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S.Brandt · H.D. Dahmen

Mechanik

Eine Einführung in Experiment und Theorie

Vierte Auflage mit 270 Abbildungen, 10 Tabellen, 52 Experimenten und 145 Aufgaben mit Hinweisen und Lösungen

^J Springer

Inhaltsverzeichnis

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Kinematik 1.1 Massenpunkt. Vektoren von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung 1.2 Anwendungen 1.2.1 Gleichförmig geradlinige Bewegung 1.2.2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung 1.2.3 Gleichförmige Kreisbewegung 1.2.4 Superposition von Bewegungen 1.3 Einheiten von Länge und Zeit. Dimensionen. Einheitensysteme 1.4 Aufgaben Dynamik eines einzelnen Massenpunktes 2.1 Schwere Masse. Dichte 2.2 Kraft 2.2.1 Kraft als Vektorgröße 2.2.2 Beispiele von Kräften, Gewicht, Reibungskraft, Federkraft. Reduzierung der Reibung durch Luftkissen 2.3 Erstes Newtonsches Gesetz 2.4 Zweites Newtonsches Gesetz. Träge Masse 2.5 Drittes Newtonsches Gesetz 2.6 Anwendungen: Federpendel. Mathematisches Pendel. Fall und Wurf 2.6.1 Federpendel (eindimensionaler harmonischer Oszillator) ... 2.6.2 Mathematisches Pendel 2.6.3 Fall und Wurf 2.6.4 Wurf mit Reibung \'2.1 Impuls |j2.8 Arbeit

1 1 4 4 4 6 8 9 11 13 13 15 15

17 21 21 27 27 28 33 36 38 41 42

VIII 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 3

Inhaltsverzeichnis Kraftfelder. Feldstärke. Gravitationsgesetz Potential. Potentielle Energie Konservatives Kraftfeld als Gradient des Potentialfeldes Kinetische Energie Energieerhaltungssatz für konservative Kraftfelder . . . . Einheiten der Energie. Leistung und Wirkung Drehimpuls und Drehmoment Bewegung im Zentralfeld Bewegung im zentralen Gravitationsfeld Beschreibung der Planetenbewegung im Impulsraum . . . Aufgaben

Dynamik mehrerer Massenpunkte 3.1 Impuls eines Systems zweier Massenpunkte. Schwerpunkt. Impulserhaltungssatz 3.2 Verallgemeinerung auf mehrere Massenpunkte. Schwerpunktsystem 3.3 Energieerhaltungssatz 3.4 Drehimpuls. Drehimpulserhaltungssatz 3.5 Zweikörperproblem 3.5.1 Schwerpunkt-und Relativkoordinaten 3.5.2 Planetenbewegung 3.5.3 Elastischer Stoß 3.6 Mehrkörperproblem 3.6.1 Numerische Lösung 3.6.2 Beispiele zum Dreikörperproblem 3.7 Aufgaben Starrer Körper. Feste Achsen 4.1 Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit 4.2 Impuls. Zentripetalkraft 4.3 Drehimpuls und Trägheitsmoment. Bewegungsgleichung . 4.4 Bewegung im Schwerefeld. Physikalisches Pendel . . . . 4.5 Steinerscher Satz 4.6 Rotationsenergie. Energieerhaltung 4.7 Aufgaben Inertialsysteme 5.1 Translationen 5.2 Rotation des Koordinatensystems 5.3 Galilei-Transformationen 5.4 Aufgaben 99 99 101 102 106 109 111 112 117 117 121 123 127

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Inhaltsverzeichnis Nichtinertialsysteme 6.1 Beschleunigtes Bezugssystem 6.2 Zeitabhängige Rotation 6.3 Gleichförmig rotierendes Bezugssystem. Zentrifugalkraft. Corioliskraft 6.4 Aufgaben Starrer Körper. Bewegliche Achsen 7.1 Die Freiheitsgrade des starren Körpers 7.2 Eulersches Theorem. Zeitableitung beliebiger Vektoren . . 7.3 Drehimpuls und Trägheitsmoment des starren Körpers bei Rotation um einen festen Punkt 7.4 Trägheitstensoren verschiedener Körper. Hauptträgheitsachsen 7.5 Drehimpuls und Trägheitsmoment um feste Achsen . . . . 7.6 Trägheitsellipsoid 7.7 Steinerscher Satz 7.8 Bewegungsgleichungen des starren Körpers. Drehimpulserhaltungssatz. Eulersche Gleichungen . . . . 7.9 Kinetische Energie des starren Körpers. Translationsenergie. Rotationsenergie. Energieerhaltungssatz 7.10 Kräftefreier Kugelkreisel 7.11 Kräftefreie Rotation um eine Hauptträgheitsachse 7.12 Kräftefreie Rotation um eine beliebige Achse. Poinsotsche Konstruktion 7.13 Symmetrischer Kreisel 7.14 Kreisel unter der Einwirkung von Kräften. Larmor-Präzession 7.15 Aufgaben Schwingungen 8.1 Vorbemerkungen 8.2 Ungedämpfte Schwingung. Komplexe Schreibweise . . . 8.3 Phasenebene 8.4 Gedämpfte Schwingung 8.5 Erzwungene Schwingung 8.5.1 Erregter Oszillator. Schwingungsgleichung . . . . 8.5.2 Lösung der Schwingungsgleichung 8.5.3 Stationäre Schwingung 8.5.4 Energie- und Leistungsbilanz. Resonanz 8.5.5 Einschwingvorgang 8.5.6 Grenzfall verschwindender Dämpfung. Schwebung 8.5.7 Resonanzkatastrophe

IX

131 131 133 135 143 148 148 151 152 157 161 162 164 165 168 171 172 178 180 184 186 189 189 190 192 194 201 201 204 206 209 215 217 219

X 8.6 8.7 9

Inhaltsverzeichnis Gekoppelte Oszillatoren Aufgaben 220 232 233 233 239 249 254 258 260 263 268 270 270 273 276 277 280 281 284 291 296 299 303 307 307 310 312 314 320 326 330 332 333 337 341 345

Nichtlineare Dynamik. Deterministisches Chaos 9.1 Duffing-Oszillator 9.2 Lineare Bewegungsgleichung. Stabilität. Fixpunkte . . . . 9.3 Nichtlineare Bewegungsgleichung. Linearisierung . . . . 9.4 Grenzmengen. Attraktoren. Poincare-Darstellung 9.5 Stabile und seltsame Attraktoren. Deterministisches Chaos 9.6 Feigenbaum-Diagramm 9.7 Hysterese 9.8 Aufgaben

10 Wellen auf ein- und zweidimensionalen Trägern 10.1 Longitudinale Wellen 10.2 Transversale Wellen 10.3 Allgemeine Lösung der Wellengleichung 10.4 Harmonische Wellen 10.5 Superpositionsprinzip 10.6 Energiedichte und Energiestromdichte 10.7 Reflexion 10.8 Stehende Wellen 10.9 Laufende Welle auf eingespannter Saite 10.10 Membranschwingungen 10.11 Aufgaben 11 Elastizität 11.1 Elastische Körper 11.2 Dehnung 11.3 Dehnung und Querkontraktion 11.4 Spannungs- und Verzerrungstensor für den längsverzerrten Quader 11.5 Lokaler Verzerrungstensor 11.6 Lokaler Spannungstensor 11.7 Kraftdichte 11.8 Lokales Hookesches Gesetz 11.9 Scherung 11.10 Torsion 11.11 Biegung 11.12 Aufgaben

Inhaltsverzeichnis 12 Wellen in elastischen Medien 12.1 Eulersche Bewegungsgleichung elastischer Medien . . . . 12.2 Zerlegung in Quell-und Wirbelfeld 12.3 Das Quellfeld. Longitudinalwellen im unendlich ausgedehnten Medium 12.4 Das Wirbelfeld. Transversalwellen im unendlich ausgedehnten Medium 12.5 Verzerrungs- und Spannungstensoren von Transversal- und Longitudinalwellen 12.6 Reflexion und Brechung der Transversal- und Longitudinalwelle an der Oberfläche eines Mediums 12.7 Transversal-und Longitudinalwellen in einer Materialplatte 12.8 Aufgaben 13 Hydrodynamik 13.1 Deformation eines Flüssigkeitselementes 13.2 Rotations-und Verzerrungsgeschwindigkeitstensor . . . 13.3 Kontinuitätsgleichung 13.4 Konservative äußere und innere Kräfte 13.5 Ideale Flüssigkeiten. Eulersche Bewegungsgleichung . . 13.6 Hydrostatik 13.7 Gleichförmig rotierende, inkompressible, ideale Flüssigkeit im Schwerefeld 13.8 Stationäre Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit. Bernoulli-Gleichung 13.9 Energiesatz für die nichtstationäre Strömung der idealen Flüssigkeit 13.10 Spannungstensor der Reibung einer zähen Flüssigkeit. Stokessches Reibungsgesetz 13.11 Navier-Stokes-Gleichung. Ähnlichkeitsgesetze 13.12 Strömung durch Röhren. Hagen-Poiseuille-Gesetz . . . 13.13 Reibungswiderstand einer Kugel in einer zähen Flüssigkeit. Stokessches Reibungsgesetz . 13.14 Aufgaben

XI 349 349 351 352 355 357

359 364 367 372 372 374 378 379 382 383 386 390 393 396 400 402 405 406

.

.

. .

Anhang A Vektoren A.l Begriff des Vektors A.2 Vektoralgebra in koordinatenfreier Schreibweise A.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl A.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren 408 408 409 409 409

. . .

XII

Inhaltsverzeichnis A.2.3 Skalarprodukt A.2.4 Vektorprodukt A.2.5 Spatprodukt A.2.6 Entwicklungssatz Vektoralgebra in Koordinatenschreibweise A.3.1 Einheitsvektor. Kartesisches Koordinatensystem. Vektorkomponenten A.3.2 Rechenregeln Differentiation eines Vektors nach einem Parameter . . . . A.4.1 Vektor als Funktion eines Parameters. Ortsvektor A.4.2 Ableitungen Nichtkartesische Koordinatensysteme A.5.1 Kugelkoordinaten A.5.2 Zylinderkoordinaten A.5.3 Ebene Polarkoordinaten Aufgaben 411 412 413 414 416 416 419 422 422 423 424 425 427 428 431 433 433 433 436 436 438 439 440 442 444 445 446 452 457 458 461 466 468 468 470 477 478 481 484 485

A.3

A.4

A.5

A.6

B Tensoren B.l Basistensoren B.2 Allgemeine Tensoren. Rechenregeln B.3 Darstellung durch Links-und Rechtsvektoren B.4 Produkt von Tensor und Vektor B.5 Produkt zweier Tensoren B.6 Vektorprodukt in Tensorschreibweise B.7 Matrizenrechnung B.8 Determinante B.9 Matrixinversion B.10 Zerlegung in symmetrische und antisymmetrische Tensoren B . l l Abbildungen durch einfache Tensoren B.12 Rotation B.13 Infinitesimale Rotation B.14 Basiswechsel B.l5 Hauptachsentransformation B.16 Aufgaben C Vektoranalysis C.l Skalarfelder und Vektorfelder C.2 Partielle Ableitungen. Richtungsableitung. Gradient . . . C.3 Nabla-Operator in Kugel- und Zylinderkoordinaten . . . . C.4 Divergenz C.5 Rotation C.6 Laplace-Operator C.7 Totale Zeitableitung

Inhaltsverzeichnis

XIII

C.8 Einfache Rechenregeln für den Nabla-Operator C.9 Linienintegral CIO Wegunabhängiges Linienintegral. Potentialfunktion eines Vektorfeldes C.ll Oberflächenintegral C.12 Volumenintegral C.13 Integralsatz von Stokes C.14 Integralsatz von Gauß C.15 Aufgaben D Taylor-Reihen E Komplexe Zahlen F Die wichtigsten SI-Einheiten der Mechanik l Hinweise und Lösungen zu den Aufgaben

486 487 491 492 499 502 506 508 511 514 520 522 545

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ISachverzeichnis

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