (1, - 2, 1). Ví d 2. Gi i h phng trình trong ví d 3 m c 1.2.

Gi i Tìm h ng c a các ma tr n:

Ta th y

nh th c

Tính các nh th c con c p ba c a A bao quanh D. Chúng u b ng 0. Do ó h ng(A) = 2. Làm tng t ta tìm c h ng(B) = 2. V y h có nghi m. Gi i h (g m các phng trình ng v i các dòng c a nh th c D):

Vi t h này d i d ng:

Cho x3 = c3, x4 = c4, ta có h Cramer:

163

N u cho, ch ng h n, c3 = 0, C4 = 1 thì c m t nghi m riêng: (-1, 2, 0, 1). Ví d 3. Gi i và bi n lu n h phng trình:

Gi i

· N u a 1, a - 2 thì D 0, h H có nghi m duy nh t:

ã cho là m t h Cramer.

Dx = - (a -1)2(a+1), Dy = (a ­ 1)2, Dz = (a2-1)2.

· N u a - 1 thì h phng trình ch có m t phng trình: x + y + z = 1 hay x = - y - z + 1. Nghi m t ng quát c a h là (- c2 - c3 + 1, c2, c3). · N u a = - 2 thì ma tr n

164

nh th c b ng 0 nhng có

nh th c con

-2

1

-2

1 1

-2

1

- 2 có

còn ma tr n b

-2

sung B =

1 1

nh th c c p ba

1

4

1 1

1 4

1 1

- 2 - 2 =9 ; ngha là h ng(B) = 3 h ng(A).

V y h vô nghi m.

§3. H PHNG TRÌNH TUY N TÍNH THU N NH T 3.1. nh ngha

Cho h phng trình tuy n tính:

H phng trình

c g i là h thu n nh t liên k t v i h (1).

165

N u vi t d i d ng vect thì h (1) và h (2) có d ng tng ng là:

N u vi t d i d ng ánh x tuy n tính thì h (1) và h (2) có d ng tng ng là: A( ) = (1), a( ) = 0 (2).

Gi i h thu n nh t (2) chính là tìm t p h p các vect có d ng = (c1, c2,..., cn) Kn sao cho a( ) = 0 , hay tìm Kerha. Ví d : H phng trình:

là m t h phng trình tuy n tính thu n nh t. Rõ ràng h phng trình tuy n tính thu n nh t có m t nghi m là (0, 0, 0). Nó c g i là nghi m t m th ng. N u A là ma tr n các h s còn B là ma tr n b sung c a h thu n nh t thì ta luôn luôn có: h ng(A) = h ng(B) vì m i thành ph n c t cu i c a ma tr n B u b ng 0. Gi s h ng(A) = r. N u r = n thì (0, 0,... , 0) là nghi m duy nh t. N u r < n thì h có vô s nghi m, do ó h có nghi m khác (0, 0,..., 0). Bây gi , ta hãy xét xem t p nghi m c a h này có c u trúc nh th nào và nghi m c a nó liên quan v i nghi m c a h phng trình tuy n tính liên k t nh th nào. 3.2. Không gian nghi m c a h thu n nh t nh lí. Gi s S là t p nghi m c a h phng trinh tuy n tính thu n nh t (2). Khi ó: 1) S là m t không gian con c a không gian vect Kn. 2) N u A là ma tr n các h s và h ng(A) = r thì dimS = n - r. Ch ng minh. 1) Xét h tuy n tính thu n nh t (2) d i d ng ánh x tuy n tính. Nh trong nh ngha 3.1 ã nói, t p nghi m S = Kera. Theo h qu 1, m c

166

2.1, Ch.III, S = Kera là m t không gian con c a không gian Kn. 2) Gi s h ng(A) = r. Theo ví d 4, m c 2.1, Ch. III, Ima là không gian sinh b i h vect c t c a ma tr n A nên t nh lí 2.2, Ch.III, suy ra: dimS = dimKera = dimKn ­ dimIma = n - h ng(a) = n - h ng(A) = n r. nh ngha. M i c s c a không gian S các nghi m c a m t h phng trình tuy n tính thu n nh t c g i là m t h nghi m c b n. tìm h nghi m c b n c a h phng trình tuy n tính thu n nh t (2) ta làm nh sau. Gi s r < n và không làm m t tính t ng quát ta có th gi thi t r ng nh th c con c p cao nh t khác 0 c a ma tr n A là

Khi ó h (2) tng ng v i h

M i nghi m c a h ph thu c vào n - r n t do: xr+1, xr+2,.., xn. Cho xr+1 = 1 xr+2 = ... = xn = 0 ta c m t nghi m có d ng: 1 = (c11, c12,..., c1r, 1, 0,..., 0). L n l t cho xr+1 = 0, xr+2 = 1, xr+1 = ... = xn = 0, v.v... K t c c, ta c n - r nghi m riêng:

ó là n - r vect thu c S. Ma tr n mà các dòng là nh ng vect này có nh th c con c p n - r

167

Do ó h ng c a h vect { 1, 2,..., n-r} b ng n - r. V y h cl p tuy n tính. Vì dimS = n - r nên theo h qu , m c 5.1, Ch.II, h vect này là m t c s c a S. V y h nghi m { 1, 2,..., n-r} là m t h nghi m c b n. Chú ý: Trong cách tìm j c a h nghi m c b n trên ây, không nh t thi t ph i ch n xr+j = 1, mà có th ch n xr+j là m t s khác 0 nào ó thu n ti n cho vi c tính toán. Ví d 1. Tìm h nghi m c b n c a h phng trình:

Ma tr n các h s có

nh th c con c p hai

H phng trình ã cho tng ng v i h :

Các n t do là x1, x4. Gi i h này ta c:

Cho x1 = 1, x4 = 0, ta c x2 = -2, x3 = 0. Nghi m riêng tng ng là (1, -2, 0, 0). Cho x1 = 0, x4 = 1, ta c x2 =

2 5 x3 = . Nghi m riêng tng ng 3 3

168

là (0,

2 5 , , 1). 3 3

V y h nghi m c b n là:

N u khi tìm vect th hai c a h nghi m c b n ta cho x1 = 0, x4 = 3 thì ta c nghi m riêng tng ng là (0, 2, 5, 3) và h vect

cng

c l p tuy n tính vì có

nh th c con

1 -2 = 2.Vì dimS = 2 nên 0 2

h vect này cng là m t c s c a S; do ó nó cng là m t nghi m c b n. Chú ý: Bi t m t h nghi m c b n { 1, 2,..., n-r} c a h phng trình tuy n tính thu n nh t là bi t t t c các nghi m c a nó vì khi ó m i nghi m là m t t h p tuy n tính c a h nghi m c b n này; t c là m i nghi m u có d ng

Ví d 2. Gi i h phng trình sau b ng phng pháp Gauss, r i tìm h nghi m c b n c a h phng trình:

Bi n

i ma tr n A:

169

H

ã cho tr thành h tng ng:

Nghi m t ng quát c a h là (c3 - c4, 2c3 + c4, c3, c4) cho x3 = 1, x4 = 0, ta c m t nghi m riêng: (1, 2, 1, 0). Cho x3 = 0, X4 = 1, ta c m t nghi m riêng: (-1, 1, 0, 1). H nghi m c b n là:

(1, 2, 1, 0) (-1, 2, 0, 1)

Ta xét ti p m i liên h gi a các nghi m c a h phng trình tuy n tính và c a h thu n nh t liên k t. Nh c l i r ng m i nghi m c a m t h phng trình tuy n tính n n là m t vect c a không gian K t. 3.3. Liên h gi a nghi m c a h phng trình tuy n tính và nghi m c a h thu n nh t liên k t nh lí. N u Kn là m t nghi m riêng c a h phng trình tuy n tính thì m i nghi m c a h này là t ng c a v i m t nghi m c a h thu n nh t liên k t. Nói chung, nghi m t ng quát c a h phng trình tuy n tính b ng t ng c a m t nghi m riêng c a nó và nghi m t ng quát c a h thu n nh t liên k t. Ch ng minh. Gi s = (c1, c2,..., cn) là m t nghi m riêng c a h phng trình tuy n tính (1) và = (d1, d2,..., dn) là m t nghi m b t kì c a

170

h thu n nh t (2). Khi ó:

i u này có ngha là + = (c1 + d1, c2 + d2,..., cn + dn) là m t nghi m c a h phng trình tuy n tính (1). Ng c l i, gi s

= (k1, k2,..., kn) là m t nghi m tu ý c a h

phng trình tuy n tính (1); ngha là

k

j j=1

n

j

=B

i u này có ngha là là m t nghi m c a h thu n nh t (2). Hn n a t = - Suy ra = + . Chú ý. Ý ngha c a nh lí trên ây là: N u bi t m t nghi m riêng c a m t h phng trình tuy n tính và bi t m t h nghi m c b n c a h thu n nh t liên k t thì bi t c t t c các nghi m c a h phng trình tuy n tính y. Nh i u này mà máy tính có th gi i h phng trình tuy n tính tu ý. 3.4. Gi i h phng trình tuy n tính b ng máy tính i n t Khi gi i h phng trình tuy n tính (1) v i h ng(A) h ng(B) máy tr l i h vô nghi m. Khi h ng(A) - h ng(B) - r < n thì máy ch có th cho m t nghi m riêng. Nhng vì máy có th cho h nghi m c b n c a h thu n nh t liên k t nên ta có th tìm c công th c nghi m t ng quát c a h phng trình tuy n tính. Theo m t chng trình tính toán ã cài t trong máy tính c a b n cng có nhi u phng pháp gi i h phng trình tuy n tính. ây xin gi i thi u m t phng pháp n gi n nh t, theo chng trình "MATHEMATICA 4.0"" Ví d 1. Gi i h phng trình:

171

Gi i T o ma tr n các h s , ánh l nh: A={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} Màn hình xu t hi n: Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} · Gi i h phng trình, ánh l nh: LinearSolve[A,{1,5,- 910}] Màn hình xu t hi n: Out[2]-{-2,-7,0,0} ó là m t nghi m riêng c a h NullSpace[A] Màn hình xu t hi n h nghi m c b n c a h thu n nh t: Out[3]={{1,5,0,1}, {-1,-5,2,0}}. Mu n tìm nghi m t ng quát c a h ã cho ta ch vi c l y t ng c a m t nghi m riêng c a h ã cho v i m t t h p tuy n tính c a h nghi m c b n c a h phng trình thu n nh t liên k t: (x1, x2, x3, x4) = (-2, -7, 0, 0) + c3(-1, -5, 2, 0) + c4(1, 5, 0, 1) = (-2-c3+ c4, -7- 5c3 + 5c4, 2c3, c4). Chú ý: N u quan sát nghi m t ng quát ây v i nghi m t ng quát ví d 2, m c 2.2, ta th y chúng khác nhau. Song n u thay c3 ây b i c3 =

1 c3 thì ta c công th c nghi m t ng quát 2

ã cho.

· Tìm h nghi m c b n c a h thu n nh t liên k t, ánh l nh:

ví d 2, m c 2.2. Hn

n a m t h phng trình tuy n tính có th có vô s nghi m riêng và h thu n nh t cng có th có vô s h nghi m c b n. Do ó, theo nh lí 3.4, nói chung, có vô s cách bi u di n nghi m t ng quát.

172

Ví d 2. Gi i h phng trình:

Gi i · T o ma tr n các h s . A={{3,-17-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} Màn hình xu t hi n: Out[1]={{3,-1,-1,2},{1,-1,-2,4},{1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}} · Gi i h phng trình, ánh l nh: LinearSolve[A,{1,5,-9,10}}] Màn hình xu t hi n: LinearSolve: nosol: Linear equation encountered which has no solution Out[2]=linearsolve[{{3,-1,-1,2},1,-1,-2,4~1,1,3,-6},{12,-2,1,-2}},{1,5,9,10}]. i u này có ngha r ng h vô nghi m. S d h vô nghi m là vì h ng(A) = 2, còn h ng(B) - 3.

173

TÓM T T Chng này trình bày lý thuy t v h phng trình tuy n tính. V phng di n lý thuy t, nh các ki n th c v không gian vect và nh th c, chng này cho ta bi t: h có nghi m khi và ch khi h ng(A) = h ng(B), trong ó A là ma tr n các h s c a h phng trình, B là ma tr n b sung. Trong tr ng h p h có n n, n u h ng(A) = h ng(B) = n thì ó là h Cramer, nó có nghi m duy nh t; n u h ng(a) = h ng(b) - r < n thì h có vô s nghi m mà giá tr c a các n ph thu c vào n - r n t do. Khi ó, n u cho m i n t do m t giá tr xác nh ta c m t nghi m riêng n u coi m i n t do nh m t tham s thì ta c nghi m t ng quát. V phng di n th c hành, ta có hai cách gi i h phng trình tuy n tính: phng pháp Gauss kh d n n s và phng pháp dùng nh th c. Khi dùng phng pháp nh th c ta ch c n gi i h phng trình g m nh ng phng trình ng v i các dòng c a nh th c con c p cao nh t khác 0. Các n t do là nh ng n mà h s n m ngoài nh th c con c p cao nh t khác 0 y. H phng trình tuy n tính mà các h s t do b ng 0 g i là m t h phng trình tuy n tính thu n nh t. H này luôn luôn có nghi m vì h ng(A) = h ng(B). T p S các nghi m c a h thu n nh t n n là m t không gian con c a không gian Kn. N u h ng(A) - r thì dims = n - r. N u bi t m t nghi m riêng c a m t h phng trình tuy n tính thì nghi m t ng quát c a nó b ng nghi m riêng ó c ng v i nghi m t ng quát c a h thu n nh t liên k t.

174

BÀI T P §1. H PHNG TRÌNH TUY NTÍNH PHNG PHÁP GAUSS 1. Gi i h phng trình b ng phng pháp Gauss

2. Ch ng minh

nh tí

m c 1.2.

175

§2. I U KI N H PHNG TRÌNH TUY N TÍNH CÓ NGHI M 3. Xét xem các h phng trình sau có nghi m hay không:

4. i v i m i h phng trình sau, tìm giá tr c a tham s a, b có nghi m:

h

5. Tìm i u ki n c n và

h phng trình

có nghi m . 6. Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a a, b, c h phng trình

luôn luôn có nghi m. 7. Tìm giá tr c a tham s a h phng trình sau có nghi m:

176

8. Gi i các h phng trình sau b ng phng pháp

nh th c:

9. V i i u ki n nào thì ba ng th ng phân bi t a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0, a3x + b3y + c3 = 0 ng quy? 10. Vi t phng trình ng tròn i qua ba i m: A(2, 1), C(0, 2), C(0, 1). 11. Tìm các h s a, b, c, d d i qua b n i m: th c a hàm s y = ax3 + bx2 + cx +

M1(1, 0), M2(0, -1), M3(-1, - 2), M4(2, 7). 12. xác inh tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c bi t r ng f(1) = -1, f(-3) = 47, f(2) = 12.

177

13. Trong không gian vect R4 cho h vect:

Hãy bi u th tuy n tính vect = (- 12, 3, 8, -2) qua h vect ã cho. 14. Trong không gian vect R3 cho hai c s :

Tìm ma tr n chuy n t c s () sang c s (). Tìm t a = (-1, 2, 0) i v i c s (). 15. Trong không gian vect R3 cho hai c s :

c a vect

Tìm ma tr n chuy n t c s () sang c s (). §3. H PHNG TRÌNH TUY N TÍNH THU N NH T 16. Gi i các h phng trình sau:

17. Dùng h phng trình tuy n tính và nh ngha c a h vect ph thu c tuy n tính ch ng t các h vect sau trong không gian vect R4 là ph thu c tuy n tính:

178

18. Các h vect sau:

h nào là h nghi m c b n c a h phng trình

19. Tìm h nghi m c b n và s chi u c a không gian nghi m c a h phng trình:

20. Cho hai h phng trình:

179

Bi t m t nghi m riêng c a h a) là ( , , 0, 0, 0), c a h b là ( ,

1 , 0, 0, 0). 6

1 1 3 3

2 3

i v i m i h phng trình:

· Tìm nghi m t ng quát c a m i h nh h nghi m c b n c a h thu n nh t liên k t tng ng; · Nh nghi m t ng quát v a tìm c, tìm m t nghi m riêng mà các thành ph n t a là nh ng s nguyên. 21. Cho h ba phng trình b c nh t:

Dùng h ng(A), h ng(B), hãy xét s có nghi m và vô nghi m c a h trong t t c các tr ng h p có th x y ra và minh h a hình h c cho m i tr ng h p.

180

VÀI NÉT L CH S Phng trình tuy n tính và h phng trình tuy n tính là nh ng bài toán c nh t c a i s . Ngay t bu i s khai c a toán h c ng i ta ã gi i nh ng bài toán b ng m t phép nhân ho c m t phép chia, t c là tìm nghi m c a m t phng trình d ng ax = b. Vi c gi i các phng trình b c nh t ã c các nhà toán h c Babilon c Hil p bi t n. Các tác ph m toán h c c a iôphng là nh cao c a nh ng thành t u nghiên c u toán h c th i kì này (th k th ba tr c công nguyên). Sau ó nh ng v n v phng trình l i c phát tri n b i các nhà toán h c n nh Ariabkhata (th k th Vi), Bramagupta (th k th VII) và Khaskara (th k th XII). Ng i ta cng th y nh ng bài toán v phng trình b c nh t Trung Qu c t th k th II tr c công nguyên. Nói tóm l i, phng trình tuy n tính c bi t n t r t s m. Tuy nhiên nó l i phát tri n khá mu n, vì ng i ta coi r ng a m t phng trình tuy n tính v d ng ax = b thì ch c n bi t quy t c chuy n B h ng t v này sang v kia và rút g n các s h ng ng d ng là , và mu n gi i h nhi u phng trình tuy n tính thì ch c n kh d n cho n khi ch còn m t n. Do ó trong m t th i gian dài nó h u nh không phát tri n. Lý thuy t v h phng trình tuy n tính sau này c phát tri n là do nh ng nhu c u v tính toán, ch ng h n ph i xác nh phng trình c a m t ng cong i qua nh ng i m cho tr c. Vì th lúc u ng i ta ch bi t n nh ng h phng trình có s phng trình b ng s n; và n u có xu t hi n nh ng h phng trình mà s phng trình khác s n thì ng i ta coi r ng bài toán t ra nh th là bài toán t i. Ng c l i, nh có i s tuy n tính nói chung và h phng trình tuy n tính nói riêng mà Hình h c gi i tích c hoàn thi n n m c m u m c. Nh có nh th c a ra b i Leibnitz (1646-1716), Cramer (17041752), và không gian vect c x ng b i Grassmann và Hamilton (1805-1865) và khái ni m ma tr n c hình thành b i nhà toán h c Anh J. Sylvester (1814-1897) mà lý thuy t phng trình tuy n tính ngày càng c hoàn thi n. Cramer trình bày l i gi i bài toán xác nh ng conic i qua 5 i m cho tr c b i vi c gi i m t h phng trình tuy n tính nh nh th c (tuy nhiên khi ó cha có tên g i nh th c). Nh phng pháp c a Cramer mà sau này vào nm 1771, Vandermonde (1735-1796), nhà toán h c Pháp, ã thi t l p công th c nghi m c a h phng trình tuy n

181

tính mà ngày nay g i là công th c Cramer. Chính Sylvester ã a ra c khái ni m h ng c a ma tr n nhng cha t tên g i cho ma tr n. Lý thuy t h phng trình tuy n tính ã nh h ng sâu r ng n các lnh v c khác nh phng trình vi phân, phng trình o hàm riêng. Lagrange, Euler ã ng d ng nó vào vi c nghiên c u nh ng h phng trình vi phân tuy n tính và chính các v này ã nói n h phng trình tuy n tính thu n nh t và coi r ng m i nghi m c a m t h phng trình tuy n tính không thu n nh t là t ng c a m t nghi m riêng c a nó v i nghi m t ng quát c a h thu n nh t liên k t. Còn nhi u nhà toán h c khác cng có công lao trong vi c nghiên c u lý thuy t h phng trình tuy n tính, ch ng h n, K.Gauss (1777-1855), Kronecker (1823-1891) (hai toán h c c) trong bài gi ng c a mình tr ng i h c Berlin Kronecker, ã a ra nh ngha tiên cho nh th c.

182

Chng V MA TR N

M

U

Ta ã bi t ma tr n góp ph n vào vi c nghiên c u lý thuy t h phng trình tuy n tính. Bây gi ta ti p t c tìm hi u ma tr n sâu hn n a; c bi t nghiên c u m i liên h gi a ma tr n và ánh x tuy n tính. Ta s th y r ng, ma tr n và ánh x tuy n tính liên h m t thi t v i nhau. Khi ã c nh hai c s c a hai không gian vect thì m t ánh x tuy n tính gi a hai không gian y cho m t ma tr n và ng c l i, m t ma tr n xác nh m t ánh x tuy n tính duy nh t. Nh có ma tr n mà ta xác nh c giá tr riêng và vect riêng m t ánh x tuy n tính; do ó xác nh c nh ng không gian con b t bi n ng v i nh ng giá tr riêng. Ma tr n cng xác nh nh ng d ng ánh x tuy n tính c bi t c dùng n chng Vi nh các phép bi n i i x ng, bi n i tr c giao. Trái l i, nh các vect riêng và giá tr riêng c a ánh x tuy n tính mà có th a ma tr n tr v d ng n gi n; ó là ma tr n chéo. N i dng c a chng này là: - Các phép toán trên các ma tr n; - Ma tr n ngh ch o c a m t ma tr n vuông; - Giá tr riêng, vect riêng; - Chéo hoá m t ma tr n. B n c c n n m v ng nh ng v n này vì chúng c áp d ng vào ngay chng sau và trong nhi u lnh v c khoa h c khác. h c t t chng này b n c c n n m v ng nh ng ki n th c v không gian vect và ánh x tuy n tính. Trong cu n sách này ta kí hi u t p h p các ma tr n ki u (m,n) v i các thành ph n trong tr ng K b i Mat(m.n)(K).

183

§1. MA TR N C A M T ÁNH X TUY N TÍNH 1.1. nh ngha. Gi s V và W là hai K-không gian vect v i c s l n l t là () = { 1,..., 2,..., n}, () = { 1, 2,..., m} f: V W là m t ánh x tuy n tính mà

c g i là ma tr n c a ánh x tuy n tính f Có th vi t g n các ng th c (1) nh sau:

i v i hai c s () và ()

Chú ý: Vì () là m t c s c a W nên các thành ph n an c xác nh duy nh t; do ó ma tr n A c xác nh duy nh t. Ví d 1. Gi s Iv = V V là ng c u ng nh t c a không gian vect V, và () = { 1,..., 2,..., n} là m t c s b t kì trong V. Khi ó:

Do ó ma tr n c a IV

i v i c s () là:

184

I c g i là ma tr n n v . Ma tr n vuông I = (aij) c g i là ma tr n n v n u

Ví d 2. N u V, W là hai K-không gian vect v i dimV = n, dimW = m thì ng c u 0 có ma tr n i v i m i c s c a V và c a W là ma tr n O ki u (m,n) d i ây:

O c g i là ma tr n không, t c là ma tr n mà m i thành ph n b ng 0. Ví d 3. Gi s trong R2 và R3 ã ch n các c s chính t c:

u

f: R2 R3 xác

nh b i f(a1, a2) = (a1, 3a2, a2 - 5a1). Khi ó:

Do ó ma tr n c a f

i v i hai c s này là

Ví d 4. Gi s P3, P2 là các không gian g m a th c 0 và các a th c thu c R[x] có b c tng ng không v t quá 3, không v t quá 2. d: P3 P2 là phép l y o hàm, () = {1, x, x2, x3}, () = {1, x, x2} l n l t là c s c a P3 và P2. Th thì: d(1) = 0 = 0.1 +0x + 0x2 d(x) = 1 = 1.1 + 0x + 0x2

185

d(x2) = 2x = 0.1 + 2x + 0x2 d(x3) = 3x2 = 0.1 + 0x + 3x2 Do ó ma tr n c a d i v i hai c s này là

Trên ây ta ã th y khi ã c nh hai c s () và () c a V và W, thì m i ánh x tuy n tính f. V W xác nh m t ma tr n duy nh t. Ng c l i ta s th y, khi ó m i ma tr n cng xác nh ánh x tuy n tính duy nh t. 1.2. Liên h gi a HomK(V, W) v i Mat(m.n)(K) M nh . Gi s V, W là hai K-không gian vect và () = { 1,..., 2,..., n}, () = { 1, 2,..., m} l n l t là c s cm ích c a V và W. Khi ó: 1) M i ma tr n ki u (m, n) xác V W. Ch ng minh. 1) Gi s nh duy nh t m t ánh x tuy n tính f:

2) Có m t song ánh : HomK(V, W) Mat(m, n)(K).

t a1j 1 + a2j 2 +...,+ amj m}, v i m i j {1, 2,..., n } thì theo lí 1.2, Ch.III, có ánh x tuy n tính f duy nh t xác nh b i

nh

Hn n a, ma tr n c a f là A. 2) C nh hai c s trong V và W. V i m i fHomK(V, W), f xác

186

nh m t ma tr n A duy nh t. Xác

nh ánh x

: HomK(V, W) Mat(m, n)(K) b i (f) = A. V i m i AMat(m, n)(K), có m t ánh x tuy n tính f duy nh t mà A là ma tr n c a nó; t c là (f) = A. Do ó là m t toàn ánh. Vì f c xác nh duy nh t b i A nên là n ánh. V y là m t song ánh.

187

§2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC T P MA TR N Ta ã bi t trên t p h p HomK(V, W) có phép c ng hai ánh x tuy n tính và phép nhân m t ánh x tuy n tính v i m t s . Hn n a, khi ã c nh hai c s c a V và W, ta có song ánh : HomK(V, W) Mat(m,n)(K). Bây gi ta mu n nh ngha các phép toán trên các ma tr n sao cho "phù h p" v i các phép toán trên các ánh x tuy n tính; ch ng h n ma tr n c a t ng hai ánh x ph i b ng t ng hai ma tr n c a nh ng ánh x y. 2.1. Phép c ng M nh và nh ngha. Gi s A = (aij)(m,n) và B = (bij)(m,n) l n l t là các ma tr n c a hai ánh x tuy n tính f, g HomK(V, W) i v i hai c s () và () ã ch n trong V và W. Thêm thì ma tr n c a ánh x tuy n tính f + g i v i hai c s y là C = (aij + bij)(m,n). Ma tr n C c g i là t ng c a hai ma tr n A và B, kí hi u là A + B. Ch ng minh. Theo gi thi t

V y ma tr n c a f + g i v i hai c s ã cho là (aij + bij)(m,n). Quy t c c ng ma tr n. Muôn c ng hai ma tr n ta ch vi c c ng các thành ph n tng ng (cùng dòng, cùng c t) c a chúng:

188

2.2. Phép nhân m t ma tr n v i m t s M nh và nh ngha. Gi s a = (aij)(m,n) là ma tr n c a ánh x tuy n tính f HomK(V, W) i v i hai c s () và () ã ch n trong V và W k K. Th thì ma tr n c a ánh x tuy n tính kf i v i hai c s y là ma tr n C = (kaij)(m,n). Ma tr n C c g i là tích c a ma tr n A v i s k, kí hi u là kA. Ch ng minh. Xin dành cho b n c. Quy t c nhân ma tr n v i m t s . Mu n nhân m t ma tr n A v i m t s k ta ch vi c nhân s k v i m i thành ph n c a A.

189

2.3. Phép tr nh ngha. Ma tr n (-1) A c g i là i c a ma tr n A. Kí hi u là ­A. V i hai ma tr n A và B, t ng A + (-B) c g i là hi u c a A và B. Kí ki u A - B. Nh v y, v i A = (aij)(m,n) và B - (bij)(m,n) ta có: - B = (- bij)(m,n), A - B = (aij-bij)(m,n).

2.4. Không gian vect Mat(m,n)(K) B n c có th d dàng ch ng minh r ng, cng nh HomK(V, W), t p h p Mat(m,n)(K) là m t K-không gian vect. M nh . Phép c ng ma tr n và phép nhân m t ma tr n v i m t s thu c tr ng K có các tính ch t sau: 1) A + B = B + A; 2) (A + B) + C = A + (B + C); 3) A + 0 = A; 4) A + (-A) = 0; 5) k(A + B) = kA + kB; 6) (k + 1)A = kA + lA; 7) (k1)A = k(1a); 8) 1.A = A, (1 là n v c a tr ng K), v i m i A, B, C Mat(m,n)(K), m i k, l K Nói g n, v i phép c ng hai ma tr n và phép nhân m t ma tr n v i m t s , Mat(n.n)(K) là m t K-không gian vect.

190

mãn i u ki n 2X + A = B. Gi i. Áp d ng m nh A - B, ta có : 2.4, c ng - A vào hai v c a ng th c 2X +

2.5. Tích c a hai ma tr n M nh 1. Gi s trong m i không gian U, V, W ã ch n m t c s cô nh, A = (aij)(m,n) là ma tr n c a ánh x tuy n tính f: V W, B = (bjk)(n,p) là ma tr n c a ánh x tuy n tính g: U V. Th thì ma tr n c a ánh x tuy n tính fg là ma tr n

Ma tr n C c g i là tích c a hai ma tr n A và B, kí hi u là AB. Ch ng minh. Gi s () = { 1,..., 2,..., p} là c s c a U, () = { 1, 2,..., n} là c s c a V, () = { 2,..., m} là c s c a W. Theo nh ngha ma tr n c a ánh x tuy n tính, ta có:

191

Quy t c nhân hai ma tr n. Mu n tìm thành ph n cik c a ma tr n tích AB ta ph i l y m i thành ph n aij c a dòng th i trong ma tr n A nhân v i thành ph n bjk c a c t th k c a ma tr n B r i c ng l i. Có th mô t b i s sau:

Chú ý: 1) Theo nh ngha, tích AB ch A b ng s dòng c a ma tr n B. c xác nh khi s c t c a ma tr n

2) Phép nhân ma tr n không có tính giao hoán.

192

Ví d 3. Gi s () = { 1,..., 2,..., n} và () = { 1, 2,..., n} là hai c s c a K-không gian vect V, T = (tij) là ma tr n chuy n t c s () sang c s () (x1, x2,..., xn), (y1, y2,..., yn) l n l t là t a c a vect i v i c s () và c s (). Th thì theo nh lí 6.3, Ch. II:

N u vi t hai vect t a

d i d ng ma tr n c t

thì các

ng th c trên ây có th vi t là:

hay

X = TY.

Ví d 4. Gi s hai K-không gian vect V và W có c s l n l t là () = { 1,..., n}, () = { 1,..., m} và ma tr n c a ánh x tuy n tính f

193

i v i hai c s này là

t a c a vect V i v i c s () và t a () c vi t d i d ng ma tr n c t l n l t là

c a f( )

i v i c s

Th thì

M t khác

Suy ra yi = ai j x j , v i m i in {1, 2,..., m}.

j=1

n

i u này ch ng t Y =

AX.

194

Ví d 5. Xét h phng trình tuy n tính

hay

AX = b. Ví d 6. Gi s A = (aij)(m,n) và In là ma tr n n v c p n. Khi ó:

Tng t , n u Im là ma tr n n v c p m thì ImA = A. M nh 2. V i các ma tr n A, B, C và m i s k K, ta có các th c sau (n u các phép toán có ngha): 1) Tính k t h p: (AB)C = A(BC); 2) Tính ch t phân ph i c a phép nhân i v i phép c ng:

195

ng

A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC,

3) k(AB) = (kA)B = A(kB). Ch ng minh. 1) Coi các ma tr n A, B, C l n l t nh ma tr n c a các ánh x tuy n tính h: U X, g: W U, f: V W (v i c s ã ch n trong m i K-không gian vect V, W, U, X). Theo m nh 1, m c 2.5, (AB)C là ma tr n c a ánh x tuy n tính (hg)f, còn A(BC) là ma tr n c a ánh x h(gf). Theo m nh 2, m c 3.4, Ch.III, (hg)f-h(gf). Nh song ánh : HomK(V, X) Mat(m,q)(K), (trong ó m = dimX, q = dimV), suy ra (AB)C = ((hg)f) = h(gf)) = A(BC). 2) và 3) c ch ng minh tng t . 2.6. Th c hi n các phép toán ma tr n b ng máy tính b túi và mây tính i n t

a) Dùng máy tính b túi CASIO-fx570MS. Tính A + B, A - B, 6A. Gi i. Tính A + B. · Ch n MODE ma tr n: MODE MODE MODE 2 · T o ma tr n A ki u (2,3)

ma tr n,s 1 th hai là kí hi u ma tr n A). · Ch n các thành ph n c a A:

· T o ma tr n B ki u (2,3): SHIFT MAT 1 2 2 = 3 = (s 2 th nh t là kí hi u ma tr n B)

196

· Th c hi n phép c ng:

c a s máy tính xu t hi n: - 5. ó là thành ph n c c a t ng hai ma tr n. Nháy con tr sang ph i ta c thành ph n c12. Ti p t c nháy con tr sang ph i m i l n c m t thành ph n ti p theo. Ma tr n A + B =

- 5 17 11 10 - 7 29

- Tính A - B tng t . - Tính 6A. · Ch n MODE ma tr n:

· T o ma tr n A ki u (2,3)

· Ch n các thành ph n c a A:

Màn hình xu t hi n: 18. ó là thành ph n c c a ma tr n 6A. Nháy con tr sang ph i, m i l n c m t thành ph n theo th t : c12, c13, c21. Ví d 2. Nhân ma tr n.

Gi i. Thao tác nh khi làm tính c ng.

197

Màn hình xu t hi n: 146. ó là thành ph n c c a tích. Ti p t c nháy con ch sang ph i l n l t ta c các thành ph n ti p theo c a ma tr n tích.

b) Dùng máy tính i n t Ta th c hi n theo chng trình MATHEMATICA 4.0. A = {{3, 5,II}, {- 4, 0, 9}} Màn hình xu t hi n: Out[1]= {{3, 5,11}, {-4, 0, 9}} B={{ - 8, 12, O},{14, - 7, 20}} Màn hình xu t hi n: Out[2]= {{ - 8, 12, 0},{14, - 7, 20}} A+B//1MatrixForm Màn hình xu t hi n:

A-B//MatrixForm Màn hình xu t hi n:

198

6A//MatnxForm

Phép nhân c th c hi n b ng m i thao tác nh nhng ph i thay d u c ng ( "+") b i d u ch m (".").

i v i phép c ng

199

§3.

IS

MATN(K) CÁC MA TR N VUÔNG C P N

Ta kí hi u t p h p các ma tr n vuông c p n v i các thành ph n thu c tr ng K b i Matn(K). Theo m nh 2.4, Matn(K) là m t K-không gian vect. Hn n a, trong Matn(K) tích c a hai ma tr n b t kì luôn luôn xác nh; tuy nhiên, phép nhân không giao hoán. Theo m nh 2, m c 2.5, phép nhân có tính k t h p và phân ph i i v i phép c ng và có ma tr n n v

Trong ví d 6, m c 3.1, ã ch ng minh ma tr n n v I có tính ch t: AI = A = IA, v i m i A Matn(K). Nh v y, Matn(K) là m t không gian vect ng th i là m t vành có n v , không giao hoán. Ng i ta nói, Matn(K) là m t i s trên tr ng K hay m t Kis . Vì m i ma tr n thu c A Matn(K) là m t ma tr n vuông nên nó có nh th c |A|. Ta hãy xét m i liên h gi a nh th c và các phép toán trong Matn(K). B n c có th cho nh ng ví d ch ng t r ng: v i A, B là hai ma tr n vuông c p n và s k K, nói chung: 1) |A + B| |A| + |B|. 2) |kA| k |A|. Trái l i, ta l i có: |AB| = |A|.|B| v i m i ma tr n A,B thu c Matn(K). 3.1. nh th c c a tích hai ma tr n nh

nh lí. nh th c c a tích hai ma tr n vuông b ng tích các th c c a hai ma tr n y. Ch ng minh. Gi s :

200

Ta xét

nh th c

Trong nh th c D, nh th c con góc trên bên trái là nh th c |A|, m i nh th c con khác t o b i n dòng u u b ng 0 vì có m t c t v i các thành phán u b ng 0; tng t , nh th c con góc d i bên ph i là nh th c |B|, m i nh th c con khác t o b i n dòng cu i u b ng 0. Theo nh lí Laplace, D = (-1)2(1+2+...+n) |A|.|B| = |A|.|B|. Bây gi nhân l n l t các dòng th n + 1 v i a11, dòng th n + 2 v i a12,.., dòng th n + j v i a1j,... dòng th 2n v i a1n, r i c ng vào dòng u. Khi ó dòng u c a D bi n thành 0, 0,..., 0, c11, c12,.., c1n. T ng quát, nhân dòng th n +1 v i a1i,.., dòng th n + i v i aij,..., dòng th 2n v i ain r i c ng vào dòng th i thì dòng th i trong D bi n thành 0, 0,..., 0, ci1, ci2,.., cin. Theo tính ch t c a i nh th c D. Do v y:

201

nh th c, nh ng phép bi n

i trên không thay

Bây gi trong n dòng u c a nh th c này có làm góc trên bên ph i, các nh th c con khác u b ng 0. Theo nh lí Laplace,

Gi s trong hai K-không gian vect n chi u V và W c nh hai c s . N u A là ma tr n c a ng c u f. V W, B là ma tr n c a f1 thì theo m nh 1 m c 2.5, AB là ma tr n c a ff-1 = 1w, BA là ma tr n c a f-1f : 1v. Vì ma tr n c a IV và ma tr n c a 1w u là ma tr n n v I nên AB = I = BA. Ng i ta g i A và B là hai ma tr n ngh ch o c a nhau. 3.2. Ma tr n ngh ch o

nh ngha. Ma tr n A Matn(K) c g i là kh ngh ch n u t n t i m t ma tr n B Matn(K) sao cho AB = I = BA. B c g i là ma tr n ngh ch o c a A, kí hi u B = A-1. Ví d 1. Hi n nhiên I là ma tr n kh ngh ch vì I.I = I. Nh v y I là ma tr n ngh ch o c a chính nó. Ví d 2. Trong Mat2(R) ma tr n A = - 1 - 3 có ma tr n ngh ch o A-1 =

5 3 . Th t v y, ta có: - 1 - 2 202

2

5

Có nh ng câu h i t ra là: Có ph i m i ma tr n trong Matn(K) u có ngh ch o không? N u có thì tìm ma tr n ngh ch o nh th nào? nh lí sau s tr l i nh ng câu h i này. nh lí. Ma tr n vuông A có ma tr n ngh ch 0. Ch ng minh. "" Gi s ma tr n A có ngh ch o là A 1. Khi ó theo nh lí 3.1, o khi và ch khi |A| =

"" Gi s l i bé 0 và

t bjk =

A kj trong ó Akj là là ph n bù A

i s c a thành ph n akj c a

ma tr n A (xem

nh ngha 4.1, Ch. I). Xét ma tr n vuông B - (bjk), hay

Khi ó AB có thành ph n

203

Nhng theo

nh lí và h qu , m c 4.2, Ch.I,

Ma tr n mà nh th c c a nó khác 0 c g i là ma tr n không suy bi n. V i khái ni m này có th phát bi u nh lí trên nh sau: M t ma tr n là kh ngh ch khi và ch khi nó không suy bi n. 3.3. Tìm ma tr n ngh ch 1) Tìm ta tr n ngh ch o nh th c oc a

o b ng

Ch ng minh nh lí trên ây cho ta cách tìm ma tr n ngh ch m t ma tr n có nh th c khác 0. Ví d . Tìm ma tr n ngh ch o c a ma tr n

Gi i. Tính

nh th c lai

Tìm các ph n bù

is

A11 = 11, A12 = - 3, A13 = - 6, A21 = -15, A22 = 5, A23 = 8, A31 = - 3, A32 = 1, A33 = 2.

204

· Thi t l p ma tr n ngh ch

o

2) Tìm ma tr n ngh ch

o b ng các phép bi n

i s c p

Nh c l i r ng, các phép bi n phép bi n i s c p: 1) 0;

i sau ây trên m t ma tr n là nh ng

i ch hai dòng (hai c t) cho nhau;

2) Nhân m i thành ph n trong m t dòng (c t) v i cùng m t s khác 3) Nhân m i thành ph n trong m t dòng (c t) v i cùng m t s r i c ng vào thành ph n cùng c t (dòng) trong m t dòng (c t) khác. B n c có th t ki m tra r ng v i ma tr n A: Phép bi n i 1) chính là nhân ma tr n

vào bên trái (ph i) c a A. Phép bi n i 2) chính là nhân ma tr n

205

vào bên trái (ph i) c a A. Phép bi n i 3) chính là nhân ma tr n

vào bên trái (ph i) c a A. Hn n a d th y r ng các ma tr n P, Q, R, S ó ta có nh lí sau: u không suy bi n. Do

nh lí. N u th c hi n nh ng phép bi n i s c p nh nhau trên ma tr n không suy di n A và ma tr n n v I mà A bi n thành I thì I bi n thành A-1.

206

Ch ng minh. Nh nh n xét trên khi th c hi n nh ng phép bi n i s c p trên các dòng c a ma tr n A th c ch t là nhân vào bên trái A m t s h u h n nh ng ma tr n d ng P, Q, R. G i B là tích c a nh ng ma tr n ã nhân vào bên trái A nh th c 1, ta có BA = I. Suy ra: B = A-1 Theo gi thi t, ta cng ng th i nhân B vào bên trái c a I và c: BI = B =A-1. Ví d . Tìm ma tr n ngh ch o c a ma tr n

Gi i. Ta vi t hai ma tr n A và I li n nhau. M i khi th c hi n m t phép bi n i s c p nào trên A thì cng th c hi n ph p bi n i y trên I.

Nhân dòng th nh t v i -3 r i c ng vào dòng th ba:

Nhân dòng th hai v i

1 : 2

Nhân dòng th hai v i - 3 r i c ng vào dòng th nh t và nhân dòng th hai v i 8 r i c ng vào dòng th ba:

207

Nhân dòng th ba v i ba v i

3 r i c ng vào dòng th nh t, nhân dòng th 2

1 r i c ng vào dòng th hai: 2

Ta th y l i k t qu tìm c 3) Tìm ma tr n ngh ch t

ví d trong m c 4.3.

o b ng máy tính b túi và máy tính i n

a) Dùng máy tính CASIO-fx-570MS. (Ch áp d ng c i v i ma tr n c p 2 và c p 3) o c a ma tr n Ví d . Tìm ma tr n ngh ch

Gi i. · T o ma tr n A nh th ng l :

· Tìm ma tr n ngh ch

o

208

Màn hình xu t hi n thành ph n ba c a ma tr n ngh ch o. Nháy con tr sang ph i m i l n ta c m t thành ph n ti p theo: b12, b13, b21, b22,... K t qu :

b) Dùng máy tính i n t 4.0"). Ví d . Tìm ma tr n ngh ch

(theo chng trình "MATHEMATICA o c a ma tr n

Gi i. · T o ma tr n B = {{3,1,0,7},{6,-2,2,1},{5,1,7,0},{-4,3,8,-5}} Màn hình xu t hi n: Out[1] = {{3,1,0,7},{6, - 2,2,1},{5,1,7,0},{- 4,3,8, - 5}} Tìm ma tr n ngh ch Màn hình xu t hi n: o: Inverse[B]//MatrixForm

209

ó là ma tr n ngh ch 3.4. M t vài ng d ng

o B-1. u tiên c a ma tr n ngh ch o

1) Tìm ma tr n chuy n. Vì ma tr n chuy n t c s () sang c s () và ma tr n chuy n t c s () sang c s () là hai ma tr n c a hai ánh x ng c nhau nên n u T là ma tr n chuy n t c s (E) sang c s () thì ma tr n chuy n t c s () sang c s () là T-1. Ví d . Tìm ma tr n chuy n t c s () g m các vect 1 = (1, 1, 0), 3 2 = (0, 1, 1), 3= (1, 0, 1) sang c s chính t c c a không gian R . Gi i. D dàng tìm c ma tr n chuy n t c s chính t c () sang c s () là:

Tìm ma tr n ngh ch sang c s chính t c là:

o c a T ta c ma tr n chuy n t c s ()

2) Gi i h Cramer Ví d 4, m c 2.5, ã cho cách vi t h phng trình d i d ng ma tr n AX = b trong ó A là ma tr n c a h phng trình, X là ma tr n c t các n, b là ma tr n c t các h ng t t do. T ó suy ra: X = A-1b. ng d ng này ch mang tính lý thuy t: nó ch ng minh r ng h Cramer có nghi m duy nh t. Trong th c hành, nó không em l i l i ích

210

gì hn cách gi i b ng

nh th c. nh b i ma tr n A c trng c a ng

u m c này ta ã th y n u m t ng c u f xác thì A kh ngh ch. Bây gi ta ch ng minh y m t c u b i ma tr n. 3.5. Ma tr n c a m t ng c u

M nh . M t ánh x tuy n tính là m t tr n c a nó không suy bi n.

ng c u khi và ch khi ma

Ch ng minh. Gi s f. V W là m t ánh x tuy n tính. C nh hai c s trong V và W. G i A là ma tr n c a f. Ta có dãy các tng ng sau ây: f là ng c u t n t i f-1 = W V v i ma tr n B sao cho f -1f = 1v, ff -1 = 1v v i ma tr n B sao cho BA= I = AB A kh ngh ch |A| 0 A không suy bi n.

211

§4. S THAY I C A MA TR N C A M T ÁNH X TUY N TÍNH KHI THAY I C S - MA TR N NG D NG 4.1. S thay i c s i c a ma tr n c a m t ánh x tuy n tính khi thay

Ma tr n c a ánh x tuy n tính f: V W ph thu c vào hai c s c a V và W Ch ng h n, ví d 1, m c 1.1 cho th y ma tr n c a ng c u 1v = V V i v i c s () là ma tr n n v I. Gi s S = (sij) là ma tr n chuy n t c s () sang c s ('). Khi ó ta có:

i u này ch ng t ma tr n chuy n t c s () sang c s (') là ma tr n c a ng c u ng nh t 1v i v i hai c s (') và (). Nh v y, ma tr n c a 1v ã thay i khi i c s . V y t ng quát, khi i nh th nào? i c s thì ma tr n c a ánh x tuy n tính thay

nh lí. A và B là hai ma tr n c a cùng m t ánh x tuy n tính khi và ch khi t n t i hai ma tr n không suy bi n S và T sao cho B = T-1AS. Ch ng minh. "" Gi s A là ma tr n c a ánh x tuy n tính f: V W i v i hai c s () và () tng ng trong V và W, B là ma tr n c a f i v i hai c s (') và ('). G i S là ma tr n chuy n t c s () sang c s ('), T là ma tr n chuy n t c s (') và ('). Nh trên ã nói, S là ma tr n c a ng c u ng nh t 1v i v i hai c s (') và (). Tng t , T là ma tr n c a ng c u ng nh t 1w i v i hai c s (') và (). Hi n nhiên 1w.f = f = f.1v. Theo m nh 3.2, TB là ma tr n c a 1w.f còn AS là ma tr n c a f.1 v i v i hai c s (') và ('). Nh v y:

212

TB = AS. Vì các ma tr n chuy n kh ngh ch nên t B =T-1AS. "" Gi s B ­ T-1AS, A là ma tr n c a f i v i hai c s () và () S và T là nh ng ma tr n không suy bi n. Coi S và là ma tr n chuy n t c s () sang c s (') nào ó, còn T là ma tr n chuy n t c s () sang c s (') nào ó. Khi ó T-1 là ma tr n chuy n t c s (') sang c s (). Theo nh n xét tr c nh lí, S và T-1 l n l t là ma tr n c a các ánh x tuy n tính 1v và 1w. Theo m nh 1, m c 2.5, B là ma tr n c a 1w.f.1v ó suy ra:

Nhng 1w.f.1v = f nên B cng là ma tr n c a f. Nói riêng, khi V = W và () = (), (') = (') thì S = T và B = T-1AT. 4.2. Ma tr n ng d ng ng d ng n u có m t

nh ngha. Hai ma tr n A và B c g i là ma tr n T sao cho B = T-1AT. Kí hi u A ~ B.

Theo nh ngha này, mu n tìm m t ma tr n ng d ng v i m t ma tr n A ch c n l y m t ma tr n T không suy bi n r i l y ma tr n tích T IAT. H qu . Hai ma tr n ng d ng khi và ch khi chúng là hai ma tr n c a cùng m t t ng c u. Ví d . Cho

là ma tr n c a t

ng c u f. V V

i v i c s { 1, 2} c a V.

Tìm ma tr n c a f

i v i c s g m các vect:

Gi i. Ma tr n chuy n t c s () sang c s (') là

213

nh ngha 4.2 cho ta th y m t i u lí thú v m i liên quan gi a hai ma tr n c a cùng m t t ng c u i v i hai c s khác nhau. Bây gi ta mu n ti n xa hn n a: i v i m t t ng c u f: V V ta mu n tìm m t c s () = { 1, 2,..., n} c a không gian V sao cho ma tr n c a nó có d ng " p nh t", ó là ma tr n A = (aij) có d ng

Ta g i ó là ma tr n chéo. Khi ó f( j) = ajj j và nói r ng j là m t vect riêng c a f, còn l i là giá tr riêng c a f ng v i vect j.

214

§5. VECT RIÊNG-GIÁ TR RIÊNG 5.1. Vect riêng- Giá tr riêng nh ngha 1. Gi s V là m t không gian vect, f: V V là m t t ng c u. Vect 0 c a V c g i là m t vect riêng c a f n u t n t i m t s K sao cho f( ) = k . S k c g i là giá tr riêng c a f ng v i vect riêng . Nêu A là ma tr n c a t ng c u f thì giá tr riêng c a f cng c g i là giá tr riêng c a ma tr n A. Ví d 1. Cho phép bi n c s chính t c () là i tuy n tính f: R2 R2 có ma tr n iv i

f có hai giá tr riêng là k1 = 1, k2 = - 2, = (4, - 1) là vect riêng ng v i k1, = (1, -1) là vect riêng ng v i k2. Th t v y, vì f( 1) = 2 1 2, f( 2) = 4 1 - 3 2, = 4 1 - 2 nên

Có nh ng t

ng c u mà m i vect khác 0

u là vect riêng.

Ví d 2. Gi s f: V V là m t t ng c u c a R-không gian vect V, xác nh b i f( ) = 3 , v i m i V. D ki m tra r ng f là m t t ng c u c a không gian vect V. Rõ ràng m i vect khác 0 c a V u là vect riêng ng v i giá tr riêng k = 3.

215

L i có nh ng t

ng c u không có vect riêng nào.

Ví d 3. T ng c u f: R2 R2 xác nh b i f(a1, a2) = (- a2, a1) không có vect riêng nào. Th t v y, n u = ( a1, a2) là vect riêng ng v i giá tr riêng k thì k(a1, a2) = f(a1, a2) = (- a2, a1) hay (ka1, ka2) = (- a2, a1). Suy ra:

Vì 0 nên, ch ng h n, a1 0. T các k a1, kéo theo k2 = - 1. ó là i u vô lí.

2

ng th c trên suy ra a1 = -

Theo nh ngha c a vect riêng ta th y r ng ng v i m t giá tr riêng có vô s vect riêng. Ch ng h n, n u là m t vect riêng ng v i giá tr riêng k c a t ng c u f: V V thì m i vect c a không gian con U sinh b i cng là vect riêng ng v i giá tr riêng k; hn n a f(U) U. Th t v y, v i m i r U ta có: f(r ) = rf( ) = r(k ) = k(r ) U. Ng i ta n i U là m t không gian con b t bi n c a V quát ta có nh ngha sau. i v i f. T ng

ng c u c a không gian nh ngha 2. Gi s f: V V là m t t vect V. Không gian con W c a V c g i là m t không gian con b t bi n i v i f n u v i m i W ta u có f( ) W. Bây gi ta xét t p h p các vect riêng ng v i m t giá tr riêng. M nh . Gi s V là m t không gian vect, t p h p g m vect 0 và các vect riêng ng v i giá tr riêng k c a t ng c u f: V V là m t không gian con b t bi n c a V và c g i là không gian riêng ng v i giá tr riêng k. Ch ng minh. G i W là t p h p g m vect 0 và các vect riêng ng v i giá tr riêng k c a f. Rõ ràng W vì 0 W. Gi s , W và r, s K. Vì f là ánh x tuy n tính nên:

i u ó ch ng t r + s 1à m t vect riêng ng v i k. Do ó r +

216

s W. V y W là m t không gian con c a V. Hn n a W b t bi n v i fvì n u W thì f( ) = k( ) W. Các vect riêng ng v i các giá tr riêng phân bi t c a m t t c u liên quan v i nhau nh th nào?

i ng

nh lí. N u 1, 2,..., p là nh ng vect riêng tng ng v i các giá tr riêng ôi m t phân bi t k1, k2,..., kp c a t ng c u f thì chúng l p thành m t h vect c l p tuy n tính. Ch ng minh. Ta ch ng minh b ng quy n p theo p. Khi p = 1, m nh úng vì 1 0 . úng v i p ­ 1. Ta ph i ch ng minh r ng Gi s p > 1 và m nh n u có ng th c

r 1 + r2 2 +... + rp-1 p-1 + rp p = 0 (1) thì b t bu c r1 = r2 =...= rp-1 = rp= 0. Vì i là nh ng vect riêng ng v i giá tr riêng ki nên tác hai v c a ng th c (1) ta c: ng f vào

Bây gi nhân hai v c a (1) v i úp r i tr vào (2) ta có:

Theo gi thi t quy n p, h vect { 1, 2,,..., p-1} Do ó: Vì các ki ôi m t khác nhau nên r1 = r2 =... = ra = 0. 0.

c l p tuy n tính.

r1(k1 ­ kp) = r2(k2 ­ kp) =... = rp-1(kp-1 ­ kp) = 0. Thay các giá tr này vào (1) ta l i có rp p = 0 . Nhng p 0 nên rp = V y h vect { 1, 2,,..., p} 5.2. Da th c cho.

217

c l p tuy n tính.

c trng - Cách tìm vect riêng c a chúng i v i c s ã

tìm vect riêng ta ch c n tìm t a

Gi s ma tr n c a t

ng c u f. V V

i v i c s () là

là (x1, x2,.., xn) là m t vect riêng ng v i giá tr riêng k khi và ch khi f( ) = k . Nhng khi ó t a c a f( ) là (kx1, kx2,..., kxn). Theo ví d 4, m c 2.5,

có t a

C th hn là:

hay

t a

Nói tóm l i là m t vect riêng ng v i giá tr riêng k khi và ch khi (x1, x2,..., xn). C a nó là nghi m c a h phng trình (**).

Vì vect riêng khác 0 nên h phng trình này có nghi m không t m th ng. Do ó nh th c

i u này ch ng t m t t

ng c u mà ma tr n c a nó là A =

218

(aij)(m,n), có vect riêng khi và ch khi phng trình (***) nghi m.

i v i n k có

nh th c D chính là nh th c c a ma tr n A - kI, trong ó I là ma tr n n v . nh th c này vi t c d i d ng m t a th c b c n c a k: |A ­ kI| = D = (-1)nkn +... + |A|. Chú ý r ng n u A và B là hai ma tr n c a cùng m t t có m t ma tr n không suy bi n T sao cho B = T-1AT. Do ó: ng c u thì

Nh v y, i v i m t t ng c u, a th c nói trên không ph thu c vào c s c a không gian vect. nh ngha. Gi s A là ma tr n c a t c g i là ma tr n c trng, còn a th c c g i là a th c c trng c a t ng c u f. Ma tr n A - kI

|A ­ kI| = (-1)nkn+... + |A| ng c u f. T nh ng i u nói trên suy ra cách tìm vect riêng nh sau. Cách tìm vect riêng. 1) Tìm nghi m c a a th c c trng (t c là nghi m c a phng trình (***)). ó là các giá tr riêng, 2) Thay m i giá tr riêng tìm c vào v trí c a k trong h (**) r i gi i h này. M i nghi m riêng c a h là t a c a m t vect riêng ng v i giá tr riêng y. Không gian nghi m c a h (**) xác nh không gian riêng ng v i giá tr riêng v a ch n. Ví d 1. Cho phép bi n c s chính t c là i tuy n tính f: R3 R3 có ma tr n iv i

Tìm các giá tr riêng c a f và ng v i m i giá tr riêng tìm m t vect

219

riêng. Tìm các không gian b t bi n tng ng c a f. Gi i. Gi i phng trình

ta c: k1 = - 3, k2 = 1, k3 = 3. · V i k1 = 3, h phng trình (**) là h :

Gi i h này c nghi m t ng quát là ( c, -

6 5

7 c, c). 5 6 5 7 c, c) hay 5

Cho c3 = 5 ta c m t nghi m riêng 1 = (6, - 7, 5). Không gian b t bi n g m t t các các vect có d ng ( c, c (6, - 7, 5). 5

ó là không gian sinh b i 1.

· V i k2 = 1, gi i h

ta c nghi m t ng quát (- 2c3, c3, c3). Cho c3 = 1, c m t nghi m riêng 2 = (- 2, 1, 1). Không gian b t bi n tng ng g m các vect có d ng c3(- 2, 1, 1) = c3 2. V y không gian b t bi n này sinh b i 2. · V i k t = 3, gi i h

220

ta c nghi m t ng quát: (0, c, c). Cho c = 1 ta có m t vect riêng ng v i k3 = 3 là 3 = (0, 1, 1). Không gian b t bi n tng ng g m các vect có d ng: (0, c, c) = c(0, 1, 1) = c 3. V y không gian b t bi n này sinh b i 3. Vì ba vect riêng 1, 2, 2 tng ng v i ba giá tr riêng phân bi t nên theo nh lí m c 5.1, chúng c l p tuy n tính. Vì dimR3 = 3 nên chúng t o thành m t c s c a R3. Ví d 2. Cho t ng c u f: R3 R3 có ma tr n i v i c s chính

Tìm các giá tr riêng và v i m t không gian riêng tìm m t c s . Gi i. Gi i phng trình

ta c: k1 = - 9, k2 = k3 = 9. · V i k1 = - 9, gi i h

ta c nghi m t ng quát: (2c, c, 2c). Vì h ng c a ma tr n c a h phng trình này b ng 2 nên theo nh lí 3.2, Ch.IV, không gian riêng W1 tng ng (t c là không gian nghi m) có dimW1 = dimR3 - 2 = 1. Do ó m t vect riêng b t kì là m t c s , ch ng h n, v i c = 1, = (2, 1, 2) là m t c s . · V i k2 = 9, gi i h

221

ta c nghi m t ng quát: (c1, - 2c1-2c3, c3). H ng c a ma tr n c a h phng trình này b ng 1 nên không gian riêng tng ng W2 (không gian nghi m) có dimW2 = dimR3 - 1 = 2. M t c s c a nó là m t h nghi m c b n c a h phng trình. V i c1 = 1, c3 = 0 ta có nghi m riêng 1= (1, - 2, 0), v i c1 = 0, c3 = 1 ta có nghi m riêng 2 = (0, - 2, 1). H vect { 1, 2} là m t c s c a W2 . 5.3. Tìm giá tr riêng và vect riêng b ng máy tính i n t Ta l y l i hai ví d trong m c 5.2. Ví d . Cho m t t ng c u có ma tr n

a) Tìm giá tr riêng. b) Tìm vect riêng. Gi i. a) Tìm giá tr riêng B={{1,- 4,- 8},{- 4,7,- 4},{- 8, - 4, 1}} Màn hình xu t hi n ma tr n: Out[1]={{1, - 4, - 8}, {- 4, 7, - 4},{- 8, - 4, 1}} Eigenvalues[B] Màn hình xu t hi n: Out[2]={-9,9,9}. b) Tìm vect riêng: T o các ma tr n nh trên. N u ã có ma tr n trên màn hình thì không c n t o n a. tìm vect riêng ánh l nh: Eigenvectors [B]

222

Màn hình xu t hi n: Out[]={{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}. c) Tìm ng th i c giá tr riêng và vect riêng {vals, vecs}=Eigensystem[B] Màn hình xu t hi n: Out[]={{-9,9,9},{{2,1,2},{-1,0,1},{-1,2,0}}}

223

§6. CHÉO HOÁ MA TR N Nh ã nói tr c §5, khi cho ma tr n c a m t t ng c u i v i m t c s nào ó, ta mu n tìm nh ng c s mà i v i chúng ma tr n c at ng c u ã cho có d ng " p nh t"- d ng chéo. Khi ó ta nói r ng ma tr n ã cho chéo hoá c. 6.1. nh ngha ng d ng v i

M t ma tr n vuông c g i là chéo hoá c n u nó m t ma tr n chéo. Ví d Ma tr n

chéo hoá c. Th t v y, v i T =

- 1 - 1 - 2 - 1 và b n

1 - 1 và B = - 2 1

- 2 0 -1 0 3 ta có: T =

c có th ki m tra r ng A = T-1BT, ngha là A ~ B. u chéo hoá c?

Ph i chng m i ma tr n

Tr c h t ta th y: n u t ng c u có ma tr n chéo i v i m t c s nào ó thì m i vect c a c s y là m t vect riêng. Ta s th y i u ng c l i cng úng. 6.2. i u ki n m t ma tr n chéo hoá c

nh lí. M t ma tr n vuông chéo hoá c khi và ch khi nó là ma tr n c a m t t ng c u có m t h vect riêng là c s c a không gian. Ch ng minh. Coi A nh ma tr n c a m t t v i c s (). ng c u f. V V i

A là ma tr n vuông chéo hoá c khi và ch khi có m t ma tr n T sao cho:

224

Theo nh lí 5.1, i u này x y ra khi và ch khi B là ma tr n c a f i v i m t c s () mà f( j) = kj j, v i m i i {1, 2,..., n}; ngha là (') là m t c s g m nh ng vect riêng. H qu . N u A là ma tr n vuông c p n mà a th c có n nghi m phân bi t thì A chéo hoá c. Ví d 1. Cho ma tr n c trng |A ­ kI|

a) Chéo hoá ma tr n. b) Gi s ma tr n chéo v a tìm c là B. Hãy tìm ma tr n T T AT.

-1

B=

Gi i. a) ví d 1 m c 5.2, ta ã th y, n u coi A nh ma tr n c a t ng c u f c a R3 i v i c s chính t c thì f có ba giá tr riêng phân bi t là : kì - - 3, k2 = 1, k3 = 3. Các vect riêng tng ng: 1 = (6, - 7, 5), 2 = (- 2, 1, 1), 3 = (0, 1, 1) l p thành m t c s c a R3. Theo ch ng minh c a nh lí 6.2.

b) G i T là ma tr n chuy n t c s chính t c c a R3 sang c s { 1, 2, 3}. Vì

nên ma tr n chuy n t c s chính t c sang c s { 1, 2, 3} là

225

Theo ch ng minh

nh lí 4.1, B = T-1AT. c trng c a ma tr n A có nghi m

Bây gi ta xét tr ng h p a th c b i. Ch ng h n,

= k2(k - 4) có nghi m n là kì 4, nghi m kép k2 = k3 = 0. V i k1 = 4, không gian riêng W1 tng ng g m các vect có d ng (3c, 2c, c) hay W1 sinh b i vect (3,2,1). Do ó dimW1 1. V i k2 = k3 = 0, không gian riêng W2 tng ng g m các vect có d ng (c, 2c, - c) hay c , 2, - 1); t c là W2 sinh b i vect (1, 2, -1) và dimW2 = 1. Vì A ch có hai giá tr riêng k = 0 và k = 4 nên n u A chéo hoá c thì A ng d ng v i ma tr n có d ng

N uA f( 1) = 0 = vect này Tng t , n

ng d f( 2). cl p uA

ng v i B thì R3 có m t c s { 1, 2, 3} sao cho Suy ra 1, 2 thu c không gian riêng W2. Nhng hai tuy n tính. Trái v i nh n xét trên r ng dimW2 = 1. ng d ng v i C. V y A không chéo hoá c.

Tóm l i, n u s b i c a nghi m riêng l n hn s chi u c a không gian riêng tng ng thì ma tr n không chéo hoá c. Khi s b i c a m i nghi m riêng u b ng s chi u c a không gian riêng tng ng thì sao? Ta có nh lí sau.

226

6.3.

nh lí

Gi s a là m t ma tr n vuông c p n; k1, k2,..., kp là các nghi m c a a th c c trng \A ­ kI\, mi là s b i c a nghi m ki, v i m i i {1, 2,..., p}, m1 + m2+...+ mp = n, t c là:

và h ng(A ­ kiI) = n - mi. Khi ó A chéo hoá c. Ch ng minh. Gi s A là ma tr n c a t ng c u f: Rn Rn i v i c s chính t c. G i Wi là không gian riêng ng v i giá tr riêng ki. Vì h ng(A ­ kiI) = n - mi, nên theo nh lí 3.2, Ch. IV, dimWi = n ­ (n - mi) = mi. V i m i i = {1, 2,..., p}, ta ch n m t c s { i1, i2,..., im }} c a Wi. H vect

i

c l p tuy n tính. Th t v y, gi s

Vì i Wi nên nó là vect riêng ng v i giá tr riêng ki. Nhng các ki là nh ng giá tr riêng ôi m t phân bi t c a f. Theo nh h m c 5.1, h vect { 1, 2,,..., p} g c l p tuy n tính. T (3) suy ra i = r1i il +...+ rimi imi = 0. Theo cách ch n, h { i1, i2,..., imi} c l p tuy n tính. Do ó các h s rij = 0, v i m i i {1, 2,..., p} và m i j {1, 2,..., mi}. Vì dimRn = n và h (1) g m n vect riêng c l p tuy n tính nên nó là m t c s c a Rn. Theo nh lí 7.2, A chéo hoá c.

227

TÓM T T Chng này ã nêu lên các quy t c tính trên t p các ma tr n. Phép c ng hai ma tr n cùng ki u và phép nhân m t ma tr n v i m t s c th c hi n trên các thành ph n tng ng. T p h p các ma tr n cùng ki u là m t K-không gian vect. Nhân ma tr n A = (aij)(m,n) v i ma tr n B = (bjj)(n,p) c ma tr n C = (cik)(m.p) v i

Phép nhân có tính ch t k t h p nhng không giao hoán. T p h p các ma tr n vuông c p n v a là m t K - không gian vect v a là m t vành, c g i là m t K - i s . Trong i s Matn(K) có nh ng ma tr n kh ngh ch. ó là nh ng ma tr n có nh th c khác 0, g i là nh ng ma tr n không suy bi n. Ma tr n ngh ch o c a ma tr n A là ma tr n

trong ó Aij là ph n bù

i s c a thành ph n aij c a ma tr n A. ng d ng n u có ma tr n T

Hai ma tr n vuông A và B c g i là sao cho B = T-1AT tích hai

ây ta cng ch ng minh c nh th c c a tích hai ma tr n b ng nh th c c a hai ma tr n y: |AB| = |A|.|B|

Ma tr n có m i liên quan m t thi t v i ánh x tuy n tính: i v i hai c s () và () tng ng c a hai không gian V và W m t ánh x tuy n tính f: V W xác nh và c xác nh b i m t ma tr n duy nh t A =

228

(aij) g i là ma tr n c a f ng th c:

i v i hai c s () và (). Nó tho mãn các

N u A và B l n l t là hai ma tr n c a hai ánh x tuy n tính f và g thì A + B là ma tr n c a f + g, ma tr n AB là ma tr n c a fg (n u các phép toán có ngha); n u k K thì k t là ma tr n c a ánh x tuy n tính kf. Nói riêng, i v i các t ng c u f : V V, ta có khái ni m vect riêng và giá tr riêng. Vect 0 và f( ) = k v i m t s k nào ó c g i là m t vect riêng c a f, còn k c g i là giá tr riêng ng v i . Nh ma tr n A = (aij) c a f và nh th c |A ­ kI| ta tìm c các giá tr riêng c a f, ó là các nghi m c a phng trình |A ­ kI| = 0. Ma tr n A - kI c g i là ma tr n c trng, |A ­ kI| là a th c c trng c a f (hay c a ma tr n A). Mu n tìm t a c a vect riêng ng v i giá tr riêng k, ta gi i h phng trình

T p h p W g m 0 và các vect riêng ng v i m t giá tr riêng là m t không gian con b t bi n i v i f, t c là f(W) W. p vect riêng ng v i p giá tr riêng ôi m t phân bi t thì c l p tuy n tính. Do ó n u dimV = n và a th c c trng có n nghi m phân bi t thì V có m t c s g m các vect riêng. Ma tr n A c g i là chéo hoá c n u nó ng d ng v i m t ma tr n chéo. M t ma tr n chéo hoá c khi và ch khi nó là ma tr n c a m tt ng c u có m t h vect riêng là c s c a không gian V.

229

BÀI T P Tr c h t nh c l i r ng c s chính t c c a không gian vect Ra là c s g m các vect:

§1. MA TR N C A ÁNH X TUY N TÍNH 1. Cho hai không gian vect V và W có c s l n r t là ( 1, 2, 3}, ( 1, 2, 1, 2,} và ánh x tuy n tính f: v W xác nh b i:

a) Tìm ma tr n c a f

i v i hai c s

ã cho. nh b i:

b) Cho = 3 2 + 3. Tìm nh f( ). 2. Cho ánh x tuy n tính f: R3 R2 xác f( 1) = (-2, 3), f( 2) = (0, 5), f( 3) = (7, - 1), trong ó { 1, 2, 3} là c s chính t c c a R3. a) Tìm ma tr n c a f i v i các c s chính t c c a hai không gian. nh b i b) Tìm vect f( ), v i = (5, -1, 1). 3. Cho ánh x tuy n tính f: R3 R2 xác

a) Tìm ma tr n c a f

i v i hai c s chính t c () và () c a hai

230

không gian. b) Tìm ma tr n c a f t c () c a R2. i v i c s (') g m các vect

3 '1 = (1, 1, 0), '2 = (0, 1, 1), '3 = (1, 0, 1) c a R và c s chính

4. Xác nh ánh x tuy n tính f : R3 R3, bi t r ng ma tr n c a nó i v i c s chính t c c a R3 là

Cho = (3, - 2, 0). Tìm f( ) 5. Cho

i v i c s chính t c.

là ma tr n c a ánh x tuy n tính f: V W c a v và c s { 1, 2} c a W, V có t a c a f( ) i v i c s { 1, 2}.

i v i c s { 1, 2, 3} là (-1, 2, 3). Tìm t a

6. Cho P2, P3 l n l t là nh ng không gian con g m 0 và các a th c b c không v t quá 2, quá 3, : P2 P3 là ánh x tuy n tính xác nh b i: (a + bx + cx2) = a + (a + b)x + (b + c)x2+ cx3. a) Tìm ma tr n c a 2 x , x3} c a P3. i v i c s {1, x, x2} c a P2 và c s {1, x, c a ( ) i v i c s ã cho

b) Cho = 2 - 5x + x2. Tìm t a câu a). 7. Cho phép bi n chính t c là:

i tuy n tính f: R4 R4 có ma tr n

i v i c s

231

a) Tìm t a b) Tìm Kerf.

c a f( ), trong ó = (2, 5, 1, - 2).

§2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P CÁC MA TR N 8. Cho các ma tr n

Tính : a) A + B - C; b) 2A - 7B; c) 3A + 5B - 2C. 9. Cho hai ma tr n:

Tìm ma tr n X sao cho: a) A - X = B; b) 3B + 2X = A; C) 5X - 2A = 4B. 10. Cho hai ma tr n:

Tìm ma tr n X trong m i tr ng h p sau: a) X = A + t B; b) 3 t B - 2X = 2A; c) 3X + t A - 2B = 0, (0 ây là ma tr n 0). nh? tA

232

11. V i i u ki n nào c a hai ma tr n A và B thì A + t B xác

- B xác

nh?

12. Cho:

l n l t là ma tr n c a hai ánh x tuy n tính f và g ( c s ). Tìm ma tr n c a ánh x f- 2g. 13. Nhân các ma tr n:

i v i cùng nh ng

14. Cho hai ma tr n:

Tính AB và BA. Có k t lu n gì v tính giao hoán c a phép nhân ma tr n? 15. Cho các ma tr n:

a) Tính AB, BC. b) Tính (AB)C và A(BC). So sánh hai k t qu . 16. Cho ma tr n

233

Tìm t t c các ma tr n X sao cho AX = I, (I là ma tr n n v ). 17. Gi s A là m t ma tr n vuông, f(x) = a0 + a1x +...+ anxn, ta kí hi u f(A) = a0I + a1A +...+ anAn. Cho ma tr n A=

1 2 và a th c f(x) = x2 ­ 2x + 3. - 3 0

Tính f(A). 18. Cho AB là tích c a hai ma tr n A và B. Ch ng minh r ng: t(AB) = tB.tA. 19. G i () và () l n l t là c s chính t c c a hai không gian R4 và R3. Các ánh x tuy n tính f: R4 R3, g: R3 R3 xác nh b i:

Tìm ma tr n c a ánh x gf §4. IS

i v i các c s chính t c ã cho.

CÁC MA TR N VUÔNG C P N

20. Ch ng minh r ng v i A và B là hai ma tr n vuông c p n kh ngh ch ta có:

21. Cho các ma tr n

Tính

nh th c c a AB. o c a các ma tr n sau:

22. Tìm ma tr n ngh ch

234

23. Cho các ma tr n

Tìm ma tr n X tho mãn

ng th c AX + B - C.

24. a) Tìm m t ma tr n vuông A khác ma tr n 0, c p l n hn 1, mà A = 0. b) Ch ng minh r ng n u ma tr n vuông A tho mãn i u ki n A2 = 0 thì I + A và I - A là hai ma tr n ngh ch o c a nhau, ( ây I là ma tr n n v ). 25. Ch ng minh r ng n u m t trong hai ma tr n A và B không suy bi n thì hai ma tr n AB và BA ng d ng. 26. Cho f: V V là m t t ng c u có ma tr n i v i c s

235

Hãy tìm ma tr n c a f

i v i c s (') g m các vect:

27. Trong không gian vect V cho c s () = { 1, 2, 3} và c s (') g m các vect:

Ma tr n c a t

ng c u y: V V có ma tr n

i v i c s (') là

Tìm ma tr n c a f 28. f và g là hai t

i v i c s (). ng c u c a không gian vect R2. Ma tr n c a f

3 5

i v i c s g m hai vect 1 = (1, 2), 2 = (2, 3) là A = 4 3 . Ma tr n c a g i v i c s g m hai vect 1 = (3, 1), 2 = (4, 2) là B =

4 6 6 9 . Tìm ma tr n c a t

ng c u f + g

i v i c s { 1, 2}.

§5. VECT RIÊNG - GIÁ TR RIÊNG 29. Gi s A là ma tr n c a t ng c u f c a không gian vect V i v i m t c s ã ch n. Hãy xét xem trong m i tr ng h p sau vect nào là vect riêng:

236

30. Gi s là vect riêng c a hai t ng c u f và g ng v i hai giá tr riêng tng ng là kì, k2' ch ng minh r ng a cng là vect riêng c a các t ng c u fg và f + g. Tìm các giá tr riêng ng v i a c a t ng t ng c u y. 31. Tìm vect riêng c a các t ng c u có ma tr n d i ây:

32. Tìm vect riêng và không gian riêng tng ng v i m i giá tr riêng c a các t ng c u có ma tr n d i ây:

33. Hai ma tr n sau có

ng d ng không:

§6. CHÉO HOÁ MA TR N 34. Trong các ma tr n sau ma tr n nào chéo hoá c? N u c hãy a nó v d ng chéo.

237

35. V i m i ma tr n A sau ây hãy tìm m t ma tr n T ma tr n chéo:

t

|A| là m t

36. Gi s A là ma tr n c a t ng c u f trong không gian R3 i v i c s chính t c. Hãy tìm m t c s c a R3 ma tr n c a f là ma tr n chéo:

37. Bài t p t ki m tra Cho f. R3 R4 và g: R4 R3 xác nh l n l t b i i v i các c s chính t c f(a1, a2, a3) = (a1, a2, a1 - a2, a3), g(a1, a2, a3, a4) = (a1 + a2, a3, a4). a) Tìm ma tr n c a f và ma tr n c a g trong R3 và R4. b) Tìm ma tr n c a gf và fg

i v i các c s chính t c. ng c u? Tìm ma tr n

c) Trong hai ng c u gf và fg, ánh x nào là c a ánh x ng c c a ng c u.

d) Tìm m t c s c a Ker(fg), m t c s c a Im(fg). e) Tìm các giá tr riêng và các không gian con b t bi n tng ng c a gf và c a fg.

238

f) Trong hai ma tr n c a gf và fg, ma tr n nào chéo hoá c? Hãy chéo hoá trong tr ng h p có th .

239

VÀI NÉT L CH S Ma tr n ã có t r t s m. Trong cu n "C u chng toán s " ng i Trung Qu c ã dùng ma tr n gi i phng trình vô nh. Còn Châu âu l n u tiên ma tr n xu t hi n vào th k XIX, trong công trình c a nhà toán h c Anh tên là J. J. Sylvester (1814-1897) v vi c gi i h phng trình tuy n tính (tuy nhiên lúc ó cha có tên ma tr n). Chính Sylvester cng ã nh ngha khái ni m h ng c a ma tr n. V sau, Kelly (1821-1895), nhà toán h c Anh ã a ra các quy t c tính trên các ma tr n. Các công trình c a Sylvester và Kelly có liên quan n nh th c. Kronecker (nhà toán h c c (1823-1891)) và Capelli (nhà toán h c Italia) cng ã dùng ma tr n nghiên c u lý thuy t h phng trình tuy n tính. Ngày nay, ma tr n c ng d ng r ng rãi trong toán h c tính toán, trong V t lý, trong Kinh t và trong nhi u ngành khoa h c khác.

240

Chng VI D NG SONG TUY N TÍNH D NG TOÀN PHNG

M

U

Trong Hình h c, khi nghiên c u nh ng ng b c hai, m t b c hai, vi c a phng trình c a chúng v d ng chính t c có m t ý ngha r t quan tr ng, vì d ng chính t c ta d nh n bi t d ng và các c tính c a chúng, phân lo i chúng. Công vi c này th c hi n c nh nh ng khái ni m v d ng nh: d ng tuy n tính, d ng song tuy n tính, d ng toàn phng, và khái ni m không gian vect clit. Nh v y vi c nghiên c u Hình h c c th c hi n b ng nh ng phng ti n is .B n cs th y r ng phng ti n này t ra r t h u hi u. M t ánh x tuy n tính t m t K-không gian vect n K-không gian vect K c g i là m t d ng tuy n tính. M r ng khái ni m này ta có nh ng khái ni m: d ng song tuy n tính, d ng song tuy n tính i x ng, d ng song tuy n tính thay phiên, d ng toàn phng. L i nh khái ni m d ng song tuy n tính i x ng và d ng toàn phng mà ta s nh ngha c khái m m tích vô h ng trong không gian vect - m t khái ni m ã c làm quen t khi h c l p 10 tr ng Trung h c Ph thông. Tích vô h ng giúp ta xây d ng không gian vect clit. Khi h c chng này các b n c n n m c: - Các khái ni m d ng tuy n tính, d ng song tuy n tính, d ng toàn phng; - Các phng pháp a m t d ng toàn phng v d ng chính t c; nh lí quán tính c a d ng toàn phng; - Khái ni m không gian vect clit; - Khái ni m h c s tr c chu n và cách d ng m t h c s tr c chu n; m t s ng d ng c a nh ng ki n th c nói trên ng th i v n d ng

241

c nh ng ki n th c này trong vi c h c t p Hình h c và m t s môn h c liên quan khác. h c t p chng này c d dàng, b n c c n n m v ng các ki n th c v không gian vect, ánh x tuy n tính, ma tr n. §1. D NG TUY N TÍNH VÀ D NG SONG TUY N TÍNH 1.1. nh ngha, ví d

nh ngha. Gi s V là không gian vect. 1) Ánh x f : V R c g i là m t d ng tuy n tính trên V n u:

2) Ánh x : V × V R c g i là m t d ng song tuy n tính trên V n u:

v i m i , 1, 2, , 1, 2 thu c V và m i k R. 3) D ng song tuy n tính c g i là i x ng n u:

D ng song tuy n tính c g i là thay phiên n u:

Ví d 1. V i V = Rn, = (a1..., an) ' v i m i i = 1, 2,..., n, ta có phép chi u fi t Rn n R xác nh b i fi( ) = ai là d ng tuy n tính trên Rn. Ví d 2. Ký hi u Pn là không gian véc t g m a th c 0 và các a th c m t n x có b c bé hn ho c b ng n, v i h s th c, =

a x

i i =0

n

i

.

242

Ánh x f : Pn R, xác trên Pn.

nh b i f ( ) =

a

i =0

n

i

; là m t d ng tuy n tính

Ví d 3. V i V = R2, = (a1, a2), = (b1, b2). Ánh x : = R2 × R2 R, xác nh b i ( , ) =

a1 a2 b1 b 2

( nh th c c p hai), là m t d ng

song tuy n tính thay phiên. Th t v y, v i b t k = (a1, a2), = (b1, b2), ' = (a'1, a'2), ' = (b'1, b'2) R2 và k R ta có:

Hn n a ta có ( , ) = -( , ) Ví d 4. Ánh x = Rn × Rn R xác nh b i ( , ) = x1y1 + x2y2 +... + xnyn, v i = (x1, x2,..., xn), = (y1, y2,..., yn), là m t d ng song tuy n tính i x ng trên Rn. Ví d 5. Gi s V là không gian các vect (hình h c) có chung g c O. Ánh x t V × V vào R xác nh nh sau: V i OA = , OB = , ( , ) = | | | | là cos ( , ) (tích vô h ng c a và ), là m t d ng song tuy n tính i x ng. Th t v y, nh ã bi t trong giáo trình hình h c tr ng ph thông, v i ký hi u , là tích vô h ng c a hai vect và , ta có:

243

Nh n xét: - M t d ng tuy n tính trên V th c ch t là m t ánh x tuy n tính t V vào R, ó R c xét nh m t không gian vect trên chính nó - Ánh x : V × V R là m t d ng song tuy n tính trên V n u và ch n u nó là d ng tuy n tính trên V i v i bi n x khi ta c nh bi n y và tng t là d ng tuy n tính trên V i v i bi n y khi ta c nh bi n x. - M i d ng song tuy n tính trên V u có th bi u di n c thành t ng c a m t d ng song tuy n tính i x ng và m t d ng song tuy n tính thay phiên trên V. Th t v y: v i , V t:

D dàng ch ng minh c 1 là d ng song tuy n tính là d ng song tuy n tính thay phiên th a mãn = 1 + 2.

i x ng và 2

nh lý 1. Gi s V là không gian vect n chi u v i c s là { 1,..., 2 ,..., n}. Ánh x f : V R là m t d ng tuy n tính trên V khi và ch khi t n t i n s th c c1,..., cn sao cho f ( ) =

a jc j v i m i =

i =1

n

a

i =1

n

i i

V.

Khi ó f ( i) = ci, v i m i i = 1,..., n và f là d ng tuy n tính duy nh t trên V th a mãn i u ki n này. Ch ng minh. ây là tr ng h p c bi t c a nh lý v s xác nh m t ánh x tuy n tính (Ch.III). nh lý 2. Gi s V là không gian vect n chi u v i c s là {{ 1,..., 2,..., n}. Ánh x : V × V R là m t d ng song tuy n tính trên V khi và ch khi t n t i n2 s th c {dij| i, j =1, 2,..., n} sao cho ( , ) =

244

i =1

n

x i y jdij v i m i =

j =1

n

x i i , =

i =1

n

y

i =1

n

i i

V. Khi ó ( i, j) =

dij, v i m i i, j = 1,..., n và là d ng song tuy n tính duy nh t trên V th a mãn i u ki n này. Ch ng minh. Gi s là m t d ng song tuy n tính tùy ý trên V. V i m i c p (i, j), i, i =1,..., n t ( i, j) = dij. Khi ó v i hai vect b t

Ng c l i, gi s t n t i n2 s th c {dij | i, i = 1, 2,..., n } sao cho ánh x t V × V vào R tho mãn i u ki n trong nh lí. Khi ó v i b t k

Tng t ta cng ch ng minh c ( , + )= ( , ) + ( , ) và ( , k ) = k( , ). Do ó là m t d ng song tuy n tính trên V. Khi = i, = j thì xi = 1 và xt = 0 v i t i, yj = 1 và yh = 0 v i h i. Vì v y ta có : ( i, j) = dij v i m i c p (i, j). Gi s là m t d ng song tuy n tính trên V th a mãn ( i, j) = dij,

245

khi ó v i hai vect b t k = ( , ) = minh. Ví d :

x i i , =

i =1

n

y

i =1

n

i i

V ta có: nh lý c ch ng

x y d

i i =1 j =1

n

n

j ij

= ( , ). V y = .

Xét V = Rn, và { 1,..., 2,..., n} là c s chính t c c a V. D ng song tuy n tính trên Rn xác nh b i ( , ) = x1y1 + x2y2 +...+ xnyn, v i = (x1, x2,..., xn), = (y1, y2,..., yn) V là d ng song tuy n tính duy nh t trên Rn th a mãn ( 1, 2) = ij, trong ó ij = 1 khi i = j và ij = 0 khi i j. 1.2. Ma tr n c a d ng song tuy n tính nh ngha. Gi s { 1,..., 2,..., v} là m t c s c a không gian vect n chi u V trên tr ng s th c R, là m t d ng song tuy n tính trên V, ký hi u ( i, j) = aij R, i, j = 1, 2,..., n. Ma tr n vuông c p n sau ây c g i là ma tr n c a d ng song tuy n tính i v i c s { 1,..., 2,..., v} ã cho

Nh n xét: Gi s V là không gian vect v i c s { 1,..., 2,..., n} và A = (aij)n là ma tr n c a d ng song tuy n tính ép trên V. Khi ó v i =

n

x i i , =

i =1 n ij i j

n

y

i =1

n

i i

V, áp d ng

nh lý 2, m c 1.1, ta có: ( , ) =

a x y

i =1 j=1

.

Nh v y, n u bi t ma tr n c a d ng song tuy n tính q) i v i m t c s nào ó, thì ta có th xác nh nh ( , ) c a c p ( , ) tu ý; ngha là: m t d ng song tuy n tính c hoàn toàn xác nh b i ma tr n c a nó i v i m t c s ã cho.

246

Ví d 1. Trong Ví d 3 c a m c 1.1, n u ch n c s c a R là 1 = (1, 0), 2 = (0, 1 thì

Ví d 2. Trong ví d 4 c a m c 1.1, n u ch n c s c a V là hai vect OI = i , OJ = j , trong ó | i | | j | = = 1 thì:

Do ó ma tr n c a là

1.3. Liên h gi a hai ma tr n c a cùng m t d ng song tuy n tính i v i hai c s khác nhau Theo nh ngha, ma tr n c a d ng song tuy n tính thay i khi ta i c s c a không gian vect. Ta hãy xét m i liên quan gi a hai ma tr n c a cùng m t d ng song tuy n tính i v i hai c s khác nhau. nh lý. Gi s () = { 1,..., 2,..., n}, () = { 1, 2,..., n} là hai c s c a cùng m t R-không gian vect n chi u V, A = (aij)n và B = (bij)n l n l t là các ma tr n c a d ng song tuy n tính trên V i v i các c s tng ng () và (), T = (tij)n là ma tr n chuy n t () sang (). Khi ó B = tTAT. Ch ng minh. Vì T là ma tr n chuy n t c s () sang () nên

247

Ta có cki = ma tr n

n

a

l =1

n

kl lj

t là ph n t

dòng k c t j trong ma tr n tích AT và

(t )

' ik n

là ma tr n chuy n v c a ma tr n T, nên bij =

n n ' t 'ik a kl t lj = t ik c kj là ph n t dòng th i và c t th j c a ma tr n tích l=1 k =1 k =1

t

TAT. V y B = tTAT.

Ví d . Trên không gian vect R3 trên tr ng s th c R cho d ng song tuy n tính xác nh nh sau: V i = (x1, x2, x3), = (y1, y2, y3),

tr n là

i v i c s (): 1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1), có ma

N u xét c s () : () = (1, 1, 1), 2 = (1, 0, 1), 2 = (0, - 1, 1) thì

1 1 0 ma v n chuy n t c s () sang () là T = 1 0 - 1 1 1 1

Ma tr n c a

i v i c s () s là:

248

Cng có th tìm ma tr n B b ng cách tính tr c ti p bij = ( i, j). Ch ng h n b13 = ( 1, 3) = 2.1.0+1(-1)= 1.1 - 3.1.1 = -1 -1 - 3 = -5. §2. D NG TOÀN PHNG 2.1. nh ngha

nh ngha. Ánh x : V R (R là tr ng s th c) c g i là m t d ng toàn phng trên V n u t n t i m t d ng song tuy n tính f trên V sao cho ( ) = f( , ) v i m i V. Khi ó f c g i là d ng song tuy n tính sinh ra d ng toàn phng . Ví d : D ng song tuy n tính f( , ) = 3x1y2 - x2y1, v i m i vect = (x1, x2), = (y1, y2) R2, sinh ra d ng toàn phng ( ) = 2x1x2. Nh n xét (i) Có th có nhi u d ng song tuy n tính cùng sinh ra m t d ng toàn phng. Ch ng h n, n u f là m t d ng song tuy n tính không i x ng, t g( , ) = f( , ), , V thì các d ng song tuy n tính f và g trên V cùng sinh ra m t d ng toàn phng, nhng f g. (ii) Ta có th ch ng minh t n t i tng ng 1-1 gi a các d ng toàn phng trên V và các d ng song tuy n tính i x ng trên V; ngha là n u là m t d ng toàn phng trên V thì t n t i m t và ch m t d ng song tuy n tính i x ng sinh ra . Th c v y, gi s f là d ng song tuy n tính nào ó sinh ra d ng toàn phng , , , V, t ( , ) =

1 {( + ) - ( ) -( )}. Có 2

th th y ngay là m t d ng song tuy n tính Gi s cng là m t d ng song tuy n tính Khi ó , V ta có:

i x ng trên V sinh ra . i x ng trên V sinh ra .

Vì v y d ng song tuy n tính r qua công th c:

i x ng hoàn toàn c xác

nh b i

249

D ng song tuy n tính g i là d ng c c c a .

i x ng sinh ra d ng toàn phng r c

(iii) T nh lý m c 1.2 suy ra r ng n u V là không gian vect n chi u v i c s là { 1,..., 2,..., n} thì ánh x : V R là m t d ng toàn phng trên V khi và ch khi ( ) =

a x y

ij i i =1 j=1

n

n

j

v i m i = nh.

x

i =1

n

i i

V, trong ó aij (i, j = 1, 2,..., n) là dãy các s th c xác

2.2. Ma tr n c a d ng toàn phng nh ngha. Gi s là d ng toàn phng tng ng v i d ng song tuy n tính i x ng . Ma tr n c a i v i c s { 1,..., 2,..., n} cng c g i là ma tr n c a d ng toàn phng i v i c s y. Nh v y nên A = (aij)n là ma tr n c a d ng toàn phng i v i c s { 1,..., 2,..., n}, thì A có tính ch t aij = ( i, j) = ( j, i) = ai;. Ma tr n có tính ch t này c g i là ma tr n i x ng. V i = t a

x

i =1

n

i i

, bi u th c ( ) =

a x y

ij i i =1 j=1

n

n

j

c g i là bi u th c

c a . Ví d . Ánh x : R3 R xác nh nh sau:

V i = (x1, x2, x3), ( ) = 2x21 - 2x1x2 + 4x1x3 - x22 + 3x23, là m t d ng toàn phng ng v i d ng song tuy n tính i x ng q) xác nh b i: ây = (y1, y2, y3). i v i c s () : 1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1), và có ma tr n là:

Vì ma tr n c a d ng toàn phng là

i x ng, t c là aij = aji, nên

i

250

v i =

x i i , bi u th c t a

i =1

n

( ) =

a x y

ij i i =1 j=1

n

n

j

có th vi t là:

Ch ng h n

i v i d ng toàn phng trong ví d ta có:

Ng c l i, n u d ng toàn phng c xác

nh b i

ng th c

2.3. D ng toàn phng xác

nh

nh ngha. D ng toàn phng trên không gian vect V c g i là xác nh n u: ( ) = 0 kéo theo = 0 . nh lý. N u là m t d ng toàn phng xác m t d u v i m i a V. Ch ng minh. C th c: nh thì r n có cùng

nh vect 0 , v i b t k c a V, ta xét bi u

trong ó là d ng song tuy n tính

i x ng tng ng c a .

N u có giá tr x = k R (k 0) sao cho = k thì

Do ó ( ) cùng d u v i ( ). N u v i m i x R, t c là - x 0 thì vì là d ng toàn phng xác nh nên

251

i u này có ngha là phng trình x2( ) - 2x( , ) + ( ) = 0 i v i n x vô nghi m. Vì th ' = [( , ]2 - ( ) ( ) < 0 hay

V y ( ) cùng d u v i ( ). nh ngha. D ng toàn phng trên không gian vect V c g i là xác nh dng (âm) n u ( ) > 0 (( ) < 0 ) v i m i 0 thu c V. H qu . N u là m t d ng toàn phng xác nh dng (âm) trên không gian vect V và W là m t không gian con c a V thì thu h p c a trên W (ký hi u là | W ) cng là m t d ng toàn phng xác nh dng (âm) trên W. §3. A D NG TOÀN PHNG V D NG CHÍNH T C 3.1. nh ngha i

Gi s là m t d ng toàn phng trên không gian vect V. N u v i c s () = { 1, 2,..., n} c a V bi u th c t a c a là

thì bi u th c này c g i là d ng chính t c c a d ng toàn phng . Trong tr ng h p này ma tr n c a d ng toàn phng i v i c s () là m t ma tr n chéo (aij = aji = 0 v i i j). Vi c i c s n m t d ng toàn phng ã cho i v i c s m i có d ng chính t c c g i là a d ng toàn phng v d ng chính t c. 3.2. nh lý u a c v d ng chính t c.

M i d ng toàn phng

Ch ng minh. Gi s là m t d ng toàn phng trên không gian vect V. Ta ch ng minh nh lý b ng quy n p theo s chi u n c a V.

252

N u n > 1 thì có bi u th c t a chính t c. Gi s n > 1 và m nh

d ng ( ) = ax2.

ó là úng

úng v i (n - 1), hn n a ( ) =

i v i c s () =

{ 1,..., 2,..., n} c a V, có bi u th c t a

=

a x y

ij i i =1 j=1

n

n

j

,v i

x

i =1

n

i i

.

a) Tr ng h p có m t aii 0. Gi s a11 0, ta vi t ( ) d i d ng:

253

Công th c t a

(I) có th vi t thành:

Công th c bi n

it a

(II) cho ta ma tr n

Mà nh th c |T| = 1 0. Do ó theo công th c liên h t a c a i v i hai c s khác nhau thì T là ma tr n chuy n t c s () sang c s () = { 1, 2,..., n}, mà i v i nó =

y

j i=2

n

n

. G i W là không gian t =

vect con c a V sinh b i các vect { 2,..., n}. có bi u th c '( ) =

n

y

j i=2

n

n

W, ta

k z

i=2

n

2 i i

+2

b y y

ij i 2 i j n

j

xác

nh d ng toàn phng a v d ng chính

thu h p c a trên W. Theo gi thi t qui n p, ' có th t c '( ) =

k z

i=2

2 i i

.

t a11 = k1, y1 = z1, ta có: ( )=

k z

i=2

n

2 i i

.

b) Tr ng h p aii = 0 v i m i i = 1, 2,..., n. Trong tr ng h p này bi u th c t a Hi n nhiên ph i có m t akh 0. Bi n c a là (a ) = it a :

a x x

ij i 2 i j n

j

.

Phép bi n

it a

này xác

nh ma tr n:

254

V i |S| = 2 0. S l i là ma tr n chuy n t c s () sang m t c s () mà i v i nó = y j n và bi u th c t a

i=2 n

c a có d ng:

t bkk = 2akh 0, ta l i tr v tr ng h p a). minh.

nh lý c ch ng

H qu . Gi s r là m t d ng toàn phng có d ng chính t c ( ) =

k z

i=2

n

2 i i

. Th thì là d ng toàn phng xác

nh dng khi và ch khi k1

> 0, v i m i i = 1,.., n. Ch ng minh. "" Gi s là xác nh dng và trong bi u di n chính t c i v i m t c s nào ó có m t h s , ch ng h n k1 < 0. Khi i v i c s trên là (1, 0,..., 0), ta có. ( ) = ó v i ( 0) có t a k1 0. Trái v i gi thi t r ng r là m t d ng xác V y ki > 0 v i m i i = 1,..., n. "" Hi n nhiên. Có nhi u phng pháp khác nhau a m t d ng toàn phng v d ng chính t c: phng pháp chéo hóa ma tr n, phng pháp Jacobi... Quy trình rút g n d ng toàn phng trình bày trong nh lý trên c g i là phng pháp Lagrange. ây là phng pháp dùng liên ti p nhi u phép bi n i tuy n tính a m t d ng toàn phng v d ng chính t c. Ví d : a d ng toàn phng sau trên R3 v d ng chính t c nh dng.

255

Ví d 2. a d ng toàn phng ( ) = 4x1x2 + 3x2x3 trên R3 v d ng chính t c. Gi i.

Khi ó ta có:

256

Ta c

( ) = 4 z12 - 4 z 2 2

2 Ví d 3. a d ng toàn phng ( ) 2 x 1 + 3x1x2 + 4x1x3 + x 2 + x 3 trên 2 3 3 R v d ng chính t c.

ta nh n d c bi u th c c a

i v i c s m i ( ) = { 1, 2, 3} là:

3.3. Da d ng toàn phng v d ng chinh tác b ng máy tính i n t Ta có th s d ng phng pháp Lagrange v i s h tr c a ph n m m toán Maple da bi u th c t a c a d ng toàn phng v d ng chính t c. Quy trình c th nh sau:

257

Tr c tiên ta ph i s d ng hai l nh t o môi tr ng tính toán là: >restart; >with(student); [D,Diff, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, Changevar, Completesquare, Distance, Equate, Integran , Intercept, Intpart, leftbox, leftsum, makeproc, mi dlebox, middlesum, midpoint, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent, símpon, slope, summand, trapezoid] Trong quá trình bi n = 0. i c n chú ý phân bi t tr ng h p a1i 0 v i aii

2 Ví d 1. a d ng toàn phng ( ) = x 1 + 5 x 2 - 4 x 3 + 2x1x2 2 3 4x1x3 trên R3 v d ng chính t c.

Ta s d ng l nh c a Maple theo t ng b c sau: B c 1: ánh l nh >completesquare(x1^2+5*x2^2-4*x3^2+2*x1*x2-4*x1*x3,x1); Ta nh n c ( ) = (x1 + x2 ­ 2x3) + 4 x 2 + 4x2x3 ­ 8 x 2 2 3 Ta t y1 = x1 + x2 - 2x3. B c 2: ánh l nh sau: > completesquare(y1^2+4*x2^2+4*x2*x3-8*x3^2,x2); Ta nh n c: ( ) = 4(x2 + Ta t ti p : y2 = x2 +

1 x3)2 - 9 x 2 + y12. 3 2

1 x3, y3 = x3. 2

Ta nh n c bi u th c chính t c c a d ng toàn phng r là:

2 Ví d 2. a d ng toàn phng ( ) = x 1 + 4 x 2 + x 2 + 4x1x2 + 2 3 3 2x1x3 + 2x2x3 trên R v d ng chính t c.

Ta s d ng l nh c a Maple theo t ng b c sau: B c 1 : ánh l nh

258

B c 2. Ti p t c th c hi n l nh > completesquare(y1^2-2*(y2+y3)*(y2-y3),y2),

Chú ý. gi l i c h phng trình bi u di n các phép bi n i, ta c n ghi l i phép t n ph trong quá trình làm các câu l nh c a Maple. Nh v y, sau khi ti n hành gi i bài toán b ng phng pháp Lagrange, ta có th ki m tra l i t ng b c c a các phép bi n i ã làm. Trong m t s tr ng h p quá khó, ta có th s d ng Maple tìm tr c k t qu sau ó a ra các phép bi n i cho phù h p. 3.4. nh lý quán tính

M t d ng toàn phng có th có nhi u d ng chính t c. Song chúng có m t i m chung c th hi n b i nh lý sau: nh lý 1. (1u t quán tính) Trong hai d ng chính t c b t k c a cung m t d ng toàn phng s các h s dng b ng nhau, s các h s âm b ng nhau.

2 Ch ng minh. Gi s : ( ) = a1 x 1 + ... + ar x 2 ­ b1 x 2+1 - ... ­ b3 x 2+ 3 r r r

là d ng chính t c c a i v i c s (') = { 1,..., 2,..., n}, trong ó ai > 0, i = 1,... r, bj > 0, j = 1,..., s.

2 (c) = c1 y1 +... + ct y 2 ­ d1 y 2+1 - ... - du y 2+ u , là d ng chính t c c a r t t t

i v i c s () = { 1, 2,..., n}, trong ó ck > 0, k = 1,..., t, d1 > 0, l = 1,..., u. Ta ph i ch ng minh r = t, s = u. Gi s r < t. Xét không gian con W sinh b i h vect { r+1,..., n} và không gian con U sinh b i h vect { 1,..., t}. Ta có dimW = n - r, dimU = t. Vì r < t nên t - r > 0. T ó suy ra dimW + dimU = n + t - r > n = dimV.

259

Do dimW + dimU - dim (W U) = dim (U + W) dimV, nên dim (W U) dimW + dimU - dimV = n + t - r - n = t - r > 0. Vì th : W U { 0 }. Gi s

W U và 0 ,

ó là i u không th c. V y r t. Thay l i suy ra t r. Do ó r - t. Cng l p lu n nh v y

i vai trò c a r và t, ta

i v i s và u, ta c u = s. nh dng ta

nh lý trên ây c g i là lu t quán tính c a d ng toàn phng. phát bi u m t tiêu chu n c a d ng toàn phng xác a ra khái ni m sau. i v i ma tr n vuông

m i

nh th c

c g i là m t

nh th c con chính c a ma tr n A.

nh lý 2. Gi s a là ma tr n c a d ng toàn phng trên không gian vect n chi u V. Khi ó là d ng toàn phng xác nh dng n u và ch nên m i nh th c con chính c a A u dng. Ch ng minh. Gi s là d ng toàn phng trên V và A là ma tr n c a nó i v i c s () = { 1,..., 2,..., n}. G i Vk là không gian con c a V, sinh b i các vect { 1,..., 2,..., k}

260

(k = 1, 2,..., n). Khi ó thu h p c a r trên Vk (ký hi u là |Vk là m t d ng toàn phng v i ma tr n

"" N u xác nh dng thì |Vk, cng xác > 0 V i m i k = 1, 2,..., n.

nh dng. Do ó Dk

"" Gi s Dk > 0 v i m i k = 1, 2,..., n. Ta s ch ng minh là d ng toàn phng xác nh dng b ng qui n p theo n. V i n = 1, D1 = a11 > 0, bi u th c c a d ng toàn phng là ( ) = 2 a11 x 1 > 0. Gi s v i m i n > 1, i u kh ng toàn phng nh úng v i in - 1). Khi ó d ng

n-1 = |Vn-1 có ma tr n là An-1. Theo gi thi t, các nh th c con chính c a An-1 u dng. Do ó, theo gi thi t qui n p, n-1. Xác nh dng. Vì th có m t c s { 1, 2,..., n-1} c a Vn-1 Sao cho rn-1 có d ng chính t c, trong tr ng h p này ta có n-1( ) = ki > 0, i = 1, 2,..., n-1. Khi ó có ma tr n i v i c s { 1, 2,..., n}

Trong ó bin = bin = ( i, n), v i là d ng song tuy n tính tng ng c a . v i

i x ng

261

Tìm c c s () = { 1, 2,..., n} c a V, Có d ng:

i v i nó, ma tr n c a

G i T là ma tr n chuy n t c s () sang c s () ta có C = T-1AT. Do ó: k1...kn-1 kn = |C| = |T-1|.|A|.|T| = |T-1|.|T|.|A| = |A|. Vì |A| > 0 theo gi thi t và ki > 0, v i i = 1, 2,..., n- nên kn =

|A| > 0. Nh v y k1 k 2 ...k n -1

i v i c s (), có d ng ({ 1, 2,...,

m}) =

k z

i =1

n

2 i i

, trong ó ki > 0 v i m i i = 1, 2,..., n. V y là d ng toàn

phng xác

nh dng. §4. KHÔNG GIAN VECT CLIT

4.1.

nh ngha không gian vect clit

nh ngha. 1) D ng song tuy n tính i x ng trên không gian vect V c g i là m t tích vô h ng trên V n u 0 thu c V ta có ( , ) > 0. V i , V, s th c ( , ) c g i là tích vô h ng c a và

, kí hi u b i . . N u = , thay cho . ta vi t

2

2) Không gian vect V c g i là m t không gian vect clit n u

262

trên V có m t tích vô h ng. Chú ý: Trên cùng m t không gian vect th c V có th xác nh nhi u tích vô h ng khác nhau, và ta có th nh n c nh ng không gian vect clit hoàn toàn khác nhau. Ví d 1. Xét không gian V các vect hình h c có chung g c O. Trong không gian này, d ng song tuy n tính c xác nh b i: ( OA , OB ) = | OA |. | OB |cos ( OA , OB ), là m t tích vô h ng trên V, v i tích vô h ng ó, V là m t không gian vect clit. Ví d 2. Trên không gian Rn, d ng song tuy n c xác nh b i ( , ) = x1y1 + x2y2 + ...+ xnyn, v i = (x1, x2,..., xn) = (y1, y2,..., yn), là m t tích vô h ng và Rn là m t không gian vect clit, tích vô h ng này c g i là tích vô h ng chính t c. 4.2. C s tr c chu n nh ngha. Gi s E là m t không gian vect clit. 1) Hai vect , c a E c g i là tr c giao n u . = 0; kí hi u là . 2) V i m i E ta g i

( )

2

là chu n c a vect , kí hi u | |.

N u | | = 1 thì ta nói là vect

nh chu n.

3) C s () = { 1,..., 2,..., n} c a không gian vect clit E c g i là m t c s tr c chu n n u i, j = ij. (Trong ó ij là ký hi u Kronecker th a mãn ij = 1 khi i = j, ij = 0 khi i j). Ví d 1. Trong không gian V c a ví d 1, m c 4.1, 3 vect tu ý OI , dài b ng 1 l p thành c s tr c OJ , OK ôi m t vuông góc và có chu n. Ví d 2. Trong không gian vect clít Rn ví d 2, m c trên, c s

là m t c s tr c chu n. C s () c g i là c s chính t c c a không gian vect clit Rn. Ví d 3. H vect

263

là m t c s tr c chu n trong không gian R3. Vect = (1, 4, 3) R3 có bi u th c t a i v i c s ( ) nh sau = 4. 1 + 2 2 . 2 - 2 3 véc t có t a 26 . i v i c s ( ) là = (4, 2 2 2 ). Ta có | | =

nh lý 1. Gi s E là m t không gian vect clit. Khi ó: 1) V i E, || || = 0 khi và ch khi = 0 . 2) V i m i E, m i k R ta có ||k || = |k| .|| ||. 3) V i m i , E ta có | . | || ||.|| ||, (b t Bunhiakovsky). ng th c Cauchy ng th c

4) V i m i , E ta có || + || || || + || ||, (b t tam giác). Ch ng minh. G i là tích vô h ng trên E. 1) Hi n nhiên n u = 0 || || = 0. Ng c l i n u || || = 0 thì ( , ) = 2 = || ||2 = 0. T suy ra = 0 (do tính xác nh c a ). 2) Rõ ràng: ||k || =

(k ) 2 = k 2 ()2 = |k|. ()2 = |k|.|| ||.

ó suy ra

3) V i m i , E, v i m i giá tr c a x R ta có: 0 || - x ||2 = 2 ­ 2x . + x2 2. Do ó ' = ( . ) - 2. 2 0 | . | V y | . | || ||.|| ||. D u b ng x y ra khi = k. (hai vect , là ph thu c tuy n tính).

() 2 . ( )2

264

D u b ng x y ra khi = k. (v i k 0). nh lý 2. M i h g m nh ng vect khác không, ôi m t tr c giao c a m t không gian vect clit u c l p tuy n tính. Ch ng minh. Gi s 1, 2, ,..., n là nh ng vect khác không, ôi m t tr c giao c a không gian vect clit E, xét V i m i j, j = 1,..., r ta có ng th c

k

i i =1

r

i

= 0.

Vì j nên || || 0 nên ta có kj = 0. V y kj = 0 j = 1,..., r. V y h véc t 1, 2,..., r là c l p tuy n tính. u có c s nh lý 3. M i không gian vect clit n chi u (n 2) tr c chu n. Ch ng minh. Ta ch ng minh b ng qui n p theo n. V i n = 1 d dàng ch ng minh c m nh . V i n = 2, gi s 1, 2 là m t c s nào ó c a không gian vect clit E.

Tìm vect có d ng: = x1 1 + 2, tho mãn i u ki n: 1,

Nh v y: = 2 ­ ( 2, 1) 1 hoàn toàn c xác

nh.

265

t: E2 =

, hi n nhiên || 2|| = 1, do 2 1 nên theo

nh lý 2 ta

c h vect { 1, 2} là c l p tuy n tính, do ó là m t c s tr c chu n c a không gian clit 2 chi u E. Bây gi gi s E là không gian vect clit n-chi u v i n > 2 và m nh ã c ch ng minh v i m i không gian có s chi u (n - 1). G i F là m t không gian con (n ­ 1) chi u c a E. Theo gi thi t qui n p F có m t c s tr c chu n, ch ng h n: { 1,..., 2,..., n-1}. L y tùy ý n E\F. Tìm vect n có d ng: n =

x

i -1

n -1

i i

+ n, tho

mãn i u ki n: n. j = 0 (v i m i j = 1,2,..., n - 1). Suy ra

n j = 0, j =1,2,..., n - 1.

x

i -1

n -1

i i

j +

Vì i j = ij nên

ng th c trên ch là: xj + n j = 0. nh b i các xj = - n j v i m i j =

Nh v y n c hoàn toàn xác 1, 2,.., n - 1. t: n =

n n

, hi n nhiên l n || n|| = 1, ta c m t h tr c chu n

g m n vect { 1, 2,... n-1, n}. Hn n a theo cách xác nh véc t ta có n i (i = 1,..., n - 1 ) nên theo nh lý 2, h { 1, 2,... n-1, n} là c l p tuy n tính. Vì dimE = n nên nó là m t c s tr c chu n c a E. Vi c xây d ng h tr c chu n trên ây c g i là quá trình tr c chu n hoá Giam - Smit. Quá trình tr c chu n hoá có th xu t phát t m t c s b t k ( ) = { 1, 2, ,..., n} cho tr c. Khi ó ta xác nh 1 =

1 1

sau ó theo

phng pháp trên ta xác nh 2 thông qua 1 và 2,..., xác nh i thông qua 1,..., i-1 và i,..., và cu i cùng xác nh n qua 1,..., n-1 và n. Công th c t ng quát c a quá trình tr c chu n này là:

266

Ta nh n c h { 1,..., 2,..., n} là c s tr c chu n c n tìm. nh lý 4. N u () = { 1,..., 2,..., n} là m t c s tr c chu n c a không gian clit n chi u E, thì v i E ta có :

Ch ng minh. Vì () = { 1,..., 2,..., n} là c s c a E nên có s bi u di n duy nh t d i d ng:

V i m i i = 1, 2,..., n, nhân vô h ng hai v c a i; ta có:

ng th c trên v i

V y có d ng c n ch ng minh. Nh v y, n u () = { 1,..., 2,..., n} là c s tr c chu n c a không gian cht n chi u E, thì ta có th xác nh ngay t a c a m t véc t b t k i v i c s ã cho, ó là ( 1, 2,..., ) ; ngha là = (xi) v i xi = i, i = 1,..., n. Ví d : Trong không gian clit R3 (v i tích vô h ng chính t c) xét h vect sau: 1 = (0, 1, 0) ; 2 = (4 3 3 4 , 0, ). 3 ( , 0, ). D dàng 5 5 5 5

ki m tra c h vect 1, 2, 3 là m t c s tr c chu n c a R3. bi u di n véc t = (1, 4, 7) là m t t h p tuy n tính c a c s trên ta th c hi n nh sau:

267

4.3. Không gian con bù tr c giao Nh n xét: Gi s F là m t không gian con c a không gian vect clit E. T p h p H = { E | , F} là m t không gian con c a E. Th t v y, hi n nhiên H vì 0 H. V i 1, 2 H và k R ta có: 1. = 0, 2. = 0 V i m i F. Do ó ( 1 + 2). = 1.

+ 2 = 0, F.

i u này có ngha là ( 1 + 2) H.

Tng t , ta có (k ). = k( . ) = 0, F. Do ó k H. V y H là m t không gian con c a E. nh ngha. Không gian con H = { E | , F} c g i là không gian con bù tr c giao v i không gian con F. nh lý. N u H là không gian con bù tr c giao v i không gian con F c a không gian vect clit n chi u E thì F H = { 0 } và E = F + H. Ch ng minh. L y tùy ý F H, theo cách xác nh H ta th y tr c giao v i chính nó, ngha là 2 = 0. Theo nh lý nh lý 1 (4.2) ta có = 0 v y F H = { 0 }. Gi s { 1,..., 2,..., r} là m t c s tr c chu n c a không gian con F. B sung vào nó c m t c s tr c chu n c a E: { 1 2,..., r, r+1,..., n}. Khi ó m i véc t E u bi u di n duy nh t d i d ng:

268

Khi V là không gian vect th a mãn V = F + H, F H = { 0 }, trong ó F, H là nh ng không gian con c a V, ng i ta nói r ng V là t ng tr c ti p c a F và H. 4.4. Hình chi u c a m t vect lên không gian con Gi s E là không gian clit n chi u, F là không gian con tùy ý c a E, khi ó E ta luôn có bi u bi n duy nh t = + , v i F, H, trong ó H là không gian con bù tr c giao c a F. Ta s g i vect là hình chi u tr c giao c a lên F và ký hi u là hchF , còn vect =

- = - hchF c g i là thành ph n c a tr c giao v i F.

Ví d : Xét không gian clit R3 (v i tích vô h ng chính t c) và không gian con F c sinh b i các vect sau: 1 = (0, 1, 0); 2 = (3 ). D dàng ki m tra c ó là c s tr c chu 5 4 3 trên ta có h 1 = (0, 1, 0) ; 2 = (- , 0, ) ; 3 = 5 5 4 , 5

0,

n c a F. Theo Ví d ( , 0, 3 5 4 ) là c s 5

tr c chu n c a R3.

V i = (2, 1, 3), ta có:

Khi ó hình chi u tr c giao c a = (2, 1, 3) lên F là:

Thành ph n c a tr c giao v i F là :

18 54 72 ). 3 = ( , 0, 5 25 25

269

4.5. Phép bi n

i tr c giao - Ma tr n tr c giao

nh ngha. Gi s E là m t không gian vect clit n chi u. T ng c u f. E E c g i là m t phép bi n i tr c giao n u

nh lí 1. Gi s E là m t không gian vect clit n chi u. T ng c u f: E E là phép bi n i tr c giao khi và ch khi nó bi n c s tr c chu n thành c s tr c chu n. Ch ng minh. "": Gi s hà m t phép bi n i tr c giao và () = { 1,..., 2,..., n} là m t c s tr c chu n b t k c a E. Khi ó f( 1).f( j) = i j = ij, vi m i i, j = 1, 2,..., n. Nh v y ta có f( i) f( j) v i i j, và ||f( i)|| 1 v i i j = 1, 2,..., n. V y h {f( 1), f( 2),..., f( n)} là m t c s tr c chu n c a E. "" Gi s f là m t t ng c u c a E sao cho v i m i c s tr c chu n { 1,..., 2,..., n} c a E ta có h vect {f( 1), f( 2),..., f( n)} cng là m t c s tr c chu n c a E. V i = có:

xi i

i =1

n

y

i i =1

n

i

tùy ý thu c E ta

V y f là m t phép bi n

i tr c giao.

nh lý 2. Gi s E là m t không gian vect clit, A là ma tr n c a t ng c u f: E E i v i m t c s tr c chu n () = { 1,..., 2,..., ng c u f là tr c giao khi và ch khi tAA = I (I là ma tr n n n}. T v ). Ch ng minh. "": Gi s f là m t phép bi n i tr c giao có ma tr n tr c chu n () = { 1,..., 2,..., n} là : i v i c s

270

Nhng tích ta.A. V y

a

k =1

n

ki kj

a chính là ph n t

dòng th i và c t th j c a ma tr n

A.A = I.

"" Gi s t A.A = I, cng nh trên ta có: f( i).f( j) = i. j =ij. Do ó h vect {f( 1), f( 2),..., f( n)} là m t c s tr c chu n c a không gian vect clit E. V y theo nh lýl f là m t phép bi n i tr c giao. nh ngha. Ma tr n vuông A c g i là m t ma tr n tr c giao n u

t

A.A = I (I là ma tr n n v ).

H qu . f là m t phép bi n i tr c giao khi và ch khi ma tr n c a nó i v i m t c s tr c chu n là m t ma tr n tr c giao. Ví d : Các ma tr n sau là nh ng ma tr n tr c giao: a) Ma tr n n v I;

4.6. Phép bi n

i d i x ng

nh ngha. Gi s E là m t không gian vect clit n chi u. T ng c u f: E E c g i là phép bi n i i x ng n n .f( ) =

271

f( ). , , E. nh lý. Gi s E là m t không gian vect clit n chi u. T ng c u f c a E là phép i x ng nên và ch n u ma tr n c a f i v i m t c s tr c chu n là m t ma tr n i x ng. Ch ng minh. "" Gi s f là phép bi n i i x ng c a E và ma tr n c a f i v i c s tr c chu n () = { 1,..., 2,..., n} là ma tr n A = (aij)n. Khi ó:

Vì f là phép bi n Ta có A là ma tr n

i

i x ng nên i.f( j) = f( i). j. Do ó aij = aji, i x ng.

"": Gi s ma tr n c a t ng c u f i v i c s tr c chu n () : { 1,..., 2,..., n} là ma tr n i x ng A = (aij)n. Khi ó ta có các ng th c (1) và (2) E, ta có: trên. V i hai vect =

x

i i =1

n

i

, =

y

i i =1

n

i

tu ý c a

Vì aij = aji do ma tr n A V y f là phép 4.7. ng d ng i x ng.

i x ng nên .f( ) = f( ) .

nêu lên m t ng d ng c a phép bi n nh lý sau: nh lí 1. N u A là m t ma tr n

i tr c giao ta c n

n các

i x ng v i các thành ph n là

272

nh ng s th c thì m i nghi m c a a th c th c.

c trng |A ­ kI|

u là s

Ch ng minh. Gi s k là m t nghi m c a phng trình |A ­ kI| = 0. Xét phng trình (A - kIn)X = 0. Gi s X0 là m t nghi m không t m th ng c a phng trình ó, ta có (A - kI )X = 0 X (A - kIn)X0 = 0 X AX = k X X0 (*)

u1 u 0 X = 2 . Khi ... u n

t_ t_ 0

n

0

t_ 0

0

t_ 0

Gi s

ó t X 0 = ( u1 u 2 ... u n ). Ta có X 0 X0 =

u

i =1

n

i

u n là s th c. Do ó

t 0

k X X = k.

0

u

i =1

n

i

u n = k.

u

i =1

n

n

u i = k tX0 X 0 = t(k t X 0 X0). Vì A là

ma tr n i x ng v i các ph n t là nh ng s th c nên ta có t X 0 AX0 = t t 0 ( X AX0) = tX0 X 0 . Do ó X 0 AX0 = tX0 X 0 = t X 0 AX0. V y t X 0 AX0 là s th c. T (*) suy ra k t X 0 X00 là s th c. Theo nh n xét trên có t X 0 X0 là s th c, do ó k là s th c. nh lý c ch ng minh. nh lý 2. N u f là m t phép i x ng c a không gian vect clit n chi u E thì hai không gian con riêng ng v i hai giá tr riêng phân b c a f ph i tr c giao v i nhau. Ch ng minh. Gi s f : E E là phép i x ng, F1, F2 là hai không gian con l n l t sinh b i các vect riêng 1, 2 tng ng v i hai giá tr riêng phân bi t k1, k2. Khi ó, v i hai vect tùy ý F1, F2, ta có f( ) = k1 ; f( ) = k2 . Vì f là m t phép bi n nên . = 0. V y F1 tr c giao v i F2. nh lý 3. N u f là m t phép bi n i i x ng c a không gian vect clit n chi u E, thì E có m t c s tr c chu n g m nh ng vect riêng c af. Ch ng minh. Vì ma tr n A c a f i v i c s tr c chu n () =

273

i

i x ng nên f( ) =

f( ). Do ó (k1 ). = .(k2 ). Suy ra (k2 ­ k1)( . ) = 0. Vì k2 k1

{ 1,..., 2,..., n} là ma tr n c a f u là s th c. V i n = 1,

i x ng nên theo

nh lý các giá tr riêng

Ta ch ng minh b ng qui n p theo n. nh lý hi n nhiên úng.

1 1 1 và H là

V i n = 2, gi s k1 là m t giá tr riêng c a f và 1 là vect riêng tng ng. G i F là không gian con c a E sinh b i 1 =

không gian con bù tr c giao v i F. Vì F H ={ } và E = F + H, nên danH = dimE - dimF = 1. Ta có f( ) H v i H. Th t v y, l y tùy ý F ta có .f( ) = f( ). = 0 vì f( ) = k1 F nên f( ) H. Gi s 2 là c s c a H. t 2 =

1 2 2, h { 1, 1} là m t c s

tr c chu n c a E. Vì f( 2) H nên t n t i k2 R sao cho f( 2) = k2 2. Nh v y h { 1, 1} là c s tr c chu n c a E g m nh ng véc t riêng c a f. Gi s n > 2, và m nh úng v i n - 1. G i k1 là m t giá tr riêng c a f và F, H cng là nh ng không gian nh trên. L p l i l p lu n trên ta có dimH = n - 1 và H là không gian con b t bi n i v i f. Nh v y thu h p f|H là m t phép bi n i i x ng c a không gian n - 1 chi u H. Do ó, theo gi thi t qui n p H có m t c s tr c chu n { 1,..., 1} g m nh ng vect riêng c a f. Vì 1 1 v i m i = 2,..., n, nên { 1, 2,..., n} là m t c s tr c chu n c a E g m nh ng vect riêng c a f. Ta có i u c n ch ng minh. T ây v sau ta ch xét các d ng toàn phng trên không gian vect cht Rn, và ta v n ký hi u c s chính t c c a Ra là c s g m các vect 1 = (1, 0,..., 0), 2 (0, 1,..., 0),.., n = (0, 0,.., 1). nh lý 4. M i d ng toàn phng trên không gian vect clit En a c v d ng chính t c nh m t ma tr n tr c giao. Ch ng minh. Gi s d ng toàn phng trên En có ma tr n i v i c s chính t c là A. Khi ó A là ma tr n i x ng. Coi A là ma tr n c a

274

phép bi n i tuy n tính f i v i c s chính t c. Do A là ma tr n i x ng, nên theo nh lý 3, t n t i m t c s tr c chu n c a Rn g m nh ng vect riêng c a f, gi s ó là () = { 1, 2,..., n}. Khi ó ma tr n B c a f i v i c s () là m t ma tr n chéo. Ký hi u T là ma tr n chuy n t c s chính t c () = { 1,..., 2,..., n} sang c s () khi ó T là ma tr n tr c giao. Ta có B - tTAT là ma tr n c a d ng toàn phng r i v i c s () và là ma tr n chéo, nên i v i c s () d ng toàn phng có d ng chính t c. T nh lí trên suy ra: Cách tìm ma tr n tr c giao a d ng toàn phng trên Rn v d ng chính t c. Gi s A là ma tr n c a d ng toàn phng c a Rn. Ta th c hi n các b c sau: 1) Tìm các giá tr riêng là nghi m c a a th c i v i c s chính t c c trng |A ­ kI|.

2) Tìm các vect riêng t o thành m t c s tr c chu n c a Rn. 3) Tìm ma tr n chuy n T t c s chính t c sang c s tr c chu n v a tìm c. Ví d 1. a d ng toàn phng trên RA v d ng chính t c Gi i. Ma tr n c a r i v i c s chính t c là

Tìm nghi m c a a th c

c trng:

Ta có k1 = 0, k2 = 9, k3 = 14 · Tìm các vect riêng: - V i k1 = 0, gi i h :

275

Vect riêng có d ng: (3c1, 2c1, c1). - V i k2 = 9, gi i h :

Vect riêng có d ng: (0, c2, -2c2). - V i k3 = 14, vect riêng có d ng: (- c3, 2c3, c3) Ch n c s tr c chu n () g m nh ng vect riêng:

5 3

Ma tr n chuy n t c s chính t c sang c s () là

N ut a

c a vect l n l t

y1 y 2 , thì ta có: y 3

i v i c s chính t c và c s ()

x1 là X = x 2 và Y = x 3

276

Ví d 2. Tìm phép bi n Ra v d ng chính t c.

i tr c giao a d ng toàn phng sau trên

Gi i. D ng toàn phng có ma tr n

i v i c s chính t c là:

a th c

c trng:

Các nghi m c a a th c

c trng là: k1 = - 9, k2 = k3 = 9

- V i k1 = - 9, gi i h phng trình

ta c nghi m có d ng (2c, c, 2c). Ch n 1 = (2, 1, 2) ta c nghi m riêng ng v i k1 = - 9. - V i k2 = k3 = 9, h phng trình tng ng là:

277

Nghi m c a h phng trình này có d ng: (d, - 2d - 2e, e). Vì h ng c a h phng trình b ng 1 nên không gian các nghi m có chi u b ng 2. Ch n m t c s c a không gian này:

ó là hai vect riêng ng v i k2 = k3 = 9. Theo nh lý 2, ta có 2 v 3 3 tr c giao v i 1. Vì th , mu n c m t c s tr c chu n c a R g n các vect riêng ch c n tr c chu n hoá h vect { 2, 3}.

Suy ra

t=-

4 5

H vect () = { 1, 2,..., m} là m t c s chu n c a R3. Vì

278

ta có ma tr n chuy n t c s chính t c thành c s () là:

ây chính là ma tr n c a phép bi n i tuy n tính tr c giao d ng toàn phng ã cho v d ng chính t c.

a

2 i v i c s (), v i = {y1 1 + y2 2 + y3 3} ta có ( ) = - 9 y1 + 9 y 2 + 9 y3 . 2 2

Vi c tìm phép bi n i tr c giao a d ng toàn phng v d ng chính t c nh ã làm trong các Ví d trên s c s d ng nhi u khi a phng trình c a ng b c hai, m t b c hai v d ng chính t c.

279

TÓM T T

§1. D NG TUY N TÍNH, D NG SONG TUY N TÍNH 1.1. nh ngha

Cho V là không gian vect 1) Ánh x f : V R c g i là m t d ng tuy n tính trên V n u

2) Ánh x : V × V R c g i là m t d ng song tuy n tính trên V n u

v i m i , 1, 2, , 1, thu c V và m i k R. 3) D ng song tuy n tính c g i là i x ng n u ( , ) = ( ), , V. D ng song tuy n tính c g i là thay phiên n u ( , ) = -( , ), , V. nh lý 1. Gi s V là không gian vect n chi u v i c s là { 1,..., 2,..., n}. Ánh x f : V R là m t d ng tuy n tính trên V khi và ch khi t n t i n s th c cb,..., cn sao cho f( ) =

ai ci , v i m i =

i =1

n

a

i i =1

n

i

V.

Khi ó f ( i) = ci, v i m i i = 1,..., n, và f là d ng tuy n tính duy nh t trên V th a mãn i u ki n này. nh lý 2. Gi s V là không gian vect n chi u v i c s là { 1,..., 2,..., n}. Ánh x : V × V R là m t d ng song tuy n tính trên V khi và ch khi t n t i n2 s th c {dij | i, j = 1, 2,..., n} sao cho

280

trên V th a mãn i u ki n này. 1.2. Ma tr n c a d ng song tuy n tính nh ngha. Cho { 1,..., 2,..., n} là m t c s c a không gian vect n chi u V trên tr ng s th c R, là m t d ng song tuy n tính trên V, ký hi u ( i, j) = aij R, i, j = 1, 2,..., n. Ma tr n vuông c p n sau c g i là ma tr n c a d ng song tuy n tính i v i c s { 1,..., 2,..., n} ã cho.

Nh n xét. Gi s V là không gian vect v i c s { 1,..., 2,..., n} và A = (aij)n là ma tr n c a d ng song tuy n tính trên V. Khi ó v i m i

Nh v y, n u bi t ma tr n c a d ng song tuy n tính i v i m t c s nào ó, thì ta có th xác nh nh ( , ) c a c p ( , ) tu ý; ngha là m t d ng song tuy n tính c hoàn toàn xác nh b i ma tr n c a nó i v i m t c s ã cho. 1.3. Liên h gi a hai ma tr n c a cùng m t d ng song tuy n tính i v i hai c s khác nhau nh lý. Cho () = { 1,..., 2,..., n}, () = { 1, 2,..., m} là hai c s c a cùng m t không gian vect n chi u V trên R, A = (aij)n và B = (bij)n l n lu là các ma tr n c a cùng m t d ng song tuy n tính do trên V i v i các c s tng ng () và (), T = (tij)n là ma tr n chuy n t () sang (). Khi ó B = tTAT.

281

§2. D NG TOÀN PHNG 2.1. D ng toàn phng nh ngha. Ánh x : V R (R là tr ng s th c) c g i là m t d ng toàn phng trên V n u t n t i m t d ng song tuy n tính f trên V sao cho ( ) - f( , ) v i m i V. Khi ó f c g i là d ng song tuy n tính sinh ra d ng toàn phng . T n t i tng ng 1-1 gi a các d ng toàn phng trên V và các d ng song tuy n tính i x ng trên V; ngha là n u r là m t d ng toàn phng trên V thì t n t i m t và ch m t d ng song tuy n tính i x ng sinh ra . D ng song tuy n tính g i là d ng c c c a . i x ng sinh ra d ng toàn phng c

Gi s V là không gian vect n chi u v i c s là { 1,..., 2,..., n}. Ánh x : V × V R là m t d ng toàn phng trên V khi và ch khi () =

i =1

n

x i x ja ij , v i m i =

j =1

n

x

i =1

n

i i

, V, trong ó aij (i, j : 1, 2,...,

n) là dãy các s th c xác

nh.

2.2. Ma tr n c a d ng toàn phng nh ngha. Cho là d ng toàn phng tng ng v i d ng song tuy n tính i x ng . Ma tr n c a i v i c s { 1,..., 2,..., n} cng c g i là ma tr n c a d ng toàn phng i v i c s y. N u A = (aij)n là ma tr n c a d ng toàn phng i v i c s { 1,..., 2,..., n}, thì A có tính ch t aij = ( i, j) = ( j, i) = aij. Ma tr n có tính ch t này c g i là m t ma tr n V i = th c t a i x ng.

j ij

x

i =1

n

i i

, bi u th c ( ) =

x x a

i i =1 j =1

n

n

c g i là bi u

c a . nh

2.3. D ng toàn phng xác

nh ngha. D ng toàn phng trên không gian vect V c g i là xác nh n u ( ) = 0 kéo theo = 0.

282

nh lý. N u là m t d ng toàn phng xác inh thì ( ) có cùng m t d u v i m i V. D ng toàn phng trên không gian vect V c g i là xác nh dng (âm) n u ( ) > 0 ( ( ) < 0 ) v i m i a 0 thu c V. N u là m t d ng toàn phng xác nh dng (âm) trên không gian vect V và W là m t không gian con c a V thì thu h p c a trên W (ký hi u là |W) cng là m t d ng toàn phng xác nh dng (âm) trên W.

§3. A D NG TOÀN PHNG V D NG CHÍNH T C 3.1. nh ngha. Gi s là m t d ng toàn phng trên không gian vect V. Nêu i v i c s () = { 1, 2,..., n} c a V bi u th c t a c a là

thì bi u th c này c g i là d ng chính t c c a d ng toàn phng . Trong tr ng h p này ma tr n c a d ng toàn phng () là m t ma tr n chéo (aij = aji = 0 v i i j). i v i c s

Vi c i c s m t d ng toàn phng ã cho i v i c s m i có d ng chính t c c g i là a d ng toàn phng v d ng chính t c. 3.2. t c. H qu . Gi s là m t d ng toàn phng có d ng chính t c ( ) = nh lý. M i d ng toàn phng u a c v d ng chính

k x

i =1

n

2 i 1

. Th thì là d ng toàn phng xác

nh dng khi và ch khi

ki > 0, v i m i i = 1,.., n. Có nhi u phng pháp khác nhau a m t d ng toàn phng v d ng chính t c: phng pháp chéo hóa ma tr n, phng pháp Jacobi, phng pháp LagTange. 3.3. Dùng ph n m m Maple chính t c a d ng toàn phng v d ng

283

Ta có th s d ng phng pháp LagTange v i s h tr c a ph n m m toán Maple a bi u th c t a c a d ng toàn phng v d ng chính t c. Quy trình c th nh sau: Tr c tiên ta ph i s d ng hai l nh t o môi tr ng tính toán là: >restart; >with(student); [D,Diff, Int, Limit, Lineint, Product, Sum, Tripleint, Changevar, Completesquare, Distance, Equate, Integrand, Intercept, Intparts, leftbox, leftsum, makeproc, middlebox, middlesum, midpoint, powsubs, rightbox, rightsum, showtangent, símpon, slope, summand, trapezoid] Trong quá trình bi n = 0. 3.4. nh lý quán tính i c n chú ý phân bi t tr ng h p aii 0 v i aii

nh lý 1. (1u t quán tính) Trong hai d ng chính t c b t k c a cùng m t d ng toàn phng s các h s dng b ng nhau, s các h s tìm b ng nhau. i v i ma tr n vuông

m i

nh th c

c g i là m t

nh th c con chính c a ma tr n A.

nh lý 2. Gi s A là ma tr n c a d ng toàn phng trên không gian vect n chi u V. Khi ó là d ng toàn phng xác nh dng n u và ch nên m i nh th c con chính c a A u dng.

284

§4. KHÔNG GIAN VECT CLIT 4.1. nh ngha

1) D ng song tuy n tính i x ng trên không gian vect V c g i là m t tích vô h ng trên V n u 0 thu c V ta có ( , ) > 0. V i , V s th c ( , ) c g i là tích vô h ng c a và kí hi u b i . . N u = 6, thay cho . ta vi t 2. 2) Không gian vect V c g i là m t không gian vect clit n u trên V có m t tích vô h ng. 4.2. C s tr c chu n nh ngha. Gi s E là m t không gian vect clit. 1) Hai vect , c a E c g i là tr c giao n u . = 0; kí hi u

.

2) V i m i E, ta g i ( x) 2 là chu n c a vect , kí hi u | ||. N u || || = 1 thì ta nói là vect nh chu n. 3) C s () = { 1,..., 2,..., n} c a không gian vect clit E c g i là m t c s tr c chu n n u i, j = ij (Trong ó ij là ký hi u Kronecker th a mãn ij = 1 khi i = j, ij = 0 khi i j). nh lý 1. Gi s E là m t không gian vect clit. Khi ó: 1) V i E, || || = 0 khi và ch khi = 0 . 2) V i m i E, m i k R ta có ||k || = |k| .|| ||. 3) V i m i , E ta có | | || ||.|| || (b t Bunhiakovsky). ng thúc Cauchyng th c tam

4) V i m i , E ta có || + || || || +|| || (b t giác).

nh lý 2. M i h g m nh ng vect khác không, ôi m t tr c giao c a m t không gian uect clit u c l p tuy n tính. nh lý 3. M i không gian vect clit n chi u u có c s tr c

285

chu n. nh lý 4. N u () = { 1,..., 2,..., n} là m t c s tr c chu n c a không gian clit n chi u E, thì v i E ta có :

= ( 1 ) 1 + ( 2 ) 2 + ... + ( n ) n .

4.3. Không gian con bù tr c giao nh ngha. Không gian con H = { E | , ta F} c g i là không gian con bù tr c giao v i không gian con F. nh lý 1. N u H là không gian con bù tr c giao v i không gian con F c a không gian vect clit n chi u E thì F H = { } và E = F + H. 4.4. Hình chi u c a m t vect lên không gian con nh ngha. Gi s E là không gian clit n chi u, F là không gian con tùy ý c a E, khi ó E ta luôn có bi u di n duy nh t = +

, v i, F, H, trong ó H là không gian con tr c giao c a F.

Ta s g i vect là hình chi u tr c giao c a lên F và ký hi u là hch F

, còn vect = - = - hchF c g i là thành ph n c a tr c

giao v i F. 4.5. Phép bi n i tr c giao - Ma tr n tr c giao

nh ngha. Gi s E là m t không gian vect clit n chi u. T ng c u f. E E c g i là m t phép bi n i tr c giao n u f( ). f( , )= . v i m i , E. nh lý 1. Gi s E là m t không gian vect clit n chi u. T ng c u f: E E là phép bi n i tr c giao khi và ch khi nó bi n m i c s tr c chu n thành c s tr c chu n. nh lý 2. Gi s E là m t không gian vect clit, A là ma tr n c a T ng c u f: E E i v i m t c s tr c chu n () = { 1,..., 2,..., ng c u f là tr c giao khi và ch khi tAA = I (I là ma tr n n n}. T v ). nh ngha. Ma tr n vuông A c g i là m t ma tr n tr c giao n u

286

t

AA = I (I là ma tr n n v )

H qu . f là m t phép bi n i tr c giao khi và ch khi ma tr n c a nó i v i m t c s tr c chu n là m t ma tr n tr c giao. 4.6. Phép bi n i i x ng ng

nh ngha. Gi s E là m t không gian vect clit n chi u. T c u f: E E c g i là phép i x ng n u

nh lý 1. Gi s E là m t không gian vect clit n chi u. T ng c u f c a E là phép i x ng n u và ch n u ma tr n c a f í v i m t c s tr c chu n là m t ma tr n i x ng. 4.7. ng d ng

nh lý 1. N u A là m t ma tr n ôi x ng v i các thành ph n là nh ng sô th c thì m i nghi m c a a th c c trng | A ­ kI | u là s thc. nh lý 2. N u f là m t phép i x ng c a không gian vect clit n chi u E thì hai không gian con riêng ng v i hai giá tr riêng phân bi t c a f ph i tr c giao v i nhau. nh lý 3. N u f là m t phép i x ng c a không gian vect clit n chi u E, thì E có m t c s tr c chu n g m nh ng vect riêng c a f. nh lý 4. M i d ng toàn phng trên không gian vect clit En chi u a c v d ng chính t c nh m t ma tr n tr c giao. Tìm ma tr n tr c giao a d ng toàn phng v d ng chính t c: Gi s A là ma tr n c a d ng toàn phng c a Rn. Ta th c hi n các b c sau: 1) Tìm các giá tr riêng là nghi m c a a th c i v i c s chính t c c trng | A ­ kI | .

2) Tìm các vect riêng t o thành m t c s tr c chu n c a Rn. 3) Tìm ma tr n chuy n T t c s chính t c sang c s tr c chu n v a tìm c.

287

BÀI T P

§1. D NG SONG TUY N TÍNH 1. Vi t ma tr n c a d ng song tuy n tính trên R3, ây

2. Tìm ma tr n c a d ng song tuy n tính

i x ng trên R3:

3. Cho ma tr n c a d ng song tuy n tính trên R3 có ma tr n c s chính t c là

iv i

Tìm ma tr n c a

i v i c s g m các vect:

4. Cho d ng song tuy n tính trên R3 có ma tr n

i v i c s () là

Ma tr n chuy n t c s () sang c s () c a Rn là

Tìm ma tr n c a

i v i c s () .

288

§2. D NG TOÀN PHNG 5. Tìm ma tr n c a d ng toàn phng trên R3 có bi u th c to sau:

6. Cho các d ng toàn phng sau ây c vi t d i d ng ma tr n. Hãy vi t chúng d i tr ng thông th ng:

7. Vi t các d ng toàn phng sau ây d i d ng ma tr n:

8. Tìm bi u th c to c a m i d ng toàn phng d i ây sau khi th c hi n Phép bi n i to tng ng

289

§3. A D NG TOÀN PHNG V D NG CHÍNH T C 9. a các d ng toàn phng sau v d ng chính t c, v i

290

10. V i các ký hi u tr c nh lý 6.7, ch ng minh r ng m t d ng toàn phng xác nh âm khi và ch khi §4. KHÔNG GIAN VECT CLIT 11. Trong không gian vect clit ta là co sin c a góc gi a hai vect và t: cos và g i ó

Hãy tính chu n và co sin c a góc gi a hai vect sau trong R3:

12. Trong không gian vect clit R3 cho c s g m: Tr c chu n hoá h cho. 13. Trong không gian vect cht R4, hãy tr c chu n hoá h vect g m các vect sau: vect ã

14. Trong không gian vect clit E v i c s tr c chu n Hãy tính

15. Tìm ma tr n tr c giao a các d ng toàn phng trên R3 sau ây v d ng chính t c,

291

292

VÀI NÉT L CH S Các d ng toàn phng b t u c nghiên c u kho ng t nm 300 n nm 200 tr c công nguyên b i các nhà toán h c Hy l p Euclid, Archimedes và Apollonios. Euclid n i ti ng v i b sách "C s " g m 13 t p trình bày m t cách h th ng toàn b ki n th c toán h c lúc b y gi . Archimedes c nhi u ng i ánh giá là nhà toán h c v i nh t trong l ch s b i các phát minh khoa h c c a mình. Apollonios n i ti ng vì b sách "Các nhát c t hình nón" g m 8 t p v i kho ng 400 nh lý. ông là ng i a ra các khái ni m tr c giao, công th c chính t c và ch ng minh c s t n t i các d ng chính t c tr c chính trong tr ng h p hai chi u. Chính Apollonios là ng i a ra tên g i các m t b c hai nh d p, hyperbol và parabol. Vi c phân lo i các d ng toàn phng trong không gian 3 chi u c hoàn thành nm 1748 b i nhà toán h c Th y S Euler. D ng chính t c c a các d ng toàn phng nhi u chi u c Lagrange ch ng minh nm 1759. Lu t quán tính c Sylvester và Jacobi phát hi n phát hi n vào kho ng nm 1850. Gauss là ng i u tiên s d ng ma tr n nghiên c u các d ng toàn phng. Không gian Euclid (clit) ban u c hi u nh là không gian th c 3 chi u v i h tiên Euchd. Nhà toán h c ng i Ba lan, Banach (18921945), là ng i u tiên m r ng s nghiên c u sang không gian nhi u chi u và ông c coi là ông t c a các không gian nh chu n. Ma tr n tr c giao c nh ngha u tiên b i Frobemus. Weierstrass là ng i a ra ch ng minh chính xác "m i ma tr n i x ng th c là chéo hóa c" vào nm 1858.

293

Chng VII QUY HO CH TUY N ANH

M

D U

T t ng t i u hoá ã có t th i xa xa, ngay t khi con ng i ph i suy ngh tìm cách hành ng sao cho có l i nh t cho mình theo nh ng m c ích xác nh. Nh ng yêu c u c p bách c a s phát tri n n n kinh t và qu c phòng l i càng làm n y sinh nh ng ý t ng tng t . Do ó ã xu t hi n m t bài toán c n ph i gi i quy t, ó là bài toán tìm quy t nh t i u. gi i quy t m t cách có hi u qu bài toán y, tr c h t c n ph i xây d ng m t mô hình toán h c cho nó, trên ó th hi n c b n ch t c a m i i t ng ã c kh o sát và s liên quan c n ph i tôn tr ng gi a chúng; ngoài ra, ng nhiên c n ph i ch rõ m c tiêu mong mu n t c Bài toán tìm quy t nh t i u v i mô hình toán h c ã c xây d ng c g i là bài toán quy ho ch toán h c hay bài toán t i u hoá. S liên quan gi a các i t ng ã c kh o sát trong quá trình xây d ng mô hình toán h c th ng c th hi n d i d ng m t h phng trình và b t phng trình, coi ó nh là nh ng i u ki n (hay ràng bu c) không th b qua. N u t t c các hàm có m t trong bài toán y là các hàm tuy n tính thì ta có bài toán quy ho ch tuy n tính. Quy ho ch tuy n tính là m t b ph n c b n và có nhi u ng d ng th c ti n trong lnh v c t i u hoá. Trong chng này ta ch xét các bài toán quy ho ch tuy n tính v i các phng pháp và thu t toán gi i chúng, c xem nh m t ng d ng c a i s tuy n tính.

294

§1. BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH 1.1. M t vài bài toán th c t 1) Bài toán l p k ho ch s n xu t M t c s s n xu t d nh s n xu t hai lo i s n ph m A và B. Các s n ph m này c ch t o t ba lo i nguyên li u I, II và III. S l ng n v d tr c a t ng lo i nguyên li u và s l ng n v t ng lo i nguyên li u c n dùng s n xu t ra m t n v s n ph m m i lo i c cho trong b ng d i ây: Lo i nguyên Nguyên li u s l ng n v nguyên li u c n dùng cho vi c s n xu t m t n vi s n ph m li u d tr A I II III 18 30 25 2 5 1 B 3 4 6

Hãy l p k ho ch s n xu t, t c là tính xem c n s n xu t bao nhiêu n v s n ph m m i lo i ti n lãi thu c là l n nh t bi t r ng, bán m t n v s n ph m A thu lãi 3 trm nghìn ng, bán m t n v s n ph m B thu lãi 2 trm nghìn ng. Ta hãy xây d ng mô hình toán h c cho bài toán trên. G i x và y theo th t là s l ng n v s n ph m A và B c n s n xu t theo k ho ch. Khi ó ti n lãi thu c s là z = 3x + 2y. Do nguyên li u d tr có h n nên x và y ph i ch u nh ng ràng bu c nào ó, c th là: 2x + 3y 18 (Ràng bu c v nguyên li u I) 5x + 4y 30 (Ràng bu c v nguyên li u II) x + 6y 25 (Ràng bu c v nguyên li u III). Ngoài ra còn các ràng bu c r t t nhiên n a là x 0, y 0 vì s v s n ph m không th âm. n

B ng ngôn ng toán h c, bài toán trên có th phát bi u nh sau: Tìm x và y sao cho t i ó bi u th c z = 3x + 2y t giá tr l n nh t v i các

295

ràng bu c:

Bài toán l p k ho ch s n xu t t ng quát có th phát bi u d i d ng:

Hãy tìm vect x = (x1, x2, ..., xn) Sao Cho t i ó hàm f nh t v i các ràng bu c:

t giá tr l n

2) Bài toán v n t i. Có m t lo i hàng c n c v n chuy n t P2 t i ba ni tiêu th (tr m thu) T1, T2 và T3. l ng hàng c n v n chuy n i m i kho và m i ni tiêu th , và c c phí v n chuy n m t ni tiêu th tng ng: Tr m Phát T1 Pl P2 L ng thu 5 2 35 Tr m thu T2 2 1 25 T3 3 1 45 30 75 hai kho (tr m phát) P1 và B ng d i ây cho bi t s s l ng hàng c n nh n n v hàng t m i kho t i

Lng Phát

Hãy l p k ho ch v n chuy n tho mãn m i yêu c u thu phát sao cho chi phí v n chuy n là nh nh t. N u kí hi u xij (i = 1, 2 và i = 1, 2, 3) là l ng hàng c n v n chuy n t kho Pi t i ni tiêu th Tj thì mô hình toán h c c a bài toán v n t i nói trên s là:

296

Tìm các s xij (i = 1, 2 và j = 1, 2, 3) sao cho t i ó bi u th c 5x11 + 2x12 + 8x13 + 2x21 + x22 + x23 t giá tr nh nh t v i các ràng bu c:

t ng quát hoá bài toán v n t i, ta g i m là s tr m phát; n là s tr m thu; a; là l ng phát t tr m phát th i (i = 1, 2,..., m); bj là l ng thu c a tr m thu th i (j = 1, 2 , ... , n) ; cij là c c phí v n chuy n m t n v hàng t tr m phát th i t i tr m thu th j; xij là l ng hàng c n v n chuy n theo k ho ch t tr m phát th i n tr m thu th j (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2, ..., n). Bài toán v n t i t ng quát c phát bi u nh sau: Hãy tìm các s xu (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n), t c là tìm ma tr n x = (xij) ki u (m,n) sao cho t i ó hàm

t giá tr nh nh t v i các ràng bu c:

1.2. Bài toán quy ho ch tuy n tính 1) D ng t ng quát c a bài toán quy ho ch tuy n tính

297

T các bài toán ã n u cùng r t nhi u các bài toán th c t khác ta có th th y bài toán quy ho ch tuy n tính t ng quát có d ng nh sau:

Hãy tìm vect x = (x1, x2, ..., xn). Sao cho t i ó hàm nh t (ho c l n nh n v i các ràng bu c:

t giá tr nh

Trong bài toán trên, hàm f(x) c g i là hàm m c tiêu; các ràng bu c (2) và (3) c g i là các ràng bu c c ng b c; ràng bu c (4) c g i là ràng bu c t nhiên, nó cng thu c lo i ràng bu c (2) nhng vì mu n nh n m nh nên ta v n tách riêng. M i vect x = (x1, x2, ..., xn) tho mãn t t c các ràng bu c c g i là m t phng án. Phng án mà t i ó hàm m c tiêu t giá tr nh nh t (ho c l n nh t) c g i là phng án t i u; giá tr y c g i là giá tr t i u c a hàm m c tiêu trên t p các phng án. i v i bài toán quy ho ch tuy n tính òi h i giá tr hàm m c tiêu t giá tr nh nh t (ho c l n nh t) ta nói ó là bài toán c c ti u hoá hay bài toán d ng m n (ho c bài toán các i hoá hay bài toán d ng max). Phng án x c g i là t t hn phng án y n u: f(x) < f(y) i v i bài toán d ng m n (f(x) > f(y) i v i bài toán d ng max). Gi i bài toán quy ho ch tuy n tính c hi u là tìm c dù ch m t phng án t i u; ho c là ch ng t trên t p phng án hàm m c tiêu không b ch n, t c là hàm m c tiêu có th nh n giá t nh tu ý (ho c l n tu ý) i v i bài toán d ng m n (ho c max) trên t p phng án; ho c là ch ng t t p phng án là r ng (ng i ta ã ch ng minh c r ng,

298

i v i bài toán quy ho ch tuy n tính x y ra m t và ch m t trong ba kh nng trên). Ta có th th y r ng

Chính vì v y, v m t lí thuy t, d i ây ta ch c p t i các bài toán quy ho ch tuy n tính d ng m n, c vi t d i d ng g n hn:

vi c trình bày c ng n g n, ta a ra các kí hi u và quy c sau ây: a) N u A là ma tr n ki u (m, n) thì Ai = (ai1, ai2, ..., ain) là vect dòng (ma tr n dòng) th i c a Ai Aj : (a1j , a2j, ..., amj) là vect c t (ma tr n c t) th j c a A. b) N u A = (aij) và B = (bij) là hai ma tr n cùng ki u thì b t ma tr n A B c hi u là aij bij v i m i i, j. ng th c

c bi t, v i vect (ma tr n) x = (x1, x2, ..., xn) thì x 0 c hi u là xj 0 v i m i j. c) M i vect c xem nh ma tr n c t trong các phép tính ma tr n (n u không nói gì thêm ho c không có quy c gì khác). N u c = (c1, c2, ..., cn) và x = (x1, x2, ..., xn) là hai vect nào ó thì bi u th c (cùng kí hi u tng ng)

c g i là tích vô h ng c a hai vect c và x.

299

N u xem c và x là hai ma tr n c t thì

là ma tr n c p 1, trong ó tc là ma tr n chuy n v c a c (còn có th kí hi u là ct hay cT). cho g n, sau ây ta s quy c:

Nh v y, v i các kí hi u và quy c n u trên, bài toán quy ho ch tuy n tính t ng quát c vi t d i d ng g n hn nh sau:

trong ó A = (aij) là ma tr n ki u (m, n). 2) D ng chính t c và d ng chu n t c c a bài toán quy ho ch tuy n tính. Xét bài toán (1) - (4). a) N u I = và J = N thì ta có bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c, nó có d ng:

trong ó b = (b1, b2, .., bm); A c g i là ma tr n ràng bu c. b) N u I' = và J = N thì ta có bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chu n t c, nó có d ng:

300

D th y r ng, b ng các phép bi n i thích h p ta có th a bài toán quy ho ch tuy n tính b t kì v d ng chính t c ho c là d ng chu n t c, c th là: - M i phng trình Aix = bi c thay b i h hai b t phng trình Aix b , và -Aix -b . - M i b t phng trình Alx > b, c thay b i h Aix - xn + 1 = bi và xn + i 0 trong ó n m i xn + i c g i là n bù (hay bi n bù) - M i b t phng trình Aix bi c thay b i h Aix - xn + 1 = bi và xn + i 0 trong ó n m i xn + i c g i là n bù (hay bi n bù). - M i n xj không có ràng bu c v d u hai n m i không âm: - N u n xj có i u ki n xj 0 thì ta u có th vi t thành hi u c a

t xj = -tj v i tj 0.

Ví d 1. a bài toán sau v d ng chính t c:

Gi i Bài toán ã cho là bài toán d ng max nên ta i d u hàm m c tiêu a v d ng m n. a vào hai n bù t4, t5 ng v i ràng bu c th nh t và th hai. n x3 không có ràng bu c v d u nên ta t x3 = t3 ­ t6. Cu i cùng, t x1 = t1, x2 = t2, và ta có bài toán d ng chính t c sau:

301

Ví d 2. a bài toán sau v d ng chu n t c

Gi i t x1 = t1, x2 = - t2, x3 = t3 - t4 r i th vào bài toán ã cho, sau khi ã nhân hai v c a ràng bu c th hai v i - 1, ta có bài toán d i d ng chu n t c sau:

1.3. Ý ngha hình h c và phng pháp Xét bài toán quy ho ch tuy n tính hai n

th

302

Sau ây ta a ra cách gi i bài toán ã cho b ng phng pháp hình h c. Tr c h t ta hãy bi u di n hình h c t p phng án c a bài toán (hình 1).

Trên m t ph ng to 0x1x2 các ràng bu c c bi u di n b i các n a m t ph ng. Các n a m t ph ng (1) - (5) c ánh s theo th t các ràng bu c ngay trên b c a chúng. Khi xác nh m i n a m t ph ng y, ch n a m t ph ng tng ng b lo i b ta xoá m t cách t ng trng b i ba v ch song song li n nhau vuông góc v i b c a nó. Nh v y t p phng án ABCDE, ta kí hi u nó là X. c bi u di n b i hình ng giác l i

T p các i m (x1, x2) sao cho t i ó hàm m c tiêu nh n giá tr z c xác nh b i phng trình f(x) = z, c th là -2x1 + x2 = z. ó là ng th ng vuông góc v i vect c = (-2, 1) mà ta s g i là ng m c (v i m c là z) Khi z thay i ta có m t h ng m c song song.

303

V ng m c (m) i qua m t i m nào ó c a t p phng án, n u nó khác r ng, ch ng h n qua i m C(0, 1). Khi ó (m) có phng trình 2x1 + x2 = 1 vì f(C) = 1, ó là ng th ng c th hi n b i ng "nét t" trên hình v . T nh ti n ng m c (m) theo m t h ng nào ó nhng v n song song v i chính nó s tng ng làm tng d n giá tr hàm m c tiêu, theo h ng ng c l i, s tng ng làm gi m d n giá tr hàm m c tiêu. bài toán này ta ph i ch n h ng t nh ti n ng m c (m) sao cho tng ng làm gi m d n giá tr hàm m c tiêu. Mu n v y ta tính giá tr hàm m c tiêu t i m t i m nào ó không thu c (m), ch ng h n i m D(2, O). Khi ó ta có f(D) = - 4 < f(C) - 1. Nh v y ta ã xác nh c h ng t nh ti n, c ch rõ b i mi tên trên hình v . Theo h ng y ta t nh ti n ng m c (m) cho t i v trí gi i h n (g), n u có, t c là v trí v n có chung v i t p phng án ít nh t m t i m, ng th i toàn b t p phng án n m hoàn toàn v m t phía c a v trí y. Trên hình v , v trí gi i h n (g) c th hi n b i ng "ch m g ch". Khi ó m i i m chung nói trên là m t plluullg án t i u. Rõ ràng ta có X* = (g) X là t p phng án t i u c a bài toán. bài toán này, X* = {A}. Nh v y bài toán có phng án t i u duy nh t, ó là giao các b c a n a m t ph ng (2) và (3), các to c a nó c xác nh b i h phng trình

v y

là phng án t i u c a bài toán ã cho và

Trong tr ng h p t ng quát, n u t p phng án khác r ng mà không có v trí gi i h n thì ta k t lu n bài toán có hàm m c tiêu không b ch n. Chú ý. Phng pháp th nói trên không nh ng gi i c các bài toán có hai n mà còn có th gi i c m t l p các các bài toán có hai ràng bu c c ng b c v i s n tu ý. Trong tr ng h p t ng quát, n u t p phng án X c Ra c a bài toán quy ho ch tuy n tính khác r ng và t n t i s t > 0 sao cho:

304

thì bài toán ó có phng án t i u. i v i bài toán hai n thì, trong tr ng h p y, X là m t a giác l i (t p X ch có m t ph n t cng c xem là m t a giác l i) và ít nh t m t trong các nh c a nó là phng án t i u. Tr l i ví d m c 1.3, t p phng án là a giác l i ABCDE.

82 , f(B) = 5, f(C) = 1, f(D) = -4, f(E) = -6 và f(A) là 11

Ta có: f(A) = -

giá tr nh nh t trong chúng. V y A là phng án t i u.

305

§2. PHNG PHÁP N HÌNH VÀ CÁC THU T TOÁN C A NÓ

Nh ta ã bi t, m i bài toán quy ho ch tuy n tính u có th a v d ng chính t c. T các k t qu thu c khi nghiên c u bài toán có d ng chính t c ó ta d dàng suy ra các k t qu tng ng c a bài toán ban u D i ây, ta ch xét bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c, gi s nó có d ng:

trong ó gi thi t r ng A là ma tr n ki u (m, n) v i m < n và h ng (A)=m 2.1. M t s tính ch t c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c nh ngha 1. M i b g m m vect c t tr n A c g i là m t c s c a nó. c l p tuy n tính c a ma t

Gi s {Aji| i = 1, 2, .... , m} là m t c s c a A. Nên Jo = {j1, j2, ..., jn } và ma tr n B = [ Aj1Aj2....Ajm] thì ta cng nói Jo hay B là m t c s c a A.

nh ngha 2. Gi s Jo là m t c s c a ma tr n A khi ó phng án x = (x1, x2, ..., xn) c a g i toán (1) c g i là phng án c c biên ng v i c s Jo n u xj = 0 v i m i j Jo ( Ta cng nói J0 là c s c a phng án c c bi n ó). Các n xj v i j Jo c g i là n phi c s . Các n xj v i j Jo c g i là n c s , giá tr c a chúng nh n c b ng cách gi i h Cramer

T

nh ngha suy ra r ng, n u Jo là m t c s c a A và nghi m c a

306

h (2) có ít nh t m t thành ph n âm thì không có phng án c c biên nào ng v i c s Jo. Ngoài ra, d th y r ng s thành ph n dng c a m t phng án c c biên c a bài toán (1) t i a là b ng m. M t phng án c c biên c g i là không suy bi n n u nó có úng m thành ph n dng, c g i là suy biên n u nó có ít hn m thành ph n dng. Bài toán (1) c g i là không suy biên n u m i phng án c c biên c a nó u không suy bi n. Có th th y ngay r ng, s phng án c c biên c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c là h u h n, b i vì s h con c l p tuy n tính g m úng m vect c a h h u h n các vect c t c a ma tr n A là h u h n. Ví d . Tìm t t c các c s c a ma tr n ràng bu c và các phng án c c biên (n u có) ng v i m i c s y i v i bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c có h ràng bu c:

Hãy bi u di n hình h c t p phng án c a bài toán y. Gi i Ma tr n ràng bu c là

Trong 3 h con g m úng 2 vect c a h g m 3 vect c t c a A ch có hai h c l p tuy n tính, ó là các h {A1,A2} và {A1, A3}; h còn l i là {A2, A3} ph thu c tuy n tính vì det[AlA21 = 4 0, det[AlA3] = -4 0 và det[A2A3] = 0. Hai h con c l p tuy n tính y chính là các c s c a ma tr n A: {Al, A2}, {Al, A3}. - V i h {Al, A2} thì x3 = 0; Còn x1, x2 c xác nh b i h

307

Vì x1, x2 > 0 nên ta có x = (2, 1, 0) là phng án c c biên (nó không suy bi n vì có 2 thành ph n dng). - V i h {Al, A3} thì x2 = 0; còn x1, x3 c xác nh b i h

Nh v y, ng v i c s {A2, A3} không có m t phng án c c biên nào vì x3 = - 1 < 0. V y bài toán ch có m t phng án c c biên không suy bi n ng v i c s {A1, A2} hay c s Jo = {1, 2}, ó là x = (2, 1, 0). Bi u di n hình h c t p phng án: D th y r ng, m i phng án c a bài toán v hai phng trình trong h ràng bu c). u có x1 = 2 (c ng v v i

V y h ràng bu c dã cho tng ng v i h :

T p phng án là tia Mz, M là i m c c biên (hình 2)

308

nh lý 1. Phng án x = (x1, x2,..., xn) 0 c a bài toán (1) là phng án c c biên khi và ch khi h vect liên k t v i nó, t c là h H(x) = {Aj | xj > 0}, c l p tuy n tính. Ch ng minh. i u ki n c n c suy ra t nh ngha. Ta s ch ng minh i u ki n . Gi s H(x) là h c l p tuy n tính. N u t p ch s Jx= {j | xj > 0} có m ph n t thì H(x) chính là c s c a ma tr n A tng ng v i x. N u trái l i, t c là s ph n t c a Jx là | Jx | < m, thì ta có th b sung vào H(x) m t s vect c t c a A c m t h g m m vect c l p tuy n tính, vì h ng(A) = m và H(x) là m t h con c a h các vect c t c a A. Trong m i tr ng h p ta u tìm c m t c s c a A ng v i x. V y x là phng án c c biên. nh lí 2. N u bài toán (1) có t p phng án khác r ng thì nó có ít nh t m t phng án c c biên. Ch ng minh. Tr c h t ta quy c r ng, n u vect õ là phng án c a bài toán (1) thì ta coi nó là phng án c c biên. Ta cng gi thi t thêm r ng, m i vect c t c a A u khác 0 . Gi s x = (x1, x2, ..., xn) là phng án có k thành ph n dng và các thành ph n còn l i u b ng 0. Không làm m t tính ch t t ng quát có th gi thi t r ng x1, x2, ..., xk > 0; xk+1 = xk+2 = ... = xn = 0. Vì x là phng án nên ta có

Gi s h ng c a ma tr n [A1A2...Ak] b ng r. Vì h ng (A) = m nên ta có r < m và hi n nhiên r < k. N u k = r thì rõ ràng x là phng án c c tiên vì {A1, A2, ..., Ak} c l p tuy n tính. N u trái l i, t c là r < k, thì, không làm m t tính ch t t ng quát, ta gi thi t r ng ma tr n

là không suy bi n. Xem (3) là h phng trình v i các n x1, x2, ..., xk nó tng ng v i h r phng trình u . Gi i h này, v i các n chính x1, ... , xr và các n t do xr+1,..., xk ta c

309

trong ó pj và qij là các h ng s xác

nh nào ó.

Nh v y, n u coi x1, x2, ..., xk là các n thì h (3) và h (4) tng ng v i nhau. V i tham s , h (4) có th vi t

N u

t

thì t h th c (5) suy ra

so sánh (4) và (6) ta th y (1) khi và ch khi

là phng án c a bài toán

Ta ch n = min(o, xr+1). N u = xr+1 thì

, n u = o thì

310

và nh v y v i cách ch n ó thì phng án x có s thành ph n b ng 0 nhi u hn so v i x. óng vai trò x và quá trình c ti p t c nh trên, sau m t s Cho h u h n b c s thu c m t phng án mà h vect liên k t v i nó c l p tuy n tính ho c thu c phng án 0, t c là thu c phng án c c biên. B 1. N u phng án x = (x1, x2,...,xn) không ph i là phng án c c biên c a bài toán (1) thì t n t i các phng án phân bi t x1 và x2 sao cho Ch ng minh. Vì x không ph i là phng án c c biên nên x 0. Không làm m t tính ch t t ng quát ta có th gi thi t r ng, x có r thành ph n u tiên là dng và các thành ph n còn l i b ng 0, ngha là nó có d ng x = (x1, x2, ..., xr, 0,...,0) v i xi > 0 , i = 1, 2 , ... , r. Vì x không ph i là phng án c c biên nên H(x) = {A1, A2,..., Ar} ph thu c tuy n tính. Khi ó t n t i các s 1, 2,...,r không ng th i b ng 0 sao cho:

V i là s dng tu ý ta cng có:

Vì x là phng án nên ta có:

T

ng th c (7) và (8) suy ra:

L p hai vect sau ây:

Do xi > 0, i = 1, 2, ... , r nên có th ch n c > 0 bé sao cho 1 2 xi ± xi 0. Khi ó cùng v i ng th c (9), suy ra x , x là các phng án. D th y x1 x2 (suy ra t các i u ki n > 0 và các s 1,..., r

311

không

ng th i b ng không) và rõ ràng ta có

Chú ý. Trong phép ch ng minh b 1, có th gi thi t trong các soát, 1, 2..., r có ít nh t m t s dng. Khi ó d th y r ng, x1 0 khi và ch khi :

N u i 0 v i m i i thì x2 > 0 V i m i > 0. N u t n t i ch s i sao cho i < 0 thì x2 0 khi và ch khi 0 < < - = min { - : i < 0} . Do i ó ta có th ch n sao cho x1 0, x2 0, ng th i trong r thành ph n u tiên c a x1 ho c x2 có ít nh t m t thành ph n b ng 0, c th là:

xi

Ch n = + n u i 0 v i m i i, ho c = min(+, a - ) n u t n t i sao cho i < 0. Nh v y, t phng án x không ph i là phng án c c biên có th xây d ng c hai phng án phân bi t x1, x2 sao cho x = x1 + x 2 , trong ó ít nh t m t trong hai phng án xây d ng c có s thành ph n dng ít hn so v i x. B 2. N u x0 là phng án t i u và x1, x2 các phng án phân

1 2 1 2 1 2 1 2

bi t c a bài toán (1) sao cho x0 = x1 + x 2 thì x1 và x2 cng là phng án t i u c a bài toán ó. Ch ng minh. Vì f(x) là hàm tuy n tính nên

V i gi thi t xo là phng án t i u, ta có : f(x0) f(x1) và f(x0) f(x2) . Gi s ít nh t m t trong hai b t ng th c trên x y ra v i d u b t

312

ng th c th c s (<), ch ng h n: f(x0) < f(x1) và f(x0) f(x2). T ó suy ra f(x0) <

1 1 f(x1) + f(x2). 2 2

ó là i u vô lí. V y f(xo) =

f(x1) = f(x2), t c là x1, x2 cng là các phng án t i u. nh lí 3. N u bài toán (1) có phng án tôi u thì nó có ít nh t m t Phng án c c biên là phng án t i u. Ch ng minh. Gi s x là phng án t i u c a bài toán (1). N u x = 0 thì, theo quy c, nó chính là phng án c c biên t i u . Gi s x 0 không ph i là phng án c c biên. Theo b 1(và ph n chú ý khi ch ng minh nó ) có th xây d ng c hai phng án phân bi t x1 và x2 sao cho x = 2 thì x2 có s thành ph n dng ít hn so v i x, ch ng h n x1. Theo b x1 là phng án t i u. N u x1 không ph i là phng án c c biên thì cho x1 óng vai trò x, ta l i xây d ng c phng án t i u xa có s thành ph n dng ít hn so v i x1. Quá trình c ti p t c nh v y, sau m t s h u h n b c s xây d ng c phng án t i u có h vect liên k t v i nó c l p tuy n tính ho c n lúc th y vect 0 là phng án t i u. Dù tr ng h p nào ta cng thu c phng án c c biên t i u. nh lí c ch ng minh. 2.2. Phng pháp n hình C s lí lu n gi i bài toán quy ho ch tuy n tính b t kì nào ó, tr c h t ta a bài toán v d ng chính t c b ng m t s phép bi n i n gi n ã bi t. i v i bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c, nh trên ây ã trình bày, n u có phng án thì có phng án c c biên, n u có phng án t i u thì có phng án c c biên t i u. i u ó cho th y vai trò quan tr ng c a các phng án c c biên trong vi c xu t các phng pháp gi i bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c, ng th i có th s d ng tính h u h n c a s các phng án c c biên c a bài toán ó. Phng pháp n hình là m t trong các phng pháp dùng gi i bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c. Ý t ng c a phng pháp n hình là: Xu t phát t m t phng án c c biên ã bi t (b ng cách nào ó), n u nó không ph i là phng án t i u thì tìm cách xây d ng m t

313

1 1 1 2 x + x ; trong ó ít nh t m t trong hai phng án xi và 2 2

phng án c c biên khác t t hn phng án c c biên ban u. Quá trình c l p l i nh v y, sau m t s h u h n b c s thu c phng án t i u ho c nh n bi t c bài toán ó có hàm m c tiêu không b ch n. Gi s c n gi i bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c:

trong ó A là ma tr n ki u (m, n) v i m < n và h ng (A) = m. Ràng bu c (2) còn có th vi t d i d ng x1A1 + x2A2 +...+ xn An = b Ta gi thi t r ng bài toán (1), (2), (3) không suy bi n (m i phng án c c biên u có úng m thành ph n dng), và ã bi t m t phng án c c biên có d ng xj0=0 v i i J0. Nh v y, c s vect Aj (j = l,2,...,n) có = (x10, x20, ..., xn0) trong ó xi0 > 0 v i i J0, |J0|=m; ng v i là J0 hay H( ) = {Ai : i J0} và m i

u bi u th tuy n tính duy nh t qua H( ), chúng

N u g i B là ma tr n có các c t là các vect trong c s {Ai : i J0} và t xj =(xij) Rm , i J0 thì Aj = Bxj hay xj = B-lAj, i = 1, 2,..., n. V i kí hi u x0 = (xi0) Rm và c0 = (ci) Rm v i i J0; A0 = b thì rõ ràng ta có:

và do ó xj =B -1 Aj cng úng v i j = 0. nh ngha. Ta g i j = tc0xj- cj, j = 1, 2 ,..., n là c l ng c a n xj (hay c a vect Aj) ng v i c s J0. Rõ ràng ta có Chú ý r ng, n u j E J0 thì j = 0, t c là

314

c l ng c a m i n c s

u b ng 0. Th t v y, gi s J0 = {j1, j2, ..., ( I i là

jm}. Do B-1B = I là m t ma tr n n v c p m nên c t th i c a ma tr n I ).

B 1. Gi s x = (x1, x2, ..., xn) là phng án b t kì c a bài toán (1), (2), (3). Khi ó ta có các h th c:

Ch ng minh. Ta có

M t khác , vì x là phng án (chú ý

ng th c (4) ) nên:

Vect b bi u th tuy n tính m t cách duy nh t qua c s {Ai : i J0} nên t (6) và (7) suy ra:

T

ó suy ra i u ph i ch ng minh. nh lí 1. (d u hi u t i u)

Nên ng v i phng án các biên có c s J0 mà j 0 v i m i j J0 thì là phng án t i u c a bài toán (1), (2), (3). Ch ng minh. Gi s x = (x1, x2, ..., xn) là m t phng án b t kì c a bài toán (1),(2),(3). Nhân hai v c a(5) v i c; r i l y t ng theo iJ0 c hai v ta c

315

c ng c hai v c a

ng th c trên v i

ta c

vì x là phng án nên xj 0 v i m i j J0, cùng v i gi thi t j 0 v i m i j J0 t (8) ta suy ra f( ) f(x). B t ng th c này úng v i phng án x b t kì nên là phng án t i u. ó là i u c n ph i ch ng minh. B 2. V i m i j J0 ta xét vect n chi u s j = (sij ) v i i = 1, 2,..., n c xác nh nh sau:

Khi ó ta có tcsj = - , Asj = 0, và v i tham s 0 thì vect x() = + sj là phng án c a bài toán (1), (2), (3) khi và ch khi x0 - xj 0 Chung minh. Rõ ràng tcsj = tc0 (-xj) + cj = -( tc0xj - cj = -j Chú ý n (4) ta có

Cu i cùng ta xét vectol xi t. Rõ ràng ta có Ax() : A + Asj = A = b. Do ó, xi t là phng án thì i u ki n c n và là x() 0. N u t x() = + sj = x' = (x'ij ), i = 1, 2 , ... , n thì ta có

316

Nh v y, v i 0 thì x' 0 khi và ch khi xi 0 - xij 0 v i m i iJ0 i u ó tng ng v i x0 - xj 0. nh lí c ch ng minh hoàn. Chú ý. - N u xj 0 thì rõ ràng x0 - xj > 0 v i m i 0 Vì x0 > 0, và nh v y khi ó x() là phng án v i m i 0. - Vì x0 > 0 nên có th ch n > 0 x() là phng án v i > 0 nh . nh sao cho x() 0, ngha là

- Do ý ngha hình h c, c mô t b i hình 3, nên si c g i là h ng ch p nh n c t i n u x() là phng án, và khi ó ta n i x() là phng án tìm c theo h ng sì (t ).

nh lý 2. (D u hi u hàm m c tiêu không b ch n) Nên ng v i phng án các bi n có m t ch s j j > 0 và xj 0 thì hàm m c tiêu c a bài toán (1) , (2), (3) không b ch n (t c là, trên t p phng án hàm m c tiêu có th nh n giá tr nh tu ý. Ch ng minh. Theo b 2, và chú ý sau ó, v i gi thi t xj 0 thì x() = + sj là phng án v i m i 0. Ta có

317

Do j > 0 nên rõ ràng f (x()) - khi + , i u ó ch ng t hàm m c tiêu có th nh n giá tr nh tu ý trên t p phng án, t c là hàm m c tiêu không b ch n. nh lí c ch ng minh. Chú ý. Theo ph n chú ý sau b 2, v i gi thi t x0 > 0 (hay không suy bi n) có vô s phng án d ng x() v i > 0 nh . Khi ó, n u t n t i j sao cho j > 0 thì t (11) suy ra f(x()) < f( ), ngha là có vô s phng án t t hn . N u xu t hi n d u hi u hàm m c tiêu không b ch n (t n t i j sao cho j > 0 và xi 0) thì, theo (11), có th tìm c phng án mà t i ó hàm m c tiêu nh n giá tr cho tr c, trong ó < f( ). Th t v y, t (11) ta có

Nh v y phng án c n tìm là x(0) = B

+ 0sj c l p tuy n tính trong

3. N u { Ai : i J0} là m t h m vect

, trong ó xsk 0 m v i s J0 thì h m vectg m Rm và n u Ai (i J0, i s) và Ak cng c l p tuy n tính. Ch ng minh. N u có các s , i tho mãn

thì thay Ak b i bi u th c c a nó ta c.

vì h {Ai: i J0} = 0.

c l p tuy n tính nên t (13) suy ra xsk : xik + i

318

Nhng do xsk 0 nên = 0, khi ó (13) tr thành

H {Ai: i J0, is} c l p tuy n tính (vì nó là h con c a h cl p tuy n tính ã cho) và do ó t (14) ta có i = 0 (i J0, is). V y = i = 0 (i J0, is). s ki n này c suy ra t (12), và t ó suy ra i u ph i ch ng minh. nh lí 3. N u ng v i phng án các biên t n t i m t ch s j sao cho j > 0, và v i m i j mà j > 0 vect xj có ít nh t m t thành ph n dng thì v i m i j ó, theo h ng sj có th xây dng c m t phng án c c biên m i t t hn (trong tr ng h p không suy bi n). Ch ng minh. Gi s k là m t ch s mà k > 0 và vect xk = (xik), i J0 có ít nh t m t thành ph n dng. Theo b (2), vect xi t x() + k 0 k s là phng án khi và ch khi x - x 0 hay

Coi (15) là h b t phng trình b c nh t v i n . N u v i i nào ó mà xik 0 thì do 0 nên b t phng trình tng ng là h ng úng. Do ó h (15) tng ng v i h

B ng cách gi i h (16) ta th y r ng xát) là phng án khi và ch khi

Gi s giá tr nh nh t trên ây d t d c t i ch s i = s J0 khi ó ta hãy ch n:

Rõ ràng Nh v y v i cách ch n ó thì phng án m i i = 1, 2,...., n c xác nh (theo (10)) nh sau :

319

Ngoài ra, theo (11) ta có f(x') = f( ) - kk, và i u ó ch ng t f(x') < f( ), t c là x', t t hn . Xét h m vect g m Ai (i J0 \{s} và Ak, nó c thi t l p t c s { Ai : i J0} c a b ng cách thay As b i Ak và gi nguyên các vect còn l i. Trên ây ã ch rõ thành ph n xsk > 0; theo b 3, rõ ràng h ang xét là c l p tuy n tính. Do ó phng án x' c xác nh b i (17) là phng án c c biên. nh lí ã c ch ng minh. 2) V tr ng h p bài toán suy bi n. Sau ây ta xét tr ng h p bài toán (1), (2), (3) suy bi n, ngha là t n t i phng án c c biên có ít hn m thành ph n dng. Chú ý r ng, ngay là phng án c c biên không suy bi n thì phng án c c biên c khi x' v n có th suy bi n n u t p

Có quá m t ph n t . Th t v y, gi s s, r K (r s). Khi ó xs0 - kxsk = 0 và xr0 - kxrk = 0, ngha là x' có nhi u nh t là m - 1 thành ph n dng, t c là x' là phng án c c biên suy bi n. Bây gi ta gi s r ng là phng án c c biên suy bi n, t c là t n t i i J0 sao cho xi0 = 0. Khi ó theo (16), vect x' = x() = + sk là phng án khi và ch khi = 0, ngha là x' = x(0) = và ta th y ng v i hai c s khác nhau. N u tình tr ng trên x y ra liên ti p m t s l n thì có nguy c là g p l i m t c s ã dùng tr c ó. N u không có bi n pháp gì ngn ch n thì t ó c xoay vòng mãi theo m t dãy h u h n các c s c a x mà v n c không r i kh i c , không c i thi n c gì v giá tr c a hàm m c tiêu. Ta g i ó là hi n t ng xoay vòng. R.G Bland ã ch ng minh quy t c tránh xoay vòng do mình xu t vào nm 1977, c g i là quy t c Bland có n i dung nh sau: Tiêu chu n a Ak vào c s : k là ch s nh nh t trong các c

320

l ng dng, t c là k = min {j : j > 0 } . Tiêu chu n lo i As ra kh i c s : s là ch s nh nh t trong K. T ó suy ra r ng, n u a Ak vào c s theo quy t c Bland và s ph n t c a K là |K| = 1 thì không x y ra hi n t ng xoay vòng. Các bi n pháp tránh xoay vòng nh phng pháp nhi u lo n, phng pháp t v ng, k c quy t c Bland, ch là s mb ov m t toán h c mà thôi, b i vì trong th c t hi n t ng xoay vòng là r t hi m, dù r ng có không ít các bài toán suy bi n. B i v y, h u nh các chng trình tính toán trên máy tính i n t , ng i ta không cài t các bi n pháp tránh xoay vòng. Vì nh ng l trên ng i ta th ng dùng phng pháp ng u nhiên ch n các vect a ra và a vào c s , k t h p v i s cân nh c k càng trong t ng tr ng h p c th . 3) Công th c i c s . T c s lí lu n c a phng pháp n hình ta th y r ng, xu t phát t phng án c c biên ã bi t, sau khi ki m tra th y cha th k t thúc vi c tính toán c (cha xu t hi n d u hi u t i u hay d u hi u hàm m c tiêu không b ch n) thì ta ph i ti n hành xây d ng phng án c c biên m i x' (có th trùng v i nhng c s thì khác nhau). Quá trình ó s k t thúc sau m t s h u h n b c, khi ã tìm c phng án t i u ho c k t lu n c r ng hàm m c tiêu không b ch n. Ta nói r ng ã th c hi n m t b c l p n u nh i v i m i phng án c c biên xu t hi n trong quá trình nói trên, sau khi ki m tra xong ta có c m t quy t nh ti p theo. Trong m i b c l p ta c n ph i xác nh giá tr c a các tham s xij, j ; f (f là giá tr hàm m c tiêu), trong ó vi c xác nh xij là khó khn nh t vì v i m i i ta ph i gi i m t h Cramer tìm chúng. Do c s c a phng án c c biên m i b c l p ch khác c s b c l p tr c có m t vect nên ta có th tìm c các công th c truy toán cho phép tìm c giá tr c a các tham s m i b c, k t b c th hai, t giá tr c a các tham s tng ng b c tr c. G i giá tr c a các tham s b c tr c là xij, j, f và giá tr tng ng b c ti p theo là x'ij, 'j, f. Gi s c s c a phng án c c biên b c tr c là { Ai : i J0}, b c ti p theo là { Ai : i J0\ {s}) {k}}, d nhiên là k 0 và k J0.

321

Vect Ak a vào c s ( thay th As, s J0) có d ng

v i m i j = 0, 1, 2 , ..., n vect Aj bi u th tuy n tính qua c s b c tr c và b c ti p theo nh sau:

T (18) suy ra vect As có d ng:

Thay As vào (19) ta c

Do Aj bi u th tuy n tính m t cách duy nh t qua c s b c ti p theo nên, so sánh (20) và (22), v i j = 0, 1, 2..., n và i J0\{s} ta có:

M t khác, nh ta ã bi t ( xem ch ng minh

nh lý 3)

và theo

nh ngha ta có:

322

Tuy nhiên, n u ký hi u f = xm+1,0 và j = xm+1, j v i j = 1, 2,..., n thì có th th y r ng c b n công th c (23), (24), (25), (26) u có th th ng nh t l i thành hai công th c (23), (24). 4) Thu t toán n hình g c. Xét bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c

trong ó b 0, và A là ma tr n ki u (m, n) v i m < n có m t c s n v .

ng th i trong A

Ta g i bài toán có tính ch t nh v y là bài toán chu n. Ch ng h n h Ax = b có d ng

Vì b 0 nên không c n tính toán gì c ta th y ngay m t phng án c c biên ng v i c s n v , ó là = (b1, b2, ..., bm, 0, 0,...,0) . Theo công th c xj = B-lAj, v i B = I là ma tr n n v c p m ta có xj = Aj, j = 0, 1, 2,..., n. thu n ti n cho vi c tính toán ta s p x p các s li u vào m t b ng sau ây mà ta s g i là dáng n hình ng v i :

323

Trong b ng n hình u tiên này, c t u tiên ghi các thành ph n c a c0, ng v i các vect trong c s c ghi c t th hai; c t th ba ghi các thành ph n tng ng c a x0. Dòng trên cùng ghi các thành ph n c a vect c, dòng th hai ghi các vect xj mà các thành ph n c a nó c ghi vào c t tng ng. Vì xj = Aj , (j = 0, 1, ... , n) nên các s li u b ng u tiên, k t c t x0, chính là các thành ph n c a ma tr n [b| A], t c là xi0 = bi , xij = aij (i = 1, 2 , ... , m ; j = 0, 1, ... , n) . Dòng cu i cùng ghi f = f ( ) và các j (j = 1, 2 , ... , n) mà giá tr c a chúng c tính toán ngay trên b ng n hình, c th là: * f = c0 x0: Tính tích vô h ng gi a các vect c t c0 và x0. * j = tc0xj - cj : L y tích vô h ng c a c t c0 và xj r i tr c ghi phía trên cùng c a c t xj). i cj (cj

Sau khi ã tính c các c l ng j ta ti n hành ki m tra tính t i u c a phng án c c biên ang xét: - N u xu t hi n d u hi u t i u (j 0) v i m i j = 1, 2,..., n) thì phng án c c biên ang xét là phng án t i u v i các thành ph n c s c ghi trên c t xo, các thành ph n phi c s b ng 0, và k t thúc vi c tính toán. - N u xu t hi n d u hi u hàm m c tiêu không b ch n (t n t i ch s j sao cho j > 0 và xj 0 ) thì d ng l i và cho k t lu n.

324

- N u không x y ra hai tr ng h p trên thì ta ti n hành xây d ng phng án c c biên v i c s m i (n u phng án c c biên ang xét là không suy bi n), qua các b c sau: * Xác nh vect Ak a vào c s m i theo tiêu chu n k > 0, th ng dùng tiêu chu n k = max {j : j > 0 } . * Xác nh vect As b lo i kh i c s c (n u ã quy t nh a A vào c s ) : L p t s gi a các ph n t c t xo và các ph n t dng tng ng ( cùng m t dòng) c t xu xác nh t s nh nh t, và t ó xác nh ch s s:

Ph n t xsk c g i là ph n t tr c, dòng ng v i ch s s ( ta cng g i là dòng s) c g i là dòng xoay, c t xk ( ta cng g i là c t k) c g i là c t xoay. Ti p theo ta l p b ng n hình ng v i phng án c c biên theo c s m i mà các s li u c a b ng c xác nh theo các công th c (23) và (24). Toàn b các phép bi n i nh v y c g i là phép xoay xung quanh ph n t tr c xsk. Nh v y, b ng n hình m i c suy ra t b ng n hình tr c b ng cách, trên dòng xoay, thay cs b i chi thay AB b i Ak, sau ó th c hi n các phép bi n i k t c t x0, theo (23) và (24), c th là: * Chia m i ph n t c a dòng xoay cho ph n t tr c xsk, nh v y là s 1 xu t hi n t i v trí tr c. * tính dòng i m i (i J0 \ {s}), ta l y dòng i c tr i tích c a dòng xoay ã bi n i v i ph n t n m giao gi a dòng ang tính và c t xoay. Làm nh v y ta c s 0 m i v trí c a c t xoay, tr v trí tr c; ngha là c t k bây gi là vect n v . Vi c xác nh f và j b ng n hình m i c th c hi n nh b ng n hình tr c. Quá trình tính toán c ti p t c nh v y, sau m t s h u h n b c s k t thúc khi xu t hi n d u hi u t i u ho c d u hi u hàm m c tiêu không b ch n. Ví d 1. Gi i bài toán quy ho ch tuy n tính sau:

325

Gi i Bài toán c n gi i là bài toán chu n. Ta th y ngay = (2, 12, 0, 0, 9, 0) là phng án c c biên ng v i c s n v g m các vect A1, A2, A5. K t qu tính toán c th hi n b ng d i ây; trong ó b ng n hình th 3 ( b c th 3) ta có j 0 v i m i j , ó là d u hi u t i u. V y phng án t i u là x* = (0, 8, 0, 3, 0, 1) v i f(x*) = -17

Gi i thích.

b ng n hình th nh t ta có:

max {j : j > 0 } = max {4 = 2 , 6 = 1} = 4 = 2. Do ó A4 c

326

a vào c s , c t x4 là c t xoay (trên b ng 4 = 2 c

t trong ngo c);

t c là m n t c ch s s = 1, do ó A1 b lo i kh i c s , dòng ng v i nó là dòng xoay và ph n t tr c là x14 = 1 ( nó c t trong ngo c). * b ng n hình th hai, trong c t c0 s c4 = -2 thay cho c1 = 1, trong c t ghi c s A4 thay cho A1, các s li u c suy ra t b ng n hình th nh t b ng cách áp d ng các công th c (23), (24). Ta có 6 = 3 là c l ng dng duy nh t nên c t x6 là c t xoay;

t c ch s s = 5, do ó A5 b lo i và dòng ng v i A5 là dòng xoay, ph n t tr c là x56 = 5 (trên b ng nó c t trong ngo c). Tng t ta có b ng n hình th 3, t i ó xu t hi n d u hi u tôi u. Ví d 2. Gi i bài toán quy ho ch tuy n tính sau:

Gi i a bài toán v d ng chính t c v i các n bù x5 , x6 , x7 ta c

327

ó là bài toán chu n. Ta có b ng sau:

b c 2, do 3 =

15 3 7 17 > 0 Và x3 = (- ,- ,- ) < 0 nên ta có k t 4 4 4 4

lu n bài toán có hàm m c tiêu không b ch n. 5) Thu t toán n hình hai pha. Thu t toán n hình g c (hay ch c n g i là thu t toán n hình) dùng gi i bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c d ng bài toán chu n, t c là có gi thi t b 0 và ma tr n ràng bu c A có m t c s n v . Tuy nhiên, trong th c t h u nh không g p bài toán chu n nh v y Sau ây ta s trình bày m t thu t toán khác, c g i là thu t toán n hình hai pha hay thu t toán hai pha gi i quy t bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c t ng quát. Gi s c n gi i bài toán ( mà ta s g i nó là bài toán chính)

328

trong ó A là ma tr n ki u (m, n) b t kì và b 0. i u ki n b 0 luôn có th th c hi n c vì n u bi < 0 thì ch c n nhân hai v c a phng trình tng ng v i -1 . Tng ng v i bài toán chính ta xét bài toán ph sau ây:

trong ó w = (xn+l , xn+2 ,...., xn+m) ; và xn+i vi i = 1, 2, ... , m là các n m i c a vào, ta s g i chúng là các n gi . Bài toán ph còn có th vi t d i d ng:

cho ti n, ta kí hi u An+i = Ii (i = 1, 2 , ... , m) là các vect n v và g i chúng là các vect gi . G i t p phng án c a bài toán chính và bài toán ph theo th t là X và X' Tr c h t ta th y r ng, x X khi và ch khi (x, 0) X' (ta hi u (x, 0) là vect (x1, x2, ..., xn, 0, ... , 0) Rn+m). Ngoài ra ta có nh n xét: (x, 0) X' là phng án c c biên c a bài

329

toán ph khi và ch khi x X là phng án c c biên c a bài toán chính (chúng có cùng m t h vect liên k t, ho c u là vect 0). Bài toán ph có t p phng án X' vì (0, b) X' , và F(x, w)0 v i m i (x, w) X' , ngha là F(x, w) không th nh n giá tr nh tu ý trên X'. Do ó bài toán ph có phng án t i u. Vì bài toán ph là bài toán chu n nên có th ti n hành gi i nó b ng thu t toán n hình (g c), sau m t s h u h n b c d u hi u t i u xu t hi n và ta thu c phng án c c biên t i u Có hai tr ng h p x y ra: 0, t c là t n t i i {1, 2,..., m} sao cho a) m t n gi nh n giá tr dng):

n+i

> 0 (có ít nh t

Khi ó ta k t lu n bài toán chính có t p phng án là r ng. Th t v y, n u t n t i x X thì (x, 0) X' và F(x, 0) = 0. M t khác, do 0 nên F( , ) > 0. Suy ra (x, 0) là phng án t t hn ( , ), i u này trái v i tính t i u c a ( , ). V y X = b) = 0, t c là m i n gi u nh n giá tr b ng 0:

Khi ó F( , ) = F ( , 0) = 0 . Vì ( , 0) là phng án c c biên c a bài toán ph nên x là phng án c c biên c a bài toán chính. Ta xét hai tình hu ng sau: Tình hu ng 1. N u m i vect trong c s c a ( , 0) g m toàn các vect c t c a ma tr n A thì ta xoá b các c t trong b ng n hình cu i cùng k t c t xn+1 n c t xn+m (ngha là xoá b các c t ng v i n gi ). Sau ó ta gi i bài toán chính xu t phát t phng án c c biên b ng thu t toán n hình g c; d nhiên là ph i thay i dòng trên cùng, tr c là h s c a hàm m c tiêu trong bài toán ph , bây gi là h s c a hàm m c tiêu trong bài toán chính, ng th i c t co cng ph i thay i theo cho phù h p; tính l i dòng ghi các c l ng (cho bài toán chính) ki m tra . Tình hu ng 2. n u trong c s c a ( , 0) v n còn p vect gi (p 1) thì ta xoá b ngay các c t ng v i các n gi còn l i; i u ch nh các h s c a hàm m c tiêu ghi dòng trên cùng và c t co cho phù h p, v i lu ý r ng h s c a các n gi trong hàm m c tiêu ng v i p vect gi nói trên ta cho b ng 0; tính l i các c l ng ki m tra . Sau ó ta ti p

330

t c dùng thu t toán n hình g c gi i bài toán chính xu t phát t phng án c c biên , ngay t b ng n hình cu i cùng, d u r ng trong ó có m t p vect gi nói trên. Nh v y, gi i bài toán chính ta phân ra hai giai o n (hay hai pha). Pha th nh t nh m m c ích tìm c phng án c c biên (n u có) c a bài toán chính. Pha th hai nh m gi i bài toán chính xu t phát t phng án c c biên (n u có) ã tìm c pha th nh t. Chính vì v y ta g i cách gi i ó là thu t toán hai pha. Chú ý : * N u trong ma tr n A bài toán chính ã có s n m t vài vect c t là các vect n v khác nhau thì ta ch c n a vào bài toán ph m t s n gi v a có úng m vect n v . * N u m t b c nào ó m t vect gi b lo i kh i c s thì t các b c sau ta xoá b c t tng ng. Ví d 1. B ng thu t toán hai pha gi i bài toán sau:

Gi i Trong ma tr n ràng bu c A ã có Ai là vect n v nên ch c n a vào hai n gi x6, x7 ng v i hai phng trình cu i, ta có bài toán ph

trong ó w = ( x6, x7).

331

Vi c tính toán c th hi n trong b ng d i ây (xem ph n gi i thích)

Gi i thích. - Lúc u, ch ghi vào dòng trên cùng các h s 1 c a các n gi trong hàm m c tiêu F(x, w); các h s còn l i b ng 0 ta không c n ghi, cng là ch nh dành ch ghi các h s c a f(x) trong pha 2. - b c 3, d u hi u t i u i v i bài toán ph ã xu t hi n, trong c s không có vect gi . Lúc này, cùng v i vi c ghi các h s c a hàm f(x) vào dòng trên cùng và các h s phù h p vào c t co ( nhánh bên

332

trái) ta tính các c l ng j(f) ng v i hàm f(x) r i ghi vào dòng ti p theo c kí hi u là f ( phân bi t v i j(F) là các c l ng ng v i hàm F và ghi vào dòng có kí hi u là F). - Chú ý r ng, trong b c hai ta ã xác nh A3 vào c s thay cho A6, ngha là t b c ba tr i m i n c s u không ph i là n gi n a. Nh v y, b t u t b c ba ta ch làm vi c v i bài toán chính, do ó không c n tính các j(F) n a mà tính luôn j(f). Cu i cùng ta thu c phng án t i u c n tìm là: x* = ( 0, 0, 16, 31, 14 ) v i f(x*) = 7. Ví d 2. Gi i bài toán sau ây b ng thu t toán hai pha:

Gi i Sau khi a vào các n bù x4, x5 0 ng v i các ràng bu c c ng b c b t phng trình, ng th i chú ý bi n i sao cho v ph i b 0, h ràng bu c c ng b c tr thành:

a vào 2 n gi x5, x7 ta có bài toán ph sau:

333

vi c tính toán c th hi n trong b ng d i ây:

Gi i thích: b c ba, d u hi u t i u xu t hi n và phng án t i u c a bài toán là x* = (0, 0, 8) v i f(x*) = - 32. Chú ý r ng, b c 2 ã xu t hi n d u hi u t i u i v i bài toán ph , nhng trong c s c a phng án t i u y có m t vect gi là A7 . Khi ó ta xoá ngay các c t ng các vect gi còn l i, ó là c t x6, nhng c t này ã b xoá ngay t b c hai b i vì A6 b lo i kh i c s u tiên.

334

Ví d 3. Gi i bài toán sau b ng thu t toán hai pha: f(x) = 2 x1 - 2x2 + 3x3 min

Gi i a vào hai n bù x4, x5 và n gi x6 ta có bài toán ph Ta có b ng sau:

b c hai, d u hi u t i u ã xu t hi n nhng trong c s tng ng có vect gi A6 v i giá tr c a n gi là x6 = bài toán có t p phng án là r ng. 2.3. Gi i các bài toán quy ho ch tuy n tính b ng máy tính i n t ( Theo l p trình tính toán v i Mathematica 4.0) 1) Gi i bài toán quy ho ch tuy n tính có d ng

335

1 > 0 nên ta k t lu n 2

Ví d : Gi i bài toán

Tr c h t ta a bài toán v d ng m t b ng cách tiêu c - z(x) = - 2x - 4x2 - x2 -x4 min. Ta dùng các l nh sau:

i d u hàm m c

V y áp s c a bài toán là : x* =(0, 4/3, 5/12, 0) là phng án t i u v i z(x*) = 23/4 2) Gi i các bài toán quy ho ch tuy n tính có d ng

336

Ví d . Gi i bài toán ã cho trong ví d Ta dùng các l nh sau:

m c 1).

V y áp s c a bài toán là: x = (0, 4/3, 5/12, 0) là phng án t i u v i z(x*) = 23/4. 3) Gi i bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chu n t c z(x) = tcx min Ax > b x>0 Ví d : Gi i bài toán

337

Ta dùng các l nh sau:

V y áp s c a bài toán là: x* = (0, 2, 3) là phng án t i u v i z(x*) = 3 .

338

TÓM T T gi i bài toán quy ho ch tuy n tính b ng thu t toán n hình, tr c h t ph i a nó v d ng chính t c. Sau khi bi n i sao cho v ph i c a các phng trình u không âm, n u c n, ta s a vào các n gi v i s l ng v a ma tr n trong h ràng bu c c ng b c m i có m t c s n v . T ây ta ti n hành thu t toán hai pha i v i bài toán chu n v a thi t l p c. Trong tr ng h p ã bi t m t phng án c c biên c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c ta ti n hành nh sau: Th c hi n phép bi n i s c p trên các dòng c a ma tr n ràng bu c thu c ma tr n m i có các vect (c t) n v khác nhau ng v i các n c s . N u phng án c c biên ã bi t là không suy bi n thì có úng m t c s n v . N u phng án c c biên ã bi t là suy bi n thì ho c là bi n i ti p, ho c là a thêm vào m t s n gi có m t c s n v . T ó ti n hành thu t toán n hình gi i bài toán.

339

BÀI T P 1. M t c s s n xu t có th s n xu t c hai lo i hàng I và II t hai lo i nguyên li u A và B. Tr l ng c a các nguyên li u A và B theo th t là 6 và 8 n v . s n xu t m t n v hàng lo i I c n 2 n v nguyên li u A và 3 n v nguyên li u B; s n xu t m t n v hàng lo i II c n 1 n v hàng lo i A và 4 n v nguyên li u B. Giá bán m t n v hàng lo i I và lo i II theo th t là 7 và 5 n v ti n t . Qua ti p th c bi t, trong m t ngày, nhu c u tiêu th lo i hàng I không quá 2 n v , nhu c u tiêu th lo i hàng I hn nhu c u tiêu th lo i hàng II không quá 1 n v . V n t ra là c n s n xu t m i ngày bao nhiêu n v hàng m i lo i doanh thu là l n nh t. Hãy l p mô hình toán h c cho bài toán th c t trên. 2. Dùng nh ngha ch ng t r ng, x* = ( 0, 2, 3 ) là phng án t i u c a bài toán sau:

3. Dùng nh ngha ch ng minh r ng, phng án t i u:

i v i m i bài toán sau x là

340

4. a các bài toán sau v d ng chính t c:

5. Gi i các bài toán sau b ng phng pháp

th :

6. V i bài toán d ng chính t c có h ràng bu c

341

hãy xét xem trong các phng án sau, phng án nào là phng án c c biên ( không suy bi n hay suy bi n ): x1 = ( 2, 2, 0 ), x2 = ( 0, 0, 4), x3 = (1, 1, 2). 7. Hãy tìm t t c các phng án c c biên c a bài toán quy ho ch tuy n tính có h ràng bu c:

ó là bài toán suy bi n hay không suy bi n. 8. Cho bài toán

trong ó t là tham s . B ng phng pháp th hãy tìm t t c các giá tr c a t sao cho: a) T p phng án là r ng. b) T p phng án khác r ng nhng hàm m c tiêu không b ch n. c) Bài toán có phng án t i u duy nh t. d) Bài toán có vô s phng án t i u. 9. Cho bài toán quy ho ch tuy n tính f(x) = tcx min

342

a) Ch ng minh r ng n u x1 và x2 là các phng án thì x1+ (1 - )x2 v i 0 1 Cng là phng án. b) Ch ng minh r ng n u x1 và x2 là các phng án t i u thì x1 + (1 - )x2 v i 0 1 cng là phng án t i u. 10. Ch ng minh r ng, b ch n: i v i các bài toán sau hàm m c tiêu không

11. Cho bài toán 3x1 + 2x2 + 5x3 - 2x4 min

Tìm phng án c c biên ng v i c s {A3, A4, A5} và ki m tra tính t i u c a nó b ng cách tính các c l ng (A là ma tr n ràng bu c).

343

12. Gi i các bài toán sau b ng thu t toán n hình (tên g i chung cho thu t toán n hình g c và thu t toán hai pha):

344

345

VÀI NÉT L CH S S ra i c a Quy ho ch tuy n tính nói riêng và Quy ho ch toán h c nói chung có th coi là vào nm 1939. Phng pháp n hình n i ti ng do giáo s Dantzig (George Bernard Dantzig, ông sinh nm 1914) xu t t nm 1947, n nay v n c s d ng r ng rãi nh t cho Quy ho ch tuy n tính. Cu i tháng 8 nm 1997, hn hai nghìn nhà khoa h c t kh p các n c trên th gi i ã tham d H i ngh qu c t "Quy ho ch toán h c" t i Lausanne (Th y S) ã làm l k ni m 50 nm ngày phng pháp n hình c công b , và ngày ó cng chính th c c l y làm "Ngày Quy ho ch tuy n tính" trên th gi i. G n ây, ã xu t hi n phng pháp ellipsoid c a Khachian (ra i nm 1979), phng pháp " i m trong" c a Karmarkar (ra i nm 1984), ó là nh ng thành t u m i và r t quan tr ng, c quan tâm c v m t lý thuy t l n kh nng gi i quy t các bài toán quy ho ch tuy n tính c l n.

346

L I GI I -H NG D N -TR L I Chng I. NH TH C

2. a) có 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ngh ch th , sgn() = -1. b) có µ ngh ch th , sgn(µ) = -1.

3. a) Các tích có m t trong b) C hai 4. u có d u "+".

nh th c: a12a24a33a41, a14a22a31a43.

i v i tích a11a22a3ja4ka54, j = 3, k = 5 ho c j = 5, k = 3. i v i tích a12a2ja33a4ka55, j 1, k = 4 ho c j = 4, k = 1 .

5. Ch có m t tích : a13a22a31 có d u "-". 6. Tích a11a22...ann có d u c ng; Tích a1na2n-1...an1 có d u là 7. H ng d n: Nhân c t th nh t v i 100, nhân c t th hai v i 10, r i c ng vào c t cu i. 8. H ng d n: Tách nh th c v trái thành t ng c a nhi u nh

347

th c, b i nh ng th c còn l i.

nh th c b ng 0, r i

i ch các c t c a nh ng

nh

9. H ng d n: a) Nhân dòng th ba v i -1 r i c ng vào dòng th hai. b) C ng ba dòng: th nh t, th hai, th t. 10. S: a) -88 ; b) -3 ; c) -626 ; d) 75 ; e) -180 ; f) -180. 11. S: a) 1 ; b) 876. 12. S: a) -238 ; b) 576. 13. S: a) -1344 ; b) -9 ; c) 108 ; di 24 ; e) H ng d n: L y dòng th nh t c ng vào t t c các dòng còn l i; f) H ng d n: L y dòng th nh t c ng vào dòng th hai. L y dòng th hai v a c c ng vào dòng th ba; l y dòng th ba v a c c ng vào dòng th t; c ti p t c nh th . 14. H ng d n: a) Làm nh ví d 2, m c 5.5; b) Tính các nh th c con c p 1, c p 2, c p 3, c p 4 góc trên bên trái. Coi chúng là D1, D2, D3, D4, còn nh th c ã cho là Dn. Nh n d ng các nh th c D1, D2, D3, D4 d oán k t qu và ch ng minh d oán y. S : xn-1 + 2xn-2 + 3xn-8 +...+ n hay

kx

k =1

n

n- k

;

c) Nhân dòng th n v i ­a1 r i c ng vào dòng th n, nhân dòng th n - 2 v i ­ a1 r i c ng vào dòng th n - 1, c nh th ... , nhân dòng th nh t v i - ai r i c ng vào dòng th hai. Khai tri n nh th c v a c theo c t th nh t. a nhân t chung các c t c a nh th c v a c có ra ngoài d u nh th c. áp d ng phng pháp trên vào nh th c v a c. S: 15. S: a) (-3, 0, 5) ; b) (1, -2, 1) ; c) (3, 0, 1, 1) ; d) (0, 2, -1, 2); e) (1, 2, 1, 0). 16. H ng d n: nh th c D là nh th c Vandermonde, còn các Di cng là nh ng nh th c Vandermonde v i aj c thay b i b.

348

349

Chng II. KHÔNG GIAN VECT

2. Tr l i: a) Không ; b) Có ; c) Không ; d) Không; e) Không. 8. Tr l i: a) Có ; b) Có; c) Khôngl di Có; e) Không; 0 Có 9. Tr l i: Không. 10. Tr l i: Không vì nó không có ph n t 0. 11. S: Ph n t ph i tìm là

ra ra1 ra2 , , r, 4 4 4 4

12. H ng d n: Gi s U V. Khi ó t n t i m t W Hãy ch ng minh r ng m i xem + thu c U hay thu c W. U

V \ U . Suy ra

u thu c W b ng cách xét

15. H ng d n: Gi s X là m t không gian con c a V ch a U W. Ch ng minh r ng U + W X. 16. H ng d n: Vi t

Gi i h phng trình

s: 17. S: 18. H ng d n: Tìm r1, r2, r3 sao cho r1 1 + r2 2 + r3 3 = có r1, r2, r3 không ng th i b ng 0 thì h ph thu c tuy n tính. S: a) c l p tuy n tính; b) Ph thu c tuy n tính ; c l p tuy n tính.

350

.N u

c) Ph thu c tuy n tính ; d)

19. Tr l i: a)

c l p tuy n tính; b) Ph thu c tuy n tính.

20. S: a = 5, b = - 12. 21 . c) Tr l i : Không vì 22. H ng d n: Gi s R sao cho r1 1 = lu n c a bài toán. = r2

2 4

=

1 1

2

-

1 2. 2

R hay r1

R - r2

Th thì t n t i r1, r2 thu c . T gi thi t suy ra k t c

=

23. H ng d n: Ch ng minh r ng h vect m i nh n c cng l p tuy n tính. 24. H ng d n: Th c hi n nh ví d 2, m c 4.1. 25. H ng d n: Tr c h t hãy xem h vect ã cho có tính không. N u có hãy ch ng minh nó là h sinh. Tr l i: a) Có; b) Có. 28. H ng d n: Gi s

c l p tuy n

Th thì t n t i r1, r2, ...,ri ,...,rn thu c R sao

T gi thi t suy ra k t lu n c a bài toán. 29. H ng d n: Xét xem h vect có c l p tuy n tính không. N u không hãy xét xem trong h có hai vect nào c l p tuy n tính không. Tr l i: a) dimV = 2; b) dimV = 3 ; c) dimV = 3. 31. a) Ta có: 2 = dimU dim(U + V) dimV. N u dim(U + W) < dimV = 3 thì dim(U + W) = dimU Vì U U + W nên t ó suy ra U = U + W. Do ó U = W (trái gi thi t). V y dim(U + W) = 3. Suy ra dim(U W) = dim(U) + dim(W) - dim(U + W) = 1. b) N u dim(U + W) = 4 thì trái v i gi thi t U W. Do ó dim(U + V) - 5 ho c dim(U + V) = 6.

351

Tr l i: dim(U W) = 3 ho c dim(U W) = 2. 32. H ng d n: Xét xem h vect { tuy n tính không. 37. b) S: T =

1, 2, 1, 2}

cl p

c) H ng d n: Có 2 cách gi i: Cách 1. Tìm ma tr n chuy n t c s () sang c s () r i áp d ng công th c i to . Cách 2. Coi to c a f(x) i v i c s () là (y1, y2, y3, y4). Dùng công th c i to v i ma tr n chuy n T t c s () sang c s () ã bi t trong câu a), ta c m t h phng trình i v i n y1, y2, y3, y4. s: (6, 3, 2, 0). 38. s: a) T = .

b) (7, 0, 5, -2); c) Cng là ma tr n T trong câu a) . d) (0, 1, 4, 2). 39. S: h ng(A) = 3 ; h ng(B) = 2 ; h ng(C) = 4 ; h ng(D) = 3. 40. S: a) {

1, 2};

b {

1,

2,

4}

; c) {

1,

2,

3}.

41. H ng d n: t T = (aíj) là ma tr n chuy n t c s A sang c s B. Theo nh ngha c a ma tr n chuy n ta c các h phng trình i v i các a j. Gi i các h này se tìm c các aij.

352

353

Chng III. ÁNH X TUY N TÍNH

1. Tr 1 i: a) ; b) ; d) ; f) ; g) ; h). 2. Tr 1 i: n c u: g), h); Toàn c u: d) , f); Không có 3. S: V i ng c u. = (a1, a2, a3), f( ) = (a1 + a2, 2a1 - 2a3, -a2 + 2a3).

4. H ng d n: Tr c h t ch ng minh r ng 1, 2, 3 1 p thành m t c s c a R3. Th c hi n nh ch ng minh nh lí m c 1.2. tính f((1, 0, 0)) ta c n tìm to nói trên. Tr l i: f((1, 0, 0)) = (0, -2, 2). 5. S: = (3,

9 , 0). 2

c a vect (1, 0, 0)

i v i c s

8. b) Gi s A 1à m t c s c a V và s1

1

= r1

1

1

+...+ rm

m

m,

=

1

+...+ sm

m

sao cho f( ) = f( ) . Th thì: r1

+...+ rm

= s1

+...+ sm m. Vì B là c s c a W nên r1 = s1,..., rm = sm. Do ó = . Suy ra f là m t n c u. Theo gi thi t f là toàn c u. V y f là ng c u. 9. S: a)

354

10. S: Imd = P1 1à t p g m a th c 0 và các a th c b c không quá 1 trên R, Kerd = R. dimImd = 2, dimKerd = 1. 12. H ng d n: Ch ng minh r ng f|U 1à m t n c u và m t toàn c u. 13.

14.

16. Tr 1 i: a) Không. Ví d : f: R2 R2 1à

ng c u

ng nh t và

355

g: R2 R2 xác nh b i g(a1, a2) = (-a1,-a2) g)(a1, a2) = (0, 0) là ng c u 0. Tng t , f và g m t toàn c u.

u là n c u nhng (f +

u là nh ng toàn c u nhng f + g không ph i là

m}

18. H ng d n : a) Gi s { 1,..., minh r ng h vect {f( 1) ,..., f( m)} sung và h này c m t c s : {f(

1,...,

1à m t c s c a V. Ch ng c l p tuy n tính trong W. B

j)

f(

m),

m+1,...., j) m) j

n}.

Xác

nh ánh x g b i gf(

=

j.

v i m i j {1,..., m}, g( b) Gi s {

1,

= 0 , V i m i j {m + 1,..., n}.

j

... ,

là m t c s c a W, v i m i

j)

,v im ij

j)

{1,..., m}, c nh m t v i m i j {1,..., m}. 21. a) Ta có t nt im t f( ') =

sao cho f(

=

j.

Xác

nh g b i g(

=

j

f-1f(A) f( ) f(A) ' A sao cho f( ) = f( ') ' Kerf '= hay = ' + A+

t nt im t Kerf. b) B

Kerf sao cho

f(f-1(B)) t n t i m t f-1(B) sao cho B Imf.

= f( ) và f( )

22. a) f và g là nh ng ánh x tuy n tính. Th t v y, v i = (a1, a2, a3, a4),

356

Tng t

i v i g. ng c u. Có nhi u cách ch ng minh. Xin gi i

· f và g là nh ng thi u hai cách.

Cách 1. Ch ng minh chúng là nh ng n c u và nh ng toàn c u. Ch ng h n, ch ng minh cho g: = (0, 0, 0, 0) thì g(a1, a2, a3, a4) = (2a1, a2, a3, - a4) = + N u g( ) = (0, 0, 0, 0). Do ó a1= a2 = a3 = a4 = 0. suy ra = 0 ; ngha là g là m t n c u. + Gi s t =( = (b1, b2, b3, b4) R4 là m t vect tu ý.

b1 , b2, b3, - b4), ta có g( 2

) = (b1, b2, b3, b4) =

; ngha là g

là m t toàn c u. v y g là m t ng c u. Cách 2. Ch ng minh r ng f và g bi n m t c s thành m t c s . L y c s chính t c c a R4, ta có: g(1, 0, 0, 0) = (2, 0, 0, 0) g(0, 1, 0, 0) = (0, 1, 0, 0) g(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 1, 0) g(0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, -1). H vect này c l p tuy n tính vì n u thì

357

r1(2, 0, 0, 0) + r2(0, 1, 0, 0) + r3(0, 0, 1, 0) + r4(0, 0, 0, -1) = (2r1, r2, r3, -r4) = (0, 0, 0, 0). suy ra r1 = r2 = r3 = r4 =0.

Vì dimR4 = 4 và h này có 4 vect nên theo h qu m c 5.1, Ch. II, ó là m t c s c a R4. L i theo h qu m c 2.3, Ch. III, g là m t ng c u. c) h = f + g không ph i là m t n c u vì v i = . = (0, 0, 0, 1) ta có (f + g)( ) = (0, 0, 0, 1) + (0, 0, 0, -1)

Nó cng không ph i là m t toàn c u vì (f + g)(a1, a2, a3, a4) = (3a1, 2a2, 0, 0), V i m i không có nào (f + g)( c) ) = (0, 0, 0, 1). = (a1, a2, a3, a4) Kerh khi và ch khi = (a1, a2, a3, a4) nên

(f + g)( a1, a2, a3, a4) = (3a1, 2a2, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) khi và ch khi 3a1 = 0 = 2a2 hay khi và ch khi a1 = 0 = a2 Do ó = (0, 0, a3, a4) và Kerh = {0, 0, a3, a4) | a3, a4 R}. V y () = {(0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} là m t c s c a Kerh. Imh = {(3a1, 2a2, 0, 0) | a1, a2 R}. Nh v y m i vect thu c Imh có d ng (3a1, 2a2, 0, 0) = a1(3, 0, 0, 0) + a2(0, 2, 0, 0). Do ó h hai vect () = {(3, 0, 0, 0) , (0, 2, 0, 0)} là m t h sinh c a Imh. B n c t ki m tra r ng h này c l p tuy n tính. V y ó là m t c s c a Imh. d) Ta có h(0, 0, 0, 0) = (3, 0, 0, 0), h(0, 1, 0, 0) = (0, 2, 0, 0). Do ó có th ch n:

1=

(1, 0, 0, 0),

2

= (0, 1, 0, 0).

1, 2.

Theo gi thi t, U là không gian sinh b i hai vect V i = (a1, a2, a3, a4) tu ý thu c R4, ta có:

= a1(1, 0, 0, 0) + a2(0, 1, 0, 0) + a3(0, 0, 0, 1, 0) + a4(0, 0, 0, 1). Vì a1(1, 0, 0, o) + a2(0, 1, 0, 0) U, a3(0, 0, 0, 1, 0) + a4(0, 0, 0, 1) Kerh, nên

358

U + Kerh; ngha là R4 U + Kerh. M t khác, hi n nhiên U + Kerh R4. Do ó R4 = U + Kerh. Gi s 0). Vì Kerh nên U Kerh. Vì U nên = a1(1, 0, 0, 0) + a2(0, 1, 0,

= a3(0, 0, 1, 0) + a4(0, 0, 0, 1). Nh v y:

a1(1, 0, 0, 0) + a2(0, 1, 0, 0) = a3(0, 0, 1, 0) + a4(0, 0, 0, 1). hay (a1, a2, 0, 0) = (0, 0, a3, a4). T ó suy ra a1= a2 = a3 = a4 = 0 . Vì th = .

V y U Kerh = { }. e) (-2, 0, 1, 0) - gf(x1, x2, x3, x4) = (2x1, x2, -x3, -x4), suy ra (x1, x2, x3, x4) = (-l, 0, -1, 0). f) Gi s 1 = (x1, x2, x3, x4) là nh ng c c a thì (0, 2, -1, 0) = f(x1, x2, x3, x4) = (x1, x2, -x3, x4). Do ó

1 1

= (0, 2, -1, 0). Th

= (0, 2, 1, 0).

2

Tng t , ta tìm c nh ng c c a 1, 0). B n

1

= (1, 0, 1, 0) là

1, 2}

2

= (1, 0, -

c t ki m tra r ng h hai vect { ng c u nên f

2) -1

c l p tuy n tính.

1

Vì f là m t (

1), 2

cng là m t

1, 2}.

ng c u. Do ó

= f-

= f -1(

và f -1(W) sinh b i {

Theo bài t p 7, h hai vect này s c a f -1(W).

c l p tuy n tính. V y ó là m t c

1)

Tng t , m t c s c a g(W) g m hai vect g( g( 2) = (1, 0, 1, 0).

= (0, 2, -1, 0),

Chng IV. H PHNG TRÌNH TUY N TÍNH 1. S: a) (1, 1, 1) ; b (-11c3 + (1, 2, 1) ;

359

31 17 ,-17c3 + , c3) ; c) vô nghi m ; d) 10 10

2 14 + 26c4, + 14c4, c4 ) ; g) Vô 19 19 93 159 102 9 ,- ,- ) . nghi m ; h) Vô nghi m ; i) ( , 91 91 91 91

e) Vô nghi m ; f) (-1 - 2c4, -

3. Tr l i: a) Có ; b) Có ; c) Vô nghi m ; d) Có. 4. H ng d n: Xét nh th c c a A. V i nh ng giá tr c a a, b, |A|0 thì h có nghi m. ng v i m i giá tr c a a, b mà |A| = 0 , hãy xét h ng c a hai ma tr n A và B. Tr l i : a) a 1 và a -2 ho c a = 1 ; b) a 1 và b 0. 5. Tr l i: a 1 và a -2 ho c a = 1. 6. H ng d n: Tính a)(c - b). Xét các tr ng h p: · a b, b c, c a; · a = b, b c; (tng t : b = c, c a; c = a, a b); · a = b = c. 7. S: a = 27. nh th c c a ma tr n A c |A| = (b - a)(c -

j) H ng d n: Tính a)(c - b).

nh th c c a ma tr n A c |A| = (b - a)(c -

a b, b c, c a. H có nghi m duy nh t:

360

· a b, b = c, a d, b d. H vô nghi m. · a b, b = c, a = d. Nghi m: (1, y, -y). · a b, b = c = d. Nghi m: (0, y, 1 y). · a = b = c d. Vô nghi m. · a = b = c = d. Nghi m: (1 - y - z, y, z).

10. S: a = -1, b = -1, c = 1. 11. S: a = 1, b = c = 0, d = -1. 12. S: a = 5, b = -2, c = -4. 13. S: =3

1

-5

1

14. H ng d n: G i (y1, y2, y3) là to c a i v i c s () d ng công th c i to ta có h phng trình i v i các n yj.

15. S: T = 16. S: a) (3c4, c4, -4c4, c4); b) (-13c, 8c, 11c, 4c); c) (3c, c, 0, 0, 0); di (3c,-c, c, 2c, 0). 17. S: a) -11

1+

20

3

+19

4

=

; b)

1-

2+

2

3=

.

361

18. H ng d n: Tr c h t tìm h ng c a ma tr n A c a h phng trình. Suy ra s chi u c a không gian nghi m. Ki m tra xem h vect có c l p tuy n tính không. Tr l i: b) là h nghi m c b n. 19. G i S là không gian nghi m c a h phng trình. S: a) H nghi m c b n: (1, 2, 0, 1), (2, 3, 1, 0); dimS = 2; b) H nghi m c b n: (-3, 1, -6, 1), dimS = l; c) H nghi m c b n: (-3, 0, -1, 2), dimS = l; d) H nghi m c b n: (-l, -1, 1, 0, 0, 1), (3, 1, 2, 0, 1, 0), (2, 1, -1, 1, 0, 0) dimS = 3; e) H nghi m c b n: (1, 1, 0, 3, 0, 2), (-l, -1, 1, -4, 1, 0), dimS = 2. 20. S : a) H nghi m c b n: (1, -5, 0, 0, 3), (0, 1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0, 0). · Nghi m t ng quát c a h · Cho a = ã cho: (

1 1 + a, - 5a + b + c, c, b, 3a). 3 3

2 , b = c = 0, c m t nghi m riêng: (1, -3, 0, 0, 2). 3 2 1 + 2a + b, + 5a - b + c, 2c, 3 6

b) H nghi m c b n: (2, 5, 0, 0, 6), (1, -1, 0, 2, 0), (0, 1, 2, 0, 0). · Nghi m t ng quát c a h 2b, 6a). · Cho a =

1 , b = c = 0, c m t nghi m riêng: (1, 1, 0, 0, 1). 6

ã cho:(

21. Tr ng h p h ng (A) = h ng(B) = 1. H có vô s nghi m. Phng trình th hai và th ba là t h p tuy n tính c a phng trình th nh t. Ba ng th ng trùng nhau. · Tr ng h p h ng(A) = 1, h ng (B) = 2. H vô nghi m. +N u thì d1 trùng v i d2 và d3 // d1

362

+N u song song. .....

thì ba ng th ng

· Tr ng h p h ng(A) = 2 = h ng(B). H có nghi m duy nh t. N u quy. ng c t nhau. thì ba ng th ng ng

Hai ng th ng c t nhau, ng còn l i trùng v i m t trong hai

+N u

thì d1 c t d2, d3 trùng v i d1 ho c d2

· Tr ng h p h ng(A) = 2, h ng(B) = 3. H vô nghi m.

N u m t c t nhau nhng không +N u Chng V. MA TR N ng quy.

thì ba ng th ng ôi

thì d1 c t d2, d3 song song v i d2.

363

4. S: f(1, 0, 0) = (1, 0, 1), f(0, 1, 0) = (2, 1, 2), f(0, 0, 1) = (0, -2, 1). f(3, -2, 0) = (-1,-2, -1). 5. Gi i :

V y to

c a f( ) là (10, 11).

Kerf là không gian nghi m c a h thu n nh t:

V y Kerf có c s là h nghi m c b n c a h thu n nh t. Nhng h phng trình này là h Cramer nên Kerf = (0, 0, 0, 0). 11. Tr l i: N u A là ma tr n ki u (m,n) thì B tà ma tr n ki u (n, m). 15. S: (AB)C = A(BC) = 16. H ng d n: Vì ma tr n A ki u (2,3) và ma tr n I vuông nên nó

364

có ki u (2, 2). Do ó X có ki u (3,2).

tX=

T

ng th c i v i n yj.

AX : I ta c m t h phng trình i v i n xi và m t h Tr l i: Có nhi u l i gi i. ây là m t l i gi i:

c'ki trong ó cki là thành ph n c a ma tr n AB. V y t B t A = t (AB) .

19. S: A = 20. B-1A-1AB = B-1(A-1A)B = B-1IB = BB-1 = I. i u này ch ng t BA là ngh ch o c a AB. Do ó B-1A-1 = (AB)-1.

-1

1

21. S: |AB| = |A||B| = 0.(-1) = 0

365

23. S: X = 24. H ng d n: Gi s A = A2 = 0 ta c m t h phng trình. S: a) Có th ch n ma tr n A = b) (I + A)(I - A) = I2 - A2 - I. V y I + A và I - A là hai ma tr n ngh ch o c a nhau. 25. Gi s A kh ngh ch. Khi ó BA = (A-1A)BA = A-1(AB)A. V y BA ng d ng v i AB. 26. Ma tr n chuy n t c s () sang c s (') là Coi a, b, c, d nh nh ng n, t

Ma tr n c a f

i v i c s (') là B = T-1AT =

1 4

27. Ma tr n chuy n t c s () sang c s (') là

366

28. Ma tr n chuy n t c s () sang c s () là T = Ma tr n c a f i v i c s () là A' = i v i c s () là A' + B =

1, 2},

Ma tr n c a f + g

29. a) H ng d n: Gi s ã ch n c s { f. Xác nh nh c a m i vect. Tr l i: a) 30. S: k1k2. , ; b) ; c) .

xác ình ánh x

i v i f + g, giá tr riêng ng v i

là k1 + k2;

i v i fg là

31. S: a) A: không có; B: k1 = -1, k2 = 5, vect riêng tng ng là = (1, 1), = (-2, 1); C: k1 = 1, k2 = 4, vect riêng tng ng là D: k = 1, vect riêng tng ng là = (2, 1, 1); = (0, 1, 1); = (2, 0, 1), = = (1, 2), = (-1, 3); = (6, -7, 5),

= (0, 1).

b) A: k1 = -3, k2 = 1, k3 = 3, vect riêng tng ng là B: k1 = -1, k2 : 3, k3 = 4, vect riêng tng ng là (0, 1, 0); = (-3, -5, 1). c) A: k1 = 0, k2 = 1, k3 = 2, vect riêng tng ng là

= (-l, 0, 1, 0),

367

= (1, 0, 0, 0); = (40, -1, -8, 9);

= (0,1, 0, 0); = (0, 2, 1, 2), = (3, -1, 2), . = (0, -1, 0, 1).

B: k1 = - 9, k2 = 1, k3 = 9, vect riêng tng ng là 32. S: a) k1 = 1, k2 = 2, vect riêng tng ng là = (4, -1, 2); Hai không gian riêng tng ng là W1 sinh b i b) k = 2, vect riêng tng ng là = (0, 0, 1), gian riêng tng ng W1 sinh b i hai vect và .

, W2 sinh b i

= (1, 2, 0). Không

33. H ng d n: Coi A là ma tr n c a ánh x tuy n tính f, B tà ma tr n c a ánh x tuy n tính g. Tìm giá tr riêng c a f và c a g. Suy ra r ng A và B cùng ng d ng v i m t ma tr n chéo. T ó suy ra A và B ng d ng. 34. H ng d n: Tìm giá tr riêng. N u s giá tr riêng b ng c p c a ma tr n thì không gian có h c s g m nh ng vect riêng. N u s giá tr riêng nh hn c p c a ma tr n nhng có th tìm c m t c s g m nh ng vect riêng thì ma tr n chéo hoá c.

35. H ng d n: Tìm giá tr riêng và m t c s g m nh ng vect riêng.

368

36. H ng d n: Tìm các giá tr riêng và m t c s g m nh ng vect riêng. S: a) C s g m các vect riêng: (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1). Ma tr n chéo c n tìm là

b) C s g m các vect riêng: (-1, -1, 1), (-3, 0, 2), (-1, 1, 0). Ma tr n chéo c n tìm là:

37. a)

369

c) gf là m t vì |AB| = 0.

ng c u vì |BA| = -2 0. fg không ph i là m t

ng c u

Ma tr n c a (gf)-1 là

d) Cách 1.

Ker(fg) khi và ch khi (0, 0 0, 0) =

=

khi và ch khi:

C s c a Ker(fg) là c s c a không gian nghi m c a h phng trình trên. Nghi m t ng quát c a h này là (c, -c, 0, 0) = c(1, -1, 0, 0). V y c s c a Ker(fg) là {(1, -1, 0, 0)}. Im(fg) sinh b i h vect:

370

nên h ng c a h này b ng 3 và h vect {fg( tuy n tính. V y h vect {fg( Cách 2.

2),

2),

fg(

3),

fg(

4)}

cl p

fg(

3),

fg(

4)}

là m t c s c a Im(fg) .

Ker(fg) khi và ch khi

Suy ra k1 = 1, k2 = - 2 , k3 =

2

+ v i k1 = 1, gi i h phng trình:

371

Nghi m t ng quát c a h là (0, 0, c3); nghi m c b n là (0, 0, 1). Không gian riêng tng ng sinh b i vect (0, 0, 1). + V i k2 = - 2 gi i h phng trình:

Nghi m t ng quát c a h là (c1, -(1 + là (1, -(1 + 2 ),0) + v i k3 =

2 gi i h phng trình:

2 )c1, 0), h nghi m c b n 2 ),0) .

Không gian riêng tng ng sinh b i vect (1, -(1 +

Nghi m t ng quát c a h là (c1, ( 2 -1), 0), h nghi m c b n là (1, 2 - 1, 0). Không gian riêng tng ng sinh b i vect (1, · Các giá tr riêng c a fg:

2 - 1, 0).

K1 = 0, k2 = 1, k3 = - 2 , k4 = 2 .

372

+ v i k = 0, gi i h phng trình:

Nghi m t ng quát c a h này là (c1, -c1, 0, 0); h nghi m c b n là (1, -1, 0, 0). Không gian riêng tng ng sinh b i vect (1, -1, 0, 0). + V i k2 = 1, gi i h phng trình:

Nghi m t ng quát c a h này là (0, 0, 0, c); h nghi m c b n là (0, 0, 0, 1). Không gian riêng tng ng sinh b i vect (0, 0, 0, 1). + V i k3 = - 2 , gi i h phng trình:

Nghi m t ng quát c a h này là (c1, -(1+ 2 )c1, (2+ 2 )c1, 0); h nghi m c b n là (1, -(1+ 2 ), (2 + 2 ), 0) Không gian riêng tng ng sinh b i vect (1, -(1+ 2 ), (2+ 2 ), 0). + V i k4 =

2 gi i h phng trình:

373

Nghi m t ng quát c a h này là (c1, ( 2 -1)c1, (2- 2 )c1 , 0); h nghi m c b n là (1,

2 -1 , 2- 2 , 0). 2 -1 , 2- 2 , 0). 2 , 0), (1, -1+ 2 , 0)}

Không gian riêng tng ng sinh b i vect (1, Trong c s g m 3 vect {(0, 0, 1), (1, -1 ma tr n c a gf là ma tr n chéo

f) Ma tr n BA chéo hoá c vì nó có 3 giá tr riêng phân bi t.

G i T là ma tr n chuy n t c s chính t c sang c s này ta có C = T-1BAT Ma tr n AB cng chéo hoá c. Trong c s g m 4 vect {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1), (1, -1- 2 , 2+ 2 , 0), (1, 2 -1, 2- 2 , 0)} ma tr n c a fg là ma tr n chéo

Chng VI. D NG SONG TUY N TÍNH VÀ D NG TOÀN PHNG 1. Trên R3 ta xét c s chính t c e = { 1, 2, 3} v i 1 = (1, 0, 0), 2 = (0, 1, 0), 3 = (0, 0, 1) . Khi ó ma tr n c a d ng song tuy n tính

374

trên R3

v i c s e = {

1,

2,

3}

Chính là A = ( ( i,

j))

.

2. Theo

nh ngha.

1, 2, 3}

3. Ma tr n chuy n t c s chính t c e={ T= i v i c s () là

sang c s () là

khi ó ma tr n c a d ng song tuy n tính trên R3

375

giá tr riêng là = - 1, = 2 , ng v i = - 1 có vect riêng là ng v i = 2 có các vect riêng là P= và , t

khi ó ta có ma tr n:

376

Chng VII. QUY HO CH TUY N TÍNH 1. G i x1, x2 theo th t là s n v lo i hàng I, II c n s n xu t theo k ho ch trong m t ngày. Khi ó doanh thu trong m t ngày s là 7xl + 5x2. Do tr l ng nguyên li u có h n và l ng hàng s n xu t không v t quá nhu c u th tr ng nên ta có:

Và t t nhiên x1, x2 0. T toán th c t .

ó ta l p c mô hình toán h c cho bài

2. T p phng án X vì x* X. V i phng án x = (x1, x2, x3) b t kì, b ng cách c ng v v i v các b t phng trình trong h ràng bu c c ng b c ta có 7xl + x2 3. V x1 0 nên f(x) = 84x1 + x3 7x1 + x3 3 = f (x*) v i m i phng án x. T ó suy ra i u ph i ch ng minh.

5. a) (4, 1); b) T p phng án là r ng. 6. x1 là phng án c c biên không suy bi n, x2 là phng án c c biên suy bi n, x3 không ph i là phng án c c biên. 7. Có t t c 4 phng án c c biên. Bài toán ó không suy bi n vì m i phng án c c biên u không suy bi n. 8. Chú ý r ng, ràng bu c th hai xác nh n a m t ph ng ch a g c to , và b c a nó luôn i qua i m (x1, x2 ) = (0, 2), có h s góc là (t). Xét t ng tr ng h p khi cho (-t) tng d n t - n + (-/2< </2, trong ó () là góc h p b i gi a b c a n a m t ph ng th hai và chi u dng c a tr c hoành). áp s a) t > 2/3; b) t < -1; c) -1 < t < 2/3; d) t = -1. 10. a) Cách 1. Bi u di n hình h c t p phng án, v m t ng m c r i ch ng t nó không có v trí gi i h n.

377

Cách 2. Tìm i u ki n v t sao cho x = (t, t) là phng án. Khi ó f(x(t)) = 2t và cho qua gi i h n ta c i u ph i ch ng minh. b) Xác nh t sao cho x(t) = (0, t, 0, t) là phng án. Khi ó, tính f(x(t)) và cho qua gi i h n ta c i u ph i ch ng minh.

vì j 0 V i m i i nên

là phng án t i u.

12. a) (71/10, 0, 0, 13/10, 0, 2/5) là phng án t i u. b) (1, 1, 1/2, 0) là phng án t i u. c) Hàm m c tiêu không b ch n d i. d) ( 0, 6, 2, 3, 0, 0 ) là phng án t i u. e) ( 0, 0, 3, 4, 0) là phng án t i u. g) T p phng án là r ng. h) ( 1, 0, 6, 3) là phng án t i u. i) Hàm m c tiêu không b ch n trên. k) T p phng án là r ng.

378

B NG THU T NG Trang A Ánh x Ánh x tuy n tính nh c a m t ánh x tuy n tính nh c a m t vect nh ng c n c s n phi c s B Bài toán chu n Bài toán c c ti u hoá Bài toán d ng chính t c Bài toán d ng chu n t c Bài toán không suy bi n và suy bi n Bài toán quý ho ch tuy n tính Bài toán quy ho ch tuy n tính t ng quát Bài toán quy ho ch toán h c (t i u hoá) B ng n hình B c l p C Chu n c a m t vect Chuy n trí Công th c C t xoay i to 263 20 96 357

379

123 124 129 125 129 153 153

37 330 331 331 338 325 329 325 355 353

C s c a không gian vect C s chính t c C s c a ma tr n C s c a phng án c c biên C s tr c chu n D D ng chéo c a ma tr n D ng chính t c c a d ng toàn phng D ng c c c a d ng toàn phng D ng song tuy n tính D ng song tuy n tính D ng toàn phng D ng toàn phng xác D ng toàn phng xác D u c a phép th Dòng xoay nh nh dng (âm) i x ng

85 86 337 337 263

213 185 282 274 274 283 265 265 22 341

a th c ng c u nh th c

c trng

233 214 136 27 35 35 133 136

i s các ma tr n vuông Matn(K)

nh th c con nh th c con bù ng c u n c u

380

G Giao c a nh ng không gian con Giá tr riêng Giá tr t i u H Hàm m c tiêu Hàm m c tiêu không b ch n H ng c a h vect H ng c a ma tr n H t nhân c a m t ánh x tuy n tính H nghi m c b n c a h phng trình tuy n tính thu n nh t H phng trình tuy n tính H phng trình tuy n tính thu n nh t H sinh c a m t không gian vect H vect c l p tuy n tính H vect liên k t H vect ph thu c tuy n tính Hi n t ng xoay vòng Hình chi u c a m t vect lên m t không gian con K Khai tri n Khai tri n nh th c theo m t dòng nh th c theo r dòng 36 42 81 283 230 277 84

381

84 229 314

313 314 104 104 139 180 60 178 84 88 324 88 336 284

Không gian con Không gian con bù tr c giao Không gian con b t bi n Không gian vect clit Không gian sinh b i m t h vect

Không gian vect

76

M Ma tr n Ma tr n các to Ma tr n chuy n (t c s này sang c s khác) Ma tr n chuy n v Ma tr n c a m t ánh x tuy n tính Ma tr n c a d ng song tuy n tính Ma tr n Ma tr n Ma tr n i x ng c trng ng d ng o 25 106 100 126 198 260 264 233 227 214 261 316 47 48 285 27

Ma tr n n v Ma tr n ngh ch Ma tr n ràng bu c Ma tr n tam giác d i Ma tr n tam giác trên Ma tr n tr c giao Ma tr n vuông N Ngh ch th Nghi m c a h phng trình tuy n tính Nghi m c a a th c Nghi m t ng quát c trng Nghi m riêng c a h phng trình tuy n tính

22 160 233 167 167

382

P Ph n bù Phép bi n Phép bi n Phép bi n is i s c p i i x ng i tr c giao 35 341 114 287 285 204 147 204 21 22 341 313 321 322 321 333 314

Ph n t tr c

Phép c ng hai ánh x tuy n tính 146 Phép c ng hai ma tr n Phép nhân m t ánh x tuy n tính v i m t s Phép nhân m t ma tr n v i m t s Phép th Phép th ch n, phép th l Phép xoay Phng án Phng án c c biên Phng án c c biên không suy bi n và suy bi n Phng án n hình Phng án tìm c theo m t h ng Phng án t i u R Ràng bu c c ng b c Ràng bu c t nhiên S S chi u c a không gian vect 96 313 313

383

T Tích c a hai ánh x tuy n tính Tích c a hai ma tr n Tích vô h ng To c a m t vect Toàn c u T h p tuy n tính T ng c a hai ánh x tuy n tính T ng c a hai ma tr n T ng c a nh ng không gian con c l ng V Vect Vect Vect nh chu n i 78 278 78 78 229 278 330 149 205 277 99 136 87 146 202 83

Vect không Vect riêng Vect tr c giao

384

TÀI LI U THAM KH O 1. ng vn Uyên. Quy ho ch tuy n tính. NXBGD.1996.

2. Hoàng Tu . Lý thuy t quy ho ch. Nhà xu t b n Khoa h c Hà N i. 1968. 3. Phí M nh Ban. Quy ho ch tuy n tính. NXBGD. 1998. 4. Ngô Thúc Lanh. Trung h c chuyên nghi p. NXBGD. 2001. 6. Nguy n NXBGD.1996. c Ngha. T i u hoá (Quy ho ch tuy n tính và r i r c). i s cao c p . T p I. i s tuy n tính. i s tuy n tính. Nhà xu t b n i h c và

5. Nguy n Duy Thu n. Toán Cao c p A1. Ph n

i s tuy n tính.

7. Tr n Vn H o. NXBGD. 1977.

8. Jonathan S. Golan. Foundation of Linear Algebra. Kluwer Academic Pubhshers. 1996. 9. J.M.Arnaudiès- H.Fraysse. Cours de Mathématiqué-J. Algèbre. DUNOD. Paris.1996.

385

Ch u trách nhi m xu t b n: Giám c INH NG C BAO

T ng biên t p Lê A Biên t p n i dung: NGUYÊN TIÊN TRUNG Trình bày bìa: PH M VI T QUANG

I S TUY N TÍNH In 600 cu n, kh 17 x 24 cm t i Công ty In và Vn hoá ph m Hà N i. Gi y phép xu t b n s . 90 -II31/XB-QLXB, ký ngày 29/8/2003. In xong và n p lu chi u tháng 11 nm 2003.

Information

Microsoft Word - Dai so tuyen tinh.doc

385 pages

Find more like this

Report File (DMCA)

Our content is added by our users. We aim to remove reported files within 1 working day. Please use this link to notify us:

Report this file as copyright or inappropriate

293422